Université Joseph Fourier

DEUG SMa

Coursd’Electrostatique-Electrocinétique

Jonathan Ferreira

Année universitaire 2001-2002

Plan du cours

I- Le champ électrostatique1. Notions générales

a. Phénomènes électrostatiques b. Structure de la matière c. Les divers états de la matière d. Matériaux isolants et conducteurs

2. Force et champ électrostatiques a. La force de Coulomb b. Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle c. Champ créé par un ensemble de charges d. Propriétés de symétrie du champ électrostatique

II- Lois fondamentales de l’électrostatique1. Flux du champ électrostatique

a. Notion d’angle solide b. Le Théorème de Gauss c. Exemples d’application d. Lignes de champ

2. Circulation du champ électrostatique a. Notion de potentiel électrostatique b. Potentiel créé par une charge ponctuelle c. Potentiel créé par un ensemble de charges

3. Le dipôle électrostatique a. Potentiel créé par deux charges électriques b. Champ électrostatique créé à grande distance c. Complément : développements multipolaires

III- Conducteurs en équilibre1. Conducteurs isolés

a. Notion d’équilibre électrostatique b. Quelques propriétés des conducteurs en équilibre c. Capacité d’un conducteur isolé d. Superposition d’états d’équilibre

2. Systèmes de conducteurs en équilibre a. Théorème des éléments correspondants b. Phénomène d’influence électrostatique c. Coefficients d’influence électrostatique

3. Le condensateur a. Condensation de l’électricité b. Capacités de quelques condensateurs simples c. Association de condensateurs

IV- Energie et actions électrostatiques1. Energie potentielle électrostatique

a. Energie électrostatique d’une charge ponctuelle b. Energie électrostatique d’un ensemble de charges ponctuelles c. Energie électrostatique de conducteurs en équilibre d. Quelques exemples

2. Actions électrostatiques sur un conducteur en équilibre a. Notions de mécanique du solide b. Calcul direct des actions électrostatiques sur un conducteur chargé c. Calcul des actions électrostatiques à partir de l’énergie d. Exemple du condensateur e. Exemple du dipôle

V- Electrocinétique1. Courant et résistance électriques

a. Le courant électrique b. La densité de courant électrique c. Loi d’Ohm microscopique d. Loi d’Ohm macroscopique

2. Eléments d’un circuit électrique a. Notion de circuit électrique b. Puissance électrique disponible c. Nécessité d’une force électromotrice

3. Lois régissant les circuits électriques a. Loi d’Ohm généralisée b. Lois de conservation (lois de Kirchhoff) c. Résolution pratique des équations en électrocinétique d. Le théorème de Thèvenin

Formulaire d'électrostatique

Champ électrostatiqueCréé par une particule:

E Mq

ru( ) =

14 0

2πεCréé par n charges ponctuelles:

E Mq

rui

ii

i

n

( ) ==∑

14 0

21 πε

Créé par une distribution continue:

E M dE M dE Mdq

ru( ) ( ) ( )= =∫ avec

14 0

2πεDistributions de charges :

linéique : dq = dl

surfacique : dq = d S

volumique : dq = d

2

3

λ

σ

ρ V

Potentiel électrostatiqueCréé par une charge ponctuelle

V Mq

rV( ) = +

14 0

0πεCréé par n charges ponctuelles

V Mq

rVi

ii

n

( ) = +=∑

14 01

0πεCréé par une distribution continue

V Mdq

rV( ) = +∫

14 0

0πε

Conducteurs en équilibreChamp à proximité (Th de Coulomb) :

E n=σε0

Capacité d'un conducteur isolé :

CQ

V= ∫∫ où Q = d S2

Surface

σ

Coefficients d’influence (n conducteurs) :

Q C V C Ci ij jj

n

ij ji= ==

∑1

avec

Capacité d’un condensateur

CQ

UU V V= = − où 1 2

Propriétés fondamentalesFlux (Th. de Gauss) :

Φ = ⋅ =∫∫ E dSQ

S

int

ε0

Circulation :

V A V B E dl E VA

B

( ) ( )− = ⋅ = −( )∫ grad

Energie potentielle électrostatiqueD'une charge ponctuelle :

W qVe =D'un conducteur isolé :

W QV CVe = =12

12

2

D'un système de n conducteurs :

W QVei

n

i i==∑

121

Force électrostatiqueSur une particule chargée (Coulomb)

F qE=Sur un conducteur en équilibre

F d F E d S Pd SnS

ext

S S

= = =∫∫ ∫∫ ∫∫2 2 2σ

Expression via l'énergie (condensateur)

F WU

Ce= − =

grad grad

2

2

Dipôle électrostatiqueMoment dipolaire électrique :

p qd=Potentiel à grande distance :

V Mp u

( ) =⋅ ρ

πε ρ4 02

Energie électrostatiqueW p Ee ext= − ⋅

Force et moment électrostatiques

F grad p E p Eext ext= ⋅( ) = ∧ et Γ

Electrocinétique

Densité de courantj n q v= ∑ α α α

α

Courant

IdQ

dtj d S

Section

= = ⋅∫∫ 2

Loi d 'Ohm localej E= γ γ η γ ( conductivité, = 1/ résistivité)

Résistance d'un conducteur

RV V

I

E dl

E d SA B A

B

S

=−

=

⋅

⋅

∫

∫∫γ 2

Force électromotrice (fém) entre A et B

eF

qdl E dl

A

B

mA

B

= ⋅ = ⋅∫ ∫

Bilan de puissance d'une portion de circuitA R

eB

I

U V V RI e

P UIA B= − = −

= , puissance disponible entre A et B

P = RI , puissance dissipée par effet Joule

P = eI, puissance fournie (générateur si e > 0)

ou consommée (récepteur si e < 0)

J2

Lois de conservation• Loi des nœuds

I Ientrants sortants= ∑∑

• Loi des mailles

R I ek k kk

n

−( ) ==

∑ 01

1

Chapitre I- Le champ électrostatique

I.1- Notions générales

I.1.1- Phénomènes électrostatiques : notion de charge électrique

Quiconque a déjà vécu l’expérience désagréable d’une « décharge électrique » lors d’uncontact avec un corps étranger connaît un effet électrostatique. Une autre manifestation del’électricité statique consiste en l’attraction de petits corps légers (bouts de papier par ex.)avec des corps frottés (règles, pour continuer sur le même ex.). Ce type de phénomène estmême rapporté par Thalès de Milet, aux alentours de 600 av. J.-C. : il avait observél’attraction de brindilles de paille par de l’ambre jaune frotté… Le mot électricité, qu désignel’ensemble de ces manifestations, provient de « elektron », qui signifie ambre en grec.

L’étude des phénomènes électriques s’est continuée jusqu’au XIXème siècle, où s’estélaborée la théorie unifiée des phénomènes électriques et magnétiques, appeléeélectromagnétisme. C’est à cette époque que le mot « statique » est apparu pour désigner lesphénomènes faisant l’objet de ce cours. Nous verrons plus loin, lors du cours sur le champmagnétique, pourquoi il en est ainsi. On se contentera pour l’instant de prendre l’habitude deparler de phénomènes électrostatiques.

Pour les mettre en évidence et pour apporter une interprétation cohérente, regardons deuxexpériences simples.

Expérience 1 :Prenons une boule (faite de sureau ou de polystyrène, par ex.) et suspendons-la par un fil.Ensuite on approche une tige, de verre ou d’ambre, après l’avoir frottée préalablement : lesdeux tiges attirent la boule.Par contre, si l’on approche simultanément les deux tiges côte à côte, rien ne se passe.

Verre ou Ambre ++++++++++Verre

Ambre- - - - - - - - - -

Tout se passe donc comme si chacune des tiges était, depuis son frottement, porteused’électricité, mais que celle-ci pouvait se manifester en deux états contraires (car capablesd’annuler les effets de l’autre). On a ainsi qualifié arbitrairement de positive l’électricitécontenue dans le verre (frotté avec de la soie), et de négative celle portée par l’ambre (idem,ou encore du plastique frotté avec de la fourrure).

2

Expérience 2 :Prenons maintenant deux boules A et B, préalablement mises en contact avec une tige frottée(elles sont « électrisées »), et suspendons-les côte à côte. Si elles ont été mises en contacttoutes deux avec une tige de même matériau, elles se repoussent.

++ - -

Par contre, si elles ont été mises en contact avec des tiges de matériau différent (ex. A avec duverre frotté et B avec de l’ambre frotté), alors elles s’attirent. Si, du fait de leur attraction,elles viennent à se toucher, on observe qu’elles perdent alors toute électrisation : ellesprennent une position d’équilibre vis-à-vis du leur poids.

Cette expérience est assez riche. On peut tout d’abord en conclure que deux corps portant uneélectricité de même nature (soit positive, soit négative) se repoussent, tandis qu’ils s’attirents’ils portent des électricités contraires.

Mais cette expérience nous montre également que cette électricité est capable, non seulementd’agir à distance (répulsion ou attraction), mais également de se déplacer d’un corps à unautre. Mais alors qu’est-ce qui se déplace ?Si l’on suspend les boules à une balance, même très précise, nous sommes incapables dedétecter la moindre variation de poids entre le début de l’expérience et le moment où ellessont électrisées. Pourtant, le fait qu’il soit nécessaire qu’il y ait un contact entre deuxmatériaux pour que l’électricité puisse passer de l’un à l’autre, semble indiquer que cetteélectricité est portée par de la matière.

On explique l’ensemble des effets d’électricité statique par l’existence, au sein de la matière,de particules portant une charge électrique q, positive ou négative, et libres de se déplacer.C’est Robert A. Millikan qui a vérifié pour la première fois en 1909, grâce à une expériencemettant en jeu des gouttes d’huile, le fait que toute charge électrique Q est quantifiée, c’est àdire qu’elle existe seulement sous forme de multiples d’une charge élémentaire e, indivisible(Q=Ne). La particule portant cette charge élémentaire est appelée l’électron.

Dans le système d’unités international, l’unité de la charge électrique est le Coulomb(symbole C). Des phénomènes d’électricité statique mettent en jeu des nanocoulombs (nC)voire des microcoulombs (µC), tandis que l’on peut rencontrer des charges de l’ordre duCoulomb en électrocinétique.

3

L’ensemble des expériences de la physique (et en particulier celles décrites plus haut) nepeuvent s’expliquer que si la charge électrique élémentaire est un invariant : on ne peut ni ladétruire ni l’engendrer, et ceci est valable quel que soit le référentiel. C’est ce que l’on décritpar la notion d’invariance relativiste de la charge électrique.

I.1.2- Structure de la matière

La vision moderne de la matière décrit celle-ci comme étant constituée d’atomes. Ceux-cisont eux-mêmes constitués d’un noyau (découvert en 1911 par Rutherford) autour duquel« gravite » une sorte de nuage composé d’électrons et portant l’essentiel de la masse. Cesélectrons se repoussent les uns les autres mais restent confinés autour du noyau car celui-cipossède une charge électrique positive qui les attire. On attribue cette charge positive à desparticules appelées protons. Cependant, le noyau atomique ne pourrait rester stable s’il n’étaitcomposé que de protons : ceux-ci ont en effet tendance à se repousser mutuellement. Il existedonc une autre sorte de particules, les neutrons (découverts en 1932 par Chadwick) portantune charge électrique nulle. Les particules constituant le noyau atomique sont appelées lesnucléons.

Dans le tableau de Mendeleev tout élément chimique X est représenté par la notation ZA X . Le

nombre A est appelé le nombre de masse : c’est le nombre total de nucléons (protons etneutrons). Le nombre Z est appelé le nombre atomique et est le nombre total de protonsconstituant le noyau. La charge électrique nucléaire totale est donc Q=+Ze, le cortègeélectronique possédant alors une charge totale Q=-Ze, assurant ainsi la neutralité électriqued’un atome.Exemple : le Carbone 6

12C possède 12 nucléons, dont 6 protons (donc 6 électrons) et 6neutrons, le Cuivre 29

63Cu 63 nucléons dont 29 protons (donc 29 électrons) et 34 neutrons.L’atome de cuivre existe aussi sous la forme 29

64Cu , c’est à dire avec 35 neutrons au lieu de34 : c’est ce qu’on appelle un isotope.

Valeurs des charges électriques et des masses des constituants atomiques dans le SystèmeInternational :

Electron : q = -e = -1.602 10 C m = 9.109 10 kg

Proton : q = +e =1.602 10 C m =1.672 10 kg

Neutron : q = 0 C m =1.674 10 kg

e-19

e-31

p-19

p-27

n n-27

Comme on peut le remarquer, même une charge de l’ordre du Coulomb (ce qui est énorme),correspondant à environ 1018 électrons, ne produit qu’un accroissement de poids de l’ordre de10 12− kg : c’est effectivement imperceptible.

Si les électrons sont bien des particules quasi-ponctuelles, les neutrons et les protons enrevanche ont une taille non nulle (inférieure à 10 15− m). Il s’avère qu’ils sont eux-mêmesconstitués de quarks, qui sont aujourd’hui, avec les électrons, les vraies briques élémentairesde la matière. Les protons ainsi que les neutrons forment ainsi une classe de particules appeléeles baryons.

A l’heure actuelle, l’univers (ou plutôt l’ensemble reconnu de ses manifestations) estdescriptible à l’aide de quatre forces fondamentales :

4

1) La force nucléaire faible, responsable de la cohésion des baryons (quarks-quarks);2) La force nucléaire forte, responsable de la cohésion du noyau (protons-neutrons) ;3) La force électromagnétique, responsable de la cohésion de l’atome (électrons-nucléons) ;4 ) La force gravitationnelle, responsable de la structure à grande échelle de l’univers

(cohésion des corps astrophysiques, cohésion des systèmes planétaires, des galaxies, desamas galactiques, moteur de la cosmologie).

I.1.3- Les divers états de la matière

La cohésion de la matière est due à l’interaction entre ses constituants, interaction mettant enjeu une énergie de liaison. Or, chaque constituant (atome ou molécule) possède lui-même del’énergie cinétique liée à sa température (énergie d’agitation thermique). La rigidité d’un étatparticulier de la matière dépend donc de l’importance relative de ces deux énergies (cinétiqueet liaison).

Si l’on prend un gaz constitué d’atomes (ou de molécules) neutres, alors l’interaction entredeux constituants est assez faible : elle ne se produit que lorsqu’ils sont assez proches pourqu’il y ait répulsion entre les électrons périphériques. Ainsi, chaque atome est relativementlibre de se déplacer dans l’espace, au gré des « collisions » avec d’autres atomes.

Si l’on refroidit ce gaz, certaines liaisons électrostatiques qui étaient négligeables auparavantpeuvent devenir opérantes et l’on obtient alors un liquide. Si l’on chauffe ce gaz, de l’énergieest fournie à ses constituants, les molécules se brisent et, si l’on continue à chauffer, on peutmême libérer un ou plusieurs électrons périphériques des atomes, produisant ainsi un gazd’ions ou plasma.

Dans un solide au contraire, les liaisons entre chaque atome sont beaucoup plus fortes et lesatomes ne bougent quasiment pas, formant un cristal. La force de cette cohésion dépendbeaucoup d’un solide à l’autre. Ainsi, elle est très puissante si les atomes mettent en communleur cortège électronique (liaison covalente comme pour le diamant et liaison métallique,comme pour le Cuivre) et beaucoup plus faible si les cortèges électroniques de chaque atomerestent intouchés (liaison ionique, comme pour le sel).

Enfin, la matière molle (caoutchouc, plastiques, textiles, mousses) possède une hiérarchie dupoint de vue de sa cohésion : elle est constituée d’éléments « solides » (macromolécules liéespar des liaisons covalentes) interagissant entre eux par des liaisons ioniques (électrostatiques).

I.1.4- Matériaux isolants et matériaux conducteurs

Un matériau est ainsi constitué d’un grand nombre de charges électriques, mais celles-ci sonttoutes compensées (même nombre d’électrons et de protons). Aux températures usuelles, lamatière est électriquement neutre. En conséquence, lorsque des effets d’électricité statique seproduisent, cela signifie qu’il y a eu un déplacement de charges, d’un matériau vers un autre :c’est ce que l’on appelle l’électrisation d’un corps. Ce sont ces charges, en excès ou enmanque, en tout cas non compensées, qui sont responsables des effets électriques sur ce corps(ex : baguette frottée).

5

Un matériau est dit conducteur parfait si, lorsqu’il devient électrisé, les porteurs de chargenon compensés peuvent se déplacer librement dans tout le volume occupé par le matériau.

Ce sera un isolant (ou diélectrique) parfait si les porteurs de charge non compensés nepeuvent se déplacer librement et restent localisés à l’endroit où ils ont été déposés.

Un matériau quelconque se situe évidemment quelque part entre ces deux états extrêmes.Cette propriété de conduction de l’électricité sera abordée plus loin, dans le Chapitre surl’électrocinétique.

Refaisons une expérience d’électricité statique : prenons une baguette métallique par la mainet frottons-la avec un chiffon. Cela ne marchera pas, la baguette ne sera pas électrisée.Pourquoi ? Etant nous-mêmes d’assez bons conducteurs, les charges électriques arrachées auchiffon et transférées à la baguette sont ensuite transférées sur nous et l’on ne verra plusd’effet électrique particulier au niveau de la baguette. Pour que cette expérience marche, il estnécessaire d’isoler électriquement la baguette (en la tenant avec un matériau diélectrique).

I.2- Force et champ électrostatiques

I.2.1- La force de Coulomb

Charles Auguste de Coulomb (1736-1806) a effectué une série de mesures (à l’aide d’unebalance de torsion) qui lui ont permis de déterminer avec un certain degré de précision lespropriétés de la force électrostatique exercée par une charge ponctuelle q1 sur une autrecharge ponctuelle q2:1) La force est radiale, c’est à dire dirigée selon la droite qui joint les deux charges ;2) Elle est proportionnelle au produit des charges : attractive si elles sont de signe opposé,

répulsive sinon ;3) Enfin, elle varie comme l’inverse du carré de la distance entre les deux charges.

L’expression mathématique moderne de la force de Coulomb et traduisant les propriétés ci-dessus est la suivante

Fq q

ru1 2

0

1 22

14/ =

πε

où la constante multiplicative vaut K = ≈ −14

9 100

9 2

πε SI (N m C2 ). La constanteε0 joue un

rôle particulier et est appelée la permittivité électrique du vide (unités : Farad/m).

q1

q2

r=M1M2u

6

Remarques :1 ) Cette expression n’est valable que pour des charges immobiles (approximation de

l’électrostatique) et dans le vide. Cette loi est la base même de toute l’électrostatique.2) Cette force obéit au principe d’Action et de Réaction de la mécanique classique.3) A part la valeur numérique de la constante K, cette loi a exactement les mêmes propriétés

vectorielles que la force de la gravitation (loi de Newton). Il ne sera donc pas étonnant detrouver des similitudes entre ces deux lois.

Ordres de grandeur• Quel est le rapport entre la force d’attraction gravitationnelle et la répulsion coulombienne

entre deux électrons ?F

F

e

G me

g e

= ≈2

02

42

41

4 10πε

La force électrostatique apparaît donc dominante vis-à-vis de l’attraction gravitationnelle.Cela implique donc que tous les corps célestes sont exactement électriquement neutres.

• Quelle est la force de répulsion coulombienne entre deux charges de 1 C situées à 1 km ?Fe

g=

( )≈

14

1

10

110

100

3 23

πεkg

C’est une force équivalente au poids exercé par une tonne !

I.2.2- Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle

Soit une charge q1 située en un point O de l’espace, exerçant une force électrostatique sur uneautre charge q2 située en un point M. L’expression de cette force est donnée par la loi deCoulomb ci-dessus. Mais comme pour l’attraction gravitationnelle, on peut la mettre sous uneforme plus intéressante,

F q E M1 2 2 1/ ( )=où

Eq

ru1

0

12

14

=πε

L’intérêt de cette séparation vient du fait que l’on distingue clairement ce qui dépenduniquement de la particule qui subit la force (ici, c’est sa charge q2, pour la gravité c’est sa

masse), de ce qui ne dépend que d’une source extérieure, ici le vecteur E M1( ).

q

M

r=OMu

O

Définition : Une particule de charge q située en O crée en tout point M de l’espace distinctde O un champ vectoriel

E Mq

ru( ) =

14 0

2πε

appelé champ électrostatique. L’unité est le Volt/mètre (symbole V/m).

7

Cette façon de procéder découle de (ou implique) une nouvelle vision de l’espace : lesparticules chargées se déplacent maintenant dans un espace où existe (se trouve défini) unchamp vectoriel. Elles subissent alors une force en fonction de la valeur du champ au lieu oùelle se trouve.

I.2.3- Champ créé par un ensemble de charges

On considère maintenant n particules de charges électriques qi, situées en des points Pi : quelest le champ électrostatique créé par cet ensemble de charges en un point M ?

M

P1 (q1)

P4 (q4)

P2 (q2)

P3 (q3)

E1(M)E2(M)

E4(M)

E3(M)

La réponse n’est absolument pas évidente car l’on pourrait penser que la présence du champcréé par des particules voisines modifie celui créé par une particule. En fait, il n’en est rien etl’expérience montre que la force totale subie par une charge q située en M est simplement lasuperposition des forces élémentaires,

F Fq q

ru q

q

ru qE Mi

i

ni

ii

i

ni

ii

i

n

= = = == = =

∑ ∑ ∑1 0

21 0

214

14πε πε

( )

où r P Mi i= , P M P M ui i i= et il en résulte donc

E Mq

rui

ii

i

n

( ) ==∑

14 0

21 πε

est donc le champ électrostatique créé par un ensemble discret de charges.

Cette propriété de superposition des effets électrostatiques est un fait d’expérience et énoncécomme le principe de superposition (comme tout principe, il n’est pas démontré).

En pratique, cette expression est rarement utilisable puisque nous sommes la plupart du tempsamenés à considérer des matériaux comportant un nombre gigantesque de particules. C’estsimplement dû au fait que l’on ne considère que des échelles spatiales tres grandes devant lesdistances inter-particulaires, perdant ainsi toute possibilité de distinguer une particule del’autre. Il est dans ce cas plus habile d’utiliser des distributions continues de charges.

Soit P un point quelconque d’un conducteur et dq(P) la charge élémentaire contenue en cepoint. Le champ électrostatique total créé en un point M par cette distribution de charges est

E M dE M dE Mdq

ru

distribution

( ) ( ) ( )= =∫ avec 1

4 02πε

8

Mathématiquement, tout se passe donc comme une charge ponctuelle dq était située en unpoint P de la distribution, créant au point M un champ électrostatique dE M( ), avec r PM= etPM PM u= . Il s’agit évidemment d’une approximation, permettant de remplacer une sommepresque infinie par une intégrale.

On définit ρυ

=dq

d comme étant la densité volumique de charges (unités : Cm 3− ). Le champ

électrostatique créé par une telle distribution est donc

E Mr

u d( ) = ∫∫∫ Volume

14 0

2περ

υ

Lorsque l’une des dimensions de la distribution de charges est beaucoup plus petite que lesdeux autres (ex : un plan ou une sphère creuse), on peut généralement faire une intégration sur

cette dimension. On définit alors la densité surfacique de charges σ =dq

dS (unités : Cm 2− ),

produisant un champ total

E Mr

u dSSurface

( ) = ∫∫ 1

4 02πε

σ

Enfin, si deux des dimensions de la distribution sont négligeables devant la troisième (ex : un

fil), on peut définir une densité linéique de charges λ =dq

dl (unités : Cm 1− ), associé au

champ

E Mr

u dl( ) = ∫ Longueur

14 0

2πελ

L’utilisation de l’une ou l’autre de ces trois expressions dépend de la géométrie de ladistribution de charges considérée. L’expression générale à retenir est celle qui est encadrée.

I.2.4- Propriétés de symétrie du champ électrostatique

Principe de Curie : « Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments desymétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits. »

Du fait que le champ soit un effet créé par une distribution de charges, il contient desinformations sur les causes qui lui ont donné origine. Ainsi, si l’on connaît les propriétés desymétrie d’une distribution de charges, on pourra connaître celles du champ électrostatique

9

associé. Ces propriétés sont fondamentales car elles permettent de simplifierconsidérablement le calcul du champ électrostatique.

Dans une espace homogène et isotrope, si l’on fait subir une transformation géométrique à unsystème physique (ex : ensemble de particules, distribution de charges) susceptible de créercertains effets (forces, champs), alors ces effets subissent les mêmes transformations.Si un système physique S possède un certain degré de symétrie, on pourra alors déduire leseffets créés par ce système en un point à partir des effets en un autre point.

Transformations géométriques d’un vecteurLors d’une transformation géométrique d’un vecteur quelconque, celui-ci est transformé enson symétrique.

E

E’

E E

E’ E’

Transformation d’un vecteur par symétriepar rapport à un plan Exemple d’un plan d’antisymétrie

+

-------

-------

+ + + + + + + +

+ +

Soit ′ ′A M( ) le vecteur obtenu par symétrie par rapport à un plan S à partir de A M( ). D’aprèsla figure ci-dessus, on voit que1. ′ ′ =A M A M( ) ( ) si A M( ) est engendré par les mêmes vecteurs de base que S ;

2. ′ ′ = −A M A M( ) ( ) si A M( ) est perpendiculaire à S.

Ces deux règles de transformation vont nous permettre de déterminer des règles de symétrieutiles.

Règles de symétrie• Invariance par translation : si S est invariant dans toute translation parallèle à un axe Oz,

les effets ne dépendent pas de z.• Symétrie axiale : si S est invariant dans toute rotation θ autour d’un axe Oz, alors ses

effets exprimés en coordonnées cylindriques ρ θ, , z( ) ne dépendent pas de θ .• Symétrie cylindrique : si S est invariant par translation le long de l’axe Oz et rotation

autour de ce même axe, alors ses effets exprimés en coordonnées cylindriques ρ θ, , z( ) nedépendent que de la distance à l’axe ρ .

• Symétrie sphérique : si S est invariant dans toute rotation autour d’un point fixe O, alorsses effets exprimés en coordonnées sphériques r, ,θ ϕ( ) ne dépendent que de la distance aucentre r .

• Plan de symétrie ∏: si S admet un plan de symétrie ∏, alors en tout point de ce plan, lechamp électrostatique est contenu dans ce plan.

• Plan d’antisymétrie ∏’ : si, par symétrie par rapport à un plan ∏’, S est transformé en –S,alors en tout point de ce plan, le champ électrostatique lui est perpendiculaire.

10

Remarque importanteNous verrons en magnétostatique qu’il convient de faire la distinction entre vrais vecteurs (ouvecteurs axiaux) et pseudo-vecteurs (ou vecteurs polaires), ces derniers étant définis à partirdu produit vectoriel de deux vecteurs vrais. Ainsi, le champ électrostatique est un vrai vecteurtandis que le champ magnétique est un pseudo-vecteur. Tout ce qui a été dit ci-dessus n’estvalable que pour les vrais vecteurs.

Quelques Compléments :1) Pourquoi un vrai vecteur A x x x( , , )1 2 3 est indépendant de la variable x1 si le système S n’en

dépend pas ?Soit un point M x x x( , , )1 2 3 dont les coordonnées sont exprimées dans un système quelconque.Soit un point ′ +M x dx x x( , , )1 1 2 3 lui étant infiniment proche. On a alors

A M

A M A x dx x x A x x xA

xdx

A M A x dx x x A x x xA

xdx

A M A x dx x x

( )

( ) ( , , ) ( , , )

( ) ( , , ) ( , , )

( ) ( , , )

′ =

′ = + ≈ +

′ = + ≈ +

′ = + ≈

1 1 1 1 2 3 1 1 2 31

11

2 2 1 1 2 3 2 1 2 32

11

3 3 1 1 2 3

∂∂

∂∂

AA x x xA

xdx3 1 2 3

3

11( , , ) +

∂∂

c’est à dire, de façon plus compacte A M A MA

xdx( ) ( )′ = +

∂∂ 1

1. Si le système physique S reste

invariant lors d’un changement de M en M’, alors (Principe de Curie) ′ ′ =A M A M( ) ( ) . On a

donc ∂∂

A

x1

0= en tout point M, ce qui signifie que A x x( , )2 3 ne dépend pas de x1 . On peut

suivre le même raisonnement pour chacune des autres coordonnées.

2) Pourquoi un vrai vecteur appartient nécessairement à un plan ∏ de symétrie ?Quel que soit M de S, soit M’ son symétrique par rapport à ∏. Ce plan étant un plan desymétrie, cela signifie que f(M)=f(M’) pour toute fonction de M. Ceci est en particulier vraipour chaque composante A M A Mi i( ) ( )= ′ du vecteur A M( ). On a donc ′ ′ =A M A M( ) ( ) ce quiimplique que A M( ) est engendré par les mêmes vecteurs de base que ∏.

3) Pourquoi un vrai vecteur est nécessairement perpendiculaire à un plan ∏’ d’antisymétrie ?Ce plan étant un plan d’antisymétrie, on a f(M’)=-f(M) pour toute fonction de M. Ceci étantvrai pour chaque composante du vecteur A M( ), on a donc A M A Mi i( ) ( )′ = − , ce qui impliqueque A M( ) est perpendiculaire à ∏’.

11

Chapitre II- Lois fondamentales de l’électrostatique

II.1- Flux du champ électrostatique

II.1.1- Notion d’angle solide

La notion d’angle solide est l’extension naturelle dans l’espace de l’angle défini dans un plan.Par exemple, le cône de lumière construit par l’ensemble des rayons lumineux issus d’unelampe torche est entièrement décrit par la donnée de deux grandeurs : la direction (une droite)et l’angle maximal d’ouverture des rayons autour de cette droite. On appelle cette droite lagénératrice du cône et l’angle en question, l’angle au sommet.

