phy2 em v56 magneto

MAGNTOSTATIQUE 4. MAGNTOSTATIQUE La magntostatique est ltude des champs magntiques constants dans le temps. 4.1 LE MAGNTISME NATUREL

Page 53

Les premires observations du magntisme remontent lantiquit. Thals de Milet, notamment, avait remarqu que les morceaux de roche extraits dun gisement proche dune ville appele Magnsia17 possdaient la proprit dattirer des petits dbris de fer. Plus remarquable, en frottant un petit morceau de fer avec de la magntite, on lui confre cette proprit.

Fig. 4.1 Magntite La magntite est trs rpandue dans la nature. On en trouve mme en Suisse (Binntal). Bien avant, au XIe sicle avant notre re, les proprits mystrieuses de cette roche, appele aujourdhui magntite, avaient dj retenu lattention des naturalistes chinois. Ils avaient aussi remarqu quune aiguille aimante avait la proprit de sorienter selon la direction nord-sud. De l linvention de la boussole, qui permet de garder le cap en mer lorsquon est loin de tout repre terrestre. Utilise ensuite par les Arabes, la boussole arrive en Occident au XIe sicle. Laiguille aimante flotte sur un morceau de lige dans un vase deau. Vers 1300, on a lide de la mettre sur un pivot lintrieur dune bote (bussola en italien), munie dun cadran, ce qui rend les mesures plus exactes. Depuis cette poque, on indique par N la partie de laiguille aimante qui pointe vers le nord gographique. N S N S

S

N

N

S

N

S

S

N

Fig. 4.2 Barreaux aimants Les ples contraires sattirent ; les ples semblables se repoussent.17

Aujourdhui Manisa, ouest de la Turquie actuelle.

MAGNTOSTATIQUE

Page 54

S

N S N

Fig. 4.3 Le ple nord de la boussole pointe vers le pole sud dun barreau aimant. Le ple nord gographique est donc un ple sud magntique. La Terre se comporte comme un gigantesque aimant, dont laxe concide approximativement avec son axe de rotation. Le magntisme est vraisemblablement d la rotation de la partie liquide du noyau de la Terre, entre 2900 et 5200 km de profondeur, qui est compos surtout de fer. Les mouvements de convection du magma jouent certainement un rle dans lautoamorage du processus, mais le phnomne est encore mal compris. Le champ magntique terrestre nest pas constant dans le temps. Au cours des 5 derniers millions dannes, il a mme chang une douzaine de fois de sens, la dernire fois il y a 780000 ans, comme le montre lanalyse des sdiments de roche.

S

N

Fig. 4.4 Mise en vidence les lignes de champ magntique autour dun aimant En tout point autour dun aimant, la tangente la ligne de champ passant par ce point a la mme direction que celle dune petite aiguille aimante place en ce point. grande distance du barreau, le champ magntique terrestre reprend le dessus. On constate que les lignes de champ se referment toujours sur elles-mmes.

MAGNTOSTATIQUE 4.2 TROIS EXPRIENCES CLBRES

Page 55

4.2.1 Exprience dOersted En tudiant les effets du courant lectrique dans un fil, Oersted18 a remarqu que le passage du courant influenait lorientation dune boussole place proximit.

I

+

_ Pile

Fig. 4.5 Schma de lexprience dOersted (1820) Oersted tudia ensuite systmatiquement ce phnomne : lorsque lon inverse le sens du courant, laiguille soriente dans lautre sens ; lorsquon coupe le courant, laiguille indique nouveau le nord gographique. Historiquement, cette exprience marque le dbut de llectromagntisme. 4.2.2 Exprience dAmpre Deux courants parallles sattirent, deux courants circulant en sens inverse se repoussent.

I

+

I

_ Pile

Fig. 4.6 Schma de lexprience dAmpre (fin 1820)18

Hans Christian Oersted, physicien danois, 1777 1851, fondateur de lUniversit technique du Danemark.

MAGNTOSTATIQUE 4.2.3 Exprience de la rotation magntique de Faraday

Page 56

Plac prs dun barreau aimant, un fil parcouru par un courant lectrique est le sige dune force.

Fig. 4.7 Schma19 de lexprience de Faraday (1821) Les rcipients contiennent du mercure. A droite, le barreau aimant est fixe. Une tige mtallique libre de pivoter autour de son point de suspension touche le mercure. Lorsquun courant parcourt la tige, celle-ci sanime dun mouvement de rotation. A gauche, la tige est fixe, mais le barreau aimant est libre de tourner. Cette exprience20 constitue le premier moteur lectrique. On pourrait encore citer dautres expriences, telles que la roue de Barlow. Mais la question traiter maintenant est comment les interprter. Comme dans le cas des forces lectriques, lapproche la plus efficace est dintroduire un champ pour rendre compte mathmatiquement de laction distance. Ainsi la rsolution dun problme de magntostatique se fait en deux tapes : 1) partir de la distribution des courants pour calculer le champ magntique, (Loi de Biot et Savart) ; 2) calculer les forces ressenties par les courants plongs dans le champ magntique, (Loi de Laplace).

19 20

Experimental Researches in Electricity, vol. 2, Michael Faraday, 1844. Image numrique Wikimedia. Il existe une autre exprience portant le mme nom, mais il sagit de la rotation de la direction de polarisation dune onde lumineuse lorsquelle traverse un dilectrique soumis un champ magntique. Dcouvert par Faraday en 1845, cet effet est la premire preuve exprimentale du lien entre le magntisme et la lumire.

MAGNTOSTATIQUE 4.3 LE CHAMP MAGNTIQUE

Page 57

4.3.1 Forme des lignes de champ La forme des lignes de champ va naturellement reflter celle des courants. Prenons par exemple un conducteur rectiligne assez long et parcouru par un fort courant. En approchant une petite aiguille aimante, on constate que les lignes de champ sont des cercles centrs sur le conducteur. I

I

Fig. 4.8 Conducteur rectiligne

Fig. 4.9 Spire

Fig. 4.10 Barres conductrices (Vue en coupe, les courants sont perpendiculaires la feuille.) (Complter avec les flches indiquant le sens du champ.)

MAGNTOSTATIQUE 4.3.2 Force sur un lment de courant Loi de Laplace

Page 58

Si lon veut calculer la force magntique agissant globalement sur un conducteur parcouru par un courant, il faut le dcouper par la pense en petits tronons et sommer les forces lmentaires. On est donc amen introduire la notion dlment de courant.r Id l

dl

Fig. 4.11 lment de courant Lorsquun lment de courant est plong dans un champ magntique, lexprience montre quil subit une force perpendiculaire la fois la ligne de champ et llment de courant. De plus, cette force est : proportionnelle au courant ; proportionnelle lintensit du champ ; proportionnelle au sinus de langle entre llment de courant et le champ. Formul mathmatiquement, ceci constitue la loi de Laplace21. Loi de Laplacer r r dF = Id l B

[N]r Id l

(4.1)

r B

r dF

Ligne de champ

Fig. 4.12 Force sur un lment de courant

r B est appel champ dinduction magntique. Lunit est le tesla, abrg T.Exprim en units fondamentales: Exprim en volt (1 V = 1 J/C) : 1 T = 1 N/(Am) = 1 kg(m/s2)/(Am) = 1 kg/(As2) 1 T = 1 Nm/(Am2) = 1 AsV/(Am2) = 1 Vs/m2

21

Pierre Simon, marquis de Laplace, 1749 1827, physicien et mathmaticien franais.

