optique physique
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Chapitre 1. Ondes Lumineuses
Introduction
* L’optique est la partie de la physique qui étudie la
lumière et les phénomènes qu’elle engendre. Les
radiations lumineuses sont des ondes électromagnétiques
dans la gamme des longueurs d’onde UV-visible-IR.
* La propagation est régie par les équations de Maxwell,
qui permettent d’une part, la description exacte de la
propagation sous forme d’une onde électromagnétique et
d’autre part les propriétés structurales des champs
électrique et magnétique.
* Dans le cadre de l’optique physique, on étudie la
propagation sous forme d’une onde, l’interférence et la
diffraction.
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1. Vibrations et Ondes
1.1. Vibration
* Une vibration est une grandeur physique mesurable
(scalaire ou vectorielle) périodique dans le temps. Sa
période temporelle est T (seconde) et sa fréquence est ν
(Hertz)
f (t) f (t T) | 1/ T
* Une vibration harmonique est de la forme
(t) a.cos( .t) | 2
Ou a est amplitude, ω la pulsation et ωt est l’argument
(phase temporelle).
* Sous forme complexe la vibration harmonique est
donnée par
(t) a.exp( j. .t)
1.2. Onde Plane
*Une onde est une vibration qui se propage dans l'espace
(milieu de propagation) à la vitesse v. Elle est de la forme
(Onde harmonique plane)
a exp j( t k.r)
Elle s’écrit à l’aide de l’amplitude complexe comme
.exp j( t) | a.exp( jk.r)
La phase spatiale (argument de l’amplitude complexe) est
k.r 2 .(u.r) /
3
La longueur d’onde et le vecteur d’onde sont donnés par
vT |k (2 / )u
Le vecteur u représente la direction de propagation de
l’onde donné par
x x y y z zu u .e u .e u .e
Le vecteur r, point d’espace qui subit la perturbation est
x y zr x.e y.e z.e
La phase spatiale est
k.r 2 . / | x y zr.u x.u y.u z.u
Ou ξ est la projection du vecteur r sur la direction de
propagation
* On appelle surface d’onde l’ensemble des positions
géométriques (forme géométrique) où la phase spatiale est
constante appelée équiphase. Par conséquent
k.r 2 . / cste
cste plan
1.3. Onde sphérique
* Une onde sphérique (surface d’onde sphérique) est
donnée par
a exp j( t k.r)
.exp j( t)
a.exp( jkr)
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L’amplitude est de la forme
a cste / r Elle est inversement proportionnelle à r, l’amplitude
diminue en fonction de r, l’onde est amortie.
La phase spatiale est
kr 2 .r / Le module du vecteur d’onde et le module du vecteur-
position sont
k 2 / 2 2 2 1/ 2r (x y z )
La surface d’onde est donnée par l’équiphase
kr 2 .r / cste r rayon cste sphère
1.4. Equation de propagation
*Les ondes plane et sphérique sont solution de l’équation
de Lambert (équation de propagation). Elles obéissent à 2 2 2/ v . t
2 2 2 2 2/ z / v . t
La vitesse de propagation est v et la direction de
propagation est l’axe z.
* L’énergie lumineuse se propage selon des courbes
perpendiculaires en tout point aux surfaces d’onde.
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L’intensité instantanée est proportionnelle au module de
l’amplitude au carré
a.exp( jk.r).exp j( t) * 2E . a
L’intensité moyenne est obtenue à partir de la valeur
moyenne temporelle (temps intégration du détecteur) de
l’amplitude au carré 2I a
1.5. Polarisation de l’onde
* Quand l’onde est vectorielle (norme, direction, sens), on
distingue deux directions : direction de propagation et
direction de vibration appelée polarisation.
* On définit le type longitudinal quand la polarisation est
parallèle à la propagation. Quand la polarisation est
orthogonale à la propagation alors on a le type
transversal.
* Le plan de polarisation est le plan qui contient le
vecteur-polarisation. On distingue différents états de
polarisation: linéaire, circulaire et elliptique.
* Soit une onde plane vectorielle transversale définit par
x yx y.e .e
La direction de propagation et la phase
zk (2 / ).e
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k.r k.z
x a.cos( t k.z)
y a.cos( t k.z )
Nous avons
x / a cos( t k.z)
y / b cos( t k.z).cos( ) sin( t k.z).sin( )
y xsin( t k.z).sin( ) ( / b) ( / a).cos( )
xcos( t k.z).sin( ) ( / a).sin( )
En élevant au carré les deux membres de l’égalité, on a 2 2 2 2 2 2
y x x y xsin ( / b) ( / a) .cos 2. . cos / a.b ( / a) .sin
L’équation de la trajectoire est obtenue en éliminant le
temps entre ψx et ψy soit 2 2 2
x y x y( / a) ( / b) 2. . cos / a.b sin
* Les états de polarisation sont fonction du déphasage
entre les deux composantes. L’onde est dite non polarisée
quand le déphasage est aléatoire.
Etat polarisation elliptique. Le déphasage est constant,
l’équation est de la forme 2 2 2
x y x y( / a) ( / b) 2. . cos / a.b sin
Etat polarisation elliptique droite. Le déphasage est π/2,
l’équation est de la forme 2 2
x y( / a) ( / b) 1
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Etat polarisation circulaire. Le déphasage est π/2, le
grand axe de l’ellipse est égal au petit axe (a=b).
L’équation est de la forme 2 2
x y( / a) ( / a) 1
Etat polarisation plane. Le déphasage est nul, l’équation
est de la forme
x y(a / b).
Animation
1.6. Indice de réfraction
* L’indice de réfraction est une caractéristique intrinsèque
du milieu de propagation. Il renseigne sur le
comportement du milieu vis-à-vis de la lumière
(interaction rayonnement-matière). Il est égal au rapport
de la vitesse de la lumière dans le vide (célérité c) et de la
vitesse dans le milieu.
n c / v * L’indice n est supérieur à l’unité. Exemple : l’indice de
l’air est 1, l’indice de l’eau est 1.33 et pour le verre est de
1.51.
