BELIN Physique Optique gomtrique(Commentaire Pice jointe optiquegeometriquecoursetex.jpg) RAPPELS DE COURS ET EXERCICES Agns MAUREL Jean-Marie MALBEC 8, rue Frou 75278 Paris cedex 06 BELIN www.editions-belin.comDANS LA COLLECTION BELIN SUP SCIENCES A. MAUREL Optique gomtrique, cours M. SAINT-JEAN, J. BRUNEAUX et J. MATRICON lectrostatique et magntostatique, cours J. BRUNEAUX, M. SAINT-JEAN et J. MATRICON lectrostatique et magntostatique, rsum de cours et exercices DANS LA COLLECTION BELIN SUP HISTOIRE DES SCIENCES A. BARBEROUSSE La mcanique statistique de Clausius Gibbs M. BLAY La science du mouvement de Galile Lagrange Photo de couverture Digital Vision Le code de la proprit intellectuelle n autorise que les copies ou reproductions stri ctement rserves l usage priv du copiste et non destines une utilisation collective [article L. 122-5] ; il autorise galement les courtes citations effectues dans un but d exemple ou d illustration. En revanche toute reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, sans le con sentement de l auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite [article L. 122-4]. La loi 95-4 du 3 janvier 1994 a confi au C.F.C. (Centre franais de l exploitation du droit de copie, 20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), l exclusivit de la gestion du droit de reprographie. Toute photocopie d oeuvr es protges, excute sans son accord pralable, constitue une contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code pnal. ditions Belin, 2002 ISSN 1158-3762 ISBN 2-7011-3033-6Sommaire Notions de rayons, lois de Descartes, principe de Fermat et stigmatisme.................................................................. ..................................................... 5 Dioptres dans l approximation de Gauss............................................ ................ 33 Systmes catadioptriques dans l approximation de Gauss...................... 63 Lentilles paisses et lentilles minces............................................ ......................... 79 Association de lentilles et de miroirs ......................................... .......................... 99 L oeil, la loupe et autres instruments une lentille............................... ..... 125 Le microscope et la lunette .................................................... ..................................... 155 Autres instruments optiques..................................................... ................................. 177Chapitre 1 Notion de rayons, lois de Descartes, principe de Fermat et stigmatisme Depuis longtemps les scientifiques avaient constat que la lumire se divise lorsqu el le arrive la surface de sparation entre deux milieux, une partie tant rflchie, l autre subi ssant une dviation au passage dans le second milieu. Ds l antiquit, l galit des angles incident et rflchi est connue. Mais il faudra attendre la fin du XVIe sicle pour qu e la loi de la rfraction sous sa forme actuelle (n1 sin i1 = n2 sin i2) soit nonce. On trouve une bauche de description des rayons rfracts dans les essais de Ptolme et les savants arabes donneront des tables des angles rfracts en fonction des angles incidents pour l interface eau-verre. Mais c est seulement en 1611 qu on trouve la premire loi de la rfraction dans le Dioptrique de Kepler, nonce sous la forme simplifie n1i1 = n2i2 (valable pour les faibles angles). C est un peu injustement que la loi de l a rfraction porte le nom de Snell-Descartes car c est sans doute au mathmaticien anglais Thomas Harriot qu on doit le premier nonc de cette loi telle qu on le connat aujourd hui. En fait, Snell l a probablement trouv exprimentalement en 1621 puisqu il n en propose aucune dmonstration tandis que Descartes en propose une mais trs discutable. l poque, le mathmaticien franais Fermat s lve d ailleurs avec vhmence contre la pseudodmonstration donne par le philosophe. Fermat s attaque alors l optique et il nonce en 1650 le principe de moindre temps : p armi toutes les courbes joignant deux points de l espace, c est celle qui correspond a u temps de parcours minimal qui est effectivement suivie par la lumire. Mais Fermat n est p as physicien et ce n est qu une dizaine d annes plus tard que la loi de la rflexion est ret rouve grce son principe. Fermat veut aller plus loin et dclare propos de la loi de la rfraction Il me semble que la chose est aise et qu un peu de gomtrie pourra nous tirer d affaire . Il a raison ! En 1661, il effectue la dmonstration de la loi de la rfract ion partir de son principe, offrant ainsi le premier exemple de calcul variationnel appliqu la physique. Il dclare ce propos : Le fruit de mon travail a t le plus extraordinai re, le plus imprvu et le plus heureux qui ft jamais car j ai trouv que mon principe donna it justement et prcisment la mme proportion des rfractions que Monsieur Descartes a tablie . La loi de la rfraction : de Ptolme Fermat Un peu d histoire 5Rappel de cours Rappel de cours ... 1. L OPTIQUE GOMTRIQUE L optique gomtrique se propose de dcrire la propagation de la lumire en considrant le trajet de rayons lumineux, dont la direction et le sens reprsentent la directi on et le sens de propagation de l onde lumineuse. Ainsi, dans un milieu transparent, homogne , isotrope, caractris par son indice de rfraction, la lumire se propage en ligne droit e. Il faut garder l esprit que l optique gomtrique n est valable que si toutes les dimensio ns du problme, notamment la dimension des diaphragmes qui limitent les faisceaux, so nt trs suprieures la longueur d onde. Sans quoi des phnomnes de diffraction interviennent , et la notion mme de rayon n a plus de sens. ... 2. CARACTRISTIQUES D UN MILIEU OPTIQUE 2.1. Milieux transparent, homogne, isotrope Un milieu est dit : -transparent s il laisse passer la lumire (par opposition un milieu opaque) ; -homogne si ses caractristiques optiques sont indpendantes de l espace ; -isotrope si ses caractristiques optiques sont indpendantes de la direction selon laquelle se propage le rayon lumineux. 2.2. Indice d'un milieu c On dfinit l indice optique nd un milieu par : n=--> 1 , o c est la vitesse de propaga v tion de la lumire dans le vide et vsa vitesse de propagation dans le milieu consi dr. Plus l indice d un milieu est lev, plus le milieu est rfringent. Dans un milieu transparent inhomogne, l'indice optique ndpend du point de l'espace considr dans ce milieu. ... 3. PROPAGATION DES RAYONS LUMINEUX 3.1. Le chemin optique Le chemin optique entre deux points A et A' correspond la longueur parcourue par la lumire dans le vide pendant le mme temps qu'elle mettrait parcourir le trajet AA' dans le milieu considr d indice n: t A L= .cdt= . d nsAA A t 3.2. Le principe de Fermat Le principe de Fermat prvoit que le trajet suivi par la lumire du point A au point A' est celui pour lequel le chemin optique est extrmal. 6Lorsque le milieu est homogne (n = cte), la lumire se propage en ligne droite. La propagation d'un rayon lumineux dans un milieu transparent inhomogne est gouve rne par l'quation dite quation des rayons et qui s'crit :d(nu) grad(n) = ---------ds o n est l'indice au point courant M, u est le vecteur unitaire tangent au rayon e n M et s l'abscisse curviligne le long du rayon. M u 3.3. Lois de Descartes Rflexion et rfraction Un rayon lumineux et la normale au point d incidence sur la su rface d un dioptre ou d un miroir dfinissent un plan appel plan d incidence. Si i1 dsigne l angle d incidence, i l angle rflchi et i2 l angle rfract par rapport la normale les de Descartes s noncent ainsi : Le rayon rflchi et le rayon rfract appartiennent au plan d incidence. Pour la rflexion, on a i = i1. Pour la rfraction, on a n1sini1 = n2 sini2. Incidence critique et rflexion totale Le rayon rflchi existe toujours ; en revanche , si le rayon se propage d un milieu vers un autre milieu moins rfringent, il existe un angle d incidence critique ic tel que : n2 sinic = ---n1 Pour un angle d incidence suprieur ic, il y a rflexion totale. i2 i1 i n1 n2 n1n2 i1n2 i1=ic Rflexion totale i n1 n2 i1 n1>n2 i1>ic ... 4. INSTRUMENTS OPTIQUES 4.1. Dioptre et miroir On appelle dioptre une surface de sparation entre deux milieux homognes, transpare nts et isotropes et on considre un miroir comme un dioptre particulier. Le comporteme nt d un rayon lumineux la surface d un dioptre ou d un miroir est rgi par les lois de Descartes. 4.2. Stigmatisme Un systme optique (S) est dit rigoureusement stigmatique pour deux points A et A , si tout rayon lumineux issu de A passe par A aprs avoir travers (S) ; Cette condition correspond un chemin optique LAA' constant quel que soit le rayon lumineux considr. On dit que les points A et A sont conjugus par rapport (S). Les cas de stigmatisme ri goureux tant rares (miroir plan ou dioptre sphrique aux points de Weierstrass), on se cont ente souvent d un stigmatisme approch, obtenu pour deux points A et A lorsque tout rayon issu de A passe au voisinage de A aprs avoir travers (S). LAA' n'est alors co nstant qu'au premier ordre. La relation liant les positions relatives de deux points conjugus est appele relat ion de conjugaison. 8Exercices Exercices NOTION DE RAYONS Exercice 1 Le filtre chromatique Un rayon lumineux est constitu de la superposition de deux couleurs ou radiations , rouge et violette. Ce rayon se propage dans un verre dont les indices pour la lu mire rouge et la lumire violette sont respectivement gaux nr = 1,595 et nv = 1,625. Ce ray on arrive sur la surface de sparation avec l air. 1. Calculer les angles d incidence critique pour les lumires rouge et violette dans ce verre. 2.a. Quelle(s) couleur(s) observe-t-on dans l air si le rayon arrive dans ce milie u sous un angle d incidence i = 35 ? b. Mme question si le rayon arrive sous un angle d incidence i = 38,5. 3. Quel est l intrt de ce type de montage ? Solution CONSEIL : cet exercice ne prsente pas de difficult majeure ; il s agit d une applicati on directe de la loi de Descartes pour la rfraction n1sini1 = n2sini2. 1. Le calcul des angles d incidence critique s effectue l aide de la loi de Descartes pour la rfraction : n1sini1 = n2sini2, avec dans le verre n1 = nr ou nv, et n2 indice de l'air. correspond un angle d mergence i2 i2r i1 Verre Air n1>n2 i2v n1 n2 L angle d incidence critique i1c gal p/2, soit n1sin i1c = n2. On a donc : i1c arc n2 n1 -..sin..=A.N. i1c(rouge) = 38,8 et i1c(violet) = 37,9. 2. a. Pour un angle d incidence gal i = 35, infrieur aux deux angles critiques, les d eux radiations mergent du verre et sont rfractes dans l air. En revanche, les angles de rf raction sont diffrents pour les deux radiations : les radiations sont donc spares aprs rfraction (figure ci-dessus). b. Si l angle d incidence est gal 38,5 seule la radiation rouge sera rfracte. La radiat on violette sera totalement rflchie. 3. Ce type de montage peut tre utilis comme un filtre chromatique non color puisqu ilpermet d liminer certaines radiations (celles qui sont totalement rflchies). 