MAGNTOSTATIQUE

Page 59

4.3.2.1 Application de la loi de Laplace: le galvanomtre cadre mobile

cadre avec N spires noyau de fer doux N S champ magntique radial ressort de rappel

Fig. 4.13 Schma du galvanomtre Ce dispositif permet de mesurer de faibles courants et constitue llment sensible des voltmtres et ampremtres analogiques. On cre un champ magntique radial entre les deux ples dun aimant permanent et un noyau de fer doux. Parcourues par le courant mesurer, les spires portes par le cadre coaxial subissent donc une force constante quel que soit langle de rotation puisque le champ est toujours perpendiculaire au courant. Seuls les cts du cadre parallles laxe subissent une force utile. Le cadre est reli un ressort de rappel qui fournit un couple proportionnel langle rotation. Nous allons dmontrer que langle de rotation du cadre est proportionnel au courant. Les paramtres sont les suivants : B le module du champ radial ; N le nombre de spires ; b la longueur du cadre (parallle laxe de rotation) ; a la largeur du cadre ; I le courant dans les spires ; langle de rotation du cadre par rapport sa position de repos ; k la constante du ressort [Nm/rad] ; Cr le module du couple de rappel, Cr = k

MAGNTOSTATIQUE Vu en coupe, les forces sur le cadre se prsentent comme dessin ci-dessous.

Page 60

r

NI

r B r F

r F

r Couple C

a = largeur du cadre NI

r B

Fig. 4.14 Forces sur le cadre du galvanomtre Selon la loi de Laplace, le module de la force vaut : F = ( NIb) B . Le cadre est donc soumis un couple dont le module vaut C = aF = aNIbB . Ce couple est compens par le couple de rappel du ressort. Donc : aNIbB k = 0

abNB I k Ce qui montre que la dviation angulaire est proportionnelle au courant.On en tire : = Les courants mesurs au moyen dun galvanomtre sont en gnral de lordre du A. Pour mesurer des intensits plus leves, on met une rsistance (shunt) en parallle. Cette rsistance doit tre plus petite que la rsistance interne du galvanomtre Ri . Pour obtenir un voltmtre, met en srie une rsistance plus grande que Ri .

Im

I I RsG

Ri

UG

Rv

U = (Rv + Ri )I Rv >> Ri

R I m = i + 1 I R s

RiG Galvanomtre

Rs 0 . Compte tenu du sens r r S choisi pour calculer le flux, le courant induit doit tre compt positivement sil laisse S r gauche. Sur la figure, il laisse S droite. Donc :

I ind = I

et U ind = U

Ainsi, on retrouve bien

U ind =

d dt

Lorsque la surface de la spire augmente, il apparat donc un courant induit qui engendre un r champ magntique de sens oppos celui du champ B . Le courant induit soppose donc la variation du flux. Ceci est un cas particulier de la loi de Lenz27, qui est un loi gnrale en physique : tout phnomne tend sopposer la cause qui le produit. Applique au phnomne de linduction, elle sexprime ainsi : Le sens du courant induit est tel quil tend sopposer la variation de flux magntique. r Le raisonnement ci-dessus a t fait avec un champ B constant et une spire (circuit) de surface r variable, mais la loi de Faraday-Lenz est galement valable lorsque le champ B varie avec le temps. d d dS dB = ( BS ) = B S U ind = dt dt dt dt Voyons maintenant quelques applications de la loi de Faraday-Lenz.

27

Heinrich Lenz, 1804 1865, physicien russe.

INDUCTION LECTROMAGNTIQUE5.1.1 Applications de la loi de Faraday-Lenz

Page 80

5.1.1.1 Bobine tournant dans un champ magntique uniformeConsidrons une bobine rectangulaire de N spires de largeur a et de longueur b. tournant dans r un champ uniforme B .

i (t )r n normale au cadre

r B

R U ind

b

Fig. 5.4 Bobine tournant dans un champ

r Soit = 0 + t langle entre le champ B et la normale au cadre.

est la vitesse angulaire.Flux magntique travers le cadre : abB cos Flux magntique travers N spires : = NabB cos Tension induite :

U ind = Courant induit : i (t ) =

d d = NabB (cos( 0 + t ) ) = N abB sin( 0 + t ) dt dt

N abB sin( 0 + t ) R

Il sagit dun courant alternatif. Si lon veut le reprsenter dans la figure ci-dessus, il faut le faire r de telle sorte que lorsque le courant est positif, il laisse la normale n gauche. Cet exemple montre le principe dune gnratrice de tension alternative.

INDUCTION LECTROMAGNTIQUE

Page 81

5.1.1.2 Principe du moteur courant continu r La partie fixe, le stator, est constitue dun aimant permanent gnrant un champ B constant. La carcasse fait office de retour magntique (pour refermer les lignes de champ). La partie tournante, le rotor, comporte des encoches dans lesquelles passent des fils conducteurs aliments par un courant amen par des balais frottant sur un cylindre segment, le collecteur. Le rotor est cbl de telle sorte que lorsquun conducteur passe devant un ple du stator le courant soit dans la bon sens pour assurer le couple.

r F r Br n

Nr -F

S

Fig. 5.5 Moteur courant continu aimant permanent

Paramtres : B le module du champ inducteur ; N le nombre de spires alimentes ; S la surface dune spire; I le courant dans les spires ; vitesse angulaire ; (t ) = 0 + t position angulaire du rotor ;

R U

rsistance ohmique de linduit ; tension dalimentation.

Pour N spires alimentes par le courant I : Couple : C = NSIB cos (t ) Flux magntique : = NSB sin (t ) Tension induite : U ind =

d = NSB cos (t ) dt


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Somme des tensions dans la maille = 0

I U

R U ind

U RI + U ind = 0

U = RI U ind

Fig. 5.6 Schma quivalent

Lorsque la spire alimente passe prs des ples on a 0 , donc en moyenne cos (t ) 1 . En remplaant I par sa valeur en fonction du couple, il vient :

U =R

C + NSB NSB

Posons k = NSB constante de couple du moteur.

U =RCouple en fonction de la vitesse de rotationquation du moteur courant continu

C + k k

k k2 C= U R R

[Nm]

Les paramtres k et R sont en gnral donns par le fabricant du moteur.

CDplacement de la droite quand U augmente

Cmax

maxFig. 5.7 Caractristique dun moteur courant continu

Le couple maximum est obtenu vitesse nulle, ce qui est intressant pour le dmarrage lorsque le moteur entrane une charge.


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5.1.1.3 Inductance dun solnodeNous avons vu au 4.5.1.1 que le champ dans un solnode long est donn par B = . l Soit R la rsistance de la bobine et soit U 0 la tension en rgime continu. Le courant est alors donn par la loi dOhm : I 0 = U 0 / R

0 NI

I0+

RPas de chute de tension en continu

U0

_

Fig. 5.8a Schma lectrique quivalent (courant continu)

Si lon fait varier la tension aux bornes de la bobine, chaque spire va voir le flux magntique qui la traverse varier et par consquent tre le sige dune tension induite qui va sopposer la tension applique. Soit i (t ) le courant et S la surface dune spire. La tension induite dans une spire vaut :

d d ( BS ) NS di = = 0 dt dt l dt

Comme le solnode comporte N spires, la tension totale induite ses bornes vaut :

U ind =

0 N 2 S dil dt

L

di dt

La constante L est linductance du solnode. Elle se mesure en henry28, abrg H.Inductance du solnode long

L=

0 N 2 Sl

[H]

(5.3)

1 H = 1 Vs/(Am)m = 1 Vs/A = 1Wb/A

i (t )u (t )

R L U ind = L di dt

Fig. 5.8b Schma lectrique quivalent (courant quelconque)28

Joseph Henry, 1797 1878, physicien amricain. Dcouverte de lauto-induction en 1832.

