ondes électromagnétiques et métaux : diffusion et...

Chapitre XVII

Ondes électromagnétiques et métaux :diffusion et réflexion

SommaireI Pénétration des OEM dans les conducteurs - diffusion du champ . . . . . . . . 3

I.1 Rappel sur la conductivité en modèle de Drüde - comportement des métaux . . . . . 3

I.2 L’ARQS dans un conducteur - conséquences avec les OEM . . . . . . . . . . . . . . 3

a - Courants : qui retenir ? ? ? - charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

b - Effet Kelvin ou effet de peau (skin effect) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II Réflexion des OEM sur les conducteurs parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II.1 Le modèle du conducteur parfait - conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II.2 Conséquences sur les principales équations locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II.3 Structure du champ à l’interface : conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . 9

III Réflexion d’une OPPH incident sur un conducteur parfait . . . . . . . . . . . . 10

III.1 Existence d’une onde réfléchie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

III.2 Structure du champ réfléchi - inversion de phase à la réfléxion métallique . . . . . . 10

a - Vecteur d’onde réfléchie : lois de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

b - Ecriture complète de l’onde réfléchie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

c - Cas particulier de l’incidence normale (cadre du programme) . . . . . . . . 12

III.3 Champ total - ondes stationnaires (OS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III.4 Charge et courant surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

a - Expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

b - Application : polariseur d’ondes hyperfréquences (utile pour le TP) . . . 15

IV Aspects énergétiques et dynamiques des ondes stationnaires . . . . . . . . . . . 16

IV.1 Densité volumique d’énergie électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IV.2 Vecteur de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IV.3 Pression de radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

V "Confinement" d’une OEM : cavités unidimensionnelles - modes propres . . . . 20

V.1 Choix d’une forme de champ - conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1

CHAPITRE XVII. ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES ET MÉTAUX : DIFFUSION ET RÉFLEXION

V.2 EDA dans la cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

a - Proposition de solution élémentaire à variables séparées (méthode à maîtri-

ser ! ! !) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

b - Exploitation des conditions aux limites - sélection des modes propres de la

cavité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

c - Solution complète : superposition des modes propres électriques . . . . . . 22

2 ⋄ CPGE MP3. . .


I Pénétration des OEM dans les conducteurs - diffusion du champ

I.1 Rappel sur la conductivité en modèle de Drüde - comportement des métaux

Comme pour le plasma, on peut retenir le modèle de Drüde pour modéliser la conduction dans les métauxsoumis à un champ électrique

−→E , en excluant cette fois totalement la contribution des ions au courant électrique

puisqu’ils sont fixes dans ce cas (sommets du réseau cristallin).

On rappelle l’expression de la conductivité complexe d’un conducteur de temps de relaxation τ lié au frottement,comportant N éléctrons libres par unité de volume, chacun de masse m :

γ(ω) =Ne2(

jω +1

τ

)m

avec pour les métaux : τCu ∼ 10−15 s

Ainsi, ωτ << 1 est valide jusqu’aux IR ; en effet en retenant comme cas limite ωτ ∼ 0, 1, soit une pulsation

ωlim = 1014 rad.s−1, la longueur d’onde correspondante est : λlim =2πc

ωlim∼ 10 µm

Conséquences :I La conductivité du conducteur est un réel :

γωτ<<1 ≃Ne2τ

m∈ R

I La puissance volumique moyenne cédée aux porteurs de charges est non nulle contrairement au cas duplasma :

<−→J ·

−→E >=

1

2Re

[−→J ·

−→E ∗

]=

1

2Re

[−→γE ·

−→E ∗

]=

γ

2|E|2 = 0

Conclusion : le champ électromagnétique pénètre dans le métal, et communique sa puissance aux porteursde charge ⇒ le champ est nécessairement évanescent !

Objectifs :I Déterminer l’expression complète du champ électrique d’une onde pénétrant dans un métal.I Déterminer une épaisseur caractéristique de pénétration (existe puisque le champ est évanescent).

I.2 L’ARQS dans un conducteur - conséquences avec les OEM

a - Courants : qui retenir ? ? ? - charge

Cas des courants :Comparons les amplitudes des courants de déplacement et de conduction dans un conducteur pour un champ−→E ,

−→B harmonique de période T . On a :

αD/C =||−→jD||||−→j ||

=||ϵ0

∂−→E

∂t||

||γ−→E ||

∼ϵ0E

TγE

=ϵ0γT

=ϵ0f

γ

. . . Jean-Laurent GRAYE ⋄ 3


Exemple du cuivre :γ ≃ 107Ω−1.m−1 d’où : αD/C ≃ 10−18f

=⇒ Ainsi, les courants de déplacements dans un conducteur sont négligeables jusqu’aux fréquences considé-rable de l’ordre de 1018 Hz(rayonsX!!!)

