PCSI – Thermodynamique

Chap. 21 Pompe à chaleur, climatiseur, réfrigérateur et congélateur ont ce point commun de pouvoir réchauffer ou refroidir une pièce à partir d’une énergie électrique reçue.

Les moteurs comme celui d’une voiture parviennent à produire un mouvement à partir d’une énergie reçue sous forme de transfert thermique. C’et aussi le cas des centrales thermique et des usines d’incinération.

Exemples de fluides utilisés o Les réfrigérateurs récents utilisent de l’isobutane circulant dans les tuyaux que l’on peut distinguer à

l’arrière de l’appareil. o Dans un moteur de voiture, le fluide utilisé est essentiellement de l’air.

Importance des changements d’état Beaucoup de machines exploitent des transitions de phase du fluide : cela permet d’emmagasiner ou de fournir des énergies très importantes sans grande variation des paramètres d’état.

Exemple du R134a (1,1,1,2-Tétrafluoroéthane), un des fluides réfrigérants les plus utilisés, sans impact sur la couche d’ozone mais puissant gaz à effet de serre :

▪ enthalpie de vaporisation ∆ℎ𝑣𝑎𝑝= 215 kJ·kg−1

▪ capacité thermique massique 𝑐𝑙𝑖𝑞 =1,4 kJ·K−1·kg−1

Machines thermiques

Machine thermique

Une machine thermique est un dispositif fonctionnant en cycles dans lequel un fluide échange de l’énergie avec l’extérieur par transfert thermique et par travail : • W = Travail échangé avec un compresseur, une

turbine, une hélice, …

• 𝑸𝟏, 𝑸𝟐, 𝑸𝟑 … = Transfert thermique avec un ou plusieurs thermostats, appelés aussi « source de chaleur ».

Moteur 𝑾 < 𝟎

Un moteur thermique fournit de l’énergie sous forme de travail à l’utilisateur.

Récepteur 𝑾 > 𝟎

Un récepteur thermique, aussi appelé machine frigorifique, réalise un transfert thermique d’un corps froid ver un corps chaud (sens inverse au sens spontané).

Vaporiser 1kg de fluide demande la même énergie qu’augmenter sa température de 150 K ... et c’est évidemment beaucoup plus facile à faire !

Rendement ou efficacité

La performance d’une machine thermique est donnée par son rendement 𝜌 ou son efficacité 𝜂 qui est le rapport entre l’énergie utile (du point de vue de l’utilisateur de la machine) et l’énergie fournie à la machine.

𝜌 =Energie utile

Energie consommée

I – Fonctionnement cyclique Système étudié = fluide Lorsqu’on étudie le fonctionnement d’une machine thermique, on prend pour système le fluide uniquement. On exclut du système tous les contenants du circuit (conduites, pistons, arbres, turbines, etc.) Transformation étudiée = transformation cyclique La transformation étudiée consiste en un nombre entier de cycles effectués par le fluide. L’état final est alors identique à l’état initial : le fluide revient dans le même état.

Toutes les fonctions d’état ont des variations nulles au cours d’un cycle !

∆𝑼𝒄𝒚𝒄𝒍𝒆 = 𝟎 ∆𝑺𝒄𝒚𝒄𝒍𝒆 = 𝟎

Pour une transformation composée de n cycle ⟹ ∆𝑼 = 𝟎 ∆𝑺 = 𝟎

L’inégalité de Clausius est une reformulation du second principe en termes de transferts thermiques, qui évite d’avoir à parler explicitement d’entropie lors de l’étude des machines thermiques.

II – Machine monotherme

Monotherme = un seul thermostat Une machine monotherme ne réalise des échanges thermiques qu’avec un seul thermostat.

Exemple : le radiateur électrique est une machine monotherme ; il est en contact thermique uniquement avec l’atmosphère.

▶ D′après l′inégalité de Clausius 𝑄

𝑇𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡≤ 0 ⟹ 𝑄 ≤ 0

▶ D′après le premier principe 𝑄 + 𝑊 = 0 ⟹ 𝑊 ≥ 0

Impossibilité d’un moteur monotherme

On ne peut donc pas réaliser de moteur thermique monotherme (ce serait pourtant pratique de pouvoir récupérer un transfert thermique « gratuit » provenant de l’atmosphère pour faire avancer une voiture par exemple… mais c’est impossible !)

