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Plans d’expérience

évaluations 2006/2011

Pierre L.Douillet

Ces évaluations ont été données en 2006-2010 pour le module planx

— Durant les années 2006-07 et 2007-08, ce module a été donné en deuxième année A2/E2/SI(semestre international, en Anglais), utilisant Maple comme logiciel d’illustration. Puis, àpartir de 2007-2008, ce module est passé en première année, utilisant Scilab comme logicield’illustration.

— Dans le but de coller au mieux aux réalités industrielles, l’évaluation s’est faite sous formede "travaux surveillés" sur ordinateur, un étudiant par ordinateur, et un nombre suffisantde "surveillants" (l’enseignant et les chargés de TD). L’usage des documents personnels, enparticulier des notes de cours, a toujours été autorisée (et en fait encouragée).

— La taille de la promotion E1 a nécessité deux sessions successives, puis trois, utilisant lemême sujet, mais des valeurs numériques différentes, chaque énoncés étant protégé par unmot de passe donné en début d’évaluation.

— Comme on l’imagine, tout cela a supposé à la fois un parc informatique conséquent... et lamobilisation des personnels du centre informatique. Qu’ils soient à nouveau remerciés pourleur compétence et leur engagement.

Table des matières

Table des Matières 3

Table des Figures 7

— 2006-2007 — 9

1 A2-06 projet (01, sujet) 91.1 Codage d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Meilleur modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Maximisation du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 DS A2-06 2006-10-26 (02, sujet) 112.1 Codage d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Meilleur modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Maximisation du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 E2-06 projet (03, sujet) 133.1 Codage d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Meilleur modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.4 Maximisation du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.5 Plan fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 DS E2-06 2006-11-13 (04, sujet) 154.1 Codage d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Meilleur modèle sans interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Meilleur modèle à deux modalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4 Plan fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 DS A2-06s 2007-09-04 (05, sujet) 175.1 Codage d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3 Meilleur modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 Maximisation du résultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 DS E2-06s 2007-09-24 (06, sujet) 196.1 Codage d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Meilleur modèle sans interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.3 Meilleur modèle à deux modalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.4 Plan fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

— 2007-2008 A2/E2/SI — 21

3

TABLE DES MATIÈRES 4

7 DS E2-07 2007-11-16 (07, corrigé) 217.1 Codage d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.2 Meilleur modèle sans interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3 Meilleur modèle affine à quatre paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.4 Meilleur modèle du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.5 Listing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8 DS E2-07 2007-11-16 (07us, translation) 318.1 Encoding a Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.2 Best Boolean Model Without Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.3 Best Continuous Affine Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358.4 Best Second Degree Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.5 Listing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9 DS SI-07 2008-04-30 (08us, sujet) 419.1 Encoding of a Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.2 Best Boolean Models Without Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419.3 Best choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429.4 Asking for a better design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

10 DS A2/E2-07s 2008-09-03 (11, sujet) 4310.1 Description d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.2 Meilleur modèle "par niveau" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.3 Modèle "continu" du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.4 Modèle continu du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.5 Amélioration du plan par niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

11 DS SI-07s 2008-09-24 (12us, sujet) 4511.1 Encoding a Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4511.2 Best Boolean Models Without Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4511.3 Best choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4611.4 Asking for a better design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

— 2007-2008 A1/E1 — 47

12 DS E1-07 2008-05-27 (09, sujet) 4712.1 Description d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4712.2 Meilleur modèle "par niveaux" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4712.3 Meilleur modèle "continu" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4812.4 Amélioration du plan par niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

13 DS A1-07 2008-06-24 (10, sujet) 4913.1 Description d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913.2 Meilleur modèle "par niveau" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913.3 Modèle "continu" du premier degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5013.4 Modèle continu du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5013.5 Amélioration du plan par niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

14 DS E1-07s 2008-09-24-29 (13, sujet) 5114.1 Description d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5114.2 Meilleur modèle "par niveaux" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5114.3 Meilleur modèle "continu" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5214.4 Meilleur modèle xy+yz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5214.5 Amélioration du plan par niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 TABLE DES MATIÈRES

— 2008-2009 — 53

15 DS A1-08 2009-03-11 (14, sujet) 5315.1 Description d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5315.2 Meilleur modèle sans interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5315.3 Choix optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5415.4 Amélioration du choix des expériences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

16 DS E1-08 2009-04-27 (15abc, sujet) 5516.1 Description d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5516.2 Meilleur modèle sans interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5516.3 Choix optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5616.4 Amélioration du choix des expériences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

17 DS SI-08 2009-05-25 (18us, MCI) 5717.1 Describing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5917.2 Discrete model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5917.3 Continuous models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

18 DS A1/E1-09s 2009-09-02 (17, sujet) 6118.1 Description d’un plan d’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6118.2 Meilleur modèle sans interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6118.3 Un autre modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6118.4 Facteur complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

— 2009-2010 — 63

19 DS A1-09 2009-12-01 (19, sujet) 6319.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

19.1.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6319.1.2 Travail demandé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

19.2 Étude du plan retenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6319.3 Modèles sans et avec interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6319.4 Transformations statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6419.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

20 DS A1-09s 2010-09-02 (20, sujet) 6520.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

20.1.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6520.1.2 Travail demandé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

20.2 Étude du plan retenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6520.3 Modèles sans et avec interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6520.4 Transformations statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6620.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6620.6 Remarque à caractère expérimental (octobre 2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

TABLE DES MATIÈRES 6

Table des figures

7.1 Désaccords versus résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.2 Influences des quatre modalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.1 Discrepancies versus results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.2 Influences of the four factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7

TABLE DES FIGURES 8

Évaluation 1

A2-06 projet (01, sujet)

durée 2 heures – tous documents autorisés - le sujet comporte deux pages

Rappel des consignes

Les consignes données lors de l’évaluation MAO 2005-2006 continuent d’être valables. Elles sontconsultables à l’adresse :http: // www. douillet. info/ ~douillet/ mathapp/ Ensait-consignes. pdf .

En particulier, l’attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau deleur ordinateur est susceptible d’être enregistré pendant la durée de l’évaluation.

1.1 Codage d’un plan d’expérience

Le fichier http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds01.txt décrit un plan d’expérience dont l’objectif est de maximiser la grandeur "Résultat". Les autrescolonnes sont les paramètres (réglages) du plan d’expérience.

1. Quel est le nombre jx des expériences ? Quel est le nombre m de modalités ? Quel est, pourchaque modalité, le nombre de niveaux ? Quelle est la taille ix du code adapté à un modèleaffine sans corrélations ?

2. Lire le fichier sous Maple. Écrire la procédure permettant de coder une ligne du fichier.Donner la matrice A codant le plan d’expériences.

1.2 Représentation cartésienne

1. Représentation cartésienne utilisant les paramètres [[3] , [1, 2]]. Que remarque-t-on ?

2. Représentation cartésienne utilisant les paramètres [[5, 3] , [4, 2, 1]]. Que remarque-t-on ?

1.3 Meilleur modèle

1. Utiliser la méthode des moindres carrés pour déterminer le meilleur modèle affine (sansinteractions) au vu des résultats expérimentaux.

2. Evaluer la confiance que l’on peut apporter à ce modèle (donner les détails des calculs ettracer les graphiques utiles).

3. Evaluer l’influence (isolée) de chaque facteur (une représentation graphique sera bienvenue)

1.4 Maximisation du résultat

1. Quel est l’expérience ayant eu le meilleur résultat ?

9

http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/Ensait-consignes.pdf

http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds01.txt


1.A2-06 projet (01, sujet) 10

2. Quel serait, en se fiant au modèle, la combinaison de modalités qui donnerait le meilleurrésultat ?

3. Quel est l’intervalle de confiance pour ce meilleur résultat ?

Évaluation 2

DS A2-06 2006-10-26 (02, sujet)






Le fichier http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds02a.txt décrit un plan d’expérience dont l’objectif est de maximiser la grandeur "Résultat". Les autrescolonnes sont les paramètres (réglages) du plan d’expérience.




1. Représentation cartésienne utilisant les paramètres [[C] , [B, A]]. Que remarque-t-on ?

2. Représentation cartésienne utilisant les paramètres [[E, C] , [D, B, A]]. Que remarque-t-on ?







11


http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds02a.txt


2.DS A2-06 2006-10-26 (02, sujet) 12



Évaluation 3

E2-06 projet (03, sujet)



Imprimer en "2 pages par feuille" sur les imprimantes OKI. Vérifier le bon fonctionnement desimprimantes dès le début de l’évaluation (en imprimant une page avec votre nom).

Les autres consignes données lors de l’évaluation MAO 2005-2006 continuent d’être valables.Elles sont consultables à l’adresse :http: // www. douillet. info/ ~douillet/ mathapp/ Ensait-consignes. pdf .



Le fichier http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds03.txt décrit un plan d’expérience dont l’objectif est de maximiser la grandeur "Résultat". Les autrescolonnes sont les paramètres (réglages) du plan d’expérience.

1. Quel est le nombre jx des expériences ? Quel est le nombre ix de modalités ? Quel est, pourchaque modalité, le nombre de niveaux ? Quelle est la taille lx du code adapté à un modèleaffine sans corrélations ?



1. Représentation cartésienne utilisant les paramètres [[3] , [1, 2]]. Que remarque-t-on ?

2. Représentation cartésienne utilisant les paramètres [[5, 3] , [4, 2, 1]]. Que remarque-t-on ?



2. Évaluer la confiance que l’on peut apporter à ce modèle (donner les détails des calculs ettracer les graphiques utiles).

3. Évaluer l’influence (isolée) de chaque facteur (une représentation graphique sera bienvenue)

13




3.E2-06 projet (03, sujet) 14





3.5 Plan fractionnaire

On dispose d’un budget permettant de faire 32 expériences.

1. On veut étudier l’influence de 5 modalités binaires. Donner un plan possible. Quelles sontles interactions mesurables par ce plan ?

2. On veut étudier l’influence de X>5 modalités binaires et mesurer leurs interactions 2 à 2.Quelle est la valeur maximale de X permettant de faire cela avec le budget donné ? Indiquercomment construire un tel plan.

3. On veut étudier l’influence de Y modalités binaires indépendantes. Quelle est la valeur maxi-male de Y permettant de faire cela avec le budget donné ? Indiquer comment construire untel plan.