Cas des charges :A partir de l’équation de conservation de la charge, la loi d’Ohm locale et l’équation de Maxwell-Gauss, il vient :

∂ρ

∂t+ div

−→j = 0 ⇒ ∂ρ

∂t+ div(γ

−→E ) = 0 ⇒ ∂ρ

∂t+

γ

ϵ0ρ = 0

Solution : ρ(M, t) = ρ0(M) · e−tτ avec τ =

ϵ0γ

≃ 10−18 s!!! =⇒ ρ(M,∀t) ≃ 0

Propriété - (I.2) - 1:

Aux fréquences "usuelles" (incluant le rayonnement visible tout de même ! ! !), on retiendraque dans un conducteur : les courants de déplacements sont totalement négligeables

−→jD ≃ 0

et l’électroneutralité est assurée à tout instant en tout point ρ ≃ 0.Conclusion : dans la pratique un conducteur est toujours en ARQS ∀ ω < ω(RX), soit :

MGmétal bon conduct

=⇒ div−→E = 0

MAmétal bon conduct

=⇒ −→rot

−→B = µ0

−→J

CONSERV.CHARGEmétal bon conduct

=⇒ div−→J = 0

b - Effet Kelvin ou effet de peau (skin effect)

Dans le cadre de l’ARQS, on a :

−→rot

−→B = µ0

−→j = µ0γ

−→E ⇒ −→

rot[−→rot

−→B]=

−−→grad(div

−→B )−∆

−→B = µ0γ

−→rot

−→E = −µ0γ

∂−→B

∂t

⇒−→∆−→B = µ0γ

∂−→B

∂tEquation de diffusion du champ magnétique

De même, à partir de l’équation de Maxwell-Faraday :

−→rot

−→E = −∂

−→B

∂t→ −→

rot[−→rot

−→E]=

−−→grad

div−→E︸︷︷︸

= ρϵ0

ARQS≃ 0

−−→∆−→E = − ∂

∂t

[−→rot

−→B]

ARQS≃ − ∂

∂t

[µ0

−→j]= −µ0γ

∂

∂t

[−→E]

soit finalement :

4 ⋄ CPGE MP3. . .


−→∆−→E = µ0γ

∂−→E

∂tEquation de diffusion du champ électrique

Enfin, et toujours avec la loi d’Ohm locale−→J = γ

−→E , la même équation de diffusion régit l’évolution de la

densité volumique de courant−→j :

−→∆−→j = µ0γ

∂−→j

∂tEquation de diffusion du courant volumique

NB : on appelle D =1

µ0γle coefficient de diffusion 1 du champ/courant avec [D] = L2.T−1

Figure XVII.1 – Effet Kelvin (skin effect)

Exemple de résolution complète :(à connaître ! ! !)

Supposons un conducteursemi-infini à partir de z > 0 etinvariant par translation selon xet y. On place un champ ma-gnétique harmonique dans le do-maine environnant z ≤ 0 (assi-milé au vide) de sorte que :

−→B (z ≤ 0, t) = B0 cos(ωt) · −→ey

soit en formalisme com-plexe :

−→B (z ≤ 0, t) = B0e

jωt · −→ey

Question : quelle est l’ex-pression des champs magnétiqueet électrique dans le conducteur

−→B (z > 0, t) et

−→E (z > 0, t) ?

Champ magnétique :

• Invariances : selon x et y ⇒−→B =

−→B (z, t)

• Symétrie : xOz = π+ pour les sources du champ extérieur donc π+ pour les sources du champ induitdans le conducteur ⇒ −→

B (z > 0, t) −→ey• C.L. :

−→j = −→

0 donc−→js =

−→0 ⇒ −→

B (z = 0−, t) =−→B (z = 0+, t)

Bilan : On propose une solution compatible avec cette géométrie qui pourrait être en RSF (donc formalismecomplexe) :

1. nous reviendrons sur cette notion lors de l’étude de la diffusion thermique



−→B (z > 0, t) =

0B(z)ejωt

0

L’équation du champ est donc :

d2B(z)

dz2= jµ0γωB(z)

La solution s’écrit :B(z) = K1 · eα1z +K2 · eα2z

Avec l’équation caractéristique α2 = jµ0γω = µ0γωej π2 , on tire la solutions :

α =√µ0γωe

j π4(π)

soit : α1 =

√µ0γω · ej

π4 =

√µ0γω

[1 + j√

2

]=

1 + j

δ

α2 =√µ0γω · ej

5π4 = −√

µ0γω

[1 + j√

2

]= −1 + j

δ

avec δ =

√2

µ0γωappelée épaisseur de peau ([δ] = L)

Pour assurer que B(z) ne diverge pas, on doit poser K1 = 0ce qui conduit à la solution avec la C.L. en z = 0 :

