optimisation multidisciplinaire : étude théorique et application à la...

THÈSEEn vue de l'obtention du

DDOOCCTTOORRAATT DDEE LL’’UUNNIIVVEERRSSIITTÉÉ DDEE TTOOUULLOOUUSSEE

Délivré par l’Institut Supérieur de l’Aéronautique et de l’EspaceSpécialité : Mathématiques appliquées

Présentée et soutenue par Joël CLÉMENTle 9 juin 2009

Optimisation multidisciplinaire :étude théorique et application à la conception des avions

en phase d'avant projet

JURY

M. Philippe Dépincé, président du juryMme Nathalie BartoliM. Christophe BlondeauM. Jean-Antoine Désidéri, rapporteurM. Thierry DruotM. Jean Hermetz, co-directeur de thèseM. Mohamed Masmoudi, directeur de thèseM. Patrick Siarry, rapporteur

École doctorale : Aéronautique-Astronautique

Unité de recherche : Équipe d'accueil ISAE–ONERA MOIS

Directeur de thèse : M. Mohamed MasmoudiCo-directeur de thèse : M. Jean Hermetz

Remerciements

Ce n'est pas une chose simple de résumer ici, en quelques lignes, combien ont pu compterpour moi les personnes qui ont participé de près ou de loin à ce doctorat, que ce soit en travaillantavec moi, ou bien en partageant des instants de vie.

Je remercie...

... tout d'abord Mohamed Masmoudi, mon directeur de thèse, pour sa con�ance et pourm'avoir permis de mener cette thèse au bout.

... mes encadrants à l'Onera, Nathalie Bartoli et Jean Hermetz, pour leur conseils concer-nant l'optimisation et la conception des avions, pour avoir fait une relecture méticuleusedu manuscrit de thèse, et surtout pour leur soutien.

... Patrick Siarry et Jean-Antoine Désidéri pour avoir accepté d'être mes rapporteurs dethèse, et pour avoir jugé mon travail de doctorat avec la plus grande attention.

... Philippe Dépincé et Thierry Druot pour avoir accepté de participer à mon jury de thèse.

... Grégoire Casalis, directeur de l'école doctorale ED-AA, ainsi que Maryse Herbillon et An-nie Carles-Baillé pour tous les services rendus.

... l'ensemble des personnes avec qui j'ai été amené à travailler au cours de ces trois an-nées et demi, et avec qui j'ai participé aux projets DOOM et OMD-RNTL, en particulierChristophe Blondeau et Jean-Sébastien Schotté pour leurs échanges sur la MDO, SébastienDefoort, et Yogesh Parte pour son sérieux et son enthousiasme.

... l'équipe du DPRS/SAE, Bruno Lamiscare, Thomas(s), Martin, Louis, Peter, Jean-Louis,Yaz, Murielle, Sébastien, Armand, ainsi que tous les nouveaux embauchés, jeunes et pleind'avenir comme Michel ; l'équipe DTIM/M2SN, Pierre Mazet, François Rogier, ManuelSamuelides, Dominique Kalfon, Guillaume, Patricia, Vincent ; et toutes les personnes del'institut de mathématiques de Toulouse, dont Jérôme, Sophie, Marc, Jean-Luc, Nadia,Samy, Didier, Delphine. Un remerciement particulier à Noëlle Desblancs, secrétaire duDPRS, ainsi qu'à Monique Perron pour leur enthousiasme et leur énergie.

... toutes les personnes, avec qui j'ai pu partager l'intimité de mon bureau et mon quoti-dien, à commencer par François avec qui les échanges furent riches sur les mathématiques,le jonglage (5 balles), l'acrobatie, l'escalade et le dessin, Mathieu, Laurent (3 balles), etFranck (4 balles) pour ses précieux conseils concernant les avions, ses discussions sur lavie, l'univers et tout le reste.

ii

... tous les doctorants de l'Onera, en particulier, Éric, Laurence, Antoine, Edouardo, Jean-Baptiste, Cédric, Florent, Mickel, Laurent, Romain pour le squash, Stéphanie pour laDanse, Julien, Domi, Sophie pour son énergie et sa joie de vivre inépuisable (�mais alorsvraiment inépuisable� [Tar07]), Pierre pour l'escalade et le cinéma.

... Nico (blond) pour toutes les fois où on a du sauver le monde, pour le séjour à Berlin, etpour la soirée cirque présentée ensemble à Sup-aéro, Angel pour les semaines en espagnolet les semaines en français, les potes de Sup-Aéro, Romain, Fabien, Pierre-Yves et les autres.

... tous les toits qui m'ont abrité au cours de cette thèse, et les personnes qui étaient dessousavec moi : l'INSA avec Sze Ming ; la Tannerie avec Manu, Vincent, puis Gatien puis Seb ;re l'INSA ; rue Cujas chez Julie ; et en�n la maison rue Santos Dumont avec, encore unefois Manu et Vincent, Nico (roux), Nacho, Aline, Miguel, Yannick, Antoine. Merci pourtous les moments partagés, les repas, les fêtes et les dimanches après-midi sous la pluie.

... le LIDO, école de cirque de Toulouse, pour tous ces moments magiques que sont les essaisde cirque le mercredi soir, en en particulier Carlos, Sylvain, Isa, Yann, Héloïse, Cola, Lucia,Rauni, Raoul, et tous les autres.

... Enrique Fraga pour les cours d'espagnol, Louise et Félicie pour les cours de dessins, Guyde Toulza pour les cours d'histoire de l'art et Emmanuel Zenou pour les cours en traitementd'image.

... les compagnons de galère Rémi et Jéré, toujours là pour aider à ramer.

... Guillaume qui m'a montré sa con�ance et son amitié en me faisant témoin de son mariage.

... Irène pour son café le dimanche matin à Saint Aubin.

... tous les gens qui m'ont été important et qui m'ont marqué pendant ces trois années etdemi, Gégé, Thomas, Anaïs, Jérôme, Gilles, Geo�rey, Kako, Sarah, Maude(s), Gaëlle etGodot, Typhaine et Elia, Violette, Thomas et Amandine, Romain, Coralie, Sophie, Car-men, Maélis, Molej, Bruno(s), Charlotte, Guillaume, Le petit Manu, Totom, Seb de Boudu,Rémi et Elise, Christelle, Guislain et Sonia, Julien, Camille(s), Etienne(s), Aude, Alex(s),Victor, Louis, Henri, les funkyroots du luberon, Mathieu, Chiara, Yuki, Marguerite, Yrja,Marion, Claire, Nadia et sa famille, Estelle, Mathilde, Paul, Gé, Jonas, Garet, Amy, Odile,Aude et Arnaud, Arthur, Hélène, Irène, Ludovic, Chin, Laure(s), Borja, Sylvie, Ines Efron,Olivier, Sonia, Juliana, Max, Yannick, la famille Roussier-Michon et tous les autres. . .

... et toute ma famille.

Résumé :

L'optimisation multi-disciplinaire propose des solutions aux problèmes de conception de sys-tèmes complexes. Le terme �optimisation multi-disciplinaire� laisse sous-entendre à tort qu'il nes'agit que d'un problème d'optimisation. Nous lui préférons ici le terme de �conception colla-borative�. En e�et, l'optimisation ne représente qu'un aspect, qui ne peut être séparée du restedu problème de conception. Le but n'est pas de créer un processus automatique, mais de faciliterles échanges entre les équipes des di�érentes disciplines.

De nombreuses méthodes, appelées communément formulations MDO (de Multi-DisciplinaryOptimization), apparaissent dans la littérature (MDF, IDF, AAO, BLISS, CO). Elles proposentdes stratégies permettant, d'une part, d'assurer la cohérence de la description du système com-plexe et, d'autre part, d'e�ectuer la recherche de la con�guration optimale. Dans un premiertemps, nous dressons un état de l'art des formulations MDO. Nous mettons en avant leurs pointscommuns et leurs di�érences, a�n de proposer une implémentation de la manière la plus généralequi soit. Ces méthodes sont construites avec le même noyau, ce qui permet de passer de l'une àl'autre avec une grande �exibilité.

Nous proposons, avec la méthode DIVE (Discipline Interaction Variable Elimination), uncadre d'utilisation de méta-modèles au sein des formulations MDO. Le méta-modèle peut selimiter à une approximation linéaire ou quadratique. Il peut s'appuyer sur des méthodes classiquesd'apprentissage, telles que les réseaux neuronaux, le Krigeage ou la SVM. Il peut égalementfaire appel à des techniques de projection sur des sous-espaces telles que la méthode POD.Chaque méta-modèle est accompagné d'une région de con�ance qui en détermine la validité.Cette approche par approximations locales et successives permet d'aborder les problèmes degrande dimension.

Nous présentons des résultats obtenus avec deux cas-tests d'avions d'a�aires supersoniquesobtenus sous deux environnements di�érents (Scilab et ModelCenter).

Mots-clés : optimisation multi-disciplinaire, conception avion avant-projet, méta-modèles.

Abstract :

Multidisciplinary optimization proposes solutions for complex system design problems. Thename �multidisciplinary optimization� is often taken literally. We prefer to call it �collaborativedesign optimization�. Indeed, the optimization tool is only one part which can not be separatedfrom the total design process. The goal of collaborative optimization is not to create an automaticdesign process based on optimization algorithms but to allow easy interaction amongst teamsfrom di�erent disciplines.

Many methods, commonly called MDO formulations (of Multi-Disciplinary Optimization),appear in literature (MDF, IDF, AAO, BLISS, CO). They propose strategies making it possible,on the one hand, to ensure the coherence of the complex system description, on the other hand,to carry out the research of the optimal con�guration. Initially, we draw up a state of the artof MDO formulations. We show up their common points and di�erences. Then we propose animplementation in the most general way. These methods are built with the same core, whichmakes it possible to pass from the one to the other with a great �exibility.

We propose, with the DIVE method (Discipline Interaction Variable Elimination), a frame-work for using surrogates models within MDO formulations. Meta-model can be limited to alinear or quadratic approximation. It can be based on traditional learning methods, such asneural networks, Kriging or SVM. One can also use projection techniques such as POD. Themeta-model provides an area of con�dence which determines its validity. This approach by lo-cal and successive approximations makes it possible to tackle problems with a large number ofvariables.

We have results obtained with two test-cases of supersonic business jet whitin two di�erentframeworks (Scilab and ModelCenter).

Key words : multidisciplinary optimization, conceptual aircraft design, meta-models.

Table des matières v

Table des matières

Introduction 1

1 La conception d'un avion en phase avant-projet 7Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1 Présentation générale de la conception avion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Avant propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Quel périmètre pour la conception avion ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3 Démarche de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.4 Paramètres de conception en phase d'avant-projet . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1.5 Principales sorties en conception en phase avant-projet . . . . . . . . . . . 15

1.2 Le cas-test Sobieski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1 Description du cas-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2 Problème d'optimisation associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Le cas-test Dassault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.1 Description du cas-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2 Problème d'optimisation associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire 29Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1 Outils et dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1 Disciplines, paramètres, sorties et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2 Analyse multi-disciplinaire (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3 Calcul des gradients (GSE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.4 Dé�nition de l'optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.5 Méta-modèles disciplinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Les formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 MDF : Multi-Disciplinary Feasible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2 IDF : Individual Disciplinary Feasible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.3 AAO : All-At-Once . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.4 CO : Collaborative Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.5 BLISS : Bi-Level Integration System Synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.6 BLISS 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.7 DIVE : Disciplinary Interaction Variable Elimination . . . . . . . . . . . . 51

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

vi Table des matières

3 Implémentation des formulations MDO 57Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.1 Implémentation sous ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.1 Les composants �discipline� du cas-test SSBJ . . . . . . . . . . . . . . . . 593.1.2 MDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.1.3 IDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1.4 CO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.1.5 DIVE (optimisation disciplinaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.6 Retour d'expérience de ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Implémentation sous Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.1 Principes repris de ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.2 Implémentation des formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2.3 Cas particulier de BLISS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.4 Outils supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.5 Interface graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4 Résultats obtenus avec les formulations MDO 75Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.1 Résultats pour le cas test Sobieski avec ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.1.1 MDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.1.2 IDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.1.3 CO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.1.4 DIVE (sans méta-modèle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.1.5 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2 Résultats pour le cas-test Sobieski avec Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.1 Analyse multi-disciplinaire (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2 Les formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2.3 Multi-start pour DIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.4 Front de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.5 Coe�cients de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3.1 Analyse multi-disciplinaire (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.2 Les formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.3.3 Multi-start pour DIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3.4 Front de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.3.5 Coe�cients de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Conclusion générale et perpectives 107

A Fonctions objectifs et contraintes pour la méthode BLISS 111A.1 Optimisations disciplinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111A.2 Optimisation globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

A.2.1 Calcul de la dérivée de f par rapport aux variables globales z . . . . . . . 112A.2.2 Calcul de la dérivée de g par rapport aux variables globales z . . . . . . . 114A.2.3 Problème d'optimisation en z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Table des matières vii

B Algorithmes d'optimisation 117B.1 Algorithme de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117B.2 Méthode des objectifs bornés (construction d'un front de Pareto) . . . . . . . . . 118B.3 Optimiseur LIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Références bibliographiques 123

1

Introduction

Dé�nition de l'optimisation multi-disciplinaire

La conception de système complexe (avions, hélicoptères, drones, etc. . .) est un sujet d'op-timisation multi-disciplinaire par excellence. La recherche de la meilleure performance, de lameilleure qualité, au meilleur coût, est un enjeu majeur dans le domaine aérospatial. La maîtrisede la conception et de la mise en ÷uvre des engins volants est primordiale. Chaque erreur peutavoir des conséquences graves d'un point de vue économique ou opérationnel.

La complexité de cet exercice provient de plusieurs facteurs que nous allons énumérer ci-dessous.

• Il y a un grand nombre de domaines d'expertise ou disciplines impliqués.� La modélisation des phénomènes qui régissent le système complexe demande un e�ortconséquent, et sollicite un grand nombre de domaines physiques (par exemple la mé-canique des structures, la mécanique des �uides, la thermodynamique pour la propul-sion).

� Il existe des interactions entre ces di�érents domaines, et il va falloir trouver un équilibreentre les réponses des disciplines, a�n d'obtenir une description cohérente du système.

� Les compétences et les modélisations disponibles dans chaque discipline ou sous-systèmesont maîtrisées par des services spéci�ques, qui peinent à collaborer étroitement, nonpar volonté délibérée, mais par la confrontation de cultures di�érentes et une certaineméconnaissance des contraintes et de la complexité des domaines voisins.

• Les temps de calcul des codes décrivant la physique des disciplines sont importants. Ils peu-vent également requérir une intervention humaine pour la bonne con�guration des condi-tions de calcul. Cela ne les rend pas toujours compatibles avec un processus d'optimisation.

• Les codes décrivant la physique des di�érents domaines peuvent être entachés d'erreurs,et posséder des imprécisions ou des irrégularités, ce qui va compliquer la recherche d'unecon�guration optimale.

Le terme �optimisation multi-disciplinaire� laisse sous-entendre à tort qu'il ne s'agit qued'un problème d'optimisation. Nous lui préférons ici le terme de �conception collaborative�. Ene�et, l'optimisation ne représente qu'un aspect, qui ne peut être séparée du reste du problèmede conception (qui concerne avant tout les interactions entre les disciplines qui composent lesystème). Le but n'est pas de créer un processus automatique, mais de faciliter les échangesentre les équipes des di�érentes disciplines.

On cherche à dé�nir un cadre qui permette de faciliter les échanges entre les di�érentes disci-plines, a�n d'aider à la recherche de con�gurations optimales et à l'obtention de compromis entre

2 Introduction

les besoins des di�érentes disciplines. Les décisions importantes concernant les con�gurations àretenir sont bien évidemment laissées au jugement des acteurs de la conception.

L'optimisation multi-disciplinaire va essayer d'appuyer le processus de conception avec desméthodes de natures di�érentes.

• Recherche de l'équilibre entre les disciplines : il convient tout d'abord de clari�erquelles seront les variables qui participent à l'interaction entre les di�érentes disciplines.Par exemple, si deux disciplines échangent un nombre très important de variables (lesnoeuds d'un maillage par exemple), il convient de les considérer comme une seule disci-pline. L'équilibre entre ces deux disciplines sera obtenu avec une méthode appropriée. Ondiminuera ainsi la complexité de l'échange entre les disciplines au niveau global. L'équili-bre entre les di�érents domaines peut être obtenu par plusieurs méthodes. On peut levoir comme un problème d'optimisation, ou bien comme l'ajout d'une contrainte supplé-mentaire au niveau de l'optimiseur global. Pour un système complexe donné, il faut êtrecapable de choisir la méthode la plus appropriée pour résoudre le problème de cohérenceinterdisciplinaire.

• Maîtrises des outils d'optimisation : pour la recherche de la con�guration optimale,les di�érentes techniques d'optimisation doivent être considérées (optimisation à base degradient, algorithmes génétiques, méthodes locales ou globales). Il convient de trouver laméthode la plus adaptée au problème de conception posé, a�n de le résoudre de la manièrela plus e�cace qui soit.

• Dé�nition du rôle des disciplines : les sollicitations des disciplines peuvent être denatures di�érentes :� les disciplines contribuent seulement à la description des phénomènes physiques, et lesprincipaux choix de conception se font au niveau système, il s'agit d'analyse dis-tribuée ;

� les variables qui ne concernent que la discipline en question sont utilisées pour opti-miser localement les sorties de la discipline concernée. On parle alors de conceptiondistribuée : ici les disciplines participent aux choix de conception en agissant sur lesvariables qui leur sont propres, et le niveau système assure que l'optimisation se déroulebien dans le sens de l'objectif global.

• Utilisation de méta-modèles : a�n de faciliter l'échange entre les disciplines, il estintéressant de pouvoir remplacer les codes de calculs souvent très gourmands en tempsd'exécution par des méta-modèles1. Ces substitutions permettent d'avoir une réponse quasiinstantanée et permettent ainsi un échange �uide entre les disciplines. A�n de garder unsens physique au niveau des réponses des disciplines, il est primordial que les méta-modèlessoient adaptés à la discipline considérée, ainsi qu'à la con�guration étudiée. Il faut pourcela des méta-modèles qui s'adaptent et qui se réactualisent en fonction des réponses descodes de calculs plus �ns. On arrive ainsi à des résultats précis sur les sorties des disci-plines lorsque l'on atteint la solution optimale. Les méta-modèles permettent aussi parfoisde régulariser les sorties des disciplines, et de faciliter ainsi la tâche à l'optimiseur.

1Méta-modèles : ces modèles simpli�és permettent d'obtenir des réponses en un temps raisonnable. En con-

trepartie, la �délité des réponses est dégradée. Ces méta-modèles peuvent tenir compte de la physique en jeu ou

non

3

Nous dé�nissons par stratégies pour l'optimisation multi-disciplinaire (plus communémentappelées formulations MDO2) les méthodes qui utilisent ces di�érents outils, a�n d'aider à larecherche d'une con�guration optimale.

Base documentaire sur l'optimisation multi-disciplinaire

L'optimisation multi-disciplinaire était peu représentée dans la littérature, mais les dernièresannées ont vu paraître de nombreux papiers sur le sujet. Nous les classons ici en trois catégories.Nous présentons tout d'abord les publications qui donnent une vue d'ensemble de l'optimisationmulti-disciplinaire, ainsi que des challenges actuels dans le domaine. Puis nous montrons quelquesarticles qui décrivent une stratégie d'optimisation multi-disciplinaire en particulier. En�n, nousdonnons certaines références pour les sujets connexes à la MDO, tels que les algorithmes d'opti-misation ou les méta-modèles.

• Pour une vision globale de l'optimisation multi-disciplinaire, nous proposons plusieurs pub-lications. Les articles [SH96, BG98, Bar98] dé�nissent la MDO de manière générale, ainsique son application pour les challenges industriels. On peut trouver une présentation desdi�érentes méthodes pour la MDO dans [CDF+93, AL00, Ale]. L'article [MAP05] proposeune revue des di�érentes stratégies d'optimisation et traite de sujets connexes à la MDO,comme l'importance de la dé�nition des paramètres ou l'application de la théorie des jeuxà l'optimisation multi-disciplinaire. Nous pouvons trouver aussi des cours qui présententles formulations MDO et montrent des résultats sur des exemples analytiques et appliqués[Sim98, WW04].

• Certaines publications sont plus axées sur une formulation MDO en particulier.� Collaborative Optimization (CO) : nous pouvons trouver une description de cette mé-thode dans [BGKS96, NMA99, AR00]. En particulier, l'article [Lin04] propose une anal-yse théorique de cette approche.

� Concurrent Sub-Space Optimization (CSSO) : une description, ainsi qu'une implémen-tation de cette méthode sous iSight, sont données dans [TNRB98].

� Bi-Level Integrated System Synthesis (BLISS) : il existe de nombreuses publicationssur cette méthode. La version de base est présentée dans [KRS+04]. Une autre versionutilisant les méta-modèles est décrite dans [Alt02]. La méthode BLISS 2000, qui proposeune généralisation de l'utilisation des méta-modèles, est décrite dans [Agt00].

� Discipline Interaction Variable Elimination (DIVE) : [MP06] propose un cadre nouveaud'utilisation des méta-modèles pour l'optimisation multi-disciplinaire.

� D'autres articles présentent les développements récents et proposent une approche dif-férente. Il existe d'autres modes d'organisation de la conception qui ne sont pas baséssur un découpage disciplinaire, mais sur une organisation hiérarchique et sur une restric-tion de la communication entre les di�érents niveaux [MP00]. Une méthode telle queATC (Analytical Target Cascading) [Kim01, MP00, MKP99] est plus appropriée dansce cas d'organisation hiérarchique. La comparaison des méthodes ATC, CO et d'autresapproches, est exposée dans [All04]. Une nouvelle méthode basée sur ATC et CO estexposée dans [AKZP05].

• En�n, l'optimisation multi-disciplinaire requiert plusieurs outils qui sont décrits dans lalittérature.

2MDO : multi-disciplinary optimization ou optimisation multi-disciplinaire

4 Introduction

� Algorithmes d'optimisation : les principales méthodes utilisées en optimisation sontprésentées dans [Van01b, Gui03]. L'algorithme SQP qui sera utilisé dans la thèse estdécrit dans [Law01, Ber04]. Des éléments d'optimisation multiobjectif sont donnés dans[SC02].

� Global Sensitivity Equation (GSE) ou calcul par l'adjoint : une description de cetteméthode de calcul de gradients est donnée dans [HBSS90, Cea86, MP01, Jam90].

� La description et l'utilisation de méta-modèles fait l'objet de nombreuses publications.Pour les méthodes de surface de réponse, nous pouvons nous référer à [CST00, Vap95,Pla99]. Les méthodes tenant compte de la physique de la discipline, telles que les POD,sont décrites dans [GM97].

Cadre de la thèse

La thèse se déroule dans le cadre de l'École Doctorale Aéronautique et Astronautique (EDAA)de l'Institut Supérieur de l'Aéronautique et de l'Espace (ISAE). Elle est dirigée par le ProfesseurMohamed Masmoudi du laboratoire Mathématique pour l'Industrie et la Physique (MIP) de l'u-niversité Toulouse III. Le travail de recherche est e�ectué au sein de l'O�ce Nationale d'étudeset recherches aérospatiales (ONERA). Il est encadré par Jean Hermetz, chef d'unité SystèmeAéronautiquEs du Département PRospectives et Synthèse (DPRS/SAE), et par Nathalie Bar-toli, ingénieur de recherche à l'unité Modélisation Mathématique et Numérique du DépartementTraitement de l'Information et Modélisation (DTIM/M2SN).

La thèse se situe au coeur de deux projets sur l'optimisation multi-disciplinaire.

• Le projet DOOM (Démarche Outillée pour l'Optimisation Multi-disciplinaire).De 2005 à 2008, l'ONERA a décidé de mettre un place le projet fédérateur pluriannuelDOOM (Démarche Outillée pour l'optimisation Multidisciplinaire), a�n de mener uneré�exion approfondie sur le thème de la MDO, en analysant di�érentes formulations deproblèmes et di�érentes techniques d'optimisation. Le but est de développer des outilsadéquats et de les tester sur deux cas d'application choisis dans les domaines avion etmissile. Ce projet a donné lieu à plusieurs publications internes :� [BS06] concernant les formulations MDO ;� [BKS06] concernant les algorithmes d'optimisation ;� [BSBM07] concernant les méta-modèles ;� [Mor06] concernant la conception avion.

• Le projet OMD-RNTL3.Ce projet réunit plusieurs universités et centres de recherche français ( l'INRIA, l'universitéPaul Sabatier de Toulouse au travers du laboratoire MIP, les Unités mixtes CNRS-Minesde Saint-Etienne et CNRS-Ecole Centrale de Nantes, l'UTC, ENS à Cachan etc. . .), ainsique plusieurs industriels (Dassault, Astrium, Renault), a�n de mener une ré�exion glob-ale sur l'optimisation multi-disciplinaire. Le but ici est de confronter le savoir des acteursde la recherche aux problèmes rencontrés par les industriels. Ce projet a donné lieu àla rédaction d'un ouvrage qui vient de paraître chez Hermes [OMD09] sur l'optimisationmulti-disciplinaire.

3http ://omd.lri.fr

5

D'autres thèses concernant l'optimisation multidisciplinaire on été e�ectuées durant cettethèse. Nous pouvons citer la thèse de Céline Badu�e [Bad07], la thèse de Yogesh Parte concer-ant l'optimisation multi-disciplinaire et encadrée par M. Masmoudi et la thèse �Optimisationmultidisciplinaire appliquée aux fusées lanceuses de satellites� de Jérôme Picard.

Objectifs et apports de la thèse

Le but de cette thèse est d'étudier, d'implémenter, et de comparer les di�érentes formulationsMDO présentes dans la littérature. Nous le ferons pour les méthodes MDF, IDF, CO, BLISS etDIVE. Le cadre applicatif se situe dans la conception avion au stade avant-projet. Nous avons ànotre disposition deux cas-tests de ce type.

Nous proposons une vision des formulations MDO la plus générale possible. Toutes les mé-thodes reposent sur le même noyau et penvent être implémentées modulo un certain nombre dechoix, ce qui nous permettra de passer de l'une à l'autre avec une grande �exibilité.

Notre contribution consiste à proposer un cadre pour l'utilisation de méta-modèles disci-plinaires au sein du problème de conception. Nous donnons aux méta-modèles un sens général,commençant par les approximations linéaires ou quadratiques, en passant par les méthodes desurfaces de réponses (krigging, réseau de neurones) et les réductions physiques de modèles (POD),et même en considérant le modèle exact, lorsque le code présente une exécution rapide.

Le but de cette thèse n'est pas de faire une étude exhaustive sur les méta-modèles. L'idéeimportante que nous souhaitons montrer est la viabilité de l'utilisation de méta-modèles disci-plinaires dans le cadre de l'optimisation multi-disciplinaire. Nous chercherons à prouver l'e�cacitéde ce principe avec un exemple des plus simples qui soit, c'est-à-dire en utilisant des méta-modèleslinéaires. Ces méta-modèles présentent l'inconvénient de n'être valides que dans une petite régionde con�ance, mais cette région peut s'adapter au processus d'optimisation et on s'a�ranchit dela dimension du problème.

Si l'on montre que cette méthode fonctionne avec des méta-modèles très simples, on peutespérer qu'elle marchera d'autant mieux avec des méta-modèles plus perfectionnés. Le choix duméta-modèle sera par la suite laissé aux soins de la discipline, qui saura proposer le méta-modèlele plus adapté.

Plan de la thèse

Nous allons tout d'abord donner dans le chapitre 1 une vue générale de la conception avionau stade avant-projet. Nous y présentons les di�érents domaines qui interviennent, la démarchede conception qui peut être découpée en plusieurs phases, et les paramètres qui peuvent servir devariables de conception en phase avant-projet. A�n d'illustrer cette problématique de conception,deux cas-tests de type avion d'a�aires supersonique sont introduits. Ils permettent de décrire lecomportement physique de l'avion pour un nombre limité de paramètres, et de tester di�érentesstratégies d'optimisation, qui appuieront la recherche de compromis.

Nous donnons dans le chapitre 2 un cadre général pour l'optimisation multi-disciplinaire etnous présentons plusieurs formulations MDO. La première partie du chapitre présente les élé-ments qui constituent ces méthodes : les di�érents types de variables, le problème d'équilibreinterdisciplinaire, les méthodes de calcul de gradients, le problème d'optimisation associé auproblème de conception et les méta-modèles disciplinaires. Dans une deuxième partie, nous al-lons expliciter certaines formulations MDO, à savoir MDF, IDF, AAO, CO, BLISS, BLISS 2000et DIVE.

6 Introduction

Nous décrivons dans le chapitre 3 l'implémentation des formulations MDO avec deux envi-ronnements di�érents : ModelCenter, qui est un logiciel facile d'utilisation et très pratique pourla MDO, mais payant, et Scilab, un logiciel libre.

Dans le chapitre 4, nous analysons les résultats obtenus avec les environnements et les cas-testsprésentés auparavant, et nous cherchons à en tirer des conclusions sur l'e�cacité des di�érentesformulations MDO et plus particulièrement sur la viabilité de l'utilisation de méta-modèles dis-ciplinaires.

En�n, nous essayons en conclusion générale de proposer notre vision de l'optimisation multi-disciplinaire, et de donner quelques perspectives sur ce que pourrait être la suite de travail derecherche.

En annexe, nous précisons la construction des fonctions objectifs et contraintes pour la mé-thode BLISS, et nous détaillons quelques algorithmes d'optimisation.

Chapitre 1

La conception d'un avion en phase

avant-projet

Sommaire

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1 Présentation générale de la conception avion . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Avant propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Quel périmètre pour la conception avion ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3 Démarche de conception . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.4 Paramètres de conception en phase d'avant-projet . . . . . . . . . . . . 15

1.1.5 Principales sorties en conception en phase avant-projet . . . . . . . . . . 15

1.2 Le cas-test Sobieski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.1 Description du cas-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2 Problème d'optimisation associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Le cas-test Dassault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.1 Description du cas-test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.2 Problème d'optimisation associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8 La conception d'un avion en phase avant-projet

Introduction

La conception d'un avion est une démarche qui consiste à trouver un compromis entre lesdemandes des utilisateurs et ce que permettent de réaliser les moyens actuels. Ces demandespeuvent provenir des compagnies aériennes pour le transport de personnes et de marchandises,des besoins militaires avec les avions de combat et les drones, etc. . .

Avant même de construire l'engin volant, on doit être capable de le modéliser par des moyensinformatiques, a�n d'évaluer la viabilité du projet :

� en terme physique : l'avion proposé est-il capable de répondre aux objectifs qui lui sontdemandés ?

