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ENCG 2011-2012

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ENCG 2011-2012

INTRODUCTION A LA PROGRAMMATION LINEAIRE

On appelle Programmation Linéaire, le problème mathématique qui consiste à optimiser (maximiser ou minimiser) une fonction linéaire de plusieurs variables qui sont reliées par des relations linéaires appelées contraintes.

1) RESOLUTION GRAPHIQUE

Cette méthode n'est applicable que dans le cas où il n'y a que deux variables. Son avantage est de pouvoir comprendre ce que fait la méthode générale du Simplexe, sans entrer dans la technique purement mathématique.

Soit à résoudre le problème suivant:Maximiser la fonction objectif                  z = 1200 x1 + 1000 x2

sous les contraintes économiques             3 x1 + 4 x2 160                                                                6 x1 + 3 x2 180

et les contraintes de signe                         x1 0    ;   x2 0les inconnues x1 et x2 sont appelées variables d'activité

Les contraintes économiques et de signe sont représentées graphiquement par des demi-plans dont l'intersection est un ensemble convexe (c.à.d. tout segment de droite dont les extrémités appartiennent à l'ensemble est entièrement inclus dans cet ensemble). Les solutions, si elles existent appartiennent donc à cet ensemble appelé région des solutions admissibles.

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Il s'agit donc de chercher à l'intérieur de ce domaine, le couple (x1 , x2) maximisant la fonction objectif. Or l'équation  1200 x1 + 1000 x2 = z0 est représentée par une droite de pente constante (-1,2) dont tous les points (x1 , x2) fournissent la même valeur z0 pour la fonction économique. En particulier, la droite 1200 x1 + 1000 x2 = 0 passe par l'origine et donne une valeur nulle à la fonction économique.Pour augmenter la valeur de z0 et donc la fonction économique, il suffit d'éloigner de l'origine

(dans le quart de plan x1 0 ; x2 0) la droite de pente -1,2Pour respecter les contraintes, cette droite sera déplacée jusqu'à l'extrême limite où il n'y aura plus qu'un point d'intersection (éventuellement un segment) avec la région des solutions admissibles.     

On remarquera que la solution optimale se trouve nécessairement sur le pourtour de la région des solutions admissibles.La solution se trouvant sur les deux droites d'équation 3 x1 + 4 x2 160 6 x1 + 3 x2 180la résolution de ce système conduit à la solution x1 =16 , x2 28, d'où z = 47200.

2) METHODE DU SIMPLEXE

a) Forme canonique d'un Programme Linéaire

Max z = c1 x1   + c2 x2  + .......... +cn xn

                  a11 x1  + a12 x2 + .......... + a1n xn b1

                  a21 x1  + a22 x2 + .......... + a2n xn b2

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                  ............................................................................

                  am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn bm

              x1 0 ;   x2 0 ;  .........;  xn 0

b) Forme standard d'un Programme Linéaire

On transforme les inégalités des contraintes économiques en égalités par introduction de variables supplémentaires positives ou nulles appelées variables d'écart.ai1 x1  + ai2 x2 + .......... + ain xn bi    devient    ai1 x1  + ai2 x2 + .......... + ain xn + ti bi

d'où la forme standard

Max z = c1 x1  +  c2 x2  + ..........+  cn xn

                  a11 x1  + a12 x2 + .......... + a1n xn  + t1 b1

                  a21 x1  + a22 x2 + .......... + a2n xn  + t2 b2                  ............................................................................

