performances asymptotiques des égaliseurs fractionnés

$: Performances asymptotiques des égaliseurs fractionnés$
pp. 51%526 517

Patrick V A N D A M M E *

Michel J O I N D O T *

Olivier ACX **

Performances asymptotiques des 6galiseurs fractionn6s

Analyse

L'article pr&ente une mdthode de calcul de l'erreur quadratique moyenne (EQM) en sortie d'un dgaliseur lindaire fractionnd de longueur infinie. L'EQM est calculde fi partir des caractdristiques spectrales du canal de transmission, pour des retards dldmentaires de l'dgaliseur qui sont une fraction de la pdriode de transmission du systkme. De plus, pour certains retards dldmentaires particuliers, la structure dquivalente de l'dgaliseur est explicit~e. Une application de cette mdthode est donnde dans le cadre de la transmission par voie hertzienne. Elle montre que si la sensibilitd de I'EQM ~ la phase de l'instant d'dchantillon- nage est importante dans le cas d' un dgaliseur synchrone, celle-ci dderoft trks rapidement avec la valeur du retard dldmentaire pour un dgaliseur .fractionnd.

Mots el6s : Egaliseur, Nombre fractionnaire, Erreur quadratique moyenne, Optimisation, Distorsion repliement, Filtre transversal, Communication donn6e, D6tection signal, Canal avec bruit.

is shown that the mean square error sensitivity to the timing phase, though important for synchronous equa- lizers, is a fast decaying function of the fractional tap-spacing.

Key words : Equalizer, Fractional number, Mean square error, Optimization, Aliasing, Transverse filter, Data communication, Signal detection, Noisy channel.

Sommaire

I. Introduction.

II. Prdsentation du probldme.

III. Expression spectrale de I'EQMM.

IV. Solution dans deux cas particuliers.

V. Solution du systdme lorsque A = pT]q.

VI. Exemple d'application.

VII. Conclusion.

Annexes.

Bibliographie (13 rdf ).

ASYMPTOTICAL P E R F O R M A N C E OF FRACTIONAL

TAP-SPACING E Q U A L I Z E R S

Abstract

The analytical method for deriving the mean square error at the output of a linear fractional tap-spacing equalizer with an infinite number of taps is presented. The mean square error is expressed as a function of the spectral characteristics of the transmission channel, and for equalizer tap-spacings which are a rational part of the system symbol period. Moreover, for particular tap-spacing values, the equalizer equivalent structure is detailed. This method is applied to a particular case related to radiolink transmission system. It

I. I N T R O D U C T I O N

Pour un canal de transmission dont le seul pertur- bateur est un bruit additif, le r6cepteur lin6aire optimal minimisant l 'erreur quadratique moyenne (EQM) est constitu6 d 'un filtre adapt6/~ la fonction de transfert du canal en s6rie avec un filtre transversal de retard 616mentaire 6gal 5. la p6riode de transmission des symboles et de longueur infinie [1], [2]. Le caraetSre optimal de cette structure de r6cepteur est d'ailleurs v6rifi6 pour d 'autres crit6res pertinents de mesure de la qualit6 de la transmission (probabilit6 d'erreurs,...) [3], [4]. On donnera le nom d'6galiseur synchrone / t u n tel filtre transversal (sa longueur infinie &ant sous-entendue). Dans les cas fr6quents off la fonction

* CNET LAB/MER, 22301 Larmion. ** ENSET, 61, avenue du Pr6sident Wilson, 92230 Cachan.

1/10 ANN. T~L~COMMUN., 42, n o 9-10, 1987

518 P. VANDAMME. - PERFORMANCES ASYMPTOTIQUES DES I~GALISEURS FRACTIONNI~S

de transfert du canal est inconnue du r6cepteur, le filtre adapt6 dont le r61e est d'optimiser le rapport signal sur bruit aux instants de d6cision est g6n6ralement remplac6 par un filtre passe-bas.

L'EQM 5. la sortie de l'6galiseur est alors fortement d6pendante du choix de l'instant d'6chantillonnage, l'6galiseur travaillant sur le spectre du signal repli6 dans la bande de Nyquist. Un mauvais choix de cet instant peut en effet conduire 5. des pertes de puissance importantes dans les bandes de fr6quence oh les r6pliques du spectre se recouvrent [5].

L'utilisation d'6galiseurs fractionn6s, se diff&enciant de l'6galiseur synchrone par un retard 616mentaire inf&ieur 5. la p6riode de transmission permet d'6viter ce ph6nom6ne [6-10], [13]. Si l 'on choisit le retard de telle sorte que le spectre ne soit plus affect6 par Fop&a- tion de repliement, I'EQM devient alors totalement ind6pendante de l'instant d'6chantiIlonnage [7], [8]. Dans ce cas, l'6galiseur fractionn6 seul constitue le r6cepteur lin6aire optimal, 5. condition que la puissance de bruit soit limit6e 5. son entr6e [8, 9]. L'EQM minimale correspondante peut ~tre alors calcul6e 5. partir des caract6ristiques spectrales du canal de transmission et de la densit6 spectrale du bruit additif [9]. Une expression analytique pour I'EQM est 6galement dispo- nible dans le cas g6n6ral des 6galiseurs synchrones [5]. Par contre, nous ne disposons d'aucune information sur la mani&e dont se comporte I'EQM lorsque le retard 616mentaire, bien qu'inf6rieur 5. la p&iode de transmission, laisse subsister une zone de recouvrement dans le spectre repli6. Cet article pr6sente une m6thode de calcul de I'EQM pour des valeurs de retards 616men- taires qui sont une fraction de la p&iode de transmission. Son organisation est la suivante : dans le paragraphe II, aprSs une pr6sentation des notations adopt6es, nous rappelons l'expression g6n6rale de I'EQM pour des 6galiseurs fractionn6s. Les relations spectrales 6quivalentes sont donn6es dans le paragraphe III. Les solutions pour diff6rentes valeurs particuliSres du retard 616mentaire sont donn6es dans le paragraphe IV. La solution g6n6rale est explicit6e au paragraphe V pour une valeur de A[T 6gale 5. un nombre rationnel quelconque. Enfin, le paragraphe VI pr6sente une application particuli&e de la m6thode d6crite pr6c6demment.