1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET STIGMATISMEExercice 2 Exercice 2 Caractristique d'une onde L indice de rfraction d un milieu transparent dpend de la temprature du milieu mais aussi de la frquence de l onde considre. Un rayon lumineux se propage dans l air. Il arrive sur un morceau de flint (le fli nt est un verre base de plomb utilis en optique) avec un angle d incidence de 20 avec la normale la surface de verre. L indice de rfraction du flint est n = 1,585 pour une radiation de longueur d onde . = 486 nm. Que deviennent les quantits suivantes : frquence, vitesse de l onde et longueur d onde lorsque la lumire passe de l air au flint (on assimile l air au vide). Faire les applications numriques dans les milieux 1 (l air) et 2 (le flint). Solution CONSEIL : on s interroge ici sur les modifications des diffrentes quantits associes u ne onde au cours de sa propagation : frquence, longueur d onde et clrit. Une notion essentielle est la conservation de la frquence d une onde. Une onde lumineuse est caractrise par sa frquence f : la frquence est une grandeur i nvariante de l onde. Une onde de longueur d onde .2 = 486 nm dans le flint, dont l indice est n2 = 1,585, a une frquence : v v 2c .2 n2.2 , f = ----= --------= 3 895 1014 Hz. Par dfinition de l indice d un milieu, les vitesses de l onde dans les milieux 1 et 2 s ont donnes par : -dans l'air, n1 = 1,v1= c-= 1 --3 108m.s n n 1 c 1-dans le flint, n2 = 1,585,v2=--= ,108m.s -189 n n 2 Dans le flint, on a .2 = 486 nm. La longueur d onde .1 dans l'air se dduit de la vi tesse v1 et de la frquence f : vv 1 n2 .1 = ---= ---.2 = 770nm. fn1 En conclusion, lorsque la lumire passe d un milieu un autre, seule la frquence est conserve ; sa vitesse de progagation et sa longueur d onde sont modifies.Exercice 3 Exercice 3 Le tolune et le verre Le tolune (C6H5 CH3), corps organique liquide driv du benzne, est non miscible dans l eau. En procdant avec attention, on remplit successivement un bcher de deux liquides formant ainsi deux couches : eau/tolune. On y introduit alors la tige de verre (photo ci-contre). On rappelle que l indice de rfraction du verre est gal n = 1,33. Commenter la photo. Que vaut l indice optique du tolune ? Solution CONSEIL : cet exercice, fond sur l analyse d une photo, s appuie sur la notion de rfract ion des rayons lumineux au passage d un milieu 1 un milieu 2 (ici le verre et l eau ou le verre et le tolune). La partie de la tige immerge dans l eau est visible ; les indices de rfraction de l ea u et du verre sont trs diffrents et les rayons traversant le verre sont dvis. En revanche, o n ne voit pas (ou trs peu) la partie de la tige immerge dans le tolune. Cela signifie qu e les rayons se propageant dans le tolune et rencontrant le verre sont peu dvis : l indice du tolune est voisin de celui du verre. Ainsi, on dduit immdiatement :ntolune nverre = 1,33. LOIS DE DESCARTES Exercice 4 Constructions gomtriques de Descartes des rayons rflchi et rfract Descartes a propos une construction gomtrique des rayons rfract et rflchi lorsqu'un rayon incident dans un milieu d indice n1 rencontre une interface (dioptre p lan) sparant le premier milieu d un autre, d indice n2. Dans cette construction, le point d incidence I est pris pour centre de deux cercles C1 et C2 de rayons gaux respective ment aux indices n1 et n2 ( un facteur multiplicatif prs). Le rayon incident est prolon g jusqu au cercle C1 qu il coupe en un point J. La perpendiculaire au dioptre passant par J coupe C2 en A dans le milieu d'indice n2, et, C1 en B dans le milieu d'indice n1 . Le rayon rfract correspond au rayon IA et le rayon rflchi au rayon IB. 1. En supposant que n1 < n2, montrer que cette construction permet de retrouver les lois de Descartes. 2. Dans le cas o n1 > n2, montrer par une construction gomtrique l existence d une rflexion totale. 1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET STIGMATISME 11Solution Solution CONSEIL : les constructions de Descartes tant dcrites dans l nonc, le problme consiste raliser la construction gomtrique et en exploiter les proprits gomtriques pour retrouver les loi de Descartes. 1. n1 i1 n1 C1 C2 i 1 I I 1 H B n2 i2 J A n2 La construction gomtrique ci-dessus permet de retrouver les lois de Descartes. En efIH IH fet, on a pour le rayon incident : sini1 = ------= ------, pour le rayon rfract : IJ n1 IHIH IHIH sini2 = ------= ------, et pour le rayon rflchi : sini IA n2 IB n1 On obtient donc : i 1 = i1 et n1 sini1 = n2 sini2. Remarquons qu'avec n2 > n1, la droite passant par J et perpendiculaire au dioptr e coupe toujours C2 en un point A et C1 en un point B : il y a toujours un rayon rflchi et un rayon rfract. 2. Avec n2 < n1, le point A n existe pas toujours. Pour de faibles valeurs de i1, la perpendiculaire au dioptre passant par J coupe le cercle C2 : on observe un rayon rfract et un rflchi (fig. a.). Pour un angle d incidence i1 suprieur une valeur critique ic, la pe rpendiculaire au dioptre passant par J ne coupe pas C2 : on observe seulement un rayon totalem ent rflchi (fig. c.). Le cas limite est obtenu lorsque la perpendiculaire au dioptre passant par J est tangente C2 (fig. b.). Le point A est confondu avec le point H et on a IH = n2 = n1sin ic, d'o la valeur de ic dfinie par la relation : sini 1 = --n-2. n n 1 1 = ------= ------.a. b.c. i1 n1 n2 n1 i 1 n2 H i2 B A C2 C1 J i1icExercice 5 Exercice 5 Construction gomtrique de Huygens La construction gomtrique de Huygens permet de tracer un rayon rfract IB partir d un rayon incident donn AI. Dans un premier temps, on trace, dans le milieu d indice de rfraction n2, deux demi-cercles concentriques C1 et C2, de centre I et de rayo ns respectifs et . On prolonge le rayon incident et on note D l intersection de (AI) avec C1. On mne alors la tangente en D C1 : elle coupe le dioptre plan en H. La tangente C2, passant par H, coupe C2 en B. IB correspond au rayon rfract. 1. Raliser les constructions pour n1 < n2 et n1 > n2. 2. Que se passe-t-il si IH < ? R1 1 n1 ---= R2 1 n2 ---= 1 n2 ----Solution CONSEIL : comme dans l exercice prcdent, il s agit ici de raliser la construction de Hu yghens donn dans l nonc et d en dduire les proprits demandes. 1. Cas n1 < n2 : l angle i1 est alors plus grand que l angle i2: i1 n1 n2 i2 D HI 1 n2 1 n1 A B Cas n1 > n2 : l angle i1 est alors plus petit que l angle i2: i1 n1 n2 i2 HI A 1 n1 1 n2 B D 1 2. Si IH < ---, il y a rflexion totale et aucun rayon lumineux ne traverse le mil ieu.n n 2 Notons que cela n est possible que dans le cas n1 > n2 (voir construction). 1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET STIGMATISME 13Exercice 6 Exercice 6 Lois de Descartes ou sauvetage en mer Au XVIIe sicle Fermat a nonc un principe qui permet aujourd hui de comprendre l optique des rayons lumineux : La lumire se propage d un point vers un autre sur une trajectoire telle que la dure du parcours soit minimale . Nous nous proposons de r eprendre cette notion dans un cadre un peu diffrent. Un matre nageur, initialement en A sur la plage, doit sauver un nageur qui se noi e en B dans la mer. Sa vitesse de marche sur le sable est V1 tandis que sa vitesse de nage est V2 (V2 < V1 ). 1. Quel chemin le matre nageur devra-t-il prendre, le plus rapide ou bien le plus court ? 2. Exprimer cette condition et retrouver la loi de Descartes relative la rfractio n. Solution CONSEIL : l objet de cet exercice est de retrouver la loi de Descartes relative la rfraction en utilisant le principe de Fermat : la lumire suit un chemin qui minimise son temps de parcours. Au passage d un milieu 1 un milieu 2, la vitesse de l onde est modifie et le principe de Fermat prvo it que l onde ira du point A dans le milieu 1 au point B dans le milieu 2 suivant une courbeLAB telle que son temps de parcours le long de LAB soit minimum. Cette proprit de l onde est reprise ici dans le cas d un matre nageur se dplaant sur une plage ou dans l eau. 1. Le matre nageur va prendre le chemin le plus rapide s il veut sauver la personne temps. Il est raisonnable de penser qu il va courir plus vite sur la plage qu il ne peut nager dans l eau ! Il faut donc qu il trouve un compromis tel que le chemin comporte une p artie du trajet plus important sur la plage que dans l eau. 2. Pour mener bien le calcul demand, il faut donc exprimer le temps T mis par le matre nageur du point A au point B sachant qu il atteindra le bord de l eau en un point O (voir figure ci-dessous). Entre A et O sa vitesse est gale V1 et entre O et B, sa vites se est V2. Sur AO et OB, la faon la plus rapide de se dplacer reste bien sr la ligne droite ! Toute la difficult consiste trouver la position du point O qui minimise T. Ceci est rali s en diffrentiant T par rapport une variable qui dcrit la position du point O. H O A H i B r Plage Mer La dure T du trajet AB est gale : AOOB OH OHT = -------+ -------= ------------+ -----------V1 V2 V1cosiV2cosr Remarquons que, quel que soit le chemin emprunt, les distances OH et OH constantes. sontPar ailleurs, la distance AH + H B = cte, ce qui peut galement s crire : OH tani + OH tanr = cte Changer de trajet revient changer d angle d incidence i (attention, r n est pas indpend ant de i). Pour dterminer l angle i correspondant la dure minimale du trajet, A et B dT tant fixs, il suffit de chercher i tel que ------= 0. Nous obtenons ainsi : di OH sini OH sinr dr .. 0 ----------------+ ----------------------= .. V V 1cos2 iV2cos2 r di OH OH .. 0 et ---------+ -------------= .. cos2 i cos2 r di dr On exprime ---- partir de la seconde expression et on simplifie la premire expres sion : di sini sinr -------= ------V V 1 V2 cc Applique l optique gomtrique o V1 = ---et V2 = ---cette relation est quivalente n n 1 n2 la loi de Descartes pour la rfraction. drPRINCIPE DE FERMAT. STIGMATISME Exercice 7 Du principe de Fermat la loi de Snell-Descartes Un dioptre plan spare deux milieux d indices de rfraction n1 et n2. On cherche le ra yon lumineux qui se propage du point A, dans le premier milieu, vers le point B dans le deuxime milieu. I est le point d intersection du dioptre plan avec le rayon. 1. Recopier et complter le schma ci-dessus, placer le point I sur le dioptre plan, le rayon AI puis IB, les angles i1 et i2 de ces deux rayons par rapport la normale au dioptr e passant par I, ainsi que (x1, y1) et (x2, y2) coordonnes respectives de A et B dans un repre o rthonorm Ixy. 2. Exprimer le chemin optique L(AB) en fonction des grandeurs n1, n2, x1, x2, y1 et y = y2 + y1. De combien de variables L(AB) dpend-il ? 3. Retrouver la loi de Snell-Descartes en appliquant le principe de Fermat qui p rvoit que le chemin optique est minimal (on dit aussi stationnaire). n1 n2 A B y x 1. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET STIGMATISME 15Solution Solution CONSEIL : cet exercice ne pose pas de problme de mise en forme mathmatique, l nonc gui dant fortement vers une mise en place des quations rsoudre. Il suffit donc de se laisser guider ! 1. x1 A B x i1 i2 H y n1 n2 y2y1 I H x2D 2. Les points A, B et le dioptre sont fixs donc les valeurs de x1 et x2 sont cons tantes. Il en est de mme pour la distance latrale (parallle au dioptre) entre A et B, c est dire pour D= y2 -y1. Le chemin optique L(AB) est par dfinition : L(AB) = n1 AI + n2 IB Dans le triangle AIH, on a : AI = De mme dans le triangle BIH 22 2 IB = x+ y= x+(Dy + 1)2. On en dduit l expression de L(AB) : 22 2 22 2 L(AB) = L(y1) = n1 x+ y1+ nx2 +(Dy1)2 1 2+ Ce chemin optique ne dpend que de y1 puisque x1, x2 et Dsont constants. 