                  am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn + tm bm

              x1 0 ;   x2 0 ;  .........;  xn 0 ;  t1 0 ;   t2 0 ;  .........;  tm 0

c) Résolution

Afin de comparer avec la résolution graphique, nous pouvons considérer que nous sommes dans un espace à n dimensions (nombre de variables d'activité). Les contraintes délimitent un polyèdre convexe, région des solutions admissibles; la fonction objectif est un hyperplan que l'on va déplacer le plus loin possible de l'origine, jusqu'à l'extrême limite où il n'y aura plus qu'un point d'intersection (éventuellement un segment, un plan...) avec la région des solutions admissibles. La solution se trouvant forcément sur le pourtour du polyèdre admissible, la méthode du simplexe consiste en itérations qui font passer d'un sommet du polyèdre à un autre en sélectionnant le sommet adjacent maximisant la fonction objectif.Pour démarrer l'algorithme, il est nécessaire d'avoir une solution initiale. Dans le cas simple,

l'origine est solution, c.à.d. que la première solution est x1 0 ;  x2 0 ;  .........;  xn 0 ;  t1

b1 ;  t2 b2 ;  .........; tm bm   (ceci suppose que les bi ne soient pas négatifs pour satisfaire les contraintes de signe)L'algorithme, basé sur la méthode du pivot de Gauss pour la résolution des systèmes d'équations linéaires, est présenté sous forme de tableau.

Soit à résoudre le programme linéaire suivant sous sa forme canonique         3 x1 + 4 x2 160         6 x1 + 3 x2 180Max  z = 1200 x1 + 1000 x2

         x1 0 ;  x2 0

* Forme standard                      3 x1 +       4 x2 + 1 t1 + 0 t2 160                      6 x1 +       3 x2 + 0 t1 + 1 t2 180Max   z = 1200 x1 + 1000 x2 + 0 t1 + 0 t2

                     x1 0 ;  x2 0 ;  t1 0 ;  t2 0

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* Tableau 0en ne conservant que les coefficients des équations ci-dessus, on obtient le tableau de départ

       HBB

x1  x2 t1  t2 C

 t1 3  4 1 0 160

 t2  6 3 0 1 180

  1200  1000 0 0 0

Ce tableau nous donne la première solution admissible:

- Les variables Hors Base (HB) sont nulles: x1 0 ;  x2 =0   (t1 et t2 en rouge ne sont pas hors base; elles ne sont présentes que pour rappeler qu'il s'agit des colonnes des coefficients de ces deux variables)- Les valeurs des variables dans la Base (B) se lisent dans la colonne C:  t1 = 160 et t2 =180- La dernière cellule (intersection de C et ) donne la valeur de -z : -z = 0 donc z = 0- La ligne donne les valeurs marginales ou taux marginal de substitution; elles s'interprètent de la manière suivante: à ce stade de la solution, une augmentation de 1 unité de x1 ferait accroître la fonction objectif de 1200, et une augmentation de 1 unité de x2 ferait accroître la fonction objectif de 1000.

* Tableau 1On augmente la fonction objectif en faisant entrer une variable dans la base, prenant la place d'une variable qui va sortir de la base.

Critère de sélection de la variable entrant dans la base:On sélectionne la variable HB ayant le plus grand coefficient positif dans la ligne .

x1 entre donc dans la base

Pour sélectionner la variable sortant de la base, il est nécessaire de rajouter une colonne R au tableau, obtenue en faisant le rapport membre à membre de la colonne C et de la colonne de la variable entrant dans la base (x1)Remarques sur la colonne R: - Un 0 dans la colonne C est remplacé par un infiniment petit positif pour effectuer le calcul de R- Dans la colonne R on ne tient pas compte des valeurs négatives ou indéterminées

       HBB

x1  x2 t1  t2 C R

 t1 3  4 1 0 160 160/3 

 t2  6 3 0 1 180 30 

  1200  1000 0 0 0  

Critère de sélection de la variable sortant de la base:On sélectionne la variable dans la Base ayant le plus petit coefficient positif dans la

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colonne R.

t2 sort donc de la base 

       HBB

x1  x2 t1  t2 C R

 t1 3  4 1 0 160 160/3 

 t2 6 3 0 1 180 30 

  1200  1000 0 0 0  

 

variable sortant

                   variable entrant  

On appelle pivot (égal à 6) l'intersection de la variable entrante et de la variable sortantePour obtenir le tableau 1, on applique les règles suivantes:

- Le pivot est égal à 1- Les coefficients de la ligne du pivot sont divisés par le pivot- Les coefficients de la colonne du pivot sont nuls- Les autres coefficients sont obtenus par la règle du rectangle

La règle du rectangle est la suivante:

Remarque importante: d = d' c b = 0 b = 0 ou c = 0 En conséquence, si dans la colonne (resp. ligne) du pivot il y a un 0, toute la ligne (resp. colonne) correspondante reste inchangée.

