ondes electromagnétiques travaux dirigés...

IFIPS 1ère Année cycle Ingénieur

O n d e s E l e c t r o m a g n é t i q u e s

T r a v a u x D i r i g é s 2 0 0 8 - 2 0 0 9

Julien Bobroff, Frédéric Bouquet, Sophie Guéron, Stéphanie Mangenot, Meydi Ferrier, Sophie Kazamias

http://ondes.ifips.free.fr

TD 1

Ondes électromagnétiques non planes émises dans le vide

TD 2

Interférences et diffraction

TD 3

Vue macroscopique des diélectriques

TD 4

Ondes électromagnétiques

dans les métaux

TD 5

Guides d’ondes rectangulaires

TD 6

Fibres Optiques

IFIPS Cycle Ingénieur I Ondes Electromagnétiques

2


3

TD 1 Ondes électromagnétiques non planes dans le vide

Une antenne Télé et Radio

Une série d’antennes pour l’astronomie

RadioTéléscope d’Arecibo

A. Puissance et ordres de grandeurs 1. Calculer le vecteur de Poynting R

ur pour une onde plane sinusoïdale homogène rectiligne se

propageant le long de l’axe Oz et dont le champ électrique est polarisé selon l’axe Ox d’amplitude E0. Que représente physiquement l’amplitude et la direction de ce vecteur ? Exprimer la norme de R

ur en fonction de E0, c, et µ0 ou ε0.

2. Un petit laser hélium néon (λ = 633 nm) produit typiquement 1 mW dans un faisceau d’1 mm de diamètre. Estimer l’amplitude des champs électrique et magnétique dans le faisceau laser. 3. Une station radio émet une puissance moyenne de 105 Watts. Cette émission est uniforme sur une demi-sphère concentrique avec la station. En un point situé à 10 km de la station, calculer l’amplitude du champ électrique. 4. Un téléphone portable (1 GHz) émet une puissance de 1 W de façon sensiblement uniforme dans l’espace. Calculer la puissance rayonnée par unité de surface à 10 cm. 5. Un satellite TV type DBS émet une puissance de 100 W et couvre un pays comme la France. Quelle est la puissance reçue sur une antenne ? 6. Un mètre carré de la surface de la terre sous incidence normale reçoit du soleil un flux


4

d’énergie de 1,35.103 Watt. La rétine de l’œil ne peut pas supporter une puissance supérieure à 1 mW sans dommage. Peut-on regarder le soleil en face, en l’absence de nuages ? La pupille peut être assimilée à un cercle de 1 mm de rayon.

B. Le champ émis par une antenne

On considère une antenne placée suivant un axe Oz qui rayonne une onde électromagnétique sinusoïdale de fréquence ν=87.8 MHz dans le vide. Le champ rayonné est une onde sphérique de composantes (en coordonnées sphériques) :

3 ( )0 3 3 2 2

3 ( )0 3 3 2 2

12 cos

1 1sin

0

i kr tr

i kr t

iE E k ek r k r

iE E k ek r k r kr

E

ω

ωθ

φ

θ

θ

−

−

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠=

où l’exponentielle complexe a pour argument le produit kr et non pas le produit scalaire .k r

r r.

Le div et le rot s’expriment, en coordonnées sphériques :

2

2

( )(sin )( )1 1 1sin sin

rAAr AdivA

r r r rϕθθ

θ θ θ ϕ∂∂∂

= + +∂ ∂ ∂

ur

(sin ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1sin sin

r rr

A rAA rAA Arot A u u ur r r r r

ϕ ϕθ θθ ϕ

θθ θ ϕ θ ϕ θ

∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂∂ ∂⎡ ⎤= − + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ur uur uur uur

1. Vérifier pourquoi il s’agit d’une onde sphérique. 2. On veut se placer à une distance r très grande de l’antenne afin de simplifier l’expression

du champ électromagnétique. À quoi faut-il comparer r pour savoir si la distance peut être considérée comme grande ? Calculer numériquement λ, la longueur d’onde associée à l’onde. Que devient E

ur au premier ordre en λ/r ?

