offre de l'entreprise

8/15/2019 Offre de l'Entreprise

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UPMC - LI 352 IIEE - TD 4 - c J.-D. Kant 2015

Université Pierre et Marie Curie - Licence Informatique 2014-2015

Cours LI 352 - Industrie Informatique et son Environnement ´Economique

TD 5 : CORRIGE

1 Offre à court terme (en CPP)1.1 La condition de maximisation du prol s’écrit C m = p. En CPP, les prix sont exogènes,xés par le marché. La situation est représentée sur la Figure 1 ci-dessous, o` u p0 est le prix dubien considéré.

Figure 1 – Maximisation du prot et coˆ uts

Le prot réalisé est égal ` a l’aire du rectangle vert AOBC. Si l’entreprise produit une quantitéq > q 0 , cela engendre un co ût marginal supérieur ` a p0 et donc une prot (aire AO’B’C’) moindre,puisque chaque unité supplémentaire produite au dél` a de q 0 coûte plus cher qu’elle ne rapporte.Symétriquement, une production d’une quantité q < q 0 entraı̂ne une baisse de prot, car, entreq et q 0 , chaque unité supplémentaire produite coˆ ute un C M (q ) < p 0 , donc on se prive ici d’unprot supplémentaire, qui vaut exactement :

p0 −

q0

qC m (q )dq

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.

Ainsi, quand le producteur produit une quantité telle que C m (q ) = p0 , le prot est maximum.

Du point de vue de l’offre, à prix exogène p0 xée, la condition de maximisation du prot s’écrit :q = C − 1m ( p0 ) (1)

Si le prix varie, la quantit́e optimale s’ajuste le long de la courbe de coˆ ut marginal, selonl’équation (1).

1.2 Seuil d’entrée du producteur. Si on considère une entreprise extérieure au marché, sielle rentre dans ce marché, elle devra payer le coˆ ut xe et le co ût variable. Cela ne sera rentableque si elle reçoit un prix lui permettant de ”rentrer dans ses frais”. Comme on le voit sur laFigure 2 , si p < CM min , le coût engendré ( CM (q 1 ).q 1 est supérieur ` a la recette p1 .q 1 , entraı̂nantune perte (aire du rectangle rouge).

Figure 2 – Seuils d’entrée et de sortie

L’entrée n’est rentable que si p ≥ CM min (2)

et p = CM min représente donc le seuil d’entrée dans le marché (point E sur la Figure 2). Dès que p > CM min , les entreprises réalisent des prots, ce qui va attirer des entreprises sur ce marché.

1.3 Seuil de sortie . Une entreprise reste sur le marché tant qu’elle réalise des prots. Restersur le marché lui impose des coˆuts xes, le prot qu’elle peut engendrer lui coˆ ute donc − CF .La condition de rentabilité s’écrit donc :

p.q − (CF + CV (q )) > − CF ⇐⇒ p > CV (q )

q ⇐⇒ p > CV M (q )

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Le prix p = CV M min représente donc le seuil de sortie dans le marché (point S sur laFigure 2). Dès que p < CV M min , l’entreprise quitte le marché.

1.4 La courbe d’offre de l’industrie est égale ` a la somme des courbes d’offre des entreprisesla composant : La ligne horizontale correspond ` a l’absence de production `a un prix inférieur au

Figure 3 – Equilibre à court terme

prix d’entrée pE . A ce prix, la quantité totale produite est QE = n.q E . Ensuite, la productionvarie comme Q = n.q . L’intersection de l’offre et la demande fournit le prix d’équilibre p0 et laquantité totale Q 0 = n.q 0 = n.C − 1m ( p0 ).

2 Offre à long terme (en CPP)2.1 A long terme, tous les facteurs sont variables, il n’y a plus de coˆ uts xes donc CM =CV M . La fonction d’offre d’une entreprise représentative i est donnée par :

q LT i = C − 1mLT ( p) si p ≥ CM LTmin

q LT i = 0 sinon

Allures : cf. Figure 4.

2.2 L’offre totale est donnée par OLT = n.q LT i car on suppose qu’ à long terme les entreprisess’organisent pour obtenir la meilleure technologie de production, qui est donc la même ` a longterme.