� en terme économique : son utilisation commerciale est-elle viable et permet-elle d'assumerses coûts de conception, de construction, d'utilisation et d'entretien ?

� en terme écologique : est-il conforme aux normes environnementales sur la pollution,s'inscrit-il dans une démarche de développement durable ?

Cette modélisation va solliciter di�érents domaines de la physique, tels que la mécanique desstructures, l'aérodynamique, l'énergétique et la propulsion, l'acoustique, etc. . . Il va falloir êtrecapable de marier toutes ces disciplines a�n d'obtenir une description cohérente et �able desperformances estimées de l'avion.

Les codes de calcul qui traduisent la modélisation de ces di�érentes disciplines sont rapide-ment gourmands en temps d'exécution. A�n de faciliter les échanges entre les di�érents domaines,on doit pouvoir disposer de codes plus simples, traduisant une modélisation approchée, rendantcompte des tendances principales au premier ordre, mais dont les temps d'exécution permet-tront d'e�ectuer le calcul de ces disciplines couplées. Ces méta-modèles doivent s'adapter à lacon�guration étudiée a�n de pouvoir donner des résultats cohérents.

La conception avion se déroule généralement en trois phases :� la phase de conceptual design, ou d'étude de concept permet d'évaluer des concepts d'avionsdi�érents et de déterminer les grandes tendances des performances estimées pour un nombrerestreint de paramètres in�uant au premier ordre ;

� la phase de preliminary design, ou d'étude préliminaire sert à déterminer la viabilité d'unconcept et de l'améliorer dans un voisinage restreint ;

� la phase de detailed design ou de conception détaillée étudie en détail une con�gurationdonnée et permet de préparer la fabrication de l'engin volant.

Le nombre de paramètres considérés augmente à chaque phase1. Ces paramètres sont le fruitde l'expérience acquise par les concepteurs au cours des années.

Une vision globale de la conception avion est donnée dans la section 1.1. Nous y présentons lesdi�érents domaines qui interviennent (cf section 1.1.2), puis la démarche de conception selon cesdi�érentes phases (cf section 1.1.3), et en�n nous exposons les di�érents paramètres qui peuventservir de variables de conception en phase avant-projet (cf section 1.1.4).

A�n d'illustrer cette problématique de conception, deux cas-tests de type avion d'a�airesupersonique sont introduits. Ils permettent de décrire le comportement physique de l'avion pourun nombre de paramètres limités, et de tester di�érentes stratégies d'optimisation qui appuierontla recherche de compromis. Ils sont décrits dans les sections 1.2 et 1.3. Pour chacun d'entre eux,nous donnons une description des di�érentes disciplines qui le composent et nous exposons leproblème d'optimisation associé.

1Le plus souvent, ce sont les paramètres locaux qui augmentent. Ils peuvent aussi changer de nature. Par

exemple, un paramètre scalaire en phase de conceptual design peut devenir un vecteur en phase de preliminary

design.

1.1 Présentation générale de la conception avion 9

1.1 Présentation générale de la conception avion

1.1.1 Avant propos

Les systèmes aéronautiques, avions, hélicoptères, drones notamment, sont le fruit de com-promis techniques et économiques. Ces derniers sont établis sur la base d'un cahier des chargescontenant les principales spéci�cations correspondant au besoin de l'utilisateur à couvrir. Larecherche de ces compromis est typiquement l'activité du concepteur : il va chercher les meilleurescon�gurations possibles au travers d'une approche heuristique mêlant expertise et techniquesd'optimisation. Les résultats obtenus et leur analyse peuvent alors conduire à une éventuelleremise en cause des spéci�cations initiales, traduisant le besoin exprimé par le client (ou issue del'analyse de marché). Le schéma 1.1 illustre cette démarche globale. Le bouclage entre l'analysedes résultats de conception et le besoin utilisateur constitue la recherche du meilleur compromis.

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6

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-Besoin utilisateur Con�guration

Évaluation

Spéci�cations

Fig. 1.1 � Processus global de conception système.

Dans les grandes lignes, le besoin utilisateur (ou besoin opérationnel) évoqué ci-avant cor-respond à l'obtention d'une performance minimale, pour un emploi particulier dé�ni, en respec-tant des contraintes d'emploi, réglementaires et de sécurité. Par exemple, on souhaite concevoirun avion transportant n passagers et capable d'atteindre une distance franchissable donnée.L'obtention de cette performance est généralement assujettie à la minimisation d'un paramètreéconomique, proche de la notion de coût : selon la destination opérationnelle du véhicule, onparlera de coût de possession (par exemple pour un véhicule militaire) ou de coût opérationneldirect (DOC2) pour les appareils civils.

Cette notion de coût doit être comprise au sens large : aujourd'hui, les impératifs de développe-ment durable introduisent dans celui-ci des notions d'impact écologique, dont la traduction estessentiellement liée à la mise en place de taxes (taxe carbone, taxe d'atterrissage pour l'aideaux riverains pour l'isolation acoustique). On notera que ces deux exemples typiques d'impactenvironnemental peuvent être eux-mêmes des objectifs de conception.

On établit ainsi tous les éléments d'une optimisation sur lesquels un concepteur va s'appuyer :fonction(s) à optimiser, contraintes à satisfaire. Il reste à préciser, d'une part, quels sont lesparamètres de conception sur lesquels il va pouvoir jouer, et, d'autre part, quelle sera la démarchesuivie pour aboutir à l'émergence des meilleurs compromis.

2DOC : Direct Operating Cost.


1.1.2 Quel périmètre pour la conception avion ?

Il y a plusieurs façons d'aborder la conception avion. Selon la section précédente, elle doitaboutir à un appareil atteignant certaines performances, qui constituent soit un objectif deconception, soit une contrainte à satisfaire (par exemple la vitesse minimale d'approche ou ladistance de décollage).

Prenons un exemple simple : un avion civil est généralement conçu pour emmener d'un pointA à un point B des passagers, il doit donc disposer d'une distance franchissable R que l'on peutapprocher à l'aide de l'équation de Bréguet :

R =F.V

g.Csln(

Mi

Mf). (1.1)

Cette performance, fondamentale pour des appareils commerciaux civils, dépend :� de l'aérodynamique du véhicule au travers de la notion de �nesse F (rapport du coe�cientde portance sur le coe�cient de traînée) ;

� de sa vitesse de vol V ;� de la consommation spéci�que du moteur Cs ;� de sa masse, au sens large, intégrant la charge utile, mais aussi et surtout sa masse propre(ou masse à vide équipée/en ordre d'exploitation), qui se décline ici en masse en �n de vol(Mf ) et masse au début du vol (Mi),

� de g, l'accélération gravitationnelle (g = 9.81m.s−2).

L'aérodynamique du véhicule, comme sa structure, dépendent des dimensions de l'appareil.L'impact de celles-ci sur les caractéristiques correspondantes, ici aérodynamiques et massiques,est établi au travers de � modèles � qui traduisent une certaine représentation de la physiqueen jeu. Ces modèles établissent le lien entre les paramètres qui décrivent l'avion, que l'on peutégalement quali�er de variables de conception, et les performances calculées.

D'autres caractéristiques, mises sous la forme de contraintes à respecter, proviennent dedi�érentes disciplines, comme par exemple l'empreinte acoustique.

Généralement, on désigne par discipline un domaine d'expertise particulier. Cela peut cor-respondre à un domaine physique, comme la mécanique des �uides par exemple, ou bien à unsous-système regroupant plusieurs domaines physique.

La discipline aérodynamiqueCette discipline fournit des caractéristiques de deux types di�érents :� aérodynamique basse vitesse pour les performances au décollage (et montée) et à l'at-terrissage (et en approche) ;

� aérodynamique en croisière : subsonique ou transsonique pour les avions commerciauxactuels, supersonique pour les appareils de combat, bas subsonique (ou subsonique in-compressible) pour les avions légers, etc. . .

Selon les besoins et les missions, ces modèles peuvent être capables de restituer des carac-téristiques instationnaires de façon à représenter des phases transitoires requises pour desaspects relevant de la dynamique du véhicule.

La discipline structureLa masse d'un système mécanique, quel qu'il soit, est le résultat du dimensionnement de sesconstituants assurant la reprise d'e�ort que cette structure subie. En première approche,les e�orts sont liés à :

� la gravité, naturelle ou augmentée par les man÷uvres que l'appareil est susceptible defaire (on parle de charges) ;


� la pression dynamique exercée par l'air et dépendant des conditions de vol (vitesse etaltitude) ;

� les conditions atmosphériques pouvant être rencontrées sur l'ensemble du domaine de volde l'appareil, qui vont notamment dé�nir les e�orts liés aux rafales. Ce domaine est tantôtle résultat de compromis entre performances, coûts, et respect des contraintes réglemen-taires pour les avions commerciaux, tantôt imposé par des considérations opérationnellespour les avions militaires ;

� des considérations en rapport avec la charge marchande : les passagers requièrent desconditions de confort (conditionnement d'air et pressurisation) qui sont dimensionnantespour la structure de l'appareil ;

� les man÷uvres, décidées par le pilote, qui agissent indirectement sur la nature de lacharge mais qui induisent également des e�orts locaux de déformation des structures (parexemple déformation en torsion d'une voilure sous l'action de braquage d'un aileron).

On pourrait ajouter d'autres considérations liées à l'échau�ement cinétique (pour le volsupersonique ou hypersonique) et toutes les contraintes logistiques. On notera égalementque se � cachent � derrière la discipline structure plusieurs autres domaines ou disciplines,comme les matériaux, les techniques de fabrication et de maintenance, etc. . .

La discipline performance �opérationnelle�En plus du rayon d'action donné par la formule de Bréguet (voir équation (1.1)), de nom-breuses performances sont attendues généralement d'un appareil. Leur calcul se fait enconsidérant en quelque sorte l'avion comme un point matériel (son centre de gravité) et ens'intéressant exclusivement à la trajectoire de celui-ci. On considère donc généralement desperformances établies sur la base :

� des équations de la mécanique du vol issues du principe fondamental de la dynamique :mise en relation des forces de propulsion et aérodynamiques et des forces liées à la gravitéet à l'inertie, l'appareil étant supposé en régime permanent équilibré ;

� de l'équation di�érentielle de consommation instantanée : C = −dMc

dt. Son intégrale sur

la durée de la mission nous donne la masse de carburant Mc consommée.

Naturellement, l'examen des besoins conduit à la dé�nition de niveaux de performancesspéci�ques aux missions à remplir. Si l'on reste sur les avions civils, on considère générale-ment :

� les performances pour une trajectoire donnée, c'est-à-dire les taux de montée, consom-mation en croisière (distance franchissable), consommation en phase d'attente (durée devol) ;

� les performances de décollage (longueur de piste au décollage, distance d'accélération-arrêt), et d'atterrissage (vitesse d'approche, distance d'atterrissage).

Ces performances sont analysées pour di�érentes conditions atmosphériques (temps chaudou froid, aérodrome en altitude, etc. . .), et pour di�érentes conditions d'utilisation (vol àpleine charge, moteur en panne si il y en a plusieurs, etc. . .).

La discipline qualité de volCelle-ci s'intéresse au comportement de l'avion autour de son centre de gravité, donc à sescapacités à man÷uvrer. Au travers des équations de la mécanique du vol, cette disciplineintègre tous les facteurs conditionnant les mouvements de l'appareil : matrice d'inertie, am-plitude et variation des forces aérodynamiques et de propulsion et paramètres de commande(par exemple, les e�orts aérodynamiques liés à une action du pilote au travers d'une gou-verne). Ces qualités de vol sont examinées pour di�érentes conditions de vol. Elles doivent


répondre à des niveaux d'exigences liés à l'emploi du véhicule : on ne demandera pas lesmêmes capacités de man÷uvre à un avion de type Airbus ou à un appareil de voltige.

La discipline énergétique et propulsionCette discipline englobe les caractéristiques et performances du groupe propulsif de l'ap-pareil. Un moteur est un système complexe en soi : il intègre les domaines cités auparavant :aérodynamique (interne cette fois), structure et matériaux, combustion, thermique etc. . .D'un point de vue système, la propulsion est vue de façon � simpli�ée � au travers d'unereprésentation macroscopique (i.e. ne traduisant pas tous les détails techniques d'un mo-teur, mais globalisant plutôt ses performances, par exemple la poussée fournie). Comptetenu de l'importance grandissante de l'impact environnemental des avions, ce domaine estplus que jamais fondamental pour la conception d'un avion.

La discipline acoustiqueLes frottements aérodynamiques, internes (moteur) ou externes (cellule de l'avion), la com-bustion, génèrent des ondes acoustiques intenses et multispectrales dont il est aujourd'huiindispensable de tenir compte. L'impact acoustique est désormais considéré au même titreque les autres contraintes opérationnelles et doit donc être envisagé au plus tôt dans laconception d'un appareil.

La discipline thermiqueL'importance de cette discipline dépend du type de système à concevoir. Les avions mi-litaires, par exemple, comme les missiles, vont connaître des écarts de température trèsimportants requérant une analyse thermique de leur structure. Pour un avion de transportcivil, les �ux thermiques, bien que plus constants, imposent néanmoins des dispositifs deconditionnement d'air et d'isolation non négligeables en termes de masse et d'encombre-ment.

Ce simple énoncé des disciplines intervenant dans la conception de systèmes aéronautiquesappelle plusieurs commentaires.

La �délité des modèles : les modèles assurant les analyses disciplinaires peuvent être de ni-veaux de �délité variés. Par exemple, il existe plusieurs modèles, plus ou moins sophistiqués,pour estimer la masse de structure d'une voilure soumise à des e�orts dé�nis. Ces mod-èles allant d'une simple loi issue d'observations expérimentales (analyse statistique, modèlesemi-empirique), à des calculs éléments �nis en passant par des analogies de mécaniquesdes solides (type modèle de poutre RDM3). Le nombre de variables intervenant dans la dis-cipline augmente généralement avec la complexité du modèle. Les modèles statistiques secontenteront de données dimensionnelles générales de la voilure (envergure, cordes, épais-seur relative, �èche etc. . .), soit quelques unités, alors qu'un modèle �n de type éléments�nis. possède un nombre de variables qui augmente avec le ra�nement du maillage utilisé,et la complexité des variables (nature des matériaux utilisés : métallique ou composite).

Selon les besoins, il faudra être capable de jongler entre les niveaux de �délité. Par exemple,lorsque l'on veut faire des calculs précis sur une con�guration bien dé�nie, on doit disposerde codes de haute �délité qui permettront d'approcher au mieux la physique. Dans lecadre d'une recherche de con�guration optimale, on préfèrera utiliser des modélisationssimpli�ées, et plus enclins à répondre à un grand nombre de sollicitations en un temps

3Résistance des matériaux.


raisonnable. Au cours de l'optimisation, ces modèles simpli�és pourront évoluer en tenantcompte des résultats obtenus avec les modèles de plus haute �délité, a�n d'assurer unecertaine con�ance sur leurs sorties.

La nature des modèles : chaque domaine peut être abordé suivant plusieurs points de vue :� un point de vue analyse, où le modèle fournit une évaluation des performances pour descaractéristiques données ;

� un point de vue dimensionnement, où on attend du modèle local une proposition decaractéristiques permettant d'optimiser un objectif propre à la discipline ou d'atteindreune performance souhaitée.

L'interaction entre les modèles : nous pouvons considérer l'exemple de la discipline aéro-dynamique et la discipline structure. La discipline aérodynamique calcule le champ depression autour de l'aile, pour des conditions de vol données. La discipline structure vatraduire ce champ de pression en e�orts exercés sur l'aile et va dimensionner cette dernièrede manière à ce qu'elle résiste à ces e�orts. La forme de l'aile ayant été modi�ée, le champde pression autour de l'aile le sera également. Il y a donc un équilibre à établir entre lesdisciplines, a�n de dé�nir correctement la physique de notre problème.

La pluridisciplinarité des modèles : un modèle peut se situer à la jonction de plusieurs do-maines. À titre d'exemple :

� le dimensionnement d'une structure se fait sur des contraintes de tenue statique et dy-namique, cette dernière pouvant être le lieu de sollicitations aérodynamiques périodiquesentrant en phase avec ses modes propres. On aborde ces phénomènes au travers d'unediscipline spéci�que, l'aéroélasticité, couplant structure et aérodynamique de façon in-time ;

� les nuisances sonores sont établies à travers la propagation d'ondes acoustiques dans unenvironnement. Cette propagation est perturbée, en champ proche par l'avion, en champplus lointain par l'atmosphère généralement turbulente et siège de gradients thermiqueset éoliens. Il faut donc être capable de fusionner les deux disciplines en une seule appeléeaéroacoustique ;

� le comportement de l'appareil et ses réponses aux sollicitations du pilote, automatiqueou non, est la conjonction de son inertie, de sa souplesse éventuelle et de la réponse desgouvernes et actionneurs.

Ainsi, la conception d'un avion se trouve confrontée à l'association de nombreuses disciplinescouplées. Ces disciplines peuvent être chacune abordée de plusieurs points de vue et suivantplusieurs niveaux de complexité. Le concepteur devra choisir parmi les di�érents modèles proposéspar les disciplines en fonction de la �délité requise sur les performances à calculer.

1.1.3 Démarche de conception

Découpage de la démarche de conception

La démarche de conception est conventionnellement séquencée en trois phases successives,nommées respectivement conceptual design, preliminary design et detailed design. Chacune d'en-tre elles �ge progressivement la dé�nition du véhicule considéré. Elles s'appuient chacune sur unprocessus de conception faisant intervenir des modélisations adaptées à ses objectifs propres. Leschéma 1.2 issu de [Ray94] illustre leurs objectifs respectifs.

Chacune de ces étapes possède un rôle bien dé�ni.

Étude de concept : (conceptual design) cette phase permet de réaliser les grands choix deconception. Elle va permettre de se faire une première idée de la con�guration de l'appareil,


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Étude préliminaire

Étude de concept

Conception détaillée

Spéci�cations • À quoi le concept doit il ressembler ? Poids ? Coût ?

• Quels compromis doivent être pris en compte ?

• Quelles technologies doivent être utilisées ?

• Ces spéci�cations mènent elles à des con�gurations

faisable ? rentable ?

• Quelles spéci�cations doit on suivre ?

• Fixer la con�guration

• Dé�nir la surface (lofting)

• Développer une base de données analytiques

• Concevoir les éléments majeur ?

• Développer un modèle analytique de calcul du coût

• Concevoir les pieces à fabriquer

• Tester les principaux éléments

• Finaliser les estimations de poids

• Concevoir les procédés de fabrication

Fabrication

et de performances

Fig. 1.2 � Phases de la démarche de conception [Ray94].

de ses principales dimensions et caractéristiques, comme le nombre de moteurs ou la naturedes propulseurs, le nombre de surfaces portantes et de contrôle etc. . ..

À ce niveau, la relative simplicité des modèles4 permet des études paramétriques nom-breuses et variées, à même d'explorer toutes les options et de dégager les paramètres lesplus discriminants. On relèvera cependant que la qualité des réponses peut très rapidementêtre mise en défaut lors de l'étude de nouveaux concepts et de nouvelles technologies, pourlesquels la connaissance est parcellaire et peu �able.

Étude préliminaire : (preliminary design) lorsque la con�guration de l'appareil est �gée dansses grandes lignes, cette phase vient préciser ses caractéristiques, avec un niveau de dé�ni-tion plus élevé et estimer de façon plus aboutie ses performances, en réponse aux spéci�ca-tions initiales. Dans cette phase, la mise en ÷uvre d'outils et de modèles plus sophistiquésrequiert un e�ort de calcul plus conséquent : toute remise en cause des choix faits à l'étapeprécédente est alors coûteuse.

4Ces modèles peuvent être simples dans leur expression, mais traduire une connaissance solide, lorsqu'il s'agit

de technologies maîtrisées sur des types d'appareil bien connus.


Conception détaillée : (detailed design) Cette phase prend le relais de l'étape précédente ena�nant le véhicule au niveau requis pour lancer sa fabrication. C'est à ce niveau de con-naissance très intime du véhicule que la qualité des estimations est la plus proche de laréalité. À ce niveau, toute remise en cause des choix faits aux étapes précédentes s'avèreextrêmement coûteuse, voire impossible.

Compte tenu de ses objectifs propres, chacune de ces phases va faire appel à un niveau deconnaissance et de modélisation adapté. La première d'entre elles doit explorer le domaine de con-ception de la façon la plus vaste possible, quitte à estimer de façon peu �dèle les caractéristiquesattendues, pourvu que leurs tendances restent acceptables. La seconde et la troisième doivent acontrario analyser en détail une con�guration, et, dans la mesure du possible, son voisinage, ens'attachant à être le plus proche possible de la réalité physique du véhicule.

Cette présentation en phases reste arbitraire, bien que couramment admise et pratiquée. Lafrontière entre les di�érentes phases est généralement formalisée par chaque constructeur, enfonction de son expérience et des savoir-faire internes à ses équipes.

La tendance actuelle, au travers des approches de conception, est triple :� formaliser et automatiser le processus de conception, et pour cela tenter de réduire lesdélais de chacune de ces phases, et essentiellement de la seconde, de façon à réduire le cyclecomplet de conception ;

� faciliter les allers et retours entre les di�érentes phases, de façon à disposer d'une meilleurecon�ance dans le calcul des performances du concept, sans pour autant �ger la con�gurationprématurément ;

� conserver le plus longtemps possible des propositions alternatives, situation qui n'est actuelle-ment accessible qu'au niveau de la phase de conceptual design, mais qui peut être concrétiséelorsque les deux points précédents sont maîtrisés.

1.1.4 Paramètres de conception en phase d'avant-projet

Pour la conception d'un avion en phase d'avant-projet (ou phase de conceptual design), nousallons limiter le nombre de paramètres servant à décrire l'avion. Ces paramètres proviennent engénéral de l'expérience des concepteurs, et correspondent à ceux qui impactent au premier ordreles objectifs de conception établis dans le cahier des charges. Nous allons présenter dans cettesection les principaux paramètres qui peuvent être utilisés comme des variables de conception,dans le cadre plus précis de cas-tests de type avion d'a�aires supersonique.

Les paramètres qui permettent de décrire la géométrie de l'avion sont illustrés sur la �gure1.3. Leur description, ainsi que celle de paramètres plus divers, sont données dans le tableau 1.1.

1.1.5 Principales sorties en conception en phase avant-projet

Nous donnons dans le tableau 1.2 certaines sorties que peuvent fournir les codes de conception.Dans les sections qui suivent, nous allons illustrer la phase de conceptual design avec la de-

scription de deux cas-tests d'avion de type SSBJ5. Ces deux cas-tests seront ensuite repris pourillustrer les di�érentes stratégies d'optimisation étudiées (cf chapitre 2).

5SSBJ : Super Sonic Business Jet.


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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

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Φ0

bder

Cderr

tder

Φder100

Φder0

Φ100

Dmot

Dfus

Lmot

c

tCr Lfus

Cdertip

cder

b

Ctip

Fig. 1.3 � Une possibilité de paramètres géométriques de l'avion.


Type Nom Description

GéométrieVoilure S surface de la voilure

b envergure de la voilureAR allongement relatif voilure(AR = b2

S )Cr corde à l'emplanture de l'aile

(généralement dans le plan de symétrie)Ctip corde à l'extrémité de l'aile

λ ou Xlw e�lement (λ = Ctip

Cr)

Φ0 ou Λ �èche en bord d'attaque voilureΦ100 �èche en bord de fuite voilurec corde en une section de l'ailet épaisseur en une section de l'ailetc ou t

wc épaisseur relative

Dérive Sder surface de la dérivebder envergure de la dériveARder allongement relatif de la dériveCderr corde à l'emplanture de la dériveCdertip corde à l'extrémité de la dériveλder ou Xlt e�lement dériveΦder

0 �èche en bord d'attaque dériveΦder

100 �èche en bord de fuite dérivecder corde en une section de la dérivetder épaisseur en une section de la dérivetcder ou ttc épaisseur relative dérive

Fuselage Dfus diamètre du fuselageLfus longueur du fuselage

Moteur Dmot diamètre du moteurLmot longueur du moteur

Paramètres de volh altitude de volM nombre de Mach en croisière

DiversNmot nombre de moteurs

type de propulseurarchitecture générale(monoplan/biplan, etc. . .)

Tab. 1.1 � Les paramètres de conception géométriques


Discipline Nom Description

StructureTOW ou WT masse totale au décollageWF masse de carburantWE masse des moteursWW masse des ailesWD masse de la dériveσ e�orts physiques exercés sur l'avionΘ vrillage de l'aile

PropulsionF pousséeTemp température en sortie du moteurSFC consommation spéci�que (Speci�c Fuel Consumption)

AérodynamiqueD traînéeL portanceL/D �nesse

PerformanceR rayon d'actionDdécollage distance au décollageVapproche vitesse en approche

Tab. 1.2 � Les sorties des disciplines

1.2 Le cas-test Sobieski

Le cas-test d'avion d'a�aires supersonique proposé par Sobieszczanski-Sobiesky [SAS98] estdédié aux formulations MDO. Il permet la description et l'analyse simpli�ée des performancesd'un véhicule de type avion d'a�aires supersonique. C'est un code de phase avant-projet (ouconceptual design) et présente l'avantage de ne pas être coûteux en temps de calcul.

1.2.1 Description du cas-test

Le but de ce cas-test est de chercher la con�guration qui maximise le rayon d'action R, touten respectant certaines contraintes disciplinaires.

Nous voyons sur le schéma 1.4 l'organisation du cas test.Quatre disciplines composent ce cas-test. Les disciplines structure, aérodynamique et propul-

sion sont couplées : les sorties de l'une seront des entrées pour les autres, et chaque variation dansl'une va entraîner des changements pour les autres. La discipline performance prend en entréedes sorties des trois autres disciplines pour calculer le rayon d'action. Chacune de ces disciplinespossède plusieurs types de variables :

� les variables locales : ces variables sont propres à une discipline, par exemple l'e�lement λpour la structure ;

� les variables partagées : ces variables sont communes à deux disciplines au moins, commepar exemple l'altitude h ;

� les variables de couplage : certaines sorties de discipline sont des entrées pour d'autres. Par

1.2 Le cas-test Sobieski 19

6

6

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6

-

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� -

-

?

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?

??? ?

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?

-

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- L/D

WE

[t/c, h,M,AR,Λ, Sref ]

t/c, AR

Λ, Sref

t/c, h,M

σ1→5 ≤ 1.090.96 ≤ σ ≤ 1.04

dp/dx ≤ 1.04 0.5 ≤ ESF ≤ 1.5DT ≤ 0Temp ≤ 1.02

Structure

Aérodynamique

Performance

AR,Λ, Sref

SFCESF

L

[M,h] [M,h]

Propulsion

R

[T ]

[Cf ]

[λ, x]WT ,Θ WT ,WF

D

Variables de conception

Codes de conception

Optimisation

Fig. 1.4 � Diagramme du cas-test Sobieski.

exemple, la masse totale WT est calculée par la discipline structure et sert d'entrée pourla discipline aérodynamique.

Nous allons maintenant voir plus en détail chacune de ces disciplines.

La discipline structure

La discipline structure (cf tableau 1.3) a pour objectif de calculer les masses et les e�ortsmécaniques subis par l'avion.

Elle prend en entrée les principales caractéristiques géométriques de l'appareil, telles quel'allongement relatif AR, la �èche Λ, l'épaisseur relative t/c et la surface de référence SREF . Sesvariables locales sont ici la section de caisson x et l'e�lement λ.

Elle va calculer les contraintes subies par l'aile σ1 → σ5, ainsi que l'angle de vrillage de lavoilure Θ, en fonction de la portance L fournie par la discipline aérodynamique et des dimensionsde l'avion. Elle va ensuite calculer la masse de carburantWF que peut contenir l'avion en fonctiondes dimensions, et la masse totale WT , en fonction des dimensions, de la masse des moteurs WE

fournie par la discipline propulsion et de la masse totale estimée WT (ici égale à la portance).


type nom description unité min max

entréelocale λ e�lement 0.1 0.4. x section caisson 0.75 1.25partagée AR allongement relatif 2.5 8.5. Λ �èche des ailes deg 40 70. t/c épaisseur relative 0.01 0.09. SREF surface de référence voilure ft2 500 1500aérodynamique L portance lb . .propulsion WE masse moteur lb . .

sortieWT masse totale lb . .WF masse carburant lb . .Θ vrillage de la voilure 0.98 1.02σ1 → σ5 e�orts sur l'aile (stress on wing) . 1.09

constanteWF masse de carburant non consommable lb 2000WO masses diverses lb 25000Nz facteur de charge extrême g 6

interne

t = t/c SREF√SREFAR

b =√SREFAR

R = 1+2λ3(1+λ)

Θ = pf(x, b/2, R, L)Fo1 = pf(x)WT = L

WW = Fo1(0.0051(WTNZ)0.557SREF0.649AR0.5(t/c)−0.4(1 + λ)0.1(0.1875SREF )0.1/cos(Λ))

WFW = (5SREF /18)(2t/3)42.5WF = WFW +WFO

WT = WO +Ww +WF +WE

σ1 → σ5 = pf(t/c, L, x, b/2, R)

Tab. 1.3 � Discipline structure du cas-test Sobieski.

La discipline aérodynamique

La discipline aérodynamique présentée dans le tableau 1.4 calcule les caractéristiques aéro-dynamiques résultantes de l'avion, c'est-à-dire la portance, la traînée, la �nesse et le gradient depression sur l'aile.

Elle prend en entrée toutes les variables partagées : les variables traduisant les dimensionsde l'appareil vues précédemment avec la discipline structure, ainsi que les variables exprimantles conditions de vol que sont l'altitude h et le nombre de Mach M . Sa variable locale est lecoe�cient de traînée Cf .