3. Donner l’expression du champ magnétique B

ur correspondant. Dessiner E

ur et B

ur.

Dans ce cas, que peut-on dire de la structure de l’onde électromagnétique par rapport à une onde plane se propageant dans le vide ? 4. Exprimer le vecteur de Poynting R

ur associé à cette antenne. Quelle est la signification

physique de la direction et de la norme de ce vecteur ? Quelle est l’unité associée à cette grandeur ? Dans quelle direction R

ur est-il maximum ? Minimum ?

5. Calculer la puissance électromagnétique moyenne Pe sortant d’une sphère de rayon L

centrée sur l’antenne (c’est-à-dire le flux de < Rur

> à travers cette sphère). À quoi


5

correspond cette puissance vis-à-vis de l’antenne ? Commenter la dépendance en L de Pe.

on utilisera : sin3

0

43

θπ

=∫

On caractérise une antenne en la comparant à une antenne virtuelle qui aurait la même puissance moyenne Pe, mais dont le rayonnement serait totalement isotrope. Pour une direction (θ, φ) de l’espace, on définit alors la directivité d’une antenne D(θ, φ) comme étant le rapport de la norme du vecteur de Poynting de l’antenne dans cette direction avec celui de l’antenne virtuelle. 6. Justifier la formule suivante : D = 4πL2 ||< R

ur>|| / Pe . La directivité de l’antenne dépend-

elle de L ? Ce résultat est-il valable pour toutes les antennes ? 7. À l’aide d’un diagramme polaire, représenter la directivité D(θ) de cette antenne dans un

plan horizontal. Pourquoi parle-t-on alors d’antenne omnidirectionnelle ? Cette antenne est-elle adaptée à son rôle d’antenne émettrice ?

8. De la même façon, tracer la directivité de cette antenne dans un plan vertical. Dans quelle

direction D est-elle la plus forte ? Que vaut D dans la direction de l’axe z ? Calculer l’angle d’ouverture vertical, c’est-à-dire l’angle qui intercepte les directions où la directivité vaut ½ Dmax.

D en fonction de θ D en fonction de φ

Diagrammes polaires à compléter. 9. Voici les courbes de directivité d’une antenne Wifi murale, de la société RadioLabs.

Déterminer les angles d’ouverture horizontal et vertical de cette antenne. S’agit-il d’une


6

antenne omnidirectionnelle ? Quelle précaution faut-il prendre au moment de l’installation ? Quel est l’avantage de ce type d’antenne par rapport à une antenne omnidirectionnelle ?

Antenne RadioLabs

Diagramme de rayonnement de l’antenne, dans le plan horizontal (H-plane) et vertical (E-plane). Les échelles sont logarithmiques : -3 correspond à –3 dB, c’est-à-dire un facteur ½.

10.

Les antennes pour recevoir la télévision sont de type « râteau » (antenne Yagi). Quand on installe ces antennes, il faut régler leur orientation afin d’avoir une bonne réception. À quoi ressemble la directivité de ces antennes ? (Vous admettrez que la notion de directivité pour une antenne est la même que ce soit en émission ou réception.)

Des liens web : vous les trouverez tous sur http://www.lps.u-psud.fr/ondes Comment marchent les satellites : http://electronics.howstuffworks.com/satellite.htm Quelques notions sur les antennes : http://www.electronics-tutorials.com/antennas/antenna-basics.htm Animations sur le GPS : http://www.sciences.univ-nantes.fr/physique/perso/gtulloue/Meca/Planetes/3spheres.html


7

TD 2

Interférences et Diffraction

A. Calcul de la figure d’interférence de deux trous d’Young On suppose une source ponctuelle de lumière polarisée cohérente monochromatique de longueur d’onde λ. Cette source émet dans toutes les directions de l’espace une onde sphé rique de type )exp( tikr ω− (ne pas confondre kr avec rk. ). A une distance d de cette source, on place un écran percé de deux petits trous identiques S1 et S2 séparés entre eux d’une distance a très petite devant d. Ces deux trous laissent passer une partie de la lumière issue de la source, elle se propage ensuite jusque sur un écran situé à une distance D grande devant d. Par la suite on va s’intéresser à la répartition de l’intensité lumineuse en fonction de la coordonnée d’espace sur l’écran. Cette intensité lumineuse est liée à la somme complexe des champs électriques lumineux issus de chacun des trous S1 et S2. Pour faire les calculs on se placera dans le repère cartésien représenté sur le schéma ci-dessous.