Premier principe pour une machine thermique

∆𝑈 = 𝑄 + 𝑊 = 0

∑ 𝑄𝑖

𝑖

+ 𝑊 = 0

Second principe pour une machine thermique

∆𝑆 = 𝑆𝑒𝑐ℎ + 𝑆𝑐𝑟éé = 0

∑𝑄𝑖

𝑇𝑖𝑖

+ 𝑆𝑐𝑟éé = 0

Inégalité de Clausius

𝑆𝑐𝑟éé ≥ 0 ⟹ ∑𝑄𝑖

𝑇𝑖𝑖

≤ 0

Une machine monotherme ne peut pas recevoir de transfert thermique.

Une machine monotherme reçoit du travail et ne peut pas en fournir.

III – Machine ditherme

Ditherme = deux thermostats Une machine ditherme fonctionne en utilisant deux thermostats à deux températures différentes :

• une « source chaude » de température 𝑇𝑐 • une « source froide » de température 𝑇𝑓 < 𝑇𝑐 .

On note 𝑄𝑓 et 𝑄𝑐 les transferts thermiques reçus au cours d’un cycle.

ATTENTION

L’appellation « source chaude » et « source froide » ne préjuge en rien du sens réel du transfert d’énergie entre le fluide et le thermostat.

▶ D′après l′inégalité de Clausius 𝑄𝑐

𝑇𝑐+

𝑄𝑓

𝑇𝑓≤ 0

▶ D′après le premier principe 𝑄𝑐 + 𝑄𝑓 + 𝑊 = 0

A – Moteur ditherme

ATTENTION Les transferts d’énergie sont toujours orientés vers le fluide (W reçu et Q reçu par le fluide), mais sont algébriques (positif ou négatif selon qu’ils correspondent à de l’énergie cédée ou reçue).

Un moteur ditherme reçoit de l’énergie sous forme de transfert thermique de la source chaude et cède de l’énergie sous forme de transfert thermique à la source froide tout en fournissant un travail à l’utilisateur :

Reçu : 𝑸𝑪 > 𝟎 Fournis : 𝑸𝒇 < 𝟎 et 𝑾 < 𝟎

Dans un moteur, le transfert thermique se fait naturellement de la source chaude à la source froide au travers du fluide circulant dans les tuyaux de la machine. En réalisant ce transfert naturel, le fluide entraine une pièce mécanique mobile et engendre ainsi un travail mécanique.

Pour l’utilisateur du moteur, il est intéressant de récupérer l’énergie égale à −𝑊 (énergie utile). Le coût énergétique est égal à 𝑄𝑐 (énergie consommée).

𝐑𝐞𝐧𝐝𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭 𝐝′𝐮𝐧 𝐦𝐨𝐭𝐞𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐭𝐡𝐞𝐫𝐦𝐞 𝝆 =−𝑾

𝑸𝒄

On distingue alors deux types de fonctionnement : moteur thermique (𝑊 < 0) ou récepteur thermique (𝑊 > 0).

▶ D′après le premier principe 𝑄𝑐 + 𝑄𝑓 + 𝑊 = 0 ⟹ 𝑄𝑓 = −𝑊 − 𝑄𝑐

▶ D′après l′inégalité de Clausius 𝑄𝑐

𝑇𝑐+

𝑄𝑓

𝑇𝑓≤ 0 ⟹ 𝑄𝑐 (

1

𝑇𝑐−

1

𝑇𝑓) ≤

𝑊

𝑇𝑓

𝑇𝑓

𝑇𝑐− 1 ≤

𝑊

𝑄𝑐

−𝑊

𝑄𝑐≤ 1 −

𝑇𝑓

𝑇𝑐

𝐋𝐞 𝐫𝐞𝐧𝐝𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭 𝐝′𝐮𝐧 𝐦𝐨𝐭𝐞𝐮𝐫 𝐝𝐢𝐭𝐡𝐞𝐫𝐦𝐞 𝐞𝐬𝐭 𝐝𝐨𝐧𝐜 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭é 𝝆 ≤ 𝟏 − 𝑻𝒇

𝑻𝒄

✓ Le rendement d’un moteur est toujours inférieur à 1 : il est impossible de convertir

intégralement le transfert thermique reçu de la source chaude en travail. ✓ Plus les températures des sources seront différentes, meilleur pourra être le rendement du

moteur.