B(z) = B0 · e−zδ · e−j z

δ

d’où le champ magnétique en notation réelle :

−→B (z, t) = B0 · e−

zδ · cos

(ωt− z

δ

)· −→ey

Champ électrique :On dégage facilement l’expression du champ électrique à l’aide de l’équation de Maxwell-Ampère en ARQS :

−→rot

−→B = µ0

−→J = µ0γ

−→E =⇒ −→

E =1

µ0γ

−→rot

−→B = − 1

µ0γ

∂By

∂z· −→ex

ce qui donne après calcul :

−→E (z, t) =

B0

δµ0γe−

zδ

[cos

(ωt− z

δ

)− sin

(ωt− z

δ

)]· −→ex

soit :

−→E (z, t) =

√2B0

δµ0γe−

zδ

[cos

(ωt− z

δ+

π

4

)]· −→ex

A retenir :

6 ⋄ CPGE MP3. . .


Propriété - (I.2) - 2:

Le champ électromagnétique diffuse dans un conducteur sur une distance caractéristiqueδ appelée "épaisseur de peau" :

δ =

√2

µ0γω=

√1

µ0γπν

Cet effet porte le nom d’effet Kelvin ou effet de peau.

Remarque - (I.2) - 1:

L’effet de peau est un effet d’induction, il se produit à toute fréquence, et on parle souvent abusivementde propagation d’onde dans un conducteur alors qu’il s’agit d’un phénomène de diffusion duchamp.

Quelques ordres de grandeur de δ :

ν ∼ 106 HzHF radio

ν ∼ 109 Hzhyperfréqu. ondes

ν ∼ 1013 HzIR

Cuivre (γ = 5, 9.107 S.m−1) δ = 65 µm δ = 2 µm δ = 20 nm

Acier (γ = 1.107 S.m−1) δ = 0.15 mm δ = 5 µm δ = 50 nm

Plomb (γ = 4, 8.106 S.m−1) δ = 0, 23 mm δ = 7, 2 µm δ = 72 nm



II Réflexion des OEM sur les conducteurs parfaits

II.1 Le modèle du conducteur parfait - conséquences

Définition - (II.1) - 1:

Dans le modèle du conducteur parfait, la conductivité est infini : γcp → ∞En conséquence la profondeur de peau est nulle : δcp → 0

=⇒ le champ électromagnétique ne pénètre pas dans un conducteur parfait :−→E cp =

−→0

−→B cp =

−→0

−→J cp =

−→0

Remarque - (II.1) - 2:

On peut également approcher de manière énergétique la définition du conducteur parfait :Supposons un champ non nul dans un conducteur parfait, la puissance volumique fournie aux porteursde charge du conducteur s’écrit :

Pvol =−→J · −→E = γ

−→E 2

or γcp → ∞ce qui impose pour garder une puissance volumique finie que :

−→E cp =

−→0

II.2 Conséquences sur les principales équations locales

Conséquences :

MG : div−→E cp =

ρ

ϵ0⇒ ρcp = 0

MF :−→rot

−→E cp = −∂

−→B

∂t⇒ −→

B cp =−−→cste

rég. perm. exclu=

−→0

MA :−→rot

−→B cp = µ0Jcp ⇒ −→

J cp =−→0

Ainsi la puissance volumique est nulle : Pvolcp =−→J cp ·

−→E cp = 0

8 ⋄ CPGE MP3. . .


Bilan : à retenir : "rien ne se passe dans le volume du conducteur parfait".

Remarque - (II.2) - 3:

Ces résultats sont établis ici dans le cas d’un conducteur hors d’équilibre, et généralisent donc pourle conducteur parfait les résultats établis en électrostatique des conducteurs.

II.3 Structure du champ à l’interface : conditions aux limites

On considère une interface vide-conducteur parfait et la présence d’un champ électromagnétique (−→E ,

−→B )

dans le demi-espace vide :

Figure XVII.2 – Interface vide conducteur-parfait ; charge et courant surfacique

Les relations de passage à l’interface s’écrivent :

(−→E videproxi −

−→E cond

)interface

=σ

ϵ0· −→n⊥

(−→B videproxi −

−→B cond

)interface

= µ0−→Js ∧ −→n⊥

or pour un conducteur parfait, les champs électrique et magnétique transmis sont nuls ; les relations de passageprécédentes deviennent donc : (

Evideproxi −−→0)interface

=σ

ϵ0· −→n⊥(

Bvideproxi −−→0)interface

= µ0−→Js ∧ −→n⊥

soit :A retenir :

−→E proxi // =

−→0 et

−→E proxi ⊥ =

σ

ϵ0

−→n⊥−→B proxi ⊥ =

−→0 et

−→B proxi = µ0

−→J s ∧ −→n⊥



Conséquence : si un champ (−→E ,

−→B ) est incident sur l’interface, alors présence possible de courants et

charges surfaciques σ et−→js en fonction de la polarisation du champ incident.