Cette discipline calcule la portance L (ici directement égale à la masse totale WT fournie parla discipline structure), la traînée D en fonction des dimensions de l'avion, des dimensions du


moteur ESF (Engine Scale Factor) et de la masse totale WT , pour en déduire la �nesse L/D.Le gradient de pression sur la voilure dp/dx ne dépend ici que de l'épaisseur relative t/c.


entréelocale Cf coe�cient de frottement 0.75 1.25partagée AR allongement relatif 2.5 8.5. Λ �èche des ailes deg 40 70. t/c épaisseur relative 0.01 0.09. SREF surface de référence voilure ft2 500 1500. h altitude de vol ft 30000 60000. M Mach de croisière 1.4 1.8structure WT masse totale lb . .structure Θ vrillage . .propulsion ESF facteur d'échelle moteur . .

sortieL portance lb . .D traînée lb . .L/D �nesse . .dp/dx gradient de pression . 1.04

constanteWF masse de carburant non consommable lb 2000WO masses diverses lb 25000Nz facteur de charge extrême g 6WBE masse moteur de référence lb 4360CDminM<1 coe�cient minimal de traînée 0.01375

interne

si h ≤ 36089ftV = 1116.39M

√1− (6.87e−06)h

ρ = (2.377e−03)(1− (6.875e−06h))4.2561

sinonV = 968.1Mρ = (2.377e−03)(0.2971)× e−(h−36089)/20806.7

�n siCL = WT

0.5ρV 2SREF

Fo1 = pf(ESF,Cf )CDmin = CDminM<1

Fo1 + 3.05(t/c)5/3cos(Λ)3/2

k = 1/(0.8πAR)Fo2 = pf(Θ)CD = (CDmin + kC2

L)Fo2L = WT

D = CD0.5ρ0.5V 2SREFdp/dx = pf(t/c)

Tab. 1.4 � Discipline aérodynamique du cas-test Sobieski.


La discipline propulsion

La discipline propulsion présentée dans le tableau 1.5 calcule les principales caractéristiquesdu moteur, ici ses dimensions, sa masse, sa consommation et sa température.

Elle prend en entrée les conditions de vol : l'altitude h et le nombre de Mach M . Sa variablelocale T traduit la position de la manette des gaz.

Elle calcule la température en fonction de ces dernières variables. La dimension des moteursESF est fonction de la traînée D fournie par l'aérodynamique et de la variable T . La consom-mation spéci�que de l'avion provient d'une formule semi-empirique, qui dépend des variables T ,h et M . La masse des moteurs dépend de sa dimension ESF . La sortie DT permet de véri�er sila manette des gaz est su�samment enclenchée pour fournir la poussée nécessaire.


entréelocale T position manette des gaz (initial throt-

tle setting)0.1 1

partagée h altitude de vol ft 30000 60000. M Mach de croisière 1.4 1.8aérodynamique D traînée lb . .

sortieSFC consommation spéci�que de carburant hr−1 . .WE masse moteur lb . .ESF facteur d'échelle moteur 0.5 1.5DT di�érence entre la poussée demandée et

la poussée disponible. 0

Temp température . 1.02

constanteWF masse de carburant non consommable lb 2000WO masses diverses lb 25000Nz facteur de charge extrême g 6WBE masse moteur de référence lb 4360

interne

T = T ∗ 16168.T emp = pf(M,h, T )ESF = (D/3)/TSFC = 1.1324 + 1.5344M − 3.2956e−05h− 1.6379e−04T − 0.31623M2 + 8.2138e−06Mh

−10.496e−05TM − 8.574e−11h2 + 3.8042e−09Th+ 1.0600e−08T2

WE = 3WBEESF1.05

TUA = 11484 + 10856M − 0.50802h+ 3200.2M2 − 0.29326Mh+ (6.8572e−06)h2

DT = T − TUA

Tab. 1.5 � Discipline propulsion du cas-test Sobieski.


La discipline performance

La discipline performance présentée dans le tableau 1.6 calcule le rayon d'action avec la for-mule de Bréguet (cf équation (1.1)). Elle prend en entrée les conditions de volM et h. La disciplinestructure fournit la masse totale WT et la masse de carburant WF , la discipline aérodynamiquefournit la �nesse L/D et la propulsion fournit la consommation spéci�que SFC.


entréepartagée h altitude de vol ft 30000 60000. M Mach de croisière 1.4 1.8structure WT masse totale lb . .aérodynamique L/D �nesse lb . .propulsion SFC consommation spéci�que de carburant hr−1 . .

sortieR rayon d'action Nm . .

interne

si h ≤ 36089θ = 1− 6.875e−06h

sinonθ = 0.7519

�n si

R =M(L/D)661

√θ

SFCln(

WT

WT −WF

)

Tab. 1.6 � Discipline performance du cas-test Sobieski.

La fonction pf

Elle est utilisée dans la plupart des disciplines. Selon les cas, la fonction pf nous donne uneapproximation linéaire ou quadratique de certaines variables.

1.2.2 Problème d'optimisation associé

Nous allons voir ici le problème d'optimisation qui traduit la démarche de conception globale.Nous allons aussi dé�nir des fonctions objectifs spéci�ques à chaque discipline, qui serviront àposer des problèmes d'optimisation locaux.

Le problème d'optimisation global

La discipline performance nous donne le rayon d'action, qui sera notre fonction à maximiser.Les di�érentes disciplines nous donnent au total 12 contraintes d'inégalité sur leurs sorties. Leproblème d'optimisation à résoudre est alors le suivant :


Soit X = [λ, x, Cf , T, AR,Λ, t/c, SREF , h,M ]

maxX

R(X)

sous contraintes :

0.98 ≤ Θ(X) ≤ 1.02σ1 → σ5(X) ≤ 1.09dp/dx(X) ≤ 1.040.5 ≤ ESF (X) ≤ 1.5DT (X) ≤ 0Temp(X) ≤ 1.02

(1.2)

La résolution du problème d'optimisation (1.2) va nous mener à la con�guration optimalequi maximise le rayon d'action.

Les fonctions objectifs disciplinaires

Les disciplines peuvent aussi avoir un rôle dimensionnant. Elles doivent alors choisir la valeurde leurs variables locales. Il faut alors trouver des objectifs locaux pour chaque discipline. Chacunerésout un problème d'optimisation qui lui est propre, et renvoie une réponse optimisée par rapportà ses variables locales.

Avec ce cas-test, on peut trouver des fonctions objectifs disciplinaires allant dans le sens dela fonction coût globale, c'est-à-dire maximiser le rayon d'action R. On peut montrer qu'il s'agitde minimiser la masse totale WT pour la discipline structure, de maximiser la �nesse L/D pourla discipline aérodynamique et de minimiser la consommation spéci�que SFC pour la disciplinepropulsion.

On analyse la formule du rayon d'action :

R =M(L/D)661

√θ

SFCln(

WT

WT −WF

). (1.3)

Nous souhaitons connaître les sensibilités du rayon d'action aux variables locales que nous al-lons nommer x = [x1, x2, x3] : x1 pour la discipline structure, x2 pour la discipline aérodynamiqueet x3 pour la discipline propulsion.

R(x+ ∆x) = R(x) +∂R

∂x1∆x1 +

∂R

∂x2∆x2 +

∂R

∂x3∆x3.

Soit Yi une sortie de la discipline i qui soit une entrée de la discipline performance, on a :

∂R

∂xi=∂R

∂Yi

∂Yi∂xi

.

On cherche à maximiser le rayon d'action : lorsque∂R

∂Yiest négatif, on cherchera à minimiser

Yi par rapport aux variables locales xi. Dans le cas contraire on cherchera à maximiser Yi. Nousallons voir cela en détail pour les trois disciplines.

La discipline structureNous avons :

∂R

∂x1=

∂R

∂WT

∂WT

∂x1+

∂R

∂WF

∂WF

∂x1.

1.3 Le cas-test Dassault 25

On peut remarquer que la masse de carburant WF ne dépend que des variables partagées,

d'où∂WF

∂x1= 0. Nous ne nous en occuperons pas dans les optimisations disciplinaires.

∂R

∂WT= − α1WF

WT (WT −WF ), α1 > 0.

La masse de carburant est inférieure à la masse totale, nous avons donc∂R

∂WT< 0. Par

conséquent, nous allons chercher à minimiser la masse totale WT par rapport aux variables

locales x1, a�n d'augmenter la contribution du terme∂R

∂x1∆x1.

La discipline aérodynamiqueNous avons :

∂R

∂x2=

∂R

∂(L/D)∂(L/D)∂x2

,

et∂R

∂(L/D)= α2(L/D), α2 > 0,

d'où∂R

∂(L/D)> 0, on cherchera alors à maximiser la �nesse L/D par rapport à la variable

x2, a�n d'augmenter la contribution du terme∂R

∂x2∆x2.

La discipline propulsionNous avons :

∂R

∂x3=

∂R

∂SFC

∂SFC

∂x3,

et∂R

∂SFC= − α3

SFC2 , α3 > 0,

d'où∂R

∂SFC< 0, on cherchera alors à minimiser la consommation spéci�que SFC par

rapport à la variable x3, a�n d'augmenter la contribution du terme∂R

∂x3∆x3.

Nous allons voir dans la section suivante un autre exemple de cas-test du même type.

1.3 Le cas-test Dassault

Ce cas-test d'avion d'a�aires supersonique a été proposé par DASSAULT dans le cadre duprojet OMD-RNTL6. C'est un cas-test de type conception avant-projet. Il permet d'évaluer lesperformances d'un avion d'a�aires supersonique avec des codes de calcul simpli�és. Il est décritbrièvement dans cette partie. Pour plus de détails, nous renvoyons le lecteur à [Rav07]. Certainesdes formules proviennent de [Ray94], qui est l'une des grandes références dans le domaine de laconception avion.

1.3.1 Description du cas-test

L'objectif ici sera de minimiser la masse au décollage de l'appareil, tout en respecant certainescontraintes sur des performances, comme le rayon d'action ou la distance de décollage.


?6

?

6

6

?

�

masse moteur(F0)

taille moteur(F0)

portance

traînée

TOW

TOW , F0

Rayon d'action

Distance décollage

Vitesse d'approche

Conception

Structure

Aérodynamique

Propulsion

Performance

Fig. 1.5 � Diagramme du cas-test Dassault.

L'organisation des disciplines est présentée sur la �gure 1.5.Il y a trois disciplines de conception :� la discipline �structure� évalue les masses, dont la masse de l'avion au décollage, en fonctiondes paramètres de forme, de la masse au décollage elle-même (estimée), de la portance etde la masse moteur. La masse au décollage est alors réactualisée ;

� l'aérodynamique calcule la portance nécessaire en croisière en fonction de la masse, ainsique la traînée, en fonction des paramètres de forme, dont les dimensions du moteur fourniespar la propulsion ;

� la discipline �propulsion� dimensionne les moteurs pour atteindre la poussée nécessaire.Elle in�ue donc sur la discipline �aérodynamique�, au travers des dimensions des moteurset sur la discipline �structure� avec la masse des moteurs.

Le tableau 1.7 présente les di�érents paramètres choisis pour cette application.Dans ce cas-test, l'équilibre entre ces trois disciplines est assuré par la convergence des vari-

ables que sont la masse au décollage TOW et la poussée F0. Les autres sorties, telles que laportance, la traînée ou la masse du moteur dépendent directement de ces dernières, et sont doncconsidérées comme transparentes. Le tableau 1.8 présente les variables de couplage que l'on vachercher à équilibrer.

Lorsque l'équilibre disciplinaire est e�ectué, c'est-à-dire que l'on a dé�ni les valeurs des vari-ables TOW et F0 pour une con�guration donnée, on peut calculer certaines sorties qui serontles critères dimensionnants pour l'avion. Ces critères peuvent être classés en deux catégories.• Les performances en croisière :

6Le site du projet : http ://omd.lri.fr.

1.3 Le cas-test Dassault 27

Rubrique Variable Unité Description

Conditions de vol Z m altitude

Xmach nombre de Mach

Wfuel kg masse de carburant

Géométrie Voilure S m2 surface de référence voilure

φw0 deg �èche bord d'attaque voilure

φw100 deg �èche bord de fuite voilure

Xlw e�lement voilure

twc épaisseur relative voilure

Géométrie Dérive φt0 deg �èche bord d'attaque dérive

φt100 deg �èche bord de fuite dérive

Xlt e�lement dérive

ttc épaisseur relative pour la dérive

Géométrie Fuselage Dfus m diamètre du fuselage

Divers α deg incidence max

Xfac masse à l'atterrissagemasse au décollage

Tab. 1.7 � Variables de conception du cas-test Dassault

Rubrique Variable Unité Description

Interaction TOW kg masse au décollage

F0 N poussée

Tab. 1.8 � Variables d'interaction du cas-test Dassault

� le rayon d'action : un avion doit pouvoir franchir une distance donnée a�n de s'inscriredans le segment de marché souhaité. Le rayon d'action est calculé avec la formule deBreguet (cf équation (1.1)).

• Les performances basse vitesse, l'avion doit respecter les contraintes réglementaires et liéesaux aéroports :� la distance au décollage : l'avion doit pouvoir décoller sur une distance acceptable a�nd'accéder à la plupart des aéroports,

� la vitesse d'approche : l'avion doit pouvoir voler à une vitesse su�samment basse sansrisquer de décrocher, a�n d'atterrir dans de bonnes conditions.

Les critères en croisière et les critères basse vitesse sont antagonistes. En e�et, une con�gu-ration optimisée pour le rayon d'action seulement n'aura jamais la portance nécessaire en bassevitesse pour satisfaire les critères de distance de décollage et de vitesse d'approche.


1.3.2 Problème d'optimisation associé

Le problème proposé ici est de minimiser la masse totale au décollage (TOW ) tout en re-spectant les contraintes suivantes sur les sorties de la discipline performance :

min TOW

Raction ≥ 6500 km,Ddécollage ≤ 1828 m,Vapproche ≤ 70 m.s−1.

(1.4)

On pourra bien sûr faire d'autres choix pour ce problème, et permuter une des contraintesavec la fonction objectif. Le problème peut alors devenir le suivant :

min Raction

TOW ≤ 50000 kg,Ddécollage ≤ 1828 m,Vapproche ≤ 70 m.s−1.

(1.5)

Conclusion

Nous avons donné dans ce chapitre une vision globale de la conception avion, avec ses dif-férentes disciplines, ses di�érentes phases et ses di�érents paramètres de conception.

Ces notions ont été illustrées à l'aide de deux cas-tests. Ces derniers sont de même nature :ils représentent assez bien l'organisation qui existe entre les di�érentes disciplines et permettentde tester plusieurs stratégies de conception. Cependant, la validité physique des modèles estdiscutable : on ne retrouve pas la complexité des problèmes industriels, dans lesquels on doitgérer un grand nombre de variables et où le temps d'exécution des modèles est conséquent. Ilspermettent tout de même de tester di�érentes approches de conception.

Il va falloir maintenant associer le processus de conception (ici les modèles qui permettentde décrire l'avion) au processus d'optimisation (les méthodes et algorithmes d'optimisation).Nous allons voir dans le chapitre suivant les stratégies d'optimisation que l'on peut utiliserpour appuyer la démarche de conception. Ces méthodes sont aussi appelées formulations pourl'optimisation multidisciplinaire (ou formulations MDO).

Nous exposerons aussi l'utilisation de méta-modèles adaptatifs au sein d'un processus d'op-timisation, en l'illustrant avec deux méthodes : BLISS2000 et DIVE.

Chapitre 2

Les formulations pour l'optimisation

multi-disciplinaire

Sommaire

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1 Outils et dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1 Disciplines, paramètres, sorties et notations . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2 Analyse multi-disciplinaire (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1.3 Calcul des gradients (GSE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.4 Dé�nition de l'optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.1.5 Méta-modèles disciplinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Les formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.2.1 MDF : Multi-Disciplinary Feasible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.2 IDF : Individual Disciplinary Feasible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.3 AAO : All-At-Once . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.4 CO : Collaborative Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.5 BLISS : Bi-Level Integration System Synthesis . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.6 BLISS 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.7 DIVE : Disciplinary Interaction Variable Elimination . . . . . . . . . . 51

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

30 Les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire

Introduction

Ce chapitre expose plusieurs stratégies d'optimisation multi-disciplinaire. Elles peuvent aussiêtre appelées formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire, ou bien plus communémentformulations MDO.

Le mot optimisation multi-disciplinaire laisse entendre à tort qu'il ne s'agit ici que d'unproblème d'optimisation. Il faut bien garder à l'esprit que l'optimisation n'est qu'une partie duprocessus de conception et qu'elle vient appuyer la recherche de la con�guration répondant lemieux à la demande exprimée par le cahier des charges. Il faut considérer les formulations MDOcomme des outils qui permettent de faciliter la gestion de l'interaction entre les disciplines et quipeuvent servir d'aide à la décision. Le choix des paramètres et des modélisations disciplinaires,la mise en place du problème et les décisions importantes concernant les con�gurations à retenirsont bien évidemment laissés au jugement des acteurs de la conception.

Il convient tout d'abord de bien dé�nir les paramètres. Les codes de calcul des di�érentesdisciplines prennent en entrée di�érentes variables qui peuvent être classées en trois catégories :

� les variables locales, spéci�ques à une seule discipline ;� les variables partagées, qui ont des e�ets directs sur plusieurs disciplines à la fois ;� les variables d'interaction ou de couplage, qui servent de lien entre les disciplines.

Les variables de couplage sont les entrées d'une discipline qui proviennent d'autres disci-plines. Une modi�cation dans une discipline peut entraîner un changement dans toutes les autres.L'analyse multi-disciplinaire doit prendre en compte cette interaction et chercher un équilibre autravers des variables de couplage. En général, l'e�ectuer revient à résoudre la physique autourde l'avion.

Une fois l'analyse multi-disciplinaire e�ectuée, on peut calculer les gradients (par exempleà l'aide des méthodes adjointes). Ce calcul, lorsqu'il est e�ectué de manière e�cace et précise,permettra d'améliorer fortement les performances des algorithmes d'optimisation.

Les sorties disciplinaires serviront à dé�nir les objectifs et contraintes qui constitueront notreproblème d'optimisation. Les formulations MDO constituent di�érentes façons d'assembler lescodes disciplinaires et les codes d'optimisation. Chacune possède sa manière de gérer l'interac-tion entre les disciplines ou de séparer l'optimisation en plusieurs étapes : certaines variables sontgérées par l'optimiseur système et d'autres sont �xées par les disciplines au travers d'optimisa-tions locales.

Les codes disciplinaires peuvent être très gourmands en temps de calcul, et donc peu com-patibles avec un processus d'optimisation, qui va les solliciter un grand nombre de fois. Parconséquent, il s'avère nécessaire d'utiliser des méta-modèles qui fourniront une approximationdes sorties disciplinaires et permettront de mener à bien l'optimisation. Leur domaine de validitépourra être amené à évoluer en fonction du déroulement de l'optimisation.

L'utilisation des méta-modèles au sein de processus d'optimisation est un des enjeux majeursde la recherche actuelle en optimisation multi-disciplinaire. Les formulations BLISS 2000 et DIVE(cf sections 2.2.6 et 2.2.7) proposent des solutions pour construire et actualiser les méta-modèles.

La première partie du chapitre (cf section 2.1) présente les éléments qui constituent les for-mulations MDO. Les di�érentes variables sont exposées (cf section 2.1.1), on dé�nit le problèmed'équilibre interdisciplinaire et on propose des méthodes pour le résoudre (cf section 2.1.2). Uneméthode adjointe pour calculer les gradients dans un contexte multi-disciplinaire est donnée (cfsection 2.1.3). Le problème d'optimisation est posé (cf section 2.1.4) et on introduit les méta-

2.1 Outils et dé�nitions 31

modèles disciplinaires (cf section 2.1.5).Dans une deuxième partie (cf section 2.2), nous allons expliciter certaines formulations MDO,

à savoir MDF, IDF, AAO, CO, BLISS, BLISS 2000 et DIVE (cf sections 2.2.1 à 2.2.7).La mise en ÷uvre de ces formulations et l'analyse des résultats obtenus avec les deux cas-tests

du chapitre 1 sont présentées dans les chapitres 3 et 4.

2.1 Outils et dé�nitions

2.1.1 Disciplines, paramètres, sorties et notations

Dans cette section, nous allons dé�nir les di�érents paramètres et variables qui interviennentdans la conception des systèmes complexes. Nous considérons ici les di�érentes variables et sortiescomme des vecteurs. Pour simpli�er l'exposé, nous allons considérer ici un système contenantdeux disciplines (D1 et D2), représenté sur le schéma 2.1.

-

6

-

?

-

-

HHHHHH

HHj

��

��*

D2x2

z

D1

y2 y1

x1

Y1(x1, z, y2)

Y2(x2, z, y1)

Fig. 2.1 � Système à deux disciplines.

Les di�érentes variables et sorties représentées sur cette �gure sont :

� x les variables de conception locales : les variables x1 sont propres à la discipline 1 etles variables x2 sont propres à la discipline 2 ;

� z les variables de conception partagées ;

� p = [x, z] l'ensemble des variables de conception ;

� y les variables de couplage, ou d'interaction : ici les variables y1 (resp. 2) proviennentde la discipline 1 (resp. 2) et sont utilisées comme paramètres de la discipline 2 (resp. 1) ;

� Y l'ensemble des sorties provenant des codes de calcul disciplinaires : Y1 représente lesrésultats des calculs de la discipline 1 et Y2 ceux de la discipline 2.

Nous avons ici trois types de variables : les variables locales, les variables partagées et les varia-bles d'interaction, que nous allons dé�nir plus précisément ci-dessous. Ce type de classi�cationdes variables est courant dans la littérature, nous reprenons ici les notations de [SAS98].

Variables locales x

Nous appelons variable locale (ou privée) une variable qui intervient dans une disciplineseulement. Par exemple, le choix du matériau ou l'épaisseur des renforts internes à la structure


n'a�ectent pas directement l'écoulement autour de l'avion.

Variables de conception partagées z

Lorsqu'une variable locale possède une interaction avec une autre discipline, il convient de laconsidérer comme une variable partagée : les variables partagées (ou publiques) possèdent dese�ets directs sur plusieurs disciplines à la fois.

Par exemple, l'épaisseur d'une aile intervient dans le calcul de la traînée et dans le calcul enmécanique des structures.

La détermination de ces paramètres publics est un enjeu majeur dans le processus de con-ception. La solution obtenue dépend fortement de l'ensemble des paramètres choisis. Ce choix sebase, d'une part, sur l'art de l'ingénieur, et d'autre part, sur l'utilisation des méthodes adjointes :

� l'expérience des équipes d'ingénieurs sur le dimensionnement des paramètres de forme doitêtre prise en compte pour le choix des critères : par exemple, en aérodynamique, le choixde la courbure du bord d'attaque de l'aile est le fruit d'une longue expérience ;

� les méthodes adjointes permettent de calculer les gradients de manière e�cace. On peutainsi e�ectuer un calcul de gradients de nos critères pour un grand nombre de paramètres.La distribution de ces gradients sur la surface de la con�guration initiale indique les régionsles plus importantes. On peut alors déterminer un ensemble de paramètres pertinents avecl'utilisation des méthodes adjointes.Une approche hiérarchique pour déterminer les paramètres les plus signi�catifs est présen-tée dans [TD02]. La méthode GSE expliquée en section 2.1.3 est une méthode adjointequi permet de calculer les gradients dans un contexte de disciplines couplées. Pour la de-scription des méthodes adjointes, nous renvoyons à [Cea86, MP01, Jam90]. Les méthodesde di�érentiation automatique peuvent être utilisées pour la génération du code adjoint[Gri00, MP01].

Dans un contexte multi-disciplinaire, nous ne pouvons considérer qu'un nombre réduit deparamètres partagés.

Variables de couplage y

Les disciplines prennent en entrée des données provenant d'autres disciplines. Ce sont lesvariables de couplage ou d'interaction que nous noterons y.

Par exemple, le champ de pression autour de l'aile permettra à la discipline structure d'encalculer la déformation. De même, la déformation élastique de l'aile a un e�et sur le comportementaérodynamique de l'aile.

On parle de couplage fort, en cas de problèmes multi-physiques. Le couplage est déjà présentau niveau de l'analyse disciplinaire. En général, le vecteur y est porté par le maillage du problème.C'est le cas de l'aéroélasticité ou du couplage �uide-thermique. Il convient alors de considérerque les deux disciplines n'en forment qu'une à l'échelle de l'optimisation multi-disciplinaire. Ene�et, le fait de découpler ces deux disciplines ne ferait qu'augmenter la complexité du problèmeglobal, en ajoutant un nombre de variables d'interaction conséquent.

On ne s'intéresse ici qu'au cas d'un couplage faible, où les variables d'interaction sont del'ordre de quelques dizaines.


2.1.2 Analyse multi-disciplinaire (MDA)

Les disciplines sont reliées entre elles par des variables d'interaction : le moindre changementdans une discipline aura une in�uence sur toutes les autres. Il convient donc de trouver unéquilibre entre les disciplines au travers de ces variables d'interaction. Nous allons exposer leproblème d'équilibre interdisciplinaire dans cette section.

Le terme anglais MDA (MultiDisciplinary Analysis) signi�e analyse multi-disciplinaire. Pourune con�guration p = [x, z] donnée, les variables de couplage doivent véri�er l'équation d'état :

y = Y (p, y), (2.1)

ou bien, de façon équivalente :

R(p, y) = y − Y (p, y) = 0, (2.2)

où R(p, y) représente le résidu, que l'on souhaite annuler.Lorsque l'on considère deux disciplines, le problème s'écrit :

R1(p, y1, y2) = y1 − Y1(p, y2) = 0,

R2(p, y1, y2) = y2 − Y2(p, y1) = 0.(2.3)

E�ectuer une MDA revient à résoudre l'équation (2.2) en y. Cette équation peut être vuecomme une équation d'état du problème. Elle décrit la physique du système. Cette équation doitêtre résolue d'une manière très précise. On peut aboutir à des performances qui peuvent paraîtreintéressantes au niveau de la fonction objectif, mais avec un système qui ne satisfait pas les loisde la physique.

Une MDA correspond donc à une analyse du système, qui tient compte des interactions entreles disciplines, et qui cherche à équilibrer les sorties des disciplines. On dispose de plusieursméthodes pour résoudre ce problème, que l'on peut classer selon trois types :

� recherche de zéros,� minimisation des résidus,� pénalisation de l'équation d'état.

Recherche de zéros :

on va chercher ici à annuler le résidu de l'équation d'état (2.2).

Méthode du point �xe : on redé�nit y égal à la sortie du code de calcul Y (p, y), et on itèrecette opération jusqu'à la convergence. On considère que l'on a la convergence lorsque lesrésidus R(p, y) de l'équation d'état sont assez petits. Cette méthode ne marche que si lesystème a de bonnes propriétés : l'application qui à y associe Y (p, y) doit être contractante1.

Méthode de Newton : lorsque l'on a accès aux gradients de la fonction Y , on peut utiliserla méthode de Newton [Gui03]. Partant du point y, on cherche un point y + h tel queR(p, y + h) = 0. On développe l'équation à l'ordre 1. La direction h sera solution del'équation (2.4) :

∂yR(p, y)h = −R(p, y). (2.4)

Soit :

(Id − ∂yY (p, y))h = − (y − Y (p, y)) . (2.5)

1L'application Y : y 7→ Y (p, y) est dite contractante si et seulement si ∀(y, y′) ‖Y (p, y)− Y (p, y′)‖ < ‖y− y′‖


Une recherche linéaire dans la direction h donne alors le pas optimal α :

minα‖R(p, y + αh)‖. (2.6)

Les variables de couplage sont actualisées : yn+1 = yn + αh. Le processus continue avec lenouveau point yn+1, jusqu'à la convergence.

Minimisation des résidus

La résolution de l'équation d'état peut être vue comme un problème d'optimisation : étantdonnée une con�guration p, les variables de couplage y doivent minimiser les résidus de l'équationd'état :

miny‖y − Y (p, y)‖2. (2.7)

Pour résoudre e�cacement ce problème de minimisation, les variables de couplage doiventêtre normalisées. On peut choisir d'utiliser des méthodes d'optimisation classiques. La méthodede Gauss-Newton (voir annexe B.1) s'avère très e�cace pour ce genre de problème.

Pénalisation de l'équation d'état

Dans certaines approches MDO, une autre méthode consiste à rajouter une ou plusieurs con-traintes d'égalité dans le cadre d'une optimisation en fonction des variables y et p. La contrainted'égalité n'est autre que l'équation d'état du système :

y − Y (p, y) = 0. (2.8)

Il apparaît plus naturel de résoudre l'équation d'état de manière précise pour chacune descon�gurations étudiées, plutôt que de le faire en cours d'optimisation et de ne satisfaire cetteéquation qu'à la �n du processus. Cependant, il peut arriver que, pour certaines con�gurationsp, il n'existe pas de variables de couplage yp permettant de satisfaire l'équation d'état. Dansce cas, le problème d'équilibre interdisciplinaire ne dépend plus seulement de y, mais aussi desvariables de conception p. On ne peut donc plus utiliser les méthodes de recherche de zéros oude minimisation des résidus vues précédemment. Seule la méthode de pénalisation de l'équationd'état va pouvoir trouver des con�gurations permettant de satisfaire l'équation d'état.

2.1.3 Calcul des gradients (GSE)

En optimisation, pour l'utilisation des algorithmes de descente, il est important d'avoir debonnes informations sur les gradients des objectifs et des contraintes. En général, les codes decalcul dont nous disposons ne fournissent pas le gradient. Dans le cas où ils le fournissent, il estévident qu'il faut les utiliser et les injecter dans l'optimiseur. Sinon, on les calcule par di�érences�nies ou bien avec la méthode GSE (Global Sensitivity Equation), deux approches que nous allonsdétailler dans cette section.

Calcul par di�érences �nies

Soit une fonction F dé�nie sur Rn à valeurs dans R. On souhaite calculer le gradient de F aupoint p. Nous avons besoin pour cela de calculer n+1 fois la fonction F : aux points p et p+hiei(hiei étant une perturbation du ime paramètre de conception, avec ei vecteur de base normé ethi scalaire). Le pas hi doit être choisi su�samment petit pour avoir une bonne approximationdes gradients. Le gradient est ensuite donné par :


∇F (p) =(...,

F (p+ hiei)− F (p)hi

, ...

). (2.9)

Lorsque le calcul de F nécessite une analyse multi-disciplinaire, le calcul du gradient parcette méthode s'avère coûteux en temps de calcul.

Le choix du pas h peut s'avérer délicat. D'un côté, il doit être assez petit, a�n d'avoir unebonne approximation du gradient. De l'autre côté, lorsque ce pas est trop petit, l'erreur provenantde la résolution de l'équation d'état (cette résolution n'est jamais exacte, il reste toujours unrésidu qu'il faut prendre en compte, aussi petit soit-il) n'est plus négligeable devant la quantitéà calculer (dans notre cas, la di�érence des sorties entre deux con�gurations très proches). Cetteerreur peut venir fausser les résultats du calcul de gradient lorsque le pas hi est trop petit.

On peut remarquer que plus on sera précis sur la résolution de l'équation d'état, plus onpourra choisir h petit. On aura alors une meilleure approximation du gradient, mais celle-ci seraplus gourmande en temps de calcul.

GSE : Global Sensitivity Equation

La méthode GSE est une méthode adjointe, on utilise l'information apportée par l'équationd'état et sa dérivée. Cette méthode est décrite dans [BS06, SAS98, CDF+93].