En appliquant ces règles on obtient le tableau 1:

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       HBB

x1  x2 t1  t2 C

 t1 0  5/2 1 -1/2 70

 x1 1 1/2 0 1/6 30

  0 400 0 -200 -36000

Ce tableau nous donne la deuxième solution admissible:

- Les variables Hors Base (HB) sont nulles: x2 0 ;  t2 =0   (x1 et t1 en rouge ne sont pas hors base; elles ne sont présentes que pour rappeler qu'il s'agit des colonnes des coefficients de ces deux variables)- Les valeurs des variables dans la Base (B) se lisent dans la colonne C:  t1 = 70 et x1 =30- La dernière cellule (intersection de C et ) donne la valeur de -z : -z = -36000 donc z = 36000- La ligne donne les valeurs marginales ou taux marginal de substitution; elles s'interprètent de la manière suivante: à ce stade de la solution, une augmentation de 1 unité de x2 ferait accroître la fonction objectif de 400, et une augmentation de 1 unité de t2 ferait diminuer la fonction objectif de 200 (il est à noter qu'une augmentation de 1 unité de la variable d'écart t2 revient à diminuer le second membre de l'équation correspondante de 1 unité).

* Tableau 2:

 

       HBB

x1  x2 t1  t2 C  R

 t1 0  5/2 1 -1/2 70  28

 x1 1 1/2 0 1/6 30  60

  0 400 0 -200 - 36000  

 variable sortant

                                           variable entrant  

d'où le tableau 2

       HBB

x1  x2 t1  t2 C

 x2 0  1 2/5 -1/5 28

 x1 1 0 -1/5 4/15 16

  0 0 -160 -120 - 47200

Ce tableau nous donne la troisième solution admissible:

- Les variables Hors Base (HB) sont nulles: t1 0 ;  t2 =0   (x1 et x2 en rouge ne sont pas hors base; elles ne sont présentes que pour rappeler qu'il s'agit des colonnes des coefficients de ces deux variables)

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- Les valeurs des variables dans la Base (B) se lisent dans la colonne C:  x2 = 28 et x1 =16- La dernière cellule (intersection de C et ) donne la valeur de -z : -z = - 47200 donc z = 47200- La ligne donne les valeurs marginales ou taux marginal de substitution; elles s'interprètent de la manière suivante: à ce stade de la solution, une augmentation de 1 unité de t1 ferait diminuer la fonction objectif de 160, et une augmentation de 1 unité de t2 ferait diminuer la fonction objectif de 120 (il est à noter qu'une augmentation de 1 unité d'une variable d'écart revient à diminuer le second membre de l'équation correspondante de 1 unité).

Critère d'arrêt des itérations:Si tous les coefficients de la ligne relatifs aux variables HB, sont négatifs ou nuls, la solution trouvée est optimale.

Nous avons donc ici atteint la solution optimale.

Remarques importantes:- S'il existe une variable HB ayant un coefficient positif dans la ligne et telle que tous les coefficients correspondants dans le tableau soient nuls ou négatifs, alors la solution est infinie.- Si, à la fin des itérations, une variable est HB avec un coefficient nul dans la ligne , alors on a une arête (plan,...) optimale. Les autres sommets solutions sont obtenus en faisant rentrer cette variable dans la base.

