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IntroductionLogique propositionnelle

Logique des prédicatsEt au-delà ?

Logique(s)

Philippe ÉZÉQUEL

Université Jean Monnet, Saint-Étienne

Philippe ÉZÉQUEL Logique(s)



Plan

1 Introduction

2 Logique propositionnelle

3 Logique des prédicats

4 Et au-delà ?




Bibliographie sommaire

1 René CORI, Daniel LASCAR, Logique Mathématique, cours et

exercices, Masson

2 site metamath : http://us.metamath.org/index.html

3 comme d’habitude, Wikipédia, article «logique mathématique»




Plusieurs points de vueSyntaxe : systèmes formelsSémantique : modèlesLiens entre syntaxe et sémantique

Plan

1 IntroductionPlusieurs points de vueSyntaxe : systèmes formelsSémantique : modèlesLiens entre syntaxe et sémantique



4 Et au-delà ?





mathématique :

• historiquement le premier (Boole)

• étude des démonstrations : syntaxe

• modélisation des mathématiques : sémantique

• statut ambigu : outil d’exploration, et objet de cette étude

informatique :

• syntaxe : mécanisation du «raisonnement»

• sémantique : modélisation du monde, IA, résolution deproblèmes,. . .

• étude de la «calculabilité»

électronique :

• conception et optimisation de circuits





Définition

Description

• un langage L (ensemble de formules dites bien formées)

• des axiomes A ∈ L

• des règles d’inférence R : Ln −→ L

À quoi ça sert ?

Théorèmes d’un système formel :

• tout axiome est un théorème,

• si T1, . . . ,Tn théorèmes, si R est n-aire, R(T1, . . . ,Tn)théorème





Exemple : le système PG (D. Hofstadter)

• formules bien formées : xPyGz avec x , y et z suites de a

• axiomes : xPaGxa

• règle d’inférence : si xPyGz est un théorème, alors xPyaGzaaussi.

aaPaaaaGaaaaaa est un théorème :

aaPaGaaa −→−→−→

Question

Caractérisez les théorèmes de PG





Exemple : MU, un continent à explorer (D. Hofstadter)

• formules bien formées : mots écrits avec M, I et U• axiome : MI• 4 règles d’inférence :

(1) Mx −→ Mxx (2) xI −→ xIU(3) xIIIy −→ xUy (4) xUUy −→ xy

MUII est un théorème :

MI −→−→−→−→−→−→−→





Exemple : MU, un continent à explorer

Question (à 2 e)

MU est-il un théorème ?

Question (à 4 e)

Caractérisez les théorèmes de MU





Exemple : le système NDP

• formules bien formées : xNDPy ou Px ou xSDy (x , y suites nonvides de a)

• axiomes : xyNDPx• 4 règles d’inférence :

1 xNDPy −→ xNDPxy

2 aaNDPx −→ xSDaa

3 xSDy et yaNDPx −→ xSDya

4 xaSDx −→ Pxa





Exemple : le système NDP

Paaaaa est un théorème :

1

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• un système formel est censé «représenter» une «réalité»

• cette réalité est un modèle du système formel

• mais il n’est pas nécessairement le seul : cf théorème deLowenheim-Skolem, plus loin. . .

• en logique, donner une sémantique à une formule, c’est«calculer une valeur de vérité»





Le Graal des logiciens

Syntaxe ≡ Sémantique

• le fond est la forme (juridisme étroit. . . )

• système formel consistant : tout théorème est «vrai»

• système formel complet : toute vérité en est un théorème

• complet et consistant : toute la vérité (complet), rien que lavérité (consistant)

• avantage d’un système complet et consistant : mécanisationdes preuves





Badaboum !

Théorème d’incomplétude de Godel

Tout système formel

• récursivement axiomatisable ( ?),

• décrivant au moins l’arithmétique des entiers,

• consistant,

est (constructivement) incomplet.

• limitation intrinsèque des systèmes formels «suffisamment»puissants

• traduit l’échec du programme de Hilbert, mécaniser lesmathématiques

• systèmes formels emboîtés, de plus en plus expressifs• cf l’hypothèse du continu. . .




