num3 universite cocody 040418 104828 1

1 MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE REPUBL~VOIRE

ANNEE ACADEMIQUE

2008-2009

UJ I Dl: MAT!i[MATIQUI 1.A

îidi THÈSE

Pour obtenir le grade de .•..

DOCTEUR ES-SCIEllCES Présentée à l'UFR de Mathématiques et Informatique

de l'Université de Cocody Abidjan Par:

OWO KOUASSI JEAN MARC Spécialité : Mathématiques Appliquées

Option : Probabilités et Statistique Sujet:

1 EQUATIONS DIFFERENTIELLES DOUBLEMENT STOCHASTIQUES RETROGRADES ET APPLICATIONS

Soutenu publiquement le 14 janvier 2010

JURY:

PRESIDENT : Prof. ADOU Kablan Jérôme, Professeur Titulaire, Université de Cocody

DIRECTEUR : Prof. N'ZI Yao Koffi Modeste, Professeur Titulaire, l'Université de Cocody

EXAMINATEUR : Prof. HILi Ouagnina, Maître de Conférences, INPHB, Yamoussoukro

RAPPORTEUR : Prof. MONSAN Vincent, Maître de Conférences, Université de Cocody

EXAMINATEUR: Prof. AKMEL De Godefroy, Maître de Conférences, Université de Cocody

UNIVERSITÉ DE COCODY-ABIDJAN UFR de Mathématiques et Informatique

THÈSE pour obtenir le grade de

DOCTEUR ÈS-SCIENCES DE L'UNIVERSITÉ DE COCODY présentée par

Jean Marc OWO sur le sujet :

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DOUBLEMENT STOCHASTIQUES RÉTROGRADES

ET

APPLICATIONS

soutenue publiquement le 14 janvier 2010

devant le jury composé de :

Prof. ADOU Kablan Jérôme Professeur Titulaire, Université de Cocody Prof. ~'ZI l'vlo<leste Professeur Titulaire, Université de Cocody

Président Directeur

Prof. HILI Ouagnina Prof. 1V10NSAN Vincent Prof. AKl'vIEL De Godefroy

Maître de Conférences, INPHI3, Yamoussoukro Examinateur Maître de Conférences, Université de Cocody Rapporteur ,4faîtn) de Conférences, Université de Cocody Examinateur

J

Dédicace

Je dédie cette thèse,

à mon père bien aimé OWO Yavo Bernard qui est pour moi un véritable modèle et une source inépuisable d 'bwryù'.s et de conseils,

à ma mère chérie Feue KOUADIO Anoumou Helène qui s'en est allée sans gouter tuu: [ruiis

qu'elle a semé toute son existence. Oui à toi rna mère qui es partie alors que je préparais le DEA

qui n'est qu'une initiation à la recherche. Que ton âme

. , repose en paix. à ma très chère et tendre

épouse EMOU Marie-Laure Ayah dont la présence me comble de joie et. de bonheur

enfin, à. mon fils bien ainu' OWO Yavo Chrys Yvann Emerick dont la naissance m'a apporté la paix du coeur, la joie, le bonheur, la stabilité et un très grand sens de responsabilité et de partage à

tout jamais ...

Chrys, que DIEU veille sur toi et bénisse toutes tes oeuvres!

ii

Remerciements

.Je tiens à exprimer ma profonde gratitude et ma t.n\, grn11dc• reconnaissance à mon directeur de thèse, le professeur Modeste N'ZL Professeur Titulaire à l'Univer sité de Cocody-Abidjan, pour l'intérêt incessant qu'il a porté au suivi de ce travail, e11 dépit de ses occupations. Sa11s sa rigueur et ses exigcuccs dans la recherche, cette thèse n'aurait pas vu le jour. A ses côtés, j'ai appris à faire de la recherche e11 Mathématiques. Mes premiers pas dans la recherche (''est. lui qui me les a gui dés, Il a toujours su m'eucourager : ses conseils et ses critiques m'ont été toujours constructifs. Aujourd'hui, j'ai compris que la recherche est nue tâche minutieuse et

exaltante. Je le remercie vivement pour m'avoir transmis sa passion de la recherche et la motivation nécessaire pour mener à bien ce travail. Qu'il trouve clans ces mots l'assurauce de l'expression indéniable de mon estime et mon profond respect. Oui, Professeur, soyez en béni!

Jp t.ieus aussi ;', ullirnu-r viveuu-nt , 11ia ni1·mmaissa1w1· ù tous les momhres de

l'équipe de Probabilités et Statistiques. Leurs quest.ious et. remarques pertinentes lors des séminaires m'ont permis d'améliorer la qualitè de la rédaction de cette thèse, aussi bien dans la forme que dans le fond. Eu particulier, je voudrais saluer le Docteur Elouallin ABOUO, Maît.re-Assist.aut ~L l'Uuivorsit.é dc> Cocody-Ahidjan

avec qui j'ai beaucoup échangé pendant la rédaction du chapitre 6 du manuscrit.

Aucun document scientifique ne peut avoir de la valeur s'il n'a été soumis à aucun jugement véritable. C'est pourquoi, je tiens sincèrement. ù remercier les rapporteurs de cette thèse, not.arumeut le Professeur M'hamed EDDAHI31, Professeur Titulaire à l'Université Cadi Ayyad Marrakech-Maroc et le Professeur Vincent. :rvIONSAN, Maitre de Conférences à I'Un.versité de Cocody-Abidjan qui 11'011t ménagé aucun

iii

1

effort pour la juger. Je leur témoigne, respectivement. 111a profonde gratitude pour l'amabilité qu'ils ont eu d'avoir accepté cette lourde cl1arge "péuible et ingrate". Professeurs ! Vos efforts ne sont pas vains. Sachez que les critiques, les remarques et suggestions consignées dans vos rapports respectifs ru '011t. été coustructifs : ils m'ont permis d'améliorer le contenu de ma. thèse. C'est pour moi un honneur de vous voir siéger dans mon jury de thèse. l3ravo à vous Professeurs !

Aussi, voudrais-je particulièrement, remercier le Docteur Auguste AMAN, Maitre-Assistant à l'Université de Cocody-Abidjan, co-rapportcur de cette thèse. Ses conseils et ses critiques de dernières heures m 'out pertuis d'avoir une bonne clarté quant à la présentations des résultats et surtout d'améliorer encore plus le contenu du chapitre 6 du présent document. .. Je tiens ."1 lui exprimer ma profonde estime et ma très grande reconnaissance pour sa justesse d'esprit.

Je témoigne ma gratitude au Professeur ADOU Kablan Jérôme, Professeur Titu laire à l'Université de Cocody-Abidjan, pour le grand Honneur qu'il me fait encore en acceptant de présider le jury de ma thèse, après celui de mon mémoire de DEA, quatre ans plutôt. Qu'il soit aussi très sincèrement remercié pour les encouragements et tous les conseils pertinents et attentifs qu'il m'a prodigués.

.I'adresse mes vifs remerciements au Professeur HILi Ouagnina, Maître de Confé rences à 1'1:-.JPHB de Yamoussoukro pour ses encouragements et pour m'avoir fait l'honneur d'être membre de jury de cette thèse; qu'il l rouve ici l'expression de ma

gratitude.

Mes remerciements vont aussi à l'endroit du Professeur AK\IEL De Godefroy, Maître de Conférences à l'Université de Cocody pour avoir hic-n voulu accepter de faire parti de ce jury. Pour tout l'intérêt qu'il a accordé ;°1 ce t.ravail, qu'il soit. assuré

de ma profonde gratitude.

.Je tiens également, à remercier le Professeur Mikael PASSAHE. Professeur Titu laire à l'université de Stockholm pour le projet MAR:\L qui m'a permis d'effectuer une visite de recherche an laboratoire de Mathéruatiqucs Appliquées de l'université de Stockholm, Suède. Qu'il trouve ici l'expression de 1w1 profonde gratitude et ma

iv

reconnaissance. Cette visite, bien que de court séjour, m'a été très enrichissante;

elle m'a permis de coopérer avec «les chercheurs étrangers, lors des symposiums à

Stockholm et à Uppsala, et je ne pourrais oublier bien sûr : Prof. Tom Britten, Prof. Paul Vaderlind tous deux de l'Université de Stockholm, Prof. Boualern Djehiche de l'Université Tekniska Hôgskolan (KTH) et Prof. Philip Prottcr de l'Université de

Cornell.

Cette thèse. il faut le rappeler, est le couronnement de 14GO jours! soit quatre bonnes années de dure labeur qui s'est. tenue esseut.ir-lloment au Laboratoire de Mathématiques Appliquées et Informatique (L).t!AI) de l'Université de Cocody.

Si ce mémoire a pu voir le jour, c'est grâce au seigneur .JESUS CHRIST pour cette incontournable force et cette incontestable volonté qu'il ru 'n donné de pouvoir arriver à terme de ce travail et surtout pour sa grâce d sa protection infaillible durant toutes ces années.

Aussi, cette thèse a eu son issue grâce au soutien de 110111bre11ses personnes que je tiens à remercier vivement. S'il se trouve que j'oublie de citer certaines d'entre elles, je souhaite qu'elles ne m'en tiennent pas rigueur. les remerciements qui s'en suivent leurs sont également adressés.

Tous mes remerciements à ceux dont les contacts et les discussions m'ont éclairé, ceux qui n'ont pas hésité à m'apporter une aide précieuse dam; mes travaux. Mes re merciements s'adressent ù : Dr. Mardy Naou! de Faculté poly-disciplinaire de Khou ribga, Université Hassan Icr ; Prof. Buckdahn Rainer, du Département de Mathé matiques, université de Bretagne Occidentale, Prof .. Jin Ma du Département de Mathèmatiques, Université de Purdue, West Lafayette, tous pour les réponses qu'ils ont apportées à mes préoccupations chaque fois que je les ai sollicités et Dr. OKOU Hypolite, Assistant ù l'université de Cocody pour avoir PU la tâche de lire et de cor riger le tout premier jet. du manuscrit. Chers chercheurs, merci pour cette franche collaborat iou.

Mes remerciements vont. également à tous mes Amis de l'UFH de Mathématiques et Informatique, pour leur soutien moral, leur aide et collaboration qu'ils m'ont

V

toujours témoignés, entre autres" : Dr. DOSSO Mouh.uuadou. Dr. YODE Armel,

Dr. YANGA Kouassi, Dr. TOURE Ibrahim, Dr. Diarasouba SIHIKY, Dr KPATA

Bérenger, Dr. i:vlEf\DY Ibrahima, ... Merci à vous aussi mes compagnons de thèse: M.

DAKAOU Ibrahima, ~L ESSOH Modeste, M. DAKOUHI Narcisse, M. SITIONON

Gossouhon, l\'1. COULYBALY Bakary dit "Beker''.

.Je ne pourrai remercier assez mes soeurs : O\VO Ayadjô Augele, OWO Sopie

Victorine Epse BOKA, OWO Assahiyo Marie-Laure et OWO Yiba Bernadette, mes

frères : OWO Yao Armand, OWO Arnaud et OWO Kouadio Fabrice et mon oncle,

KOUADIO Damas, qui chacun à leur manière ont contribué ci la réalisation de ce

travail. Pour leur aide et leur soutien à tous les iustauts, qu'ils trouvent ici l'ex

pression de mes sincères remerciements et mon affection pour leur soutien au fil des

années. Et je ne saurais oublier toute ma famille et belle famille, qu'elles trouvent

clans ces mots l'assurance de ma. loyale amitié et l'expression de mon affectueuse

reconnaissance pour le soutien et les encouragements.

Pour couronner ces remerciements, je rends uu hommage à mon Père pour la

confiance qu'il a su garder en ma capacité à rendre à terme tom; mes projets, pour

son irremplaçable et inconditionnel soutien. 11 Ton amour paternel. ton soutien, tes

encouragements et surtout ta compréhension et ta. pat icuce iu'out été d'une aide

précieuse. Aucune dédicace ne saurait. exprimer à sa juste valeur l'estime que j'ai

pour toi. Avec tout mou a1110ur, :VIERCI et que Dieu puisse te prêter longue vie 11•

.J'ai une pensée pieuse pour ma très chère Mère. S011 amour maternel particulier,

sa très grande affection à mon égard et ses nombreux efforts, consentis à mes études,

sont inoubliables et le resteront à jamais. Mère! de lau-dclâ. sache que tes efforts

ue sont pas vains. Repose eu paix, ton oeuvre contiuuc ....

Il reste enfin mon petit. Emérick, qui a supporté pendant cette période de mémoire

les éloiguements pf. les moiuents souvent difficiles, ,Î!' dirai ù !'d1ti qui a toujours souri

devant mes manques chroniques de disponibilité lors de ces années de thèse, que j'ai

fini c:!~ travail et ,Ît' serai pins souvent à t.011 ècouto.

Le plus fort de mes remerciements est pour mon épouse Marie-Laure EMOU,

vi

à qui je tiens un hommage particulier pour le soutien inlassable aux momeuts op portuns, outre le mérite de m'avoir supporté, IMMENSE MERCI pour avoir été patiente. d'être toujours à mes côtés et surtout pour ton amour sans faille que tu su

toujours m'apporter.

vii

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions une classe d'Equat.ions Différentielles Stochas tiques Rétrogrades (EDSR's) appelée Equations Différentielles Doublement Stochas tiques et Rétrogrades (EDDSR's). Ces équations comportent deux types d'intégrales stochastiques, l'une progressive et l'autre rétrograde, d'où le 110111 doublement sto chastique. Plus précisement, l'objectif visé dans ce travail est. la recherche d'existence et si possible d'unicité de solutions de ces équations, sous des conditions minimales c'est à dire des conditions plus faibles que celles de Lipschitz. Comme applications, nous utilisons ces résultats pour la resolution des Equations aux Dérivées Partielles Stochastiques (EDPS's) à coefficients non lipschitziens.

Pour ce faire, nous rappelons d'abord, au Chapitre 1, les définitions des intégrales stochastiques progressives et rétrogrades intervenant. clans les EDDSR's. Dans le Chapitre 2, quelques résultats bien connus sur les EDDSH.'s sont énoncés.

La partie fondarnmentale de la thèse fait l'objet des chapitres 3, 4, 5 et 6. Le Chapitre 3, concerne en particulier, l'existence de solutions des EDDSR.'s à coeffi cicnts discontinus. Au Chapitre 4. nous étudions l'existence et l'unicité de solutions des EDDSR's à coefficients lipschitziens de type stochastique. Dans le Chapitre 5. nous examinons l'existence et l'unicité de solutions des EDDSR's à coefficients non-lipschitziens. Enfin, au Chapitre 6, nous appliquons le résultat obtenu sur les EDDSR's à coefficients non-lipschitziens pour étudier les solutions de viscosité sto

chastiques des EDPS's.

viii

Table des matières

Dédicace ii

Remerciements iii

Résumé viii

Introduction 1

1 Généralités sur le calcul stochastique 1.1 Notations . 1.2 Notions de processus simples .

1.2.1 Processus simples de type progressif. 1.2.2 Processus simples de type rétrograde

1.3 Intégrale stochastique de Itô . . . . . . . 1.3.1 Intégrale stochastique progressive 1.3.2 Intégrale stochastique rétrograde

1.4 Formule de Itô généralisée .

6 6 7 7 8 8 8

10 12

2 Rappels de quelques résultats sur les EDDSR's 2.1 Notations et définition d'une solution 2.2 EDDSR's à coefficients lipschitziens .

2. 2.1 Existence et unicité de la. solution 2.2.2 Théorème de comparaison 2.2.3 Lien avec les EDPS's ..

2.3 EDDSR's à coefficients continus

13 13 14 14 17 18 21

ix

TABLE DES MATIÈRES

3 EDDSR's à coefficients discontinus 3.1 Introduction . . . . . . 3.2 Résultats préliminaires 3.3 Résultat principal . . .

22 22 24

30

4 EDDSR's à coefficients lipschitziens de type stochastique

4.1 Introduction 4.2 Notations . 4.3 Hypothèses 4.4 Existence et unicité de solution 4.5 Théorème de comparaison . . .

40 40

41

42 43 53

5 EDDSR's à coefficients non-lipschitziens 5.1 Introduction 5.2 Hypothèses 5.3 Existence et unicité de solutions 5.4 Théorème de comparaison ...

56 56 57

59 72

6 Applications : EDPS's à coefficients non-lipschitziens, solutions de

viscosité stochastiques 75 6.1 Introduction . 75 6.2 Préliminaires 78

6.2.1 Notations 6.2.2 Notion de solutions de viscosité 6.2.3 Transformation de Doss-Sussrnauu

6.3 Existence de solution de viscosité stochastique

78 79 83 87

Conclusion et perspectives 91

Bibliographie 95

X

Introduction

Les Equations Diffèrentielles Stochastiques Rétrogrades (en abrégé EDSR's) sont apparues en 1973 sous la forme linéaire avec les travaux de .J.l\L 13ismut [5J comme équations associées aux processus adjoints eu contrôle stochastique :

j·T 1T Y, = ç + 1

as Y,ds - t Z.,dH' .• , I E [o, T].

