phy121 td3 corrige

8/14/2019 PHY121 TD3 Corrige

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TD 3 de mcanique - PHY121Dynamique du point matriel "avec cinmatique".

Thmes abords : lois de Newton, forces.Concepts cls : force, systme, point matriel, mouvement inertiel, rfrentiel d'inertie, position, vitesse, acclration,

coordonnes, ...Objectifs du TD : savoir utiliser les lois de Newton dans des problmes de dynamique ncessitant une analyse dtaille du

mouvement et faisant intervenir des quations diffrentielles. Un peu de dynamique non-galilenne.Mathmatiques utilises : vecteurs, projection d'un vecteur ou d'une quation vectorielle, rsolution d'une quation vectorielle,

trigonomtrie, coordonnes polaires, quations diffrentielles coefficients constants.

3.1** Exercice de tronc commun Un grand classique : le pendule simpleUn pendule, constitu d'une boule de masse m attache l'extrmit d'un fil inextensible de longueur L et de massengligeable, est suspendu un point fixe O. On met le pendule en mouvement, par exemple en l'cartant d'un angle0 par rapport la verticale, le fil tant tendu, puis en le lchant sans vitesse initiale. On nglige tous lesfrottements.L'objectif est de faire le tour du problme, lequel a de nombreuses applications :

a- Etablir l'quation diffrentielle du mouvement de la boule.Cette quation diffrentielle gnrale n'a pas de solution analytique en termes d'quations du mouvement(expression des coordonnes en fonction du temps), c'est dire que l'on ne sait pas la rsoudre avec un crayon et un

papier, sauf dans le cas de "l'approximation des petites oscillations". Hormis quelques cas particuliers, seuls descalculs approchs (effectus par ordinateur) permettent de s'en sortir.

b- Rsoudre l'quation diffrentielle dans le cas de "l'approximation des petites oscillations", et en dduiredans ce cas l'quation temporelle du mouvement.

c- Il est cependant possible de calculer analytiquement la vitesse en fonction de la position de la boule, dans lecas gnral .

d- L'expression de la vitesse permet de connatre la tension du fil en fonction de la position de la boule.

I- Rsolution du problme gnral .A- Pour ceux qui veulent se dbrouiller tous seuls : traiter les diffrentes tapes cites ci-dessus.

B- Rsolution guide :

Soit un repre R(O, , ), O tant le point o est fix le fil du pendule, Ox, l'axe vertical dirig vers le bas, et Oyl'axe horizontal vers la droite. Soit , l'angle polaire entre Ox et le fil du pendule, compt positivement dans le sensdirect.

i j

a- Equation diffrentielle du mouvement.1- Que peut on dire sur le mouvement de la boule? En dduire l'expression des vecteurs position, vitesse, et

acclration en fonction de , , et L.

2- Transcrire les conditions initiales pour et .3- Faire le bilan des forces extrieures exerces sur la boule.4- Ecrire le Principe Fondamental de la Dynamique.

Projeter l'quation vectorielle obtenue dans les directions de r u et de u .5- En dduire l'quation diffrentielle du mouvement.

b- Approximation des petites oscillations. Rcrire l'quation diffrentielle en faisant l'hypothse que restesuffisamment petit pour que sin ~ . Rsoudre cette nouvelle quation diffrentielle : tablir l'quationhoraire du mouvement (t). Cette solution est-elle cohrente avec l'approximation des petites oscillations?

c- Vitesse en fonction de la position. Reprendre l'quation diffrentielle (a-5) du mouvement sans faired'approximation, et l'crire non en fonction de mais de , o (t) = , sous la forme d /dt = f( ) . Aprsavoir dmontr que d /dt = d /d , crire l'quation sous la forme d = f( ) d , puis intgrer membre membre. En dduire l'expression finale de ().

)t(

d- Tension. Reprendre l'quation obtenue par la projection du PFD suivant r u , et en dduire l'expression dumodule de la force de tension du fil en fonction de .

II- Application.Un enfant un peu trop grand se balance de bon cur sur une balanoire dont les cordes sont uses. En quel point dela trajectoire le risque de rupture des cordes est-le plus grand ?

