7/23/2019 Olympe 2000

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10me

Olympiade Pan Africaine de Mathmatiques

Le Cap, Afrique du Sud 08 janvier 2000

Premire journe Dure : 4 h 30

1. Rsoudre lquation trigonomtrique suivante :

Sin2x(1 + cotanx) + cos

3x(1 + tanx) = cos2x

2. Soient P0, P1 , P2, ..les polynmes dfinies par :

P0(x) = x3+ 213x

2 67x 2000 et pour n 1 Pn(x) = Pn1(x n).

Quel est le coefficient de x dans le polynme P21(x) ?

3. Montrer que si1335

1

1334

1........

4

1

3

1

2

11 +++=

q

p

( opet qsont des entiers naturels non nuls) alors 2003 divisep.

7/23/2019 Olympe 2000

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10me

Olympiade Pan Africaine de Mathmatiques

Le Cap, Afrique du Sud 09 janvier 2000

Deuxime journe Dure : 4 h 30..

1. Soient a , b et ctrois rels tels que : a2+ b

2= c

2.

Rsoudre le systme suivant :

+=+++

=+

222

222

)()()( cxbyaxzyx

2. Par un point P extrieur un cercle on mne les tangentes (PA) et (PB). Une droitepassant par P coupe le cercle en Q et R. On trace la corde [BS] parallle [QR].

Montrer que la droite (SA) coupe [QR] en son milieu.

3. Une compagnie possde 5 directeurs. Les rglements de la compagnie stipulent que

toute majorit (3 ou plus) des directeurs peut ouvrir le coffre fort mais aucune minorit(2 ou moins) ne peut le faire.

On se propose dquiper le coffre fort de 10 serrures de telle sorte quil ne peut tre

ouvert que si toutes les 10 cls sont disponibles. On donne chaque directeur un jeu de n

cls diffrentes.

Trouver toutes les valeurs de n de telle sorte que le coffre fort puisse tre ouvert suivant

les rglements de la compagnie.