INDUCTION LECTROMAGNTIQUE Le schma montre que la tension aux bornes est gale :

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u (t ) = Ri(t ) U ind = Ri(t ) + LIl sagit dune quation diffrentielle coefficients constants.

di dt

[V]

(5.4)

Rsolvons-la dans le cas o lon enclenche la tension U 0 au temps t = 0. Pour t < 0 : u (t ) = 0 pour t 0 : u (t ) = U 0

La solution de lquation Ri (t ) + L

di = U 0 est la somme de dt la solution de lquation sans second membre, qui sintgre comme celle vue au 3.1. R i1 (t ) = C exp t avec C = constante L U et dune solution particulire, par exemple i2 (t ) = 0 . R

R U i (t ) = C exp t + 0 L RLe courant tant nul en t = 0 , la constante C vaut

U0 . Finalement : R[A] (5.5)

Courant aprs lenclenchement

i (t ) =

U0 R

R 1 exp L t

i (t )U0 / R L/R = constante de temps

t 0 L/R 2 L/R

Fig. 5.9 Allure de i (t )


Page 85

5.1.1.4 Inductance mutuelle de deux solnodesR2 R1 i2 i1 N 2 spires N1 spires

r B

l2 l1

Fig. 5.10 Vue en coupe de deux solnodes coaxiaux

On montre (voir exercice) que les tensions aux bornes des solnodes son relies aux courants par :

di1 di2 u1 = R1i1 + M 11 dt + M 12 dt u = R i + M di1 + M di2 2 2 21 22 2 dt dt avec :

[V]

(5.6)

M 11 = L1 = M 22 = L2 =

0 N12l1 l2

R12 R22 R12

Inductance du solnode 1 (auto-inductance) ; Inductance du solnode 2 ; Inductance mutuelle de 2 1, gale celle de 1 2.

0 N 22

M 12 = M 21 =

0 N1 N 2l1

Dun manire gnrale linduction mutuelle entre deux circuits est dfinie par

M jk =

uind j dik dt

[H]

uind j = tension induite dans le jmecircuit par une variation du kme courant.


Page 86

5.1.1.5 nergie stocke dans une bobineSoit L linductance de la bobine et soit i (t ) lintensit du courant circulant au temps t. La tension aux bornes u (t ) est donne par lquation (5.4). (Voir fig. 5.6.)

u = Ri + L

di dt

Multiplions membre membre par le courant et analysons chaque terme :

ui = Ri 2 + Li

di dt

ui =Ri 2 = di Li = dt

puissance dlivre par la source de tension ; puissance dissipe par effet Joule dans le rsistance ; puissance apporte la bobine.

Lnergie apporte la bobine pendant un temps dt vaut donc dW = Li di .W = dW =i=I

i =0

Li di = L i di =i =0

i=I

LI 2 2

nergie stocke

W=

LI 2 2

[J]

(5.7)

r 5.1.1.6 Densit dnergie du champ BOn peut la calculer facilement en prenant le cas du solnode long. NI lintrieur, le champ est quasi homogne : B = 0 l 2 N S Son inductance vaut : L = 0 l

1 1 0 N 2 S Bl 1 B 2 Sl = nergie stocke : W = LI 2 = 2 2 l 0 N 2 0 Or Sl est le volume intrieur du solnode. Donc :

2

r Densit dnergie du champ B(dans le vide)

B2 w= 2 0

[J/m3]

(5.8)

Exemple : densit dnergie du champ magntique terrestre B 0,5 G (gauss) = 510-5 T (5 105 ) 2 w= 2 10 3 J/m3 7 2 4 10

INDUCTION LECTROMAGNTIQUE5.2 LOI DE FARADAY SOUS FORME INTGRALE

Page 87

r La loi de Faraday-Lenz est valable pour des spires de formes quelconques et des champs B non uniformes.r B

P2 P 1

r dr

r E

C Surface S Sens de parcours du contour C

Fig. 5.11 Surface S quelconque, entoure par le contour C

En introduisant la dfinition du flux (5.1) dans (5.2), il vient :U ind = r r B dS t S

Lorsque le champ dcrot, la tension induite est positive. Si la frontire de la surface S tait r matrialise par un fil conducteur, un courant circulerait en laissant B gauche. Un tel courant r aurait comme effet de crer un champ dans le sens de B , en sopposant sa dcroissance, conformment la loi de Lenz. Soit deux points P et P2 du contour comme dessin ci-dessus. 1 Le potentiel en P est plus lev quun P2 puisque le courant irait de P vers P2 1 1 U ind = V ( P ) V ( P2 ) 1v r Par dfinition de la diffrence de potentiel (2.8) : V ( P2 ) V ( P ) = E dr 1P2

P1

En combinant les relations ci-dessus :

P 1

P2

v r E dr = t

S

r r B dS

Les points P et P2 peuvent tre choisis infiniment proches, ce qui quivaut un contour ferm. 1

Loi de Faraday

C

v r E dr = t

S

r r B dS

[V]

(5.9)

INDUCTION LECTROMAGNTIQUE5.3 LE CHAMP DINDUCTION MAGNTIQUE DANS LA MATIRE

Page 88

Jusqu prsent nous avons tudi les phnomnes dinduction dans le vide. Que se passe-t-il lorsquon introduit de la matire dans un solnode ? Comment varie son inductance ? Essayons de rpondre ces questions en suivant une dmarche similaire celle adopte pour tudier le champ lectrique dans la matire. Nous avions pris un condensateur plan et ajout de la matire lintrieur. Un dispositif qui convient bien pour tudier le magntisme dans la matire est la bobine torodale, ou tore. Le champ est quasi homogne lintrieur et on vite davoir traiter les effets de bords quon aurait avec un solnode droit. Commenons par calculer linductance dun tore dans le vide. Au 4.5.1.2, nous avons vu que le champ lintrieur du tore tait donn par : B0 = avec : i le courant ; N le nombre de spires ; Rm le rayon moyen du tore. (Nous utilisons lindice 0 pour signifier dans le vide .) Soit a le petit rayon du tore, suppos petit vis--vis de Rm . La section est gale A = a 2 Le flux magntique intercept par une spire vaut :=

0 Ni 2Rm

S

r r Ni B dS = B0 A = 0 A 2Rm

Pour N spires, la tension induite est donne par : U ind = N d N 2 A di = 0 dt 2Rm dt

Inductance dun tore vide5.3.1 Permabilit relative

0 N 2 A L0 = 2Rm

[H]

(5.10)