Formules bien forméesSémantiqueSyntaxeUtilisations

Plan

1 Introduction

2 Logique propositionnelleFormules bien forméesSémantiqueSyntaxeUtilisations


4 Et au-delà ?





Présentation

• proposition : énoncé soit vrai, soit faux (inconditionnellement)

• assez faible : ne contient pas l’arithmétique

• du coup, pas sensible à l’incomplétude godelienne

• la syntaxe est la sémantique





Langage

• une infinité de propositions, P

• des connecteurs : NON, ET, OU, IMPLIQUE,. . .

Formules• x ∈ P est une FBF

• si F est une FBF, ¬F aussi

• si F et G sont des FBF, si op ∈ {¬,∧,∨,→, . . .}, (F op G )est une FBF





Définitions

• tables de vérité bien connues ( ?)

• interprétation d’une FBF : application P −→ {VRAI,FAUX}

• I modèle de F si I (F ) = VRAI, contre-modèle siI (F ) = FAUX

• F satisfiable si elle a un modèle, insatisfiable sinon

• F invalide si elle a un contre-modèle, valide sinon

• test de satisfiabilité de complexité exponentielle (archétype desproblèmes NP-complets, cf cours de complexité de G. Hanrot)

• F conséquence logique de G si tout modèle de G est unmodèle de F

• F ≡ G si chacune est conséquence de l’autre





Formes normales

• littéral : proposition ou négation de proposition

• monome : conjonction de littéraux

• clause : disjonction de littéraux

• forme normale conjonctive (FNC) : conjonction de clauses

• forme normale disjonctive (FND) : disjonction de monomes

Toute formule est équivalente à une FNC (FND)





Systèmes de connecteurs complets, minimaux

• connecteur : application {VRAI,FAUX}n −→ {VRAI,FAUX}

• système de connecteurs complet si toute formule estéquivalente à une formule ne comportant que ces connecteurs

• système complet est minimal si aucun de ses sous-ensemblespropres ne l’est





Systèmes de connecteurs : exemples

• FNC, FND : {¬,∨,∧} complet

• {¬,∨,∧} pas minimal :

a ∨ b ≡ ¬(¬a ∧ ¬b) a ∧ b ≡ ¬(¬a ∨ ¬b)

• {¬,→} complet minimal

• {NAND} complet minimal ( {NOR} aussi !)

• {SI. . . ALORS. . . SINON . . . ,VRAI,FAUX} complet minimal,d’où le théorème de Shannon :

F ≡ (x ∧ F [x = VRAI]) ∨ (¬x ∧ F [x = FAUX])





Le système formel S3

• langage : formules avec les connecteurs ¬ et →• axiomes :

1 P → (Q → P)2 (P → (Q → R))→ ((P → Q)→ (P → R))3 (¬Q → ¬P)→ (P → Q)

• règle d’inférence : modus ponens,

si P et P → Q, alors Q





Une démonstration dans S3

P → P est un théorème de S3 (noté ⊢ P → P) :

1 (P → ((P → P)→ P))→ ((P → (P → P))→ (P → P))(axiome 2)

2 P → ((P → P)→ P) (axiome 1)

3 (P → (P → P))→ (P → P) (modus ponens 1 et 2)

4 P → (P → P) (axiome 1)

5 P → P (modus ponens 3 et 4)

QED !Remarque : tout se passe comme si on avait un nouvel axiome. . .





Une autre démonstration dans S3

Un résultat bien utile

⊢ P → Q ⇐⇒ P ⊢ Q

⊢ ¬¬P → P , cad ¬¬P ⊢ P :

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Propriétés de S3

• S3 consistant : pas étonnant, puisque1 les axiomes sont valides,2 le modus ponens préserve la validité,3 d’où le résultat par récurrence (facile)

• S3 constructivement complet : preuve délicate

• complexité d’une «preuve» : exponentielle (sinon P = NP !)