Remarque gnrale : On peut tablir l'quation diffrentielle du pendule simple non seulement par la dynamique(Principe fondamental de la dynamique), mais galement par la conservation de l'nergie mcanique ou encore via


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le thorme du moment cintique. En fait, ces deux dernires mthodes dcoulent du PFD lorsque l'on se limite la Mcanique du Point Matriel : elles permettent d'clairer le mme principe sous des jours diffrents (descriptionnergtique ou bien point de vue de la rotation autour d'un point fixe) bien qu'ils soient plus restrictifs (l'aspectnergtique ne permet pas de calculer la tension de corde par exemple). Dans ce TD, c'est bien sr l'aspectdynamique qui nous intresse, et qui nous permet de traiter le problme de manire assez complte.

I- Rsolution du problme gnral.

a- Equation diffrentielle du mouvement. Rfrentiel : terrestre suppos galilen.Systme : La boule B de masse m constante.

L

O x

y

B

i j

r u

u

Repre : ) j,i,O(R Remarques sur le mouvement : tant que la corde est tendue, le mouvement de laboule est circulaire de rayon L (longueur de la corde) et de centre O (pointd'attache du pendule) : il est donc commode de choisir un repre centr en O, etdes coordonnes polaires. L'exprience montre que si l'on carte le penduled'un angle par rapport la verticale, le pendule oscille autour de laverticale. Il est donc assez naturel et commode de choisir l'axe Ox vertical versle bas; l'axe Oy sera donc choisi horizontal vers la droite pour garder le repredirect.

Mouvement du centre d'inertie de B :

r uLOB = mouvement circulaire de centre O, rayon L

=

=== uL

dtd

d ud

Ldtud

LdtOBd

v r r B

r 2r r

B uLuLdtd

d ud

LuLdtud

LuLdtd

d ud

Ldtud

Ldtvd B =

+=+=

===

(Rappel : r r u

d ud

etud ud =

=

)

La seule inconnue du mouvement est (et ses drives temporelles).

T

P

i

y

xO j

Forces extrieures :Forces distance : Poids de la boule )usinu(cosgmigmP r 00 ==

Forces de contact : Tension du fil r uTT =

On nglige tout frottement La seule inconnue du point de vue forces, est la norme de la tension T .

PFD : dans un repre galilen et pour un systme de masse constante il s'crit :

.syst.syst.systau.ext mF =

Avec ce que nous avons crit prcdemment :

BmTP =+ c'est dire : r 2r r 0 uLmuLmuT)usinu(cosgm =

Projection // :r u2

0 LmTcosgm = (1)

Projection // : (2) u = Lmsingm 0 L'quation (2) ne dpend que de , c'est l'quation diffrentielle du mouvement : 0sin

Lg0 =+

RemarqueCette quation diffrentielle gnrale n'a pas de solution analytique en termes d'quations du mouvement(expression des coordonnes en fonction du temps), c'est dire que l'on ne sait pas la rsoudre avec uncrayon et un papier, sauf dans le cas de "l'approximation des petites oscillations". Hormis quelques casparticuliers, seuls des calculs approchs (effectus par ordinateur de nos jours) permettent de s'en sortir.

b- Approximation des petites oscillations.On fait l'hypothse que est toujours suffisamment petit pour que sin ~ (dveloppement limit l'ordre 1).


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L'quation diffrentielle du mouvement devient : 0Lg0 =+

Rsolution :

Soit la constante positiveL

g00 = . L'quation s'crit .020 =+

Solution gnrale (i.e. l'ensemble de toutes les solutions possibles) : (t)= A cos( 0 t+ )o A et f sont des constantes d'intgration.

(Elle s'crit galement sous d'autres formes quivalentes, telle que B cos( 0 t) + C sin( 0 t). Exercice : ledmontrer en trouvant les relations entre (A, ) et (B,C)).

Solution ( de ce problme particulier) Les conditions initiales, en donnant la valeur de et de la norme de la vitesse l'instant initial t=0, caractrisentle problme particulier qui nous intresse : elles permettent de dterminer la solution, donc la valeur de chacunedes deux constantes d'intgration.

Conditions initiales : On carte le pendule d'un angle 0 par rapport la verticale, le fil tant tendu, et on le lchesans vitesse initiale.