La théorie générale des EDSR's a debuté en 1990 avec Pardoux et Peng qui ont été les premiers à considérer dans [29] des EDSR's non linéaires, c'est à dire les

équations de la forme :

Y,= ç + 1T f(s, Y •. z .. )ds - lT ZsdW.,. l E [O. TJ.

où le coefficient. de dérive ( en anglais drift) f est une Iouct.iou 11011 linéaire et lip schitzienne en (y, z) uniformément eus. Depuis lors, les EDSH's n'ont cessé d'attirer les chercheurs et. d'avoir d'innombrables applications e11 théorie des Equations aux Dérivées Partielles (en abrégé EDP's) (voir Peng [34], Pardoux et Peng [301), en mat hématiques financières ( voir El Karoui et al. [ 111), c11 con trole stochastique et eu théorie des jeux ( voir Harnadène et Lepeltier 1131, [ 141).

Cependant, il faut noter que souvent les résultats d'existence et d'unicité de la solution ont été obtenus sous la condition de Lipscliit z uniforme sur le drift J. Malheureusement, dans de nombreuses applications, la condition de Lipschitz n'est pas vérifiée. Par exemple, en finance, dans le problème de valorisation de l'option

d'achat formalisé par l'EDSR linéaire

}î = ç + /T[r.,)~. + Z,0s]ds -lT Z.srlW.,. f E [O. Tj, • , 1

1

11\"TRODUCTIO:"J

le taux d'intérêt r du placement et la prime du risque O 1w sont pas en général bor nés. Ce qui ne permet pas d'avoir la condition de Lipschitz uniforme. Pour prendre en compte de telles préoccupations et y rémedier, de nombreux chercheurs essayent sans cesse de raffiner les hypothèses sur le drift. Entrr: autre, on se réfère à Par doux et Peng [281 pour les EDSR's à coefficients non lipschitziens, El Karoui et Huang [10], Elouaflin et N'zi [9] pour les EDSR's à coefficients lipschitziens de type stochastique, c'est à dire les constantes de Lipschitz sont remplacées par des pro cessus adaptés à la filtration naturelle du mouvement brownien H! augmentée des ensembles JP-négligcables. Bahlali, et al. ([1], [21) out considéré la «oudition de mono tonie stochastique. On peut citer Harnadène [12], Lcpclt ior et San Martin [20], N'zi et Ouknine [241, etc., pour les EDSR's à drifts continus et .J in J 161 pour les EDSRs

à coefficients discontinus. Pardoux et Pe11g ont étendu la portée de leur étude. iut.roduisaut en 1994 dans

1311, ce qu'on appelle aujourd'hui les Equations Différentielles Doublement Stochas

tiques Rétrogrades (EDDSR's en abrégé). En fait, qu'est ce que les EDDSR's? Pourquoi s'y intéresse t-ou ?

Les EDDSR's sont des équations différentielles stochastiques où interviennent deux intégrales stochastiques, l'une progressive et l 'autre rétrograde. Plus précisé

ment, ce sont des équations de la forme : T T ·T

Y; = ç + f f(s, l':si Z")ds + l g(s, Y.,, Z.,)m - ! Z.,dW,. f, E [O, T], {1) • 1 • 1 . 1

où: - { W1, 0 ~ l ~ T} et { B1• 0 ~ l ~ T} sont deux mouvements browniens standards mutuellement indépendants définis sur un espace de prohabilito complet (n, :F, JP). - ~ est une variable aléatoire cr{v\l" 0 ~ r ~ T} V N -rncsurable, dite valeur finale ou terminale, où .V désigne l'ensemble des parties !P'-négligeahles de :F. - f et g sont des processus mesurables appelés coefficients (le l'EDDSR et vérifiant des conditions d'intégrabilitè que nous préciserons plus tard. - Les intégrales stochastiques par rapport à W et n sont. respectivement des inté

grales stochastiques de Itô progressive et rétrograde. - Le temps final T > 0 peut être déterministe ou aléatoire (temps d'arrêt). - Y et Z sont. les inconnues .

2

INTRODUCTIOf\

Ou notera souvent EDDSR's(J, g, ç) les équations de la fonuc (1) c'est à dire les

EDDSR's à coefficients f et g et de valeur terminale ç. Résoudre une EDDSR, c'est trouver un couple de processus Ï)", 7,) vérifiant. (1) tels que pour tout I E [O, T], ()~, Zt) est .rl' V .rlr-mcsurable avec F,". = o-{Wr;O ~ r ~ t} V Net F1~r = o-{Br - n; t ~ ,· ~ T} V /V.

Dès lors qu'on introduit un nouveau type d'équation. il est indispensable de s'in terroger sur les conditions d'existence et/ou d'unicité de la solution. Les premières études sur les EDDSR's se sont préoccupées de cette question et le sujet reste encore ouvert. Eu effet, sous des hypothèses de Lipschitz cont.iuuitè sur J et !J, Pardoux et Peng 1311 ont montré l'existence et l'unicité d'un couple (Y, Z) vérifiant (1) et satisfaisant

JE ( sup 1Yil2 + 1T IZ.ids) < +x. 09,S,T o

Depuis, de nombreuses autres études sur les EDDSR's out été ménées avec pour objectif la recherche de conditions plus faibles sur f et. q qui garantissent. encore l'existence et si possible l'unicité de solutions de ces équations. Nous pouvons citer entre autre, les travaux de Zhou et. al. 1381, Han B. et al. [15] pour les EDDSR's à coefficients non lipschitziens et ceux de Shi et al. [37] pour les EDDSR's à coefficients à croissances linéaires et continus.

L'intérêt des EDDSR's se trouve entre autre dans le fait qu'elles servent à don ner une formule probabiliste de la solution d'une EDPS (Equation aux Dérivées

Partielles Stochastiques) :

u(t., :r:) = /(.r) + f\cu(s, x) + J(s, :r, u(s, .r). (Vua)(.-; .. r))]ds (2) • 1

T + 1 y(s, x, u(s, ;r), (Vuc,-)(s, :r))dR, t E [ü, T]

où 1.t est à valeurs dans JR.k. (.Cu)i(l, x) = (Lt,.;)(t, :r), 1 ~ i ~ k et

3

INTRODUCTION

En effet, en considérant l'EDDSR associée:

Y}·x = l( x~:r) + .lT f (r, x:.,x, Y;·X, Z;·x)dr {3)

1T f---- 1T + ., g( r. X;·x, Y;·1·, Z;·x)dBr - ., z:::1·dHln s E [t, T],

où le processus { X.!·;J'; t ~ s ~ T, :r E Rn est la solution de l'EDS :

X.!·x = :c + /'" /J(r, x;•"')dr + ;·S a(r, x:.·x)dW,.. .'i E [t. T]. , 1 , 1

Pardoux et Peng [31] sont parvenus à montrer avec des conditions de Lipschitz et des conditions de régularité fortes sur les coefficients f, lJ et a que l'EDPS (2) admet

une unique solution classique u donnée par

V (t, :r) E [O, T] x Rq, u(t,.-r) = y:t,x t ,

où { CY::·"'. Z!·x); t ~ s ~ T} est l'unique solution de l'EDDS!l (:3). Cette formule est une généralisation de la célèbre formule de Feymann Kac. Abordant dans le même sens que Pardoux et Peng, d'autres auteurs, notamment Buckdahn et Ma ([7], [81), Bally et Matoussi 13], se sont iutéressès au lien des EDD SR's à coefficients faibles d'une part, avec les solutions de viscosité stochastiques des EDPS's (voir Buckdahn et Ma [7], [81) et d'autre part, avec les solutions dites faibles des EDPS's (voir I3ally et Matoussi [31).

Nos travaux de thèse s'inscrivent dans l'optique d(' la. recherche de conditions plus faibles que la condition de Lipschitz de l'existence et/ou unicité de solutions. Plus précisément, nous traitons les cas :

EDDSR's à coefficients discontinus (Chapitre 3) Ce résultat porte sur l'existence de solutions des EDDSR's(f, g, ç) où J est une

fonction mesurable discontinue en y et continue en ::, et y Pst nue fouction mesurable

vérifiant une condition de Lipschitz uniforme :

4

INTRODUCTION

où C > 0 et O < n < 1 sont deux constantes. Il est publié dans Statistic and Probability Letters (200!J), N'zi, M., Owo, .J.-M.,

[25].

EDDSR's à coefficients lipschitziens de type stochastique (Chapitre 4) Dans cette partie, nous établissons un résultat. d'existence et d'unicité de solu

tions des EDDSR's(J. g, ç) où f et g sont des fondions mesurables vérifiant une condition de Lipschitz de type stochastique :

{ 1 f(t,y1,::1)-J(l,y2,z2) I:::; 1't I Y1 -yz 1 -HJ1 Il .:1 - :: Il Il g(l,y1,::i)-g(t.yz.::2) 112:::; v, J Y1-y212 +n Il .:1 - ::2112

Les coefficients de Lipschitz r, 0 et v sont des processus stochastiques et O < u < 1 est une constante.

EDDSR's à coefficients non lipschitziens (Chapitre G) lei, nous étudions l'existence et l'unicité de solutions des EDDSR's(I, !J, 0 où les

coefficients J et g sont 11011 lipschitziens en y et. lipschitziens e11 :.: :

{ 1 .f(t, Y1, .:1) - .f(l, Y2- z2) 12:::; p(t, 1 YI - in 12) + C Ji ::1 - Z2 112

Il g(t. Y1' ::i) - g(t, Y2, .:2) 112:::; p(t, 1 Y1 - Y2 12) + (1 11 ::1 - ::2 112

avec C > 0 et O < o < 1 deux constantes et p: [O. T] x IR t- - JR+ une fonction non

aléatoire. Notre résultat est publié dans Raudorn Operators / Stochnstic Eqs (2008), N'zi, M.,

Owo, .J.-?vl.. [26].

Applications : EDPS's, solutions de viscosité stochastiques (Chapitre 6) Dans cette partie, nous faisons le lien entre les solutions des EDDSR's à coefficients non lipschitziens et les solutions de viscosité stochastiques des EDPS's.

5

Chapitre 1

Généralités sur le calcul stochastique

Le but de ce chapitre est de présenter brièvement les résultats de calcul stochas tique dont nous aurons besoin dans la suite. Il ne s'agit nullement de développer la. théorie générale pour laquelle les ouvrages (II 71, 135]. 1191) et l'article 123] sont des références.

Mais, nous y rappelons essentiellement la définition d quelques propriétés des

intégrales stochastiques progressives et rétrogrades de 11 ô.

Pour ce faire. uous rappelons dans la. section 1.2, quelques notions et propriétés des processus simples qui constituent. une base clans la coustruct ion de ces intégrales qui fait l'objet de la section 1.3.

Enfin, nous rappelons dans la section 1.4, l'extension de la formule de Itô aux processus do Itô rétrogrades qui joue un rôle très important dans la résolution des équations différentielles doublement stochastiques et rét.rogradcs.

1.1 Notations

On désignera par l,rl la norme euclidienne d'un vecteur .r E JR,.._ Pour une matrice ::: de type cl x k. on définit la norme de ::: par 11::: 11 = Jtr( z z*), où z* est la transposée de z. Le produit scalaire de JRk sera noté (., .). Soit (D, :F. IP) un espace probabilisé complet et T > 0 uu nombre réel fixé. Soient { W1: 0 ~ f ~ T} et { B1: 0 ~ l ~ T} deux mouvements browniens standards définis sur (n. F, IP), mutuellement iudépendants et à valeurs respectivement dans JR" et JR1.

6

CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCL'L STOCHASTIQUE

Soit N l'ensemble des parties ][l>-négligeables de :F. Pour tout / E [O, T], on définit

6 W B :F1 = F1 V F1r,

où pour tout processus { U1 : t ~ O}; FY1 = a{ Ur - u; s '.S ,. :S f.} V Net. Ff = F((1• ' . ' On remarque que la famille F ~ { :F1, l E [ü, T]} n'est ni croissante ni décroissante; elle ne constitue donc pas une filtration. C'est là toute la complexité de la théorie

des EDDSR's.

1.2 Notions de processus simples

Soit {F1, l ~ O} une famille monotone de sous tribus de :F telle que F1. Ç F1•

1.2.1 Processus simples de type progressif

Définition 1.1. On suppose que la famille {F1, l ~ O} est croissante [i.e. une filtra tion}. Un processus X est dit Fi-simple progressifs 'il erisie une suite strictement croissante de nombres réels positifs {ln}nEN avec to = 0 r:t lim,._cx /.,, = oo, une suite de u.a. {ç,.}nEN et une constante C < oo telles que sup lç,,(w)I :S C, où Çn est

112'.0,wErl

:F1,, - mesurable pour tout 11 E N et cc

X, = çol{o}(t) + I::ç;lJ1,.1 .. i](t), 0 :S 1 < oc. i=O

(1.1)

Proposition 1.1. Soit X un processus Fi-simple 7,royn,.'is·if. alors X est mesurable et {F1}-adnpté i.e. pour tout t ~ 0 X1 est Fi-rnesum/Jlc.

Lemme 1. 1. Soit X un processus mesurable, :ft- acfo.pté et d1: carré intégrable par rapport ]p> g .,\, où, .,\ désigne la mesure de Lebesgue. Alors, il existe une suite ( X" )n~o dt: processus F1 - simple progressif telle que

i·T lim JE Il X.:1 - X.,ll2d.'> = O. 11-•0C • 0

Preuve. Voir Karatzas et Shreve [17J D

7

CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LE CALCUL STOCHASTIQUE

1.2.2 Processus simples de type rétrograde

Définition 1.2. On suppose que la famille {Fi, l 2'. O} est décroissauie. Un processus X est dit f:t-simple réiroqnule s 'il existe une suite strictement croissante de nombres

réels positifs {ln}nEH a1Jf!C lo = 0 et lim11_oc /.11 = oc. utu: suite de v.a. {(n}nEN et mu: constante C < oo telles que sup llç11(w)II ~ C, où L, e:;f Fi .. =mesurable pour

n2:0,wE!l

tout n E N satis/ aisant : 00

X, = çol{o}(t) + :~:::)i+1l]t,,t;-iJ(l). 0 ~ /. < oo. i=O

(1.2)

Proposition 1.2. Soit X un processus f:1-sirnple rétroqttule, alors X est mesurable et {f:t}-adapté i.e. pour tout l 2'. 0 X1 est ii-rnesurnblc.

Par une legère modification du lemme 1.1, on obtient le résultat suivant

Lemme 1.2. On suppose que {f:1, l 2'. O} est une famille décroissante. Soit X un processus mesurable, f:1-adapté et de carré intfigrable pu: rapport 1P ® >.. Alors, il existe une suite ( X" )112:o de processus simples réiroqnulcs telle que

1.3 Intégrale stochastique de Itô

1.3.1 Intégrale stochastique progressive

Soit. {:F/, t 2'. O} une famille croissante de sous tribus de :F telle que :F,"' Ç :F,1, et a{H,'1+ .• - W1; s 2'. O} indépendante de :F/ pour tout O ~ / ~ T. ( Ou peut. prendre :F,1 = :F,w V :Fcf. T).

Définition 1.3. Soit X un processus :F/-s'irnplc J)'f'O.<Jl'Cssif:

00

X1 = çol{o}(t.) + Lçil]t.,t;,i](l), 0 ~ f < x. i=O

où { li} et (ç;) vérifient les conditions de la définition 1.1. Pour un tel processus, on #finit l'uiiéqrale stochastique progressive de Itô par roppor! ù IV comme étant le

8


processus continu Ut(X). 0 ~ t ~ T} défini par: 00

ft(X) ~ I)i(W(t;+i/\t) - w(l,110) i=O

ou encore si t E]lm. lm+1J,

m-1

!,(X)~ ~çi(Wt,+i - Wt,) + çm(W, - H"1,J- i.=O

On note 11

X .• dH's pour l1(X). 0

Ou obtient alors les propriétés suivantes :

Propriétés 1.1.

Soit X et Y deux processus F/-simples progressifs. Alors

(Pl) I0(X) = 0, p.s.

(P2) (/,(X))t~o est une F,1-rnartingale: JE(It(X) 1 F.J) = ls(X), p.s. s ~ t

(P3) JE (1I,(X)l2) = JE (1' IX.,l2ds) (Formule d'isométrie)

(P4) JE (II,(X) - fs(X)l2 1 F_J) = JE (it 1Xrl2ds I F;), p.s.

(P5) I(nX + /1Y) = o:l(X) + {1/(Y), V a, {3 E JR.

