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Généralités sur les plasmas et faisceaux de particulesCouplage fluide-cinétique pour un plasma avec collisions

Simulation d’un faisceau de particules sur GPU

Optimisation de méthodes numériques pour laphysique des plasmas.

Application aux faisceaux de particules chargées.

Anaïs Crestetto

Directeurs de thèse : Philippe Helluy et Éric Sonnendrücker.

Soutenance de thèse, le 4 octobre 2012.

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Plan de l’exposé

1 Généralités sur les plasmas et faisceaux de particules.

2 Couplage fluide-cinétique pour un plasma avec collisions.

3 Simulation d’un faisceau de particules sur GPU.

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PrésentationMéthodes numériques

Plasmas et faisceaux de particules chargées

À quoi s’intéresse-t-on ?

Plasma : gaz globalement neutre mais constitué de particuleschargées : ions positifs et électrons.

Applications : projet ITER, écrans plasma, tubes à néon, etc.Faisceaux de particules : ions ou électrons extraits de certainsmétaux.

Applications : générateur de rayons X, accélérateur departicules, etc.

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Particules représentées par une

fonction de distribution f (x , v , t)

avec x la position, v la vitesse et t le temps→ 7 variables en 3D.Charge q et masse m des particules.Densité de charge

ρ =

∫f dv ,

et densité de courant

J =

∫v f dv .

Interaction avec les champs électrique E (x , t) et magnétiqueB (x , t).

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Équation de Vlasov (avec collisions) pour les particules

∂f∂t

+ v · ∇x f +qm

(E + v ∧ B) · ∇v f = Q (f ) .

Équations de Maxwell pour le champ électromagnétique

−∂E∂t

+ rot B = J ,

∂B∂t

+ rot E = 0,

div E = ρ, à t = 0,div B = 0, à t = 0.

Équation de Poisson dans un cas simplifié

∆φ = −ρ avec E = −∇φ,

et φ le potentiel scalaire.

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Objectifs

1. Développer de nouvelles méthodes performantes pour leséquations de Vlasov-Maxwell ou de Vlasov-Poisson.

2. Simuler numériquement des cas tests réalistes.

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Méthodes numériques pour VlasovModélisation cinétique : f : R3 × R3 × R+ → R.

→ Méthode Particle-In-Cell (PIC) : plus économique en mémoire.Soient Np macro-particules, de position xk , de vitesse vk et depoids ωk , f est approchée par

fNp (x , v , t) =

Np∑k=1

ωk (t) δ (x − xk (t)) δ (v − vk (t)) .

Les macro-particules vérifient les équations du mouvementdxdt

= v ,dvdt

=qm

(E + v ∧ B) .

Modélisation fluide : f (x , v , t) = Mα(x ,t) (v), inconnuesα : R3 × R+.

→ Méthodes sur grille.→ Exemples étudiés : modèle multi-water-bag, méthode des

moments.7/51




Obj. 1 : Développement de nouvelles méthodes

Idée : garder le meilleur des deux approches.→ Couplages fluide-cinétique : décomposer f en une partie

d’équilibre et une perturbation.

Exemples étudiés :méthode des moments couplée à une méthode PIC pourVlasov-Poisson 1D,décomposition micro-macro pour Vlasov avec collisions, enutilisant une méthode particulaire.

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Obj. 2 : Simulation d’une diode à cathode hémisphérique

Objectif : simuler l’émission d’électrons dans une diode à cathodehémisphérique en géométrie 2D axisymétrique.

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Couplage Vlasov-Maxwell pour simulations réalistes

→ Approche 1 : méthode PIC - éléments finis basée sur l’analyseisogéométrique.

→ Approche 2 : méthode PIC - Galerkin Discontinu sur GPU.

Problèmes soulevés parles conditions aux limites,la géométrie courbe,l’implémentation sur carte graphique.

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Mise en équationsMéthode de résolutionRésultats numériquesConclusions et perspectives

Couplage fluide-cinétique pour unplasma avec collisions

en collaboration avec Nicolas Crouseilles 1 et Mohammed Lemou 2.

1. INRIA-Rennes Bretagne Atlantique, Projet IPSO & IRMAR (Université deRennes 1)

2. CNRS & IRMAR (Université de Rennes 1)11/51




Système de Vlasov-Poisson-BGKCollisions entre particules paramétrées par le nombre de Knudsen ε.

Équations de Vlasov-Poisson-BGK (sur [0, Lx ]× R× R+,Lx ∈ R+?)

∂t f + v∂x f + E∂v f =1εQ (f ) ,

∂xE = −1 +

∫f dv .