Traduction : (t=0)= 0 et 0)0t(v B == L'quation du mouvement ne dpend que de (t), il nous faut donc traduire la condition de vitesse :Or nous avons crit prcdemment : = uLv B d'o : 0)0t( ==

Calcul de :)t( )t(insAdt

))tcos(A(d dtd

)t( 000 +=+==

Les conditions initiales s'crivent donc : (t=0)= A cos( ) = 0 (1)

(2)0)(insA)0t( 0 === (2) donne : A n'est pas nul car sinon (t)=0 t, il n'y a donc pas de mouvement

donc sin ( ) = 0 : = 0 (ou = : nous verrons que les deux solutions sont quivalentes)(1) donne alors A = 0

La solution s'crit : (t)= 0 cos( 0 t)

Exercice : choisir la solution = , calculer la valeur correspondante de A, et montrer que la solution obtenue eststrictement quivalente celle ci-dessus.

Analyse du rsultat - le mouvement est harmonique (c'est dire de rythme sinusodal), de priode T=2 / 0 .

- l'angle ne dpasse jamais la valeur 0 . L'approximation des petites oscillations sera donc valable si 0 est petit : tel que |(sin 0 0 )/ 0 | < , si l'on travaille avec une prcision relative de %. Par exemple, si l'ontravaille avec une prcision de 4-5% , l'approximation sera valable jusqu' des angles d'environ 30 .

00

maxv)0(v

==

0)(v 0 =

0)(v 0 =

- La vitesse angulaire est maximale

lorsque le sinus est maximal, donc le cosinus minimal, c'est dire en =0, la position basse du pendule. Inversement, lavitesse angulaire est nulle (minimale) lorsque est maximal,c'est dire en =

t)(ins)t( 000 =

0.On peut dire la mme chose du module de la vitesse puisque

comme on l'a montr, = Lv B .

c- Vitesse en fonction de la position.

On ne fait plus d'approximations, on reprend donc l'quation diffrentielle du mouvement : 0sinLg0 =+

On a montr que l'expression de la valeur algbrique de la vitesse est : = Lv B .


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D'oL

v B= et par consquent =

=

==

d vd

L

vd vd

Ldtd

d vd

L1

dtvd

L1 B

2BBBB

En reportant dans l'quation diffrentielle : 0sinLgd vd

v 0B

B =+

On spare les termes en Bv et les termes en : = d sinLgvd v 0BB Puis on intgre membre membre : = d sinLgvd v 0BB Ce qui donne : CcosLgv 0

2B

2

1 += , o C est une constante d'intgration que l'on dtermine par lesconditions initiales : (t=0) = 0 et 0)0t(v B == d'o 0)(v 0B =

Donc . On trouveCcosLg0 00 += 00 cosLgC = .

Alors )(v)cos(cosLg2)(v B00B ==

Analyse du rsultat.- La vitesse est nulle pour = 0 et maximale en = 0 : )cos1(Lg2)0(v 00B = - Les conditions initiales poses ici ne permettent pas d'examiner le cas o le pendule "fait le tour", car il ne

suffit pas de le lcher d'une position 0 , il faut le lancer avec une vitesse initiale non-nulle.

Exercice : tablir l'expression du module de la vitesse en fonction de la position , partir de nouvelles conditionsinitiales 00B v)(v = . Quelle vitesse minimale faut-il donner en =0, pour que B "fasse le tour".

d- Tension.On se place hors approximations. On avait crit l'quation (1) qui fait intervenir la tension du fil :

20 LmTcosgm = (1)

Nous avons montr prcdemment (au c-), queL

v B= et que )cos(cosLg2)(v 00B =

D'o : +=+ = cosgm)cos(cosLgLm2

cosgmLv

LmT 00002

B

On trouve donc : )cos2cos3(gmT 00 =

Analyse. La tension du fil n'est jamais nulle, elle est maximale au point bas = 0 et minimale au point le plus haut = 0 :

- Pour = 0 : )cos23(gmT 00 =

- Pour = 0 : 00 cosgmT = Exercice : examiner la tension du fil lorsque le pendule "fait le tour".