Si lon place un matriau lintrieur du tore, on constate que linductance varie. Formons le rapport : r = L / L0 = (inductance du tore avec matriau) / (inductance du tore vide). Ce rapport est caractristique des matriaux tudis et permet de les classer : r < 1 substance diamagntique

r = 1 r > 1 r >> 1

vide substance paramagntique substance ferromagntique


Page 89

Lorsque r > 1 le matriau a la proprit daugmenter le flux magntique par rapport la valeur quil aurait dans le vide. Comme la section du tore est la mme, cest donc le champ dinduction qui a augment, comme si le matriau tait plus permable aux lignes de champ. Cest pourquoi on appelle r le coefficient de permabilit du matriau. Pour tre prcis : B / B0 = r = permablit relative (sans dimension)

0 r = permablit absolue (Vs/Am)Il convient donc de distinguer le champ appliqu ( lexcitation ) du champ dinduction auquel sajoute la contribution ( la rponse ) du matriau.

r 5.3.2 Champ magntique H et magntisation r r Dans le vide, le champ magntique H est tout simplement gal B / 0 . Par exemple : lintrieur dun tore : H = Loi de Biot et Savart : NI 2Rm Dans un solnode long : H = NI l

v r 1 r r dH = Id l 3 4 r

Le thorme dAmpre

C

r r H dr =

Ik =1

n

k

[A]

(5.11)

r Le champ magntique dexcitation H se mesure en A/m.r Dans la matire, il sy ajoute une contribution M appele magntisation ou aimantation. Le champ dinduction magntique total rsulte de la somme des deux contributions : Champ dinduction magntiquer r r B = 0 H + M

(

)

[T]

(5.12)

La magntisation se mesure aussi en A/m. Pour des champs magntiques pas trop levs, on constate que la magntisation est proportionnelle au champ, ce qui permet de dfinir la susceptibilit magntique du matriau. Susceptibilit magntique

m = M / H

[-]

(5.13)

r r r r r En regroupant les relations ci-dessus : B = 0 H + M = 0 (1 + m ) H = 0 r H

(

)

r = 1 + m

[-]

(5.14)

INDUCTION LECTROMAGNTIQUE 5.3.2.1 Interprtation de la magntisation.

Page 90

La matire est forme de particules charges qui ne sont pas immobiles. Or une particule charge anime dune vitesse peut tre considre comme un petit courant, ce qui va donner naissance de petits champs magntiques. Un lectron non appari orbitant sur la couche externe dun noyau donne un moment magntique dipolaire. En gnral, en labsence de champ magntique externe, lagitation thermique a pour effet de rendre alatoire lorientation de ces diples et le magntisation totale est nulle. En prsence de champ, ce nest plus le cas. Dfinissons : r r somme des moments magntiques M= volume de la matire unit : (Am2)/(m3) = A/m

Diamagntisme : les atomes ont un moment magntique nul. En prsence de champ magntique, les lectrons ont tendance tourner autour des lignes de champ la frquence cyclotron, ce qui cre un courant, qui a son tour engendre un champ oppos celui appliqu en vertu de la loi Lenz. Les atomes acquirent donc un faible moment dipolaire qui soppose au champ appliqu. La susceptibilit est donc ngative ; sa valeur est trs petite.

mbismuth antimoine mercure argent Carbone (graphite) -16,410-5 -6,910-5 -2,810-5 -2,410-5 -1,410-5 plomb NaCl cuivre eau hydrogne

m-1,610-5 -1,410-5 -1,010-5 -0,9010-5 -2,210-9

Table 5.1 Susceptibilit de quelques substances diamagntiques (Le diamagntisme ne varie pas avec la temprature.) Paramagntisme : les atomes ont un moment magntique non nul. En prsence de champ magntique, ils vont sorienter dans la direction du champ. Cet effet est prpondrant par rapport leffet diamagntique. La susceptibilit est donc positive. Lagitation thermique tend dtruire lalignement, do une dpendance de la susceptibilit avec la temprature.

moxygne liquide uranium platine aluminium 40010-5 4010-5 2710-5 2,110-5 sodium oxygne gazeux air

m0,8510-5 0,1910-5 0,03610-5

Table 5.2 Susceptibilit de quelques substances paramagntiques (Le paramagntisme varie en 1/T ; les valeurs ci-dessus (except oxygne liquide) sont donnes pour la temprature ambiante.) (Source : Handbook of Chemistry and Physics)


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Ferromagntisme : les atomes ont un moment magntique non nul, mais en plus il existe une forte interaction entre diples, ce qui a pour effet de les aligner paralllement les uns aux autres dans de petites rgions, ou domaines. Leffet dalignement est beaucoup plus marqu que dans le cas des paramagntiques ( r >> 1 ). Un matriau ferromagntique aura tendance tre attir fortement par un aimant. Le couplage des diples nest possible que si les atomes du rseau cristallin se trouvent une certaine distance les uns des autres, ce qui ne se produit que pour certains lments : fer, cobalt, nickel, certains oxydes et certains alliages fritts apparents aux cramiques (ferrites). Un matriau ferromagntique est caractris par sa courbe de magntisation (ou daimantation), dtermine exprimentalement (ou donne par le fabricant).

B [T] = [Vs/m2] Courbe de premire aimantation Br -Hc -Br

B

H [A/m]

H

Fig. 5.12 Allure dune courbe de magntisation gauche : matriau magntiquement dur ; droite : matriau doux .

dB , qui nest pas une constante dH dans le cas des ferromagntiques. Le champ dinduction B dpend non seulement de la valeur Hmax de H, mais encore de son histoire . Aprs une augmentation et une diminution 0 0, on constate quil reste un champ dinduction rmanent Br, ce qui correspond une aimantation permanente. Cest ce quon appelle le phnomne dhystrsis. Le champ magntique -Hc ncessaire annuler laimantation est le champ coercitif. La pente de la courbe donne la permabilit absolue : 0 r = Cet effet de mmoire des ferromagntiques est lorigine dun grand nombre dinventions : enregistreurs bandes magntiques, disques durs et mmoires dordinateurs, etc La densit dnergie du champ magntique dans le vide est w = Dans la matire : w = B2 2 0 r = B2 2 0 ( voir q 5.8).

0 r H 22

=

BH 2

[J/m3]

Pertes dues lhystrsis : on montre que la surface comprise lintrieur de courbe dhystrsis multiplie par le volume du matriau est gale lnergie dpense par cycle.


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Lorsque ces pertes sont gnantes, par exemple dans les transformateurs o le cycle est parcouru 50 fois par seconde, il faut choisir un matriau magntiquement doux, car il a un faible champ coercitif et la surface englobe par la courbe dhystrsis est petite. Saturation Bs [T] Magntiquement doux Acier doux Fer (Commercial 99Fe) Ferrosilicium cristaux orients Ferrosilicium isotrope Mumtal Supermalloy Magntiquement dur Acier au chrome Acier au cobalt Alnico 255% Fe ; 10% Al ; 17% Ni ; 12% Co ; 6% Cu

Rmanence Br [T] 1 0,77 0,95 0,95 0,23 0,5

Coercitif Hc [A/m] 200 70 12 40 4 0,15

rmaximum 1100 6000 40000 7000 100000 920000

Curie Tc [K] 1000 1043 1015 1008 673 673

2,1 2,16 2,01 1,95 0,75 0,79

2,2

0,95 0,95 0,72 0,45 0,34 1,00

5200 14000 45000 750 175000 ~750000

1030 1100 850 430 575 700

40 8 128

Ferrite BaFe2O19 Ferrite NiFe2O4 SmCo5

Table 5.3 Caractristiques de quelques substances ferromagntiques (Source : Handbook of Chemistry and Physics)

Si lon augmente la temprature dun ferromagntique, on constate que les proprits magntiques disparaissent en dessus dune certaine limite appele temprature de Curie. Lagitation thermique dtruit lalignement des domaines.

