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Ecole Spéciale des Travaux Publics - Option T.P.3/R.O.

PROJET DE PONT

Partie 2/3

POA Pont en encorbellement

Auteurs : Aude PETEL - Gilles LACOSTE Suivi du projet : Gilles LACOSTE.

Aude PETEL Mohamed CHAABOUNI

Août 2015

_____________________________________________________________________________ E.S.T.P.-T.P.3 / août 2015 Projet de Pont page 152

Projet d'Ouvrage d'Art (P.O.A.)

Chapitre 1 Données générales et

câblage de fléau


1. - DONNEES GENERALES DU PROJET

1.1 - Règlements et matériaux

Règlements : EC2 pour le béton armé et le béton précontraint ; Eurocode 1 : pour les charges TS, UDL et de trottoirs – Classe 2 de trafic. Caractéristiques des matériaux : - béton : C40/50 fck = 40 MPa ciment CEM 52,5 N - aciers passifs : fyk = 500 MPa ; - aciers de précontrainte : fpk = 1860 MPa , fp01k = 1640 Mpa Ep = 190000 MPa, Section 1 T 13 : 100 mm2 1 T 15 : 150 mm2 Rappel de l’EC2 :

- Compression du béton : au-delà de 28 jours : MPaenfetfavecMPaff ckcmckcm 8+=

pour 0 < j <= 28 : MPaenjfetjfavecMPajfjf ckcmckcm )()(8)()( +=

et fcm(j) = βcc(j) × fcm avec : ( )

−×

= js

ej28

1

ccβ

avec : fcm résistance moyenne en compression du béton à 28 jours fck résistance caractéristique en compression du béton à 28 jours sur cylindre j âge du béton, en jours (j ≤ 28) fck(j) résistance caractéristique en compression du béton à j jours sur cylindre (j ≤ 28) fcm(j) résistance moyenne en compression du béton à l'âge j jours (j ≤ 28) βcc(j) coefficient qui dépend de l'âge du béton j en jours s coefficient fonction de la classe du ciment :

0,20 pour les ciments de classe R : CEM 42,5 R, CEM 52,5 N et CEM 52,5 R 0,25 pour les ciments de classe N : CEM 32,5 R, CEM 42,5 N 0,38 pour les ciments de classe S : CEM 32,5 N

- Résistance à la traction du béton :

2850)(10

)(80,1ln124,2)(

2850)()(30,0)( 3/2

≤>

+×=

≤≤×=

jetMPajfsijf

jf

jetMPajfsijfjf

ckck

ctm

ckckctm

- Module du béton : 3,0

1000022

×= cmcm

fE


Sollicitations en service : - ELS : G + Pm + Q + 0,6 ∆θ avec Q = TS + UDL + Tr ; - ELU : G + Pm + 1,5 Q. avec Q = TS + UDL + Tr Gradient thermique ∆θ : +7 ou -5° C

(avec un coefficient de dilatation thermique λ = 10-5 / ° C). Systèmes de précontrainte :

Câbles Ancrages

Unités Diamètre Section Rayon D (*) d (*) e (*)

gaines mini

(mm) (mm2) (m) (cm) (cm) (cm)

12 T 13 70 1200 6,00 22,5 27 13

12 T 15 80 1800 8,00 27 35 22

19 T 15 100 2850 8,00 35 38 27

(*) D, d et e sont définis par le schéma suivant :

d

e

ed

D

D

Plaque d'ancrage

Ancrage et gaine de précontrainte

Disposition des plaques d'ancrages à l'about des pièces

1.2 - Conception de l'ouvrage

L'ouvrage est un pont en béton précontraint à 3 ou 4 travées, symétrique, construit par encorbellements successifs, à l'aide d'un équipage mobile.


La cinématique de construction est la suivante :

- Construction de chaque fléau sur pile. Après bétonnage du voussoir sur pile, les voussoirs courants sont bétonnés dans les équipages mobiles accrochés de chaque coté du fléau. Dès que le béton a atteint la résistance nécessaire, une ou deux paires de câbles de fléau sont tendus et les équipages sont avancés d'un voussoir, jusqu'à achèvement du fléau ;

- Bétonnage sur chaque rive des parties coulées sur cintre, qui complètent les travées de rive ;

- Bétonnage du ou des deux clavages centraux ( cette phase sera négligée dans les calculs de poids propre ) ;

- Pose des équipements, sur la structure qui est maintenant calculée comme une poutre continue à 3 ou 4 travées. Le calcul des efforts de poids propre et des équipements suivra ce mode de construction. Les sections de calculs sont indiquées sur le schéma ci-dessus.

1.3 - Câblage de l'ouvrage

Le câblage de l'ouvrage comprend : - des câbles de fléau intérieurs au béton, - quelques câbles de continuité intérieurs au béton, - des câbles de continuité extérieurs au béton.


Rôle des différentes familles de câble : � Câbles de fléau : Ils doivent reprendre sur pile, en construction, en fibre supérieure, les tractions dues aux moments négatifs de poids propre, d'équipage mobile et de charges de chantier. � Câbles de continuité intérieurs : Avant mise en tension des câbles de continuité extérieurs, ils doivent reprendre à la clef des travées centrales, l'effet du gradient thermique en fibre inférieure et s'opposer au retrait dans les voussoirs de clavage qui n'étaient pas encore précontraints.


Schéma d'un câblage de fléau et de continuité intérieur


Schéma d'un câblage de continuité extérieur au béton


� Câbles de continuité extérieurs : Ils reprennent sur pile les moments négatifs supplémentaires (équipements, charges d'exploitation, moments hyperstatiques éventuellement). Ils jouent le même rôle en travée pour les moments positifs dus aux mêmes actions auxquelles il faut ajouter l'effet du fluage. Ils doivent de plus, de part leur inclinaison, réduire l'effort tranchant près des piles, de façon à rendre admissibles les contraintes de cisaillement correspondantes. Puisque cette précontrainte est extérieure, le tracé du câble est défini par son passage entre les entretoises (sur pile ou sur culée) et par la position de déviateurs situés en travée ( 2, 4 ou plus). Le tracé du câble est rectiligne entre deux déviateurs. Le câble se trouve à l'intérieur du caisson, hors du béton, dans une gaine généralement en polyéthylène à haute densité.

ancrage sur pile déviateur en travée

La détermination des câblages de continuité intérieur et extérieur fait l'objet du chapitre 2.

2. - CABLAGE DE FLEAU

2.1 - Généralités

La géométrie de l'ouvrage, qui est dictée par le mode de construction est la suivante :

h const

n lv vx L Γ r L vsp

L f

L r

L / 2 L α r L / 2

L f

n lv vx l vc

l vc/ 2

Géométrie longitudinale

En rive la longueur de hauteur constante est donc égale à : α L r = L r - L / 2 α L r est la distance de l'extrémité du fléau à l'axe d'appui de la culée ; ne pas confondre avec Γ L r qui est la longueur de la partie coulée sur cintre : Γ L r = L r - L / 2 + l vc / 2 = L r - L f Les câbles de fléaux accrochent tous les voussoirs d'un fléau. Ils passent dans les goussets supérieurs de la coupe transversale. Pour les arrêter, on les descend légèrement dans les âmes, et on les ancre dans la tranche des voussoirs, soit dans les goussets supérieurs, soit dans les âmes si nécessaire. On peut aussi les ancrer dans des bossages situés en haut des âmes. Il y a donc au moins autant de paires de câbles de fléau que de voussoirs dans un demi fléau (au moins, car certains voussoirs peuvent être tenus par deux paires de câbles). D'autre part, tous les câbles de fléau passent dans les goussets des voussoirs sur pile.


Demi coupecourante

Demi coupesur pile

Demi voussoir témoin avec gaines pour câbles de fléau et gaines pour câbles de continuité

2.2 - Calcul des caractéristiques géométriques du fléau

On doit calculer les caractéristiques des sections sur pile et à la clef: à la clef sur pile Surface B0 B1 Inertie I0 I1 Distance cdg/FS v0 v1 Distance cdg/FI v'0 v'1 On utilisera les épaisseurs de l'étude préliminaire pour un premier dégrossissage (Un rappel des dimensions de la coupe transversale du caisson est joint à la fin de ce texte).


Rappel : • Inertie propre d'un rectangle et d'un triangle.

h

b

G x

b

Gh

x

G

YY

XX

d

Ix = b h3 / 12 Ix = b h3 / 36 Iyy = Ixx + S d2 • Section brute : Les sections brutes sont celles qui sont déterminées à partir des plans de coffrage. Ce sont les sections brutes qui servent à déterminer les efforts de poids propre et les inconnues hyperstatiques des poutres sur plusieurs appuis et aussi à calculer les flèches des ouvrages. • Section nette : On appelle section nette la section de béton de laquelle on déduit les trous de gaines. En pratique, on calcule :

. l'aire de béton en enlevant l'aire des gaines,

. l'inertie en déduisant le terme en B d2 des gaines et en négligeant leur inertie propre.

. on peut, en général, négliger les trous de gaines pour déterminer la position du centre de gravité. La section nette est utilisée pour calculer les contraintes dues aux efforts permanents (efforts de précontrainte, de poids propre et d'équipements ).

• Section homogénéisée :

On appelle section homogénéisée la section nette augmentée de la section des câbles de précontrainte, multipliée par un coefficient d'équivalence pris forfaitairement égal à 5. Cette section sert à calculer les contraintes dues aux charges variables (surcharges) dont la durée d'application est inférieure à 24 h.

Dans ce projet, nous n'utiliserons que les caractéristiques des sections brutes calculées par la méthode suivante :

On simplifiera la forme des sections transversales sur pile et à la clef en adoptant des épaisseurs constantes équivalentes à celles des dessins, pour le hourdis supérieur et les âmes si leur épaisseur varie. Le dévers transversal sera négligé. Les goussets triangulaires seront néanmoins conservés.

Le caisson sera décomposé en surfaces élémentaires :

G

v

v'

∆δ i

B i


Soit : ∆ un axe horizontal passant par la fibre inférieure Bi les surfaces de chaque partie composant la section δi la distance des centres de gravité de chaque partie à l'axe ∆ Hi le moment statique de la partie i par rapport à l'axe ∆ I0i l'inertie propre de la partie i. On a : B = Σ Bi Hi = Bi δi H∆ = Σ Hi v' = H∆ / B v = h - v' I∆ = Σ I0i + Σ Hi δi = Σ I0i + Σ Bi δi 2 IG = I∆ − H∆ v'

Ces calculs seront mis sous forme de tableau :

Num de l'élément

Surface distance à l'axe

moment statique

Inertie propre

terme d'Huyghens

Inertie totale

total B: H∆: I∆: On calculera également, pour la section sur pile, HG, moment statique de la partie de section située au dessus de G, par rapport à un axe parallèle à ∆ , passant par le centre de gravité G de la section entière.

2.3 - Evaluation des efforts de poids propre du fléau en console

Tous les calculs d'efforts sont faits par rapport à l'axe de la pile. On fait les hypothèses suivantes:

- Extrados supposé rectiligne horizontal - Intrados parabolique - Le poids des déviateurs de précontrainte extérieure est négligé dans le calcul (Ils peuvent d'ailleurs être bétonnés après réalisation du fléau) - Variation parabolique de la section de béton entre la section de clef et celle sur pile :

B 0 B 1x

M

V

L f

B(x) = B0 + ( B1 - B0 ) x2 / Lf 2


On en tire l'effort tranchant et le moment fléchissant à l'abscisse x :

V(x) = - γ [ B0 x + ( B1 - B0 ) x3 / 3 lf 2 ] V(lf) = - γ [ B1 + 2 B0 ] Lf / 3 M(x) = - γ [ B0 x2 / 2 + ( B1 - B0 ) x 4 / 12 Lf

2 ] M(l f) = - γ [ B1 + 5 B0 ] Lf

2 / 12 On pourra vérifier que l'épaisseur moyenne de l'ouvrage e suit à peu près la loi : e = 0,0035 L + 0,40 pour le prédimensionnement, on fait les hypothèses supplémentaires suivantes. On appelle :

- L la portée principale de l'ouvrage ; - lap la distance entre appuis provisoires : 2,2 à 3,5 m pour L variant de 50 à 120 m ; - lvc la longueur du voussoir de clavage : 1,5 à 2,5 m.

fL l vc

l ap

On en déduit la longueur du demi fléau : Lf = ( L - lvc ) / 2

et Mpp = - γ ( 5 B0 + B1 ) Lf 2 / 12 avec γ = 25 10-3 MN/m3

2.4 - Evaluation des efforts dus aux charges de construction

2.4.1 - Charges de construction d’équipements non permanents (Qcc)

Il s’agit de l'équipage mobile dont le poids est compris entre 0,30 et 0,90 MN (Le poids de la charpente de l'équipage représente environ 65 % du poids total et celui de son coffrage à peu près 35 %).

Le poids de l’équipage est fonction de la longueur et du poids des voussoirs. En fonction de ces données on prendra un poids d’équipage Qcc raisonnable, que l'on appliquera à dex = 1,5 m de l'extrémité du dernier voussoir du fléau. On a donc :

d ex

f L cc Q

On pourra ainsi déterminer, dans la section sur pile, le moment du poids de l’équipage MQcc


Exemples d'équipages mobiles (hauteur constante et hauteur variable)

2.4.2 - Charges de construction de personnel et de stockage (Qca et Qcb)

Il s’agit des charges de personnel et de petit outillage (Qca) ainsi que des charges de stockage d’éléments déplaçables (Qca). Pour couvrir les charges de construction, on utilise :

- une charge répartie qca,k de 1 KN/m2 et une charge répartie qcb,k de 0,2 KN/m2 appliquées au demi fléau calculé ;

- une charge concentrée Fcb,k de 100 KN appliquée en bout de fléau au début du dernier

voussoir en cours de bétonnage.

l v

cb,k F

f L f L

ca,k q cb,k q +

La longueur du voussoir lv n'est pas connue, on peut l'estimer ici à 3,00 mètres. On pourra ainsi évaluer le moment MQcab dû aux charges de construction de personnel et de stockage.

2.5 - Détermination de la précontrainte dans la section sur pile

Par simplification, alors que l’EC2 ne le prévoit pas, le dimensionnement du câblage va se faire à l’ELS. En construction dans la zone d'enrobage des câbles (ce qui est le cas de la fibre supérieure sur pile), et en utilisant la valeur caractéristique minimum de la précontrainte, en fin de construction du fléau, on limite la traction du béton à : σ tlim = - 0,5 × fctm


le calcul de fctm est rappelé en début de chapitre, dans les caractéristiques des matériaux (page 154 ). On doit donc vérifier, dans la section sur pile, en fin de bétonnage du dernier voussoir : σ sup = N / B1 + M × v1 / I1 > σ tlim avec : N = F Force inconnue des câbles de fléau M = Mpp + MQcc + MQcab + F × e0 F × e0 est le moment isostatique de précontrainte des câbles de fléau et e0 est l’excentricité des câbles (cote du centre de gravité des câbles par rapport au centre de gravité de la section de béton). e0 est positif, car les câbles passent en partie haute de la section dans les goussets du hourdis supérieur.