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Des prots ou pertes `a court terme incitent les entreprises ` a entrer ou quitter le marché.Dès que p > pE , l’existence de prots encourage les entreprises ` a augmenter leur production etl’entrée de nouvelles. Ceci entrâıne une augmentation de l’offre et une baisse du prix jusqu’` a cequ’à long terme il n’y ait aucune possibilité de prot. De même des pertes vont aller dans lemouvement inverse et faire ré-augmenter le prix jusqu’` a pE .

Ainsi (cf. Figure 4) à long terme avec n entreprises, le prix d’équilibre est pE , la courbed’offre est horizontale et on a bien : p = pE = C LT m (q E ) = CM LT (q E ).

Figure 4 – Equilibre à long terme

Ainsi, à long terme, les entreprises obtiennent un prot nul à l’équilibre . Cepen-

dant, si à un moment donné, il n’y a pas d’autre entreprise pouvant produire ` a un coût inférieurà celles qui sont déj`a dans l’industrie, ces dernières peuvent alors réaliser un prot. Et puis dansla réalité, les entreprises ne sont pas toutes identiques et on une certaine mâıtrise sur les prix.On voit en tout cas qu’elles ont intérêt ` a sortir de la CPP, en faisant des barrières ` a l’entrée, ouen créant des monopoles ou des oligopoles, par exemple.

Remarque : on peut en déduire le nombre optimal d’entreprises pour une demandeexogène D , en résolvant :

D = QLT = n.q E ⇐⇒ n = DqEq E solution de : C LT m (q E ) = CM LT (q E )

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Notons par ailleurs que si n est limit́e (e.g. < 10), la courbe d’offre n’est pas horizontalemais plutôt en dents de scie au fur à mesure que les entreprises entrent dans le marché (Cf.Economie industrielle de Dennis W. Carlton, Jeffrey M. Perloff, Fabrice Mazerolle (Traduction),De Boeck, 1998, pp. 106-108).

3 Production de type Cobb-Douglas3.1 A court terme, on considère le capital comme xe, donc K = K 0 . La fonction de produc-tion devient fonction à une variable : q = f (L) = 2 .K 0 ,50 .L

0 ,5 . On en déduit que :

L = q

2.K 0 ,50

2

= q 2

4.K 0

Par dénition C T = pK .K + pL .L, d’où la fonction de co ût total à court terme :

CT (q ) = pK .K 0 + pL . q 2

4.K 0

3.2 Si pL = 8 et pK = 2, on a :Coût moyen :

CM (q ) = CT (q )

q = 2 .

K 0q

+ 2 . q K 0

Dérivons :

dCM dq = − 2. K 0

q 2 + 2K 0donc :

dCM dq

= 0 ⇔ 2.K 0q 2

= 2K 0

⇔ q = K 0

et C M min = CM (K 0 ) = 4. Le prix d’entrée est donc de 4.

3.3 Si K = 10 :

CT (q ) = 20 + q 2

5

CM (q ) = CT (q )

q = 20

q + q 5

C m (q ) = dCT

dq =

2q 5

La Figure suivante donne les allures des courbes pour K = 10.

3.4 Pour déterminer la fonction de coˆ ut total à long terme, on considère que le producteurcherche à minimiser le co ût total sous contrainte d’un certain niveau de production q 0 :

Min C T (K, L ) = pK .K + pL .Ls.c. f (K, L ) = q 0 (3)

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Appliquons la méthode de Lagrange :

L (K,L,λ ) = pK .K + pL .L + λ. (q 0 − 2.K 0 ,5 .L 0 ,5 )

Les conditions de premier ordre s’écrivent :

L K = pK − λ.K − 0 ,5 .L 0 ,5 = 0L L = pL − λ.K 0 ,5 .L − 0 ,5 = 0L λ = q 0 − 2.K 0 ,5 .L 0 ,5 = 0

(4)

Des deux premières lignes, il vient :

K L

= pL pK

(5)

et de plus f K f L

= K L

⇒ f K

f L=

pL pK

(6)

Le rapport des prix ` a l’optimum est ainsi égal au rapport des productivités marginales des facteurs (résultat classique).