1. On considère dans cette question que la source S est placée sur la médiatrice de S1S2 et que y(M)=0.

a) Justifier pourquoi on peut considérer que les champs électriques lumineux en S1 et S2 sont identiques.

b) Ecrire les coordonnées de chacun des points du problème dans le repère (x,y,z).

c) Calculer de façon analytique puis en utilisant un développement limité la distance S1M et S2M ainsi que la différence S2M- S1M. On rappelle : (1+ ε)α ≈1+ αε si ε<<1.

d) Exprimer les champs électriques E1(M) et E2(M) ainsi que leur somme et le module carré de leur somme en fonction de x. En déduire l’intensité lumineuse I au point M en fonction de x.

e) Tracer I(x), en déduire l’interfrange c’est à dire la distance sur l’écran séparant deux franges sombres.

S

plaque

ˇcran

S1

S2 M(x,y,z)

O(0,0,0)

d D

x

y

z


8

2. Que se passe-t-il pour I(x) si la source S est déplacée le long de l’axe y d’une quantité yS ? Justifier la réponse.

3. Que se passe-t-il pour I(x) si la source S est déplacée le long de l’axe x d’une quantité

xS ?

4. Que se passe-t-il si on place dans le trou S1 une petite plaque de verre d’épaisseur e et d’indice n ? Tracer I(x).

B. Focalisation d’un faisceau laser parallèle.

On peut montrer que la focalisation d’un faisceau laser parallèle de diamètre D par une

lentille de focale f donne au foyer une tache de dimension minimale 1.22 λfD

. Cette

formule est liée à un calcul de diffraction par une ouverture circulaire et la valeur obtenue correspond au premier zéro de la tache d’Airy. En pratique cette taille n’est atteinte que pour des faisceaux parfaits et sinon elle est plus grande.

1. En déduire la taille de la tache focale d’un faisceau laser Hélium Néon de diamètre 1 cm puis 5 mm puis 1 mm. On rappelle que la longueur d’onde d’un laser He Ne est 632 nm et on utilisera une focale f = 0.1m. Le résultat est-il intuitif ?

2. En pratique dans l’industrie le rapport f/D lié à l’ouverture de la lentille est supérieur à 1, dans ce cas que faire pour diminuer la tache focale ? Comment expliquez vous alors l’intérêt du blue-ray par rapport aux CD et DVD classiques ?

C. Figure d’interférence de deux fentes d’Young. Si on reprend le schéma de l’exercice 1 mais que l’on remplace les deux trous d’Young par deux fentes de longueur infinie suivant y et de largeur finie=l suivant x et que l’on place une lentille convergente de focale f entre la plaque et l’écran de telle sorte que l’écran se trouve dans le plan focal image de la lentille, on obtient la forme suivante pour I(x,y,0) :

Imax cos2(πaxλf

)sinc2 πlx

λf⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ .

1. A quel phénomène correspond chaque terme ? 2. Tracer la courbe I(x) et identifiez les structures caractéristiques telles que interfrange et

distance entre les deux premiers zéros. Comment varient-elles en fonction de a et l ? 3. Que se passe-t-il si a, la distance entre les sources S1 et S2, tend vers 0 ? Est ce logique ?