II. PRI~SENTATION DU PROBL~,ME

Eak 8 (t- kT) [

n(~)

1. -- Schema d'ensemble du syst6me de transmission.

Block-diagram of the transmission system.

d'arriv6e des donn6es ak qui sont suppos6es v&ifier la relation :

(2) Ig[ak a*] = (r~ 8kin,

8k,. &ant le symbole de Kronecker et ~. une constante. On appelle E( f ) la fonction de transfert obtenue par raise en cascade du filtragc d'6mission et du milieu de transmission.

Le signal est regu en pr6sence d 'un bruit complexe n(t) dont les parties r6elIe et imaginaire sont des bruits blancs gaussiens centr6s, 5. spectre plat dans une bande de fr6quence large devant celIe des signaux utiles, ind6pendants, de densit6 spectrale bilat&ale No.

Nous consid&ons un r6cepteur form6 par la raise en cascade d 'un filtre d'entr6e de r6ponse impulsionnelle r(t), fonction de transfert R ( f ) et d 'un filtre transverse de pas A, de longueur infinie, c'est-5.-dire ayant une fonction de transfert de la forme :

k = -b oo

(3) C(f ) --- A ~ c k e -2J=ks'a. k = --ct~

Le signal 5. l'entr6e de l'6galiseur transverse s'exprime sous la forme :

(4) x(t) = ~ a~ s(t - - kT) + b(t), k

oh s(t) est la r6ponse impulsionnelle du filtre de fonction de transfert :

(5) S ( f ) ---- E ( f ) R( f ) ,

et b(t) est un bruit gaussien complexe dont les parties r6elle et imaginaire be(t) et bs(t) sont, 5. l 'instant t, deux variables al6atoires gaussiennes ind6pendantes de variance :

(6) a 2 = No IN(f)[ 2 df , , ) - m

Le syst+me de transmission, repr6sent6 h la figure 1, est dans le cas le plus g6n6ral, la repr6sentation en bande de base d 'un syst~me r6el. Les donn6es trans- mises, les r6ponses impulsionnelles des filtres et le bruit sont en cons6quence des grandeurs complexes.

La source 6met le signal :

(1) • ak 8(t - - kT), k

oh 3(t) est la distribution de Dirac, T -1 le rythme

Le signal (complexe) h l'entr6e du circuit de d6cision s'6crit :

k = + or)

(7) y ( t ) = ~] c k x ( t - k A ) .

A l'instant to + kT, to d6signant une constante caract6risant l 'instant d'6chantillonnage, le circuit de d6cision d6cide, compte tenu de la r6gion du plan complexe oh se trouve y(to + kT) ---- Yk le k-i6me symbole 6mis.

Les coefficients c k de l'6galiseur sont choisis afin

ANN. T~LI~COMMUN., 42, n ~ 9-10, 1987 2/10

P. V A N D A M M E . - P E R F O R M A N C E S A S Y M P T O T I Q U E S DES I ~ G A L I S E U R S F R A C T I O N N t ~ S 519

de minimiser l 'erreur quadratique moyenne exprim6e par :

(8) ~2 = n:{ly~ _ a~[~}.

La m6thode pour trouver le vecteur optimal C = [c -~~ .... c 1, ..., c~] west classique [ll] et seul le r6sultat est rappel6.

Le vecteur des coefficients de l'6galiseur optimal C v6rifie la relation :

[ ' ]* (9) A + _-27 Pb �9 C = S*,

(Ya

off * indique la quantit6 conjugu6e.

A est la matrice de terme g6n6ral :

(10) ~ f l = E Smk(Sml) *, m

en posant :

( l l ) Skin = S(t0 -- mT q- kA),

Pb est la matrice de corr61ation du bruit du terme g6n6ral :

u = R~[(k - - l) A],

Rb(.) 6tant la fonction d'autocorr61ation de b(t). S est le vecteur colonne de composantes sff k,

k = - - o % + ~ . L'6quation (9) permet donc le calcul du vecteur

optimal comme solution d'un syst~me d'6quations lin6aires.

Dans le cas off A est 6gal /t T, la matrice A est une matrice de Toeplitz et l'6quation (9) se r6sout facile- merit par transformation de Fourier, conduisant "~ l 'obtention de la fonction de transfert du filtre transverse.

Substituant le vecteur optimal dans l'expression de ~2, on obtient l'expression de l 'erreur quadratique moyenne minimale (EQMM) :

(12) ~ = ~ [ 1 - c �9 . s ] .

Appelant h(t)la r6ponse impulsionnelle de l'ensemble de la chalne de transmission :

in= +co

(13) h(t) = ~] c" s ( t - - mA), m = --no

et posant :

(14) hk = h(to + kT),

r s'6crit encore :

(15) z 2 = a2(l - - ho).

D'une mani6re g6n6rale, l '6quation (9) permet le calcul du vecteur optimal comme solution d 'un syst~me d'6quations lin6aires et l '6quation (12) permet d'en d6duire I'EQMM. L'expression de I'EQMM en fonction des caract6ristiques spectrales du canal de transmission peut ~tre facilement obtenue lorsque le pas A du filtre transverse coincide avec la p6riode d'6mission des donn6es T. Dans ce cas, la matrice A 6tant une matrice de Toeplitz, l '6quation (9) trouve simplement son 6quivalent spectral par transformation de Fourier. La mise en 6quation dans le domaine

spectral, applicable dans le cas g6n6ral, va maintenant 6tre d6velopp6e.