O

dΩ

O αr dS

Définition : l’angle solide élémentaire dΩ, délimité par un cône coupant un élément desurface élémentaire dS située à une distance r de son sommet O vaut

ddS

rΩ = 2

Cet angle solide est toujours positif et indépendant de la distance r. Son unité est le« stéradian » (symbole sr).

En coordonnées sphériques, la surface élémentaire à r constant vaut dS r d d= 2 sinθ θ ϕ .L’angle solide élémentaire s’écrit alors d d dΩ = sinθ θ ϕ . Ainsi, l’angle solide délimité par uncône de révolution, d’angle au sommet α vaut

Ω Ω= = = −( )∫∫ ∫d d dϕ θ θ π απ α

0

2

0

2 1sin cos

Le demi-espace, engendré avec α=π/2 (radians), correspond donc à un angle solide de 2πstéradians, tandis que l’espace entier correspond à un angle solide de 4π (α=π).

nθ

dSOdS’

D’une façon générale, le cône (ou le faisceau lumineux de l’exemple ci-dessus) peutintercepter une surface quelconque, dont la normale n fait un angle θ avec la génératrice devecteur directeur u . L’angle solide élémentaire est alors défini par

ddS u

r

dS n u

r

dS

r

dS

rΩ =

⋅=

⋅= =

′2 2 2 2

cosθ

où dS’ est la surface effective (qui, par exemple, serait « vue » par un observateur situé en O).

12

II.1.2- Théorème de Gauss

On considère maintenant une charge ponctuelle q située en un point O de l’espace. Le flux duchamp électrostatique E , créé par cette charge, à travers une surface élémentaire quelconqueorientée est par définition

d E dS E ndSΦ = ⋅ = ⋅

Par convention, on oriente le vecteur unitaire n , normal à la surface dS, vers l’extérieur, c’està dire dans la direction qui s’éloigne de la charge q. Ainsi, pour q>0, le champ E est dirigédans le même sens que n et l’on obtient un flux positif.

A partir de l’expression du champ créé par une charge ponctuelle, on obtient alors

dq u n

rdS

qdΦ Ω=

⋅=

4 402

0πε πε

c’est à dire un flux dépendant directement de l’angle solide sous lequel est vue la surface etnon de sa distance r (notez bien que dΩ>0, q pouvant être positif ou négatif). Ce résultat estune simple conséquence de la décroissance du champ électrostatique en 1 2/ r : on aurait lemême genre de résultat avec le champ gravitationnel.

q dS1dS2 dS3

n1

n2n3

dΩ 2

1

dΩ

n1dS1

Que se passe-t-il lorsqu’on s’intéresse au flux total à travers une surface (quelconque)fermée ? Prenons le cas illustré dans la figure ci-dessous. On a une charge q située àl’intérieur de la surface S (enfermant ainsi un volume V), surface orientée (en chaque point deS, le vecteur n est dirigé vers l’extérieur). Pour le rayon 1, on a simplement

dq

dΦ Ω104

=πε

mais le rayon 2 traverse plusieurs fois la surface, avec des directions différentes. On aura alorsune contribution au flux

13

dq u n

rdS

u n

rdS

u n

rdS

qd d d

qd

Φ

Ω Ω Ω

Ω

20

1

12 1

2

22 2

3

32 3

0

0

4

4

4

=⋅

+⋅

+⋅

= − +( )

=

πε

πε

πε

Ce résultat est général puisque, la charge se trouvant à l’intérieur de S, un rayon dans unedirection donnée va toujours traverser S un nombre impair de fois. En intégrant alors surtoutes les directions (c’est à dire sur les 4π stéradians), on obtient un flux total

Φ = ⋅ =∫∫ E dSq

Sε0

En vertu du principe de superposition, ce résultat se généralise aisément à un ensemblequelconque de charges.

Théorème de Gauss : le flux du champ électrique à travers une surface fermée orientéequelconque est égal, dans le vide, à 1 0/ ε fois la charge électrique contenue à l’intérieur decette surface

Φ = ⋅ =∫∫ E dSQ

S

int

ε0

Remarques :1. Du point de vue physique, le théorème de Gauss fournit le lien entre le flux du champ

électrostatique et les sources du champ, à savoir les charges électriques.2. La démonstration précédente utilise la loi de Coulomb qui, elle, est un fait expérimental et

n’est pas démontrée. Inversement, on peut retrouver la loi de Coulomb à partir duthéorème de Gauss : c’est ce qui est fait dans l’électromagnétisme, dans lequel lethéorème de Gauss constitue en fait une loi fondamentale, non démontrable (l’une desquatre équations de Maxwell).

II.1.3- Exemples d’applications

Le théorème de Gauss fournit une méthode très utile pour calculer le champ E lorsque celui-ci possède des propriétés de symétrie particulières. Celles-ci doivent en effet permettre decalculer facilement le flux Φ. Comme le théorème de Gauss est valable pour une surfacequelconque, il nous suffit de trouver une surface S adaptée, c’est à dire respectant lespropriétés de symétrie du champ, appelée « surface de Gauss ».

Champ électrostatique créé par un plan infini uniformément chargé

On considère un plan infini ∏ portant une charge électrique σ uniforme par unité de surface.Pour utiliser Gauss, il nous faut d’abord connaître les propriétés de symétrie du champ E .Tous les plans perpendiculaires au plan infini ∏ sont des plans de symétrie de celui-ci : Eappartient aux plans de symétrie, il est donc perpendiculaire à ∏. Si ce plan est engendré par

14

les vecteurs i j,( ) alors E E x y z kz= ( , , ) . Par ailleurs, l’invariance par translation selon x et y

nous fournit E E z kz= ( ) . Le plan ∏ est lui-même plan de symétrie, donc E(z) est impaire.

∏

S1

S2

n

n

nn

z

Etant donné ces propriétés de symétrie, la surface de Gauss la plus adaptée est un cylindre desections perpendiculaires au plan et situées à des hauteurs symétriques.

Φ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅

= − − + =

= = =

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫

E dS E dS E dS E dS

E z S E z S ES

QdS

S

S S S S

S

L1 2

0 2

1

0 0 0

( ) ( )

int

ε εσ

σε

Il s’ensuit que le champ électrostatique créé par un plan infini uniformément chargé vaut

E =σε2 0

Remarques :1. Le champ ne varie pas avec la distance, ce qui est naturel car le plan est supposé infini .2. On peut encore appliquer ce résultat pour une surface quelconque chargée uniformément.

Il suffit alors d’interpréter E comme le champ au voisinage immédiat de la surface :suffisamment près, celle-ci peut être assimilée à un plan infini.

Champ créé par une boule uniformément chargée

On considère une boule (sphère pleine) de centre O etrayon R, chargée avec une distribution volumique decharges ρ. Cette distribution possédant une symétriesphérique, le champ électrostatique qui en résulte aurala même symétrie, donc E E r ur= ( ) .

La surface de Gauss adaptée est simplement unesphère de rayon r et le théorème de Gauss nousfournit

Φ = ⋅ = =

= =

∫∫ ∫∫

∫∫∫

E dS E r dS E r r

Qd

S S

V

( ) ( )

int

4

1

2

0 0

π

ε ερ V

Lorsque r<R, on obtient un champ

15

Er

rr= =

434 3

3

20 0

π ρ

π ερε

Lorsque r>R, la sphère de Gauss enferme un volume V supérieur à celui de la boule. Mais ladistribution de charges n’est non nulle que jusqu’en r=R, ce qui fournit donc un champ

ER

r

R

r

Q

r= = =

434 3 4

3

20 0

3

20

2

π ρ

π ερε π ε

où Q est la charge totale portée par la boule. On vient ainsi de démontrer, sur un cas simple,qu’une distribution de charges à symétrie sphérique produit à l’extérieur le même champqu’une charge ponctuelle égale, située en O.

II.1.4- Lignes de champ

Le concept de lignes de champ (également appelées lignes de force) est très utile pour se faireune représentation spatiale d’un champ de vecteurs.

Définition : Une ligne de champ d’un champ de vecteur quelconque est une courbe C définiedans l’espace telle qu’en chacun de ses points le vecteur y soit tangent.

C

E

E

E

Considérons un déplacement élémentaire dl le long d’une ligne de champ électrostatique C.Le fait que le champ E soit en tout point de C parallèle à dl s’écrit :

E dl∧ = 0

En coordonnées cartésiennes, dl dx i dy j dz k= + + et les lignes de champ sont calculéesen résolvant

dx

E

dy

E

dz

Ex y z

= =

En coordonnées cylindriques dl d u d u dz uz= + +ρ ρ θρ θ et l’équation des lignes de champ

devientd

E

d

E

dz

Ez

ρ ρ θ

ρ θ

= =

En coordonnées sphériques, dl dr u rd u r d ur= + +θ θ ϕθ ϕsin et on adr

E

rd

E

r d

Er

= =θ θ ϕ

θ ϕ

sin

16

Soit un contour fermé C tel que le champ électrostatique y soit tangent, c’est à dire tel queE dl⊥ où dl est un vecteur élémentaire de C. En chaque point de C passe donc une ligne dechamp particulière. L’ensemble de toutes les lignes de champ dessine alors une surface dansl’espace, une sorte de tube. Par construction, le flux du champ électrostatique est nul à traversla surface latérale du tube, de telle sorte que le flux est conservé : ce qui rentre à la base dutube ressort de l’autre coté. On appelle un tel « rassemblement » de lignes de champ un tubede flux.

II.2- Circulation du champ électrostatique

II.2.2- Notion de potentiel électrostatique

On va démontrer ci-dessous qu’il existe un scalaire V, appelé potentiel électrostatique, définitdans tout l’espace et qui permet de reconstruire le champ électrostatique E . Outre unecommodité de calcul (il est plus facile d’additionner deux scalaires que deux vecteurs),l’existence d’un tel scalaire traduit des propriétés importantes du champ électrostatique. Maistout d’abord, est-il possible d’obtenir un champ de vecteurs à partir d’un champ scalaire ?

Prenons un scalaire V(M) défini en tout point M de l’espace (on dit un champ scalaire). Unevariation dV de ce champ lorsqu’on passe d’un point M à un point M’ infiniment proche estalors fourni par la différentielle totale

dV MV

xdx grad V dOM

ii

i

( ) = = ⋅=∑

∂∂1

3

où le vecteur grad V , est le gradient du champ scalaire V et constitue un champ de vecteursdéfini partout. Ses composantes dans un système de coordonnées donné sont obtenues trèssimplement. Par exemple, en coordonnées cartésiennes, on a dOM dx i dy j dz k= + + et

dVV

xdx

V

ydy

V

zdz= + +

∂∂

∂∂

∂∂

d’où l’expression suivante pour le gradient en coordonnées cartésiennes

grad V

V

xV

y

V

z

=

∂∂∂∂

∂∂

En faisant de même en coordonnées cylindriques et sphériques on trouve respectivement

grad V

V

V

V

z

=

∂∂ρ

ρ∂∂θ

∂∂

1et grad V

V

r

r

V

r

V

=

∂∂

∂∂θ

θ∂∂ϕ

1

1sin

17

Un déplacement dOM MM= ′ le long d’une courbe (ou surface) définie par V=Constantecorrespond à dV=0, ce qui signifie que grad V est un vecteur qui est perpendiculaire en toutpoint à cette courbe (ou surface).

Par ailleurs, plus les composantes du gradient sont élevées et plus il y a une variation rapidede V. Or, c’est bien ce qui semble se produire, par exemple, au voisinage d’une chargeélectrique q: les lignes de champ électrostatique sont des droites qui convergent (q<0) oudivergent (q>0) toutes vers la charge. Il est donc tentant d’associer le champ E (vecteur) augradient d’une fonction scalaire V.

En fait, depuis Newton (1687) et sa loi de gravitation universelle, de nombreux physiciens etmathématiciens s’étaient penché sur les propriétés de cette force radiale en 1 2/r . Enparticulier Lagrange avait ainsi introduit en 1777 une fonction scalaire appelée potentiel, plus« fondamentale » puisque la force en dérive. C’est Poisson qui a introduit le potentielélectrostatique en 1813, par analogie avec la loi de Newton.

Définition : le potentiel électrostatique V est relié au champ électrostatique E par

E grad V= −

Remarques :1. Le signe moins est une convention liée à celle adoptée pour l’énergie électrostatique (cf

chapitre IV).2 . La conséquence de cette définition du potentiel est dV M E dOM( ) = − ⋅ pour un

déplacement infinitésimal quelconque.3. Les lignes de champ électrostatique sont perpendiculaires aux courbes équipotentielles.

Définition : la circulation du champ électrostatique le long d’une courbe allant de A vers Best

E dl dV V A V BA

B

A

B

⋅ = − = −∫ ∫ ( ) ( )

Remarques :1 . Cette circulation est conservative : elle ne dépend pas du

chemin suivi.2. La circulation du champ électrostatique sur une courbe fermée

(on retourne en A) est nulle. On verra plus loin que ceci estd’une grande importance en électrocinétique.

3. D’après la relation ci-dessus, le long d’une ligne de champ,c’est à dire pour E dl⋅ > 0 on a V(A)>V(B). Les lignes dechamp électrostatiques vont dans le sens des potentielsdécroissants.V1 V2 < V1

E

18

II.2.2- Potentiel créé par une charge ponctuelle

Nous venons de voir l’interprétation géométrique du gradient d’une fonction scalaire et le lienavec la notion de circulation. Mais nous n’avons pas encore prouvé que le champélectrostatique pouvait effectivement se déduire d’un potentiel V !

z

y

x

O

E(M)MM’

MM’=dOMrθ

ϕ

Considérons donc une charge ponctuelle q située en un point O. En un point M de l’espace,cette charge crée un champ électrostatique E . Le potentiel électrostatique est alors donné par

dV M E dOMq u dr

r

q dr

r( ) = − ⋅ = −

⋅= −

4 402

02πε πε

c’est à dire, après intégration suivant r,

V Mq

rV( ) = +

14 0

0πεRemarques :1. La constante d’intégration est en général choisie nulle (le potentiel s’annule à l’infini) 2. L’unité du potentiel est le Volt . En unités du système international (SI) le Volt vaut

V E L M L T I[ ] = [ ] = − −2 3 1

3. Si l’on veut se former une représentation du potentiel, on peut remarquer qu’il mesure ledegré d’électrification d’un conducteur (voir Chapitre III). Il y a en fait une analogieformelle entre d’un coté, potentiel V et température T d’un corps, et de l’autre, entrecharge Q et chaleur déposée dans ce corps.

II.2.3- Potentiel créé par un ensemble de charges

Considérons maintenant un ensemble de n charges ponctuelles qi distribuées dans tout

l’espace. En vertu du principe de superposition, le champ électrostatique total E Eii

n

==∑

1

est la

somme vectorielle des champs Ei créés par chaque charge qi . On peut donc définir un

potentiel électrostatique total V M V Mii

n

( ) ( )==∑

1

tel que E grad V= − soit encore vérifié. En

utilisant l’expression du potentiel créé par une charge unique, on obtient

V Mq

rVi

ii

n

( ) = +=∑

14 01

0πε

où ri est la distance entre la charge qi et le point M.

19

Lorsqu’on s’intéresse à des échelles spatiales qui sont très grandes par rapport aux distancesentre les charges qi , on peut faire un passage à la limite continue et remplacer la somme

discrète par une intégrale q P dq Pi ii

( ) ( )∑ ∫→ où P est un point courant autour duquel se

trouve une charge « élémentaire » dq. Le potentiel électrostatique créé par une distribution decharges continue est alors

V Mdq

rV( ) = +∫

14 0

0πε

où r=PM est la distance entre le point M et un point P quelconque de la distribution decharges.

Remarques :1. Pour des distributions de charges linéique λ, surfacique σ et volumique ρ, on obtient

respectivement

V Mdl

rV

V MdS

rV

V Md

rV

( )

( )

( )

= +

= +

= +

∫

∫∫

∫∫∫

14

14

14

00

00

00

πελ

πεσ

περ V

2. Noter que l’on ne peut pas évaluer le potentiel (ni le champ d’ailleurs) sur uneparticule en utilisant l’expression discrète (c’est à dire pour ri = 0). Par contre, on peutle faire avec une distribution continue : c’est dû au fait que dq/r converge lorsque rtend vers zéro.

II.3- Le dipôle électrostatique

II.3.1- Potentiel électrostatique créé par deux charges électriques

Il existe dans la nature des systèmes globalement électriquement neutres mais dont le centrede gravité des charges négatives n’est pas confondu avec celui des charges positives. Un telsystème peut souvent être décrit (on dit modélisé) en première approximation par deuxcharges électriques ponctuelles, +q et –q situées à une distance d=2a l’une de l’autre. Onappelle un tel système de charges un dipôle électrostatique.

Définition : on appelle moment dipolaire électrique la grandeurp qd i aq i= = 2

Les molécules tel les queHCL,CO,H20,CO2 constituent desexemples de dipôles électrostatiques.H+ Cl-

C+ O-

p

O- C+ O-

p=0

H+

H+

O- p

x

z

-a a

(-q) (+q)

p

20

Connaître l’effet (la force) électrostatique que ces deux charges créent autour d’elles nécessitede calculer le champ électrostatique. Habituellement, nous aurions appliqué le principe desuperposition et calculé ainsi la somme vectorielle des deux champs. L’avantage du potentielest de permettre d’arriver au même résultat sans se fatiguer.

x

y

-a a

p

M

ρ+

ρ−

ρ

θ

D’après la section précédente, le potentiel créé en un point M repéré par ses coordonnéespolaires ρ θ,( ) est simplement

V M V M V M

q q

q q( ) ( ) ( )= +

= −

=

−

+ −

+ −

− +

+ −41 1

40 0πε ρ ρ περ ρ

ρ ρ

où l’on a choisi arbitrairement V=0 à l’infini. Or, ρ ρ± = m a i . Lorsqu’on ne s’intéresse qu’àl’action électrostatique à grande distance, c’est à dire à des distances ρ>>a, on peut faire un développement limité de V. Au premier ordre en a /ρ on obtient

ρ ρ ρ ρρ

ρ ρ θ± ± ±= ⋅( ) ≈ ⋅

≈

1 2

2

1 2

1 2/

/

cosm ma

i a

c’est à dire ρ ρ θ− +− ≈ 2acos et ρ ρ ρ− + ≈ 2 . Le potentiel créé à grande distance par un dipôleélectrostatique vaut donc

V Maq p u

( )cos

= =⋅2

4 402

02

θπε ρ πε ρ

ρ

II.3.2- Champ créé à grande distance

Pour calculer le champ électrostatique, il nous suffit maintenant d’utiliser E grad V= − encoordonnées cylindriques. On obtient ainsi

21

E

EV p

EV p

EV

zz

=

= − =

= − =

= − =

ρ

θ

∂∂ρ

θπε ρ

ρ∂∂θ

θπε ρ

∂∂

24

14

0

03

03

cos

sin

Par construction, le dipôle possède une symétrie de révolution autour de l’axe qui le porte (icil’axe Ox) : le potentiel ainsi que le champ électrostatiques possèdent donc également cettesymétrie. Cela va nous aider à visualiser les lignes de champ ainsi que les équipotentielles.Par exemple, le plan médiateur défini par θ = π/2 (x=0) est une surface équipotentielle V=0.Les équipotentielles sont des surfaces (dans l’espace ; dans le plan ce sont des courbes)définies par V V= =Constante 0 , c’est à dire

ρθ

πε=

p

V

cos4 0 0

L’équation des lignes de champ est obtenue en résolvant

d

E

d

E

d d

K

ρ ρ θ ρρ

θ θθ

ρ θ

ρ θ

= ⇒ =

=

2

2

cossin

sin

où K est une constante d’intégration dont la valeur (arbitraire) définie la ligne de champ.

II.3.3- Complément : développements multipolaires

Lorsqu’on a affaire à une distribution de charges électriques et qu’on ne s’intéresse qu’auchamp créé à une distance grande devant les dimensions de cette distribution, on peutégalement utiliser une méthode de calcul approché du potentiel. Le degré de validité de cecalcul dépend directement de l’ordre du développement limité utilisé : plus on va à un ordreélevé et meilleure sera notre approximation. Par exemple, l’expression du dipôle ci-dessusn’est valable que pour ρ>>a, mais lorsque ρ tend vers a, il faut prendre en compte les ordressupérieurs, les termes dits multipolaires.

Prenons le cas d’une distribution de charges ponctuelles qi situées en r OPi i= . Le potentiel

créé en un point M repéré par le vecteur position r OM= (coordonnées sphériques) est

V rq

r ri

ii

n

( ) =−=

∑1

4 01 πε

En supposant r ri>> , on peut montrer facilement que ce potentiel admet le développementsuivant

V rq

r

q r

r

q r

ri i i i i i

ii

n

( )cos

cos ...≈ + + −( ) +

=∑

14 2

3 10

2

2

32

1πεθ

θ

22

où θi est l’angle entre r et ri . Faire un développement multipolaire d’une distributionquelconque de charges consiste à arrêter le développement limité à un ordre donné, dépendantdu degré de précision souhaité. Dans le développement ci-dessus, le premier terme (ordre zéroou monopolaire) correspond à assimiler la distribution à une charge totale placée en O. Celapeut être suffisant vu de très loin, si cette charge totale est non nulle. Dans le cas contraire (ousi l’on souhaite plus de précision) on obtient le deuxième terme qui peut se mettre sous laforme

p u

rr⋅

4 02πε

où le vecteur p q ri ii= ∑ est le moment dipolaire associé à la distribution de charges,

généralisation à plusieurs charges du moment dipolaire précédent. Lorsqu’on souhaite encoreplus de précision (ou si p = 0 ) il faut prendre en compte les termes d’ordre supérieur. Leterme suivant est la contribution quadrupolaire, décrivant la façon dont les charges positiveset négatives se distribuent autour de leurs barycentres respectifs.

23

Chapitre III- Conducteurs en équilibre

III.1- Conducteurs isolés

III.1.1- Notion d’équilibre électrostatique

Jusqu’à présent, nous nous sommes intéressés uniquement aux charges électriques et à leurseffets. Que se passe-t-il pour un corps conducteur dans lequel les charges sont libres de sedéplacer?

Prenons une baguette en plastique et frottons-la. On sait qu’elle devient électrisée parcequ’elle devient alors capable d’attirer de petits bouts de papier. Si on la met en contact avecune autre baguette, alors cette deuxième devient également électrisée, c’est à dire atteint uncertain degré d’électrisation. Au moment du contact des deux baguettes, des chargesélectriques passent de l’une à l’autre, modifiant ainsi le nombre de charges contenues danschacune des baguettes, jusqu’à ce qu’un équilibre soit atteint. Comment définir un teléquilibre ?

Définition : l’équilibre électrostatique d’un conducteur est atteint lorsque aucune chargeélectrique ne se déplace plus à l’intérieur du conducteur.

Du point de vue de chaque charge élémentaire, cela signifie que le champ électrostatique totalauquel elle est soumise est nul.Comme le champ dérive d’un potentiel, cela implique qu’un conducteur à l’équilibreélectrostatique est équipotentiel.

Remarques :1. Si le conducteur est chargé, le champ électrostatique total est (principe de

superposition) la somme du champ extérieur et du champ créé par la distribution decharges contenues dans le conducteur. Cela signifie que les charges s’arrangent (sedéplacent) de telle sorte que le champ qu’elles créent compense exactement, en toutpoint du conducteur, le champ extérieur.

2. Nous voyons apparaître ici une analogie possible avec la thermodynamique :Equilibre électrostatique Equilibre thermodynamique

Potentiel électrostatique TempératureCharges électriques Chaleur

En effet, à l’équilibre thermodynamique, deux corps de températures initialementdifférentes mis en contact, acquièrent la même température finale en échangeant de lachaleur (du plus chaud vers le plus froid).

Dans ce cours, tous les conducteurs seront considérés à l’équilibre électrostatique.

24

III.1.2- Quelques propriétés des conducteurs en équilibre

(a) Lignes de champNous avons vu que, à l’intérieur d’un conducteur (chargé ou non) le champ électrostatiquetotal est nul. Mais ce n’est pas forcément le cas à l’extérieur, en particulier si le conducteur estchargé. Puisqu’un conducteur à l’équilibre est équipotentiel, cela entraîne alors que, sa surfaceétant au même potentiel, le champ électrostatique est normal à la surface d’un conducteur.Par ailleurs, aucune ligne de champ ne peut « revenir » vers le conducteur. En effet, lacirculation du champ le long de cette ligne impose

V A V B E dlA

B

( ) ( )− = ⋅∫Si les points A et B appartiennent au même conducteur, alors la circulation doit être nulle, cequi est impossible le long d’une ligne de champ (où, par définition E est parallèle à dl ).

+

+++

++

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+

+++

+

+

+

+

+

+

+

Impossible

E=0V=Cst

(b) Distribution des chargesSi un conducteur est chargé, où se trouvent les charges non compensées? Supposons qu’ellessoient distribuées avec une distribution volumique ρ. Prenons un volume quelconque V situéà l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre électrostatique. En vertu du théorème de Gauss, ona

E dS dS V

⋅ = =∫∫ ∫∫∫ ρε0

0V

puisque le champ E est nul partout. Cela signifie que ρ = 0 (autant de charges + que decharges -) et donc, qu’à l’équilibre, aucune charge non compensée ne peut se trouver dans levolume occupé par le conducteur. Toutes les charges non compensées se trouvent doncnécessairement localisées à la surface du conducteur.Ce résultat peut se comprendre par l’effet de répulsion que celles-ci exercent les unes sur lesautres. A l’équilibre, les charges tendent donc à se trouver aussi éloignées les unes des autresqu’il est possible de le faire.

(c) Théorème de CoulombEn un point M infiniment voisin de la surface S d’un conducteur, le champ électrostatique Eest normal à S. Considérons une petite surface Sext parallèle à la surface S du conducteur. Onpeut ensuite construire une surface fermée ∑ en y adjoignant une surface rentrant à l’intérieurdu conducteur Sint ainsi qu’une surface latérale SL . En appliquant le théorème de Gauss surcette surface fermée, on obtient

25

ΦΣ

= ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ =

= = =

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫

E dS E dS E dS E dS E dS E S

QdS

S

S S S S

ext

S

M

L ext ext

M

int

int

ε εσ

σε0 0 0

1

où SM est la surface dessinée par le tube de flux passant par Sext , donc S SM ext= (on peutchoisir ces surfaces aussi petites que l’on veut).Théorème : le champ électrostatique à proximité immédiate d’un conducteur de densitésurfacique σ vaut

E n=σε0

où n est un vecteur unitaire normal au conducteur et dirigé vers l’extérieur.

Lorsque le champ au voisinage d’un conducteur dépasse une certaine limite, une étincelle estobservée : le milieu entourant le conducteur devient alors conducteur. Ce champ maximal, del’ordre de 3 Méga V/m dans l’air, est appelé champ disruptif. Il correspond à l’ionisation desparticules du milieu (molécules dans le cas de l’air).

(d) Pression électrostatiqueSoient deux points M et M’ infiniment proches de la surface d’un conducteur de densitésurfacique σ , M situé à l’extérieur tandis que M’ est situé à l’intérieur. Considéronsmaintenant une surface élémentaire dS située entre ces deux points. Soit E1 le champ créé enM par les charges situées sur dS et E2 le champ créé en M par toutes les autres chargessituées à la surface du conducteur. Soient ′E1 et ′E2 les champs respectifs en M’.

Extérieur

Intérieur

M

M’

dS

E1

E’1

E2

E’2

On a alors les trois propriétés suivantes1. E M E M2 2( ) ( )= ′ car M et M’sont infiniment proches.

2. ′ = − ′E E2 1 car le champ électrostatique à l’intérieur du conducteur est nul.

3. E M E M1 1( ) ( )= − ′ car E1 est symétrique par rapport à dS, considérée comme un planpuisque M et M’ peuvent être infiniment rapprochés.

Grâce à ces trois propriétés, on en déduit que E E2 1= , c’est à dire que la contribution del’ensemble du conducteur est égale à celle de la charge située à proximité immédiate. Comme

26

le champ total vaut E E E n= + =1 20

σε

(théorème de Coulomb), on en déduit que le champ

créé par l’ensemble du conducteur (à l’exclusion des charges situées en dS) au voisinage du

point M est E n202

=σε

.

Autrement dit, la force électrostatique dF subie par cette charge dq dS= σ de la part del’ensemble des autres charges du conducteur vaut

dF dq E dS n n dS= = =20

2

02 2σ

σε

σε

Quel que soit le signe de σ, la force est normale et toujours dirigée vers l’extérieur duconducteur. Cette propriété est caractéristique d’une pression, force par unité de surface.Ainsi, la pression électrostatique subie en tout point d’un conducteur vaut

P =σε

2

02

Cette pression est en général trop faible pour arracher les charges de la surface du conducteur.Mais elle peut déformer ou déplacer celui-ci, les charges communiquant au solide la forceélectrostatique qu’elles subissent.

(e) Pouvoir des pointesCette expression décrit le fait expérimental que, à proximité d’une pointe, le champélectrostatique est toujours très intense. En vertu du théorème de Coulomb, cela signifie quela densité surfacique de charges est, au voisinage d’une pointe, très élevée.