Autres systèmes formels

• Axiome unique de Meredith :

(((((A→ B)→ (C → D))→ C )→ E )→ ((E → A)→ (D → A)))

• calcul des séquents de Gentzen : déduction « naturelle »

• principe de résolution : programmation logique





Électronique

• un connecteur logique = un circuit à base de transistors

• théorème de Shannon : forme dite ΣΠ (en fait FND)

• tableaux de Karnaugh : minimisation de la FND

• seulement jusqu’à 4 variables

• au-delà : arbres de décisions binaires (BDD)

• VHDL, compilation dans le silicium





Résolution de problèmes

• cryptarithme SEND + MORE = MONEY

• variable S2 : « S représente le chiffre 2»

• S ne peut prendre qu’une valeur :

9∨

i=0

Si ∧∧

i 6=j

¬Si ∨ ¬Sj

• si D = 5 et E = 3 alors Y = 8 et R1 = 0 :

D5 ∧ E3 → Y8 ∧ R10

• modèle : solution du cryptarithme





IA : systèmes experts

• base de connaissance : ensemble de clauses

• moteur d’inférences : implante le modus ponens

• question posée : théorème à démontrer




Formules bien forméesSémantiqueSyntaxeProgrammation logique

Plan

1 Introduction


3 Logique des prédicatsFormules bien forméesSémantiqueSyntaxeProgrammation logique

4 Et au-delà ?





Présentation

• prédicat : proposition qui dépend d’arguments

• prédicat : Argumentsn −→ {VRAI,FAUX}

• arguments : termes, objets du discours

• on peut quantifier les termes dans une formule





Exemples

Tous les hommes sont mortels

∀X homme(X )→ mortel(X )

Nul n’entre ici s’il n’est géomètre

∀X ¬géomètre(X )→ ¬entre(X , ici)





Termes

• un ensemble de variables V

• des symboles fonctionnels n-aires (si n = 0 on a uneconstante)

Termes

• toute variable est un terme

• si f est un symbole fonctionnel n-aire, T1,. . . , Tn termes, alorsf (T1, . . . ,Tn) terme





Exemples

• antoine

• cons(4,cons(3,cons(1,nil)))

• cons(a,L)

• arbre_binaire(5,vide,vide)

• arbre_binaire(X,vide,D)





Formules

• si p est un prédicat n-aire, si T1,. . . , Tn termes, alorsp(T1, . . . ,Tn) formule (dans ce cas un atome)

• si F formule, ¬F aussi

• si F et G sont des formules, si op ∈ {¬,∨,∧,→, . . .},(F op G ) est une formule

• si F formule, si X ∈ V, (∀X F ) et (∃X F ) formules

• on peut se limiter à un système complet de connecteurs et unquantificateur. . .

7





Interprétation d’une formule

• un ensemble A

• pour chaque symbole fonctionnel n-aire f , une fonction

fA : An −→ A

• pour chaque prédicat n-aire p, une fonction

pA : An −→ {VRAI,FAUX}

• ¬F , F op G interprétées comme pour les propositions

• (∀X F ) si et seulement si, pour tout a ∈ A, F [X ← a]

• (∃X F ) si et seulement si il existe a ∈ A, F [X ← a]

• modèle (in)fini si A (in)fini.





Exemple 1

Formules

• ∀X ∀Y parent(X ,Y )→ ancetre(X ,Y )

• ∀X ∀Y ∀Z parent(X ,Y ) ∧ ancetre(Y ,Z )→ ancetre(X ,Z )

Une interprétation

• A = {claude, camille, anne}

• parent(claude,camille), parent(camille,anne)

• que vaut la relation ancetre ?





Exemple 2

Formules

• ∀L append(vide, L, L)

• ∀X ∀L1 ∀L2 ∀L3

append(L1, L2, L3)→ append(cons(X , L1), L2, cons(X , L3))

Programme logique

• append([],L,L).

• append([X|L1], L2, [X|L3]) :- append(L1,L2,L3).





Systèmes formels pour les prédicats

• extensions de S3 : Tarski, metamath,. . .