* Un milieu homogène est un milieu dont l’indice de
réfraction est le même en tout point. Un milieu isotrope
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est un milieu dont l’indice de réfraction ne dépend pas de
la direction considérée (Exemple : l’air ou l’eau). Un
milieu anisotrope est un milieu dont l’indice dépend du
trajet suivi par la lumière (Exemple : cristaux). Un milieu
dispersif est un milieu dont l’indice dépend de la longueur
d'onde. La vitesse de l’onde lumineuse dépend de la
fréquence (exemple violet et rouge).
n fct( )
La formule de Cauchy donne l'indice de réfraction en
fonction de la longueur d'onde 2n( ) a b /
Les paramètres a et b dépendent du matériau. Dans le cas
l’eau 3 2n( ) 1.3242 3.0348.10 /
2. Onde électromagnétique et Lumière
2.1. Equations de Maxwell
* Maxwell, après avoir construit la théorie de
l’électromagnétisme (1876) (Equations de Maxwell),
affirme que la lumière est une onde électromagnétique
OEM qui se propage dans le vide à la célérité de 3.108
m.s−1.
* Equation de propagation 2 2E E / t
9
2
0 0. .c 1 | 2
0. .v 1
(ε0,ε) sont les permittivités diélectriques du vide et du
milieu ; μ0 est la perméabilité magnétique du vide et v la
vitesse de propagation dans le milieu. La permittivité du
milieu peut s’exprimée en fonction de la permittivité
relative par
r 0.
L’indice de réfraction du milieu est
rn c / v
* Champ électrique et magnétique solution de l’équation
de propagation sont de la forme (solution plane)
0E E .expi( t k.r) | 0B B .expi( t k.r)
2.2. Onde électromagnétique
* A partir des équations de Maxwell on détermine les
propriétés structurales de l’onde électromagnétique qui
sont résumées dans cette expression
B (u E) / c
* Par conséquent l’onde électromagnétique est transverse
(champs sont et perpendiculaires à la direction de
propagation), les champs E et B sont orthogonaux entre
eux et forme avec la direction de propagation un trièdre
directe. Les amplitudes sont reliés par
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0 0E c.B
* La description d’une onde électromagnétique est
suffisante par la connaissance du champ électrique E (B
est complètement).
* La polarisation de l’onde est associée à la direction du
champ électrique E. L’intensité de l’onde
électromagnétique est associée au vecteur de Poynting.
2
0 0s (E B) / ( .c .(E B)
2
0s .c. E .u
* 2
0 0I s.s c.E / 2
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2.3. Spectre électromagnétique
* On classe les ondes électromagnétiques en différentes
catégories en fonction de la longueur d’onde et du mode
de production.
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2.4. Spectre visible
* Le spectre visible s’étend du rouge (780 nm) au violet
(380 nm) en passant par orange, jaune, vert, bleu, indigo.
La lumière peut être polychromatique (plusieurs
longueurs d’onde), ou monochromatique (une seule
longueur d’onde). Une lumière blanche contient tout le
spectre visible.
2.5. Sources lumineuses
2.5.1. Sources thermiques
Les corps portés à une certaine température (Soleil ;
Ampoule) émettent de la lumière (incandescence). Une
lampe à incandescence est formée par un filament de
Tungstène porté à haute température (~3000 K) par effet
Joule et placé dans une ampoule (Verre ou Quantz)
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contenant un Halogène (Iode gaz tampon qui réagit avec
le Tungstène et le recycle) destiné à limiter l’évaporation
du filament. Le spectre solaire et raies de Fraunhofer
2.5.2. Sources spectrales
* Lampes à décharge à basse pression (Hydrogène ;
Oxygène ; Sodium ; Mercure) : Les niveaux excités sont
peuplés par la décharge électrique. Un flux d’électrons
excite des atomes ou des molécules à l’état gazeux qui
retombent à l’état fondamental (transition spontanée) en
produisant un rayonnement ayant un spectre de raies
quasi-monochromatiques.
2.6. Polarisation de la lumière
2.6.1. Production de la lumière polarisée
Un polariseur est un système optique (qu'on considérera
plan) possédant deux directions privilégiées. L'une
d'entre elles, appelée axe de transmission, est telle que le
polariseur transmet la composante du champ électrique
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incident parallèle à l'axe de transmission et arrête la
composante perpendiculaire.
La lumière sortant d'un polariseur est polarisée
rectilignement, parallèlement à la direction de l'axe de
transmission, quelle que soit la nature de la lumière
incidente. En outre, si la lumière incidente est polarisée
rectilignement selon la direction perpendiculaire à l'axe
de transmission, alors aucune lumière ne sort du
polariseur.
2.6.2. Loi de Malus
Considérons deux polariseurs, l'un à la suite de l'autre,
dont les axes de transmission respectifs font un angle α.
À la sortie du premier polariseur, le champ électrique est
polarisé rectilignement selon la direction u1, du premier
axe de transmission. Après le second polariseur, souvent
appelé analyseur, la lumière est polarisée rectilignement
selon u2, direction de son axe de transmission. Le champ
électrique après le premier polariseur est noté
1 11E E .u
Après l'analyseur, le champ transmis est :
2 2 22 1E E .u E .cos .u
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Comme l'intensité de l'onde électromagnétique est
proportionnelle au carré de l'amplitude du champ, on en
déduit la loi de Malus : 2
2 1I I .cos
En conclusion, quand on place successivement un
polariseur et un analyseur, l'intensité lumineuse après le
polariseur est liée à l'intensité après l'analyseur par la loi
de Malus, qui fait intervenir l’angle entre les axes de
transmission du polariseur et de l'analyseur.
