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Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
LycéeClemenceau
PCSI 1 (O.Granier)
Le champ magnétique
Le théorème d’Ampère
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
I – Énoncé du théorème d’Ampère
Le théorème d’Ampère est « l’équivalent » du théorème de Gauss.
Il permet de calculer le champ magnétique créé par une distribution de courants lorsque celle-ci possède des symétries « fortes ».
1 – Fil infini et circulation du champ magnétique :La circulation du champ magnétique est définie par :
rdr
)(MBr
M
∫=contour
rdMBCrr
).(
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Pour le champ électrostatique, cette circulation est nulle puisque :
Si l’on regarde la carte du champ magnétique créé par un fil infini (ou une spire circulaire), on constate que la circulation du champ magnétique le long d’une ligne de champ (fermée) orientée n’est pas nulle.
Afin d’évaluer cette circulation, on prend le cas du champ magnétique créé par un fil infini, qui vaut :
( ) 0.).( =−=−== ∫∫∫ contourcontourcontourdVrdVgradrdMEC
rrr
θπ
µu
r
IMB
rr 1
2)( 0=
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∞
∞
Lignes de champ
Br
zr udzurdudrrdrrrr
)()()( ++= θθ
θπ
µ
π
µθ d
Irdu
r
IrdMB
2.
1
2).( 00 ==
rrrr
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x
z
z M
θθθθ
r
rrur
zur
θur
O
H
y
)(MBr
rdr
1er cas : le contour fermé n’enlace pas le fil infini
(C)
Soit (C) un contour fermé orienté de telle manière que la normale au contour soit orienté comme le fil infini.
Vue de haut :
x
y
rdr
)(MBr
M
I
rθθθθ
θθθθm
Q
P
θθθθM
(C)
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La circulation du champ le long du contour (C) est alors :
x
y
rdr
)(MBr
M
I
rθθθθ
θθθθm
Q
P
θθθθM
(C)
∫∫ ==)(
0
)( 2).(
CCd
IrdMBC θ
π
µrr
[ ] 0)()(22
00 =−+−=
+= ∫∫ MmmM
Q
P
P
Q
Idd
IC θθθθ
π
µθθ
π
µ
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x
z
z M
θθθθ
r
rrur
zur
θur
O
H
y
)(MBr
rdr
2ème cas : le contour fermé enlace le fil infini
(C) Vue de haut :
x
y
rdr
)(MBr
M
Ir
θθθθ
(C)
II
dI
rdMBCCC
00
)(
0
)()2(
22).( µπ
π
µθ
π
µ==== ∫∫
rr
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2 – Énoncé du théorème d’Ampère :On considère un certain nombre de fils parcourus par des courants d’intensités I1, I2, …. Soit (C) une courbe fermée orientée enlaçant certains de ces courants et n le vecteur normal déduit de la règle de la main droite.
rdr
)(MBr
M
∫=contour
rdMBCrr
).(1I
2I3I
4I5I
(C)
nr
On compte positivement les courants dirigés dans le même sens que n et négativement les courants de sens contraire.
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( )43210)(
).( IIIIrdMBCC
−++−== ∫ µrr
2I
rdr
)(MBr
M
1I
3I
4I5I
(C)
nr
Le théorème d’Ampère s’écrit :
∑∫ ==
ébriquea
enlacéesC
IrdMBC
lg
0)(
).( µrr
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II – Exemples d’applications du théorème d’Ampère
1 – Le fil infini :
∞
∞
)(MBr
M
I
Étude des invariances et des symétries :
Invariance par rotation autour de (Oz) et par translation autour de z. Le champ ne dépend pas des coordonnées θθθθ
et z.
Le plan contenant le fil et le point M est un plan (ππππ+), par conséquent le champ s’écrit :
θurBMBrr
)()( =
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∞
∞
)(MBr
M
I
Choix du contour (C) : on choisit le cercle de rayon r, de centre H (passant donc par M) orienté de telle manière que le vecteur normal soit .
La circulation C du champ sur ce contour vaut :
∫∫∫ ===)()()(
)()..()().(CCC
drrBurdurBrdMBC θθ θθ
rrrr
(C)
rH
zur
)(2 rrBC π=
zur θu
r
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∞
∞
)(MBr
M
I
Le théorème d’Ampère permet d’écrire :
On retrouve bien l’expression obtenue à partir de la loi de Biot et Savart :
(C)
rH
zur θu
r
IrrBC 0)(2 µπ ==
r
IrB
1
2)( 0
π
µ=
θπ
µu
r
IMB
rr 1
2)( 0=
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M
O
x
y
z
θurBMBrr
)()( =
r
rur
∞
∞
H
P
2 – Cylindre infini de rayon R : (densité de courant uniforme)
zujjrr
0=θur
(C)
nr
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Circulation le long du cercle C de rayon r et de centre H :
Application du théorème d’Ampère :
Pour r > R : (intensité totale à travers le cylindre)
Pour r < R :
)(2 rrBC π=
002
IjRIenl == π
r
IrBIrrBC
1
2)(;)(2 00
00π
µµπ ===
02
2
02
IR
rjrIenl == π
2
0002
2
02
)(;)(2R
rIrBI
R
rrrBC
π
µµπ ===
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R0
R
I 1
2
0
π
µ
B(r)
r
Représentation graphique du champ B(r) :
r
I 1
2
0
π
µ
Le champ magnétique est continu à la traversée du cylindre (en r = R) : c’est un résultat général pour des distributions volumiques de courants.