III Réflexion d’une OPPH incident sur un conducteur parfait

III.1 Existence d’une onde réfléchie

Figure XVII.3 – Existence onde réfléchie

Hypothèse : on considère une OPPH polarisée selon −→ex etarrivant sous incidence normale sur la surface z = 0 d’un conduc-teur parfait :

−→E i(z < 0, t) = E0 · ej(ωt−

−→ki ·−→r ) · −→ex

or d’après les résultats dégagés plus haut, la composante paral-lèle du champ doit s’annuler ∀M ∈ surface cond. (i.e. en z = 0) :

CL ⇔−→E (M ∈ surface cond., t) =

−→E (M ∈ surface cond., t) =

−→0

or

E(M ∈ surface cond., t) =−→E i(M ∈ surface cond., t) = E0 · e

j(ωt−−→ki ·

−−→OM︸︷︷︸

=cste

)

−→ex = −→0 ∀t =⇒ Problème ! ! !

Conclusion : au moins une des CL sur le conducteur parfait ne peut pas être vérifiée si l’on ne considèreque l’onde incidente.

=⇒ Idée : il existe une onde réfléchie à l’interface !

Propriété - (III.1) - 3:

Lors de l’incidence d’une OPPH sur un conducteur parfait, les conditions aux limites imposentl’existence d’une onde réfléchie.

III.2 Structure du champ réfléchi - inversion de phase à la réfléxion métallique

On cherchera dans cette partie à déterminer complètement les champs réfléchis Er et Br.

a - Vecteur d’onde réfléchie : lois de Descartes

Figure XVII.4 – Lois de Descartes de la réflexion

Hypothèses :• Toujours un conducteur dans le demi-espace en

z ≥ 0• OPPH arrivant sous incidente quelconque et po-

larisée selon −→ex :

−→Ei = E0 · ej(ωt−

−→ki ·

−−→OM) · −→ex

10 ⋄ CPGE MP3. . .


Principe de Curie : l’onde incidente plane etl’interface vide-cp sont tous deux invariants par trans-lation suivant x et y, et sont à l’origine de l’onde réfléchie (qiu est donc créée en tout point de l’interface). Parprincipe de Curie, celle-ci doit au moins posséder les mêmes symétries et invariances :

L’onde réfléchie est une onde plane :−→E r =

−→E 0r · e

j(ωrt−−→kr·

−−→OM)

Pour tout point M de la surface du conducteur, la condition d’annulation de la composante parallèle du champélectrique s’écrit :

−→E (M ∈ surf) = E0 · ej(ωt−

−→ki ·

−−→OM) · −→ex +

−→E 0r · ej(ωrt−

−→kr·

−−→OM) =

−→0

⇒ −→E (M ∈ surf) =

[E0 · −→ex +

−→E 0r · ej

[(ωr−ω)t−(

−→kr−

−→ki)·

−−→OM

]]· ej(ωt−

−→ki ·

−−→OM) =

−→0

Cette relation, qui doit être vérifiée à tout t et en tout point M de l’interface air-cp, impose :

(ωr − ω) = 0 ⇒ ωr = ω

(−→kr −

−→ki ) ·

−−→OM = cste

pour O= 0 ⇒

−→kr −

−→ki = K · −→ez forme vectorielle de la loi de Descartes

Conséquences : les lois de Descartes de la réflexion

•−→kr est dans le plan d’incidence défini par (

−→ki ,

−→ez )• en projetant la forme vectorielle précedente sur le vecteur unitaire tangent à l’interface −→et , il vient :

(−→kr −

−→ki ) · −→et = 0 ⇔ ω

csin θr =

ω

csin θi ⇔ θr = θi

NB : E0 · −→ex +−→E 0r =

−→0 ⇒ −→

E 0r = −E0 · −→ex

b - Ecriture complète de l’onde réfléchie

L’équation de Maxwell-Gauss écrite dans le domaine z < 0 (vide) donne :

div(−→E ) = div(

−→Ei) + div(

−→Er) = 0 ⇒ −j

−→ki ·

−→E i︸︷︷︸

= 0 car−→Ei transverse

−j−→kr ·

−→Er = 0 ⇒ −→

Er est transverse

En projetant la relation de passage sur les 3 axes, il vient :



(Evide

)interface

M∈ interf.⇔(E0 · −→ex +

−→E0r

)· ej(ωit−

−→ki ·

−−→OM) = − σ

ϵ0· −→ez ⇔

(1) E0rx = −E0

(2) E0ry = 0

(3) E0rz · ej(ωit−−→ki ·

−−→OM) = − σ

ϵ0

La relation (2) E0ry = 0 ajoutée au caractère transverse de l’onde impose E0rz = 0 soit σ = 0 .L’onde réfléchie s’écrit donc :