II- Application. Analyse du problme : le risque de rupture est le plus grand, l o la tension de la corde est la plus grande. Rsolution : on assimile la balanoire un pendule simple et on reprend les rsultats obtenus au I-d-. Analyse des rsultats: la tension de corde est la plus importante au point bas de la trajectoire . En ce point lavitesse (voir I-c-) est horizontale et de module maximal : l'enfant va partir en "vol plan", avec une vitesse initialeimportante; si la hauteur de la balanoire est relativement importante, les dgts risquent d'tre importants.Par contre, si la chute avait lieu au point le plus haut ( = 0), ce qui est le cas le moins probable en matire derupture de corde, la vitesse de l'enfant serait nulle : l'enfant ne ferait que tomber sur ses fesses ou sur ses pieds, dela hauteur de la balanoire en = 0.Conclusion : si les cordes sont uses, a vaut la peine de les changer.3.2** Un gamin laisse glisser une bille B de masse m, dusommet S d'une butte en forme de demi-sphre de centreO et de rayon R. On supposera les frottementsngligeables.

yx

S B

z

O

1- Calculer la vitesse de la bille en fonction de l'angle


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= , au dessus du sol (en haut de la demi-sphre,

SOB

min=0).2- Pour quelle valeur de la bille dcolle t'elle de la

demi-sphre? (crire la condition de dcollage).

Remarque : cet exercice est similaire l'exercice 3.1 1-

Rfrentiel : terrestre suppos galilenSystme : bille B suppose ponctuelle, de masse m

Repre : )k , j,i,O(R

Mouvement : circulaire de rayon R et de centre O , dans le plan vertical yOz (tant que la bille reste en contact avecla butte).

yO

z

j k

r u

u B

R

Systme de coordonnes : coordonnes polaires B(R, ) dans le plan zOy.

ATTENTION : et ne sont pas directes. Cependant) j,k ( )u,u( r d ud r est

le vecteur unitaire obtenu par rotation de2+ dans le sens positif de .

tournant dans le sens indirect, on a bien = ud ud

r

.

* r uR OB =

* == uR dtOBd

v B

* r 2B

B uR uR dtvd == (car r ud

ud = )

yO

z

j

k

BP

BR B

R

Forces :

* distance : poids de B ( )== usinucosgmk gmP r 00B

* de contact : raction normale de la butte r BB uR R

= frottements avec la butte ou l'air : ngligeables

PFD : BBB mR P =+

projection // :r u2

B0 R mR cosgm =+

projection // :u = R msingm 0 Equation diffrentielle du mouvement : 0sin

R g0 =

Elle ressemble un peu celle du pendule simple. Il n'est pas possible de la rsoudre analytiquement. Ici cependant, il nesemble pas raisonnable de faire l'approximation des petites oscillations, car semble pouvoir devenir assez grand. Par contreon a vu comment calculer la vitesse en fonction de la position dans tous les cas.

"Equation diffrentielle de la vitesse" := R v B

( BB vv = car : par exprience, la bille va vers le sol donc ne cesse d'augmenter)0

On peut donc crire : = R dtvd B d'o 0sing

dtd

d vd

singdtvd

0B

0B =

=

OrR

v B= d'o 0singR d vd

v 0B

B = .

Intgration par sparation des variableson intgre = d singR vd v 0BB : = d singR vd v 0BB


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ce qui donne CtecosgR Ctev21

02

B +=+

D'o += cosgR 2Cv 0B o C est une constante d'intgration que l'on dtermine avec les conditionsinitiales.(attention : on doit obtenir ) cosgR 2C 0 Conditions Initiales. A t = 0, B est au point S sans vitesse initiale : (t=0)= 0 et v(t=0)= 0 .

Ce qui se traduit par : 0gR 2C0 = et donc 0gR 2C = (on a bien ) cosgR 2C 0 D'ou la solution : )cos1(gR 2v 0B =

2- Condition de dcollage : Si B n'est plus en contact avec la butte, alors la raction de la butte est nulle.BR

Il nous faut donc valuer r BB uR R = , ce que l'on peut faire l'aide de la premire quation obtenue par

projection du PFD : 2B0 R mR cosgm =+ . Comme R v B= et )cos1(gR 2vv 0BB == ,

on a : )cos1(gm2cosgmR

vmcosgmR 00

2B

0B ==

D'o la solution )2cos3(gmR 0B =

Or BR doit rester positive; lorsqu'elle s'annule, la bille dcolle pour une valeur de = max. Ce qui se traduit

par la condition . On trouve0)2cos3(gm max0 = 32

cos max = et max= 48.

Aprs dcollage, la bille a un mouvement de chute libre parabolique avec une vitesse initiale

)(ugR 3

1v

maxr 0B = .