Évaluation 4

DS E2-06 2006-11-13 (04, sujet)







Le fichier http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds04a.txt décrit un plan d’expérience dont l’objectif est de maximiser la grandeur "Y". Les autres colonnessont les paramètres (réglages) du plan d’expérience.



3. Donner une représentation cartésienne de ce plan d’expériences. Que remarque-t-on ? Quepensez-vous de cette répartition ?

4.2 Meilleur modèle sans interactions




4.3 Meilleur modèle à deux modalités

1. Vu la faible influence de la 3ème modalité, on souhaite examiner un modèle n’utilisant queles deux premières modalités, mais tenant compte de leur interaction. Indiquer commentprocéder.

15




4.DS E2-06 2006-11-13 (04, sujet) 16


3. Représenter graphiquement les influences de X1, X2 et X1*X2.






Évaluation 5

DS A2-06s 2007-09-04 (05, sujet)

tous documents autorisés - le sujet comporte deux pages





Le fichier http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds05a.txt décrit un plan d’expérience dont l’objectif est de maximiser la grandeur "Résultat". Les autrescolonnes sont les paramètres (réglages) du plan d’expérience.


2. Lire le fichier sous Maple. Écrire la procédure permettant de coder une ligne du fichier.Donner la matrice codant le plan d’expériences.


1. Représentation cartésienne utilisant les paramètres [[C] , [B, A]]. Que remarque-t-on ?

2. Représentation cartésienne utilisant les paramètres [[E, C] , [D, B, A]]. Que remarque-t-on ?







17




5.DS A2-06s 2007-09-04 (05, sujet) 18



Évaluation 6

DS E2-06s 2007-09-24 (06, sujet)

durée 02h00 – tous documents autorisés - le sujet comporte deux pages



Les autres consignes données lors de l’évaluation MAO 2005-2006 continuent d’être valables.Elles sont consultables à l’adresse :http: // www. douillet. info/ ~douillet/ mathapp/ Ensait-consignes. pdf



Le fichier http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds06b.txt décrit un plan d’expérience dont l’objectif est de maximiser la grandeur "Y". Les autres colonnessont les paramètres (réglages) du plan d’expérience.








6.3 Meilleur modèle à deux modalités

1. Vu la faible influence de la 3ème modalité, on souhaite examiner un modèle n’utilisant queles deux premières modalités, mais tenant compte de leur interaction. Indiquer commentprocéder.

19


http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds06b.txt

http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds06b.txt

6.DS E2-06s 2007-09-24 (06, sujet) 20


3. Représenter graphiquement les influences de X1, X2 et X1*X2.






Évaluation 7

DS E2-07 2007-11-16 (07, corrigé)


Quelques remarques d’ensemble

1. La première qualité que l’on attend d’un ingénieur est de savoir présenter ses conclusions.Les listings, les calculs, les graphiques et autres "sorties d’ordinateur" ne peuvent en aucuncas remplacer un relevé de conclusions, rédigé de façon précise et scientifique.

2. Le sujet proposé demandait de procéder à trois modélisations différentes à partir d’une mêmecampagne d’essais. Il était donc nécessaire d’ordonner différents types de matériaux de façonà produire une réponse organisée. Différentes méthodes ont été utilisées. Faire des capturesd’écran et tout intégrer en utilisant un traitement de texte, c’est très bien.

3. Faire des couper-coller avec des ciseaux et de la colle (et des traces de pouce), c’est trèsbien aussi... et c’est probablement la méthode la plus rapide. On peut aussi intégrer descommentaires dans le listing d’exécution. On peut aussi... Toutes les méthodes sont bonnes.Ce qui ne va pas est l’absence d’une stratégie de communication.

4. Certains commentaires sont "inégalement rédigés". Des copies mentionnant des "valeurspropes", des "motalités", des représentations "cratésiennes" et même "l’idéal est qu’ils soiventégal" créent une certaine surprise au niveau bac+4.

5. Il nous a semblé néanmoins qu’une absence de fautes de rédaction par absence de rédactionn’était pas une qualité, et nous avons systématiquement donné une plus mauvaise évaluationà un résultat non commenté qu’à un résultat commenté de façon fautive.

6. La moyenne sur 57 copies est de 11.7, ce qui est tout à fait honorable. Sept étudiants ontécrit des choses pertinentes sur l’ensemble des questions posées et ont été évalués à 19/20 ouplus. Quelques autres ont échoué à ouvrir un fichier : des progrès restent possibles.

Rappel des consignes matérielles

Imprimer en "2 pages par feuille" sur les imprimantes OKI. Vérifier le bon fonctionnement desimprimantes dès le début de l’évaluation. Votre nom doit apparaître sur les documents imprimés (eten particulier dans le titre des figures).



21


7.DS E2-07 2007-11-16 (07, corrigé) 22


Télécharger le fichier situé à l’adresse : http: // www. douillet. info/ ~douillet/ mathapp/ dazzle/planx/ dat_ planx_ ds07a. txt . Ce fichier décrit un plan d’expérience. La dernière colonne est celledes résultats, les autres colonnes décrivent les paramètres (réglages) du plan d’expérience.


(a) Rappelons que le nom du module planx est "plans d’expérience" et non pas "scilab"ou "révision". Nous avons constaté une différence significative de résultats entre lesétudiants connaissant le titre du module suivi et les autres.

(b) On voit que le plan d’expérience comporte jx = 27 essais. Il y a ix = 4 modalités, chacunepossédant 3 niveaux codés 0, 1, 2. La taille de l’espace total à explorer est donc Ω = 81.

(c) Si l’on considère ces niveaux comme de simples identifiants, le codage réduit nécessitelx = 1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 9 variables (une pour la constante du modèle affine, et deuxpour les niveaux indépendants de chaque modalité).

2. Lire le fichier sous Scilab (en modifiant la procédure de lecture... ou en modifiant le fichier àla main). Donner la matrice ma codant le plan d’expériences.

(a) Il fallait transformer le caractère "space" en autre chose, par exemple "underscore". Puistransformer les séparateurs texte, anciennement "space/semi-colon/space" en séparateursScilab, par exemple "space".

(b) Il était rappelé que faute d’arriver à programmer cela sous Scilab, il était possible demodifier le fichier à la main, en utilisant un traitement de texte, comme edit ou notepadou scipad ou ...

(c) On obtient une matrice texte datas de taille (jx+ 1)×(ix+ 1) = 28×5, puis une matricenumérique ma de taille jx× lx = 27× 9 (cf Table 7.1, gauche).


(a) La représentation cartésienne [1, 2] , [3, 4] disposant en abscisse les deux premières moda-lités et les deux autres en ordonnées ne fait pas apparaître de défauts.

1 0 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0 1 0 1 0 00 1 0 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 0 0 0 11 0 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0 1 0 1 0 00 0 1 0 1 0 1 0 00 1 0 1 0 0 0 0 11 0 0 0 0 1 0 1 0

(b) Par contre les représentations cartésiennes utilisant trois des quatre modalités font ap-paraître les qualités de ce plan. Il y a quatre façons de choisir trois modalités sur lesquatre. Et pour chaque restriction on obtient un plan complet par rapport aux modalitésconservées.

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

4. Rappeler quelle est la mesure habituellement utilisée pour déterminer la qualité d’un choixd’essais. Obtenir, par tirage au sort un tel choix parmi les choix possibles. Quelle est saqualité ? Comparer avec le plan décrit dans le fichier donné.



23 7.DS E2-07 2007-11-16 (07, corrigé)

1 −1 −1 −1 −1 0 1 0 11 1 0 0 1 −1 −1 −1 −11 1 0 −1 −1 1 0 −1 −11 0 1 −1 −1 0 1 −1 −11 −1 −1 0 1 1 0 0 11 1 0 −1 −1 −1 −1 0 11 −1 −1 1 0 −1 −1 0 11 −1 −1 0 1 0 1 −1 −11 −1 −1 1 0 1 0 −1 −11 1 0 1 0 0 1 −1 −11 0 1 0 1 0 1 1 01 1 0 1 0 −1 −1 1 01 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −11 −1 −1 −1 −1 1 0 1 01 0 1 −1 −1 1 0 0 11 −1 −1 1 0 0 1 1 01 1 0 1 0 1 0 0 11 0 1 −1 −1 −1 −1 1 01 1 0 −1 −1 0 1 1 01 1 0 0 1 0 1 0 11 1 0 0 1 1 0 1 01 0 1 1 0 −1 −1 −1 −11 0 1 0 1 −1 −1 0 11 0 1 0 1 1 0 −1 −11 −1 −1 0 1 −1 −1 1 01 0 1 1 0 1 0 1 01 0 1 1 0 0 1 0 1

1 −1 −1 1 11 0 1 −1 −11 0 −1 0 −11 1 −1 1 −11 −1 1 0 11 0 −1 −1 11 −1 0 −1 11 −1 1 1 −11 −1 0 0 −11 0 0 1 −11 1 1 1 01 0 0 −1 01 −1 −1 −1 −11 −1 −1 0 01 1 −1 0 11 −1 0 1 01 0 0 0 11 1 −1 −1 01 0 −1 1 01 0 1 1 11 0 1 0 01 1 0 −1 −11 1 1 −1 11 1 1 0 −11 −1 1 −1 01 1 0 0 01 1 0 1 1

Table 7.1 – Matrices ma et Ma

(a) La mesure habituellement utilisée pour déterminer la qualité d’un choix d’essais est lavaleur propre minimale de la matrice ms=ma’*ma. Plus cette valeur propre est grande,plus la propagation d’erreur est petite.

(b) La commande [Rdatas,Rma,Rms]=randplan() fournit un plan d’expérience parmi lesC2781 possibles.

(c) Quand on compare les valeurs propres des deux matrices ms (à gauche) et Rms (à droite),on voit que le plan proposé ma est de meilleure qualité que le plan Rma obtenu par tirageau sort

9 3.1943819 4.2864829 7.4146659 10.252386

27 17.16090927 20.58215027 30.74616327 37.17182127 50.191043


1. Utiliser la méthode des moindres carrés pour déterminer mx, le meilleur modèle affine sansinteractions tenant compte des résultats expérimentaux.

7.DS E2-07 2007-11-16 (07, corrigé) 24

(a) La méthode des moindres carrés estms=ma’*ma ; mx=(1/ms)*ma’*mbCette formule permet de déterminer le modèle affine qui "colle" le mieux aux donnéesexpérimentales.