• séquents de Gentzen (déduction naturelle)

• principe de résolution





Complétude

Théorème de complétude de Gödel

Le calcul des prédicats est complet

MAIS

Théorème de Church

Le calcul des prédicats est indécidable





Paradoxe de Skolem

Théorème de Lowenheim-Skolem

Si F admet un modèle infini, elle admet un modèle dénombrable

Les réels

• il existe un système formel du premier ordre pour les réels

• il admet (bien sûr) un modèle infini, donc un modèledénombrable

• il existe donc des modèles dénombrables de R. . .





Résolution

• C1 ∨ C2 résolvante de C1 ∨ ℓ et C2 ∨ ¬ℓ

• notation : C1 ∨ ℓ,C2 ∨ ¬ℓ ⊢R C1 ∨ C2

Théorème de complétude et consistance

F conséquence logique de C ⇐⇒ C ∪ {¬F} ⊢⋆R �





Règles

• clause de Horn : au plus un littéral positif

• clause de Horn définie : exactement un littéral positif

• notation : la clause

C1 ∧ · · · ∧ Ck → T

se notet :- c1...ck

• programme logique : ensemble de clauses de Horn définies

• résolution linéaire input. . .

Démonstration ! ! !




Logiques multivaluéesLogiques modalesOrdre supérieur

Plan

1 Introduction



4 Et au-delà ?Logiques multivaluéesLogiques modalesOrdre supérieur





Plusieurs valeurs de vérité ?

• nouvelles valeurs de vérité : degrés de vérité ou d’incertitude

• par exemple VRAI,FAUX,⊥ (Łukasiewicz)

• tables :

F ¬F

0 11 0⊥ ⊥

∨ 0 1 ⊥

0 0 1 ⊥

1 1 1 1⊥ ⊥ 1 ⊥

∧ 0 1 ⊥

0 0 0 01 0 1 ⊥

⊥ 0 ⊥ ⊥

• complétude, systèmes de connecteurs complets conservés. . .

• décidables dans le cas propositionnel

• . . . représentables en logique « binaire »





Et une infinité de valeurs ?

• logique floue, Lotfi Zadeh, 1965

• interprétation d’une proposition : fonction continueP −→ [0, 1]

• connecteurs : opérateurs continus sur [0, 1]

• statut épistémologique incertain : cf les discussions sur lespages Wikipédia fr et en. . .





Motivation

On veut pouvoir nuancer un énoncé :

Diverses nuances

• il est possible qu’il pleuve

• je sais qu’il pleut, je crois qu’il pleut

• il va pleuvoir, il a plu

• il doit pleuvoir

Diverses logiques modales

• aléthique : il est possible qu’il pleuve

• épistémique : je sais qu’il pleut, je crois qu’il pleut

• temporelle : il va pleuvoir, il a plu

• déontique : il doit pleuvoir





Formules

• une formule de plus : si F est une formule, �F aussi

• abréviation : ¬�¬F s’écrit ♦F

• sémantique :• �F : F est nécessaire (partout ou tout le temps vraie)• ♦F : F est possible (ici et là ou parfois vraie)

• interprétation : mondes possibles (Kripke)

• axiomes spécifiques supplémentaires





Exemples (logique épistémique)

• P :

• ¬P :

• �P :

• �¬P :

• ♦P :

• ♦¬P :

• ��P :

• �¬�P :





Utilisation

• IA : logique épistémique des agents rationnels

• IA : relations temporelles dans le langage naturel

• systèmes réactifs : logique temporelle

• combinaisons de modalités





Logiques d’ordre 1, 2,. . . , ω

• logique propositionnelle : ordre 0

• logique des prédicats : ordre 1• logiques d’ordre supérieur :

1 on quantifie aussi les fonctions et les prédicats ;2 les prédicats et fonctions peuvent être des arguments ;3 ordre n + 1 : des prédicats d’ordre n sont arguments.

• exemple :

∀P[

P(a) ∧ (∀z P(z) −→ P(f (z)))]

−→ (∀x P(x))


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