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Chapitre 5-Thermodynamique des systmes ouverts. Application lcoulement des fluides

I Premier principe de la thermodynamique pour un systme ouvert Certains systmes changent avec lextrieur, outre de lnergie, aussi de la masse. Pour ces systmes dits ouverts le bilan nergtique doit tre largi la matire entrante et sortante.

A. Bilan dnergie dans un systme ouvert, rgime stationnaire On considre un systme qui est augment (ou diminu) de masses entrant (ou sortant) de conduites. Le volume et la surface du systme restent fixes. On va considrer une seule entre et une seule sortie car cest le cas le plus usuel mais la gnralisation plusieurs entres et sorties est possible. Le systme S est linstant t S(t) puis linstant t+dt S(t+dt) Considrons lnergie massique associe la masse entrante dm1 (caractrise par p1,T1 et v1) et celle associe la masse sortante dm2 dm1 (caractrise par p2,T2 et v2). ei = ecin,i+epot,i+ui , ecin I, :nergie cintique, epot I, nergie potentielle et ui nergie interne, avec i=1 ou 2. Lors du passage dans le volume V il y a change de travail et de chaleur (premier principe) pour le systme S. Explicitons: il y a variation dnergie pour la matire qui a travers le systme mais galement variation dnergie possible de la matire dans V.

dm2

dm1

S(t)

S(t+dt)

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Soit e2 dm2 +EV(t+dt)-(e1 dm1 +EV(t)) = W + Q Donc si on remplace par lexpression des ei : (ecin,2+epot,2+u2) dm2 - (ecin,1+epot,1+u1) dm1 +EV(t+dt)-EV(t) = W +Q

Lorsque le rgime est stationnaire il ny a daccumulation ni de matire ni dnergie soit dm1 = dm2 et EV(t+dt)=EV(t) soit en introduisant w et q par unit de masse :

(ecin,2-ecin,1)+(epot,2-epot,1)+(u2-u1)= w +q B. Notion de travail utile, variation denthalpie Une partie du travail w est li au transfert de masse et donn au fluide pour ce transfert (comme on le verra plus loin dans le cas des compresseurs, le fluide restituera tout de suite ce travail au piston du compresseur). Il est dusage de diffrentier ce travail de transfert du reste du travail dit travail utile . On crit donc :

w = wt+wu Autrement dit il y aura du travail li au changement thermodynamique ventuel ainsi que le travail de circulation ou transfert de matire. Evaluons donc le travail ncessaire au transfert de masse, propre aux systmes ouverts : On considre la masse entrante dm1, de longueur dl1 assez petite pour que les grandeurs soient invariantes sur le volume quelle occupe ; elle est pousse lintrieur par le fluide qui la suit et qui exerce sur elle une pression pi : df1 = p1 dS1 et le travail associ est df1 dl1 = p1 dS1 dl1, ce travail est fourni au systme lorsque la masse est entrante (le travail est >0 pour dm1>0) qui le restituera au milieu extrieur. Dautre part dS1 dl1 =v1 dm1 puisque v1 est le volume par unit de masse et le travail associ la masse dm1 devient p1 v1 dm1. A la sortie, la masse dm2 lutte contre la pression extrieure p2 et elle fournit un travail p2 v2 dm2. Ainsi lors du transfert de masse wt= p1v1 -p2v2 et on crit w = wu+ p1v1 -p2v2 soit wu = w-wt

(ecin,2-ecin,1)+(epot,2-epot,1)+(u2-u1)+ (p2v2- p1v1) = wu +q On voit apparatre lenthalpie (ici massique) h=u+pv et on re-formule :

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(ecin,2-ecin,1)+(epot,2-epot,1)+(h2-h1) = wu +q

Cette expression traduit le premier principe de la thermodynamique pour un systme ouvert. Lenthalpie apparat naturellement dans lexpression et reprsente lnergie interne augmente du terme pV qui reprsente le travail des forces de pression en entre et sortie du systme. Interprtation de wu = w-wt w reprsente lensemble du travail chang : dans la transformation thermodynamique mais aussi dans le transfert de matire (entre-sortie). Considrons pour fixer les ides un moteur soit w0) on peut rcuprer ce travail et le travail utile sera plus grand (en valeur absolue). Si au contraire le transfert donne lieu un travail cd par le fluide ce travail est perdu est comme travail utile (wt

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Lorsque la pression p2 est atteinte la sortie de la matire est assure pression constante p2. Il ny a pas de modification de ltat thermodynamique ladmission et la sortie des gaz. On considre un systme sans espace mort (le volume est vide avant ladmission du gaz), la transformation reprsente ci-dessous est dcrite dans le sens inverse horaire donc le systme est rcepteur de travail (voir chapitre ultrieur sur les diagrammes thermodynamiques o ceci sera repris en dtail).