σ1

σ2

R1R2

On peut aborder ce phénomène avec deux sphères chargées de rayons différents, reliées parun fil conducteur et placées loin l’une de l’autre. On peut donc considérer que chaque sphèreest isolée mais qu’elle partage le même potentiel V. Cela implique alors

V VdS

R

dS

R

R R

R

R

SS

1 21

41

40

1

1 0

2

2

1 1

0

2 2

0

1

2

2

1

21

= ⇔ =

⇔ =

⇔ =

∫∫∫∫π εσ

π εσ

σε

σε

σσ

Donc, plus l’une des sphères aura un rayon petit et plus sa densité de charges sera élevée.Tout se passe comme si les charges « préféraient » les zones à forte courbure. A priori, celasemble en contradiction avec l’idée naïve que les charges non compensées ont tendance à serepousser mutuellement. Le résultat ci-dessus nous montre l’effet d’une pointe (accumulation

27

de charges), mais ne nous offre aucune explication de ce phénomène. Qu’est ce qui,physiquement, a permis une « accumulation » de charges sur une pointe ?Prenons une sphère chargée placée seule dans l’espace. Se repoussant mutuellement, lescharges vont produire une distribution surfacique uniforme. Maintenant, si l’on fait un creux(zone concave), les charges situées au fond du creux « voient » non seulement le champélectrostatique créé par les charges immédiatement voisines, mais également celui créé par lescharges situées sur les bords du creux. Ainsi, au fond du creux, le champ total est plus fort etrepousse les charges vers l’extérieur, vidant ainsi le creux de charges. Faisons maintenant unepointe (zone convexe). Là, le phénomène contraire se produit. Quand une charge se retrouve,sous l’effet répulsif des autres charges, repoussée vers la pointe, le champ qu’elle-même créedevient moins important (puisqu’elle est éloignée des autres charges) vis-à-vis des chargesrestées sur la partie uniforme de la sphère. Cela permet ainsi à une autre charge de prendre saplace : cette nouvelle charge se déplace donc et se retrouve elle-même repoussée sur la pointe.Le conducteur atteint l’équilibre électrostatique lorsque le champ répulsif créé par toutes lescharges accumulées au niveau de la pointe compense celui créé par le charges restées sur le« corps » du conducteur.

III.1.3- Capacité d’un conducteur isolé

Nous avons vu qu’il était possible de faire une analogie entre la température d’un corps et lepotentiel électrostatique. Or, pour une quantité de chaleur donnée, la température d’un corpsdépend en fait de sa capacité calorifique. Il en va de même pour le potentiel électrostatique : ildépend de la capacité du corps à « absorber » les charges électriques qu’il reçoit. On peutdonc suivre cette analogie et définir une nouvelle notion, la capacité électrostatique :

Capacité électrostatique Capacité calorifique

Soit un conducteur à l’équilibre électrostatique isolé dans l’espace, chargé avec unedistribution surfacique σ et porté au potentiel V. Celui-ci s’écrit

V MP dS

PMsurface

( )( )

= ∫∫1

4 0π εσ

en tout point M du conducteur, le point P étant un point quelconque de sa surface. Par ailleurs,la charge électrique totale portée par ce conducteur s’écrit

Q = dSSurface

σ∫∫Si on multiplie la densité surfacique par un coefficient constant a, on obtient une nouvellecharge totale Q’=aQ et un nouveau potentiel V’=aV. On a ainsi un nouvel état d’équilibreélectrostatique, parfaitement défini. On voit donc que, quoi qu’on fasse, tout état d’équilibred’un conducteur isolé (caractérisé par Q et V) est tel que le rapport Q/V reste constant (celarésulte de la linéarité de Q et V en fonction de σ).

Définition : La capacité électrostatique d’un conducteur à l’équilibre est définie par

CQ

V=

où Q est la charge électrique totale du conducteur porté au potentiel V. L’unité de la capacitéest le Farad (symbole F).

28

Remarques :1. La capacité C d’un conducteur est une grandeur toujours positive. Elle ne dépend que des

caractéristiques géométriques et du matériau dont est fait le conducteur.2. Les unités couramment utilisées en électrocinétique sont le nF ou pF.3. Exemple : capacité d’une sphère de rayon R, chargée avec une densité surfacique σ.

V V OP dS

OP

dS

R

dS

R

CQ

VR

surface surface

= = = =

= =

∫∫ ∫∫∫∫( )

( )14

14 4

4

0 0 0

0

π εσ

π εσ σ

π ε

π ε

III.1.4- Superposition des états d’équilibre

Nous avons vu qu’un conducteur isolé, à l’équilibre électrostatique, est caractérisé par sacharge Q et son potentiel V, qui sont reliés entre eux par la capacité C du conducteur.Inversement , étant donné un conducteur de capacité C, la donnée de sa distribution

surfacique σ détermine complètement son état d’équilibre, puisque Q = dSSurface

σ∫∫ et V=Q/C.

Soit maintenant un autre état d’équilibre du même conducteur défini par une densitésurfacique σ’. Le conducteur porte alors une charge Q’ et a un potentiel V’. Du fait de lalinéarité de Q et V avec σ, toute combinaison linéaire de σ et σ ’ est encore un étatd’équilibre :

′′ = + ′ ⇔′′ = + ′

′′ =′′

= + ′

σ σ σa b

Q aQ bQ

VQ

CaV bV

On a donc ici un résultat qui nous sera utile plus tard : toute superposition d’états d’équilibre(d’un conducteur ou d’un ensemble de conducteurs) est également un état d’équilibre.

III.2- Systèmes de conducteurs en équilibre

III.2.1- Théorème des éléments correspondants

Soit deux conducteurs (A1) et (A2), placés l’un à coté de l’autre et portant des densitéssurfaciques σ1 et σ 2 à l’équilibre. S’ils ne sont pas au même potentiel, des lignes de champélectrostatique relient (A1) à (A2). Soit un petit contour fermé C1 situé sur la surface de (A1)tel que l’ensemble des lignes de champ issues de (A1) et s’appuyant sur C1 rejoignent (A2) (ety dessinent un contour fermé C2).

29

L’ensemble de ces lignes de champ constitue ce qu’on appelle un tube de flux : le flux duchamp électrostatique à travers la surface latérale SL dessinée par ce tube est nul parconstruction ( E dS⋅ = 0). Soit une surface fermée produite S S S SL= + +1 2 où S1 est unesurface qui s’appuie sur C1 et plonge à l’intérieur de (A1) et S2 une surface similaire pour(A2).En vertu du théorème de Gauss, on a

Φ = ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

= = +

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫E dS E dS E dS E dS

Q Q Q

S S S SL 1 2

0

0

1

0

2

0

int

ε ε εoù Q1 est la charge totale contenue sur la surface de (A1) embrassée par C1 tandis que Q2 estla charge contenue sur la surface correspondante de (A2). Du coup Q Q1 2= − nécessairement.

Théorème : les charges électriques portées par deux éléments correspondants sont opposées.

III.2.2- Phénomène d’influence électrostatique

Jusqu’à présent nous n’avons abordé que les conducteurs chargés, isolés dans l’espace. Que sepasse-t-il lorsque, par exemple, on place un conducteur neutre dans un champ électrostatique

uniforme ? Etant neutre, sa charge Q = dSSurface

σ∫∫ doit rester nulle. Mais étant un conducteur,

les charges sont libres de se déplacer : on va donc assister à un déplacement de chargespositives dans la direction de E et de charges négatives dans la direction opposée. On obtientalors une polarisation du conducteur (création de pôles + et -), se traduisant par unedistribution surfacique σ non-uniforme (mais telle que Q=0).

Q=0

E

E= 0

E

---+++

Considérons maintenant le cas plus compliqué d’un conducteur (A1) de charge Q1 avec unedensité surfaciqueσ1, placé à proximité d’un conducteur neutre (A2). En vertu de ce qui a étédit précédemment, on voit apparaître une densité surfaciqueσ 2 non-uniforme sur (A2) due auchamp électrostatique de (A1). Mais, en retour, la présence de charges σ 2 situées à proximitéde (A1) modifie la distribution de charges σ1 ! A l’équilibre électrostatique, les deuxdistributions de charges σ1 et σ 2 dépendent l’une de l’autre. On appelle cette actionréciproque, l’influence électrostatique. Dans cet exemple, l’influence est dite partielle, carl’ensemble des lignes de champ électrostatique issues de (A1) n’aboutissent pas sur (A2). Soitq2 la charge portée par la région de (A2) reliée à (A1). En vertu du théorème des élémentscorrespondants, on a q Q2 1< .

On peut créer des conditions d’influence électrostatiquetotale en plaçant (A1) à l’intérieur de (A2). Puisque l’ensemble deslignes de champ issues de (A1) aboutit sur (A2), on voit apparaître lacharge Q Q2 1

int = − sur la face correspondante interne de (A2), et ceci

A2

A1

E

30

quelle que soit la position de (A1). Cette propriété (démontrée à partir du théorème deséléments correspondants) est connue sous le nom de théorème de Faraday. La chargeélectrique totale sur (A2) est simplement Q Q Q Q Qext ext

2 2 2 1 2= + = − +int .

Notion d’écran ou de blindage électrostatique : la cage de FaradayUn conducteur à l’équilibre a un champ nul : de ce fait, s’il possède une cavité, celle-ci setrouve automatiquement isolée (du point de vue électrostatique) du monde extérieur. Ondéfinit par écran électrostatique parfait tout conducteur creux maintenu à un potentielconstant.

Lorsqu’on relie (A2) au sol, on a Q ext2 0= (les charges s’écoulent vers la Terre ou proviennent

de celle-ci). Dans ce cas, le champ électrostatique mesuré à l’extérieur de (A2) est nul, malgréla présence de (A1) chargé à l’intérieur de (A2). Ainsi, l’espace extérieur à (A2) est protégéde toute influence électrostatique provenant de la cavité. L’inverse est également vrai.

Masse (sol)

Eext= 0

Masse (sol)

Eint= 0

Q=0Q≠0

Générateur

Eint≠ 0A1

A2

A1

A2

Q>0Eext≠ 0

Prenons maintenant le cas où (A1) porte une charge nulle et où (A2) est placé à proximitéd’autres conducteurs chargés. A l’équilibre, on aura Q2 0int = mais un champ électrostatiquenon nul mesuré à l’extérieur de (A2), dépendant de la distribution surfacique externe de (A2).Ainsi, malgré la charge portée par la surface extérieure de (A2), la cavité interne possède unchamp électrostatique nul. Nous voyons donc que le champ électrostatique régnant àl’intérieur de (A2) est parfaitement indépendant de celui à l’extérieur. Noter que ceci restevrai même si (A2) n’est pas maintenu à potentiel constant.

Une combinaison linéaire de ces deux situations permettant de décrire tous les cas possibles,nous venons de démontrer que tout conducteur creux maintenu à potentiel constant constituebien un écran électrostatique dans les deux sens. Un tel dispositif est appelé cage de Faraday.

Alors que la distribution des charges Q2int dépend de la position de (A1), celle des charges

Q ext2 portées par la surface externe de (A2) dépend, elle, uniquement de ce qui se passe à

l’extérieur.

Applications :1. Protection contre la foudre : un paratonnerre est en général complété par un réseau de

câbles entourant l’édifice à protéger, reliés à la Terre.2. Tout conducteur transportant un courant faible est entouré d’une gaine métallique (appelée

blindage) reliée au sol. Cette gaine est parfois simplement le châssis de l’appareil.

31

III.2.3- Coefficients d’influence électrostatique

Nous avons vu que lorsque plusieurs conducteurs sont mis en présence les uns des autres, ilsexercent une influence électrostatique réciproque. A l’équilibre (mécanique etélectrostatique), les densités surfaciques de chaque conducteur dépendent des charges qu’ilsportent, de leur capacité et de leurs positions relatives. Si l’on cherche à calculer, par exemple,le potentiel pris par l’un des conducteurs, alors il nous faut résoudre le problème complet :calculer les potentiels de tous les conducteurs.Soit un ensemble de n conducteurs (Ai) de charge électrique totale Qi et potentiel Vi , enéquilibre électrostatique. Prenons (A1) et appliquons la notion vue précédemment desuperposition des états d’équilibre. On peut toujours décomposer la distribution surfacique sur

(A1) de la forme σ σ1 11

==

∑ jj

n

où σ11 est la densité surfacique de charges apparaissant sur (A1)

si tous les autres conducteurs étaient portés au potentiel nul (mais présents) et σ1 j celle

apparaissant lorsque tous (y compris A1) sont portés au potentiel nul, sauf (Aj). On peut alorsécrire que la charge totale sur (A1) est

Q dS dS q q qS

j

Sj

n

n1 1 11

11 12 1

1 1

= = = + + +∫∫ ∫∫∑=

σ σ ...

Pour connaître Q1 il faut donc connaître les n états d’équilibre électrostatique. Considérons lepremier, celui où tous les autres conducteurs en présence sont mis au potentiel nul. Dans cecas, on a

q C V

q C V

q C Vn n

11 11 1

21 21 1

1 1 1

=

=

=

=

M M

En effet, la charge apparaissant sur (A1) ne peut être due qu’à V1, C11 étant la capacité duconducteur (A1) en présence des autres conducteurs. Mais par influence, une distribution σ j1

apparaît sur tous les autres conducteurs (Aj). Celle-ci dépend du nombre de lignes de champqui joignent (A1) à chaque conducteur (Aj). En vertu du théorème des élémentscorrespondants, la charge qui « apparaît » est de signe opposé à celle sur (A1), elle-mêmeproportionnelle à q11 donc à V1 : les coefficients d’influence Cj1 sont donc négatifs.

A1

A2

An

q2

qn

E

32

Considérons maintenant le deuxième état d’équilibre, où tous les conducteurs sauf (A2) sontmis au potentiel nul. On a alors dans ce cas

q C V

q C V

q C Vn n

12 12 2

22 22 2

2 2 2

=

=

=

=

M M

Bien évidemment, en reproduisant cette opération, on obtient que l’état d’équilibre le plusgénéral est décrit par

Q q q q q C Vi i i in ijj

n

ij ij

n

= + + + = == =

∑ ∑1 21 1

...

ou, sous forme matricielle,Q

Q

C C

C C

V

Vn

n

n nn n

1 11 1

1

1

M

L

M O M

K

M

=

Les coefficients Cij sont appelés coefficients d’influence. Les coefficients Cii sont parfoisappelés coefficients de capacité ou capacités des conducteurs en présence des autres. Il nefaut pas les confondre avec les capacités propres Ci des conducteurs isolés, seuls dansl’espace. D’une façon générale, on a la propriétés suivantes :

1. Les Cii sont toujours positifs.2. Les Cij sont toujours négatifs et C Cij ji= (matrice symétrique).

3. C Cii jij i

≥ −≠

∑ , l’égalité n’étant possible que dans le cas d’une influence totale.

La dernière inégalité est une conséquence du théorème des éléments correspondants. En effet,prenons le conducteur (A1) porté au potentiel V1 alors que les autres sont mis au potentiel nul.Tous les tubes de flux partant de (A1) n’aboutissent pas nécessairement à un autre conducteur(ils ne le feraient que pour une influence totale). Donc, cela signifie que la charge totale situéesur (A1) est (en valeur absolue) supérieure à l’ensemble des charges situées sur les autresconducteurs, c’est à dire Q C V q q C Vn j

j1 11 1 21 1 1

11= ≥ + + =

≠∑K .

ExempleSoient deux conducteurs sphériques, (A1) et (A2), de rayons R1et R2 portant une charge Q1

et Q2 , situés à une distance d l’un de l’autre. A quels potentiels se trouvent ces deuxconducteurs ?

d=O1O2>>R1,R2O1

O2R2

R1

En vertu du principe de superposition, le potentiel de (A1), pris en son centre O est

V OdS

PO

dS

P OS S

10

1 1

1 0

2 2

2

14

14

1 2

( ) = +∫∫ ∫∫πεσ

πεσ

où le premier terme est dû aux charges Q1 et le second à celles situées sur (A2). Lorsque ladistance d est beaucoup plus grande que les rayons, on peut assimiler P O O O d2 ≈ ′ = pour toutpoint P2 de la surface de (A2) et l’on obtient

33

V OQ

R

Q

d

Q

C

Q

Cd1

1

0 1

2

0

1

1

2

4 4( ) = + = +

πε πεoù l’on reconnaît en C1 la capacité d’une sphère isolée et en Cd un coefficient qui dépend à lafois de la géométrie des deux conducteurs et de leur distance. En faisant de même pour (A2),on obtient

V OQ

R

Q

d

Q

C

Q

Cd2

2

0 2

1

0

2

2

1

4 4( )′ = + = +

πε πεoù C2 est la capacité de (A2) isolée. On obtient donc un problème linéaire qui peut se mettresous la forme matricielle suivante

1 1

1 11

2

1

2

1

2

C C

C C

Q

Q

V

V

d

d

=

c’est à dire V D Qi ij j= où la matrice Dij est connue à partir de l’inverse des diverses capacités.

Si l’on veut se ramener au problème précédent (calcul des charges connaissant les potentiels),c’est à dire à la résolution de Q C Vi ij j= , où Cij est la matrice des coefficients d’influence, il

faut inverser la matrice Dij . On obtiendra en effet Q D Vi ij j= −1 , ce qui donne C Dij ij= −1 . Dans

le cas présent, on obtient

CCC C

C

CCC C

C

C C

C C

CC C

Cd d

d

d

111

1 22

222

1 22

12 21

1 2

1 22

1 1 1=

−=

−= = −

−

On voit clairement sur cet exemple (1) que les capacités en présence des autres conducteursCii ne sont pas identifiables aux capacités propres Ci des conducteurs isolés dans l’espace et(2) les coefficients d’influence Cij sont bien négatifs.

III.3- Le condensateur

III.3.1- Condensation de l’électricité

Définition : On appelle condensateur tout système de deux conducteurs en influenceélectrostatique. Il y a deux sortes de condensateurs :

• à armatures rapprochées• à influence totale

V1

V2

V2

V1

Armatures rapprochées Influence totaleEn général, les deux armatures sont séparées par un matériau isolant (un diélectrique), ce qui apour effet d’accroître la capacité du condensateur. Dans ce qui suit on suppose qu’il n’y a que

34

du vide. Soient donc deux conducteurs (A1) et (A2) portant une charge totale Q1 et Q2 et depotentiels V1 et V2. D’après la section précédente, on a

Q C V C V

Q C V C V1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

= +

= +

Les coefficients Cij étant indépendants des valeurs de Q et de V, il suffit, pour les trouver, de

considérer des cas particuliers simples (formellement on a ici 2 équations à 4 inconnues).

Regardons ce qui se passe dans le cas d’un condensateur à influence totale, c’est à dire uncondensateur pour lequel on a

Q Q Q Q Qext ext2 2 2 2 1= + = −int

Si on relie (A2) à la masse ( V Q ext2 20 0= =, car on néglige toute influence extérieure), alors

on obtientQ Q

C C1 2

11 21

= −

= −

La première relation n’est vraie que si (A2) est à la masse, mais la seconde est générale. Parailleurs, on sait que C C12 21= (on peut aussi le redémontrer en reliant les deux conducteurspar un fil (V V1 2= ) et choisir Q1 0= ). Par convention, la capacité C du condensateur, sacharge Q et sa tension entre armatures sont alors définies de la façon suivante,

C C

U V V

Q Q

=

= −

=

11

1 2

1

ce qui fournit la relation des condensateurs

Q CU=

Remarques1. Pourquoi appelle-t-on ces dispositifs des condensateurs ? Parce qu’ils permettent de

mettre en évidence le phénomène de « condensation de l’électricité », à savoirl’accumulation de charges électriques dans une petite zone de l’espace. Ainsi, enconstruisant des condensateurs de capacité C élevée, on obtient des charges électriques Qélevées avec des tensions U faibles.

2. La charge située sur l’armature (A2) est Q Q Qext2 2= − (pour un condensateur à influence

totale) et, en toute rigueur, ne vaut –Q que lorsque (A2) est mise à la masse. En général,elle reste cependant négligeable devant Q dans les cas considérés dans ce cours et on n’entiendra donc pas compte.

Pour un condensateur à armatures rapprochées, on obtient le même résultat, moyennant uneséparation faible (devant leur taille) des conducteurs. Dans ce type de condensateur, lescharges Q1 et Q2 correspondent à celles qui se trouvent réparties sur l’ensemble de la surfacede chaque conducteur. Mais si la distance est faible, l’influence électrostatique va condenserles charges sur les surfaces en regard, de telle sorte que l’on peut faire l’hypothèse suivante

Q Q Q Q

Q Q Q Q Q Q Q

ext S S

ext S ext S ext

1 1 1 1

2 2 2 2 1 2 1

= + ≈

= + = − ≈ −

ce qui nous ramène à une expression identique à celle d’un condensateur à influence totale.

35

III.3.2- Capacités de quelques condensateurs simples

Dans ce qui suit, nous allons voir plusieurs exemples de calculs de capacités. Pour obtenir lacapacité C d’un condensateur, il faut calculer la relation entre sa charge Q et sa tension U,c’est à dire

U V V E dlQ

C= − = ⋅ =∫1 2

1

2

Autrement dit, il faut être capable de calculer la circulation du champ électrostatique entre lesdeux armatures ainsi que la charge Q.

(a) Condensateur sphériqueSoit un condensateur constitué de deux armatures sphériques de même centre O, de rayonsrespectifs R1et R2 , séparées par un vide ( R R2 1> ). D’après le théorème de Gauss, le champélectrostatique en un point M situé à un rayon r entre les deux armatures vaut

E rQ

rur( ) =

4 02πε

en coordonnées sphériques, ce qui donne une tension

U V V E drQ

R RR

R

= − = ⋅ = −

∫1 2

0 1 21

2

41 1

πε

et fournit donc une capacité totale

CQ

U

R R

R R= =

−4 0

1 2

2 1

πε

(b) Condensateur cylindriqueSoit un condensateur constitué de deux armatures cylindriques coaxiales de longueur infinie,de rayons R1et R2 , séparées par un vide ( R R2 1> ). Soit λ la charge par unité de longueur du

cylindre intérieur. D’après le théorème de Gauss, le champélectrostatique entre les deux armatures s’écrit

E u( )ρλ

πε ρ ρ=2 0

en coordonnées cylindriques, ce qui donne une tension

U V V E dR

RR

R

= − = ⋅ =∫1 20

2

11

2

2ρ

λπε

ln

et une capacité par unité de longueur

CU R

R

= =λ πε2 0

2

1

ln

(c) Condensateur planSoient deux armatures (A1) et (A2) planes parallèles infinies, orthogonales à un même axe Oxde vecteur unitaire i et situées à une distance d x x= −2 1 l’une de l’autre. L’armature (A1)porte une densité surfacique de charges σ et (A2), en vertu du théorème des élémentscorrespondants, porte une densité -σ . Entre les deux armatures, le champ électrostatique estla superposition des champs créés par ces deux plans infinis, c’est à dire

36

E E E i i i= + = +−

−( ) =1 20 0 02 2

σε

σε

σε

La différence de potentiel entre les deux armaturesest alors

U V V E dx dx

x

= − = ⋅ =∫1 201

2 σε

d’où une capacité par unité de surface

CU d

= =σ ε0

La valeur numérique de la permittivité ε0 a été mesurée grâce à un condensateur plan.

III.3.3- Associations de condensateurs

(a) Condensateurs en parallèleSoient n condensateurs de capacités Ci mis en parallèle avec la même tension U V V= −1 2 . Lacharge électrique de chacun d’entre eux est donnée par Q CUi i= . La charge électrique totaleest simplement

Q Q C Uii

n

ii

n

= =

= =∑ ∑

1 1

ce qui correspond à une capacité équivalente C Cii

n

==∑

1

qui est la somme des capacités

individuelles.

(b) Condensateurs en sérieSoient n condensateurs de capacités Ci mis en série les uns derrière les autres. On porte auxpotentiels V0 et Vn les deux extrémités de la chaîne et on apporte la charge Q sur le premiercondensateur. En supposant que tous les condensateurs sont initialement neutres, il s’établit lacharge ±Q (par influence) sur les armatures des condensateurs adjacents. La tension totale auxbornes de la chaîne de condensateurs s’écrit alors simplement

U V V V V V V V V

Q

C

Q

C

Q

C CQ

n n n

n ii

n

= − = −( ) + −( ) + + −( )

= + + + =

−

=∑

0 0 1 1 2 1

1 2 1

1

L

L

et correspond à celle d’une capacité unique C de capacité équivalente1 1

1C Cii

n

==∑

V1

V2

+Q1

-Q1

+Q2

-Q2

+Q3

-Q3

+Qn

-QnVn

+Q -Q +Q -Q

V0 V1

+Q -Q

Condensateurs en parallèle Condensateurs en série

x

y

z+ σ

- σ

V2

V1

x2

x1

d=x2-x1

37

Chapitre IV- Energie et actions électrostatiques

IV.1- Energie potentielle électrostatique

IV.1.1- Energie électrostatique d’une charge ponctuelle

Comment mesure-t-on l’énergie potentielle gravitationnelle d’un corps de masse m ? On ledéplace d’une position initiale jusqu’à une position finale (on exerce donc une force) puis onle lâche sans vitesse initiale. S’il acquiert une vitesse, c’est qu’il développe de l’énergiecinétique. Or, en vertu du principe de conservation de l’énergie, cette énergie ne peut provenirque d’un autre réservoir énergétique, appelé énergie potentielle. Comment s’est constituéecette énergie potentielle gravitationnelle ? Grâce au déplacement du corps par l’opérateur.Ainsi, le travail effectué par celui-ci est une mesure directe de l’énergie potentielle. On vasuivre le même raisonnement pour l’énergie électrostatique.

Définition : l’énergie potentielle électrostatique d’une particule chargée placée dans unchamp électrostatique est égale au travail qu’il faut fournir pour amener de façon quasi-statique cette particule de l’infini à sa position actuelle.

Prenons une particule de charge q placée dans un champ E . Pour la déplacer de l’infini versun point M, un opérateur doit fournir une force qui s’oppose à la force de Coulomb. Si cedéplacement est fait suffisamment lentement, la particule n’acquiert aucune énergie cinétique.Cela n’est possible que si, à tout instant, F F qEext = − = − . Le travail fourni par l’opérateursera donc

W M dW F dr qE dr q V M VM

ext

M M

( ) ( ) ( )= = ⋅ = − ⋅ = − ∞[ ]∞ ∞ ∞∫ ∫ ∫

Puisqu’on peut toujours définir le potentiel nul à l’infini, on obtient l’expression suivante pourl’énergie électrostatique d’une charge ponctuelle située en M

W qVe =

On voit donc que le potentiel électrostatique est une mesure (à un facteur q près) de l’énergieélectrostatique : c’est dû au fait que V est lié à la circulation du champ. Autre remarqueimportante : l’énergie est indépendante du chemin suivi.

IV.1.2- Energie électrostatique d’un ensemble de charges ponctuelles

Dans la section précédente, nous avons considéré une charge q placée dans un champ Eextérieur et nous avons ainsi négligé le champ créé par la charge elle-même. Mais lorsqu’on aaffaire à un ensemble de N charges ponctuelles qi , chacune d’entre elles va créer sur lesautres un champ électrostatique et ainsi mettre en jeu une énergie d’interaction électrostatique.Quel sera alors l’énergie potentielle électrostatique de cet ensemble de charges ?

Soit la charge ponctuelle q1 placée en P1. On amène alors une charge q2 de l’infini jusqu’enP2, c’est à dire que l’on fournit un travail W q V q V W2 2 1 2 1 2 1 1= = =( ) ( )P P identique à celui qu’il

38

aurait fallu fournir pour amener q1 de l’infini en P1 en présence de q2 déjà située en P2. Celasignifie que ce système constitué de 2 charges possède une énergie électrostatique

Wq q

rW W W We = = = = +( )1 2

0 121 2 1 24

12π ε

où r12 1 2= P P .Remarque : Dans cette approche, nous avons considéré q2 immobile alors que l’onrapprochait q1. En pratique évidemment, c’est la distance entre les deux charges qui diminue

du fait de l’action de l’opérateur extérieur à la fois sur q1 et q2 (avec F Fext ext/ /1 2= − puisque

F F1 2 2 1/ /= − ). On aurait aussi bien pu calculer le travail total fourni par l’opérateur en évaluantle déplacement de q1 et de q2 de l’infini à la distance intermédiaire (« M/2 »). Une autre façonde comprendre cela, c’est de réaliser que nous avons évalué le travail fourni par l’opérateurdans le référentiel lié à q2 (immobile). Celui-ci est identique au travail évalué dans unréférentiel fixe (où q1 et q2 se déplacent) car le déplacement des charges s’effectue demanière quasi-statique (aucune énergie n’a été communiquée au centre de masse).

Si maintenant on amène une 3ème charge q3 de l’infini jusqu’en P3 ( q1 et q2 fixes), il fautfournir un travail supplémentaire

W q V q V V

q q

r

q q

r

3 3 1 2 3 3 1 3 2 3

0

1 3

13

3 2

23

14

= = +( )

= +

+ ( ) ( ) ( )P P P

π εcorrespondant à une énergie électrostatique de ce système de 3 charges

Wq q

r

q q

r

q q

re = + +

14 0

1 2

12

1 3

13

3 2

23π εAinsi, on voit qu’à chaque couple q qi j est associée une énergie potentielle d’interaction. Pour

un système de N charges on aura alors

W q Vq q

r

q q

rq Ve i j

couples

i j

ijj ii

Ni j

ijj ii

N

i ii

N

= = = =∑ ∑∑ ∑∑ ∑>= ≠= =

14

12

14

120 1 01 1π ε π ε

où le facteur 1/2 apparaît parce que chaque couple est compté deux fois. L’énergieélectrostatique d’un ensemble de N charges ponctuelles est donc

W q V

Vq

r

e i i ii

N

i ij

ijj i

=

=

=

≠

∑

∑

12

14

1

0

( )

( )

P

où Pπ ε

est le potentiel créé en Pi par toutes les autres charges.