✓ Le rendement est majoré par la quantité 𝜌𝑚𝑎𝑥 = 1 − 𝑇𝑓

𝑇𝑐 dépendant des températures des deux

sources. L’égalité 𝜌 = 𝜌𝑚𝑎𝑥 n’est atteinte que si l’évolution du moteur est réversible.

Il suffit que le cycle comporte au moins une transformation irréversible pour que le rendement soit inférieur au rendement de Carnot 𝜌𝑟𝑒𝑣 . Tous les phénomènes irréversibles (gradients de pression et de température, frottements) sont causes de dégradation du rendement d’un moteur.

B – Récepteur thermique ditherme

Récepteur thermique ⟹ 𝑊 > 0 Le premier principe 𝑄𝑐 + 𝑄𝑓 + 𝑊 = 0 permet de distinguer 3 types de récepteur thermique ditherme,

respectant tous l’inégalité de Clausius :

▪ 𝑄𝑐 < 0 et 𝑄𝑓 < 0

Le travail reçu sert à réchauffer les deux sources. On transforme simplement le travail en transfert thermique, ce qu’une machine monotherme est capable de faire. Ces systèmes ne présentent pas d’intérêt particulier.

▪ 𝑄𝑐 > 0 et 𝑄𝑓 < 0

Le travail reçu permet de réaliser un transfert thermique de la source chaude vers la source froide, c’est-à-dire dans le sens naturel des échanges thermiques. Ces machines ne servent à rien d’un point de vue énergétique. Elles permettent cependant d’accélérer le transfert thermique.

▪ 𝑄𝑐 < 0 et 𝑄𝑓 > 0

Ces machines permettent un transfert thermique de la source froide vers la source chaude (sens contraire à celui des échanges thermiques spontanés). Ce sont les seules intéressantes d’un point de vue énergétique. Ce sont donc elles que l’on va étudier par la suite.

Division par 𝑄𝑐 > 0

Multiplication par 𝑇𝑓 > 0

Théorème de Carnot pour les moteurs

Un moteur cyclique ditherme fonctionnant entre une source chaude de température 𝑇𝑐 et une source froide de température 𝑇𝑓 possède un rendement 𝜌

inférieur ou égal à celui d’une machine réversible.

𝜌 ≤ 𝜌𝑟𝑒𝑣 = 1 − 𝑇𝑓

𝑇𝑐

Multiplication par −1

Un récepteur thermique ditherme utile (machine frigorifique) reçoit de l’énergie sous forme de travail de l’extérieur et sous forme de transfert thermique de la source froide, ce qui lui permet de céder de l’énergie sous forme de transfert thermique à la source chaude :

Reçus : 𝑾 > 𝟎 𝐞𝐭 𝑸𝒇 > 𝟎 Fourni : 𝑸𝒄 < 𝟎

Principe général

On comprime de façon quasi-adiabatique un gaz juste avant qu’il n’atteigne la source chaude : si cette compression l’a rendu plus chaud que la source chaude, leur mise en contact permet d’effectuer un transfert thermique en faveur de la source chaude. Un compresseur nécessite de l’énergie électrique pour fonctionner. On procède de manière symétrique avec la source froide grâce à un détendeur qui refroidit le gaz. En pratique, on exploite les changements d’état d’un fluide, permettant des transferts thermiques bien plus intenses qu’avec de simples variations de température.

Ces machines permettent de refroidir la source froide (aspect exploité pour les réfrigérateurs, climatiseurs…), et de réchauffer la source chaude (aspect exploité dans une pompe à chaleur).

Cas des réfrigérateurs

Le but est de prélever de l’énergie à une enceinte froide (intérieur du réfrigérateur) pour la rendre encore plus froide (𝑄𝑓 > 0). La machine rejette de l’énergie dans une pièce déjà

chaude (𝑄𝑐 < 0).

Pour l’utilisateur du réfrigérateur, il est intéressant de perdre l’énergie 𝑄𝑓 (énergie utile).

Le coût énergétique est égal à W (énergie consommée).