Evaluons le travail de faon classique le long de la transformation que le fluide fournit au piston. Le calcul se fait partir de la formule gnrale W = -p dV. On se place du point de vue du fluide. Travail dadmission du gaz : -p1V1 , on passe dun volume nul V1 sous la pression p1, ici le travail est fourni au piston par le fluide. Notez quil ny a pas contradiction avec le II.A. o ladmission le fluide est pouss donc reoit p1V1, car dans le cas dun piston il rtrocde immdiatement ce travail au piston qui descend.

V2 V1 V

P P2 P1 A

B

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Travail de compression -p dV de A B, cest un travail positif (dV0) lors du transvasement+compression, cest ce quon appelle le travail utile

!

Wu =A

B

" Vdp .

Or on sait que dH = Q+Vdp Si on est dans un cas compltement adiabatique alors dH = Vdp et donc HB-HA=W qui constitue le travail utile. La transformation est souvent adiabatique et les phases dadmission et de refoulement sont rapides. Dans le cas dune transformation adiabatique : Wu = H Remarques : 1. Interprtation graphique :

VdpB

A! correspond laire sous la courbe du diagramme p,V o p est considre

comme labscisse, lintgration se faisant alors de p1 (A) p2 (B). On voit tout de suite sur le graphique que lintgrale sera positive donc on fournit du travail au fluide pour le compresser. Un compresseur est un rcepteur.

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2. On peut retrouver la formule comme application directe du premier principe des systmes ouverts. En effet en rgime permanent :

(ecin,2-ecin,1)+(epot,2-epot,1)+(h2-h1) = wu +q Sil ny a pas de variation dnergie cintique ou potentielle (on ne considre que le transvasement) 0 = Q+Wu+H1-H2 et Wu +Q= H. Wu, travail utile rcupr est ici le travail de transvasement (on a multipli ici pas la masse transvase, do les lettres majuscules). Dans le cas adiabatique Wu = H 3. Si on revient lexpression des travaux de transvasement : lors de lentre de la matire, p1V1 est fourni au fluide entrant qui est pouss, ce travail, le fluide le restitue tout de suite au piston soit p1V1. A la sortie le piston donne p2V2 au fluide pour lui permettre de sortir.

4. Le cas symtrique dune dtente est tudi en TD (exercice IV) 5. Le travail des forces extrieures (ds p0) se compense au cours du cycle puisque on a la mme variation de volume en + et en (aller et retour du piston) et on retrouve bien les termes crits dans lexpression de W

2. Echangeur de chaleur Il sagit du dispositif suivant qui permet de rgnrer un fluide au contact dun autre, les usages pratiques sont nombreux. Les deux fluides 1 et 2 circulent en sens inverse et rentrent en contact par la surface dchange centrale (zone emplie de pointills sur le schma) Dans ce cas il ny a pas de travail utile puisquil sagit simplement dun change thermique Wu=0 et en rgime permanent 0 = Q+hi dmi On se place dans le cas o il ny a pas de pertes latrales et qui constitue un cas idal, le systme global ne fait pas dchange de chaleur (pas de pertes ni

dm1

dm2

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dapport extrieur) et il ny a que lchange entre les deux fluides. Dans ce cas Q=0, lchange thermique lintrieur du systme tant pris en compte dans la variation denthalpie. Ainsi hi dmi=0. Appliquons cette relation gnrale au cas particulier du schma : dm1 (h1e-h1s)+dm2 (h2e-h2s)=0; dm1 et dm2 sont positives dans cette expression Sil y a des pertes latrales alors 0 = Q+hi dmi avec Q0 Echangeur thermique idal: Il ne doit pas avoir de pertes latrales soit Q = 0 et la surface dchange est infinie pour assurer un change thermique complet aboutissant lgalit des tempratures des deux fluides au final. En pratique on dfinit un coefficient defficacit. Supposons que le fluide 1 soit chaud et le fluide 2 et quon veuille rchauffer le fluide 2 au contact du fluide 1 : T1 restera fixe et T2 variera dans le cas idal : H(rel,fluide 2) = m2 (h2S-h2e) et H(idal,fluide 2) = m2 (h2Sid -h2e) et lefficacit = H(reel)/H(idal) La pression est souvent maintenue constante, dans ce cas H(rel) = Cp (T2s -T2e) Et H(idal) = Cp (T2s id-T2e). Lchange est maximal dans le cas idal et le fluide 1 est maintenu temprature constante T2s id=T1e=T1s=T1 et = (T2s-T2e)/(T1-T2e)

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Souvent la source dnergie potentielle est la pesanteur et epot= gz et lnergie cintique a pour expression V2. On obtient alors : Q+Wu= dm (h2+g z2+1/2 V22-h1-g z1-1/2 V12) Si les changes de chaleur et de travail sont nuls alors par unit de masse h+gz+1/2 V2= Cte. Cette relation est souvent appele quation de bilan nergtique

4. Fluide incompressible, loi de Bernouilli Dans le cas dun fluide incompressible, est constante et on crit h = u+p/. On dfinit aussi u la densit volumique dnergie interne, or u est lnergie interne par unit de masse et u = u/. On dduit : h = (u+p)/ Lorsque lnergie interne reste constante (fluide non visqueux) on obtient la loi de Bernouilli : gz+1/2 V2+p/=Cte