Conditions périodiques pour f et E .Condition de moyenne nulle de E et conditions initiales∫ Lx

0E (x , t) dx = 0, ∀ t ≥ 0,

f (x , v , 0) = f0 (x , v) , ∀ x ∈ [0, Lx ], v ∈ R.

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Q (f ) opérateur de collisions de BGK (Bhatnagar-Gross-Krook) :

Q (f ) = M (U)− f ,

M (U) Maxwellienne dont les trois premiers moments sontégaux à ceux de f , notés U.

On note N (LQ) = SpanM, vM, |v |2M

, le noyau de

l’opérateur linéarisé LQ de Q.

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Objectifs

Construire un schéma stable, de coût constant par rapport à εet consistant à la limite ε→ 0 : schéma préservantl’asymptotique 3 (AP).

Réduire le coût numérique : décomposition micro-macro avecparticules.Notamment à la limite ε→ 0 car les collisions ramènent f verssa Maxwellienne : f −M (U)→ 0 quand ε→ 0.

3. Jin, SIAM JSC 1999.14/51




Modèle micro-macro

Décomposition micro-macro 4 5 f = M (U) + g :

∂tM (U)+v∂xM (U)+E∂vM (U)+∂tg+v∂xg+E∂vg = −1εg .

Opérateur de transport T · = v∂x ·+E∂v · :

∂tM (U) + TM (U) + ∂tg + T g = −1εg .

Hypothèse : 3 premiers moments de g nuls

〈mg〉 :=

∫m (v) g (x , v , t) dv = 0, où m (v) :=

(1, v ,

|v |2

2

)T

.

Vrai au niveau numérique ? Sinon, il faut l’imposer.4. Lemou, Mieussens, SIAM JSC 2008.5. Liu, Yu, CMP 2004

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Équations micro-macro

Soit ΠM la projection orthogonale dans L2 (M−1dv)sur N (LQ) :

ΠM(ϕ) = 1ρ

[〈ϕ〉+

(v − u)〈(v − u)ϕ〉T

+

(|v − u|2

2T− 1

2

)⟨(|v − u|2

T− 1)ϕ

⟩]M.

Propriétés : (I − ΠM)(∂tM) = ΠM(g) = ΠM(∂tg) = 0.En appliquant (I − ΠM) à Vlasov-BGK=⇒ équation micro sur g

∂tg + (I − ΠM)T (M + g) = −1εg .

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En appliquant ΠM à Vlasov-BGK =⇒ équation macro surM (U)

∂tM + ΠMT (M + g) = 0.

Et en prenant ses 3 premiers moments

∂tU + ∂xF (U) + ∂x〈vm(v)g〉 = S(U) ,

avec F (U) le flux d’Euler et S (U) un terme source.

Système micro-macro 6

∂tg + (I − ΠM)T (M + g) = −1

εg∂tU + ∂xF (U) + ∂x〈vm(v)g〉 = S(U)

équivalent à Vlasov-BGK.6. Bennoune, Lemou, Mieussens, JCP 2008.

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Méthode de résolution

Domaine discrétisé en Nx mailles [xi , xi+1], xi = i ×∆x ,i = 0, . . . ,Nx − 1.Discrétisation en temps : tn = n ×∆t, n ∈ N.

Algorithme1. Résoudre la partie micro par une méthode Particle-In-Cell

(PIC).2. Étape de projection pour annuler numériquement les 3

premiers moments de g .3. Résoudre la partie macro par un schéma de volumes finis

(maillage en x), avec un terme source dépendant de g .Couplage 1-3 : similarités avec la méthode δf 7 mais ici schéma AP.

7. Brunner, Valeo, Krommes, Phys. of Plasmas 1999.18/51




1. Méthode PIC sur g

Résoudre par une méthode PIC l’équation

∂tg + (I − ΠM)T (M + g) = −1εg .

Soient Np particules, de position xk , de vitesse vk et de poids ωk , gest approchée par

gNp (x , v , t) =

Np∑k=1

ωk (t) δ (x − xk (t)) δ (v − vk (t)) .

Équation avec terme source → splitting.

1. Résolution de la partie transport ∂tg + T g = 0.→ Particules avancées selon les équations du mouvement

dxk

dt(t) = vk (t) ,

dvk

dt(t) = E (xk (t) , t) .

Utilisation d’un schéma de Verlet d’ordre 2.19/51




2. Résolution de la partie source

∂tg = − (I − ΠM) (TM) + ΠM (T g)− 1εg .

