optimisation du routage des pièces dans un atelier ... · l'optimisation de performances...

APII - 1992 - 26 - 227-252 __ Systèmes de production discontinue

Optimisation du routage des piècesdans un atelier flexibleà contraintes de populations locales (*)

K. SMAILI et J.-c. HENNET (1)

RésumélAbstract ------------------------

Pour optimiser les performances d'un atelier flexible, on cherche à répartir aumieux la charge de travail sur les différentes machines de cet atelier. Les flots dedemandes pour les différents produits sont supposés aléatoires et stationnaires.L'atelier est représenté comme un réseau de files d'attente multiclasse ouvert,décomposé en sous-systèmes soumis à des contraintes de population. Cettedécomposition permet l'obtention d'une forme produit généralisée globale, à partird'approximations des lois de service des sous-systèmes par des lois de typeexponentiel à taux moyen fonction de l'état. Le problème d'affectation des tâchesaux machines est traduit en un problème de répartition des jobs sur leursdifférentes gammes de fabrication possibles. Les paramètres de répartitionoptimaux sont calculés par la méthode du gradient réduit. On montre sur plusieursexemples que cette optimisation permet de diminuer notablement l'en-coursmoyen du système. Pour obtenir la répartition stationnaire optimale des flots dansle réseau, on peut utiliser les paramètres de répartition optimaux commeparamètres de routage aléatoire en temps réel. Par construction, les performancesasymptotiques de cette politique sont optimales. On peut montrer néanmoins qu'ilest possible d'améliorer les régimes de fonctionnement réels du système par despolitiques de pilotage dépendant de l'état.

Path routing optimisation in a flexible manufacturing system with local capacityconstraints. The optimal performance of a Flexible Manufacturing system can beachieved through optimal distribution of the workload among the various machinesof the system. The demandflowsfor the various types ofproducts are supposed to berandom and stationary. The FMS is modelled as a multiclass open queueing

(*) Reçu en décembre 1991.(1) Auteur auquel la correspondance doit être adressée. Laboratoire d'Automa

tique et d'Analyse des Systèmes du CNRS, 7 avenue du Colonel Roche, 31077Toulouse Cedex, France.

© AFCET Gauthier-Villars APII-0296-1598/92/03 227 26/$ 4.60

ROUTAGE DANS UN ATELIER FLEXIBLE228-----------------------network. It is decomposed into subsystems which are subject to populationconstraints. The decomposition technique al/ows for obtaining a global generaUzedproduct form, from approximated service laws for subsystems of the exponentialtype, with state dependent service rates. The problem of assigning tasks to machinesis translated into the problem of dispatching the jobs on their various possibleoperating sequences. The optimal distribution parameters are computed by thereduced gradient technique. It is shown on several examples that the average work inprocess of the system is notably decreased by this optimization. To reach the optimalstationary distribution of flows in the network, the optimal distribution parameterscan be used as real-time random routing parameters. By construction, the asymptoticperformance of this poUcy is optimal. H owever, it can be shown that it is possible taimprave the actual behaviour af the system by the use of state dependent rautingpaUcies.

Mots clés/Keywards

Réseau de files d'attente; Chaîne de Markov; Contraintes de capacité;Optimisation.

Queueing network; Markov chain; Capacity constraint; Optimisation.

1. Introduction

L'optimisation de performances d'un atelier flexible repose souvent surla détermination des valeurs optimales de variables de décision permettantde répartir de façon équilibrée les flots de produits dans l'atelier.Connaissant les différents types de pièces à fabriquer et les quantités deproduction désirées, ces variables peuvent servir en premier lieu àaméliorer la configuration d'un atelier flexible (nombre de machines parstation, capacités des stocks), et ensuite" à optimiser les routages deproduits sur les machines.

Nous considérons un atelier représenté par un réseau de files d'attentemulticlasse, où plusieurs types de produits peuvent être réalisés. Pourchaque type, il existe différentes gammes de fabrication. Dans cette étudecomme dans [Rennet et al., 1991], les variables de décision retenues sontles pourcentages de produits à affecter à chacune des gammes defabrication.

D'autres travaux ont déjà été consacrés à l'optimisation de performancesd'ateliers flexibles par pilotage optimal des flots de produits. Mais ilsutilisent généralement une représentation de l'atelier par un réseau de filesd'attente fermé [Kobayashi et Gerla, 1983 ; Vinod et Solberg, 1985]. Dansce contexte, l'objectif choisi était généralement de maximiser le taux deproduction de l'atelier [Frein et al., 1988].

R.A.I.R.O. APII

Systèmes de production discontinue----------------------- 229

Dans cette étude, nous supposons que les contraintes de population(nombres de palettes ou nombres de kanban par exemple) sont locales,c'est-à-dire relatives à des sous-ensembles de machines, et qu'il n'y a pasde contrainte globale explicite sur le nombre de produits en cours defabrication. Le modèle de files d'attente correspondant à ces hypothèsesest celui d'un réseau ouvert. Pour pouvoir représenter, de façon exacte ouapprochée, de nombreux types d'opérations à effectuer et diversesstructures de sous-ateliers, il est nécessaire de supposer que les taux deservice des stations dépendent du nombre de pièces qui y sont présentes.

En régime de fonctionnement stationnaire, un critère de performancespossible pour le réseau ouvert soumis à des flots de demandes à tauxmoyens constants, consiste à minimiser le nombre moyen de pièces dansl'atelier.

Ce travail considère tout d'abord le problème d'optimisation desperformances de l'atelier en régime de chargement et de fonctionnementpermanent. Au chapitre 2, nous présentons un modèle d'un atelier flexiblemultiproduit modélisé par un réseau de files d'attente ouvert multiclasse.Ce modèle est décrit dans le cas générique de sous-ateliers à contraintes depopulation locales.

Au chapitre 3, une méthode permettant l'optimisation des performancesde l'atelier en régime stationnaire sera présentée. Deux exemples d'application de cette méthode seront aussi présentés dans ce même chapitre.