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3 – Plaque plane infinie d'épaisseur e : (densité uniforme)
xujjrr
0=x
y
z
e
∞
∞
M
Déterminer le champ magnétique en tout point M de l’espace.
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xujjrr
0=
z
e
M (z)
Étude des invariances : le champ ne dépend que de la côte z.
Étude des symétries :
MS (-z)
)()(;)()( zBzBuzBMB y −=−=rr
yuzBMBrr
)()( =
)()( MBMB S
rr−=
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xujjrr
0=
z
e
M
Application du théorème d’Ampère :
MS
yuzBMBrr
)()( =
)()( MBMB S
rr−=
xunrr
=
(C)PQ
R S
Contour (C) : rectangle orienté (PQRS), passant par M et MS.
yyQ yP
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Calcul de la circulation du champ sur le contour (C) :
xujjrr
0=
z
e
M
MS
yuzBMBrr
)()( =
)()( MBMB S
rr−=
xunrr
=
(C)PQ
R S
∫∫∫=
=−+==
PS
QR
Q
P
yy
yyyy
y
yyy
CudyuzBudyuzBrdMBC )).()(().()().(
)(
rrrrrr
)()(2 zByyC QP −−=
yQ yP
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Application du théorème d’Ampère :
0)( jeyyI QPenl −=Si z > e / 2 :
Si 0 < z < e / 2 :
On constate bien que le champ est continu en z = e / 2.
2)(;)()()(2 00
00
ejzBjeyyzByy QPQP
µµ −=−=−−
zjzBjzyyzByy QPQP 0000 )(;)2()()()(2 µµ −=−=−−
0)2()( jzyyI QPenl −=
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e/20
2/00 ejµ−
B(z)
z
Représentation graphique du champ B(z) :
2/00 ejµ
- e/2
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Complément : nappe de courant plane (courant surfacique uniforme js)
0
2/0 sjµ−
B(z)
z
2/0 sjµ
sjB 0µ=∆
Le champ subit une discontinuité lors de la traversée de la nappe de courant égale à :
(Résultat tout à fait général)
sjB 0µ=∆
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4 – Bobine torique (de section transverse quelconque) :
I
z
x
y
M
O
Une bobine torique est constituée de N spires jointives (parcourues par un courant d’intensité I) régulièrement enroulées sur un tore de révolution d’axe (Oz).
La section transverse du tore est quelconque (pas nécessairement circulaire).
Soit (r,θθθθ,z) les coordonnées cylindriques du point M.
θuzrBMBrr
),()( =
L’étude des invariances et des symétries donnent : (le plan OHM est un plan de symétrie (ππππ+))
H
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4 – Bobine torique (de section transverse quelconque) :
I
z
x
y
M
O
Application du théorème d’Ampère :
On choisit comme contour le cercle orienté de centre H et de rayon r (passant donc par M). La circulation du champ sur ce contour vaut :
Si M est en dehors du tore :
H
),(2 zrrBC π=
(C) )(MBr
r
0),(0 == zrBetIenl
r
NIzrBetNIIenl
1
2),( 0
π
µ==
Si M est intérieur au tore :
Le champ ne dépend ni de z ni de la forme de la section transverse du tore.
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5 – Solénoïde infini (de section transverse quelconque) :On considère un solénoïde infini de section transverse quelconque composéde spires jointives parcourues par un courant d’intensité I ; on note n le nombre de spires par unité de longueur.
On veut calculer le champ magnétique en tout point de l’espace (intérieur ou extérieur au solénoïde).
I IMint
z
Mext
∞
∞
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Étude des invariances et des symétries :
Le plan passant passant un point M et perpendiculaire à l’axe (Oz) est un plan (ππππ+). Le champ magnétique est donc porté par l’axe (Oz). Par ailleurs, il y invariance par translation selon (Oz) puisque le solénoïde est infini (mais par rotation autour de ce même axe). Par conséquent :
I IMint
z
Mext
∞
∞
O
zurBMBrr
),()( θ=
)( extMBr
)( intMBr
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Application du théorème d’Ampère :
On choisit comme contour orienté un cadre rectangulaire qui passe en deux points intérieurs au solénoïde (situés à des distances à l’axe différentes) :
I IMint,1
z∞
∞
O
)( 1int,MBr
Mint,2
)( 2int,MBr
P Q
R S
( )PQMBMBRSMBPQMBC .)()().().( 2int,1int,2int,1int, −=−=
0=enlI
Donc : int2int,1int, )()( BMBMB ==Le champ est uniforme à
l’intérieur du solénoïde infini.
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De la même manière, pour deux points extérieurs au solénoïde :
I I
Mext,1
z∞
∞
O
)( 1,extMBr
Mext,2 )( 2,extMBr
P Q
R S
extextext BMBMB == )()( 2,1,
Le champ est uniforme àl’extérieur du solénoïde infini.
Avec, a priori : extBB ≠int
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On choisit un contour « à cheval » sur le solénoïde :
I I
Mext
z∞
∞
O
extBr
Mint
intBr
P Q
R S
D’où :
( ) )(. 00int InPQIPQBBC enlext −==−= µµ
nr
nIBB ext 0int µ+=
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En assimilant un solénoïde infini à un tore de révolution de rayon infini, on montre que le champ magnétique à l’extérieur du solénoïde est nul. Par conséquent, à l’intérieur du solénoïde :
I I
z∞
∞
O
nIB 0int µ=
intBrMint
On retrouve le résultat obtenu avec la loi de Biot et Savart pour un solénoïde infini à section circulaire et pour un point de l’axe (Oz).