(b) On obtient :9.5803648−0.0147956

3.26083000.04336910.8215247−0.0992214

4.0853027−0.0675738

4.9267311

2. Évaluer la confiance que l’on peut apporter à ce modèle. Donner les détails des calculs, traceret imprimer les graphiques utiles.

(a) La confiance que l’on peut apporter à un modèle concerne son aptitude à prévoir lesrésultats des mesures qui n’ont pas été faites. L’évaluation de cette aptitude est fondéesur l’aptitude du modèle à prévoir rétrospectivement le passé.

(b) Visuellement, on porte en abscisse les résultats expérimentaux, et en ordonnée les désac-cords entre le modèle et la réalité. On obtient la Figure 7.1.

0 5 10 15 20 25

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

ds : residus

Figure 7.1 – Désaccords versus résultats

(c) L’estimation de la qualité de l’accord modèle/réalité est fondée sur le rapport des va-riances :FRV=variance(mb)/variance(mdelta)≈ 8.51

(d) On peut obtenir une estimation visuelle en utilisant le rapport des amplitudes :(max(mb)-min(mb))/(max(mdelta)-min(mdelta))≈ 2.84ce rapport est grosso modo la racine carrée du FRV.

(e) La valeur FRV≈ 8.51 estime la capacité à prévoir rétrospectivement le passé. La capacitéà prévoir l’avenir s’obtient en corrigeant ce résultat de façon à tenir compte des degrésde liberté utilisés. Il vient :

est (FRV ) = 8.51× 27− 9

27− 1≈ 5.89

25 7.DS E2-07 2007-11-16 (07, corrigé)

(f) Même réduite ainsi, la qualité du modèle reste bonne (FRV nettement supérieur à 1).

3. Évaluer l’influence (isolée) de chaque facteur (tracer, imprimer et commenter les graphiquesutiles).

(a) L’influence de chaque modalité est estimée en examinant l’amplitude des variations ob-tenues en laissant fixes les autres modalités (cf Figure 7.2).

Modalité_A Modalité_B Modalité_C Modalité_D

−4

−2

0

2

4

ds : influences : 6.51 1.69 8.07 9.79

Figure 7.2 – Influences des quatre modalités

(b) On constate que la modalité D est la plus influente, tandis que l’influence de la modalitéB est environ six fois moindre.

7.3 Meilleur modèle affine à quatre paramètres

On considère maintenant les données comme quatre paramètres, les nombres 0, 1, 2 étant désormaisconsidérés comme étant les valeurs prises par une grandeur mesurable et pas seulement comme lesniveaux d’une modalité.

1. Coder l’expérience [A, B, C, D] par [1, A− 1, B − 1, C − 1, D − 1] de façon à travailleravec des variables centrées. Obtenir la nouvelle matrice de codage mA puis le nouveau modèlemX correspondant.

(a) La matrice mA est donnée Table 7.1, droite.(b) La matrice mX=(1/mS)*mA’*mb vaut :

9.58036483.25343220.84320934.03569214.8929442

2. Comparer la qualité de ce modèle avec la qualité du modèle précédent.

(a) La capacité de ce modèle à prédire le passé est très légèrement moins bonne que celle dumodèle précédent. En effet, var(mdelta)≈ 4.750 tandis que var(mDelta)≈ 4.759

(b) La mesure fondée sur la plus petite valeur propre est nettement en faveur du nouveauplan, la matrice mS étant désormais diagonale et ses valeurs propres 18, 18, 18, 18, 27 étantplus élevées.

7.DS E2-07 2007-11-16 (07, corrigé) 26

(c) Plus que tout, le nouveau modèle nécessite moins de coefficients et sa capacité à prévoirl’avenir est nettement meilleure :

est (FRV ) =40.429

4.759× 27− 5

27− 1≈ 7.19

7.4 Meilleur modèle du second degré

On considère maintenant un modèle du second degré.

1. Montrer que la séquence d’expériences réalisée permet d’évaluer les interactions deux par deuxdes paramètres.

(a) Un modèle du second degré nécessite n (n− 1) /2 = 6 coefficients d’interaction et n = 4coefficients de courbure en plus des n+ 1 = 5 coefficients déjà utilisés. Soit 15 coefficientsen tout. Il restera 10 essais pour évaluer la qualité du modèle.

(b) On peut aussi prévoir que les coefficients de courbure seront négligeables et se limiter auxsix coefficients d’interaction. On obtient alors un modèle à 11 coefficients

2. Procéder aux calculs nécessaires et obtenir les coefficients de ce nouveau modèle.

(a) La procédure auh(j,k) permet de construire de proche en proche les matrices maa (avectermes carrés) et Zma (sans termes carrés).

(b) Il est préférable de travailler avec des variables centrées. Les xi sont centrées par construc-tion. Les xixj sont donc centrées. Par contre, les x2i ne sont pas centrées. Il vaut mieuxutiliser yi = x2i − 2/3 et corriger la matrice maa en conséquence. Soit Yma la matricecorrigée.

(c) Les spectres de Yms et Zms sont :

6 6 6 6 9 9 9 15 15 15 18 18 18 18 279 9 9 15 15 15 18 18 18 18 27

(d) Les coefficients sont donnés Table 7.2. On constate que les modèles affine, sans carréset quadratique complet sont "emboîtés". Il en est ainsi parce que les groupes de colonnescorrespondants sont linéairement indépendants (Yms est diagonale par blocs).

9.5803648 9.5803648 9.58036483.2534322 3.2534322 3.25343220.8432093 0.8432093 0.84320934.0356921 4.0356921 4.03569214.8929442 4.8929442 4.8929442

0 1.9247444 1.92474440 0.0923934 0.09239340 0.0119960 0.01199600 0.0564158 0.05641580 −0.0688481 −0.06884810 2.1078514 2.10785140 0 0.02219340 0 −0.06505360 0 0.14883210 0 0.1013607

Table 7.2 – Les coefficients mX, Zmx et Ymx des trois modèles

3. Que remarque-t-on ?

27 7.DS E2-07 2007-11-16 (07, corrigé)

(a) On constate que le dernier modèle, avec quatre coefficients de plus, conduit à une variancerésiduelle légèrement plus petite. Mais ce qui compte n’est pas de mieux prédire le passé.

(b) On constate, au contraire, que le modèle sans carrés possède une meilleure aptitude àprévoir le futur car le FRV corrigé est supérieur (446 au lieu de 395).

(c) On constate en outre que le modèle quadratique est bien meilleur que le modèle affinesimple. Les termes exprimant les interactions 12 et 34 ont une influence comparable auxtermes affines et sont donc indispensables à une bonne modélisation du processus étudié.

7.5 Listing

//Evaluation Plans d’Expérience

//Vient en complément du fichier ’planx.sce’

-->function readds-->global mydir myfig shortnam datas-->myfig=mydir;-->nam = "dat_planx_ds07a.txt"; shortnam="ds";-->fich = mydir + nam ; disp(’source: ’+fich)-->hndl = mopen(fich, "r") ; rep = mgetl(hndl) ; mclose(hndl) ;-->rep = strsubst( rep, ’ ’, ’_’) ; rep = strsubst( rep, ’_;_’, ’ ’) ;-->frmt=’%s%s%s%s%s%s%s%s’ ; datas = msscanf(-1, rep, frmt) ;-->readmoda-->endfunction

-->function draw_residus_modif-->curfig= scf(1);-->draw_residus ; curax=get(’current_axes’) ;-->curax.title.text=shortnam+" : residus "+curax.title.text-->curax.margins=[0.05,0.01,0.15,0.05] ;-->set_posfig_dim(curfig.figure_size(1),curfig.figure_size(2))-->xs2eps(1, myfig+shortnam+"_residus")-->endfunction

-->function draw_influences_modif-->curfig= scf(2);-->draw_influences ; curax=get(’current_axes’) ;-->curax.title.text=shortnam+" : "+curax.title.text-->set_posfig_dim(curfig.figure_size(1),curfig.figure_size(2))-->xs2eps(2, myfig+shortnam+"_influ")-->endfunction

-->mydir = "/home/douillet/docs/Ensait/planx/planx_ds07a/";-->cd (mydir); exec(’planx.sce’,-1);

!fun readdata(item) !!fun mambms fun mat=data2mat(data) !!fun draw_residus fun draw_influences !!fun rectan=recmap(tox,toy,DAT) !!fun aug(u,v) !!fun [Datas,mA,mS]=randplan() fun [Datas,mA,mS]=goodplan(tx) !

-->//1.1

7.DS E2-07 2007-11-16 (07, corrigé) 28

-->readds

source: /home/douillet/docs/Ensait/planx/planx_ds07a/dat_planx_ds07a.txt

-->printf(" nb modalités=%d, nb essais=%d\n", ix,jx)nb modalités=4, nb essais=27

-->//1.2-->ma=data2mat(datas)

1. - 1. - 1. - 1. - 1. 0. 1. 0. 1.1. 1. 0. 0. 1. - 1. - 1. - 1. - 1.1. 1. 0. - 1. - 1. 1. 0. - 1. - 1.1. 0. 1. - 1. - 1. 0. 1. - 1. - 1.1. - 1. - 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1.1. 1. 0. - 1. - 1. - 1. - 1. 0. 1.1. - 1. - 1. 1. 0. - 1. - 1. 0. 1.1. - 1. - 1. 0. 1. 0. 1. - 1. - 1.1. - 1. - 1. 1. 0. 1. 0. - 1. - 1.1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. - 1. - 1.1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0.1. 1. 0. 1. 0. - 1. - 1. 1. 0.1. - 1. - 1. - 1. - 1. - 1. - 1. - 1. - 1.1. - 1. - 1. - 1. - 1. 1. 0. 1. 0.1. 0. 1. - 1. - 1. 1. 0. 0. 1.1. - 1. - 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0.1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1.1. 0. 1. - 1. - 1. - 1. - 1. 1. 0.1. 1. 0. - 1. - 1. 0. 1. 1. 0.1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 1.1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0.1. 0. 1. 1. 0. - 1. - 1. - 1. - 1.1. 0. 1. 0. 1. - 1. - 1. 0. 1.1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. - 1. - 1.1. - 1. - 1. 0. 1. - 1. - 1. 1. 0.1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0.1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1.