En temps réel, les décisions d'affectations des produits aux gammespeuvent correspondre à des branchements aléatoires de Bernoulli, quiconservent le caractère poissonien des flots. Les paramètres de branchement sont alors choisis égaux aux paramètres de répartition optimaux enrégime stationnaire. Mais les décisions réelles d'affectation des produits àleurs différentes gammes possibles peuvent aussi être effectuées suivantdes règles dépendant de l'état de l'atelier [Buzacott, 1982]. En général, cesrègles ne conservent pas le caractère poissonien des flots. En revanche,elles permettent souvent de réduire la variance des distributions probabilistes, ce qui est souvent souhaitable en pratique. Notons aussi une meilleureadaptativité aux aléas des règles dépendant de l'état. Elles sont donc plusparticulièrement intéressantes dans le cas où les machines de l'ateliertombent fréquemment en panne [Kimemia et Gershwin, 1985].

Au chapitre 4, une politique d'affectation des pièces en temps réel sur laroute la moins chargée sera étudiée et comparée à la politique d'affectationaléatoire. On montre sur un cas particulier qu'il est possible à la foisd'atteindre les performances moyennes optimales et de réduire lesvariances des distributions probabilistes autour de ces valeurs moyennes.

vol. 26, n° 3, 1992

ROUTAGE DANS UN ATELIER FLEXIBLE230-----------------------

2. Représentation d'ateliers par des réseaux de files d'attente

2.1. LE MODÈLE GLOBAL CONSTITUÉ DE STATIONS À TAUX MOYEN DE

SER VICE VARIABLE

Les réseaux de files d'attente fournissent un support descriptif à denombreuses configurations de production. Ils permettent en outre, dansdes cas simples ou de façon approximative, d'évaluer et/ou d'optimiser lesperformances des ateliers par des méthodes analytiques d'évaluation[Dallery, 1986, 1990; Frein et al., 1988; Hennet et al., 1991].

Considérons un atelier flexible constitué de n sous-ateliers différentsconnectés entre eux par un réseau de transport des pièces. Chaque sousatelier est représenté par une station unique dont le taux moyen de servicedépend de son état courant. Cette dépendance permet de représenter defaçon approximative des structures complexes (cas de stations multiserveurs, cas de sous-ateliers à population limitée [Baynat et Dallery, 1990].Cette décomposition de l'atelier peut conduire à une forme produit globalesi elle satisfait certaines hypothèses fondamentales [Baynat, 1991].Contrairement à de nombreux modèles fermés approximatifs déjà étudiés[Dallery, 1986], la forme produit globale recherchée dans ce travailcorrespond à un réseau ouvert. Nous supposons que les pièces arrivent àl'entrée de l'atelier suivant une loi de Poisson avec un taux moyend'arrivée constant À. Le système décrit ainsi peut être représenté par lafigure 1.

Dans un modèle de files d'attente ouvert idéal, les entrées du systèmesont R flots aléatoires poissoniens correspondant aux différents types deproduits à fabriquer. Le taux moyen d'arrivée de produit de type r àl'entrée du système est noté À r (r est un entier entre 1 et R).

Atelier

Figure 1. - Représentation d'un atelier flexible.

R.A.I.R.O. APII


Soit !3r la probabilité pour qu'un produit entrant dans l'atelier soit detype r (!3r = À/À).

Chaque job de type r (r = 1, ... , R) est constitué de plusieurs groupesd'opérations (un groupe correspond au passage dans une station) quidoivent être exécutées dans un ordre compatible avec le graphe deprécédence caractérisant ce type de jobs. A un type donné r de jobscorrespondent plusieurs gammes c de fabrication (c E Cr). Réciproquement, le type de job admettant la gamme c est noté r(c).

Les différents pourcentages de pièces affectées aux différentes gammesde fabrication pour chaque type de produits sont notées Xc pour chaque

gamme c(c E Cr) sous la contrainte: L Xc = 1.

On suppose que le nombre total des gammes de fabrication pour tous lestypes de produits traités dans l'atelier est égal à C. On peut entièrementdécrire l'évolution dans l'atelier d'un type de produits donné r suivant unegamme de fabrication donnée c (c = 1, ... , C). L'atelier peut alors êtrereprésenté comme un réseau de files d'attente multiclasse. Le nombre desclasses de clients dans le réseau est égal au nombre total des gammes defabrication réalisées dans l'atelier. La circulation des pièces, réaliséessuivant une gamme donnée dans l'atelier, est équivalente au routage dansle réseau des clients de la classe correspondante. Le routage de clientsd'une classe donnée c à travers les stations du système est donné par lamatrice de transition de probabilité pour cette classe.

On suppose que les files d'attente sont gérées par la règle FIFO. Lestemps de traitement sur chacune des stations ont des distributionsexponentielles à taux moyens de service f.L i (ni) (i = 1, ... , n) fonction dunombre ni de pièces qui se trouvent sur la station-i.

La proportion de jobs arrivant à l'entrée du système sur la station-i etréalisés suivant la gamme c (classe c) est:

() ic = Xc tir(c) ;

où tir(c) est la probabilité qu'un job de type r(c) arrive sur la station-i .(2.1)

Après traitement sur la station-i, les jobs de la gamme c sont acheminésvers la station-j (j = 1, ... , n) avec la probabilité:

pijtelleque: O~pij~1 pour JE (1, ... ,n); Lpij~l.j ~ 1

Les produits finis de la gamme c sont obtenus après traitement à la stationi avec la probabilité:

Qf = 1 - L Pi}·j ~ 1

voL 26, n° 3, 1992

ROUTAGE DANS UN ATELIER FLEXIBLE232-----------------------Le taux relatif eic d'arrivées des jobs de la gamme c (classe c) à la station-iest donné [Baskett et al., 1975; Dubois et Cavaillé, 1982] par l'équation detrafic suivante:

eic = e ic + L pIi ejc .j ~ 1

Les conditions de réseau ouvert pour toutes les classes s'écrivent:

L Qf:> 0; CE (1, ... , C) .i = 1

(2.2)

Elles impliquent la non-singularité de la matrice [l - pC], et l'existenced'une solution unique au système d'équations (2.2), qui peut être écritesous la forme vectorielle suivante:

(2.3)

Avec par définition :

(2.4)

L'équation (2.3) peut être écrite:

Soit :

TI c = (TI 1 c' ... , TI nJ = tr(c) [1 - p cr 1 •

(2.5)

(2.6)

Il est intéressant de noter que ce vecteur ne dépend pas des variables dedécision xc.