9

TD 3

Vue macroscopique des diélectriques

I. Moments d’une distribution de charge • Dans chacun des cas suivants, indiquez si le moment d’ordre zéro (charge électrique

équivalente) et le moment dipolaire sont nuls ou non. • Comment varie, à grande distance de ces distributions, le potentiel électrique V et le

champ électrique E en fonction de la distance r à la distribution, selon l’axe z ? cas 1 cas 2 cas 3 cas 4 cas 5

II. Un diéléctrique dans un condensateur

+2e

-2e

z

z

+e +e

-3e

+e

z

+e

-2e

+e

+e

z

+e

z

-e -e

+e

Différents types de capacités


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1. Rappeler le lien entre la polarisation P, la charge de polarisation de surface σp et de volume ρp équivalentes, le champ dépolarisant Ed et le champ total E dans un diélectrique homogène. 2. On considère un condensateur plan alimenté par une tension constante, qui crèe donc un champ électrique 0E

uur entre ses parois (voir figure). On place entre les parois un diélectrique

homogène soit rectangulaire, soit sphérique. Dessinez dans chaque cas • les dipôles électriques au sein du matériau • la charge de polarisation de surface σp et de volume ρp équivalentes • le champ dépolarisant Ed dû à ces dipôles et le champ total E résultant dans le

diélectrique Dans les deux premiers cas, E0 est le même dans tout l'espace entre les armatures. Dans le dernier cas, on a créé un champ qui varie comme indiqué sur la figure. .

3. Rappeler quelles sont les equations de Maxwell dans un diélectrique en fonction de E et P, puis de D. En déduire l'équation de propagation pour le champ électrique dans le cas particulier d'un diélectrique homogène linéaire isotrope où εr est réel et constant, et où il n'y a pas de charges libres.

les dipoles σp et ρp Ed et Etot

-+

E

-+

E

-+

E

-+

E

-+

E

-+

E

E E E


11

TD 4 Ondes électromagnétiques dans les métaux

Quelques métaux... On rappelle que dans un métal conducteur, on a la loi d'Ohm j = σ E , où j est la densité de courant volumique et σ est la conductivité électrique (attention, à ne pas confondre avec la charge surfacique). Une onde électromagnétique plane progressive monochromatique incidente se propage suivant l'axe Oz dans le vide. Le champ électrique correspondant iE , d'amplitude E0, est polarisé rectilignement selon Ox. Un métal est placé dans la partie de l'espace z>0. Dans un premier temps (A), on considèrera que ce métal est parfait, c'est-à-dire que sa conductivité est infinie (ce qui revient à dire qu'on négligera les pertes par effet Joule dans le métal). Dans un deuxième temps (B), on considèrera un métal réel (de conductivité grande mais non infinie), et on s'intéressera à l'onde transmise dans celui-ci.

Métal Videz

x

O


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I. Réflexion sur un métal parfait et pression de radiation On suppose dans cette partie que le métal est parfait, c’est-à-dire que sa conductivité est infinie. Dans ce cas, l’onde incidente se réfléchit totalement et ne pénètre pas dans le métal (cette affirmation sera justifiée au B.5). 1. Ecrire les composantes de iE et iB .

2. On cherche ici à déterminer la forme de l'onde réfléchie, dont on notera rE et rB les

champs respectivement électrique et magnétique. De plus, on notera E et B les champs électrique et magnétique de l'onde résultante dans le vide. a) Rappeler les relations de passage pour le champ électrique à l'interface entre deux milieux

quelconques. b) Que vaut le champ électrique tE dans un conducteur parfait? En déduire ce que devient la

relation de passage pour le champ électrique à l'interface entre celui-ci et le vide. c) Déduire de ce qui précède la forme de rE .

d) Ecrire la forme de l'onde résultante E dans le vide. La tracer à différents instants. De quel type d’onde s’agit-il? 3. a) Calculer le champ magnétique total dans le vide. b) Calculer le vecteur de Poynting moyen R dans le vide. Commentaire?