Notations. Dans toute la suite, on posera :

(16-a) x~' = X(to § kT + mA).

Quand ru n des indices est nul, il est omis pour all6ger l'6criture :

(16-b) Xk= x ~ x m = x"d.

Quand on consid~re la r6ception d'impulsions de transform6e de Fourier S(f ) en pr6sence de bruit de densit6 spectrale de puissance B(f) , on parle de la configuration (S(f), B(f)).

HI. EXPRESSION SPECTRALE DE L ' E Q M M

L'expression (15) montre que FEQMM est fonction uniquement de l'6chantillon principal (ho) de la r6ponse impulsionnelle globale de la chaine de transmission. Pour obtenir une expression spectrale de I'EQMM, on utilise la relation classique liant la version 6chantillonn6e d 'une fonction f(t) h sa transform6e de Fourier F( f ) .

(17) ~Ae-2lr~kfr~k 1 ~ Iy f + - - ~ F (f) .

On en d6duit alors que ho s'exprime par :

soit finalement :

= 2 il/2T ( 1 r ) (18) e 2 T 1 - - % .,- , /2T ~ H ( f ) df,

off H ( f ) est la fonction de transfert globale de la chaine de transmission.

La fonction de transfert globale H ( f ) est le produit des fonctions de transfert de l'6galiseur et de la cbaine de transmission en amont de ce dernier. On en d6duit done simplement que :

(19) H r ( f ) = A- l [S(f) C(f)] r.

II reste alors /t obtenir l'expression spectrale de C(f) . Pour ce faire, on utilise la relation matricielle (9) qui peut encore s'6crire ligne /t ligne :

(20) ~ ( ~ " + ~;~ v~-") * c" = (s-~) *. n

Utilisant la technique de transformation expos6e ci-dessus, on obtient comme explicit6 en annexe I :

(21) AS*a(f) = Ba(f) C(f ) +

B(f ) est par d6finition 6gal a N O ~;21R(f)[2, c'est-fi- dire la densit6 spectrale de bruit normalis6e par ~r 2 .

3/10 ANN. Tt~LI~COMMUN., 42, n ~ 9-10, 1987

520 P. VANDAMME. - PERFORMANCES ASYMPTOTIQUES DES EGALISEURS FRACT1ONNI~S

D'une mani6re g6n6rale, cette expression ne permet pas d'obtenir une expression explicite de C(f ) en fonction de S(f) et B(f).

Tenant compte de la p6riodicit6 de C(f), la bande de fr6quence d'analyse est [-- 1[2 A, 1/2 A]. Dans cette bande, seules les fr6quences correspondant b. des valeurs non nulles de Ba(f) contribuent effective- ment au calcul de ~2. Afin de simplifier la pr6sentation, nous faisons l'hypoth~se non restrictive que Ba(f) ne s'annule pas sur l'intervalle [-- 1/2 T, 1 [2 T]. Ceci correspond au cas courant o/a le filtre de r6ception ne pr6sente pas d'att6nuation infinie dans sa bande passante. Les d6veloppements suivants sont donc tous effectu6s pour une fr6quence appartenant ~t cet intervalle.

Dans ce cas, l'6quation (21) devient :

Reportant (22) dans l'expression de HT(f), on obtient finalement le syst6me lin6aire (de dimension infinie), comme d6taill6 dans l'annexe II :

k=+Qo

k= -oo (23)

off :

(24)

(25) ~..k(f) = 3.k +

~k(f) = I _ ~ , H r f _ _ ,

( f n l) s . ( f k 1) 1 t=+oo S A - - A

Rapprochant l'expression (24) de (18), on constate que ~2 s'exprime directement en fonction de t~ par la relation :

~II2T

(26) ~2 = a~ T \ ~o(f) d f ,)-- l]2T

La r6solution du syst~me (23) se r6duit donc ~t la recherche de la solution ~o(f). On notera par ailleurs que les fortctions ~"(f) se d6duisent toutes de ~o(f) par la relation :

(27) ~"(f) = t ~ n/A). L'obtention de I'EQMM en fonction des caract6ristiques spectrales de la chaine de transmission et du bruit n6cessite le calcul de la fonction ~o(f). Une solution g6n6rale valable pour une valeur quelconque de A n'a pu &re trouv6e.

En revanche, le calcul a pu &re men6 h bien dans le cas off AT -a est rationnel, c'est-h-dire :

(28) A = Tp[q, p et q entiers.

Ce cas a une importance pratique toute particuli~re. En effet, dans les cas fr6quents en technique t616-

phonique bas-d6bit off l 'implantation de l'6galiseur est r6alis6e en technologic num6rique, le retard 616- mentaire A ne peut plus ~tre choisi compl6tement ind6pendamment de T. Ceci est par contre possible dans les cas off le filtre transversal est r6alis6 de mani6re analogique. En implantation num6rique, les choix possibles se restreignent h ceux v6rifiant la relation (28). Quelle que soit la valeur de p (inf6rieure

q), la cadence d'6chantillonnage minimale du signal l'entr6e de l'6galiseur est alors q/T et d6pend donc

uniquement de q. Un exemple d'implantation num6- rique d'6galiseur fractionn6 avec p = 3 et q ---- 4 est explicit6 dans [7].

Avant de donner la solution g6n6rale pour A[T rationnel quelconque, il nous semble utile de rappeler les r6sultats obtenus dans deux cas particuliers d6j~t connus : le cas d 'un filtre transverse synchrone (A : T) et celui off A est tel que :

(29) S(f) S ( f - - k/A) = 0, V k @ 0.

Cette derni~re 6quation exprime simplement le fair que A est choisi de telle sorte que les r6pliques p6riodifi6es du spectre ne se recouvrent pas.

Ces rappels permettront de mieux faire ressortir le sens physique du syst6me h r6soudre et donneront l'occasion de pr6ciser la nature des diff6rents filtres transverses obtenus.