→ Équation sur les poids du type

dωk

dt(t) = αk (t)− ωk (t)

ε

où αk est le poids « associé » à

− (I − ΠM) (TM) + ΠM (T g) .

→ Terme raide implicité pour obtenir un schéma stable parrapport à ε :

ωn+1k = ωn

k + ∆t αnk −∆t

ωn+1kε

.

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2. Étape de projectionAu temps n + 1, on a

gn+1 (x , v) =

Np∑k=1

ωn+1k δ

(x − xn+1

k

)δ(v − vn+1

k

)≈ g

(x , v , tn+1) .

Structure micro-macro : 〈mg(x , v , tn+1)〉 = 0.

Pas vrai a priori pour gn+1 (x , v) → correction 8.

1. Calcul de Ug := 〈mgn+1〉 6= 0 sur chaque maille xi :

Ug (xi ) = 〈mgn+1〉 |xi =∑

k/xk∈[xi ,xi+1]

ωkm (vk) .

2. Recherche de h ∈ N (LQ)

h (x , v) = λ (x) ·m (v)M (x , v) t.q. Ug (xi ) = 〈mh (xi , v)〉.8. C., Crouseilles, Lemou, accepté à KRM.

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→ Résolution de Nx systèmes linéaires 3× 3

Ug (xi ) = Aiλi

avec Ai matrice de moments de M et λi ≈ λ (xi ).→ Calcul des poids γk « associés » à h en chaque particule.

3. Correction des poids pour conserver la structure micro-macro

ωnewk ← ωk − γk .

→ Par construction : 〈mgn+1,new 〉 |xi = Ug (xi )−〈mh (xi , v)〉 = 0.

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Résultats numériques : amortissement Landau

Fonction de distribution initiale :

f (x , v , 0) =1√2π

exp(−v2

2

)(1 + α cos (kx)) .

Initialisations micro-macro :

U (x) =

1 + α cos (kx)0

1 + α cos (kx)

et g (x , v , t = 0) = 0.

Paramètres : α = 0.01, k = 0.5, Lx = 2π/k .

Observations : énergie électrique E (t) =√∫

E (x , t)2 dx .

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Schéma AP

Convergence vers Euler-Poisson à la limite ε→ 0 ?

E (t), comparaison avec Euler-Poisson.Nx = 128, Np = 5× 103, ε = 0.5 (gauche) et ε = 10−4 (droite).

→ Convergence ⇒ schéma AP.24/51




Importance de l’étape de projection

ρ (x) à t = 5, ε = 1, Np = 5× 105 avec et sans correction.

→ Création d’instabilités si on ne fait pas la correction.25/51




Réduction du bruit numériqueρ (x), comparaison avec une méthode PIC sur f totale.ε = 1, Nx = 128, Np = 5× 105, à t = 0.2.

→ Décomposition micro-macro ⇒ bruit inhérent à PIC réduit.26/51




Réduction du temps de calcul

E (t), comparaison avec une méthode PIC sur f totale.

ε = 10

Np DuréeMiMa 5× 105 768 s.

PIC-BGK 5× 106 1391 s.

ε = 10−4

Np DuréeMiMa 500 11 s.

PIC-BGK 106 230 s.

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ConclusionsDécomposition micro-macro pour Vlasov-Poisson-BGKutilisant une méthode particulaire.Étape de projection pour conserver les moments de g nulsnumériquement.

→ Schéma AP.→ Réduction du bruit inhérent à la méthode PIC (car uniquement

sur g).→ Réduction du coût par rapport à une décomposition

micro-macro sur grille car peu de particules suffisent à la limiteε→ 0.Vrai aussi pour g (x , v , 0) 6= 0.

PerspectivesLimite de diffusion, problème de couche limite.Considérer une géométrie 2D.

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Mise en équationsMéthode de résolutionProgrammation sur GPUConclusions et perspectives

Simulation d’un faisceau de particulessur GPU

Objectif : simuler l’émission d’électrons dans une diode à cathodehémisphérique en géométrie 2D axisymétrique.

Problèmes soulevés parles conditions aux limites,la géométrie courbe,l’implémentation sur carte graphique.

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Système de Vlasov-Maxwell

Faisceau de particules soumises à un champ électromagnétique.

→ Système d’équations de Vlasov-Maxwell en 3D

∂f∂t

+ v · ∂f∂x− (E + v ∧ B) · ∂f

∂v= 0,

−∂E∂t

+ rot B = J ,

∂B∂t

+ rot E = 0,

div E = ρ, div B = 0, à t = 0.

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Correction de la divergence

Conservation de la charge ∂tρ+ div J = 0 non vérifiée au niveaunumérique ?