𝐄𝐟𝐟𝐢𝐜𝐚𝐜𝐢𝐭é 𝐟𝐫𝐢𝐠𝐨𝐫𝐢𝐟𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐝′𝐮𝐧 𝐫é𝐟𝐫𝐢𝐠é𝐫𝐚𝐭𝐞𝐮𝐫 𝜼𝑭 =𝑸𝒇

𝑾

▶ D′après le premier principe 𝑄𝑐 + 𝑄𝑓 + 𝑊 = 0 ⟹ 𝑄𝑐 = −𝑊 − 𝑄𝑓

▶ D′après l′inégalité de Clausius 𝑄𝑐

𝑇𝑐+

𝑄𝑓

𝑇𝑓≤ 0 ⟹ 𝑄𝑓 (

1

𝑇𝑓−

1

𝑇𝑐) ≤

𝑊

𝑇𝑐

𝑄𝑓

𝑊(

𝑇𝑐 − 𝑇𝑓

𝑇𝑐𝑇𝑓) ≤

1

𝑇𝑐

𝑄𝑓

𝑊 ≤

𝑇𝑓

𝑇𝑐−𝑇𝑓

𝐋′𝐞𝐟𝐟𝐢𝐜𝐚𝐜𝐢𝐭é 𝐟𝐫𝐢𝐠𝐨𝐫𝐢𝐟𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐝′𝐮𝐧 𝐫é𝐜𝐞𝐩𝐭𝐞𝐮𝐫 𝐭𝐡𝐞𝐫𝐦𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐞𝐬𝐭 𝐝𝐨𝐧𝐜 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭é𝐞 𝜼𝑭 ≤𝑻𝒇

𝑻𝒄− 𝑻𝒇

✓ L’efficacité frigorifique peut être supérieure à 1 : le fluide reçoit du travail ainsi qu’un transfert thermique de la source froide. Ce dernier peut être plus important que le travail reçu.

✓ L’efficacité frigorifique maximale est obtenue pour un fonctionnement réversible de la machine. Les importants gradients de température comptent parmi les diverses causes d’irréversibilité. En pratique, l’efficacité frigorifique des congélateurs domestiques est de l’ordre de 2 ; celle des réfrigérateurs peut atteindre 8.

Multiplication par 𝑇𝑐𝑇𝑓

𝑇𝑐−𝑇𝑓> 0

Division par 𝑊 > 0

Cas des pompes à chaleur

Le fonctionnement est le même que celui d’un réfrigérateur mais on change de point de vue : l’utilisateur s’intéresse à la source chaude, au lieu de s’intéresser à la source froide.

Le but est d’apporter de l’énergie à une enceinte chaude (intérieure de l’habitation) pour la rendre encore plus chaude (𝑄𝑐 < 0). La machine prélève de l’énergie à l’air extérieur froid ou au sol pour les pompes à chaleur géothermiques (𝑄𝑓 > 0).

Pour l’utilisateur de la pompe à chaleur, il est intéressant de récupérer l’énergie égale à −𝑄𝑐 (énergie utile). Le coût énergétique est égal à W (énergie consommée).

𝐄𝐟𝐟𝐢𝐜𝐚𝐜𝐢𝐭é 𝐭𝐡𝐞𝐫𝐦𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐝′𝐮𝐧𝐞 𝐩𝐨𝐦𝐩𝐞 à 𝐜𝐡𝐚𝐥𝐞𝐮𝐫 𝜼𝑻 =−𝑸𝒄

𝑾

▶ D′après le premier principe 𝑄𝑐 + 𝑄𝑓 + 𝑊 = 0 ⟹ 𝑄𝑓 = −𝑊 − 𝑄𝑐

▶ D′après l′inégalité de Clausius 𝑄𝑐

𝑇𝑐+

𝑄𝑓

𝑇𝑓≤ 0 ⟹ −𝑄𝑐 (

1

𝑇𝑓−

1

𝑇𝑐) ≤

𝑊

𝑇𝑓

−𝑄𝑐

𝑊(

𝑇𝑐 − 𝑇𝑓

𝑇𝑐𝑇𝑓) ≤

1

𝑇𝑓

−𝑄𝑐

𝑊 ≤

𝑇𝑐

𝑇𝑐−𝑇𝑓

𝐋′𝐞𝐟𝐟𝐢𝐜𝐚𝐜𝐢𝐭é 𝐭𝐡𝐞𝐫𝐦𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐝′𝐮𝐧 𝐫é𝐜𝐞𝐩𝐭𝐞𝐮𝐫 𝐭𝐡𝐞𝐫𝐦𝐢𝐪𝐮𝐞 𝐞𝐬𝐭 𝐝𝐨𝐧𝐜 𝐥𝐢𝐦𝐢𝐭é𝐞 𝜼𝑻 ≤𝑻𝒄

𝑻𝒄 − 𝑻𝒇

✓ L’efficacité thermique peut être supérieure à 1 : l’énergie fournie à la source chaude peut-être plus importante que le travail reçu puisque le fluide reçoit aussi de l’énergie de la source froide.