Principe de la mesure de la susceptibilit magntique Pour les matriaux dia- et paramagntiques, on place un chantillon entre les ples dun puissant lectro-aimant et on mesure la force magntique laide dune balance.

Pour les ferromagntiques, on place le matriau lintrieur dune bobine torique et on mesure le flux en fonction du champ magntique appliqu. Fluxmtre : voir exercice.

INDUCTION LECTROMAGNTIQUE5.3.3 Les circuits magntiques

Page 93

La grande permabilit du fer permet en quelque sorte de canaliser les lignes du champ dinduction magntique. Cette proprit est de premire importance en pratique puisque elle est la base des transformateurs et des machines lectriques.

Fig. 5.13a Solnode vide (La ligne horizontale du bas est laxe de symtrie.)

Fig. 5.13b Solnode + noyau de fer v v Champ dinduction magntique : lignes du champ B et courbes de niveaux de B

INDUCTION LECTROMAGNTIQUE 5.3.3.1 Loi dOhm magntique Considrons un solnode bobin autour dun barreau ferromagntique de longueur l . Champ magntique lintrieur du solnode : H = NI l NI l

Page 94

Champ dinduction magntique : B = 0 r H = 0 r

Flux magntique : = BS =

0 r NSl

I

On peut galement crire ce rsultat sous la forme : =

0 r SLanalogie avec la loi dOhm est vidente :

NI l

I=Tension Courant Rsistance

U R U I R= l SSolnation Flux Rluctance

=

Um Rm NI U m Rm =

0 r S

l

Pour cette raison, cette loi est appele loi dOhm magntique. Dans un conducteur, cest la diffrence de potentiel qui cre le courant ; dans un circuit magntique, cest la solnation NI qui cre le flux. Dans les livres de physique, la solnation porte diffrents noms : diffrence de potentiel magntique, force magntomotrice. En technique, on parle dampres-tours.

Loi dOhm magntique

=

NI U m Rm Rm

[Wb]

(5.15)

Rluctance dun barreau de section S et de longueur l

Rm =

0 r S

l

[H-1] = [A/Wb] [ampre-tour par weber]

(5.16)

Linverse de la rluctance est la permance.


Page 95

Permance dun barreau de section S set de longueur l

m =

0 r Sl

[H] = [Wb/A] [weber par ampre-tour]

(5.17)

Places en srie, les rluctances sajoutent. Places en parallle, les permances sajoutent.

5.3.3.2 Exemple de calcul du flux dans un circuit simplePrenons le circuit schmatis ci-dessous.

IU

b

a

Section S

Fig. 5.14 Circuit magntique

Valeurs numriques : a = 20 cm ; b = 16 cm ; S = 4 cm2 ; r =5000 ; N = 100 spires ; I = 1 A. La rluctance dun ct est proportionnelle sa longueur. La section tant constante, la rluctance totale est la somme des rluctances des 4 cts. Le circuit tant suppos de forme carre, la longueur moyenne du pourtour dune ligne de flux a+b = 2(a + b) . vaut approximativement 4 2 2(a + b) 2(20 + 16) 102 Rluctance du circuit : Rm = = = 2,865 105 A/Wb 7 4 0 r S 4 10 5000 4 10 Flux magntique : =

NI 100 1 = = 3,491 10 4 Wb Rm 2,865 105

3,491 104 = 0,873 T Champ dinduction magntique : B = = S 4 10 4Le calcul ci-dessus est approximatif. En pratique, si lon veut obtenir des valeurs plus prcises, en tenant compte de la gomtrie exacte et des proprits du matriau, il faut utiliser un logiciel de calcul de flux par lments finis.


Page 96

5.3.3.3 Exemple de calcul du champ dans lentrefer dun aimant

Solnation NI

b

a

Section S

Fig. 5.15 Circuit magntique avec entrefer

Prenons = 5 mm et les mmes valeurs que prcdemment : a = 20 cm ; b = 16 cm ; S = 4 cm2 ; r =5000 ; N = 100 spires ; I = 1 A. Rluctance de la partie fer : Rm = 2(a + b) 2(0,20 + 0,16) 0,005 = = 2,845 105 A/Wb 7 4 0 r S 4 10 5000 4 10

(On pourrait ngliger dans ce calcul.) Rluctance de lentrefer (air) : R =

0,005 = = 9,947 106 A/Wb 0 S 4 10 7 4 10 4

Ainsi la rluctance de lentrefer est plus grande que celle de la partie fer cause de la grande valeur de r . Flux magntique : =

NI 100 1 = = 9,774 10 6 Wb 5 6 Rm + R 2,845 10 + 9,947 10 9,774 106 = = 0,0244 T S 4 10 4

Champ dinduction magntique : B =


Page 97

5.3.3.4 Force lectromcaniqueConsidrons le dispositif ci-dessous compos dune pice fixe avec un enroulement de N spires et dune pice mobile. Nous allons calculer la force qui sexerce sur la pice mobile en fonction de la distance de sparation. Solnation: NI

Section S

Femx

F b aFig. 5.16 lectroaimant

Rluctance de la partie fer :

Rm =

2(a + b x) 2(a + b) 0 r S 0 r S

Rluctance des entrefers (air) :

Rx =

2x 0 S

Flux magntique :

=

0 r SNI NI = Rm + Rx 2(a + b + r x)N 0 r SN 2 = I 2(a + b + r x) Wmag =1 2 LI 2

Inductance :

L=

nergie magntique stocke :


Page 98

Soit F la force quil faut appliquer la pice mobile pour la maintenir une distance x. Lorsque cette force travaille loigner la pice mobile, elle fourni au systme un travail mcanique :

dWmc = F ( x) dx .Cet accroissement est gal la diffrence dnergie potentielle mcanique entre x et x+dx. Lnergie tant conserve, on a :

dWmag + dWmc = 0 1 d LI 2 + F ( x) dx = 0 2 courant constant :

I 2 dL = 2 F ( x) dx I 2 dL 2 dx

F ( x) =

F ( x) =

I 2 d 0 r SN 2 SN 2 I 2 r = 0 r 2(a + b + x) 2 dx 4 (a + b + r x) 2 r

F ( x) =

0 S ( r NI ) 2 4(a + b + r x) 2

Cette formule est valable pour des entrefers x petits vis--vis des dimensions a et b. Par le principe de laction et de la raction, si lon maintient la pice mobile avec une force F, il existe une force oppose Fem qui tend rapprocher les pices. Cette force Fem tend maximiser le flux magntique.