c) Rappeler les relations de passage pour le champ magnétique. En déduire le courant surfacique Sj engendré par l’onde à la surface du conducteur. d) Du fait de l’existence de ce courant, quel type de force s’exerce sur la surface ? Pourquoi parle-t-on de pression électromagnétique (ou pression de radiation) ? Calculer cette pression en fonction de ε0, et de l’amplitude E0 du champ électrique, après être repassé en notations réelles. e) Ordre de grandeur de la force de pression de radiation. On considère une mince feuille d'aluminium (masse volumique 2.7 g/cm3) d'épaisseur 10 μm et de surface 1 mm2. Est-il possible de la maintenir en lévitation à l'aide d'un laser ? Quelle doit-être la puissance de celui-ci? 4. Applications de la pression de radiation a) La queue des comètes est composée de poussières et de gaz. Le gaz (H20,CO,CN...) qui diffuse une lumière bleue est sous l'influence du vent solaire (électrons et protons émis par le soleil) dont nous ne discuterons pas ici. Par contre, les poussières qui diffusent une lumière jaune sont des petits grains très réfléchissants qui subissent la pression de radiation. Supposons qu'un grain de poussière s'apparente à un grain métallique parfait. Dire quelles forces agissent sur ce grain (en supposant que les autres planètes ont une influence négligeable par rapport au soleil). Comparer qualitativement les forces agissant sur deux grains de tailles différentes et prédire où se trouve le Soleil par rapport aux comètes sur les deux photos ci-dessous. Pourquoi cette queue est-elle courbée ?


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comète Hale-Bopp

comète Hyakutake

On observe un nuage jaune sur la gauche, et une queue bleue dans l'axe de la comète.

b) (facultatif) Cosmos 1 est la première voile solaire qui a été lancée dans l'espace le 21 juin 2005. Suite à une défaillance de son lanceur, Cosmos 1 n'a malheureusement pas pu atteindre son orbite de travail (à 800 km de la Terre).

vue d'artiste de la voile solaire Cosmos 1

Le principe de la voile solaire est le suivant : on envoie le vaisseau possédant la voile solaire depuis la Terre vers le Soleil. Arrivé suffisamment proche du Soleil pour que l'attraction terrestre soit négligeable devant celle du Soleil, il déploie sa voile solaire perpendiculairement aux rayons du Soleil. Cette voile est formée de huit triangles de mylar (un polymère très fin, très léger et réfléchissant). Calculer quelle surface de voile minimum est nécessaire pour que la pression de radiation exerce une force dont l'ordre de grandeur est comparable à l'attraction solaire. Commenter le résultat obtenu. Données :

Distance Soleil-Terre ~ 1.5 1011 m, Masse du vaisseau ~ 110 kg, Masse du soleil ~ 2 1030 kg, G = 6.7 10-11 S.I. Champ électrique produit par le soleil au niveau de la Terre E0 ~ 1000 V/m (ce qui correspond à 1.5 kW/m2), ε0 = 8.85 10-12 S.I. Surface totale de la voile : 600 m2


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II. Pénétration dans un métal non parfait On suppose maintenant que le métal n’est pas parfait. Sa conductivité σ n’est donc pas infinie (on pourra prendre l'exemple du cuivre, de conductivité σ = 6 107 Ω-1 m-1), et une partie de l’onde électromagnétique incidente peut pénétrer dans le métal et y être dissipée par effet Joule. Comme précédemment, on considère que l'onde électromagnétique incidente est plane progressive monochromatique et polarisée rectilignement selon Ox. L'onde incidente va en partie se réfléchir sur le métal, en partie pénétrer dans celui-ci. On notera respectivement tE et tB les champs électrique et magnétique de l'onde transmise dans le métal. On supposera que le champ tE s'exprime, comme iE , sous forme d'une onde plane sinusoïdale rectiligne polarisée selon Ox et se propageant selon Oz avec un vecteur d'onde kt et la même pulsation ω. On notera t∗E0 l'amplitude du champ électrique de l'onde transmise dans le métal (on noterait de manière similaire r∗E0 l'amplitude du champ électrique de l'onde réfléchie dans le vide) 1. Dans un premier temps, on va montrer que l'équation de Maxwell-Gauss peut s'écrire dans

le métal 0≈tEdiv .