Pour une distribution continue de charges, la généralisation de la formule précédente estévidente. Soit dq la charge située autour d’un point P quelconque de la distribution. L’énergieélectrostatique de cette distribution s’écrit

W dqV

Vdq P

PP

edistribution

distribution

=

=′′

∫

∫

12

14 0

( )

( )( )

P

où Pπ ε

39

est le potentiel créé par toute la distribution. En effet ici, il n’est pas nécessaire d’exclureexplicitement la charge située en P puisque dq(P) peut tendre vers zéro avec l’élémentinfinitésimal (contribution nulle à l’intégrale, absence de divergence).

IV.1.3- Energie électrostatique d’un conducteur en équilibre

Soit un conducteur isolé, de charge Q distribuée sur sa surface S. L’énergie potentielleélectrostatique de ce conducteur est alors

W dqVV

dqQV

e

S S

= = =∫ ∫12 2 2

( )P

puisqu’il est équipotentiel, c’est à dire

W QV CVQ

Ce = = =12

12

12

22

Ceci est l’énergie nécessaire pour amener un conducteur de capacité C au potentiel V. Puisquecette énergie est toujours positive cela signifie que, quel que soit V (et donc sa charge Q), celacoûte toujours de l’énergie.

Soit un ensemble de N conducteurs chargés placés dans un volume V. A l’équilibre, ils ontune charge Qi et un potentiel Vi . En dehors du volume occupé par chaque conducteur, il n’y apas de charge donc dq=0. L’énergie électrostatique de cette distribution de charges est alorssimplement

W dqV dq V V dqe

V

i i

Si

N

i i

Si

N

i i

= = =∫ ∫∑ ∫∑= =

12

12

121 1

( )P

c’est à dire

W QVe i ii

N

==∑

12 1

IV.1.4- Quelques exemples

Exemple 1 : Le condensateurSoit un condensateur constitué de deux armatures. L’énergie électrostatique de ce système dedeux conducteurs est

W Q V Q V Q V V QUe = +( ) = −( ) =12

12

121 1 2 2 1 2

c’est à dire

40

W QU CUQ

Ce = = =12

12

12

22

Ainsi donc, un condensateur peut emmagasiner de l’énergie électrostatique. Mais où est-ellestockée ? Sous quelle forme ?Prenons le cas d’un condensateur plan de densité surfacique σ uniforme et dont les armatures,séparées d’une distance d, ont une surface S commune. L’énergie de ce condensateur s’écrit

WQ

C

SS

d

SdE E

de = =( )

=

( ) = = ∫∫∫1

212

12 2 2

2 2

00

0

2

02

02σ

εε

σε

ε εV V

V

où V est le volume compris entre les deux armatures, où réside le champ E. On voit donc surcet exemple que l’énergie du condensateur est stockée dans le champ lui-même.

Exemple 2 : Le dipôleSoit un dipôle électrostatique placé dans un champ électrostatique Eext On s’intéresse àl’énergie potentielle d’interaction électrostatique entre ce dipôle et le champ et non pas à cellequi existe entre la charge +q et –q du dipôle lui-même. On considère donc le dipôle comme unsystème de deux charges, -q placée en un point A et +q en B, n’interagissant pas entre elles.L’énergie électrostatique de ce système de charges est simplement

W qV A qV B q E dr q E ABe ext ext ext

A

B

ext= − + = − ⋅ ≈ − ⋅∫( ) ( )

ce qui donneW p Ee ext= − ⋅

où p q AB= est le moment dipolaire électrique.

Remarque : L’énergie électrostatique entre la charge +q et –q du dipôle lui-même est

Wq

ABp E Be =

−= ⋅

2

04π ε( ) . Si le champ extérieur est bien supérieur au champ créé par la

charge –q en B, alors cela signifie que le dipôle est profondément modifié (voire brisé) par lechamp : l’énergie d’interaction est supérieure à l’énergie interne de liaison. Cependant, ladistance AB étant en général très petite, cela ne se produit pas et le dipôle se comporte commeun système lié, sans modification de son énergie interne (ceci n’est pas tout à fait exact : unchamp extérieur peut faire osciller les deux charges autour de leur position d’équilibre,induisant ainsi une variation de leur énergie de liaison).

Exemple 3 : Un conducteur chargé placé dans un champ extérieurSoit un conducteur portant une charge Q et mis au potentiel V en l’absence de champ

extérieur. Il possède donc une énergie électrostatique interne WQV

e,int =2

, correspondant à

l’énergie qu’il a fallu fournir pour déposer les Q charges au potentiel V sur le conducteur.Si maintenant il existe un champ extérieur Eext , alors le conducteur prend un nouveau

potentiel V’ et son énergie peut s’écrire WQV

e =′

2. Comment calculer V’ ?

41

La méthode directe consiste à prendre en compte la polarisation du conducteur sous l’effet duchamp extérieur et calculer ainsi la nouvelle distribution surfacique σ (avec Q dS

S

= ∫∫ σ ).

Une autre méthode consiste à considérer la conservation de l’énergie : en plaçant leconducteur dans un champ extérieur, on lui fournit une énergie potentielle d’interactionélectrostatique qui s’ajoute à son énergie électrostatique « interne ». Supposons (poursimplifier) que le champ extérieur Eext est constant à l’échelle du conducteur. Alors ce dernierse comporte comme une charge ponctuelle placée dans un champ et possède donc une énergiepotentielle d’interaction électrostatique W QVe ext ext, = . L’énergie électrostatique totale seraalors

W QVQV

V V Ve ext ext= + ′ = +2

2 c©est à dire

IV.2- Actions électrostatiques sur un conducteur en équilibre

IV.2.1- Notions de mécanique du solide

a) Calcul direct des actions (force et moment d’une force) Un conducteur étant un solide, il faut faire appel à la mécanique du solide. Tout d’abord, onchoisit un point de référence O, des axes et un système de coordonnées respectant le pluspossible la symétrie du solide. La force et le moment de cette force par rapport au point Osont alors

F dF

d OP dF

solide

O O

solidesolide

=

= = ∧

∫

∫∫Γ Γ

où dF est la force s’exerçant sur un élément infinitésimal centré autour d’un point Pquelconque du solide et où l’intégrale porte sur tous les points du solide. Le formalisme de lamécanique du solide considère ensuite que la force totale ou résultante F s’applique aubarycentre G du solide.

b) Liens entre travail d’une action (force ou moment) et l’action elle-mêmeLors d’une translation pure du solide, considéré comme indéformable, tout point P du solidesubit une translation d’une quantité fixe : dr r r= ′ − = ε . La force totale responsable de cedéplacement doit fournir un travail

dW dF dr dF dF F

F dx

solide solide solide

ii

i

= ⋅ = ⋅ =

⋅ = ⋅

=

∫ ∫ ∫

∑=

ε ε ε

1

3

où F est la résultante de la force s’exerçant sur le solide et les xi les coordonnées du centrede masse du solide.

Dans le cas de rotations pures, on ne s’intéresse qu’au moment des forces responsables de cesrotations. Celles-ci sont décrites par trois angles infinitésimaux d iα autour de trois axes ∆ i ,

passant par le centre d’inertie G du solide et engendrés par les vecteurs unitaires ui .L’expression générale du moment d’une force (ou couple) par rapport à G est alors

42

Γ Γ==∑ i ii

u1

3

Lors de rotations du solide, le vecteur repérant la position d’unde ses points P quelconque varie suivant la règle

d OP d u OPi ii

( ) = ∧=

∑ α1

3

Le travail fourni par le moment de la force est

dW dF dOP dF d u OP

d u OP dF d u

d

solide

i iisolide

i ii solide

i ii

i ii

= ⋅ = ⋅ ∧

= ⋅ ∧

= ⋅

=

∫ ∑∫

∑ ∫ ∑

∑

=

= =

=

α

α α

α

1

3

1

3

1

3

1

3

Γ

Γ

Dans le cas général d’une translation accompagnée de rotations,chaque effet produit une contribution au travail fourni lors de l’interaction.

c) Calcul des actions à partir de l’énergie potentielle (méthode des travaux virtuels)Si l’on a cherché le lien entre travail de l’action et les composantes de celle-ci, c’est qu’il estpossible de calculer ces dernières en appliquant le principe de conservation de l’énergie.En effet une force produit un mouvement de translation de l’ensemble du solide tandis que lemoment de la force produit un mouvement de rotation. Ces deux actions correspondent à untravail, donc à une modification de l’énergie d’interaction.

L’énergie mécanique Em d’un solide s’écrit E E Em c p= + où Ec est son énergie cinétique et

Ep son énergie potentielle d’interaction. Si le solide est isolé, son énergie mécanique reste

constante, c’est à dire dEm = 0, et l’on obtient ainsi le théorème de l’énergie cinétiquedE dW dEc p= = −

Si l’on a par ailleurs l’expression de l’énergie potentielle Ep alors on peut directement

exprimer la force ou son moment (exprimés dans dW) en fonction de Ep .

Si, lors de l’évolution du solide, celui-ci n’est pas isolé et reçoit ou perd de l’énergie, on adEm ≠ 0, c’est à dire

dE dW dE dEc m p= = −On voit donc que dans ce cas, le lien entre la force (ou son moment) et l’énergie potentiellen’est plus direct. Si l’on veut faire un tel lien, il faudra alors retrancher au travail la partie dueà cet apport (ou perte) d’énergie mécanique. Il faudra alors considérer chaque cas particulier.Nous allons illustrer cette approche ci-dessous.

43

IV.2.2- Calcul direct des actions électrostatiques sur un conducteur chargé

Revenons maintenant au cas d’un conducteur chargé placé dans un champ électrostatique Eext . Celui-ci produit une force de Coulomb sur chaque charge électrique distribuée sur lasurface S du conducteur. D’après ce que nous avons vu précédemment, la force totale s’écrit

F d F E d S Pd SnS

ext

S S

= = =∫∫ ∫∫ ∫∫2 2 2σ

où P est ici la pression électrostatique tandis que le moment de la force électrostatique s’écrit

ΓO

solide S S

OP d F OP d qE OP nd S= ∧ = ∧ = ∧∫ ∫∫ ∫∫2 22

0

2

2σε

Mais ces expressions ne sont utilisables que si l’on peut calculer la densité surfacique σ.Lorsque ce n’est pas le cas, il faut utiliser la méthode ci-dessous.

IV.2.3- Calcul des actions électrostatiques à partir de l’énergie

Soit un système de deux conducteurs chargés (A1) et (A2). Pour connaître la force F exercéepar (A1) sur (A2), on suppose qu’un opérateur extérieur exerce une force Fext s’opposant à F .

Cette démarche est tout à fait intuitive. Connaissant Fext , on en déduira F Fext= − . Cetteméthode s’appelle méthode des travaux virtuels.Un conducteur en équilibre électrostatique étant caractérisé par un potentiel V et une chargeQ, il y a deux cas extrêmes qu’il faut considérer séparément.

a) Système isolé : charges constantes

x

A1A2

F1/2 FextSystème isolé: charges constantes

On se place à l’équilibre mécanique, donc F Fext = − . Imaginons maintenant un déplacementélémentaire autour de cette position. L’opérateur fournit alors un travaildW F dr F drext= ⋅ = − ⋅ , opposé à celui fournit par la force électrostatique. En vertu duprincipe de conservation de l’énergie, ce travail est reçu par (A2), sous forme d’énergieélectrostatique

dW dW F dr Fdxe i ii

= = − ⋅ = −=∑

1

3

Or, l’énergie électrostatique est une fonction de la position de (A2), donc

dWW

xdxe

e

ii Q

i=

=∑

∂∂1

3

. Autrement dit, dans le cas d’un déplacement d’un conducteur isolé on

doit avoir à tout moment

44

dWW

xdx dW F dr F dr Fdxe

e

ii Q

i ext i ii

=

= = ⋅ = − ⋅ = −

= =∑ ∑

∂∂1

3

1

3

c’est à dire une force électrostatique

FW

xie

i Q

= −

∂∂

exercée par (A1) sur (A2). Notez que les variables xi décrivent la distance entre (A1) et (A2).Cette force peut aussi s’interpréter comme une force interne exercée par un conducteur surune partie de lui-même. Ainsi, cette expression est également valable dans le cas d’unconducteur qui serait soumis à une déformation : ce serait la force exercée par le conducteursur une partie de lui-même lors d’une modification de son énergie d’interactionélectrostatique We .

Dans le cas de rotations pures, l’énergie dépend des différents angles et l’on va plutôt écrirepour un conducteur isolé (Q constant)

dWW

d dW F dr F dr dee

i Qii ext i i

i

=

= = ⋅ = − ⋅ = −

= =∑ ∑

∂∂α

α α1

3

1

3

Γ

c’est à dire un moment des forces électrostatiques Γ Γ==∑ i ii

u1

3

dont les composantes vérifient

Γie

i Q

W= −

∂∂α

L’utilisation de ces deux dernières expressions nécessite de calculer l’énergie électrostatiqueWe et sa dépendance en fonction de la position du (ou des) conducteur(s).

La présence du signe moins indique que les actions électrostatiques (forces et moments)tendent toujours à ramener le conducteur vers une position d’énergie maximale.

b) Système relié à un générateur : potentiels constants

x

A1A2

F1/2 FextV1 V2

Système non isolé: potentiels constantsA proximité de l’équilibre mécanique ( F Fext = − ), on effectue un petit déplacement autour de

cette position. L’opérateur fournit toujours un travail dW F dr F drext= ⋅ = − ⋅ , opposé à celuifournit par la force électrostatique, mais il existe une deuxième source d’énergie, legénérateur. Lors du déplacement, celui-ci maintient les potentiels V1 et V2 constants. Cela nepeut se faire qu’en modifiant la charge Q1 et Q2 de chaque conducteur. Ainsi, le générateurfournit un travail permettant d’amener des charges dQ1 au potentiel V1 et dQ2 au potentiel V2,c’est à dire une énergie fournie dE dQ V dQ VGen = +1 1 2 2.

45

En vertu du principe de conservation de l’énergie, ces deux sources d’énergies sont convertiespar (A2) sous forme d’énergie électrostatique

dW dW dE

d Q V Q V F dr dQ V dQ V

dQ V dQ V dQ V dQ V F dr

F dr dQ V dQ V dW

FdxW

xdx

e Gen

e

i ii

e

ii V

i

= +

+( ) = − ⋅ + +

+( ) − − = − ⋅

⋅ = +( ) =

=

= =∑ ∑

12

12

12

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2

1

3

1

3 ∂∂

Autrement dit, dans le cas d’un déplacement d’un conducteur relié à un générateur (Vmaintenu constant), la force électrostatique vaut

FW

xie

i V

= +

∂∂

Dans le cas de rotations pures, l’énergie dépend des différents angles et l’on obtient unmoment des forces électrostatiques égal à

Γie

i V

W= +

∂∂α

Les expressions obtenues dans les deux cas considérés sont générales et indépendantes dudéplacement élémentaire. En fait celui-ci ne constitue qu’un artifice de calcul, connu sous lenom de méthode des travaux virtuels. Notez qu’une telle méthode s’appuie sur le principe deconservation de l’énergie et donc, nécessite l’identification de l’ensemble des sourcesd’énergie présentes.

IV.2.4- Exemple du condensateur

L’énergie électrostatique du condensateur s’écrit W QU CUQ

Ce = = =12

12

12

22

. D’après la

section précédente, lorsque le condensateur est isolé, la force électrostatique entre les deuxarmatures s’écrit

FW

x

Q

C

C

x

U C

xie

i Q i i

= −

=

=

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2 2

Par contre, lorsque le condensateur est relié à un générateur, on a

FW

x

U C

xie

i U i

= +

=

∂∂

∂∂

2

2Ainsi, on vient de démontrer que, dans tous les cas, la force électrostatique existant entre lesdeux armatures d’un condensateur s’écrit

FU

C= ∇2

2

46

On obtient de même que le moment par rapport à l’axe ∆ i de la force électrostatique s’écritdans tous les cas

Γii

U C=

2

2∂∂α

Remarques :1) Les actions électrostatiques tendent toujours à augmenter la capacité C d’un condensateur.

2) La force est équivalente à l’expression F d F Pd SnS S

= =∫∫ ∫∫2 2 , ce qui signifie que la

distribution de charges σ doit s’arranger de telle sorte que ce soit effectivement le cas.

Exemple : le condensateur plan

Soit un condensateur plan de capacité C xS

x( ) =

ε0 , où S est la surface d’influence mutuelle

commune aux deux armatures et x x x= −2 1 la distance entre celles-ci.

La force exercée par l’armature1 sur l’armature 2 est

FU

C F

FU dC

dx

U S

x x

FU dC

dx

U S

x x

1 2

2

2 2 1

1 2

2

2

20

2 1

2

2 1

2

1

20

2 1

2

2

2 2

2 2

/ /

/

/

= ∇ = −

= = −−( )

= =−( )

ε

ε

Notez que la bonne utilisation de la formule générale (portant sur le gradient de C) nécessitela compréhension de sa démonstration (ce que signifie la variable x).

IV.2.5- Exemple du dipôle

Soit un dipôle électrostatique de moment dipolaire p placé dans un champ extérieur Eext . Oncherche dans un premier temps à calculer la force électrostatique exercée par ce champ sur ledipôle. Celui-ci restant à charge constante, on va donc utiliser l’expression obtenue pour unsystème isolé

FW

x

p E

xie

i Q

ext

i

= −

=

⋅( )∂∂

∂

∂

c’est à dire une expression vectorielle

F p Eext= ∇ ⋅( )

x

y

z+ σ

- σ

V2

V1

x1

x=x2-x1

x2

S

47

Sous l’effet de cette force, un dipôle aura tendance à se déplacer vers les régions où le champélectrostatique est le plus fort.

Le moment de la force électrostatique est donné par

Γie

i Q

ext

i

W p E= −

=

⋅( )∂∂α

∂

∂α

avec Γ Γ==∑ i ii

u1

3

. On peut cependant clarifier considérablement cette expression. Il suffit en

effet de remarquer que lors d’une rotation pure, le vecteur moment dipolaire varie comme

d p d u pp

di ii ii

i= ∧ == =

∑ ∑α∂∂α

α1

3

1

3

puisqu’il dépend a priori de la position du point considéré, donc des angles α i. En supposant

alors que le champ Eext est constant à l’échelle du dipôle, on obtient

Γi

ext

i iext i ext ext i

p E pE u p E p E u=

⋅( )=

⋅ = ∧( ) ⋅ = ∧( ) ⋅

∂

∂α∂∂α

c’est à dire l’expression vectorielle suivante

Γ = ∧p Eext

Le moment des forces électrostatiques a donc tendance à aligner le dipôle dans la direction duchamp extérieur.

48

49

Chapitre V- Electrocinétique

V.1- Courant et résistance électriques

V.1.1- Le courant électrique

Nous avons vu qu’il était possible d’électriser un matériau conducteur, par exemple parfrottements. Si l’on met ensuite ce conducteur en contact avec un autre, le deuxième devient àson tour électrisé, c’est à dire qu’il a acquis une certaine charge Q. Cela signifie que lors ducontact des charges se sont déplacées de l’un vers l’autre. On définit alors le courant par

IdQ

dt=

où les unités sont les Ampères (symbole A). Dans le système international, l’Ampère est l’unedes 4 unités fondamentales (avec le mètre, le kilogramme et la seconde), de telle sorte que

1 C =1 As (Ampère seconde).La définition précédente de I ne nous renseigne pas sur son signe, il faut choisir uneconvention. Par exemple, soit Q>0 la charge du conducteur initialement chargé (A1). On aaffaire ici à une décharge de (A1) vers (A2). Si l’on désire compter positivement le courant de(A1) vers (A2), alors il faut mettre un signe moins à l’expression ci-dessus.

V.1.2- La densité de courant électrique

La raison physique du courant est un déplacement de charges, c’est à dire l’existence d’unevitesse organisée (par opposition à la vitesse d’agitation thermique) de celles-ci. Considéronsdonc un fil conducteur de section S, dans lequel se trouvent n porteurs de charge q, animésd’une vitesse v dans le référentiel du laboratoire. Pendant un instant dt, ces chargesparcourent une distance vdt . Soit d Sn2 un élément infinitésimal de surface mesuré sur lasection du fil, orienté dans une direction arbitraire. La quantité de charge électrique quitraverse cette surface pendant dt est celle contenue dans le volume élémentaire dV associé

d Q nqd nq v dt d Sn3 3 2= = ⋅V

On voit alors apparaître un vecteur qui décrit lescaractéristiques du milieu conducteur et qu’on appelle ladensité de courant

j nq v=

exprimée en Ampères par mètre carré ( A m−2 ). Le courant Icirculant dans le fil est relié à la densité par

IdQ

dt dtd Q

dtj d Sdt

Section Section

= = = ⋅∫∫ ∫∫1 13 2

c’est à dire

I j d SSection

= ⋅∫∫ 2

j

dS

dl= v dt

50

On dit que le courant dans un circuit est le flux à travers la section du fil de la densité decourant. Le sens du courant (grandeur algébrique) est alors donné par le sens du vecteurdensité de courant.

Un conducteur est un cristal (ex, cuivre) dans lequel se déplacent des particules chargées (ex,électrons). Suivant le matériau, les porteurs de charges responsables du courant peuvent êtredifférents. Dans un métal, ce sont des électrons, dits de conduction (la nature et le signe desporteurs de charge peuvent être déterminés grâce à l’effet Hall –voir cours magnétostatique).Dans un gaz constitué de particules ionisées, un plasma, ou bien dans un électrolyte, il peut yavoir plusieurs espèces chargées en présence. En toute généralité, on doit donc définir ladensité locale de courant de la forme

j n q v= ∑ α αα

α

où l’on fait une sommation sur toutes les espèces (électrons et ions) en présence. Dans le casparticulier d’un cristal composé d’ions immobiles (dans le référentiel du laboratoire) etd’électrons en mouvement, on a

j n eve e= −où e est la charge élémentaire et ne la densité locale d’électrons libres. La densité de courant(donc le sens attribué à I) est ainsi dans le sens contraire du déplacement réel des électrons.

V.1.3- Loi d’Ohm microscopique (ou locale)

Dans la plupart des conducteurs, on observe une proportionnalité entre la densité de courant etle champ électrostatique local,

j E= γ

où le coefficient de proportionnalité γ est appelé la conductivité du milieu (unités : voir plusbas). On définit également η γ= 1 , la résistivité du milieu. La conductivité est une grandeur

locale positive, dépendant uniquement des propriétés du matériau. Ainsi, le Cuivre possèdeune conductivité γCU = 58106 S/m, tandis que celle du verre (isolant) vaut γ verre = −10 11 S/m.

Une telle loi implique que les lignes de champ électrostatique sont également des lignes decourant, indiquant donc le chemin pris par les charges électriques. Par ailleurs, comme γ estpositif, cela implique que le courant s’écoule dans la direction des potentiels décroissants.

D’où peut provenir cette loi ? Prenons le cas simple d’une charge électrique q soumise à laforce de Coulomb mais aussi à des collisions (modèle de Drude). Ces collisions peuvent sedécrire comme une force de frottement proportionnelle à la vitesse (moyenne) v de la charge.La relation fondamentale de la dynamique s’écrit

mdv

dtqE kv= −

Cette équation montre qu’en régime permanent (stationnaire, mais non statique), la charge qatteint une vitesse limite v E= µ où µ=q/k est appelé la mobilité des charges. Ce régime estatteint en un temps caractéristique τ = m k/ , appelé temps de relaxation.

51

Ainsi, la loi d’Ohm microscopique (ou locale) s’explique bien par ce modèle simple decollisions des porteurs de charge. Mais collisions avec quoi ? On a longtemps cru quec’étaient des collisions avec les ions du réseau cristallin du conducteur, mais il s’avère qu’ils’agit en fait de collisions avec les impuretés contenues dans celui-ci.

Prenons le cas du Cuivre, métal conducteur au sein duquel existe une densité numériqued’électrons de conduction de l’ordre de n me = −81028 3. Le temps de relaxation est alors de

τγ

= ≈ −CU e

e

m

e n214210 s. C’est le temps typique entre deux collisions. Quelle est la distance

maximale parcourue par les électrons pendant ce temps (libre parcours moyen)? Elle dépendde leur vitesse réelle : celle-ci est la somme de la vitesse moyenne v (le courant) et d’unevitesse d’agitation thermique de norme v kT mth e= ≈/ 105 m/s à température ambiante maisdont la valeur moyenne (vectorielle) est nulle (pour mémoire, un fil de Cuivre d’une sectionde 1 2mm parcouru par un courant de 1 A, possède une densité de courant de 106 2Am− etune vitesse moyenne de v m s= 0 007, / ). Le libre parcours moyen d’un électron serait alors de

l v mth= ≈ −τ 210 9

un ordre de grandeur supérieur à la distance inter-atomique (de l’ordre de l’Angström). Ce nesont donc pas les collisions avec les ions du réseau qui sont la cause de la loi d’Ohm.

V.1.4- Résistance d’un conducteur : loi d’Ohm macroscopique

Considérons maintenant une portion AB d’un conducteur parcouru par un courant I. S’ilexiste un courant, cela signifie qu’il y a une chute de potentiel entre A et B,

U V V E dlA B A

B= − = ⋅∫ . On définit alors la résistance de cette portion par

RU

I

E dl

E d SA

B

S

= =

⋅

⋅

∫

∫∫γ 2

où l’unité est l’Ohm (symbole Ω). Dans le cas simple d’un conducteur filiforme de section Soù, sur une longueur L, le champ électrostatique est uniforme, on obtient le lien entre larésistance d’un conducteur (propriété macroscopique) et sa résistivité (propriétémicroscopique)

RE L

E S

L

S= =

γη

qui montre que les unités de la résistivité sont le Ωm (Ohm mètre).

Associations de résistances(a) Résistances en sérieSoient n résistances Ri mises bout à bout dans un circuit et parcourues par un courant I. Latension aux bornes de la chaîne est simplement

U V V V V V V R I R I R In n n= −( ) + −( ) + + −( ) = + + +−0 1 1 2 1 1 2L L

c’est à dire analogue à celle obtenue par une résistance unique dont la valeur est

R Rii

n

==∑

1

52

I

I

R1 R2 R3 Rn

V1

V2

R1 R2 Rn

V0 V1 VnV2I

Résistances en parallèle Résistances en série

(b) Résistances en parallèleSoient n résistances Ri mises en parallèle sous une tension U V V= −1 2 et alimentées par uncourant I. Le courant se sépare alors en n courants

IU

Rii

=

dans chacune des n branches. En vertu de la conservation du courant (voir ci-dessous), on a

I IU

R

U

Rii

n

ii

n

= = == =∑ ∑

1 1

c’est à dire que l’ensemble des n branches est analogue à une résistance équivalente en série1 1

1R Rii

n

==∑

V.2- Eléments d’un circuit électrique

V.2.1- Notion de circuit électrique

Définitions : Un circuit électrique est constitué d’un ensemble de dispositifs appelés dipôles,reliés entre eux par un fil conducteur et formant ainsi une structure fermée. Un nœud d’uncircuit est une interconnexion où arrivent 3 fils ou plus. Une branche est un tronçon de circuitsitué entre deux nœuds. Enfin, une maille est un ensemble de branches formant une bouclefermée.

Un dipôle s’insère dans un circuit par l’intermédiaire de deux pôles, l’un par où s’effectuel’entrée du courant (borne plus), l’autre la sortie (borne moins). Il est caractérisé par saréponse à une différence de potentiel U entre ses bornes : c’est à dire la courbecaractéristique I=f(U). Un dipôle passif a une courbe passant par l’origine. Un dipôle actiffournit un courant (positif ou négatif) même en l’absence d’une tension. Enfin, on appelledipôle linéaire tout dipôle dont la courbe caractéristique est une droite.

Nous avons vu que dans tout conducteur, la présence d’une résistivité entraîne une chute detension et, en toute rigueur, il en va de même pour les fils. Mais ceux-ci étant mis en sérieavec d’autres dipôles, on néglige en général la résistance des fils devant celle des dipôlesprésents. Donc, les fils situés entre deux dipôles d’un circuit seront supposéséquipotentiels.

Remarques importantes1 . Dans l’exemple cité en V.1.1, le courant I n’existe que lors d’un temps court,

correspondant à une phase que l’on appelle régime transitoire. Dans ce qui suit, ons’intéresse à des cas où un courant est établi de façon permanente dans un circuit, c’est à

53

dire dont l’intensité est la même en tout point du circuit. Cela exige évidemment que lecircuit soit fermé.

2. Lorsqu’on ferme un circuit (par l’intermédiaire d’un interrupteur par ex), il faut un tempstrès court pour que les charges électriques « prennent connaissance » de l’ensemble ducircuit. Ce temps correspond à celui pris par la lumière pour parcourir l’ensemble ducircuit. C’est ce temps qui compte pour nous puisque c’est celui d’établissement durégime stationnaire. Autrement dit, tout ce qui est fait ici en courant continu, reste vraipour un courant alternatif (du 50 Hz correspond à un temps de 20 ms, bien supérieur à ladurée du régime transitoire).