A l'aide du lemme 1. 1, on généralise la définition de l 'intégrale stochastique aux processus mesurables et :F,1-adaptés de la manière suivante :

Définition 1.4. Soit X un processus mesurable, Fl - adopté et de carré intégrable par rapport ]p> ® >.. L'intégrale stocluisiique de X par tuppor; ri. 1 V sur l'intervalle [O. T] est l'unique Fl-rnarüngale de carré iniéqrabl« !(X) = {I1(X), 0 ~ t ~ T}

vérifiant lim JE (l l1(Xn) - lt(X)l2) = 0, 0 ~ t ~ T. n~oo

pour toute suite ( X11 )n;:".0 de processus simples proqressij« telle 1r1u,_

lim JE {TIX.~ - X,.j2ds = O. n-+oo Jo

{' On note lt(X) = Jo XsdH·s·

9

Remarque 1.1. La définition 1.4 ne dépend pas de la suite (X")n2'.0· Si de plus X est continu, l'intégrale stochastique proqrcssiu« de X par rapport à \i\1

est définie par T m J X.,dWs ~ i!\~

01:X,,(Wt;~i - Wt;), (limite en probabilité)

I i=O

où 1r = {f = lo < 11 < ... <lm= T} and !1rl = sup lli+J - t;!. O~i~m

Proposition 1.3. Pour tout processus X mesurable. F,1 - a.dapür et de carré itüé- /' grable par rapport 1P' ~ >., le processus f(X) dr(fin:i. 7111r f1(X) = Jo XsdW., est une

martingale par rapport à F,1 de r:a1'1'<! int<{qrn.blc vr:nJiaul lr:s prn1n·ilt{s (PI} à. (P5).

1.3.2 Intégrale stochastique rétrograde

En adoptant la même démarche que dans le cas progressif, ou construit l'intégrale T

stochastique rétrograde de Itô 1 X.,~. Ici, 011 considère nue famille décroissante

{ F,2, t ~ 0} de sous tribus de F telle que .rlr Ç F'; et. <i { l31 - B,., ~ ~ t} indépendant de F,2 pour tout O ~ t ~ T. (Ou peut prendre F'; = F}1' V F,~r),

Définition 1.5. Soit X un processus ]}-simple rétroqnul«, i.c 00

X, = çol{o}(t) + Lçi+1lJ1;,t,+iJ(l), 0 ~ l < x, i=O

où, { t;} et ( ç;) vérifient les conditions dans la définition 1. 2. On définit l'intégrale

stochastique rétrogrndc de Itô de X par rapport à l3 comme élan; le processus continu

{ J1(X), 0 ~ t ~ T} défini par: 00

~ '°' l1(X) = ~Çi+1(B(t,..i/\T)VI - B(t,/\'l')Vt)

i=O

ou encore si t E]t1,_1, t,,] et T E]tq, lq+d, avec p ~ q q-1

J,(X) ~ f,1,(B1v - Bt) + L.;i+1(Bt,t1 - B,,) + ~q+1(Br - Bi,,), i=p

~ J,(X) = <;k+1(Br - Bt),

10


On note

1T +---- J1(X) = t X,.dB,.,

l'intégrale stochastique rétrograde de Itô de X par rapport. à H.

On obtient alors directement à l'aide de cette définition les propriétés suivantes :

Propriétés 1.2.

Soit X et Y deux processus simples rétrogrades. Alon;

(P'l) JE( lr XsdHs) = 0

( 17' +---- , ) 1T +---- (P '2) JE

I x.us, 1 :F~ = u X .• dBs, p.s. t. s u:

Pi-martingale rétrograde )

(P'3) JE (1 lr X.,JB:12) = JE (lr 11Xsll2ds) (Formule d'isométrie)

lT +-- lT+----1T+-- (P'4) (aX .• + ôY,)dB .• = n XsdB,. + ,13 Y,dR... V o: .. i3 E ~- • 1 1 t

A raide du lemme 1.2, on obtient la définition de l'intégrale stochastique rétrograde

des processus mesurables et Pi-adaptés.

Définition 1.6. Soit X un processus mesurable, .1J-urla.pté et de carré intégrable

par rapport 1P g >.. L'intégrale stochastique rétrograde de X par rapport à B est l'unique :F,2- martingale rétrograde de carré intégrable J (X) = { .J, (X); 0 ~ i, ~ T} vérifia.nt

lirn JE (IJ,(Xn) - J,(X)l2) = 0, 0 ~ / ~ T, n-x·

pour toute suite ( X11 )n2'.0 de processus simples rétrnynufrs telle qne

lim lE fr IIX.: - Xsll2d,., = O. n-oc lo

T On note J, (X) = [ X./irf".

. t

Remarque 1.2. La définition 1.6 ne dépend pas de la suite (X")n~O· Si de plus X est continu, l'intégrale stochastique rétroyradc de X par rapport à H

est définie par

[limite en probabilité)

11

où 1r = {t = lo < f1 < ... < t,,. = T} and l1rl = sup Jt,i+t - tJ 0$i:$rn.

Proposition 1.4. Pour tout processus X mesurable. :F/- lUlapté et de carré inté-

lT f---

grable par rapport 1P ® À, le processus J(X) défini par ./1(X) = XsdHs est une . t

martingale rétroqrad« par rapport J1 de cartï: ùdégrn.lilc m'. rijùuit. !<'.., pro7,r·iétés (P '1) à (P'4).

1.4 Formule de Itô généralisée

Théorème 1.1 (Pardoux-Peng 1311). Soient {J, "t et â ries processus :Fi-adaptés

respectivement à valeurs dans JRk, JRkxl et ~_kxd tels qu« JE (1T l/1tl2dt.) < oo,

JE (1T lh1!12dt) < x et JE (1T ll61ll2dt) < oo. Soit n un. processus continu et

:F,-adapté à valeur dans JRk tel que JE ( sup I O:t 12) < oo vérifi:ant :

0$t$T

0 ~ t ~ T.

Alors

{' {' --- {' I0'1J2 = lnol2 + 2 Jo (as, /J .• )d.,; + 2 Jo (ns, îsrl/J.,) + 2 Jo (n . ., '5s<IWs)

-11

lhsl!2(1.5 + 11

ll6.,!12ds

Plus généralement, si :c •....• q'.>(:i) est une fonction de classe C2 sus: JRk,

1t 1t 1'' q'.>(0:1) = </J(ao) + (<ii'(o:_.). /3_.)ds + (</J'(o:s), Î·.,JB,.) + (q./(o:s), ôsdWs) 0 0 0

-11' Tr (q/'(n,.),.,Î·.;) d» +} 11

Tr ("(n.-)6.-â;) ris.

12

Chapitre 2

Rappels de quelques résultats sur les

EDDSR's

Dans ce chapitre, nous rappelons quelques résultats sur los EDDSR's (J, g, ç) dont nous aurons besoin. Ainsi, dans la section 2.2, nous présentons le théorème d'existence et d'unicité de Pardoux et Pcng [31[ obtenu sons les conditions de Lip schitz sur les coefficients .f et g. Nous énonçons également le théorème de comparai son des EDDSR's introduit par Shi Y. et al. [37[. Dans la section 2.3, la condition de Lipschitz sur .f est remplacée par la continuité et la croissance linéaire. Ce travail est dû ù Shi Y. et al. [37[.

2.1 Notations et définition d'une solution

Fixons d'abord quelques notations, Pour tout n E N, ou désigne par M2(F. [O. T]; JR11

) l'ensemble des processus mesurables { p1, 0 ,:::; / ,:::; T} à valeurs dans R" tels que

(i) Il-; 11~~2= lE (.lT l i.p, 12 dt) < X,

(ii) 91 est F1-measurahle, pour tout l E [O. T].

Il . IIM2 est nue norme sur M2(F, [O, T]; JRn) qui eu fait un espace de Banach, De façon similaire, S2 ( F, [O, T]; JR") désigne l 'ensemble des processus continus

{ :p1, 0 ,:; t ,:; T} ù valeurs dans lR" tels que

13

CHAPITRE 2. RAPPELS DE QUELQUES RÉSULTATS SL'R LES EDDSR.'S

(i) Il 'P 1112= lE ( sup 1 .p, 12 rl.t) < oo, Os_t::;_r

(ii) i..p1 est F1-mesurable, pour tout l E [O. T].

S2(F, [O, T]; IR11) est un espace de Banach avec la nonne Il . Ils~ .

Définissons maintenant la. notion de solution d'une EDDSR.

Définition 2.1. Uri couple de processus (Y, Z) : n x [CL T] -+ IR4. x JRkxd est appelé solution de l'EDDSR (1) s·1 (Y, Z) E S2(F, [O. T]; IR4') x }vl2(F. [O. T]; JRkxd) et vérifie l'EDDSR (1).

2.2 EDDSR's à coefficients lipschitziens

Il s'agit des EDDSR's(J, g, ç) c'est à dire l'équation (1) où .f et. g sont des fonc- 1-iow; définies sur S l x [ü, T] x JRk x IRkxd à valeurs respectivement. dans IRk et IRkxl et. [, est une variable aléatoire Fr-mesurable vérifiant les hypothèses suivantes :

(Hl) les fonctions f : n X [ü, T] X ]Rk X IRkxd -+ IR\ .<J : n X [O, T] X IRk X IRkx<l -+

IRkx' sont mesurables telles que J(., 0, 0) E /v1.2(F. [ü, T]; JRk), g(., 0, 0) E M2(F, [O, T]: IRkxl).

(H2) Il existe des constantes C > 0 et O < n < 1 telles que 'v( w. l) E n x [O, T] et 'v(y1. Z1 ), (yz. z2) E ]R_k X IRhd

1 ) 2 •) 2

fU,Y1,z1 -.f(t,yz.z2) 1 :$ r:'(I Y1 - !/:!. 1- + Il z1 - z2 li) Il _q(l,yi. zi) - g(t . .112, z2) 112:s; CI Yi - :iI2 I'..! +o Il .:1 - z2112

(H3) la valeur terminale ç est dans L2(D, Fr, IP, IR~").

2.2.1 Existence et unicité de la solution

D'abord, nous considérons l'EDDSR (1) où les coefficients f et g ne independent pas de y et. z, c'est à dire l'équation suivante:

i,r fr JT )~ = ( + .f(.,;)r/.,; + g(.,;)Yn: + z.,r/1·1\, t , t 1

(2.1)

A l'aide du théorème de représentation de Itô, ou obtient. le résultat d'existence et d'unicité suivant dû à Pa.rdoux-Peng [31]. Nous eu donnons tout. de même la preuve.

14

CHAPITRE 2. RAPPELS DE QUELQUES RÉSULTATS SUR LES EDDSR'S

Proposition 2.1. Supposons que ç E L2(n. Fr, IP', Rk), f E JV12(F, [O, T); Rk) et g E M2(F, [O, T]; Rkxl), alors l'équation (2.1) a une unique solution { (Yt, Zt), 0 ::; l::; T}.

Preuve. Existence. Pour tout t E [ü, Tl, on définit Q, = Flv V F/!.r· On remarque que {91, 0 ::; t ::; T} est une filtration.

Posons l\11 glE(<:+1T J(s)ds+1T g(s)dÏis / 91)-

0 0

Puisque, f et g sont de carré intégrable, le processus { .\41, 0 ::; /, ::; T} ainsi défini est une martingale de carré intégrable par rapport à Q1•

En utilisant donc le théorème de représentation des martingales de Itô, on a l'exis tence d'un processus Z, Q1-progressivement mesurable à valeurs dans Rkx<L tel que

et

d'où

(2.2)

Par définition, on a

Afr g lE(c~ + .fo"T J(s)ds + .lT g(s)~ / YT)

lT lT +--

Ç + J(s)ds + g(s)rlB.,. • (J • 0

et

M1 ~ lE(ç+ {T J(s)rls+ 1T g(s)dii;. / 91) .f o n

( JT JT +-- ) 1·t 1' +-- = lE ç + J(s)rls + g(s)dBs / Q, + J(s)ds + g(s)dB8•

t 1 0 0

Par conséquent, de l'égalité (2.2), on tire T T 'J'

Yi = ç + 1 .f(s)ds + f g(,.,)d.Rs -1 ZsdlV,, t , t 1

15

où

Il nous reste à montrer que Yi et Zt sont .r1-mesurahles pour tout O ~ l ~ T. Pour Y,, remarquons d'abord que

Donc

Y,= E(0(l)/ r, V .r,8),

l·T lT où 0(t.) = ç + f(s)ds + g(s)dlls est .r.}f V .r1~r-measurable. . t . t

B = {B1, 0 ~ t ~ T} et W = {Wt, 0 ~ t ~ T} étant des mouvements browniens mutuellement indépendants, la a-algèbre .r1

8 est indépendante de .1"1 et .r;,v V .rt~r, donc de .r, V a(0(t)). D'où

Y,= E(0(t)/ :Fi). Maintenant, pour tout t E [ü, T]

lT 1T 1T +--- Z.,dW. = ç + J(s)ds + g(s)dBs - Y, = 0(l) - Y, . t t t

et O(t) - Y(t) est .rjY V -0~r-mesurablc. Donc, d'après le théorème de représentation de Itô, {Z,., l < s < T} est {.rf V.rt~rl adapté. Par conséquent, Z.- est :F.t V .r1~r-rnesurable pour tout t < s < T. Il s'ensuit que Z., est /\ (~t V -0~r)-mcsurable.

I<.• Or,

/\( W ,rB ) W (/\ B ) ,r\l. H .rs V .rt,T = :Fs V .rt,T = .r_, V ~,,T·

l<s t<s

D'où, Z.., est .r;v V :Fs~r-mesurable pour tout O < s < T. Unicité. Soient (Y1. Z1 ), (Y2, Z2) E S2(F. [ü, T]; JRk) X M2(F, [O. T]; ]Rkxd) deux

solutions de l'équation (2.1).

Alors

(2.3)

16

CHAPITRE 2. RAPPELS DE QUELQUES RÉSUL'û\TS SCR LES EDDSR'S

En prenant le carré dans les deux membres de (2.3). on a

T T

IY.1 - Y.212 + 1 j [z1 - z2J<1w 12 = -2(y1 - y2_ f [z1 - z2Jaw.). t t s s s t I , 1< s s 1 , I

D'après la première partie de la preuve, Y/ - r? est F,-rnesurnhlc. Donc, en prenant l'espérance et en utilisant les propriétés (P2) et (P3), 011 a

Par conséquent,

)~1 = Yi2. 1P - p.s, et z,1 - Zl, 1P' - p.s,

D

Enonçons maintenant le résultat de Parcloux-Peng 131] à l'origine des EDDSR's. Ce résultat est obtenu en utilisant l'approximation de Picard, à l'aide de la proposition

2.1.

Théorème 2.1 (Pardoux-Peng 1311). Sous les hypothèses (Hl) - (H3), l'EDDSR (1) admet une unique solution (Y Z) E S2(F, [ü, T]; JRk) x J\;f2(F, [O, T]; ~kxd)

2.2.2 Théorème de comparaison

Ou considère les EDDSR's suivantes : T T T

Yi1 = ç1 + 1 J1(s, y}, z.J)ds + f g(s, ~1, Z.!)dl3s - f Z.~dWs,

, • , • 1

T T T Y.2 2 f ·2( v2 z2) l f ( 2 , 2)-// 1 z2 Il

1 = [. + ./ ,'i, r ., , .s 1 .,'i + .<J ,'i, Y8 , Xs I J,, - ., ., 1 , V 8, , t , t I

(2.4)

(2.5)

Il s'agit de comparer les solutions de ces deux EDDSR's dès que l'on sait comparer les conditions terminales ç1 et e et les coefficients f 1 et f2.

Pour les EDSR's, une telle comparaison existe depuis longtemps. Conune appli cations, ce résultat a permis l'étude des EDSR 's à coefficients continus.

Cependant, concernant les EDDSR's, c'est en 2005 que le théorème de compa

raison fut établi par Shi Y. et al. [371.

17

Récemment, en 2007, ces même-auteurs l'ont géuèralisé aux EDDSR's rnulti

dimensionnelles l36J. Dans cette thèse, nous nous restreingnous au cas uui-dimeusiounel.

Théorème 2.2 (Shi Y. d al. [371). Supposons qtu: les EDDSR 's (2.4) et (2.5) vérifient les hypothèses (Hl), (H2) et (H3). Soit (Y1, Z1) d (V·1, Z2) les solutions

correspotulanies. Supposons que

<1 ~ E,2, IP- p.s.

et \:/ (I, y, z) E [ü, T] x 1R x lRd. ,r1(1., y, z) ~ ,(2(1., .11, :), ,\ X 1P - p.s.

Alors Y/ ~ Y,2, 1P' - p.s., \:/ /. E [ü, T].

Remarque 2.1. Soient (Y1, Z1) et (Y2, Z2) des solutions rcspcciioes des EDDSR 's

(2.4) et (2.5). Si ç1, ç2 E L2(0, F~r, IP, JR) et J1, J2, g sont :Ff}-m.esurn.blcs et ufrifient (H2), alors du théorème d'existence et d'unicité de solutions des EDSs, il résulte que Z1 = 0 et Z2 = O. C'est à. dire Y1 et Y2 sont les solutions respectives des EDSs suivantes :

1· T

Y,1 =e+ j f1(s,r},O)ds+ 1 g(s.1~}.0)~

}~2 = ç2 + 1T f2(s, Y..2, O)ds + 1T g(s. )~/- o):W:

2.2.3 Lien avec les EDPS's

La formule de Feynman-Kac, connue depuis longtemps, prouve qu'il y a une connection entre les EDS et. certaines EDP's linéaires. Cc résultat a été étendu aux EDP non linéaires grâce aux EDSH's (voir Pardoux et Pe11g dans [301, Pardoux, Pradelles et Rao dans 1321, Peng dans [34], etc ... ). Pardoux et Peng ont décrit dans [31] comment les EDDSR's, quant. à elles, sont réliées avec des EDP stochastiques. D'où les motivations pour l'étude des EDDSR's.