3. Le chemin optique est minimal si ses drives partielles, par rapport toutes les variables, sont nulles. Ici, L(AB) ne dpend que de y1, cette condition s exprime par : dLyDy 1 +1 ------= n1 -----------------+ n2 -----------------------------= 0 22 2 x1+1 2+ :dy1 yx+(Dy1)2 On a, par ailleurs : y1 - dans le triangle AHI, sini1 = ----------------x 2+ y 21 1 yDy 2 +1 - dans le triangle BH I, sini2 = -----------------= ----------------------------22 2 x2+ y2 2 +1)2 x+(DyOn retrouve bien la loi de Snell-Descartes : n1 sini1 = n2 sini2 x 2 1 y 2 1+ .Exercice 8 Exercice 8 Stigmatisme approche d un dioptre plan Un dioptre plan spare deux milieux d indice n et n . On considre un point source A dans le milieu d indice n. La normale au dioptre passant par A coupe le plan du di optre en O. Un rayon issu de A est rfract en I sur le dioptre. Le prolongement du rayon rfract coupe la droite OA en un point A . On note i et i les angles forms par les rayo ns incident et rfract par rapport la normale au dioptre en I. 1. Exprimer le chemin optique L entre A et A en fonction de OA, OA , n, n , i et i . 2. Montrer que la condition de stigmatisme est obtenue dans l approximation paraxi ale. Quelle relation de conjugaison obtient-on alors ? Solution CONSEIL : l objet de cet exercice est d tablir la relation de conjugaison d un dioptre plan dans l approximation paraxiale, c est--dire pour des angles faibles entre les rayons lumineux et l axe. La relation de conjugaison du dioptre lie les positions relatives de l objet (ici A) et de son image (A ), les points A et A tant dits points conjugus travers le dioptre. 1. i O I i i i n n Dioptre A A Exprimons le chemin optique L entre A et A : L = n AI n IA . Le chemin optique entre I et A est compt ngativement car l image A Dans les triangles AOI et A OI, rectangles en O, on a : AI = OA cosi ------et A I = OA i cos -------On a donc : L = n OA cosi ------n OA i cos -------2. Le principe de Fermat prvoit qu un systme optique est stigmatique si, pour deux points conjugus, le chemin est indpendant de l angle i (et donc de i ). La drive de L par rapport i est donc nulle : dL OA sinin OA sini diest virtuelle.-----= n--------------2i di cos cos 2i di-----------------------= 01. NOTION DE RAYONS, LOIS DE DESCARTES, PRINCIPE DE FERMAT ET STIGMATISME 17i et i sont lis par la loi de rfraction de Descartes : n sini = n sini . En diffrentiant cette expression, on obtient : n cosi di = n cosi di . dL On remplace, dans -----, di par son expression en fonction de di. On obtient di finalement : dL . OA OA . -----= n 2 sini cosi -----------3 di .ncos 3in cos i . ce stade,----dL -= 0 quel que soit i, raliserait le stigmatisme rigoureux, ce qui n est di manifestement pas possible ; en effet, on aurait alors : nOA2 AI3 --------------= -------n OA 2 A I3 AI quelle que soit la position de I ; or le rapport ------n est pas constant lorsque I se dplace A I le long du dioptre. On recherche alors la condition de stigmatisme approch en se plaant dans l approxima tion paraxiale, o les angles i et i sont faibles. dL .OA OA . Au premier ordre, cosi di . nn . OAOA dL Si -------= ---------, on a alors ----0 quel que soit i. cosi 1 et sini i, soit : ----ni ---------------= 0 -------------nn di On a donc tabli une relation de conjugaison pour les points A et A . Le dioptre pla n ralise une condition de stigmatisme approch. Exercice 9 Principe de Fermat et dioptre sphriqueOn considre un dioptre sphrique sparant un milieu d indice n d un milieu d indice n . Le centre C du dioptre se trouve dans le milieu d indice n et on note S son sommet , avec R = . Soit A (p = ) un point du milieu objet, situ sur l axe principal et AI le rayon incident rencontrant le dioptre en I. Le rayon rfract coupe l axe en un point A (p = ). 1. Construire le rayon incident et rfract si on suppose que A et A sont rels. 2. Soit H la projection de I sur l axe principal, on pose x = . Calculer le chemin optique L entre A et A en fonction des donnes. 3. Montrer que le principe de Fermat permet d tablir une relation de conjugaison po ur le dioptre sphrique dans l approximation des rayons paraxiaux. Que vaut alors le chemi n optique entre A et A ? SC SA SA SH Solution 1. Le schma est ralis dans les conditions suivantes : A est plac avant le centre C e t n > n . On a ainsi un objet et une image rels.I iA SHCA i n n 2. Le chemin optique Lentre A et A s crit alors : LnAI + n IA = Pour calculer AI, considrons le triangle AIH, rectangle en H. On a : AI2 = AH2+HI2 Posons x=SH , o H est la projection de I sur l axe AS. Dans le triangle CHI, rectangle en H : HI2 = CI2 CH2 = R2 ( RxSur l axe, on a simplement : AH = px On a donc l expression de AI : 22 22 AI= ( px+ )+ R +)= : + + )2( Rxp+2x(Rp ) On trouve de mme pour IA ) ) 2 2 2 2 ( Rx2x ) AI = ( p + x+ R 2 Lnp2+2x =(Rp ) + n p+2x(Rp+)= p+(RpOn obtient finalement L:)3. Dans l approximation paraxiale, les rayons restent proches de l axe ; le point H est donc voisin de S, soit encore x 0 ; la relation prcdente peut donc s crire : .R ..R . L= np1+2x----- 1 + n p 1+2 x----1 -p. p . p .p . On peut effectuer un dveloppement limit de L, en utilisant (1 + e)a pour e f . 2. Le schma synoptique s crit ici : . O est l imageO O O liquide/air lentille L de O travers le dioptre liquide/air : notons M le point de l interface la vertical e de O, on a : MO MO ---------= --------n 1 Avec CM = H . 1 . CO = CM +MO = H1 ---- d n . n. Finalement : . 1 . d = H1 -- d . n. 3. O devient objet pour la lentille L et O 111 ---------- ---------= -CO Soit CO f son image ; on a donc : = Hd H-d< 0 et MO=H, il vient :COf(CM + MO ) fCO = ----------------= ---------------------------------CO + f (CM + MO ) + f Avec CO .. 1. = D+ x, on obtient :H1 -- d. f .. n.. Dx= -----------------------------+. 1. H1 -- d+ f . n. On a donc aprs simplification : (f D x) H n= --------------------------------------------------------(Hd)(f D x) (D+ x)fA.N. n= 1,3. 4. LENTILLES PAISSES ET LENTILLES MINCES 9798Chapitre 5 Association de lentilles et de miroirs Le tlescope rflexion a t invent par l anglais James Gregory en 1663 puis perfectionn par Isaac Newton quelques annes plus tard. Le tlescope va progressivement remplacer la lunette astronomique car ses qualits s ont nombreuses : - les aberrations chromatiques sont supprimes puisque la lumire est rflchie et non p lus rfracte ; - la forme parabolique du miroir primaire donne d un objet ponctuel plac l infini une image rigoureusement stigmatique ; - il est plus facile techniquement de fabriquer un grand miroir qu une grande lent ille convergente. Le diamtre d ouverture de l appareil est donc plus important ; - enfin, la taille d un tlescope, pour des distances focales identiques celles d une lunette, est moindre. On obtient un instrument plus compact. Le tlescope a connu de multiples amliorations au cours du temps et le premier avoi r plac un miroir en verre argent a t Lon Foucault (1819-1868). Ce savant du XIXe sicle est connu pour avoir mis en place un pendule oscillant en fvrier 1851 a u Panthon pour l installer en mars de la mme anne l observatoire de Paris. Il est aussi celu i qui sut argenter la face avant d un miroir de verre utilis dans les tlescopes. Le dpt d argent permettait d obtenir des miroirs d argent rflchissants de bonne qualit contrairement aux anciens miroirs en bronze poli qui taient peu rflchissants et que l on employait alors. Le premier tlescope de Lon Foucault quip d un miroir en verre date de 1859 et se trouve encore l observatoire de Paris. Aujourd hui les tlescopes rflecte urs ne sont plus argents mais alumins dans une chambre vide. Le plus grand tlescope, constitu d un miroir monobloc, est install sur le site de la Silla au Chili, et le diamtre du miroir primaire est de 8 mtres. Il fait partie d un ensem ble de quatre tlescopes du programme europen VLT (Very Large Telescope). La construction des premiers tlescopes Un peu d histoire 99Exercices Exercices Exercice 1 ASSOCIATION DE LENTILLES ET DE MIROIRS Constructions gomtriques et associations de lentilles l aide d une lentille mince convergente L1 de centre O1 et de distance focalef 1 = 4 cm, on obtient une image A1B1 d un objet rel AB de 1 cm de hauteur et plac 6 cm de la lentille. 1. Faire un schma l chelle 1/2 sur l axe optique et 3/2 dans la direction perpendicula ire et dterminer graphiquement la position et la taille de l image A1B1. 2. Retrouver ces rsultats par un calcul. Quel est le grandissement .1 ? La lentille L1 est remplace par une lentille divergente L2 de centre O2 et de dis tance focale f 2 = 5 cm. 3. Reprendre les deux premires questions avec cette nouvelle lentille. On considre l association des deux lentilles L1 et L2, L2 tant place d = 3 cm derrire L1. L objet est toujours 6 cm devant la lentille L1. 4. Reprendre les deux premires questions pour l association de ces deux lentilles. On tracera le chemin de deux rayons particuliers travers le systme. Solution CONSEIL : un exercice sans aucune difficult particulire. 1. Reprsentons le rayon . issu de B et passant par le centre optique de la lentil le : ce rayon n est pas dvi. Le rayon . issu de B et parallle l axe optique rencontre la lentil le en BL ; Le rayon mergeant de la lentille est port par la direction BLF 1 . On consta te que le faisceau mergeant de la lentille est convergent : l image est relle. A F1 F 1 A1 B1 B O1 BL 1 2 L1 On mesure graphiquement O1A1 = 12 cm et A1B1 =2 cm.2. L objet est rel, on a donc O1A = 6 cm. Pour dterminer la position de l image A de A travers la lentille, on utilise la loi de conjugaison des lentilles minces : 111 O O ---------- ---------= --1A1 O1A f 1 On en dduit la position de A1 : O1A f 1 O1A1 = ----------------+f 1 O1A A.N.O1A1 = 12 cm. 100Le grandissement .1 donne la taille de l image A1B1 en fonction de la taille de l ob jetAB : A1B1 O1A1 .1 = ---------= ---------AB O1A A1B1 = .1AB = 2 cm. L image est relle et inverse.3. On utilise les mmes rayons . et . que prcdemment. La partie du rayon F 2BL ne correspond pas un chemin effectivement suivi par la lumire, on le reprsente donc e n pointill. Ici, le faisceau mergeant de la lentille est divergent : l image est virtu elle. A A2F 2 B O2 B2 1 2 BL F2 L2 On obtient graphiquement O2A2 26 cm et A2B2 , , 047 cm. Le calcul conduit O2A2 , 045 cm). 