numero de lucas y de fibonnacci

7/26/2019 Numero de Lucas y de Fibonnacci

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Captulo 13

Nmeros de Fibonacci y de Lucas


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Entre los matemticos europeosde la Edad Media, el ms grandede todos fue sin duda Leonardode Pisa, ms conocido por Fibonacci, que significa hijo de Bonaccio!"ase la Figura ##$%

Figura 66. Leonardo Pisano Fibonacci, naci en 1170, probablementeen Pisa, falleci en 1250, probablemente en Pisa

& pesar de haber nacido en Pisa, como su padre era empleado en unafactor'a mercantil italiana asentada en Bougie, en &rgelia, fue all'donde el jo!en Leonardo recibi( su primera formaci(n matemtica, acargo de maestros musulmanes% Pronto se dio cuenta de la enormesuperioridad de la notaci(n decimal indo arbiga pro!ista )a de cifrascu)os !alores dependen de su posici(n, ) de s'mbolo para el cero$sobre el engorroso sistema de numeraci(n romana, empleado toda!'aen su pa's natal% La ms conocida de sus obras, Liberabaci literalmente, Libro del baco $ era en realidad un ampliotratado del sistema de numeraci(n indo arbigo, mas sus

ra*onamientos no parecieron causar demasiada impresi(n a losmercaderes italianos de la "poca% +on el tiempo, su libro lleg( a ser,

u!o esposas Fibonacci mas,"ue comer nada com#an $pastas

aparte%. anto as# pesaba cadauna como&untas sus dos antecesoras'(ra la "uinta una gran signora)% &% Lindon


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empero, la obra de m-ima influencia entre todas las quecontribu)eron a introducir en .ccidente la notaci(n indo arbiga%El Liber abaci fue concluido en Pisa en /0102 hasta nosotros hallegado una edici(n re!isada, de /003, dedicada a un famosoastr(logo cortesano de la "poca%

4o deja de ser ir(nico que Leonardo, cu)as aportaciones a lamatemtica fueron de tanta importancia, sea ho) conocido sobre todoa causa de un matemtico franc"s del siglo pasado, Edouard Lucas,interesado por la teor'a de n5meros ) recopilador de una clsica obrade matemticas recreati!as, en cuatro !ol5menes$, quien encaden(el nombre de Fibonacci a una sucesi(n num"rica que forma parte deun problema tri!ial del Liber abaci % 6maginemos, escrib'a Leonardo,un par de conejos adultos, macho ) hembra, encerrados en uncercado, donde pueden anidar ) criar% 7upongamos que los conejosempie*an a procrear a los dos meses de su nacimiento, engendrando

siempre un 5nico par macho8hembra, ) a partir de ese momento,cada uno de los meses siguientes un par ms, de igualescaracter'sticas% &dmitiendo que no muriese ninguno de los conejitos,9cuntos contendr'a el cercado al cabo de un a:o;

Figura 67. *rbol genealgico de los cone&itos de Fibonacci

El grfico arborescente de la Figura #< nos muestra qu" suceder'adurante los cinco primeros meses% Es fcil obser!ar que al t"rmino decada mes los n5meros de pares !an formando la sucesi(n /, 0, =, >,3%%% donde cada n5mero como el propio Fibonacci hi*o notar$ resultade sumar los dos que le anteceden% &l cabo de los /0 mesestendremos =


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art'culos dedicados a ella empe*aron a proliferar, son palabras de unmatemtico, como los conejitos de Fibonacci% Lucas efectu( unprofundo estudio de las llamadas sucesiones generali*adas deFibonacci, que comien*an por dos enteros positi!os cuales"uiera) apartir de ah', cada n5mero de la sucesi(n es suma de los dos

precedentes% Lucas dio el nombre de sucesi(n de Fibonacci a la mssencilla de estas sucesiones, a saber, /, /, 0, =, >, 3, /=, 0/%%% lainmediatamente ms sencilla, /, =, @,