On a : e0 = v – d avec d distance du cdg des câbles à la fibre supérieure. La couverture de béton des câble doit être égale à un diamètre de gaine. Si l’on considère des câbles 12T15s de diamètre 8 cm :

- d = 0,12 m si les câbles sont disposés sur un lit ; - d = 0,16 m si les câbles sont disposés sur 2 lits.

Il faudra ensuite disposer les câbles dans les goussets et corriger cette valeur éventuellement. On en déduit F la force des câbles de fléau sur pile.

2.6 - Détermination du nombre de câbles

Pour les gammes de portées étudiées, on peut utiliser des câbles 12 T 13, 12 T 15 ou 19 T 15. Ces câbles sont tendus à σ p,max :

σ p,max = min(0,80 fpk ; 0,90 fp0,1k ) fpk : Résistance caractéristique à la traction (voir page 153 ) fp0,1k : Limite d'élasticité conventionnelle à 0.1%

Ils subissent p% de pertes que l’on peut estimer à 12 % de pertes instantanées et 6 % de pertes différées jusqu'à la fin de la construction du fléau (Quand l'ouvrage sera en service, les pertes différées des câbles de fléau atteindront 12%). soit p = 0,12. D’autre part on considère la valeur caractéristique minimale de la précontrainte : σ p = rkinf × σ pm avec rkinf = 0,9. On a donc : σ p = rkinf × σ pm = rkinf × (1 – p) × σ p,max = 0,9 × 0,88 × σ p,max Leur force utile en construction peut donc être estimée par : Fut = s × σ p (s section du câble) On obtient donc le nombre n1 de câbles : n1 = F / Fut ( arrondi à l'entier pair supérieur pour un caisson à deux âmes )


Cependant, on a besoin de cette précontrainte sur pile avant même d'avoir tendu les câbles du dernier voussoir (pendant son bétonnage). On a donc au total n = n1 + 2 câbles (pour un caisson à deux âmes)

2.7 - Détermination du nombre et de la longueur des voussoirs

La longueur du voussoir sur pile (celui qui reçoit les cales d'appui provisoire), est généralement comprise entre 4 et 8 m, et souvent supérieure à celle de deux voussoirs courants pour les ouvrages coulés en place. On appelle lvsp sa longueur. Le voussoir de clavage a une longueur lvc égale ou inférieure à celle des voussoirs courants. Chaque voussoir courant doit être maintenu par au moins une paire de câbles de fléau. On en déduit la longueur lv des voussoirs courants : lv = ( L - lvsp - lvc ) / n

hp

L

n lv vx n lv vxl vsp l vsp

clavagevoussoir sur pile

l v

l vc

On doit avoir une longueur de voussoir comprise entre 2 et 4 mètres environ. Si tel n'est pas le cas, il faut changer d'unité de précontrainte.

2.8 - Dessin des goussets

Une fois connu le nombre de câbles de fléau, on peut dessiner plus précisément les goussets supérieurs en les engraissant si nécessaire et en tenant compte des aciers passifs à mettre en place. L'enrobage des gaines (couverture de béton) est égale à leur diamètre, plafonné à 8 cm (Cf. page 154). Leur espacement est égal à leur enrobage. On peut superposer deux câbles au maximum pour les 12T13 et les 12T15 ( on ne peut pas pour des câbles 19T15). Au dessus des âmes, ces espaces entre files de câbles constituent des cheminées de bétonnage et de vibration, qu'il faut disposer au mieux. Il faut prévoir environ 10 % de gaines vides dans les goussets. Les câbles correspondants seront mis en place et tendus uniquement si l'on constate en cours de mise en tension que les pertes par frottement sont très supérieures aux prévisions du projet.

2.9 - Affinage des calculs et vérification

Si besoin, il faut pour terminer reprendre tout le calcul depuis le début avec : - la nouvelle section (nouveaux goussets) - le bon excentrement de précontrainte e0 - un nouveau poids d'équipage mobile plus adapté au poids des voussoirs.


Il faut ensuite calculer les contraintes sur les fibres supérieure et inférieure du caisson sur pile, en fin de bétonnage du dernier voussoir du fléau. Ce deuxième calcul permet en outre, de vérifier les calculs précédents. Cette vérification se fait en fin de bétonnage du dernier voussoir alors que les derniers câbles qui doivent l'accrocher ne sont pas encore tendus. La vérification se fait donc avec le poids propre total du fléau, ses charges de chantier, le poids de l'équipage mobile, et avec un nombre entier de câbles égal à n1. Les contraintes sont les suivantes : σ sup = N / B1 + M × v1 / I1 > σ tlim = - 0,5 × fctm σ inf = N / B1 - M × v’1 / I1 < σ clim = 0,6 × fck avec F = n1 × s × σ p pour le calcul de N et M Si la contrainte en fibre inférieure n’est pas vérifiée, il faut épaissir le hourdis inférieur. On trouvera ci-après quelques schémas, dont on pourra s’inspirer :

12.75

0. 2

4 5.04

0.2

5

Gousset 0.70 x 0 .30

Gousset 0.80 x 0 .15 Gousset 1.00 x 0 .15

1.58

0.30

2.5% raccordement parabol ique sur 1 .00

2.5% 0.2

2

3.2

0

0.2

6

3.2

7

Exemple de section transversale


Exemple de ferraillage de section transversale Passage des câbles de fléau à travers le masque


Exemples de Goussets supérieurs


Pont de La Flèche sur le Loir

Pont de Villeneuve sur Lot


Rappel des dimensions de la coupe transversale du caisson

La pente de l'âme est identique pour les sections à la clef et sur pile. La hauteur du caisson H varie généralement paraboliquement ( sommet de la parabole à la clef )

B - Fonction du profil en travers fonctionnel H - voir le tableau du paragraphe 2 du chapitre sur l'étude préliminaire. C - Environ B / 4 ( Maximum 4 mètres sinon prévoir des nervures transversales et une

précontrainte transversale ) D - Résistance Environ L / 275 + 1,25 B / L -0,125 ( L : Plus grande portée ) - Ancrage des câbles de fléau 2 fois la dimension de la plaque si l'on ancre des câbles

de fléau dans l'âme - Bétonnage de l'âme 2 ( e + 2 d + V ) + Φg et 30 cm minimum

avec : e enrobage des aciers passifs d diamètre des aciers passifs transversaux du hourdis inférieur V Cheminée de vibration Φg Diamètre de la gaine des câbles

Ec - Dépend de la position des aciers transversaux supérieurs du hourdis inférieur 2 Φg + d + e soit 18 à 25 centimètres à la clef

Ep - sur pile E varie de 40 à 80 cm F - 0,18 mètre avec un garde-corps, 0,23 m avec une barrière normale G - C / 8 < G < C / 7 ( vérifier aussi l'enrobage des câbles de fléau ) A - 0,10 + B / 100 I - généralement égal à G J - pente du gousset 30 degrés, longueur 0,30 à 0,70 m


FEUILLES

A RENDRE EN FIN D'APPLICATION ET

A INSERER DANS LA NOTE DE CALCUL DU POA


Equipe n° : ............. Noms : - - Schématisation de la section : -

Un gousset Sup :

h =

L =

Un gousset Inf :

h =

L =

e =

B =

e = a clef e = a pile

e = clef e = pile

L = i clef L = i pile

h = clef

h = pile

Nombre de travées : Portée de la travée principale : m Portée des travées de rive : et m Précision des calculs : 4 chiffres significatifs Section de clef Surface B0 : m2 Inertie I0 : m4 Distance cdg fibre sup v0 : m Distance cdg fibre inf v'0 : m Section sur pile Surface B1 : m2 Inertie I1 : m4 Distance cdg fibre sup v1 : m Distance cdg fibre inf v'1 : m Moment statique / G HG : m3 Moment dû au poids du fléau Mpp = MNm Moment dû à l'équipage mobile Mem = MNm Moment dû aux charges Qc2 et 3 MQc = MNm Poids de l'équipage mobile Pem = MN Excentricité de la précontrainte sur pile e0 : m Type de câbles choisi : Force totale calculée : MN Force d’un câble : MN Nombre total de câbles par fléau : Nombre de voussoirs courants par 1/2 fléau : Longueur du voussoir sur pile : m Longueur du voussoir de clavage : m Longueur du voussoir courant : m Vérification des contraintes au bétonnage du dernier voussoir

Sig Sup Sig inf Actions (Mpa) (Mpa) Charges permanentes et de chantier Précontrainte F = MN Total



Chapitre 2 Câblage de continuité intérieur


3.- DETERMINATION DU CABLAGE DE CONTINUITE INTERIEU R

Pour la détermination du câblage on se limitera à l'étude des sections ci-dessous. Il s'agit des sections en travée de rive (S1), sur pile P1 (S2) et en travée courante (S3). La section S1 se trouve à l’extrémité de la partie coulée sur cintre pour la travée de rive (à une distance Γ × Lr de l'appui sur culée C0).

S1 S2 S3

Numérotation des sections d'études - La longueur de la partie coulée sur cintre (Γ × Lr) est égale à la longueur d’inertie constante sur la travée de rive (αLr), plus la demi-longueur du voussoir de clavage (lvc/2).

I constante

n l v v x L Γ r L vsp L f

L r

L / 2 L α r L / 2

L f n l v v x l vc

l vc / 2

I variable

3.1 – Plan de la note de calculs

La note de calcul relative aux câbles de continuité intérieurs s'articulera suivant le plan donné ci-après pour l'exposition de la méthode.

3.1.1 - Caractéristiques géométriques

A l'issue de la détermination du câblage de fléau les données suivantes sont connues : - B1, I1, v1, v'1 pour la section sur pile - B0 pour la section à la clé

Il faut donc calculer I0, v0, v'0 pour la section à la clé et on calculera également, pour la section sur pile , le moment statique de la partie se trouvant au dessus du centre de gravité. Tous les éléments nécessaires à ces calculs sont donnés dans le chapitre précédent : "Câblage de fléau".

3.1.2 - Détermination de la matrice de calcul des moments sur piles

Il s'agit d'un calcul préliminaire à la détermination des efforts. On cherche la matrice [M] telle que les moments sur pile Mi et les chargements sur travées pi soient reliés par la relation :


[ ] [ ]

×=

×=

4

3

2

1

3

2

1

3

2

1

2

1

p

p

p

p

M

M

M

M

p

p

p

MM

M

Cas du 3 travées Cas du 4 travées)

3.1.3 - Calcul des moments dus au poids propre

Le moment dû au fléau en console est déjà connu. Il faudra le cumuler aux moments dus à l'effet des clavages, dont le présent document développe le calcul. Après ces calculs les moments de poids propre à vide avant fluage sont connus.

3.1.4 - Calcul des moments dus à un gradient thermique

Le gradient thermique, différence de température entre la fibre supérieure et la fibre inférieure du tablier, engendre des sollicitations dans une structure hyperstatique. Il doit être considéré comme une charge variable, la méthode de calcul est explicitée dans le document.

3.1.5 - Calcul du moment hyperstatique dû à la précontrainte intérieure de continuité.

Ces câbles sont tendus en phase hyperstatique. On déterminera préalablement le moment hyperstatique correspondant.

3.1.6 - Détermination de la précontrainte intérieure de continuité

Le rôle de cette précontrainte (quelques câbles dans le gousset inférieur au milieu de travée) est de reprendre l'effet du gradient thermique pendant la construction, avant la mise en tension des câbles extérieurs.

3.2 - Matrice de calcul des moments sur piles

3.2.1 - Rappel sur le théorème des trois moments

Considérons la poutre sur appuis simples ci-dessous:

. . .1 2 3 i n

A0 A1 A2 A3 AnAi-1 Ai Les inconnues sont les moments sur appuis M1, M2,... Mn (M0=Mn=0). Par application du théorème des trois moments (cf. cours de RDM), on obtient les équations résolvantes du problème : M0 = 0 (c1 + a2)M1 + b2 M2 = w'2 - w"1 b2 x M1 + (c2 + a3)M2 + b3 M3 = w'3 - w"2 ... ... bi Mi-1 + (ci + ai+1)M i + bi+1 Mi+1 = w'i+1 - w"i bn-1 Mn-2 + (cn-1 + an)Mn-1 = w'n - w"n-1

Mn = 0


avec :

Li : longueur de la travée i I : inertie de la travée i (éventuellement fonction de x) E : module d'Young de la travée i (éventuellement fonction de x) ai , bi , ci : coefficients de souplesse de la travée i w'i , w"i : rotations à l'origine et à l'extrémité de la travée i , rendue isostatique, sous

l'effet des charges appliquées, avec les conventions ci-dessus.

( ) ( )a x Ldx

EIb

x

Lx L

dx

EI

LL= − = −∫∫ 1 1

00/ ² ; / ; ( )c x L

dx

EI

L= ∫ / ²

0

( )w x Ldx

E Iw x L

dx

E Iiso iso

LL' / ; " /= − − = ∫∫ M M1

00

3.2.2 - Coefficients de souplesse et des rotations isostatiques

Pour les poutres d'inertie constante on trouve : a cL

EIb

a L

EI= = = =

3 2 6;

et les rotations isostatiques pour un chargement uniforme "p" sur la travée sont :

wp L

E Iw' "= − = −

3

24

Pour les poutres d'inertie variable deux méthodes sont utilisables : On peut utiliser les tables de MARSAC pour le calcul de ai , bi , ci , w'i et w"i (cf. annexe). Pour les travées symétriques, l'utilisation des tables de MARSAC nécessite la connaissance du rapport des inerties des sections à la clef et sur pile. Il faut interpoler en I0/I1 entre deux colonnes de la table. Pour les travées de rive, il faut également interpoler sur le paramètre α qui représente la longueur relative de hauteur constante dabs la travée : α = [Lr - L/2] / Lr . On peut aussi calculer directement les valeurs des coefficients de souplesse et des rotations par les formules suivantes : A - Calculs préliminaires

On définit les grandeurs suivantes, utiles pour la suite :

++−

++=

2/321

13

12/32

2

23

2210

)x1(

x3x2

)x1(

x3x231)x,x(A


++

+−=

2/321

2/322

211)x1(

1)x1(

131)x,x(A

+−

+=

2/321

31

2/322

32

212)x1(

x

)x1(

x31)x,x(A

+−

++

++

+−=

2/321

2/322

21

22

213)x1(

1)x1(

131

x11

x11)x,x(A

B - Travée courante symétrique de hauteur variant paraboliquement

L

h oh 1

x

Io

I1

On considère une loi de variation d'inertie de la forme :

2/5

20 )

L

x21(K1I)x(I

−+= avec 1II

K4,0

0

1 −

=

Coefficients de souplesse

Tous calculs faits, les coefficients de souplesse ont les expressions suivantes :

2/30

L

0

2

)K1()K2(L

.EI61

EIdx)

Lx1(ca

++=−== ∫ ∫ +

=−=L

0 0 K1L.