IV. SOLUTION DANS DEUX CAS PARTICULIERS

IV.1. Cas o6 A = T.

On retrouve dans ce cas le probl~me classique de la recherche du filtre transverse synchrone optimal. La matrice de terme g6n6ral Z,,k(f) devient une matrice de Toeplitz, ce qui permet la r6solution du syst~me, toutes les inconnues 6tant alors 6gales.

(30) ~k(f) = [~ ~zj(f)l-a, ~ j ( f ) = Zp,p+j(f), u J

En portant (30) dans l'6quation (22), on obtient la fonction de transfert du filtre transverse :

(31) C(f) ---- TSr*(f)[Br(f)] -a •

1 [ B r ( f ) ] - ~ ] , I + ~ [ST( f ) l "

11 est int6ressant de faire quelques remarques sur cette formule. Le filtre C( f ) est constitu6 par la mise en cascade du filtre transverse de fonction de transfert :

~] S * ( f + niT) Sr*(f) .

(32) U ( f ) - B r ( f ) -- y. B ( f + n i T ) ' n

et d 'un filtre au pas T qui est le filtre transverse optimal pour la configuration (S(f) U(f) , B(f)[ U(f)[ z).

ANN. TI~LI~COMMUN., 42, n ~ 9-10, 1987 4/10

P. V A N D A M M E . -- P E R F O R M A N C E S A S Y M P T O T I Q U E S DES I~GALISEURS FRACTIONNI~S 521

Or, on salt que le filtre de r6ception optimal au sens de I'EQM est la mise en cascade d 'un filtre de fonction de transfert Uo(f ) = S*(f)/B(f) et d 'un filtre transverse au pas T [2]. I1 apparaR que le filtrc donn6 par (32) repr6sente une approximation du filtre Uo(f ) par un filtre transverse au pas T. Le filtre U ( f ) donn6 par (32) est d'ailleurs le filtre transverse au pas T qui maximise en sortie le rapport signal 5. bruit ~ l'instant d'6chantillonnage. On le montre en annexe III.

L'erreur quadratique moyenne s'obtient en utilisant la formule (26) et on trouve la formule classique [5].

f [ (33) ~2 = e 2 T 1 + d f a-,mr T Br ( f ) l En conclusion, il est int6ressant de remarquer

que le filtre transverse optimal au pas T pour la confguration (S(f), B(f)) se d6compose en un filtre transverse qui maximise le rapport signal ~ bruit et un second filtre transverse.

configuration (S(f), B(f)). Ce RLO est constitu6 par la mise en cascade du filtre blanchissant de fonction de transfert [B(f)] -~/2 suivi du RLO pour la configuration bruit blanc. Le r6sultat pouvait se pr6dire sans aucun calcul. En effet, si les r6pliques de S(f) au pas A -~ ne se recouvrent pas, il est possible de r6aliser un filtre transverse au pas A qui, mis en cascade avec R(f ) , r6alise la fonction de transfert.

Or puisque le filtre lin6aire optimal est constitu6 par la mise en cascade du filtre de fonction de transfert Uo(f ) et d 'un filtre transverse au pas T, il suffira de mettre ce dernier derri&e le filtre transverse au pas A pr6c6demment trouv6 pour r6aliser la configuration qui minimise I'EQMM (RLO).

V. S O L U T I O N D U SYST~2ME LORSQUE A = Tp/q

IV.2. Cas o/l les r6pliques ne se recouvrent pas.

Cette propri&6 se traduit par la relation (29) et il est toujours possible de la v6rifier, lorsque S(f ) a un support born6, 5. condition de choisir un pas A suffisamment petit.

On constate que X,,k(f) est nul pour n 3 ~: k et le syst6me, qui se r6duit alors h des 6quations non coupl6es, se r6sout imm6diatement.

(34) tk(f) = X ~ ( f )

I 1 t=+oo S = 1 + ~ E

l= -~ Ba

Utilisant l'6quation (22), on en d6duit C(f) . On peut remarquer que, puisque les r6pliques de S(f ) au pas A-~ ne se recouvrent pas, il en est de mame de celles de R ( f ) qui a une bande 6gale ~ celle de S(f ) (elle n 'a pas besoin d'&re sup6rieure), on a donc :

Ba(f) = B(f) If[ ~< l /2A,

Sa(f) = S(f) If[ ~< 1/2 A.

l '=+~ IS(f+/IT)121 - l

+ 7", Y~ B(f + lIT) ] ' If l < 1/2 A,

I1 en r6sulte que �9

S*(f) [ (35) C(f ) = A ~ 1

et :

(36)

e 2 = 2 T i ' la r [1 + 1 ~' ' ~ ]S(f+I[T)12]-'B(f+ l iT ) J" df (~a e) - l 1 2 T I = - - o o

L'examen de l'6quation (35) montre que le filtre transverse obtenu n'est autre que le r6cepteur lin6aire optimal (RLO) selon le crit6re de I'EQMM pour la

Nous allons donc consid6rer maintenant le cas o~ A/T est un nombre rationnel p/q. On aura toujours q > p .

Revenant au syst6me (23) et ~ l'expression (25), il apparaR aussit6t que l 'on a :

(37) X,,k(f) = X,,+tp,k+tp(f), vl E IN.

La solution du syst6me (23) doit par cons6quent v&ifier :

(38) t " ( f ) ~ t"+t"(f ) , Vl 6 N.

La relation (38) permet de ramener le syst6me (23) ~t un syst6me de dimension finie de p 6quations ~t p inconnues :

(39) ~] [3,k(f ) t ~ ( f ) = 1, 0 ~ n ~ p - - 1, O < ~ k ~ p - - 1

avec : l = + o o

(39-a) ~.k(f) = Y" X,,k+tp(f). 1 = - -c~

Rappelons d'ailleurs que la d6termination de t ~ est suflisante pour calculer I'EQMM (relation (26)) et que tous l e s t " ( f ) se d6duisent de t ~ par la relation (27).