Si la condition de stabilité du système est vérifiée, le taux moyend'arrivée des jobs de la gamme C (classe c) à la station-i s'écrit:

a ic = À r(c) Xc TI ic = À f3 r(c) Xc TI ic . (2.7)

L'état du système S est défini par: S = (nI> nz, ... , ni' ... , nn)' oùni est le nombre de pièces présentes sur la station-i.

La forme produit des distributions de probabilités en régime stationnaires'écrit [Baskett et al., 1975] :

(2.8)

Pour montrer la généralité de ce modèle et préciser les procédures decalcul des taux moyens de service, considérons le cas courant de sousateliers dans lesquels ne peut circuler qu'un nombre limité de produits.

R.A.I.R.O. APl!


2.2. CAS DE SOUS-ATELIERS À POPULATION LIMITÉE

2.2.1. Le modèle de base

Dans la plupart des sous-ateliers à contrainte de capacité, le taux moyende service d'une station-i de l'atelier, {tien;), peut s'écrire de façon exacteou approximative en fonction du nombre de pièces n; qui y sont présents,sous la forme suivante:

Ce type de modèle est très général. Il regroupe en particulier les structuresdu type sémaphore [Fdida et al., 1986], les sous-ateliers à nombre limité depalettes [Dallery, 1990] et des sous-systèmes gérés en kanban [Buzacott,1988; Di Mascolo, 1990].

Une station type (sous-atelier) obéissant à ce modèle se compose d'unensemble de machines et de stocks reliés par un système de transport.Cette station est en général à population limitée. Le modèle utilisé pourreprésenter une telle station est inspiré des réseaux de files d'attente et desréseaux de Petri. Ce modèle est analogue à celui développé dans [Fdidaet al., 1986] appelé: réseau de files d'attente descriptif. Pour tenir comptede la limitation de population (nombre limité de serveurs, palettes,kanbans) dans un sous-atelier donné, des restrictions sont imposées sur lepassage des pièces entre le stock extérieur et le sous-atelier. Noussupposons que le nombre maximum de pièces admis dans le sous-atelierest limité à N;. Une pièce qui arrive dans le stock extérieur et trouve lenombre de pièces dans le sous-atelier égal à N;, sera stockée dans la filed'attente externe. Dès que le nombre des pièces n; dans le sous-atelierdevient inférieur à N; alors la première pièce arrivée dans le stockextérieur doit rejoindre le sous-atelier. La condition sur la circulation despièces et sur la limitation de population dans une station donnée del'atelier est représentée (jig. 2) par un formalisme analogue à celui utilisédans les réseaux de Petri.

ai

Procédure condition

Stock extérieur ~ .r• 1 1 1 IJ St tJj <N i ~ ."I/f

• ill=ili+1

Til

Procédure action

1 •il; =il;-I

Figure 2. - Arrivée et circulation des pièces à travers une station.

Parmi les cas représentables par ce modèle, on peut citer les stationsmultiserveurs et le cas de palettes en nombre limité.

vol. 26, ilO 3, 1992

ROUTAGE DANS UN ATELIER FLEXIBLE234-----------------------a) Cas multiserveurs: Supposons que la station-i représentée sur la

figure 3 ci-dessous Ci E {l, ... , n}) soit formée d'un nombre Ni desmachines identiques en parallèle (station multiserveur).

Procédure condition

Stock eXtérieur~

.1 1 1 1 1 si ni < Ni .Til

Figure 3. - Station avec serveurs en parallèle.

i-1

Le taux de service d'une telle station-i s'écrit en fonction du nombre de

pièces ni sous la forme:

f-Li(nJ=nif-Li avec O<ni~Ni' (2.10)

b) Cas d'atelier à nombre limité de palettes: Supposons maintenant quela station-i (fig. 4) (i E {l, ... , n}) soit formée d'un sous-atelier-i ànombre limité de palettes (N i)' Le sous-atelier-i peut comporter une ouplusieurs machines interconnectées d'une façon pré-définie. Le sousatelier-i peut aussi être un système à nombre limité (N i) de kanbans. Letaux de service d'une station donnée i est donné par l'expression (2.9).Pour calculer f-Li (ni) on utilise soit la simulation soit la méthoded'agrégation [Avi-Itzhak et Heyman, 1973; Baynat, 1991].

Figure 4. - Représentation d'une station avec sémaphore.

Dans la méthode d'agrégation, chaque sous-atelier-i Ci E {l, ... , n} )est analysé en isolation comme un système (sous-réseau-i) fermé deni pièces (fig. 5), et ce nombre ni varie entre 1 et Ni' Les débits de lastation-i analysée en isolation pour des nombres ni de pièces en circulationfournissent les valeurs approximatives des taux de service f-Li (ni)'

Figure 5. - Sous-atelier-j.

R.A.I.R.O. APII

Systèmes de production discontinue-----------------------235

2.2.2. Calcul des probabilités d'états

En supposant que les transitions d'états soient markoviennes, le graphed'états (chaîne de Markov) du système général de la figure 2 (station-i avecson stock d'entrée) est le suivant:

ai t ai.Co~ 1~!!i(1) !!i(2)

ai ~ ai t ai. a; ~ ai.• Ni'~ N~ .......• Ni+!). .!!i(Ni-1) !!i(Ni) Il; (Ni) !!i(Ni) !!i(Ni)

Figure 6. - Graphe d'états d'une station de l'atelieranalysée en isolation.

A l'équilibre, les probabilités d'états du graphe de la figure 6 sont liéespar le système d'équations suivant:

aiP(O) = ILJI)p(1)

aiP(ni -1) + ILi(ni + l)p(ni + 1) = [ai + ILi(ni)]p(ni)

pour 1 ~ n i ~ (N i - 1)

ai P (N i + j - 1) + ILJN i ) P (N i + j + 1) = [a i + IL i (N i )] P (N i + J)pour j ~ 0

(2.11)

Soient:1 - 1

7T(t) = OILi(Ni-1) pour O<.t~Ni;1 ~ 0

a·et Pi = 1 .(2.12)

IL i (N i)

Les probabilités d'états sont calculées, à partir du système d'équations(2.11), en fonction de la probabilité d'être à l'état Ni; ces probabilités sontdonnées par :

7T(t) .P (N i - t) = -- p (N i) pour 0 <. t ~ Ni'

al1

et

p(Ni+J)=pfp(NJ pour j~O.