→ Système avec correction de la divergence 9 (χ ≥ 0 et χp > 0)

∂f∂t

+ v · ∂f∂x− (E + v ∧ B) · ∂f

∂v= 0,

−∂E∂t

+ rot B − χgrad φ = J ,

∂B∂t

+ rot E = 0,

div E = ρ, div B = 0, à t = 0,

∂tφ+ χdiv E = χρ− χ

χpφ.

9. Munz, Omnes, Schneider, Sonnendrücker, Voß, JCP 2000.31/51




Mode 2D transverse électrique

On se place en géométrie cartésienne x = (x , y , z)T .Hypothèses : champs indépendants de la variable z , onconsidère le mode 2D transverse électrique (TE).

→ Système de Maxwell en mode 2D TE

∂tEx − ∂yBz + χ∂xφ = −Jx ,

∂tEy + ∂xBz + χ∂yφ = −Jy ,

∂tBz + ∂xEy − ∂yEx = 0,

∂tφ+ χ (∂xEx + ∂yEy ) = χρ− χ

χpφ.

avec E =

ExEy0

et B =

00Bz

.

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Notations

Soient les vecteurs inconnu et source

W =

ExEyBzφ

, S =

−Jx−Jy0

χρ− χχpφ

,

et les matrices

A1 =

0 0 0 χ0 0 1 00 1 0 0χ 0 0 0

et A2 =

0 0 −1 00 0 0 χ−1 0 0 00 χ 0 0

.

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Écriture matricielle

Étude sur un domaine 2D noté Ω, de bord ∂Ω jusqu’à l’instantT ∈ R+.

Écriture matricielle

∂tW + A1∂xW + A2∂yW = S , sur Ω× [0,T ] .

Conditions aux limites et initiales

W ∈ Ker M , sur ∂Ω× [0,T ] ,

W (x , 0) = W 0 (x) , à t = 0,

avec M une matrice de conditions aux bords.

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Méthode de Galerkin Discontinu

Découpage de Ω en un nombre fini d’ouverts disjoints

(Ω`)`∈I tels que Ω = ∪`Ω`.

∀ t, on cherche W (·, t) dans

H = W : Ω −→ R t.q. W |Ω`∈ (H1(Ω`))4.

NotationsDomaine de régularité de W : R = ∪`Ω`.Ensemble de discontinuités : D = ∪`∂Ω`.D orienté par un vecteur normal unitaire

n =

(nxny

)vers l’extérieur de Ω` sur ∂Ω`.W L valeur de W du côté −n et W R valeur du côté n.

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Ω maillé par N cellules L = Ω` respectant les discontinuités de W .

Dans chaque maille L, famille de Nb polynômes de degré ≤ 2linéairement indépendants ψL,j , j = 0, . . . ,Nb − 1.

Décomposition W L (x , t) 'Nb−1∑j=0

ψL,j (x) wL,j (t) ∀ x ∈ L.

Formulation faible :

∀ L et ∀ t, trouver W L (x , t) =∑ψL,j (x) wL,j (t) tel que

∀ψL = ψL,i , on ait∫LψL∂tW L −

∫L(A1∂xψL + A2∂yψL)W L +

∫∂L∩Ω

ψLf (W L,W R ,n)

+

∫∂L∩∂Ω

ψL((

M + A1nx + A2ny)W L

)=

∫LψLS .

avec f (W L,W R ,n) le flux numérique centré ou décentré.36/51




En pratique :→ système d’équations différentielles ordinaires sur les wL,j (t).

Matrices de masse à inverser :∫L ψL,jψL,i .

Intégrales sur les bords : sur chaque arête e de chaqueélément, 4 points de Gauss de position gk , associés aux poidsωk , k = 1, . . . , 4 : ∫

ef (x) =

4∑k=1

ωk f (gk) .

Intégrales surfaciques : 16 points de Gauss.

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Conditions aux bords

Implémentation de conditions aux limites (CL) deSilver-Müller,conducteur parfait,symétrie.

Trouver une matrice M imposant la CL et vérifiant 10 ∀ χ ≥ 0la condition d’unicité de la solution (⇒ stabilité du schéma) :

N =12Aini + M est positive,

la condition d’existence de la solution :

dim Ker Ain−i = dim Ker M .

10. Bourdel, Mazet, Helluy, Proc. 1992.38/51




Condition de stabilité

Le schéma est stable donc théoriquement, les valeurs propresde l’opérateur spatial ont toutes une partie réelle ≤ 0.

Remarque 1 :à cause de l’intégration numérique, ce n’est pas tout à faitvrai...