18

CHAPITRE 2. RAPPELS DE QUELQUES RÉSULTATS SCR LES EDDSR'S

Nous rappelons ici les résultats de Pardoux et Peug [3lj. Considérons l'EDPS suivante :

u(t, x) = l(x) + lT [.Cu(s, x) + J(s, :r:, u(s, :r), ('vua)(s, x))]ds (2.6)

+ lT g(s, .T, u(s. x), ('vua)(s, x))~, 1 E [O, T]

où u est à valeurs dans JRk, (.Cu)i(t, :i:) = (Lui)(t, :z:), 1 '.S i '.S /,: et

1 d a2 d a L = 2 I)aa*)ij a ·8 . +Lb;~,

.. 1 Xi XJ . 1 ,Ci 1,;= ,.=

avec f: n X [O, T] X ]Rd X ]Rk X ]Rkxd - JRk, g: n X [O, T] X JR" X JRk X JRkXd - ]Rkxl,

b : [O, T] x ]Rd --. ]Rd, a : [O, T] x Rd --. JRdxd et l : IR'1 _, JRk vérifiant les hypothèses

suivantes :

(Al) Pour tout t E [O, T], (x. y, z) --. (J(t, x. y, z). g(t. :c, y, z)) est de classe C3 et toutes les dérivées sont bornées sur [O, T] x !Rd x ]Rk· x JRk,xd

( A2) Il existe des constantes C > 0 et O < n < 1 telles q ue \f(w. t, x) En X [O. T] X ]Rd et V(y1, zi), (Y2, z2) E ]Rk X JRkxd

Il g(l,:r,y1,zi)-g(t,x,y2,z2) 112'.S CI Y1 -y'l. 12 +r\' Il z1-z2112

et f( .. x, 0, 0) E M2(F, [O, T]; JRk), g(., x, 0, 0) E M2(F. [O, T]; JRkxt) .

(A3) Pour tout (1,, :r, y, z) E [O, T] x ]Rd x ]Rk x ]Rkx,t,

.rrn*(t, .T, Y, z) '.S z z" + C (11 g(t, .1:, 0, 0) 112 +l.1112) f.

{A4) Pour tout (t, x, y, z) E [O, T] x JRd x ]Rk x ]Rkxd et. (I E ]Rkx,t,

(A5) Pour tout f E [O, T], :r --. (b(t, x), a(t, .r)) est bornée et. de classe C3 sur ]Rd

telle que toutes les dérivées sont bornées sur JR"

19


(A6) lest de classe C3 telle quel et toutes ses dérivées sont ù croissance polynomiale

à l'infini.

Etudions à présent, l'existence de solutions de l'EDPS (2.6). Pour cela, nous consi

dérons l'EDS suivante :

1,S 1S X.!·:r = :r + 1

bir, X;·x)dr + 1 a(r, X;•J')dW,.,

Il est. clair que sous l'hypothèse (A5), l'EDS (2.7), admet une unique solution forte { X.!·:r, t ~ s ~ T, :r E JRd} telle que pour tout s E [t, T], ,'(!"'' est. Fi~~ -mesurable. Alors sous les hypothèses (Al), (A5) et (A6), l'EDDSH :

s E [t,T]. (2.7)

yt,x = l(Xt,x) + 1T J(r xi,x yt,x zt,,x)clr .s T , r•r•r

s

(2.8)

admet une unique solution { (},:1,x, Z.!·x), t ~ s ~ T, x E ]Rd}, telle que pour tout s E [t, T], (~t,x, Z!·x) est .r?: V F!,r-mesurable (Voir Théorème 2.1). En particulier, 't)·J' est Fi~r-mesurable pour chaque (t, .r) E [O. T] x ]Rd et ((t,x) ~ Yt1'x) E C0•2([0, T] x JRd;JRk), p.s.

Ainsi, nous avons le théorème suivant

Théorème 2.3. Supposons que les hypothèses (Al) - (A6) sont, vr[r~fi,6:..,;. Soit {(u(t,:r),t E [O,Tj2,;c E JRrl} un champ aléatoire tel que u(t,;r) est Fi8r-mesmuble

' pour chaque (f., :r), u E C0•2([0, T] x JRtl; JRk), p.s., et u suiisfui! l'EDPS (2.6). Alors

11(t, x) = Yi1'x, V (t, x) E [0, T] x JR,1.

Réciproquement, nous avons

Théorème 2.4. Supposons que les hypothèses (Al) - (A6) sont vérifiées. Soit {(u(t, x), t E [O, Tf x E JRd} un champ aléatoire défini par

u(t, x) = Y/·'\ V (t, x) E [O, T] x !Rd.

Alors 'Il est solution de l'EDPS (2.6).

20

CHAPITRE 2. RAPPELS DE QUELQUES RÉSULTATS SUR LES EDDSR.'S

2.3 EDDSR's à coefficients continus

Dans la section précédente, nous avons considéré l'existence et l'unicité de solu tion pour l'EDDSR(J, g. ç) c'est à dire l'équation (1) lorsque f et . .'/ sont lipschitziens. Dans cette section. nous remplaçons la condition de lipschitz sur le coefficient J par une condition de continuité et de croissance linéaire.

Nous considérons alors les hypothèses suivantes :

(Hl') Croissance linéaire : :3 0 < I< < oc, tel que

1 J(w,t,y,::) l'.S K(l+ 1 y 1 + 1:: 1), v (w,t,y,z) En x [O. T] x lR x Rd;

(H2') Continuité : pour w et t fixés, f(w, t, ., .) est continue.

(H3') Il existe des constantes C > 0 et O < Cl < 1 telles que V (w, t) E

n X [O. T] et

V (Y1, z1 ), (Y2, z2) E IR x JRd

(H4') ç E L2(n, r-, IP). A l'aide du théorème de comparaison pour les EDDSH 's, sous ces hypothèses, un résultat d'existence de solution minimale a été établi par Shi Y. et al. 2005 137].

Définition 2.2. Un couple de processus (Y, Z) est appelé solution minimale de l'EDDSR (1) si pour toute autre solution (Y, Z) de l'EDDSR (1), on a. Y '.S Y.

Théorème 2.5 (Shi Y. et al. 2005 j371). Sous les hypothèses (Hl') - (H4'), l'EDDSR (1) a au moins une solution (Y, Z) E S2(F. [O, T]; IR) x M2(F, [O, T]; JRd). De plus, il existe une solution minimale (Y, Z) de l 'EDDSR ( l).

21

Chapitre 3

EDDSR's à coefficients discontinus

3.1 Introduction

De nombreux travaux dans la littérature essayent tant mieux que mal d'affaiblir la condition de Lipschitz sur les coefficients. On peut citer les EDDSR's à coefficients 11011 lipschitziens (voir Zhou et al. [38], Han Baoyan d al. [15]), les EDDSR's à coefficients sous linéaires et continus ( voir Shi et al. [37j).

Dans ce chapitre, nous étudions les EDDSR's (J. g, ç) {I horizon déterministe fixé, e11 s11p1 rosant que 1t~ coefficient f est discontinu en y ( cont.iuu 1-'t gauche ou à droite eu y) et continu eu z, le coefficient g étant uniformément lipschitzien. Sous ces conditions, nous établissons un résultat d 'existr-uce mais l 'unicité reste à étudier. La deinarchc consiste à établir d'abord un résultat dexistouce eu considérant .f continue. Ensuite, par m1 argument d'approximatiou, nous construisons une suite de processus (y,, . .:11), avec: y,. monotone et bornée, qui converge dans un espace adéquat vers un processus limite (y, z) solution de l'équation. CP résultat est une extension de celui obtenu récemment par .J ia 116] sur les EDSR's qui constituent un cas particulier des EDDSR's (J, g. 0 avec: g = O. Il est publié clans "St.atistic and Probability Letters".

Nous formons les hypothèses suivantes Nous supposons que les coefficients f : 0 x [ü, T] x lR x l~" --. lR et g : f2 x [O, T] x IR x JR'1 --. JR1 sont des processus mesurables satisfaisant

22

CHAPITRE 3. EDDSR'S À COEFFICIENTS DISCONTI~US

(3Hl) Pour f E [O, T] et. z E ]Rd fixés, la fonction y ~ J(t, y. z) est continue à gauche et pour t E [O, T] et y E IR fixés, la fonction z ~ J(l, y, z) est continue.

(3H2) Il existe une constante K > 0 telle que pour tout. (y. z) E IR x JRd, t E [O, Tl,

lf(t,y,z)I S K(l + i:lfl + llzJI).

(3H3) Il existe une fonction continue h: IR x IR" -+ IR, vérifiant

V (y, z) E IR x !Rd, Jh(y, z)J S K(IYI + llzll),

telle que pour tout y1 2: Y2, t E [O, T] , z1, z2 E IR", ou ait

(3H4) g(., 0, 0) = 0 et il existe deux constantes C > 0 et O < n < 1 telles que pour tout l E [O. Tj, (Y1, z1), (Y2, z2) E IR X ]Rd

{3H5) La valeur terminale f est dans L2(n, Fr, IP; IR).

Exemple 3.1. J(l, y, z) = sign(y), où sign(y) = l si y > 0 d -1 si y~ 0 vérifie les hypothèses {3Hl)-(3H3) avec h(y, z) = O.

Exemple 3.2. Pour tout n. E IR, posons

{ K(l + IYI + izl)

fa(l, .lf, z) = K(l + lzl) si y > a

si ,IJ s (1.

Alors, pour tout a -=/= 0, la Jonction fa vérifie les lnjpoihèses (3Hl)-(3H3) avec

h(y, z) = -K(IYI + Jzl).

Nous rappelons qu'une solution d'une EDDSR est 1111 couple de processus (Y, Z) E S2(F, [O. T]; IR) x M2(F, [O, T]; JRd) qui satisfait l'équation (1), où S2(F, [O, T];IR) et M2(F, [ü, T];!Rd) désignent les mêmes ensembles que ceux du

chapitre 2. Notre objectif, est d'établir l'existence de solutions des EDDSTI's (f, g,E,) où f ,g et

23

CHAPITRE 3. EDDSR'S À COEFFICIENTS DISCO~TI)JUS

ç vérifient les hypothèses {3Hl)-(3H5). Pour y parvenir, nous établissons d'abord, dans la section 3.2, un résultat d'existence en considérant .f continue (Théorème 3.1). Ce résultat est une extension du théorème 4.1 de Shi et al. 137]. Aussi, nous donnons un résultat de comparaison qui nous permettra de prouver la monotonie de la suite (yn) (Lemme 3.1). Enfin, dans la section 3.3, nous établissons notre resultat

principal (Théorème 3.2).

3.2 Résultats préliminaires

Théorème 3.1. Supposons que _q et E. vérifient les hypothèsr:s ('H4) et {3H5). Si

.f vérifie les conditions suivantes {1) l.f(t, y, z)I :S G,. + K(IYI + llzll) pour tout (t, y, z) E [O. T] x IR x JRd, où

G. E M2(0, T; IR) est à valeur positive et /{ une constante posiiiue.

(2) Pour w et t jixës, l(w, t .. , .) est continue .

Alors l'EDDSR (1) admet une solution (Y, Z) dans S2([0, T], IR) x M2(0, T; JRd). De plus, il existe une solution minimale (Y, Z) de l'EDDSR (1) (au sens de la définition 2.2).

Remarque 3.1. Le théorème 3.1 est une généralisatùm du théorème 2.5 qui est

obtenu lorsque G. est une constante positive avec C, = /(.

Preuve du théorème 3.1. On procède par approximation comme dans [37]. On définit alors la suite de fonctions ln associée à f en posant

ln (t., y, z) = inf { l (t,, u, v) + (/( + n )( 1 Y - 11 1 + I \ :: - 1' 11) } , n E N. (u.u)EQxQ.i

Ou note que les fonctions ln sont bien définies pour tout n E N et vérifient les

propriétés suivantes

(i) 1 fn(l, Y, z) l:S G, + /( (IYI + llz\l) {ii) 1 .fn(t, Yt, z1) - fn(t, :1/2, z2) l:S (l{ + n)(I YI - Y2 1 +\lz1 - z2II): (iii) Un (l, y, z) ),, est strictement croissante;

{iv) si (Y11,z11) - (y,z), alors lnU,Y11,z,i) - J(t.,y.z) quand n - +oo,

24

CHAPITRE 3. EDDSR'S À COEFFICIENTS DISCONTINCS

pour tout (y, z), (y1, z1), (y2, z2) E IR x R". D'après Pardoux et Peng [31], il existe, pour chaque n, une unique pair de processus (Y", zn) E S2([0, T]; IR) x M2(0, T; Rd) solution de (3.1) :

En appliquant le théorème de comparaison ( voir Shi et al. 2005), on a

V n ~ m, ~ 0, ym ~ Y".

Par la suite, on définit f(t, y, z) = G, + I< (IYI + 11=11) et. on considère les équations

suivantes : (i = 1, 2)

u: = ( + (-l)i 1T ](s, u;, V/)ds + 1T g(s, u;, v.i)dns - lT \i:jdW.. (3.2) t t , 1

Pour chaque (i = L 2), l'équation (3.2) a une unique solution (U;. Vi) E S2((0, T];IR) x M2(0, T;IRd) et on a

(voir Pardoux et Peng, 1994 ou Shi et al. 2005). Ainsi, pour prouver le théorème, il suffit de montrer que la suite de processus (Y", Z") convergent vers une limite (Y, Z) qui est solution <le l'EDDSR (1). A cet effet, nous montrons d'abord que {Yn} et {Z"} sont bornés dans S2((0, T]; R) et Jvf2(0, T; Rd) respectivement. Avant tout, montrons que IIUills2 et IIVillM2 sont bornés pour tout (i = 1, 2). En appliquant la formule de Itô à IU/12, on a

IU/12 = lçl2 + 2(-l)i !T Ui](s, u.:, V,/)ds + 2 fT lJ.!q(s. u.:, V})m t • 1

·T T ·T 2 j U;VidW + f 1 (, t ti V;)l2d. j l\';12 l. - t " s .s t g S, Us, s :, - t s ( S.

25

1

CHAPITRE 3. EDDSR'S À COEFFICIENTS DISCONTINUS

De {3H4) et l'inégalité de Young, on a

lT 1·T lçl2 + 2. t 1u;1 ( c, + K(IU.!I + !Vsil) )c1s + C. t 1U.!l2ds

+a lT JVsil2ds + 21T U!g(s, U.~, V,i)~ - 21T U1½idvl1s • t t t

< lçl2 + 1T 1Gsl2ds + (1 + 2K + C + /~~) 1T IU!l2ds (3.3)

+ 1; (t 1T l½il2ds + 2 JT U,!g(s, u;. v;)das - 2 JT u;vsidWs.

Prenant ensuite l'espérance, on obtient

Par l'inégalité de Gronwall, on déduit

Par conséquent, il existe une constante C' > 0 telle que

(3.5)

En prenant le sup. et l'espérance dans (3.3), on obtient

26

De l'inégalité de Burkhôlder-Davis-Gundy et celle de Young, 011 déduit

]Ec~~rrl iT u;g(s, u;, V})JRal) $ r:lE( 1T 1u;J2l.<1(,,;, {!_~, V,i)l2ds)

< clE(( sup 1u;12) ½ ( fr lg(s, u;, V,i)i2ds) ½) 09:::;T .lo

T

< ti1Ulli2 + 2c2CJE 1 IUJ2rls + 2c2nl1Vll~w- (3.7)

De façon similaire, on a

( iT · · ) 1 2 2 ., JE sup I u;vs'dWsl '.S -8IIUlls2 + 2c IIVll7w·

09:::;r , (3.8)

En combinant (3.6), (3.7) et (3.8), on obtient la majoration suivante

'

i 2 l - O' i 2 2 {T 2 1 •J 2 2 'u lls2 + -2-IIV IIMi :S lElçl + JE Jo IGsl ds + 2IIUlls2 + 8c allVIIM2 21(2 lT . + (1 + 2I< + -- + C(l + 4c2))JE JU;l2ds. 1- n . o

Ainsi, de (3.5), on déduit IIUilli2 :S M où {T 2[(2

M = 2(lElçl2 + JE Jo IGsl2ds) + 2( 1 + 2!( + 1- /)' + C(l + ,lc2) + 8r:2a )c'. Par suite, puisque V n 2:: 0, U1 :S yn '.S U2, on a IIY11lli·i ~ 2:H, V n 2:: O. Considérons maintenant IIZ11l17',t2· Appliquant la formule de Itô à lrtl2, il suit que

[T [T .,._ IY/112 = lçl2 + 2 Ytfn(s, ysn, z;')ds + 2 Ys"g(.s, Y..,". z;')dBs

, 1 , 1 T T T -2/ )~;'Z~'dWs+J lg(s,~.n,z_~')l2ds-f IZ:l2ds.

t t . 1

En prenant ensuite l'espérance, on a

JEl}tl2 + JE 1T 1z.:112ds = JElçl2 + 2JE 1T }~9nfn(s, }~,", z.:')ds + JE 1T lg(s, ~;', z:)12ds. Par l'hypothèse {3H4), la propriété (i) (cf. page 24) et l'inégalité de Young, on

déduit

lEIYnl2 + 1 - Cè]E iT IZ"l2ds < 1 2 s -

1

27

Puisque, 11Ynll12 ~ 2M, 011 obtient

Maintenant, montrons la convergence. Ou sait que [Y"] est croissante et bornée dans S2([0, Tl, IR). Alors d'après le théo rème <le la convergence dominée, on deduit que Y11 converge dans S2([0, T], IR). Notons Y sa limite. Pour la convergence de {Z11

}, 011 applique la formule de Itô à

IY" - yml2, pour tout n, m ~ O. Alors, on deduit

JEIYo" - Ytf + JE 1T 1z; - Z;"l2ds

JEl(l2 + 2JE {T(Y.:1 - }~m)Un(s, Y.t, z.:1) - lm(s, ysm· z.:"))ds ./o +JE {T lg(s, Y.:\ z:) - g(s. ysm, z;11)12ds

Jo

1T 1 1T 1

< 2(JE IY11 - Y11112ds) 2 (JE If (s Y", zn) - 1· (.-;, ym Z"')l2ds)

2 .s .~ n , s . 8 ,n . ,'!J , s

0 0

xJE 1T(CW.U - Y;r'l2 + nlz.:· - Z;'l2ds.