V.2.2- Puissance électrique disponible

Soit une portion AB d’un circuit, parcourue par un courant permanent I allant de A vers B.L’existence de ce courant implique que le potentiel en A est supérieur à celui en B. Cettedifférence de potentiel se traduit par l’existence d’un champ électrostatique E produisant uneforce de Coulomb F qE= capable d’accélérer une charge q. Ainsi, soit P F vq = ⋅ la puissance

nécessaire pour communiquer une vitesse v à une particule de charge q quelconque. Sachantque dans ce conducteur il y a n porteurs de charge par unité de volume, la puissance totale Pmise en jeu dans le brin AB parcouru par un courant I est

P nP d dl nP dS dl nqE v dS

nqv dS E dl E dl j dS

I E dl I V A V B

qbrin AB

qtionA

B

tionA

B

tionA

B

A

B

tion

A

B

= = = ⋅

= ⋅( ) ⋅ = ⋅ ⋅( )

= ⋅ = −[ ]

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫ ∫∫

∫

Vsec sec

sec sec

( ) ( )

c’est à direP UI=

où U=V(A)-V(B)>0 puisque le courant s’écoule de A vers B. Cette puissance est donc lapuissance électrique disponible entre A et B, du simple fait qu’il y circule un courant I.

Suivant la nature du dipôle placé entre A et B (récepteur), l’énergie électrique disponible seraconvertie sous une forme ou une autre. Dans le cas simple où entre A et B ne se trouve qu’unerésistance R, la puissance disponible P ne sert qu’à faire chauffer la résistance puisqueU RI= . Cela se traduit par une dissipation d’énergie sous forme de chaleur, appelée effetJoule, et dont la puissance vaut

P RIJ = 2

Cette énergie électrique peut être également reconvertie en rayonnement (lampe), énergiemécanique (moteur), chimique (bac à électrolyse) ou même énergie cinétique ordonnée (diodeà vide). Toute chaleur dégagée par le conducteur correspond à un gain d’énergie d’agitationthermique : cela signifie que de l’énergie cinétique a été communiquée au cristal par lesélectrons de conduction.

54

V.2.3- Nécessité d’une force électromotrice ou fém

Si on applique le raisonnement précédent à un circuit fermé, c’est à dire si l’on regarde lapuissance totale fournie entre A et A par la force de Coulomb, on obtient

P I E dl I V A V AA

A

= ⋅ = −[ ] =∫ ( ) ( ) 0

c’est à dire une puissance nulle ! Cela signifie qu’il ne peut y avoir de courant en régimepermanent. Lorsque qu’il y a un courant, alors cela implique que la force de Coulomb n’estpas responsable du mouvement global des porteurs de charge dans un conducteur.

Le courant dans un conducteur peut être compris avec l’analogie de la rivière circulant dansson lit. Pour qu’il y ait un écoulement, il faut que l’eau s’écoule d’une région plus élevée versune région plus basse (d’un potentiel gravitationnel plus haut vers un autre plus bas). Ainsi, lemouvement de l’eau d’un point élevé vers un point plus bas est bien dû à la simple force degravitation. Mais si l’on veut constituer un circuit fermé, alors il faut fournir de l’énergie(grâce à une pompe) pour amener l’eau à une plus grande hauteur, et le cycle peut alorseffectivement recommencer. C’est exactement ce qui se passe dans un circuit électrique: une force autre que la forceélectrostatique doit permettre aux porteurs de charge de remonter le potentiel.

I

A B A B

Es

EmI

E= Es +Em

Le siège de la force responsable du courant dans un circuit est appelé le générateur.Regardons donc attentivement ce qui se passe à l’intérieur d’un générateur, où A correspond àla borne « - », B à la borne « + », le courant circulant donc de B vers A à l’extérieur dugénérateur. En régime permanent, les charges ne s’accumulent en aucun point du circuit, il y alibre circulation des charges : cela implique donc que les charges doivent traverser legénérateur. Or, V(B)>V(A), ce qui signifie qu’il y a un champ électrostatique Es dirigé de Bvers A à l’intérieur du générateur. Quel que soit le signe des porteurs de charge responsablesdu courant, si celui-ci va de B vers A à l’extérieur, alors Es s’oppose au mouvement descharges à l’intérieur. La seule façon d’obtenir un régime stationnaire avec un courantpermanent I, c’est donc d’avoir un champ supplémentaire, appelé champ électromoteur Em ,

supérieur en norme et dirigé en sens inverse de Es .

Mettons maintenant le générateur en circuit ouvert (I=0). Le fait qu’une différence depotentiel (ddp) se maintienne entre ses bornes implique nécessairement la présence d’uneautre force compensant l’attraction coulombienne. Ainsi, la force totale s’exerçant sur unecharge q doit s’écrire F q E Es m= +( ) et, à l’équilibre et en l’absence de courant, on doit donc

avoir E Es m+ = 0 . Cela signifie donc que la ddp ou tension mesurée aux bornes d’ungénérateur ouvert vaut

V V E dl E dlA B sA

B

mA

B

− = ⋅ = − ⋅∫ ∫

55

où, bien évidemment, V VA B− < 0. On appelle

e E dlmA

B

= ⋅∫

(de façon un peu maladroite) la force électromotrice ou fém du générateur (e>0 est expriméeen Volts). Dorénavant, on utilisera la notation Es pour le champ électrostatique et Em pour le

champ électromoteur. Nous verrons en magnétostatique un exemple de champ électromoteur.

Puisque, à l’intérieur du générateur, on a E Es m= − ≠ 0 en l’absence de courant, cela signifiequ’un générateur est un conducteur non-équipotentiel.

A l’équilibre, mais en présence d’un courant I (générateur branché dans un circuit fermé), lesporteurs de charge responsables de ce courant subissent une force supplémentaire, due auxcollisions se produisant à l’intérieur du conducteur. Pour un générateur idéal, ces collisionssont négligeables et l’on obtient V V eA B− = − . En revanche, pour un générateur non idéal, detelles collisions se produisent et se traduisent par l’existence d’une résistance interne r.D’après le modèle de Drude, on a simplement

C’est à dire une tension aux bornes du générateur V V rI eA B− = − . La résistance interne decelui-ci introduit une chute de tension, ce qui fait qu’il délivre une tension inférieure à celledonnée par sa fém.Les générateurs diffèrent selon la source d’énergie utilisée et la méthode de conversion decelle-ci en énergie électrique (autrement dit, selon la nature de Em ). On peut ainsi produire del’énergie électrique à partir d’une pile (énergie chimique), d’un générateur électrostatique(énergie mécanique, ex machine de Van de Graaf), d’une dynamo (énergie mécanique), d’unepile solaire (énergie du rayonnement) ou d’un thermocouple (chaleur, c’est à dire énergiecinétique désordonnée).

Dans la suite, nous supposerons simplement l’existence d’une fém e dans un circuit, localiséedans un dipôle appelé générateur, sans préciser sa nature.

Reprenons le calcul fait précédemment mais appliquons-le cette fois-ci à l’ensemble ducircuit. Soit alors V le volume total occupé par le conducteur formant le circuit et F la forces’exerçant sur les charges mobiles q et donc responsable de leur mouvement. La puissancetotale P qui doit être fournie en régime permanent est alors

P nP d dl nP dS dl nF v dS nqv dSF dl

q

F dl

qj dS I

F dl

qIe

q qtioncircuit tioncircuit tioncircuit

circuit tion circuit

= = = ⋅ = ⋅( ) ⋅

=⋅

⋅( ) =⋅

=

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

∫ ∫∫ ∫

VV sec sec sec

sec

où

eF

qdl E dl

circuitm

circuit

= ⋅ = ⋅∫ ∫

E Ek

qv dl

V V ek

qv dl j dl rI

s mA

B

A BA

B

A

B

+ −

⋅ =

− + = ⋅ = ⋅ =

∫

∫ ∫

0

η

56

est la fém totale du circuit. L’intégrale portant sur l’ensemble du circuit, la fém totale est doncla somme des fém présentes le long du circuit. Si celles-ci sont localisées dans des dipôles,l’expression précédente devient

e ekk

= ∑où les ek sont les valeurs algébriques des différentes fém :

1. ek>0 correspond à un générateur (production d’énergie électrique) ;2. ek<0 correspond à un récepteur (consommation d’énergie électrique).

Un moteur convertit de l’énergie électrique en énergie mécanique et correspond donc à unrécepteur de fém négative : on dit également qu’il possède une force contre-électromotriceou fcém.

V.3- Lois régissant les circuits électriques

V.3.1- Loi d’Ohm généralisée

A R

eB

I

Considérons un brin AB d’un circuit électrique fermé, parcouru par un courant I, de résistanceR et ayant une fém e. La loi d’Ohm généralisée s’écrit

V V RI eA B− = −

Remarques1. Cette expression n’est valable que lorsque le courant s’écoule de A vers B.2. On peut réinterpréter la résistance R comme étant la résistance totale du brin AB (fil,

résistance et résistance interne du générateur) et e comme la fém totale (somme algébriquede toutes les fém).

3. L’effet Joule fait chuter le potentiel tandis que le générateur (e>0) remonte le potentiel.4. Si e<0, cela signifie que le dipôle associé fait chuter le potentiel. On appelle alors e la

force contre-électromotrice (fcém). Elle peut être due soit à un moteur (récepteur pur) ,soit à un générateur dont la polarité est opposée à celle du générateur principal,responsable du courant circulant entre A et B.

V.3.2- Lois de conservation dans un circuit (lois de Kirchhoff)

Les lois de l’électrocinétique, connues sous le nom de lois de Kirchhoff, sont en fait desimples lois de conservation.

1. Conservation du courant (loi des nœuds)

Soit un nœud quelconque du circuit sur lequel arrive un certain nombre de fils. Sur chacun deces fils, circule un courant. En régime permanent, la conservation de la charge électrique se

57

traduit par la conservation du courant : en aucun point du circuit il ne peut y avoiraccumulation (ou perte) de charges. Cela signifie donc que l’ensemble des courants entrantscompense exactement les courants sortants,

I Ientrants sortants= ∑∑

Ceci constitue la loi des nœuds ou l’équation aux nœuds.

2. Conservation de l’énergie (loi des mailles)

Soit une maille d’un circuit constituée de n branches. L’équation aux branches pour la k-ièmebranche s’écrit

U R I ek k k k= −où Rk , Ik et ek sont respectivement la résistance totale, le courant et la fém contenues danscette branche. La conservation de l’énergie pour cette maille s’exprime par le fait que, partantdu nœud 1 et revenant à ce nœud, on retrouve le même potentiel, c’est à direV V V V V V U Un n1 1 1 2 1 1 0− = − + + − = + + =L L . La loi des mailles (ou équation de maille)s’exprime tout simplement par

R I ek k kk

n

−( ) ==

∑ 01

V.3.3- Résolution pratique des équations en électrocinétique

En général, on cherche à calculer les courants Ik qui circulent dans chacune des branches d’uncircuit, étant donné ses résistances Rk et ses générateurs (ou récepteurs, selon le sens debranchement) ek . Du fait des lois de conservation ci-dessus, un circuit comportant n branchesn’a pas n courants Ik indépendants les uns des autres. Le nombre réel d’inconnues est en fait

M B N= − + 1où B est le nombre de branches du circuit et N le nombre de nœuds. Pour résoudre ceproblème on utilisera la méthode suivante :

1. Choisir M mailles indépendantes, c’est à dire ayant au moins une branche non partagéeavec une autre maille.

2. Sur chacune de ces mailles, définir un sens de parcours arbitraire pour le courant demaille Im .

3. Ecrire les M équations de maille R I ek m kk

n

−( ) ==

∑ 01

, en suivant le sens de parcours choisi

pour Im . Pour être en accord avec la convention de la loi d’Ohm généralisée, le signe de

I1I2

I3I4

I5

I1 + I2 + I4 = I3 + I5

58

chaque fém ekdoit dépendre de la polarité rencontrée en suivant le courant. Ainsi, si l’onrencontre la borne +, on met un signe + ( R I ek m k+ = 0), tandis que si l’on rencontre laborne -, on met le signe - ( R I ek m k− = 0).

En suivant cette méthode, on obtient M équations à M inconnues (les courants de maille). Si,après calculs, un courant de maille est positif, cela signifie qu’il est effectivement dans le senschoisi initialement.

On détermine enfin les courants réels Ik circulant dans chaque branche (courants debranches), en choisissant arbitrairement leur sens, puis en exprimant ceux-ci en fonction desM courants de maille Im .On pourra vérifier que cette méthode permet de satisfaire automatiquement la conservation ducourant (loi des nœuds).

Exemple : Le pont de Wheatstone

Le pont de Wheatstone possède M=6-4+1=3 maillesindépendantes. On choisit par exemple les 3 maillessuivantes :• ABDA, de courant de maille i1 allant de A vers B.• BCDB, de courant de maille i2allant de B vers C.• GADCG, de courant de maille i3 allant de A vers C.

En choisissant arbitrairement le sens des 6 courants debranche Ik comme sur la figure, on obtient les relationssuivantes :

I i I i i I i i

I i I i I i i1 3 2 3 1 3 3 2

4 1 5 2 6 1 2

= = − = −

= = = −

qui satisfont bien automatiquement la conservation ducourant aux 4 nœuds

I I I I I I I I I I I I1 2 4 3 2 6 4 5 6 1 3 5= + = + = + = +

Il ne nous reste plus qu’à écrire les 3 équations de maille (étape 3) pour calculer les 3 courantsde maille, puis en déduire les courants réels Ik circulant dans chaque branche. En utilisantcette méthode, on se ramène à la résolution d’un système linéaire de 3 équations à 3inconnues, au lieu d’un système linéaire de 6 équations à 6 inconnues…

V.3.3- Le théorème de Thèvenin

Enoncé : tout réseau linéaire compris entre deux bornes A et B, aussi compliqué soit-il, estéquivalent à un générateur unique de fém e et de résistance interne r telles que

1. e E= est la tension mesurée entre A et B à l’aide d’un voltmètre ;2. r Req= , où Req est la résistance équivalente du réseau, obtenue en posant que toutes

les fém et fcém sont nulles.

A

B

C

D

G

I5I4

I3

I6

I2

I1

i3

i1i2

59

A

B

I

I

Réseau linéaire (complexe)

U= VA-VB > 0

La démonstration est assez simple. Considérons un réseau constitué de n fém algébriques ek .Si ce réseau est linéaire, c’est à dire si sa courbe caractéristique I=f(U) est une droite, alors ona

I a e bUk kk

n

= +=

∑1

où les ak et b sont des constantes ne dépendant que des résistances du circuit et qui sont doncà déterminer.Si l’on place un voltmètre parfait (résistance interne infinie) aux bornes du réseau, le courant I

est nul et on mesure une tension V V EA B− = , ce qui fournit a e bEk kk

n

=

∑ + =1

0 c’est à dire

I b U E= −( )

I

I

E

A

B

Iext

A

B

U

Iext

Req

VA - VB = U = ReqIext

Iext = - I

Maintenant, si l’on pose ek = 0, c’est à dire si l’on remplaçait tous les générateurs et tous lesrécepteurs par uniquement leurs résistances internes, alors E = 0 : le réseau se ramène à unesimple résistance équivalente. Celle-ci serait alors mesurable en traçant la courbecaractéristique I f Uext = ( ), où le courant Iext serait produit grâce à un générateur externefournissant une tension U. En faisant attention au signe du courant, on obtiendrait

I bUU

Req

= − = −

où le signe moins est dû au fait que le courant est ici en sens inverse de celui produit par leréseau lui-même ( I Iext= − ). En rassemblant ces deux cas particuliers, on obtient que latension aux bornes du réseau peut toujours s’écrire

V V E R IA B eq− = −Ceci achève la démonstration du théorème de Thèvenin.

Université Joseph Fourier

DEUG Sma – SP2-2

Coursde Magnétostatique

Jonathan Ferreira

Année universitaire 2001-2002

Plan du cours

I- Le champ magnétique1. Introduction

a. Bref aperçu historique b. Nature des effets magnétiques

2. Expressions du champ magnétique a. Champ créé par une charge en mouvement b. Champ créé par un ensemble de charges en mouvement c. Champ créé par un circuit électrique (formule de Biot et Savart) d. Propriétés de symétrie du champ magnétique

3. Calcul du champ dans quelques cas simples a. Fil rectiligne infini b. Spire circulaire (sur l’axe) c. Solénoïde infini (sur l’axe)

II- Lois Fondamentales de la magnétostatique1. Flux du champ magnétique

a. Conservation du flux magnétique b. Lignes de champ et tubes de flux

2. Circulation du champ magnétique a. Circulation du champ autour d’un fil infini b. Le théorème d’Ampère c. Relations de continuité du champ magnétique d. Les trois façons de calculer le champ magnétique

3. Le dipôle magnétique a. Champ magnétique créé par une spire b. Le modèle du dipôle en physique

III- Actions et énergie magnétiques1. Force magnétique sur une particule chargée

a. La force de Lorentz b. Trajectoire d’une particule chargée en présence d’un champ c. Distinction entre champ électrique et champ électrostatique

2. Actions magnétiques sur un circuit fermé a. La force de Laplace b. Définition légale de l’Ampère c. Moment de la force magnétique exercée sur un circuit d. Exemple du dipôle magnétique e. Complément : force de Laplace et principe d’Action et de Réaction

3. Energie potentielle magnétique a. Le théorème de Maxwell b. Energie potentielle d’interaction magnétique c. Expressions générales de la force et du couple magnétiques d. La règle du flux maximum

IV- Induction électromagnétique1. Les lois de l’induction

a. L’approche de Faraday b. La loi de Faraday c. La loi de Lenz

2. Induction mutuelle et auto-induction a. Induction mutuelle entre deux circuits fermés b. Auto-induction

3. Régimes variables a. Définition du régime quasi-statique b. Forces électromotrices induites c. Retour sur l’énergie magnétique d. Bilan énergétique d’un circuit électrique

1

Chapitre I- Le champ magnétique

I.1- Introduction

I.1.1 Bref aperçu historique

Les aimants sont connus depuis l’Antiquité, sous le nom de magnétite, pierre trouvée àproximité de la ville de Magnesia (Turquie). C’est de cette pierre que provient le nom actuelde champ magnétique.

Les chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants, il y a plus de 1000 ans,pour faire des boussoles. Elles étaient constituées d’une aiguille de magnétite posée sur de lapaille flottant sur de l’eau contenue dans une récipient gradué.

Au XVIIIème siècle, Franklin découvre la nature électrique de la foudre (1752). Or, il y avaitdéjà à cette époque de nombreux témoignages de marins attirant l’attention sur des faitsétranges :• Les orages perturbent les boussoles• La foudre frappant un navire aimante tous les objets métalliques.Franklin en déduisit « la possibilité d’une communauté de nature entre les phénomènesélectriques et magnétiques ».Coulomb (1785) montre la décroissance en 1 2r des deux forces.

Mais il faut attendre la fin du XIXème siècle pour qu’une théorie complète apparaisse, lathéorie de l’électromagnétisme.Tout commença avec l’expérience de Oersted en 1820. Il plaça un fil conducteur au dessusd’une boussole et y fit passer un courant. En présence d’un courant l’aiguille de la boussoleest effectivement déviée, prouvant sans ambiguïté un lien entre le courant électrique et lechamp magnétique. Par ailleurs, il observa :• Si on inverse le sens du courant, la déviation change de sens.• La force qui dévie l’aiguille est non radiale.

L’étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut faite par les physiciens Biotet Savart (1820). Ils mesurèrent la durée des oscillations d’une aiguille aimantée en fonctionde sa distance à un courant rectiligne. Ils trouvèrent que la force agissant sur un pôle estdirigée perpendiculairement à la direction reliant ce pôle au conducteur et qu’elle varie enraison inverse de la distance. De ces expériences, Laplace déduisit ce qu’on appelleaujourd’hui la loi de Biot et Savart. Une question qui s’est ensuite immédiatement posée fut :si un courant dévie un aimant, alors est-ce qu’un aimant peut faire dévier un courant ?Ceci fut effectivement prouvé par Davy en 1821 dans une expérience où il montra qu’un arcélectrique était dévié dans l’entrefer d’un gros aimant.

L’élaboration de la théorie électromagnétique mit en jeu un grand nombre de physiciens derenom : Oersted, Ampère, Arago, Faraday, Foucault, Henry, Lenz, Maxwell, Weber,Helmholtz, Hertz, Lorentz et bien d’autres. Si elle débuta en 1820 avec Oersted, elle ne fut

2

mise en équations par Maxwell qu’en 1873 et ne trouva d’explication satisfaisante qu’en1905, dans le cadre de la théorie de la relativité d’Einstein.

Dans ce cours de magnétostatique, nous traiterons dans les chapitres I à III de la questionsuivante : comment produire un champ magnétique à partir de courants permanents ? Nousn’aborderons que partiellement (chapitre IV) le problème inverse : comment produire del’électricité à partir d’un champ magnétique ?

I.2.1- Nature des effets magnétiques

Jusqu’à présent nous n’avons abordé que des particules chargées immobiles, ou encore desconducteurs (ensembles de particules) en équilibre. Que se passe-t-il lorsqu’on considèreenfin le mouvement des particules ?Soient deux particules q1 et q2 situées à un instant t aux points M1 et M2 . En l’absence demouvement, la particule q1 créé au point M2 un champ électrostatique E M1 2( ) et la particuleq2 subit une force dont l’expression est donnée par la loi de Coulomb

F q E M1 2 2 1 2/ ( )=

Qui dit force, dit modification de la quantité de mouvement de q2 puisque Fd p

dt

p

t1 22 2

/ = ≈∆∆

.

Autrement dit, la force électrostatique due à q1 crée une modification ∆ p2 pendant un temps∆t . Une force correspond en fait à un transfert d’information (ici de q1 vers q2) pendant uncourt laps de temps. Or, rien ne peut se propager plus vite que la vitesse c de la lumière. Cettevitesse étant grande mais finie, tout transfert d’information d’un point de l’espace à un autreprend nécessairement un temps fini. Ce temps pris par la propagation de l’informationintroduit donc un retard, comme nous allons le voir.On peut considérer l’exemple ci-dessus comme se qui se passe effectivement dans leréférentiel propre de q1. Dans un référentiel fixe, q1 est animée d’une vitesse v1. Quelle seraitalors l’action de q1 sur une particule q2 animée d’une vitesse v2 ?

q1

v1

v2r q2u12

v1dt

c dt

v2dt

E1(t)E1(t-dt)

Soit dt le temps qu’il faut à l’information (le champ électrostatique créé par q1) pour sepropager de q1 vers q2. Pendant ce temps, q1 parcourt une distance v dt1 et q2 parcourt ladistance v dt2 . Autrement dit, lorsque q2 ressent les effets électrostatiques dus à q1, ceux-ci nesont plus radiaux : le champ E t dt1( )− « vu » par q2 est dirigé vers l’ancienne position de q1

et dépend de la distance cdt et non pas de la distance r. On voit ici qu’il faut corriger la loi de

3

Pq

v

M

B(M)

Coulomb qui nous aurait donné le champ E t1( ) , qui est faux (suppose propagation instantanéede l’information ie. une vitesse infinie).Les effets électriques ne peuvent se résumer au champ électrostatique.

Cependant, l’expérience montre que la prise en compte de cette correction ne suffit pas àexpliquer la trajectoire de q2 : une force supplémentaire apparaît, d’ailleurs plus importanteque cette correction ! La force totale exercée par q1 sur q2 s’écrit en fait

Fq q

r c c1 21 2

02

2

4/ =π

+ ∧ ∧

εu

v vu 12

112

Dans cette expression (que l’on admettra) on voit donc apparaître un deuxième terme quidépend des vitesses des deux particules ainsi que la vitesse de propagation de la lumière. Cedeuxième terme s’interprète comme la contribution d’un champ magnétique créé par q1.Autrement dit,

F q E v B1 2 2 1 2 1/ = + ∧( )la force magnétique est une correction en v c/( )2 à la force de Coulomb. Nous reviendronsplus tard (chapitre III) sur l’expression et les propriétés de la force magnétique. Cetteexpression n’est valable que pour des particules se déplaçant à des vitesses beaucoup pluspetites que celle de la lumière (approximation de la magnétostatique).Dernière remarque : cette expression dépend de la vitesse de la particule, ce qui implique quele champ magnétique dépend du référentiel (voir discussion chapitre III) !

I.2- Expressions du champ magnétique

I.2.1- Champ magnétique créé par une charge en mouvement

D’après ci-dessus, le champ magnétique créé en un point M par une particule de charge qsituée en un point P et animée d’une vitesse v dans un référentiel galiléen est

B Mqv PM

PM( ) =

µπ

∧034

L’unité du champ magnétique dans le système international est le Tesla (T). Une autre unitéappartenant au système CGS, le Gauss (G), est également très souvent utilisée :

1 Gauss = 10 Tesla-4 .

Le facteur µ0 est la perméabilité du vide : il décrit la capacité du vide à « laisser passer » lechamp magnétique. Sa valeur dans le système d’unités international MKSA est

µ = π −0

74 10 H.m-1 (H pour Henry)

4

Remarques :• Cette valeur est exacte, directement liée à la définition de l’Ampère (voir Chapitre III). Le

facteur 4π a été introduit pour simplifier les équations de Maxwell (cf Licence).• Nous avons vus que les phénomènes électriques et magnétiques sont intimement reliés.

Les expériences de l’époque montrèrent que la vitesse de propagation était toujours lamême, à savoir c, la vitesse de la lumière. Cela signifiait qu’il y avait donc un lien secretentre le magnétisme, l’électricité et la lumière, et plongeait les physiciens dans la plusgrande perplexité. On pose donc

µ =0 02 1ε c

ce qui permet de définir la valeur de la permittivité du vide (caractéristique décrivant sacapacité à affaiblir les forces électrostatiques)

ε0

91036

≈π

−

F.m-1 (F pour Farad)

la valeur approchée provenant de notre connaissance approchée de la valeur de la vitessede la lumière.

Deux propriétés importantes du champ magnétique:• De même que pour le champ électrostatique, le principe de superposition s’applique au

champ magnétique. Si on considère deux particules 1 et 2 alors le champ magnétique crééen un point M quelconque de l’espace sera la somme vectorielle des champs créés parchaque particule.

• Du fait du produit vectoriel, le champ magnétique est ce qu’on appelle un pseudo-vecteur(voir plus bas).

Quelques ordres de grandeur :• Un aimant courant B ≈ 10 mT• Un électroaimant ordinaire B ≈ Tesla• Une bobine supraconductrice B ≈ 20 Tesla• Une bobine résistive B ≈ de 30 à Tesla1000• Champ magnétique interstellaire moyen : B ≈ µ G• Champ magnétique dans une tache solaire B ≈ ≈ kG 0.1 Tesla• Champ magnétique terrestre : B⊥ ≈ 0 4, G, Bhorizontal ≈ 0 3. G

• Champ magnétique d’une étoile à neutrons B ≈ 108 Tesla

I.2.2- Champ magnétique créé par un ensemble de charges en mouvement

Considérons N particules de charges qi situés en des points Pi et de vitesse vi . En vertu duprincipe de superposition, le champ magnétique créé en un point M est la somme vectorielledes champs créés par chaque particule et vaut

B Mq v P M

P M

i i i

ii

N

( ) =µ

π∧

=

∑03

14

Si le nombre de particules est très grand dans un volume V donné et qu’on s’intéresse à deséchelles spatiales bien plus grandes que la distance entre ces particules, il est avantageux

5

I

C

M

B(M)

dOP

P

v(P’)

dl=v dtP

Section du fil

d2S

d’utiliser une description continue. Il faut donc définir des distributions continues commenous l’avons fait en électrostatique. Mais des distributions continues de quoi ?

Le passage à la limite continue consiste à assimiler tout volume élémentaire d V3 , situé autourd’un point P’ quelconque de la distribution de charges en mouvement, à une charge dq animéed’une vitesse moyenne v . Le champ magnétique résultant s’écrit alors

B Mdqv P P M

P MV

( )( )

=µ

π

′ ∧ ′

′∫0

34

où l’intégrale porte sur le volume V total embrassé par ces charges.

En toute généralité, considérons α espèces différentes de particules (ex : électrons, ions),chacune animée d’une vitesse vα , de charge qα et d’une densité numérique nα . On peut alors

écrire dqv n q v d V= ∑ α α αα

3 , où la somme porte sur le nombre d’espèces différentes et non sur

le nombre de particules. On reconnaît ainsi l’expression générale du vecteur densité locale decourant j n q v= ∑ α α αα

.

L’expression du champ magnétique créé par une distribution volumique de chargesquelconque est donc

B Mj P P M

P Md V

V

( )( )

=µ

π′ ∧ ′

′∫∫∫0

33

4

Ce résultat est général et valable quelle que soit la forme du conducteur. On peut l’appliquer,par exemple, à l’intérieur d’un métal de volume V quelconque.

I.2.3- Champ créé par un circuit électrique (formule de Biot et Savart)

Dans le cas particulier d’un circuit filiforme fermé, parcouru par un courant permanent I, laformule précédente va nous fournir la loi de Biot et Savart.

Dans ce cas, le volume élémentaire s’écrit d V d S dl3 2= où d S2 est un élément de surfacetransverse situé en P’ et dl un élément de longueur du fil.

6

Or, on considère toujours des cas où le point M est situé à une distance telle du fil qu’on peutconsidérer celui-ci comme très mince.Plus précisément, le vecteur vitesse (ou densité de courant) a la même orientation sur toute la

section du fil ( j parallèle à dl et à d S2 ). Ainsi, on écrit

B M dlj P P M

P Md S

j P d S dl PM

PM

j P d S dl PM

PM

Idl PM

PM

I dOP PM

tioncircuit circuit

tion

circuit

tion

circuit

circuit

( )( )

( )

( )

sec

sec

sec

=µ

π′ ∧ ′

′=

µπ

′

∧

=µ

π

′ ⋅

∧

=µ

π∧

=µ

π∧

∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫

∫

∫

03

2 0

2

3

0

2

30

3

0

4 4

4 4

4 PMPM3

où l’on a utilisé P’M>>PP’ (donc ′ ≈P M PM), P étant un point sur le fil (centre de la section).Par ailleurs, nous avons utilisé le fait que la normale à la section ainsi que dl étaient orientés

dans le sens du courant ( j d S dl j d S dl2 2= ⋅( ) ).