-->//1.3 : on obtient un plan complet pour chaque triplet de variables-->recmap([1,2],[3],datas)

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.

-->recmap([2,3],[4],datas)1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.

-->//1.4-->[Rdatas,Rma,Rms]=randplan(); ms=ma’*ma;-->[spec(ms), spec(Rms)]

9. 2.41900389. 3.54693729. 6.1151175

29 7.DS E2-07 2007-11-16 (07, corrigé)

9. 9.760877527. 15.87209327. 20.78630927. 31.66448927. 36.35757427. 41.477599

-->//2.1-->mambms;

rawvar= 40.429040, redvar= 4.750327, est(FRV)= 5.892086

-->mx9.5803648

- 0.01479563.260830.04336910.8215247

- 0.09922144.0853027

- 0.06757384.9267311

-->//2.2-->draw_residus_modif

-->FRV=variance(mb)/variance(mdelta)8.5107915

-->//2.3-->draw_influences_modif

-->//3.1-->mA=[ones(jx,1), eval(datas(2:$,1:4))-1] ;-->mS=mA’*mA , spec(mS)mS =

27. 0. 0. 0. 0.0. 18. 0. 0. 0.0. 0. 18. 0. 0.0. 0. 0. 18. 0.0. 0. 0. 0. 18.

ans =18.18.18.18.27.

-->mX=(1/mS)*mA’*mb, mDelta=mA*mX-mb;mX =

9.58036483.25343220.8432093

7.DS E2-07 2007-11-16 (07, corrigé) 30

4.03569214.8929442

-->//3.2-->variance(mDelta)

4.7588996

-->printf("est(FRV)=%f\n", variance(mb)/variance(mDelta)*(jx-5)/(jx-1))est(FRV)=7.188466

-->//4.2-->maa=mA; for j=2:5 do for k=j+1:5 do auh(j,k) ; end; end; Zma=maa;-->for j=2:5 do auh(j,j); end;-->Yma=maa+[zeros(27,11),-ones(27,4)*2/3]; fac=1E14;-->Yms=Yma’*Yma; Yms=round(fac*Yms)/fac; Zms=Zma’*Zma;-->Ymx=(1/Yms)*Yma’*mb; Zmx=(1/Zms)*Zma’*mb;-->[[mX;zeros(10,1)], [Zmx;zeros(4,1)], Ymx]

9.5803648 9.5803648 9.58036483.2534322 3.2534322 3.25343220.8432093 0.8432093 0.84320934.0356921 4.0356921 4.03569214.8929442 4.8929442 4.89294420. 1.9247444 1.92474440. 0.0923934 0.09239340. 0.0119960 0.01199600. 0.0564158 0.05641580. - 0.0688481 - 0.06884810. 2.1078514 2.10785140. 0. 0.02219340. 0. - 0.06505360. 0. 0.14883210. 0. 0.1013607

-->//4.3-->Zmdelta=Zma*Zmx-mb; Ymdelta=Yma*Ymx-mb;

-->printf("est(FRVZ)=%f\n", variance(mb)/variance(Zmdelta)*(jx-5-6)/(jx-1))est(FRVZ)=445.602126

-->printf("est(FRVY)=%f\n", variance(mb)/variance(Ymdelta)*(jx-5-6-4)/(jx-1))est(FRVY)=394.825384

-->exit

Évaluation 8

DS E2-07 2007-11-16 (07us, translation)

duration 2h00 - All documents are allowed

Some Global Remarks

1. The first quality that is expected from an engineer is the ability to submit his/her findingsin a clear and scientific language. All listings, computations, charts and other "printer out-puts" can in no way replace a statement of conclusions, coined in an accurate and scientificlanguage.

2. The examination was about three different models for a single round of tests. It was thereforenecessary to coordinate different types of materials in order to produce an organized response.Different methods have been used. Doing screenshots and integrating them it into a wordprocessor is fine.

3. Doing cut and paste with scissors and glue (and traces of thumb) is equally fine... and isprobably the fastest way. You can also incorporate comments into the listing of execution.You can also ... All methods are right. But the lack of a communication strategy is wrong.

4. Some comments are "poorly written", with a huge number of orthographic/grammaticalmistakes. However, a lack of mistakes due to a lack of comments is not what is required.

Some Other Guidelines

1. Check the printers at the beginning of the evaluation, and print each piece as soon as possible.At exactly the specified time, printers will be disconnected.

2. On any printed document, the FAMILY_NAME/Given_name of the student must appear(especially in the title of the figures).

3. Students are advised that the network traffic of their computer is likely to berecorded during the evaluation.

8.1 Encoding a Design

Download the file located at: http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds07a.txt. This file describes the design of an experiment. The last column contains the re-sults, the remaining columns describe the settings (adjustments) of the parameters.

1. How many trials (jx) are occurring ? How many factors (ix) ? What is, for each factor,the number of levels? What is the size (lx) of the code suitable for an affine model withoutcorrelation ?

(a) The given design includes jx = 27 trials. There are ix = 4 factors, each of them withthree levels that are labeled 0, 1, 2. The size of the whole product space to be explored isΩ = 81.

31



8.DS E2-07 2007-11-16 (07us, translation) 32

(b) If we consider these levels as mere identifiers, the corresponding reduced Boolean codingnecessitates lx = 1+2+2+2+2 = 9 unknowns (one for the affine constant of the model,and two for the independent levels of each factor).

2. Read the file into Scilab (by modifying the procedure for reading ... or by editing the file byhand). Give matrix ma coding the design.

(a) It was necessary to transform the "space" into something else, such as "underscore".Then convert text separators, formerly "space / semi-colon / space" into Scilab tokens,such as "space".

(b) In case of failure, it was suggested to modify the file by hand, using a text-processor suchas edit or notepad or scipad or ...

(c) The result is a string matrix datas whose size is (jx+ 1) × (ix+ 1) = 28 × 5, then anumerical matrix ma whose size is jx× lx = 27× 9 (cf Table 8.1, left).

1 −1 −1 −1 −1 0 1 0 11 1 0 0 1 −1 −1 −1 −11 1 0 −1 −1 1 0 −1 −11 0 1 −1 −1 0 1 −1 −11 −1 −1 0 1 1 0 0 11 1 0 −1 −1 −1 −1 0 11 −1 −1 1 0 −1 −1 0 11 −1 −1 0 1 0 1 −1 −11 −1 −1 1 0 1 0 −1 −11 1 0 1 0 0 1 −1 −11 0 1 0 1 0 1 1 01 1 0 1 0 −1 −1 1 01 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −11 −1 −1 −1 −1 1 0 1 01 0 1 −1 −1 1 0 0 11 −1 −1 1 0 0 1 1 01 1 0 1 0 1 0 0 11 0 1 −1 −1 −1 −1 1 01 1 0 −1 −1 0 1 1 01 1 0 0 1 0 1 0 11 1 0 0 1 1 0 1 01 0 1 1 0 −1 −1 −1 −11 0 1 0 1 −1 −1 0 11 0 1 0 1 1 0 −1 −11 −1 −1 0 1 −1 −1 1 01 0 1 1 0 1 0 1 01 0 1 1 0 0 1 0 1

1 −1 −1 1 11 0 1 −1 −11 0 −1 0 −11 1 −1 1 −11 −1 1 0 11 0 −1 −1 11 −1 0 −1 11 −1 1 1 −11 −1 0 0 −11 0 0 1 −11 1 1 1 01 0 0 −1 01 −1 −1 −1 −11 −1 −1 0 01 1 −1 0 11 −1 0 1 01 0 0 0 11 1 −1 −1 01 0 −1 1 01 0 1 1 11 0 1 0 01 1 0 −1 −11 1 1 −1 11 1 1 0 −11 −1 1 −1 01 1 0 0 01 1 0 1 1

Table 8.1 – Matrices ma and Ma

3. Give some Cartesian representations of the design under study. What can be observed? Whatdo you think of this allocation?

(a) The Cartesian map [1, 2] , [3, 4], that use the first two factors for the first axis and the

33 8.DS E2-07 2007-11-16 (07us, translation)

last two for the second axis, does not reveal any defect.

1 0 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0 1 0 1 0 00 1 0 1 0 0 0 0 10 1 0 1 0 0 0 0 11 0 0 0 0 1 0 1 00 0 1 0 1 0 1 0 00 0 1 0 1 0 1 0 00 1 0 1 0 0 0 0 11 0 0 0 0 1 0 1 0

(b) On the other hand, Cartesian maps using three of the four factors are illustrating thequalities of the design. There are four ways to choose three of the four terms. And forevery restriction a three factors complete design is obtained.

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

4. Recall what is the measure typically used to determine the quality of a design of experiment.Get, by a random pick, an alternative design. How good is it? Compare with the designdescribed by the given file.

(a) The measure usually used to determine the quality of a design is the minimum eigenvalueof the matrix ms=ma’*ma. The greater is this value, the lower is the propagation of error.

(b) The command [Rdatas,Rma,Rms]=randplan() provides a design among all the C2781 pos-

sibilities.

(c) When comparing the values of the two matrices ms (left) and Rms (right), we see that theproposed design ms is far better that the design Rms obtained at random.

9 3.1943819 4.2864829 7.4146659 10.252386

27 17.16090927 20.58215027 30.74616327 37.17182127 50.191043

8.2 Best Boolean Model Without Interaction

1. Use the least squares method and determine the affine model without interactions mx thatprovides the best fit with the experimental results.

(a) The least squares method isms=ma’*ma ; mx=(1/ms)*ma’*mbThis formula is used to determine the model which provides the best fit with the experi-mental data.


(b) One obtains:9.5803648−0.0147956

3.26083000.04336910.8215247−0.0992214

4.0853027−0.0675738

4.9267311

2. Assess the confidence that can be given to this model. Give the details of computations, drawand print any useful graphic.

(a) The confidence that can be given to a model is related to its ability to predict the resultsof the measures that have not been made. The assessment of this ability is mainly basedon its ability to retrospectively predict the past.

(b) A first graph is obtained by reporting the experimental results on the x-axis and thediscrepancies between model and reality on the y-axis. This yields Figure 8.1.

0 5 10 15 20 25

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

ds : residus

Figure 8.1 – Discrepancies versus results

(c) The estimation of the goodness of fit is based on the ratio of the variances :VRF=variance(mb)/variance(mdelta)≈ 8.51

(d) A visual estimation can be obtained by using the ratio of the amplitudes :(max(mb)-min(mb))/(max(mdelta)-min(mdelta))≈ 2.84roughly speaking, this ratio is not very different from the square root of the VRF.