4. Nous dcomposons la construction des trajets des rayons en trois tapes. a. b. c. A F1 F 1 A1 B1 B O1 B2 1 2 L1 O2 L2 CL2 CL1 A F2 A1 B1 B O1 O2 L2 A F 2 A B O1 O2 27cm et .2 = 0,45 (soit A2B2 ,L2 A L1 CL2 CL1 B 2 1 5. ASSOCIATION DE LENTILLES ET DE MIROIRS 101Figure a : On positionne l image B1 de B travers la premire lentille. Attention, ce tte image n est pas observable car elle n existe pas . En effet, les rayons lumineux . et . renco ntrent la lentille L2 en CL1 et C L2 avant de converger en B1: la partie des rayons . e t . aprs L2 (CL1B1 et C L2B1) est donc reprsente en pointille. Figure b : B1 est un objet (virtuel) pour la lentille L2. Aucun rayon n est effect ivement mis par B1: tous les rayons sont en pointille. On peut cependant dterminer l image de B1 travers L2 en utilisant les proprits usuelles (rayon issu de B1 et passant par le centre optique O2 et rayon issu de B1 parallle l axe optique) : on obtient ainsi B qui est g alement l image de B travers l association des deux lentilles L1 et L2. Figure c : On peut maintenant complter le trajet des rayons lumineux . et . interrompus en figure a aux points CL1 et CL2. On sait que le faisceau lumineux m ergeant de L2 est un cne de sommet B . Ici, le cne est divergent car B est une image virtuell e. On trace en pointille le trajet B CL1 et B CL2. Les prolongements de B CL1 et B CL2 sont reprsents en traits pleins : ils correspondent aux trajets effectivement suivis par les rayons . et .. On obtient graphiquement : O2A 11 5cm et A B ,, 2 5 cm. Pour retrouver ce rsultat par le calcul, il suffit de dterminer l image A B de A1B1 tra vers L2 (le calcul de la position et de la taille de A1B1 a t effectu en 2.). On a : 111 ---------- ----------= --O2A O2A1 f 2 On en dduit la position de A : (O2O1 + O1A1)f 2 O2A = ------------------------------------(O2O1 + O1A1) + f2 Le grandissement total . est donn par : A B A B A1B1 O2A O1A1.1 = ---------= -------------------= ------------------AB A1B1 AB O2A1 OA A.N.O2A = 11,25 cm. . = 2,5.Exercice 2 Association de deux lentilles On observe un objet de 20 m de hauteur, perpendiculaire l axe optique d un systme constitu de deux lentilles : la premire est une lentille convergente de distance f ocale f 1 = 20 cm et la seconde une lentille divergente de distance focale f 2 = 5 cm. Les deux lentilles sont spares d une distance e = 10 cm. L objet observ est plac L = 2 km devant la lentille convergente. 1. Dterminer la position et la taille de l image travers la lentille convergente lo rsqu on enlve la lentille divergente. 2. Dterminer la position et la taille de l image travers le systme des deux lentille s.Solution Solution CONSEIL : cet exercice ne prsente pas de difficult majeure. Pour dterminer l image d un objet travers la succession de deux lentilles L1 et L2, le plus simple consiste utiliser l image intermdiaire de l objet travers L1 ; cette image intermdiaire sert d objet pour L2 qui en forme une image c orrespondant l image de l objet travers L1 + L2. 1. Notons O1 le centre optique de la premire lentille L1 convergente. L objet AB do nne, travers la lentille L1, une image A1B1 qui vrifie : 111 ---------- ---------= --O1A1 O1A f 1 d o O1A1 = ----------------1 O1A f O1A +f 1 Le grandissement correspondant est : f 1 A1B1 O1A1 .1 = ---------= ----------= ----------------AB O1A O1A+f 1 Avec O1A = L, on a finalement : Lf O1A1 = ----------1Lf 1 f (A1 est au point focal image de L1)1 f 1 A A 1B1 = --------------ABL+ f 1 A.N. O1A1 = 20 cm; A1B1 = 2 mm . 2. Le schma synoptique est le suivant : On a dtermin les caractristiques de A1B1 en 1. Il reste caractriser A B , image de AB A B A1B1AB L1 L2 travers l ensemble L1 L2 ou encore, image de A1B1 travers L1. Dterminons la position de A B : 111 ---------- ----------= --O2A O2A1 f 2 Lf Avec O2A1 = O2O1 + O1A1 = e+ ----------1-, il vient : Lf1 [Lf e(1 Lf 1) ] f 2 (f 1 e)f 2 -----------------O2A = ---------------------------------------Lf (f e ff e+ )(Lf) + 12 112 A.N. O2A = 10 cm. Le grandissement correspondant est : f2 (Lf ) 1 A B O2A.2 = ---------= ----------= --------------------------------------Lf (f e1+ 2)(Lf1) A1B1 O2A1 5. ASSOCIATION DE LENTILLES ET DE MIROIRS 103Soit finalement : f2 A B f1 f1 = f2 -------------------------AB----------------------------------------AB e )(Lf1) L( f 1+ f e)Lf 1+ (f 22A.N. A B = 2 cm. A F1 F 1 A1 B1 O1 B2 O2 B F2F 2 Exercice 3 Dtermination des foyers d un doublet de lentillesUn doublet est form de deux lentilles convergentes, la premire L1 de distance foca le f 1 = 15 cm et la seconde L2 de distance focalef 2 = 10 cm. Les centres optiques O 1 et O2 des lentilles sont distants de e= 5 cm. On rappelle que le foyer objet est, par dfinition, un point de l axe optique dont l image travers le systme est renvoye l infini. Le foyer image est, par dfinition, l image d un objet de l axe optique l infini. Dterminer les positions des foyers objet et image de ce doublet. Solution CONSEIL : comme dans l exercice prcdent, on s intresse ici l image dfinitive A d un ob ravers une succession de deux lentilles L1 et L2. On utilisera l image intermdiaire de A t ravers L1, dont l image travers L2 forme l image dfinitive A . On se souviendra galement que, par dfinition, le point focal objet F donne, travers L1 et L2, une image l infini. De mme, le point focal image F est le point image, travers L1 et L2, d un objet situ l infini. Pour dterminer le point focal image F du doublet, on considre un faisceau incident constitu de rayons parallles l axe optique. Le faisceau rencontre L1 et converge au point focal image F 1 de L1. F est donc l image de F 1 travers la lentille L2. On a : 11 1 --------- -----------= --O2F O2F f2 1 On en dduit la position de F (O2O1 + O1F 1) f ( e+ f1 ) f 2 :O2F =-------------------------------------2-=--------------------( O2O1+O1F 1) + f 2 e++f f 2 1 A.N. O2F = 5 cm .L1 L2 F1 A1 B1 O1 O2 B F 1=F 2 A =F Sur la figure ci-dessus, on prend un faisceau quelconque issu d un objet AB l infini , on note A1B1 l image de AB travers L1 et A B l image de A1B1 travers L2. On a alors A = F . Pour dterminer le point focal objet F du doublet, considrons un faisceau mergeant d e L2 et constitu de rayons parallles l axe optique. Ce faisceau provient du point foca l objet F2. F est donc l objet donnant, travers L1, une image en F2 suivant le schma synoptique : 8F2F L1 L2 crivons la relation de Descartes pour (F, F2) conjugus travers L1 : 11 1 --------- --------= --O1F2 O1F f 1 On en dduit la position de F : (O1O2 + O2F2) f 1 21 O1F = ----------------------------------------= -------------------e ++f 12 1 A.N. O1F = 375 cm. , L1 L2 F1 A1 A =F B1 F2 B O1 O2 F 1=F 2 5. ASSOCIATION DE LENTILLES ET DE MIROIRS 105 f (e f ) f(O1O2 + O2F2) + fExercice 4 Exercice 4 Foyer image d un doublet Construire le foyer image F du doublet schmatis ci-dessous. On tracera le chemin pa rcouru par deux rayons particuliers. L1 L2 F1 F 2 O1 O2 F 1 F2 Solution CONSEIL : cet exercice est, dans l esprit, identique au prcdent. F1 A1 B1 O1 O2 B L1 L2 F 2 F 1 F2 I J K 2 1 Le point focal image est, par dfinition, l image d un faisceau de rayons parallles l axe optique. Un faisceau de rayons parallles entre eux et non parallles l axe optique co nverge en un point du plan focal image. La figure ci-dessus montre la construction du p lan focal image. On construit l image A1B1 du faisceau travers la lentille L1 convergente : pour ce la, on utilise deux rayons . et . particuliers : -le rayon . passe par le centre optique O1 de la lentille : il n est pas dvi ; -le rayon . passe par le point focal objet F1 de la lentille : il merge parallleme nt l axe optique. L intersection des deux rayons mergents, qui correspond B1, se situe derrire la lent ille L2 ; il faut reprsenter en pointill la partie des rayons derrire L2 (JB1 et KB1) ca r ils correspondent des chemins qui ne sont pas effectivement suivis par la lumire. A1B1 sert d objet pour la lentille L2 divergente. On trace en pointill deux rayons convergeant sur l image B de B1 travers L2 en utilisant deux rayons particuliers issus de B1 : -le rayon B1JB part de B1 paralllement l axe optique. Le rayon mergeant de L2 est port par la direction JF 2, par dfinition du point focal image (F 2) ; -le rayon B1B est port par la direction O2B1 et n est donc pas dvi. B tant dfini, on peut terminer la marche des rayons . et . : on trace en traits ple ins les rayons mergeant de la lentille L2 et ports respectivement par les directions J B et KB .Le point B appartient, par dfinition au plan focal image du doublet ; le point F t le point intersection du plan focal image et de l axe optique. On voit sur la construction de la figure ci-dessus que ce point concide avec le p oint focal objet de la lentille L2. Exercice 5 tude d un systme afocal trois lentillesesUn systme optique centr, d axe optique ., est constitu de trois lentilles minces L1, L2 et L3 de distances focales respectivesf 1 , f 2 et f 3 et de centres optiques O1 , O2 et O3 . On pose d1 = O1O2 et d2 = O2O3. 1.a. Donner la dfinition d un systme afocal. b. tablir la relation liant f 1 , f 2 , f 3 , d1 et d2 pour que l association des tr ois lentilles soit afocale. c. Calculer f 2 pour f 3 = f 1 = 0,5 m, d1 = 1 m et d2 = 0,25 m. 2. Avec les donnes de la question 1), effectuer une construction gomtrique et dtermi ner le grandissement transversal . du systme et le grandissement angulaire G. 3. Dterminer la position de l image par le systme afocal du point focal objet F1 de la premire lentille. On notera ce point f . Solution CONSEIL : compar aux deux exercices prcdents, cet exercice comporte deux difficults supplmentaires. Tout d abord, on considre l association de 3 lentilles L1, L2 et L3 (et non plus 2). La seconde difficult vient du fait que le systme est afocal. Il faut traduire cette proprit de la faon su ivante : si l objet A est l infini, son image travers la succession des 3 lentilles est galement l infini. Ceci traduit le fait que les points focaux objet et image sont tous les deux renvoys l infini. 1. a. L objet de cet exercice est l tude d un systme afocal constitu de l association de trois lentilles. Un systme afocal est un systme dont les foyers objet et image son t renvoys l infini. travers un systme afocal, un objet l infini forme son image l infini. Dans le cas de l association de trois lentilles, le schma synoptique s crit : 8F3 L2 L38 F 1 L1 Par dfinition, l objet l infini forme son image travers L1 au point focal image F 1 de L1. L image finale est l infini. Cette image a pour objet travers L3 le point focal objet F3 de L3. On en dduit la condition ncessaire et suffisante pour que le systme soit afocal : l image du point focal image F 1 de la premire lentille travers la lentille L2 concide avec le point focal objet F3 de la troisime lentille. b. Traduisons cette condition en utilisant la loi de conjugaison de Newton : F2F 1 F 2F3 = f 22 avec F2F 1= F2O2+O2O1+O1F1 = f d1+ f 21et F 2F3= F 2O2+O2O3+O3F3= f + d2 La condition s crit donc : ( f 2 23 d1+ f 1 )( f 2 + d2 f 3) =f f 225. ASSOCIATION DE LENTILLES ET DE MIROIRS 107c. La distance focale f2 (d f )(d f ) 1123 f =s crit :--------------------------d d2 f + f 1 312A.N. f2 = 0,5 m. La lentille L2 est donc divergente. 2. F1 B O1 O2 B L1 L2 F2F 1=F 2 F 3 I1 L3 O3A A I3 F3 Un rayon incident parallle l axe optique merge parallle l axe optique. On a donc : A B O3I3 h. = ---------= --------= ---3 AB O1I1 h 1 or : d+ f 11 hO3F3 f 3 32 ---= ---------=------------et ---= -----------= ------------hO2F3 d 1 231 1 soit : (d1 f 1) f 3 f hO1F 1 f hO2F 1. = ------------------(d2 1f 3) fA.N. . = 2. Avec G= G1 G2 G3 et . = .1 .2 .3, il vient .G= ..iGi . On a pour chaque lentille .iGi = 1, i on obtient donc : (d2 f 3) fG = -------------------1 (d f 1) f 13 A.N. G= 0,5. 