✓ L’efficacité thermique maximale est obtenue pour un fonctionnement réversible de la machine. En pratique, l’efficacité thermique des pompes à chaleur est de l’ordre de 4 : l’énergie consommée est 4 fois plus faible qu’avec un radiateur électrique ; c’est une bonne solution pour réaliser des économies d’énergie.

Multiplication par 𝑇𝑐𝑇𝑓

𝑇𝑐−𝑇𝑓> 0

Division par 𝑊 > 0

Théorème de Carnot pour les récepteurs thermiques

Un récepteur thermique cyclique ditherme fonctionnant entre une source chaude de température 𝑇𝑐 et une source froide de température 𝑇𝑓 possède un rendement

η inférieur ou égal à celui d’une machine réversible.

𝜂 ≤ 𝜂𝑟𝑒𝑣 = 𝑇𝑒𝑚𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒 "𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒"

𝑇𝑐 − 𝑇𝑓

IV – Cycle de Carnot d’une machine idéale

Cycle de Carnot = cycle d’une machine ditherme totalement réversible, permettant d’atteindre le rendement (ou l’efficacité) maximale théorique.

• Pour les transformations qui ont lieu au contact des sources (chaude et froide) : La réversibilité implique que la température du fluide soit uniforme. Les thermostats imposent leur température aux frontières, donc au fluide dans son intégralité. ⟹ Ces transformations sont donc isothermes, de température 𝑇𝑐 et 𝑇𝑓 .

• Pour les autres transformations (compression et détente) : Ces transformations se font sans échange thermique, elles sont donc adiabatiques en plus d’être réversibles. Or adiabatique + réversible = isentropique. ⟹ Ces transformations sont donc isentropiques (∆𝑆 = 0).

Le sens de parcours du cycle dépend du signe de W : • Sens horaire pour les moteurs avec 𝑊 < 0 • Sens anti-horaire pour les récepteurs thermiques avec 𝑊 > 0

Les cycles de Carnot de gaz parfait sont très écrasés : pour les moteurs, le travail fourni est donc très faible pour chaque cycle parcouru.

Dans un diagramme entropique (T,S) la forme du cycle de Carnot ne dépend pas du fluide utilisé ; il s’agit toujours d’un rectangle.

Toutes les étapes du cycle doivent être réversibles !

Le cycle de Carnot est constitué de deux isothermes réversibles et de deux adiabatiques réversibles.

Diagramme (P,V) d’un cycle de Carnot Pour un gaz parfait Pour un mélange liquide/gaz

V – Machine à écoulement

Dans une machine à écoulement, contrairement à un moteur à pistons, le fluide suit un circuit : il s’écoule en traversant plusieurs éléments permettant de réaliser les échanges énergétiques (compresseurs, turbines, échangeurs de chaleur, détendeur…).

A – Premier principe pour un fluide en écoulement

Le premier principe sous sa forme 𝑄𝑐 + 𝑄𝑓 + 𝑊 = 0 s’applique à l’ensemble du fluide sur un cycle complet mais

ne permet pas d’étudier ce qui se passe dans un élément du circuit seul.

Les éléments du circuit sont des systèmes ouverts et le premier principe ∆𝐸𝑐 + ∆𝑈 = 𝑄 + 𝑊 n’est valable que pour les systèmes fermés ! ⟹ Nécessité d’adapter l’écriture du premier principe pour les systèmes ouverts.

Remarque : « travail utile » = travail des forces autres que celles de pression.