La probabilité p (N J se calcule à partir de l'égalité:00

L p(k) = 1k~O

[ 1 Ni . ]-1p(Ni) = ~ + L 7T(j)PI j~l a;

vol. 26, n' 3, 1992

(2.13)

(2.14)

(2.15)

ROUTAGE DANS UN ATELIER FLEXIBLE236-----------------------2.2.3. Calcul du nombre moyen de pièces sur la station-i

Soit nex (respectivement nin) le nombre moyen de clients dans le stockextérieur (resp. dans le sous-atelier) ; nex (resp. nin) est donné par:

00

nex = L j P (N i + j) ;j~1

00

et nin = L kp(k) + L Nip(Ni +j). (2.16)k ~ 1 j ~ 1

En remplaçant les expressions des probabilités d'états de l'équation (2.13),dans (2.16), on trouve:

etn in = lN i - P (N i) .~ j 7T ~) ) •} ~ 1 ai

(2.17)

(2.18)

Le nombre moyen total nsi de clients sur la station-i est la somme de deuxnombres moyens nex et nex-

1 Pi Ni j7T(j))nsi = nex + nin = Ni + p(Ni) 2 - L --j-

(l - Pi) j~l ai

Le temps moyen de présence d'un client sur la station est calculé, d'aprèsla loi de Little, par:

ns l 1 [P. Ni .. ])

W s = ~ = - Ni + p (N i) 1 _" } 7T (j )a, ai (1- .)2 L., j •P, j ~ 1 ai

3. Partage de charge optimal en régime stationnaire

3.1. ALGORITHME D'OPTIMISATION

(2.19)

Le critère à minimiser: L'objectif recherché est de mInImiser lamoyenne temporelle de l'espérance mathématique du nombre de piècesprésentes dans l'atelier pour des flots d'arrivées poissoniens stationnaires.

On restreint l'ensemble des politiques envisagées aux politiques consistant à répartir les pièces de type r (r = l, ... , R) sur leurs gammes c(c E Cr) de façon aléatoire, dès leur arrivée dans l'atelier, suivant lespourcentages de répartition, xc' définis précédemment. Ces politiques sontstationnaires et conservent le caractère poissonien des flots d'entrée.

En outre, les hypothèses de stabilité suivantes sont imposées commecontraintes au problème d'optimisation:

!O<:Pi<:l;0"", Xc <: l ; Vi E {l, ... , n} 1c,

et L Xc = lc = 1

(3.1)

R.A.I.R.O. APII

Systèmes de production discontinue-----------------------237Ces hypothèses de stationnarité impliquent l'ergodicité du système. Lecritère peut donc s'écrire simplement en fonction de la distribution desprobabilités d'état à l'équilibre. Cette distribution est unique et admet uneforme produit [Baskett et al., 1975].

Un critère de minimisation équivalent est donc le nombre moyen declients à l'équilibre, qui est la somme des nombres moyens de clients surchaque station:

Es = L nsi'i = 1

(3.2)

Sous ces hypothèses, nsi est exprimé par la relation (2.18).L'algorithme de résolution généralise le travail de [Hennet et al., 1991]

au cas de taux de service dépendant du nombre de clients.La contrainte sur les Pi est toujours vérifiée à condition de partir d'une

solution admissible [Smaili, 1990] car d'une part, les équations (2.7) et(2.12) impliquent que les Pi sont strictement positifs et d'autre part, lecritère croît très fortement lorsque Pi approche la valeur 1-, ce quigarantit le respect de la contrainte (p i <: 1) par pénalisation. Ce problèmepeut donc se mettre sous la forme standard suivante:

lminx/(x) = Es = L nsi 1

Pl ; ~ 1

Sous: (A . x = b et x "'"0 )où A E fYt R xc,

rang (A ) = R, X E fYt C et b E fYt R •

C'est la forme standard de la méthode du gradient réduit.Chaque ligne de la matrice A est associée à un type de produits. Les

termes de la matrice A et le vecteur b sont:

A=

1 1o 0

100o 1 1

o1

o 0o 0

oo

et b =

11

(3.3)

o 0 000 o 1 1 ... 1 1

De la matrice A, on peut extraire une matrice B, appelée matrice de baseet une matrice N, appelée matrice hors-base, telles que:

A = [B 1 N ]; B E fYt R x R avec rang (B) = R et N E fYt R x (C - R) •

De même, du vecteur x (variables de décision), on peut extraire un vecteurXs, appelé vecteur de base (formé des variables de base) et XN' appelévecteur hors-base, tel que:

Xs = B - 1 b - B - 1 N . (3.4)

vol. 26, n" 3, 1992

ROUTAGE DANS UN ATELIER FLEXIBLE

238

Le vecteur gradient réduit UN est donné [Minoux, 1986; Wolfe, 1963]) parl'équation :

Le vecteur gradient réduit du problème Pl est:

UN = L (Di{[17iJdB ~ [17iC]~EB[B-1Nl})i = 1

où:

(3.5)

(3.6)

_ Àp(Ni) ([ 1 +Pi ~.2 7TU) :-(j+l)] _ n; (N)lDi - --- 3 + ~ ) .P, P"

f.Li(Ni) (1 - Pi) j~J (f.Li(Ni)Y Pi

L'algorithme présenté ci-dessus garantit d'obtenir la solution optimale si lecritère est convexe, ce qui est le cas pour les lois f.L i (ni) rencontrées le plusfréquemment. Cependant, dans le cas où ces lois sont des approximations,les paramètres de répartition optimale sont eux aussi approximatifs; maison a pu constater sur des exemples numériques que la solution duproblème est généralement peu sensible à ces approximations.