3. On cherche l image travers le systme du point focal objet F1 de la premire lentil le. Le schma synoptique s crit : f F 2 L2 L38F1 L1 fLe point est l image de F 2 travers L3. Appliquons la relation de conjugaison de Newton : F F 3F 2 F 3f =f3 2Avec F3F 2= F3O3+O3O2+O2F2 = f 32 2 f 3 F 3 f = ------------------f + f 32 d2d2+ f, il vient :A.N. F 3 f = 1 m. F 3O1 O2 O3 L3 L1 F 1=F 2 L2 F1 F3 F2F2 Exercice 6 Puissance d un systme lentille/miroir On considre un systme lentille/miroir plan, plac de faon ce que la distance du miroir au point focal image de la lentille soit gale b. La distance focale de la le ntille convergente est note f . Un observateur place son oeil en C la distance a du point fo cal objet de la lentille. 1. tablir une relation entre a, b et f pour que l observateur en C voit l image de son oeil l infini ? 2. Calculer la puissance de l ensemble (miroir + lentille) en fonction de a. Solution CONSEIL : l oeil de l observateur est un objet pour ce systme dont on cherche dtermine r, dans la premire question, l image C . On utilisera pour cela les images intermdiaires travers la lent ille et le miroir (les rayons lumineux issus de C rencontrent deux fois la lentille, l aller avant d e rencontrer le miroir et au retour aprs rflexion sur le miroir). Le calcul de la puissance ne pose pas de diff icult une fois que les caractristiques de l image C de C sont dfinies.1. L objectif de cet exercice est de dterminer la puissance d un systme constitu de l ass ociation d une lentille et d un miroir plan. Notons C1 et C2 les images intermdiaires de l oeil C de l observateur et C l image finale travers le systme lentille + miroir plan ; le schma synoptique s crit : C2 miroir C C C1 lentillelentille Pour que l image dfinitive C soit renvoye l infini, il faut que C2 concide avec le poinfocal image F de la lentille ; en effet, le sens de propagation de la lumire est i nvers aprs rflexion sur le miroir et le point focal image devient, pour ce sens de propagati on, le point focal objet donc C2 = F . 5. ASSOCIATION DE LENTILLES ET DE MIROIRS 109C2 est l image de C1 travers le miroir, soit : MC1 = C2M = F M = b Enfin C1 est l image de C travers la lentille. La loi de conjugaison de Newton ent re C et C1 s crit : F C1 FC = f 2 En outre, F C1 = F M + MC1 = 2b et FC = a donc : 2ab =f 2 C C1F =C2 M C l'infini L F a O 2. La puissance du systme est dfinie par : a P = -----CD o CD est la taille de l objet (ici, l oeil de l observateur) et a l angle sous lequel est vu l image de CD travers le systme. C C1C2=F M F D2 D1 O C C L angle a s exprime, dans l approximation des faibles angles, dans le triangle OC2D2 : 2D2 C1D1 .CD a = ----------= ----------= --------f f f (C1D1 = C2D2 car le grandissement d un miroir plan est 1) avec : + C1D1 OC1 OC2 + C2MMC1 f + . = ----------= ---------= --------------------------------------= ---------f + a 2bCD OC OF+FCOn obtient finalement, en prenant la valeur absolue de . car la puissance est un e quantit positive :a f +2bP = -------= -------------CD f ( f +) aLa condition tablie en 1. permet d exprimer b en fonction de a et f oit finalement : 1 P = --. a FOCOMTRIE Exercice 7 La mthode de l objet loign : 2b = f 2/a, sLa mthode dite de l objet loign est une manire simple et rapide de dterminer approximativement la distance focale d une lentille mince convergente. On note A B l image travers la lentille d un objet AB plac loin de l cran. 1. O faut-il placer un cran d observation pour recueillir l image A B ? 2. En dduire la distance focale de la lentille et prciser le terme loin pour la po sition de l objet. Solution CONSEIL : cet exercice ne prsente pas de difficult particulire ; la mthode propose co nsiste dterminer exprimentalement la distance focale d une lentille convergente. Il faut simplement traduire dans l nonc la notion d objet plac loin qui revient, dans les quations, considrer l obj . 1. Si l objet est loin de la lentille, la limite l infini, on peut considrer que l imag e relle se forme dans le plan focal image. A F F A B B O 2. La mesure de la distance du centre optique l cran donne une mesure approximative directe de la distance focale de la lentille. Le terme loin signifie simplement que la distance de l objet l cran est trs grande devant f ; c est ce qu on dsigne usuellement par l infini. Cette mthode n est videmment pas trs prcise. En effet, mme si l objet est trs loign, on nglige sa contribution dans la relation de conjugaison : 111 1 --= --------------- --------fOA OA OA5. ASSOCIATION DE LENTILLES ET DE MIROIRS 111Exercice 8 Exercice 8 La mthode de Bessel Avec une lentille mince convergente L, situe entre un objet rel AB et un cran plac une distance Dde l objet, on forme sur l cran l image A B de l objet AB. 1. Dterminer la relation qui lie D la distance x = . 2. tudier cette relation sur un domaine de x compris entre 0 et + 8. Tracer le gr aphe de D(x) et l interprter physiquement. 3. Montrer graphiquement que, pour une position donne de l objet et de l cran, il exis te deux positions de la lentille, distantes de d, qui permettent d obtenir une image nette sur l cran. 4. Exprimer la distance focale image f de la lentille en fonction de D et de d. 5. Calculer f pour les valeurs D = 100 cm et d = 50 cm. AO Solution CONSEIL : un nouvel exercice, qui prsente une mthode de focomtrie, sans difficult pa rticulire. Laissezvous guider par les questions. 1. La distance qui spare l objet de l image D = AA = AO +OA 111 En utilisant la relation de conjugaison --------- -------= --avec x = OA , on obtient : OA OA f xf OA = -------f x .f x D= x+ -------xfSoit finalement 2 x D(x) = -------xfF F B BAOA L x D(x) cran 2 x 2. On a D(x) = ---------. Lorsque xvarie entre 0 et l infini, on obtient les varia tions de D(x) xfreprsentes sur la figure suivante.D/f Dx 0 30 -30 1 2 30 x/f D/f Dx 0 30 -30 1 2 30 x/f Pour 0 < x < f , D(x) est ngatif, c est--dire que l image se forme d une part devant la lentille (elle est donc virtuelle) mais galement devant l objet AB, elle est donc a grandie puisque le rayon BO passe galement par B . L image est relle si elle se forme derrire l a lentille, c est--dire si D(x) > x. Ceci est obtenu pour x > f (figure ci-dessus). 3. Pour une position relative donne de l objet et de l cran (c est--dire pour une valeur de D), on peut obtenir deux positions de la lentille (c est--dire notamment, deux v aleurs de x). La figure ci-dessous reprsente un agrandissement de la courbe D(x) pour une image relle D > x : il apparat que pour D > 4f , la droite D(x) = cte correspond bien deu x valeurs distinctes de x. Pour ces deux positions de la lentille par rapport l obje t, l image se forme la mme distance de l objet. Si on note x1 et x2 ces deux valeurs de x cond uisant la mme valeur de D, on a d = x2 x1. 6 4 3 2 0 1 2 3 1 x f D f 2 x 4. Reprenons l quation D(x) = ---------. Trouver x pour une valeur de D donne revien t xf rsoudre le polynme du second degr en x : x2 Dx + Df = 05. ASSOCIATION DE LENTILLES ET DE MIROIRS 113Les solutions de ce polynme s crivent : D D 2 D2 D 4Df D + 4Dfx x 1 = ------------------------------et x2 = ----------------------------22 On retrouve bien sr la condition obtenue graphiquement la question prcdente, sapolynme soit rel). On obtient pour d : (condition pour que le discriminant du f4>Dvoir que ces deux racines n existent que si D D d = x2 x1= L expression de f 2 d 2en fonction de d et D est :f 4D= ------------5. D2 4Df F 2 A 1 B 1 B O2 A L2 d =O1O2 D =AA cran O1 F 1 A 2 B2F 2 L1 F1 L application numrique donne f Exercice 9 Mthode de Silbermann Pour mesurer la distance focale d une lentille convergente, on peut utiliser la mth ode suivante, appele mthode de Silbermann. On place sur un banc optique une source ob= 18,75 cm.jet, un cran et la lentille dont on cherche dterminer la distance focale ; on note O le centre optique de la lentille, F et F ses points focaux respectivement objet et i mage. On place la lentille entre la source objet et l cran de faon obtenir un grandissement l inaire gal 1 : l image de la source est de mme taille et inverse. L objet de cet exercice est de montrer que la distance entre la source et l cran permet de mesurer la distance focale de la lentille. 1. Dterminer la relation entre les positions des deux points conjugus A et A , dits antiprincipaux, donnant un grandissement de 1. 2. Comment dduit-on la distance focale de la lentille ? Solution 1. Notons A B l image de l objet AB travers la lentille ; on a alors la relation de conjugaison :1 11 ---------OA OA f Le grandissement est gal A B OA 1, on a donc par ailleurs : -------= -. = ---------= ---------= 1 AB OA On en dduit les positions de l objet et de l cran : OA = OA = 2f2. Dans la mthode de Silbermann, le rglage donnant un grandissement de 1 est ralis lorsque la distance de l objet l cran est gale AA = 4f . La mesure de cette distance permet de dterminer la distance focale de la lentille. A F F A B B L Exercice 10 Mthode d autocollimation On place un miroir plan M contre une lentille mince convergente L de centre optique O. Un point objet A de l axe optique a pour image dfinitive travers le systm e lentille-miroir un point A sur l axe. On note x la mesure algbrique et y la mesure algbrique . 1. Dterminer y en fonction de x et de f . 2. tudier et tracer l allure de Y = y/f en fonction de X = x/f . 3. Pour quelles valeurs de x l image A est-elle relle ? 4. Pour quelles positions de x la mesure de f est-elle la plus simple ? Que vaut alors le grandissement ? OA AA Solution CONSEIL : le systme utilis dans la mthode d autocollimation est constitu de l associatio n d une lentille (dont on cherche dterminer la distance focale) et d un miroir. Il faut donc traduir e le fait que les rayons issus de A traversent la lentille, se rflchissent sur le miroir et retraver sent la lentille pour former finalement l image A de A ; on doit donc appliquer la relation de conjugaison de la lentille (1re image intermdiaire), du miroir (seconde image intermdiaire) et nouveau de la lentille (image dfinitive) . 1. Le schma synoptique du systme optique s crit : A2A1 A A Lentille L Lentille LMiroir 5. ASSOCIATION DE LENTILLES ET DE MIROIRS 115Dterminons les positions des images successives A1, A2 et A . A1 est l image de A tra vers la lentille de centre O : 1 11 --------- -------= -OA1 OA f d o OA f xf OA1 = --------------= -------OA +f xf+ A2 est l image de A1 par le miroir. On a donc : xf OA2 = OA1 = -------xf + A2 est derrire la lentille, le principe de retour inverse de la lumire donne : 111 --------OA2 f d o OA 2 f xf OA = ----------------= f OA2 2xf + On a finalement 2x(fx +) y= AA 2xf + F F B B A OA A1 = -----------------------------------= ---OAB1 I A2 B2 J Sur le schma ci-dessus, le miroir est artificiellement dcal de la lentille afin de mieux comprendre le cheminement des rayons lumineux mais on a utilis le point O pour co nstruire l image A2B2 de A1B1 par le miroir. 2. Posons y=f Yet x=f X, on obtient Y=f(X) avec : 2X(1+) X f(X)= ------------------2X+ 1 pour Xvariant dans ]-8 ; 0] (car A est un objet rel pour le systme). 2 2X2 2X 1On calcule alors f (X) = --------------------------. Le sens de variation de fest donn par le signe (2X+ 1)de f , c est--dire le signe du polynme du second ordre : P(X) = 2X 2 2X 1. Le discriminant de P(X) est gal D = 4 ; P(X) garde donc un signe constant et ngati f (par exemple, P(0) = 1). La fonctionf (X) est donc dcroissante sur ]-8 ; 0]. f (X ) a les caractristiques suivantes : -elle s annule en X = 0 et X = 1 ; -elle tend vers -8 pour X = 1/2 et vers +8 en X = 1/2+ ; -elle se comporte comme X quand X tend vers 8. La figure ci-dessous reprsente l allure de Y = f (X). 