Compresseur

Détendeur

Echangeur

Echangeur

Premier principe pour un fluide en écoulement

On considère un fluide en écoulement lent et stationnaire dans un élément actif (compresseur, détendeur, échangeur…) à l’intérieur duquel il reçoit de l’énergie sous forme de travail utile 𝑊𝑢 et sous forme de transfert thermique 𝑄. Le premier principe s’écrit alors : ℎ𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 − ℎ𝑒𝑛𝑡𝑟é𝑒 = 𝑤𝑢 + 𝑞

avec : • ℎ𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 et ℎ𝑒𝑛𝑡𝑟é𝑒 les enthalpies massiques à la sortie et à l’entrée de l’élément actif

• 𝑤𝑢 le travail utile massique fourni par l’élément actif

• 𝑞 le transfert thermique massique fourni par l’élément actif

Démonstration

On considère un fluide en écoulement dans un élément actif.

On étudie une portion du fluide constituant un système fermé noté Σ.

• Etat initial : Σ = { masse à l’entrée 𝑚𝑒(𝑡) + masse intérieure 𝑚𝑖𝑛𝑡(𝑡)} • Etat final : Σ = { masse à la sortie 𝑚𝑠(𝑡 + 𝑑𝑡) + masse intérieure 𝑚𝑖𝑛𝑡(𝑡 + 𝑑𝑡)}

1ère hypothèse : écoulement stationnaire En un point donné de la canalisation, le fluide est toujours dans le même état au cours du temps. Ainsi les différentes masses 𝑚𝑒 , 𝑚𝑖𝑛𝑡 et 𝑚𝑠 ne dépendent pas du temps.

• Etat initial : Σ = { 𝑚𝑒 + 𝑚𝑖𝑛𝑡} • Etat final : Σ = { 𝑚𝑠 + 𝑚𝑖𝑛𝑡}

Premier principe appliqué à Σ fermé : ∆𝐸𝑐 + ∆𝑈 = 𝑄 + 𝑊

2ème hypothèse : écoulement lent On néglige les variations d’énergie cinétique du fluide |∆𝐸𝑐| << |∆𝑈| ⟹ ∆𝑈 = 𝑄 + 𝑊

∆𝑈 = 𝑈𝑓𝑖𝑛 − 𝑈𝑖𝑛𝑖

On introduit l’énergie interne massique u qui dépend de l’endroit dans la canalisation.

∆𝑈 = (𝑚 𝑢𝑠 + 𝑚𝑖𝑛𝑡 𝑢𝑖𝑛𝑡) − (𝑚 𝑢𝑒 + 𝑚𝑖𝑛𝑡 𝑢𝑖𝑛𝑡)

∆𝑈 = 𝑚 (𝑢𝑠 − 𝑢𝑒)

On décompose le travail reçu : 𝑊 = 𝑊𝑃 + 𝑊𝑢

✓ Travail des forces de pression 𝑊𝑃 Le fluide est pressé à l’entrée avec une pression 𝑃𝑒 et repoussé à la sortie avec une pression 𝑃𝑠.

𝑊𝑃 = 𝑃𝑒𝑉𝑒 − 𝑃𝑠𝑉𝑠 avec 𝑉𝑒 et 𝑉𝑠 les volumes d’entrée et de sortie du fluide.

On introduit le volume massique 𝒗 qui dépend de l’endroit dans la canalisation.

𝑊𝑃 = 𝑃𝑒𝑚𝑣𝑒 − 𝑃𝑠𝑚𝑣𝑠 ⟹ 𝑊𝑃 = 𝑚 (𝑃𝑒𝑣𝑒 − 𝑃𝑠𝑣𝑠)

✓ Travail utile 𝑊𝑢 fourni au fluide par l’élément actif Entre l’instant final et l’instant initial, la masse concernée par le travail utile est la masse m. On introduit le travail utile massique 𝒘𝒖.

𝑊𝑢 = 𝑚 𝑤𝑢

Le premier principe s’écrit alors : 𝑚 (𝑢𝑠 − 𝑢𝑒) = 𝑚 𝑞 + 𝑚 (𝑃𝑒𝑣𝑒 − 𝑃𝑠𝑣𝑠) + 𝑚 𝑤𝑢

(𝑢𝑠 + 𝑃𝑠𝑣𝑠) − (𝑢𝑒 + 𝑃𝑒𝑣𝑒) = 𝑞 + 𝑤𝑢

On reconnait alors l’enthalpie massique h qui dépend de l’endroit de la canalisation.

⟹ ℎ𝑠 − ℎ𝑒 = 𝑞 + 𝑤𝑢

Système fermé = conservation de la masse ⟹ 𝒎𝒆 = 𝒎𝒔 = 𝒎

Entre l’instant final et l’instant initial, la masse concernée par le transfert thermique est la masse m. On introduit le transfert thermique massique q.