A partir de la conservation de la charge et de l’équation de Maxwell-Gauss 0ε

ρ=⋅ tEdiv ,

déduire l’équation différentielle satisfaite par ρ. En déduire sa variation temporelle ρ(t). Au bout de combien de temps ρ est-elle négligeable dans le métal (estimer l'ordre de grandeur de ce temps) ? Comment doit être la fréquence de l'onde électromagnétique pour qu'on ait bien

0≈tEdiv ?

2. Ecrire maintenant l'équation de Maxwell-Ampère donnant le rotationnel de tB . Montrer qu'en se plaçant dans la même condition qu'à la question précédente, on peut négliger un des termes de cette équation.

3. Déduire des équations de Maxwell l'équation de "propagation" pour tE . Commenter la forme de cette équation : peut-on parler réellement d'équation de propagation?

4. a) Ecrire la forme de tE cherchée d'après les hypothèses de l'énoncé. Déduire ensuite du 3 la

relation de dispersion liant k et ω dans le métal. Que serait cette relation dans le vide ? b) Montrer que k est complexe (de la forme k=k' + i k"). Le calculer. 5. a) Montrer alors que tE est atténuée suivant Oz. Définir une distance caractéristique δ pour

cette atténuation. Exprimer δ en fonction de σ, μ0, et ω. b) Tracer l'allure de tE à un instant donné. On appelle δ l’épaisseur de peau, pourquoi ?

c) Ajouter sur le dessin précédent l'allure de iE et de l'onde résultante iE + rE .

Que peut-on dire ici de l'onde résultante dans le vide? Vous pouvez vous aider de R dans le

vide.


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Expliquer pourquoi, dans le cas du métal parfait du A, on a pu négliger l'onde transmise et ne considérer que l'onde réfléchie. 6. Calculer δ pour le cuivre, pour des fréquences ν=50 Hz et ν=1 ΜΗz (on rappelle que

μ0=4π10-7 SI). Pouvez vous alors décrire qualitativement l'onde dans le métal dans ces deux cas (basse fréquence et radio fréquence) en supposant que le métal a une profondeur de 1 mm selon z ? Qu'en est-il pour les fréquences optiques, et qu'en déduit-on pour l'aspect visuel d'un métal?

7. Calculer le vecteur de Poynting correspondant. Quelle est la direction de propagation de l’énergie ? Sous quelle forme se transforme-t-elle dans le métal ?

8. (facultatif) Grâce à la conservation de l'énergie, trouver une relation entre les coefficients r et t. Des liens web : vous les trouverez tous sur http://www.lps.u-psud.fr/ondes Sur la comète Hale-Bopp : http://www.ifa.hawaii.edu/images/hale-bopp/hb_06april97.html Sur la comète Hyakutake : http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap960502.html Sur Cosmos 1 : http://fr.wikipedia.org/wiki/Cosmos_1 et http://home.earthlink.net/∼tonyhoffman/cosmos1.htm Sur l'effet de peau dans les conducteurs : http://fr.wikipedia.org/wiki/Effet_de_peau


16


17

TD 5

Guides d’ondes rectangulaires

Les ondes électromagnétiques ont de nombreux usages courants (radars, télécom, radios, etc…). D’un point de vue pratique, il est souvent nécessaire de guider l’onde d’un point à un autre (par exemple, d’un générateur à une antenne, voir la figure suivante). Différents guides sont utilisés, selon la fréquence, et la puissance de l’onde transmise, ou selon la distance. Nous allons ici nous intéresser aux guides d’ondes métalliques à section rectangulaire, qui sont utilisés notamment dans la gamme des micro-ondes sur de courtes distances (alimentation d’antennes, satellites, four à micro-ondes).

