Pendule avec excitation périodique et friction

)t(fdt

dFsin.g.m

dt

dm.L

2

2

Pendule simple soumis à une force périodique Pendule est constitué d’une barre rigide de longueur L sans masse & masse pesante ponctuelle m attachée à son extrémité. Pendule soumis à une friction proportionnelle à sa vitesse de rotation : d/dt. Pendule soumis à une force excitatrice périodique f(t).

)tcos(cdt

dksin

dt

d2

2

(Système d ’Unités tel que g/L=1) 

Etudier cette équation en fonction de c de la manière suivante : c, on portera dans un diagramme (d/dt,c), les valeursavec 20<k<50. 3 conditions initiales (0)=0 et d(0)/dt=0,1,2.

En tout, pour chaque valeur de c, on calcule donc 3x30 valeurs de d/dt que l’on place sur le diagramme On demande d’interpréter le diagramme obtenu

dt

)/(2.k.d

(0)=0 et d(0)/dt=0

RE

SU

LT

AT

S

RE

SU

LT

AT

S

(0)=0 et d(0)/dt=1

(0)=0 et d(0)/dt=2

RE

SU

LT

AT

S

(0)=0 et d(0)/dt=0 (0)=0 et d(0)/dt=1

(0)=0 et d(0)/dt=2

RE

SU

LT

AT

S

Interprétation

0.9<c<1 on observe un et un seul point les 90 valeurs de d(k.2/)/dt sont égales le choix des conditions initiales - à savoir (0)=0 et d(0)/dt=0,1,2 - n’affecte en rien la solution

L’interprétation est aisée : la solution est périodique de période 2/. De ce fait, d(k.2/)/dt=Constante ce qui explique que les 90 points soient confondus en un seul point (avec 20<k<50).

c >1Naissance de deux branches bifurcation : deux solutions sont possibles selon la condition initialeDoublement de la période dès c=1.07 qu’on a doublement de la période (deux valeurs de d(k.2/)/dt)

L ’état stationnaire dépend des conditions initiales !!!!

Interprétation

c 1.1le doublement quadruplement sextuplement. Pour c=1.1, infinitié dénombrable de valeurs de d(k.2/)/dt. k, d(k.2/)/dt d((k+1).2/)/dt. On est donc très loin d’une solution périodique.

C’est l’apparition du chaos !

L’établissement d’un diagramme de bifurcation tel que ci-dessus est une méthode couramment utilisée pour

déterminer quand un système passe vers un état chaotique en fonction d’un paramètre du système.

Conclusion

(t) en fonction de t pour c=1.2. On voit effectivement un mouvement avec des lobes de sinus et de cosinus qui se superposent et se succèdent

anarchiquement comme si la période changeait sans arrêt.

fig1=figure('Name','Diagrammes de bifurcations - Pendule forcé');fig2=figure('Name','Diagrammes de bifurcations - Pendule forcé - CI: (0,0)');fig3=figure('Name','Diagrammes de bifurcations - Pendule forcé - CI: (0,1)');fig4=figure('Name','Diagrammes de bifurcations - Pendule forcé - CI: (0,2)');

global c w kk=0.5;w=2/3;for c=0.9:0.01:2 c for i=0:2 i clear y options = odeset('RelTol',1e-4); [t,y] = ode45('bifurcation_diagramme_eq',[0:1*2*pi/w:1*2*pi/w*50],[0i],options);

if i==0 figure(fig1) plot(c,y(30:50,2),'rs','Markersize',2); hold on figure(fig2) plot(c,y(30:50,2),'rs','Markersize',2) hold on end

CO

DE

MA

TL

AB

I

CO

DE

MA

TL

AB

IIif i==1 figure(fig1) plot(c,y(30:50,2),'bs','Markersize',2); hold on figure(fig3) plot(c,y(30:50,2),'bs','Markersize',2) hold on end

if i==2 figure(fig1) plot(c,y(30:50,2),'gs','Markersize',2); hold on figure(fig4) plot(c,y(30:50,2),'gs','Markersize',2) hold on end endendfigure(fig1);axis([0.9 2 -1 3])title('Diagramme de bifurcation du pendule forcé - paramètre: amplitude du termeforcé');xlabel(c);ylabel('d\theta/dt');

figure(fig2);axis([0.9 2 -1 3])title('Diagramme de bifurcation du pendule forcé - paramètre: amplitude du termeforcé');xlabel(c);ylabel('d\theta/dt');

CO

DE

MA

TL

AB

III

figure(fig3);axis([0.9 2 -1 3])title('Diagramme de bifurcation du pendule forcé - paramètre: amplitude du termeforcé');xlabel(c);ylabel('d\theta/dt');

figure(fig4);axis([0.9 2 -1 3])title('Diagramme de bifurcation du pendule forcé - paramètre: amplitude du termeforcé');xlabel(c);ylabel('d\theta/dt');

Le module bifurcation_diagramme_eq.m est donné par

function dy = bifurcation_diagramme_eq(t,y)global c w kdy = zeros(2,1);dy(1) = y(2);dy(2) = -k*y(2)-sin(y(1))+c*cos(w*t);