Formule de Biot et Savart : en un point M quelconque de l’espace, le champ magnétiquecréé par un circuit parcouru par un courant permanent I est

B MI dP PM

PMcircuit

( ) =µ

π∧

∫034

où P est un point quelconque le long du circuit et dP dOP= .

La formule de Biot et Savart (1820) a été établie expérimentalement et fournit un lienexplicite entre le champ magnétique et le courant. Mais ce n’est que plus tard (1880+) que lesphysiciens ont réalisé que le courant était dû au déplacement de particules dans unconducteur.

Règles mnémotechniques :Dans l’utilisation de la formule de Biot et Savart, il faut faire attention au fait que le champmagnétique créé par un circuit fermé est la somme vectorielle de tous les dB, engendrés parun élément de circuit , dont le sens est donné par celui du courant I,

dBI dP PM

PM=

µπ

∧034

Or, chaque dB est défini par un produit vectoriel. Il faut donc faire extrêmement attention àl’orientation des circuits. Voici quelques règles mnémotechniques :• Règle des trois doigts de la main droite• Règle du bonhomme d’Ampère• Règle du tire-bouchon• Règle des pôles magnétiques

7

I.2.4- Propriétés de symétrie du champ magnétique

Ces propriétés sont fondamentales car elles permettent de simplifier considérablement lecalcul du champ magnétique. Du fait que le champ soit un effet créé par un courant, ilcontient des informations sur les causes qui lui ont donné origine. Cette trivialité se traduit parla présence de certaines symétries et invariances si les sources de courant en possèdentégalement. Ainsi, si l’on connaît les propriétés de symétrie de la densité de courant, on pourraconnaître celles du champ magnétique.

Vecteurs et pseudo-vecteursUn vecteur polaire, ou vrai vecteur, est un vecteur dont la direction, le module et le sens sontparfaitement déterminés. Exemples : vitesse d’une particule, champ électrostatique, densité decourant.Un vecteur axial, ou pseudo-vecteur, est un vecteur dont le sens est défini à partir d’uneconvention d’orientation d’espace et dépend donc de cette convention. Exemples : le vecteurrotation instantanée, le champ magnétique, la normale à une surface.

Cette différence provient du produit vectoriel : le sens du produit vectoriel dépend de laconvention d’orientation de l’espace. Le produit vectoriel de deux vrais vecteurs(respectivement pseudo-vecteurs) est un pseudo-vecteur (resp. vrai vecteur), tandis que celuid’un vrai vecteur par un pseudo-vecteur est un pseudo-vecteur.

a

b

c

c’b’

a’

Transformation par rapport àun plan de symétrie

c = a b

Orienter l’espace revient à associer à un axe orienté un sens de rotation dans un planperpendiculaire à cet axe. Le sens conventionnellement choisi est déterminé par la règle dutire-bouchon de Maxwell ou la règle du bonhomme d’Ampère (pour le champ magnétiquemais aussi pour le vecteur rotation instantanée).

Transformations géométriques d’un vecteur ou d’un pseudo-vecteurVecteurs et pseudo-vecteurs se transforment de la même manière dans une rotation ou unetranslation. Il n’en est pas de même dans la symétrie par rapport à un plan ou à un point. Dansces transformations

• un vecteur est transformé en son symétrique,• un pseudo-vecteur est transformé en l’opposé du symétrique.

8

E

E’

E E

E’E’

B

B’

BB

B’B’

Transformation d’un vecteur par symétriepar rapport à un plan

Transformation d’un pseudo-vecteur par symétrie par rapport à un plan

Soit ′ ′A M( ) le vecteur obtenu par symétrie par rapport à un plan S à partir de A M( ). D’aprèsla figure ci-dessus, on voit que1) si A M( ) est un vrai vecteur

• ′ ′ =A M A M( ) ( ) si A M( ) est engendré par les mêmes vecteurs de base que S ;

• ′ ′ = −A M A M( ) ( ) si A M( ) est perpendiculaire à S.2) au contraire, si A M( ) est un pseudo-vecteur

• ′ ′ =A M A M( ) ( ) si A M( ) est perpendiculaire à S ;

• ′ ′ = −A M A M( ) ( ) si A M( ) est engendré par les mêmes vecteurs de base que S.

Ces deux règles de transformation vont nous permettre de déterminer des règles de symétrieutiles.

Principe de Curie« Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causesdoivent se retrouver dans les effets produits. »

Dans une espace homogène et isotrope, si l’on fait subir une transformation géométrique à unsystème physique (ex : ensemble de particules, distribution de charges et/ou de courants)susceptible de créer certains effets (forces, champs), alors ces effets subissent les mêmestransformations.Si un système physique S possède un certain degré de symétrie, on pourra alors déduire leseffets créés par ce système en un point à partir des effets en un autre point.

Règles de symétrie• Invariance par translation : si S est invariant dans toute translation parallèle à un axe Oz,

les effets ne dépendent pas de z.• Symétrie axiale : si S est invariant dans toute rotation θ autour d’un axe Oz, alors ses

effets exprimés en coordonnées cylindriques ρ θ, , z( ) ne dépendent pas de θ .• Symétrie cylindrique : si S est invariant par translation le long de l’axe Oz et rotation

autour de ce même axe, alors ses effets exprimés en coordonnées cylindriques ρ θ, , z( ) nedépendent que de la distance à l’axe ρ .

• Symétrie sphérique : si S est invariant dans toute rotation autour d’un point fixe O, alorsses effets exprimés en coordonnées sphériques r, ,θ ϕ( ) ne dépendent que de la distance aucentre r .

• Plan de symétrie ∏: si S admet un plan de symétrie ∏, alors en tout point de ce plan,• un effet à caractère vectoriel est contenu dans le plan

9

• un effet à caractère pseudo-vectoriel lui est perpendiculaire.• Plan d’antisymétrie ∏’ : si, par symétrie par rapport à un plan ∏’, S est transformé en –S,

alors en tout point de ce plan,• un effet à caractère vectoriel est perpendiculaire au plan• un effet à caractère pseudo-vectoriel est contenu dans ce plan.

Exemples de plans d’antisymétrie

j

+

-------

-------

+ + + ++++ +

++

Voici quelques règles simples et très utiles, directement issues de la liste ci-dessus :• Si j est invariant par rotation autour d’un axe, B l’est aussi.• Si j est poloidal (porté par uρ et/ou uz ), alors B est toroïdal (porté par uθ ).

• Si j est toroïdal, alors B est poloidal.• Si le système de courants possède un plan de symétrie, alors j est contenu dans ce plan et

donc B lui est perpendiculaire.

Pourquoi un vecteur A x x x( , , )1 2 3 est indépendant de la variable x1 si le système S n’en

dépend pas ?Soit un point M x x x( , , )1 2 3 dont les coordonnées sont exprimées dans un système quelconque.Soit un point M’ lui étant infiniment proche. On a alors

A M

A M A x dx x x A x x xA

xdx

A M A x dx x x A x x xA

xdx

A M A x dx x x

( )

( ) ( , , ) ( , , )

( ) ( , , ) ( , , )

( ) ( , , )

′ =

′ = + ≈ +

′ = + ≈ +

′ = + ≈

1 1 1 1 2 3 1 1 2 31

11

2 2 1 1 2 3 2 1 2 32

11

3 3 1 1 2 3

∂∂

∂∂

AA x x xA

xdx3 1 2 3

3

11( , , ) +

∂∂

c’est à dire, de façon plus compacte A M A MA

xdx( ) ( )′ = +

∂∂ 1

1. Si le système physique S reste

invariant lors d’un changement de M en M’, alors (Principe de Curie) ′ ′ =A M A M( ) ( ) . On a

donc ∂∂

A

x1

0= en tout point M, ce qui signifie que A x x( , )2 3 ne dépend pas de x1 . On peut

suivre le même raisonnement pour chacune des autres coordonnées.

Pourquoi un vrai vecteur appartient nécessairement à un plan ∏ de symétrie ?Quel que soit M de S, soit M’ son symétrique par rapport à ∏. Ce plan étant un plan desymétrie, cela signifie que f(M)=f(M’) pour toute fonction de M. Ceci est en particulier vraipour chaque composante A M A Mi i( ) ( )= ′ du vecteur A M( ). On a donc ′ ′ =A M A M( ) ( ) ce quiimplique que A M( ) est engendré par les mêmes vecteurs de base que ∏. Si A M( ) est un pseudo-vecteur, alors on vient de montrer que A M( ) est nécessairementperpendiculaire à ∏.

10

I

a M

P

O

α

dOP

Pourquoi un vrai vecteur est nécessairement perpendiculaire à un plan ∏’ d’antisymétrie ?Ce plan étant un plan d’antisymétrie, on a f(M’)=-f(M) pour toute fonction de M. Ceci étantvrai pour chaque composante du vecteur A M( ), on a donc A M A Mi i( ) ( )′ = − , ce qui impliqueque A M( ) est perpendiculaire à ∏’ (ou lui appartient si A M( ) est un pseudo-vecteur).

I.3- Calcul du champ dans quelques cas simples

I.3.1- Fil rectiligne infini

On considère un fil rectiligne, infini, parcouru par un courant Ipermanent. La densité de courant possède une invariance partranslation selon l’axe z ainsi que par rotation autour de cet axe.Elle possède donc une symétrie cylindrique. Les calculs serontdonc plus simples dans le système de coordonnées cylindriques .Enfin, la densité de courant étant poloïdale, c’est à dire

j z j uz( , , ) ( )ρ θ ρ= ,le champ magnétique est toroïdal

B z B u( , , ) ( )ρ θ ρ θ=Calculons le champ créé en un point M situé à une distance a dufil par un élément dOP vu sous un angle α . La loi de Biot etSavart donne

dBI dOP PM

PM=

µπ

∧034

où PM PO OM= + . Comme, par raison de symétrie, seule la composante selon uθ est non

nulle, on ne s’intéresse qu’à celle-ci, c’est à dire B dB u dB= ⋅ =∫ ∫θ θ avec

dBI dOP OM u

PM

I dOP PM

PMu u u

I dOP

PMzθ

θρ θ

α α=

µπ

∧( ) ⋅=

µπ

∧( ) ⋅ =µ

π0

30

30

24 4 4. cos cos

Or, OP = PM sin =α αa tan d’où dOPa

d=cos2 α

α et on obtient alors

B dBI

ad

I

a= =

µπ

=µπ∫ ∫

−π

π

θ

αα0

2

20

4 2cos

I.3.2- Spire circulaire (sur l’axe)

Considérons maintenant le cas d’une spire circulaire de rayon R, parcourue par un courantpermanent I. On ne s’intéresse ici qu’au champ magnétique sur l’axe z de la spire.

11

M

O

P

RI

α

dB

dOP

La densité de courant étant toroïdale et invariante parrotation autour de l’axe z, c’est à dire

j z j z u( , , ) ( , )ρ θ ρ θ= ,le champ magnétique sera poloidal

B z B z u B z uz z( , , ) ( , ) ( , )ρ θ ρ ρρ ρ= +Cependant, sur l’axe z, la composante radiale du champs’annule et il ne reste qu’une composante selon z.

En projetant la loi de Biot et Savart sur z on obtient

dBI dOP

PM

I dOP

R

I

Rd

B dBI

Rd

I

R

I R

R z

z

z z

spire

=µ

π=

µπ

=µπ

= =µπ

=µ

=µ

+( )∫ ∫π

02

03

20 3

0 3

0

20 3 0

2

2 23

2

4 4 4

4 2 2

sin sinsin

sin sin

α αα θ

α θ α

I.3.3- Solénoïde infini (sur l’axe)

Un solénoïde est constitué d’un enroulement d’un fil conducteur autour d’un cylindre. Onsuppose que ce fil est suffisamment mince pour pouvoir modéliser ce solénoïde comme unejuxtaposition de spires coaxiales, avec N spires par unité de longueur. Chaque spire est alorsparcourue par un courant permanent I.Comme pour la spire simple vue plus haut, les propriétés de symétrie du courant montrent quele champ magnétique du solénoïde, qui est la somme vectorielle du champ créé par chaquespire, est suivant z uniquement.Autour d’un point P situé en z, sur une épaisseur dOP=dz, il y a Ndz spires Ces spires créentdonc un champ en un point M quelconque de l’axe

dBNIdz

R=

µ0 3

2sin α

où la position z est reliée à l’angle par tanα =R

z. Si on prend la différentielle de cette

expression, on obtient

dzR

d=sin2 α

α

Attention au signe de dz qui doit être cohérent avec notre convention de signe. Ici, dz>0 pourun dα > 0. Le champ magnétique total s’écrit donc

B dBNI

dNI

= =µ

=µ

−( )∫ ∫α

α

α

α

α α α α1

2

1

2

0 01 22 2

sin cos cos

Pour un solénoïde infini, on a α α1 20→ → π et , d’où un champ sur l’axeB NI= µ0

zMPO

dz

α dB

RI

12

Chapitre II- Lois fondamentales de la magnétostatique

Aucune des lois fondamentales citées ici ne sera démontrée. Elles constituent des faitsd’expérience traduits dans un formalisme mathématique, apuré au fil des ans. En Licence, ceslois seront énoncées sous forme d’équations de Maxwell, postulats de l’électromagnétisme.

II.1- Flux du champ magnétique

II.1.1- Conservation du flux magnétique

Considérons une surface fermée S quelconque, s’appuyant sur une courbe C fermée etorientée, c’est à dire pour laquelle on peut définir localement un élément de surface dS dSn=dont le vecteur normal est orienté vers l’extérieur (convention).

dS n

S1

C

dS nS2

S= S1 + S2

Le flux du champ magnétique à travers cette surface fermée vaut

Φ = ⋅ =∫∫ B dSS

0

Cette loi est générale et reste valable même en régime variable.

La conservation du flux magnétique est une propriété très importante et montre une différencefondamentale entre le champ magnétique et le champ électrostatique. Nous avons vu, avec lethéorème de Gauss, que le flux du champ électrostatique dépend des charges électriquescontenues à l’intérieur de la surface

E dSQ

s

S

⋅ =∫∫ int

ε0

Si la charge totale est positive, le flux est positif et il « sort » de cette surface un champélectrostatique (source). Si la charge est négative, le flux est négatif et le champ « rentre »,converge vers la surface (puits). Cette propriété reste d’ailleurs également valable en régimevariable. Rien de tel n’a jamais été observé pour le champ magnétique. On ne connaît pas decharge magnétique analogue à la charge électrique (se serait un « monopôle magnétique ») :

13

tout le champ qui rentre dans une surface fermée doit également en ressortir. La source la plusélémentaire de champ magnétique est un dipôle (deux polarités), comme l’aimant dont on nepeut dissocier le pôle nord du pôle sud.

On peut aisément montrer que le flux à travers une surface S s’appuyant sur un contour ferméC est indépendant du choix de cette surface. Prenons deux surfaces S1 et S2 s’appuyant sur Cet telles que S = S S1 2+ soit une surface fermée. En orientant cette surface vers l’extérieur,la conservation du flux magnétique impose

Φ Φ ΦS S S= + =1 2

0

donc Φ ΦS S1 2= − , ce qui rentre d’un coté ressort de l’autre. La différence de signe provient

de la convention d’orientation de la normale : le flux est le même dans les deux cas.

II.1.2- Lignes de champ et tubes de flux

Le concept de lignes de champ (également appelées lignes de force) est très utile pour se faireune représentation spatiale d’un champ de vecteurs. Ce sont ces lignes de champ qui sonttracées par la matière sensible au champ magnétique, telle que la limaille de fer au voisinaged’un aimant.

Définition : Une ligne de champ d’un champ de vecteur quelconque est une courbe C dansl’espace telle qu’en chacun de ses points le vecteur y soit tangent.

Considérons un déplacement élémentaire dl le long d’une ligne de champ magnétique C. Lefait que le champ magnétique B soit en tout point de C parallèle à dl s’écrit :

B dl∧ = 0

En coordonnées cartésiennes, dl dx i dy j dz k= + + et les lignes de champ sont calculéesen résolvant

dx

B

dy

B

dz

Bx y z

= =

En coordonnées sphériques, dl dr u rd u r d ur= + +θ θ ϕθ ϕsin et l’équation des lignes de

champ devientdr

B

rd

B

r d

Br

= =θ θ ϕ

θ ϕ

sin

La conservation du flux magnétique implique que les lignes de champ magnétique sereferment sur elles-mêmes.

Un tube de flux est une sorte de « rassemblement » de lignes de champ. Soit une surface S1

s’appuyant sur une courbe fermée C telle que le champ magnétique y soit tangent (c’est à direB dl⊥ où dl est un vecteur élémentaire de C). En chaque point de C passe donc une ligne dechamp particulière. En prolongeant ces lignes de champ on construit ainsi un tube de flux.

14

S3

S2

S1

B

dS

Tout au long de ce tube, le flux magnétique est conservé. En effet, considérons une portion detube cylindrique entre S1et S3 , ayant un rétrécissement en une surface S2 . La surfaceS = S + S + S1 3 L , où SL est la surface latérale du tube, constitue une surface fermée. Doncle flux du champ à travers S est nul. Par ailleurs, le flux à travers la surface latérale estégalement nul, par définition des lignes de champ ( B dS⋅ = 0 sur SL ) . Donc, le flux en S1 estle même qu’en S3 . On peut faire le même raisonnement pour S2 . Cependant puisque S > S1 2

pour un flux identique, cela signifie que le champ magnétique est plus concentré en S2 . D’unemanière générale, plus les lignes de champ sont rapprochées et plus le champ magnétique estlocalement élevé.

Les exemples les plus célèbres de tubes de flux rencontrés dans la nature sont les tachessolaires.

II.2- Circulation du champ magnétique

II.2.1- Circulation du champ autour d’un fil infini

Nous avons vu que le champ B créé par un fil infini en un point M zρ θ, ,( ) s’écrit encoordonnées cylindriques

BI

u=µπ0

2 ρ θ

Considérons maintenant une courbe fermée quelconque C. Un déplacement élémentaire lelong de cette courbe s’écrit dl d u d u dzuz= + +ρ ρ θρ θ . La circulation de B sur la courbe

fermée C vaut alors

B dl Id

courbe courbe

⋅ = µπ∫ ∫0 2θ

15

I

C

θM

dl

Plusieurs cas de figure peuvent se présenter :

• Si C n’enlace pas le fil, dC

θ =∫ 0.

• Si C enlace le fil une fois, dC

θ = π∫ 2 .

• Si C enlace le fil N fois, d NC

θ = π∫ 2

La circulation de B sur une courbe fermée estdonc directement reliée au courant qui traverse

la surface délimitée par cette courbe. C’est Ampère qui, en recherchant une explication dumagnétisme dans une théorie de la dynamique des courants, découvrit cette propriété duchamp magnétique. Démontrée ici sur un cas particulier à partir de la loi de Biot et Savart,nous ne démontrerons pas que ce résultat est général, c’est à dire valable pour un conducteurquelconque.

II.2.2- Le théorème d’Ampère

Théorème : La circulation de B le long d’une courbe C quelconque, orientée et fermée,appelée contour d’Ampère, est égale à µ0 fois la somme algébrique des courants quitraversent la surface délimitée par C

B dl Icourbe

⋅ = µ∫ 0 int

Cette relation fondamentale est l’équivalent du théorème de Gauss pour le champélectrostatique : elle relie le champ ( Bou Es ) à ses sources (le courant I ou la charge Q) dansle vide (à l’intérieur d’un matériau il faut les corriger). Cependant, à la différence du théorèmede Gauss, elle n’est valable qu’en régime permanent (courants continus).

C

I1

I2

Iint = - I1 + I2 - I2= - I1

16

Remarques :• Le théorème d’Ampère et la loi de Biot et Savart ont la même cause originelle.• Le choix du sens de la circulation sur le contour d’Ampère choisi est purement arbitraire.

Une fois ce choix fait, la règle du bonhomme d’Ampère permet d’attribuer un signe auxcourants qui traversent la surface ainsi délimitée.

• Comme pour le théorème de Gauss, ce qui compte c’est la somme algébrique des sources :par exemple, si deux courants de même amplitude mais de sens différents traversent lasurface, le courant total sera nul (voir figure ci-dessus).

Exemple: le solénoïde infiniConsidérons un solénoïde infini, comportant N spires par unité de longueur, chacuneparcourue par un courant I permanent. Etant donné la géométrie cylindrique du solénoïde, onse place en coordonnées cylindriques, l’axe z étant l’axe du solénoïde. La densité de courantest toroïdale et s’écrit j z j u( , , ) ( )ρ θ ρ θ= puisqu’il y a invariance par rotation autour de l’axe zet translation le long de ce même axe. Donc, le champ magnétique est poloïdal et s’écrit

B z B uz( , , ) ( )ρ θ ρ=

On choisit trois contours d’Ampère différents (voir figure) :

zO

RI

(1)

(2)

(3)

D C

BA

l

Contour (1) :

B dl B dl B dl B dl

B dzu B dzu

B l B l

AB BC CD DA

z

AB

z

CD

AB DC

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =

⋅ − ⋅ =

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

0

0

Donc, le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde (parce qu’il est infini).

Contour (2) : on obtient le même résultat, c’est à dire un champ uniforme à l’extérieur. Maiscomme ce champ doit être nul à l’infini, on en déduit qu’il est nul partout.

Contour (3) :

B dl B dl B dl B dl Nl I

Bu dzu Nl I

B NI

AB BC CD DA

z z

CD

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = − µ

− ⋅ = − µ

= µ

∫ ∫ ∫ ∫

∫

0

0

0

17

II.2.3- Relations de continuité du champ magnétique

Puisque le courant est la source du champ magnétique, on peut se demande ce qui se passe àla traversée d’une nappe de courant infinie. Comme pour le champ électrostatique, va-t-onvoir une discontinuité dans le champ ?

Soit une distribution surfacique de courant js séparant l’espace en deux régions 1 et 2.

S2

S1

S

Région 2

Région 1

dS2

dS1

n12js

Considérons une surface fermée fictive, traversant la nappe de courant. La conservation duflux magnétique à travers cette surface s’écrit

B dS B dS B dSS S SL

⋅ + ⋅ + ⋅ =∫∫ ∫∫ ∫∫1 2

0

où SL est la surface latérale. Lorsqu’on fait tendre cette surface vers zéro (S1 tend vers S2 ),on obtient

B dS B dS

B B n dS

S S

S S

⋅ + ⋅ =

−( ) ⋅ =

∫∫ ∫∫

∫∫=

1 2

0

02 1

1 2

12

puisque dS dS dSn1 2 12= − = − dans cette limite. Ce résultat étant valable quelque soit lasurface S choisie, on vient donc de démontrer que

B B n2 1 12 0−( ) ⋅ =

Pour la composante tangentielle, nous allons utiliser le théorème d’Ampère. Considérons lecontour d’Ampère suivant :

Région 2

Région 1

n12

A

B

NM

C

D

τ

js

Le théorème d’Ampère s’écrit alors

B dl B dl B dl B dl IAB BC CD DA

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = µ∫ ∫ ∫ ∫ 0

18

Le courant I est celui qui circule sur la nappe, autrement dit, il est défini par la densité decourant surfacique

I j dS j dlABCD

s

MN

= ⋅ = ⋅( )∫∫ ∫ τ

où MN n, ,12 τ( ) est un trièdre direct. Dans la limite DA → 0 , le théorème d’Ampère fournit

B B dl j dlS

MNMN

1 2 0−( ) ⋅ = µ ⋅( )∫∫ τ

Puisque MN est quelconque, on doit avoirB B dl j dl

B B dl n

B B n dl

S1 2 0

1 2 12

1 2 12

−( ) ⋅ = µ ⋅

= −( ) ⋅ ∧ −( )= −( ) ∧[ ] ⋅

τ

τ

τ

c’est à dire (puisque la direction de τ est arbitraire)

B B n jS1 2 12 0−( ) ∧ = µ

En résumé, à la traversée d’une nappe de courant,• la composante normale du champ magnétique reste continue,• la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue.

III.2.4- Les trois façons de calculer le champ magnétique

En guise de résumé voici des conseils sur les méthodes à employer pour calculer le champmagnétique.• La formule de Biot et Savart : elle n’est pratique que lorsqu’on sait faire l’addition

vectorielle des champs dB créés par un petit élément du circuit (souvent des circuitsfiliformes).

• La conservation du flux : à n’utiliser que si l’on connaît déjà son expression dans uneautre région de l’espace (voir un exemple d’utilisation à la section précédente).

• Le théorème d’Ampère : il faut être capable de calculer la circulation du champ sur uncontour choisi. Cela nécessite donc une symétrie relativement simple des courants.

Dans tous les cas, il faut prendre en compte les propriétés de symétrie de la densité decourant.

II.3- Le dipôle magnétique

II.3.1- Champ magnétique créé par une spire

Soit une spire plane, de forme quelconque, de centre d’inertie O, parcourue par un courantpermanent I. Nous allons calculer le champ magnétique créé par cette spire en tout point M del’espace, situé à grande distance de la spire (précisément, à des distances grandes comparées àla taille de la spire).

19

I

z

O

n

M

u

θ

r

r’

P dOP

On pose

r OM r PM

OP r r ur

r

= ′ =

= = − ′ =ρ

On va donc utiliser la formule de Biot et Savart,dans la limite r >> ρ , pour tout point Pappartenant à la spire

B MI d r

rspire

( ) =µ

π∧ ′′∫034

ρ

Evaluons le terme ′′

rr 3 pour des points M situés à grande distance de la spire :

′′

=−

+ − ⋅( )≈

−

−⋅

≈−

+⋅

≈ − +⋅

r

r

r

r r

r

rr

r

r

r

r

r

u

r r

u

ru

32 2

32

32

32

3 2

2 3 3

21 2

1 3

3

ρ

ρ ρ

ρ

ρ

ρ ρ

ρ ρ

où nous avons fait un développement limité à l’ordre 1. En reportant cette expression dans laformule de Biot et Savart on obtient

B MI

rd u

d

r rd u u

spire spire spire

( ) ≈µπ

∧ −∧

+ ∧ ⋅( )

∫ ∫ ∫024

3ρ

ρ ρρ ρ

Evaluons séparément chaque terme intervenant dans la parenthèse :

• d u d u P P uspire spire

ρ ρ ρ ρ∧ =

∧ = −[ ] ∧ =∫ ∫ ( ) ( )0 0 0

puisque le vecteur u est indépendant du point P sur la spire et qu’on fait une intégration surtoute la spire, en revenant au point de départ P0 .

• −∧

= ∧ =∫ ∫d

r rd

S

rn

spire spire

ρ ρρ ρ

1 2

où n est le vecteur normal au plan de la spire (vecteur de base de l’axe z) et S sa surface. Cecalcul est général, valable quelle que soit la surface.

20

O dS

n

ρdρ= dOPP

En effet, une surface élémentaire dS , telle que

12

ρ ρ∧ =d dS n

est toujours engendrée lors d’un petit déplacement duvecteur ρ .

• d u u u d uspire spire

ρ ρ ρ ρ∧ ⋅( ) = − ⋅( )∫ ∫

Prenons une surface S plane quelconque. Sur cette surface, on a d xy PPxy

o

o( ) = =∫ [ ] 0

puisqu’on revient au même point départ P0 . On a donc l’égalité xdy =∫ ∫ - ydx . Par ailleurs,

on a également la propriété suivante x dxx

xx

y dyy

yx

o

o

o

o

= = = =∫ [ ] ∫ [ ]2 2

2 20 .

On va utiliser ces propriétés générales pour calculer l’intégrale inconnue ci-dessus.Si on décompose les vecteurs ρ et u dans la base e e1 2,( ) engendrant le plan de la spire, on

obtientd u d u u e d u u eρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ⋅( ) = +( ) + +( )1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2

or,

ρ ρ ρ ρ1 1 11

12

0 12

020u d

uP P

spire∫ = −[ ] =( ) ( )

D’oùd u u d e u d e

u Se u Se

S n u

spire spire spire

ρ ρ ρ ρ ρ ρ⋅( ) = +

= − +

= ∧

∫ ∫ ∫2 2 1 1 1 1 2 2

2 1 1 2

En rassemblant ces résultats, on obtient un champ magnétique

B MI

r

S

rn

u

rSn u( ) ≈

µπ

− ∧ ∧( )

024

2 3

On voit donc apparaître une grandeur importante car décrivant complètement la spire « vue »depuis une grande distance, à savoir le moment magnétique dipolaire

M = ISn

En utilisant l’égalité u u u u u u∧ ∧( ) = ⋅( ) − ⋅( )M M M , on obtient alors l’expression du

champ magnétique créé par un dipôle

B Mr

u u

u

r

( ) =µπ

⋅( ) −[ ]= −

µπ

⋅

03

02

43

4

M M

grad M

21

En coordonnées sphériques, u ⋅ =M M cosθ et les composantes poloidales du champs’écrivent

Br

Br

s

r =µπ

=µπ

03

03

42

4

M

M in

cosθ

θθ

Lignes de champ :Comme nous l’avons vu précédemment, les lignes de champ ne sont pas des courbes où lanorme du champ magnétique est constante. Ici, l’équation des lignes de champ encoordonnées sphériques fournit :

drM

r

rdM

r

dr

r

d

r

r

r r

r

r

µπ

θ

θµπ

θ

θ θθ

θθ

θθ

θ

θ

03

03

0 0

00

2

24 4

2

2

0 0

cos sin

cossin

ln lnsinsin

sinsin

=

=

=

=

∫ ∫

où le rayon sphérique r0 correspond à un angle θ0 arbitraire.

