Les Premires Olympiades de Mathmatiques du Mali Bamako, 19 au 20 novembre 1999

Premire Journe 19 novembre 1999

Sujet I Dure : 4 h 30

Exercice 1 (6 points)

Soit ABC un triangle. On construit, lextrieur de ce triangle, le carre BCDE. Soit M le projet orthogonal de D sur (AB) et N le projet orthogonal de E sur (AC) . Les droites (DM) et (EN) se coupent en I. Dmontrer que I appartient la hauteur issue de A du triangle ABC.

Exercice 2 (6 points)

1. Montrer que si les rels a, b et c reprsentent les mesures des cts dun triangle, le trinme du second degr : b2x2 + (b2 + c2 a2)x + c2 est toujours positif. 2. Une somme de 3920 F est partage galement entre plusieurs personnes. Sil y avait deux personnes de plus, chaque part serait rduite de 224 F. Trouver le nombre de personnes. 3. Lors dun test, trois lves ont obtenu les notes suivantes :

Moussa : Chimie : 9 ; Physique : 12 ; Mathmatiques : 15 Oussouby : Chimie : 3 ; Physique : 18 ; Mathmatiques : 9 Aminata : Chimie : 6 ; Physique : 12 ; Mathmatiques : 18 Les moyennes obtenues par les lves sont :

Moussa : 13 ; Oussouby : 11 ; Aminata : 14.

Dterminer les coefficients des trois matires sachant que leur somme est 6.

Exercice 3 (6 points) On donne un morceau de carton rectangulaire de 80cm sur 50cm, diminu chaque coin dun carr de x cm de ct. On ralise avec ce morceau de carton un paralllpipde (boite sans couvercle) de volume V(x). 1. Dterminer le domaine de dfinition de la fonction V ainsi dfinie et lexpression de V(x). 2. Soit x0 ]0 ; 25[. Dterminer le polynme P tel que : V(x) V(x0) = (x x0) P(x). 3. On suppose que V admet un maximum en x0 sur ]0 ; 25[. A laide dun tableau de signes, montrer que P(x0) = 0. Quelle valeur x0 obtient-on ? 4. Dterminer pour quelle valeur de x, V(x) est maximum.

Les Premires Olympiades de Mathmatiques du Mali Bamako, 19 au 20 novembre 1999

Deuxime Journe 20 novembre 1999

Sujet II Dure : 4 h 30

Exercice 1 (6 points)

Exercice 2 (8 points) On part dun carr C0 de ct 10cm. On construit le carr C1 dont les sommets sont situs sur les cts du carr prcdent 1cm de distance. On continue ainsi de suite. On dsigne par Un la longueur du ct Cn ( n ). 1. Raliser une figure avec les deux premiers carrs et montrer que C0 et C1 ont mme centre. 2. Montrer que U1 = 20 )1(1 + U Et que la suite (Un) vrifie la relation : n , Un+1 = 2)1(1 + nU . En dduire que n , Un >1. Montrer que (Un) est dcroissante. 3. On dfinie la suite (Vn) par : n , Vn = Un 1. Montrer que (Vn) est dcroissante. Montrer que n , Vn+1= 11 2 + nV .

En utilisant la formule : 2

112x

x ++ et 1 + x 2

21

+

x.

Montrer que n , Vn+1 221

nV .

4. Dterminer un entier k tel que : n >k, Vn 1.

En dduire que n >k, Vn+1 = 21 Vn et que la suite (Vn) converge vers 0.

Quelle est la limite de la suite (Un).

4m

6m

Mr Ciss possde un terrain rectangulaire de 1 728m ;il cde son voisin une bande de 4m de large en change dune autre bande de 6m de large, de faon conserver la mme aire ( voir figure ci-contre). 1. Dterminer les anciennes et les nouvelles dimensions du terrain de Mr Ciss.

2. Mr Ciss veut border son terrain darbres distants de 2m, lexception du mur commun avec son nouveau voisin. Dterminer le nombre darbres ncessaires.

Exercice 3 (6points)

1. Rsoudre dans IR le systme suivant

+=

=+

=

202

02

2 zx

yxzyx

2. Soient a , b , c trois rels non nuls. Dterminer le rel x, tant donn le systme

=

=

=

028816301208135

01215

cbxacba

cba