(e) The value VRF≈ 8.51 quantifies the ability to back-cast past events. The fore-cast abilityis obtained by using a correcting factor, due to the degrees of freedom that have beenburnt to obtain the coefficients of the model. This yields to :

est (V RF ) = 8.51× 27− 9

27− 1≈ 5.89

(f) Even so reduced, the quality of the model is good (VRF clearly above 1).

3. Evaluate the (isolated) influence of each factor (plot, print and comment any useful graphic).


(a) The influence of each factor is estimated by examining the amplitude of variations obtai-ned while averaging all others factors (cf Figure 8.2).

Modalité_A Modalité_B Modalité_C Modalité_D

−4

−2

0

2

4

ds : influences : 6.51 1.69 8.07 9.79

Figure 8.2 – Influences of the four factors

(b) Factor D is the most influencing, while factor B is about six times less influent.

8.3 Best Continuous Affine Model

The parameters are now considered as continuous quantities, and the numbers 0, 1, 2 are nowperceived as the values taken by a continuous variable, rather than only labels for a stepwise para-meter.

1. Trial [A, B, C, D] is now coded by [1, A− 1, B − 1, C − 1, D − 1] in order to use centeredvariables. Obtain the new coding matrix mA and the corresponding new model mX .

(a) Matrix mA is described Table 8.1, right.

(b) Matrix mX=(1/mS)*mA’*mb is :9.58036483.25343220.84320934.03569214.8929442

2. Compare the quality of this model with the quality of the previous model.

(a) Regarding the ability to predict the past, this new model is slightly worse than theprevious one. Indeed, var(mdelta)≈ 4.750 while var(mDelta)≈ 4.759.

(b) The measure based on the lowest eigenvalue is clearly in favor of the new design, thematrix mS being now diagonal with eigenvalues 18, 18, 18, 18, 27.

(c) Moreover, this new model requires less coefficients and its forwards forecasting ability ismuch better:

est (FRV ) =40.429

4.759× 27− 5

27− 1≈ 7.19


8.4 Best Second Degree Model

A quadratic model is now considered.1. Show that the design already studied can be used to evaluate the pairwise interactions of

the parameters.

(a) A quadratic model requires n (n− 1) /2 = 6 interaction coefficients and n = 4 curvaturecoefficients together with the n+ 1 = 5 already used coefficients of the affine model. Thisresults into 15 degrees of freedom burnt to compute coefficients, leaving 10 of them foraveraging the errors.

(b) We can also forecast that curvature coefficients will be very small, and only take the 6interaction coefficients. Acting that way leads to a 11 coefficients model.

2. Conduct the necessary calculations and obtain the coefficients of this new model.

(a) Procedure auh(j,k) can be used to build stepwise the Zma (without square terms) andmaa (with square terms) matrices.

(b) It is better to work with centered variables. The xi are centered by design. Therefore,the xixj are centered either. On the other hand, the square terms are not centered. Werather use yi = x2i − 2/3 and correct matrix maa accordingly into matrix Yma.

(c) The spectra of matrices Yms and Zms are given by :

6 6 6 6 9 9 9 15 15 15 18 18 18 18 279 9 9 15 15 15 18 18 18 18 27

(d) The corresponding coefficients are given in Table 8.2. It can be seen that affine, onlycrossproducts and full quadratic models are "nested". This happens because the corres-ponding groups of columns are linearly independent (Yms is a block diagonal matrix).

9.5803648 9.5803648 9.58036483.2534322 3.2534322 3.25343220.8432093 0.8432093 0.84320934.0356921 4.0356921 4.03569214.8929442 4.8929442 4.8929442

0 1.9247444 1.92474440 0.0923934 0.09239340 0.0119960 0.01199600 0.0564158 0.05641580 −0.0688481 −0.06884810 2.1078514 2.10785140 0 0.02219340 0 −0.06505360 0 0.14883210 0 0.1013607

Table 8.2 – Coefficients mX, Zmx and Ymx of the three models

3. Some concluding words would be welcome.

(a) The latest model, with four more factors, leads to a residual variance slightly smaller.But what counts is not to better predict the past.

(b) However, the model without square terms has a better ability to predict the future becauseits VRF is higher (446 instead of 395).

(c) In any case, a second degree model is far better than a first degree one since the termsexpressing interactions 12 and 34 have an influence comparable with the first degreeterms, and are therefore essential for an efficient modeling.


8.5 Listing

//Evaluation : Design of Experiment

//to be called after : ’planx.sce’

-->function readds-->global mydir myfig shortnam datas-->myfig=mydir;-->nam = "dat_planx_ds07a.txt"; shortnam="ds";-->fich = mydir + nam ; disp(’source: ’+fich)-->hndl = mopen(fich, "r") ; rep = mgetl(hndl) ; mclose(hndl) ;-->rep = strsubst( rep, ’ ’, ’_’) ; rep = strsubst( rep, ’_;_’, ’ ’) ;-->frmt=’%s%s%s%s%s%s%s%s’ ; datas = msscanf(-1, rep, frmt) ;-->readmoda-->endfunction

-->function draw_residus_modif-->curfig= scf(1);-->draw_residus ; curax=get(’current_axes’) ;-->curax.title.text=shortnam+" : residus "+curax.title.text-->curax.margins=[0.05,0.01,0.15,0.05] ;-->set_posfig_dim(curfig.figure_size(1),curfig.figure_size(2))-->xs2eps(1, myfig+shortnam+"_residus")-->endfunction

-->function draw_influences_modif-->curfig= scf(2);-->draw_influences ; curax=get(’current_axes’) ;-->curax.title.text=shortnam+" : "+curax.title.text-->set_posfig_dim(curfig.figure_size(1),curfig.figure_size(2))-->xs2eps(2, myfig+shortnam+"_influ")-->endfunction

-->mydir = "/home/douillet/docs/Ensait/planx/planx_ds07a/";-->cd (mydir); exec(’planx.sce’,-1);

!fun readdata(item) !!fun mambms fun mat=data2mat(data) !!fun draw_residus fun draw_influences !!fun rectan=recmap(tox,toy,DAT) !!fun aug(u,v) !!fun [Datas,mA,mS]=randplan() fun [Datas,mA,mS]=goodplan(tx) !

-->//1.1-->readds

source: /home/douillet/docs/Ensait/planx/planx_ds07a/dat_planx_ds07a.txt

-->printf(" nb modalités=%d, nb essais=%d\n", ix,jx)nb modalités=4, nb essais=27

-->//1.2-->ma=data2mat(datas)


1. - 1. - 1. - 1. - 1. 0. 1. 0. 1.1. 1. 0. 0. 1. - 1. - 1. - 1. - 1.1. 1. 0. - 1. - 1. 1. 0. - 1. - 1.1. 0. 1. - 1. - 1. 0. 1. - 1. - 1.1. - 1. - 1. 0. 1. 1. 0. 0. 1.1. 1. 0. - 1. - 1. - 1. - 1. 0. 1.1. - 1. - 1. 1. 0. - 1. - 1. 0. 1.1. - 1. - 1. 0. 1. 0. 1. - 1. - 1.1. - 1. - 1. 1. 0. 1. 0. - 1. - 1.1. 1. 0. 1. 0. 0. 1. - 1. - 1.1. 0. 1. 0. 1. 0. 1. 1. 0.1. 1. 0. 1. 0. - 1. - 1. 1. 0.1. - 1. - 1. - 1. - 1. - 1. - 1. - 1. - 1.1. - 1. - 1. - 1. - 1. 1. 0. 1. 0.1. 0. 1. - 1. - 1. 1. 0. 0. 1.1. - 1. - 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0.1. 1. 0. 1. 0. 1. 0. 0. 1.1. 0. 1. - 1. - 1. - 1. - 1. 1. 0.1. 1. 0. - 1. - 1. 0. 1. 1. 0.1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 0. 1.1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 1. 0.1. 0. 1. 1. 0. - 1. - 1. - 1. - 1.1. 0. 1. 0. 1. - 1. - 1. 0. 1.1. 0. 1. 0. 1. 1. 0. - 1. - 1.1. - 1. - 1. 0. 1. - 1. - 1. 1. 0.1. 0. 1. 1. 0. 1. 0. 1. 0.1. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1.

-->//1.3 : on obtient un plan complet pour chaque triplet de variables-->recmap([1,2],[3],datas)

1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.

-->recmap([2,3],[4],datas)1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.

-->//1.4-->[Rdatas,Rma,Rms]=randplan(); ms=ma’*ma;-->[spec(ms), spec(Rms)]

9. 2.41900389. 3.54693729. 6.11511759. 9.760877527. 15.87209327. 20.78630927. 31.66448927. 36.35757427. 41.477599

-->//2.1-->mambms;


rawvar= 40.429040, redvar= 4.750327, est(FRV)= 5.892086

-->mx9.5803648

- 0.01479563.260830.04336910.8215247

- 0.09922144.0853027

- 0.06757384.9267311

-->//2.2-->draw_residus_modif

-->FRV=variance(mb)/variance(mdelta)8.5107915

-->//2.3-->draw_influences_modif

-->//3.1-->mA=[ones(jx,1), eval(datas(2:$,1:4))-1] ;-->mS=mA’*mA , spec(mS)mS =

27. 0. 0. 0. 0.0. 18. 0. 0. 0.0. 0. 18. 0. 0.0. 0. 0. 18. 0.0. 0. 0. 0. 18.

ans =18.18.18.18.27.

