Flambement 51

F6 : Lame querre - flexion-torsion

Rfrence : J.H. ARGYRIS, O. HILPERT, G.A. MALEJANNAKIS, D.W. SCHARPF, On thegeometrical stiffness of a beam in space - a consistent v. w. approach - CMAME, vol 20 (1979) 105-131

Problme :

La structure spatiale reprsente sur la figure est compose de deux poutres droites de longueur L,perpendiculaires entre elles et de section constante ( rectangle plein : b , t ).

Soient E et les constantes lastiques du matriau.

Les conditions aux limites sont :

noeud A : u = v = w = y = z = 0noeud C : u = w = y = z = 0

Cas de charge 1 :

noeud A : un couple de composante ( -M , 0 , 0 )noeud C : un couple de composantes ( M , 0 , 0 )

o M peut tre positif ou ngatif.

Cas de charge 2 :

noeud B : une force de composantes ( 0 , 0 , P )

o P peut tre positif ou ngatif.

On donne :

L = 240 mm , b = 30 mm , t = 0.6 mmE = 71240 MPa , = 0.31M = 1 Nmm , P = 1 N

Calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages et plusieurs hypothses decalcul ( petites rotations / rotations modres ).

x y

z

A

C

b

t

L

L

Y

Z

Z

Y

B

M-M

P

52 RDM - Ossatures

Modlisation :

Modliser la section droite comme une section quelconque :

logo = 5 , A = 0.18 cm2 , IY = 0.000054 cm4 , IZ = 0.135 cm

4 , constante de torsion = 0.000216 cm4

Rsultats :

Cas de charge 1 :

Rfrence ( avec 2 x 10 lments ) :

hypothse petites rotations : C ( M > 0 ) = 315.79 , C ( M < 0 ) = 937.84hypothse rotations modres : C ( M > 0 ) = 624.77 , C ( M < 0 ) = 624.77

On obtient ( 4 modes demands, prcision sur le calcul des valeurs propres = 0.0001 ) :

petites rotations rotations modresNombre dlments C ( M > 0 ) C ( M < 0 ) C ( M > 0 ) C ( M < 0 )

2 x 4 317.31 985.38 638.30 638.302 x 10 315.79 937.84 624.77 624.772 x 20 315.58 931.14 622.85 622.852 x 50 315.51 929.27 622.31 622.31

Remarque : la charge critique thorique ( hypothse rotations modres ) est gale :

ML

E I G J NmmC Y= =

622 21.

pour M positif ou ngatif [T3]. Cette valeur est indpendante de langle que font entre elles les deuxpoutres.

Cas de charge 2 :

Rfrence ( avec 2 x 10 lments ) :

hypothse petites rotations : C ( P > 0 ) = 19.326 , C ( P < 0 ) = 2.419hypothse rotations modres : C ( P > 0 ) = 11.744 , C ( P < 0 ) = 3.947

On obtient ( 5 modes demands, prcision sur le calcul des valeurs propres = 0.0001 ) :

petites rotations rotations modresNombre dlments C ( P > 0 ) C ( P < 0 ) C ( P > 0 ) C ( P < 0 )

2 x 4 15.419 2.420 12.265 3.9512 x 10 14.908 2.419 11.744 3.9472 x 20 14.836 2.419 11.672 3.946

remarque : la valeur C ( P>0 , hypothse petites rotations ) donne dans la rfrence correspond aupremier mode symtrique. On obtient ( 5ime valeur propre ) : 19.326 avec 20 lments.