De l'6quation (22), on d6duit que le filtre transverse optimal a pour fonction de transfert :

p - 1

(40) C( f ) = A / a ~ ( f ) ~ t o ( f - - n[A) • n = 0

l = + o o

2~ S * ( f - - (lqlT)-- (n/A)), I = - -o0

soit encore : p - 1

(41) C( f ) = A N t o ( f _ n/A) W ( f - - nlA), n=O

avec : 1 = +~x)

(41-a) W ( f ) = [Ba(f)] -1 E S*(f-- lq[T). 1= --o0

L'EQMM s'obtient donc par la r6solution du syst6me de p 6quations 5. p inconnues explicit6 en (39). Avant

5/10 ANN. TI~Lf~COMMUN., 42, n ~ 9-10, 1987

522 P. V A N D A M M E . - P E R F O R M A N C E S A S Y M P T O T I Q U E S D E S I ~ G A L I S E U R S F R A C T I O N N I ~ S

de donner un exemple de r6solution de ce syst6me, deux cas particuliers retiennent notre attention :

- - le cas p = 1 (courant lorsqu'il est associ6 5- q = 2) qui permet d'expliciter la solution du syst6me ;

- - le cas ora le spectre du signal requ v6rifie :

s(U) = 0, u [ I liT, liT],

qui est aussi un cas courant puisqu'il correspond h des syst6mes de transmission dont le filtrage satisfait le crit&e de Nyquist avec un coefficient de retomb6e inf6rieur ou 6gal 5. l'unit6.

i ) A = Tlq. Dans le cas particulier oh A est un sous-multiple

de T (A = T[q), la solution du syst6me peut &re explicit6e. Toutes les fonctions ~k(f) sont 6gales et l 'on obtient imm6diatement :

(42) t ~ }ffoX(f)

[ 1 S ( f - - mlT) S*(f - - mlT- - lq/T)] -~ = 1 + ~ , ~ B a ( f - m/T)

On peut ainsi calculer la fonction de transfert :

(43) C( f ) ---- A~~ W(f) ,

qui se met aussi, en utilisant (42) sous la forme :

(44) C(f ) = A W ( f ) • +oo

[1 + ~ S ( f - - mlT) W ( f - - mlT)] -~. m = - o o

II apparait ainsi que le filtre optimal r6sulte de la mise en cascade d 'un filtre transverse au pas A, de fonction de transfert W( f ) et d 'un filtre transverse au pas T. On peut montrer, ce qui d'ailleurs pouvait se pr6voir sans calcul, que le filtre de fonction de transfert t ~ est le filtre optimal au sens de I'EQMM pour la configuration (S(f) W(f) , B(f ) [W(f)]2). Ce point est d6velopp6 en annexe IV.

Le filtre transverse W ( f ) est le filtre au pas A qui maximise le rapport signal sur bruit. En diminuant A, on obtient ainsi une meilleure approximation du filtre adapt6 jusqu'5, obtenir exactement ce dernier, lorsque les r6pliques ne se recouvrent pas.

ii) Cas of~ S( f ) est nul pour If[ > liT. Sous cette hypoth&e, le calcul des [3,k(f ) inter-

venant dans le syst~me (39) est consid6rablement simplifi6. En effet, rappelons que ~,k(f) s'exprime par :

(45) ~.k(f) = 8,k + ( n ; ) S . ( f k + l p ; )

1 S f A - A

191

Le second terme du membre de droite est non nul si et seulement si on a la relation :

(46-a) ]k + / p - - n ] <~2 A[T,

ce qui s'exprime encore par le fait que les termes

non nuls sont obtenus pour :

(46-b) k + lp - -n = -- l, O, 1.

La diff&ence k - - n ne pouvant prendre des valeurs que dans l'ensemble [ - - (p - - 1), p - - 1], les termes non nuls sont seulement obtenus lorsque l'indice l prend les valeurs - - 1, 0 ou 1.

On en d6duit alors imm6diatement que les seules valeurs non nulles de ~,k(f) sont obtenues pour :

/ n = k ,

I n = k - - l , n-----k+l,

I n = 0 et k = p - - 1 ,

! n = p - - 1 et k----O.

L'expression des [3,k(f) se r6duit donc 5- :

(47-a) ~kk( f )= 1 +

I( 1~--~ o~ S f A

t / T ) , 0 k p - - l ,

(47-b) ~3k,k+,(f)

1 t = + ~ S f A A

T ,=-~o Ua( f - i/T) ' 0 ~ < k ~ < p - - 2 ,

(47-c) ~o,p- l ( f ) , ; ) s , T , Z o~.=- B " ( f - - iIT)

[3.k(f) = [3*k.(f ).

De la mEme fa<;on on peut d6terminer la plage de variation de l'indice i. On trouve que la plage utile est :

(48) - - ( q + 1) < i < 1.

Enfin rappelant que :

Ba(f ) = ~ B ( f - - m/A), m

la plage de variation utile de m est :

(49) - - 2 < m < p + 3.

L'utilisation des relations (47) 5- (49) permet de r6duire consid6rablement le calcul de la fonction t ~ dans la plupart des cas pratiques, cas o~ la condition de limitation spectrale sur S(f ) est v6rifi6e.

VI. EXEMPLE D 'APPLICATION

Nous allons appliquer les r6sultats pr6c6dents au cas d 'une transmission sur un canal hertzien caract6ris6 par une fonction de transfert [12] :

(50) C , ( f ) = 1 - - p eJ~-zim'L

ANN. T/:Lg'COMMUN., 42, n ~ 9-10, 1987 6/10

P. VANDAMME. - PERFORMANCES ASYMPTOTIQUES DES I~GALISEURS FRACTIONNI~S 523

Les valeurs de p ct q0 caract6risent respectivement la profondeur et le d6centrage de l '6vanouissement et v sa s61ectivit6. Dans la suite, la valeur de -: est choisie 6gale ~. 0,17 T, ce qui correspond & une valeur typique pour un syst6me de transmission ~ 140 Mbit/s utilisant une modula t ion MAQ16.