3) DUAL

A tout programme linéaire appelé PRIMAL correspond un programme linéaire appelé DUAL obtenu de la manière suivante:

 PRIMAL DUAL

m contraintes d'inférioritén variables d'activitém variables d'écart

écriture en ligne

n contraintes de supérioritén variables d'écart

m variables d'activitéécriture en colonne

exemple

 PRIMAL DUAL

                    3 x1 +       4 x2 160                    6 x1 +       3 x2 180Max z = 1200 x1 + 1000 x2

x1 0    ;   x2 0

                  3 y1 +     6 y2                   4 y1 +     3 y2 Min w = 160 y1 + 180 y2

y1 0    ;   y2 0

A l'optimum, le primal et le dual sont liés par les règles suivantes:- les fonctions objectifs z et w ont la même valeur optimale- la valeur marginale d'une variable dans un programme est égale à l'opposé de la valeur optimale de la variable associée dans l'autre programme et réciproquement.

exemple

 PRIMAL z = 47200  x1 x2 t1 t2

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 valeurs optimales  16 28 0 0

 valeurs marginales  0 0 -160 -120

 DUALw = 47200  u1 u2 y1 y2

 valeurs optimales 0  0 160 120

 valeurs marginales  -16 -28 0 0

B) FORME USUELLE D'UN PROGRAMME LINEAIRE

 Considérons la forme usuelle d'un Programme Linéaire:

Max ou Min z = c1 x1  + c2 x2  + .......... + cn xn

                                 a11 x1  + a12 x2 + .......... + a1n xn b1

                                 a21 x1  + a22 x2 + .......... + a2n xn b2                                 ............................................................................

                                am1 x1 + am2 x2 + .......... + amn xn bm

                        x1 0 ;   x2 0 ;  .........;  xn 0

La résolution du problème à Maximum a été vue précédemment. La résolution du problème à Minimum ne pose pas de difficulté; il suffit, dans le critère de sélection de la variable entrant dans la base, de remplacer "plus grand coefficient positif "par "plus grand coefficient négatif" et dans le critère d'arrêt des itérations de remplacer "coefficients négatifs ou nuls " par "coefficients positifs ou nuls".

C) FORME NON USUELLE D'UN PROGRAMME LINEAIRE

La résolution du problème précédent nécessite les assertions suivantes:

Les seconds membres sont non-négatifs: bi 0   (nécessaire pour avoir une solution initiale)

Les variables d'activité sont non-négatives : xi 0 Les contraintes sont de type " "

Que peut-on faire lorsque ces conditions ne sont pas respectées?

a) Un second membre est négatif

Il suffit de multiplier la contrainte par -1. Ceci a pour effet de changer le sens de l'inégalité [voir c)]

b) Une variable d'activité n'est pas contrainte à la non-négativité

Tout nombre, positif ou négatif, peut toujours être écrit comme la différence de deux nombres non-négatifs (par exemple, - 4 = 6 - 10). Il suffit donc de remplacer la variable d'activité par la différence de deux nouvelles variables d'activité non-négatives (le nombre de variables d'activité augmente de 1).

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c) Une contrainte n'est pas du type " "

Nous distinguons deux cas: la contrainte est du type " " ou du type " = "

- Contrainte du type " "Il suffit de rajouter une variable d'écart non-négative ai1 x1  + ai2 x2 + .......... + ain xn bi    devient    ai1 x1  + ai2 x2 + .......... + ain xn - ti bi

Il est à noter qu'il n'y a plus de solution initiale évidente: en effet pour x1 0 ; x2 0 ;

.........; xn 0,  ti -bi, ce qui n'est pas une solution admissible car ti doit être non-négative. Tout se passe comme si cette variable d'écart était une variable d'activité et que nous étions en présence d'une contrainte de type " = " que nous allons traiter maintenant.

- Contrainte du type " "Dans le cas usuel les variables d'écart introduites étaient représentatives des contraintes. Suivant le même principe, nous rajoutons une variable non-négative, dite variable artificielle, qui sera représentative de la contrainte dans la base.ai1 x1  + ai2 x2 + .......... + ain xn bi    devient    ai1 x1  + ai2 x2 + .......... + ain xn + ei bi

Il est clair que pour que la contrainte d'égalité soit respectée il faut que ei = 0. La solution

initiale étant x1 0 ; x2 0 ;  .........; xn 0,  ei bi, l'algorithme doit permettre de mettre hors base cette variable artificielle afin qu'elle soit nulle lorqu'on atteindra la solution optimale. Si ceci n'est pas possible, le problème n'aura alors pas de solution.