Remarques :1. Ces expressions ne sont pas à retenir : il faut par contre comprendre et savoir reproduire la

démonstration.2. Pour établir l’expression du champ créé par un dipôle, nous avons fait un développement

limité en ne conservant que les termes d’ordre un. Les termes d’ordre supérieur(multipolaires) ne jouent un rôle qu’à proximité immédiate de la spire.

II.3.2- Le modèle du dipôle en physique

Il est intéressant de remarquer que l’expression du champ magnétique créé par une spire decourant (dipôle magnétique M = ISn) est formellement équivalente à celle du champélectrostatique créé par un système de deux charges opposées (dipôle électrique p = qd )

E Mu

r( ) = −

π⋅1

4 02ε

grad p

Cependant, pour le champ magnétique, il s’avère impossible de séparer le dipôle en unecharge magnétique « + » et une autre « - ». Le dipôle est la première source de champmagnétique. C’est la raison pour laquelle il joue un si grand rôle dans la modélisation deseffets magnétiques observés dans la nature, au niveau microscopique comme macroscopique.

L’origine du champ magnétique d’un matériau quelconque (ex : aimant) doit êtremicroscopique. En utilisant le modèle atomique de Bohr, on peut se convaincre que les

22

+e

-e

ω

v = ω a0

a0

atomes (du moins certains) ont un moment magnétique dipolaire intrinsèque. Le modèle deBohr de l’atome d’Hydrogène consiste en un électron de charge q=-e en mouvement circulaire

uniforme autour d’un noyau central (un proton) avec une période T =π2

ω.

Si on regarde sur des échelles de temps longues parrapport à T, tout se passe comme s’il y avait un courant

Iq

T

q= =

πω

2On a donc une sorte de spire circulaire, de rayon moyen ladistance moyenne au proton, c’est à dire le rayon de Bohra0. L’atome d’Hydrogène aurait donc un momentmagnétique intrinsèque

M

L

= = = ( )

=

ISnq

a nq

mm a n

q

m

ωω

2 2

2

02

02

où L est le moment cinétique de l’électron et qm2( ) est appelé le facteur gyromagnétique.

Ce raisonnement peut se généraliser aux autres atomes. En effet, un ensemble de charges enrotation autour d’un axe vont produire un moment magnétique proportionnel au momentcinétique total. Cela se produit même si la charge totale est nulle (matériau ou atome neutre) :ce qui compte c’est l’existence d’un courant. Il suffit donc d’avoir un décalage, même léger,entre les vitesses des charges « + » et celles des charges « - ».

Du coup, on peut expliquer qualitativement les propriétés magnétiques des matériaux enfonction de l’orientation des moments magnétiques des atomes qui les composent :• Matériaux diamagnétiques : les moments sont distribués aléatoirement, il n’y a pas de

champ magnétique intrinsèque.• Matériaux paramagnétiques : ceux pour lesquels les moments peuvent s’orienter dans une

direction privilégiée en présence d’un champ magnétique extérieur, pouvant donc êtreainsi aimantés momentanément.

• Matériaux ferromagnétiques : ceux dont les moments sont déjà orientés dans une directionparticulière, de façon permanente (aimants naturels).

La Terre est connue pour avoir un champ magnétique dipolaire, où le pôle Nord magnétiquecorrespond au pôle Sud géographique (à un angle près).Au niveau macroscopique, l’explication de l’existence du champ magnétique observé sur lesplanètes et sur les étoiles est encore aujourd’hui loin d’être satisfaisante. La théorie de l’effetdynamo essaye de rendre compte des champs observés par la présence de courants,essentiellement azimutaux, dans le cœur des astres.Plusieurs faits connus restent partiellement inexpliqués :• Les cycles magnétiques : le Soleil a un champ magnétique à grande échelle qui ressemble

à celui de la Terre, approximativement dipolaire. Cependant, il y a une inversion depolarité tous les 11 ans. Pour la Terre, on a pu mettre en évidence qu’il y avait eu uneinversion il y a environ 700.000 ans. Par ailleurs, on observe des fluctuations du champ.

• Non-alignement avec le moment cinétique de l’astre : s’il est de l’ordre d’une dizaine dedegrés pour la Terre (avec une modification de la direction de l’axe magnétique d’environ15’ par an), il est de 90° pour celui de Neptune !

23

Chapitre III- Actions et énergie magnétiques

III.1- Force magnétique sur une particule chargée

Ce qui a été dit aux chapitres précédents concerne plus particulièrement les aspectsmacroscopiques, l’influence mesurable d’un champ magnétique sur un circuit électrique. Or,le courant circulant dans un circuit est dû au déplacement de particules chargées. Nousprendrons donc le parti ici de poser l’expression de la force magnétique s’exerçant sur uneparticule (sans la démontrer) puis de montrer comment s’exprime cette force sur un circuit.Historiquement bien sûr, c’est la force de Laplace qui a été mise en évidence la première, laforce de Lorentz n’est venue que bien plus tard…

III.1.1- La force de Lorentz

La force totale, électrique et magnétique (on dit électromagnétique) subie par une particule decharge q et de vitesse v mesurée dans un référentiel galiléen est

F q E v B= + ∧( )

On appelle cette force la force de Lorentz. On peut la mettre sous la forme

F F FqE

F qv Be m

m

= += ∧

où

F =e

où Fe est la composante électrique et Fm la composante magnétique. La composantemagnétique de la force de Lorentz (parfois appelée force magnétique) possède un ensemble depropriétés remarquables :

1. La force magnétique ne fournit pas de travail. Si on applique la relation fondamentale dela dynamique pour une particule de masse m et charge q, on obtient

F qv B mdv

dtm = ∧ =

doncd

dtmv

d

dtmv v mv

dv

dtqv v B

12

12

02

= ⋅

= ⋅ = ⋅ ∧( ) = .

L’énergie cinétique de la particule est donc bien conservée.2. La force magnétique est une correction en v c/( )2 à la force de Coulomb , où c est la

vitesse de la lumière (cf chapitre I).3. Violation du principe d’action et de réaction. On peut aisément vérifier sur un cas

particulier simple que la force magnétique ne satisfait pas au 3ème principe de Newton.Pour cela, il suffit de prendre une particule 1 se dirigeant vers une particule 2. Le champmagnétique créé par 1 sera alors nul à l’emplacement de la particule 2,

Bq

r10 1

240= v u1 12

µπ

∧ = ,

24

z

x

yB

-e

RL

v0 = v i0

Cas particulier d’une particule de charge négative (rotation dans le sens direct)

et donc la force F1 2/ sera nulle. Mais si la deuxième particule ne se dirige pas vers la

première, son champ magnétique sera non nul en 1 et il y aura une force F2 1/ non nulle…

III.1.2- Trajectoire d’une particule chargée en présence d’un champ magnétique

Considérons une particule de masse m et charge q placée dans un champ magnétiqueuniforme avec une vitesse initiale v t v( )= =0 0 . La relation fondamentale de la dynamiques’écrit

dv

dt

q

mv B= ∧

Puisque la force magnétique est nulle dans la direction du champ, cette direction estprivilégiée. On va donc tirer parti de cette information et décomposer la vitesse en deuxcomposantes, l’une parallèle et l’autre perpendiculaire au champ, v t v vp( ) = + ⊥ . L’équation

du mouvement s’écrit alors

dv

dt

dv

dt

q

mv B

p =

= ∧

⊥⊥

0

La trajectoire reste donc rectiligne uniforme dans la direction du champ. Prenons un repèrecartésien dont l’axe z est donné par le champ B Bk= .

L’équation portant sur lacomposante perpendiculaire sedécompose alors en deux équations

dv

dtv

dv

dtv

xy

yx

=

= −

ω

ωoù ω =

qB

m

Ce système se ramène à deux

équations de la formed v

dtvi

i

2

22= −ω (pour i = x,y) et a donc pour solution

dx

dtv v t

dy

dtv v t

x

y

= =

= = −

⊥

⊥

0

0

cos

sin

ω

ω

où l’on a choisi une vitesse initiale suivant x, v v i⊥ ⊥=0 0

. En intégrant une deuxième fois ce

système on obtient

25

xv

t

yv

t

=

=

⊥

⊥

0

0

ωω

ωω

sin

cos

où les constantes d’intégration ont été choisies nulles (choix arbitraire). La trajectoire est donc

un cercle de rayon Rmv

qBL = ⊥ 0 , le rayon de Larmor, décrit avec la pulsation ω =q B

m, dite

pulsation gyro-synchrotron. Ce cercle est parcouru dans le sens conventionnel positif pourdes charges négatives.Le rayon de Larmor correspond à la « distance » la plus grande que peut parcourir uneparticule dans la direction transverse avant d’être déviée de sa trajectoire. Cela corresponddonc à une sorte de distance de piégeage. A moins de recevoir de l’énergie cinétiquesupplémentaire, une particule chargée est ainsi piégée dans un champ magnétique.

Il est intéressant de noter que plus l’énergie cinétique transverse d’une particule est élevée(grande masse ou grande vitesse transverse) et plus le rayon de Larmor est grand.Inversement, plus le champ magnétique est élevé et plus ce rayon est petit.

Remarque : Nous avons vu au Chapitre II qu’une charge en mouvement créé un champmagnétique. Donc, une particule mise en rotation par l’effet d’un champ magnétique extérieurva créer son propre champ. Il n’en a pas été tenu compte dans le calcul précédent, celui-ciétant la plupart du temps négligeable.

III.1.3- Distinction entre champ électrique et champ électrostatique

Nous allons traiter ici un problème un peu subtil. En mécanique classique, il y a troisprincipes fondamentaux : le principe d’inertie, la relation fondamentale de la dynamique et leprincipe d’action et de réaction. Nous avons déjà vu que la force magnétique F qv Bm = ∧ nesatisfaisait pas au 3ème principe. Mais il y a pire. Pour pouvoir appliquer la relationfondamentale de la dynamique, il faut se choisir un référentiel galiléen. Ce choix étantarbitraire, les lois de la physique doivent être indépendantes de ce choix (invariancegaliléenne). Autrement dit, les véritables forces doivent être indépendantes du référentiel. Ilest clair que ce n’est pas le cas de la force magnétique Fm . En effet, considérons une particuleq se déplaçant dans un champ magnétique avec une vitesse constante dans le référentiel dulaboratoire. Dans ce référentiel, elle va subir une force magnétique qui va dévier sa trajectoire.Mais si on se place dans le référentiel propre de la particule (en translation uniforme parrapport au laboratoire, donc galiléen), sa vitesse est nulle. Il n’y a donc pas de force et elle nedevrait pas être déviée ! Comment résoudre ce paradoxe ?C’est Lorentz qui a donné une solution formelle à ce problème, mais c’est Einstein qui lui adonné un sens grâce à la théorie de la relativité. La véritable force, électromagnétique, est laforce de Lorentz

F q E v B= + ∧( )Supposons que cette particule soit soumise à un champ électrostatique Es et un champ

magnétique B , mesurés dans le référentiel R du laboratoire. Dans un référentiel R’ où laparticule est au repos, le terme magnétique sera nul. Si on exige alors l’invariance de la force,on doit écrire

26

′ = ′ = = + ∧( )F qE F q E v Bs

Le champ ′E « vu » dans le référentiel R’ est donc la somme du champ électrostatique Es et

d’un autre champ, appelé champ électromoteur E v Bm = ∧ . Ainsi, on a bien conservél’invariance de la force lors d’un changement de référentiel, mais au prix d’unecomplexification du champ électrique qui n’est plus simplement un champ électrostatique !

Deux conséquences importantes :1. La circulation d’un champ électrique E E Es m= + est en générale non nulle à cause du

terme électromoteur (d’où son nom d’ailleurs) : celui-ci peut donc créer une différence depotentiel qui va engendrer un courant, ce qui n’est pas possible avec un champ purementélectrostatique.

2. Le champ électrique « vu » dans R’ dépend du champ magnétique « vu » dans R. On nepeut donc pas appliquer la règle de changement de référentiel classique (transformationgaliléenne) mais une autre, plus complexe (transformation de Lorentz). Champs électriqueet magnétique dépendent tous deux du référentiel, la compréhension de ce phénomèneélectromagnétique ne pouvant se faire que dans le contexte de la relativité.

Ceci dit, nous utiliserons tout de même l’expression de la force magnétique ou de Lorentzpour calculer, par exemple, des trajectoires de particules dans le formalisme de la mécaniqueclassique. On ne devrait pas obtenir des résultats trop aberrants tant que leurs vitesses restenttrès inférieures à celle de la lumière.

Une dernière remarque : nous avons implicitement supposé que la charge q de la particuleétait la même dans les deux référentiels. Cela n’est a priori pas une évidence. Nous pouvonsen effet imposer que toute propriété fondamentale de la matière soit effectivement invariantepar changement de référentiel. Le concept de masse, par exemple, nécessite une attentionparticulière. En effet, tout corps massif possède un invariant appelé « masse au repos ».Cependant sa « masse dynamique » (impulsion divisée par sa vitesse) sera d’autant plusélevée que ce corps aura une vitesse s’approchant de celle de la lumière.Nous admettrons donc que la charge électrique est bien un invariant (dit relativiste).

III.2- Actions magnétiques sur un circuit fermé

III.2.1- La force de Laplace

Nous avons vu que la force subie par une particule chargée en mouvement dans un champmagnétique, la force de Lorentz, s’écrit ; F q E v B= + ∧( ). Considérons un milieu comportantα espèces différentes de particules chargées, chaque espèce ayant une densité volumique nα,et une vitesse vα . Ces divers porteurs de charges sont donc responsables d’une densité localede courant

j n q v= ∑ α α αα

.

Par ailleurs, chaque particule étant soumise à la force de Lorentz, la force s’exerçant sur unélément de volume d V3 comportant n d Vα

α

3∑ particules s’écrit

27

d F n q E v B d V3 3= + ∧∑ α α αα

( )

On voit donc apparaître une force due au champ électrique. Cependant, si le volumeélémentaire que l’on considère est suffisamment grand pour que s’y trouve un grand nombrede particules e si le conducteur est électriquement neutre, on doit avoir

n qα αα∑ = 0

ce qui annule la force électrique.

On obtient alors d F n q v B d V n q v B d V3 3 3= ∧ = ∧∑ ∑α α αα

α α αα

( ) , c’est à dire

d F j B d V3 3= ∧

Nous avons donc ci-dessus l’expression générale de la force créée par un champ magnétiqueextérieur sur une densité de courant quelconque circulant dans un conducteur neutre (larésultante est évidemment donnée par l’intégrale sur le volume).

Dans le cas particulier d’un conducteur filiforme, l’élément de volume s’écrit d V d S dl3 2= ⋅ ,

où dl est un élément de longueur infinitésimal orienté dans la direction de j et d S2 unesurface infinitésimale.

dl

d2S

S: section du fil

j

Dans le cas d’un circuit filiforme (très mince donc où l’on peut considérer que le champ estconstant), la force qui s’exerce par unité de longueur s’écrit

dF j B d Sdl jd S dl B

j d S dl B

Idl B

SS

S

= ∧ = ∧

= ⋅ ∧

= ∧

∫∫ ∫∫

∫∫

( ) ( )

( )

2 2

2

La force qui s’exerce sur un conducteur fermé, parcouru par un courant permanent I, appeléeforce de Laplace, vaut

F I dl Bcircuit

= ∧∫

Cette force s’applique sur un circuit qui est un solide. Dans ce cours, on ne considèrera quedes circuits pour lesquels on pourra appliquer le principe fondamental de la mécanique, en

28

assimilant ceux-ci à des points matériels (leur centre d’inertie). Aucun élément de longueur nesera privilégié : la force dF Idl B= ∧ s’applique au milieu de chaque portion dl.

Remarques :1. Ayant été établie à partir d’équations valables uniquement en régime permanent, cette

expression n’est vraie que pour un courant permanent. Il faut en particulier faire attentionà intégrer la force sur le circuit fermé.

2. Pour des circuits fermés de forme complexe, il devient difficile de calculer la forcemagnétique à partir de l’expression de la force de Laplace. Dans ce cas, il vaut mieuxutiliser une méthode énergétique (travaux virtuels, voir plus bas).

3. A partir de la force de Lorentz, qui est une force microscopique agissant sur des particulesindividuelles et qui ne travaille pas, nous avons obtenu une force macroscopique agissantsur un solide. Cette force est capable de déplacer le solide et donc d’exercer un travail nonnul. Comment comprendre ce résultat ? Il faut interpréter la force de Laplace comme larésultante de l’action des particules sur le réseau cristallin du conducteur. C’est donc unesorte de réaction du support à la force de Lorentz agissant sur ses constituants chargés. Auniveau microscopique cela se traduit par la présence d’un champ électrostatique, le champde Hall.

4. Bien que la force de Lorentz ne satisfasse pas le principe d’Action et de Réaction, la forcede Laplace entre deux circuits, elle, le satisfait ! La raison profonde réside dansl’hypothèse du courant permanent parcourant les circuits (I le même, partout dans chaquecircuit) : en régime permanent, il n’y a plus de problème de délai lié à la vitesse depropagation finie de la lumière.

III.2.2- Définition légale de l’Ampère

Considérons le cas de deux fils infinis parcourus par un courant I1 et I2 , situés à une distanced l’un de l’autre.

I1 I2

u12

d

B1

B1

Grâce au théorème d’Ampère, il est alors facile de calculer le champ magnétique créé parchaque fil. La force par unité de longueur subie par le fil 2 à cause du champ B1 vaut

dF I dl B I dl B dF

I I

du

1 2 2 1 1 2 2 1

0 1 2122

/ /= ∧ = − ∧ = −

= −µ

πCette force est attractive si les deux courants sont dans le même sens, répulsive sinon.Puisqu’il y a une force magnétique agissant sur des circuits parcourus par un courant, on peut

29

mesurer l’intensité de celui-ci. C’est par la mesure de cette force qu’a été établie la définitionlégale de l’Ampère (A) :L’Ampère est l’intensité de courant passant dans deux fils parallèles, situés à 1 mètre l’unde l’autre, et produisant une attraction réciproque de 2.10-7 Newtons par unité de longueurde fil.

II.2.3- Moment de la force magnétique exercée sur un circuit

Puisqu’un circuit électrique est un solide, il faut utiliser le formalisme de la mécanique dusolide (2ème année de DEUG). On va introduire ici les concepts minimaux requis. Soit un point P quelconque appartenant à un circuit électrique et le point O, le centre d’inertiede ce circuit. Si ce circuit est parcouru par un courant permanent I et plongé dans un champmagnétique B , alors chaque élément de circuit dl dOP= , situé autour de P, subit une forcede Laplace dF Idl B= ∧ . Le moment par rapport à O de la force de Laplace sur l’ensemble ducircuit est alors

Γ = ∧∫OP dFcircuit

Soient trois axes ∆ i , passant par le centre d’inertie O du circuit et engendrés par les vecteurs

unitaires ui . Le moment de la force s’écrit alors Γ Γ==∑ i ii

u1

3

. L’existence d’un moment non

nul se traduit par la mise en rotation du circuit autour d’un ou plusieurs axes ∆ i . Autrementdit, par une modification de la « quantité de rotation » du solide, c’est à dire son momentcinétique. Le moment cinétique du solide par rapport à O est

J OP vdmcircuit

= ∧∫où dm est la masse élémentaire située sur l’élément dOP, et v sa vitesse. Dans tous les cas defigure étudiés dans ce cours, on admettra que le moment cinétique d’un circuit peut se mettresous la forme

J I u Ii ii

i= = [ ]=∑ Ω Ω

1

3

où Ω est le vecteur instantané de rotation et Ii les 3 moments d’inertie du circuit par rapportaux 3 axes ∆ i ([I] est la matrice d’inertie, ici diagonale). Le moment d’inertie par rapport àl’axe ∆ i est défini par

I dm ri i

circuit

= ∫ 2

où ri est la distance d’un point P quelconque du circuit à l’axe ∆ i . La dynamique d’un circuitsoumis à plusieurs moments de forces extérieures est donnée par le théorème du momentcinétique (pour un solide)

d J

dt ext= ∑Γ

Dans le cas d’un circuit tournant autour d’un seul axe Oz, avec une vitesse angulaireΩ Ω= =u uz z

«θ et un moment d’inertie Iz constant, on obtient l’équation simplifiée suivanteIz z

««θ = ∑Γ

30

M

B

Γ

O

I

+

II.2.4- Exemple du dipôle magnétique

Considérons le cas simple d’un dipôle magnétique,c’est à dire d’une spire parcourue par un courant Ipermanent, plongé dans un champ magnétique extérieurB constant (soit dans tout l’espace, soit ayant unevariation spatiale sur une échelle bien plus grande quela taille de la spire).

La force de Laplace s’écrit alors

F Idl B I dl Bspire spire

= ∧ = ∧ =∫ ∫( ) 0

Un champ magnétique constant ne va donc engendrer aucun mouvement de translation de laspire. Le moment de la force de Laplace par rapport au centre d’inertie 0 de la spire s’écrit

Γ = ∧ = ∧ ∧

= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −

= +( ) ⋅ +( ) = +

= −( ) = −( )=

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

OP dF OP IdOP B

I dOP OP B IB OP dOP I dOP OP B

I dx i dy j xB yB IB i ydx IB j xdy

IB j IB i xdy IB j IB i S

ISn

spire spire

spire spire spire

spirex y y

spirex

spire

x yspire

x y

( )

( ) ( ) ( ) 0

∧∧ B n k (où = ,voir calcul du dipôle)c’est à dire

Γ = ∧M B

Malgré une résultante des forces nulle, le champ magnétique exerce un moment qui va avoirtendance à faire tourner la spire sur elle-même, de telle sorte que son moment magnétiquedipolaire M s’aligne dans la direction de B .

Remarques :1. Cette expression n’est valable que dans le cas d’un dipôle.2. On utilise souvent le terme « couple magnétique » pour décrire le moment des forces

magnétiques sur un circuit, ceci pour éviter de confondre avec le moment magnétiquedipolaire.

3. Les matériaux ferromagnétiques sont ceux pour lesquels on peut assimiler leurs atomes àdes dipôles alignés dans le même sens. Mis en présence d’un champ magnétique externe,ils auront tendance à se mettre dans la direction du champ, ce qui va produire unmouvement macroscopique d’ensemble.

31

II.2.5- Complément : force de Laplace et principe d’Action et de Réaction

On va démontrer que le principe d’Action et de Réaction est bien vérifié pour la force deLaplace s’exerçant entre deux circuits C1 et C2 quelconques, parcourus par des courantpermanents I1 et I2 . La force exercée par C1 sur C2 s’écrit

F I dP B I dPI dP u

PP

I IdP

dP u

PPC CC CC1 2 2 2 1 2 2

0 1 1 12

1 22

0 1 22

1 12

1 22

2 12 124 4/ = ∧ = ∧

∧

= ∧∧∫ ∫∫ ∫∫µ

πµ

π

où P1 (resp. P2) est un point quelconque de C1 (resp. C2) et PP PP u1 2 1 2 12= . La force exercéepar C2 sur C1 vaut

F I dP B I dPI dP u

P P

I IdP

dP u

PPC CC CC2 1 1 1 2 1 1

0 2 2 21

2 12

0 1 21

2 12

1 22

1 21 214 4/ = ∧ = ∧

∧

= − ∧∧∫ ∫∫ ∫∫µ

πµ

π

puisque u u21 12= − . Par ailleurs, on a

dP dP u dP dP u u dP dP

dP dP u dP dP u u dP dP

2 1 12 1 2 12 12 2 1

1 2 12 2 1 12 12 1 2

∧ ∧( ) = ⋅( ) − ⋅( )∧ ∧( ) = ⋅( ) − ⋅( )

Il nous suffit donc de calculer le premier terme puisque le second est identique dans les deuxexpressions des forces. Mathématiquement, les expressions

[ ] = [ ]∫∫ ∫∫CC CC21 12

sont effectivement équivalentes si ce qui se trouve dans le crochet (la fonction à intégrer) estsymétrique par rapport aux variables de chacune des deux intégrales. Mais dans celle degauche, le point P1 reste d’abord constant lors de l’intégrale portant sur C2 , tandis que danscelle de droite, c’est le point P2 qui est maintenu constant lors de l’intégration sur C1.Ainsi, on peut écrire

dP dP u

PPdP

dP u

PP

dP dP u

PPdP

dP u

PP

C C

C C

1 2 12

1 22 1

2 12

1 22

2 1 12

1 22 2

1 12

1 22

2 2

1 1

⋅( )= ⋅

⋅

⋅( )= ⋅

⋅

∫ ∫

∫ ∫

Posant r PP= 1 2 et remarquant que dP dPP dP2 1 2 1= + , on obtient

dP u

PP

dr r

r

d r

rC C C

2 12

1 22 3

2

3

2 2 22

0⋅

=⋅

=( )

=∫ ∫ ∫puisque l’on fait un tour complet sur C2 et l’on revient donc au point de départ. Le résultat estévidemment le même pour l’intégrale portant sur C1. En résumé, on obtient

FI I

dPdP u

PP

I Iu dP dP

I Iu dP dP

F

CC CC CC1 2

0 1 22

1 12

1 22

0 1 212 2 1

0 1 212 1 2

2 1

4 4 412 12 21

/

/

= ∧∧

= − ⋅ ⋅( ) = − ⋅ ⋅( )= −

∫∫ ∫∫ ∫∫µπ

µπ

µπ

Ceci achève la démonstration.

32

I

dr

d2S n

dl

III.3- Energie potentielle d’interaction magnétique

III.3.1- Le théorème de Maxwell

Un circuit électrique parcouru par un courant produit un champ magnétique engendrant uneforce de Laplace sur un deuxième circuit, si celui-ci est lui-même parcouru par un courant.Chaque circuit agit sur l’autre, ce qui signifie qu’il y a une énergie d’origine magnétique miseen jeu lors de cette interaction. D’une façon générale, un circuit parcouru par un courantpermanent placé dans un champ magnétique ambiant possède une énergie potentielled’interaction magnétique.

Pour la calculer, il suffit d’évaluer le travail de la force de Laplace lors d’un déplacementvirtuel de ce circuit (méthode des travaux virtuels, comme en électrostatique).

Considérons un élément dl d’un circuit filiforme,orienté dans la direction du courant I. Cet élémentsubit une force de Laplace dF . Pour déplacer lecircuit d’une quantité dr , cette force doit fournir untravail

d W dF dr

I dl B dr

I dr dl B

Id Sn B

2

2

= ⋅

= ∧ ⋅

= ∧ ⋅

= ⋅

( )

( )

où d Sn2 est la surface élémentaire décrite lors du déplacement de l’élément de circuit (lestrois vecteurs dr dl n, , forment un trièdre direct). On reconnaît alors l’expression du fluxmagnétique à travers cette surface balayée, appelé flux coupé. Pour l’ensemble du circuit, letravail dû à un déplacement élémentaire dr est

dW d W Id Idccircuitcircuit

c= = =∫∫ 2 2Φ Φ

Théorème de Maxwell :Le déplacement d’un circuit électrique fermé dans un champ magnétique extérieur engendreun travail des forces magnétiques égal au produit du courant traversant le circuit par le fluxcoupé par celui-ci lors de son déplacement.

W I c= Φ

Commentaires sur la notion de Flux coupéLe nom de flux coupé provient de notre représentation du champ magnétique sous forme delignes de champ. Lors du déplacement du circuit, celui-ci va en effet passer à travers ceslignes, donc les « couper ».La notion de flux coupé est très importante car elle permet parfois considérablement desimplifier les calculs. Par ailleurs, dans le cas d’un champ magnétique constant dans le temps,

33

nous allons démontrer que le flux coupé par le circuit Φc lors de son déplacement estexactement égal à la variation du flux total ∆Φ .

d2Sf

d2Si

d2Sd

Position initialedu circuit

Position finaledu circuit

Soit un circuit C orienté, parcouru par un courant I et déplacé dans un champ magnétiqueextérieur. Ce circuit définit à tout instant une surface S s’appuyant sur C. Lors dudéplacement de sa position initiale vers sa position finale, une surface fermée ∑ = + +S S Si f d

est ainsi décrite, où Sd est la surface balayée lors du déplacement. On choisit d’orienter lesnormales à chaque surface vers l’extérieur. La conservation du flux magnétique impose alors

Φ Φ Φ Φ∑ = + + =S S Si f d0

c’est à direΦ Φ ΦS S Sd i f

= − −

Si on réoriente les normales par référence au courant, on a Φ ΦS Sf f→ , Φ ΦS Si i

→ − et

Φ ΦS Sd d→ ± . Autant il est possible de définir correctement et en toute généralité le signe des

flux totaux, celui du flux à travers la surface balayée, autrement dit, le flux coupé, dépend dechaque situation. Cependant, on a donc bien

Φ ∆Φc =

qui est vérifié algébriquement. Ne pas oublier que ce raisonnement n’est valable que pour unchamp magnétique extérieur statique (pas de variation temporelle du champ au cours dudéplacement du circuit).

III.3.2- Energie potentielle d’interaction magnétique

Considérons un circuit électrique parcouru par un courant permanent I et placé dans un champmagnétique statique. Le circuit est donc soumis à la force de Laplace : cela signifie qu’il estsusceptible de se déplacer et donc de développer une vitesse. On pourra calculer cette vitesseen appliquant, par exemple, le théorème de l’énergie cinétique ∆ ∆ΦE W Ic = = . Mais d’oùprovient cette énergie ?Si l’on en croit le principe de conservation de l’énergie, cela signifie que le circuit possède unréservoir d’énergie potentielle Wm , lié à la présence du champ magnétique extérieur.L’ énergie mécanique du circuit étant E E Wc m= + , on obtient dW dWm = − .L’énergie potentielle magnétique d’un circuit parcouru par un courant permanent I et placédans une champ magnétique extérieur est donc

W Im = − Φ + Constante

34

∆i

O

I

ui

dαi

r

dr

La valeur de la constante, comme pour toute énergie potentielle d’interaction, est souventchoisie arbitrairement nulle à l’infini.

