olympe 2008
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Sujet olympia 2008TRANSCRIPT
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Union Mathmatique Africaine
Commission des Olympiades
Pan Africaines de Mathmatiques
Ministre de lEnseignement Secondaire
De la Formation Technique
et Professionnelle
18me Olympiade Pan Africaine de Mathmatiques OPAM 2008
Porto Novo, 28 juillet 2 Aot 2008 Premier jour Dure : 4h30
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Instructions
1- Les instruments de calcul et autres documents tels que manuscrites ou
extraits de livres ne sont pas autoriss en salle dexamen.
2- Seuls les stylos, crayons, rgles et compas peuvent tre utiliss.
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EXERCICE 1
Soit lensemble des nombres rels. Dterminer toutes les fonctions f : vrifiant : f(x+y) f(x) + f(y) x + y pour tout x et y rel.
EXERCICE 2
Soit C1 un cercle et [AB] une corde ne contenant pas O. Soit M le milieu de [AB] . On considre sur le cercle C2 de diamtre [OM] un point T. La tangente C2 coupe C1 en deux points. Soit P un de ces points. Montrer que PA2 + PB2 = 4PT2.
EXERCICE 3
Soient trois entiers positifs non nuls a, b et c tels que a < b < c. On considre les ensembles A, B C et X dfinis de la faon suivante : A = {1 , 2,..,a} ; B = {a+1 , a+2,..,b} ; C = {b+1 , b+2,..,c} et X = {1 , 2,..,c}. Dterminer en fonction de a, b et c le nombre de faons de placer les lments de X dans trois botes de la manire suivante :
Bote 1 Bote 2 Bote 3 x y z
Sachant que : a) x y z ; b) Les lments de B ne doivent pas tre mis dans la bote 1 c) Les lments de C ne doivent pas tre mis dans la bote 3.
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Union Mathmatique Africaine
Commission des Olympiades
Pan Africaines de Mathmatiques
Ministre de lEnseignement Secondaire
De la Formation Technique
et Professionnelle
18me Olympiade Pan Africaine de Mathmatiques OPAM 2008
Porto Novo, 28 juillet 2 Aot 2008 Deuxime jour Dure : 4h30
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Instructions
1- Les instruments de calcul et autres documents tels que manuscrites ou
extraits de livres ne sont pas autoriss en salle dexamen.
2- Seuls les stylos, crayons, rgles et compas peuvent tre utiliss.
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EXERCICE 4
Soit x et y deux rels strictement positifs quelconques. Dmontrer que
nn
nn
yxyxyx
+
+
++ 22
pour tout entier naturel.
EXERCICE 5
Un ensemble dentiers naturels X est dit li si card(X) 2 et si on peut trouver deux lments distincts m et n de X tels que m est un diviseur de n.
Dterminer le nombre de sous ensembles lis de {1, 2, ,10}.
EXERCICE 6
Dmontrer que, pour tout entier naturel non nul n, il existe un entier naturel m non nul multiple de n et dont la somme des chiffres dans le systme dcimal est gal n.