2 1 0 -2 -2 -1 0-3 X = x f Y = y f Sur ce graphe, on a trac la droite Y = X, qui dlimite les rgions de x correspondant la formation d une image relle ou virtuelle. 3. L image est relle si = 0 c est--dire siOA AA = .OA Dans la zone correspondant X . ] 8 ; 1/2[, f (X) = X, la condition est vrifie. Elle correspond un objet A plac entre -8 et le milieu de OF. AA = OA Dans la zone correspondant X . ] 1/2 ; 0], f (X) = X, la condition n est pas vrifie : l image A est virtuelle. AA = OA 4. Une position particulire de X est X = 1 pour laquelle Y = 0. Autrement dit, lo rsque l objet est dans le plan focal objet de la lentille, son image travers le systme le ntille/ miroir se forme galement dans le plan focal objet (figure ci-dessous). Dans la mthode d autocollimation, on dplace une source lumineuse objet forme d un cran perc d une fente claire et on cherche la position de cet objet telle que son imag e se forme sur l cran. La distance de l cran la lentille correspond la distance focale d e la lentille. F B F=A=A O B Fente lumineuse objet cran 5. ASSOCIATION DE LENTILLES ET DE MIROIRS 117Exercice 11 Exercice 11 Une autre approche de l autocollimation On accole une lentille convergente L un miroir plan M. On note O le centre optiq ue de la lentille. 1.a. En combien d tapes ce systme catadioptrique donne de l objet A une image A ? b. Construire gomtriquement A B en plaant l objet AB une distance de O suprieure f et en dterminant les positions des images successives de A jusqu A . 2. Exprimer la distance AA en fonction de f et de OA. Lorsque l objet est dans le plan focal objet de la lentille, on obtient une image A B inverse qui se forme dans le plan focal objet de la lentille. 3. Sachant que la distance OA vaut 20 cm, quelle est la valeur de la vergence de la lentille ? 4. On incline lgrement le miroir plan. Complter le schma de la figure ci-dessous. Qu el est l intrt d incliner lgrement le miroir plan ? 5. De toutes les mthodes tudies pour obtenir une vergence de lentille, laquelle ser a la plus fiable ? B A O L M Solution CONSEIL : cet exercice prsente une mthode d autocollimation qui utilise le mme systme que dans l exercice prcdent. Il est prfrable de traiter les deux exercices dans l ordre. 1.a. On obtient A en 3 tapes : b. A1 A2 A A ML -L F F A1 B B A O A A2 B2 B1 2. La relation de conjugaison des lentilles pour les points conjugus (A, A1) trav ers L s crit :1 11 ---------OA1 OA f L image A2 de A1 travers M est telle que :OA1 = f OA OA1 = -------------OA OA2, soit : -------= -OA2 = +fDans le sens inverse ( L) la relation de conjugaison s crit : 1 11 ----------OA OA2 f On a donc f OA OA = ----------------------------= -(2OA f +) f OAAA = AO +OA =OA OA = --------------------- OA (2OA f +) Soit finalement 2OA (OA f +) AA = ----------------------------(2OA f +) 1 3. Avec OA = f f = 20 cm, on obtient la vergence de la lentille est V = ---= 5 d.4. Les rayons sortant de la lentille sont parallles .. Les rayons rflchis sont doncparallles entre eux et vont converger dans le plan de front de l objet AB aprs avoir retravers L. On obtient une image nette dcale et non superpose sur l objet AB d o l intrt d incliner lgrement le miroir. L A O plan de font de l'objet A5. La mthode la plus fiable est la mthode d autocollimation trs facile mettre en oeuv re et sans aucun calcul : elle donne la valeur d une distance focale quand le rglage e st convenablement ralis. 5. ASSOCIATION DE LENTILLES ET DE MIROIRS 119Exercice 12 Exercice 12 Miroir et lentille distants de On place un miroir plan une distance D derrire une lentille convergente ; le miro ir se trouve positionn perpendiculairement l axe optique de la lentille. 1. Construire l image travers le systme lentille/miroir d un objet AB perpendiculaire l axe optique de la lentille, l objet tant situ entre l infini et le plan focal objet de la lentille. 2. Dterminer la position de l image A de A et le grandissement du systme. 3.a. Dans quelle condition l image donne par le systme peut-elle tre recueillie dans le mme plan que l objet AB ? b. Dterminer dans ce cas la taille de l image. Solution CONSEIL : cet exercice reprend le systme constitu de l association d une lentille et d u n miroir mais ici, le miroir n est pas coll la lentille. Le schma synoptique reste le mme (les rayons lu mineux traversent le systme lentille miroir lentille). 1. On considre un objet AB avant le plan focal objet de la lentille. Son image A1 B1 travers la lentille construite partir des rayons BIB1 et BOB1, est relle et inverse. Cette image devient un objet pour le miroir : son image, note A2B2, est symtrique par ra pport au miroir. Il ne reste plus qu construire l image A B de A2B2 partir des rayons B2JB et B2OB . Pour cette dernire construction, il faut faire attention au principe de r etour inverse de la lumire : c est le point F qui sert de point focal image pour l objet A2 B2. F F B A OA B2B1 A1 A2 J B I M 2. Le schma synoptique du systme s crit : Dterminons les positions des images successives A1, A2 et A ainsi que leur taille. A1 est A2A1 A A Lentille L Lentille LMiroir l image de A travers la lentille de centre O : 111 --------- -------= -OA1 OA f d o OA f OA1 = -------------+f OALe grandissement correspondant est : f A A 1B1 OA1 . = ---------= ---------= ------------+f AB OAOA A2 est l image de A1 travers le miroir ; on a donc : MA2 = MA1 = D OA1 Le grandissement correspondant est : A2B2 .2 = ---------= 1 A1B1 A est l image de A2 travers la lentille, le principe de retour inverse de la lumire donne : 11 1 --------- ---------= OA2 f OA2 f OA = ----------------f OA2 -OAet un grandissement f A B OA.3 = ---------= ---------= ---------------A2B2 OA2 f OA2Avec OA2 = D +MA2, on a finalement : [2D(OA + f ) OAf ]f OA = -------------------------------------------------( f OA+ )(f 2D)OAf + 2 A B f.3 = ---------= -----------------------------------------------------AB(f + fOA)((f OA )2D)+3.a. Lorsque l objet est dans le plan focal objet de la lentille, le faisceau issu de A (figure a.) merge de la lentille paralllement l axe optique. La rflexion du faisceau sur le miroir les transforme en un faisceau toujours parallle l axe optique mais se pro pageant dans le sens oppos. Ce faisceau rencontre nouveau la lentille et converge, par dfi nition, au point focal image (qui correspond au point focal objet pour la propagation dans l autre sens). La figure b. montre la construction de l image B de B. F A=F O M F B A=F=A O B a. b. 5. ASSOCIATION DE LENTILLES ET DE MIROIRS 121b. En reprenant les expressions tablies en 2., on trouve un grandissement de 1, so it une image de mme taille et inverse. Exercice 13 Dtermination de la vergence d une lentille divergente Dans un premier temps, on accole deux lentilles minces convergentes L1 et L2. 1. Donner le schma synoptique qui permet de dterminer l image A de l objet A travers le systme form des deux lentilles. 2. Appliquer la formule de conjugaison chaque lentille et trouver la focale de l a lentille quivalente L1 et L2. 3. En dduire l expression de la vergence du systme tudi. 4. Application numrique : V1 = + 5 d et V2 = +10 d. 5. Reprendre les questions 1) 3) pour une lentille mince convergente de distance focale f 1 = 10 cm associe une lentille divergente de distance focale f = -20 cm. Quel est l intrt de ce type d association ? O : axe optique L1 L2 Solution CONSEIL : le systme tudi est constitu de l association de deux lentilles accoles, celle divergente dont on cherche dterminer la vergence et celle, convergente, dont la vergence est conn ue. L exercice ne prsente pas de difficult particulire, l objectif tant de montrer que l association de deux lent illes, l une convergente et l autre divergente, peut tre quivalente une lentille convergente unique. Cette le ntille peut tre alors tudie avec des mthodes classiques de focomtrie, adaptes aux lentilles conver gentes. 1. A1 2. ur et Le schma synoptique s crit : A A lentille L2lentille L1 Appliquons deux fois la relation de conjugaison aux points (A, A1) conjugus po L1 (A1, A ) conjugus pour L2, les deux lentilles accoles ayant mme centre optique O :11 1 --------- -------= --OA1 OA f 1 11 1 --------- ---------= --OA OA1 f 2 Si on ajoute les deux galits, on obtient :1 1 11 -------+ ---------= ---+ -OA OA 1 11 Posons --= ---+ ---. L galit prcdente permet de montrer que la juxtaposition def f 1 f 2 deux lentilles minces convergentes quivaut une lentille mince unique dont la dist ance 1 11 focale f vrifie --= ---+ ---. f f 1 f 2 3. L galit prcdente montre que la vergence du systme est V = V1 +V2, c est--dire la somme des vergences de chaque lentille. 4. L application numrique donne V = + 15 d. La lentille quivalente de 15 dioptries r este convergente. 5. Le calcul des questions 1 3 reste valable quelle que soit la nature des lenti lles accoles. 11 Avec V1 = ---= 10 d et V2 =---= 5 d, la vergence du systme V = V1 +V2 est gale f 1 f 2 V = +5 d. On obtient une vergence positive de 5 dioptries. En accolant des lentilles de nature diffrente, il est possible de dterminer la ver gence d une lentille mince divergente. En effet, si la lentille rsultante est convergente , on peut utiliser une mthode de focomtrie telle que la mthode d autocollimation ou bien la mtho de de Bessel. On dtermine ainsi la valeur de f distance focale de l association, f 1 tant connue. On en dduit V2 = V Exercice 14 La mthode de Badal La mthode de Badal permet de dterminer la vergence d une lentille divergente. On place deux lentilles convergentes, L1 et L2 sur un mme axe optique. Un objet e st plac au point focal objet F1 de L1 et donne une image conjugue en F 2 point focal im age de L2. On note f 1 et f 2 les distances focales des deux lentilles. 1. Schmatiser le montage. On place alors une lentille divergente L de distance focalef inconnue de faon ce que son centre optique O soit confondu avec le foyer objet de L2. 2. Schmatiser le nouveau montage. 3. Montrer qu entre les deux montages, l image s est dplace d une distance d sur l axe optique telle que d = f 2 2 /f . 4. En dduire une mesure de f . Solution V1 la vergence de la lentille divergente. f 1 f 2CONSEIL : cet exercice propose une mthode de focomtrie adapte l tude de lentilles dive rgentes. Il ne prsente pas de difficult particulire, laissez-vous guider par les questions. 1. Le schma du montage est donn ci-dessous. L image A 1 de A travers (L1, L2 ) est en F 2. 