EI61

EIdx)

Lx1(

Lxb

Rotations isostatiques pour une charge uniformément répartie :

L

q

K1qL

.EI241

EIdx)

Lx1(M"'

3

0

L

0iso +

−=−−=ω−=ω ∫


C - Travée de rive de hauteur variant paraboliquement L

αL

h o

h 1x

Io

On considère une loi de variation d'inertie de la forme :

( )( ) 2/52

0 LLLxK1I)x(I α−

α−+= avec 1II

K4,0

0

1 −

=

Seuls sont indispensables le coefficient c et la rotation "ω Coefficients de souplesse Tous calculs faits, le coefficient de souplesse c a l'expression suivante :

)AK

)1(A

K)1(2

A(KEI

)1(LEI3

LEIdx)

Lx(c 2

2

102

00

3L

0

2 α−+α−α+αα−+α==∫

avec )K,0(AA 00= ; )K,0(AA 11= ; )K,0(AA 22=

Rotations isostatiques pour une charge uniformément répartie :

L

q

0

43

3

3

2

2

1

2

03

0

32

8)

)1()1(3)1(3(

2

)1(

2"

EI

qLA

KKA

KA

KA

KEI

qLcqL ααααααααω −−+−+−+−−=

avec )K,0(AA 00= ; )K,0(AA 11= ; )K,0(AA 22= ; )K,0(AA 33=


3.2.3 – Calcul des moments sur piles

Connaissant les coefficients de souplesse et les rotations des différentes travées sous charges uniformes, on utilise les formules des 3 moments pour calculer les moments sur piles. Les résultats sont les suivants :

A - Pont symétrique à 3 travées : c2 = a2 ; c1 = a3 ; a1 = c3

Mc a w w b w w

c a b11 2 2 1 2 3 2

1 2 2

=+ − − −

+ −( ) ( ' " ) ( ' " )

( )² ²

Mb w w c a w w

c a b22 2 1 1 2 3 2

1 2 2

=− − + + −

+ −( ' " ) ( ) ( ' " )

( )² ²

B - Pont symétrique à 4 travées :

Les deux travées centrales étant égales et l’ouvrage étant symétrique : c2 = a2 = c3 = a3 ; b2 = b3 ; c1 = a4 ; a1 = c4

[ ]²b)a(ca2

)w"(w'b)w"(w'b)w"(w')a(cM

2212

34212223212 −+

−−−−−+=

Mw w b M

c aM

w w b M

c a12 1 2 2

1 23

4 3 2 2

1 2

=− −

+=

− −+

' ";

' "

3.2.4 - Détermination de la matrice [M]

Les rotations w’i et w"i des différentes travées sont proportionnelles aux charges pi appliquées. Par identification, on en tire les coefficients de la matrice.

[ ] [ ]

×=

×=

3

2

1

2

1

4

3

2

1

3

2

1

p

p

p

MM

M

p

p

p

p

M

M

M

M

Cas du 4 travées Cas du 3 travées Les moments Mi représentent les moments sur les appuis i et pi les chargements des travées i.

Cette matrice servira à calculer les moments sous chargement UDL, et sous l'action du poids des équipements.


3.2.5 – Calcul des efforts dans le tablier

A partir des moments hyperstatiques donnés par la matrice précédentes, on peut calculer les efforts dans la poutre continue : Calcul de Mi(x) :

Dans la travée i, on a : Mi(x) = Miso,i (x) + Mi-1 (1- iL

x) + Mi

iL

x

avec : - x : abscisse locale de la section d’étude dans la travée concernée ; - Miso,i (x) : Moment isostatique dans la section d’étude ; - Mi-1 et Mi : Moments hyperstatiques sur les appuis gauche et droite de la travée i ;

Calcul de l'effort tranchant :

Dans la travée i, on a : T xdM

dx

M M

Liiso i i i

i

( ),= +

− −1

Réactions d'appuis : Au droit de l'appui Ai : Ri = Ti+1(+ε) - Ti(Li - ε)

3.3 - Calcul des moments dus au poids propre

3.3.1 - Phasage de construction

Le moment de poids propre est lié au phasage de construction. On additionne les suppléments de moments apportés par chaque phase de construction dans les 3 sections de calcul, pour avoir les moments de poids propre en fin de construction.


Exemple pour un ouvrage à 3 travées :

S 3

P 1

S 1 S 2

C 0 P 2

C 3

1 - Construction des fléaux (Moment M en S , 0 en S et en S )

2 - Clavage des travées de rive (Moment supplémentaire M en S , 0 en S et en S )

3 - Clavage central (moments négligés partout)

4 - Ouvrage terminé (somme des moments des phases précédentes)

pp 2

pp2 1

1 3

2 3

Cas du 4 travées Même cinématique, mais de plus on fera l'hypothèse très simplificatrice que l'on clave les deux travées centrales et que l'on passe sur appui définitif au milieu, simultanément. Le moment de la phase 1 a été calculé lors de la détermination du câblage de fléau. Les calculs des moments des phases 2 et 3 sont explicités ci-après.

3.3.2 - Effet d'une partie coulée sur cintre

En général une travée de rive est clavée après exécution du premier fléau. Son poids propre agit donc sur une structure isostatique (du moins après suppression d'éventuels dispositifs de stabilité provisoire du fléau). La longueur de la partie coulée sur cintre (Γ Lr) est égale à la longueur d’inertie constante sur la travée de rive (α Lr), plus la demi-longueur du voussoir de clavage (Lvc / 2). La section variant très peu sur la longueur Lvc / 2, on admettra qu'elle reste égale à B0 et on a alors B0 section constante sur la longueur Γ Lr, et donc une charge p égale à γ B0 sur la longueur Γ Lr.


x

R 1

S 1

S 2

R 0

S (x)

L r

Γ ×

p γ × B 0

=

Réactions d'appui : R0 = γ B0 Γ (1 - Γ/2) Lr R1 = γ B0 Γ² Lr /2 Moments fléchissants x ≤ Γ × Lr M(x) = γ B0 [ Γ(1 - Γ/2) Lr x - x²/2] x ≥ Γ × Lr M(x) = γ B0 Lr Γ² (Lr - x)/2 ; M(Lr) = 0 Efforts tranchants x ≤ Γ × Lr T(x) = γ B0 [ Γ(1 - Γ/2) Lr - x] x ≥ Γ × Lr T(x) = - γ B0 Lr Γ²/2 ; M(Lr) = 0 En S1 on a x = Γ × Lr et en S2 on a x = Lr Remarque : Si la travée de rive était clavée dans une phase hyperstatique, le calcul des effets de son poids propre se ferait en suivant la méthode générale exposée ci-dessous.

3.3.3 - Clavage des travées centrales

Dans le calcul du moment de poids propre, on négligera l'effet des clavages des travées centrales, car le poids du voussoir de clavage est faible. Les moments en S1, S2 et S3 sont donc nuls. A titre d'information, l'opération de clavage peut être modélisée de la façon suivante : * application de 2 charges ponctuelles en bout de fléau (modélisant chacune le demi poids de l'équipage de clavage et du béton du voussoir de clavage)

clavage

P /2 + P /2em v P /2 + P /2em v

EM/2 + P/2 EM/2 + P/2

* application d'une charge répartie sur la structure rendue continue (un degré d'hyperstaticité supplémentaire) et enlèvement des charges ponctuelles précédentes


clavage

-P /2 - P /2em v -P /2 - P /2em v

Pv

3.4 - Calcul des moments dus au gradient thermique

Le gradient thermique est une différence de température entre la fibre supérieure et la fibre inférieure du tablier (notée ∆θ ). La déformation ainsi créée engendre des efforts dans une structure hyperstatique. Les contraintes normales dans l'ouvrage doivent être vérifiées dans les deux cas suivants :

- à vide avec un gradient thermique de +7 ou -5° C (y compris pendant la construction) - en service avec charges d'exploitation routières avec un gradient thermique identique, mais pondéré par le coefficient 0,6.

Le théorème des trois moments permet le calcul des moments correspondants à partir des rotations isostatiques données ci-dessous. Le calcul est fait avec le module instantané du béton Ecm. Sous gradient thermique positif (fibre supérieure plus chaude que la fibre inférieure) le moment dû au gradient thermique MGT est positif et crée donc une traction en fibre inférieure à la clé.

S 3

M

GT

P 1 S 1

S 2

C 0 P 2

C 3

Moment dû au gradient thermique dans le cas du trois travées symétriques

3.4.1 - Travée de hauteur constante

w wh

L' " .= − =

λ ∆θ2

λ = 10-5 est le coefficient de dilatation thermique du béton

3.4.2 - Travée de rive de hauteur variable

Pour la travée de rive de gauche on a :

( )w

L

h

L

h h h

h h

h

h

h hLn

h

hr r"

²

( )= − −

−

+−

−

−

−λ∆θ α λ∆θ αα

α2

1 1

20 0 1 0

1 0

0

0

1 0

1

0

Arctg

α : coefficient des tables de Marsac (cf. Chapitre 1 sur les câbles de fléau). Lr : longueur de la travée de rive.


3.4.3 - Travée courante symétrique de hauteur variable (variation parabolique de l'intrados)

( )w w

L

h h hArctg

h h

h' " .= − =

−

−

λ∆θ

2 0 1 0

1 0

0

; L : longueur de la travée courante.

3.5 - Calcul du moment hyperstatique de la précontrainte intérieure de continuité

3.5.1 - Généralités – Principe du calcul

Le rôle de ces câbles est de précontraindre le ou les voussoirs de clavage des travées courantes afin de reprendre le moment du gradient thermique en construction, soit ∆θ = 7°C, cumulé au retrait partiel du fléau. Comme ce moment est positif, Les câbles sont disposés près de la fibre inférieure, aux centres des travées courantes. Ces câbles règnent sur une longueur β × L avec β habituellement compris entre 0,25 et 0,33. On choisira une valeur quelconque comprise entre ces deux valeurs et les plans devront être conformes à cette valeur. Les câbles de continuité des travées courantes sont tendus en phase hyperstatique, puisque le voussoir de clavage a été réalisé avant leurs mises en tension. Il faut donc évaluer ce moment hyperstatique Mhpi . Par contre, les câbles de continuité des travées de rive sont tendus, avant le clavage central, sur des poutres isostatiques. Ces câbles de rive ne produisent donc pas de moment hyperstatique de précontrainte. Les câbles de continuité des travées courantes, qui sont tendus en phase hyperstatique ont deux effets :

- un effet dit "isostatique" (Miso = F × e0 avec F force de précontrainte et e0 excentricité), qui dépend pour une section donnée de la position du câble dans cette section et qui n'intéresse donc que les sections traversées par le câble,

- un effet dit "hyperstatique" (Mhpi) qui dépend du tracé de l'ensemble du câble et qui

intéresse donc toutes les sections, y compris celles non traversées par celui-ci.

+

câble

M hpi

Moment hyperstatique de précontrainte dans le cas du 3 travées


+

câble câble Moment hyperstatique de précontrainte dans le cas du 4 travées

Pour calculer le moment hyperstatique, on évalue les rotations isostatiques w’2 et w"2 de la travée courante sous l’effet du moment isostatique de précontrainte F e0 . On utilise ensuite la méthode des trois moments et les formules donnant M1 et M2 pour déterminer Mhpi. = M1 = M2. On ne connaît pas la force F, mais dans un premier temps, on calculera le coefficient λ tel que : Mhpi. = λ x F e0

3.5.2 – Calcul des rotations isostatiques sous l'effet des câbles

Pour calculer les rotations isostatique w’2 et w"2, on applique les formules de Bresse :

∫−=−=L

xIE

dx

L

xxM

0 )()("' ωω

Le moment fléchissant M(x) est le moment isostatique de précontrainte F × e0(x) qui règne dans la zone des câbles, soit de :

2222

LLxà

LLx ββ +=−=

0n fait l'hypothèse simplificatrice que l'épure d'effort normal est rectangulaire et que le câble moyen règne dans les travées courantes sur une longueur βL. Les câbles de précontrainte intérieure de continuité règnent sur une longueur βL , et créent dans cette zone un moment isostatique F e0. On suppose que F est constant sur toute la longueur des câbles :

L

βL

Feo

Les câbles suivent la fibre inférieure et leur excentricité e0 est donnée par :

0

01

2

00 h

hhδavec

L

x21δ1e(x)e

−=

−+= et e0 = - v0' + d’ (v0' > 0)

d’ peut être calculé en fonction du diamètre des gaines des câbles choisis (on prend en général le même type que les câbles de fléau).

- si les câbles sont sur 1 seul lit : d’ = 1,5 × φg ;


- si les câbles sont sur 2 lits : d’ = 2 × φg ; - sinon : on prend le barycentre des câbles qui donne une valeur intermédiaire.

Pour l’inertie, on considère une loi de variation de la forme :

2/5

20 )

L

x21(K1I)x(I

−+= avec 1II

K4,0

0

1 −

=

L

h oh 1

x

Io

I1

On a donc, tous calculs faits :

2/32

2

0

0

2/)1(L

2/)1(L 0 )K1(

))K2(3(L

IE6

1eF

IE

dx

L

xeF"'

β+βδ++β−=−=ω−=ω ∫

β+

β−

La connaissance des rotations isostatiques en fonction de F et de e0, permet de déterminer les moments hyperstatiques de précontrainte par les formules données précédemment (méthode des 3 moments). Rappelons que comme on ne connaît pas la force de précontrainte, on ne peut pas calculer directement Mhpi, on se contente pour le moment de déterminer un coefficient λ tel que :

M F ehpi clé= × ×λ 0 avec λ < 0 (et e0 < 0)

M > 0HpiM

3.6 - Détermination de la précontrainte intérieure de continuité

3.6.1 - Câbles de continuité des travées courantes

Pour déterminer la force Ftc et donc le nombre de câbles des travées courantes, on écrit, après clavage, juste près mise en tension de ces câbles, que la contrainte à la clef de la travée courante (soit en S3), en fibre inférieure reste supérieure à la traction limite que l’on s’est fixé : σi ≥ σ tlim = -0,5 × fctm(j) avec j age du béton au clavage de la travée courante soit 5 jours le calcul de fctm est rappelé en début du chapitre 2, dans les caractéristiques des matériaux (page 154 ).


On a : σ i = N / B0 - M × v’0 / I0 avec : N = Ftc Force inconnue des câbles de continuité intérieur M = Mpp + MGT7 + Mhpi. + Ftc × e0 (somme des moments en S3)

- Mpp Moment de poids propre en section S3 ; - MGT7 Moment du au gradient thermique +7° en section S3 ; - Mhpi. Moment hyper statique des câbles de continuité centraux (fonction de Ftc) ; - Ftc × e0 Moment isostatique de précontrainte des câbles de continuité.

e0 est l’excentricité des câbles (cote du centre de gravité des câbles par rapport au centre de gravité de la section de béton). e0 est négatif, car les câbles passent en partie basse de la section dans les goussets du hourdis inférieur :

e0 = -v’ + d’ avec d’ distance du cdg des câbles à la fibre inférieure. Comme déjà dit, la couverture de béton des câbles doit être égale à un diamètre de gaine. Si l’on considère, par exemple, des câbles 12T15s de diamètre 8 cm :

- d = 0,12 m si les câbles sont disposés sur un lit ; - d = 0,16 m si les câbles sont disposés sur 2 lits.

L’inégalité σi ≥ σ tlim permet de calculer Ftc. Connaissant Ftc, on en déduit le nombre de câbles nécessaires, en divisant par la force Fut d’un câble, sachant que :

- l'unité des câbles sera la même que celle du câblage de fléau et le nombre de câbles sera pair et supérieur ou égal à deux.