2.6.3. Polarisation par dichroïsme
Un polaroïd est réalisé à l'aide de feuilles plastiques
enduites d'un matériau organique à grandes molécules
puis étirées. On obtient alors une grille organique qui va
absorber le champ électrique sauf quand celui-ci est
perpendiculaire à la direction des molécules. On a alors
un très fort coefficient d'absorption dans la direction des
molécules (T=0,0002%) et une transmittance de l'ordre
de 50% dans la direction perpendiculaire. On obtient
donc à la sortie une onde polarisée rectilignement.
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2.7. Milieux dispersifs
2.7. 1. Loi de Cauchy
Pour la lumière visible, une approximation satisfaisante
des variations de l'indice avec la longueur d'onde est
donnée par la Loi de Cauchy 2n( ) a b /
Où λ0 est la longueur d'onde dans le vide et où a (sans
unité) et b (en mètre carré) caractérisent le milieu. On
remarque que pour un milieu non dispersif, b = 0 et qu'un
milieu est de moins en moins dispersif si b tend vers 0.
2.7.2. Indice de réfraction référence
Pour mesurer un indice de réfraction dans un milieu
dispersif, il faut une radiation monochromatique de
référence, comme la raie D du Sodium (longueur d'onde
dans le vide λD = 587,6 nm. L'indice absolu nD de l'eau à
20°C est 1,333 ; celui d'un verre ordinaire est compris
entre 1,511 et 1,535. L'indice de l'air est égal à
1,000 292 6 dans les conditions normales de température
et de pression.
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2.7.3. Pouvoir dispersif
Dans le domaine du visible (longueurs d'onde dans le
vide comprises entre 380 nm et 780 nm), la dispersion est
caractérisée par le nombre d'Abbe ou la constringence qui
définit le pouvoir dispersive d’un milieu. Le nombre
d'Abbe V se définit en fonction des indices de réfraction à
différentes longueurs d'onde, correspondant à des raies
spectrales de Fraunhofer de certains éléments :
D F Cv (n 1) /(n n )
F et C désignant deux raies de l'hydrogène : la rouge de
longueurs d'onde dans le vide λF = 486,1 nm et la bleu λC
= 656,3 nm. D désigne une raie de sodium jaune de
longueur d'onde dans le vide λD = 587,6 nm.
2.7.4. Classification des verres
On classe alors les verres en type Crown (moins dispersif)
ou Flint (plus dispersif) suivant que le nombre d'Abbe est
inférieure ou supérieure à 50.
Le verre flint (silex en anglais) est un type de verre ou
l’indice de réfraction est grand (1.45 et 2) et le nombre
d’Abbe faible (inférieur à 50) qui entraine une grand
dispersion chromatique. Le verre crown (fabrication des
lentilles produit à partir d’un silicate alcalin) est un type
de verre ou l’indice de réfraction est faible et le nombre
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d’Abbe grand qui entraine une faible dispersion
chromatique.
2.8. Détecteurs optiques
2.8.1. Définition
Un détecteur convertit un rayonnement optique en
signaux électriques plus faciles à mesurer. On distinguera
les détecteurs thermiques et les détecteurs photoniques.
Pour les détecteurs thermiques, le processus physique de
conversion est basé sur l’absorption de la lumière qui se
traduit par une élévation de température (échauffement
du corps) d’un matériau absorbant qui est ensuite
convertie en signal électrique (photon-température-
électron). Pour les détecteurs photoniques, le processus
physique de conversion est basé sur effet
photoélectrique qui convertit directement les photons
incidents en électrons (photon-électron).
2.8.1. Détecteurs thermiques
On distingue trois types de détecteurs thermiques :
Thermopiles, bolomètres et pyroélectrique.
Un thermocouple est formé de deux conducteurs
différents soudés en V. Une tension proportionnelle au
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flux est alors générée par effet thermoélectrique (effet
Seebeck).
Un bolomètre utilise la variation de résistivité d'un
matériau induite par la variation de sa température
consécutive à l'absorption du rayonnement.
Un pyroélectrique est constitué d'un cristal isolant dont
la maille ne présente pas de centre de symétrie. Un
changement de température se traduit par une tension
transitoire (lumière modulée, impulsion lumineuse de
quelques μs)
2.8.2. Détecteurs photoniques
On distingue trois types de détecteurs photoniques:
Photoémissif, photoconducteur et photovoltaïque.
Un photoémissif est constitué d’un matériau
photosensible (matériaux semi-conducteurs) qui par effet
photoélectrique permet l’éjection ou la libération
d’électrons libres.
Un photoconducteur est constitué d’un matériau (semi
conducteurs intrinsèques ou extrinsèques) qui par effet
photoélectrique permet la modification de la conductivité
électrique du matériau due à la création d’électrons semi
libres
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Un photovoltaïque est constitué d’un matériau (semi
conducteur inhomogène) qui par effet photoélectrique
permet la modification de la barrière de potentiel de la
jonction.
1
Chapitre 2.
1. Emission lumineuse
1.1. Notion de Transition
Le processus d’émission de la lumière résulte d’une
transition électronique. Une transition correspond au
passage d’un niveau d’énergie à un autre.
Lors d’un apport d’énergie extérieur, un atome à
l’état fondamental s’excite et subit une transition vers un
niveau d’énergie supérieur. Spontanément il effectue une
autre transition radiative avec restitution l’énergie
(libération d’un photon).
1.2. Notion de train d’onde
La lumière est alors émise par trains d’ondes
provenant des atomes d’une source. Un train d'ondes est
une onde de durée de vie finie (limitée dans le temps).
2
La durée de vie τ est appelée temps de cohérence
auquel on associe une longueur de cohérence L définit par
L = τ.v
Où v est la vitesse de propagation de l'onde. Un même
atome émet au cours du temps une succession de trains
d’ondes.
1.3. Notion de cohérence
Le processus d’excitation et de désexcitation se
produit au hasard au cours du temps: il n’y a aucune
relation entre le temps qui marque la fin d’un train
d’onde et le temps qui marque le début du train d’onde
suivant. On dit il n’y a pas de relation de phase entre les
trains d’ondes.