−→E r(

−→r , t) = −E0 · ej(ωt−−→kr·−→r ) · −→ex = E0 · ej(ωt−

−→kr·−→r +π) · −→ex

Conclusion : lors de la réflexion d’un champ électrique de polarisation tangente à la surface, le champ élec-trique réfléchi possède la même polarisation et subit une inversion de phase (déphasage de π)

c - Cas particulier de l’incidence normale (cadre du programme)

Figure XVII.5 – OPPH en incidencenormale sur le conducteur

Hypothèses :• Incidence normale :

−→ki =

ω

c· −→ez

• Le champ électrique s’écrit :

−→E i =

−→E0 · ej(ωt−kz)

et le champ magnétique a pour expression :

−→B i =

−→ki ∧

−→Ei

ω=

E0

c· ej(ωt−kz) · −→ey

Onde réfléchie :On a, compte tenu de la loi de Descartes, θr = θi = 0 donc :

−→kr =

−−→k = −ω

c−→ez

• Cas de−→E :

−→E r = −E0 · ej(ωt+kz) · −→ex = E0 · ej(ωt+kz+π) · −→ex

• Cas de−→B : par la relation de structure, soit

−→Br =

−→kr ∧

−→Er

ω=

−ω

c−→ez ∧ (−E0 · ej(ωt+kz) · −→ex)

ω

−→Br(z, t) =

E0

c· ej(ωt+kz) · −→ey

12 ⋄ CPGE MP3. . .


On peut également définir les coefficients de réflexion en amplitude pour les deux champs avec :rE =

Er

Ei

∣∣∣∣z=0

= −1

rB =Br

Bi

∣∣∣∣z=0

= +1

Propriété - (III.2) - 4:

Une OPPH arrivant sous incidence normale sur un conducteur parfait subit une réflexiontotale, avec une inversion de phase (déphasage de π) pour le champ électrique, alors que laphase du champ magnétique

−→B demeure inchangée.

III.3 Champ total - ondes stationnaires (OS)

On reprend ici le cas de l’OPPH électromagnétique arrivant sous incidence normale à la surface d’un conducteuren z = 0. Le demi-espace z < 0 étant le siège d’une onde incidente et d’une onde réfléchie, recherchons la structurede l’onde électromagnétique résultant d’une telle superposition :

−→E =

−→Ei +

−→Er = E0 · ejωt ×

(e−jkz − e+jkz

)· −→ex = −2jE0 · sin(kz) · ejωt · −→ex

−→B =

−→Bi +

−→Br =

E0

c· ejωt ·

(e−jkz + ejkz

)· −→ey = 2

E0

c· cos(kz) · ejωt · −→ey

soit en adoptant la notation réelle :−→E = +2E0 sin(kz) · sin(ωt) · −→ex

−→B = 2

E0

ccos(kz) · cos(ωt) · −→ey

Commentaires :On constate que les champs électrique et magnétique apparaissent tous deux comme des produits de fonc-

tions à variables d’espace et de temps séparées, ce qui est caractéristique d’une telle superposition dedeux ondes respectivement incidente et réfléchie. En effet, l’absence des groupements de variables u = t − z

c etv = t+ z

c montre qu’il n’y a plus de propagation ;

Il s’agit d’ondes stationnaires.

cf. simulation =⇒ apparition de ventres et noeuds.

Attention : toujours exprimer les champs en notation réelle pour caractériser cette séparation de variablesespace et temps.



Figure XVII.6 – Système d’ondes électromagnétiques stationnaires dans le demi-espace z < 0

Exercice de cours: (III.3) - n 1 Déterminer les abscisses des positions nodales et ventrales pour−→E 2 et

−→B 3.

III.4 Charge et courant surfaciques

a - Expressions

• Cas de la charge surfacique : par relation de passage

On a à l’interface z=0,

−→E (z = 0, t)−−→

0 =σ

ϵ0

−→n = − σ

ϵ0

−→ez

or−→E (z = 0, t) =

−→0

ainsi :

σ = 0

• Cas des courants surfaciques :

De même, à l’interface pour le champ magnétique on a :

−→B (z = 0, t)−−→

0 = µ0−→Js ∧ −→n ⊥ = −µ0

−→Js ∧ −→ez

2. réponse : zpE =pπc

ω=

pλ

2et zvE =

pλ

2+

λ

4

3. réponse : zpB =(2p+ 1)πc

2ω=

pλ

2+

λ

4et zvB =

pλ

2

14 ⋄ CPGE MP3. . .


soit

2E0

ccos(ωt) −→ey︸︷︷︸

=−→ez∧−→ex

= −µ0−→Js ∧ −→ez

d’où l’on tire :

−→Js = 2

E0

µ0ccos(ωt)−→ex

b - Application : polariseur d’ondes hyperfréquences (utile pour le TP)

On peut exploiter l’interaction entre le champ électrique et un conducteur pour fabriquer un polariseur d’ondes(généralement des ondes centimétriques voire des micro-ondes i.e. domaine hyperfréquence).