3.2. EXEMPLES D'APPLICATIONS

3.2.1. Cas d'atelier à stations avec serveurs en parallèle

Considérons un atelier flexible constitué de trois stations (n = 3), et quitraite trois types (r = 3) de produits 1, 2, 3. Chacun des deux premierstypes de produits 1, 2 peut être fabriqué suivant deux gammes defabrication. Le troisième type 3 peut être fabriqué suivant trois gammesdifférentes. Le nombre total des gammes C est égal à 7. SoientÀr le taux moyen d'arrivée des pièces de type r (r = 1, 2, 3), etXc le pourcentage des pièces traitées suivant la gamme c (c = 1, H" 7). Lesarrivées et les routages des pièces à travers les trois stations de l'atelier,suivant les différentes gammes de fabrication sont représentées par lafigure 7.

Les taux moyens d'arrivée des pièces suivant les trois types de produitssont: (lll = 0,4, À2 = 0,3, À3 = 0,4). Chaque station est supposée constituée de plusieurs machines identiques; en termes de files d'attente, ils'agit donc d'une station avec serveurs en parallèle du type présentéprécédemment. La première et la troisième sont constituées chacune dedeux serveurs (N 1 = N 3 = 2); la seconde station est constituée de troisserveurs (N 2 = 3). Les taux moyens de service d'une unité de service surles trois stations sont: (f.L 1 = 0,4, f.L2 = 0,3, f.L3 = 0,35). On suppose que

R.A.I.R.O. APII


atelierÀ1

À2x3

·G~

À3_I~

x7

-----y~

Figure 7. - Arrivée et routage des pièces dans l'ateliersuivant toutes les gammes de fabrication.

chaque pièce nécessite un seul traitement sur l'une quelconque desmachines identiques d'une station donnée.

Les valeurs initiales et optimales des paramètres de décision Xc

(c = l, ... , 7) ainsi que le critère et les Pi (i = l, 2, 3) pour cet exemplesont donnés par le tableau 1.

TABLEAU 1

Valeurs initiales et optimales des paramètres de décision.

Xlx2x3x4x,x6x7f(x)PlP2P3

1 initial0.60.40.30.70.50.30.234.980.950.910.83

r optimal0.430.57100.670.160.1719.450.850.860.84

Pour minimiser le critère en régime stationnaire, il faut donc envoyer enmoyenne à l'entrée de l'atelier, 43 % des pièces du premier type deproduits suivant la première gamme, et le reste suivant la seconde gamme;et ainsi de suite (voir tableau 1) pour les deux autres types de produits.

Comme on peut le noter sur le tableau l, la valeur du critère dans le casoptimal est nettement moins importante que dans le cas initial (casarbitraire non optimal). Ceci implique une diminution importante enmoyenne du temps de présence d'une pièce dans l'atelier. Il est intéressantde noter aussi que les Pi (i = 1, 2, 3) qui représentent en quelque sorte lestaux de chargement des stations sont très voisins dans le cas optimal. Danscet exemple, la minimisation du nombre moyen des pièces dans l'atelierdonne donc une répartition à peu près égale des charges sur les stations.

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ROUTAGE DANS UN ATELIER FLEXIBLE240-----------------------3.2.2. Cas d'atelier avec serveurs en série.

Nous considérons un atelier flexible contenant trois stations (n = 3) ;chaque station est formée de deux machines en série sans stock intermédiaire. Le nombre total des machines dans l'atelier est donc égal à six. Cetatelier traite un type de produits (R = 1) suivant trois gammes defabrication. Soient À le taux d'arrivée des pièces à l'entrée de l'atelier, etXc le pourcentage de produits traités suivant la gamme c (c = l, 2, 3).L'arrivée et le routage des pièces dans l'atelier suivant les trois gammes defabrication sont représentées par le réseau de files d'attente de la figure 8.

Gamme-1: -

Gamme-2: # # #

Gamme-3: --

Figure 8. - Représentation de l'arrivéeet du routage des pièces dans l'atelier.

Le taux moyen d'arrivée des pièces est: (,\ = 1,2) ; et les taux moyensde service des machines de l'atelier sont: (JL Il = 2, JL 12 = 1,48,JL21 = 1,90, JL22 = 1,71, JL31 = 2,20, JL32 = 1,83).

Chaque station fonctionne de la façon suivante: les pièces en attente deservice dans le stock d'entrée sont traitées par l'ensemble des machinessuivant la loi FIFO. La loi d'arrivée des pièces à l'entrée de l'atelier estsupposée poissonienne du taux moyen À. Le traitement d'une pièce parune station se fait par étapes sur chacune de deux machines. Lors dutraitement d'une pièce sur une des stations-i données, aucune pièce parmicelles qui attendent dans le stock-i d'entrée ne sera autorisée à subir sontraitement avant la fin de celui de la pièce en opération-machine sur laseconde machine de la même station. Les distributions des temps deservice sur les deux machines de la station-i sont exponentielles de tauxmoyen JLij (j E {l, 2}).

Au lieu de minimiser le nombre moyen exact de pièces dans l'atelier, onva en minimiser une expression approximative. Le cas d'un atelier forméde n stations dont chacune contient deux machines en série se ramène par

R.A.I.R.O. APII


une approximation à un atelier de n machines équivalentes dont le tauxmoyen de service Ili d'une machine-i donnée est égal au taux deproduction de la station-i analysée en saturation. Pour ce type de sousateliers particulier, un calcul exact de la loi de service est aussi possible. Ilest alors intéressant de comparer le calcul exact à l'approximation, defaçon à valider la méthode approximative utilisée pour l'optimisation.

Calcul approché du taux moyen de service de l'ensemble des deuxmachines en série sans stock intermédiaire.

Sous les hypothèses qui viennent d'être énoncées, on peut avoir aumaximum un client dans une station. Le taux de service de l'ensemble desdeux machines en série peut alors être identifié au taux de production dumême système analysé en saturation. Nous allons donc faire l'étude d'unsystème de deux machines en série fonctionnant en saturation dontchacune a un taux moyen de service f.Lj (j = 1, 2); ce système estreprésenté par la figure 9.

I.~..chine-I MaclùU"'.·.·:.•••?-.•

. ~I .. ~2."." .. -';-'"", ...';""'-,--' .. -,".

Figure 9. - Système de deux machines fonctionnant en saturation.