� Considérons p = [x, z] l'ensemble des variables de conception.� On e�ectue une analyse multi-disciplinaire, ce qui nous donne yp = [yp1 , y

p2 ], en utilisant les

équations d'état (cf équation (2.3)) :

R(p, yp) = 0⇐⇒

{R1(p, yp1 , y

p2) = yp1 − Y1(p, yp2) = 0,

R2(p, yp1 , yp2) = yp2 − Y2(p, yp1) = 0.

� On considère que, pour toutes les con�gurations p′ proches de la con�guration p, on peutrésoudre le système couplé et dé�nir des variables de couplage yp

′satisfaisant l'équation

d'état :∀p′ ∈ Vp, R(p′, yp

′) = 0. (2.10)

� Alors la dérivée de R par rapport à p est nulle, c'est-à-dire : DpR = 0.� Par dé�nition de R, on obtient les équations suivantes :

{Dpy1 − ∂pY1 − ∂y2Y1Dpy2 = 0,

Dpy2 − ∂pY2 − ∂y1Y2Dpy1 = 0.(2.11)

� On arrive ainsi au système linéaire suivant :

Id −∂y2Y1

−∂y1Y2 Id

Dpy1

Dpy2

=

∂pY1

∂pY2

(GSE). (2.12)

� Les sensibilités disciplinaires ∂y2Y1, ∂y1Y2, et ∂pYi peuvent être fournies par les disciplines,ou bien, au pire des cas, calculées par di�érences �nies.

� La résolution du système linéaire (GSE) nous donne les sensibilités globales : Dpy.


La méthode GSE est bien moins coûteuse en terme de calcul que la méthode des di�érences�nies, qui nécessite un calcul couplé par variables de conception. Avec la méthode GSE, il y a unseul calcul couplé et les dérivées sont soit fournies par les disciplines, soit calculées par di�érences�nies, discipline par discipline, ce qui n'implique pas de calcul couplé supplémentaire. On peutdonc payer le prix en temps de calcul pour résoudre l'équation d'état de manière très précise,cette dernière n'étant résolue qu'une seule fois, et ainsi obtenir des gradients avec une bonneprécision.

La méthode GSE permet de calculer les gradients pour un plus grand nombre de paramètres.On peut ainsi déterminer lesquels ont le plus d'in�uence sur les critères étudiés, et choisir l'ensem-ble des paramètres les plus pertinents (cf section 2.1.1).

2.1.4 Dé�nition de l'optimisation

Les sorties de ces disciplines détermineront les fonctions objectifs et contraintes. L'optimisa-tion peut se faire à un niveau global, où toutes les di�érentes variables seront traitées au mêmeniveau. Il peut aussi y avoir des optimisations sur di�érents niveaux, où certaines variables serontoptimisées par leur discipline, et un optimiseur fédérera les calculs au niveau système. Nous ap-pellerons variables système les variables qui sont gérées par l'optimiseur système, et variablesdisciplinaires celles qui sont gérées par des optimiseurs disciplinaires.

Nous verrons cela plus en détail dans la section 2.2 traitant des formulations pour l'optimisa-tion multi-disciplinaire. En ce qui concerne l'optimisation et ses algorithmes, nous nous référeronsà [BKS06, Van01b, Gui03]. L'algorithme généralement utilisé pour ce genre de problème est l'al-gorithme SQP2. Il permet de traiter les problème sde minimisation sous contraintes non linéaires.Une description de cet algorithme est donné dans [Ber04]3.

Fonction(s) objectif

L'objectif recherché est fonction des sorties disciplinaires Y . Par exemple une discipline peuttraiter de la performance de l'avion et l'objectif peut représenter le rayon d'action ou DOC4.

Lorsque l'on a une optimisation sur plusieurs niveaux, il faut pouvoir dé�nir des objectifspour chaque discipline. Minimiser la masse pour la structure, ou maximiser la �nesse en ce quiconcerne l'aérodynamique, sont des exemples d'objectifs disciplinaires.

Contraintes

Les contraintes peuvent intervenir sur plusieurs niveaux. Soit elles ne concernent qu'une seulediscipline, soit elles interviennent au niveau système.

� Les contraintes de borne limitent le champ d'exploration d'une variable. Dans de nombreuxcas, à l'optimum, les variables arrivent en butée pour la plupart de ces contraintes. Le choixdes valeurs des bornes joue un rôle essentiel pour la con�guration optimale obtenue.

pl ≤ p ≤ pu.

� Les contraintes d'inégalité limitent en général les sorties des disciplines :

G(p, y) ≤ 0.

2SQP : Sequential Quadratic Programming.3http ://www.applied-mathematics.net/optimization/thesis_optimization.pdf4DOC : Direct Operating Cost.


� Les contraintes d'égalité peuvent servir à la gestion des variables de couplage, en consid-érant l'équation d'état (cf section 2.1.2) :

H(p, y) = R(p, y) = y − Y (p, y) = 0.

Problème d'optimisation

Au �nal, le problème d'optimisation sera décrit de la façon suivante :

minp,y

F (p, y),

G(p, y) ≤ 0,H(p, y) = 0,pl ≤ p ≤ pu.

(2.13)

On peut aussi considérer le cas où l'on a plusieurs objectifs à minimiser, les fonctions F1 etF2 par exemple. Dans ce cas, on ne cherchera pas une con�guration optimale, mais un ensemblede con�gurations qui seront optimales au sens de Pareto [SC02]. Une con�guration p est Paretooptimale si et seulement si ∀p′ :

F1(p) ≤ F1(p′),ouF2(p) ≤ F2(p′).

(2.14)

Une méthode permettant de trouver ce front de Pareto est donnée en annexe B.2.

2.1.5 Méta-modèles disciplinaires

Lorsque les temps d'exécution des codes de calculs disciplinaires sont importants, il est es-sentiel de travailler avec des approximations des modèles, que l'on appelle méta-modèles, et quiprésentent l'avantage de fournir des résultats beaucoup plus rapidement que les modèles origi-naux. Les spécialistes des disciplines choisissent le méta-modèle qui convient le mieux. Il existedes méta-modèles spéci�ques à une discipline qui prennent en compte la physique en jeu, et aucontraire des méta-modèles généralistes.

Nous allons passer en revue les di�érents méta-modèles. On pourra se référer au rapportfait dans le cadre du projet DOOM qui décrit ces méthodes [BSBM07]. Les modèles réduitsfournissent un moyen pratique pour réduire la complexité en MDO. Ces derniers possèdent unevalidité locale, à l'intérieur d'une région de con�ance appropriée :

� la linéarisation est valide pour un grand nombre de paramètres, si l'on utilise les méthodesadjointes, mais uniquement dans une petite région de con�ance ;

� les méthodes de surface de réponse ont en général un domaine de validité assez grand, maispour un petit nombre de paramètres.

Le schéma 2.2 montre la construction d'un méta-modèle disciplinaire.

Approximation du premier ordre

La façon la plus simple de construire un méta-modèle disciplinaire local est de linéariser lessorties disciplinaires Y (x, y, z) :

On obtient :

Y(x,y,z)(x′, y′, z′) = Y (x, y, z) + ∂xY.(x′ − x) + ∂zY.(z′ − z) + ∂yY.(y′ − y) (2.15)


?

?

?

?

Yk

Y (x′, z′, y′)

x, z, yk

Méta-modèle(x, z, y, Y )

x′, z′, y′

Discipline i

Fig. 2.2 � Méta-modèle disciplinaire.

Dans certains cas, il est plus commode d'utiliser une transformation des variables pour ef-fectuer l'approximation linéaire (par exemple, en mécanique des structures, il est fréquent delinéairiser selon l'inverse des variables de propriété de matériaux).

Le prix à payer pour l'utilisation de cette méthode est d'avoir une taille de région de con�ancepetite. Le domaine de validité du méta-modèle disciplinaire peut être déterminé avec la méthodedes régions de con�ance [Rav07]. Nous pouvons aussi choisir une taille �xe. Il faut qu'elle soitassez petite pour permettre à l'optimiseur de ne pas partir vers des con�gurations fausses, mais ilfaut aussi qu'elle soit assez grande pour permettre d'atteindre l'optimum sans avoir à réactualiserle méta-modèle un trop grand nombre de fois.

L'avantage de cette méthode est que l'on peut s'a�ranchir du nombre de variables. En e�et,la méthode adjointe (mode inverse en di�érentiation automatique) peut être considérée pour lescalculs des gradients en grande dimension [Gri00, Mor85]. Dans ce cas, le coût de calcul desgradients est guère plus élevé que celui les fonctions objectifs et contraintes, et reste indépendantdu nombre de variables.

Approximation par surface de réponse

Pour construire des modèles réduits, on procède de la façon suivante :

1. choix d'un échantillon d'entrée : nous utilisons des méthodes DOE (Design Of Experiments)pour sélectionner un échantillon de points : x, z, y de taille n où n est petit ;

2. calcul des sorties Ykpour chacun des points x, z, yk (k ∈ [1, n]), avec le code de calcul

correspondant au modèle physique original ;

3. construction d'un méta-modèle,

4. le méta-modèle donne Y (x′, z′, y′) : l'approximation des sorties au point [x′, z′, y′].

Il existe deux catégories de méthodes pout construire les méta-modèles :


� l'approximation des fonctions objectifs et contraintes utilisant les méthodes de surface deréponse [CST00, Vap95, Pla99], telles que les approximations polynômiales, les réseaux deneurones, les SVM (Support Vector Machine), les RBF (Radial Basis Function), etc. ;

� certains méta-modèles permettent de prendre en compte la connaissance du modèle, et ainside préserver une partie de la physique représentée. Nous pouvons citer comme exemple laméthode POD (Proper Orthogonal Decomposition) [GM97, LTB96, LA04, SK00].

Avec l'utilisation de méta-modèles, l'évaluation de la fonction coût est si peu coûteuse qu'ilest possible d'utiliser des algorithmes génétiques [MNP98, Pér98], et d'autres algorithmes d'op-timisation globale [Kel99b, Kel99a, MKRHU99].

A�n d'être cohérent au sein d'une optimisation (en particulier dans le cas d'algorithmes déter-ministes à base de gradient), les méta-modèles doivent satisfaire plusieurs conditions.

• Les méta-modèles doivent évoluer avec le point. Ils doivent fournir un domaine de validité.À l'intérieur de ce domaine, la qualité des réponses est acceptable dans le cadre d'uneoptimisation. Lorsqu'on arrive au bord de ce domaine, il faut réactualiser le méta-modèle,a�n qu'il soit �able autour du point de conception courant.

• La construction et l'utilisation du méta-modèle au sein de l'optimisation ne doit pas êtreplus coûteuse que l'utilisation du code de calcul brut. Il convient pour cela de choisir desméta-modèles e�caces et adaptés.

• À l'optimum, on cherche à maximiser la �abilité des réponses du méta-modèle. Il faut,d'une part, que les sorties du méta-modèle soient exactes au point courant, a�n d'être sûrdes valeurs des objectifs et des contraintes obtenues. Il faut aussi que les dérivées soientexactes au point courant, a�n de s'assurer que les conditions d'optimalité du premier ordresoient bien respectées.[Pow07] préconise que même la dérivée seconde doit être exacte à l'optimum.

Ces propriétés sont présentes dans le cas des méta-modèles linéaires. Pour montrer la via-bilité de l'utilisation de méta-modèles dans l'optimisation multi-disciplinaire, on peut commenceravec les approximations linéaires. A�n d'obtenir de meilleurs résultats, on peut essayer d'autresméta-modèles plus évolués et plus adaptés aux disciplines, mais qui respectent les conditionsvues précédemment.

Conclusion

Nous avons vu dans cette section les di�érents outils qui serviront à constituer des stratégiesd'optimisation multi-disciplinaire. Les disciplines prennent en entrée di�érentes variables, dontles variables de couplage, qui permettront d'assurer l'équilibre interdisciplinaire avec une MDA ;on pourra ensuite calculer les gradients des sorties disciplinaires à l'aide de la méthode GSE.Les sorties des disciplines dé�niront les fonctions objectifs et contraintes de notre problèmed'optimisation. Leurs évaluations pourront être e�ectuées au travers de méta-modèles, ce quipermettra de réduire le temps de réponse des disciplines, et ainsi la durée globale du processusde conception.

Ces notions seront utilisées dans la suite du document. Elles constituent le vocabulaire debase, qui permettra de décrire les formulations pour l'optimisation multi-disciplinaire, exposéesdans la section qui suit.


2.2 Les formulations MDO

Nous allons voir dans cette section di�érentes formulations d'optimisation multi-disciplinaire(MDO). Une formulation MDO est une manière d'associer une analyse d'un système complexeà des outils d'optimisation.

Nous pouvons classer ces méthodes selon deux critères.

1. L'optimisation peut se faire sur un ou plusieurs niveaux :� toutes les variables de conception sont au même niveau, nous avons une formulationmono-niveau, on parle alors d'analyse distribuée : les disciplines contribuent seulementà la description des phénomènes physiques, et les principaux choix de conception se fontau niveau système ;

� les variables locales peuvent être optimisées par leur propre discipline, c'est une for-mulation multi-niveaux, on parle alors de conception distribuée : ici, les disciplinesparticipent aux choix de conception, en choisissant les valeurs des variables qui leur sontattitrées, et le niveau système assure que l'optimisation se déroule dans le sens de l'ob-jectif global.

2. Les variables de couplage peuvent être gérées soit au niveau du solveur multi-disciplinaire,soit au niveau de l'analyse système :� à chaque analyse système, on résout une MDA,� les variables de couplage sont ajoutées aux inconnues du problème d'optimisation. Ellesdoivent satisfaire des contraintes d'égalité du type : Y (p, y)− y = 0. Ces contraintes ex-priment le fait que l'équation d'état est satisfaite.

Nous allons voir plusieurs formulations MDO, à savoir les méthodes MDF, IDF, AA0, CO,BLISS, sa variante BLISS 2000, et DIVE. Ces dernières sont classées dans le tableau 2.1, selonces deux critères.

MDA contraintes d'égalité surl'équation d'état

optimisationmono-niveau MDF IDF / AAO

optimisationmulti-niveaux BLISS / DIVE CO / BLISS 2000

Tab. 2.1 � Classi�cation des formulations MDO.

Les méthodes DIVE et BLISS 2000 présentent des solutions pour utiliser des méta-modèlesadaptatifs au sein de l'optimisation multi-disciplinaire.

Comme pour la section précédente, a�n de simpli�er l'exposé des formulations, nous consi-dérons ici un système composé de deux disciplines.

2.2 Les formulations MDO 41

2.2.1 MDF : Multi-Disciplinary Feasible

Cette méthode est la plus classique. On la retrouve aussi sous le nom de AIO (All In One),ou FIO (Fully Integrated Optimization) [CDF+93, BS06, Lab04].

Principe

C'est une formulation mono-niveau, où le couplage est pris en charge par une MDA. L'opti-misation se fait sur les variables de conception p = [x, z].

Le système e�ectue une analyse couplée, a�n de déterminer les sorties des disciplines quiassurent l'équilibre du système. Il e�ectue ensuite le calcul des gradients, par exemple avec laméthode GSE (cf section 2.1.3). L'optimiseur récupère les valeurs de la fonction coût et descontraintes, ainsi que leurs gradients. À partir de ces informations, il va demander une analysesystème pour un nouveau point. Du point de vue de l'optimiseur, le système entier peut êtreconsidéré comme une �boîte noire�.

Algorithme

Voici la procédure de la formulation MDF :

1. point de départ : p = [x, z] ;

2. l'analyse multi-disciplinaire (MDA) détermine les variables de couplage y ;

3. on en déduit les fonctions coût F et les contraintes G ;

4. le calcul des gradients (méthode GSE) donne les sensibilités globales Dpy ;

5. on en déduit les gradients des objectifs DpF et des contraintes DpG ;

6. l'optimiseur choisit un nouveau point p ;

7. on itère les étapes 1-6 jusqu'à la convergence de la procédure.

Remarque

L'avantage de cette méthode est qu'elle satisfait l'équation d'état pour chaque point de calcul.Lorsque l'on utilise par exemple l'algorithme CFSQP (C code for Feasible Sequential QuadraticProgramming [LT01]), on est assuré, dès que l'on trouve un point satisfaisant les contraintes, queles points suivants restent admissibles.

Il est important d'avoir une précision sur l'analyse du système (MDA) plus �ne que le pasutilisé pour le calcul des sensibilités, a�n d'avoir des gradients cohérents. Cependant, la résolu-tion d'un système couplé en chaque point de l'optimisation peut s'avérer coûteuse en temps.

La méthode IDF que nous décrivons dans la section suivante essaye de traiter les variablesde couplage di�éremment.

Le schéma 2.3 représente le fonctionnement de la méthodologie MDF.

2.2.2 IDF : Individual Disciplinary Feasible

Le premier constat pour la méthode MDF (décrite dans la section précédente) est que larépétition des calculs couplés peut s'avérer lourde en temps de calcul. La solution proposée avecles méthodes de type IDF consiste à remplacer les liens directs entre les disciplines, c'est-à-dire lecouplage, par des contraintes d'égalité. Ces contraintes permettent à l'optimiseur d'assurer unecohésion interdisciplinaire. Cette formulation est exposée dans [CDF+93, BS06, Sim98, Bro04,NMA99].


6

?

?

?

D1

y2

Optimisation système

y1

p = [x, z]

MDA

F G DpGDpF

G(p) ≤ 0pl ≤ p ≤ pu

sous contraintes :

minpF (p)

Analyse système

D2

Fig. 2.3 � Diagramme de la formulation MDF.


Principe

C'est une méthode mono-niveau, où le couplage est géré par des contraintes d'égalité.L'optimiseur contrôle toutes les variables : locales x, partagées z et de couplage y.Une contrainte d'égalité permet d'assurer que l'équation d'état est satisfaite, et garantit la

cohérence interdisciplinaire. Cette contrainte est la suivante :

Y (p, y)− y = 0. (2.16)

À chaque analyse du système, un seul appel à chaque discipline est e�ectué. Il renvoie à l'opti-miseur les valeurs des sorties Y .

Algorithme

Voici la procédure de la formulation IDF :

1. donnée du point de départ : [x, z, y] ;

2. l'analyse disciplinaire détermine les sorties Y ;

3. calcul des fonctions coût F , contraintes d'inégalité G et d'égalité H = Y − y ;4. calcul des sensibilités disciplinaires : donne ∂[x,z,y]Y ;

5. calcul de ∂[x,z,y]F ; ∂[x,z,y]G et ∂[x,z,y]H ;

6. choix d'un nouveau point [x, z, y] par l'optimiseur ;

7. on itère 1-6 jusqu'à la convergence.

Remarques

Il y a autant de contraintes d'égalité que de variables de couplage. Un nombre élevé de vari-ables de couplage peut poser problème, car les algorithmes d'optimisation ont plus de di�cultésà gérer un grand nombre de contraintes d'égalité non linéaires.

L'avantage de ces méthodes utilisant les contraintes d'égalité sur l'équation d'état interdis-ciplinaire, par rapport aux méthodes utilisant la MDA, est qu'elles permettent de traiter lesproblèmes où il existe des con�gurations non faisables (avec des con�gurations dites non fais-ables, on ne peut pas trouver de variables de couplage associées satisfaisant l'équation d'état).On peut avoir des con�gurations trop �mauvaises�, pour lesquelles il devient di�cile de calculerla physique qui les régit, ou du moins d'en assurer la cohérence. Le problème d'équilibre inter-disciplinaire ne dépend plus seulement des variables de couplage y, mais aussi des variables deconception p. La méthode IDF permet de pallier ce genre de problème, et c'est son principalavantage par rapport à la méthode MDF.

Le schéma 2.4 illustre cette formulation.

2.2.3 AAO : All-At-Once

La méthode AAO est aussi appelée �one shot�, SAND ou SAD (Simultaneous Analysis andDesign) [BGKS96, AL00, GHN96].

Principe

De même que pour la méthode IDF, les variables de conception et de couplage sont traitéesau même niveau, et la cohérence interdisciplinaire est assurée par une équation d'égalité surl'équation d'état du système. La di�érence avec la méthode IDF est que les équations d'état


??

?

minx,z,y

F (x, z, y)

D1

F,G, Y

x2, z, y1

x, z, y

Y − y = 0G(x, z, y) ≤ 0zl ≤ z ≤ zu

xl ≤ x ≤ xu

sous contraintes :

D2

Analyse disciplinaire


x1, z, y2

D[x,z,y][F,G, Y ]

Fig. 2.4 � Diagramme de la formulation IDF.

disciplinaires (dont la résolution permet de déterminer les sorties disciplinaires) ne sont plusrésolues au niveau de la discipline, mais au niveau de l'optimiseur système. Par exemple, leproblème de mécanique des structures peut être vu comme la minimisation de l'énergie potentielleet revient à la résolution d'un système linéaire. Ce dernier donnera lieu à une contrainte d'égalitédans le problème d'optimisation (lignes �équations d'état disciplinaires� dans (2.17)) :

minx,z,y

F (x, z, y1, y2),

G(x, z, y1, y2) ≤ 0,xl ≤ x ≤ xu,zl ≤ z ≤ zu,y1 = t1,y2 = t2,

cohésion interdisciplinaire

t1 = Y1(x, z, y2),t2 = Y2(x, z, y1).

équations d'état disciplinaires

(2.17)

Remarque

Cette méthode peut être très e�cace, mais sa convergence est compromise lorsque certainesdes équations d'état disciplinaires sont fortement non-linéaires. Nous pouvons prendre commeexemple l'équation de Navier-Stokes pour la discipline mécanique des �uides : même dans uncontexte monodisciplinaire, la convergence n'est pas toujours acquise.


2.2.4 CO : Collaborative Optimization

Cette méthode est présentée dans [BS06, Bro04, BGKS96, AKZP05, NMA99, Lin04, AR00].

Principe

C'est une méthode multi-niveaux, où le couplage est géré avec des contraintes d'égalité. Ellereproduit le fonctionnement des entreprises, où le niveau système donne des consignes que lesdisciplines essayent de respecter.

L'optimisation se fait sur deux niveaux : système et discipline.Au niveau système, l'optimiseur gère les variables partagées z et les variables de couplage y,

de manière à minimiser la fonction coût, tout en respectant les contraintes système.Au niveau disciplinaire, le système envoie les variables de couplage y comme consignes aux

disciplines, et les valeurs des variables partagées z. La discipline i gère ses variables locales xi,ainsi qu'une copie des variables partagées zi. Elle choisit les valeurs de xi et zi de manière àrespecter au mieux les consignes données par le système, et de coller au mieux aux variablespartagées z, tout en respectant les contraintes disciplinaires. Par exemple, pour déterminer x1

et z1, la discipline 1 résout le problème de minimisation sous contraintes suivant :

minx1,z1‖y1 − Y1(x1, z1, y2)‖2 + ‖z − z1‖2.

G1(x1, z1, z, y2) ≤ 0xl1 ≤ x1 ≤ xu1zl1 ≤ z1 ≤ zu1

(2.18)

Le couplage, ainsi que la convergence des copies des variables partagées z1 et z2, sont assurésau niveau système par les contraintes suivantes d'égalité :

H =

Y (x, z, y)− y = 0,z − z1 = 0,z − z2 = 0.

(2.19)

Algorithme

La procédure de la méthode CO est la suivante :

1. Point de départ : [z, y] ;

2. optimisations disciplinaires : on cherche les variables locales et les copies des variablespartagées zi qui optimisent le problème (2.18) : détermination de x1, x2, z1, z2 et Y ;

3. on en déduit les fonctions coût F , et les contraintes d'inégalité G et d'égalité H ;

4. le calcul des sensibilités disciplinaires donne ∂[z,y]Y ;

5. on en déduit les gradients ∂[z,y]F , ∂[z,y]G et ∂[z,y]H ;

6. l'optimiseur choisit un nouveau point [z, y] ;


La �gure 2.5 représente la méthode CO.


-

-

? ?

Optimisation disciplinaire 1

Optimisation disciplinaire 2

minz,y

F (z, y)

minx1,z1

‖y1 − Y1(x1, z1, y2)‖2 + ‖z − z1‖2

sous contraintes :

zl ≤ z ≤ zu

y − Y = 0


xl1 ≤ x1 ≤ xu

1

sous contraintes :

G(z, y) ≤ 0

z − z1 = 0z − z2 = 0

z, y

zl1 ≤ z1 ≤ zu

1

G1(x1, z1, y2) ≤ 0

minx2,z2

‖y2 − Y2(x2, z2, y1)‖2 + ‖z − z2‖2

sous contraintes :

xl2 ≤ x2 ≤ xu

2

zl2 ≤ z2 ≤ zu

2

G2(x2, z2, y1) ≤ 0

Y, z1, z2

Fig. 2.5 � Diagramme de la formulation CO.


2.2.5 BLISS : Bi-Level Integration System Synthesis

Cette formulation est exposée dans [BS06, SAS98, KY00].

Principe

C'est une méthode multi-niveaux, où les variables de couplage sont gérées par une MDA.On part du point p0 = [x0, z0]. Une analyse multi-disciplinaire détermine les variables de

couplage y0, et les valeurs des fonctions objectifs F0 = F (x0, z0) et contraintes G0 = G(x0, z0).Une analyse de sensibilité globale (GSE) nous donne les valeurs des gradients DpF0 et DpG0.Nous pouvons construire en p0 une approximation linéaire locale de F et G : F (p) = F0 + DpF0(p− p0),

G(p) = F0 + DpG0(p− p0).(2.20)

Optimisation des variables locales xi de la discipline iminxi

∂xiF0(xi − xi0),

G0 + ∂xiG0(xi − xi0),≤ 0

xli ≤ xi ≤ xui .

(2.21)

On récupère les optima xopt et les coe�cients de Lagrange λ associés aux contraintes. Onpose :

Fxopt = F0 + ∂xF0(xopt − x0),

Gxopt = G0 + ∂xG0(xopt − x0).(2.22)

Les fonctions coût et contrainte au niveau global sont les suivantes (voir annexe A) :

f(Z) = Fxopt +(∂zF0 + λT∂zG0

)(z − z0),

g(Z) = G−xopt + ∂zG−0 (z − z0),

(2.23)

où G−xopt correspond aux contraintes non saturées après les optimisations disciplinaires.

Optimisation des variables globales z

A�n d'obtenir zopt, on résout le système suivant :minz

(∂zF0 + λT∂zG0

)(z − z0),

G−xopt + ∂zG−0 (z − z0) ≤ 0,

zl ≤ z ≤ zu.

(2.24)


Algorithme

Voici le processus de la formulation BLISS :

1. nous partons du point : p0 = [x0, z0] ;

2. une analyse multi-disciplinaire nous donne les valeurs de F0 et G0 ;

3. l'analyse de sensibilité globale nous donne ∂xF0, ∂xG0, ∂zF0 et ∂zG0 ;

4. optimisation disciplinaire : xopt et λ (paramètres de Lagrange) ;

5. optimisation des variables globales : zopt ;

6. mise à jour des variables : x0 = xopt et z0 = zopt ;


Remarque

Il convient d'utiliser une méthode de région de con�ance pour la gestion des variables partagées,a�n d'assurer une bonne �abilité de l'approximation linéaire.

Cette formulation est représentée sur la �gure 2.6.

?

?

-

?

?

?

MDA

GSE

y, F0, G0


x0 = xopt

z0 = zopt

zopt

[x0, z0]

Mise à jour des variables

∂zG0∂zF0

∂xF0 ∂xG0

xoptλ

Optimisation disciplinaire

Fig. 2.6 � Diagramme de la formulation BLISS.


2.2.6 BLISS 2000

La méthode BLISS 2000 dérive de la méthode précédente. Elle généralise ici l'utilisation deméta-modèles disciplinaires. Cette formulation est décrite dans l'article [Agt00].

Principe

C'est une formulation multi-niveaux où le couplage est géré par une pénalisation de l'équationd'état. Nous montrons ici comment chaque discipline choisit ses variables locales, puis commentsont construits les di�érents méta-modèles, et en�n nous exposons le problème d'optimisationglobal.

Optimisations localesLes variables locales sont solutions d'un problème d'optimisation disciplinaire. Ce problèmedépend des variables partagées z, des variables de couplage y et des poids w. Ces poidsvont servir à déterminer la fonction coût. La variable w se décompose en w = [w1, w2],où w1 (resp. w2) sont les poids de la discipline 1 (resp. discipline 2). Par exemple, pourla discipline 1, chaque poids w1j va servir à pondérer les sorties disciplinaire Y1j pourconstruire la fonction coût disciplinaire F1 au point [z, y, w] :

F1(x1, z, y2) =n1∑j=1

w1jY1j(x1, z, y2), (2.25)

où n1 est le nombre de sorties Y1 de la discipline 1. Le problème d'optimisation disciplinairepour la discipline 1 est alors :

minx1

n1∑j=1

w1jY1j(x1, z, y2),

G1(x1, z, y2) ≤ 0,xl1 ≤ x1 ≤ xu1 .

(2.26)

Construction des méta-modèles disciplinairesOn choisit un échantillon de points z, y, w. La méthode de tirage de l'échantillon peut êtreun hypercube latin.Pour chacun des points z, y, wk = [zk, yk, wk] de cet échantillon, on e�ectue une optimisa-tion locale pour chaque discipline.Les sorties optimisées seront notées Y k : Y k = Y (xopt

k, zk, yk), avec xoptk les valeurs locales

optimales trouvées pour la con�guration [zk, yk, wk].Après avoir e�ectué les optimisations disciplinaires pour tout l'échantillon z, y, w, on ob-tient un échantillon de sorties Y .On peut alors construire les méta-modèles disciplinaires à partir des échantillons d'entréeset de sorties (cf section 2.1.5). Ces méta-modèles prennent en entrée les variables [z, y, w],et renvoient en sortie une approximation des sorties disciplinaires optimisées : Yi(z, y, w).

Optimisation globaleLa fonction coût globale F est l'une des sorties des disciplines, par exemple de la disciplineperformance. L'optimisation système se fait au travers des méta-modèles. Les variables


[z, y, w] doivent être solutions du problème (2.27) :

minzF (z, y, w),

y − Y (z, y, w) = 0,G(z, y, w) ≤ 0,zl ≤ z ≤ zu,yl ≤ y ≤ yu,wl ≤ w ≤ wu.

(2.27)

La cohérence interdisciplinaire est assurée par la contrainte y − Y (z, y, w) = 0.On e�ectue un calcul disciplinaire au point [z, y, w]opt obtenu et on véri�e que l'erreur entre

les vraies sorties des codes Y (z, y, w) et celles des méta-modèles Y (z, y, w) est assez petite poura�rmer la convergence du processus.

Si elle est trop grande, on réduit l'intervalle de variation des variables z, y, et w en le centrantautour des valeurs optimales trouvées et on itère le processus.