- la force par câble Fut sera calculée en tenant compte de 10 % de pertes (ce pourcentage correspond aux pertes instantanées et à une faible partie des pertes différées).

- la tension du câble à la mise en tension, donc avant toute perte, est égale à : σ p,max = Min (0,8 fpk ; 0,9 fp01k).

3.6.2 - Câbles de continuité des travées de rive

Pour les travées de rive, le principe est le même : on limite la contrainte σi en fibre inférieure de la section S1. On effectue ce calcul, lorsque la traction est la plus grande possible, soit juste après la mise en tension des câbles de continuité. À cette époque, on considère que le béton du clavage de rive est âgé d’environ 14 jours. D’ou : σi ≥ σ tlim = -0,5 × fctm(j) avec j age du béton au clavage de la travée de rive soit 14 jours avec : σ i = N / B0 - M × v’0 / I0 et : N = Ftr Force inconnue des câbles de continuité intérieur de rive M = Mpp + MGT7r + Mhpir. + Ftr × e0 (somme des moments en S1)


Ces moments sont les suivants :

- Mpp Moment de poids propre en section S1 ; - MGT7r Moment du au gradient thermique +7°C en section S1 ;

S 3

M GT7

P 1

S 1 S 2

C 0 P 2

C 3

M GT7r

Γ × L r

Moment dû au gradient thermique

- Mhpir. Moment hyper statique des câbles de continuité centraux (fonction de Ftc).

Ces câbles ne passent pas dans la section S1, mais tendus en phase hyperstatiques, ils y créent un moment hyperstatique ;

S 3

M hpi

P 1

S 1 S 2

C 0 P 2

C 3

M hpi r

Γ × L r

Moment hyperstatique des câbles centraux

- Ftr × e0 Moment isostatique de précontrainte des câbles de continuité de rive. Ces

câbles sont tendus en phase isostatique et ne créent donc pas de moment hyperstatique.

e0 , l’excentricité des câbles de continuité de rive est la même qu’en travée courante, car les section S3 et S1 ont mêmes caractéristiques. L’inégalité σi ≥ σ tlim permet de calculer Ftr. Connaissant Ftr, on en déduit le nombre de câbles nécessaires, en divisant par la force Fut d’un câble, sachant que, comme pour les travées courantes :

- l'unité des câbles sera la même que celle du câblage de fléau et le nombre de câbles sera pair et supérieur ou égal à deux.

- la force par câble Fut sera calculée en tenant compte de 10 % de pertes (pertes instantanées et une faible partie des pertes différées).

- la tension du câble à la mise en tension, donc avant toute perte, est égale à : σ p,max = Min (0,8 fpk ; 0,9 fp01k).

Les câbles sont disposés dans les goussets du hourdis inférieurs et sont ancrés dans des bossages situés sur ces bossages (Voir les schémas suivants).


Exemple d'ancrage d'un câble de continuité 12T15s dans un caisson Autre exemple de gousset inférieur (bossage non représenté) :

0.035HA20

HA16

HA16

HA12

HA12 HA12

Cadre HA10

0.030

0.030

En travées de rive, à l’extrémité près des culées, les câbles sont remontés dans les âmes, et sont ancrés sur toute la hauteur de l’entretoise.


FEUILLES A RENDRE EN FIN D'APPLICATION ET



APPLICATION 5

DETERMINATION DE LA PRECONTRAINTE DE CONTINUITE INT ERIEURE

( feuille à rendre en fin de séance )

*** PROJET n°

*** Equipe n°

1 - Caractéristiques de l'ouvrage

Nombre de travées

Portée des travées de rive mètres

Portée de la travée courante mètres

Coefficients alpha ( tables de Marsac )

Coefficients Gamma ( Sections de calcul en rive)

Section a la clef : B0 = m² I0 = m4

Section sur pile : B1 = m² I1 = m4

2 - Matrice de calcul des moments sur pile

M1 q1 M2 = x q2 M3 q3 q4

3 - Calcul des moments de poids propre

Moments sur appuis P1 P2 P3 Fléaux Clavage de rive Clavage central fin de construction

Moments à la clé travée 1 travée 2 travée 3 travée 4 Fléaux Clavage de rive Clavage central fin de construction


4 - Moments dus à un gradient thermique de +7°C

Moments sur piles P1 P2 P3

Moments à la clé travée

1 travée

2 travée

3 travée

4

5 - Moments hyperstatiques de la précontrainte inté rieure de continuité

Type de câbles choisi : Force par câble : MN Sigma limite

(centre) : MPa

Rapport Béta (lcab/L) : Sigma limite (rive) :

MPa

e0r exc. travée de rive : Distance du câble

à la FI :

e0c exc. travée de centrale : Distan ce du câble à la FI :

Mhpi = λ x F e 0 P1 P2 P3

valeur de λ :

6 - Détermination de la précontrainte intérieure de continuité

préc. intérieure travée 1

travée 2

travée 3

travée 4

F préc. Calculée nombre de câbles calculés nombre de câbles choisis


APPLICATION 5

DETERMINATION DE LA PRECONTRAINTE DE CONTINUITE INT ERIEURE

( feuille à insérer en annexe à la note de calcul d u POA )

*** PROJET n°

*** Equipe n°

1 - Caractéristiques de l'ouvrage

Nombre de travées

Portée des travées de rive mètres

Portée de la travée courante mètres

Coefficients alpha ( tables de Marsac )

Coefficients Gamma ( Sections de calcul en rive)

Section a la clef : B0 = m² I0 = m4

Section sur pile : B1 = m² I1 = m4

2 - Matrice de calcul des moments sur pile

M1 q1 M2 = x q2 M3 q3 q4

3 - Calcul des moments de poids propre

Moments sur appuis P1 P2 P3 Fléaux Clavage de rive Clavage central fin de construction

Moments à la clé travée 1 travée 2 travée 3 travée 4 Fléaux Clavage de rive Clavage central fin de construction


4 - Moments dus à un gradient thermique de +7°C


Moments à la clé travée

1 travée

2 travée

3 travée

4

5 - Moments hyperstatiques de la précontrainte inté rieure de continuité

Type de câbles choisi : Force par câble : MN Sigma limite

(centre) : MPa

Rapport Béta (lcab/L) : Sigma limite (rive) :

MPa

e0r exc. travée de rive : Distance du câble à la FI :

e0c exc. travée de centrale : Distance du câble à la FI :

Mhpi = λ x F e 0 P1 P2 P3

valeur de λ :

6 - Détermination de la précontrainte intérieure de continuité

préc. intérieure travée 1

travée 2

travée 3

travée 4

F préc. calculée

nombre de câbles calculés

nombre de câbles choisis


TABLES DE MARSAC


COEFFICIENTS DE SOUPLESSE ET ROTATIONS ISOSTATIQUES D'EXTRÉMITÉ

SOUS UNE CHARGE RÉPARTIE DE DENSITÉ CONSTANTE DISPOSÉE

PAR TRAVÉE ENTIÈRE

Travée de rive

α = 0 ; α = 0,1 ; α = 0,2 ; α = 0,3

I constante

L r

α I 0

L r I 1

Travée symétrique

L

I 0 I 1


Cas de la travée de rive

Lr Portée de la travée de rive α Rapport entre la longueur de hauteur constante et la

portée I0 Inertie de la partie de hauteur constante sur culée I1 Inertie du tablier sur pile

p Charge uniforme de la travée de rive E Module du béton a, b, c Coefficients de souplesse de la travée ω" Rotation de droite (sur pile) sous la charge p

Interpoler entre les valeurs de I0 / I1 puis entre les valeurs de α α = 0,00

I0 / I1 1,00 0,50 0,40 0,30 0,20 0,15 0,12 0,10 0,08 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 E I0 a / Lr 0,3333 0,3103 0,3029 0,2934 0,2802 0,2709 0,2637 0,2579 0,2509 0,2420 0,2364 0,2296 0,2210 0,2092 0,1898 E I0 b / L r 0,1667 0,1350 0,1261 0,1153 0,1015 0,0927 0,0863 0,0814 0,0757 0,0689 0,0649 0,0603 0,0548 0,0478 0,0378 E I0 c / L r 0,3333 0,2199 0,1924 0,1619 0,1269 0,1068 0,0934 0,0837 0,0732 0,0616 0,0552 0,0483 0,0407 0,0319 0,0210 E I0 ω" / (p L r

3) 0,04167 0,03142 0,02864 0,02537 0,02133 0,01882 0,01706 0,01574 0,01424 0,01251 0,01151 0,01038 0,00908 0,00751 0,00538

α = 0,10


3) 0,04167 0,03242 0,02987 0,02686 0,02309 0,02073 0,01906 0,01778 0,01634 0,01464 0,01366 0,01254 0,01123 0,00961 0,00736


α = 0,20


3) 0,04167 0,03353 0,03126 0,02856 0,02515 0,02298 0,02144 0,02025 0,01890 0,01729 0,01635 0,01527 0,01400 0,01240 0,01012 α = 030


3) 0,04167 0,03475 0,03279 0,03046 0,02747 0,02556 0,02418 0,02312 0,02190 0,02044 0,01957 0,01858 0,01739 0,01588 0,01369

Cas de la travée centrale symétrique

L Portée de la travée symétrique I0 Inertie de la partie de hauteur constante sur culée I1 Inertie du tablier sur pile

p Charge uniforme de la travée centrale E Module du béton a, b Coefficients de souplesse de la travée ω' Rotation de gauche sous la charge p

Interpoler entre les valeurs de I0 / I1

I0 / I1 1,00 0,50 0,40 0,30 0,20 0,15 0,12 0,10 0,08 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 E I0 a / L 0,3333 0,2550 0,2349 0,2119 0,1842 0,1674 0,1558 0,1470 0,1372 0,1258 0,1192 0,1117 0,1030 0,0922 0,0769 E I0 b / L 0,1667 0,1451 0,1388 0,1310 0,1208 0,1140 0,1091 0,1052 0,1006 0,0949 0,0915 0,0875 0,0827 0,0762 0,0664 - E I0 ω' / (p L 3) 0,04167 0,03627 0,03469 0,03275 0,03020 0,02851 0,02727 0,02629 0,02514 0,02374 0,02289 0,02189 0,02066 0,01905 0,01659


Annexe 3 : Récapitulatif des efforts dans la structure et détermination des différentes familles de câbles 1 - Moment de poids propre des fléaux : ==> nf câbles de fléau en section S2

ppML Lr L r

S1 S2 S3

2 - Moment de la partie coulée sur cintre :

pp2M

ΓLLr L r

S1 S2 S3

3 - Moment du au clavage central : On le néglige

G3Mvc

0,5 P 0,5 P

4 – Gradient thermique : Elévation de température de la fibre supérieure

GTM > 0

5 – Mt hyper des câbles de continuité centraux ==> ntc câbles en S3 et ntr câbles en S1

hM = K Ftc

tcn câblestrn câbles

Lβ

S1 S2 S3

joursjpour

trn

14

liminf

=

==>σ≥σ

joursjpour

tcn

5

liminf

=

==>σ≥σ

6 – Equipements : charge uniforme qs (poids des trottoirs et de la chaussée)

qsM 7 – Charges d'exploitation : Véhicules UDL et TS + piétons sur trottoirs

TsUDL + piétons sur travées 1 et 2

miniM

Ts

UDL + piétons sur travée 3

maxiM

8 – Fluage :

flM > 0

9 – Mt hyper des câbles extérieurs ==> nc1 câbles en travée 1 –nc2 câbles en travée 2 - nc1 câbles en travée 3

hM = % M

cen câblescen câbles

S1 S2 S3 iso clef

inilàserviceen

cen

inf'

liminf ==>σ≥σ pour S2, puis S1 et S3



Chapitre 3 Câblage de continuité extérieur


4. - DETERMINATION DU CABLAGE DE CONTINUITE EXTERIE UR

L'objet de ce chapitre est de déterminer le câblage de continuité extérieur et de finir l'étude de la flexion générale et de l'effort tranchant.

4.1 - Plan de la note de calcul

La note de calcul s'articulera suivant le plan donné ci-après pour l'exposition de la méthode. A l'issue des calculs précédents, on connaît :

- le câblage de fléau, - le câblage de continuité intérieur, - la matrice donnant les moments sur pile pour des chargements uniformes des travées, - l'effet du gradient thermique.

Il reste à effectuer les calculs suivants :

4.1.1 - Calcul des moments dus au poids des équipements

Détermination de façon précise du poids au mètre linéaire des équipements et calcul des moments correspondants.

4.1.2 - Calcul des moments dus aux charges d'exploitation

Les charges d'exploitation, ici les charges routières et de trottoirs, sont définies par la partie 3 du règlement européen appelé "Eurocode 1". Les charges d'exploitation considérées dans ce projet seront celles de l'Eurocode 1. Pour le type d'ouvrage étudié, les charges déterminantes sont les charges du "modèle de charge 1" (représentant le poids des voitures et des camions), éventuellement augmentées des charges de trottoirs (représentant le poids des piétons).

4.1.3 - Calcul des moments dus au fluage

Il est dû à la méthode de construction par phases. Le moment de fluage sera pris en compte de façon forfaitaire comme expliqué plus loin.

4.1.4 - Détermination de la précontrainte extérieure - Calcul effort tranchant

Il s'agira de déterminer la précontrainte extérieure nécessaire et la position des déviateurs, qui conditionne l'inclinaison des câbles, afin de satisfaire aux deux conditions suivantes :

- ne pas dépasser les contraintes normales admissibles, pour l'ouvrage en exploitation, - ne pas dépasser les contraintes de cisaillement admissibles (par souci de simplification,

on se limitera en fait à vérifier que le cisaillement est inférieur à 2,5 MPa). Moyennant les hypothèses simplificatrices exposées plus loin, vous déterminerez la force de


précontrainte nécessaire pour vérifier la flexion longitudinale à la clé en fibre inférieure dans les travées courantes et dans les travées de rive. Vous déterminerez également la position du déviateur nécessaire pour vérifier la condition sur le cisaillement.

4.1.5 - Vérification sur pile

Une fois déterminée la précontrainte nécessaire aux clavages des travées centrales et de rive, vous vérifierez que les contraintes normales en service sont admissibles sur pile en fibre supérieure.

4.2 - Calcul des moments dus aux équipements

A partir du plan des équipements de l'ouvrage, on fera un métré pour calculer les surfaces et linéaires des différents équipements du pont. À l’aide de ce métré et à partir des données ci-dessous, on peut calculer le poids propre au mètre linéaire des équipements qs. Voici les poids volumiques ou linéiques de quelques éléments courants :

- enrobé : 24 kN/m3 (à majorer par 1,4) - chape d'étanchéité : 22 kN/m3 (à majorer par 1,2) - bordure T1 : 0,53 kN/ml - garde-corps : 0,20 à 0,30 kN/ml - corniche métal : 0,30 à 0,50 kN/ml - BN 1 : 5,20 kN/ml - BN 4 : 0,70 kN/ml - Glissière : 0,20 kN/ml

À noter que :

- le poids du trottoir intervient dans le calcul du poids des équipements ; - les corniches caniveaux doivent être calculées comme pleine d’eau, car leur

évacuation peut être bouchées accidentellement ; - le poids donné pour la BN4 ne comprends pas le poids de la longrine d’ancrage en

béton (qui est donc à ajouter). Connaissant qs, on utilise la matrice des moments [M] pour déterminer les moments sur piles (section S2) avec p1 = p2 = p3 = qs. Puis on détermine les moments en travées 1 et 2 (section S1 et S3)

4.3 - Calcul des moments dus aux charges d'exploitation

Les charges de trottoirs sont censées représenter les piétons. Les charges du "modèle de charge 1" de la partie 3 de l'Eurocode 1 sont censées représenter les voitures et les camions. Elles sont constituées de charges réparties et de charges ponctuelles qui sont cumulées.