Ce polariseur est une simple grille comportant des tiges conductrices très fines alignées et faiblement espacées(< λ).

Une onde plane incidente est toujours décomposable dans la base de deux vibrations perpendiculaires 4, parexemple pour une OPPH se déplaçant vers z croissant :

−→Ei(z, t) =

Eix = E0x · cos(ωt− kz)

Eiy = E0y · cos(ωt− kz + φ)

0

On fait arriver cette onde sur la grille telle que la composante

−→Ex soit alignée avec les tiges et donc la

composante−→Ey perpendiculaire à celles-ci :

Figure XVII.7 – Polariseur pour ondes hyperfréquences

4. cf cours OEM dans le vide III.3)



Principe :• la composante

−→Eix parallèle aux tiges métalliques entraine l’existence d’un courant de surface et est réfléchie.

• la composante−→Eiy perpendiculaire aux tiges métalliques ne génère aucun courant de surface dans les tiges

(courant dans la "largeur" de la tige supposée fine) et est transmise.

=⇒ la grille joue ainsi un rôle de polariseur.

Remarque - (III.4) - 4:

Les courants engendrés par la composante parallèle dans les tiges conductrices sont à l’origine del’émission de l’onde réfléchie ; en outre, l’orientation de ces courants détermine également la directionde polarisation de cette onde réfléchie. Ces notions seront abordées plus précisément dans le prochainchapitre (rayonnement dipolaire).

IV Aspects énergétiques et dynamiques des ondes stationnaires

IV.1 Densité volumique d’énergie électromagnétique

Calculons à partir des expressions précédentes des champs−→E et

−→B la densité d’énergie électromagnétique

associéé à l’onde stationnaire :

uem =ε0E

2

2+

B2

2µ0= 4E2

0

[ε02sin2(kz) · sin2(ωt) + 1

2µ0c2cos2(kz) · cos2(ωt)

]soit :

uem = 2E20ε0

[sin2(kz) · sin2(ωt) + cos2(kz) · cos2(ωt)

]et finalement une valeur moyenne :

< uem >= 2E20ε0[sin

2(kz) ·< sin2(ωt) >︸︷︷︸=1

2

+ cos2(kz) ·< cos2(ωt) >︸︷︷︸=1

2

]

< uem >= ε0E20 (XVII.1)

IV.2 Vecteur de Poynting

Le calcul du vecteur de Poynting est également élémentaire :

−→R =

−→E ∧

−→B

µ0= +4

E20

µ0csin(kz) · sin(ωt)× cos(kz) · cos(ωt)−→ez

soit :

16 ⋄ CPGE MP3. . .


−→R = +

E20

µ0csin(2kz) · sin(2ωt)−→ez

qui donne finalement une valeur moyenne nulle :

⟨−→R⟩= +

E20

µ0csin(2kz)· < sin(2ωt) > −→ez =

−→0 (XVII.2)

Ce résultat n’a rien de surprenant dans la mesure où les ondes stationnaires ne correspondent plus à unphénomène propagatif, et ainsi la valeur moyenne du vecteur de Poynting, dont la norme est la densité surfaciquemoyenne de puissance propagée, est nulle ! ! !

Exercice de cours: (IV.2) - n 2 Vérifier l’identité de Poynting dans le cas de l’onde stationnaire évoquéeci-dessus.

IV.3 Pression de radiation

Par modèle ondulatoire sur conducteur réel (γ finie ! exception pour ce paragraphe !) :

Figure XVII.8 – Force de radiation s’exerçant surun conducteur

Hypothèses : champ électromagnétique incident sur unconducteur réel en z = 0 =⇒ pénétration sur uneprofondeur de quelques δ !

−→E = Ex(z < 0, t) · −→ex

−→B = By(z < 0, t) · −→ey

Dans la couche de pénétration de l’onde, si l’on négligeles courants de déplacement 5, l’équation de Maxwell-Ampèrese réduit à :

−→rot

−→B = µ0

−→j

soit compte tenu de la polarisation choisie :

−→j = −

(1

µ0

)∂By

∂z· −→ex

Question : courant+champ magnétique dans une épaisseur superficielle ⇒ quelle est l’expression de la force(Laplace) exercée par ce champ sur le conducteur ?

