olymp i 2002
DESCRIPTION
Sujet olympia 2002TRANSCRIPT
Quatrièmes Olympiades de Mathématiques Bamako, 01 au 04 mars 2002
Option Lycée
Première journée - Vendredi 01 mars 2002- Durée : 4h30
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercice 1
1-/ Calculer la somme : S = 1009999100
1.....
3223
1
2112
1
+++
++
+
2-/ x1, x2, …., xn étant n réels positifs, démontrer que :
(1+x1)(1+x2)….(1+xn)≥2nn21 x...xx
À quelle condition l’égalité a-t-elle lieu ?
Analyser le cas où x1.x2…xn = 1
3-/ Soit n nombres positifs : x1, x2, …., xn. Démontrer l’inégalité suivante :
1
n
1-n
2
n
1
x
x.....
x
x
x
x +++ ≥ n
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Exercice 2
1-/ Décomposer en produit de deux facteurs l’expression :
3xyz + x(y2+z2) + y(z2+x2) + z(x2+y2)
2-/ Démontrer que l’on a, quels que soient x, y, et z trois réels positifs,
(x+y+z)(xy+yz+zx) ≥ 9xyz
Dans quel cas l’égalité a lieu ?
3-/ Trois réels x, y, z varient de telle façon que leur somme conserve une valeur constante k. Déterminer les valeurs de x, y et z qui rendent minimale l’expression
z
1
y
1
x
1 ++
Première journée - Vendredi 01 mars 2002 – Page 1
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice 3
On désigne par Pn et Sn le périmètre et l’aire de la nième figure.
1-/ Calculer P1, P2, P3, P4 et S1, S2, S3, S4
2-/ Justifier, en commentant les figures, que les suites (Pn) et (Sn) sont croissantes.
3-/ Calculer Pn+1 en fonction de Pn et n. Puis Sn+1 en fonction de Sn et n. 4-/ Calculer Pn et fonction de n et Sn en fonction de n. Puis calculer
+∞→+∞→ nn
nn limPetlimS
5-/ a, b, c étant trois réels distincts, on considère la fonction polynôme f définie par :
f(x) = (x-a)2(b-c) + (x-b)2(c-a) + (x-c)2(a-b) + (b-c)(c-a)(a-b)
Sans développer f(x), montrer que f est le polynôme nul.
A, B et C sont trois points sur un axe et M un point quelconque sur cet axe. Montrer que :
BA.AC.CBBA.MCAC.MBCB.MA 222 +++ = 0
Première journée - Vendredi 01 mars 2002 – Page 2
n = 0 P0 = 4 S0 = 1
n = 1 P1 = S1 =
n = 2 P2 = S2 =
n = 3 P3 = S3 =
Troisième Olympiade de Mathématiques du Mali Bamako, 01 au 04 mars 2002
Deuxième journée - Samedi 02 mars 2002
ÉPREUVE N° : II Durée : 4h30
Exercice 1 Étant donné ABC un triangle quelconque, P, Q, R sont trois points extérieurs à ABC, obtenus par :
Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier votre réponse.
Exercice 2 1-/ Trois termes consécutifs d’une suite géométrique sont solutions de l’équation :
x3 - 42x2+ 504x - 1728 = 0
Déterminer ces trois termes et préciser la raison de la suite.
2-/ Les données sont indiquées sur la figure suivante :
Le point F de coordonnées (x,y), représente un footballeur.
a-/ Exprimer cosα en fonction de l, x et y.
b-/ Trouver l’angle de tir α avec x = 10 et y = 15.
CBP = 45° ; ACQ = 30° ; BAR = 15° ; BCP = 30° ; CAQ = 45° ; ABR = 15°
x
jr
×××× ×××× ir
A B 2l = 7,32m
Largeur des buts
Ligne de buts
y
F(x,y) α
Terrain
0
O’
A
20
cm
D
h
12cm
O B C
x
Exercice 3
1-/ Trouver x pour que le volume du cylindre soit maximal
2-/ Montrer qu’il y a deux valeurs possibles de x si l’on veut obtenir un volume du cylindre égal à 1000cm3
Deuxième journée - Samedi 02 mars 2002 – Page 2