Nombre de voies de circulation La largeur chargeable est la largeur entre "bute-roue". C'est la largeur entre bordures de trottoirs s'ils existent, sinon on considère que c'est la largeur entre barrières de sécurité. Le nombre de voies est égal à la partie entière du quotient entre la largeur chargeable et une largeur de voie de 3 mètres. On définit ainsi un certain nombre de voies de circulation de 3 mètres de largeur et une zone restante appelée "aire résiduelle". On appelle voie 1 la voie donnant l'effet le plus défavorable vis-à-vis du phénomène considéré, et ainsi de suite pour les autres voies. Pour la flexion longitudinale d’un caisson unique, la position de la voie 1 est indifférente. Charges routières réparties (appelées UDL) Les charges réparties sont placées entre les zéros des lignes d'influence de la façon la plus défavorable possible (toutes les zones positives pour le moment maximum et toutes les zones négatives pour le moment minimum). Les charges réparties sont les suivantes :

La première voie est chargée avec une intensité de 0,9 t/m². Les autres voies et la zone résiduelle sont chargées avec une intensité de 0,25 t/m².

Charges routières ponctuelles (appelées TS) Les charges ponctuelles sont constituées de 2 essieux espacés de 1,20 mètre. L'intensité de chaque essieu varie en fonction de la voie considérée :

- voie 1 : 30 t par essieu (60 t au total) - voie 2 : 20 tonnes par essieu (40 t au total) - voie 3 : 10 tonnes par essieu (20 t au total) - autres voies : pas de charges ponctuelles

Ces valeurs intègrent les coefficients de majoration dynamique. Attention : il ne peut y avoir qu'une seule série de tandem TS sur l'ouvrage Charges de trottoirs Les trottoirs sont chargés entre zéros des lignes d'influence de la façon la plus défavorable possible avec une charge répartie d'intensité 0,25 t/m². Les cas de charges déterminants sont identiques à ceux de la charge UDL. Classe de trafic A chaque ouvrage est associé une classe, fonction de l'intensité du trafic supporté par l'ouvrage. Il existe 3 classes de trafic (on prendra la classe 2). En fonction de la classe de trafic les valeurs caractéristiques des charges routières définies ci-avant doivent être pondérées par les coefficients suivants :


charges ponctuelles TS charges réparties UDL 1° voie autres voies 1° voie autres voies et

aire résiduelle 1° classe 1 1 1 1 2° classe 0,9 0,8 0,7 1 3° classe 0,8 0,5 0,5 1

(ces coefficients ne s'appliquent pas aux charges de trottoir)

____________

Calcul des moments maximum et minimum sur pile et à la clé. Pour calculer les moments maximum et minimum dans les sections d'études, les cas de charge à considérer sont les suivants : • Section de clef de la travée centrale (S3)

S 3

T S

M max

M min

T S

U DL

U DL U

DL

• Section S2 sur pile P1

S 2

T S

T S

U

DL M max

M min U

DL

• Section de clef de la travée de rive (S1) :

S 1

T S U

DL

M max

M min

U

DL

T S U

DL

1°) effet des charges réparties appliquées entre zéros des lignes d'influence On calcule la charge au mètre linéaire correspondant à UDL. Puis on étudie 2 cas de charge élémentaires : Travée 1 chargée et travée 2 chargée. Pour calculer les moment sur piles et en travées sous ces 2 cas de charge élémentaires, on utilise la matrice [M] puis les formules des moments dans les poutres hyperstatiques.


On combine ensuite ces 2 cas de charge élémentaire selon les cas de charge du paragraphe précédent pour obtenir les moments maximum et minimum dans les sections S1, S2 et S3. 2°) effet des charges ponctuelles Pour calculer les moments maximum et minimum dus à TS, on évalue les moments des cas de charge élémentaires comme précédemment : Travée 1 chargée et travée 2 chargée. Pour cela, on ne peut pas utiliser la matrice [M] réservée aux charges réparties. On procède donc comme suit : hypothèses simplificatrices a - les deux essieux espacés de 1,2 mètres seront modélisés comme une charge unique appliquée au milieu des deux essieux. b - cette charge ponctuelle sera appliquée uniquement au milieu de chaque travée (travées de rive et travée centrale). Les rotations isostatiques nécessaires à l'application du théorème des 3 moments sont données par les formules :

[ ]∫

−−= L

0 (x)IE

dxM(x)

L

x1w' et [ ]∫=

L

0 (x)IE

dxM(x)

L

xw"

Pour les travées centrales, ces rotations pourront être calculées par exemple par la méthode des trapèzes, en considérant la fonction I(x) suivante :

I x I Kx

Loù K

I

I( )

/ ,

= + −

=

−0

2 5 2

1

0

0 4

1 12

1

et en décomposant la longueur L en au moins 20 intervalles. Du fait de la symétrie des charges (et donc de M(x)) et des inerties, on a w"w' −= Pour la travée de rive droite, il n'y a plus symétrie pour les inerties et l'on calculera w w' " et en considérant 2 zones d'intégration :

0 < x ≤ (1-Γ) Lr 1I

IKoù

L

x21K1II(x)

0,4

0

1

5/22

0 −

=

−+=

avec L longueur de la travée centrale (1-Γ) Lr < x ≤ Lr I(x) = I0

Pour la travée de rive gauche, on prendra les opposés des rotations obtenues pour la travée de rive droite, en opérant une symétrie.

4.4 - Calcul des moments dus au fluage

A la fin de la construction l'état de contrainte dans l'ouvrage dépend (presque) uniquement du phasage de construction (état E1).


Cependant, sous l'effet du fluage, l'ouvrage tend à "perdre la mémoire de sa construction" partiellement et l'état de contrainte tend vers ce qu'il aurait été si l'ouvrage avait été coulé sur cintre (état E2). En fait, après fluage (Etat E), l'ouvrage se situe environ à mi-chemin de ces deux états, on

écrit alors : )(2

121 EEE += . Toutefois, les programmes de calculs actuels permettent de

prendre en compte une loi de fluage scientifique plus rigoureuse. Les vérifications doivent évidemment être menées avant fluage (c'est à dire à la mise en service) et après fluage (temps ∞). Le moment de fluage est positif et crée donc une traction en fibre inférieure à la clé.

+

Moment de fluage dans le cas d'un pont symétrique à trois travées Pour simplifier les calculs, l'ouvrage sera dimensionné en considérant que le fluage crée une contrainte de traction de 1,5 MPa en fibre inférieure à la clé de la travée centrale. Cette valeur de traction permettra de calculer le moment de fluage (car σfl = - Mfl v’0 / I0). Dans le cas des ouvrages à quatre travées, on supposera pour simplifier que le moment de fluage est constant sur les travées courantes

+

Moment de fluage simplifié dans le cas d'un pont symétrique à quatre travées

4.5 - Détermination de la précontrainte de continuité extérieure

4.5.1- Généralités

La détermination de la précontrainte extérieure est une opération délicate qui nécessite plusieurs itérations. La précontrainte extérieure doit vérifier plusieurs conditions : 1) Sur pile, la précontrainte intérieure en place (câblage de fléau) ne reprend que le poids propre de la structure. La précontrainte extérieure doit donc s'opposer aux effets :

• des équipements • des charges d'exploitation routières et de trottoir

2) A la clé, la précontrainte intérieure en place ne reprend que l'effet du gradient thermique en construction. La précontrainte extérieure doit donc s'opposer aux effets :

• des équipements • des charges d'exploitation routières et de trottoir


• du fluage 3) De plus, un câble incliné réduit l'effort tranchant. La précontrainte extérieure doit permettre de ramener en tout point les contraintes de cisaillement d'effort tranchant à un niveau admissible. Le calcul sera mené de façon à satisfaire aux trois conditions ci-dessus. Toutefois, afin d'éviter un trop grand nombre d'itérations on retiendra un certain nombre d'hypothèses très simplificatrices.

4.5.2- Hypothèses simplificatrices

Pour les câbles de précontrainte extérieurs, on ne calculera pas les moments hyperstatiques comme cela a été fait pour les câbles de continuité intérieurs, mais on appliquera les simplifications ci-dessous. Généralement, pour les câbles de continuité, le moment hyperstatique total est positif, alors que le moment isostatique est positif sur pile (e0 > 0) et négatif à la clé (e0 < 0). A la clé, l'effet hyperstatique des câbles s'oppose à l'effet isostatique, c'est à dire que les câbles perdent de leur efficacité du fait de l'hyperstaticité, alors que sur pile c'est le contraire. Pour la précontrainte extérieure, uniquement, on fera donc l'hypothèse très simplificatrice suivante :

(M iso + Mhyper)clé = 3/4 (Miso)clé Pour les travées centrales Cela permettra de calculer une valeur très approchée du moment hyperstatique, fonction de la force de précontrainte extérieure. A partir de cette valeur du moment hyperstatique, il est possible de calculer le moment hyperstatique sur pile et en travée de rive. (Mhyper)clé

+

Moment hyperstatique de précontrainte extérieure dans le cas d'un pont symétrique à 3 travées

(Mhyper)clé

+

Moment hyperstatique simplifié de la précontrainte extérieure dans le cas d'un pont symétrique à 4 travées

(par souci de simplification, dans ce dernier cas, on considère que le moment fléchissant est constant sur les deux travées centrales)


4.5.3 - Calcul de la force de précontrainte nécessaire

Les calculs seront menés en tenant compte de l'ensemble des pertes (instantanées et différées), soit :

- 20 % de pertes pour les câbles de fléau, - 20 % de pertes pour les câbles de continuité intérieurs, - 10 % de pertes pour les câbles de continuité extérieurs.

On déterminera la force de précontrainte dans les travées de rives et dans les travées courantes uniquement. En effet, l'expérience montre que la précontrainte ainsi déterminée est largement surabondante sur pile. A la clé d'une travée courante (Section S3)

La contrainte en fibre inférieure à la clé est : 0

0

0

'

I

vM

B

Ni ×−=σ avec v'0 > 0

Le calcul se fait à l’infini, sous précontrainte minimale et sous charges maximales. N représente la somme des forces des câbles de précontrainte traversant la section de clé ; M représente la somme des moments dus aux actions suivantes, à la clé de la travée courante :

- poids propre - équipements - charges d'exploitation (charges routières et de trottoir maximum) - câbles de continuité intérieure (effets isostatique et hyperstatique) - câbles de continuité extérieure (effets isostatique et hyperstatique) - gradient thermique (∆θ = +7°C × 0,6 = + 4,2°C) - fluage

Les câbles de continuité extérieurs sont à prendre en compte avec les hypothèses précédentes, soit :

(M iso + Mhyper)clé = 75% (Miso)clé et on prendra e0 clé = - v'0 + e

clé + 0,10 m où e

clé est l'épaisseur du hourdis inférieur à la clé.

Nombre de câbles Ayant calculé σi = f(Fext) pour les travées courantes, on détermine un nombre de câbles extérieurs minimum à la clé des travées courantes pour limiter les traction du béton, soit :

σi ≥ - 0,5 × fctm Le nombre de câbles extérieurs sera déterminé à partir des forces utiles calculées en prenant en compte l'ensemble des pertes (instantanées et différées) comme indiqué précédemment, soit 10 % de pertes. On choisira l'unité des câbles de façon à obtenir de 3 à 5 paires de câbles par travée courante. On rappelle que l’on considère la valeur caractéristique minimale de la précontrainte :

σ p = rkinf × σ pm avec rkinf = 0,9. On a donc : σ p = rkinf × σ pm = rkinf × (1 – p) × σ p,max


La force utile des câbles peut donc être estimée par : Fut = s × σ p (s section du câble) A la clé d'une travée de rive (Section S1) Le raisonnement est le même que pour la travée centrale. Attention cependant :

- à une distance Γ Lr de la culée, les moments hyperstatiques ne valent qu'une fraction Γ des moments hyperstatiques sur pile.

- la précontrainte de continuité intérieure de la travée de rive ne crée qu'un moment isostatique, alors que la précontrainte de continuité de la travée centrale ne crée qu'un moment hyperstatique.

Connaissant le nombre de câbles en travée centrale, on procède de la même façon pour déterminer le nombre de câbles nécessaire en travées de rive (Section S1). Si on choisit des câbles filants sur toute la longueur du pont (ouvrages de dimension modeste), on retiendra le nombre maximum ainsi obtenu (travée courantes et travées de rive). Sinon on arrête certains câbles sur piles, derrière les entretoises. Une fois le nombre de câbles extérieurs déterminé, on vérifie que les contraintes normales sur pile et à la clé en fibres supérieure et inférieure sont admissibles. Vérification à la clé des travées (Section S1 et S3) Pour la clé des travées on utilise les formules précédentes, avec le bon nombre de câbles et donc des forces arrondies à celles des unités de précontrainte choisies (F = n × Fut). On se vérifiera principalement que :

- les contraintes en fibre inférieure sont supérieures à la contrainte de traction admissible, σtlim = - 0,5 × fctm

- les contraintes en fibre supérieure sont inférieure à la contrainte de compression admissible σ clim = 0,6 × fck.

Vérification sur pile (Section S2) La contrainte en fibre supérieure sur pile est égale à :

1

1

0 I

vM

B

Ns ×+=σ avec v1 >0 et e0 pile = v1 - 0,30 m

N représente la somme des forces des câbles de précontrainte traversant la section sur pile, et M la somme des moments dus aux actions suivantes, calculés en S2 :

- poids propre - équipements - gradient thermique négatif (∆θ = -5°C × 0,6 = - 3°C) - charges d'exploitation (charges routières et de trottoir en valeur minimum) - câbles de fléau - câbles de continuité intérieure centraux (effet hyperstatique) - câbles de continuité extérieure (effets isostatique et hyperstatique)


Remarques : Le fluage n’est pas pris en compte car son effet serait favorable dans la section sur pile, et que l'ouvrage doit également être réglementaire avant fluage (à la mise en service). On n'oubliera pas de prendre en compte le moment hyperstatique de précontrainte extérieure calculé en fonction du nombre de câbles trouvé en travée courante. On se vérifiera principalement que :

- la contrainte en fibre supérieure est supérieure à la contrainte de traction admissible, σtlim = - 0,5 × fctm

- la contrainte en fibre inférieure est inférieure à la contrainte de compression admissible, σ clim = 0,6 × fck.

