32 Olympiades acadmiques - 2005

Exercice no 3

(A traiter par les candidats des sries autres que S)

EnoncVolumesABC est un triangle rectangle en A. H est le pied de la hauteur issue de A.

On note VA le volume du solide obtenu en faisant tourner le triangle au-tour de la droite (BC), VB le volume du solide obtenu en faisant tournerle triangle autour de la droite (CA) et VC le volume du solide obtenu enfaisant tourner le triangle autour de la droite (AB).

On rappelle que le volume dun cne de rvolution de rayon R

et de hauteur h estpiR2h

3.

A B

C

H

1. Reprsenter main leve sur trois schmas distincts chacun des so-lides ainsi obtenus.

2. On admet que VA est le plus petit des trois nombres VA, VB et VC .

Dmontrer quun triangle dont les cts ont pour longueurs1VA

,1VB

et1VC

est un triangle rectangle.

SolutionQuestion 1 : schmas non reproduits ici

Question 2 :

VA est le plus petit des trois nombres positifs VA, VB et VC , donc1VA

est le plus grand des nombres1VA

,1VB

et1VC

AIX-MARSEILLE 33

Rpondre la question pose revient donc montrer que :(1VB

)2+(

1VC

)2=(

1VA

)2et conclure par la rciproque du thorme de Pythagore.(

1VA

)2=(

3pi AH2 (BH +HC)

)2=

9pi2 AH4 BC2

car le solide de

volume VA est la runion de deux cnes de rvolution de hauteurs res-pectives BH et HC.(

1VB

)2=(

3pi AB2 AC

)2=

9pi2 AB4 AC2

;

de mme(

1VC

)2=

9pi2AC4AB2

(1VB

)2+(

1VC

)2=

9pi2AB4AC2

+9

pi2AC4AB2=

9(AB2 +AC2)pi2AC4AB4

ABC est un triangle rectangle en A ; daprs le thorme de Pythagore,AB2 +AC2 = BC2.Dautre part,

AB AC2

=BC AH

2 (Il sagit de deux expressions de

laire du triangle ABC).Do AB4 AC4 = BC4 AH4.Il vient :(

1VB

)2+(

1VC

)2=

9(AB2 +AC2)pi2AC4AB4

=9BC2

pi2BC4AH4

=9

pi2BC2AH4=(

1VA

)2

Daprs la rciproque du thorme de Pythagore, un triangle de longueur

de cts1VA

,1VB

et1VC

est un triangle rectangle.