Remarque : Si en un point M 1 tel que 1 < max , on trace la trajectoire qu'aurait la bille en chute libre partir de M 1 (comme si la butte s'interrompait brutalement en M 1) . La vitesse initiale serait )(u)cos1(gR 2v 1r 10B =

: cette trajectoire serait " l'intrieur" de la butte! C'est

ce qui explique que la "bille appuie sur la butte" (qui ragit par BR ).Par contre, partir de max , cette trajectoire est "en dehors" de la butte : la "bille n'appuie plus sur la butte", laraction de la butte est nulle, la bille a dcoll.

z

O y

max

)(v

parabole de chute libre

z

O y

max

)(v max

parabole de chute libre

3.3** Exercice de tronc commun Un projectile ponctuel de masse m est lanc partir du sol avec une vitesse initiale de module v 0 et dont ladirection fait un angle avec l'horizontale. Il est soumis une force de rsistance de l'air . vk F

=1- Etablir les quations diffrentielles du mouvement.


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2- En dduire les expressions des composantes v x(t) et v y(t) de la vitesse. Etablir l'expression de la vitesse limitede chute dans l'air ?

3- En dduire les quations du mouvement x(t) et y(t). Dessiner l'allure de la trajectoire.Question supplmentaire (application) : un homme qui tombe en chute libre atteint une vitesse limite d'environ

200km/h. Estimer la valeur (approximative) du coefficient de frottement.

1- Rfrentiel : terrestre suppos galilen.

t = 0

y

x

0v

O i

j

Systme : Le projectile M de masse m constante. Repre : R ( ) j,i,O ; coordonnes cartsiennes Mouvement du centre d'inertie de M :

jyixOM += jyixdtOMd

v +==

jyixdt

vd +==

Il y a deux inconnues pour le mouvement, x(t) et y(t).

Forces extrieures :Forces distance : Poids de M jgmP 0=

P F Forces de contact : Frottements avec l'air ) jyix(k vk F +==

La seule inconnue qui apparat dans le bilan de forces, est la vitesse de M.

tPFD : dans un repre galilen et pour un systme de masse constante il s'crit :

.syst.syst.systau.ext mF =

Soit c'est dire :=+

mFP ) jyix(m) jyix(k jgm 0 +=+ Projection // Ox: xmxk = Projection // Oy: ymyk gm 0 =

Les quations diffrentielles du mouvement sont donc : xxmk

0 +=

yymk

g0 +=

2- Il est commode pour les rsoudre de passer par la vitesse jvivv yx += , sachant que jdtdv

idt

dv yx

+=

Ces quations s'crivent alors : xx vvmk

0 += (1)

yy0 vvmk

g += (2)

Rsolution :

- solution gnrale de l'quation (1) :t

xxmk

eAv

= - solution de l'quation (2) sans second membre ( yy vvm

k 0 += ) :

tyssm,y

mk

eAv=

solution particulire de l'quation (2) complte :

on essaie v yp = cte : 0vmk

g yp0 += ; d'o 0yp gk m

v =

solution gnrale de l'quation (2) complte : 0t

yypssm,yy gk m

eAvvv mk

=+=

A x et A y sont des constantes d'intgration dterminer par les conditions initiales :donc v jsinvicosv)0t(v 00 +== y(t=0) = v 0 sin et v x(t=0) = v 0 cos

d'o : 0y0 gk mAsinv = donc 00y gk

msinvA +=

x0 Acosv =


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Les quations horaires de la vitesse sont donc :t

0xmk

ecosv)t(v=

0t

00y gk m

e)gk m

sinv()t(v mk

+=

Vitesse limite :On s'aperoit que lorsque t + v x 0 et v y - m g 0 / k = cte

La vitesse tend devenir verticale et constante de norme : v lim = - m g 0 / k

3- Pour obtenir les quations horaires du mouvement, il suffit d'intgrer les quations horaires de la vitesse :

xt

0t

0 Cecosvk m

dtecosv)t(x mk

mk

+==

y0t

000t

00 Ctgk m

e)gk m

sinv(k m

dtgk m

e)gk m

sinv()t(y mk

mk

++=

+=

Les constantes d'intgration C x et C y sont calcules par les conditions initiales : x(t=0) = 0 et y(t=0) = 0.