Puisque ln et. lm sont uniformément à croissance linéaire et {Y"} et { Z11} sont

bornées, il existe alors une constante }(' > 0 telle que

JEIY," - y;m12 + JE lT IZ'.' - zm12ds < I<'(JE1T IY" - yml'2ds) ½ 0 () ' .• - ., .• . 0 0

T xIE 1 (CIY.:' - r'.:''12 + 01z: - z:1i2)ds.

Par conséquent,

IIZ11 - zmllt2 ~ -1-(K'T½lllm - ymll.M2 + CTlll·11 - ymllt2).

1-a

Par suite { Z"] est une suite de cauchy dans M2(0, T, IR) qui est 1m espace de I3anach. D'où { zn} converge dans M2(0, T, IR) vers une limite Z. Enfin, en utilisant le même argument que Shi et al. (2005), 011 conclut que (Y, Z)

est une solution de l'EDDSR (1).

28

Soit maintenant (Y', Z') E S2([0, T], IR) x M2(0, T, IR) une solution quelconque o de l'EDDSR (1). Alors, d'après le théorème de comparaison (voir Shi et al. 2005),

on a Y11 ::;; Y', V n E N. Par conséquent, Y ::;; Y'. Ce qui prouve que (Y, Z) est la solution minimale <le l'EDDSR (1) et termine la preuve du théorème 3.1. D

Lemme 3.1. Soit h : R x JRd ---+ R une fonction continue telle que

V (y, z) E IR x Rd, lh(y, z)I ~ K(IYI + llzll)

où l{ est une constante positive et ç E L2(0, Fr, IP; IR), q). E M2(F. [O, T]; IR). Alors

(i) l'EDDSR (3.9)

lT !T ;·T Yi = ( + (h(Y:., Zs) + <Ps) ds + g(s, Y:., Z.,)dlls - ZsdlVs, , 1 t , 1

(3.9)

a une solution (Y, Z) E S2(F, [O, T];IR) x M2(F, [O, T]; R"):

(ü) De plus si cp1 2:'. 0 et ç 2:: 0, pour toute solution (Y, Z) de l'EDDSR (3.9), on

a Yi 2:'. 0, IP-p.s. V t E [O, T].

Preuve. (i) est une conséquence directe du théorème 3.1.

Il suffit <le prendre J(t. y, z) = h(y, z) + <Pt· Pour la preuve de (ii), considérons d'abord les EDDSR's suivantes :

T T ~ l/ = ç + l (-KIY.11 - F<I/Z_;l/)ds + 1 g(s, Y.1, z.f )dff. - / Z;dl'V., (3.10)

, t t , 1

T T ·T }~2 = 1 (-KIY}I - K/IZ,;l /)ds + 1 g(s, Y.2, Z})dl3s - ! Z;dW..,, (3.11)

t t , 1

Les coefficients de ces EDDSR's vérifient la condition de Lipschitz. Doue d'après le théorème 2.1, elles admettent chacune une unique solution dans S2(F, [O, T]; R) x M2(F, [O. T]; IR"). Par hypothèse, g(.,0,0) = 0, d'où la solution de (3.11) est

Puisque ç 2:: 0, d'après le théorème de comparaison, Théorème 2.2, nous avons

Yi1 2:: }~2 = 0, a.s., V t E [O. T].

29

Considérons à présent la suite de fonctions (y, z) i- h11(y. z) définie par:

hn(Y, z) = inf {h('U, v) + (!{ + n)(I y - 'U 1 + Il z - v Il)}, n E .N. (1t,ll)EQxQ'1

Il est clair que pour tout n E .N, la fonction hn est bien définie et vérifie les propriétés

suivantes : pour tout (y, z), (Y1, z1), (Y2, z2) E 1R x IRd

(a) 1 hn(Y, z) l:S I< (IYI + ll-ll) (b) 1 h11(!11, zi) - hu(.112. ::2) l:S (K + n)(I YI - Y2 1 +IJ::, - z2II); (c) (h11(y, z))n est strictement croissante;

(d) si (y11, Zn) -> (y, z), alors h11(y,,, z11) -+ h(y, z) quand n-> +oc.

D'après Pardoux et Peng [311, pour chaque entier positif n, l'équation

(3.12)

a une unique solution (y'1, z11) E S2(F, [O, T]; IR) x M1(F, [O. T]; IRc1).

La solution (y11• z") de (3.12) converge vers la solution minimale ('fi.,~) de l'équation

(3.9) (voir Shi et al. 2005 [371). En considérant les équations (3.10) et (3.12) et appliquant à nouveau le théorème

de comparaison, on a

Par conséquent, 1 2 [ JL, ~ y; ~ )~ = 0, p.s. V t E O. T].

D

3.3 Résultat principal

Le résultat principal d'existence de solution de cc chapitre pour les EDDSR's

(.f. g. ç) est le théorème suivant

Théorème 3.2. Supposons que J, g et ç vérifient les hypothèses (3Hl) {3H5). Alors, l'EDDSR (1) a au moins une solution (y, z) dans S2(F, [O, T]; IR) x M2(F, [O, T];IRd).

30

Preuve. A l'aide des résultats sur les EDDSR's à coefficients lipschitziens et

du théorème 3.1, nous construisons une suite d'approximation { ('!j_n, ~") t~1 de S2(F, [O, T]; JR) x M2(F, [O, T]; JR") eu utilisant les itérations de Picard comme suit:

('!J..0, ~0) la solution de l'équation

et pour tout entier n 2 1

·y". = c + lT (J(s 111-1• z"-1) + h(·y"' - 1 n-1• z" - z''.-1)) ds :.._/ '-, •'ll.s ·-S !:...s l._, ,-S -8

1

!T +-- 1T + g(s, u:', ;_~)dB.~ - ~;dlV:., , 1 t

(3.14)

où ê, f, h et g vérifient les hypothèses (3Hl)-(iH5). D'après le théorème 3.1, pour chaque n 2 1, l'équation (:3.14) admet au moins une

solution. Ici, nous considérons seulement les solutions minimales que nous notons (f1

, ~11).

De plus, notons (yf, z°) la solution de

lT 1T -rT lfi = Ç + (J<l:iJ?I + Kll~II + I<)ds + g(s, ifls, i},)dBs - Z~dWs. (3.15) t t . 1

D'abord, nous allons établir les propriétés suivantes : (i) 'v' n > 0 'v' t E [O. T] y0 < y1 n < yn+I IP-JJ.S. - , '-t--t--t' (ii) V n 2 0, V l E [O, T]. '!l S fi/, IP-p.s.

Nous établissons ces résultats par récurrence, en utilisant soit. le théorème de com paraison ordinaire Hm les EDDSR's et soit le lemme 3.1. Pour cela, posons

'iljr1+l,n = Yl ri+! _ y" et zn+l,n = zn+I _ ::;11. :.._/ -1 -t -1 -1 -1

Montrons, au préalable que '!!..~ S '!J..:, IP - p.s. 'v' l E [O, T]. En prenant n = l dans (3.14) et en faisant la différence avec (:U3), nous obtenons

31

où.

<P~ = f(s,}!_~,l.~) + Kll!_~I + I<ll;.~11 + f( et g0 est la fonction aléatoire définie par

Par définition, on remarque que g° vérifie l'hypothèse {3H4).

De plus, de l'hypothèse (3H2), nous avons

</;~ E M2(F. [O, T]; IR) et <b~ 2: O.

Par conséquent, d'après le lemme 3.1, on a

11.:,o 2: 0, 1P - p.s. V t E [O, T].

Ce qui montre que !l.~ 5= 1!.;, 1P - p.s. V t E [O, T]. Supposons à présent, pour n 2: 1 donné,

y_;1-1 5=Jf_~, IP-p.s. VtE [0,T] (3.16)

et montrons que !l 5= t+1, 1P - p.s. V l E [O, T].

En prenant la différence de (3.14) et (3.13), nous avons

iT ( h(i+l,n, ~;+l,n) + </)~) ds + JT g'1(s. }L;+l.n. ~:•+l,n)~ 1 /. -!T .,,n+l,ndu'°

.!:::..._q Vt' s' t

où

et _q11 est. la fonction aléatoire définie par

gn(t, Y, z) = g(t, y+ 11.;, z + ~;1) - g(f. !_t,;.;i).

Pour tout n E N, la fonction g11 satisfait. (3H4). De plus, de (3H2) et. (3H3) et de l'hypothèse de recurreuce (~U6),

</>~ E M2(F, [O. T];IR) et <b~ 2: O.

32

D'où

soit

y_;1+l,n 2: O, 1P - p.s. V t E [ü, T],

yn::; u:". JP- p.s. V t E [O, T]. Ce qui établit (i). -l -t

Pour la preuve de (ii), nous considérons dans un premier temps les équations

(3.13) et (3.15), c'est à dire :

1T 1T 1·T .,...{) - -0..,..0 -0-0- ..,..() Yt = Ç + 1 f(s, Ys, Z5)ds + t g(s, Ys, zs)dB .• -

1 z.,dlVs,

où l(l, y, z) = -K(Jyl + llzll + 1) et J(I,, Y,::)= K(IYI + llzll + 1).

Les fonctions f et 7 étant lipschitziennes et vérifiant :

V (t. y, z) E [0, T] x lR x !Rd, l(t, y, z) ::; f(l. y,.:),

nous avons, d'après le théorème de comparaison pour les EDDSH.'s,

'}!_~::; fil, IP- p.s. V l E [O. T].

Ensuite, posons

Y-0,11 _ -Oy _ yn et z-0,n _ -::-(] __ 11 ~- - t -t -t - "t ~t .

En prenant la différence de (3.15) et. (3.14) pour n = 1, nous avons

ft'1 = 1T ( Kl)tl + Klltll + F( - f(s,1-fs,;_~) - h(!J..! - '}j_~,;..~ - ~~)) ds

1T +--- 1T + t (y(s,~,~)-g(s,i,;.!))dUs- 1 i·1dW.,

l·T 1·T !T (-Kl!l,~'11 - Klli~'1II + !) ds + g1(.s,fl_~·1,~~·1)d8s - i·1dWs,

. t . t. • ,

où

! = I<I~ - il+ KIi~ - ~Il+ KIY~I + Kllz'.:11 + I< -f (s ·1 o zo) - h(y1 - yo zl - .,.o) ,!f.s,.;:..s !:...s =-s'-s !::!...s ,

33

et g1 est définie comme precédemment. Evidemment, nous avons

<P1 E M2(F, [O, T]; JR).

Par ailleurs, en utilisant l'inégalité la - bl ~ lb! - jaj, il vient que

! ~ KIJL!I + Kll.~!11 + K - f(t>,Jl,i) - h(Jl.! - [~,~! - i), Ainsi, de (3H2) et {3H3), nous avons

l /"( .. 1 1) [( .. O 0) / (· 1 . 0 .,.1 .,.Cl) > Q s ~ . ,'i,!J...,,!fs - .. 'i,Jl.s'~s - 1· Y, - Jl..,,:=..s - :=.., - ·

Par conséquent, d'après le lemme 3.1

y__~·1 ~ 0, 1P - p.s. V /. E [O, T],

c'est à dire 11.: ~ y'/, 1P - p.s. V t E [O, T].

Maintenant, pour n ~ 0, supposons que pour tout O ::; k ~ n,

Jt ~ f/4\ 1P - p.s. V t E [O, T]

et montrons que t+1 ~ y'/, 1P - p.s. V t E [O, T].

De (3.14) et (3.15), nous déduisons

t,n+t = 1T (-Kj~·"+1j - Kl!t•n+1II + :•+•) ds

l·T lT + 9n+l(s ,-1/ll,n+l ,t>,n+l)dB _ ZO,,i+ldW '=-.s 1-,fJ •. ~ -s s, . t . t

où

<1>~+1 = KI~ - 11.;+11 + KIi~ - .f;+111 + Kllil + Kllz~II + K -J(s yn z") - h(yn+l - y" zn+l - z''.) ,_,,,;:.a ~ ~'=-s -s

et g"+1 est définie comme précédemment.

Il est clair que ~+t E M2(F,[O,T];JR).

34

En utilisant la même technique de calcul que précédemment, 11011s avons

n+l > j'(s yt n-l-I zn+I) _ J"(s s" zn) _ h(yi n+l _ s" z''.+I _ ::;n) > O. S - ,=-s , __ ., '-.r;'-S -S -s'-S --=-s -

D'où, d'après le lemme 3.1,

y_~·n+I 2 0, Jp> - p.s. V t E [ü, T].

Par conséquent, ~;

1+1 '5:_ fit, 1P' - p.s. V t E [O, T].

Nous venons ainsi de montrer que la suite des solutions minimales des équations (3.13) et (3.14) est croissante et majorée par la solution de l'équation (3.15), c'est

à-dire

V n 2 0, !JO < Yn < ·yn+l < -OY -t --t --t - t• 1P' - p.s. V l E [O. T].

Maintenant, nous pouvons terminer la preuve de notre théorème. Puisque {yn}00 est croissante et majorée dans S2(F, [O. T]; R), nous déduisons du

~ n=I théorème de la convergence dominée que {y11

}

00

converge clans S2(F, [O, T];JR) ~ n=I

vers une limite y, et

sup E( sup li(l2) '5:. E( sup 1~012) + E( sup lv;112) < +oo. n OS,t:5T t 0:9:5T t 0:5t:5T

Par la formule de Itô, nous avons

(3.17)

Posons ·rn+l = f(s Yn zn) + h(yn+l _ u" 2n+l _ z''). 'YI . '=--s, _.,, -·" _..,, _,.., -·"'

En vertu de {3H2) et {3H3) et l'inégalité de Young, nous avons pour tout "/, a > 0

35

En utlisant {3H4), nous avons

Par conséquent, en reportant ces inégalités dans (3.18), nous obtenons pour tout

1',0">Û

où

Il vient de la relation (3.17) que An est borné, c'est à dire. il existe une constante

A > 0 telle que V n ~ 0, 0 ~An~ A.

Par suite, en choisissant a < 1 - o:, on a pour tout 1 > 0, n ~ 0

(3.19)

Posons A

A=l-o:-0" et 1 ')'=l-0:-a

Alors, on a pour tout n ~ 0,

Choisissant , > 0 tel que O < i = 1 < 1, on obtient, pour tout n ~ 0 1-a-u

1T 1 -n 1T E iz1112ds < À - 1 + -=ii11E iz0i2ds. () --~ - 1-i ' () -8

(3.20)

T - Puisque, E 1 1~~12ds < oo, le membre de droite de (3.20) converge vers ~-

o 1-,

Par conséquent, sup JE 1T l~;l2ds < +oo, ce qui entraîne que la suite de fonctions 11 0

u,n = J(s v:: zn-1) + h(yll _ -r:: z'l _ =·~-1) rs '-s '-s ::....s _8 '-."! -.,

36

est uniformément bornée clans M2(F, [O, T]; JR). Posons

Ào = sup JE {T l'P:l2ds. n .fo

En appliquant la formule de Itô à ly'' - yql2, 011 a -t -t

JE (lt-1L;l2) + JE lT (I;.~ - .{~12) ds = JE lT 2(ll~ - !J.;)('P~ - ({)';,)ds

lT ,, .,,1' ' (J 1/ 2 +JE t Jg(s, !l_,, ~.J - g(s, ll,., .{.)I ds.

Maintenant, en utilisant l'inégalité de Hôlder et l'hypothèse {3H4), on a 1

JE (J]l:- lli,12) + (1 - a)JE lT (1~ - ~'f.12) ds s; 4Ào [JE (lT Ill~ - Jl~l2ds)] 2 +CE {T l1t~ - u.:12d ..•. ./o

La suite {u11}00

étant convergente dans S2(F,[O,T];IR), il vient que {~1}:=I est s n=l

une suite de Cauchy dans M2(F, [ü, T]; JRd). Donc, fa~}:=l converge clans M2(F, [O, T];JRd) vers une limite l.· Par conséquent, la suite (]C,1.;) converge dans S2(F, [O, T]: JR) x M2(F, [O, T];JRd) vers (]l,l.) E S2(F, [O. T];JR) x M2(F, [O, T];JRd).