Algorithme

La procédure de BLISS 2000 est la suivante :

1. choix d'un échantillon de points z, y, w ;

2. optimisations disciplinaires pour chaque point de z, y, w → échantillon des sorties disci-plinaires optimisées Y ;

3. constructions de méta-modèles disciplinaires à partir z, y, w et Y ;

4. optimisation du système approché par les méta-modèles → [zopt, yopt, wopt] ;

5. test de convergence sur la di�érence entre les sorties des méta-modèles et les sorties desvrais codes disciplinaires : Y (zopt, yopt, wopt)− Y (zopt, yopt, wopt) ;� si oui, arrêt,� si non retour à 1.

Remarque

Les poids w sont choisis par une méthode d'échantillonage dans un intervalle donné. Parexemple, pour la discipline 1, les poids w1j associés à la sortie Y1j sont pris dans l'intervalle[w1jmin, w1jmax]. Lorsque l'on ne possède pas d'information particulière sur la fonction coûtdisciplinaire, l'intervalle conseillé dans l'article de référence [Agt00] est [−2, 2] pour chacun despoids. Lorsque l'on sait quelle sortie peut faire o�ce de fonction coût, on peut �xer le poidscorrespondant à 1 pour minimiser cette sortie ou -1 pour la maximiser, et mettre à 0 les autrespoids pour cette discipline.

Cette formulation est représentée sur la �gure 2.7.


?

?

?

?

?

-

�Choix d'un échantillon de points z, y, w


Stop

oui

z, y, w

Y

[zopt, yopt, wopt]

Convergence ? Y − Y Réduction des intervalles de z, y, et w

Contruction de méta-modèles disciplinaires

Optimisations disciplinaires

Y

non

Fig. 2.7 � Diagramme de la formulation BLISS 2000.

2.2.7 DIVE : Disciplinary Interaction Variable Elimination

La formulation DIVE, inspirée de la méthode BLISS 2000 (cf section 2.2.6), est décrite dans[MPHC08].

Principe

C'est une méthode multi-niveaux où le couplage est géré avec une MDA. Comme son noml'indique, cette méthode cherche à réduire la complexité du problème d'optimisation par uneélimination en trois temps des di�érents types de variables.

Élimination des variables locales xDans un premier temps, chaque discipline optimise par rapport à ses variables locales x,a�n de minimiser une fonction objectif qui lui est propre. Elle doit aussi tenir comptedes contraintes locales. Cela peut être par exemple minimiser la masse pour la disciplinestructure ou maximiser la �nesse pour le module aérodynamique.Nous laissons à chaque discipline le soin de dé�nir sa fonction objectif Fi.


Les problèmes d'optimisation disciplinaires sont alors les suivants :minxi

Fi(xi, z, y),

Gi(xi, z, y) ≤ 0,xli ≤ xi ≤ xui .

(2.28)

Les variables locales xi sont donc gérées par les disciplines qui fourniront des sorties opti-misées par rapport à ces dernières, et elles seront transparentes pour le reste du système.Dans certains cas, il est plus commode de traiter les variables locales comme des variablesglobales. On évite de faire une optimisation par rapport à x à chaque sollicitation de ladiscipline.

Élimination des variables de couplage yLes variables de couplage y doivent minimiser les résidus de l'équation d'état :

miny‖Y (z, y)− y‖2. (2.29)

Cette approche spéci�que à la méthode DIVE pour résoudre les équations d'état du systèmedi�ère des autres formulations où l'on trouve le plus souvent l'utilisation d'une méthode depoint �xe (MDF : cf section 2.2.1, BLISS : cf section 2.2.5) ou bien l'ajout de contraintesd'égalité (IDF : cf section 2.2.2, CO : cf section 2.2.4). Cette caractéristique fait de DIVEune méthode plus robuste, car elle pose mieux le problème de résolution de l'équationd'état et permet de le traiter de façon plus e�cace avec des techniques de minimisationclassiques. La méthode de Gauss-Newton est certainement la mieux adaptée à la résolutionde ce type de problèmes. On trouve aussi des cas où la méthode de point �xe s'avère trèse�cace.

Élimination des variables globales zLes variables partagées sont traitées au niveau de l'optimiseur système. Les contraintes nepouvant pas être satisfaites aux niveaux disciplinaires seront remontées au niveau système,où elles ne dépendent désormais que des variables partagées z.Les disciplines utilisent des méta-modèles pour leurs sorties, comme ceux vus en section2.1.5. Ces méta-modèles disciplinaires renvoient, en plus des sorties Y , un indice αi sur la�abilité de la réponse fournie par le méta-modèle. Lorsque αi < 0, le méta-modèle est valideen ce point, sinon, il faut le réévaluer, a�n d'avoir une évaluation disciplinaire correcte. Cetindice, qui peut traduire la fonction indicatrice d'une région de con�ance, permet de savoirs'il faut ou non réactualiser le méta-modèle disciplinaire.Le problème qu'il faut résoudre au niveau global est le suivant :

minzF (x, z, y),

Gi(z) ≤ 0,αi(z) ≤ 0,zl ≤ z ≤ zu.

(2.30)

La solution obtenue doit satisfaire plusieurs conditions pour être considérée comme solutiondu problème de conception :� la �abilité de chaque méta-modèle doit être véri�ée au point optimal ;� si l'optimum est situé sur le bord du domaine de validité du méta-modèle (c'est-à-direlorsque l'indice de �abilité véri�e αi = 0), il faut réévaluer ce méta-modèle autour del'optimum et relancer l'optimisation ;


� si les équations d'état ne sont pas résolues de manière assez précise, il faut aussi réévaluerles méta-modèles.

La con�guration va ainsi évoluer dans l'espace de conception, jusqu'à l'obtention d'unesolution globale.

Algorithme

L'algorithme de la méthode DIVE est le suivant :

1. initialisation des variables z et des méta-modèles disciplinaires ;

2. élimination des variables locales x ;

3. élimination des variables de couplage y ;

4. résolution du problème d'optimisation en z ;

5. véri�cation de la qualité de la solution optimale zopt :� si la solution est sur le bord du domaine de validité, ou si les équations d'état ne sontpas satisfaites : ré-actualisation des méta-modèles autour de ce point,

� si cette solution est valide, arrêt.

Remarques

Voici les principales particularités de cette formulation :� le choix des optimisations disciplinaires est laissé aux expert des disciplines (un exemplede choix de fonctions coût allant dans le sens de la fonction objectif globale est donné pourle cas-test Sobieski (cf section 1.2.2)) ;

� une importance particulière est donnée à la résolution précise des équations d'état enformulant cette étape comme un problème d'optimisation et en véri�ant qu'à l'optimumces équations sont bien résolues de manière précise ;

� l'évaluation de la �abilité des méta-modèles disciplinaires fait de la méthode DIVE unegénéralisation de la méthode des régions de con�ance ;

� dans certaines circonstances, la formulation DIVE est similaire à d'autres formulations :� si l'on n'utilise pas de méta-modèles et que l'on considère toutes les variables au niveauglobal, cela revient à la formulation MDF ;

� l'évaluation de la qualité de l'optimum, par rapport à la �abilité donnée par chacun desméta-modèles disciplinaires et à la précision de la résolution des équations d'état, assurela robustesse de cette méthode.

La méthode DIVE est inspirée de la méthode BLISS 2000, les principales di�érences entreces deux formulations sont les suivantes.

� Les fonctions coût disciplinaires sont déterminées par la discipline. Ce n'est pas une sommepondérée par les variables w comme avec BLISS 2000. On réduit le nombre de variables àgérer au niveau système, car les poids n'interviennent pas dans DIVE.

� Pour BLISS 2000, les variables de couplage sont traitées au même niveau que les variablespartagées, avec une pénalisation de l'équation d'état. Pour DIVE, elles sont traitées sé-parément en amont. On réduit encore le nombre de variables au niveau système on résoutavec précision l'équation d'état.

A�n de prouver la viabilité de cette formulation, on peut utiliser par exemple les méta-modèleslinéaires (cf section 2.1.5), avec une région de con�ance assez petite pour assurer la convergence


du processus.

Le schéma de la formulation DIVE est exposé sur la �gure 2.8.

6

?

6

?

6 6

�

-

-

Y y

Y

zoptOUI

z

minzF (z)sous contraintes :

Niveau système

αi

αi ≤ 0, indices de �abilité des méta-modèles

zl ≤ z ≤ zu

G(z) ≤ 0

Élimination des variables de couplage

NONzopt acceptable ?

Niveau disciplinaire

D2 : x2D1 : x1

miny‖Y − y‖2

Actualise Méta-Modèles

Fig. 2.8 � Diagramme de la formulation DIVE.

Conclusion

Nous avons dressé un état de l'art des formulations MDO dans ce chapitre, en dé�nissantles éléments de base et en montrant les di�érentes manières de les assembler pour en faire desstratégies d'optimisation.

Le prochain chapitre va s'intéresser à la mise en ÷uvre pratique et à l'implémentation in-formatique des formulations MDO. Il faudra parfois prendre quelques libertés par rapport aux


dé�nitions des formulations données dans la littérature, et y apporter quelques modi�cations,pour les appliquer aux di�érents cas-tests. Nous nous intéresserons aussi à la substitution descodes de calcul disciplinaires par des méta-modèles linéaires et adaptatifs.

Chapitre 3

Implémentation des formulations MDO

Sommaire

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.1 Implémentation sous ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.1 Les composants �discipline� du cas-test SSBJ . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.2 MDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.1.3 IDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1.4 CO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.5 DIVE (optimisation disciplinaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.6 Retour d'expérience de ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 Implémentation sous Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.1 Principes repris de ModelCenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.2 Implémentation des formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.3 Cas particulier de BLISS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2.4 Outils supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.2.5 Interface graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

58 Implémentation des formulations MDO

Introduction

Nous allons voir dans ce chapitre di�érentes voies pour implémenter les formulations MDO.Nous proposons ici deux approches conceptuellement opposées : tout d'abord, l'utilisation deModelCenter, un logiciel payant dédié à l'intégration de processus distribués, puis l'utilisationde Scilab, un logiciel libre pour le calcul scienti�que. Le choix de ces deux logiciels s'inscrit dansle contexte des projets liés à la thèse. En e�et, l'implémentation des formulations MDO sousModelCenter a été motivée par le projet DOOM, et l'utilisation du logiciel Scilab vient du projetOMD-RNTL, qui cherche à promouvoir ce logiciel.

Dans une première partie, nous allons examiner l'implémentation sous ModelCenter, qui estun logiciel facile d'utilisation et très pratique pour la MDO, mais payant. Nous y intégrons lecas-test Sobieski vu dans le chapitre 1 (cf section 3.1.1) et nous implémentons les formulationsMDF, IDF , CO et DIVE (cf sections 3.1.2 à 3.1.5), à l'aide des outils proposés par le logiciel.Nous ne parlons pas ici des méta-modèles.

Puis nous allons voir dans une deuxième partie la mise en place sous Scilab d'une applicationdotée d'une interface graphique pour la MDO, ainsi que l'implémentation des formulations. L'im-plémentation sous ModelCenter a permis de se faire la main sur l'implémentation des méthodeset d'en tirer quelques enseignements. Les principes vus sous ModelCenter peuvent être reprispour notre application développée sous Scilab (cf section 3.2.1). En particulier, nous pouvonsreprendre le principe qui consiste à partir de l'implémentation d'une formulation pour en créerune autre. Nous cherchons alors à implémenter les formulations de la manière la plus généralequi soit. On propose le choix d'utiliser l'optimisation des variables locales ou non, ou encore lechoix d'utiliser les méta-modèles linéaires ou non. A�n d'obtenir des résultats complémentaires,nous développons aussi des outils, comme les points de départ multiples ou la construction defront de Pareto (cf section 3.2.4). L'application prendra la forme d'une interface graphique quipermettra entre autres, de choisir les paramètres de l'optimisation, d'exécuter les formulationsMDO et de visualiser l'évolution des variables et des sorties (cf section 3.2.5).

Nous présenterons les avantages et inconvénients des deux approches, l'une avec ModelCenter,facile d'accès mais où il devient di�cile de sortir des sentiers battus (que ce soit pour des raisonsde prix, ou parce qu'il est di�cile d'implémenter de nouveaux outils pour la MDO), et l'autre avecScilab, où l'on possède une grande liberté d'action et une grande maîtrise de l'environnement,mais où chaque outil reste à créer, ce qui demande un e�ort conséquent en implémentation.

3.1 Implémentation sous ModelCenter

Dans cette partie, nous présentons l'implémentation du cas-test Sobieski (cf section 1.2) sousModelCenter. Le logiciel ModelCenter est un logiciel développé par la société Phoenix.Il esttrès ergonomique et permet de mettre en place rapidement des modèles et analyses de système,et de les coupler avec des optimiseurs, avec comme particularité la possibilité d'accéder à desmodèles distribués via le réseau (protocole HTTP). Les di�érentes disciplines ont été codées enFortran. Elles se présentent dans ModelCenter sous forme de composants. Un composant estl'encapsulation d'un code de calcul dont on décrit, à l'aide d'un langage de script, les entrées etsorties d'exécution.

Le logiciel propose des composants spéci�ques :� un composant nommé �convergeur�, pour la recherche de zéros. Il permet, lorsqu'on lui spé-ci�e les variables de couplage et les sorties associées, de trouver l'équilibre interdisciplinaire

3.1 Implémentation sous ModelCenter 59

à l'aide d'une méthode de point �xe (cf section 2.1.2) ;� un composant pour l'optimisation. Il propose plusieurs algorithmes, dont un dérivé de SQPet distribué par Vanderplaast R&D : DOT-SQP (voir [Van01a]). On lui spéci�e les sortiesqui détermineront les fonctions coût et contraintes, ainsi que les variables à optimiser. Ondé�nit ainsi le problème d'optimisation global. On peut attribuer un optimiseur une dis-cipline ou un sous-ensemble de composants, pour qu'il optimise ses variables locales parrapport à un objectif qui lui est propre.

Les liens entres les di�érentes disciplines, le composant convergeur et les modules d'opti-misation sont créés grâce à l'éditeur de liens proposé par le logiciel. On peut ainsi attribuer lesvariables aux di�érentes disciplines, spéci�er au composant �convergeur� les variables de couplageet les sorties associées, spéci�er aux composants pour l'optimisation les variables à optimiser, etspéci�er quelles sorties seront les objectifs et les contraintes de l'optimisation.

Nous allons tout d'abord détailler l'intégration des codes disciplinaires sous forme de com-posants (cf section 3.1.1), puis nous allons détailler l'implémentation de quatre formulationsMDO : la méthode MDF, la méthode IDF, la méthode CO et la méthode DIVE (cf sections 3.1.2à 3.1.5).

3.1.1 Les composants �discipline� du cas-test SSBJ

Les disciplines sont représentées par leur code de calcul. Ici, les codes sont écrits en langageFORTRAN, et fonctionnent avec des �chiers de données d'entrée et de sortie. Nous pouvons lesintégrer dans ModelCenter sous la forme de composants.

Nous allons prendre l'exemple de la discipline performance qui calcule le rayon d'action. Pouren faire un composant, nous devons créer un �chier Range.filewrapper, qui contient les instruc-tions �RunCommand�, �RowFieldInputFile inputFile� et �RowFieldOutputFile outputFile�.

À l'appel de la discipline, on va exécuter l'instruction �RunCommand� :

_________________________________________________________________________________

RunCommand

{

generate inputFile

run "Range"

parse outputFile

}

_________________________________________________________________________________

Nous allons détailler les trois temps de l'exécution de cette commande.

1. Dans un premier temps, l'instruction �generate inputFile� permet de créer un �chierd'entrée Range.txt, à partir des valeurs des variables présentes dans ModelCenter. L'in-struction �RowFieldInputFile inputFile1� décrit le nom du �chier à générer, ainsi queles di�érentes variables :

_________________________________________________________________________________

RowFieldInputFile inputFile

{

templateFile: Range.txt.template

fileToGenerate: Range.txt

1inputFile et ouputFile sont des labels permettant de renvoyer à la section correspondante.


variable: M double 2 4 description="Mach"

variable: H double 3 4 description="Altitude"

variable: Fin double 4 4 description="Finesse"

variable: Wt double 5 5 description="Masse totale"

variable: Wf double 6 6 description="Masse de carburant"

variable: Sfc double 7 5 description="Consommation spécifique"

}

_________________________________________________________________________________

On va donc prendre dans ModelCenter la valeur des di�érentes variables d'entrée du codeRange et les écrire dans le �chier Range.txt :

_________________________________________________________________________________

Valeur courante

M Mach : 1.4

H Altitude : 60000.0

Fin Finesse : 7.172897

Wt Masse totale : 73713.833041

Wf Masse de carburant : 19291.560467

Sfc Consommation spécifique : 0.931565

_________________________________________________________________________________

2. L'instruction �run "Range"� va exécuter le code de la discipline performance. Ce code iralire dans le �chier Range.txt les valeurs des variables d'entrée, e�ectuera le calcul du rayond'action et écrira les sorties dans le �chier ResRange.txt :

_________________________________________________________________________________

R Rayon d'action: 1874.825010

_________________________________________________________________________________

3. En�n, l'instruction �parse outputFile� permet à ModelCenter de lire les valeurs des sor-ties dans le �chier ResRange.txt :

_________________________________________________________________________________

RowFieldOutputFile outputFile

{

fileToParse: ResRange.txt

variable: R double 1 4 description="Rayon d'action"

}

_________________________________________________________________________________

Pour intégrer les codes disciplinaires sous forme de composants ModelCenter, il faudra doncécrire un �chier �.filewrapper� pour chacune des disciplines. À chaque appel d'un code, lessorties sont gardées en mémoire. On n'exécutera le composant que si les variables d'entrée ontété modi�ées depuis le dernier appel.

3.1.2 MDF

La formulation MDF (Multi Disciplinary Feasible, cf section 2.2.1) est la méthode la plusnaturelle : en chaque point de conception, une analyse multi-disciplinaire est e�ectuée et lessorties sont ensuite communiquées à l'optimiseur. Nous voyons dans la �gure 3.1 l'implémentationde la méthode MDF sous ModelCenter.


Fig. 3.1 � Implémentation de MDF sous ModelCenter.

Nous voyons sur cette �gure les quatre disciplines alignées en diagonale. Les trois premièresen partant du coin en haut à gauche, sont les disciplines de conception (la discipline structure, ladiscipline aérodynamique et la discipline propulsion). Elle sont reliées au composant �convergeur�situé en bas à gauche, qui permet d'e�ectuer l'analyse multi-disciplinaire.

Ces disciplines, une fois le processus d'équilibre interdisciplinaire convergé, envoient leurssorties à la discipline performance située en bas à droite, qui va calculer le rayon d'action (notrefonction objectif à maximiser) et le communiquer à l'optimiseur.

Les valeurs du rayon d'action et des contraintes disciplinaires sont visibles dans les tableauxsitués à droite. Nous voyons aussi la valeur des 10 variables de conception dans le tableau situéen haut à gauche, ainsi que le nombre d'appels aux disciplines dans le tableau situé en haut aumilieu.

Avec l'algorithme DOT-SQP, le calcul des gradients (cf section 2.1.3) est e�ectué par di�érences�nies et il n'y a pas la possibilité de fournir les gradients par un autre moyen (par exemple, avecla méthode GSE). En chaque point de conception où l'on souhaite calculer ce gradient, il faudradonc faire autant de calculs couplés qu'il y a de variables de conception.

3.1.3 IDF

La méthode IDF (Individual Disciplinary Feasible, cf section 2.2.2), permet de casser les liensdirects qui existent entre les disciplines, et de traiter le problème de couplage non plus au niveaude l'analyse du système, mais désormais au niveau de l'optimiseur. Nous voyons sur la �gure 3.2l'implémentation de la méthode IDF sous ModelCenter.

Comme nous pouvons le voir sur la �gure, dans le tableau en haut à gauche, le nombre devariables à optimiser a augmenté. L'optimiseur gère désormais les variables de conception et lesvariables de couplage. Les quatre disciplines sont situées sur la diagonale. Elles ne sont plusreliées entre elles au travers du convergeur, comme pour la méthode MDF (cf section 3.1.2). Le


Fig. 3.2 � Implémentation de IDF sous ModelCenter.

couplage est géré par l'optimiseur avec l'ajout de contraintes d'égalité sur l'équation d'état (cfsection 2.1.2) :

y − Y (p, y) = 0 (3.1)

Ces contraintes doivent être normalisées, on utilisera par exemple les contraintes suivantes :

y − Y (p, y)Y (p, y)

= 0 (3.2)

En pratique, l'algorithme DOT-SQP ne propose pas de prendre en compte les contraintes d'égalité.Une solution est de changer cette contrainte en deux contraintes d'inégalité :

−y − Y (p, y)Y (p, y)

≤ 0

y − Y (p, y)Y (p, y)

≤ 0(3.3)

L'algorithme DOT-SQP possède comme paramètre de réglage le seuil d'activation des con-traintes ca, ainsi que le seuil de violation des contraintes cv (ca et cv sont strictement positifs).

Soit Gi(p, y) une contrainte d'inégalité (on va chercher à avoir Gi(p, y) < 0 ,� lorsque Gi(p, y) ≥ −ca, la contrainte est considérée comme active, elle doit être prise encompte ;

� lorsque Gi(p, y) ≥ cv, la contrainte est dépassée, il faut faire en sorte de la réduire.

Nous voyons sur la �gure 3.3, une illustration de ces paramètres.Si l'on choisit ces paramètres trop petits, l'optimiseur s'arrête prématurément, avec une erreur

signalant qu'il ne peut pas satisfaire les contraintes d'égalité. Si on les relâche trop, les valeursdes variables de couplage ne sont plus �ables, et les valeurs des fonctions objectif et contraintesne sont plus valables : on arrive à des performances intéressantes, mais qui ne re�ètent plus laréalité. Ce dosage empirique et délicat détermine très fortement l'issue de l'optimisation.


G(p,y)<0

Contrainte dépassée

Contrainte active

G(p,y)>0

G(p,y)=0

G(p,y)=−c_a

G(p,y)=c_v

Fig. 3.3 � Seuils d'activation et de violation des contraintes.

3.1.4 CO

Dans la méthode CO (Collaborative Optimization, cf section 2.2.4), le système envoie desconsignes aux disciplines. Ces dernières choisissent au mieux leurs variables, a�n de répondreaux sollicitations du système. Nous voyons l'implémentation de cette méthode sur la �gure 3.4.

Fig. 3.4 � Implémentation de CO sous ModelCenter.

L'implémentation que nous avons faite ici di�ère un peu de la méthode que l'on trouve dansla littérature (cf section 2.2.4) : les optimisations disciplinaires se font seulement sur les variables


locales, et il n'y a plus de copie des variables partagées. Ici, les disciplines cherchent à ce queleurs sorties correspondent aux valeurs demandées par le système, tout en respectant leurs proprescontraintes.

Par exemple, le système va donner une masse totale yWT et un angle de vrillage yΘ commeobjectifs à la discipline structure. Pour déterminer ses variables locales que sont x la section decaisson et λ l'e�lement, cette discipline doit résoudre le problème suivant :

minx,λ

(yΘ − Y Θ)2 + (yWT − Y WT )2,

sous contraintes :0.98 ≤ Y Θ ≤ 1.02,σ1 → σ5 ≤ 1.09.

(3.4)

À chaque appel d'une discipline, on lance une optimisation disciplinaire.De même que pour la méthode IDF (cf section 3.1.3), l'équilibre interdisciplinaire est alors

assuré par la contrainte normalisée :y − YY

= 0. (3.5)

Nous retrouvons ici la même di�culté pour le réglage des paramètres de seuil d'activation etde violation des contraintes spéci�ques à l'algorithme DOT-SQP.

3.1.5 DIVE (optimisation disciplinaire)

La méthode DIVE (Disciplinary Interaction Variable Elimination, cf section 2.2.7) essaie deréduire la complexité du problème global en éliminant successivement les di�érentes variables.Nous implémentons ici une version sans la gestion des méta-modèles, et nous ferons appel auxvrais codes disciplinaires. La �gure 3.5 expose l'implémentation de la méthode DIVE.

Fig. 3.5 � Implémentation de DIVE sous ModelCenter.


La première étape de la méthode DIVE est l'élimination des variables locales. Les troisdisciplines de conception sont couplées avec un optimiseur. Les optimisations locales se fontselon des critères choisis au préalable. Dans notre cas, nous choisissons de minimiser la massetotale WT pour la structure, maximiser la �nesse L/D pour l'aérodynamique et minimiser laconsommation spéci�que du moteur SFC pour la propulsion (ce choix de fonctions objectifdisciplinaires est justi�é dans la section 1.2.2).

La deuxième étape consiste en l'élimination des variables de couplage. Les disciplines sontreliées entre elles par le module �convergeur�. Ce dernier va chercher les valeurs des variablesde couplage qui vont satisfaire l'équation d'état interdisciplinaire. On peut aussi remplacer lecomposant �convergeur� par un composant �optimiseur�, et poser le problème de cohérence in-terdisciplinaire comme un problème d'optimisation.

En�n, la troisième étape consiste à e�ectuer l'optimisation globale. L'optimiseur principal(ou système) ne gère ici que les variables partagées et va chercher à optimiser le rayon d'action,tout en s'occupant des contraintes qui n'ont pas été satisfaites lors des optimisations locales.

En pratique, l'algorithme est le suivant :

1. l'optimiseur système gère les variables partagées, et cherche à maximiser le rayon d'action ;

2. pour chaque calcul du rayon d'action, le composant �convergeur� est mis en route pourrechercher la cohérence disciplinaire, il s'occupe des variables d'interaction ;

3. en�n, à chaque fois que le composant �convergeur� fait appel à une discipline, une optimi-sation des variables locales correspondantes est e�ectuée.

3.1.6 Retour d'expérience de ModelCenter

Nous avons vu dans cette section l'implémentation du cas-test SSBJ sous ModelCenter et deplusieurs formulations MDO, à savoir les méthodes MDF, IDF, IDF séquentiel, CO et DIVE.Nous pouvons désormais faire le point sur les di�érents avantages et inconvénients que l'on peutrencontrer lors de l'utilisation de ce logiciel.

Les principaux avantages de ModelCenter sont :• une grande simplicité d'utilisation, il est facile de créer des composants à partir de codesexistants, et de les coupler avec les optimiseurs ;• c'est un outil ergonomique, on voit graphiquement l'organisation de notre système et onpeut interpréter rapidement les di�érentes formulations ;• il est intuitif, on peut facilement jongler avec les di�érentes variables, grâce au �link editor� ;• le module d'optimisation DOT-SQP est un outil e�cace et robuste, et il est très pratique depouvoir créer autant de composants �optimiseur� que l'on souhaite ;• de nombreux outils permettent d'analyser les résultats ;• il permet d'exécuter des codes situés sur di�érentes machines éloignées physiquement.

Cependant, il y a aussi plusieurs inconvénients :• le module d'optimisation DOT-SQP ne permet pas de choisir le mode de calcul des gradientsou d'intégrer nos propres gradients. Seul le calcul de gradients par di�érences �nies estdisponible. On ne peut donc pas utiliser la méthode GSE (cf section 2.1.3), qui permettraitde gagner un temps conséquent sur le calcul des gradients.• il est possible d'intégrer ses propres codes d'optimisation, dans lesquels on pourrait fournirles gradients, mais cela constitue un travail d'informaticien chevronné.• c'est un logiciel qui coûte assez cher : la licence de base ne fournit pas tous les di�érentsoutils et l'on est contraint de payer, à chaque fois que l'on doit utiliser de nouveaux mod-


ules (par exemple le module DARWIN pour l'optimisation avec des algorithmes génétiques).

Cet outil présente donc l'avantage d'être pratique, intuitif et simple d'utilisation. Mais sonutilisation est limitée par son coût et l'intégration de nouveaux outils d'optimisation n'est pasune tâche aisée.

3.2 Implémentation sous Scilab

Une alternative à ModelCenter est d'utiliser un logiciel libre, et nous allons voir dans cettesection l'implémentation des formulations MDO sous Scilab2. Nous pourrons nous inspirer desprincipes et des outils vus avec ModelCenter, et en établir de nouveaux. Ce logiciel présentel'avantage d'être gratuit et nous donne la possibilité d'en maîtriser chaque partie. Cependant cen'est pas un logiciel conçu spécialement pour l'optimisation multi-disciplinaire et son utilisationpour la MDO va demander un plus grand e�ort de programmation. Comme son nom l'indique :Scilab pour Scienti�c Laboratory, est un logiciel dédié au calcul scienti�que. Il se présentecomme une alternative libre au logiciel commercial Matlab3. Le choix du logiciel Scilab pourl'implémentation des formulations MDO n'est pas anodin. Tout d'abord, des logiciels commeScilab ou Matlab o�rent la possibilité d'implémenter et de tester des programmes rapidement.Un des avantages de Scilab par rapport à Matlab est que, même s'il ne regroupe pas tous lesoutils présents dans Matlab, il permet de réaliser la plupart des programmes courants et surtoutil est gratuit. De plus, un des objectifs du projet OMD-RNTL est de promouvoir l'utilisation dulogiciel Scilab. Il était donc important, dans ce contexte, de développer une application avec celogiciel. Nous donnons dans cette section un plan d'ensemble des ambitions de ce logiciel. Le butde cet outil est de prouver la capacité du logiciel Scilab pour l'optimisation multi-disciplinaire.Pour cela, on souhaite créer un programme permettant de tester ces di�érentes méthodes surplusieurs cas-tests.

L'implémentation sous ModelCenter nous a permis de comprendre certains principes quenous pouvons reprendre pour ce programme sous Scilab (cf section 3.2.1).

Nous souhaitons créer un outil qui puisse être utilisé par plusieurs cas-tests. Nous mettons enplace une interface entre les codes de calcul et notre programme. Nous implémentons des outilspour l'optimisation multi-disciplinaire, qui seront utilisables par n'importe quel code de calculdisciplinaire, et par conséquent tout cas-test pourra être réalisé.

Les formulations MDO possèdent souvent plusieurs points communs, et on peut passer del'une à l'autre en changeant certains éléments de l'implémentation. Par exemple, la méthodeMDF utilise une analyse système de type MDA. Lorsqu'on choisit d'utiliser une analyse systèmede type IDA (pour laquelle les disciplines sont appelées indépendamment, et où la cohérenceinterdisciplinaire est assurée par des contraintes d'égalité) nous obtenons la méthode IDF. Nousallons donc implémenter les formulations MDO de la manière la plus générale possible (cf section3.2.2).

Nous proposons notamment le choix de la fonction objectif et des contraintes sur les sortiesa�n de ne pas se limiter à un seul problème d'optimisation.