-->mX=(1/mS)*mA’*mb, mDelta=mA*mX-mb;mX =

9.58036483.25343220.84320934.03569214.8929442

-->//3.2-->variance(mDelta)

4.7588996

-->printf("est(FRV)=%f\n", variance(mb)/variance(mDelta)*(jx-5)/(jx-1))est(FRV)=7.188466


-->//4.2-->maa=mA; for j=2:5 do for k=j+1:5 do auh(j,k) ; end; end; Zma=maa;-->for j=2:5 do auh(j,j); end;-->Yma=maa+[zeros(27,11),-ones(27,4)*2/3]; fac=1E14;-->Yms=Yma’*Yma; Yms=round(fac*Yms)/fac; Zms=Zma’*Zma;-->Ymx=(1/Yms)*Yma’*mb; Zmx=(1/Zms)*Zma’*mb;-->[[mX;zeros(10,1)], [Zmx;zeros(4,1)], Ymx]

9.5803648 9.5803648 9.58036483.2534322 3.2534322 3.25343220.8432093 0.8432093 0.84320934.0356921 4.0356921 4.03569214.8929442 4.8929442 4.89294420. 1.9247444 1.92474440. 0.0923934 0.09239340. 0.0119960 0.01199600. 0.0564158 0.05641580. - 0.0688481 - 0.06884810. 2.1078514 2.10785140. 0. 0.02219340. 0. - 0.06505360. 0. 0.14883210. 0. 0.1013607

-->//4.3-->Zmdelta=Zma*Zmx-mb; Ymdelta=Yma*Ymx-mb;

-->printf("est(FRVZ)=%f\n", variance(mb)/variance(Zmdelta)*(jx-5-6)/(jx-1))est(FRVZ)=445.602126

-->printf("est(FRVY)=%f\n", variance(mb)/variance(Ymdelta)*(jx-5-6-4)/(jx-1))est(FRVY)=394.825384

-->exit

Évaluation 9

DS SI-07 2008-04-30 (08us, sujet)

duration 2h00 – All documents are allowed

Some Guidelines

1. The first quality that is expected from an engineer is the ability to submit clearly her/hisfindings. All listings, computations, charts and other "printer outputs" can in no way replacea statement of conclusions, coined in an accurate and scientific language.

2. Doing cut and paste with scissors and glue is probably the fastest way to incorporate theright part of all your printer outputs at the right place of your work.




9.1 Encoding of a Design

Download the files located at: http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds08_1.txt and http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds08_2.txt. Both files are describing a DOE dealing with two results and they differ onlyby their last column. The first file gives the result Y1 and the second file gives the result Y2. Theremaining columns describe the settings (adjustments) of the parameters.

1. How many trials (jx) are occurring? How many factors (ix)? What is, for each factor, thenumber of levels? What is the size of Ω? What is the size (lx) of the code suitable for anaffine model without correlation ?

2. Read one of the files into Scilab and give the matrix ma coding the design.



9.2 Best Boolean Models Without Interaction

1. Use the least squares method and determine the affine model without interactions mx1 thatprovides the best fit with the experimental results b=Y1 .

41

http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds08_1.txt




9.DS SI-07 2008-04-30 (08us, sujet) 42



4. Treat the same questions with the second file and the results b=Y2 .

9.3 Best choice

The former DOE was undertaken to determine what is to be done in order to obtain the greatestY1 and, at the same time, the lowest Y2. Which conclusions can be drawn from the results ?

9.4 Asking for a better design

1. Recall the formulae giving the standard error of prevision εi when using, at point Fi ∈ Ω, themodel obtained from the chosen experiments ω = F1 · · ·Fj.

2. Obtain Fk ∈ ω realizing the minimal value of εk.

3. Obtain Fi ∈ Ω \ ω realizing the maximal value of εi.

4. Describe how to combine these results and obtain a better design of the experimental campaign.

5. Launch the routine in planx.sce that tries to obtain a better design. Obtain mA and mS=mA’*mS .Compare the Cartesian maps of mA and ma .

Évaluation 10

DS A2/E2-07s 2008-09-03 (11, sujet)



1. La première compétence attendue d’un ingénieur est de savoir présenter clairement ses conclu-sions. Les listings, calculs, graphiques et autres objets "tombés d’ordinateur" ne peuvent enaucun cas remplacer un relevé de conclusions rédigé dans une langue correcte et précise.

2. L’expérience montre que la méthode la plus rapide pour réaliser un tel compte rendu estl’utilisation des ciseaux et de la colle. Utiliser "Word" n’est pas une excuse pour se planter,c’est au contraire une circonstance aggravante.

3. Tester les imprimantes en début d’évaluation. Imprimer chaque morceau au fur et à mesure.Pile à l’heure prévue, les imprimantes seront déconnectées.

4. Les NOM_DE_FAMILLE/Prénom de l’étudiant doivent figurer sur chaque document envoyéà l’imprimante.

5. L’attention des étudiants est attirée sur le fait que le trafic réseau de leur ordi-nateur est susceptible d’être enregistré pendant la durée de l’évaluation.

10.1 Description d’un plan d’expérience

Télécharger le fichier situé à l’adresse : http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds11.txt. Ce fichier décrit un plan d’expérience. La dernière colonne est celledes résultats, les autres colonnes décrivent les paramètres (réglages) des essais réalisés.

1. Quel est le nombre jx des essais ? Quel est le nombre ix de modalités ? Quel est, pour chaquemodalité, le nombre de niveaux ?

2. Utiliser (avec les modifications nécessaires) la feuille de calcul http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/planx/planx.sce pour lire ce fichier sous Scilab. Donner plusieurs re-présentations cartésiennes du plan d’expérience décrit par ce fichier. Commentez les résultatsobtenus.

10.2 Meilleur modèle "par niveau"

Rappel : utiliser le codage booléen décrit dans le cours revient à considérer que les valeurs prisespar les paramètres correspondent à des niveaux prédéfinis, que l’on ne peut pas modifier.

1. Rappeler comment se détermine la taille lx du code adapté à un modèle affine "par niveau" ?

2. Donner la matrice ma réalisant le codage du plan d’expérience.

3. Utiliser la méthode des moindres carrés pour déterminer mx, le meilleur modèle affine tenantcompte des résultats expérimentaux.

43



http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/planx/planx.sce

http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/planx/planx.sce

10.DS A2/E2-07s 2008-09-03 (11, sujet) 44

4. Évaluer la confiance que l’on peut apporter à ce modèle. Donner les détails des calculs.Tracer, imprimer et commenter les graphiques utiles.

5. Évaluer l’influence (isolée) de chaque facteur. Tracer, imprimer et commenter les graphiquesutiles.

10.3 Modèle "continu" du premier degré

On considère maintenant les données comme autant de paramètres continus, pour lesquels lecodage naturel est la valeur prise par le paramètre.

1. Expliquer pourquoi l’expressionna=[ones(jx,1),eval(datas(2:$,1:$-1))]donne effectivement le nouveau codage du plan.

2. Rappeler quelle est la formule des moindres carrés, et l’appliquer pour obtenir nx, la listedes coefficients du nouveau modèle.

3. Examiner la qualité de ce nouveau modèle, d’abord pour sa capacité à postdire le passé, puispour sa capacité potentielle à prédire le futur.

10.4 Modèle continu du second degré

1. Utiliser l’item [deal], [xy+yz] du menu pour obtenir la matrice mA correspondant au modèlecontinu du second degré sans carrés. Expliquer la valeur prise par Lx (nombre de coefficientsdu modèle correspondant).

2. Obtenir les coefficients mX de ce modèle. En examiner la qualité.

10.5 Amélioration du plan par niveau

Dans cette partie, on considère à nouveau le plan par niveau, et on cherche à évaluer si les jxmesures choisies sont ou non optimalement réparties dans l’espace Ω des expériences possibles. Onrappelle que la matrice mT décrivant toutes les expériences possibles s’obtient par :mT=tous();

1. Rappeler quelle est la formule donnant la variance des prévisions en un point.

2. Appliquer cette formule aux points Fj ∈ ω (décrits par la matrice ma), et aux points Fk ∈ Ωdécrits par la matrice mT.

3. Examiner si les valeurs trouvées caractérisent un plan acceptable.

4. Indiquer comment fait-on pour améliorer un plan d’expérience par la "méthode d’échange".

Évaluation 11

DS SI-07s 2008-09-24 (12us, sujet)

All documents are allowed

Some Guidelines

1. The first quality that is expected from an engineer is the ability to submit clearly her/hisfindings. All listings, computations, charts and other "printer outputs" can in no way replacea statement of conclusions, coined in an accurate and scientific language.

2. Doing cut and paste with scissors and glue is probably the fastest way to incorporate theright part of all your printer outputs at the right place of your work.




11.1 Encoding a Design

Download the files located at: and . Both files are describing a DOE dealing with two results andthey differ only by their last column. The first file gives the result Y1 and the second file gives theresult Y2. The remaining columns describe the settings (adjustments) of the parameters.

1. How many trials (jx) are occurring? How many factors (ix)? What is, for each factor, thenumber of levels? What is the size of Ω? What is the size (lx) of the code suitable for anaffine model without correlation ?

2. Read one of the files into Scilab and give the matrix ma coding the design.



11.2 Best Boolean Models Without Interaction

1. Use the least squares method and determine the affine model without interactions mx1 thatprovides the best fit with the experimental results b=Y1 .


45

11.DS SI-07s 2008-09-24 (12us, sujet) 46


4. Treat the same questions with the second file and the results b=Y2 .

11.3 Best choice

The former DOE was undertaken to determine what is to be done in order to obtain the greatestY1 and, at the same time, the lowest Y2. Which conclusions can be drawn from the results ?

11.4 Asking for a better design

1. Recall the formulae giving the standard error of prevision εi when using, at point Fi ∈ Ω, themodel obtained from the chosen experiments ω = F1 · · ·Fj.

2. Obtain Fk ∈ ω realizing the minimal value of εk.

3. Obtain Fi ∈ Ω \ ω realizing the maximal value of εi.

4. Describe how to combine these results and obtain a better design of the experimental campaign.

5. Launch the routine in planx.sce that tries to obtain a better design. Obtain mA and mS=mA’*mS .Compare the Cartesian maps of mA and ma .

Évaluation 12

DS E1-07 2008-05-27 (09, sujet)









Télécharger le fichier situé à l’adresse : http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds09a.txt. Ce fichier décrit un plan d’expérience. La dernière colonne est celledes résultats, les autres colonnes décrivent les paramètres (réglages) des essais réalisés.


2. Lire le fichier sous Scilab. Donner plusieurs représentations cartésiennes de ce plan d’expé-rience. Commentez les résultats obtenus

12.2 Meilleur modèle "par niveaux"


1. Rappeler comment se détermine la taille lx du code adapté à un modèle affine "par niveaux" ?




47



12.DS E1-07 2008-05-27 (09, sujet) 48


12.3 Meilleur modèle "continu"





4. On constate que le modèle "par niveaux" et le modèle "continu" n’ont pas la même qualité.Qu’avez-vous à dire à ce sujet ?