Ce qui donne : = cosvk m

C 0x

et )gk m

sinv(k m

C 00y +=

La trajectoire tend vers une asymptote verticale. t = 0

0v

= cosvk m

x 0

Question supplmentaire : Un homme qui tombe en chute libre atteint une vitesse limite d'environ 200km/h .Or nous avons montr que v lim = - m g 0 / k . Donc pour un homme de poids 80kg,

on trouve k = m g 0 / vlim = 80 9,8 / 56 = 14 S.I.


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5** On laisse tomber une bille sphrique de masse volumique B et de rayon a, dans un tube vertical contenant unliquide de masse volumique L. Le liquide tant visqueux, la bille sera freine par l'action d'une force de frottementvisqueux dont l'expression est donne par la loi de Stokes : vF

= , o est le coefficient de viscosit duliquide et est le facteur de forme : = 6 a pour une sphre.

1- Etablir l'quation diffrentielle du mouvement en mettant bien en vidence chaque tape du raisonnement.

Montrer que l'on peut l'crire sous la forme =+ v

dtdv

, en explicitant et en fonction de B, L, a, et g.

2- Quelles sont les units de la viscosit , de et de ? (vrifier la cohrence dimensionnelle des rsultats).3- est appel temps caractristique d'tablissement du rgime permanent. Justifier ce nom, puis dterminer la

vitesse limite de chute de la bille en rgime permanent.4- Application numrique pour le cas de la chute d'un grain de poussire dans l'air, sachant qu'un grain de poussire a un diamtre d'environ 10 -2 mm, une masse volumique d'environ 2 g.cm -3, et que la viscosit de l'airest 1,8 10 -5 S.I.

Question supplmentaire : tudier le rgime transitoire.

1- Rfrentiel terrestre galilen. Repre )k ,O(R

BP

AF f

Ok Systme la bille B de masse B

3

3

4 am = Mouvement rectiligne vertical

k zOB =

k zdtOBd

v B ==

k zdtvd B

B == z Forces extrieures

- A distance : poids de B k gaP 0B3

34

B =

- De contact avec l'air :- force d'Archimde k gak gmF 0L

334

0dplacfluideA == , la bille tant totalement immerge.(la force d'Archimde correspond la rsultante des forces de pression (forces normales) exerces par le liquide sur B)

- force de frottements visqueux avec le liquide (force tangentielle) k za6va6f B ==

PFD BAB mf FP =++

projection sur Oz zaza6gaga B3

34

0L3

34

0B3

34 =

Equation diffrentielle du mouvement 0B

L

B2 g1za2

9z

=

+

Or Bvz = et BB vz == d'o

Equation diffrentielle pour la vitesse 0B

LB

B2B g1va2

9v

=

+

Cette quation est du type =+ BB v

1v o

= B2a

92

et 0B

L g1

=

2- d'o [ ]Bva6f = [ ]

[ ][ ] [ ]11

1

2

BTLM

]L[]TL[

TLMav

f

=== . Unit S.I. : kg m -1 s-1

0B

Lg1

= d'o [ ] [ ]2

0 TLg

== . a la dimension d'une acclration. Unit S.I. : m s-2


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= B

2a92

d'o [ ] [ ] [ ] [ ]T]TLM[

LML][

a11

32B

2==

=

. a la dimension d'un temps. Unit S.I. : s

3- Au dpart , donc la force de frottement0v B = 0f = t = 0. Ensuite, sous l'action de la force constante AB FP + , Bv augmente et donc f augmente galement jusqu' ceque f quilibre . Alors la vitesse ne peut plus augmenter (AB FP + 0B = ); elle a atteint une valeur limite itelimv .

- Le rgime permanent est celui pour lequel itelimB v)t(v

= - Le rgime transitoire prcde le rgime permanent : itelimB v)t(v

< - s'appelle le temps caractristique d'tablissement du rgime permanent. C'est une mesure temporelle

standard qui permet d'avoir une ide de la dure d'tablissement du rgime permanent (cf d-).

Calcul de : est tel queitelimv itelimv 0f FP AB =++ donc dtvd

0 limBB == .