Des outils qui permettront d'obtenir des résultats supplémentaires sont réalisés, comme lespoints de départ multiples ou la construction de fronts de Pareto (cf section 3.2.4).

L'application prendra la forme d'une interface graphique, qui permettra entre autres, dechoisir les paramètres de l'optimisation, d'exécuter les formulations MDO et de visualiser l'évo-lution des variables et des sorties (cf section 3.2.5).

2http ://www.scilab.org3http ://www.mathworks.fr

3.2 Implémentation sous Scilab 67

3.2.1 Principes repris de ModelCenter

La mise en place des formulations MDO sous ModelCenter (cf section 3.1) a permis de nousfaire une première expérience, et d'en tirer quelques enseignements sur leur implémentation. Nousretenons tout particulièrement trois points.

1. Sous ModelCenter, les codes disciplinaires ne sont exécutés que dans le cas où les variablesd'entrée ont été modi�ées depuis le dernier appel ; a�n d'éviter les calculs inutiles, nouspouvons donc garder en mémoire les dernières sorties et faire un test sur les variables, etainsi réduire le nombre d'appels aux codes de calcul ;

2. L'optimiseur DOT-SQP disponible sous ModelCenter gère les contraintes d'égalité sous laforme de deux contraintes d'inégalité (Y − y < 0 et Y − y > 0), nous pouvons implémenterles contraintes d'égalité sous cette forme, ou bien de façon classique (Y − y = 0) ;

3. On peut partir de l'implémentation d'une formulation pour en créer une autre. Par exemple,en partant de la formulation MDF, si l'on supprime le composant convergeur qui assurela cohérence interdisciplinaire, et que l'on ajoute des contraintes d'égalité pour assurercette cohérence, on obtient la formulation IDF. Toujours en partant de la formulationMDF, si l'on attribue des optimiseurs locaux à chaque discipline, on se rapproche, enpremière analyse, de la formulation DIVE. Dans notre logiciel sous Scilab, nous cherchonsà implémenter les formulations de la manière la plus générale qui soit. Cela permettra depasser facilement d'une formulation à l'autre.

3.2.2 Implémentation des formulations MDO

Nous cherchons à implémenter les formulations MDO de la manière la plus générale possible.Nous nous inspirons fortement de la méthode DIVE (cf section 2.2.7). Comme nous pouvons levoir sur la �gure 3.6, une formulation MDO peut se composer de trois parties.

1. Niveau disciplinaire : à ce niveau, nous dé�nissons le type d'appel aux disciplines.

Les disciplines peuvent être appelées de façon normale, ou bien elles peuvent être reliées àun optimiseur qui va e�ectuer l'optimisation des variables locales, à chaque appel du codede calcul disciplinaire.

Ces réponses disciplinaires (optimisées localement ou non) peuvent être approchées par desméta-modèles. Chaque discipline doit être en mesure de proposer le méta-modèle qui luiconvient le mieux. Au niveau système, nous considérons que les réponses des sollicitationsaux disciplines sont fournies par les méta-modèles. L'appel �brut� au code disciplinaire doitêtre considéré comme un méta-modèle valide en chaque point.

A�n de prouver la viabilité de l'utilisation des méta-modèles dans un processus d'optimi-sation multi-disciplinaire, nous proposons ici des approximations linéaires, avec une taillede région de con�ance �xe. Nous chercherons empiriquement la bonne taille qui permetted'assurer la cohérence des sorties au cours de l'optimisation, tout en laissant la possibilitéd'atteindre rapidement l'optimum. Nous faisons l'hypothèse que, si cette méthode marcheavec ces méta-modèles très simples, alors elle ne pourra que mieux fonctionner avec d'autresméta-modèles plus élaborés, et surtout plus adaptés4.

2. Niveau système : nous pouvons faire le choix entre deux types d'analyses système.

4Il faut garder à l'esprit que la complexité d'un méta-modèle ne fait pas toujours son e�cacité ; il reste à

trouver une approximation qui soit en adéquation avec la modélisation disciplinaire.


-� Optimiseur localD

6

?

?

?

-

-

Mode d'appel aux disciplines Type de Méta-modèle

Calcul de gradientType analyse système

• IDA

• code de calcul brut

• approximation linéaire

Initialiser / Régénérer Méta-modèles

Analyse système

- optimisation- Gauss-Newton- point �xe

• MDA

• GSE

• di�érences �nies

• optimisation locale :

• appel normal

ou

ou

ouou


Optimiseur système Cohérence interdisciplinaire

si IDA :

• Y − y = 0

• |Y − y| < ε

ou

• LIN

ou

• CFSQP

• méta-modèle valide ?

• équation d'état résolue ?

Non Oui

si MDA :

Méta-modèles disciplinaires

Sorties, Gradients Variables

Point optimal

Convergence

Fig. 3.6 � Implémentation des formulations MDO sous Scilab.


• MDA (Multi-Disciplinary Analysis) : les disciplines sont dépendantes les unes des autres.L'analyse système permet de résoudre l'équation d'état interdisciplinaire et de dé�nirainsi la valeur des variables d'interaction. Pour e�ectuer cette MDA, nous pouvonschoisir les méthodes de point �xe, de Gauss-Newton et de minimisation vues dans lasection 2.1.2.

Lorsque l'on choisit une analyse système de type MDA, on peut aussi faire un choix pourle calcul des gradients : utiliser les di�érences �nies ou bien la méthode GSE.

• IDA (Individual Disciplinary Analysis) : les disciplines sont considérées indépendantes.On ne tient pas compte à ce niveau de l'interaction entre les disciplines. L'équilibreinterdisciplinaire est assuré par des contraintes d'égalité au niveau de l'optimiseur.Pour l'analyse système de type IDA, on peut faire le choix de considérer ces contraintesd'égalité en tant que telles (Y − y = 0), ou bien de les considérer comme des contraintesd'inégalité (|Y − y| < ε).

3. Optimiseur système : dans le logiciel Scilab, il n'y a pas d'optimiseur permettant degérer les contraintes d'égalité ou d'inégalité non linéaires.

Il existe cependant une interface avec le code CFSQP [Law01] qui implémente la méthodeSQP (Sequential Quadratic Programming).

Il existe aussi la fonction linpro qui permet de résoudre des problèmes d'optimisationlinéaires. Nous pouvons créer avec cette fonction une méthode itérative, qui linéarise notreproblème et qui utilise la méthode des régions de con�ance. Nous appelons cet optimiseurLIN. Cet optimiseur est détaillé en annexe B.3

Ce logiciel propose le choix parmi ces deux optimiseurs système.

Nous pouvons alors dé�nir 6 choix pour l'implémentation d'une formulation MDO : 3 choixmajeurs qui détermineront sa nature et 3 choix mineurs qui seront des options supplémentaires.Ces choix sont proposés par l'interface graphique (cf �gure 3.7).

Fig. 3.7 � Fenêtre de choix pour la formulation MDO.

Choix majeurs :

• optimisation disciplinaire : sans ou avec optimisation disciplinaire de type CO ouDIVE ;


• méta-modèle disciplinaire : sans ou avec utilisation d'approximations linéaires ;

• analyse du système : MDA ou IDA.

Choix mineurs :

• optimiseur système : CFSQP ou LIN ;

• calcul de gradient (si MDA) : di�érences �nies ou GSE ;

• contraintes d'égalité sur l'équation d'état (si IDA) : Y − y = 0 ou |Y − y| < ε.

L'exécution de la formulation MDO va donc se dérouler de la sorte :

1. Initialisation / Régénération des méta-modèles :Si nous utilisons des méta-modèles, ces derniers sont actualisés au point courant. Leur do-maine de validité est dé�ni. Lorsqu'il n'y a pas de méta-modèle, nous utilisons directementles sorties des codes de calcul disciplinaires (optimisées par rapport aux variables localesou non) et nous les considérons pour la suite comme des méta-modèles valides en tout point.

2. OptimisationL'optimisation se déroule au travers des méta-modèles. Pour dé�nir le problème d'optimi-sation nous devons :� choisir une des sorties des disciplines comme notre fonction objectif à maximiser ouminimiser,

� déterminer les valeurs de bornes pour les variables en fonction des régions de con�ance,� �xer des bornes pour les sorties, qui dé�niront nos contraintes d'inégalité.

3. Véri�cation de la validité du point optimum : on regarde si le point optimal trouvésatisfait bien les conditions suivantes :� le point trouvé n'est pas sur le bord de la région de con�ance,� l'équation d'état est bien satisfaite en ce point,� la validité du méta-modèle est maximale en ce point (par exemple, pour les méta-modèleslinéaires, l'évaluation est exacte au centre de la région de con�ance).

Si oui, nous pouvons considérer que la con�guration optimale est atteinte. Dans le cascontraire, on reprend à partir du point 1.

3.2.3 Cas particulier de BLISS

La formulation BLISS (cf section 2.2.5) di�ère des autres, dans le sens où les optimisationslocales et globales se font en série. Voici l'implémentation faite pour un cycle de BLISS. Onutilise tout d'abord des appels normaux aux disciplines, pour e�ectuer l'analyse système de typeMDA, et le calcul des gradients de type GSE. Une fois les sorties et les gradients calculés, onpeut procéder aux optimisations disciplinaires.

Nous implémentons les instructions pour calculer les fonctions objectifs et contraintes disci-plinaires, à partir d'une approximation à l'ordre 1 des sorties disciplinaires. Pour l'optimisationde la discipline �performance�, on ajoute l'information donnée par les coe�cients de Lagrangeobtenus avec les autres disciplines (cf section 2.2.5).


3.2.4 Outils supplémentaires

Nous avons aussi implémenté deux outils pour pouvoir mieux analyser les formulations. Toutd'abord, nous pouvons exécuter une formulation en partant de plusieurs points initiaux. Cespoints sont sélectionnés aléatoirement dans l'espace de conception, via l'outil MULTI-START misen place.

L'outil PARETO permet de construire un front de Pareto pour deux fonctions objectifs choisies,en utilisant la méthode des objectifs contraints (voir annexe B.2).

Le logiciel permet de visualiser les valeurs des gradients, ainsi que celles des coe�cients deLagrange associés aux contraintes du problème :

� avec les gradients, on peut voir l'in�uence des variables sur les di�érentes sorties ;� les coe�cients de Lagrange permettent de mesurer l'impact de la variation d'une contraintesur le résultat obtenu. En e�et, les coe�cients de Lagrange nous donnent la sensibilité de la

fonction coût à la variation des contraintes : λ =dfdg

. En considérant le problème linéarisé

autour de l'optimum, lorsque l'on relâche une contrainte d'une quantité dg, la fonctionobjectif peut alors être améliorée d'une quantité λdg. Nous pouvons ainsi déterminer quellessont les contraintes qui possèdent le plus d'in�uence sur notre solution.

3.2.5 Interface graphique

L'interface graphique se compose de quatre parties :� la fenêtre principale, qui permet de choisir le cas-test, régler les options et lancer les for-mulations ;

� la fenêtre d'a�chage des variables ;� la fenêtre d'a�chage des sorties ;� le compteur du nombre d'appels aux codes disciplinaires.

• La fenêtre principale (voir �gure 3.8) permet d'e�ectuer di�érentes actions :� choisir et charger un cas test (Sobieski ou Dassault) ;� choisir la formulation MDO (directement, ou avec la fenêtre de choix présente dans la�gure 3.7) ;

� régler des paramètres de l'optimisation :dx : pas pour les di�érences �nies,eps : paramètre de CFSQP pour la convergence,tol : tolérance pour la convergence de la MDA,miter : nombre maximal d'itérations,iprint : mode d'a�chage de CFSQP,epsilon : seuil de la contrainte |(Y − y)‖ ≤ ε,nb_multistart : nombre de points dans l'échantillon pour le multistart,taille_rc : taille par défaut de la région de con�ance,da : nombre de points du front de Pareto.

Les boutons permettent d'e�ectuer plusieurs actions :� CHARGER_CAS_TEST : charger un cas-test ;� INIT : initialisation de points par les milieux des bornes ;� RAND : initialisation aléatoire ;� EXEC : exécuter la formulation MDO sélectionnée ;� COURBE : tracer l'évolution des variables ou des sorties sélectionnées ;� MULTI : e�ectuer la formulation en partant de plusieurs points di�érents ;


� ABORT : arrêter l'optimisation en cours ;� GRADIENT : a�cher les valeurs des gradients des sorties sélectionnées ;� LAGRANGE : calculer et a�cher les coe�cients de Lagrange associés aux contraintes.

Fig. 3.8 � Fenêtre principale de l'application Scilab.

• La fenêtre des variables permet l'a�chage des valeurs des variables au cours de l'optimi-sation. Elle permet aussi le choix des valeurs initiales des variables et de leurs contraintesde borne.

• La fenêtre des sorties permet de choisir la (ou les, dans le cas de l'optimisation multi-objectif) fonction(s) coût, ainsi que les contraintes de borne sur les sorties, qui dé�nirontles contraintes d'inégalité du problème d'optimisation.

Sur ces deux fenêtres, on peut visualiser les coe�cients de Lagrange associés aux con-traintes de borne ou aux contraintes d'inégalité.

• En�n, une dernière fenêtre permet de visualiser le nombre d'appels aux disciplines.

Les fenêtres des variables, des sorties et des compteurs sont présentées sur la �gure 3.9.

Conclusion

Nous avons vu dans ce chapitre l'implémentation des di�érentes formulations MDO, sous deuxenvironnements, ModelCenter et Scilab. Dans le chapitre qui suit, nous allons voir et analyser lesrésultats obtenus sur chacun des deux cas-tests présentés dans le chapitre 1. Nous pourrons ainsiles comparer et tirer des conclusions quant à l'utilité et l'e�cacité des di�érentes formulations.Nous essaierons aussi de montrer ce que l'on peut gagner en substituant aux codes de calculdisciplinaires des méta-modèles évolutifs.


Fig. 3.9 � Fenêtres des variables, des sorties et des compteurs.

Chapitre 4

Résultats obtenus avec les formulations

MDO

Sommaire

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.1 Résultats pour le cas test Sobieski avec ModelCenter . . . . . . . . 76

4.1.1 MDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.2 IDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.3 CO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.4 DIVE (sans méta-modèle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1.5 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2 Résultats pour le cas-test Sobieski avec Scilab . . . . . . . . . . . . . 844.2.1 Analyse multi-disciplinaire (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.2.2 Les formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2.3 Multi-start pour DIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.4 Front de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.5 Coe�cients de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab . . . . . . . . . . . . . 934.3.1 Analyse multi-disciplinaire (MDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3.2 Les formulations MDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3.3 Multi-start pour DIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3.4 Front de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.3.5 Coe�cients de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

76 Résultats obtenus avec les formulations MDO

Introduction

Dans ce chapitre, nous allons montrer les résultats obtenus avec les di�érentes implémen-tations vues dans le chapitre 3. Le but ici est de montrer avec ces résultats les performancesdes di�érentes formulations, mais aussi la viabilité et l'e�cacité de l'utilisation de méta-modèleslinéaires. Les codes du cas-test Sobieski sous ModelCenter et Scilab présentent quelques dif-férences, qui peuvent se retrouver au niveau des résultats obtenus.

Dans une première section, nous présentons les résultats obtenus avec le cas-test Sobieskiimplémenté sous ModelCenter (cf section 4.1). Dans les sections suivantes, nous présentons lesrésultats obtenus avec le logiciel Scilab : pour le cas-test Sobieski (cf section 4.2), et pour lecas-test Dassault (cf section 4.3).

En conclusion, nous essaierons de tirer, à partir de ces résultats, des remarques générales surles formulations MDO, et sur l'utilisation des méta-modèles dans l'optimisation multi-disciplinaire.

4.1 Résultats pour le cas test Sobieski avec ModelCenter

Dans cette partie, nous analysons les résultats obtenus avec le cas-test Sobieski (cf section 1.2)sous ModelCenter. Les formulations testées ici sont les formulations MDF, IDF, CO et DIVE.On rappelle que l'objectif ici est de maximiser le rayon d'action.

Les tableaux 4.1 à 4.4 donnent les résultats suivants :

• les rayons d'action atteints par chacune des formulations (cf tableau 4.1) ;

• les variables optimales obtenues (cf tableau 4.2) ;

• le nombre d'appels e�ectués par les codes de calcul disciplinaires (cf tableau 4.3) ;

• les sorties des disciplines (cf tableau 4.4) :� le rayon d'action R et les sorties directement liées à son calcul, à savoir la masse totaleWT , la masse de carburant WF , la �nesse L/D et la consommation spéci�que SFC ;

� les sorties des disciplines qui serviront de contraintes d'inégalité pour le problème d'op-timisation.

Type Sorties MDF CO IDF DIVE

Rayon d'action R 3495 3249 3452 3504

Après MDA . 3241 3499 .

Tab. 4.1 � Rayons d'action atteints (Sobieski, ModelCenter).

4.1 Résultats pour le cas test Sobieski avec ModelCenter 77

Type Variables MDF CO IDF DIVE lb ub

Partagées

t/c 0.06 0.055 0.06 0.06 0.01 0.09

h 60000 60000 60000 60000 30000 60000

M 1.4 1.4 1.4 1.4 1.4 1.8

AR 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 8.5

Λ 70 70 69.4 70 70 140

SREF 1500 1483.1 1477.9 1500 500 1500

Locales

Structure λ 0.26 0.25 0.28 0.1 0.1 0.4

x 0.76 1.04 0.88 0.75 0.75 1.25

Aérodynamique Cf 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 1.25

Propulsion T 0.16 0.14 0.16 0.16 0.1 1

Tab. 4.2 � Variables optimales obtenues (Sobieski, ModelCenter).

Nombre d'appels MDF CO IDF DIVE

Structure 239 639 104 693

Aérodynamique 239 717 120 78

Propulsion 239 440 64 271

Performance 45 77 136 15

Total 762 1873 424 1057

Itérations DOT-SQP 4 4 8 2

Tab. 4.3 � Nombres d'appels aux disciplines (Sobieski, ModelCenter).

En première remarque, nous pouvons dire que chacune des formulations converge vers unemême con�guration optimale. Nous allons tout d'abord analyser ces résultats pour chacune desformulations, puis nous essayerons, par une analyse comparative, de faire ressortir des remarquesgénérales.

4.1.1 MDF

Pour cette méthode présentée en section 2.2.1, nous remarquons que :

• le convergeur fait entre 4 et 8 appels à chaque discipline, avant d'obtenir un équilibre in-terdisciplinaire avec une précision relative de 10−5. Nous pouvons dire ici que la recherchede la cohérence interdisciplinaire est assez facile, puisqu'elle peut être résolue avec uneméthode de point �xe avec un nombre d'itérations faible.

• Le rayon d'action maximum est obtenu en 4 itérations de l'algorithme DOT-SQP, il at-


Type Sorties MDF CO IDF DIVE lb ub

Performance R 3495 3249 3452 3504

L/D 13.4 14.1 12.7 13.2

WT 74253.3 74971 70778.1 73446.2

WF 19317.9 17651.2 18959.9 19350.6

Sfc 0.92 0.93 0.92 0.92

Contraintes

Structure Θ 0.96 1.03 0.97 0.96 0.95 1.05

σ1 0.99 0.93 0.96 1.01 1.09

σ2 1.00 0.95 0.97 1.01 1.09

σ3 1.00 0.97 0.98 1.01 1.09

σ4 1.00 0.97 0.98 1.01 1.09

σ5 1.00 0.98 0.99 1.01 1.09

Aérodynamique dp/dx 1.04 1.02 1.04 1.04 1.04

Propulsion ESF 0.73 0.80 0.75 0.73 0.5 1.5

DT 0.003 -325.5 -0.48 -0.01 0

Temp 0.84 0.84 0.84 0.84 1.02

Tab. 4.4 � Les sorties optimales obtenues (Sobieski, ModelCenter).

teint la valeur de 3495 Nm1. La �gure 4.1 montre l'évolution du rayon d'action au coursdes itérations.

• Il y a 6 variables de conception qui atteignent leurs bornes : l'altitude h, le nombre deMach M , l'allongement AR, la surface de référence SREF , la �èche Λ et le coe�cient defrottement CF .

• Les contraintes non-linéaires saturées sont : dp/dx et DT .

• Le nombre d'appels aux disciplines est de 239 pour chacune des disciplines de conception(Structure, Aérodynamique et Propulsion) et de 45 pour la discipline performance. Pourchaque analyse du système, le convergeur va appeler le même nombre de fois les disciplinesde conception.

• Les gradients sont calculés par di�érences �nies. On pourrait avoir moins d'appels auxcodes de calcul disciplinaires en utilisant la méthode GSE. Malheureusement, l'algorithmeDOT-SQP, présent dans ModelCenter, établit lui même les gradients par di�érences �nies etne permet pas de les lui transmettre par ailleurs.

1Nautic Miles


Fig. 4.1 � Évolution du rayon d'action avec la formulation MDF (Sobieski, ModelCenter).

4.1.2 IDF

Cette formulation (cf section 2.2.2) présente un nombre d'appels aux disciplines beaucoupmoins important que celui obtenu avec la méthode MDF. Cependant, elle présente plus de dif-�cultés pour le réglage des paramètres de l'optimiseur DOT-SQP (cf section 3.1.3), et l'équationd'état interdisciplinaire est résolue de manière moins précise, ce qui va a�ecter directement laqualité des résultats.

• Nous avons obtenu des résultats corrects avec les paramètres de l'optimiseur suivant : 0.01pour le seuil d'activation et 0.1 pour le seuil de violation des contraintes. Pour d'autresréglages de ces seuils, nous n'obtenons pas de résultats satisfaisants. Si l'on serre trop cesparamètres, l'optimiseur s'arrête avec une erreur signalant qu'il ne peut pas satisfaire lescontraintes d'égalité. Si on les relâche trop, les valeurs des variables de couplage ne sont plus�ables et l'optimiseur s'arrête bien avant d'obtenir un rayon d'action correct. Ce dosageest empirique et détermine très fortement l'issue de l'optimisation.

• Nous obtenons ici un rayon d'action R de 3452 Nm, la �gure 4.2 montre l'évolution durayon d'action R.

• À la �n de l'optimisation, les plus grandes erreurs de couplage en relatif sont de l'ordre de0.2, ce qui reste assez important. On ne peut pas se contenter d'une précision relative aussipeu satisfaisante et les résultats obtenus ici ne sont pas utilisables à un niveau industriel.


• A�n de se faire une idée des vrais résultats que l'on peut atteindre avec cette méthode, onrefait un calcul couplé (MDA) avec les variables de conception optimales obtenues avec laformulation IDF. Le tableau 4.1 présente les résultats obtenus après une MDA, on obtientun rayon d'action de 3499 Nm. Il y a donc une di�érence entre le rayon d'action de 3452Nm calculé avec la méthode IDF et la vraie valeur pour la con�guration obtenue.

• La variable SREF obtenue est de 1477 ft2. Si l'on prend une surface de référence SREF de1500 ft2, on obtient un rayon d'action de 3450 Nm et les contraintes sont toujours respec-tées. La méthode IDF n'a pas convergé ici exactement sur la con�guration optimale.

• Cette méthode est donc avantageuse en terme de nombre d'appels aux disciplines et s'avèrepeu précise et peu robuste.

Fig. 4.2 � Évolution du rayon d'action avec la formulation IDF (Sobieski, ModelCenter).

4.1.3 CO

La formulation CO est présentée en section 2.2.4. On rappelle ici qu'il s'agit d'une versionsimpli�ée (cf section 3.1.4).

• Le rayon d'action obtenu avec cette méthode est de 3249 Nm, la �gure 4.3 montre l'évolu-tion du rayon d'action R.


• Pour avoir une idée des vraies valeurs des sorties obtenues avec cette méthode, on e�ectueune MDA avec les paramètres de conception obtenus [xCO, zCO] , on obtient alors un rayond'action d'une valeur de 3241 Nm, ce qui reste proche du résultat précédent. On constatecependant que la contrainte de la discipline structure sur le vrillage Θ n'est plus respectée.

• Le nombre d'appels aux di�érentes fonctions est largement supérieur à celui de la méthodeMDF, nombre bien évidemment dû aux optimisations disciplinaires.

• A�n de réduire ce nombre d'appels, on peut essayer de ne pas imposer de point de dé-part sur les variables locales pour les optimisations disciplinaires, c'est-à-dire de repartirdu dernier point optimal trouvé. Cependant, on se rend compte que cette technique nemarche pas toujours bien et il apparaît des problèmes de robustesse. Les tests que nousavons e�ectués montrent que l'on peut le faire seulement avec les variables locales de ladiscipline propulsion. Lorsqu'on le fait avec d'autres disciplines, nous obtenons de mauvaisrésultats, car l'optimisation s'arrête (non-convergence) avant de trouver un optimum sat-isfaisant.

• La robustesse des optimisations locales joue un rôle essentiel dans les formulations de typemulti-niveaux.

Fig. 4.3 � Évolution du rayon d'action avec la formulation CO (Sobieski, ModelCenter)


4.1.4 DIVE (sans méta-modèle)

La méthode DIVE est implémentée ici sans la gestion des méta-modèles (cf section 3.1.5).

• Le rayon d'action obtenu avec cette méthode est de 3504 Nm. Le couplage est bien assuré.La contrainte dp/dx est saturée. Seules les variables t/c et T n'atteignent pas leurs bornes.

• La di�érence avec le résultat obtenu avec MDF s'expliquerait principalement par une massede carburant WF plus élevée, due à une épaisseur relative t/c légèrement plus importanteet malgré une �nesse L/D plus basse. Ces résultats sont cohérents du point de vue de laphysique.

• Le nombre d'appels aux disciplines est assez élevé, à cause des optimisations locales. Onpeut essayer de ne pas forcer un point de départ identique pour toutes les optimisationslocales, mais on rencontre, comme pour la méthode CO, des problèmes de robustesse (échecde la convergence au niveau global).

• Cependant, le nombre d'itérations de l'algorithme DOT-SQP est très bas : seulement 2 itéra-tions. On peut faire l'hypothèse que, comme la plupart des variables partagées z atteignentleurs bornes, leur optimisation est plus aisée, et que l'optimisation des variables locales estplus sensible et doit être laissée aux experts des disciplines.

La �gure 4.4 représente l'évolution du rayon d'action au cours des itérations de l'algorithmeDOT-SQP.


Fig. 4.4 � Évolution du rayon d'action avec la formulation DIVE (Sobieski, ModelCenter)

4.1.5 Remarques

Les formulations testées nous mènent vers la même con�guration optimale. Quelques pointspermettent de les comparer :

• la performance obtenue : lorsque que l'on regarde les vrais résultats (ceux obtenus aprèsune MDA), la méthode qui nous mène à la meilleure performance est la formulation DIVE,ce qui montre à la fois l'importance de l'optimisation multi-niveaux, et la pertinence desfonctions coût disciplinaires choisies (cf section 1.2.2) ;

• la précision des résultats obtenus : les méthodes MDF et DIVE nous donnent, de par leurnature et de par les résultats obtenus, une très bonne précision sur les sorties fournies ; laméthode CO nous donne ici une précision acceptable, quant à la méthode IDF, elle fournitune précision passable et qui ne peut être satisfaisante, même à un niveau de conceptualdesign ;

• le nombre d'appels aux disciplines : la méthode la plus rapide est IDF (on pourrait imagi-ner utiliser cette méthode IDF pour une première approche de l'optimum et terminer larecherche de cet optimum avec une autre méthode plus précise) ; les méthodes multi-niveauxsont plus gourmandes en temps de calcul, par le fait que l'on e�ectue une optimisation lo-cale à chaque appel de la discipline ;


• la di�culté d'implémentation : les méthodes qui traitent le problème de couplage avec descontraintes d'égalité sont plus di�ciles à mettre en place, car elles demandent un réglage�n de l'optimiseur. En général, il vaut mieux utiliser les formulations utilisant une MDA,car elles sont plus faciles à régler, l'équation d'état est résolue de façon précise et la qualitédes résultats obtenus est donc meilleure.

Nous allons voir dans les sections qui suivent les résultats obtenus avec les cas-test Sobieskiet Dassault sous Scilab. Nous pourrons ainsi confronter ces remarques à l'implémentation sousun autre logiciel, ainsi qu'à un nouveau cas-test.

4.2 Résultats pour le cas-test Sobieski avec Scilab

Nous voyons dans cette partie les résultats obtenus pour le cas-test Sobieski (cf section 1.2).

Dans un premier temps, nous analysons la convergence de l'analyse multi-disciplinaire (cfsection 4.2.1) pour les trois méthodes disponibles avec le logiciel développé sous Scilab.Nousvoyons ensuite les résultats obtenus pour plusieurs formulations (cf section 4.2.2), à savoir lesméthodes MDF, DIVE, IDF, CO et BLISS, et nous comparons leurs performances respectives.

Nous montrons quelques résultats complémentaires pour la méthode DIVE. Nous testons larobustesse de cette méthode en la lançant à partir de plusieurs points de départ tirés aléatoirementdans l'espace de conception (cf section 4.2.3). Nous cherchons à obtenir un front de Pareto pourdeux fonctions objectifs, à savoir minimiser la masse totale WT et maximiser le rayon d'actionR (cf section 4.2.4). Nous montrons en�n les coe�cients de Lagrange associés à chacune descontraintes du problème, a�n de voir quelles contraintes jouent un rôle prédominant dans leproblème d'optimisation (cf section 4.2.5).


L'analyse multi-disciplinaire revient à trouver un équilibre entre les di�érentes disciplines (cfsection 2.1.2). Nous avons à notre disposition trois méthodes :

� la méthode du point �xe (MDA FP) ;� la minimisation des résidus (MDA OPTIM) ;� la méthode de Gauss-Newton (MDA GN).

Nous allons voir dans cette section l'e�cacité de chacune de ces méthodes, pour deux casdi�érents :

1. appels directs aux disciplines ;

2. appels aux disciplines avec optimisation des variables locales ;

Appels directs aux disciplines

Nous considérons dans un premier temps les appels aux codes disciplinaires bruts. La �gure4.5 montre la convergence en précision de ces méthodes (log10(

∑i‖Yi − yi‖2)), en fonction du

nombre d'analyses disciplinaires. La précision désirée pour la MDA est de 10−15. Les oscillationsobservées avec la méthode de Gauss-Newton ne compromettent en rien sa convergence, et cetteméthode atteint la précision demandée.

4.2 Résultats pour le cas-test Sobieski avec Scilab 85

Fig. 4.5 � Convergence de la MDA, appels directs aux disciplines(Sobieski, Scilab).

Le tableau 4.5 montre le nombre réel d'appels pour chaque discipline (en e�et, lorsqu'unediscipline est sollicitée, alors que ses entrées n'ont pas été modi�ées depuis le dernier calcul, onrécupère les sorties en mémoire et on ne rée�ectue pas le même calcul).