𝑄 = 𝑚 𝑞

Différence importante entre le premier principe ∆𝑈 = 𝑄 + 𝑊 d’un système fermé et le premier principe ℎ𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 − ℎ𝑒𝑛𝑡𝑟é𝑒 = 𝑤𝑢 + 𝑞 d’un fluide en écoulement :

• ∆𝑈 est un bilan temporel entre l’état final et l’état initial du système fermé étudié. • ℎ𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 − ℎ𝑒𝑛𝑡𝑟é𝑒 est un bilan réalisé entre deux positions spatiales du fluide qui s’écoule.

B – Diagramme (𝒑, 𝒉) des frigoristes

Les machines thermiques dans lesquelles se produisent des changements d’état sont souvent étudiées à l’aide des diagrammes (𝑝, ℎ), aussi appelé diagrammes des frigoristes.

• En abscisse : l’enthalpie massique ℎ • En ordonnée : la pression 𝑝 (souvent en échelle logarithmique).

Allure générale du diagramme On distingue trois zones : « liquide », « gaz », mélange diphasé « liquide + gaz ». La courbe séparant les domaines est appelée courbe de saturation (comme pour un diagramme de Clapeyron), et son sommet est le point critique.

Réseau de courbes isotitres Les isotitres (𝑥𝑔𝑎𝑧 = 𝑐𝑠𝑡𝑒), sont des courbes le long desquelles le titre en vapeur du fluide est constant.

Ces courbes n’existent que dans la zone « liquide + gaz » du diagramme (𝑝, ℎ). Elles se rejoignent toutes au point critique. Elles sont graduées à leur intersection avec l’axe des abscisses.

Premier principe pour un fluide en écoulement

Le premier principe pour un écoulement lent et stationnaire dans un élément actif peut aussi s’écrire :

𝐷𝑚 (ℎ𝑠 − ℎ𝑒) = 𝑃𝑢 + 𝑃𝑡ℎ

avec : : • 𝐷𝑚 le débit massique du fluide en kg.s-1 • ℎ𝑠 et ℎ𝑒 les enthalpies massiques à la sortie et à l’entrée de l’élément actif

• 𝑃𝑢 la puissance utile reçue par le fluide

• 𝑃𝑡ℎ la puissance thermique reçue par le fluide

Réseau de courbes isothermes Les isothermes (𝑇 = 𝑐𝑠𝑡𝑒), sont des courbes le long desquelles la température du fluide est constante.

✓ Dans la zone « liquide », les isothermes sont des droites quasi-verticales. Pour une phase condensée, l’enthalpie ne dépend presque que de T donc si T est constante alors h l’est aussi.

✓ Dans la zone « liquide + gaz », les isothermes sont des droites horizontales. Dans un domaine de coexistence, si T est fixée alors la pression l’est aussi et vaut P = 𝑃𝑠𝑎𝑡(T), pression de vapeur saturante. La largeur du palier de saturation est égale à l’enthalpie massique de vaporisation du fluide ∆ℎ𝑣𝑎𝑝 à la

température considérée.

✓ Dans la zone « gaz », les isothermes sont courbées, mais tendent vers des droites verticales dans la limite basse pression. A basse pression, le gaz est de plus en proche d’un gaz parfait pour lequel h ne dépend que de T : si T est constante alors h l’est aussi.

Pour que le diagramme reste lisible, l’usage consiste à ne pas tracer complètement les isothermes dans les parties rectilignes mais à seulement indiquer par des encoches leurs intersections avec la courbe de saturation.

Réseau de courbes isentropes Les isentropes (𝑠 = 𝑐𝑠𝑡𝑒), sont des courbes le long desquelles l’entropie massique du fluide est constante. Ces courbes ne présentent aucun changement de pente (aucun point anguleux) lors des changements de zone. Dans la zone « liquide » les isentropes sont rarement tracées car ce sont des droites quasi-verticales.