INDUCTION LECTROMAGNTIQUE5.3.4 Transformateurs

Page 99

Un transformateur est constitu denroulements bobins autour dun circuit magntique appel noyau. Soit : Nombre de spires : N1 , N 2 Rluctance du circuit fer Rm

i1 u1 i2 u2

Fig. 5.17 Principe du transformateur

Convention pour la mesure des tensions et des courants : linstant t le courant i1 est positif, le sens de est comme dessin. Si linstant t le courant est en train de diminuer, le courant induit i2 va circuler dans le sens dessin pour sopposer la diminution du flux. Le sens positif de la tension u2 est alors bien comme dessin Solnation totale : N1i1 + N 2i2 Flux magntique : = 1 + 2 = 1 (N1i1 + N1i2 ) Rm

Ce mme flux passe au travers des deux solnodes. (Voir q. (5.6), p 83.)

d u1 = N1 dt Compte tenu du sens de mesure des tensions : u = N d 2 2 dt En divisant membre membre, pour autant que le flux varie :

Transformateur idal

u1 N1 = u2 N 2

[-]

(5.18)

Si lon tient compte de la rsistance des enroulements, on obtient le schma quivalent suivant :


Page 100

i1 R1 u1 R2

i2

Z

u2

N1 spires

N 2 spires

Fig. 5.18 Schma dun transformateur + charge

d u1 R1i1 = N1 dt u R i = N d 2 2 2 2 dt En divisant membre membre, pour autant que le flux varie : Multiplions chaque membre par

u1 R1i1 N = 1 u2 R2i2 N 2

i1 . i2 u1 R1i1 i1 N1 i1 = u2 R2i2 i2 N 2 i2

Cest en fait le rapport entre les puissances instantanes entrante et sortante dans un transformateur idal. Ce rapport doit tre gal un. N1 i2 N1 i1 = =1 N 2 i1 N 2 i2 En combinant les relations ci-dessus :

Transformateur

u1 R1i1 N i = 1 = 2 u2 R2i2 N 2 i1

[-]

(5.19)

INDUCTION LECTROMAGNTIQUE5.3.5 Comportement du champ magntique linterface de deux matriauxr H1n

Page 101

r H1r H1t

r r B1 = 0 r1H1

Matriau 1

b bMatriau 2r H 2n

Contour ferm C

r H2r H 2t

r r B2 = 0 r 2 H 2

aFig. 5.19 Interface de deux matriaux (pas de courant de surface)

Au voisinage de linterface, considrons une portion de lespace assez petite pour que lon r r puisse admettre que les champs H et B soient constants. Chaque champ se dcompose en composantes normale et parallle linterface.r r r H1 = H1n + H1t

et

r r r B1 = B1n + B1t

r La continuit du flux implique celle de la composante normale de B pour autant quil ny ait r r pas de courant de surface. B1n = B2 n implique :

r1H1n = r 2 H 2 n

r

r

(5.20a)

Pour voir comment se comportent les composantes tangentielles, calculons la circulation du r champ H sur le contour ferm C. En labsence de courants entours par le contour, la circulation doit tre nulle (voir 5.11).

r Donc la composante tangentielle de H est continue.r r H1t = H 2t

C

r r H dr = 0 = H1t a H1nb H 2 nb H 2t a + H 2 nb + H1nb

(5.20b)

INDUCTION LECTROMAGNTIQUE5.3.6 Champ grande distance dun diple / moment magntique

Page 102

Nous avons vu au 4.3.3 la dfinition du moment magntique cr par une spire parcourue par un courant I. Dans le cas dune spire circulaire de rayon a, le module du moment magntique vaut = I (a 2 ) .

z

r

y

r Id l

r r r r1

P(x ;z) r B

O I a

x r Fig. 5.20 Champ B produit par une spireVu la symtrie du problme, il suffit de calculer le champ en un point P du plan Oxz. Appliquons la loi de Biot et Savart un lment de courant de la spire repr par langle .

v r 0 r r1 dB = Id l 3 4 r1

sin r avec Id l = Ia d cos 0 2

r sin a cos r et r1 = 0 a sin r cos 0

r12 = (r sin a cos ) + a 2 sin 2 + r 2 cos 2 a sin cos r12 = r 2 + a 2 2ar sin cos = r 2 1 2 r En effectuant un dveloppement limit :1 a sin cos 1+ 3 ... 3 r r r En introduisant cette expression dans dB , et en intgrant sur langle , on obtient aprs quelques calculs : = 1 1 a sin cos = 3 1 2 3 r1 r r 3 / 2

Bx =

0 3Ia 2 sin cos = 0 3 3 sin cos ; 3 4r 4rr 3 sin cos B = 03 4r 3 cos 2 1

Bz =

0 Ia 2 (3 cos 2 1) 3 4r

Champ magntique grande distance dun moment dirig selon z

[T]

(5.21)

(dans le plan Oxz)


Page 103

Cette expression est trs semblable celle (2.42) du champ lectrique dun diple lectrique.

r On peut aussi utiliser la formule (5.21) pour calculer le champ B grande distance dun aimant. Un barreau aimant caractris par un volume V et une aimantation M, suppose constante, possde un moment magntique de module = MV . z

x

r Fig. 5.21 Champ B produit par un aimantExemple : Barreau aimant en forme de cylindre Longueur : 10 cm, rayon : 2 cm, aimantation : M = 1000 A/m. Moment dipolaire magntique :

= MV = 1000 (0,02) 2 0,1 = 0,126 Am2Champ 1 m en z = 0 :

r 0 3 sin cos 107 0 B = 03 3 cos 2 1 = 13 0,126 1 = 1,26 108 [T] 4r

INDUCTION LECTROMAGNTIQUE5.4 RSUM DE QUELQUES FORMULES IMPORTANTES Solnode long avec :

Page 104

r

I N l S

permabilit du matriau (dans le vide r = 1 ) ; le courant ; le nombre de spires ; la longueur du solnode ; la surface dune spire ;

Champ dinduction magntique

B=

0 r NIl

[T]

(4.11)

Inductance

L=

0 r N 2 Sl

[H]

(5.3)

Tore

avec :

Rm A

le rayon moyen du tore ; la surface dune spire

Champ dinduction magntique

B=

0 r NI 2Rm

[T]

(4.12)

Inductance

L=

0 r N 2 A 2Rm

[H]

(5.10)

r Densit dnergie du champ B

w=

B220 r

[J/m3]

(5.8)

QUATIONS DE MAXWELL6. LES QUATIONS DE MAXWELL 6.1 FORME INTGRALE

Page 105

Nous avons vu que les quations qui rgissent llectricit et le magntisme prsentaient certaines symtries. Lunification, en 1862, de ces deux thories en une seule, llectromagntisme, est loeuvre de James Clerk Maxwell (1831-1879). Quatre quations suffisent pour calculer les champs partir des charges et des courants qui en sont les causes.

(1)

S

r r D dS =

qi =1 libres

n

i

Thorme de Gauss Thorme de Gauss magntique

(2.39a)

(2) (3)

S

r r B dS = 0

(4.16) (5.9)

C

v r E dr = t

S

r r B dS

Loi de Faraday

(4)

C

r r H dr =

n k =1

Ik +

t

S

r r D dS

Thorme dAmpre modifi par Maxwell

(5.11)

Relations constitutives : pour tenir compte des effets de la polarisation, de la magntisation et de la rsistivit dans la matire.r r r r r D = 0 E + P ou D = 0 r E r r r r r B = 0 H + M ou B = 0 r H r v J = E

Polarisation Magntisation Loi dOhm

(2.38) (5.12) (3.12)

(

)

r Si les distributions de charge et de courant J sont continues, les qs (1) et (4) scrivent :

(1) (4) t

S

r r D dS =

dVV S

Thorme de Gauss

(2.39b)

C

r r H dr =

r r J dS + t

S

r r D dS

Thorme dAmpre modifi par Maxwell

Le terme

S

r r D dS a t introduit par Maxwell pour que les deux quations ci-dessus

redonnent lquation de continuit.