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Figura 6+. Los cuarenta nmeros de Fibonacci - de Lucas

El inter"s por estas sucesiones ha sido a!i!ado por desarrollosrecientes en programaci(n de ordenadores, )a que al parecer tieneaplicaci(n en clasificaci(n de datos, recuperaci(n de informaciones,generaci(n de n5meros aleatorios, e incluso en m"todos rpidos declculo apro-imado de !alores m-imos o m'nimos de funciones

complicadas, en casos donde no se conoce la deri!ada .Los resultados ms clsicos acerca de estas sucesiones estnresumidos en el +ap'tulo /< del primer tomo de istor- of t/e /eor-of umbers , de Leonard Eugene CicDson% Los lectores interesadospueden consultar /e Fibonacci uartert- , que desde /#= !ienesiendo publicada por la Fibonacci ssociation % 7u redactor jefe eserner E% ?oggatt, r%, del 3an 4os 3tate ollege de 7an os", +alif%La re!ista se ocupa, sobre todo, de las sucesiones generali*adas deFibonacci ) de otras sucesiones anlogas corno los llamadosn5meros tribonacci, que son cada uno suma de los tres

precedentes$, aunque la re!ista est dedicada tambi"n al estudio deenteros con propiedades especiales%


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7eguramente la propiedad ms notable de la sucesi(n de Fibonacci!lida tambi"n para las series generali*adas$ sea que la ra*(n entrecada par de n5meros consecuti!os !a oscilando por encima ) debajode la ra*(n urea, ) que conforme se !a a!an*ando en la sucesi(n, ladiferencia con "sta !a haci"ndose cada !e* menor2 las ra*ones de

t"rminos consecuti!os tienen por limite, en el infinito, la ra*(n urea%La ra*(n urea es un famoso n5mero irracional, de !alor apro-imado/,#/31=%%% que resulta de hallar la semisuma de / ) la ra'* cuadradade >% ?a) abundante literatura no siempre seria$ dedicada a laaparici(n de la ra*(n urea ) de la sucesi(n de Fibonacci tanrelacionada con ella, en el crecimiento de los organismos ) a susaplicaciones a las artes plsticas, a la arquitectura e incluso a lapoes'a% George EcDel CucDHorth, profesor de clsicas en laIni!ersidad de Princeton, sostiene en su libro 3tructural Patterns andProportions in ergil8s eneid Ini!ersit) of Michigan Press, /#0$

que lo mismo irgilio que otros poetas latinos de su "poca sesir!ieron deliberadamente de la sucesi(n de Fibonacci en suscomposiciones% Por mi parte, me he referido )a a estas cuestiones enun art'culo anterior dedicado a la ra*(n urea, que puede !erseen /e 3econd 3cientific merican 9oo: of ;at/ematical Pu


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Figura 6>. ?irasol gigante "ue contiene 55 espirales en sentido

anti/orario - +> en sentido /orario

La 'ntima relaci(n e-istente entre la sucesi(n de Fibonacci ) la ra*(nurea queda de manifiesto en la siguiente f(rmula e-pl'cita para el n 8"simo t"rmino de FibonacciN

Esta e-presi(n da e-actamente el n 8"simo n5mero de Fibonacci aldesarrollarla, las !> se cancelan$, pero para n5meros F n de lugar mu)a!an*ado es fastidiosa de utili*ar, si bien pueden conseguirse buenasapro-imaciones mediante logaritmos% .tra f(rmula mucho mssencilla para el n 8"simo n5mero de Fibonacci consiste en di!idirentre la ra'* cuadrada de > la n 8"sima potencia de la ra*(n urea%Oedondeando el n5mero as' obtenido al entero ms cercano resultatambi"n el !alor entero e-acto del n5mero buscado% &mbas f(rmulas

son e-pl'citas, pues conocido n dan directamente el !alor de Fn Inprocedimiento recursi!o consiste en una serie de etapas, cada unade ellas dependiente de las anteriores% 7i para calcular el n@ "simon5mero de Fibonacci se !an sumando pares de t"rminos consecuti!oshasta alcan*arlo, se estar procediendo iterati!amente, o porrecurrencia% &l definir el t"rmino Fn como suma de los dos t"rminosque le anteceden estamos dando un ejemplo sencillo de f(rmularecurrente%La f(rmula que da e-actamente el t"rmino general de la sucesi(n deLucas es