Chacune de deux machines peut avoir deux états: en action si lamachine est en train de traiter une pièce, au repos sinon. Comme lesystème fonctionne en saturation, les états de la première machinedépendent de ceux de la seconde ; ainsi la première machine est en actionquand la seconde est au repos, et la seconde est en action quand lapremière est au repos. Du fait de la dépendance entre les états des deuxmachines, l'information sur l'état de l'une est suffisante pour connaîtrecelle de l'autre. Nous nous intéressons à la première machine pour pouvoircalculer le taux de service du système de la figure 9.

Le graphe d'états de la machine 1 (jig. 10) contient deux états: l'état 0ou l'état au « repos », et l'état 1 ou l'état « en action ».

Figure 10. - Graphe d'états de la machine 1.

Le calcul des probabilités de ces deux états p (0) et p (1) de la machine 1est très simple, il se fait à partir des équations (3.7) écrites à l'équilibre.

(3.7)

vol. 26, n' 3, 1992

ROUTAGE DANS UN ATELIER FLEXIBLE242 ---------------- _

La probabilité que la machine 1 soit en action, p (l), est donnée par larelation:

JL2

p(l) = JLI + JL2(3.8)

(3.9)

Le taux de production du système de deux machines en série fonctionnanten saturation est donné par la relation suivante:

JLIJL2v = JLIP(1) = ---.

JL]+JL2

Soit vi (i = 1, ... , 3) le taux moyen de service de la machine équivalente dela station-i. Les taux moyens de service sont: (vI = 0,85, V2 = 9,V3 = 1).

Nous allons remplacer le système de deux machines en série par uneseule machine de taux de service égal au taux de production de l'équation(3.9), v. Cette approximation va nous permettre d'avoir la forme produit,et de calculer d'une façon approximative le nombre moyen de pièces dansun atelier formé de plusieurs stations dont chacune contient un stock decapacité illimitée et un ensemble de deux machines en série.

Le nombre moyen de pièces dans un système d'une seule machine avecson stock d'entrée En est donné par la relation:

A

En = --A'1--v

A est le taux d'arrivée des pièces dans le stock. (3.10)

Calcul exact de la loi de service.

Considérons à nouveau le cas des deux machines en séries (jig. 11).

Figure 11. - Système d'Erlang formé de deux machines en séries.

La transformée en z, Q (z) de la fonction probabilité d'états de cesystème s'écrit [Kleinrock, 1975]:

Q(z)=JLIJL2 Po (3.11)A2 (z-z])(z-Z2)

où Zl et z2 sont les racines de l'équation:

2 A+JL]+JL2 JL]JL2Z - ------z + --- = 0

A A2(3.12)

R.A.I.R.O. APII


Po = (1 - À IL 1 + IL2 ) , est la probabilité que le nombre de clients dans leIL 1 IL2

système (jig. Il) soit nul. Les probabilités d'états et le nombre moyen depièces dans le système sont:

p(k)=_ILI_IL2_PO [(!)k+l_ (!)k+l]À2(ZI-Z2) z2 Zl(3.13)

E(n)=À (IL1+IL2-À)IL 1 IL2 - À (IL 1 + IL2)

(3.14)

Comparaison entre le nombre moyen exact de pièces et celui donné parl'approximation sur un exemple simple.

Le nombre moyen exact de pièces dans ce système est donné par larelation (3.14), et le nombre moyen approximatif des pièces dans le mêmesystème est donné par la relation (3.10).

Nous prenons le cas d'un système des deux machines en série dont lestaux moyens de service sont: IL 1 = 3, et IL2 = 3, et le taux moyend'arrivée de pièces à l'entrée du système À varie entre 0 et le taux moyenmaximum qui respecte la condition de stabilité du système. Les variations,en fonction du taux moyen d'arrivée, des nombres moyens exacts etapproximatifs de pièces dans le système sont schématisées par la figure 12.

15

20

.51.41.2

,,,,,,·

•••••• 00 ••••••••• ,! ~.. fI,.,,··,,,

.r.: ..

..

1:

"J'.'.i.... . ..... .~..,~..

,/:

. .>/il......... ..::;-- ..

0.80.60.40.2o

o

· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .· .CI: Notnbre moyeh exact de pièces ;25~·········· ..·· ·;..····················,············· , , .C2: Nombre moyen approximatif de pièces

1O~ ........................•.................

30

Figure 12. - Variation du nombre moyen de clients en fonction du taux moyend'arrivée dans les deux cas approximatif et exact.

vol. 26, n° 3, 1992

ROUTAGE DANS UN ATELIER FLEXIBLE244-----------------------Nous pouvons mesurer pour cet exemple l'approximation faite en

remplaçant l'expression exacte du nombre moyen des pièces par uneapproximation de celle-ci. L'approximation est généralement acceptable.Elle est d'autant meilleure que le taux moyen d'arrivée À diminue.

Les valeurs initiales et optimales des paramètres de décision Xc

(c = 1, 2, 3), ainsi que le critère et les taux d'utilisation des machineséquivalentes Pi (i = 1, ... , 3) pour l'exemple de la figure 8 sont donnéespar le tableau 2.

TABLEAU 2

Valeurs initiales et optimales des paramètres de décisionpour le second exemple.

XIX2X3f(x)PIP2P3[initial

0.20.50.343.890.950.710.96

[Opurnar0.120.630.2521.030.840.870.90

Dans le cas général de stations plus complexes que celle de la figure Il,il est rarement possible de calculer les performances de façon exacte. Ondoit alors avoir recours à la simulation pour valider un modèle approximatif (2.9) de la station.

4. Politique de pilotage en temps réel

Les décisions de routage de produits dans un atelier peuvent aussi êtreprises en temps réel suivant des règles de décision dépendant de l'état del'atelier [Buzacott, 1982; Kimenia et Gershwin, 1985]. Cette dépendancefournit une possibilité supplémentaire d'améliorer les performances dusystème.

Dans ce paragraphe, nous comparons deux politiques d'affectation deproduits. La première, qui est utilisée dans l'algorithme d'affectationprobabiliste de produits du paragraphe 3, consiste à affecter les piècesd'une façon aléatoire suivant des paramètres de décision établis en régimestationnaire. La seconde politique utilise une affectation de piècesdépendant de l'état sur la station la moins chargée.