Des guides d'onde rectangulaires


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On considère ici un guide d’onde rectangulaire constitué de parois métalliques de largeur b et hauteur a. On cherche la forme des ondes électromagnétiques qui peuvent s’y propager, et les caractéristiques de cette propagation. 1. On cherche une solution pour E

ur qui soit progressive selon z et stationnaire selon y, de

polarisation selon x. Ecrire la forme de Eur

correspondante. L'onde est-elle TE (transverse électrique) ? Est-elle plane ?

2. On suppose les parois constituées de métal parfait (conductivité infini). Qu’est ce que cela

implique pour le transport de l’énergie électromagnétique dans ce guide ? (à verifier à la fin de l’exo) Ecrire les conditions aux limites que doit satisfaire E

ur sur chaque paroi métallique.

Qu'appelle-t-on les différents « modes » du guide ? Dessiner l’allure de Eur

dans un plan Oxy pour différents modes, puis selon Oz pour le mode 1.

3. Calculer B

ur. L’onde est-elle TM (transverse magnétique) ?

En appliquant l’autre équation de Maxwell reliant Bur

et Eur

, déduire la relation liant ω et k. 4. Représenter graphiquement k(ω). Que peut-on dire du nombre de modes possibles en

fonction de ω ? Montrer qu’il existe une pulsation de coupure ωc en dessous de laquelle aucun mode n’existe. Que se passe-t-il si on essaie d’introduire une onde à une fréquence telle que ω<ωc ? Y a-t-il alors dissipation d’énergie ?

5. vitesse de phase et vitesse de groupe. On envoie dans le guide une onde qui est la

superposition de 2 ondes planes : )(2

)(1

2211),( txkitxki eEeEtxE ωω −− += . Supposons que ω1 et ω2 sont proche d’une fréquence ω0. Ecrire le développement limité de k1 et k2 au voisinage de ω0. Montrer alors que l’onde totale peut s’exprimer comme ),0(),( ''

tEetxE xik−= . Quelle est donc la vitesse de propagation de l’énergie transportée par cette onde ? Calculer alors la vitesse de phase vφ et de groupe vg dans le guide d’onde et montrer comment les lire directement sur le graphique représentant k(ω).

z

x

y

b

a


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6. Les spécifications techniques des

guides d’ondes dans les catalogues comprennent une gamme de fréquence d’utilisation. À quoi correspond cette gamme ? Quelle est la condition sur a pour qu’il ne puisse pas y avoir de polarisation perpendiculaire qui se développe dans cette gamme ? Commenter les photos de la page précédente.

Guide d’un four à micro ondes, au-dessus de la cavité du

four. La forme en croix sert à distribuer la puissance. A.N : Un four à micro-onde travaille à 2.45 GHz. Déterminer les dimensions d’un guide qui

puisse relier le magnétron à la cavité du four.

7. Calculer le vecteur de Poynting pour en déduire dans quelle direction se propage l’énergie. Calculer la puissance moyenne à travers une section du guide d’onde. Cette puissance dépend-elle de z ? En pratique, on ne peut pas considérer le métal comme parfait : qualitativement, que se passe-t-il alors ?

En réalité, d’autres modes TE peuvent exister, ainsi que des modes TM. Les résultats de ce TD sont néanmoins valides.

Des liens web:

Cours + applet : http://www.univ-lemans.fr/enseignements/physique/02/electri/guiderec.html Four à micro-ondes : http://membres.lycos.fr/dkpat/rdet/Web-rdet/dom/dom.html Visualisation des modes : www.falstad.com/embox/guide.html


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21

TD 6 Fibres optiques

I. Trajectoire des rayons lumineux. Approche optique A. fibre optique à saut d’indice On considère une fibre guide constituée d’un coeur de rayon a d’indice n0 entouré d’une gaine d’indice n1 plus faible.