5. ASSOCIATION DE LENTILLES ET DE MIROIRS 123L1 L2 A=F1 O1 F 1 F2 O2 F 2 2. Le nouveau montage est donn ci-dessous. L image A de A travers ( L1, L, L2 ) est en A , distant de d de A = F2. F 2O1 O=F2 O2 L2L1 F L F1 F 3. Le schma synoptique s crit : F 8 A A L L L2 Appliquons la relation de Newton aux points conjugus (F , A ) travers L2 : 2 F2F F 2A = f2 et F 2 A = A A = d , on a finalement :Avec F2F 2 f d = f= OF =f--------24. La relation prcdente montre que f tant connue : 2 f f = --------2peut tre calcule partir de la mesure de d, f 2d Cette mthode exprimentale permet de dterminer la distance focale d une lentille diver gente en mesurant le dplacement d de l image A B , connaissant la focale de la lentille convergente L2.Chapitre 6 L oeil, la loupe et autres instruments une lentille Dans son Dialogue sur les deux grands systmes du Monde Galile rapporte une exprience ralise vers 1632 : Je prends deux bandes de papier, l une noire, l autre blanche, la largeur de la noir e tant la moiti de la blanche ; je fixe la blanche sur un mur et l autre sur [ ] un support, quinze ou vingt coudes environ ; je m loigne ensuite de cette dernire d une distance gale dans la mme direction; c est videmment cette distance que doivent concourir les lign es droites qui partent de la largeur de la feuille blanche et qui touchent les bord s de l autre bande place au milieu ; si donc, on met l oeil au point de concours, la bande noire du milieu doit cacher exactement la bande blanche l autre extrmit, supposer toutefois que l on ne regarde que d un seul point ; si malgr tout, on trouve que le bord de la band e blanche est encore visible, il faudra en conclure ncessairement que les rayons visuel s ne proviennent pas d un seul point. Pour que la bande blanche soit cache par la noire, il faudra rapprocher l oeil ; approchons-le donc jusqu ce que la bande du milieu cache la band e la plus loigne et notons de combien il a fallu se rapprocher : la quantit de ce rappro chement mesure la distance entre l oeil et le vritable point de concours des rayons vi suels, dans le cas de cette observation. De plus, nous connatrons ainsi le diamtre de la pupille ou plutt du trou d o proviennent les rayons visuels : ce diamtre est par rapport la l argeur de la carte noire comme la distance qui spare le point d intersection des lign es passant par les bords des deux bandes et l endroit o est l oeil ds que la bande loigne est cache par la bande intermdiaire, comme cette distance, dis-je, est par rapport la distance entre les deux bandes. Mesure du diamtre de la pupille de l oeil Un peu d histoire 125Rappel de cours Rappel de cours Dans ce chapitre, on s intresse aux instruments optiques simples forms d une seule lentille. ... 1. L OEIL 1.1. Modlisation de l oeil L oeil peut tre modlis par une lentille convergente ensemble corne-cristallin de dista nce focale variable, de f min f max (la distance focale varie par contraction des muscle s ciliaires), et formant les images sur la rtine. Au repos, la distance focale de l oeil est maximum : l oeil voit un objet plac au pun ctum remotum, dfini comme le point le plus loign dont l oeil peut former une image nette sur la rtine. En accommodation maximale, la distance focale de l oeil est minimum et l oeil voit u n objet situ son punctum proximum. On dfinit l amplitude d accommodation A par : 11 A = Vmax f f Vmin = ----------min max Sclrotique Diaphragme Cristallin Rtine Nerf optique Muscle ciliaire Humeur aqueuse Corne Pupille Iris Humeur vitre 1.2. Dfauts de l oeil Pour un oeil normal ou emmtrope, le punctum remotum est l infini et le punctum proximum dm = 25 cm. Un oeil amtrope est dit myope, s il est trop convergent et hypermtrope s il est trop divergent. On corrige un oeil amtrope en corrigeant la focale de l oeil par un e autre lentille (lunettes ou verres de contact). Il existe d autres dfauts de l oeil comme la presbytie due la fatigue des muscles d accommodation ou l astigmatisme due au fait que l oeil n est pas convergent de la mme manire dans toutes les directions. 126... 2. LA LOUPE 2.1. Dfinition La loupe est une lentille convergente gnralement biconvexe : on l utilise pour obten ir d un objet rel (timbre, ) une image virtuelle et agrandie. Cette image est obtenue en plaant l objet entre le foyer objet et le centre optique de la lentille. 2.2. Grandeurs caractristiques Le grossissement G est dfini par le rapport : A F B A B O Vision de AB avec une loupe A B Os Vision de AB sans la loupe a G = --a Avec d = OA la distance de vise et dm = OSA la distance minimum de vision distinct e, le grossissement de la loupe, exprim en fonction du grandissement ., est : G = . dmd On dfinit la puissance P d une loupe par : a G P = -------= --AB dm 6. L OEIL, LA LOUPE ET AUTRES INSTRUMENTS UNE LENTILLE 127Exercices Exercices L OEIL Exercice 1 Correction de myopie et d hypermtropie Un oeil myope a son punctum proximum (PP ) 5 cm devant lui et son punctum remotu m (PR) 5 m devant lui. 1. Quelle lentille doit-on utiliser pour rendre possible une vision de loin sans accommodation ? 2. Mme question pour un oeil hypermtrope qui a son punctum proximum 50 cm devant lui et son punctum remotum 2 m derrire lui. Solution L oeil possde une lentille, le cristallin, dont la distance focale peut tre modifie : c est le phnomne d accommodation. Le punctum remotum repre la position d un objet que l oeil voit distinctement lorsqu il n accommode pas : ainsi, un oeil normal a son punc tum remotum l infini. L oeil myope ou hypermtrope a son punctum remotum distance finie. L image travers la lentille-oeil se forme sur la rtine. Corriger un oeil myope ou hypermtrope consiste accoler une lentille de correction afin de renvoyer sur la rtine l image finale d un objet l infini (vision de loin) travers le systme form de l association lentille de correction/lentille-oeil. Pour cela, il faut que l image d un objet l infini travers la lentille de correction s e forme au punctum remotum de l oeil ; l image intermdiaire ainsi forme au punctum remotum for mera une image finale sur la rtine. Le schma synoptique est : Lentille/oeil au repos 8 PR RtineLentille de correction Un objet l infini donne une image travers la lentille de correction au point focal image de la lentille. La lentille est accole l oeil, on veut donc que le punctum remotum de l oeil concide avec le point focal image de la lentille. 1. Pour l oeil myope, avec un punctum remotum 5 m devant l oeil, on a donc besoin d un e lentille divergente de distance focale f 1 = 5 m Rtine OEil myope corrig par L PR=F O A B L Objet AB l infini 2. Pour l oeil hypermtrope, avec un punctum remotum 50 cm derrire l oeil, on a donc besoin d une lentille convergente de distance focale f 2 = 50 cm. 128Rtine OEil hypermtrope corrig par L F =PR B L O A F Objet AB l infini Rtine OEil hypermtrope corrig par L F =PR B L O A F Objet AB l infini Exercice 2 Lunette double foyer La presbytie partielle est caractrise par la diminution de la facult d accommodation du cristallin de l oeil. La presbytie totale se dfinit par l impossibilit d accommodatio n. Un oeil totalement presbyte ne voit distinctement que les objets 2 m devant lui. Ce dfaut est corrig l aide de lentilles double foyer. Dterminer les focales des lentilles minces qui corrigent cet oeil afin de lui per mettre la vision distincte du paysage et la lecture nette 25 cm. Solution L oeil presbyte a perdu sa facult d accommoder : il se comporte donc comme une lentil le de focale fixe, qui lui permet de former une image sur la rtine d un objet plac 2 mtr es devant lui. Les lunettes double foyer sont constitues de deux lentilles : une lentille L1 qui corrige la focale de l oeil pour permettre une vision l infini et une lentille L2 qui corrig e la focale de l oeil pour permettre une vision d objets dm = 25 cm devant celui-ci. Dans la suite, on considre, dfaut d indication contraire, que l oeil et la lunette son t accols. Les schmas synoptiques sans correction, avec la lentille L1 qui corrige la vision de loin et avec la lentille L2 qui permet la vision de prs s crivent : - sans correction : objet 2 m rtine - avec la lentille L1 : objet l infini objet 2 m rtine - avec la lentille L2 : objet 25 cm de l oeil objet 2 m rtine lentille-oeil L1 lentille-oeil L2 lentille-oeil Lentille L2 pour une vision de prs Lentille L1pour une vision de loin 6. L OEIL, LA LOUPE ET AUTRES INSTRUMENTS UNE LENTILLE 129Pour la vision de loin, il faut que la lentille de correction L1 donne d un objet l infini une image 2 mtres devant l oeil. Un objet l infini donne, travers une lentille, une image dans le plan focal image de la lentille. On doit donc avoirf 1 = 2 m. La lentile L1 est donc divergente. Pour la vision de prs, la lentille L2 doit don ner d un objet situ 25 cm devant l oeil une image situe 2 mtres devant l oeil. Soit O le centre de la lentille (qui concide avec la position de l oeil), on a donc : OA = 25 cm et OA = 2 m. La relation de conjugaison de Descartes s crit 11 1 --------- -------= -OA OA f 2 On en dduit la valeur de f 2 : f 2 = 28,6 cm. La lentille L2 est une lentille convergente. Exercice 3 Amplitude d accommodation d un oeil normal On rappelle que l amplitude d accommodation est dfinie par la diffrence Vmax Vmin, o Vmax est la vergence maximale de l oeil et Vmin est la vergence minimale de l oeil. 1. Calculer l amplitude d accommodation d un oeil normal (oeil emmtrope) 2. Exprimer l amplitude d accommodation d un oeil connaissant les positions du punctum proximum et du punctum remotum. Solution CONSEIL : pour exprimer les deux vergences, il faut se souvenir que la vergence est minimale lorsque l oeil est au repos : ce qui traduit le fait qu il voit alors des objets situs son punctum remotum (par dfinition). De mme, la vergence est maximale lorsque l oeil voit distinctement des objets placs sonpunctum proximum. 1. Cet exercice porte sur iffrence des vergences maximale et repos. L oeil normal voit t en forme une image sur la OR = f max et 1 OR -----Vmin = F max RO Lentille-oeil f max = 1/Vmin le calcul de l amplitude d accommodation, dfinie comme la d minimale. La vergence minimale est celle de l oeil au alors un objet situ au punctum remotum, c est--dire l infini e rtine.La vergence maximale est celle de l oeil qui accommode au maximum. Il voit alors u n objet plac au punctum proximum PP dm = 25 cm devant lui. L image se forme sur la rtine en R. La relation de conjugaison de Descartes s crit : 1 1 111 ------- --------= -------+ ----= ------= VmaxOR OPP OR dm f min F min RO Lentille-oeil f min = 1 PP dm Vmax On obtient finalement : 1 d d Vmax = Vmin + ---m d o l amplitude d accommodation A : 1 A = Vmax Vmin = ---dmA.N. A = 4 d. 2. Comme prcdemment, la vergence minimum est obtenue lorsque l oeil emmtrope n accommode pas : il forme alors d un objet plac au punctum remotum une image sur la rtine. La vergence maximum est obtenue lorsque l oeil accommode au maximum : il for me alors d un objet plac au punctum proximum une image sur la rtine. On a donc : 11 1 ------- ---------= ------= Vmin OROPR f max 11 1 ------- --------= ------= Vmax OROPP f f min On obtient finalement l amplitude d accommodation : 11A = Vmax OPPVmin = --------- -------OPRBien sr, cette expression est valable pour un oeil normal avecOPR = 8. Exercice 4 Lentilles de contact ou lunettes ? Un homme affirme : Je ne peux pas voir distinctement les objets qui sont plus de D = 21 cm de moi . 1. Quel type de lentille de contact faut-il lui prescrire ? 6. L OEIL, LA LOUPE ET AUTRES INSTRUMENTS UNE LENTILLE 1312. Comment est modifi le rsultat prcdent s il choisit des lunettes sachant qu elles sont 1 cm de son oeil ? 