La force volumique de Laplace s’exerçant dans le conducteur est :

−→fvol =

−→j ∧ −→

B = −(

1

µ0

)∂By

∂z· −→ex ∧By

−→ey

5. nous avons vu que cette approximation était totalement légitime dans un conducteur.



soit :−→fvol = −

(1

2µ0

)∂

∂z

[B2

y(z, t)]· −→ez

La force subie par le conducteur est obtenue par intégration de la force volumique :

−→F =

ycond

−→f vol · dxdy︸︷︷︸

dS

dz = −(

1

2µ0

)S

∞∫0

∂

∂z

[B2

y(z, t)]· dz−→ez

NB : ce résultat est identique dans le cas d’un conducteur parfait γ → ∞ !

soit :

−→F = −

(S

2µ0

)B2y(∞, t)︸︷︷︸=0

−B2y(0, t)

· −→ez

donc−→F =

(S

2µ0

)4E2

0

c2cos2(ωt) · −→ez

soit une norme de valeur moyenne : < ||−→F || >=E2

0S

µ0c2

On peut alors isoler la pression de radiation moyenne (obtenue par ce modèle ondulatoire) exercée surla surface du conducteur avec :

< Pond >=< ||

−→F || >S

=E2

0

µ0c2= ε0E

20 (XVII.3)

Par modèle corpusculaire :

Question : pression des photons sur la paroi du conducteur ?

Figure XVII.9 – Force de pression des photonssur un conducteur

En théorie corpusculaire chaque photon incident pos-sède les caractéristiques suivantes (cf dualité onde-corpusculeMPSI) :

Vitesse : −→c = c−→ezEnergie : ϵ = hν = ~ω

Quantité de mouvement : −→pi = ~−→k︸︷︷︸

relation de De Broglie

=h

λ−→ez =

hν

c−→ez

• On note ni la densité volumique moyenne des photonsincidents.

• On suppose tous les photons réfléchis ; ils possèdentchacun une quantité de mouvement :

−→p′ = −hν

c−→ez

=⇒ la paroi exerce une action sur les photons !

18 ⋄ CPGE MP3. . .


Appelons δ−→F par→phot la force exercée par la paroi de surface dS sur les photons.

Variation de quantité de mouvement pour chaque photon : ∆−→p =−→p′ −−→p = −2

hν

c−→ez

Nombre de photons qui arrivent sur une surface dS pendant dt : δ2N = n · c · dt · dS

Variation totale de quantité de mouvement des δ2N photons pendant dt : d2−→P = δ2N ×∆−→p =

−2nhνdS · −→ez · dt

Finalement, la force élémentaire exercée par la paroi sur les photons s’écrit :

δ−→F par→phot = −d2

−→P

dt= −2nhνdS · −→ez

ce qui permet de déduire par principe d’action réciproque la force exercée par les photons sur la paroi :

δ−→F phot→par = 2nhνdS · −→ez

soit une pression de radiation exercée sur la paroi par les photons :

Pcorp =δF

dS phot→par= 2nhν

Remarque - (IV.3) - 5:

y-a-t-il équivalence des résultats obtenus par les deux modèles ?

On peut ensuite rechercher le lien entre les deux descriptions, et vérifier l’identité des résultatsdégagés par les deux approches :

En outre, on reconnaît dans le résultat précédent nhν =< ueminc >, la densité moyenne d’énergiedes photons incidents, qui vaut en description ondulatoire :

< ueminc >=< ϵ0E2

i

2+

B2i

2µ0>= ϵ0

E20

4+

E20

4µc2=

1

2ϵ0E

20

d’où :

Pcorp = ϵ0E20 = Pond

Ainsi, les deux descriptions conduisent à des résultats équivalents ! ! !



Remarque - (IV.3) - 6:

Cette action de pression, liée au champ électromagnétique incident, est à l’origine de nombreusesapplications, notamment la lévitation L.A.S.E.R. inventé par Arthur Ashkin à l’Université Cornell, etdont les travaux posèrent les bases du refroidissement laser développé concomitamment par S. Chu,C. Cohen-Tannoudji et D.Phillips tous trois récompensés du prix Nobel de Physique 1997.

V "Confinement" d’une OEM : cavités unidimensionnelles - modes propres

V.1 Choix d’une forme de champ - conditions aux limites

Figure XVII.10 – Cavité unidimensionnelle

Idée : on souhaite confiner une onde électromagnétiqueen exploitant les réflexions multiples.

Considérons un ensemble de deux plans conducteursparfaits parallèles formant une cavité unidimensionnelleremplie de vide entre les abscisses z = 0 et z = a (cf fi-gure).