III.3.3- Expressions générales de la force et du couple magnétiques

L’existence d’une énergie potentielle se traduit par une action possible (reconversion de cette

énergie). Ainsi, la résultante F dFcircuit

= ∫ des forces magnétiques exercées sur le circuit est

donnée par

dWW

xdx dW F dr Fdxm

m

iii i i

i

= = − = − ⋅ = −= =∑ ∑

∂∂1

3

1

3

où les dxi mesurent les déplacements (translations) dans les trois directions de l’espace parrapport au centre d’inertie du circuit (là où s’applique la force magnétique). On obtient ainsil’expression générale de la force de Laplace agissant sur un circuit parcouru par un courantpermanent, c’est à dire

FW

xim

i

= −∂∂

ou, sous forme vectorielleF W Im= − = grad grad Φ

Remarques :1. La force totale (s’exerçant donc sur le centre d’inertie du circuit) a tendance à pousser le

circuit vers les régions où le flux sera maximal.2. Cette expression est valable uniquement pour des courants permanents. Noter qu’elle

s’applique néanmoins pour des circuits déformés et donc pour lesquels il y aura aussi unemodification du flux sans réel déplacement du circuit.

On peut faire le même raisonnement dans le cas d’un mouvement de rotation pure du circuit.Prenons le cas général de rotations d’angles infinitésimaux d iα autour de trois axes ∆ i ,

passant par le centre d’inertie O du circuit et engendrés par les vecteurs unitaires ui .

Soit le vecteur r OP r u= = reliant un point Pquelconque d’un circuit et le point O. La vitesse dupoint P s’écrit en toute généralité (voir cours demécanique)

dr

dt

dr

dtu r= + ∧Ω

où le premier terme correspond à une translation pureet le second à une rotation pure, décrite par le vecteur

instantané de rotation Ω

«

«

«

α

α

α

α1

2

31

3

==

∑ d

dtui

ii .

L’expression générale du moment de la force magnétique par rapport à O est Γ Γ==∑ i ii

u1

3

.

35

Le travail dû à la force de Laplace lors d’une rotation pure ( r OP= reste constant) s’écrit

dW dF dr dF d u r

d u r dF d u

Id

I d

circuit circuit

i ii

i ii circuit

i ii

iii

= ⋅ = ⋅ ∧

= ⋅ ∧

= ⋅

=

=

∫ ∫ ∑

∑ ∫ ∑

∑

=

= =

=

α

α α

∂∂α

α

1

3

1

3

1

3

1

3

Γ

Φ

Φ

d’où

ΓΦ

ii

I=∂∂α

Autrement dit, le moment de la force magnétique par rapport à un axe ∆ i passant par le centred’inertie O du circuit, dépend de la variation de flux lors d’une rotation du circuit autour decet axe.

Exemple : Le dipôleEn supposant que le champ magnétique extérieur est constant à l’échelle d’un dipôle demoment magnétique dipolaire M = ISn, on obtient un flux Φ = ⋅B Sn .La force magnétique totale s’écrit alors

F I ISn B= = ∇ ⋅( ) grad Φ

c’est à dire

F B= ⋅( ) grad M

Le moment de la force magnétique (couple magnétique) s’écrit

ΓΦ

ii i i i

I I B nS BISn

BM

= = ⋅( ) = ⋅

= ⋅

∂∂α

∂∂α

∂∂α

∂∂α

Or, le moment magnétique dipolaire varie de la façon suivante lors d’une rotation

dM d u MM

di ii ii

i= ∧ == =

∑ ∑α∂∂α

α1

3

1

3

et on obtient donc

Γi i iB u M M B u= ⋅ ∧( ) = ∧( ) ⋅

c’est à dire l’expression vectorielle

Γ = ∧M B

Remarquer que ce calcul est bien plus facile que le calcul direct effectué à la section II.2.4.

36

III.3.4- La règle du flux maximum

Un solide est dans une position d’équilibre stable si les forces et les moments auxquels il estsoumis tendent à le ramener vers cette position s’il en est écarté. D’après le théorème deMaxwell on a

dW Id I F drf i= = − = ⋅Φ Φ Φ( )

Si la position est stable, cela signifie que l’opérateur doit fournir un travail, autrement dit undéplacement dr dans le sens contraire de la force (qui sera une force de rappel), donc dW < 0ou Φ Φf i< .

Un circuit tend toujours à se placer dans des conditions d’équilibre stable, où le flux duchamp est maximum.

Cette règle est très utile pour se forger une intuition des actions magnétiques.

37

Chapitre IV- Induction électromagnétique

IV.1- Les lois de l’induction

IV.1.1- L’approche de Faraday

Jusqu’à maintenant, nous nous sommes intéressés essentiellement à la création d’un champmagnétique à partir d’un courant permanent. Ceci fut motivé par l’expérience de Oersted. A lamême époque, le physicien anglais Faraday était préoccupé par la question inverse : puisqueces deux phénomènes sont liés, comment produire un courant à partir d’un champmagnétique ?Il fit un certain nombre d’expériences qui échouèrent car il essayait de produire un courantpermanent. En fait, il s’aperçut bien de certains effets troublants, mais ils étaient toujourstransitoires.

Exemple d’expérience : on enroule sur un même cylindre deux fils électriques. L’un est relié àune pile et possède un interrupteur, l’autre est seulement relié à un galvanomètre, permettantainsi de mesurer tout courant qui serait engendré dans ce second circuit. En effet, Faradaysavait que lorsqu’un courant permanent circule dans le premier circuit, un champ magnétiqueserait engendré et il s’attendait donc à voir apparaître un courant dans le deuxième circuit. Enfait rien de tel n’était observé : lorsque l’interrupteur était fermé ou ouvert, rien ne se passait.Par contre, lors de son ouverture ou de sa fermeture, une déviation fugace de l’aiguille dugalvanomètre pouvait être observée (cela n’a pas été perçu immédiatement). Une telledéviation pouvait également s’observer lorsque, un courant circulant dans le premier circuit,on déplaçait le deuxième circuit.

Autre expérience : prenons un aimant permanent et plaçons le à proximité d’une boucleconstituée d’un fil conducteur relié à un galvanomètre. Lorsque l’aimant est immobile, il n’y apas de courant mesurable dans le fil. Par contre, lorsqu’on déplace l’aimant, on voit apparaîtreun courant dont le signe varie selon qu’on approche ou qu’on éloigne l’aimant. De plus, cecourant est d’autant plus important que le déplacement est rapide.

Ces deux types d’expériences ont amené Faraday à écrire ceci : « Quand le flux du champmagnétique à travers un circuit fermé change, il apparaît un courant électrique. »

Dans les deux expériences, si on change la résistance R du circuit, alors le courant Iapparaissant est également modifié, de telle sorte que e=RI reste constant. Tous les faitsexpérimentaux mis en évidence par Faraday peuvent alors se résumer ainsi :

Loi de Faraday : la variation temporelle du flux magnétique à travers un circuit fermé yengendre une fém induite

ed

dt= −

Φ (expression 1)

L’induction électromagnétique est donc un phénomène qui dépend intrinsèquement du tempset, au sens strict, sort du cadre de la magnétostatique (étude des phénomènes magnétiques

38

stationnaires). Nous allons toutefois l’étudier, l’induction étant l’équivalent magnétique del’influence électrostatique.

IV.1.2- La loi de Faraday

Posons-nous la question de Faraday. Comment crée-t-on un courant ?Un courant est un déplacement de charges dans un matériau conducteur. Ces charges sontmises en mouvement grâce une différence de potentiel (ddp) qui est maintenue par une forceélectromotrice ou fém (elle s’exprime donc en Volts). Une pile, en convertissant son énergiechimique pendant un instant dt, fournit donc une puissance P (travail W par unité de temps)modifiant l’énergie cinétique des dQ porteurs de charge et produisant ainsi un courant I.

Soit Pq la puissance nécessaire pour communiquer une vitesse v à une particule de charge q.

Sachant que dans un conducteur il y a n porteurs de charge par unité de volume, la puissancetotale P que doit fournir le générateur (par ex une pile) est

P nP dV dl nP dS dl nF v dS

nqv dSF dl

q

F dl

qj dS

IF dl

qIe

qV

qtioncircuit tioncircuit

tioncircuit circuit tion

circuit

= = = ⋅

= ⋅( ) ⋅=

⋅⋅( )

=⋅

=

∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫ ∫ ∫∫

∫

sec sec

sec sec

On pose donc que la fém d’un circuit est

eP

I

F

qdl

circuit

= = ⋅∫

où F est la force qui s’exerce sur les charges mobiles q. Or, la force de Coulomb estincapable de produire une fém, puisque la circulation du champ électrostatique (donc letravail) est nulle sur un circuit fermé,

e E dl V A V As

circuit

= ⋅ = − =∫ ( ) ( ) 0

Pour créer un courant continu dans un circuit fermé, il faut donc un champ électromoteur dontla circulation le long du circuit ne soit pas nulle. L’expérience de Faraday montre donc quec’est l’existence d’un champ magnétique qui permet l’apparition d’un courant. Cela signifieque la force de Lorentz doit être responsable de l’apparition d’une fém, c’est à dire

e E v B dlcircuit

= + ∧( ) ⋅∫ (expression 2)

Reprenons maintenant l’expérience qui consiste à déplacer un circuit fermé avec une vitesse vdans un champ magnétique B et un champ électrique Es statiques. Que se passe-t-il pendantun instant dt ?

39

dr= v dt

dr

d2S n

dl

La force de Lorentz (due à ce mouvement d’ensemble) agissant surchaque particule q du conducteur s’écrit F q E v Bs= + ∧( ) ,

fournissant ainsi une fém

e E v B dldt

vdt dl B

dtd Sn B

s

circuit circuit

circuit

= + ∧( ) ⋅ = − ∧( ) ⋅

= − ⋅

∫ ∫

∫

1

1 2

où d Sn2 est la surface orientée élémentaire, décrite lors dudéplacement vdt du circuit. On reconnaît alors l’expression du fluxcoupé à travers cette surface élémentaire. On a donc

edt

dd

dt

d

dtcircuit

cc= − = − = −∫

1 2ΦΦ Φ

puisque la variation du flux coupé est égale à celle du flux total à travers le circuit(conservation du flux magnétique, cf théorème de Maxwell).Attention au sens de dl : il doit être cohérent avec d dcΦ Φ= .

Nous venons de démontrer la loi de Faraday dans le cas d’un circuit rigide, déplacé dans unchamp électromagnétique statique. Nous avons vu apparaître naturellement l’expression duflux coupé. En fait, la seule chose qui compte, c’est l’existence d’un mouvement d’ensembledu tout ou d’une partie du circuit (revoir démonstration pour s’en convaincre). Ainsi,l’expression de la fém induite

ed

dtc= −

Φ(expression 3)

reste valable pour un circuit déformé et/ou déplacé dans un champ magnétique statique. Cettedémonstration s’est faite à partir de la force de Lorentz et est donc a priori indépendante duréférentiel choisi.

Première difficulté Prenons l’expérience de la roue de Barlow. L’appareil consiste en un disque métalliquemobile autour d’un axe fixe, plongeant dans un champ magnétique et touchant par son bordextérieur une cuve de mercure. Un circuit électrique est ainsi établi entre la cuve et l’axe et onferme ce circuit sur un galvanomètre permettant de mesurer tout courant. Lorsqu’on faittourner le disque, un courant électrique est bien détecté, en cohérence avec la formule ci-dessus. Cependant, il n’y a pas de variation du flux total à travers la roue ! Ce résultat

expérimental semble donc contradictoire avec ed

dt= −

Φ !

Comment comprendre cela ? Même si, globalement, il n’y a pas de variation du flux total, iln’en reste pas moins que les charges du disque conducteur se déplacent dans un champmagnétique. On pourrait donc faire fi de l’égalité d dcΦ Φ= et utiliser l’expression 3 etcalculer ainsi une fém non nulle.Cependant, la cause physique fondamentale de son existence réside dans l’expression 2. Ilfaut donc utiliser les expressions 1 et 3 uniquement comme des moyens parfois habiles decalculer cette fém.

40

Deuxième difficultéSi on se place maintenant dans le référentiel du circuit rigide, on verra un champ magnétiquevariable (c’est le cas, par ex, lorsqu’on approche un aimant d’un circuit immobile). Dans cecas, le flux coupé est nul et on devrait donc avoir une fém nulle, ce qui n’est pas le cas d’aprèsl’expérience de Faraday. Ce résultat expérimental semble cette fois-ci en contradiction avec

ed

dtc= −

Φ !

Résolution de ce paradoxePuisque, dans ce dernier cas, le champ magnétique dépend du temps, il n’y a plus de liendirect entre le flux coupé et le flux total à travers le circuit. Si on revient à l’expression 2, onvoit que dans le référentiel du circuit la force « magnétique » est nulle et il ne reste plus que leterme « électrique ». Or, nous avons déjà vu que ce champ électrique n’est pas simplementconstitué d’un champ électrostatique. Si on rassemble ce que nous dit d’un coté la théorie etde l’autre l’expérience, on obtient

ed

dt

E dlm

circuit

= −

= ⋅∫

Φ (expérience de Faraday)

(notre théorie)

c’est à dired

dt

d

dtB dS

B

tdS E dl

circuit circuit

m

circuit

Φ= ⋅ = ⋅ = − ⋅∫∫ ∫∫ ∫

∂∂

Autrement dit, la seule façon de concilier notre théorie avec l’expérience, c’est d’admettrequ’une variation temporelle du champ magnétique engendre un champ électrique.Nous avons ici un nouvel effet physique, totalement indépendant de tout ce que nous avons vujusqu’à présent : l’induction est un phénomène électromagnétique.

Résumé/BilanQue se passe-t-il si on déplace un circuit (rigide ou non) dans un champ magnétique variable ?Quelle expression faut-il utiliser ? En fait, il faut revenir à la force de Lorentz dans le casgénéral de champs variables. On aura alors une fém induite

e E v B dl E dld

dt

d

dt

B

tdS

d

dt

circuit

m

circuit

c

circuit

c

= + ∧( ) ⋅ = ⋅ −

= − = − ⋅ −

∫ ∫

∫∫

Φ

Φ Φ∂∂

Le premier terme décrit la circulation non nulle d’un champ électromoteur, associé à lavariation temporelle du champ magnétique, tandis que le deuxième terme décrit la présenced’un flux coupé dû au déplacement du circuit et/ou à sa déformation.

Remarque importante :Dans le calcul ci-dessus, nous n’avons pris en compte que la vitesse communiquée au circuitet non la vitesse totale des particules. En effet, s’il existe un courant, cela signifie que lesparticules chargées se déplacent à l’intérieur du circuit. En fait, la force magnétique associée à

41

cette composante de la vitesse est, en régime quasi-statique, exactement compensée par lechamp électrostatique de Hall.

IV.1.3- La loi de Lenz

Enoncé : l’induction produit des effets qui s’opposent aux causes qui lui ont donnénaissance.Cette loi est, comme la règle du flux maximum, déjà contenue dans les équations et doncn’apporte rien de plus, hormis une intuition des phénomènes physiques. En l’occurrence, laloi de Lenz n’est que l’expression du signe « – » contenu dans la loi de Faraday.

Exemple : si on approche un circuit du pôle nord d’un aimant, le flux augmente et donc la féminduite est négative. Le courant induit sera alors négatif et produira lui-même un champmagnétique induit opposé à celui de l’aimant. Deux conséquences :1. L’augmentation du flux à travers le circuit est amoindrie.2 . Il apparaît une force de Laplace F I= grad Φ négative, s’opposant à l’approche de

l’aimant.Ce signe « – » dans la loi de Faraday (la loi de Lenz) décrit le fait que dans des conditionsnormales, il n’y a pas d’emballement possible (ex, courant ne faisant qu’augmenter).

Remarque sur la convention de signeLa détermination du sens du courant induit se fait de la façon suivante :1. On se choisit arbitrairement un sens de circulation le long du circuit.2. Ce sens définit, grâce à la règle du bonhomme d’Ampère, une normale au circuit.3. Le signe du flux est alors déterminé en faisant le produit scalaire du champ magnétique

par cette normale.4. En utilisant ensuite la loi de Faraday, on obtient la valeur et le signe de la fém.5. Enfin, le courant est obtenu à partir de la loi d’Ohm (son signe peut aussi être directement

connu en utilisant la loi de Lenz).

IV.2- Induction mutuelle et auto-induction

IV.2.1- Induction mutuelle entre deux circuits fermés

Soient deux circuits fermés, orientés, traversés par des courants I1 et I2 .

dS1

dS2

I2

I1

42

Le premier crée un champ magnétique B1 dont on peut calculer le flux Φ12 à travers ledeuxième circuit,

Φ12 1 20

3 2 1

2 124

= ⋅ =µ

π∧

⋅

∫∫ ∫∫∫B dS

dl PM

PMdS I

S CS

où P est un point quelconque du circuit C1 (l’élément de longueur valant dl dOP= ) et M unpoint quelconque de la surface délimitée par C2 , à travers laquelle le flux est calculé. Demême, on a pour le flux créé par le circuit C2 sur le circuit C1

Φ21 2 10

3 1 2

1 214

= ⋅ =µ

π∧

⋅

∫∫ ∫∫∫B dS

dl PM

PMdS I

S CS

où P est cette fois-ci un point du circuit C2 et M un point de la surface délimitée par C1, àtravers laquelle le flux est calculé. Les termes entre crochets dépendent de la distance entre lesdeux circuits et de facteurs uniquement géométriques liés à la forme de chaque circuit.Comme, dans le cas général, ils sont difficiles voire impossible à calculer, il est commode deposer

Φ

Φ12 12 1

21 21 2

=

=

M I

M I

Le signe des coefficients dépend de l’orientation respective des circuits et suit la mêmelogique que pour le courant induit. D’après les choix pris pour le sens de circulation le long dechaque circuit (voir figure), les flux sont négatifs pour des courants I1 et I2 positifs. Donc lescoefficients sont négatifs.

Théorème : Le coefficient d’induction mutuelle ou inductance mutuelle (unités : Henry, H)

M M M= =12 21

Il met en jeu une énergie potentielle d’interaction magnétique entre les deux circuits

W MI Im = − 1 2 + Constante

Il nous faut démontrer que les inductances sont bien les mêmes pour chaque circuit. La raisonprofonde réside dans le fait qu’ils sont en interaction, donc possèdent chacun la même énergiepotentielle d’interaction. Si on déplace C2 , il faut fournir un travail

dW I d I I dM2 2 12 1 2 12= =ΦMais ce faisant, on engendre une variation du flux à travers C1 et donc un travail

dW I d I I dM1 1 21 2 1 21= =ΦPuisqu’ils partagent la même énergie d’interaction (chaque travail correspond au mouvementrelatif de C1 par rapport à C2 ), on a dW dW1 2= et donc

dM dM M M12 21 12 21= ⇒ = + Constante

Cette constante d’intégration doit être nulle puisque, si on éloigne les circuits l’un de l’autre àl’infini, l’interaction tend vers zéro et donc les inductances s’annulent.

43

IV.2.2- Auto-induction

Si on considère un circuit isolé, parcouru par un courant I, on s’aperçoit qu’on peut produirele même raisonnement que ci-dessus. En effet, le courant I engendre un champ magnétiquedans tout l’espace et il existe donc un flux de ce champ à travers le circuit lui-même,

Φ = ⋅ =µ

π∧

⋅

∫∫ ∫∫∫B dS

dl PM

PMdS I

S CS

034

qu’on peut simplement écrire

Φ = LI

où L est le coefficient d’auto-induction ou auto-inductance (ou self), exprimé en Henry. Il nedépend que des propriétés géométriques du circuit et est nécessairement positif (alors que lesigne de l’inductance mutuelle dépend de l’orientation d’un circuit par rapport à l’autre).

IV.3- Régimes variables

IV.3.1- Définition du régime quasi-statique

Avec les lois que nous avons énoncé jusqu’à présent, nous sommes en mesure d’étudiercertains régimes variables. En effet, tous les raisonnements basés sur la notion d’un champ(électrique ou magnétique) constant au cours du temps peuvent aisément être appliqués à dessystèmes physiques variables (champs dépendant du temps), pourvu que cette variabilités’effectue sur des échelles de temps longues par rapport au temps caractéristique d’ajustementdu champ. Voici tout de suite un exemple concret.

La plupart des lois de la magnétostatique supposent un courant permanent, c’est à dire lemême dans le tout le circuit. Lorsqu’on ferme un interrupteur, un signal électromagnétique sepropage dans tout le circuit et c’est ainsi que peut s’établir un courant permanent : cela prendun temps de l’ordre de l/c, où l est la taille du circuit et c la vitesse de la lumière. Si l’on amaintenant un générateur de tension sinusoïdale de période T, alors on pourra malgré toututiliser les relations déduites de la magnétostatique si

T >> l/cAinsi, bien que le courant soit variable, la création d’un champ magnétique obéira à la loi deBiot et Savart tant que le critère ci-dessus reste satisfait. Ce type de régime variable estégalement appelé régime quasi-statique.

IV.3.2- Forces électromotrices (fém) induites

Considérons tout d’abord le cas d’un circuit isolé rigide (non déformable). Nous avons vuqu’une fém induite apparaissait dès lors que le flux variait. D’après la loi de Faraday etl’expression ci-dessus, cette fém vaudra

e LdI

dt= −

(L étant constant pour un circuit rigide). En régime variable, si le courant diminue, on verradonc apparaître une fém positive engendrant un courant induit qui va s’opposer à la

44

décroissance du courant dans le circuit. La self d’un circuit tend donc à atténuer les variationsde courant.

Dans les schémas électriques la self est symbolisée par une bobine. C’est en effet la façon laplus commode de produire une self : plus le nombre de spires est élevé et plus grande seral’auto-inductance L (le cylindre sur lequel on fait l’enroulement est d’ailleurs constitué de ferdoux, matériau ferromagnétique, pour amplifier le champ, donc L). Ceci se comprendaisément. La fém s’écrit en effet

e E v B dl N E v B dlcircuit spire

= + ∧( ) ⋅ = + ∧( ) ⋅∫ ∫ce qui d’ailleurs justifie la règle

Φ Φcircuit spireN=

Si l’on considère maintenant deux circuits couplés C1 et C2 , alors l’expression des flux totauxà travers ces circuits s’écrit

Φ Φ Φ

Φ Φ Φ1 11 21 1 1 2

2 22 12 2 2 1

= + = +

= + = +

L I MI

L I MI

On aura donc en régime variable des fém induites dans chaque circuit

e LdI

dtM

dI

dt

e MdI

dtL

dI

dt

1 11 2

21

22

= − −

= − −

Ceci peut avoir des conséquences importantes (parfois désastreuses), comme l’apparitionsoudaine d’un courant dans un circuit fermé non alimenté. En effet, supposons que I2 soit nulà un instant et qu’il y ait à ce moment là une variation de courant I1. L’induction mutuelle vaalors engendrer un courant I2 induit, qui va à son tour modifier I1.

IV.3.3- Retour sur l’énergie magnétique

Dans le Chapitre III, nous avons vu que l’énergie magnétique d’un circuit parcouru par uncourant permanent I placé dans un champ magnétique extérieur B s’écrit W Im = − Φ. Or, untel circuit produit un flux Φ = LI à travers lui-même, ce qui semblerait impliquer une énergiemagnétique… négative. Etrange. D’autant plus que nous avions interprété cette énergiecomme une énergie potentielle d’interaction entre le circuit et le champ extérieur. Peut-onparler d’énergie d’interaction du circuit avec lui-même ? Manifestement, cela n’a pas de sens.

Il nous faut raisonner autrement. Tout effet a nécessité un travail (hélas) et est donc porteurd’énergie. Un conducteur portant une charge électrique Q possède une énergie électrostatique

WQ

Ce =2

2où C est la capacité du conducteur. Cette énergie est stockée dans (portée par) le champélectrostatique. Nous avons calculé cette énergie en évaluant le travail fourni pour constituerce réservoir de charges. Il nous faut faire un raisonnement similaire ici.

45

S’il existe un courant I, c’est qu’un générateur a fourni une puissance P ei= pendant uncertain temps. Cela signifie que le circuit (décrit par une self L) a reçu une puissance

P ei Lidi

dt

d

dt

Lim = − = =

2

2puisque celui-ci crée un champ magnétique (on néglige ici toute dissipation). Partant d’uncourant nul à t=0, on obtient après un temps t un courant I et une énergie emmagasinée

W P dt LIm m

t

= =∫0

212

Cette énergie est stockée dans le champ magnétique qui est créé par un courant d’amplitude I,circulant dans un circuit de self L. Le facteur 1/2 provient de l’action du circuit sur lui-même.Si l’on prend en compte la dissipation (voir plus bas), on obtient que l’énergie nécessaire à lacréation d’un courant I (ou la génération du champ B associé) doit être supérieure.

Si l’on place maintenant ce circuit dans un champ magnétique extérieur Bext , l’énergiemagnétique totale sera

W LI Im ext= −12

2 Φ

où l’on a supposé implicitement que l’existence du circuit ne perturbe pas la source du champBext (celui-ci n’est pas affecté par des variations éventuelles du courant circulant dans lecircuit). En général, de tels cas correspondent à une énergie d’interaction dominante surl’énergie emmagasinée.

Prenons maintenant le cas de deux circuits en interaction. Chacun est parcouru par un courantpermanent et engendre ainsi un champ magnétique. L’énergie magnétique totale emmagasinéeest alors

W e I dt e I dt

L IdI

dtMI

dI

dtdt L I

dI

dtMI

dI

dtdt

L I L I MI I

m

t t

t t

= − −

= +

+ +

= +( ) +

∫ ∫

∫ ∫

1 10

1 10

1 11

12

02 2

22

1

0

1 12

2 22

1 2

12

On voit donc que W W Wm ≠ +1 2 : il y a un troisième terme, correspondant à l’interaction entreles deux circuits.

IV.3.4- Bilan énergétique d’un circuit électrique

D’après la relation établie en électrocinétique, la tension entre deux points A et B d’un circuitvaut

V V RI eA B− = −

où e est la fém située entre A et B, R la résistance totale et le courant I circulant de A vers B.Etant parcouru par un courant, ce circuit (ou cette branche du circuit) va engendrer un champ

46

magnétique, donc produire un flux à travers lui-même qui, si le champ varie, va engendrerune fém (loi de Faraday) et on aura alors

V V RI LdI

dtA B− = +

Si le circuit est placé dans un champ magnétique extérieur Bext , le champ total sera la somme

du champ induit et du champ Bext et l’équation sera

V V RI LdI

dt

d

dtA Bext− = + −

Φ

Ainsi, un circuit composé d’un générateur délivrant une tension U, d’une résistance R, d’unebobine de self L et d’un condensateur de capacité C (circuit RLC) aura pour équation

U RI LdI

dt

Q

C= + +

où IdQ

dt= est le courant circulant dans le circuit et Q la charge sur l’une des armatures du

condensateur.La puissance fournie par le générateur se transmet au circuit qui l’utilise alors de la façonsuivante :

P UI

I RI LdI

dt

Q

CRI

d

dtLI

d

dt

Q

C

=

= + +

= +

+

2 2

212

12

c’est à dire

P Pd

dtW WJ m e= + +( )

Une partie de la puissance disponible est donc convertie en chaleur (dissipation par effetJoule), tandis que le reste sert à produire des variations de l’énergie électro-magnétique totaledu circuit.Dans un circuit « libre » (où U=0), on voit que cette énergie totale diminue au cours du temps,entièrement reconvertie en chaleur.

Formulaire de Magnétostatique

Champ magnétostatiqueCréé par une particule en mouvement:

B Mqv PM

PM( ) =

∧µπ0

34

Créé par n charges en mouvement:

B Mq v PM

PMi i i

ii

n

( ) =∧

=∑

µπ0

31 4

Créé par une distribution continue:

B Mj P PM

PMd V( )

( )=

∧∫∫∫

µπ0

33

4

Créé par un circuit filiforme

B MI dl PM

PMcircuit

( ) =∧

∫µ

π0

34

Propriétés fondamentalesFlux conservatif

Φ = ⋅ =∫∫ B dSS

0

Circulation (Th. d'Ampère):

B dl Icontour

⋅ =∫ µ0 int

Dipôle magnétiqueMoment dipolaire magnétique

M ISn=

Couple magnétique sur un dipôleΓ = ∧M B

Force magnétique sur un dipôle

F grad M B= ⋅( )

Actions et énergie magnétiquesSur une particule chargée (force deLorentz)

F q E v B= + ∧( )

Sur un circuit filiforme (force de Laplace)

F I dl Bcircuit

= ∧∫

Force (à partir de l'énergie)F W Im= − =grad grad Φ

Couple (à partir de l'énergie)

Γ Γ ΓΦ

= ==∑ i ii

ii

u I1

3

avec ∂∂α

Théorème de MaxwelldW F dr Id c= ⋅ = Φ

Energie d'interaction magnétiqueW I Cstm = − +Φ

Energie magnétique emmagasinée

W LIm =12

2

InductionLoi de Faraday

ed

dt

B

tdS

d

dt

E v B dl

S

c

circuit

= − = − ⋅ −

= + ∧( ) ⋅

∫∫

∫

Φ Φ∂∂

Coefficient d'induction mutuelle

MI I

= =Φ Φ12

1

21

2

Coefficient d'auto-induction

LI

=Φ