2. Comment est modifi le rsultat prcdent s il choisit des lunettes sachant qu elles sont 1 cm de son oeil ? Solution CONSEIL : l homme ne peut voir des objets plus loin que D = 21 cm de ses yeux. D c orrespond son punctum remotum. Il est donc myope c est--dire que ses yeux ont une focale trop pet ite : ils sont trop convergents.1. L homme est myope. Mme en accommodant, il ne peut compenser ce dfaut de vision puisque, ce faisant, il diminue davantage encore la distance focale de son oeil. Il faut donc le munir de lentilles divergentes (en lentille de contact ou en lunettes) a fin d augmenter la focale de son oeil. Au repos, l oeil voit un objet situ Ddevant ses yeux. Pour corriger l oeil, il faut que la lentille de correction forme, d un objet A situ l infin i, une image A tel que OA = D; le schma synoptique travers l ensemble lentille de correctio / lentille-oeil s crit : objet l infini A lentille de correction objet A 21 cm de l oeil lentille-oeil rtine Lorsqu on utilise des lentilles de contact, la lentille de correction est accole l oe il. Un objet l infini donne travers la lentille de correction L une image au foyer ima ge F de la lentille. On veut que cette image concide avec le point A : OA = OF On en dduit la distance focale de la lentille de correction : f = D= 21 cm. F R O Lentille-oeil F =A D Rtine L correction A l OEil corrig par des lentilles de contact (L accol l oeil) 2. Avec des lunettes, il faut prendre en compte le fait que les centres optiques des deuxlentilles sont distincts. On note O1 le centre optique de la lentille-oeil et O2 celui de la lentille de correction. Pour que l oeil forme de A une image sur la rtine, on doit a voir : O O 1A = D L image d un objet l infini se forme toujours au point focal image de la lentille de c orrection, soit : O2A = f Avec O2O1 e 1cm , on obtient finalement : == f O2O1 + O1A == 20 cm 20 cm. = eDLa lentille est divergente et de distance focale gale F O1F =A D Rtine LL oeilcorrection OEil corrig par des lunettes O2 F O1F =A D Rtine LL oeilcorrection OEil corrig par des lunettes O2 Exercice 5 Voyez-vous assez bien pour passer votre permis de conduire ?L oeil d une personne ne voit pas distinctement les objets situs une distance suprieur e 2 m. Il possde une amplitude d accommodation de 9 d. 1. Quel est le dfaut de cet oeil et quelle est la position de son punctum proximu m (P.P.) ? 2. Quelle est la nature de la lentille L1 utiliser pour corriger son punctum rem otum (P.R.) qui devrait tre l infini ? 3. Quelle est la valeur en dioptrie de la vergence de L1 en supposant que le cen tre O de L1 est confondu avec le sommet S de l oeil ? 4. Que devient le punctum proximum de l oeil avec le port de la lentille L1 ? Thoriquement, pour passer le permis de conduire, il faut pouvoir voir nettement u ne plaque d immatriculation 20 m devant soi. Par ailleurs, pour des raisons mdicales, on prfre corriger la vision des objets loigns l aide d une lentille dont la vergence en dioptrie est lgrement suprieure la vergence de L1 (valeur algbrique). On suppose toujours O et S confondus. 5. Quelle est alors la valeur en dioptries de la vergence de la lentille L2 pour que le P.R. de l oeil se trouve 20 m ? 6. Que devient le P.P. de l oeil avec le port de cette lentille L2 ? 7. On considre maintenant que le centre O de L2 se trouve 1 cm devant S. L approxim ation faite prcdemment (O et S confondus) modifie-t-elle le choix de f 2 ? Solution CONSEIL : dans cet exercice, on considre une personne qui n est manifestement pas e mmtrope puisqu elle ne voit pas au-del de 2 m (un oeil emmtrope voit jusqu l infini !). Pour connatr parfaitement les caractristiques de son amtropie, il nous faut connatre les positions de son pun ctum proximum et de son punctum remotum. Pour connatre la position de son punctum proximum, on peut u tiliser l information donne par son amplitude d accommodation : d aprs l exercice prcdent, on sait en effet rel er amplitude d accommodation et positions des P.P. et P.R..1. Le punctum remotum de la personne est 2 mtres devant elle (au lieu d tre l infini) : la personne est donc myope. Son amplitude d accommodation est dfinie par (voir l exer cice 3 de ce chapitre) : 11 A = Vmax SPP Vmin = ------------SPR6. L OEIL, LA LOUPE ET AUTRES INSTRUMENTS UNE LENTILLE 133o S est le centre de la lentille-oeil. La position du punctum proximum est donc d onne par : SPR SPP = ----------------1 ASPR A.N. SPP = , 10 5cm.2. L oeil myope est trop convergent par rapport l oeil normal. Pour lui permettre un e vision l infini, il faut le corriger avec une lentille divergente L1 qui forme, d un objet l infini, une image en PR. 3. L image d un objet l infini se forme, par dfinition, au point focal image de la lent ille. Si on note O le centre optique de L1, on doit avoir : f 1 =OPR Avec O et S confondus, on obtient : f 1 =SPR A.N. f 1 = 2 m. 4. Le nouveau punctum proximum PP1 de l oeil corrig correspond la position d un objet qui donne travers la lentille L1 une image au punctum proximum naturel PP de l oei l non corrig. La relation de conjugaison pour PP et PP1 s crit, avec toujours S et O confondus : 1 11 -------= --------= --SPP SPP1 f 1 On en dduit : 1 = SP SP P1 A A.N. = SPP1 , F1 R O PR =F 1 D 111 cm. ---Rtine LObjet l'infini 1Rtine PR O Rtine PR O F1O F 1 L1 PP1 PP1 PP oeilLRtine oeilL oeilLoeilL Attention, les schmas ne sont pas l chelle !5. On veut cette fois qu un objet situ D = 20 m de l oeil forme son image travers L2 (de centre optique confondu avec S) au punctum remotum de l oeil. On doit donc avo ir : 111 ------- ------= --SPR Df 2 DSPR f f 2 = --------------D + SPR A.N. f 2 = 2,22 cm. 6. Comme la question 4, le nouveau punctum proximum PP2 de l oeil corrig correspond la position d un objet qui donne travers la lentille L2 une image au punctum proxi mum PP de l oeil non corrig. La relation de conjugaison pour PP et PP1 s crit, avec toujou rs S et O confondus : 1 11 -------= --------= --SPP SPP2 f 2 On en dduit : f 2 f 1SP SP P2 = --------------------------f2 f 1 Af1 f 2 effectu en 5. Avec S et O non confondus et enA.N. SPP2 = 11 cm. 7. Reprenons le cas du calcul de f 2 posant l = OS = 1cm , il vient : 1 11 --------- ---------= f -2- OPR lD(Dl)SPRf2 = --------------------D + SPR La correction relative sur f 2 est donc de : .f2 l-------=---=0 5/ 1000 . f f 2 D , Exercice 6 OEil moyen et vieillissement de l oeil Pour un oeil moyen, la distance d entre le cristallin et la rtine est gale d = 15 mm ; le PP et le PR sont respectivement gaux dm = 25 cm et l infini. 1. Calculer les distances focales du cristallin lorsqu il est au repos et en accom modation maximale. 2.a. Comment varie la distance focale du cristallin en accommodation maximale en fonction de la position du PP ? b. Sachant qu en moyenne, le PP d un individu de 50 ans est de 1 m, calculer la vari ation de cette distance focale par rapport celle d un individu moyen. 6. L OEIL, LA LOUPE ET AUTRES INSTRUMENTS UNE LENTILLE 135Solution Solution CONSEIL : dans cet exercice, on tudie la variation de la distance focale de l oeil en fonction de l ge. L exercice dmarre par une information originale : la distance du cristallin la rtine . Comment traduire cette information anatomique ? Cette distance correspond, en termes d optique de l oeil, l a distance entre la lentille (le cristallin) et l cran (la rtine). Que sait-on ? Qu un objet situ l infini f rme son image travers une lentille dans le plan focal image de cette lentille ; on sait aussi qu un oeil emmtrope au repos voit distinctement un objet l infini, c est--dire que l image d un objet l infini se forme sur sa rtine. de ces informations, il est maintenant possible de rpondre aux questions. 1. Le PR est l infini, ceci indique que la convergence d un faisceau parallle se fait directement sur la rtine. La distance focale de l oeil au repos est f 1 = d = 15 mm. En accommodation maximum, un objet plac au PP forme son image travers le cristall in en R sur la rtine. (PP, R) vrifie donc la relation de conjugaison : 11 1 ------- --------= --OR OPP f 2 Avec OR = d = 15 mm et OPP= ddm f 2 = ----------d + dm A.N. f 2 = 14,2 mm. On retrouve un rsultat connu : le phnomne d accommodation permet de diminuer la distance focale du cristallin : f 2 < f 1 . 2.a. Posons d la distance PPO (gale dm pour un oeil normal). La distance focale f 2 en accommodation maximale s crit : dd f 2 (d) = -------d + d Remarquons que : d(f 2 ) d 2 ----------= --------------> 0 d d (d d +)2 La souplesse du cristallin se rduisant avec le temps, la distance focale f 2 nte avec l ge. augme dm = 250 mm, on a finalement :b. 50 ans, correspondant selon l hypothse un d de 1 m, la distance focale f 2 e f 2 (d = 1 m) = 14,8 mm, ce qui correspond une variation de 0,6 mm. Exercice 7 Limite de vision distincte d un enfantest galLes limites de vision distincte d un jeune enfant, mesures partir du centre optique O de l oeil, varient entre 8,5 et 21 cm. Pour lui permettre de voir l infini sans acco mmoder, on lui met des lunettes dont le centre optique O1 est situ d = 1 cm de O. 1. Quelles sont la nature et la vergence des lentilles utilises dans les lunettes ?2. Quelle est la distance minimale de vision nette de l oeil corrig ? 3. En vieillissant, le cristallin se rigidifie. Les limites de vision distinctes de l oeil nu sont comprises alors entre 16 et 21 cm. Quel est alors le champ de vision distincte de l o eil appareill des lunettes ? Solution 2. Quelle est la distance minimale de vision nette de l oeil corrig ? 3. En vieillissant, le cristallin se rigidifie. Les limites de vision distinctes de l oeil nu sont comprises alors entre 16 et 21 cm. Quel est alors le champ de vision distincte de l o eil appareill des lunettes ? Solution CONSEIL : la seule difficult pour aborder cet exercice consiste traduire l informat ion suivante : que reprsentent les deux limites de vision distincte ? La plus petite (ici 8,5 cm) correspond la distance de l objet A la lentille (le cristallin de l enfant), l objet A tant l objet le plus proche que l en fant peut voir distinctement, c est--dire, par dfinition, le punctum proximum PP. La limite la plus grande (ici 21 cm) correspond la distance de l objet B la lentille, l objet B tant l objet le plus loign que l enfan t voir distinctement, c est--dire, par dfinition, le punctum remotum PR. Ces deux informations sont suffis antes pour aborder l exercice !1. Le PR de l oeil nu n est pas l infini mais une distance finie devant l oeil. Il s agit donc d un oeil myope. Cet oeil converge trop, il convient de lui adjoindre une lentille divergente pour lui permettre de voir sans accommoder un objet l infini. Elle sera choisie de manire ce que l image travers les lunettes d un objet l infini se forme au PR de l oeil non corrig (PR = F ). La distance focale de la lentille divergente doit donc tre gale : f = 20 cm. 2. Le point AP le plus proche vu par l lunettes correspondant au PP : l oeil accommode n donne la position du point AP (O1 et O de la lentille et de l oeil et dla distance entre ces 11 111 ---------- ----------= -----------------------O1PP O1AP O1OOP+ P O1AP f Soit : f (PPO d) f (PPO d) ----------= oeil corrig est celui dont l image travers les alors au maximum. La relation de conjugaiso sont respectivement les centres optiques deux centres):APO1 = ----------------------APO = d+ ---------------------PPO df+ +PPO df A.N. APO1 = 12 cm, APO = 13 cm. Avec ces lunettes, le jeune myope voit tout objet sit