Par ailleurs, on sait que la fonction h est continue telle que h(ü, 0) = 0 et que la fonction J est continue à gauche en y et continue en :; . Alors, puisque y11 $ y , V n EN, on a,

-"!i -8

!( n-1 n-1) h( n n-I n n-1) J( ) S,Y, ,l.., + 'lls-'Jl..s ,;_,.-1.,, - S,'}!_,.,;..s• (n - oo) À - p.p ..

De plus, <le (3H2) et (3H3),

1 f(s, c: :?..~-J) + h.('y_; - JL:-1, l.: - l.~-l) 1 s; K( 1 + 3supl }!_~ 1 + 3supJ ~ 1) 11 n

< /\' ( 1 + 3l1t:I + 31:iJ~J + 3s~plz:1),

et li:I, l~I et suplz:I sout ,\-intégrable sur [O, T]. Tl

Doue d'après le théorème de la convergence dominée, 011 a,

1T f(, ·1 n-1 .,,n-1) + h(1/1 - 711-I z" - .,,n-l)ds--+ 1T /"(s 1/ .,, )ris t · .';,d_,'i ,z..s '!...s 1,.., '-s ::!..s ·· t . · 1~.,/!:!...s ··, (n - oo),

37

CHAPITRE 3. EDDSR'S À COEFFICIENTS DISCONTI:"JUS

uniformément en t. Aussi, d'après les propriétés de continuité de l'intégrale stochastique,

sup I JT _iidWs -!T _;_8dWs j--+ 0, (n--+ 00) en probabilité. 09~T t t

!·T 1·T sup j g(s,y11,l~)dR - g(s,y ,~)dBs 1--+ 0, 09 ~T . t -S • t -s

(n--+ oo) en probabilité.

Donc, en passant à la limite, quand n--+ +oo, dans l'équation (3.14), on a

Il en résulte que (}l, ~) satisfait l'EDDSR (1). Ce qui achève la preuve. D

L'exemple suivant confirme que les hypothèses {3Hl)-(1H5) ne garantissent pas l'unicité de la solution.

Exemple 3.3. Considérons l'EDDSR (J, g, ç) où ç = O . .f est déjinie par

J(l. y, z) = l(y), V t E [O. T], (y, z) E lR x ]Rd,

avec l(y) = { 1 si y> O

0 si y~ o et g vérifie (3H4) avec

g(l,y,O) = 0, \/ l E [ü, T], y ER

L 'EDDSR (l) devient alors

(3.21)

!T !T 1·T Yt = l(Y.,)ds + g(s, Ys, Z .• )dBs - Z.,dl,V,. 1 t , t

(3.22)

La fonction J ainsi définie satisfait l'hypothèse (3H3) avec h = O. Il est clair que les hypothèses (3Hl)-(3H5) sont vérifiées. Soit T E [O, T]. Définissons

Y,' - { ~ - t Si /, < T,

SZ t 2: T.

38

1

CHAPITRE 3. EDDSR'S À COEFFICIENTS DISCO.YrINUS

Alors

l(Y,') - { ~ SZ S < T,

si S ~ T.

donc • si l < T, alors JT l(Y~/)ds = T - t

t

l·T • si t ~ T, alors l(Y/)ds = O. . t

D'après (:J.21}, on a V (t, T) E [O, T] x [O. T], g(t, )~r. 0) = O. On en déduit alors que (Yi\ 0) est solution de L'équation (:3.22). Cette solution dépend du paramètre TE [O, T]. La solution de (3.22) n'est donc pas unique.

On obtient un autre résultat d'existence de solutions, si ou remplace la conti nuité à gauche par la continuité à droite. C'est-à-dire si (lHI) est remplacée par la condition suivante : {3Hl') J(t, ., z) est continue à droite et J(t, y,.) est continue.

Théorème 3.3. En pl-us des hypothèses (3H2)-(3H5), supposons que la condi tion (3Hl ') est vérifiée. Alors, l'EDDSR (1) a au moins une solution (y. z) dans S2(F, [O, T]; IR) x M2(F, [O, T]; JRd).

Preuve. Ou considère l'équation (3.15) et l'approximation suivante :

-n = t: + JT (J( -n-1 -:;n-1) + h(-n-1 _ .,-n -::;;ri-1 _ -::;;Tl)) d Yt ", 5,Ys ·"'s Ys Ys·-,. -,. S t

JT .-- JT + 1

g(s, y~, z~)dBs - t z;dMls, 11 EN.

On sait grâce au théorème 3.1, que pour tout n E N, l'équation (3.23) a au moins

(3.23)

une solution adaptée. Ici, on considère sa solution maximale dé-signée par (Tl\ z11).

En utilisant le lemme 3.1, on montre que pour tout n ~ 0 et t E [O, T], !l.~ ~ w+1 ~ Tf? ~ fil, IP-p.s. Le reste est similaire à la preuve du théorème 3.2. D

39

1

Chapitre 4

EDDSR's à coefficients lipschitziens de type stochastique

4.1 Introduction

Considérons le prohlèrne de valorisation du prix cl 'une option européenne forma

lisé par l 'EDS linéaire suivante

[r, Yi + ~

( 4.1)

où ( est la valeur finale de l'option, r le taux d 'intérêt et 0 la prime du risque. - Si ,. et 0 sont bornés, alors le théorème cl' existence et cl 'unicité de Pardoux et Peng

[29] apporte une solution unique au problème (4.1). - Par contre, si r et 0 ne sout pas bornés, ce qui est eu gèuèral le cas, quand bien même que les coefficients soit linéaires, le théorème de Pardoux et Peng [29J ne permet plus de résoudre le problème. Il faut donc trouver une autre méthode qui puisse prendre e11 compte ces situations. Le travail de El Karoui et Huang dans [10]

propose une solution à ce problème dans le cas où r et O sont non bornés. L'objectif de ce chapitre est cl'ètcudre la méthode dt· El Karoui et Huang [101

aux EDDSRs à coefficients lipschitziens de type stochsriquc. Nous donnons. clans la section 4.2, les notations utilisées dans ce chapitre, e11 parti culier celles concernant les espaces fonctionnels. Dans la section 4.3, nous présentons

40

CHAPITRE 4. EDDSR'S À COEFFICIENTS LIPSCHITZIENS DE TYPE STOCHASTIQUE

les hypothèses et établissons dans la section 4.4, notre résultat principal; le théo rème d'existence et d'unicité. Enfin, dans la section 4.5, nous donnons un théorème de comparaison pour cette classe d 'EDDSR's.

4.2 Notations

Soit a un processus positif adapté à la filtration naturelle de IV. Considérons le processus A défini par

At= 1' a;ds, rit E [O, T].

Pour tout /3 > 0, notons :

L'2(/3, a, T, JRk), l'ensemble des variables aléatoires ç k-dimensiormelles,

FT-mesurables telles que llçll~ = JE ( eMr 1(12) < +oo. L2(.B. a, [O, T], JR"'), l'ensemble des processus (Yi )12'.0 k-dimcusionnels, F1-adaptés

tels que 11}'11~ = JE (1T /3A· IYsi2 ds) < +oo L2·"(fJ, a, [O. T]. JRk), l'ensemble des processus (Ytk,o k-dime11sionels, .r1-adaptés

tels que lla}"II~ = JE (1T e8A·a; IY.12 ds) < +oc. L~(/3, a, [O, T], JR"'), le sous ensemble de L2(/3, a, [O, T], JR"') des processus (}~)1:::,.0

continus tels que IIYII~," = JE (sup0~.~~T ef3A, IYsl2) < +x.

Muni de la norme li, llt1, L2(13, a, [O, T] , JRk) est un espace de 13anach. Il en est de même pour l'espace

~ (/3, a, T) =L2·"(/3, a, [O, T], JRk) x I}(JJ. a, [O, T]. JRkxd)

2 2 2 muni de la nonne ll(Y, Z)lla = l1aYll11 + IIZll11 · On désignera par ~c (lJ, a, T), le sous espace de ~ (/3, a. T) défini par

~" (/3, a, T) = ( l 2·"(/3, a, [O, T], JRk) n L~(/3, a, [O, T], JR"')) x f}(/J, a., [O, T], JRkxd)

muni de la nonne ll(Y, Z)ll~.c = IIYll~.c + lla.YII~ + IIZII~.

41

Remarque 4.1. On a

et c, (/J, O. T) = S2([0, T), JRk) x M2 (0, T. JRkxrl) .

avec la norme ll(Y, Z)IJ~,c = IJYll1 + IJZll~- Si a et b sont deux processus positifs ;:,w -adapt<J.<; tels <J'Ue b > a alors

T}((J. b, [O. T], JRk) c f,2((J, a, [O, T], JRk). Ainsi, -Cc ((J, b. T) c c, ((J, n., T).

4.3 Hypothèses

Soient f : n X [O, TJ X JRk X ]RkXd -+ ]Rk) g : n X [O, T] X JRk X ]RkXd -+ ]RkXl deux

fonctions aléatoires mesurables, et ç une variable aléatoire Fr-mesurable à valeurs dans JR'-· vérifiant les conditions suivantes :

(4Hl) il existe des processus à valeurs positives Flv -adaptés { 1't : t E [O, Tl}, { 01 : t. E [O, Tl}, { Vt : t E [O, Tl} et une constante O < a: < 1 tels que \/ (Yi, Y2, Z1, z2) E ]Rk X ]Rk X ]Rkxd X ]Rkxd,

{ J J(t,y1,zi)-J(t,y2,z2) l$r11 Y1 -y2 J +0, Il z1 -z JI JI g(t, Yi, z1) - g(t, Y2, z2) 112$ Vt I Y1 - Y2 12 +n Il z1 - z2 112

('1H2) ar = r1 + 0f + v1 > 0, pour tout t

(4H3) pour tout ;J > 0, (i) E (ef3AT Jçl2) < +oo (ii) JE [ t' efu, lf(s,a~, o)j2 ds + fr e/JA., Jg(8, 0, O)j2 ds] < +oo.

./o s .f o Dans ces conditions, un couple de processus (Y, Z) : n x [O, T] -+ JRk x JRkxd sera

appelé solution de l'EDDSR. (1), si (Y. Z) E -Cc (/3, a, T) et vérifie l'équation (1).

42

CHAPITRE 4. EDDSR'S À COEFFICIENTS LIPSCHITZIENS DE TYPE STOCHASTIQVE

4.4 Existence et unicité de solution

Considérons d'abord l'EDDSR simple suivant :

!T 1T-1T Yi = ( + 1

.fsrl:. + 1

_q_.dn .• - 1

ZsrlH'~,

où J1 et. g1 vérifient la condition (4H3)' suivante :

(4.2)

[1r IJ 12 1r l JE O

ef1A .• :; ds + 0

e/JA., l9i ds < +x . .d > O.

Proposition 4.1. Supposons (4H3-i) et (4H3)', alors il existe un unique couple de processus Fi-adapté (Y, Z) E .Cc (;J, a, T) qui satisfait l'équation (4.2).

Preuve. Les conditions (4H3-i) et (4H3)' impliquent que

JE [lu { J,ds + { y,dB,12] < +oo En effet, nous avons

Puisque O = /\0 $ /\1, V l E [ü, Tl, nous avons pour /J > 0

JE [lçl2 + 1T IY.i ds] ~ JE [ef3Ar lçl2 + J:T e-LJA, lg . .12 ds] < +oo.

En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, nous obtenons

(4.3)

Considérons la filtration {91, t E [O, Tl} définie par

43

et la Q,- martingale de carré integrable

O~l~T.

Alors, comme dans Pardoux et Peng [31], nous montrons que l'équation (4.2) admet une unique solution (Y, Z) dans l'espace ..Cc (0, 0, T). Montrons maintenant que (Y, Z) appartient à ..C,, (/1, a, T) pour tout fJ > O. D'après la formule de Itô, nous avons

i1A, IYtJ2 + /3 JT ef3A.a~ !Yi ds + 1T c:1A, IZ . .12 ils

= éiAr I cl2 + 2 f T e/3A. (Y. f ) ds - 2 JT eliA., (Y. z dW ) ~ s, s .~, ,', .r, • t. ,

+2 JT e/3A. ( Ys, 9sdB,.) + 1T e/3A., l9sl2 ds. t t.

Or,

Donc,

.Maintenant, en prenant l'expérance, nous obtenons,

JE[~ iT c!3A.,a;IYsl2ds + 1T <_)3A·IZ.si2ds]

< JE [e/3Ar lçl2 + ~ 1T e.BA., 1~f ds + f T C{JA.. l!J . .12 ds] .

Ainsi, de JE (eOAr 1~12) < +oc et (4H3)', nous déduisons que (Y, Z) E ..C (/3, a, T) .

44

Ensuite, en prenant sup09::sr(.) dans (4.4), nous avons

sup e/3.411¾12 0:St:ST

Puis, de l'inégalité de Burkhôlder-Davis-Gundy et celle de Young 2ab ~ 8a2 + ¼b2, pour tout ô > 0, nous déduisons que

Dès lors, pour ô < ½, il existe une constante C(6) > 0 telle que

Par conséquent, (},., Z) E c, (/3, a, T). D

45

Proposition 4.2. Supposons (4Hl) - ('1H3). Soit { ( u.. Vi) : 0 s l S T} un couple de processus :F1-a.dapté vérifiant ll(U, V)ll~.c < +oo. Alors il eiisie un couple de processus :F,-adapté (Y, Z) E .Cc (/J, a, T) solution de l'EDDSR suivante:

[T [T 1,T

Y,= ç + J(s, U .• , V,)ds + g(s, Us, Vs)~ - Z_.dW.,, • t , 1 . 1

(4.5)

Preuve. Pour (U, V) E .Cc (/J, a, T), posons ft = [t], Ui, Vi) et g, = g(t, U1, Vi). Grâce à la Proposition 4.1, il suffira de montrer que J, et. g1 vérifient. la condition

(4H3)'. D'après (,1Hl) et (4H2) , nous avons

lfsl S r, IUsl + 0s IVsl + IJ(s, 0, 0)1

lfsi2 S 3 (r; IU.i + 0; IV.12 + IJ(s, 0, 0)12) 2 2 2 2) < 3 (a! 1u .• 1 + as IV,I + IJ(s, 0, O)I

198'2 S 2 (vs IUsl2 + a IVi + lg(s, O. 0)12) < 2 (a; 1Usl2 + a 1Vsl2 + lg(s, 0, 0)12)

Par conséquent,

et

IE (1T c'IA, l.9sl2 ds) (4.7)

T T T < 2lE (1 f',JA,a; JUsl2 ds + n 1 r.,3A., IV.J2 ris+ .l r1111

' l.r,(.c,, 0, 0)12 ris)

Alors, puisque (U, V) E .C,. (µ, a, T), il vient de (4H3)-ii que f, et y1 vérifient. (4H3)'. D

A l'aide de la proposition 4.2, nous pouvons maintenant établir notre résultat. d'exis tence et d'unicité.

46

CHAPITRE 4. EDDSR'S À COEFFICIENTS LIPSCHITZIE.'-JS DE TYPE STOCHASTIQUE

Théorème 4.1. Supposons (4Hl)-{4H3). Alors, JJO'l/.'f' /1 s1~ffisamrnent grand,

l'EDDSR (1) admet une unique solution (Y, Z) E .Cc ((J, a, T).

La preuve est basée sur un argument d'approximation de type Picard.

Preuve de l'existence. Grâce à la proposition 4.2, nous construisons une suite approximante en utilisant une itération de type Picard comme suit : Soit (1?, Zf) = (O. 0) et soit (Y", Z" )11~1 une suite de .CcUJ, n, T) définie récursive rnent par

Pour chaque (Y", Z11) E .Cc(/3, a, T) donné, d'après la proposition 4.2, l'EDDSR (4.8)

a une unique solution (Y'i+1• zn+i) E .Cc(/1, a, T). Posons:

~yn+I = yn+I _ yn . t t t '

~ln = f(t r:n zn) _ J(l yn-1 zn-1) t . , 1 , 1 ' t ' t '

~z;+1 = z;•+• - z;i. A n (I }"' Z") (t vn-l zn-1) l....l.9t = 9 ,, I • 'I - g ,, I t ' t ·

Alors, d'après la formule de Itô appliquée à e~A(t) 1~}~'1t112 •

nous avons

Or, de (4Hl) et de l'inégalité de Young : 2ab::; ¾a.2 + ali, pour tout a > 0, nous avons par définition de a;,

2 (~}~t+1, ~J;') ::; 21~vt+11 (r, l~Y.tl + 0,. l6.Z.~1I)

< 2JT: 1~y_,n+l I ytr; 16.}~."I + 20,, 16. y:i+I 116.Z;I < (r., + 10;) 1~ y;i+i 12 + r., l~Y:t? + a l~Z.~12

< ( 1 + l) a; l~}~."+112 + a: 16. Y:ti + a l~Z.:'12,

l~g;l2::; vs l~Ys"l2 + n l~Z.~12::; a~ l~Y;112 + a l~Z.:'12.