Nous supposerons 6galement que la fonction de filtrage est du type cosinus sur61ev6 de coefficient de retomb6e C R inf6rieur ou 6gal ~t l 'unit6. Ce filtrage est 6quir6parti entre l '6mission et la r6ception [2].

Le rappor t signal ~t bruit est d6fini par la quantit6 :

(51) RSB = N o / 2 ~2.

Dans la suite, et sans perte de g6n6ralit6, on normalisera % ~t l'unit6.

On calcule alors pour une configuration donn6e du canal, c'est-~t-dire un ensemble de param6tres fix6s 9, ?, CR, RSB et A, l '6volution de r en fonction de la phase to de l ' instant d '6chanti l lonnage. La valeur obtenue pour I'EQMM lorsque A v6rifie la relation :

(52) A ~ T(1 q- CR) -1,

est ind6pendante de to et repr6sente la valeur minimale que peut prendre z2. On la notera z2pt.

Dans un premier temps, on a compar6 les valcurs de I'EQMM obtenues avec un 6galiseur synchrone et un instant to optimal ~ z2pt .

A cette fin, on a recherch6 l '6volution du facteur de qualit6 d6fini par :

FQ = 10 logxo ( Z 2 / Z 2 p t ) ,

en fonction de la phase q~ (c'est-h-dire du d6centrement de l '6vanouissement), pour une valeur p fix6e ~. 0,9 et un rappor t signal h bruit de 10 -3.

F~ (dB)

I I

2

1

I I

0 0,25 0,5 0,75

FIG. 2. - - Evolution d.u facteur de qualit6 FQ en fonction de q~ pour deux valeurs du coefficient de retomb6e (0,5 et 1). p = 0 , 9 ; RSB = 1 0 - 3 .

Behavior of the quaBty factor rQ versus e~ for two roll-off factor values (0.5 and 1).

La figure 2 montre les r6sultats obtenus pour deux valeurs du coefficient de retomb6e CR : 0,5 et 1. Les courbes confirment que le gain obtenu avec un 6galiseur fractionn6 est significatif lorsque l '6va- nouissement, d ' une part a une influence sur la bande de fr6quence touch6e par le repliement du spectre et d 'au t re part affecte la bande de fr6quence off l '6ner- gie de signal est importante. Ainsi pour CR = 0,5 le gain maximal est obtenu pour q0 ~ 0,4, soit un 6vanouissement d6centr6 d 'environ 0,37/T, alors que pour CR = 1, le d6centrement devient environ 0,23]T. Dans ce dernier cas, la zone touch6e par le repliement 6rant d ' au t re part plus large, le gain maximal obtenu est environ deux fois plus impor tant que dans le premier cas. Pour la mSme raison, le gain est non n6gligeable pour un 6vanouissement centr6.

Dans un deuxi~me temps, on a analys6 la sensibilit6 des 6galiseurs fractionn6s 5. l ' instant d '6chanti l lonnage lorsquc A ne v6rifie pas la relation (52). Les figures 3a

FQ (dB)

i i I i i i l I i

2,5 I q ~=1

/19~, 0 ~ to/T

-0,5 0 +0,5 FIG. 3a. - - Facteur de qualit6 FQ en fonction de to.

Param6tre : A/T. Coefficient de retomb6e : 0.5. 9 = 0 ; p : 0 , 9 ; RSB = 1 0 - 3 .

Quality factor FQ versus to. Parametre : A/T. Roll-off factor : 0.5.

(dB) P = 1 ,t,q

p 19

s

q - 4 0 t I I I l I l I I

-0,5 0 to/T. 0,5

FIG. 3b. - - Facteur de oualit6 rQ en fonction de to. Param~tre : A/T. Coefficient de retomb~e : 1. q~ = 0 ;

p = 0,9 ; RS~ = 10 -a.

Quality factor FQ versus to. Parameter: AT. Roll-off factor : 1.

7/10 ANN. TI~LECOMMUN., 42, n ~ 9-10, 1987


et 3b donnent l '6volution de FQ en fonction de to pour un 6vanouissement centr6 et un rappor t signal

bruit de 10 -3 On constate que, m~me pour des valeurs de A

tr~s proches de T, les valeurs de I'EQMM correspondant au pire to sont loin d '&re du m~me ordre que celles obtenues avec un 6galiseur synchrone. Ce r6sultat apparalt comme original et nous a conduit ~. tracer l '6volution de FQL d6fini par :

(53) F Q L = max e2, to

en fonction de A. Les r6sultats sont donn6s aux figures 4a et 4b

pour un 6vanouissement centr6 et un rappor t signal

~. bruit de 10 -2. Dans les deux cas, on constate que FQL devient rapidement croissant avec A seulement dans une plage tr6s voisine de A _-- T. Bien que rien ne nous autorise ~t g6n6raliser ce r6sultat, il d6montre que dans le cas pr6cis 6tudi6 ici, un gain consid6rable sur la sensibilit6 ~. l ' instant d '6chanti l lonnage peut 8tre obtenu m~me lorsque la valeur du retard 616- mentaire du filtre transversal est telle que les r6pliques p6riodifi6es du spectre se recouvrent encore de mani6re non n6gligeable.

VII . C O N C L U S I O N

0,3

FQL

0,2

I I I I

S 0,1 I I

0,5 0,6 0,7

A/T I I

0,8 0,9

FIG. 4a. - - Facteur lin6aire de qualit6 FQL en fonction de A pour un 6vanouissement centr6 et un coefficient de retomb~e

de 0,5.

r = 0 ; p = 0 ,9 ; RSB = 10-L Linear quaBty factor FQL versus A when the fading is centered

and the roll-off.factor equals 0.5.