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Stabilité et intégration numérique

Valeurs propres dans le plan complexe pour un schéma décentré(gauche) et centré (droite), maillage d’un disque.

→ Nécessité du flux décentré pour la stabilité du schéma surmaillage courbe car l’intégration numérique n’est pas exacte.

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Couplage de GD avec PIC

Méthode PIC en 2D pour Vlasov.Loi d’émission des particules.

Remarque 2 :importance du choix du paramètre χ de correction de ladivergence.

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Choix du paramètre de correction de la divergence

Solution analytique donnée par la loi de Child-Langmuir.Ex (x) calculé et théorique pour χ = 1 (gauche) et χ = 20 (droite).

→ Bonne convergence mais importance de pouvoir prendre χ > 1.

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Parallélisation sur GPU

Illustration d’un GPU contenant 2unités de calcul et 4 processeurs.

Langage OpenCLVirtuellement autantd’unités de calcul et deprocesseurs que l’on veut.Tâches mises dans une filed’attente, envoyées sur leGPU et distribuées auxprocesseurs.Portable : exécution sur unCPU, multi-cœurs ou pas,et sur un ou plusieursGPU.

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Galerkin Discontinu sur GPU

Initialisation et inversion des matrices de masse locales surCPU, on envoie les données sur le GPU.Première étape : un processeur associé à chaque point deGauss de chaque arête pour calculer le flux numérique et leterme de bord.Seconde étape : un processeur associé à chaque fonction debase de chaque élément pour calculer S et la dérivée en tempsde W .Schémas en temps RK2 et RK3 « low storage », exemple :

W n+1? = W n + ∆t∂tW n,

W n+1 =12(W n + W n+1? + ∆t∂tW n+1?) .

Un processeur associé à chaque composante de wL,j .

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Performances Galerkin Discontinu

Maxwell uniquement, onde entrante dans un disque, jusqu’à t = 1 :

Nb de Nb CPU CPU Nvidia GeForce CPU1/GPUmailles d’itér. 1 cœur 4 cœurs GTX 470 (Speedup)3072 329 185 s. 49 s. 1 s. 1853072 1644 925 s. 254 s. 7 s. 13212288 663 1581 s. 464 s. 9 s. 17612288 3312 8133 s. 2455 s. 46 s. 177

→ Accélération très élevée !

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Particules sur GPU

Déplacement : on associe un processeur à chaque particule, onutilise le même schéma en temps que pour Maxwell, puis oncherche leur nouvelle maille.Émission à t > 0 : on associe un processeur à chaque mailleémettrice, on calcule la quantité de charge à émettre, oninitialise les positions, vitesses et poids des particules de cetélément.Remarque : pour laisser agir la correction de la divergence, onne déplace les particules que tous les n (= 10 par exemple) pasde temps.

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Calcul du courant ou de la densité de charge

On doit éviter les conflits d’écriture en mémoire (⇒ perte dedonnées).

Tri des particules suivant leur maille (tri RADIX optimisé pourGPU).Un processeur associé à chaque maille L : boucle sur lesparticules de L pour calculer et ajouter leur contribution aucourant ou à la densité de charge :∫

LψLJ =

∑k∈L

ωkψL (xk) vk ,

∫LψLρ =

∑k∈L

ωkψL (xk) .

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Performances avec PIC

Avec particules, diode rectangulaire, jusqu’à t = 5 :

Nb de Nb Nb de CPU CPU Nvidia CPU4/GPUmailles d’itér. part. 1 cœur 4 cœurs GTX 470 (Speedup)1024 2530 46000 723 s. 446 s. 21 s. 21.21024 2530 92000 914 s. 611 s. 31 s. 19.74096 5060 70000 4450 s. 2319 s. 65 s. 35.74096 5060 110000 4809 s. 2652 s. 97 s. 27.3

→ Accélération satisfaisante !

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Diode axisymétrique relativiste

Er et particules aux temps t = 0.22, t = 0.33, t = 0.55 et t = 5.5(de gauche à droite et de haut en bas).

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ConclusionsMéthode de Galerkin Discontinu d’ordre 3 en espace surmaillages courbes.Couplage avec méthode PIC sur GPU.Tri des particules.Géométries cartésienne et axisymétrique, cas relativiste ou non.Conditions aux limites assurant la stabilité du schéma ∀ χ ≥ 0.

→ Très bons speedups.Affichage OpenGL.

PerspectivesImplémenter un solveur de Poisson.Utiliser une méthode non particulaire pour Vlasov, mieuxparallélisable sur GPU.

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Merci de votre attention !

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