Usuellement le code du fluide dans la nomenclature spécifique apparaît en haut à gauche. Il commence toujours par la lettre R, qui signifie « réfrigérant », suivie de chiffres qui décrivent la structure moléculaire. Tous les diagrammes tracés ci-dessus en exemple sont ceux de l’ammoniac, de code R717

C – Application Exemple d’un réfrigérateur dont le fluide est de l’ammoniac, fonctionnant avec une source chaude de température 𝑻𝒄 = 𝟐𝟗𝟖 𝑲 et une source froide de température 𝑻𝒇 = 𝟐𝟔𝟑 𝑲

Premier principe pour un fluide en écoulement : ▶ Dans le compresseur : ℎ𝐵 − ℎ𝐴 = 𝑤𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟

▶ Dans le condenseur : ℎ𝐶 − ℎ𝐵 = 𝑞𝑐 ▶ Dans le détendeur : ℎ𝐷 − ℎ𝐶 = 0 ▶ Dans l’évaporateur : ℎ𝐴 − ℎ𝐷 = 𝑞𝑓

Représentation dans le diagramme (𝒑, 𝒉) : En connaissant les pressions et températures entre les différents éléments de la machine, on peut placer les points correspondants sur le diagramme (𝑝, ℎ). On lit alors leur abscisse pour calculer l’efficacité du cycle.

L’ammoniac utilisé est supposé dans l’état de liquide saturant en sortie du condenseur (point C) et de vapeur saturante sèche en sortie de l’évaporateur (point A). Le point B est placé expérimentalement, et le point D déduit des propriétés du détendeur

Calcul de l’efficacité du réfrigérateur

𝒆 =𝑸𝒇

𝑾=

𝑚𝑡𝑜𝑡 𝑞𝑓

𝑚𝑡𝑜𝑡 𝑤𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟=

𝑞𝑓

𝑤𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟=

ℎ𝐴 − ℎ𝐷

ℎ𝐵 − ℎ𝐴 ⟹ 𝒆 = 𝟓, 𝟎

On peut comparer cette éfficacité à celle de Carnot ∶ 𝑒𝑟𝑒𝑣 = 𝑇𝑓

𝑇𝑐 − 𝑇𝑓= 7,5

⟹ Le cycle du réfrigérateur étudié n’est donc pas réversible !

Cette irréversibilité se lit sur le diagramme (𝑝, ℎ). En effet, la compression adiabatique (𝐴 → 𝐵) et la détente adiabatique (𝐶 → 𝐷) seraient isentropiques si elles étaient réversibles. Les points seraient alors placés sur les isentropes, ce qui n’est pas le cas ici.

Sur le diagramme, on lit :

ℎ𝐴 = 1450 J.kg-1

ℎ𝐵 = 1680 J.kg-1

ℎ𝐶 = ℎ𝐷 = 313 J.kg-1

ANNEXE

Diagramme de Raveau

Zone impossible

▶ D′après l′inégalité de Clausius 𝑄𝑐

𝑇𝑐+

𝑄𝑓

𝑇𝑓≤ 0 ⟹ 𝑄𝑐 ≤ −

𝑇𝑐

𝑇𝑓 𝑄𝑓

Ainsi la droite d’équation 𝑄𝑐 = −𝑇𝑐

𝑇𝑓 𝑄𝑓 sépare le diagramme de Raveau en deux zones : seules les machines

situées dans la zone en-dessous de cette droite sont physiquement possibles.

Zone motrice et zone réceptrice

▶ D′après le premier principe 𝑄𝑐 + 𝑄𝑓 + 𝑊 = 0 ⟹ −𝑄𝑐 − 𝑄𝑓 = 𝑊

Pour les moteurs : 𝑾 < 𝟎 ⟹ 𝑄𝑐 > −𝑄𝑓

Pour les récepteurs : 𝑾 > 𝟎 ⟹ 𝑄𝑐 < −𝑄𝑓

Ainsi les machines situées dans la zone au-dessus de la droite d’équation 𝑄𝑐 = −𝑄𝑓 sont des moteurs et les

machines situées en-dessous sont des récepteurs.

Le diagramme de Raveau représente dans le plan (𝑄𝑐 , 𝑄𝑓) les différentes machines dithermes.

= Représentation simultanée de toutes les machines thermiques possibles.

Dans la zone réceptrice, on retrouve les 3 types :

▪ 𝑄𝑐 < 0 et 𝑄𝑓 < 0 = Machines inutiles

▪ 𝑄𝑐 > 0 et 𝑄𝑓 < 0 = Machines inutiles

▪ 𝑸𝒄 < 𝟎 𝐞𝐭 𝑸𝒇 > 𝟎 = Machines frigorifiques