Nous avons pu obtenir l 'expression analytique de l 'erreur quadrat ique moyenne en sortie de l '6galiseur fractionn6 de longueur infinie dans le cas oCa A est un sous-multiple de T. Dans l 'hypoth6se plus g6n6rale o~ A est une fraction quelconque de T, nous avons obtenu le syst6me dont la r6solution num6rique conduit ~t l 'erreur quadrat ique moyenne.

L 'exemple trait6 ensuite met en 6vidence un com- por tement int6ressant de l '6galiseur fractionn6, savoir la diminution tr6s impor tante de la sensibilit6 h la phase de l ' instant d '6chanti l lonnage par rappor t

un 6galiseur synchrone m~me pour des valeurs de A tr6s proches de T. Ce r6sultat sera 6videmment

confirmer exp6rimentalement, avec un 6galiseur de longueur finie, afin de pouvoi r conclure quant ~t l 'int6r~t prat ique d ' u n tel 6galiseur.

A N N E X E I

FQL

0,50

0,25

I I I I

I i i t

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 A/T

FIG. 4b. - - Facteur link.aire de qualit6 FQL en fonction de A pour un 6vanouissement centr6 et un coefficient de retomb6e

d e l . q~ = 0 ; p = 0 , 9 ; RSB = 10-L

Linear quality factor FQL versus A when the fading is centered and the roll-off.factor equals 1.

E t a b l i s s e m e n t d e l a r e l a t i o n ( 2 1 ) .

Rappelons que le vecteur optimal des coefficients est li6 aux caract6ristiques de la chaine de transmission par :

n= -I- oO (A-I-I) ~ (0c k" + T k" aE 2) c ~ = (s-S) *,

n= - o o

- - ~ < k < - + - ~ .

Multipliant les 2 membres de l'6galit6 par e -2~ 'kal et sommant sur k, on a :

(A-I-2) ~ (~kn _~ .~ktl* O.a2) Cn e- -2 j=kfA

,,k = A - 1 E S * ( f - - l/A). l

II reste alors 5. exprimer le membre de gauche. Notons :

e = Z (~k,) , c" e - ~ ' ~ k ~ , n,k

Q = a~-2 ]~ (Tk,), c" e -2~=k-~a. n k

Utilisant (10), P peut encore s'6crire :

P = A - ' Z Sm" C" ~ S * ( f - - k / A ) e -2j=mr(s-kta). ///j/1 k

ANN. T~L~COMMLtN., 42, n ~ 9-10, 1987 8/10

P. VANDAMME. -- PERFORMANCES ASYMPTOTIQUES DES EGALISEURS FRACTIONNI~S 525

Soit :

P = A -1 E c" E sT." E S * ( f - - k / A ) e -2jr~mT(y-kla). n m k

Sommant d 'abord sur m, puis sur n, on aboutit finalement ~t :

1 .-,... ( A k ) ( Ak T ) (A-I-3) P - - A 2 T ~ S * f - - S f - - •

Regroupant les termes selon le meme principe, Q peut s'6crire :

Q = r 2 E (yk.), e-Ej=(k-,)ay c" e 2j~zn•

On utilise dans ce cas la propri6t6 de Toeplitz de la matrice Pb- Apr~s sommation, on obtient :

1 (A-I-4) Q = X~ B~(f) C(f) ,

o~ B(f ) est la densit6 spectrale de puissance de bruit l'entr6e de l'6galiseur. Regroupant avec le second membre de (A-I-2)

on a finalement la relation : + o o

(A-I-5) A Y, S * ( f - - l /a) = Ba(f ) C( f ) %- •= - - o 0

lk=+c~ I k t m ~ ~ 1 7 6 k T 1 t m 1 T,=~o~ S* f - - ~=_~ f A C f - - 7 "

ANNEXE II

Etablissement de la relation (23).

L'6quation (21) s'6crit, en utilisant (19) :

1 (A-II-1) AS*A(f )=Ba(f ) C(f ) + ~ [S*(f) AHT(f)] A,

soit encore :

AS*A(f) ---- Ba(f ) C(f ) +

1 (f___~) H r

ou flnalement :

(A-II-2) C ( f ) - Ba( f ) ,=Y'-~o S* f - - - - •

Reportant l'expression de C( f ) dans la formule donnant HT(f), on obtient :

= 1 [ S ( f - - ~ ) • (A-II-3' H r ( f - - ~ ) S

z s ,

/ / l \

R e m p l a g a n t H T I f - - ~ ) par T(1 - - ~n(f)) et N /

utilisant le fait que ~k(f) est une fonction p6riodique de p6riode T, on obtient :

(A-II-4) T(1 - - ~"(f))

-- k=-o~ S* f - - ~k(f). -- E Ba(f )

On en deduit alors immediatement le systeme : k = + o o

(A-II-5) Y~ ?,.k(f) ~k(f) = 1, k = - o o

avec :

(A-II-6)

(A-II-7)

~k(f) = 1 - - ( l /T) H T ( f - - k/A),

X.~(f) = 8.k +

1 1=+oo S A A

B A ( f - / )

ANNEXE III

Variante pour 6tablir la relation (32).

Consid6rons la r6ception d'un signal de transform6e de Fourier S(f), en pr6sence d'un bruit de densit6 spectrale de puissance B(f) et cherchons le filtre transverse au pas T U ( f ) qui maximise le rapport signal & bruit & l'instant d'6chantillonnage to, R.