Dans cette partie, on se demande comment obtenir une répartition optimale des jx expériencesdans l’espace Ω des expériences possibles. On rappelle que la matrice mT décrivant toutes les expé-riences possibles s’obtient par :mT=tous();



3. On cherche à améliorer le plan d’expérience en échangeant un élément j de ω avec un élémentk de Ω \ ω. Indiquer comment les choisir. Le faire.

4. Expliquer ce que fait la commandemA=[ma([1:j-1,j+1:jx]),mT(k,:)]

5. Examiner si le plan décrit par la matrice mA est meilleur que le plan décrit par la matrice ma.

Évaluation 13

DS A1-07 2008-06-24 (10, sujet)









Télécharger le fichier situé à l’adresse : http://www.douillet.info/~douillet/mathapp/dazzle/planx/dat_planx_ds10.txt. Ce fichier décrit un plan d’expérience. La dernière colonne est celledes résultats, les autres colonnes décrivent les paramètres (réglages) des essais réalisés.


2. Lire le fichier sous Scilab. Donner plusieurs représentations cartésiennes de ce plan d’expé-rience. Commentez les résultats obtenus.

13.2 Meilleur modèle "par niveau"


1. Rappeler comment se détermine la taille lx du code adapté à un modèle affine "par niveau" ?



4. Évaluer la confiance que l’on peut apporter à ce modèle. Donner les détails des calculs.Tracer, imprimer et commenter les graphiques utiles.

49



13.DS A1-07 2008-06-24 (10, sujet) 50

5. Évaluer l’influence (isolée) de chaque facteur. Tracer, imprimer et commenter les graphiquesutiles.

13.3 Modèle "continu" du premier degré





13.4 Modèle continu du second degré

1. Utiliser l’item [deal], [xy+yz] du menu pour obtenir la matrice mA correspondant au modèlecontinu du second degré sans carrés. Expliquer la valeur prise par Lx (nombre de coefficientsdu modèle correspondant).

2. Obtenir les coefficients mX de ce modèle. En examiner la qualité.


Dans cette partie, on considère à nouveau le plan par niveau, et on cherche à évaluer si les jxmesures choisies sont ou non optimalement réparties dans l’espace Ω des expériences possibles. Onrappelle que la matrice mT décrivant toutes les expériences possibles s’obtient par :mT=tous();



3. Examiner si les valeurs trouvées caractérisent un plan acceptable.

4. Indiquer comment fait-on pour améliorer un plan d’expérience par la "méthode d’échange".

Évaluation 14

DS E1-07s 2008-09-24-29 (13, sujet)









Télécharger le fichier situé à l’adresse: . Ce fichier décrit un plan d’expérience. La dernièrecolonne est celle des résultats, les autres colonnes décrivent les paramètres (réglages) des essaisréalisés.


2. Lire le fichier sous Scilab. Donner plusieurs représentations cartésiennes de ce plan d’expé-rience. Commentez les résultats obtenus

14.2 Meilleur modèle "par niveaux"


1. Rappeler comment se détermine la taille lx du code adapté à un modèle affine "par niveaux"?




51

14.DS E1-07s 2008-09-24-29 (13, sujet) 52


14.3 Meilleur modèle "continu"


1. Expliquer pourquoi l’expression na=[ones(jx,1),eval(datas(2:$,1:$-1))]donne effecti-vement le nouveau codage du plan.



4. On constate que le modèle "par niveaux" et le modèle "continu" n’ont pas la même qualité.Qu’avez-vous à dire à ce sujet ?

14.4 Meilleur modèle xy+yz

La ligne "xy+yz" du sous-menu "deal" donne accès à un nouveau modèle.

1. Quelle est la nouvelle valeur de lx ? Expliquer pourquoi.

2. Quel est le facteur de qualité de ce modèle ? Comparer aux modèles précédents.


Dans cette partie, on se demande comment obtenir une répartition optimale des jx expériencesdans l’espace Ω des expériences possibles. On rappelle que la matrice mT décrivant toutes les expé-riences possibles s’obtient par:mT=tous();



3. On cherche à améliorer le plan d’expérience en échangeant un élément j de ω avec un élémentk de Ω \ ω. Indiquer comment les choisir. Le faire.

4. Expliquer ce que fait la commande mA=[ma([1:j-1,j+1:jx]),mT(k,:)]

5. Examiner si le plan décrit par la matrice mA est meilleur que le plan décrit par la matrice ma.

Évaluation 15

DS A1-08 2009-03-11 (14, sujet)









Télécharger le fichier situé à l’adresse: . Dans ce fichier les deux dernières colonnes donnentles résultats Y 1 et Y 2 d’une campagne d’expérimentation, les autres colonnes décrivent les para-mètres (réglages) des essais réalisés.

1. Lire le fichier sous Scilab. Il est rappelé que, faute d’arriver à retravailler le fichier sous Scilab,il est toujours possible de le faire avec d’autres logiciels.

2. Quel est le nombre jx des essais ? Quel est le nombre ix de facteurs ? Quel est, pour chaquefacteur, le nombre de niveaux ? Quelle est la taille totale de l’espace à explorer ?

3. Donner plusieurs représentations cartésiennes de ce plan d’expérience, dont la carte [1, 2], [3, 4].Commentez les résultats obtenus.

15.2 Meilleur modèle sans interaction

1. Rappeler comment se détermine la taille lx du code adapté à un modèle affine "par niveaux".


3. Utiliser la méthode des moindres carrés pour déterminer mx, le meilleur modèle affine te-nant compte des résultats expérimentaux concernant la première colonne de résultats (meandiameter).

53

15.DS A1-08 2009-03-11 (14, sujet) 54



6. Exécuter les commandes : maa=ma; aug(5,7); aug(5,8); aug(6,7); aug(6,8); ? Peut-onutiliser maa pour obtenir un meilleur modèle ?

15.3 Choix optimal

1. Reprendre les questions 3, 4, 5 ci-dessus pour la deuxième colonne de résultats (% of toofine).

2. La campagne d’expérimentation avait été entreprise pour essayer d’obtenir en même tempsle plus grand Y 1 (mean diameter) et le plus petit Y 2 (% of too fine). Que peut-on conclureà partir des résultats obtenus ?

15.4 Amélioration du choix des expériences

Dans cette partie, on se demande si un meilleur choix des expériences à réaliser était possible.

1. Déterminer les incertitudes de prévision concernant les expériences de la liste retenue.

2. Rappeler quelle est la meilleure valeur possible.

3. Déterminer les incertitudes de prévision concernant l’ensemble des expériences possibles (uti-liser la commande stacksize(7000000) pour créer la place nécessaire aux calculs).

4. Décrire comment obtenir un meilleur choix pour les expériences à entreprendre... et le faire.

Évaluation 16

DS E1-08 2009-04-27 (15abc, sujet)








Télécharger le fichier (situé sur le campus nurémique). Dans ce fichier les deux dernièrescolonnes donnent les résultats Y 1 et Y 2 d’une campagne d’expérimentation, les autres colonnesdécrivent les paramètres (réglages) des essais réalisés.

1. Lire le fichier sous Scilab. Il est rappelé que, faute d’arriver à retravailler le fichier sous Scilab,il est toujours possible de le faire avec d’autres logiciels.


3. Donner plusieurs représentations cartésiennes de ce plan d’expérience, dont la carte [1, 2], [3, 4].Commentez les résultats obtenus.




3. Utiliser la méthode des moindres carrés pour déterminer mx, le meilleur modèle affine te-nant compte des résultats expérimentaux concernant la première colonne de résultats (Meandiameter).


55

16.DS E1-08 2009-04-27 (15abc, sujet) 56

5. Évaluer l’influence (isolée) de chaque facteur (tracer, imprimer et commenter les graphiquesutiles). On pourra utiliserdatas(1,:)=part(datas(1,:),[1:8]);

6. Exécuter les commandes : maa=ma; aug(5,7); aug(5,8); aug(6,7); aug(6,8); ? Peut-onutiliser maa pour obtenir un meilleur modèle ?

16.3 Choix optimal

1. Reprendre les questions 3, 4, 5 ci-dessus pour la deuxième colonne de résultats (% of toofine).

2. La campagne d’expérimentation avait été entreprise pour essayer d’obtenir en même tempsle plus grand Y 1 (mean diameter) et le plus petit Y 2 (% of too fine). Que peut-on conclureà partir des résultats obtenus ?

16.4 Amélioration du choix des expériences

Dans cette partie, on se demande si un meilleur choix des expériences à réaliser était possible.

1. Déterminer les incertitudes de prévision concernant les expériences de la liste retenue.

2. Rappeler quelle est la meilleure valeur possible.

3. Déterminer les incertitudes de prévision concernant l’ensemble des expériences possibles (uti-liser la commande stacksize(7000000) pour créer la place nécessaire aux calculs).

4. Décrire comment obtenir un meilleur choix pour les expériences à entreprendre... et le faire.

Évaluation 17

DS SI-08 2009-05-25 (18us, MCI)

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All documents are allowed

MCI evaluation method

Evaluation will be carried, according to the following rules :

ordinary items : right = 2, otherwise = 0 mci) : right = 2, missing = 0, wrong = -1

whereafter total mark will be scaled to produce the actual score. To state the rules once more,guessing would be a bad strategy, since

wrong answers will mark a negative scoreonly missing answers are neutral

Factorial "catapult" experiment

(from http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section4/pri472.htm).This experiment was conducted on a catapult launching golf balls – a table-top device used to teachdesign of experiments and statistical process control. The experiment has five factors that mightaffect the distance the golf ball travels.

The purpose is to determine the significant factors that affect the distance the ball is thrown bythe catapult, and to determine the settings required to reach 3 different distances (30, 60 and 90inches). The response variable is the distance Y in inches from the front of the catapult to the spotwhere the ball lands.