Exemple de forme non-usuelle

      (1)       3 x1  + 4 x2  - 2 x3 10      (2)       6 x1  + 3 x2 + 5 x3 =20      (3)      -2 x1 + 5 x2  - 4 x3 -5

        (4)      x1 0 ;  x3 0Max  z = 12 x1 + 10 x2 + 8 x3

(1) On rajoute une variable d'écart t1

    3 x1 + 4 x2 - 2 x3 + t1 10(2) On rajoute une variable artificielle e2

    6 x1 + 3 x2 + 5 x3 + e2 =20(3) On multiplie par -1       2 x1 - 5 x2 + 4 x3 5     On rajoute une variable d'écart t3 et une variable artificielle e3

      2 x1 - 5 x2 + 4 x3 - t3 + e3 5(4) x2 n'est pas contrainte à la non-négativité     x2 = x'2 - x''2

Finalement le problème se ramène à la forme standard suivante3 x1 + 4 x'2 - 4 x''2 - 2 x3 + t1 106 x1 + 3 x'2 - 3 x''2 + 5 x3 + e2 =202 x1 - 5 x2 + 5 x''2 + 4 x3 - t3 + e3 5

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x1 0;  x'2 0;  x''2 0;  x3 0;  t1 0;  t3 0;  e2 0;  e3 0Max  z = 12 x1 + 10 x'2 - 10 x''2 + 8 x3

3) METHODE DES PENALITES ( ou du grand M)

Cette méthode permet de tenir compte des variables artificielles. On les pénalise en leur affectant un coefficient de valeur très élevée dans la fonction économique (- M pour un problème à maximum, + M pour un problème à minimum). Les pénalités ont pour objet de provoquer l'élimination des variables artificielles au fil des itérations. Normalement, à l'optimum (s'il existe) les variables artificielles sont hors base. Si celles-ci sont à l'optimum dans la base, avec une valeur non nulle, le programme n'a pas de solution.

Soit à résoudre le programme linéaire suivant sous sa forme canonique         5 x1 + 6 x2 10         2 x1 + 7 x2 14Min  z = 3 x1 + 10 x2

         x1 0 ;  x2 0

* Forme standard

               5 x1 +   6 x2 - 1 t1 + 0 t2 +  1 e1   +  0 e2 10

               2 x1 +   7 x2 + 0 t1  - 1 t2 +  0 e1  +  1 e2 14Min   z = 3 x1 + 10 x2 + 0 t1 + 0 t2 + M e1 + M e2

                     x1 0 ;  x2 0 ;  t1 0 ;  t2 0;  e1 0 ;  e2 0

* Tableau 0

       HBB

x1  x2 t1  t2 e1  e2 C

 e1 5  6 -1 0 1  0 10

 e2 2 7 0 -1 0  1 14

 ' 3  10 0 0 M M  0 

La ligne ' donne les coefficients de la fonction économique, mais pas les valeurs marginales des variables HB; de plus les variables artificielles sont dans la base et devraient donc avoir des valeurs marginales nulles.De manière générale, dans tout tableau du simplexe, si on note ck les coefficients de la fonction économique et aik les coefficients du tableau, * les valeurs marginales mj sont     - nulles pour les variables dans la base     - égales à cj - aik ck  pour les variables hors base, la sommation étant faite sur toutes les variables de la base (les lignes du tableau)* la valeur de la fonction économique est égale à - aik ck

d'où le tableau 0 (les calculs annexes ont été rajoutés)