La phase est constante sur un train d’ondes donné
pendant le temps de cohérence (durée de vie du train
3
d’onde), mais varie aléatoirement d’un train d’onde à
l’autre.
Sur une durée de détection, la phase prendra toutes
les valeurs possibles entre 0 et 2π. La polarisation aussi
change de manière aléatoire d’un train d’ondes à l’autre.
Elle prendra toutes les directions possibles.
Une source monochromatique (une seule longueur
d’onde) correspond à une source lumineuse avec des
trains d’onde de grande durée de vie donc de grande
longueur de cohérence.
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2. Interférences
2.1. Terme d’interférence
Deux ondes lumineuses monochromatiques issues de
deux sources S1 et S2 avec une même longueur d’onde et
un même état de polarisation se superposent en un point
M de l’espace. On note r1 la distance S1M et r2 la distance
S2M. L’amplitude complexe résultante en M s’écrit
1 2E E E= + 1j( t kr )
1 01E E .e ω −= 2j( t kr )
2 02E E .e ω −= 1 2jkr jkrj t
01 02E e .(E .e E .e )− −ω= +
L’intensité au point M est proportionnelle au carré de
l’amplitude s’écrit *I E.E∝
2 1 2 1jk (r r ) jk(r r )* 2 201 02 01 02E.E E E E .E (e e )− − −= + + +
1 2 1 2I I I 2 I I .cos= + + ϕ
2 1k(r r ) 2 . /ϕ = − = π δ λ
p / 2 /= ϕ π = δ λ
On appelle le nombre p ordre d’interférence (numéro de la
frange). Pour une frange claire (Imax) il est entier et pour
une frange sombre il est demi-entier (Imin).
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Le déphasage ϕ ne dépend que de la variation du
chemin optique δ. Le chemin optique étant le produit du
chemin géométrique par l’indice de réfraction du milieu.
L’intensité peut s’écrire sous la forme
1 2 12I I I J= + +
12 1 2J 2 I I .cos(2 . / )= π δ λ
On constate qu’elle est composée de deux termes : terme
qui représente les intensités I1 et I2 des deux sources et
terme supplémentaire J12 appelé terme d’interférence.
L’interférence ne dépend que la différence de marche.
Interférence = terme d’interférence non nul
2.2. Franges d’interférence
Sur l’écran, on observe une variation d’intensité due
à la variation du terme d’interférence (déphasage entre les
deux ondes qui est dû à la différence de marche)
On observe des zones claires qui correspondent à une
interférence constructive quand les deux ondes sont en
phase (franges brillantes) et des zones sombres qui
correspondent à une interférence destructive quand les
deux ondes sont en opposition de phase (franges sombres).
L’ensemble des franges constitue un interférogramme.
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On appelle frange d’interférence l’ensemble des
points M qui ont le même état d’interférence. On
distingue les franges brillantes d’intensité maximale (I =
Imax) et les franges sombres d’intensité minimale (I = Imin).
Distribution de l’intensité
1 2 1 2I( ) I I 2 I I .cosϕ = + + ϕ
1 2 1 2I( ) I I 2 I I .cos(2 . / )δ = + + π δ λ
Interférence constructive : Intensité maximale : franges
claires
maxI I( 2 .m) I( m. )= ϕ = π = δ = λ
max 1 2 1 2I I I 2 I I= + +
Interférence destructive : Intensité minimale : franges
sombres
minI I( (2m 1). ) I( (2m 1). / 2)= ϕ = + π = δ = + λ
min 1 2 1 2I I I 2 I I= + −
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2.3. Intensité moyenne et Visibilité
Détermination des intensités des sources I1 et I2 en
fonction des intensités Imax et Imin de l’interférogramme.
Nous avons
max 1 2 1 2I I I 2 I I= + +
min 1 2 1 2I I I 2 I I= + −
Alors on obtient par identification
1 2 max minI I (I I ) / 2+ = +
1 2 max min2 I I (I I ) / 2= −
On note I0 l’intensité moyenne de l’interférogramme et V
la visibilité des franges
0 max minI (I I ) / 2= +
max min max minV (I I ) /(I I )= − +
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L’intensité peut s’exprimer en fonction de l’intensité
moyenne et de la visibilité
max min max minI( ) ((I I ) / 2) ((I I ) / 2).cosϕ = + + − ϕ
0I( ) I .(1 V.cos( ))ϕ = + ϕ
0I( ) I .(1 V.cos(2 . / ))δ = + π δ λ
On appelle interfrange la distance i entre deux franges de
même nature. Elle est obtenue pour un déphasage de 2π,
qui correspond à une variation du chemin optique λ et
une variation de l’ordre d’interférence (numéro de frange)
égale à 1( 2∆ϕ = π ; ∆δ = λ ; p 1∆ = )
On appelle frange centrale la frange qui correspond à une
différence de marche nulle. La frange centrale est une
frange claire d’ordre zéro (numéro de frange centrale est
p=0)
2.4. Systèmes interférentiels
Dans la réalité, deux sources lumineuses distinctes
ne produisent pas d’interférence. L’observation du
phénomène nécessite un dispositif qui divise, puis
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superpose la lumière issue d’une seule source appelé
interféromètre
On distingue deux catégories de dispositifs
interférentiels: interféromètres à division du front d’onde
et interféromètres à division d’amplitude.
Dans le dispositif de division du front d’onde : on
prélève sur un faisceau incident deux faisceaux provenant
de deux endroits différents du front d’onde. Dans le
dispositif de division d’amplitude: une surface
partiellement réfléchissante opère une division du flux
lumineux incident. Les deux faisceaux émergeants sont
cohérents et interfèrent après avoir parcouru des chemins
différents.
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3. Dispositif division du front d’onde
3.1. Fentes de Young
Description du dispositif
Le dispositif de Young est un système constitué d’une
source principale S et de deux fentes S1 et S2 percées dans
un écran opaque qui jouent le rôle de sources secondaires
(division de front d’onde). L’écran d’observation est
perpendiculaire à l’axe entre les sources. Les franges sont
rectilignes et non localisées.