On a donc =+ limBlimB v

1v . Comme 0v limB = , =limBv

4- Application numrique pour un grain de poussire dans l'air.a = 5 10 -6 m = 1,8 10 -5 S.I. B = 2 10

3 kg m -3 g0 = 9,8 m s-2 et L = 1,2 10

3 kg m -3

On trouve = 0,62 10 -4 s ; g0 car L 5 ( 1% prs sur la vitesse).(Il est "atteint" pour t > 2 15% prs)


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3.6** Exercice de tronc communUn tube rectiligne tourne dans un plan horizontal la vitesse angulaireconstante autour d'un axe vertical passant par son centre. A l'instant t=0on lche un point matriel la distance d o de l'axe, ce point glisse sansfrottements l'intrieur du tube. On travaille dans le rfrentiel terrestresuppos galilen.1- exprimer d(t), distance entre le point et l'axe au cours du temps.2- exprimer la raction du tube, en module et direction.3- reprsenter la trajectoire du point une fois ject du tube de longueur 2L.Montrer que l'angle de sortie est indpendant de .

O

d ( t )

M

L

1-y

x M

Oi

j

r u

r

u

Plan horizontal

Rfrentiel : terrestre suppos galilen.Systme : Le point matriel M de masse m constante.

Repre : )k , j,i,O(R Remarques sur le mouvement : M se dplace l'intrieur du tube, qui estlui mme en rotation uniforme autour de l'axe vertical. La vitesseangulaire de M est donc celle du tube, , qui est constante. Il est donc

commode de travailler dans un systme de coordonnes polaires, dans le plan horizontal.

Mouvement de M :

r ur OM = la coordonne polaire r mesure la position d de M dans le tube, partir de O.

+=+=

+=+== ur ur ur ur

dtd

d ud

r ur dtud

r ur dtOMd

v r r r

r r

r car =

dtd

+=+++== ur 2u)r r (dtud

r ur ur ur dt

vd r r

2

car est constant.

(Rappel : r r u

d

ud etu

d

ud =

=

)

En intgrant l'quation =dtd

, on peut calculer directement (t) = t + 0 = t si l'on choisi l'axe Ox tel que

(t=0) = 0. La seule inconnue du mouvement est donc r(t).

Forces extrieures :Forces distance : Poids de M k gmP 0=

R y

P

O

z

zR

Forces de contact

- Raction normale du tube : elle est perpendiculaire au tube doncelle n'a pas de composante le long du tube, c'est dire suivant r u .

La composante R r est nulle, donc += uR k R R z . On ne peutrien affirmer de plus, part qu'il est raisonnable de penser que R z est dirige vers le haut (le tube empche M de tomber).

x- On nglige tout frottement. Les inconnues du point de vue des forces sont R z et R .

PFD : dans un repre galilen et pour un systme de masse constante il s'crit : .syst.syst.systau.ext mF =

=+

mR P c'est dire : )ur 2u)r r ((muR k R k gm r z0 2 +=++

Projection // : (1)r u )r r (m0 2= Projection // : (2) u = r 2mR Projection // :k 0R gm

z0 =+ (3)

Remarques- Si l'on avait oubli le terme R , , l'quation (2) donnerait alors 0r = , c'est dire r = cte : ce qui veut dire que Mresterait immobile par rapport au tube, quelles que soient les conditions, ce qui n'est pas vraisemblable.


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- L'quation (1) donne l'quation diffrentielle du mouvement en r(t) : 0r r 2 =

Rsolution de 0r r 2 = 1- solution gnrale o A et B sont des constantes d'intgrationtt- eBeAr(t) + += 2- dtermination de A et B par les conditions initiales.

C.I. : on lche M la distance d 0 de l'axe : r(t=0) = d 0 et 0)0t(v == Or l'instant t=0, M n'est pas immobile puisqu'il est entran par la rotation du tube. Il a un mouvementcirculaire et donc sa vitesse est orthoradiale (// u ) . Sa vitesse radiale, c'est dire le long du tube (// r u ),est donc nulle. Le vecteur vitesse s'crit de faon gnrale += ur ur )t(v r . On a donc :

- est orthoradiale :)0t(v = )0t(ud )0t(v 0 ===

.

Plan horizontal

xt = 0t1

O

y

d 0

t4t3

t2

- On en dduit que .0)0t(r == D'o : d 0 = A + B

et comme on a 0 = (B - A ) tt- eBeA-(t)r + += Donc A=B= d 0 /2

- Solution : )ee(2

d r(t)d(t) tt-0 + +==

Analyse du rsultat. d augmente avec le temps, donc M a unmouvement en spirale vers l'extrieur : M sera finalement ject dutube.