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cj 3 10 0 0 M M       

 

 aik ck

       HBB

x1  x2 t1  t2 e1  e2 C  ck  x1   x2  t1   t2  C

 e1 5  6 -1 0 1  0 10  M  5M  6M  -M  0  10M

 e2 2 7 0 -1 0  1 14  M  2M  7M  0  -M  14M

  3-7M 10-13M

M M 00 

-24 M

    aik ck

 7M  13M  -M  -M 24M

* Tableau 1Puisqu'on recherche un minimum, la variable entrante est celle qui a le plus grand coefficient négatif, c.à.d. x2. En fait il suffit de regarder le coefficient de M car M est très grand; le coefficient indépendant de M n'intervient que dans le cas où plusieurs variables ont le même coefficient pour M.

       HBB

x1  x2 t1  t2 e1  e2 C

 e1 5  6 -1 0 1 0 10

 e2 2 7 0 -1 0 1 14

  3-7M 10-13M M M 0 0  -24M 

 

 variable sortant

 

 

   variable entrant    

la variable artificielle sortant de la base, va se trouver dans la ligne avec un fort coefficient positif et ne pourra donc plus y entrer; on peut donc supprimer la colonne correspondante dans la suite des itérations, d'où le tableau 1

       HBB

x1  x2 t1  t2    e2 C

 x2 5/6  1 -1/6 0    0 5/3

 e2 -23/6 0 7/6 -1   1 7/3

  -16/3+(23/6)M 0 5/3-(7/6)M M   0  -50/3-(7/3)M 

* Tableau 2

       HBB

x1  x2 t1  t2    e2 C

 x2 5/6  1 -1/6 0   0 5/3

 e2 -23/6 0 7/6 -1   1 7/3

  -16/3+(23/6)M 0 5/3-(7/6)M M   0  -50/3-(7/3)M 

 

 

 variable sortant

 

   variable entrant    

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d'où le tableau 2

       HBB

x1  x2 t1  t2   

C

 x2 6/21  1 0 -1/7     2

 t1 -23/7 0 1 -6/7     2

  1/7 0 0 30/21     -20 

On a atteint la solution optimale qui est   x1 = 0; x2 = 2; t1 = 2; t2 = 0; z = 20.

Remarque: dans le cas particulier de cet exemple qui était sous forme standard, il aurait été plus rapide de traiter le problème dual et d'en déduire la solution du problème primal initial.

4) METHODE DES DEUX PHASES

Cette méthode permet de tenir compte des variables artificielles. Dans une première phase on rend nulles les variables artificielles : pour cela on minimise la somme des variables artificielles sous les contraintes du programme initial. Comme les variables artificielles sont forcément positives ou nulles le minimum est atteint quand elles sont nulles (si ce n'est pas le cas, c'est qu'il n'y a pas de solution). Une fois les variables artificielles annulées, on a une solution de base admissible qui nous permet dans une seconde phase de résoudre le programme initial.

Soit à résoudre le programme linéaire suivant           x1 + x2 6          x1 4          x2 Max  z = 5 x1 + 7 x2

         x1 0 ;  x2 0

PHASE 1

* Forme standard

              1 x1 + 1 x2 - 1 t1 + 0 t2 + 0 t3 + 1 e1  +  0 e2 6

              1 x1 + 0 x2 + 0 t1 - 1 t2 + 0 t3 +  0 e1  +  1 e2 4

              0 x1 + 1 x2 + 0 t1 + 0 t2 +1 t3 +  0 e1  +  0 e2 3Min   z' = e1 +  e2

                     x1 0 ;  x2 0 ;  t1 0 ;  t2 0;  t3 0 ; e1 0 ;  e2 0

* Tableau 0

       HBB

x1  x2 t1  t2  t3 e1  e2 C

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 e1 1  1 -1 0 0 1  0 6

 e2 1 0 0 -1 0 0  1 4

 t3  0  1 0 0 1 0 0 3

 ' 0  0 0 0 0  1 1 0 

La ligne ' donne les coefficients de la fonction économique, mais pas les valeurs marginales des variables HB; de plus les variables artificielles sont dans la base et devraient donc avoir des valeurs marginales nulles.De manière générale, dans tout tableau du simplexe, si on note ck les coefficients de la fonction économique et aik les coefficients du tableau, les valeurs marginales mj sont     - nulles pour les variables dans la base      - égales à cj - aik ck   , la sommation étant faite sur toutes les variables de la base (les lignes du tableau)la valeur de la fonction économique est égale à - aik