4.7 - Vérification vis a vis de l'effort tranchant

Nous avons obtenu une force de précontrainte extérieure Fext. Nous allons maintenant vérifier l'effort tranchant (en un seul point pour simplifier, mais il convient de le vérifier en tout point évidemment). L'objet de ce qui suit est de déterminer l'angle αc nécessaire, c'est à dire la position des déviateurs. Un câble incliné réduit l'effort tranchant, de sorte que : Vréduit = V - F sin αc On considérera un cisaillement admissible τadmissible égal à 2,5 MPa (en fait le calcul est plus compliqué que cela car le cisaillement admissible en un point dépend de la contrainte normale en ce point). Le cisaillement augmente à mesure que l'on s'éloigne de la clé. Le raisonnement logique veut que l'on regarde en chaque point en s'éloignant de la clé, si l'on vérifie :

τ inférieur à τadmissible sans réduction d'effort tranchant. On place alors le déviateur à l'endroit où τ est égal à τadmissible. On regarde ensuite si la pente ainsi obtenue est suffisante pour que l'on ait également τ inférieur à τadmissible entre la pile et le déviateur en tenant compte de l'inclinaison des câbles. Cependant, cette méthode nécessite de connaître en tout point le cisaillement, y compris celui dû aux charges d'exploitation, ce qui est trop long et fastidieux dans le cadre d'un calcul manuel. On ne fera donc la vérification qu'en un seul point à la distance h1/2 de l'appui et on en déduira la position du déviateur de telle sorte que τ h1/2 soit égal à τadmissible. Si le déviateur est avant le quart de travée, il conviendrait de recommencer tout le calcul en épaississant les âmes. Effet Resal pour les ponts de hauteur variable Pour les ponts de hauteur variable le calcul de l'effort tranchant doit également être mené en prenant en compte l'effet Résal.


Pour simplifier, nous effectuerons le calcul sur la section verticale.

Hourdis supérieur Hourdis inférieur

Soient : - σ la contrainte moyenne dans le hourdis inférieur, concomitante de l'effort tranchant maximum, qu'on estimera à 10 MPa;

- S la surface du hourdis inférieur (hormis les âmes), - α' l'angle du hourdis inférieur avec l'horizontale, On obtient : V = Vtotal - VRésal avec VRésal = S x σ sin(α')

4.8 - Simplifications effectuées

A l'issue des calculs explicités ci-dessus, nous avons déterminé un premier câblage qui pourrait servir de point de départ à un calcul plus poussé. Il convient cependant de se rappeler les principales simplifications qui ont été effectuées. - Moment de poids propre. Nous avons négligé l'effet des clavages et supposé pour les ouvrages à quatre travées que les clavages de part et d'autre du fléau central et le passage sur appui définitif au milieu étaient simultanés. - Fluage. Le fluage a été pris en compte forfaitairement sous la forme d'une réserve de contrainte à la clé. - Gradient thermique - Précontrainte intérieure. L'effet du gradient thermique et le calcul de la précontrainte intérieure de continuité doivent normalement être calculés en tenant compte du phasage réel, et donc des diverses phases hyperstatiques de l'ouvrage. - Câblage extérieur. La simplification la plus importante a été de dissocier l'étude de la flexion longitudinale et de l'effort tranchant, alors que les deux sont liées. La position des déviateurs, déterminée par des considérations sur l'effort tranchant, influe de manière importante sur le moment hyperstatique de précontrainte et donc sur la flexion longitudinale. Notons que rapprocher le déviateur de la pile est bénéfique vis à vis de l'effort tranchant (réduction plus importante) mais est mauvais vis à vis de la contrainte normale en fibre inférieure à la clé (les hypothèses pour la prise en compte des moments hyperstatiques étant indépendantes de la position des déviateurs étaient donc grossières). La position du déviateur influe donc sur la flexion longitudinale et donc sur la contrainte dans le hourdis inférieur, et donc sur l'effet Résal, et finalement sur l'effort tranchant ! ...


La position du déviateur influe sur la flexion longitudinale et donc sur la contrainte de cisaillement admissible τadmissible = f(σ). On voit facilement à partir de ces quelques considérations que la détermination d'un câblage nécessite plusieurs aller-retours et tâtonnements, d'autant que les principes de câblage évoqués ne sont que schématiques. Il peut être intéressant par exemple de mettre plus de câbles de continuité intérieurs que nécessaire vis à vis du seul gradient thermique, afin de faire des économies sur la précontrainte extérieure si celle-ci s'avère surabondante vis à vis de l'effort tranchant. Il faut également noter que la précontrainte extérieure ne va pas forcément de culée à culée mais peut s'ancrer sur pile. Il faut donc savoir marier astucieusement les différentes familles de câbles extérieurs pour optimiser le câblage. Enfin, les contraintes normales et de cisaillement doivent être vérifiées en tout point de l'ouvrage. Nous voyons donc que le calcul effectué a été schématique, compte tenu du temps imparti et des moyens de calcul utilisés, mais a cependant le mérite de permettre d'aborder le fonctionnement de l'ouvrage, le rôle des différentes familles de câbles, et les éléments qui conditionnent son dimensionnement.

4.8 – Dispositions constructives des câbles extérieurs

Quelques schémas relatifs à la précontrainte de continuité (intérieure et extérieure) sont présentés ci-après

Pont de La Flèche sur le Loir


Ancrage de câble extérieur de type 12T15 :

Système 1 : torons nus - Système 2 : torons protégés (gainés graissés ou gainés cirés)

Détail de l'ancrage et de son capot


Perspective des câbles avec leurs déviateurs :

Principe de la déviation des câbles par tube courbe noyé dans le béton (entretoise sur pile ou déviateur)

Autre type de déviateur métallique nacrés dans le hourdis inférieur du caisson :

(Pont sur la rivière d'Auray)


Ferraillage d'un déviateur en béton avec tubes courbes (cas spécial d'un arrêt de quelques câbles)

Exemple de déviateur en travée

_____________________________________________________________________________ E

.S.T

.P.-T

.P.3

/ aoû

t 20

15

P

rojet d

e Po

nt

page 2

23

P2 P1

C0 P1

P2 P3

P3 P4

P12 C13

40.00

58.70

10.00 10.00

14.68

13.00

14.67

19.55 19.55 13.00

14.68

13.00 19.55

14.67

13.00 19.55

66.50 19.95

13.30 19.95 13.30

22.15 14.75 14.75 22.15

57.30 14.175 14.175

8 .50 17.00 17.00 8.50

58.70

TRAVEE TYPE A

TRAVEE TYPE B

TRAVEE TYPE C

TRAVEE TYPE D

TRAVEE TYPE E

Câbles 19T15 de continu ité intérieurs Câbles 25T15 + 19T15 extérieurs

14.175

E

xemple de câblage extérieur


0.46

0.08

Passag e et an crag e pour pr écontra int e ad di tion nel le

0.03

0.05

Plaq ue d' an crage 2 5T1 5 ou 19 T15

0.80

Passag e et ancrag e pour pr écontra int e ad di tion nel le

Plaq ue d' an crage 1 9T1 5

2.21 0.46 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

0.20 0.20 0.20

2.21 0.46 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

Ancrage et passage des câbles

0.35

2

0.250 Ø 0.125

1.583 1.583

0.04

0

Précon trai nt e ad dit io nn ell e

Câbles extérieurs à la clef de la travée centrale

2.000

0.0

30

0.1

30

R 5

m

R 4

.5 m

Zone d'ancrage des câbles

intérieurs

Déviation et ancrage des câbles extérieurs sur pile


1.00

0.20 0.20

R 5

m

Déviateur en travée

0.60

35 35

Précontrainte extérieure Précontrainte intérieure

Déviateur


Autre exemple de câblage extérieur : Travée de rive :


Travée centrale :


Demi coupe transversale sur pile


Coupe longitudinale sur pile :


Coupe longitudinale et transversale à l'about de la travée de rive :


FEUILLES




APPLICATION 6

DETERMINATION DE LA PRECONTRAINTE DE CONTINUITE EXT ERIEURE

( feuille à rendre en fin de séance )

*** PROJET

n°

*** Equipe

n°

1 - Calcul des moments dus aux équipements

Charge au ml : q = MN/ml

P1 P2 P3

Moments sur piles

travée

1

travée

2

travée

3

travée

4

Moments à la clé

2 - Calcul des moments dus aux charges d'exploitati on

Classe du pont :

Nombre de voies : Charge UDL (MN/m)

Largeur aire résiduelle : Charge TS (MN)

Largeur totale des

trottoirs :

Charge de trottoirs :


moments maxi (>0) UDL

moments mini (<0) UDL

moments maxi (>0) TS

moments mini (<0) TS

moments maxi (>0) trottoir

moments mini (<0) trottoir


Moments à la clé travée 1 travée 2 travée 3 travée 4







3 - Calcul du moment dû au fluage

Moment dû au fluage en travées courantes

4 - Détermination de la précontrainte extérieure de continuité

Type de câbles choisi :

Force par câble : MN Sigma limite : MPa

- RIVE Excentricité : Distance / hourdis inf. :

- CENTRE Excentricité : Distance / hourdis inf. :

- PILE Excentricité : Distance / hourdis sup. :

EN TRAVEES travée

1

travée

2

travée

3

travée

4

Précontrainte utile

Nombre de câbles calculés

Moment hyperstatique retenu

Nombre de câbles choisis


VERIFICATION DES CONTRAINTES (à rendre avec la POA) Contraintes sur la pile P1 (Section S 2) Actions Sig Sup Sig inf MPa Mpa Poids propre Equipements Précontrainte fléau Précontrainte intérieure Précontrainte extérieure Total charges permanentes Charges routières EC1 Maxi Gradient thermique +4,2°C Fluage Total en Charge Maxi Charges routières EC1 Mini Gradient thermique -3°C Total en Charge Mini Contraintes sur la pile P2 (Cas d’un ouvrage à 4 t ravées) Actions Sig Sup Sig inf MPa Mpa Poids propre Equipements Précontrainte fléau Précontrainte intérieure Précontrainte extérieure Total charges permanentes Charges routières EC1 Maxi Gradient thermique +4,2°C Fluage Total en Charge Maxi Charges routières EC1 Mini Gradient thermique -3°C Total en Charge Mini


VERIFICATION DES CONTRAINTES (Suite) Contraintes en travée 1 (Section S 1) Actions Sig Sup Sig inf MPa Mpa Poids propre Equipements Précontrainte intérieure Précontrainte extérieure Total charges permanentes Charges routières EC1 Mini Gradient thermique -3 °C Total en Charge Mini Charges routières EC1 Maxi Gradient thermique 4,2 °C Fluage Total en Charge Maxi Contraintes en travée 2 (Section S 3) Actions Sig Sup Sig inf MPa Mpa Poids propre Equipements Précontrainte intérieure Précontrainte extérieure Total charges permanentes Charges routières EC1 Mini Gradient thermique -3 °C Total en Charge Mini Charges routières EC1 Maxi Gradient thermique 4,2 °C Fluage Total en Charge Maxi


APPLICATION 6 DETERMINATION DE LA PRECONTRAINTE DE CONTINUITE EXT ERIEURE

( feuille à insérer en annexe à la note de calculs du POA )

*** PROJET

n°

*** Equipe

n°

1 - Calcul des moments dus aux équipements

Charge au ml : q = MN/ml

P1 P2 P3

Moments sur piles

travée

1

travée

2

travée

3

travée

4

Moments à la clé

2 - Calcul des moments dus aux charges d'exploitati on

Classe du pont :

Nombre de voies : Charge UDL (MN/m)

Largeur aire résiduelle : Charge TS (MN)

Largeur totale des

trottoirs :

Charge de trottoirs :









Moments à la clé travée 1 travée 2 travée 3 travée 4







3 - Calcul du moment dû au fluage

Moment dû au fluage en travées courantes

4 - Détermination de la précontrainte extérieure de continuité

Type de câbles choisi :

Force par câble : MN Sigma limite : MPa

- RIVE Excentricité : Distance / hourdis inf. :

- CENTRE Excentricité : Distance / hourdis inf. :

- PILE Excentricité : Distance / hourdis sup. :

EN TRAVEES travée

1

travée

2

travée

3

travée

4

Précontrainte utile

Nombre de câbles calculés

Moment hyperstatique retenu

Nombre de câbles choisis


VERIFICATION DES CONTRAINTES (à rendre avec la POA) Contraintes sur la pile P1 (Section S 2) Actions Sig Sup Sig inf MPa Mpa Poids propre Equipements Précontrainte fléau Précontrainte intérieure Précontrainte extérieure Total charges permanentes Charges routières EC1 Maxi Gradient thermique +4,2°C Fluage Total en Charge Maxi Charges routières EC1 Mini Gradient thermique -3°C Total en Charge Mini Contraintes sur la pile P2 (Cas d’un ouvrage à 4 t ravées) Actions Sig Sup Sig inf MPa Mpa Poids propre Equipements Précontrainte fléau Précontrainte intérieure Précontrainte extérieure Total charges permanentes Charges routières EC1 Maxi Gradient thermique +4,2°C Fluage Total en Charge Maxi Charges routières EC1 Mini Gradient thermique -3°C Total en Charge Mini


VERIFICATION DES CONTRAINTES (Suite) Contraintes en travée 1 (Section S 1) Actions Sig Sup Sig inf MPa Mpa Poids propre Equipements Précontrainte intérieure Précontrainte extérieure Total charges permanentes Charges routières EC1 Mini Gradient thermique -3 °C Total en Charge Mini Charges routières EC1 Maxi Gradient thermique 4,2 °C Fluage Total en Charge Maxi Contraintes en travée 2 (Section S 3) Actions Sig Sup Sig inf MPa Mpa Poids propre Equipements Précontrainte intérieure Précontrainte extérieure Total charges permanentes Charges routières EC1 Mini Gradient thermique -3 °C Total en Charge Mini Charges routières EC1 Maxi Gradient thermique 4,2 °C Fluage Total en Charge Maxi


Rappel des sollicitations dans l'ouvrage et détermination des câbles des différentes familles : 1 - Moment de poids propre des fléaux : ==> nf câbles de fléau en section S2

ppML Lr L r

S1 S2 S3

2 - Moment de la partie coulée sur cintre :

pp2M

ΓLLr L r

S1 S2 S3

3 - Moment du au clavage central : On le néglige

G3Mvc

0,5 P 0,5 P

4 – Gradient thermique : Elévation de température de la fibre supérieure

GTM > 0

5 – Mt hyper des câbles de continuité centraux ==> ntc câbles en S3 et ntr câbles en S1

hM = K Ftc

tcn câblestrn câbles

Lβ

S1 S2 S3

joursjpour

trn

14

liminf

=

==>σ≥σ

joursjpour

tcn

5

liminf

=

==>σ≥σ

6 – Equipements : charge uniforme qs (poids des trottoirs et de la chaussée)

qsM 7 – Charges d'exploitation : Véhicules UDL et TS + piétons sur trottoirs

TsUDL + piétons sur travées 1 et 2

miniM

Ts

UDL + piétons sur travée 3

maxiM

8 – Fluage :

flM > 0

9 – Mt hyper des câbles extérieurs ==> nc1 câbles en travée 1 –nc2 câbles en travée 2 - nc1 câbles en travée 3

hM = % M

cen câblescen câbles

S1 S2 S3 iso clef

inilàserviceen

cen

inf'

liminf ==>σ≥σ pour S2, puis S1 et S3



Chapitre 4 Appuis et plans de coffrage


5. - APPUIS ET PLANS DE COFFRAGE

5.1 - Calcul des réactions d'appui en service

Les appareils d'appui se calculent à l’ELU. Mais par simplification, on utilisera ici les catalogues des constructeurs qui sont basés sur les réactions d'appui à l'ELS caractéristique maximum.