Nombre d'appels MDA FP MDA OPTIM MDA GN

Analyses disciplinaires 5 95 221

Structure 5 70 158

Aérodynamique 5 70 158

Propulsion 5 44 96

Performance 1 1 1

Tab. 4.5 � Nombres d'appels aux disciplines, MDA (Sobieski, Scilab).

Au vu de ces résultats, la méthode de point �xe semble être la plus e�cace. Il est cependantimportant d'avoir d'autres possibilités, au cas où on aurait a�aire à un cas-test plus di�cile,pour lequel la méthode de point �xe ne convergerait pas.

Optimisation des variables locales

Nous considérons des appels aux disciplines avec optimisation des variables locales. Les fonc-tions coût disciplinaires sont celles démontrées dans la section 1.2.2 (minimiser la masse totalepour la discipline structure, maximiser la �nesse pour la discipline aérodynamique et minimiserla consommation spéci�que pour la discipline propulsion).


La �gure 4.6 montre la convergence en précision de ces méthodes (log10(∑i‖Yi − yi‖2)), en

fonction du nombre d'analyses disciplinaires. La précision désirée pour la MDA est de 10−15. Lesoscillations observées avec la méthode de Gauss-Newton ne compromettent en rien sa conver-gence, et cette méthode atteint la précision demandée.

Fig. 4.6 � Convergence de la MDA, optimisation des variables locales (Sobieski, Scilab).

Le tableau 4.6 montre le nombre d'appels pour chaque code de calcul disciplinaire (ce quicomprend les appels pour les optimisations disciplinaires).


Analyses disciplinaires 6 89 289

Structure 24 296 873


Propulsion 24 208 592

Performance 1 1 1

Tab. 4.6 � Nombres d'appels aux disciplines, MDA OPT (Sobieski, Scilab).

Ici, les nombres d'analyses des disciplines sont voisins de ceux obtenus avec des appels auxdisciplines normaux. Le nombre d'appels aux codes de calculs disciplinaires est plus élevé, enraison des optimisations disciplinaires.

En conlusion de cette analyse, nous ferons appel à la méthode de point �xe pour assurer laconvergence de la MDA.


4.2.2 Les formulations MDO

Dans cette section, nous testons plusieurs formulations MDO avec le cas-test Sobieski, àsavoir MDF, DIVE, IDF, CO et BLISS.

Nous voyons dans le tableau 4.7 le point de départ pour toutes les formulations, ainsi quela meilleure con�guration trouvée. Nous rappelons l'intervalle de variation [lb,ub] des variables.L'objectif de cet exercice est de maximiser le rayon d'action (R).

Variables Valeur initiale Valeur optimale lb ub

λ 0.25 0.12 0.1 0.4

x 1 0.75 0.75 1.25

Cf 1 0.75 0.75 1.25

T 0.5 0.156 0.1 1

tc 0.05 0.06 0.01 0.9

h 45000 60000 30000 60000

M 1.6 1.4 1.4 1.8

AR 5.5 2.5 2.5 8.5

Λ 55 70 40 70

SREF 1000 1500 500 1500

R 536 3494

Tab. 4.7 � Con�gurations initiale et optimale (Sobieski, Scilab).

Pour la suite, nous considérons que les con�gurations obtenues avec les di�érentes formula-tions sont proches de celle-ci et nous n'en donnerons pas les détails. Nous préciserons juste, pourchacune des formulations, le rayon d'action et le nombre d'appels aux disciplines.

MDF et DIVE

Le tableau 4.8 présente les résultats obtenus avec les formulations MDF et DIVE.

• Ici, la di�érence fondamentale entre ces deux formulations est l'utilisation des méta-modèlesdisciplinaires avec la méthode DIVE.• La précision exigée pour la MDA est de 10−15.• Le pas choisi pour les calculs de gradients par di�érences �nies est de 10−2.• Nous testons ces deux formulations avec les deux optimiseurs disponibles : CFSQP et LIN.Les résultats obtenus avec CFSQP sont moins bons, en termes de rayon d'action et denombre d'appels. Par souci de clarté, nous montrons uniquement les résultats obtenus avecl'optimiseur LIN.• La formulation DIVE utilise les méta-modèles linéaires. A�n d'avoir de bons résultats enterme de nombre d'appels, la taille de la région de con�ance des méta-modèles disciplinairesest �xée à 1 (nous utilisons des variables normalisées).

• Les formulations MDF et DIVE obtiennent le même rayon d'action de 3494 Nm.• La formulation DIVE est la plus performante, en terme de nombre d'appels.


Formulation MDF DIVE

R 3494 3494

Nombre d'appels

Structure 221 117

Aérodynamique 261 143

Propulsion 141 65

Performance 140 91

Total 763 416

Tab. 4.8 � Résultats pour les formulations MDF et DIVE (Sobieski, Scilab).

• L'utilisation de méta-modèles locaux et adaptatifs permet donc d'arriver à des solutionscohérentes (la qualité de la solution obtenue est la même que pour le cas sans méta-modèle),tout en réduisant de manière conséquente le nombre d'appels.

Fig. 4.7 � Déplacement des régions de con�ance, formulation DIVE (Sobieski, Scilab).

La �gure 4.7 montre le déplacement des régions de con�ance pour deux variables. A�n d'illus-trer ce phénomène, la taille de la région de con�ance est �xée ici à 0.05 . La variable en abscisseest l'e�lement et la variable en ordonnée est la position de la manette des gaz T . Les valeurs desvariables sont normalisées.


DIVE avec optimisation des variables locales

Nous nous intéressons à l'optimisation des variables locales. Les fonctions coût disciplinairessont ici celles démontrées dans la section 1.2.2 (minimiser la masse totale pour la disciplinestructure, maximiser la �nesse pour la discipline aérodynamique et minimiser la consommationspéci�que pour la discipline propulsion).

• Nous testons ici deux versions :

1. DIVE OPT : optimisation des variables locales ;

2. DIVE MM OPT : utilisation des méta-modèles linéaires et optimisation des va-riables locales.

• La précision exigée pour la MDA est de 10−15.• Le pas choisi pour les calculs de gradients par di�érences �nies est de 10−2.• Nous testons ces deux formulations avec les deux optimiseurs disponibles : CFSQP et LIN.Les résultats obtenus avec CFSQP sont moins bons, en termes de rayon d'action et denombre d'appels. Par souci de clarté, nous montrons uniquement les résultats obtenus avecl'optimiseur LIN.• A�n d'avoir de bons résultats, en terme de nombre d'appels, la taille de la région de con-�ance des méta-modèles disciplinaires est �xée à 1.

Le tableau 4.9 présente les résultats obtenus.

Formulation DIVE OPT DIVE MM OPT

R 3489 3492

Nombre d'appels

Structure 183 465

Aérodynamique 120 1993

Propulsion 104 311

Performance 28 119

Total 435 2888

Tab. 4.9 � Résultats pour la formulation DIVE avec optimisation des variables locales (Sobieski,Scilab).

DIVE OPT• L'utilisation de l'optimisation disciplinaire s'avère assez e�cace. La solution est trouvée en4 itérations de l'optimiseur global.• En conséquence, le nombre d'appels obtenu est meilleur que pour la formulation MDF (cftableau 4.8).• La solution obtenue n'est pas tout à fait la solution optimale.

DIVE MM OPT• Dans ce cas, l'optimisation de méta-modèles linéaires ne conduit pas forcément à demeilleurs résultats.


• La qualité de la solution est meilleure (3492 Nm pour DIVE MM OPT, contre 3489 Nmpour DIVE OPT).• Les nombres d'appels aux disciplines sont assez importants.

L'optimisation des variables locales (DIVE OPT) donne un bon résultat en terme de perfor-mance. Par contre, dans ce cas, l'utilisation des méta-modèles (DIVE MM OPT) devient tropcoûteuse et n'apporte pas d'amélioration conséquente.

IDF

Le tableau 4.10 présente les résultats obtenus avec la formulation IDF (cf section 2.2.2).

Formulation IDF

R 3596

après MDA 3455

Nombre d'appels

Structure 1188

Aérodynamique 1188

Propulsion 678

Performance 1527

Total 4581

Tab. 4.10 � Résultats pour la formulation IDF (Sobieski, Scilab).

• Le pas choisi pour le calcul des gradients par di�érences �nies est de 10−4, et le seuil de lacontrainte ‖y − Y ‖ < ε est �xé à 0.1.• L'optimiseur utilisé ici est CFSQP, nous n'obtenons pas de bons résultats avec l'optimiseurLIN.• Les essais e�ectués avec l'utilisation de contraintes de la forme ‖y − Y ‖ = 0 ne sont pasconcluants.• Le rayon d'action obtenu avec la formulation IDF est de 3596 Nm. Cependant, commel'équation d'état n'est pas résolue de façon précise, ce rayon d'action n'est pas utilisableen l'état. Il convient d'e�ectuer une MDA en partant de la con�guration optimale a�n derécupérer le vrai rayon d'action, qui est de 3455 Nm.• Cette méthode requiert un grand nombre d'appels et obtient un résultat moyen et peuprécis.

CO

Le tableau 4.11 présente les résultats obtenus avec la formulation CO (cf section 2.2.4).• De même que pour la méthode IDF, nous n'obtenons pas de bons résultats avec l'optimiseurLIN, nous utilisons donc l'optimiseur CFSQP.• Les contraintes d'égalité du type Y − y = 0 ne donnent pas non plus de bon résultats.• Nous utilisons donc les contraintes du type ‖Y − y‖ < ε, avec ε = 0.1.• Le pas choisi pour les calculs des gradients par di�érences �nies est de 10−4.


Formulation CO

R 3451

après MDA 3165

Nombre d'appels

Structure 49964

Aérodynamique 3851

Propulsion 27435

Performance 1544

Total 82794

Tab. 4.11 � Résultats pour la formulation CO (Sobieski, Scilab).

• Le rayon d'action obtenu avec la méthode CO est de 3451 Nm. De même que pour IDF,l'équation d'état n'étant pas résolue de manière précise, ce résultat n'est pas utilisable.Après une MDA, nous obtenons le vrai rayon d'action, qui est de 3165 Nm.• Cette méthode fait littéralement exploser le nombre d'appels aux disciplines.

BLISS

Le tableau 4.12 présente les résultats obtenus avec la formulation BLISS (cf section 2.2.5).• Les problèmes d'optimisation de niveau disciplinaire et de niveau système étant linéaires,nous utilisons ici l'optimiseur LIN.• La précision exigée pour la MDA est de 10−15.• Le pas choisi pour les calculs de gradients par di�érences �nies est de 10−2.

Formulation BLISS

R 3485

Nombre d'appels

Structure 54

Aérodynamique 62

Propulsion 38

Performance 29

Total 183

Tab. 4.12 � Résultats pour la formulation BLISS (Sobieski, Scilab).

De même que pour la méthode DIVE avec optimisation des variables locales, la convergence sefait en 4 itérations. Les nombres d'appels obtenus correspondent à 4 analyses multi-disciplinaires(MDA) et 4 calculs de gradients (GSE). Nous obtenons avec cette formulation le meilleur résultat,en terme de nombre d'appels aux codes de calculs disciplinaires, mais pas le meilleur rayond'action.


4.2.3 Multi-start pour DIVE

Les formulations permettant d'avoir le meilleur rayon d'action sont MDF et DIVE avecl'optimiseur LIN. Parmi ces deux, celle qui permet d'e�ectuer le moins d'appels est la méthodeDIVE. A�n de tester sa robustesse2, nous e�ectuons cette formulation avec 100 points de départpris au hasard dans l'espace de conception.

La formulation trouve une solution dans tous les cas. Comme le résume le tableau 4.13, nousobtenons 2 rayons d'action di�érents : 3494 Nm dans 94% des cas et 2516 Nm dans 6% des cas.

R % nombre d'appels moyen

3494 94 473

2516 6 752

Tab. 4.13 � Multistart avec la formulation DIVE (Sobieski, Scilab).

• Nous pouvons constater ici que ce problème possède un minimum local à 2516 Nm.• À titre de comparaison, le nombre total d'appels obtenu précédemment avec la formulationDIVE utilisant les méta-modèles linéaires est de 412 (cf tableau 4.8).• Dans la grande majorité des cas (94%), la formulation converge vers le bon optimum, etce, avec un nombre d'appels aux codes de calcul disciplinaires qui reste faible.• Ces résultats nous montrent la robustesse de la méthode DIVE.

4.2.4 Front de Pareto

Nous cherchons ici à optimiser deux objectifs di�érents : à savoir minimiser la masse totale etmaximiser le rayon d'action. Pour cela, nous recherchons l'ensemble des solutions non-dominéesqui constituent le front de Pareto.

La �gure 4.8 présente le front de Pareto obtenu avec la méthode des objectifs contraints (cfsection B.2). La formulation utilisée est la méthode DIVE avec les méta-modèles linéaires.

• En abscisse, nous avons la masse totale WT et en ordonnée nous avons le rayon d'actionR.• La croix bleue en bas à gauche indique la con�guration qui minimise la masse totale WT .• La croix bleue en haut à droite indique la con�guration qui maximise le rayon d'action R.• La courbe en points bleus est obtenue en minimisant la masse totaleWT avec une contraintesur le rayon d'action R.• La courbe rouge est obtenue en maximisant le rayon d'action avec une contrainte sur lamasse WT .• Nous pouvons constater que ces deux courbes concordent, ce qui permet d'a�rmer quenous avons le bon front de Pareto.

4.2.5 Coe�cients de Lagrange

Les coe�cients de Lagrange λ déterminent la sensibilité de la fonction objectif f aux con-

traintes g : λ =dfdg

.

2Nous dé�nissons ici la robustesse comme la capacité d'une méthode à trouver la bonne solution pour n'im-

porte quel point de départ.

4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab 93

Fig. 4.8 � Front de Pareto Masse / Rayon d'action (Sobieski, Scilab).

Les contraintes qui possèdent les plus grands coe�cients de Lagrange sont donc celles qu'ilva falloir essayer de relâcher pour améliorer notre objectif. À l'optimum, nous pouvons regarderles coe�cients de Lagrange, a�n de savoir quelles sont les contraintes les plus importantes.

Le tableau 4.14 présente les di�érentes variables et sorties, ainsi que leurs coe�cients deLagrange associés. Ici les contraintes les plus déterminantes sur notre rayon d'action sont lescontraintes de bornes sur les variables de coe�cient de frottement Cf , de nombre de Mach M ,et d'allongement relatif AR et la contrainte sur la sortie de gradient de pression dp/dx.

4.2.6 Remarques

Les résultats obtenus dans cette section nous permettent de faire les remarques suivantes :

• Pour ce cas-test, la méthode de point �xe est la plus e�cace pour e�ectuer l'analyse multi-disciplinaire, et ce, dans tous les cas de �gure considérés (appels normaux, optimisationdes variables locales).

• Le méthodes IDF et CO, où la cohérence interdisciplinaire est gérée avec des contraintesd'égalité sur l'équation d'état, ne donnent pas de bon résultats.

• Les méthodes DIVE et BLISS permettent d'obtenir les meilleurs résultats, en terme denombre d'appels. Parmi ces deux formulations, la méthode DIVE est celle qui atteint lemeilleur rayon d'action.

• Cette méthode est robuste, comme le prouvent les résultats obtenus avec le multi-start,ainsi que la construction du front de Pareto pour deux objectifs distincts.

4.3 Résultats pour le cas-test Dassault avec Scilab

Nous voyons dans cette partie les résultats obtenus pour le cas-test Dassault (cf section 1.3).Contrairement au cas-test Sobieski vu précédemment, ce cas-test ne présente pas de variables


Variables Valeur lb ub Lagrange

λ 0.12 0.1 0.4 0

x 0.75 0.75 1.25 -10.5

Cf 0.75 0.75 1.25 -544

T 0.156 0.1 1 0

tc 0.06 0.01 0.9 0

h 60000 30000 60000 0.24

M 1.4 1.4 1.8 -5488

AR 2.5 2.5 8.5 -722

Λ 70 40 70 72.4

SREF 1500 500 1500 1.07

Sorties

Θ 1.03 0.97 1.03 78.8

ESF 0.73 0.5 1.5 0

σ1 0.91 1.05 0

σ2 0.93 1.05 0

σ3 0.95 1.05 0

σ4 0.96 1.05 0

σ5 0.96 1.05 0

dp/dx 1.04 1.04 7179

DT 0 0 350.3

Tab. 4.14 � Coe�cients de Lagrange à l'optimum (Sobieski, Scilab).

locales.

Dans un premier temps, nous analysons la convergence de l'analyse multi-disciplinaire (cf sec-tion 4.3.1) pour les trois méthodes disponibles avec le logiciel développé sous Scilab. Nous voyonsensuite les résultats obtenus pour plusieurs formulations (cf section 4.3.2), à savoir les méthodesMDF, DIVE et IDF.Nous montrons quelques résultats complémentaires pour la méthode DIVE.Nous testons la robustesse de cette méthode en la lançant à partir de plusieurs points de départtirés aléatoirement dans l'espace de conception (cf section 4.3.3). Nous cherchons à obtenir unfront de Pareto pour deux fonctions objectifs, à savoir minimiser la masse totaleWT et maximiserle rayon d'action R (cf section 4.3.4). Nous montrons en�n les coe�cients de Lagrange associés àchacune des contraintes du problème, a�n de voir quelles contraintes jouent un rôle prédominantdans le problème d'optimisation (cf section 4.3.5).


L'analyse multi-disciplinaire revient à trouver un équilibre entre les di�érentes disciplines (cfsection 2.1.2). Nous avons à notre disposition trois méthodes :

� la méthode du point �xe (MDA FP) ;


� la minimisation des résidus (MDA OPTIM) ;� la méthode de Gauss-Newton (MDA GN).

Nous allons voir dans cette section l'e�cacité de chacune de ces méthodes pour deux cas :

1. appels directs aux disciplines ;

2. utilisation de méta-modèles linéaires.

Appels directs aux disciplines

Nous considérons dans un premier temps les appels aux codes disciplinaires bruts.La �gure 4.9 montre la convergence en précision de ces méthodes (log10(

∑i‖Yi − yi‖2)), en

fonction du nombre d'analyses disciplinaires.

Fig. 4.9 � Convergence de la MDA, appels directs aux disciplines (Dassault, Scilab).

Le tableau 4.15 montre le nombre réel d'appels pour chaque discipline (en e�et, lorsqu'unediscipline est sollicitée, alors que ses entrées n'ont pas été modi�ées depuis le dernier calcul, onrécupère les sorties en mémoire et on ne rée�ectue pas le même calcul).• La méthode de point �xe est la plus rapide jusqu'à une précision d'environ 10−11.• Au delà, la méthode de minimisation des résidus devient la plus e�cace.

Appels aux méta-modèles linéaires

Dans cette section, nous regardons la convergence de l'analyse multi-disciplinaire, lorsqueles disciplines sont substituées par des méta-modèles linéaires. La �gure 4.10 montre la con-vergence en précision de ces méthodes (log10(

∑i‖Yi − yi‖2)), en fonction du nombre d'analyses

disciplinaires.



Analyse disciplinaires 25 22 97

Structure 25 22 97


Propulsion 25 22 97

Performance 1 1 1

Tab. 4.15 � Nombres d'appels aux disciplines, MDA (Dassault, Scilab).

Fig. 4.10 � Convergence de la MDA, utilisation de méta-modèles linéaires (Dassault, Scilab).

Le tableau 4.16 montre le nombre d'appels pour chaque code de calcul disciplinaire brut(qui sera ici le nombre d'appels aux codes de calcul disciplinaires pour élaborer le méta-modèlelinéaire).• Le comportement des courbes reste similaire au cas des appels normaux aux disciplines.• La méthode de point �xe est la plus rapide, pour une précision de l'ordre de 10−12. Audelà, la méthode de minimisation des résidus est la plus e�cace.• Le nombre d'appels aux disciplines est ici le nombre d'appels nécessaire à la génération desméta-modèles linéaires.

4.3.2 Les formulations MDO

Ce cas-test ne possède pas de variables locales, nous ne testons que les formulations MDOmono-niveau, à savoir MDF, DIVE et IDF.

Nous voyons dans le tableau 4.17 le point de départ pour toutes les formulations, ainsi que



IDA 23 21 103

Structure 18 18 18


Propulsion 19 19 19

Performance 21 21 21

Tab. 4.16 � Nombres d'appels aux disciplines, MDA MM (Dassault, Scilab).

la meilleure con�guration trouvée. Nous rappelons l'intervalle de variation [lb,ub] des variables.L'objectif de cet exercice est de minimiser la masse totale au décollage (TOW).

Variables Valeur initiale Valeur optimale lb ub

z 13250 14894 8000 18500

xmach 1.8 1.6 1.6 2

S 150 100 100 200

φw0 55 46.8 40 70

φw100 5 -5.3 -10 20

xlw 0.275 0.05 0.05 0.5

twc 0.06 0.04 0.04 0.08

φw0 55 70 40 70

φw100 5 0 0 10

xlw 0.275 0.05 0.05 0.5

twc 0.065 0.05 0.05 0.08

Dfus 2.25 2 2 2.5

Wfuel 27500 15000 15000 40000

α 12.5 15 10 15

xfac 0.9 0.85 0.85 0.95

TOW 55875 33065 50000

Tab. 4.17 � Con�gurations initiale et optimale (Dassault, Scilab).

Pour la suite, nous considèrerons que les con�gurations obtenues avec les di�érentes formula-tions sont proches de celle-ci et nous n'en donnerons pas les détails. Nous préciserons juste, pourchacune des formulations, la masse au décollage (TOW) et le nombre d'appels aux disciplines.

MDF et DIVE

Nous donnons dans le tableau 4.18 les résultats obtenus avec les formulations MDF et DIVEavec méta-modèles linéaires.

• La précision exigée pour la MDA est de 10−15.


• Le pas choisi pour les calculs de gradients par di�érences �nies est de 10−2.• Nous testons ces deux formulations avec les deux optimiseurs disponibles : CFSQP et LIN.• La formulation DIVE utilise les méta-modèles linéaires. A�n d'avoir de bons résultats enterme de nombre d'appels, la taille de la région de con�ance des méta-modèles disciplinairesest �xée à 0.2 (cette valeur est déterminée empiriquement, en deçà le nombre d'appels seraplus élevé, au delà nous n'obtenons pas la convergence du processus).

Formulation MDF CFSQP DIVE CFSQP MDF LIN DIVE LIN

TOW 33207 33203 33065 33065

Nombre d'appels

Structure 1475 234 1564 576

Aérodynamique 1475 234 1564 576

Propulsion 1506 247 1599 608

Performance 1568 273 1699 672

Total 6024 988 6426 2432

Tab. 4.18 � Résultats pour les formulations MDF et DIVE (Dassault, Scilab).

• Pour chacun des optimiseurs, les formulations MDF et DIVE obtiennent quasiment lesmêmes résultats (33207 kg pour MDF CFSQP et 33203 kg pour DIVE CFSQP, 33065kg pour MDF LIN et DIVE LIN). L'utilisation des méta-modèles adaptatifs permetdonc d'arriver à la bonne solution.• L'optimiseur CFSQP est le plus e�cace, en terme de nombre d'appels. Cependant, pourun coût un peu plus élevé, l'optimiseur LIN atteint la meilleure solution.• La formulation DIVE est la plus performante, en terme de nombre d'appels, ce qui justi�el'utilisation des méta-modèles.

La �gure 4.11 montre le déplacement des régions de con�ance pour deux variables. A�nd'illustrer ce phénomène, la taille de la région de con�ance est �xée ici à 0.05 . La variable enabscisse est la �èche en bord de fuite de l'aile φw100 et la variable en ordonnée est la �èche enbord de fuite de la dérive φt100. Les valeurs des variables sont normalisées.

IDF

Le tableau 4.19 présente les résultats obtenus avec la formulation IDF. Nous y voyons troisversions di�érentes :

• IDF CFSQP : on utilise l'optimiseur CFSQP et la gestion des contraintes d'égalité estde la forme ‖Y − y‖ ≤ ε, où epsilon = 0.01.• IDF LIN : on utilise l'optimiseur LIN et la gestion des contraintes d'égalité est de laforme : ‖Y − y‖ = 0.• IDF LIN MM : on utilise les méta-modèles linéaires, ainsi que l'optimiseur LIN. La ges-tion des contraintes d'égalité est de la forme : ‖Y − y‖ = 0.

• Avec la première méthode IDF CFSQP, nous avons un nombre d'appels peu élevé. On se


Fig. 4.11 � Évolution des régions de con�ance, formulation DIVE (Dassault, Scilab).

Formulation IDF CFSQP IDF LIN IDF LIN MM

TOW 32847 33065 33065

après MDA 33135

Nombre d'appels

Structure 550 924 486


Propulsion 550 924 486

Performance 550 924 486

Total 2200 3696 1944

Tab. 4.19 � Résultats pour la formulation IDF (Dassault, Scilab).

rend compte après une MDA que le résultat n'est pas très précis.• La méthode IDF LIN nous mène à la masse au décollage optimale de 33065 kg.• La méthode IDF LIN MM nous mène à ce même résultat, mais avec un nombre d'appelsaux codes de calcul disciplinaires moindre. Ce résultat justi�e l'utilisation de méta-modèles.

• La méthode IDF avec l'optimiseur LIN, s'avère très e�cace pour ce cas-test, qui ne possèdeque deux variables de couplage.• L'utilisation de méta-modèles linéaires s'avère encore très e�cace et s'adapte tout à fait àla méthode IDF.


4.3.3 Multi-start pour DIVE

A�n de tester la robustesse de la formulation DIVE avec utilisation de méta-modèles linéaires,nous e�ectuons cette formulation pour 100 points de départ pris au hasard dans l'espace deconception. Nous utilisons ici l'optimiseur LIN.

Pour les 100 points, nous obtenons ici deux cas de �gure di�érents :

R % nb appels moyen

30065 98 2558

Nan 2 190

Tab. 4.20 � Multistart avec la formulation DIVE (Dassault, Scilab).

• Sauf pour deux points, où l'analyse des codes disciplinaires pose problème, nous obtenonsici un très bon résultat, avec 98 points qui convergent vers la solution optimale.• À titre de comparaison, le nombre total d'appels obtenu précédemment avec la formulationDIVE utilisant les méta-modèles linéaires était de 2432 (cf tableau 4.11).

4.3.4 Front de Pareto

Nous cherchons ici à optimiser deux objectifs di�érents : à savoir minimiser la masse totale etmaximiser le rayon d'action. Pour cela, nous recherchons l'ensemble des solutions non-dominéesqui constituent le front de Pareto.

La �gure 4.12 présente le front de Pareto obtenu avec la méthode des objectifs contraints (cfsection B.2). La formulation utilisée est la méthode DIVE avec les méta-modèles linéaires.

• en abscisse, nous avons la masse totale WTEn ordonnée nous avons le rayon d'action R.• La croix bleue en bas à gauche indique la con�guration qui minimise la masse totale WT .et• La croix bleue en haut à droite indique la con�guration qui maximise le rayon d'action R.• La courbe en points bleus est obtenue en minimisant la masse totaleWT avec une contraintesur le rayon d'action R.• La courbe rouge est obtenue en maximisant le rayon d'action, avec une contrainte sur lamasse WT .• Ici la maximisation du rayon d'action (courbe rouge) pose quelques problèmes de conver-gence.• Pour se faire une idée du front de Pareto, nous nous �erons d'avantage à la courbe bleueet non à la courbe rouge.


Fig. 4.12 � Front de Pareto Masse / Rayon d'action (Dassault, Scilab).

4.3.5 Coe�cients de Lagrange

Les coe�cients de Lagrange λ déterminent la sensibilité de la fonction objectif f aux con-

traintes g : λ =dfdg

.

Les contraintes qui possèdent les plus grands coe�cients de Lagrange sont donc celles qu'ilva falloir essayer de relâcher pour améliorer notre objectif. À l'optimum, nous pouvons regarderles coe�cients de Lagrange, a�n de savoir quelles sont les contraintes les plus importantes.

Le tableau 4.21 présente les di�érentes variables et sorties, ainsi que leurs coe�cients deLagrange associés.

Ici, les contraintes les plus déterminantes sur notre rayon d'action sont les contraintes debornes sur les variables d'épaisseur relative de l'aile twc , d'e�lement voilure xlw, de nombre deMach xmach et de rapport masse à l'atterrissage sur masse au décollage xfac.

4.3.6 Remarques

Les résultats obtenus dans cette section nous permettent de faire les remarques suivantes :

• L'analyse multi-disciplinaire peut être e�ectuée avec l'algorithme de point �xe, lorsquenous ne demandons pas une précision trop élevée. Dans le cas contraire, on peut utiliser laminimisation des résidus.

• La méthode DIVE, avec l'utilisation de l'optimiseur LIN et des méta-modèles linéaires,permet d'obtenir les meilleurs résultats, avec une masse au décollage TOW optimale, pourun nombre d'appels correct.

• La méthode DIVE est robuste, comme le prouvent les résultats obtenus avec le multi-start.


Variables Valeur lb ub Lagrange

z 14894 8000 18500 0

xmach 1.6 1.6 2 1858

S 100 100 200 37

φw0 46.8 40 70 0

φw100 -5.3 -10 20 0

xlw 0.05 0.05 0.5 2517

twc 0.04 0.04 0.08 12425

φt0 70 40 70 0.77

φt100 0 0 10 0.05

xlt 0.05 0.05 0.5 28

ttc 0.05 0.05 0.08 1429

Dfus 2 2 2.5 445

Wfuel 15000 15000 40000 1.06

α 15 10 15 200

xfac 0.85 0.85 0.95 2433

Sorties

TOW 33065 50000 0

R 6500 6500 0.00036

D 1828 1828 0.91

V 70 70 59.2

Tab. 4.21 � Coe�cients de Lagrange à l'optimum (Dassault, Scilab).

• La méthode IDF marche bien pour ce cas-test, car il ne possède que deux variables decouplage. De très bons résultats sont obtenus avec l'optimiseur LIN. Pour ce cas-test,les méta-modèles linéaires s'adaptent très bien à cette méthode. Leur utilisation permetd'améliorer les résultats, en terme de nombre d'appels.

• La maximisation du rayon d'action pose quelques problèmes de convergence, ce qui ne nouspermet pas d'obtenir un front de Pareto complet.

Conclusion

Nous avons pu tester les formulations vues au chapitre 2 sur deux environnements (Model-Center et Scilab), et pour deux cas-tests (Sobieski et Dassault).

Nous essayons ici de donner quelques remarques générales sur les formulations MDO.