5. Fluide compressible, loi de St Venant Le fluide est suppos compressible mais toujours non visqueux sans change de chaleur ou dnergie. Supposons de plus le gaz comme parfait, on a dh = cp dT, cp tant la capacit calorifique pression constante et par unit de masse. On obtient V2+gz+cpT=Cte qui constituent la loi de saint Venant. Pour la rsolution complte du systme on ajoute lquation dtat du gaz parfait et lquation disentropicit puisque la transformation a lieu sans change de chaleur

6. Dtente isenthalpique de Joule-Thomson On va reprendre ltude de cette dtente comme application des concepts dvelopps dans ce chapitre. Par dfinition, une dtente de Joule-Thomson est une dtente qui conserve lenthalpie, on parle disenthalpique Voyons comment la raliser avec un gaz : on considre un fluide se dplaant dans une tuyre qui peut tre de section variable, il sagit pratiquement de parois poreuses ou de laminages. Laxe de dplacement sera appel x. On nglige les effets de pesanteur et toutes les grandeurs sont supposes ne dpendre que de x. La paroi de la tuyre est adiabatique et les composantes des forces exerces par

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la paroi sur le gaz dans le sens du mouvement sont supposes nulles. Si on applique le premier principe au systme qui na aucun change thermique ni de travail alors H se conserve. Nous allons le re-dmontrer afin de bien mettre en vidence lintroduction de H sur ce cas particulier et simple de systme ouvert. On dlimite un volume V entre deux surfaces S1 et S2. La masse de gaz contenue dans V est constamment renouvele par lcoulement : une masse m passe par S1 puis par S2, m est assez petite pour que les grandeurs soient uniformes dans le volume quelle occupe. A lentre la masse m est pousse vers lintrieur par le gaz derrire elle qui exerce une pression p1 et la force f1= p1S1 >0 (dans le sens du mouvement). Plus prcisment pour faire rentrer m dans V le travail fourni est : f1 dx1 = p1S1dx 1= p1V1. On fait le raisonnement inverse pour la sortie de m : on lutte alors contre la pression p2 du gaz au niveau de S2 et f2 dx2=-p2V2 Au total le milieu extrieur fournit p1V1-p2V2 Appliquons alors le premier principe : la variation dnergie du systme est U2-U1+1/2 m V22-1/2 m V12 elle est gale au seul travail p1V1-p2V2 puisque la transformation est adiabatique et quil ny a pas de travail chang sur les parois : donc H2+1/2 m V22 = H1+1/2 m V12 Lorsque la variation dnergie cintique est ngligeable lenthalpie est conserve. On voit que cette enthalpie est naturellement introduite quand on tient compte de lcoulement pour faire le bilan du travail ncessaire cet coulement de matire. On peut bien sur retrouver directement cette formule en appliquant le premier principe des systmes ouverts sans travail ni chaleur chang. Bilan entropique Calculons la variation dentropie dans le cas dune dtente de Joule-Thomson pour un gaz parfait : dans ce cas la temprature de ltat final est gale celle de ltat initial (2me loi de Joule pour le gaz parfait, soit H ne dpend que de T) et la variation dentropie se fait en calculant : dH = dU+pdV+Vdp = T dS-p dV+p dV+ Vdp = TdS+Vdp pour une transformation rversible :

)/ln(/ 12

2

1

ppnRdpTvS

p

p

! "="=#

Comme S>0 , lcoulement se fait dans le sens de la diminution de pression.

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III. Transformations adiabatiques relles-Rendement isentropique A. Diagramme T, S

Compression ou dtente dun systme ouvert

Une compression ou une dtente modifie la pression, on passe dune isobare lautre. Les flches en traits pleins reprsentent une transformation relle, celles en pointills une transformation idale (pourquoi ?) Rappel : dS = Cp dT/T pour une isoP On obtient donc un arc dexponentielle dans un diagramme T,S (cf TD) Pour connatre la position relative de deux isoP on travaille T constant alors dS = h dp/T = -V dp/T donc si S croit p dcroit et p2>p1 La proprit reste vraie pour la plupart des gaz rels Dans les systmes ouverts on fait un bilan denthalpie. On utilise donc souvent le diagramme T,S. Dans le cas du gaz parfait la variation denthalpie est proportionnelle celle de la temprature et on lit directement les effets de la transformation sur lenthalpie sur laxe des ordonnes.

B. Rendement isentropique

Dans le cas dune transformation adiabatique irrversible on dfinit souvent le rendement isentropique qui compare la transformation considre une isentropique. On retiendra que une transformation relle est toujours moins efficace quune isentropique

Dans le cas dune compression, on dfinit isoS = W(isoS)/W(rel) En effet, une compression ncessite du travail et lorsque la transformation est irrversible le travail fournir est plus grand que dans le cas rversible

S

T

Dtente S

T

Compression

p2

p1

p2

p1

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pour atteindre la mme pression(isoS