Différence de marche
On note r1 et r2 la distance entre les deux sources
secondaires et le point d’observation M. On note s la
distance entre les deux sources et D la distance entre les
sources et l’écran d’observation.
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1
s / 2
OS 0
0
=����
2
s / 2
OS 0
0
−=
����
x
OM y
D
=�����
1 11r S M OM OS= = −� ����� ����� ����
2 22r S M OM OS= = −� ����� ����� ����
1
x s / 2
r y
D
−=�
2
x s / 2
r y
D
+=
�
D’où 2 2 2 1/ 2
1r ((x s / 2) y D ))= − + + 2 2 2 1/ 2
2r ((x s / 2) y D ))= + + +
12
Avec les conditions
s D x D y D≪ ≪ ≪
En appliquant un développement limité on obtient 1/ 2
1 1 1r D.(1 ) D.(1 / 2)= + ε = + ε 1/ 2
2 2 2r D.(1 ) D.(1 / 2)= + ε = + ε 2 2 2
1 ((x s / 2) y ) / Dε = − + 2 2 2
2 ((x s / 2) y ) / Dε = + + 2 2
1r D ((x s / 2) y ) / 2D= + − + 2 2
2r D ((x s / 2) y ) / 2D= + + +
La différence de marche (équation des franges) due au
dispositif est
2 1(r r ) s.x / D− = δ =
La différence de marche dépend de la coordonnée x
(direction des sources) et des caractéristiques du dispositif
interférentiel (distance entre sources et distance source-
écran).
Intensité et interfrange
L’intensité sur l’écran est donnée par
0I(x) I .(1 V.cos(2 .s.x / D ))= + π λ
L’intensité en M (x, y) ne dépend pas de la coordonnée y :
les franges sont rectilignes et parallèles à l’axe y (même
état d’interférence sur l’axe des y).
L’interfrange produit par le dispositif
i .(D /s)= λ
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Un éloignement de l’écran entraine une augmentation de
l’interfrange et elle diminue quand on écarte les sources
secondaires
Cas 1. Différence de marche lame
Soit une de verre d’épaisseur e et d’indice n introduite
devant la source S2.
La différence de marche introduite par la lame est
lame ne e (n 1).eδ = − = −
La différence de marche introduite par Dispositif Young
est
Young s.x / Dδ =
La différence de marche totale
s.x / D (n 1).eδ = + −
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Si la lame a été introduite devant la source S1, la
différence de marche devient
s.x / D (n 1).eδ = − −
L’introduction de la lame entraine un déplacement de la
figure d’interférence et de la frange centrale.
Cas 2. Différence de marche source
Dans un dispositif de Young on déplace la source distante
de d des fentes vers le haut d’une valeur h.
La différence de marche introduite par le déplacement de
la source, est
source s.h / dδ =
La différence de marche introduite par Dispositif Young
est
Young s.x / Dδ =
La différence de marche totale
s.x / D s.h / dδ = +
15
Si on descend la source de h, la différence de marche
devient
s.x / D s.h / dδ = − Le déplacement de la source entraine un déplacement de la
figure d’interférence et de la frange centrale.
3.2. Biprisme Fresnel
Description
Ce dispositif est formé par deux prismes identiques accolés
et éclairés par une source principale. Les déviations
symétriques dues aux prismes donnent un champ
d’interférence (deux sources secondaires virtuelles).Les
franges sont rectiligne et non localisées.
Prisme
Un prisme est caractérisé par son indice et son angle
d’ouverture A. Les rayons entrant et sortant sont séparés
d’un angle appelé déviation.
16
A r r '= +
i i ' Aθ = + − (n 1)Aθ = −
Différence de marche
On note d la distance entre la source et le Biprisme et L la
distance Biprisme et écran. A partir du modèle de Young,
la différence de marche est donnée par
s.x / Dδ = Il suffit de remplacer les différentes valeurs
D d L= + tg s / 2dθ =
s 2d 2d.A.(n 1)= θ = −
2d.A.(n 1).x /(d L)δ = − +
Interfrange
L’interfrange est donnée par
i .((d L) / 2(n 1)A.d)= λ + −
17
Section 4. Dispositif division amplitude
4.1. Lame faces parallèles
Description
Un faisceau lumineux issu d’une source ponctuelle,
tombant sur une lame transparente d’épaisseur constante.
Le faisceau est, au niveau de chaque interface réfléchi et
réfracté.
On considère l’interférence entre les deux premiers
rayons réfléchis. Les autres rayons ont des énergies trop
faibles. L’interférence est observée au plan focal d’une
lentille mince convergente. Les franges sont des anneaux
concentriques d’égale inclinaison localisés à l’infini.
Formules de Fresnel
Les formules de Fresnel relatives à la réflexion et à la
réfraction permettent de déterminer les coefficients de
18
réflexion et de transmission en amplitude. Pour les angles
petits (faible incidence)
Coefficient de réflexion
12 1 2 1 2r (n n ) /(n n )= − +
Coefficient de transmission
12 1 1 2t 2n /(n n )= +
Différence de marche
Soit une lame d’épaisseur d et d’indice n éclairée par une
source ponctuelle sous incidence θ. La différence de
marche entre les deux premiers rayons réfléchis est
nIJ nJK ILδ = + − IJ JK d / cos= = θ IK 2dtg= θ
22nd(1 sin ) / cosδ = − θ θ
2ndcosδ = θ Au plan focal d’une lentille mince f, la différence de
marche en fonction r rayon vecteur du point M sur
l’écran est 2cos 1 / 2θ = − θ
r / fθ = 2 22.n.d.(1 r / 2f )δ = −
Ordre d’interférence 2 2p / 2.n.d.(1 r / 2f ) /= δ λ = − λ
19
Les franges sont des anneaux concentriques qui se ressert
quand r augmente. L’ordre de l’anneau au centre (r=0) est
0p / 2.n.d /= δ λ = λ
L’ordre d’interférence s’écrit 2 2
0p p (1 r / 2f )= −
Le rayon des anneaux est donné par 2 2
0r 2f (1 p / p )= −
4.2. Coin d’air
Description
Ce dispositif utilise une lame mince d'air comprise entre
deux lames de verre formant un petit angle ε.