1. L'analyse multi-disciplinaire (MDA) : on a pu voir l'e�cacité des trois méthodesdisponibles sur les di�érents cas-tests.


� Pour le cas-test Sobieski, la méthode la plus e�cace est clairement la méthode de point�xe.

� Pour le cas-test Dassault, tout dépend de la précision demandée pour la MDA. Pour uneprécision correcte, nous choisirons la méthode de point �xe, et pour une précision trèsforte, nous choisirons la méthode de minimisation des résidus de l'équation d'état.

2. Les optimiseurs : sous Scilab, nous avons à notre disposition deux optimiseurs : LIN etCFSQP. Le résultat obtenu dépend aussi de l'optimiseur utilisé.

� L'optimiseur LIN donne une solution beaucoup plus précise, et en général avec un nombred'appels moindre que l'optimiseur CFSQP.

� L'optimiseur CFSQP permet d'obtenir une solution avec la méthode IDF et en utilisantles contraintes sur l'équation d'état de la forme ‖Y − y‖ ≤ ε.

Sous ModelCenter, l'optimiseur DOT-SQP s'avère très e�cace, mais ne permet pas de cal-culer les gradients autrement que par di�érences �nies (a�n d'utiliser la méthode GSE parexemple).

3. Les formulations mono-niveau : nous donnons ici quelques remarques sur les formula-tions les plus basiques, que sont les méthodes MDF et IDF.

• MDF (Multi-Disciplinary Feasible)� Cette formulation est la plus naturelle. Le principe est de résoudre l'équation d'étatinterdisciplinaire. Nous obtenons de bons résultats avec cette formulation. Ces résultatspeuvent servir de référence, et l'on peut dire qu'une méthode est e�cace si elle permetde faire mieux que la formulation MDF.

� Lorsque l'analyse multi-disciplinaire demande beaucoup d'appels aux disciplines, cetteformulation peut s'avérer trop coûteuse.

• IDF (Individual Disciplinary Feasible)� Cette formulation peut s'avérer très e�cace lorsque les contraintes sur l'équation d'étatinterdisciplinaire sont peu nombreuses.

� Dans le cas contraire, il est di�cile d'obtenir de bons résultats.� Les contraintes d'égalité du type ‖Y − y‖ ≤ ε permettent parfois d'arriver à une con-�guration proche de la solution optimale, mais ne permettent pas d'avoir des résultatsassez précis pour être exploités.

4. Les formulations multi-niveaux : les optimisations disciplinaires permettent d'améliorerla qualité des réponses aux sollicitations disciplinaires, et donc de faciliter l'optimisationau niveau système. Cependant ces optimisations supplémentaires peuvent avoir un coûtconséquent sur le nombre d'appels aux disciplines.

• CO (Collaborative Optimization)� La nature des optimisations disciplinaires permet d'assurer le couplage. En e�et, lesdisciplines cherchent à obtenir les sorties les plus proches possibles des consignes don-nées par le niveau système.

� Cependant, les réponses des disciplines ne vont pas forcément dans le sens de la fonctionobjectif système.


� Les résultats obtenus montrent que le nombre d'appels explose avec cette méthode.

• DIVE sans méta-modèles (Discipline Interaction Variable Elimination)� Il y a peu d'itérations au niveau de l'optimiseur global : les optimisations locales étantgérées par les disciplines, l'optimisation globale en devient plus e�cace et plus rapide.

� Nous arrivons avec l'implémentation sous Scilab à obtenir un nombre d'appels simi-laire à celui obtenu avec la méthode MDF.

• BLISS (Bi-Level Integrated System Synthesis)� Nous avons ici la meilleure formulation au niveau du nombre d'appels.� Cependant, le résultat obtenu avec cette méthode est un peu moins précis que pour laméthode MDF.

5. Utilisation de méta-modèles linéaires. Nous montrons ici la viabilité de l'utilisationdes méta-modèles linéaires, ainsi que leurs limitations.

• DIVE� L'utilisation des méta-modèles linéaires permet d'obtenir des résultats très proches,voire identiques à ceux obtenus avec la formulation MDF. Ces méta-modèles locauxs'adaptent avec l'évolution de la con�guration, au cours de l'optimisation. Par ce biais,ils permettent donc d'obtenir une solution précise.

� Cette méthode nécessite beaucoup moins d'appels aux codes de calcul disciplinairesque la méthode MDF.

� Cette méthode permet d'obtenir de bons résultats, et de manière plus rapide.� Ces résultats montrent donc la viabilité et l'e�cacité de cette formulation.

• IDF� L'utilisation des méta-modèles linéaires avec la formulation IDF peut s'avérer fructueuse.� Les résultats obtenus avec le cas-test Dassault nous montrent l'e�cacité de cetteméthode.

• Optimisation disciplinaire et méta-modèles : dans ce cas, les résultats ne sont pas aussiconcluants que dans le cas mono-niveau.� Nous considérons ici les résultats obtenus avec le cas-test Sobieski, dans le cas où lesdisciplines optimisent leurs variables locales.

� Les solutions obtenues avec l'utilisation des méta-modèles et sans méta-modèles sontidentiques et proches de la solution optimale.

� Cependant, le nombre d'appels est plus élevé avec l'utilisation des méta-modèles quesans.

� L'utilisation des méta-modèles linéaires s'avère donc viable, mais pas forcément e�-cace. Nous pouvons considérer que la génération du méta-modèle est trop coûteusedans ce cas.

• Recommandations sur les méta-modèles à utiliser : les méta-modèles linéaires utilisés icisont les plus simples qui soient. Malgré cela, nous obtenons de très bons résultats. Cetteformulation peut être beaucoup plus e�cace si l'on utilise des méta-modèles plus adap-tés aux disciplines. Nous conseillons cependant d'utiliser des méta-modèles respectantcertains critères :


(a) la construction du méta-modèle ne doit pas être trop coûteuse en nombre d'appelsaux disciplines (comme cela peut être le cas quand la discipline optimise ses variableslocales) ;

(b) le méta-modèle doit être adaptatif, a�n d'être �able autour du point de conceptiondemandé par l'optimiseur ;

(c) à l'optimum, nous devons maximiser la �abilité. Pour cela, il faut que les méta-modèlesutilisés fournissent des sorties exactes au point courant (a�n d'être sûr des sorties quiseront exploitées par la suite), ainsi que des dérivées exactes en ce point (a�n d'êtresûr de véri�er les conditions d'optimalité au premier ordre).

107

Conclusion générale et perpectives

Nous avons pu voir dans cette thèse di�érents éléments concernant l'optimisation multi-disciplinaire. Nous avons tout d'abord apporté une vision globale de la conception avion, etdonné l'exemple de deux cas-tests pour la conception avion avant-projet. Puis nous avons poséles éléments de base de l'optimisation disciplinaire, à savoir la dé�nition des variables et dessorties, le problème d'interaction entre les disciplines, les di�érentes méthodes pour calculer lesgradients, la manière de poser le problème d'optimisation et l'utilisation de méta-modèles dis-ciplinaires. À partir de ces éléments de base, nous avons pu décrire les di�érentes formulationsMDO.

Dans une troisième partie, nous avons fait part de notre expérience sur l'implémentationde ces formulations sous deux environnements di�érents (ModelCenter et Scilab) et pour deuxcas-tests (Sobieski et Dassault). ModelCenter est un logiciel très pratique, mais payant, et onse retrouve parfois limité pour l'implémentation des di�érents outils. Avec Scilab, on possèdeplus de liberté, mais l'e�ort en implémentation est plus conséquent. Pour le logiciel développésous Scilab, nous avons réalisé une implémentation des formulations MDO de la manière la plusgénérale qui soit : nous avons mis toutes ces formulations sous le même chapeau, ce qui nouspermet de passer de l'une à l'autre avec une grande �exibilité.

Dans ce travail, nous avons mis en oeuvre des méta-modèles, tout en nous acquittant dela di�culté posée par la dimension. En grande dimension, le méta-modèle est fourni avec unerégion qui peut être de petite taille. Cette région de con�ance suit le processus d'optimisation.Le méta-modèle peut se limiter à une approximation linéaire ou quadratique. Il peut s'appuyersur des méthodes classiques d'apprentissage, telles que les réseaux neuronaux, le Krigeage ou laSVM. Il peut également faire appel à des techniques de projection sur des sous-espaces, tellesque la méthode POD. Dans le cas où le modèle d'origine est simple, il peut jouer le rôle deméta-modèle.

La méthode DIVE, introduite dans le cadre de cette thèse a de nombreuses propriétés intéres-santes. En particulier, en con�ant à chaque discipline le soin de construire le méta-modèle quilui est propre, on augmente l'autonomie de chaque discipline. On n'impose pas de méta-modèleparticulier et chaque discipline choisit son méta-modèle en fonction des propriétés du modèle enquestion. L'une des qualités majeures de DIVE est de satisfaire avec la plus grande précisionles contraintes d'interaction du système. Ces contraintes représentent la physique du système etl'optimisation au niveau système ne peut donner de résultats cohérents que si ces contraintessont satisfaites.

Nous avons pu tester et comparer les di�érentes formulations MDO. Les résultats obtenusavec les deux cas-tests nous ont permis d'en tirer certaines conclusions :

• l'équation d'état doit être résolue de façon précise. Nous préconisons les méthodes utilisant

108 Conclusion

la MDA. Les méthodes qui traitent le couplage à l'aide de contraintes d'égalité sur l'équa-tion d'état demandent un e�ort conséquent en réglage de l'optimiseur, et ne sont e�cacesque dans le cas où il y a peu de variables de couplage.

• L'utilisation des méta-modèles linéaires dans le cadre de la formulation DIVE s'est avéréetrès performante. On obtient des résultats aussi précis que dans le cas sans méta-modèle,et avec un nombre d'appels aux codes de calcul disciplinaires fortement diminué. Cesrésultats incitent fortement à essayer d'améliorer ces résultats en étudiant cette méthodeavec des méta-modèles plus élaborés et plus adaptés aux disciplines. Il faudra cependantqu'il respectent plusieurs conditions :� il doivent être capables de se réactualiser lorsque leur �abilité n'est plus assez bonne,a�n de s'adapter à la con�guration étudiée ;

� durant l'optimisation, on cherche seulement à ce que la sortie des méta-modèles ait uneprécision correcte, a�n de ne pas tomber sur des con�gurations aberrantes ;

� à l'optimum, on cherche à maximiser la �abilité, les sorties et les gradients fournis parles méta-modèles doivent alors être exacts au point courant.

• L'utilisation de ces méta-modèles présente aussi des limites. Par exemple, lorsque l'oncherche à construire un méta-modèle à partir des réponses des disciplines optimisées parrapport à leurs variables locales, on se rend compte que la construction du méta-modèlecoûte trop cher, et on se retrouve avec un nombre d'appels aux codes de calcul plus élevé.

Nous essayons de donner ici quelques remarques sur ce que doit être le rôle de l'ingénieur enoptimisation multi-disciplinaire. Sans être un spécialiste dans chacun des domaines, les acteursde l'optimisation multi-disciplinaire doivent posséder une culture dans plusieurs domaines denatures variées.

• Optimisation : il faut connaître les di�érents algorithmes d'optimisation existants et êtrecapable de les adapter au problème de conception posé.

• Conception de système complexe : a�n de traiter au mieux la recherche de la con�-guration optimale, il est essentiel de posséder une bonne connaissance du système complexeétudié.

� Organisation du processus de conception : il faut posséder une bonne vue d'ensem-ble de l'organisation du système, connaître les di�érentes disciplines impliquées dans leprocessus et savoir de quelle manière elles interagissent entre elles.

� Pour chacune des disciplines, il faut avoir une bonne culture sur le domaine et enparticulier sur plusieurs points.

Connaître la physique des disciplines impliquées : chacune des discipline va solliciterun ou plusieurs domaines de la physique. Il faut pouvoir appréhender la nature duproblème physique donné, a�n de mieux connaître la modélisation que l'on va pouvoirfaire pour décrire le comportement du système.

Code haute précision : la modélisation va donner lieu à un code de calcul qui vapermettre de calculer avec précision la physique du domaine. Il est essentiel d'en con-naître les principes, les entrées et les sorties, ainsi que les domaines d'application de

109

ces modélisations.

Méta-modèles ou codes de substitution : ces codes haute précision peuvent être gour-mands en temps de calcul, et ne sont pas toujours compatibles avec un processusd'optimisation. Il faut pouvoir leur substituer des méta-modèles, dont le domained'application sera plus restreint et dont les réponses seront moins précises. A�n degarder une cohérence physique, il est essentiel que les méta-modèles s'adaptent avecl'évolution de la con�guration, par exemple en tenant compte des réponses donnéespar les codes haute �délité.

Optimisation disciplinaire : lorsque la discipline cherche à optimiser la valeur de sesvariables locales, on doit être en mesure de choisir la méthode d'optimisation la plusadaptée.

� Équilibre entre les disciplines : a�n de donner une description cohérente du systèmecomplexe, il est essentiel de tenir compte de l'interaction entre les di�érentes sorties.On se doit alors d'équilibrer les entrées et les sorties qui participent au couplage desdisciplines. A�n d'obtenir une réponse dans un temps raisonnable et qui pourra êtreintégrée dans un processus d'optimisation, on pourra rechercher cet équilibre au traversdes réponses données par les méta-modèles.

• Connaissance des outils informatiques : l'implémentation du système complexe et duprocessus d'optimisation demande une bonne connaissance des environnements informa-tiques. Il faut maîtriser les codes de calcul des di�érentes disciplines et arriver à les fairecommuniquer de façon e�cace. Une fois le système complexe implémenté, il faut pouvoirle faire interagir avec les codes d'optimisation.

Une connaissance solide dans chacun de ces domaines permettra au spécialiste de l'optimi-sation multi-disciplinaire d'être au c÷ur de la conception de système complexe et d'aider à lacommunication entre les di�érentes équipes impliquées.

111

Annexe A

Fonctions objectifs et contraintes pour

la méthode BLISS

Nous allons montrer dans cette annexe comment sont construits les problèmes d'optimisationdans la formulation BLISS (Bi-Level Integrated System Synthesis, cf section 2.2.5). L'optimisationdisciplinaire des variables locales sera exposée dans la section A.1. Le problème d'optimisationglobal sera donné dans la section A.2, où l'on précisera l'information apportée par les optimisa-tions locales.

Nous partons du point de conception p0 = [x0, z0]. Une MDA nous permet de dé�nir lesvariables de couplage y, qui seront transparentes pour la suite. On en déduit les valeurs desfonctions objectifs et contrainte.

{F0 = F (x0, z0),

G0 = G(x0, z0).(A.1)

Une analyse de sensibilité globale (GSE) nous donne les gradients :

{DpF0 = DpF (x0, z0),

DpG0 = DpG(x0, z0).

Hypothèse 1. Nous allons faire l'approximation suivante. Les gradients ∂zG(x, z) seront sup-posés constants et égaux à ∂pG0 autour du point [x0, z0].

A.1 Optimisations disciplinaires

Nous allons tout d'abord optimiser les variables locales x pour chacune des disciplines. Lesx seront solutions du problème (A.2) qui dépend de z.

minxFx(x).

G(x, z) ≤ 0xl ≤ x ≤ xu

(A.2)

Les fonctions coût seront les linéarisations de la fonction coût globale par rapport aux varia-bles locales, obtenues précédemment avec GSE.

112 Fonctions objectifs et contraintes pour la méthode BLISS

Fx(x) = F0 + ∂xF0(x− x0). (A.3)

Le problème (A.2) est équivalent au problème suivant :

minx∂xF0(x− x0).

G(x, z) ≤ 0xl ≤ x ≤ xu

(A.4)

Nous noterons xz les variables optimales et λz les coe�cients de Lagrange associés. Ils doiventsatisfaire les conditions d'optimalité d'ordre 1 (théorème KKT [Gui03]) :

∂xF0 + (λz)T∂xG = 0, (A.5)

λzTG(x, z) = 0, (A.6)

λz ≥ 0.

L'optimisation sera e�ectuée avec z = z0. Les solutions du problème en z0 sont xz0et λz

0.

Nous dé�nissons pour la suite les valeurs :

Fxopt = F (xz0, z0),

Gxopt = G(xz0, z0).

A.2 Optimisation globale

Nous allons alors dé�nir les fonctions coût et contrainte globales :

{f(z) = F (xz, z),g(z) = G(xz, z).

Pour pouvoir poser notre problème d'optimisation global, il nous faut obtenir des informationssur les gradients de f et g.

A.2.1 Calcul de la dérivée de f par rapport aux variables globales z

Dans cette section, nous souhaitons connaître les sensibilités de f et g. Nous allons montrerle résultat suivant :

Propriété 1.

Dzf = ∂zF0 + (λz)T∂zG0. (A.7)

Démonstration. La fonction coût globale est :

f(z) = F (xz, z) = F0 + ∂xF0(xz − x0) + ∂zF0(z − z0).

A.2 Optimisation globale 113

La dérivée de f par rapport aux variables globales z est donnée par :

Dzf = ∂xF0Dzx+ ∂zF0. (A.8)

Le terme Dzx étant di�cile à calculer, il nous faut parvenir à une expression de Dzf di�érente.On dérive la condition de KKT sur l'optimalité des problèmes d'optimisation locaux (A.6)

par rapport à z.

...Dzλi(Gi(xz, z0)) + λzi (∂xGiDzx+ ∂zGi) = 0

...

. (A.9)

Nous avons alors :� pour les λzi nuls, λ

zi (∂xGiDzx+ ∂zGi) = 0 ;

� lorsque λzi > 0, la contrainte Gi(xz, z) est saturée, c'est-à-dire égale à zéro. En utilisant cerésultat dans (A.9), le premier terme s'annule et on obtient : λzi (∂xGiDzx+ ∂zGi) = 0.

D'où :

∀i, λzi (∂xGiDzx+ ∂zGi) = 0. (A.10)

Soit :

(λz)T (∂xGDzx+ ∂zG) = 0,

(λz)T∂xGDzx = −(λz)T∂zG. (A.11)

On déduit de (A.5) que :

(λz)T∂xG = −∂xF0,

puis on injecte ce résultat dans (A.11) pour avoir :

(λz)T∂zG = ∂xF0Dzx.

Le terme ∂xF0Dzx qui posait problème dans (A.8) peut être remplacé par (λz)T∂zG. Les coef-�cients de Lagrange (λz) nous permettent de remonter l'information donnée par les optimisationsdisciplinaires.

Nous faisons ici l'hypothèse (ou l'approximation) que les contraintes disciplinaires sont linéaire-ment dépendantes en z autour du point [x0, z0]. Soit ∂zG(xz, z) = ∂zG0.

On a alors :

Dzf = ∂zF0 + (λz)T∂zG0.

Les variables x sont optimisées au point z0. La fonction coût que nous allons considérer auniveau global est alors :


f(z) = Fxopt + (∂zF0 + (λz0)T∂zG0)(z − z0),

et sa dérivée :

Dzf = ∂zF0 + (λz0)T∂zG0.

Nous avons alors démontré le résultat recherché.

A.2.2 Calcul de la dérivée de g par rapport aux variables globales z

On rappelle l'expression de g :

g(z) = G(xz, z).

Dans cette section, nous allons voir que les contraintes qui sont déjà saturées après les opti-misations disciplinaires ne dépendent plus des variables globales z. Nous proposerons aussi unefaçon de traiter les autres contraintes dans le problème d'optimisation global.

Propriété 2.

Dzg = ∂zG−0 ,

où G− sont les contraintes non saturées par les optimisations locales.

Démonstration.

Dzg = ∂xGDzx+ ∂zG.

Le vecteur des contraintes G peut se décomposer en deux sous-ensembles :

G(xz, z) =(G0(xz, z)G−(xz, z)

)(A.12)

� G0(xz, z) = 0, ce sont les contraintes actives,� G−(xz, z) < 0, ce sont les contraintes satisfaites.

• G0 : nous avons pour les composantes i de λz associées à G0(xz, z) : λzi > 0.D'après (A.10) nous avons :

∂xGiDzx+ ∂zGi = 0. (A.13)

Nous avons alors :

∀i / λi > 0, Dzgi = 0.

Les composantes de g qui ont déjà été saturées par les optimisations disciplinaires nevarieront plus lors de l'optimisation en z. Elles resteront saturées. Nous ne tiendrons pluscompte de ces contraintes lors de l'optimisation en z.

A.2 Optimisation globale 115

• G− : nous faisons le choix de ne pas tenir compte, dans sa dérivée, du terme ∂xG−Dzx, etde ne garder que la dépendance directe en z : ∂zG−

Nous faisons ici l'hypothèse (ou l'approximation) que les contraintes disciplinaires nonactives sont linéairement dépendantes en z autour du point [x0, z0]. Soit ∂zG−(xz, z) =∂zG

−0 .

Nous rappelons que l'optimisation globale s'est faite autour de z0. La fonction contrainte duproblème d'optimisation global sera alors :

g(z) = G−xopt + ∂zG−0 (z − z0).

Sa dérivée sera alors donnée par :

Dzg = ∂zG−0 .

Nous avons montré dans cette section les deux résultats suivants :

{Dzf = ∂zF0 + (λz)T∂zG0,

Dzg = ∂zG−0 .


A.2.3 Problème d'optimisation en z

Les fonctions coût et contrainte du problème global sont alors :

f(z) = Fxopt + ∂zF0 + (λz0)T∂zG0

g(z) = G−xopt + ∂zG−0 (z − z0)

Le problème d'optimisation global à résoudre en z sera :

minz∂zF0 + (λz

0)T∂zG0(z − z0),

G−xopt + ∂zG−0 (z − z0) ≤ 0,

zl ≤ z ≤ zu.

Il faut cependant rappeler que nous faisons ici une approximation en considérant les termes∂zG(xz, z) = ∂zG0 constants autour de [z0, x0]. Il en va de même pour la linéarisation de lafonction coût. On peut mettre en place une région de con�ance pour les variables partagées zpour éviter de s'éloigner trop du point initial et d'utiliser une information sur les gradients tropdégradée.

117

Annexe B

Algorithmes d'optimisation

Dans cette annexe, nous allons présenter certains algorithmes et méthodes d'optimisationcités dans cette thèse. La section B.1 expose la méthode de Gauss-Newton et la méthode desobjectifs bornés permettant de déterminer un front de Pareto est donnée en section B.2. Nousprésentons un optimiseur LIN qui linéarise notre problème et qui utilise la méthode des régionsde con�ance en section B.3.

B.1 Algorithme de Gauss-Newton

Cette méthode s'applique aux problèmes de moindres carrés du type :

j(h) =12‖J(h)‖2 =

12

Nt∑i=1

‖Ji(h)‖2. (B.1)

où J est une application de RNt dans lui-même.On note DJ la di�érentielle de J. Le gradient de j est donné par :

∇j(h) = DJ(h)TJ(h). (B.2)

Nous allons chercher à annuler ce gradient pour obtenir un minimum. Pour cela, on e�ectueun développement limité du gradient dans une direction d :

∇j(h+ d) = ∇j(h) +∇2j(h)d+O(d2). (B.3)

Nous négligeons les termes d'ordres supérieurs et nous recherchons un d tel que :

∇j(h+ d) = 0. (B.4)

Le vecteur d doit donc satisfaire l'équation :

∇2j(h)d = −∇j(h). (B.5)

Le calcul de la matrice Hessienne est en général très coûteux. Cependant, nous pouvonsremarquer que :

∇2j(h) = DJ(h)TDJ(h) +m∑i=1

Ji(h)∇2Ji(h). (B.6)

Nous pouvons ignorer le second terme de la Hessienne. Cela présente l'avantage de ne pasavoir à calculer les dérivées secondes de J . Cette approximation est justi�ée si les quantités

118 Algorithmes d'optimisation

Ji(h)∇2Ji(h) sont négligeables, soit parce que les termes Ji(h) sont proches de 0, ce que nousespérons, soit parce que les termes de dérivée seconde∇2Ji(h) sont faibles autour de ce minimum.Dans ce cas, on peut approcher la Hessienne par :

∇2Ji(h) ' DJ(h)TDJ(h) (B.7)

Nous avons alors le système suivant à résoudre :

DJ(h)TDJ(h)d = −DJ(h)TJ(h) (B.8)

Lorsque la matrice DJ(h)TDJ(h) n'est pas inversible, mais au moins semi-dé�nie positive,nous pouvons remplacer le système (B.8) par :

(DJ(h)TDJ(h) + λ)d = −DJ(h)TJ(h), λ > 0 (B.9)

L'utilisation d'une méthode directe est peu appropriée pour ce genre de problème. En e�et,le calcul de la matrice DJ(h) est très coûteux. Nous préférerons utiliser des méthodes itératives,qui permettent de se servir uniquement des produits matrice-vecteur z = DJ(h)d puis DJ(h)T zpour obtenir DJ(h)TDJ(h)d .

Un bon exemple de méthode itérative très performante est celui du Gradient Conjugué (voir[Gui03]).

B.2 Méthode des objectifs bornés (construction d'un front dePareto)

Il arrive que l'on ne cherche pas à optimiser un objectif en particulier, mais plutôt à trouverun compromis entre plusieurs critères. Nous allons montrer ici la construction d'un front dePareto pour deux fonctions f1(x) et f2(x) à minimiser selon la variable x. Nous présentons laméthode des objectifs bornés dite aussi méthode ε-contrainte (voir [SC02]). Le front de Paretoest l'ensemble des solutions non dominées, au sens de Pareto, ou Pareto-optimales.

Un point p est sur ce front si et seulement si :

∀y.

f1(p) ≤ f1(y)

ouf2(p) ≤ f2(y).

(B.10)

Voici une méthode simple pour déterminer le front de Pareto pour ces deux fonctions.• On calcule les optima de chacune des fonctions f1 et f2 :� x1 minimise f1 et x2 minimise f2.� La �gure B.1 présente en abscisse la valeur de la fonction f2 et en ordonnée la valeurde f1. Les deux optima x1 et x2 sont représentés par leurs coordonnées respectives(f2(x1), f1(x1)) et (f2(x2), f1(x2)).

• On part du point x2 et on résout le problème (B.11) pour plusieurs valeurs du réel c1 prisesdans un ordre croissant dans l'intervalle [f2(x2), f2(x1)] :

minxf1(x)

sous contraintes :f2(x) ≤ c1.

(B.11)

� L'ensemble des solutions obtenues seront notées xc1 . Elles sont sur le front de Pareto etreprésentées par les symboles �o� sur la �gure B.2. Les contraintes d'inégalité f2(x) ≤ c1

sont représentées par les lignes en pointillés.

B.2 Méthode des objectifs bornés (construction d'un front de Pareto) 119

6

-

x2

x1

o

oo o

f1

f2(x2)

f1(x2)

f1(x1)

f2(x1) f2

.

.*

*

*

Fig. B.1 � Optima x1 et x2.

6

-

x2

x1

f1

f2(x2)

f1(x2)

f1(x1)

f2(x1) f2

.

.*

*

*

f2 ≤ c1

o

oo o

Fig. B.2 � Solution des problèmes (B.11).

� On remarque que, lorsque c1 est proche de f2(x2), le point obtenu est proche de x2.Lorsque c1 tend vers f2(x1), le point se rapproche de x1.

• On peut aussi construire le front dans l'autre sens : on part du point x1 et on résout leproblème (B.12) pour des valeurs croissantes de c2 ∈ [f1(x1), f1(x2)].

minxf2(x)

sous contraintes :f1(x) ≤ c2.

(B.12)

6

-

x2

x1

o

oo o

f1

f2(x2)

f1(x2)

f1(x1)

f2(x1) f2

.

.*

*

*

f1 ≤ c2

Fig. B.3 � Solution des problèmes (B.12).

120 Algorithmes d'optimisation

� L'ensemble des solutions obtenues seront notées xc2 . Elles sont sur le front de Pareto etreprésentées par les symboles �*� sur la �gure B.3. Les contraintes d'inégalité f1(x) ≤ c2

sont représentées par les lignes en pointillés. On doit véri�er que les deux fronts de Paretoconcordent.• Le fait de construire le front de Pareto dans les deux sens permet d'en avoir une meilleurereprésentation.

B.3 Optimiseur LIN

A�n de pouvoir juger les performances de l'optimiseur CFSQP, nous avons programmé l'opti-miseur LIN. Son principe est de linéariser le problème d'optimisation, tout en utilisant une régionde con�ance, pour s'assurer de la bonne qualité des optimisations. Voici le déroulement de cetalgorithme :

1. point de départ Xcur, taille de région de con�ance ∆ ;

2. calcul des fonctions coût et contraintes : f(Xcur) et g(Xcur)

3. calcul des gradients : ∂Xf(Xcur) et ∂Xg(Xcur)

4. résolution du problème d'optimisation linéaire :

minX

∂Xf(Xcur).(X −Xcur),

g(Xcur) + ∂Xg(Xcur).(X −Xcur) ≤ 0,

X l ≤ X ≤ Xu,

X −∆ ≤ X ≤ X + ∆;

(B.13)

où ∆ est la taille de la région de con�ance choisie à l'étape 1. Pour résoudre le problème(B.13), on se sert de la fonction linpro de Scilab ;

5. calcul des sorties au point Xopt : f(Xopt) et g(Xopt) ;

6. actualisation de la région de con�ance (voir [Rav07]). On cherche à estimer la qualité del'approximation. Pour cela on dé�nit ρ tel que :

ρ = min(

f(Xopt)− f(Xcur)∂Xf(Xcur).(Xopt −Xcur)

, ...,gi(Xopt)− gi(Xcur)

∂Xgi(Xcur).(Xopt −Xcur)...

). (B.14)

On regarde le rapport entre la variation des sorties réelles et la variation des sorties del'approximation

y(Xopt)− y(Xcur)∂Xy(Xcur).(Xopt −Xcur)

,

pour la fonction coût et les contraintes ; plus le rapport est proche de 1, plus la qualité denotre approximation est bonne ; on choisit la nouvelle taille de la région de con�ance enfonction de ρ :� on considère les réels η1 et η2 0 < η1 < η2 < 1,� ρ > η2 : la validité de l'approximation linéaire est très bonne, on peut augmenter la taillede la région de con�ance ∆ (par exemple en la multipliant par 1.5) et on repart du pointXopt,

� η1 ≤ ρ ≤ η2 : la validité de l'approximation est considérée comme bonne, on garde lamême taille de région de con�ance et on repart du point Xopt,

B.3 Optimiseur LIN 121

� ρ < η1 : l'approximation linéaire n'est plus valide, on diminue la taille de la région decon�ance ∆ (en la divisant par 2) et on repart du point précédent Xcur,

� on prendra comme valeurs numériques des constantes : η1 = 0.01 et η2 = 0.9 ;

7. on teste la convergence, par exemple sur l'évolution des variables.


Références bibliographiques

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