Le calcul des réactions d’appui doit prendre en compte :

• le poids propre de l'ouvrage, • les redistributions d'effort par fluage, • les effets hyperstatiques des câbles, • le poids des équipements, • les charges routières Ts et UDL, • les charges de trottoirs (éventuellement), • le gradient thermique cumulable aux charges routières.

Nous calculerons les réactions maximales et les réactions minimales

5.1.2 - Réactions de poids propre

Pour le poids propre de l'ouvrage, on utilisera la décomposition qui résulte du phasage de construction et que nous avons déjà utilisé pour les moments de poids propre :

P 1 C 0 P 2

C 3

1 - Construction des fléaux (Réaction R sur P , 0 en C )

2 - Clavage des travées de rive (Réactions supplémentaires R sur P et R sur C )

3 - Clavage central (Réactions négligées partout)

4 - Ouvrage terminé (somme des Réactions des phases précédentes)

1,1 1

1,2 1

0

0 0,2

1,1 R

1,2 R 0,2 R

0,2 R 1,2 R


• le poids propre du fléau se reporte intégralement sur l'appareil d'appui de la pile considérée,

R1,1 = 2 γ [ B1 + 2 B0 ] Lf / 3

• le poids de la travée coulée sur cintre agit sur une structure isostatique (cf. Chapitre 2):

L r

R 1,2 S

1

S 2

R 0,2

L r

Γ ×

p γ × B 0

=

R0,2 = γ B0 Γ (1 - Γ/2) Lr R1,2 = γ B0 Γ² Lr /2

L'effet des clavages centraux sera à nouveau négligé.

Par contre, il faut ajouter le poids des entretoises sur culée et sur pile à ces réaction d’appui. On évaluera ces poids en faisant un métré approximatif de la surface intérieure des section de pile et de clé et en choisissant une épaisseur d’entretoise (par exemple 2,00 mètres sur culée et 1,50 mètre sur pile). Les plans devront être conformes aux épaisseurs choisies.

5.1.2 – Calcul des autres réactions d’appui

Les autres réactions d’appui sont calculées, après clavage, et donc lorsque la poutre est hyperstatique. Les réactions d’appui sont à calculer sous :

- les redistributions d'effort par fluage, - les effets hyperstatiques des câbles, - le poids des équipements, - les charges routières TS, UDL et de trottoirs maximum et minimum, - le gradient thermique.

Pour calculer ces réactions d’appui on peut appliquer la méthode simple suivante :

- Choisir le cas de chargement qui donne sur l’appui considéré la réaction souhaitée (maximale ou minimale). Par exemple pour la réaction maximale sur la pile P1 , sous les charges UDL, le cas de charge est le suivant :

R max

q

UDL C 0 P 1 C 3 P 2

L r L

Ce cas de charge a déjà été étudié quand on a calculé les moments sous charges UDL. On connaît donc pour ce cas de charge les moments sur appui M1 et M2.


- Pour calculer R0, on écrit le moment sur P1 :

M1 = R0 × Lr – qUDL × Lr

2 / 2

On en déduit R0.

q

UDL

R 0 R 1

R 3 R 2

M 1

M 2

- Pour calculer R1, on écrit le moment sur P2 :

M2 = R0 × (Lr + L) + R1 × L – qUDL × (Lr + L)2 / 2 Dans les cas de charge symétriques , pour calculer R1, on peut aussi utiliser le fait que la somme des réactions d’appui est égale à la résultante des forces verticales appliquées à la poutre.

Cette méthode s’applique lorsque la poutre est chargée (équipements, charges routières), mais aussi si elle ne supporte aucune charge verticale (gradient thermique, fluage, effets hyperstatiques des câbles). Par exemple pour le fluage :

M1 = Mfl = R0 Lr d’où R0 = Mfl / Lr et R1 + R0 = 0 d’où R1 = - R0

∆ ∆R0 R1

∆ ∆R2 R3

Mfl : Moment de fluage

5.1.3 – Cas de charge à utiliser pour les charges UDL, TS et de trottoirs

Pour la charge UDL et les charges de trottoirs :

Réactions maximum :

- pour la culée C0 : on charge toutes les travées impaires ;

- pour la pile P1 : on charge les travées 1 et 2, ainsi que les autres travées paires si elles existent (pont à plus de 3 travées) ;

- pour la pile P2 (cas du pont à 4 travées ou plus) : on charge les travées 2 et 3, ainsi que les autres travées impaires au-delà de 3 ;

Réactions minimum :

- On charge toutes les travées non chargées des cas de charges précédents (cas de charges « inverses ») ;

Pour la charge TS (rappelons qu’il n’y a qu’une seule file de tandems TS sur le pont) :

Réactions maximum :


- On place les tandems TS directement sur l’appui concerné.

Réactions minimum :

- pour la culée C0 : on place TS au milieu de la travée 2

- pour la pile P1 : on place TS au milieu de la travée 3

- pour la pile P2 (cas du pont à 4 travées ou plus) : on place TS au centre de la travée 4

Attention: Le calcul ainsi effectué pour les charges routières et les charges de trottoir est faux. En effet, il ne suffit pas pour obtenir la réaction maximale dans un appareil d'appui, de diviser par deux la réaction maximale due aux charges routières et aux charges de trottoir.

Il faudrait également tenir compte de la position transversale des charges par rapport aux appareils d'appui. Par exemple, dans le cas d'un ouvrage supportant une chaussée bordée de deux trottoirs, il est plus défavorable de ne charger que le trottoir situé du coté de l'appareil, que de charger les deux trottoirs. Suivant la position transversale des appareils d'appui, cela peut également être vrai pour des voies de circulation.

5.2 - Choix des appareils d'appui

Vous trouverez dans les pages suivantes les caractéristiques de plusieurs types d'appareils d'appui à pot de caoutchouc pour vous permettre de les choisir en fonction de vos descentes de charge (ou réactions d'appui).

Nous vous rappelons qu'on dispose, pour chaque appui de l'ouvrage deux appareils placés transversalement. Ces appareils d'appui peuvent être:

• fixes : ils n'autorisent alors aucun déplacement horizontal entre le tablier et la pile, • unidirectionnels : ils n'autorisent le déplacement horizontal entre le tablier et la

pile que dans une direction, • multidirectionnels : ils autorisent le déplacement horizontal entre le tablier et la

pile dans les deux directions.

C0 P1 P2 C4P3

Multidirectionnel

UnidirectionnelFixe

Tablier vu de dessus, conditions d'appui pour 4 travées

Les flèches indiquent les directions libres de déplacement.


FEUILLES




Tableau à rendre en fin d'application

*** Equipe N° : ............ *** *** Application N°8 *** Poids de l’entretoise sur pile : MN - Poids de l’entretoise sur culée : MN REACTIONS D'APPUI ( en MN )

Actions C0 P1 P2 P3 P4 C5

Poids Propre

Equipement

Prec. Intérieure

Prec. Extérieure

A vide ( M S )

Fluage

TS et UDL Max

TS et UDL Min

Trottoirs Max

Trottoirs Min

Grad. Therm +4,2°C

Grad. Therm -3°C

Réaction Maxi ELS

Réaction Mini ELS


Tableau à insérer dans la note de calculs du projet *** Equipe N° : ............ *** Poids de l’entretoise sur pile : MN - Poids de l’entretoise sur culée : MN REACTIONS D'APPUI ( en MN )

Actions C0 P1 P2 P3 P4 C5

Poids Propre

Equipement

Prec. Intérieure

Prec. Extérieure

A vide ( M S )

Fluage

TS et UDL Max

TS et UDL Min

Trottoirs Max

Trottoirs Min

Grad. Therm +4,2°C

Grad. Therm -3°C

Réaction Maxi ELS

Réaction Mini ELS


♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣

EXEMPLES D'APPAREILS D'APPUI ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣


Autres exemples d'appui à pot TETRON D3T Fixe Pression de contact sur le béton : environ 20 MPa (à l’ELS)

Caractéristiques :


TETRON D3E Multidirectionnel

TETRON D3F Monodirectionnel


Exemple d'appareil d'appui à pot mono directionnel

Exemple d'appareil d'appui à pot fixe


♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣

EXEMPLES DE CULEES

♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣


TETE DE CULEE

CAS D'UN OUVRAGE EN BETON

PRECONTRAINT

d

e

h

3080

40

40

e

d'

d"

h'

e"

Réservations joints de chausséeDalle de transition

Chambre de tirage

Poteaux (e x e)

Mur garde-grève

Entretoise

Sommier d'appui

2%

d m

e cmh

d cm

d cm

h cm

≥

=

≥≥

≥

150

308

30

15

40

.

sup ,

'

"

'


Culée remblayée à murs en retour droits

Culée remblayée à murs en retour en L


Exemple de culée avec semelle sur pieux


Exemple de culée remblayée avec mur de front


♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣

EXEMPLES DE PILES

♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣


Exemple de pile de pont en encorbellement


Exemple de pile massive (chocs de bateaux) - semelle et pieux non représentés


Pile creuse de grande hauteur



Chapitre 5 Stabilité des fléaux

Pont Pierre Pflimlin sur le Rhin à Eschau (Alsace)


6. - STABILITE DES FLEAUX

Dans la construction des ponts par encorbellements successifs, il est nécessaire d'assurer et de vérifier la stabilité des fléaux sur leur pile avant clavage avec le fléau voisin, ou avec la partie coulée sur cintre près des culées. L'accident à éviter est le basculement du fléau sur le chevêtre de la pile pendant la construction. Pour limiter ce risque, deux types de situations sont à envisager :

- une situation normale de construction alors que :

- soit le fléau est en déséquilibre sous l'effet du poids d'un voussoir construit ou posé avant son symétrique, d’un vent ascendant modéré sur l'un des demi fléaux et des charges de chantier (appelées aussi charges de construction dans l’EC1) ;

- soit le fléau comporte le même nombre de voussoirs à gauche et à droite, mais est en déséquilibre sous l'effet du vent de tempête (ou caractéristique) ascendant sur l'un des demi fléaux et des charges de chantier ;

- une situation accidentelle qui correspond à la chute d'un équipage mobile ou d'un voussoir préfabriqué.

On étudie 4 combinaisons d’actions dans la première situation (A1 à A4) et une seule dans la situation accidentelle (B). Les combinaisons d'actions à utiliser relèvent de l'état limite d'équilibre statique et les organes d'ancrages du fléau sur leur pile et les piles elles-mêmes sont à justifier à l'état limite ultime de résistance. Dans chaque situation, le fléau peut décoller de ses cales d'appui provisoires; mais la surtension des câbles due à leur allongement assure l’équilibre. Tous les calculs d'efforts seront faits par rapport à l'axe de la pile.

6.1. - Actions a prendre en compte

6.1.1 - Charges permanentes

Il s'agit du poids Gnv du fléau composé de nv voussoirs, calculé avec un poids volumique γ de 25 KN/m3, d'après les plans de coffrage (et donc calculé en valeur moyenne). Les vérifications se font en fin de construction, avant ou après le bétonnage du dernier voussoir selon les situations considérées. Il faut donc calculer le poids d’un demi fléau avec le nombre maximum de voussoirs (nv voussoirs) et celui comportant un voussoir de moins (nv-1 voussoirs). Si B1 désigne la section sur pile et B0 la section de clef, si la hauteur du caisson varie paraboliquement et l'épaisseur du hourdis inférieur linéairement, on peut approcher le poids du fléau composé de n voussoirs et la position de son centre de gravité par les formules de G.M. KRAWSKY :


Pour un demi fléau de nv voussoirs de Lf mètres de longueur :

P = ( B1 + 2 B0 ) γ Lf / 3

d = [ ( B1 + 5 B0 ) Lf ] / [ 4 x ( B1 + 2 B0 ) ]

Mg = P x d

B 0 B 1P

d

L f axe de la pile

Pour le calcul d’un fléau composé de nv -1 voussoirs (Gnv-1), on retranchera de P ou de Mg le poids ou le moment du dernier voussoir en supposant qu'il est de section constante et égale à B0. La réaction de poids propre du fléau est à son poids, valeur à laquelle il faut ajouter le poids de l'entretoise sur pile, des bossages, déviateurs et pièces annexes. Dans le projet, le poids de l'entretoise a été évaluée dans le chapitre précédent, tandis que celui des bossages, déviateurs et pièces annexes sera négligé.

6.1.2 - Charges variables

6.1.2.1 - Charges de construction connues (Qcc) Il s'agit du poids de l'équipage mobile QCc = Pem dont la valeur varie de 0,30 à 0,90 MN suivant la longueur des voussoirs, et la largeur du tablier. Dans notre projet, cette charge s'applique à une distance dex = 1,50 m de l'extrémité du voussoir en cours de bétonnage. On adopte ici la même valeur que celle utilisé dans le calcul des câbles de fléau.

6.1.2.2 - Charges de construction aléatoires (Qca et Qcb) Pour couvrir les charges de chantier inconnues, on utilise :

- une action Qca qui représente les charges dues au personnel d'exécution, à l'encadrement, aux visiteurs, ainsi qu'à un équipement de chantier léger. Cette action est équivalente à une charge qca de 1 KN/m2 répartie sur le demi fléau situé du coté du déséquilibre. Dans

certaines situations (voir plus loin) cette charge pourra être réduite par un coefficient ψ0. Elle s'applique sur les voussoirs terminés et sur l'équipage mobile ; - une action Qcb qui correspond aux matériaux stockés sur le tablier (par exemple

rouleaux de câbles), aux petits engins de chantier (par exemple compresseurs), qui peuvent être déplacées. Ces charges sont modélisées par :

- une charge répartie qcb de 0,2 kN/m2 sur un demi-fléau, appliquée comme

précédemment ; - une charge concentrée Fcb de 100 kN appliquée en bout de fléau, à l'extrémité

du dernier voussoir terminé.

6.1.2.3 - Charges de construction globale (Qc) Dans les différentes combinaisons d’actions A1 à A4 et B, on groupe les charges de construction sous l’appellation Qc qui peut prendre 2 valeurs :


- une action Qc qui groupe les actions Qca, Qcb et Qcc sans aucune pondération,

soit Qc = Qca,+ Qcb + Qcc ; - une action QcR (ou Qc réduite) telle que QcR = 0,2 × Qca,+ Qcb + Qcc.

Suivant les situations (voir plus loin) on utilisera l’une ou l’autre de ces actions.

1.2.3 - Effet d'un vent ascendant L'effet du vent ascendant (Fw) est équivalent à une charge uniforme d'intensité qw qui est répartie sous le demi fléau du coté opposé au déséquilibre. On considère, en général, que cette charge répartie s'applique à un demi fléau, longitudinalement depuis l'extrémité de l'équipage mobile, jusqu'à la file de cales provisoires située du même coté, et sur une largeur égale à celle du hourdis supérieur du caisson. pour l’équilibre statique du fléau, deux valeurs de l’intensité du vent sont à considérer :

- le vent caractéristique Fwk (appelé aussi « de tempête ») dont l’intensité est égale à qwk = 1,00 KN/m2 ;

- le vent compatible avec l’exécution du fléau (et donc le bétonnage des voussoirs) Fw

*dont l’intensité est qw* = 0,20 KN/m2.