The variables are:— Factor 1 = band height (height of the pivot point for the rubber bands – levels were 2.25

and 4.75 inches with a centerpoint level of 3.5)— Factor 2 = start angle (location of the arm when the operator releases– starts the forward

motion of the arm – levels were 0 and 20 degrees with a centerpoint level of 10 degrees)— Factor 3 = rubber bands (number of rubber bands used on the catapult– levels were 1 and

2 bands)— Factor 4 = arm length (distance the arm is extended – levels were 0 and 4 inches with a

centerpoint level of 2 inches)— Factor 5 = stop angle (location of the arm where the forward motion of the arm is stopped

and the ball starts flying – levels were 45 and 80 degrees with a centerpoint level of 62degrees)

57

http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section4/pri472.htm

17.DS SI-08 2009-05-25 (18us, MCI) 58

# band height start angle rbands arm length stop angle Y: distance1 3.25 0 1 0 80 282 4 20 2 2 62 993 4.75 10 2 4 80 126.54 4.75 0 2 4 45 126.55 3.25 20 2 4 80 456 4.75 0 1 0 45 357 4 10 1 2 62 458 4.75 20 1 0 62 28.259 4.75 0 1 4 80 8510 3.25 20 1 0 45 811 4.75 20 1 4 45 36.512 3.25 0 1 4 45 3313 4 10 2 2 62 84.514 4.75 20 2 0 45 28.515 3.25 0 2 0 45 33.516 3.25 20 2 0 80 3617 3.25 0 2 0 80 8418 4.75 20 1 4 80 4519 4 10 1 2 62 37.520 3.25 10 1 2 80 106

Table 17.1 – Experimental data

59 17.DS SI-08 2009-05-25 (18us, MCI)

Name of the test taker:—

17.1 Describing

1. How many factors are there ?

2. What is, for each factor, the number of levels?

3. Is the design orthogonal ? A = yes, B = no mci:

4. What is the Cartesian map relative to (start angle ; stop angle)?

A =4 0 40 4 04 0 4

, B =3 2 32 0 23 2 3

, C =4 0 30 3 22 2 3

D =3 0 40 4 15 0 3

mci:

5. What is the Cartesian map relative to (band height and rbands ; arm length)?

A =2 3 0 0 2 11 0 2 2 0 01 1 0 0 3 2

, B =2 2 0 0 2 20 0 3 1 0 12 1 0 1 2 1

, C =2 2 1 0 1 20 0 2 2 1 02 1 0 0 2 2

mci:

17.2 Discrete model

6. What is a discrete model ?

7. What is the size of the code adapted to the experiments ?A=9, B=10, C=12 mci:

8. What is the size of the global space Ω?

9. Describe how to code the experiments.

10. Give the result for the fourth experiment.A = 1, 0, 1,−1,−1, 1, 0, 1, 0, 1

B = 1, 0, 1,−1,−1, 1, 0, 1,−1,−1

C = 1, 0,−1,−1,−1, 1, 0, 1,−1,−1

mci:

11. What is the number of remaining experiments, that can be used to evaluate our confidencein the model? A = 8, B = 9, C = 10, D = 11 mci:

12. Knowing that rawvar ≈ 1277 and redvar ≈ 193,what is the corresponding value of est (V RF ) ?

17.3 Continuous models

Since all factors are continuous apart from a two levels factor, continuous models can alsobe used.

13. What is the code length of a first degree model ?

14. Knowing that redvar = 493, what isthe new value of est(VRF) ?

15. What is a model xy+yz ?

17.DS SI-08 2009-05-25 (18us, MCI) 60

16. What is the corresponding value of lx ?

17. Obtained redvar is now 211. What isthe resulting est(V RF )?

18. Now, we replace column 1 and 3 by another column, namely the product element by elementof these two columns. This process results in a description with four entries. What could be

the rationales for acting that way?

19. Obtained redvar is now 445. What isthe resulting est(V RF )?

20. What is the best model among those described at #13, #15, #18A=#13, B=#15, C= #18 ? mci:

.

Évaluation 18

DS A1/E1-09s 2009-09-02 (17, sujet)



Le tableau ci-dessous décrit les récoltes obtenues en fonction du type de sol concerné et du typede fertilisant employé.

yield soil fert yield soil fert280 1 1 230 2 1290 1 1 235 2 1285 1 1 240 2 1300 1 2 260 2 2310 1 2 240 2 2295 1 2 235 2 2270 1 3 220 2 3285 1 3 225 2 3290 1 3 230 2 3

1. Faire ce qu’il faut pour rendre les données utilisables sous scilab.


3. Donner une représentation cartésienne de ce plan d’expérience. Commentez les résultatsobtenus.




3. Utiliser la méthode des moindres carrés pour déterminer mx, le meilleur modèle sans inter-actions tenant compte des résultats expérimentaux.



18.3 Un autre modèle

1. Exécuter les commandes : maa=ma; aug(5,7); aug(5,8); aug(6,7); aug(6,8);

61

18.DS A1/E1-09s 2009-09-02 (17, sujet) 62

2. Quelle est la signification de ce calcul ? Comment utiliser maa pour obtenir un meilleurmodèle ?

3. Le faire et commenter les résultats obtenus.

18.4 Facteur complémentaire

On souhaite repenser la campagne d’expérimentation, en introduisant un autre facteur (tout enconservant les choix déjà faits pour soil et fert).

1. Donner (et justifier) un choix optimal pour les niveaux du 3ème facteur lorsque ce facteurcomporte deux niveaux.

2. Donner (et justifier) un choix optimal pour les niveaux du 3ème facteur lorsque ce facteurcomporte trois niveaux.

3. Que faire lorsque le troisième facteur comporte quatre niveaux ?

Évaluation 19

DS A1-09 2009-12-01 (19, sujet)

19.1 Introduction

19.1.1 Présentation du problème

SKF, entreprise suédoise avec des usines dans 14 pays, a utilisé un plan d’expérience pourperfectionner ses roulements à aiguilles. L’expérimentation a consisté à étudier 3 facteurs:

1. A. Osculation: deux niveaux pour le rapport entre le rayon des aiguilles et celui des cages;2. B. Traitement thermique de l’anneau interne;3. C. Matériau de la cage : acier comparé à un polymère meilleur marché.

19.1.2 Travail demandé

Pour chaque question, on fournira une réponse rédigée, indiquant les calculs utilisés et justifiantce qui en a besoin. Les éléments de listing et les graphes utiles seront fournis.

19.2 Étude du plan retenu

Ordre A B C AB AC BC ABC Vie (heures)1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 172 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 253 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 264 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 855 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 196 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 217 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 168 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 128

Table 19.1 – Plan 2^3 et résultats pour les roulements

La Table 19.1 décrit le plan utilisé et ses résultats.1. Commentez le plan choisi.2. Qu’est ce que l’orthogonalité ? Est-ce utile ? Est-ce applicable ici ?3. Donnez une cartographie simple de ce plan.

19.3 Modèles sans et avec interactions

1. En choisissant un modèle linéaire sans interactions, calculez les coefficients correspondants.Que peut-on dire des influences respectives ? Des erreurs résiduelles ? Fournir les graphesutiles et les commenter.

63

19.DS A1-09 2009-12-01 (19, sujet) 64

2. Mêmes questions avec un modèle incluant les interactions.

19.4 Transformations statistiques

On constate que les réponses varient d’environ un ordre de grandeur, de 16 à 128 heures. On sedemande si une transformation, comme prendre la racine carrée ou le logarithme du résultat changela qualité du modèle.

1. On prend la racine carrée des résultats et on calcule le modèle (avec interactions) correspon-dant. Décrire, comparer.

2. On prend le logarithme des résultats et on calcule le modèle (avec interactions) correspon-dant. Décrire, comparer.

3. Existe-t-il une justification pour l’une ou l’autre de ces transformations ?

19.5 Conclusion

1. Formulez explicitement le meilleur modèle obtenu.

2. Que peut-on conclure du plan d’expérience qui a été réalisé ?

3. Quelles seraient vos préconisations pour un plan d’expériences complémentaires ?

Évaluation 20

DS A1-09s 2010-09-02 (20, sujet)

20.1 Introduction

20.1.1 Présentation du problème

SKF, entreprise suédoise avec des usines dans 14 pays, a utilisé un plan d’expérience pourperfectionner ses roulements à aiguilles. L’expérimentation a consisté à étudier 3 facteurs:

1. A. Osculation: deux niveaux pour le rapport entre le rayon des aiguilles et celui des cages;2. B. Traitement thermique de l’anneau interne;3. C. Matériau de la cage : acier comparé à un polymère meilleur marché.

20.1.2 Travail demandé

Pour chaque question, on fournira une réponse rédigée, indiquant les calculs utilisés et justifiantce qui en a besoin.

20.2 Étude du plan retenu

Ordre A B C AB AC BC ABC Vie (heures)1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 162 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 243 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 264 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 835 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 196 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 227 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 168 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 126

Table 20.1 – Plan 2^3 et résultats pour les roulements

La Table 20.1 décrit le plan utilisé et ses résultats.1. Commentez le plan choisi.2. Qu’est ce que l’orthogonalité ? Est-ce utile ? Est-ce applicable ici ?3. Donnez une cartographie simple de ce plan.

20.3 Modèles sans et avec interactions

1. En choisissant un modèle linéaire sans interactions, calculez les coefficients correspondants.Que peut-on dire des influences respectives ? Des erreurs résiduelles ?

2. Mêmes questions avec un modèle incluant les interactions.

65

20.DS A1-09s 2010-09-02 (20, sujet) 66

20.4 Transformations statistiques

On constate que les réponses varient d’environ un ordre de grandeur, de 16 à 127 heures. On sedemande si une transformation, comme prendre la racine carrée ou le logarithme du résultat changela qualité du modèle.

1. On prend la racine carrée des résultats et on calcule le modèle (avec interactions) correspon-dant. Décrire, comparer.

2. On prend le logarithme des résultats et on calcule le modèle (avec interactions) correspon-dant. Décrire, comparer.

3. Existe-t-il une justification pour l’une ou l’autre de ces transformations ?

20.5 Conclusion

1. Formulez explicitement le meilleur modèle obtenu.

2. Que peut-on conclure du plan d’expérience qui a été réalisé ?

3. Quelles seraient vos préconisations pour un plan d’expériences complémentaires ?

20.6 Remarque à caractère expérimental (octobre 2010)

La session de Septembre (A1-09s) a été organisée pour les étudiants ayant échoué à la sessionordinaire. Le sujet ordinaire était raisonablement faisable pour des étudiants ayant assisté auxTD (moyenne 12, écart-type 4). Reposer un sujet quasiment identique a permis de déterminerexpérimentalement la motivation et/ou l’intensité des révisions: moyenne 10, écart-type 7.

Vu la très petite taille de l’échantillon, il n’a pas été possible de séparer les facteurs.

plans d’expérience évaluations...

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