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pero, como suced'a con los n5meros de Fibonacci, ha) unprocedimiento mucho ms sencillo para hallar el n@ "simo n5mero deLucas% Basta ele!ar la ra*(n urea a la n@ "sima potencia ) redondearal entero ms cercano%Cado un n5mero cualquiera de la sucesi(n de Fibonacci, para calcularel t"rmino siguiente no es preciso conocer su 'ndice% 7ea &, elt"rmino dado% El siguiente !iene dado por

donde los corchetes indican que es necesario tomar la parte entera dela e-presi(n, es decir, el entero ms cercano por defecto%Esta misma f(rmula da el n5mero de Lucas consecuti!o a cualquierade su serie, con tal de que sea ma)or que =%En toda sucesi(n de Fibonacci generali*ada la suma de los n primeros

t"rminos es siempre F n80 , menos el segundo t"rmino de la serie%Gracias a ello podemos reali*ar un truco de clculo s5per8rpido% 7ele pide a otra persona que escriba dos n5meros cualesquiera, ) que!a)a formando despu"s tantos t"rminos de la sucesi(n generali*adaque engendran como desee% P'dale despu"s que separe con un tra*odos cualesquiera de "stos% 6nstantneamente puede usted darle lasuma de todos los n5meros situados antes de la ra)a% Basta confijarse en el segundo n5mero situado al otro lado de la ra)a, )restarle el segundo t"rmino de la sucesi(n% Ce tratarse de la sucesi(nde Fibonacci ordinaria se restar'a /2 de ser la sucesi(n de Lucas,

restar'amos =%+itaremos ahora algunas conocidas propiedades de la sucesi(n deFibonacci ordinaria% Pocas de ellas son costosas de demostrar, )desde luego, todas son casos particulares de teoremas !lidos parasucesiones generali*adas% Para abre!iar, llamaremos n5meros F a losn5meros de Fibonacci%/% El cuadrado de cada n5mero F se diferencia en / del producto delos dos n5meros F situados a cada uno de sus lados% +onforme sea!an*a en la sucesi(n, esta diferencia !a siendo alternati!amentepositi!a ) negati!a% En los n5meros de Lucas, la diferencia, tambi"n

constante, !ale >%$ En el +ap'tulo 3 de mi libro;at/ematics, ;agicand ;-ster- puede !erse una famosa paradoja de disecci(n


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geom"trica donde este teorema tiene papel fundamental% En lassucesiones de Fibonacci generali*adas la diferencia constantees F 00 , F /0 Q F / F 0 $%0% La suma de los cuadrados de dos n5meros F consecuti!oscualesquiera, F n 0ms F n/0 , es F 0n/ % Puesto que el 5ltimo de estos

n5meros es for*osamente de 'ndice impar, resulta de este teoremaque al escribir en sucesi(n los cuadrados de los n5meros deFibonacci, las sumas de los pares de cuadrados consecuti!osformarn la sucesi(n de n5meros F con sub'ndice impar%=% +ualesquiera cuatro n5meros F consecuti!os &, B, +, C !erifican lasiguiente identidadN

+ 0 Q B 0 & - C%

@% La sucesi(n de las 5ltimas cifras de los n5meros de Fibonacci tieneper'odo #1% 7i se toman las dos 5ltimas cifras, la sucesi(n tieneper'odo =11% Para la sucesi(n formada a partir de las tres 5ltimascifras el periodo es )a /%>112 para cuatro, el per'odo tiene />%111cifras, para cinco, />1%111, ) as' sucesi!amente%>% Para cada entero m ha) una colecci(n infinita de n5meros deFibonacci e-actamente di!isibles por m , de los cuales al menos unose encuentra entre los 0 m primeros t"rminos de la sucesi(n% 4oocurre igual para la sucesi(n de Lucas% Por ejemplo, ninguno de losn5meros de la sucesi(n de Lucas es di!isible entre >%