Hypothèses :• on injecte un champ électromagnétique dans la cavité,

engendré par exemple par une antenne émettrice, etpolarisé selon −→ex :

−→E = E · −→ex

• compte tenu de la géométrie de la cavité, on pose l’in-variance selon [Ox) et [Oy) :

−→E = E(z, t) · −→ex

A retenir :La présence des deux plans conducteurs imposent les conditions aux limites suivantes :

−→E (z = 0, t) =

−→E (z = 0, t) =

−→0 et

−→E (z = a, t) =

−→E (z = a, t) =

−→0

−→B⊥(z = 0, t) =

−→0 et

−→B⊥(z = a, t) =

−→0

V.2 EDA dans la cavité

a - Proposition de solution élémentaire à variables séparées (méthode à maîtriser ! ! !)

L’espace dans la cavité est vide de charge et de courant (ρ = 0 ,−→J =

−→0 ) =⇒ l’évolution du champ

électromagnétique dans la cavité est régi par l’EDA, soit :

20 ⋄ CPGE MP3. . .


−→∆−→E − 1

c2∂2−→E∂t2

=−→0

Pb 1D=⇒ ∂2E(z, t)

∂t2− c2

∂2E(z, t)

∂z2= 0

A retenir :En supposant que l’on injecte une OPPH polarisée selon −→ex dans la cavité, la présence des deux plans conduc-

teurs parfaits en vis à vis entraîne des réflexions multiples et donc à priori l’existence d’un système d’ondesstationnaires.

=⇒ on envisage une solution à variables séparées :

−→E (z, t) = f(z) · g(t) · −→ex

En injectant cette forme de solution dans l’EDA 1D il vient :

∂2

∂t2[f(z) · g(t)]− c2

∂2

∂z2[f(z) · g(t)] = 0

puis :

f(z) · g”(t)− c2 · f”(z) · g(t) = 0

et enfin en divisant cette équation par f(z) · g(t) on a finalement :

g”(t)

g(t)= c2

f”(z)

f(z)

Ces deux membres dépendent de variables indépendantes, ils sont donc forcément tous deux égaux à uneconstante :

g”(t)

g(t)︸︷︷︸fonc. de t ; indép. de z

= c2f”(z)

f(z)︸︷︷︸fonc. de z ; indép. de t

donc= K = cste

Résolution :

3 cas de figure à envisager :

• K = α2 > 0 : g”(t)− α2g(t) = 0 et f”(z)−(αc

)2f(z) = 0

solutions : g(t) = Aeαt︸︷︷︸

divergent

+ Be−αt︸︷︷︸transitoire → 0

f(z) = A′eαcz +B′e−

αcz

=⇒ à rejeter

• K = 0 : g”(t) = 0 et f”(z) = 0solutions :

g(t) = At+B︸︷︷︸divergent

f(z) = A′z +B′=⇒ à rejeter



• K = −ω2 < 0 : g”(t) + ω2g(t) = 0 et f”(z) +(ωc

)2f(z) = 0

solutions : g(t) = A sin(ωt+ φt)︸︷︷︸

borné

f(z) = B sin(ωcz + φz

) =⇒ à retenir

Une solution élémentaire à variables séparées est donc : E(z, t) = E0 sin(ωcz + φz

)× sin(ωt+ φt)

b - Exploitation des conditions aux limites - sélection des modes propres de la cavité

On rappelle la forme générale d’une solution élémentaire à variables séparées :

E(z, t) = E0 sin(ωcz + φz

)× sin(ωt+ φt)

Chaque solution élémentaire doit vérifier les CL du problème, soit :

• E(z = 0,∀t) = 0 =⇒ sinφz = 0 =⇒ φz = mπon retient une seule solution, soit par exemple m = 0 donc : φz = 0

• E(z = a,∀t) = 0 =⇒ sin(ωca)= 0 =⇒ ω

ca = pπ

soit finalement la pulsation appelée pulsation modale du mode p : ωp = pπc

aLa solution élémentaire appelée mode de la cavité s’écrit finalement :

Ep(z, t) = E0p sin(pπ

z

a

)× sin

(pπ

ct

a+ φtp

)⇔ un mode propre de la cavité

A retenir :Ce sont les C.L. imposées par la présence des frontières de la cavité qui sélectionnent les pulsations compa-

tibles des ondes stationnaires.

Exercice de cours: (V.2) - n 3 Déterminer le champ magnétique−→Bp(z, t) du mode p de la cavité.

c - Solution complète : superposition des modes propres électriques

L’EDA1D est linéaire =⇒ une superpsoition des modes est donc également solution ; on montre par ailleursque l’ensemble des modes (non dénombrables) constitue une base de décomposition des oscillations du champdans la cavité (les modes sont orthogonaux) ; ainsi une solution générale périodique dans la cavité s’écrit :

E(z, t) =

∞∑p=1

E0p sin(pπaz)× sin(

pπc

aωt+ φtp)

22 ⋄ CPGE MP3. . .


Remarque - (V.2) - 7:

Les coefficients En et φtn sont déterminés par exploitation des conditions initiales.


ondes électromagnétiques et métaux : diffusion et...

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