d'où le tableau 0 (les calculs annexes ont été rajoutés)

cj 0 0 0 0 0 1  1      

 

 aik ck

       HBB

x1  x2 t1  t2  t3 e1  e2 C  ck  x1   x2  t1   t2  C

 e1 1  1 -1 0 0 1  0 6  1  1 1 -1  0 6

 e2 1 0 0 -1 0 0  1 4  1 1 0 0 -1  4

 t3  0  1 0 0 1 0 0 3  0  0 0 0 0 0

  -2 -1 1 1 00   0

-10     aik ck

 2  1  -1  -1 10

* Tableau 1Puisqu'on recherche un minimum, la variable entrante est celle qui a le plus grand coefficient négatif, c.à.d. x1.

       HBB

x1  x2 t1  t2  t3 e1  e2 C

 e1 1  1 -1 0 0 1  0 6

 e2 1 0 0 -1 0 0  1 4

 t3  0  1 0 0 1 0 0 3

  -2  -1 1 1 0  0 0 -10 

 

 

  variable sortant

 

 

   variable entrant    

la variable artificielle sortant de la base, va prendre une valeur nulle, ce que l'on désire; il n'est

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ENCG 2011-2012

donc pas question de la faire rentrer de nouveau dans la base et on peut donc supprimer la colonne correspondante dans la suite des itérations, d'où le tableau 1  

* Tableau 2

       HBB

x1  x2 t1  t2  t3 e1     C

 e1 0 1 -1 1 0 1     2

 x1 1 0 0 -1 0 0   4

 t3  0  1 0 0 1 0     3

  0 -1 1 -1 0  0     -2

 

   variable sortant

 

 

   variable entrant    

d'où le tableau 2

       HBB

x1  x2 t1  t2  t3         C

 x2 0  1 -1 1 0       2

 x1 1 0 0 -1 0        4

 t3  0  0 1 -1 1       1

  0 0 0 0 0        0

L'optimum est atteint. Une solution de base admissible est donc x1 = 4 ; x2 = 2 ; t1 = 0 ; t2 = 0 ; t3 = 1

PHASE 2

* Tableau 0

A partir de cette solution de base admissible, on poursuit les itérations en reprenant la fonction objectif initialeMax  z = 5 x1 + 7 x2       La ligne des valeurs marginales est bien sûr modifiée puisqu'on n'a plus la même fonction économique

cj 5 7 0 0 0      

 

 aik ck

       HBB

x1  x2 t1  t2  t3 C  ck  t1   t2  C

 x2 0  1 -1 1 0 2  7 -7 7 14

 x1 1 0 0 -1 0 4  5 0 -5 20

 t3  0  0 1 -1 1 1  0 0 0 0

  0 0 7 -2 0 -34     aik ck  -7 2 34

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d'où le tableau 0

       HBB

x1  x2 t1  t2  t3 C  

 x2 0  1 -1 1 0 2 -2

 x1 1 0 0 -1 0 4 + infini

 t3  0  0 1 -1 1 1 1

  0 0 7 -2 0 -34

 

   

 variable sortant

 

   variable entrant    

* Tableau 1

       HBB

x1  x2 t1  t2  t3 C

 x2 0  1 0 0 1 3

 x1 1 0 0 -1 0 4

 t1  0  0 1 -1 1 1

  0 0 0 5 -7 -41

La solution optimale obtenue est donc infinie puisqu'une variable HB a une valeur marginale positive et tous ses coefficients négatifs ou nuls dans le tableau.Il suffit de prendre x1 infini et  x2

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