47

CHAPITRE 4. EDDSR'S A COEFFICIENTS LIPSCHITZIENS DE TYPE STOCHASTIQUE

Donc,

E [ (t1 - 1 - t) 1T ef3A,a; l.6.Ysn+I 12 ds + lT e/JA., 1.6.z.:+112 ds] < E [ 2 .f T cfiA.,a; l.6.~11

12 ds +(a+ a) lT e11"' l.6.Z;t! ds] .

En prenant ensuite f3 > 0 tel que /3 > 1 + l + +2 , et définissons ë = +2 , nous - u u a· u a

obtenons

E [ë 1T /JA.,a; J.6.Y;i+I 12 ds + ir e/JA..l.6.Z.~1+112 ds]

< (11 + n) JE [r: 1T c/JA.a; l.6.Ysnl2 d,,; + 1T (':3A., J.6.z;i12 d.-;] .

Il vient donc que

JE [ë 1T P./JA.a; l.6.Ysn+112 ds + 1T ('_/JA, l.6.z.:i+112 d,c;]

< (11 + at JE [c 1T e/JA.,a; IY/ 12 ds + lr c/3A,. 1 Z; 12 ds] .

Par conséquent, eu choisissant a > 0 tel que a + a < 1, nous déduisons que

(Y", zn)n~I est une suite de Cauchy dans .C({3, a, T). Maintenant, montrons que (Y11)n~l est aussi une suite de Cauchy dans L~(/J. a, [O, T], Il~_k}. Pour tout. n, rn 2: 1, définissons :

.6.ft = f(l, t~'t, z,n) - J(t, Y;"\ z;n) . .6.g, = f(l, }~", Z;') - g(l, Y,m, Zt).

Alors, d'après la formule de Itô,

T T e11;1, l.6.Y,f1+1.m+112 + .a 1 e11A.,a; l.6.Y;i+1,m+112 tls + 1 e11;1,, l.6.z.:i+1,m+112 ds

= e''1A1· lçJ2 + 2 !T c/3A. (.6.y;i+l,m+l, D.fs) ds + 1T c'JA, JD.g,.12 ds , t 1

+2 JT e{JA., ( .6.y,n+l,m+1, D.gsd.Bs) - 2 JT e'aA. (.6.Yt+l.m+I, .6.z.:+1,m+ldWs).

48

En utilisant la même procédure que dans la preuve de la proposition 4.1, nous

obtenons

lE ( sup e/3A, l6Y;n+l,m+l 12) 0'.5:tsT

[ {T l6f 12 {T ] < (,'JE ./o ,/JA.·-t-ds + Jo p,f3A., l6.<1~l2 tl«

< CIE [31T e/3A.a~l6Yt·ml2ds+(2+a)_lTe{3A,1~z.:1·m12ds].

Ainsi, puisque (Y", Z")n2:I est une suite de Cauchy dans r,(/1. a, T), nous déduisons que (Yn)n2:l est une suite de Cauchy dans L~(/3, a, [O, T], II~,k). D'où, (Yn, zn)1121 est une suite de Cauchy dans r,c(/1, a, T). Soit Y= lim Y" et Z = lirn Z".

n->+oo n_.+oo Alors, puisque r,c(/3, a, T) est un espace de Banach, (Y, Z) E r,c(.8, a, T).

Montrons maintenant que (Y, Z) est une solution de l'EDDSR (1). De la définition de l'espace r,c(fJ, a, T), nous avons

(4.9)

(4.10)

De (4.10), nous déduisons pour tout t E (0, T],

1T z;'dW .• --+ 1T Zsd\1\:s en probabilité, si n -> oc. 0 0

De l'inégalité de Cauchy-Schwartz (cf. (4.3)),

E [If J(s, v;•, Z::) - J(s, Y., Z,)r1{] < JE[! 1T .BA., lf(s, Ys'\ z;) - J(s, Y., z .• )l2d l

,7 e 2 s . /J s as

49

CHAPITRE 4. EDDSR.'S À COEFFICIENTS LIPSCHITZIENS DE TYPE STOCHASTIQUE

De (4.6) et (4.7), nous avons les majorations suivantes

[

T 2] JE 11 .f(.,;, Yt, z;i) - .f(s, Ys, Zs)d.<;I

JE [ 11T '"'A lf(s, Y;', z:) - J(s, Y., z .• )12 l l < - r," ., r S 8 a2 "" ' s s

< -.2· JE [1T e/3A,a2 jyn - Y. j2 ds + 1T ei3A., Jzn - Z j2 ds] ij 'SS S S "' ' t t

et

JE [I[ g(s, Y,", z:) - g(s, Y,. Z,)TB:12] < JE [.lT ctu. l.<J(s, Yt, z;) - y(:,, Ys, Z,.)12 r/.-;]

< JE [1T c13A·a; W:' - Yi ds + a 1T c,aA, 1z.:i - z . .J2 ds] . Par conséquent, de (4.9) et (4.10), nous avons pour tout l E [O, T],

lT f(s. Y~n, Z.~)ds--+ 1T f(s, Y~,, Z8)ds . t f

1T -1T - t g(s, Y:', z.:')dB,. --+ t g(s, Ys, Zs)dBs

en probabilité, si n -> oo.

en probabilité. si n -> oc.

Ainsi, en passant à la limite dans l'équation (4.8), nous avons

lT 1T - lT )~ = ç + f (s, )~,, Z .. i)ds + g(s, Ys, z .• )dB., - Z.,dH1s . . t t . t

Preuve de l'unicité. Soient (Y. Z) , (Y', Z') E ~,,((J, a. T) solutions des EDDSR's (J, g. ç) et (J', g', E.') où ç, E.', J, J', g et g' vérifient. les hypothèses (4Hl)-{'1H3) avec les mêmes coefficients (stochastiques) de Lipschitz. Posons

Y, = ½ - Y/, Zt = Z, - z;, [ = ~ - ç'. Alors, (Y, 2) est une solution dans ~c(!J,a, T) de l'EDDSR suivaut:

T T T

Y,= ( + 1 F(s. )\, Jt)ds + 1 G(s, Ys, Zs)dlf. -1 2.,dW,. (4.11)

50

où F, G sont des fonctions aléatoires définies par

F(t, y. z) = J(t, y+ Y,', z + z:) - J'(l. Y,', z;)

G(t, y, z) = g(t, y+ Y/, z + Z:) - g'(t, Y,', Z:). Il est clair que F et G vérifient les hypothèses (4Hl}-(4H3). Alors, en appliquant la formule de Itô à e/3A, 1½12, nous avons

e6At 1Yil2 + /J 1T ei3A.'a; !Ysl2 ds + iT e/3A, IZ . .12 ils (4.12)

•T ·T = efiAr 1[12 + 2 / efJA, (Y,., F(s, Ys, Zs)) ds - 2 / t'iJA, (Ys, ZsdWs) lt , 1

1T 1T fiA - - - - '/A -, - 2 +2 t e ·'\Ys,G(s,Ys,Zs)dB.,)+ t e' ·IG(s,Ys,Zs)I ds,

Or, de (4Hl} et de l'inégalité de Young, nous avons pour tout Î > 0 et CJ > 0,

2 (Y ..• , F(s, Ys, ,Ï.s)) ~ 2 IYsl (rs w ... 1 + 0s IZsl + IF(s, 0, O)I) < 2r ..• Wsl2 + 20(s) w.1 l.ïsl + 2 lf,I IF(s, 0, O)I < 2a; Wsl2 + ]:_0; Wsl2+(112ll -1- n; w.12 + IF(s,~,0)12

a as

(3 ]:_) 21,-;, l2 I z- l2 IF(s, o, 0)12 < + l/.s I .s + (J s + 2 • a (ls

et

1 - - 12 1- 12 1- 12 ( 1) 2 G(s, Ys, Zs) ~ (1 + ;) V5 Y. + (1 + 'Y) a z... + 1 + 1 jG(s, 0, O)j

< (1 + 1) a; !Ysl2 + (1 + -y) O' 12.,12 (4.13)

+ (1 + ~) IG(s,0,0)12.

Donc,

(4.14)

51

1 où /3' = /3 - 4 - -y - - et ~/ = 1 - a - ( 1 + 'Y) a.

(1

En prenant l'espérance dans (4.14), nous avons

En prenant supo<t<T(.) dans ( 4.14), puis en appliquant l'inégalité de Burkhôlder- - - 1

Davis-Gundy et celle de Young ( 2ab ~ c5a2 + 8b2, pour tout c5 > 0 ), nous déduisons

1-(a+a) 1 pour a < 1 - a, 'Y < ------'- et fJ > 4 + 'Y + - que

Q (1

JE [ sup e11A, IYil2] 0:SfST

< JE [c"r 1(12 + [ ,JA. IF(\~' O) J' de+ ( l+ ~) .f r.84• IG( .s, 0, 0) 12 ds] +2cJE ( sup e½11A1IYil ( {T eM• l,ZsJ2 ds) ½)

09ST Jo +2cJE ( sup e½/3A,lfîl (1T eM• IG(s, Ys, Z.,)12 ds) ½)

osisr o

< JE. [ei'1Ar 1(12 + lT eflA. IF(s, ~' 0)12 ds + (1 + ~) JT e3A, IG(s, 0, 0)12 ds] . t a.. Y 1

+2c5JE ( sup e13A'l}îl2) + c~ JE ( {T e11A., IZ.sl2 ds) (4.16) os.sr ô lo

2 (1T ) L ':14 - - 2 + 6 JE O c' · • 1 G ( s, Y., Z s) 1 ds .

D'autre part, de (4.13), il vient que

JE (1T c·BA., IG(s, Ys, Zs)l2 ds) (4.17)

< (1 + Î) JE (lT e'1A.'a; lf:,12 ds) + (1 + -y) a!E (.lT eflA, 1.z .• 12 ds) + ( 1 + t) JE (1T e8A. IG(s, 0, 0)12 ds)

52

Par conséquent, en combinant (4.15), (4.16) et (4.17), et eu choisissant c5 <½,il suit que

JE [ sup e{jAt 1 ½ 12 + 1T r,3A, n; J Ys 12 ds + 1T <.JA., 12,/ d.<;] 09ScT t t

[

T 2 7' l < C'JE c'Hr 1(12 + 1 e3A., IF(s~~, O)I ds + 1 t)H, IG(s, 0, 0)12 ds ,

où C' > 0 est une constante dépendant <le ,B, u, 1 et ô.

Notons que F(t, 0, 0) = J(t, Y,', Z:) - f'(t, Yf, z:) et c«. 0, 0) = g(l, Y,', Z:.) - g'(t, Y,', Z:). Alors

[ T T ] JE sup c'Mt P't - Y,'12 + 1 é3A·a; IY~ - ~:12 ds + 1 cliA, IZs - zi ds

09ScT t t

< C'JE [cf3A-r lt; - f.'12 + 1T e{JA., IJ(s. v:. z;) -t(s. }~:. z.:)12 ds t a .•

lT ] J3A, . 1 r 1 1 , /I r 1 2 , + 1

t, lg(s,Y5,Z1,)-y(s, }.-,Z.s)I tls ,

ce qui conduit à l'unicité de la solution. D

4.5 Théorème de comparaison

Dans cette section, nous comparons les solutions des EDDSR's uni-dimensionelles dont les coefficients vérifient les hypothèses (4Hl)-{4H3) avec les mômes coefficients

(stochastiques) de Lipschitz. Considérons les EDDSR's suivants :

T T T

)î = E, + 1 f(.'i, )~., Z .• )d!i + f .<J(!i, )~., Z .• )~ -1 Z .• dll's· 1 • 1 1

lT lT +-- lT ,~, = f.' + I'!». ~:, z.:)d ..• + g(s, ~:, z.:)r1n.- - z.:r11v .•. 1 t , t

( 4.18)

(4.19)

où ç, ç', J, J' et q vérifient les conditions du théorème 4 .1. Alors, il existe cieux pairs de processus (Y, Z) , (Y', Z') E r-c(/i, a, T) sol ut.ions des

53

CHAPITRE 4. EDDSR'S À COEFFICIENTS LIPSCHITZIE~S DE TYPE STOCHASTIQUE

EDDSR's (4.18) et (4.19) respectivement. Alors, nous avons le théorème de comparaison suivant.

Théorème 4.2. Supposons que les EDDSR's (4.18) et (4.19) vér'ifient les conditions

du théorème 4 .1. Soient (Y,Z) et (Y',Z') les solutions de (4.18) et (4.19). respectivement. Si ( ~ (' p.s. et f(l, y, z) ~ J'(t., y, z) p.s., V (l, y, z) E [ü, T] x IR x IR. Alors Y, ~ Y,' p.s., V t E [O, T].

Preuve. Posons Yi = Y; - Y/, Zr = Z, - z;, Ê, = E, - f,'

Ît = J(l., Y;, Zt) - J(t, Y,', Z:). fit = g(t, Y;. Zt) - g(I, Y,', z;). D'après la formule de Itô

[ 2 lT 2 lT 2 ] E e;u, IYi 1 +/3_ t efJA.,a; ,v,-1 ds + l, lp',:'.:::Yne1IA., lzsl ds

= E [eJAT lt-12 - 2 lT e/3A.. (ys-, J(s, Ys, Zs) - f'(s, y:·, z;)) ds

+ lT lp'.:5}'.:}e·BA, lfll ds] ,

où x- = max( -X, 0). Puisque ( ~ (' p.s, et J(s, y:, z.~) ~ f'(.o;, Y;, z;) p.s.,

[

A 2 1T A 2 1T , 2 ] E e·6At 1Y,-1 + /3 t eBA.,a; 1Y,-1 ds + 1 l1y,:51·:ne/JA, lzsl ds < E [-2 lT C'üA., ('ys-.Îs) ds + lT l{y,:51:nc/JA, i§.si2 ds] .

Or, pour tout a > 0

-2(?.-,Îs) ~ 2lys-1 (rsl}\l+0sl,t1) < 2rs1~-i2+20slys-llz.,I

21 A 12 1 21 A 12 1 A 12

< 2a8 }:- + ~08 y,- + atp-:.:::1:n z .•

( 1) 21 A 12 1 · 12 < 2 + ~ as y,- + alp:.sY:} z,

54

2 1 A 12 1 · 12 l{Y.SY;} IYsl ::; 'Vs ys- + al{Y,S}:n z, 21 A 12 1 A 12 < a8 Y8- + al{Y,S'r::} Z.,

Donc,

JE [P..BA, IYi-12 + (3" 1T e13A·a.~ IYi-( ds+a" 1T l{Y,SY:}e13A.. 1z .. ( ds]::; 0, où /311 = f3 - 3 - l et a" = 1 - a - a. u

En choisissant u > 0 tel que 1 - u - a > 0 et en prenant (3 > 3 + ¼, nous avons

Par conséquent,

ef3A, IYi-12 = 0 p.s. i.e. Yi-= 0 p.s. V l E [ü, T].

D'où,

Y;~ Y;' p.s. V t E [ü, T].

0

55

Chapitre 5

EDDSR's à coefficients non-lipschitziens

5.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions les EDDSR's dont. les «oelficient.s f et q sont des fonctions vérifiant les conditions suivantes :

V (Y1, z1 ), (Y2, z2) E JRk X JRkxd, /, E [ü, T] ,

{ 1 J(l .. y,,:i) - J(t,y,,~,) 1:,; p(t,.1 Yi -y.2 12} + C: Il ~I - ~2 11: Il g(t,, YI, -1) - g(l,y2. 42) Il ~ p(t, 1 u, - .IJ2 1 ) + (l li -1 - 42 li

où C > 0 , 0 < n < 1 sont d0_<; constantes et p(t, .) une fonction positive, croissante et concave pour t fixé.

Zhou et al. [38] ont considéré ce type d'EDDSR. Ils ont établi dans [38], un résultat d'existence et d'unicité) dans le cas particulier où p est indépendant de t c'est-à-dire V t, p(t.,.) = p(.) telle que

p(O) = 0, p(u) > 0 pour 11. > 0 et j. du 11· p(u) = ::xJ.

Plus tard, H. Baoyan et a.J. [15[ ont étudié le cas général, ruais avec des conditions

restrictives sur p : [O. T] x [R+ - JR+. Plus concrètement, ils ont supposé p strictement croissante et continue telle que

56

CHAPITRE 5. EDDSR'S À COEFFICIENTS NON-LIPSCHITZIENS

pour t E [O. T] fixé, p(t, .) est une fonction concave satisfaisant

p(t,0) = 0

avec la contrainte que l'équation différentielle ordinaire (EDO) suivante

{ u'

u(T) = = -p(t, u)

0

a une unique solution u(t) = 0, t E [O, T]. Sous ces hypothèses, ils ont montré un résultat cl 'existence locale. En supposant de plus que p est à croissance linéaire eu u c'est-à-dire

V l E [ü, T], p(l, u) ~ a(l) + b(l)tt, T T

où a(l) ~ 0, b(l) 2: 0, avec 1 a(l)dl < +oo et 1 b(l,)rll < +oc, ils ont établi le résultat d'existence et d'unicité globale de la solution.

Cependant, dans la réalité, il est beaucoup trop fort d'exiger que p(t, u) soit continue en t et en u et que p(t, u) soit à croissance linéaire en 11. Donc, dans ce chapitre, nous affaiblissons ces conditions et étudions sous de nouvelles hypothèses beaucoup plus faibles, l'existence et l'uuicité de solutions des EDDSR's.