S

r r J dS =

t dVV

Lquation de continuit

(3.14)

QUATIONS DE MAXWELL

Page 106

Dans la pratique, plutt que de rsoudre directement les quations de Maxwell pour calculer les champs partir des distributions de charges et de courants, il est souvent plus simple dutiliser les lois de Coulomb et Biot-Savart. Ces lois sont en quelque sorte incluses dans les quations de Maxwell et peuvent tre redmontres partir delles. Le lien avec la mcanique est assur par les expressions donnant la force sur une particule charge et sur un courant. r r r r [N] (2.4) et (4.13) Forces de Coulomb + Lorentz F =q E+vB

(

)

Force de Laplace

r r r dF = Id l B

[N]

(4.1)

Le mrite de Maxwell a donc t de formaliser mathmatiquement les quations qui tablissent le lien entre llectricit et le magntisme. Il a reformul la loi de Faraday sous forme intgrale (voir 5.2) et complt celle dAmpre afin quelle soit aussi valable quand les champs dpendent du temps. Le terme ajout, le courant de dplacement, provient de la variation de la polarisation et permet de satisfaire lquation de continuit. Ltape suivante consiste formuler les quations sous forme locale et dexaminer leurs solutions dun point de vue thorique. Maxwell a t le premier montrer quelles admettent des solutions qui correspondent des ondes. Dans le vide, leur vitesse de propagation est gale celle de la lumire, do lhypothse que la lumire est en fait un cas particulier donde lectromagntique. Ainsi se trouvent runies sous le mme formalisme non seulement llectricit et le magntisme, mais encore loptique physique. Les phnomnes de rfraction, diffraction, polarisation de la lumire trouvent tous une interprtation lgante dans le cadre de la thorie de Maxwell. Nous verrons cela dans la partie du cours PHY2 consacres aux ondes.6.2 FORME LOCALE

Nous avons vu ( 3.3.3) comment lquation de continuit peut scrire sous forme locale au moyen de loprateur diffrentiel divergence. r =( , , ) x y z Forme intgrale r r J dS = dV t Forme locale r r J = t

S

V

On voit que loprateur divergence permet de transformer une intgrale sur une surface ferme en une intgrale portant sur le volume lintrieur de cette surface.

S

r r J dS =

V

r r ( J )dV

tabli mathmatiquement en toute rigueur, ceci est connu sous le nom de thorme de la divergence ou dOstrogradski-Gauss.

QUATIONS DE MAXWELL

Page 107

Appliqu aux deux premires quations de Maxwell, ce thorme donne immdiatement :

r r D= r r B = 0

[As/m3] [Vs/m3]

(6.1) (6.2)

Restent les deux dernires quations qui font intervenir la circulation des champs. r r v r B dS . Commenons par la loi de Faraday E dr = t

C

S

z r B 4 dy 1 (x, y, z) dx 2

r E y

3Contour Ce

x

Fig. 6.1 Petit contour lmentaire horizontal

r Dans un espace o rgne un champ lectrique E ( x, y, z ) , calculons la circulation sur un petit contour ferm horizontal 1234 comme dessin ci-dessus.

Ce

v r E dr =

E dx + E dy + E dx + E dyx y x y 1 2 3 4

2

3

4

1

Pour dx et dy petits , compte tenu du sens de parcours :

Ce

v r E dr Ex ( x, y, z )dx + E y ( x + dx, y, z )dy Ex ( x, y + dy, z )dx E y ( x, y, z )dy

Ce

v r E ( x, y, z )dx Ex ( x, y + dy, z )dx E ( x + dx, y, z )dy E y ( x, y, z )dy E dr x dy + y dx dy dx

A la limite dx, dy 0 , on voit apparatre les drives partielles du champ.

Ce

v r E E E dr = x dx dy + y dy dx y x

QUATIONS DE MAXWELL

Page 108

Voyons maintenant le terme de droite de la loi de Faraday. Comme la normale la surface dlimite par le contour Ce est dirige selon z, seule la composante Bz intervient :

Bz B dS = z dx dy t t

En comparant les relations prcdentes et en divisant par dS = dxdy il vient :

E y x

B Ex = z t y

Le raisonnement prcdent peut aussi tre fait pour de petits contours dans les plans yz et zx. Finalement, par permutation circulaire :

E z E y Bx y z = t E x E z B = y x t z E y E x B = z y t x r Ceci rappelle la dfinition du produit vectoriel. En utilisant = ( , , ) la forme locale x y z de la loi de Faraday scrit : r r r B E= t[V/m2]

(6.3)

Un raisonnement analogue sapplique la 4me quation de Maxwell :

r r r r D H = J + t

[A/m2]

(6.4)

Etablit mathmatiquement en toute rigueur, le thorme qui permet de passer dune intgrale sur un contour ferm une intgrale sur la surface dlimite par ce contour est connue sous le nom de thorme de Stokes. r r r v r E dr = ( E ) dS

C

S

r r r Loprateur E est le rotationnel de E .

QUATIONS DE MAXWELL6.3 INTRODUCTION AUX ONDES LECTROMAGNTIQUES

Page 109

Rcrivons les quations de Maxwell sous forme locale dans le cas dun matriau dilectrique r v non charg ( = 0 ) et de conductivit nulle ( = 0 et donc J = E = 0 ) r r D = 0 r r B = 0 r r r B E = t r r r D H = t Supposons que le matriau soit caractris par une permittivit relative r et une permabilit relative r . Cette dernire est trs proche de 1 dans le cas dun dilectrique.

r r D = 0 r E r r B = 0 r H r r Rcrivons les quations de Maxwell en ne conservant que les champs E et H .r r E = 0 r r H = 0 r r r H E = 0 r t r r r H = 0 r E t

(6.5)

Nous pouvons faire les remarques suivantes : Le systme est surdtermin, puisque on a 8 quations scalaires pour 6 composantes de champ. Ces quations satisfont au principe de superposition : la somme de deux solutions est une solution. Ces quations contiennent des solutions statiques, qui ne nous intressent pas ici. Lorsque les champs dpendent du temps, les deux dernires quations dcrivent comment la variation dun champ influence lautre et vice-versa.

6.3.1 Ondes planes

Puisque les solutions satisfont au principe de superposition, cherchons une solution particulire o le champ lectrique naurait quune composante selon x. Aprs, on pourra toujours combiner des solutions particulires pour en obtenir dautres plus compliques.

QUATIONS DE MAXWELL

Page 110

E r r r x Ex Soit E = 0 . Lquation E = 0 se rduit = 0 . Donc E x ne dpend pas de x. x 0

Pour allger lcriture, notons la drive partielle par rapport x : x =

. Idem pour y, z et t. x

t H x E 0 r r x x E = y 0 = z E x = 0 r t H y H 0 E t z z y x Comme H x ne dpend pas du temps, on peut poser H x = 0 car on ne sintresse pas aux solutions statiques. Il reste deux familles de solutions correspondant H y 0 et H z 0 respectivement. r Poursuivons avec H selon y. r r Lquation H = 0 se rduit y H y = 0 . Donc H y ne dpend pas de y. La dernire quation donne : t Ex 0 H r r x z y H = y H y = 0 = 0 r 0 0 0 H z x y Donc H y ne dpend pas non plus de x. Reste la dpendance en z. z E x = 0 r t H y z H y = 0 r t E x En liminant H y : 2 Ex ( z, t ) 2 Ex ( z, t ) = 0 r 0 r z 2 t 2

(6.6)

Ceci est une quation donde. Nous verrons dautres exemples de phnomnes physiques conduisant une quation de ce type dans la partie du cours consacres aux ondes. Cette quation admet, entre autres, des solutions qui reprsentent des ondes planes de la forme : Ex ( z , t ) = Ex 0 sin(kz t ) Ex ( z , t ) = Ex 0 sin(kz + t ) Avec :k = nombre donde, = pulsation, =

onde progressive, se dplaant selon +z ; onde rtrograde, se dplaant selon z . 2 = longueur donde, k

f =

= frquence, 2

2k2

=

1

0 r 0 r

= v2

o v = vitesse de propagation de londe.