#% El tercero de cada tres n5meros de la sucesi(n de Fibonacci esdi!isible por 02 al contarlos de cuatro en cuatro, el cuarto es di!isiblepor =% El quinto de cada cinco es di!isible por >2 el se-to de cadaseis, di!isible entre 3, ) as' sucesi!amente, siendo los di!isoresn5meros F en sucesi(n% Cos n5meros de Fibonacci consecuti!os ) lomismo ocurre con los n5meros de Lucas$ son primos entre s', esdecir, no tienen ms di!isor com5n que el /%


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los F 8n5meros% Aambi"n subsiste la misma cuesti(n para los n5merosde Lucas% El ms grande de los n5meros F primos ho) conocidoses F , que consta de // cifras% El ma)or de los n5meros L primosdescubiertos es L =>= , formado por


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Figura 70. An ra-o de lu< puede refle&arse segn F nB2 caminos al

sufrir n refleCiones entre dos lminas de !idrio

Para los ra)os que sufren una refle-i(n ha) dos rutas posibles2cuando sufren dos refle-iones, las tra)ectorias son de tres tipos, )cuando sufren tres, de cinco% &l ir creciendo el n5mero n derefle-iones, el n5mero de tra)ectorias posibles !a ajustndose a lasucesi(n de FibonacciN para n refle-iones, el n5mero de tra)ectoriases Fn0%La sucesi(n puede utili*arse de forma parecida para contar el n5merode distintas rutas que puede seguir una abeja que !a recorriendo lasceldillas he-agonales del panal !"ase la Figura


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padre de la madre no tu!o padre$, > tatarabuelos, ) as'sucesi!amente, en sucesi(n de Fibonacci%Ca!id Slamer ha mostrado que los n5meros de Fibonacci e-presan decuntas maneras podemos construir con domin(s rectngulos detama:o / - 0$ rectngulos de dimensi(n 0 - : % ?a) s(lo una manera

de formar el rectngulo 0 - /2 0 maneras de construir el cuadrado de0 - 02 = para el rectngulo de 0 - =2 > para el de 0 - @, ) as'sucesi!amente%Fij"monos ahora en el nim de Fibonacci, juego in!entado hacealgunos a:os por Oobert E% GasDell, ) consistente en ir retirandocuentas de una pila que inicialmente contiene n fichas% Los jugadoresact5an por turno% En la primera jugada no es l'cito retirar la pilacompleta, aunque s' en las sucesi!as, siempre que se respeten lassiguientes reglasN en cada turno es for*oso retirar al menos una ficha,) ning5n jugador puede tomar ms del doble del n5mero de fichas

que ha)a tomado su oponente en la jugada anterior% Por tanto, si unjugador se lle!a tres, el siguiente no podr retirar ms de seis% Ganala partida quien retire la 5ltima ficha%Oesulta que si n es n5mero de Fibonacci el segundo jugador puedeganar siempre2 en los dems casos, es el primero quien puedeconseguir, si juega bien, siempre la !ictoria% 7i una partida comien*acon 01 fichas que no es n5mero de Fibonacci$, 9cuntas debe retirarel primer jugador para estar seguro de ganar;El segundo problema se refiere a un truco de clculo relmpago mu)poco conocido% u"l!ase de espaldas, ) p'dale a un amigo que escriba