1. Un rayon lumineux est envoyé dans la fibre avec un angle θ0. Calculer l’angle limite à l’entrée i pour que le rayon se propage dans la fibre par réflexions successives ? Calculer θ0 pour n0=1.5 et n1=1.49

2. Dessiner le trajet suivi par un rayon incliné d’un angle θ par rapport à l’axe z. 3. Quel serait l’intérêt d’une fibre à gradient d’indice par rapport à une fibre à saut

d’indice.

n1

n1

n0 z

r

θ0 i


22

B. Fibre à gradient d’indice Dans la réalité, la réflexion de l’onde sur les parois n’est pas totale. Pour diminuer les pertes d’énergie à chaque réflexion, on réalise des fibres dites à « gradient d’indice », c’est à dire que l’indice n varie avec la distance r à l’axe centrale de la fibre. On considère la même fibre, mais l’indice dans le coeur n’est plus constant. Il suit la loi :

n r n ra

( ) = −0

2

21 Δ

1. Montrer que 2

01 )(1 nn −−=Δ grâce au raccordement avec la gaine en r = a. 2. Une fibre à gradient d’indice permet t’elle de transporter plus ou moins d’informations qu’une fibre à saut d’indice ? Facultatif : 3. On cherche l’équation donnant la trajectoire du rayon lumineux définie par r(z). La loi de Descartes s’applique maintenant de façon continue, l’indice changeant continûment avec la distance à l’axe r. On considère donc un élément infinitésimal de la trajectoire du rayon : En écrivant la loi de Descartes pour cette portion de trajectoire, montrer que n(r)cosθ(r) est une constante tout au long de la fibre. Préciser la valeur de la constante en fonction de θ0 et n0. En écrivant que la pente de la tangente au rayon lumineux est égale a dr/dz, montrer que (dr/dz)2=[n(r)/n0cosθ0]-1. En dérivant cette relation par rapport à z, établissez l’équation différentielle pour r(z). La résoudre, et se servir des conditions aux limites pour préciser les inconnues restantes dans l’expression de r(z). 4. Calculer la période de r(z). A.N : réutilisez les données précédentes, pour θ0=6°

z θ0

θ(r)

dz

dr

r


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II. Approche électromagnétique

On considère un modèle de fibre optique non cylindrique, pour faciliter les calculs, c'est à dire une couche infinie de diélectrique d'indice n0 coincée entre deux couches d'indice n1 (géométrie planaire). On cherche à caractériser la forme de l'onde électromagnétique correspondant à un champ E se propageant dans la fibre comme dans le I (le vecteur de propagation k portant la direction de propagation de la lumière). On note k0=n0ω/c et k1=n1ω/c les vecteur d’onde dans le coeur et dans la gaine. 1. Exprimer l'équation de propagation satisfaite par le champ E

ur dans les deux milieux

d'indice n0 et n1 respectivement. 2. On suppose que le champ électrique est progressif selon z, de vecteur d'onde kz et polarisé selon x. Par contre, on ne sait rien sur sa dépendance en y, qu'on notera f(y). Ecrire l'équation satisfaite par f. 3. Quelles types de fonction f peuvent satisfaire cette équation ? Qu'attend-on comme solution pour f dans le milieu n0 et dans le milieu n1 respectivement ? Exprimer f en fonction de kz, k0, k1 et une amplitude E0 dans les deux milieux. Quelles sont alors les conditions que doit satisfaire k pour qu’il y est propagation dans la gaine 4. Déterminer le champ B

ur dans le milieu d'indice n.

5. Toujours dans le milieu n, exprimer le vecteur de Poynting puis sa moyenne temporelle. En déduire de quelle façon l'énergie se propage dans la fibre.

hypothèse planaire réalité cylindrique

n1

n1

n0 z

y

θ0 i


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La détermination des modes pouvant se propager dans la fibre ne peut se résoudre facilement de manière analytique. Il faut donc utiliser une résolution graphique en utilisant les variables

21

20

212

2

)/(nn

ncb

−

−=

ωβ

et 21

20 nn

caV −=ω . b est donc une variable proportionnelle a k et V

proportionnelle à ω . Les courbes de dispersions k(ω) sont tracées sur la figure ci-dessus :

6. Dans quel gamme de fréquence la fibre est-elle monomode ? Quel est le nombre de mode pour V=5.

ondes electromagnétiques travaux dirigés...

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