4.1. RÉPARTITION ALÉATOIRE SUIVANT LES PARAMÈTRES OPTIMAUXÉTABLIS EN RÉGIME STATIONNAIRE

L'algorithme présenté au paragraphe 3.1 permet de déterminer lesparamètres de répartition optimaux en régime stationnaire. Ces paramètres peuvent être directement utilisés pour piloter l'atelier en temps réeldans le but d'optimiser ses performances. Les pièces seront alors affectées

R.A.I.R.O. APII

Systèmes de production discontinue-----------------------245suivant telle ou telle gamme de fabrication à l'aide d'un tirage aléatoire,selon des probabilités égales à ces paramètres de répartition optimaux.

Les avantages de cette politique sont nombreux. Elle est applicable souscertaines hypothèses à une large catégorie des systèmes et même dans lecas d'un système complexe. Elle permet en outre d'obtenir les paramètresde pilotage du système par une simple procédure d'optimisation statiquehors ligne basée sur la modélisation par files d'attente à forme produit.

Cependant, cette méthode a aussi l'inconvénient pratique de générerdes flots d'intensité trop aléatoire alors qu'il est possible de réduire leurvariance en utilisant une politique d'affectation dépendant de l'état.

4.2. RÈGLES D'AFFECTATION DÉPENDANT DE L'ÉTAT

Parmi les politiques d'affectation de produits qui dépendent de l'état del'atelier, nous avons choisi celle qui consiste à affecter les pièces en tempsréel sur la machine la moins chargée. Cette règle d'affectation de produitsdoit améliorer les performances de l'atelier, et être particulièrementintéressante dans le cas où les stocks sont à capacité limitée. Elle permeten général de partager les charges sur les machines de l'atelier. Cependant,elle ne s'applique qu'à des systèmes simples, et sa généralisation à desréseaux complexes pose de difficiles problèmes d'évaluation. Une simulation dans ce dernier cas peut permettre de mieux comparer cette politiqueà celle d'affectation aléatoire du paragraphe précédent (4.1).

4.3. EXEMPLE

Pour comparer les deux politiques d'affectation, considérons un systèmede deux machines en parallèle (jig. 13). L'arrivée de produits à l'entrée dusystème a une distribution poissonienne de taux moyen À. La loi de serviceest exponentielle de taux moyen J.L] sur la première machine etJ.L2 sur la seconde. Soit à un instant donné, m le nombre de piècesprésentes sur la machine 1 et n sur la machine 2. Les capacités du stockagesur les deux machines sont limitées à M pièces sur la première et N sur la

Rédirection vers d'autres macltines

~1\1

e"Z1\1.s

À v;

Figure 13. - Affectation des pièces en temps réel sur la file la plus courte.

vol. 26, n° 3, 1992

ROUTAGE DANS UN ATELIER FLEXIBLE246-----------------------seconde. Ceci implique:

o ~ m ~ M et 0 ~ n ~ N . (4.1)

Les pièces qui arrivent pendant le temps où les deux stocks sont pleinsseront affectées à d'autres machines (non traitées par le système).

Cas 1 : affectation aléatoire selon les pourcentages optimaux.Dans le cas d'affectation aléatoire selon les pourcentages optimaux

xc* calculés précédemment chaque machine peut être analysée en isolation,et les performances d'un tel système seront déduites à partir du casM/M/1/K [Kleinrock, 1975]. Soient m * le nombre moyen optimal de piècessur la machine 1, et n * celui sur la machine 2. Ces valeurs moyennesoptimales sont calculées à partir des pourcentages xc*. Le pilotage depièces se fait à l'aide d'un tirage aléatoire respectant les proportionscalculées précédemment.

Cas 2 : affectation dépendant de l'état.Pour prendre en compte l'état réel du système lors de l'arrivée de

chaque pièce, une règle possible d'affectation de pièces en temps réel àl'entrée du système est la suivante:

Les pièces qui arrivent quand les deux stocks sont pleins sont redirigéesvers d'autres machines.

Si (m - m * ) <: (n - n *) alors envoyer la pièce sur la machine 1.Si (m - m * ) ::> (n - n *) alors envoyer la pièce sur la machine 2.Si (m - m * ) = (n - n * ) envoyer sur les deux machines avec probabilité

1/2 sur chaque machine.Les valeurs de m * et n * sont les mêmes que dans le cas 1.Par opposition au cas 1, les probabilités d'états ne sont pas à forme

produit dans le cas d'affectation dépendant de l'état. Mais la procédure deredirection utilisée pour l'étude de cette politique permet de traiter unnombre d'états fini. Le système doit donc être analysé globalement sanspouvoir analyser les machines en isolation. L'état du système de lafigure 13 est caractérisé par le doublet (m, n).

La chaîne de Markov de ce système donnée (jig. 14) ci-dessousreprésente le cas d'affectation des pièces à l'entrée du système sur la file laplus courte. Ce cas correspond au cas où (m * = n * ).

A chaque nœud du graphe de la figure 14 correspond une équationlinéaire d'état liant la probabilité d'état correspondant aux probabilités desautres états. A ce graphe correspond donc un système linéaire de[(M + I)(N + 1)] équations. Ce système peut s'écrire sous la formematricielle suivante:

pQ = 0; où p est le vecteur ligne des probabilités d'états. (4.2)

R.A.I.R.O. APII


Figure 14. - Le graphe d'états du système.

Les probabilités d'états sont aussi liées par la relation suivante:M N

L L p(m, n) = 1.m=O n=O

(4.3)

En remplaçant l'une des équations du système (4.2) par l'équation (4.3),nous obtenons un système de [(M + 1) (N + 1)] équations et un nombreégal d'inconnus. Ce nouveau système linéaire s'écrit:

pA = b. (4.4 )

Toutes les composantes du vecteur b sont nulles sauf la dernière qui vaut 1.La matrice A est normalement inversible et les probabilités d'états sontdonnées par:

p = bA - 1 où A - 1 est la matrice inverse de la matrice A. (4.5)

En pratique, la taille de la matrice A est généralement très importante. Denombreuses méthodes numériques permettent de résoudre directementl'équation (4.4).