QUATIONS DE MAXWELL

Page 111

k

= f =v

[m/s]

(6.7)

Dans le vide la vitesse de propagation est gale celle de la lumire. c= 1

0 0

[m/s]

(6.8)

Ainsi se trouve justifie la relation (2.2) vue au dbut du cours. Dans la matire la vitesse de propagation des ondes lectromagntiques est infrieure c. v= 1 = c = c n

0 r 0 r

r r

[m/s]

(6.9)

On voit que r r sidentifie avec lindice de rfraction. Nous avons vu en optique que lindice de rfraction dpend la couleur de la lumire, cest--dire de sa frquence. Donc, en gnral r et r dpendent aussi de la frquence de londe. La solution pour H y scrit aussi sous forme dune onde plane : H y ( z , t ) = H y 0 sin(kz t ) r E avec H y 0 =

0 r E 0 r x 0

x

y

r H

z

Fig 6.2 Onde plane lectromagntique se propageant selon +z

QUATIONS DE MAXWELL6.3.2 Densit dnergie dune onde plane EM

Page 112

En additionnant la densit dnergie du champ lectrique (2.28) et celle du champ magntique (5.8), nous obtenons : Densit dnergie du champ EM dans le vide w=

0E22

+

B2 20

[J/m3]

(6.10)

Dans la matire, il faut tenir compte de la permittivit et de la permabilit. r r r r Dans un milieu linaire D = 0 r E et B = 0 r H . Densit dnergie du champ EM dans la matire w=

0 r E 22

+

B2 2 0 r

[J/m3]

(6.11)

w=

0 r E 22

+

0 r H 22

[J/m3]

(6.11)

Lquation prcdente peut scrire sous une forme particulirement lgante : w= ED HB + 2 2 [J/m3] (6.11)

Appliquons (6.11) londe plane : Ex ( z , t ) = Ex 0 sin( kz t ) H y ( z , t ) = H y 0 sin( kz t ) w(t ) =

avec H y 0 =

0 r E 0 r x 0

0 r Ex202

sin 2 (kz t ) +

0 r 0 r 2 Ex 0 sin 2 (kz t ) = 0 r Ex20 sin 2 (kz t ) 2 0 r1 . 2 (6.12)

La moyenne sur une priode de londe donne un facteur sin 2 (kz t ) =

Densit dnergie moyenne

w=

0 r Ex202

[J/m3]

QUATIONS DE MAXWELL6.3.3 Intensit dune onde plane EM

Page 113

x Densit dnergie w

Surface S

y

l = v t

z

Fig. 6.3 Section dune onde plane lectromagntique se propageant selon +z

Pendant un temps t , le front donde se dplace de l = v t . Lnergie qui traverse une section S perpendiculaire laxe de propagation vaut : W = wSl = wSv t La puissance traversant une section S : P= Intensit moyenne : P 0 r E x20 0 r Ex20 I = = wv = v= S 2 2 1 W = wSv t = 1 0 r 2 Ex 0 2 0 r

0 r 0 r

Intensit moyenne :

I=

1 0 r 2 Ex 0 2 0 r

[W/m2]

(6.13)

dans le vide :

I=

1 0 2 E2 Ex 0 = x 0 2 0 2Z 0

[W/m2]

(6.14)

Avec : Z 0

0 = 0c 377 = impdance du vide. 0

INDEX

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aimantation, 89 ampre, 67 Ampre, Andr Marie, 41 ampremtre, 60 blindage lectrostatique, 30 bobines de Helmholtz, 66 boussole, 53 cage de Faraday, 30 champ de dplacement, 36 champ d'induction magntique, 88 champ lectrique, 8 champ magntique dexcitation, 89 circulation, 16 claquage, 32 condensateur cylndrique, 25 condensateur plan, 23 condensateur sphrique, 26 conductance, 41 conductivit, 48 constante dilectrique, 34 Coulomb, Charles de, 5 courant lectrique, 41 del (oprateur), 51 densit dnergie du champ EM, 112 densit de courant, 48 diamagntisme, 90 diffrence de potentiel, 12 diple lectrique, 32, 39 diple magntique, 102 divergence, 51 effet Hall, 74 effet Joule, 45 lectron, 6 nergie de liaison, 7 quation de continuit, 49 quipotentielles, 14 farad, 24 Faraday, Michael, 24, 56 ferromagntisme, 91 flux, 18 flux du champ dinduction magntique, 78 force de Coulomb, 8 force de Laplace, 58 force de Lorentz, 72 Franklin Benjamin, 4

frquence cyclotronique, 73 galvanomtre, 59 Gauss, Carl Friedrich, 19 gnratrice de tension, 80 gradient, 17 Helmholtz, Hermann von, 66 Henry, Joseph, 83 hystrsis, 91 impdance du vide, 113 indice de rfraction, 111 inductance, 85 induction lectromagntique, 77 interface entre 2 dilectriques, 38 interface entre 2 matriaux magntiques, 101 lignes de champ, 9 loi de Biot et Savart, 62 loi de Faraday-Lenz, 78 loi de Laplace, 58 loi de Lenz, 79 loi d'Ohm, 41 loi d'Ohm magntique, 94 Lorentz, Hendrik Antoon, 72 magntisation, 89 maille dun circuit, 50 Maxwell, James Clerk, 105 moment dipolaire lectrique, 32 moment magntique, 61, 102 moteur courant continu, 81 nabla (oprateur), 51 numro atomique, 7 Oersted, Hans Christian, 55 ohm, 41 ondes EM, 109 paramagntisme, 90 paratonnerre, 4 permabilit, 88 permance, 95 permittivit, 34 polarisation, 34 ples d'un aimant, 53 potentiel lectrique, 12 principe de la conservation de la charge, 7 principe de la quantification de la charge, 7 rluctance, 95 rmanence, 91

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rsistance, 41 rsistivit, 43 rigidit dilectrique, 32 rotationnel, 108 sens du courant induit, 79 siemens, 41 solnation, 94 solnode, 70 sonde de Hall, 74 sonde PT100, 46 supraconducteur, 47 susceptibilit lectrique, 34 susceptibilit magntique, 89

temprature de Curie, 92 tension, 12 Thals de Milet, 3, 53 thorme dAmpre modifi par Maxwell, 105 thorme d'Ampre, 68 thorme de Gauss, 19 thorme de Gauss magntique, 76 thormes de Kirchhoff, 50 tore, 71 transformateur, 99 volt, 12 voltmtre, 60 weber, 78

phy2 em v56 magneto

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