Suivant les situations (voir plus loin) on utilisera l’une ou l’autre de ces actions.

6.1.3 - Actions accidentelles

La chute de l'ensemble ou d'une partie d'un équipage mobile vide, ou d'un voussoir préfabriqué en cours de pose (Ad) est prise en compte avec un coefficient de majoration dynamique de 2. Si la totalité de l'équipage chute, Cela revient à inverser le sens de Pem sur ce fléau (Ad = - Pem).

6.2. - Combinaisons d'actions

6.2.1 - Combinaisons en construction (type A)

On distingue deux situations, avec pour chaque deux combinaisons d’actions. Situation normale de construction : combinaisons A1 et A2 On considère que l’on a achevé nv-1 voussoirs sur chacun des demi fléau. On avance alors les deux équipages mobiles en position de bétonnage des deux derniers voussoirs et on bétonne le dernier voussoir de droite. On étudie alors le déséquilibre sous le poids de ce dernier voussoir, des charges de construction Qc et du vent compatible Fw

*. Les deux combinaisons sont les suivantes :

A1 : 1,35 G D, nv + 1,30 G G, nv-1 + 1,35 Qc + 1,35 Fw*

A2 : 1,02 G D, nv + 0,98 G G, nv-1 + 1,35 Qc + 1,50 Fw

*


G D, nv et G G, nv-1 désignent respectivement le poids propre du demi fléau de droite avec nv voussoirs et celui du demi fléau de gauche avec nv-1 voussoirs. L'équipage de gauche est vide l'équipage de droite porte un voussoir (nv - 1 Voussoirs à gauche) (nv Voussoirs à droite)

d ex

ca q cb F

f L f L

Q cc

cb q +

Q cc F w * G G, nv-1 G D, nv

Situation de construction avec vent de tempête : combinaisons A3 et A4 Sous vent caractéristique Fwk (ou vent de tempête), le chantier est arrêté et le fléau est mis en sécurité (charges les plus symétriques possibles). La situation la plus défavorable est obtenue lorsque que tous les voussoirs sont achevés sur chaque fléau (nv voussoirs sur chaque demi fléau). Dans cette situation, les charges Qca (personnels, visiteurs et matériels légers) sont réduites par un coefficient 0,20. Les charges de chantiers sont alors réduites à QcR. Les deux combinaisons à étudier sont les suivantes :

A3 : 1,35 G D, nv + 1,30 G G, nv + 1,35 QcR + 1,35 Fwk A4 : 1,02 G D, nv + 0,98 G G, nv + 1,35 QcR + 1,50 Fwk

G D, nv et G G, nv désignent respectivement le poids propre du demi fléau de droite et de gauche avec nv voussoirs. L'équipage de gauche porte un voussoir l'équipage de droite porte un voussoir (nv Voussoirs à gauche) (nv Voussoirs à droite)

d ex

ca q cb F

f L f L

Q cc

cb q +

Q cc F wk G G, nv G D, nv

0,2 x


6.2.2 - Combinaison accidentelle (type B)

Situation accidentelle de chute d'un équipage vide : le fléau peut décoller de ses cales d'appui provisoires, mais la surtension des câbles de clouage est limitée. * B : G D nv-1 + G G, nv-1 + QAd + QcR L'équipage de gauche est vide l'équipage de droite est vide (nv - 1 Voussoirs à gauche) (nv - 1 Voussoirs à droite)

d ex

ca

q

cb

F

f

L

f

L

Q

cc

cb

q

+

G

G, nv-1

G

D, nv-1

0,2

x

Q

cc

A

d

= -

6.2.2 - Calcul du nombre de câbles

On appelle M et N les sollicitations résultantes des combinaisons de type A et B. On calculera M et N pour les cinq combinaisons A1, A2, A3, A4 et B. On note E la distance entre axes des deux files de cales d'appui provisoire, Ec la distance entre files de câbles de clouage et D la distance entre un câble et la file de cale opposée. On a : D = (Ec + E) / 2

M

NRa

Rb

E

D Une file de câbles de clouage

Ec = 2 D - E

Fi 2 Fi 2

File B de cales d'appui


Pour le projet, on adaptera les valeurs de E et de D aux dimensions du voussoir de pile et à la

tête de pile. Rappelons que des valeurs courantes de E et de Ec sont : E = 2,20 à 2,80 m et

Ec = 2,80 à 3,40 m La méthode suivante n'est applicable que si D ≥ E.

� Dans le cas ou M/N < E / 2 , le fléau ne risque pas de basculer; les câbles de clouage ne sont théoriquement pas nécessaires; on disposera toutefois, par sécurité, un minimum de 2 paires de câbles ( Par exemple, une paire de câbles 12 T 15 par file de cales ). On a alors : Ra = N / 2 - M / E + Fi2 et Rb = N / 2 + M / E + Fi2 avec Fi2 = 2 × (1 - 0,20) × σ p,max × s Fi2 est la force des deux câbles d'une file avec 20% de pertes et s représente la section d’un câble. Rappelons que :

σ p,max = min(0,80 fpk ; 0,90 fp0,1k ) avec : fpk : Résistance caractéristique à la traction fp0,1k : Limite d'élasticité conventionnelle à 0.1%

� Dans le cas ou M / N > E / 2 , Le fléau bascule, et la surtension des câbles de clouage doit rétablir l'équilibre. Sous l'action de la résultante N et du moment M des charges appliquées au fléau, le voussoir de pile reste en équilibre par surtension ∆Tg des câbles d'une file d'appuis provisoires et compression Rb des cales de l'autre file d'appui.

M

N Rb

E

D

File de n câbles de clouage surtendus

Ec = 2 D - E

Fg

Fd

Décollement d'appui de la file A

On appliquera la méthode suivante, qui consiste à écrire l'équilibre des efforts appliqués au voussoir de pile, lorsqu'il tourne d'un angle dα autour d'une file de cale, et que les câbles s'allongent ou se raccourcissent. Les câbles de gauche atteignent leur limite Ful : Fg = Fi + ∆Tg = Ful � Fd = Fi - ∆Td � -Fg D - NE / 2 + M + Fd ( D-E ) = 0 � ∆Tg / ∆Td = D / ( D - E ) � Rb - Fg - Fd - N = 0 �


Fg et Fd désignent les tensions dans chaque file de câbles, Fi leur force initiale , Ful leur force maximum à l'ELU, ∆Tg et ∆Td les surtension et sous-tension de chaque file de câbles. On tire Fg et Fd en fonction de Ful et Fi des équations �, � et �, et �, on reporte dans �. On sait aussi que : Ful = S × fp0,1k / Γp Fi = S × (1 - p) × σ p,max avec :

p : pourcentage de perte pris ici à 20 % S : Section totale des câbles d’une file σ p,max = min(0,80 fpk ; 0,90 fp0,1k ) fpk : Résistance caractéristique à la traction fp0,1k : Limite d'élasticité conventionnelle à 0.1% Γp = 1,15 : Pour les combinaisons A1, A2, A3, A4 Γp = 1,00 : Pour la combinaison B

Nota : on considère ici la valeur probable de la précontrainte car on est à l’ELU. On en déduit : S = ( N E / 2 - M ) D / K avec K= [ 0,8 × σ p,max ( 2 D - E ) ( D - E ) ] - [ (fp0,1k / Γp) ( D2 + ( D - E )2 ) ] On choisit ensuite un type de câble pour en déterminer le nombre n. On retient le nombre n maximum résultant des calculs des 5 combinaisons (en arrondissant au nombre pair immédiatement supérieur) et on dimensionne ensuite les cales des files A et B.

6.2.3 - Calcul de la surface des cales

Comme le béton des cales et celui du chevêtre de la pile sont frettés, sa résistance en compression à l’ELU fcd peut être augmentée. On la note fclim . La surface des cales est donc telle qu'elles soient comprimées à fclim sous la réaction maximum Rb. L’Eurocode 2 donne deux méthodes pour calculer fclim selon que le béton est considéré comme confiné (article 3.19) ou simplement soumis à une charge localisée (article 6.7). Avec un frettage raisonnable, on atteint facilement la contrainte limite suivante :

fclim = 2,00 × fcd = 2,00 × fck / Γc

fck donné dans le chapitre 4 Γc = 1,50 pour les combinaisons de type A Γc = 1,20 pour la combinaison de type B On calcule Rb pour les cinq combinaisons A1, A2, A3, A4 et B2. On vérifie tout d'abord qu'il y a bien décollement du fléau avec le nombre de câbles n déterminés précédemment. Pour cela on calcule Ra et Rb comme si le fléau ne décollait pas :

Ra = N / 2 - M / E + Fi


Rb = N / 2 + M / E + Fi

avec Fi = n × s × (1 - 0,20) × σ p,max

Si Ra est positif, il n'y a pas décollement et on en déduit la surface des cales Sc par la formule:

Sc = Rb / fclim

Puis on détermine les dimensions a × b des cales :

Sc = k × a × b avec k : nombre de cales par ligne

Si Ra est négatif, on résout les équations � à � , mais avec cette fois ci

Fg = Fi + ∆Tg < Ful et Fi est cette fois ci connu : Fi = n × s × (1 - 0,20) × σ p,max

La résolution donne :

Rb = E × ( Fi × K4 + N × K3 / (2 × E )+ M ) / K1

avec :

K1 = D2 + (D-E)2 K3 = 2 × K1 - E2 K2 = D3 + E × ( 2 D - E ) × ( D - E ) K4 = ( 2 × D - E ) × K2 / ( E × D2 )

on en déduit la surface des cales Sc comme précédemment. k, a et b sont choisis en dessinant la tête de la pile en vue en plan (en tenant compte des dimensions des appareils d'appuis définitifs déterminés dans le chapitre précédent) Les dimensions des cales ainsi déterminées devront être augmentées de 5 centimètres pour l'enrobage des frettes. On calcule et on dispose des frettages identiques à ceux des appuis définitifs en face inférieure du voussoir sur pile et sous les cales provisoires.

6.2.4 - Fût de pile

Les aciers verticaux du fût de pile doivent être vérifiés à l'ELU, en flexion composée soit l'action de N et M ; les combinaisons du type A sont considérées comme des combinaisons de base, alors que celle de type B est une combinaison accidentelle ( Γc = 1,20, Γs = 1,00 ).

6.3. - dispositions pratiques

6.3.1 - Aménagement des têtes de piles

Les têtes de piles doivent être aménagées pour recevoir :

- les appuis définitifs - les cales provisoires - les câbles de stabilité


- les zones de vérinage pour réglage des fléaux, ou changement des appareils d'appuis.

Cale Cale

CaleCale

A.A.définitif

A.A.

de l'ouvrageAxe Longitudinal

Vérins

Câbles de clouage

Vue de face (sans cales, ni câbles)Tête de la pile, vue de dessus

Bossages

définitif

Autre exemple de dispositifs en tête de pile

La surface nécessaire aux appareils d'appui définitifs, de type à pot d'élastomère (ou néoprènes frettés pour de petits ouvrages), se calcule pour une pression de 13 à 15 MPa sous la réaction de poids propre (poids du fléau) et la réaction maximum de charge d'exploitation pondérée par 1,2. La dimension des appareils d'appui définitifs varie de 0,50 x 0,50 mètre pour les ouvrages de petite portée à 1,10 x 1,10 mètre pour les ouvrages de grande portée. La surface des cales se détermine par stabilité du fléau. De plus, la contrainte uniforme sous poids du fléau ne doit pas excéder environ 15 MPa. Les vérins doivent pouvoir soulever le fléau. A titre indicatif, des vérins de 500 tonnes ont un diamètre de 40 centimètres. Ils doivent être posés sur les cales métalliques ( 0,50 x 0,50 m ) pour limiter la contrainte sur le béton à 23 MPa.


Exemple de vérin de calage


6.3.2 - Autres dispositifs permettant d'assurer la stabilité

D'autres dispositifs que celui présenté ci-dessus permettent d'assurer la stabilité des fléaux :


Exemple de stabilité avec palées provisoires

Pont de Saumur


FEUILLE



AP 9 A insérer dans le POA.

Equipe n° : Noms : -

Distance entre cales E : m - entre câbles de clouage Ec : m Longueur du demi fléau : m - Type de câbles de clouage :

Actions (sans pondérations) Effort Vertical ( MN )

Bras de levier ( m )

Moment ( mMN )

Poids 1/2 fléau n v voussoirs

Poids 1/2 fléau n v-1 voussoirs

Poids de l'entretoise

Effet du vent compatible F*

Effet du vent de tempête Fwk

Qcc équipage position nv

Qca + Qcb Charges réparties

Qcbar+ Qcb Charges réparties réduites

Fcb Charge concentrée

Combinaison A 1

Combinaison A 2

Combinaison A 3

Combinaison A 4

Combinaison B

Détermination des câbles de clouage :

Comb A 1 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb A 2 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb A 3 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb A 4 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb B : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file :

Dimensionnement des cales avec ………. câbles :

Comb A 1 : Réaction Rb sur les cales : MN Réaction Ra sur les cales : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb A 2 : Réaction Rb sur les cales : MN Réaction Ra sur les cales : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb A 3 : Réaction Rb sur les cales : MN Réaction Ra sur les cales : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb A 4 : Réaction Rb sur les cales : MN Réaction Ra sur les cales : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb B : Réaction Rb sur les cales : MN Réaction Ra sur les cales : MN Surface totale des cales d'une file : m2

Surface mini : ……….. m2 soit …… cales de dimensions ……….. X ………… m


AP 9 A insérer dans le POA (double).

Equipe n° : Noms : -

Distance entre cales E : m - entre câbles de clouage Ec : m Longueur du demi fléau : m - Type de câbles de clouage :

Actions (sans pondérations) Effort Vertical ( MN )

Bras de levier ( m )

Moment ( mMN )

Poids 1/2 fléau n v voussoirs

Poids 1/2 fléau n v-1 voussoirs

Poids de l'entretoise

Effet du vent compatible F*

Effet du vent de tempête Fwk

Qcc équipage position nv

Qca + Qcb Charges réparties

Qcbar+ Qcb Charges réparties réduites

Fcb Charge concentrée

Combinaison A 1

Combinaison A 2

Combinaison A 3

Combinaison A 4

Combinaison B

Détermination des câbles de clouage :

Comb A 1 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb A 2 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb A 3 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb A 4 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb B : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file :

Dimensionnement des cales avec ………. câbles :

Comb A 1 : Réaction Rb sur les cales : MN Réaction Ra sur les cales : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb A 2 : Réaction Rb sur les cales : MN Réaction Ra sur les cales : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb A 3 : Réaction Rb sur les cales : MN Réaction Ra sur les cales : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb A 4 : Réaction Rb sur les cales : MN Réaction Ra sur les cales : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb B : Réaction Rb sur les cales : MN Réaction Ra sur les cales : MN Surface totale des cales d'une file : m2

Surface mini : ……….. m2 soit …… cales de dimensions ……….. X ………… m

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