2- On reprend les quations (2) et (3) : = r 2mR (2) 0R gm z0 =+ (3)

On trouve donc

z0tt

02

z0zz ugmu)ee(d mugmur 2muR uR R +=+=+= +

20

2tt20

42z

2 g)ee(d mR R R +=+= +

Plan horizontal

O x

y

Nm

=

mR M

m Remarque : la composante R , oriente dans le sens de la rotation,manifeste l'action du tube sur M. Cette force est responsable dumouvement : ==++ muR uR k R P z . Si cette force n'existait

pas, le mouvement de M serait rectiligne uniforme dans la direction de (c'est ce qui se passe lorsque la bille arrive au bout du tube) : on voit sur ledessin que la coordonne r de M augmenterait dans ce cas. La force R oblige M rester dans le tube, et donc incurve la trajectoire, mais elle ne

peut empcher M de "partir vers l'extrieur" (i.e. r augmente). En terme d'acclration, on a donc une acclration orthoradiale(suivant ). (Attention, bien que , la composante radiale de

l'acclration (suivant ) est nulle car ).

u 0)t(r

r u 0r r 2r == L'acclration orthoradiale se dcompose en une composante tangentielle (oriente dans le sens de la vitesse, carle module de la vitesse augmente) et une composante normale qui incurve la trajectoire.

3- M arrive au bout du tube l'instant t final , lorsque

)ee(2

d L)d(t finalfinal tt-0final

+ +== . La vitesse est alors :

finalv

Plan horizontal

xO

y

finalr v finalv

+=+= +

uu2ee

d ud u)t(r )t(v r tt

00r finalfinal

finalfinal

L'angle de sortie est tel que:

finalfinal ttfinalr

final

ee

2)t(v)t(v

tg +

==


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Calcul de2

ee finalfinal tt + en fonction de

0

tt

d L

2ee finalfinal =+ +

.

Si l'on connat les fonctions hyperboliques, c'est simple. Sinon, il fautmontrer que :

finalv

M

finalv finalr v

20

22tt2tt

d

L1

2ee

12

ee finalfinalfinalfinal =

+=

++

D'o :22

0

0Ld

d tg

= . est bien indpendant de .

Q UESTION SUBSIDIAIRE : On peut traiter ce problme en raisonnant dans le rfrentiel tournant (non-galilen)li au tube : essayez (aprs le cours sur les changements de rfrentiels).

Soit un rfrentiel R'(O,x',y',z) li au tube. Pour traiter le problmedans ce rfrentiel tournant, donc non galilen, il nous faut crire lemouvement d'entranement de ce rfrentiel R' dans le rfrentiel Rterrestre galilen : le centre O de R' est celui de R; les axes Ox' et Oy'tournent vitesse angulaire constante par rapport aux axes Ox etOy de R; l'axe Oz est le mme. L'entranement est donc dcrit par levecteur vitesse angulaire d'entranement k = , qui est constant.

x'

y

z

O

y'

xOn peut donc exprimer l'acclration absolue de M dans R, en

fonction de l'acclration relative de M dans R' de la manire

suivante :

ar

r r a v2)OM( ++= , o r v est la vitesse

relative de M dans R'.

PFD : Dans R, le PFD s'crit : . amR P =+

Dans R' on crira donc : r r mvm2)OM(mR P =+

, en faisant basculer les deux termesd'inertie d'entranement )OM(m

et complmentaire r vm2

(Coriolis) du ct des forces.

Mouvement dans R' :

i

r u

y

Plan horizontal

x'

x

MO

y

'i

u

' j

'i'x

'R /dtOMd

v r == et 'i'x'R /dtvd r

r == 'i'xOM =

Remarques :- la coordonne polaire r utilise dans R, correspond x' : x' = r

(de mme : et )'iu r = ' ju = - attention 'i est immobile dans R' .

Calcul des termes d'inertie dans R' :

'i'x)' jk ('x))'ik (k ('x)OM( 222

=== ' j'x2)'ik ('x2v2 r ==

(remarque : et )' j'ik = 'i' jk =

Ecriture des forces dans R' : et k R ' jR R z'y +=k gmP 0=

Rcriture du PFD dans R' : 'i'xm' j'xm2'i'xm' jR k R k gm 2'yz0

=+++

projection suivant Ox' : (1)'xm'xm 2 = projection suivant Oy' : (2)0'xm2R 'y = projection suivant Oz : 0R gm z0 =+ (3)


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phy121 td3 corrige

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