20
Les franges sont rectilignes localisées sur la lame et
dessinent les lignes d'égale épaisseur : ce sont des droites
parallèles à l'arête du coin. Quand on passe d'une frange
à la suivante (deux franges de même type), l'épaisseur
varie de λ/2.
Différence de marche
On note e l’épaisseur du coin d’air qui forme un petit
angle ε
2.eδ = Franges d’égales épaisseurs
tg e / xε = ε =
2. .xδ = ε
1
3. Diffraction lumineuse
3.1. Notion de diffraction
En 1665, le Père Grimaldi constate qu’au contour des
obstacles ou aux bords d’un trou, la lumière subit un
éparpillement, et appelle ce phénomène diffraction.
Si l’on cherche à isoler un rayon lumineux en envoyant un
faisceau parallèle à travers un trou de plus en plus petit, on
s’aperçoit que lorsque le trou est assez petit, le faisceau
émergeant diverge.
Le terme diffraction signifie toute déviation des rayons
lumineux de leur trajet rectiligne qui ne peut s’expliquer ni
par une réflexion ni par une réfraction.
Dans le cadre de l’optique, le phénomène de diffraction met
en défaut les lois de l’optique géométrique pour laquelle la
propagation de la lumière est rectiligne dans un milieu
homogène et transparent. En fait le phénomène de
diffraction apparaît chaque fois que l’onde lumineuse
rencontre un obstacle mais les effets ne sont manifestement
observables que lorsque les dimensions de cet obstacle sont
de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde.
2
3.2. Principe Huygens-Fresnel
3.2.1. Enoncé
Chaque point P d’une surface diffractante atteint par la lumière
peut être considéré comme une source secondaire émettant une
onde sphérique. L’état vibratoire de cette source secondaire est
proportionnel à celui de l’onde incidente en P et à l’élément de
surface dS entourant le point P. Les vibrations issues des
différentes sources secondaires interfèrent entre elles.
3.2.2. Formulation
Si ψ(M) est l’amplitude complexe de l’onde produite en en un
point M de l’écran d’observation et ψ(P) est l’état vibratoire de
la source secondaire en P, on a d (M) (P).(exp( jk.r) / r). ( ).dS
S(M) d (M)
S(M) (P).(exp( jk.r) / r).K( ).dS
3
Où r=PM et ĸ(θ) est un facteur d’inclinaison qui dépend de la
longueur d’onde et de l’angle de diffraction. En général, les
angles de diffractions sont faibles on peut considérer le facteur
d’inclinaison ĸ constant.
Système de coordonnées
On note (u, v) les coordonnées du plan d’entrée PE (plan du
difractant dont le centre O est l’origine du référentiel) et on note
(x, y) les coordonnées du plan de sortie PS (plan d’observation)
Un point P du PE est repéré par OP (u,v,0)
Un point M du PS est repéré par OM (x,y,z)
La vecteur r et son module sont
r PM OM OP (x u,y v,z) 2 2 2 1/ 2r (z (x u) (y v) )
Le point M du PS peut être repéré par les angles de diffraction
θx et θy x yOM ( OM sin , OM sin ,z)
4
L’amplitude complexe de l’onde diffractée au point M peut être
exprimée par
S(x,y) h(u,v;x,y). (u,v).dudv
S(M) (P).(exp( jk.r) / r). ( ).dS
Fonction de transfert h ou kernel de diffraction ou propagateur
est exprimée par h(u,v;x,y) exp( jk.r) / j r
Facteur d’inclinaison ĸ
1/ j
Le vecteur r est donné par 2 2 2 1/ 2r (z (x u) (y v) )
3.2.3. Types de diffraction
Domaines d’approximation 2 2 2 1/ 2r (z (x u) (y v) )
2 2 1/ 2r z.(1 ((x u) / z) ((y v) / z) )
Développement de Taylor 1/ 2 2(1 ) 1 / 2 /8 ...
2 2r z.(1 ((x u) / z) / 2 ((y v) / z) / 2) 2 2 2 2 2 2 2r z.(1 (x y ) / 2z (xu yv) / z (u v ) / 2z )
Champ proche
On parle de diffraction en champ proche ou diffraction de
Fresnel lorsque l’on analyse la diffraction près de l’obstacle. On
utilise l’approximation Fresnel qui donne 2 2 2 2r z (x y ) / 2z (xu yv) / z (u v ) / 2z
5
Champ lointain
On parle de diffraction à l’infini ou diffraction Fraunhofer
lorsque l’on analyse la diffraction très loin de l’obstacle.
On utilise l’approximation Fraunhofer qui donne 2 2r z (x y ) / 2z (xu yv) / z
La figure montre l’évolution de la figure de diffraction lorsque
l’on passe du régime de Fresnel (champ proche) vers un régime
de Fraunhofer (champ lointain). Dans ce cours on n’abordera
que la diffraction Fraunhofer
3.3. Diffraction Fraunhofer par Fente rectangulaire
Amplitude complexe du champ diffracté
0S
(x,y) h(u,v;x,y). (u,v).dudv
Fonction de transfert h(u,v;x,y) exp( jk.r) / j r
2 2r z (x y ) / 2z (xu yv) / z 2 2 jkzC exp(jk(x y ) / 2z).e / j z
Propagateur
h C.exp( jk(xu yv) / z)
6
Considérons une fente d’épaisseur a suivant x et de longueur b
suivant y. Si l’on envoie une onde plane sur la fente, tous les
points de la fente vibrent en phase.