un par de enteros positi!os cualesquiera uno debajo del otro$, quelos sume ) obtenga un tercero, que debe describir debajo delsegundo2 que sume los dos 5ltimos n5meros ) obtenga un cuarto,prosiguiendo de esta forma hasta formar una columna de die*n5meros% Es decir, ha de escribir los die* primeros t"rminos de unasucesi(n generali*ada de Fibonacci, donde cada t"rmino es suma delos dos que le preceden, e-ceptuados los dos primeros, que sonarbitrarios% ?echo esto, usted se !uel!e, tra*a una ra)a por debajo delos die* sumandos, e inmediatamente escribe la suma%La cla!e consiste en multiplicar por // el s"ptimo de los n5meros a

sumar, operaci(n que fcilmente se reali*a de cabe*a% 7upongamosque el s"ptimo n5mero sea 03% &notamos )a la cifra 3, que ser la5ltima cifra de la suma% 7umamos 3 ) 0, ) obtenemos /1% Escribimosen la suma un 1 inmediatamente al lado del 0, ) lle!amos /% La sumadel siguiente par de cifras, ) 0, es //% &:adimos el / quearrastrbamos, ) tenemos /0% Escribirnos el 0 a la i*quierda del 1 enla suma, ) seguimos lle!ando /, que sumaremos al , ) en la sumaanotamos /1 a la i*quierda del 0% La suma, )a terminada, es /1%013%En resumen, se suman las cifras por pares de derecha a i*quierda,lle!ando / cuando sea necesario, ) terminando con la 5ltima cifra dela i*quierda%97abr el lector demostrar que la suma de los /1 primeros n5meros


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de una sucesi(n de Fibonacci generali*ado es siempre // !eces els"ptimo t"rmino;

ApndiceLos n5meros de Aribonacci /, /, 0, @, % Aalgenerali*aci(n hab'a sido publicada hacia //= por MarD Barr% "asemi 3econd 3cientific merican 9oo: of ;at/ematical Pu - 0 @ )0

tan s(lo tiene soluciones enteras cuandoC es un n5mero de Fibonacci


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e - sea el correspondiente n5mero de Lucas%Las sucesiones de Fibonacci ) Lucas tienen en com5n los n5meros / )=% 9?abr otros n5meros ma)ores, comunes a las dos sucesiones; Larespuesta resulta negati!a% "ase la nota de Martin C% ?irsch sobre&dditi!e 7equences, en;at/ematies ;aga1, no!iembre

de / 0 es la descomposici(n buscada% Aodo enteropositi!o puede ser e-presado de forma 5nica como suma de n5meros

de Fibonacci2 tal descomposici(n no podr nunca contener n5merosde Fibonacci consecuti!os% Los n5meros F quedan e-presados por unsolo n5meroN ellos mismos%El 5ltimo n5mero, 0, es el n5mero de pie*as que debe retirar elprimer jugador para ganar% El segundo jugador queda imposibilitado,por las reglas del juego, para tomar ms del doble de 02 porconsiguiente, no puede reducir la pila que tiene ahora /3 cuentas$ aln5mero de Fibonacci ms cercano, que es /=% 7upongamos quedecida retirar cuatro pie*as2 la pila contendr entonces /@ pie*as,n5mero que se e-presa como /= / en suma de dos n5meros deFibonacci, ) el primer jugador deber entonces tomar / pie*a%Prosiguiendo con esta estrategia, es seguro que lograr tomar la


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5ltima ficha, ) con ella, ganar la partida%7i el n5mero de inicial de pie*as fuera n5mero de Fibonacci, porejemplo, /@@, es seguro que el segundo jugador podr ganar% Es!erdad que el primer jugador puede retirar >> pie*as, dejando 3,que es el siguiente n5mero de Fibonacci, pero entonces el segundo

jugador puede ganar inmediatamente, retirando l'citamente las 3pie*as restantes, pues 3 es menor que el doble de >>% El primerjugador se !e entonces precisado a dejar un n5mero de pie*as noperteneciente a la sucesi(n de Fibonacci, ) el segundo jugadorconsigue ganar aplicando la estrategia que acabo de e-plicar% "aseConald E% Snuth,Fundamental lgorit/ms , &ddison8Resle), /#3,pgina @=, Ejercicio n% =

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