En reportant dans la 3ème ligne de (4), il vient :

q 0 = 2 . L. pL pK

0 ,5

.L 0 ,5 = 2 . pL pK

0 ,5

.L

A q 0 xé, on en déduit les valeurs de L et K à l’optimum :

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L∗ = q 0 . pK 4.pL

0 ,5

et K ∗ = pL pK

.q 0 . pK 4.pL

0 ,5

= q 0 . pL4.pK

0 ,5

(7)

Ce qui donne comme fonction de coût total à l’optimum :

CT ∗ = pK .q 0 . pK 4.pL

0 ,5

+ pL .q 0 . pL4.pK

0 ,5

= q 0 .( pk .pL )0 ,5 (8)

L’équation 9 a été obtenue pour une valeur de q = q 0 quelconque. Le co ût total doit être optimalpour n’importe quel valeur de production, donc on en déduit la fonction optimale de coˆ ut :

CT (q ) = q.( pk .pL )0 ,5 (9)

3.5 Pour calculer le rendement d’échelle on doit calculer s = CM/C m . On a :

CM (q ) = CT (q )

q = ( pk .pL )

0 ,5 et C m (q ) = dCT (q )

dq = ( pk .pL )

0 ,5 (10)

On a donc CM = C m = cte et donc s = 1 : les rendements d’échelle sont constants, c’est unepropriété de la fonction de type Cobb-Douglas.

3.6 Pour obtenir le prot maximum, on doit produire une quantité q ∗ = C − 1m ( p∗ ). En CPP,

p∗ est exogène, c’est le prix du marché. Ici C m est constant : par exemple, si pL = 8 et pK = 2,∀q , C m (q ) = 4.

D’où la situation :– Si p∗ > C m , alors l’entreprise réalise des prots, la marge est positive pour chaque unité

vendue. Elle va donc produire au maximum jusqu’` a accaparer la totalité du marché, et leprot maximum sera : ( p∗ − ( pk .pL )0 ,5 ).q max .

– Si p∗ = C m , le prot est nul.– Si p∗ < C m , l’entreprise subira des pertes si elle produit. Elle a donc intérêt ` a ne rien

produire, et le prot maximum sera nul (obtenu pour une production nulle)

4 Surplus du producteur

4.1 CM (q ) = 23

q 2 − 5.q + 18 et C m (q ) = 2 q 2 − 10.q + 18

dCM (q )dq

= 0 ⇔ q = 15

4 = 3 , 75 et

dC m (q )dq

= 0 ⇔ q = 52

= 2 , 5

Les coûts xes sont nuls donc CV M = CM . La Figure suivante donne les allures des courbes :

4.2 A courbe d’offre est égale à la courbe de co ût marginal, à court terme dans la partie o` uC m > CM , et à long terme dans la partie o` u C m > CV M . Ici CV M = C M , donc les courbesà court et à long terme se confondent. Il faut déterminer le point A o` u C m = C M , c’est aussile point o ù CM est minimale. De ce qui précède il s’obtient pour q = 3 , 75 et C m = 8 , 625. Lacourbe d’offre est tracée en rose sur la Figure 4.1.

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4.3 Si p = 18, l’optimum s’obtient par :

C m (q ) = 18 = 2 q 2 − 10.q + 18 ⇔ 2q 2 − 10.q = 0 ⇔ q = 5

La quantité optimale produite est donc q ∗ = 5. Le prot vaut alors :

Φ(q ∗) = q ∗ .( p∗ − CM (q ∗)) 5 × (18 − 9, 67) 41, 67

4.4 Il y a surplus c ôté producteur quand il vend ` a un prix supérieur ` a ce qu’il aurait acceptéde pratiqué dans les situations précédent l’équilibre. Le surplus correspond donc ` a la surface en

orange sur la Figure ci-dessus, qui est située entre la courbe d’offre et celle du prix de vente.Pour la calculer on écrit donc :

S = 3 , 75.(18 − 8, 625) + 5

3 ,75(18 − C m (q ))dq

S = 35 , 15625 + −23

q 3 + 5 q 25

3 ,7541, 67

On constate que S = Φ( q ∗) : le prot optimal (surface en bleu) est égal au surplus, ce quiest une propriété générale car les deux notions traduisent exactement la même chose (le protavec le coût total, le surplus avec le coˆ ut marginal).

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