On peut 6crire :

4 S(f) U(f) e -2j '~I'0

(A-m-l) R = i+o~ B ( f ) I U ( f ) l z d f

- o o

172 4 [S(f) e-2J~S'0lr U ( f )

f ll2T 2 Br( f ) [U(f)[ d f

,)-l12T On volt qu'il est 6quivalent de maximiser :

(A-III-2) Rt =

IS2 4 [s(f) e - ~ ' 0 ] ~ U(f)

i ,,~," f , ,~ ~j~S,o]~ s B r ( f ) [ U ( f ) [ 2 d f x [S( f )e - t) -- 112T t) - 112T ] B T ( f )

L'application de l'in6galit6 de Schwarz conduit la solution :

[S*(f) e + ==Jyt0]r (A-III-3) U ( f ) = X

BT(f)

o~ x est une cortstante arbitraire. Dans le cas o/a l'instant d'6chantillonnage est 6gal/t 0

on retrouve (32).

9/10 ANN. T~L~COMMUN., 42, n ~ 9-10, 1987


A N N E X E IV

Variante pour ~tablir la relation (42).

Consid6rons le r~cepteur lin6aire t ransverse op t ima l au sens de I'EQMM pour la conf igurat ion ( S ( f ) W ( f ) , B ( f ) Iw(f)12) . C'es t un filtre t ransverse au pas T de fonct ion de transfert .

( A - I V - l ) T ( f ) = [ S * ( f ) W * ( f ) ] r •

( 1 T2t-1 t [B( f ) I w(f) lqT + ~ [ s ( f ) w ( f ) ] .

M o n t r o n s que T ( f ) n ' e s t au t re que t ~ (re la t ion (42)) . II doi t en effet lui &re 6gal, car s ' i l ne l '6 ta i t pas, alors le filtre W ( f ) T ( f ) serait un filtre au pas A qui condui ra i t ~. une EQM plus faible que W ( f ) ~o(J') et ce dernier ne serai t donc pas opt imal .

Puisque W ( f ) a une p6r iode A - 1 = q T - 1 , on peut 6crire :

(A-IV-2) [ B ( f ) l w ( f ) l z ] r

2 +oo B nq 7) soit encore :

(A-IV-3) [ B ( f ) ] W ( f ) [ 2 ] T

;) soit encore :

(A-IV-4) [ B ( f ) I w ( f ) l q T q-1 ( f ~> ,=+oo ( m ~ )

= N W* + N S* f + ~ + . m = O l = - - o o

Puisque W ( f ) a une p6riode A -1, la mSme trans- fo rma t ion qui a permis d '6cr i re l ' 6qua t ion (A-IV-2) pe rme t d '6cr i re :

(A-IV-5) [ B ( f ) ] w ( f ) I ~ y

= 2~ S* W* + . m= -oo

Revenant ~ l ' 6qua t ion (A- IV- I ) , on en d6dui t : [1 (A-IV-6) T ( f ) = 1 4- ~ [ S ( f ) W ( f ) ] r ,

c 'es t -~-dire : T(f) = ~o(f).

Manuscri t re~:u le 18 septembre 1986,

acceptd le 18 fdvrier 1987.

BIBLIOGRAPHIE

[1] SMITH (J.). The joint optimization of transmitted signal and receiving filter for data transmission systems. Bell Syst. tech. J., USA (Dec. 1965), 44, n ~ 12, pp. 2363-2392.

[2] LUCKY (R.), SALZ (J.), WELDON (F.). Principle of data communication. McGraw-Hill, USA (1968).

[3] AARON (M.), TUFTS (D.). Intersymbol interference and error probability. IEEE Trans. IT, USA (Jan. 1966), 12, n ~ 1, pp. 26-34.

[4] FORNEY (G.). Maximum likelihood sequence estimation of digital sequences in the presence of intersymbol interference. IELE Trans. IT, USA (mai 1972), 18, n ~ 3, pp. 363- 377.

[5] MAze (J.). Optimum timing phase for an infinite equalizer. Bell Syst. tech. J., USA (jan. 1975), 54, n ~ 1, pp. 189-201.

[6] MACCHI (O.), GUIDOUX (L.). Un nouvel 6galiseur : l'dgaliseur ~t double 6chantillonnage. Ann. Tall(com. Fr. (sept. 1975), 30, n ~ 9-10, pp. 331-338.

[7] UNGERBOECK (G.). Fractional tap-spacing equalizer and consequences for clock recovery in data modems. IEEE Trans. COM, USA (aofit 1976), 24, n ~ 8, pp. 856-864.

[8] GITLIN (R.)) WEINSTEIN (S.). Fractionnally spaced equalization : An improved digital transversal equalizer. Bell Syst. tech. J, USA (fdv. 1981), 60, n ~ 2, pp. 275-296.

[9] QURESHI (S.), FORNEY (G.). Performance and properties of a T/2 equalizer. Prec. Nat. Telec. Conf., USA (ddc. 1977), pp. 11:1-1, 11:1-9.

[10] GITLIN (R.), MEADORS (H.), WEINSTEIN (S.). ~h~ tap- leakage algorithm : an algorithm for the stable operation of a digitally implemented, fractionally spaced adaptive equalizer. Bell. Syst. tech. J, USA (oct. 1982), 61, n ~ 8, pp. 1817-1839.

[11] MACCHI (C.), MACCHI (O.), JOUANNAUD (J. P.). Rdcepteurs adaptatifs pour transmission de donndes h grande vitesse. Ann. Tdl(com. Ft. (1975), 30, n ~ 9-10, pp. 311-330.

[12] SYLVAIN (M.), LAVERGNAT (J.). Modelling the transfer function in medium bandwidth radio channels during multipath propagation. Ann. T(l~com., Fr. (1985), 40, n ~ 11-12, pp. 584-603.

[13] SAHA (D.), PASUPATHY (S.). Fractional sampling and robust equalization. J. Franklin Institute, USA (1984), 317, n ~ 3, pp. 183-211.

ANN. T~L~COMMUN., 42, n ~ 9-10, 1987 10/10

performances asymptotiques des égaliseurs fractionnés

Documents