Fente x a / 2 et y b / 2
0(x, y) C (u,v).exp( jk(xu yv) / z).dudv
2 2 jkzC exp(jk(x y ) / 2z).e / j z
Fonction de transmission de l’ouverture rectangulaire t.(u,v) 1 Fente
t.(u,v) 0 ailleurs
Champ incident
0(u,v) A
Distribution du champ diffracté a / 2 b / 2
a / 2 b / 2
(x, y) C.A exp( jk.xu / z).du. exp( jk.yv / z).dv
On a 0
0
x
0 0x
exp( j x).dx 2x .sinc( x )
La fonction sinus cardinal
7
sinc(x) sin x / x
Propriétés x 0 sinc(x) 1
x m. sinc(x) 0
x (m 1/ 2) sinc(x) 1/ x
Champ diffracté
(x,y) C.A.a.b.sinc(ka.x / 2z).sinc(kb.y/ 2z)
(x,y) C.A.a.b.sinc( a.x / z).sinc( b.y / z)
Distribution d’intensité 2 2I(x,y) I(0,0).sinc ( a.x / z).sinc ( b.y / z)
Intensité au centre est 2 2 2 2
maxI I(0,0) A .(a.b) / z
Intensité en fonction des angles de diffraction
xsin x / z ysin y / z 2 2
x y x yI( , ) I(0,0).sinc ( .asin / ).sinc ( .bsin / )
Les minimums d’intensité suivant l’axe des x sont
ma./ z m. x m. z / a
x x.asin / m. sin m. / a
Interprétation
Figure de diffraction : sinus cardinal entraine que le diffractant
est de forme rectangulaire et le premier minimum d’intensité
détermine sa taille par
1a z / x
8
Cas d’une fente (monodimensionnelle : b est grand) 2I(x) I(0).sinc ( a.x / z)
2I( ) I(0).sinc ( .asin / )
9
3.4. Pouvoir de résolution des instruments optique
3.4.1. Formation des images
Lors de la formation d’images par une lentille, le conjugué d’un
point source (objet ponctuel) n’est un point image (prévu par
l’optique géométrique) on obtient une figure de diffraction à
l’infini (diffraction de Fraunhofer).
3.4.2. Tâche d’Airy
Les lentilles limitent l’étendu du faisceau et jouent le rôle de
pupille diffractante. Si la lentille est circulaire de rayon a,
l’image d’un point est la figure de diffraction par une pupille
circulaire. L’intensité se concentre dans un cône d’angle ε telle
que (premier minimum de la fonction de Bessel cardinal)
sin 1.22. / a Le diamètre de la tache d’Airy est
0d 1.22. .z / a
Cette tâche s’appelle la tâche d’Airy et est entourée d’anneaux
peu visibles (intensité < 2% du maximum). Cette tache est
d’autant plus grande que a est petit.
(Voir annexe : diffraction par pupille circulaire)
3.4.3. Critère de Rayleigh
Prenons deux points objets A et B qui donneront, par un
système optique rigoureusement stigmatique (au sens de
l’optique géométrique) deux images A’ et B’. Tenant compte de
la diffraction nous savons qu’il apparaîtra sur l’écran deux
10
taches d’Airy. On dit que le système optique résout les deux
points, c’est-à-dire sépare les deux points, lorsque les taches
d’Airy sont séparés d’un distance A0B0 > r0 où r0 est le rayon de
la tâche de diffraction.
Par conséquent le pouvoir de résolution d’un appareil optique
est toujours limité à cause de la diffraction et en lumière visible
un instrument d’optique ne permet l’observation de détail < λ.
11
Annexe : Ouverture circulaire
Champ incident
0(u,v) A
Fonction de transmission de l’ouverture circulaire t.(u,v) 1 ouverture
t.(u,v) 0 ailleurs
Symétrie circulaire (coordonnées polaires) u pcos x rcos
v psin y rsin
Amplitude complexe
0(x, y) C (u,v).exp( jk(xu yv) / z).dudv
2 2 jkzC exp(jk(x y ) / 2z).e / j z 2 a
0 0
(r) C.A. p.dp.d .exp( jk.prcos( ) / z)
2 jkzC exp( jkr / 2z).e / j z
Fonctions de Bessel a 2
0 0
(r) C.A. exp( jk.prcos( ) / z)d .p.dp
2
0
0
2 .J (x) exp( jxcos( ))d
2
0
0
2 .J (k.pr / z) exp( jk.prcos( ) / z)d
a
0
0
(r) 2 .C.A. p.dp.J (k.pr / z)
12
On a u
0 1
0
J (x).x.dx u.J (u)
Avec 1u 0 2J (u) / u 1
Amplitude complexe 2
1(r) .C.A.a .2.J (ka.r / z) /(ka.r / z)
Distribution d’intensité 2
1I(r) I(0).(2.J (k.a.r / z) / k.a.r / z)
Intensité au Centre maximale 2 2I(0) ( a .A/ z)
Interprétation
Figure de diffraction : fonction de Bessel entraine que le
diffractant est de forme circulaire et le premier minimum
d’intensité détermine sa taille par
k.a.r / z 1,22. k.a.sin 1,22.
r 1,22.z. / 2.a sin 1,22.z. / 2.a
1
4. Réseaux de Diffraction
4.1. Définitions
Un réseau est une pièce de verre plane rayée de motifs
périodiques nommés traits, c’est un arrangement régulier
de motifs diffractants identiques. On distingue les réseaux
par transmission constitués de fentes infiniment fines
parallèles égales et équidistantes et des réseaux par
réflexion ou les fentes sont remplacées par des échelettes
réfléchissantes.
Le réseau est caractérisé par son pas a qui correspond à la
distance séparant deux motifs diffractants consécutifs. La
densité des traits est le nombre de traits par mètre n = 1/a.
On définit le nombre de fentes disponibles (utiles) N. Si le
réseau est de largeur L alors
N L/a n.L Le tableau suivant donne les ordres de grandeur pour
différents types de réseau.