Algorithme de calcul des probabilités d'états.Chaque colonne de la matrice Q correspond à l'équation d'équilibre de

chaque état du système.

L'équation qui correspond à un état quelconque (m, n) du système peut

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ROUTAGE DANS UN ATELIER FLEXIBLE248 .

s'écrire de la manière suivante:

[À {Il(m, n) +I2(m, n)} + J.LlI3(m) + J.L2I4(n)]p(m, n) =

= J.LI I3(m + l)p(m + l, n) + J.L2I4(n + l)p(m, n + 1)

+ À {ll(m, n -l)p(m, n - 1) + I2(m - l, n)p(m - l, n)} (4.6)

où:

l,(m,n)~ 1+

SI

m>n) l,(m, n) ~ 1112

si

m<nlsi

m = n ; SIm = nsi

m<.n SIm:>n

I3(m) = {~

sim:>O }

etI4(n) = {~si

n:>o}sim=O SIn=O

Les taux moyens de service ainsi que le taux moyen d'arrivée de piècesdans le système peuvent dépendre de l'état du système. La formulation del'équation (4.6) nous permet de calculer les composantes de la matrice Q.Celles de la matrice A sont déduites d'une façon immédiate à partir de lamatrice Q.

Application.Considérons le cas particulier d'un système de la figure 13 où on a :

(À = 1 ; J.L1 = J.L2 = 1,9 et M = N = 7). Dans le but de comparer les deuxpolitiques d'affectation de produits sur les machines, nous donnons cidessous (jig. 15) les courbes représentant les probabilités d'avoir un

0.2

0.180.160.14g

0.12""

0.10.08

0.06

Cas 1

..... - , :.....................••...· - ..· .· .· ... .· ...Cas 2 : AffeCtation dépendant de l'etat "" :•••.....•......••...•.•.•.•.•.....•...•............. ! ................•.•.••• (•••••• ·· .. ·· .... ··:-.•••·1··. ,

nnnnnnn~~ln:~~~.tation ~éatoirenn .nnn.n.n n r"~'>~>

0.04o 123 4 5 6 7

Figure 15. - Probabilité d'avoir ru pièces (m entre 0 et 7)sur l'une des deux stations dans les deux cas d'affectation.

R.A.I.R.O. APII


nombre de pièces m entre 0 et M sur l'une (par exemple la première) dedeux machines.

Sur les courbes ci-dessus on note que la probabilité de ne pas avoir depièces sur la machine 1 est moins importante dans le cas d'affectationdépendant de l'état. Ceci implique que les taux d'utilisation des machines 1et 2 sont plus importants dans ce cas. Le système peut traiter plus de piècesdans le cas 2 que dans le cas 1. Si on appelle Pr la probabilité de rejection(probabilité pour qu'une pièce soit redirigée vers d'autres machines), cetteprobabilité est donc moins importante dans le cas 2.

Sur le tableau 3 ci-dessous, nous donnons les indices de performances dusystème de la figure 12, calculés dans les deux cas d'affectation deproduits: le taux d'utilisation d'une machine U, la probabilité de rejectionPr, le nombre moyen de pièces sur l'une des deux machines Es et lavariance du nombre de pièces Vr.

TABLEAU 3

Comparaison de quelques indices de performancesdans les deux cas d'affectation.

UPrEsVr

1affectation aléatoire

0.82440.08402.95345.0658

1affectation en temps réel

0.87070.03252.85604.2142

On note d'autre part que la variance du nombre de pièces sur unemachine est moins importante dans le cas d'affectation dépendant del'état.

Soit m le nombre de pièces présentes à un instant donné sur lamachine l, et n le nombre de pièces présentes au même instant sur lamachine 2. Nous appelons p (m - n) la probabilité de la différence decharge entre les deux machines. Les deux politiques appliquées au systèmeont pour objectif d'égaliser les charges sur les deux machines. L'objectifest donc d'avoir m et n égaux avec une probabilité aussi grande quepossible. Les courbes ci-dessous (jig. 16) représentent la variation de laprobabilité p (m - n) dans les deux cas pour m et n qui varient entre 0 et 7.

Sur la figure 16, on note que la différence de charge des deux machinesest nulle en moyenne dans les deux cas. Cependant, il est clair que lavariance est nettement plus importante dans le cas d'affectation aléatoire.Les écarts type sont: 3,18 dans le cas 1 et 1,19 dans le cas 2.

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ROUTAGE DANS UN ATELIER FLEXIBLE

6

Cas 1

42o-2-4-6

· .· .· .

Cas :2 : Affectatipn dépendaIlt de l'etat .r\••••••••• ~••..•.•.•.••.••••••••••• ~•••• " •.••..•••.•••..••• , •.••••••••.• " •••..••. 1••• .,. ••

Cas 1 : Affectation aléatoire: !·\, '............................. ./ ...! ...\ .., ,, ,

:' '.Cas 2, '

..mm/I\,/~ ] ~\.

250

0.40.350.30.25

ê"E

0.2'C:

0.150.10.05

(m-n)

Figure 16. - Courbes donnant les différences de chargesur les deux stations dans les deux cas d'affectation.

5. Conclusion.

Dans ce travail, nous avons décrit une procédure d'optimisation duroutage des pièces dans un atelier flexible. Nous avons ensuite proposédeux politiques de pilotage des produits; la première consiste à affecter lespièces aux différentes gammes de fabrication à l'aide d'un tirage aléatoiresuivant des paramètres optimaux calculés en régime permanent. Souscertaines hypothèses, cette règle est applicable à des systèmes plus oumoins complexes. La seconde politique consiste à affecter en temps réellespièces sur les machines les moins chargées. Mais les performances dans lecas d'affectation sur les machines les moins chargées ne peuvent êtrecalculées d'une manière analytique que pour une classe restreinte desystèmes. Cependant, une simulation peut permettre de comparer les deuxpolitiques d'affectation. La politique d'affectation dépendant de l'état estgénéralement plus performante et particulièrement intéressante dans lecas où les machines tombent fréquemment en panne, et dans le cas où lesstocks sont à capacité limitée.

R.A.I.R.O. APII


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