2
4.2. Intensité diffractée
Considérons un réseau de N fentes verticales
périodiquement réparties. Notons a le pas du réseau et ε
la largeur de chaque fente. Quand on éclaire le système
par une onde plane en incidence normale, nous avons
l’interférence de la lumière diffractée par N fentes
déphasées (suite géométrique).
Terme de diffraction par une fente
L’amplitude complexe est donnée par
( ) (0).sinc(u)
u . sin /
3
L’intensité diffractée par la fente
0 dI( ) I .F (u)
Fd est la fonction de modulation de l’intensité diffractée 2
dF (u) sinc (u)
Terme d’interférence entre N fentes
L’amplitude complexe résultante jv j2v j(n 1)v
T ( ) ( ).(1 e e .. e )
Suite géométrique jn j j2 j(n 1) jN je 1 e e .. e (1 e ) /(1 e )
jN jN /2 jN /2 jN /2 jN /2(1 e ) e (e e ) 2j.e .sin(N / 2) j j / 2 j / 2 j / 2 j / 2(1 e ) e (e e ) 2j.e .sin( / 2)
jN j j(N 1) / 2(1 e ) /(1 e ) e .sin(N / 2) / sin( / 2)
L’amplitude complexe résultante j(N 1).v
T ( ) ( ).e .sin(Nv) /sin(v)
( ) (0).sinc(u) v .a.sin /
4
Intensité diffractée par le réseau
0 d iI( ) I .F (u).F (v) 2 2
0I( ) I .sinc (u).(sin(N.v) / sin(v))
Fi est la fonction de modulation de l’intensité
d’interférence 2
iF (v) (sin(N.v) / sin(v))
En incidence normale (θ0=0), la distribution d’intensité
en fonction de l’angle de diffraction est composée de deux
termes, l’un de diffraction et l’autre d’interférence.
Modulation de la diffraction (basse fréquence) par
l’interférence (haute fréquence)
5
4.3. Relation fondamentale des réseaux (Condition
ou relation de Bragg)
Quand le réseau est éclairé par des rayons parallèles
monochromatiques de longueur d’onde λ en incidence
normale, on observe les rayons diffractés dans une
direction repérée par l’angle de déviation θ. Ces rayons
interfèrent entre eux à l’infini constructivement
(l’intensité sera maximale) lorsque les ondes sont en
phase, c’est à dire la différence de marche δ est un
multiple de λ. La condition d'obtention des maximas
principaux d'intensité lumineuse pour un réseau de
fentes est :
ma.sin m.
6
L’entier m correspond à l’ordre de diffraction. On
remarque que pour l’ordre m = 0, on a θ = 0 quelque soit
la longueur d’onde : une partie de la lumière traverse le
réseau sans être déviée. En lumière blanche, l’ordre m = 0
correspond à un faisceau de lumière blanche (ordre
achromatique). Par contre, pour les ordres m différents de
0, la déviation θ est fonction de la longueur d’onde : le
système est alors dispersif et en lumière blanche, on
observe une décomposition spectrale de la lumière
suivante différentes directions.
4.4. Dispersion angulaire
Pour un réseau de diffraction, éclairé en lumière
polychromatique, la dispersion angulaire est définie
comme le ratio aD d /d
ma.sin m. m ma.cos .d m.d
a mD d /d m/a.cos
La dispersion est plus importante lorsque l’ordre de
diffraction est grand et que le pas du réseau a est petit. La
dispersion est plus importante pour le rouge que pour le
bleu. Pour des faibles angles de diffraction la dispersion
angulaire est constante et vaut
aD m/a
7
8
Exercices
E1 Un réseau présente une densité de 4000 ligne/cm.
Sous quel angle trouve-t-on les maximas d’intensité en
lumière jaune de 600 nm de longueur d’onde.
E2. Un réseau est formé de lignes distantes de 2500 nm
est éclairé par un faisceau de lumière dont la longueur
d’ondes s’étendant de 400 à 700 nm. Dans le spectre
obtenu à l’aide de ce réseau, est-ce que les deux premiers
ordres se recouvrent.
Exercice : Principe d’un spectromètre à réseau Un spectromètre à réseau est constitué d’un réseau par
transmission comportant N = 600 traits/mm placé entre deux
lentilles. La lentille L1 sert à collimater le faisceau lumineux issu
de la fente source. La lentille L2 (focale f’2=30cm) sert à imager la
fente source sur l’écran d’observation. Le réseau est placé dans
un plan perpendiculaire à l’axe optique des deux lentilles. On se
place dans les conditions de Gauss. Dans le plan focal de L2, on
se repère avec l’abscisse x par rapport au foyer image F’2.
9
1. En incidence normale, calculer la position de la raie verte du
mercure λ0 =546 nm sur l’écran pour l’ordre 1.
2. Déterminer les longueurs d’ondes λ1 et λ2 des raies indigo du
mercure pour l’ordre 1 du réseau sachant que l’on mesure sur
l’écran les déviations correspondantes à x1 = 7,5 cm et x2 = 7,2
cm.
10
Solution
S1. Les maximas d’intensité sont donnés par la relation
fondamentale du réseau
msin m. / a
a 1/densité 1/ 4000 2500.nm
msin m. / a m.0.24
Position angulaire des maximas
1 1sin 0.24 14
2 2sin 0.48 29
3 3sin 0.72 46
S2. La relation fondamentale du réseau
msin m. / a
Pour le premier ordre
1sin / a
Lumière violette
1V V 1Vsin / a 9
Lumière rouge
1R R 1Rsin / a 16
On constate que le spectre d’ordre 1 s’étend entre 9 degré
et 16 degré. Le spectre d’ordre 2 s’étend entre 19 degré et
34 degré.
11
Exercice 3
La relation fondamentale du réseau
msin m. / a
Pou le premier ordre
1sin / a
sin tg x / f
La position est
x .f / a 9.8 cm
Longueurs d’ondes
i ix .a / f
λ1 et λ2 : raies indigo du mercure pour l’ordre 1
420nm et 400nm