Pour ce faire, nous donnons les hypothèses dans la section 5.2 et nous établissons le résultat d'existence et d'unicité clans la section 5.3. Enfin, nous présentons un théorème de comparaison dans la section 5.4.

5.2 Hypothèses

Les notations sont les mêmes que celles des 2 premiers chapitres. Soient J : n X [O, T] X ]Rk X ]Rkxd - !Rk, g : n X [O. T] X ]Ri-· X ]Rkxd - ]Rkxl des

fonctions mesurables et ç une variable aléatoire Fr-mesurable à valeur dans JRk.

On suppose que ~ ,f et g satisfont. les conditions :

(5Hl) J( .. 0, 0) E M2(F, [ü, T]; JRk), g(., 0, O) E /v(2(F, [O, T]; ~kx1) tels que

JE (1T (IJ(s, 0, 0)12 + lg(s, 0, 0)12) ds) > 0, 57

(5H2) V (:1}1, z1 ), (:y2, z2) E JR.k x JR.kxd et t E [O, T],

{ 1 J(t, Y1, zi) - J(t, Y2, z2) 12~ p(t, 1 Y1 - !12 1

2) + C Il z1 - z2 112

Il g(t,, Y1, zi) - g(l, Y2, z2) 112~ p(t, 1 Y1 - Y2 12) + n Il z1 - z2 112

où C > 0 et O < a < 1 sont deux constantes et p : [ü, T] x JR.+ - JR.+ vérifiant :

- pour t E [ü, T] fixé, p(t, .) est concave, strictement. croissante telle que

p(t, 0) = o.

- pour u fixé,

1T p(t, u)dt < +oo, - pour tout M > 0, l'EDO suivante

{ u' =

u(T) = -Mp(t, u)

0

a une solution unique ·11. définie par

u(t.) = 0, l E [O, T].

Remarque 5.1. Si les coefficients J et g vérifient la condition de Lipschitz uniforme (condition (H2) du clunnlr« 2, section 2.2), ils vb'ifù:nf lu coiuliiicn: (5H2) avec p(t, u) = Cu.

Si f(f., y, z) = "(t.)fi(y) + h(z) et .11(l, y, z) = a(t.)fi(y) + h(z) où a(t) est dl-intégrable sur [O, T] et f1, h, g1 et 92 vériji.rnf. la condition de Lipschitz mi.if orme ( condition {H2) du chapitre 2), alors .f et q or:·,~ficnf la. mndition (5H2) avec p(t, u) = 2Ca.2(t)u.

Exemple 5.1. .f(t,, y. z) = ~ + ~z et g(t, y, z) = W + ~z. Il est facile de vérifier que f et g satisfont les conditions (5Hl) et (5H2) avec p(l, u) = Ït·

Exemlpes de fonctions p(t,u)) vérifiant la condition (5H2) : ,,(t.,u) = ~11.,

1 - e-u p(l, u) = ../i , etc ..

58


5.3 Existence et unicité de solutions

Le résultat principal d'existence et d'unicité de solutions de ce chapitre pour les

EDDSR's (!, g, ç) est. donné par le théorème suivant

Théorème 5.1. Supposons que f, q et é, vérifient les hypothèses (5Hl)-(5H3). Alors, l'EDDSR (1) admet une unique solution (y,.::) dans S2(F, [ü, TJ; R) x M2(F, [ü, T];Rrl).

La preuve de l'existence est basée sur les itérations de type Picard. Si J, g et. ç vérifient les hypothèses (5Hl)-(5H3), alors, grâce au théorème 2.1, on peut construit récursivement une suite cl'èlémcnts de S2(F, [O. T]; Rk) x M2(F, [O, T]; Rkxd) de la manière suivante : V t E [O, T], Yi0 = 0 et V n ~ 1,

!T !T ;,·T Y,n = ç + f(s, r:;i-1, z;1)ds + g(s, r:;i-1, z.:')dRs - z;1dWs. 1 t · 1

{5.1)

En effet, pour y et l fixés, J(t, y,.) et g(t, y,.) sont lipschitziens, Par conséquent, pour yn-l E S2(F, [O, T]; Rk) donné, d'après le théorème 2.1, l'équa tion {5.1) a une unique solution (Y't, Z11

) E S2(F, [O, T]: Rk) x M2(F, [O, T]; Rkxd). L'objectif est de prouver que ia suite (Y", zn)n~l converge dans S2(F, [O, T];Rk) x M2(F, [O, T];m.kxd) vers la solution de l'EDDSR (1).

Pour cela, nous donnons deux lemmes préparatoires.

Lemme 5.1. Supposons les hypot/u',_ses (5Hl), (5H2) et (5H3) vérifiées.

Alors pour tout O :S t. '.ST, n, m, ~ 1,

Preuve. D'après la formule de Itô, 011 a

E IY,"+m - Ytl2 + JE !T 1z;i+111 - z;f ds T

= 2E l (y,n+m - y,n' J(s. r:;i+m-1, z;•+m) - f(s. }·~,n-1. z.~)) ds • 1

T +JE l lg(s. ysn+m-1. z.~+m) - g(s, y;i-1. z,;')12 ris.

59

1 De (5H2) et de l'inégalité de Young: 2ab ~ Tl2 + 0b2, pour tout 0 > 0, on a,

JE IYi11+m - Yt12 + JE 1T 1z~+m - z:112 ds

< iJEiT l~n+m - ~nl2 ds + (0 + l)JE1T p(s, 11~;1+111-l - ysn-112)ds (5.2) t t

+(OC+ n)JE 1T 1z.~i+m - z;12 ds.

En prenant 0 = 1 ~, a > 0, il résulte du lemme de Gronwall et de l'inégalité de

Jensen que

0

Lemme 5.2. Supposons les hypothèses (5Hl), (5H2) et (5H3) vérifiées. Alors, il existe T1 E [O, T[ et une constante M1 ~ 0 telle que

Preuve. D'après la formule de Itô,

JE IYtl2 + JE 1T 1zr12 ds = JE lc;l2 + 2JE 1T (Ys11, .f(.<;, 1~;1-1, z.~) > ds

+JE 1T lg(.,;, Yt-1' z;1)l2 <f.,;. De (5H2) et du fait que 2ab ~ ~a2 + 0b2, pour tout 0 > 0, 011 a

2 (Yn. J(s, yn-l zn.)) < ~ 1Ynl2 + e IJ(s yn-1 Z")l2 S· .s 'S - 0 S 'S ,.~

< t 1Ytl2 + 20p(s, IYt-112) + 20C 1z.~'f! + 20 l.f(s, 0, 0)12,

lg(s, y;i-1, z.~) 12 ~ (1 + e)p(s, 1Yt-112) + (1 + e)o: 1z.~112 + (1 + ~) lg(s, o. o)i2.

60

Par conséquent,

JE IY,"f + [1 - 20C - (1 + 0)a]JE 1T IZ.~1'12 ds T T

< JE lçl2 + 1JE 1 1Ys"l2 ds + (30 + 1) 1 p(s, JE 1v;i-1 l2)ds

JT 2 1 2 +JE t [20lf(s,O,O)I +(l+o)lg(s.O,O)I ]ds.

1 - (l' En choisissant 0 = _ î, > 0, on a ,,+o,

lEjçl2+ 2~-+aalE JT1Ytl2ds+ (32~-+~t +1) 1T p(s,JEIYs"-1l2)ds

JT [2(1 - a) 2 1 + 2C 2] +JE 2c IJ(s.O,O)I + . jg(s,O,O)I ds. 1 .+a 1-n

Ainsi, en appliquant le lemme de Gronwall, on déduit la majoration suivante

JE IY,''112 ~ µi + ( 32~ -+ aa + 1) e(2~~:>T 1T p(s, JE IY,n-1 l2)ds, (5.3)

où

(2C+a)T ( 2 1T [2(1 - a) 2 1 + 2C 2] ) µ: = e •· n JE lçl + lE 20 lf(s, 0, 0)1 + -- jg(.s, 0, O)I ds . t +a 1-Œ

Dans la suite, nous posons

(2C+n)T lT [2(1 - a) 2 1 + 2C 2] A = 2e 1-0 JE ' IJ(s. 0, O)I + -- jg(s, O. O)I ds. ,0 2C+n 1-a

et

{ ( 1 - Q' ) ~ ( 1 - Ü ) C:T } M = max 32C +a+ 1 e 1-u , ---Z::- + 1 ei:-;; > O.

Prenons

(5.4)

(5.5)

Alors, de l'hypothèse (5H2), on a 1T p(s, M1)ds < +oo. Dès lors, on peut trouver un réel positif T1 dépendant de ç et T, a, C tel que

61

CHAPITRE 5. EDDSR'S A COEFFICIENTS NON-LIPSCHITZIENS

1T . flô p(s,l\l1)ds $ M.

T1

1T 1.1 En effet, si

O p(s, l\l1)ds $ ~;, alors, on choisit T1 = O.

1T 1 lT Si O

p(s, Af1)ds > ~;, puisque la fonction t 1-+ 1

p(s, Mi)ds est continue,

lT 1

il existe T1 E]O, T[ tel que p(s, Afi)ds = '::J.· T1

Par suite, de l'inégalité (5.3) et le fait que p(l, .) est croissante, on a pour tout

t E [T1. T]

JEIY/12 $ µ;+A11Tp(s,JEIY}l2)ds

< µ& + M {T p(s, Mi)ds $ 2pà = M1, ln

lE JY/f $ µ; + M 1T p(s,lE JY/l2)ds < 11.i + M {T p(s, M1)ds $ 2J1·6 = M,, i;

Par induction, on a pour tout n ~ 1, t E [T1, T],

Ce qui établit le lemme D

A l'aide de ces deux lemmes, on peut à présent établir la preuve du théorème 5.1.

Preuve du théorème 5. 1. Existence. Pour tout n ~ 0, définissons la suite de fonctions </)11, en posant

V t E [O, T], </Jo(t) = M 1T p(s, Mi)ds

et pour n ~ 1,

c/Jn(t) = M 1T p(s, 1n-1(s))ds,

62

où Met M1 sont définis respectivement dans (5.4) et (5.5). De ce qui précède, pour tout t E [T1, T],

Puisque p(t, .) est croissant pour tout t E [T1, T], on a

T ,T

<P1 (t) = Ml p(s, <t>o(s))ds ~ kf i p(s. Afi)ds = </J0(t)

< J\41'

T T q>2(t) = J\f l p(s,</>1(s))ds ~ Ml p(s,<po(s))ds = <P1(t)

. t t < Mi.

Par induction, on a pour tous n ~ 0 et t E [T1, T],

Il en résulte que la suite { <t>11(l)}n~o est décroissante et. uniformément bornée sur

[T1.T]. D'autre part, pour tout n ~ 0 et t, t' E [T1, T], on a

tvt' tvt'

l<Pn(t) - ~n(t')I = J\l f p(s,<Pn-1(s))ds ~ M f pi». M1)ds. , l/\1,1 • t/\11

Puisque t 1---+ 1T pi s, A/1 )ds est continue, il vient que t.

sup l<Pn(l) - <Pn(t')I __. 0, quand Il - l'i __. O. n

Dès lors, {<Pn(t)},,~0 est èqui-uniformément continue sur [T1, T]. Par conséquent, d'après le théorème de Ascoli-Arzela 141, {<Pn(t)}.,.~o converge sur [T1. T] vers une limite ( t), quand n __. o. Puisque la suite { </>n ( t nn~O est décrois sante et p(l. .) est croissant pour tout l E (O. T], on a

V t E [Ti, T], <p(t) ~ <Pn(t),

63

et T !T Ml p(s, </J(s))ds ~ M t p(s. <Pn(s))ds = <Pn+1(t).

Donc, en passant à la limite, on a

V t E [T1, T], M lT p(s, </J(s))ds ~ </J(t). (5.6)

Par ailleurs, connue { <Pn ( t nn~O converge vers ( t) uniformément en t sur (T1, T], alors pour tout E > 0, il existe n0 E N tel que pour tout t E [T1, T], on ait

V n ~ no, </J(t) ~ <Pn(t) ~ q>(t) + E.

Ainsi, V n ~ no, p(t, <Pn(t)) ~ p(t, <j)(l) + E),

alors,

i·T V t E [T1, T], n ~ no, (/J(t) ~ (/Jn+1(t) ~ 1'I p(s. q.i(s) + t:)ds. . t

Par conséquent,

VE> 0, t E [T1, Tj, (j)(t) ~ M lT p(s, </>(s) + E)ds. Il s'ensuit que

V t E [Ti, T], <l>(t) ~ iuf{M lT p(s,</>(s) + ~)ds}. e>O , t

, !T Par concéquent, puisque p(t, .) est croissant pour tout t E [O, T] et t p(s, cp(s))ds

est fini, nous avons

V t E [T1, T], (/)(t) ~ M 1T p(s, </J(s))ds. D'où, en combinant (5.6) et (5.7), nous obtenons

V t E [T1, Tl, (j)(t) = M 1T p(s, Q(s))ds.

(5.7)

64

1

De l'hypothèse {5H2), il vient que V t E [Ti, T], </J(l) = O. D'après le lemme 5.1 et le lemme 5.2, il découle de la définition de { <Pn(l)}n~o que pour tout l E [T1, Tl, n, m 2: 1,

JE 1~2+m - ~212 ~ ei~1:. ( 1; ü + 1) 1T p(s, JE IY,l+m - ~! 12)ds

< MlT p(s,<f>o(s))ds = 1>1(l)

< M1,

Ainsi, par induction, on a

(5.8)

Par conséquent, puisque </Jn converge uniformément vers O sur [T1, T], il en résulte que la suite {Yn} est de Cauchy dans M2(T1, T;Rk). Aussi, à partir de (5.2), nous déduisons que la suite {zn} est. de Cauchy dans M2(T1, T; JRkxd).

Montrons maintenant que la suite { Y11} est aussi de Cauchy dans S2([T1, T]; Rk).

En appliquant la formule de Itô à la quantité l~n+m - Y,"j2, ou a

1 }~n+m - Y,n 12 + iT I ZI'+m - ZI' 12 ds

J,·T

= 2 /yn+m - yn J(s yn+m-1 zn+m) - f(s y11-l zn)) ds \ ~ .9 • , ,q ., s , s , '.Js

• t

+2 JT / yn+m _ yn (g( , yn+m-1 zn+m) _ l (s yn-1 zn))dB) \ s ·"' • s~ s , s Y , ,t.; ~ s · .~

f

-21T (Y"+"' - yn_ (zn+m - Z11)dW) s ..• .,, li s t

iT , n+m-1 n+m n-1 n 2 + 1

lg(s, Y., , Z.~ ) - g(s. Ys , Z., )1 ds.

65

1

1 De l'hypothèse (5H2) et de l'inégalité de Young : 2ab ~ ri°,2 + 01}, V 0 > 0, nous avons

IYin+m - Yinl2 + (1 - 0C - a) 1T 1z:+m - z;i12 ds

< 11T 1v;i+m _ ysnl2 ds + (0 + 1) 1T p(s, IY;i+m-1 - y;i-112)ds

1T +--- +2 / yn+m _ yn (g(s yn+m-t zn+m) _ g(s yn-1 zn))dB ) \ s si , s , s , s 1 s s t

-2 JT (Yn+m - yn (zn+m - zn)dW) s s• s s s · t

1-a Ainsi, en choisissant 0 = ~, nous déduisons de l'inégalité de Burkhôlder- Davis-Gundy que pour un certain C' > 0

JE ( sup IYin+m - Yin12) T19~T

< ilE {T IYsn+m - r:nl2 ds + (0 + l)lE {T p(s, jY;i+m-1 - y;i-112)ds h h 1

+2C'lE Cl~ IY.n+m - ~nl21z;1+m - z:12 ds) 2 T !

+2C'lE ([I w.n+m - ~nl2 lg(s, y;i+m-1, z;+m) - g(s. y;i-1, z:)12 ds) 2 < iE {T IY:'+m - Y:'12 ds + (0 + l)E {T p(s, IY:'+m-1 - y:i-112)ds h h

+2C'E ( sup IYin+m - Ytl ( {T 1z:+m - z:12 ds) ½) T19~T lr1

+2C'E ( sup IYin+m - Yinl ( {T lg(s, r:n+m-1, z.:•+m) - g(s, y;i-1' z:)12 ds) ½) . T1<::t<::T lr1

66

1

Puis, en appliquant l'inégalité de Young : 2ab ~ }a2 +Mi, V 6 > 0, il suit que

E ( sup l'Yin+m - y;n12) Ti9'ST

< iE {T 1y;1+m - ysnl2 ds + (0 + l)E {T p(s, l'(;i+m-1 - 'r:~n-112)ds h h +26E ( sup l}~n+m - rtl2) + C'2 E ( {T 1z.~+m - z_;f ds)

Ti :.:;t,ST Ô ./ Ti

+ ~2 E (fr~ lg(s, ysn+m-1. z;+m) - g(s, '(;1-1. z:)12 ds). Eu se reférant à (5H2) et en prenant 6 < ½, nous déduisons l'existence d'une constante l( > 0 telle que

E ( sup l"Yin-..m - y;n12) T1$.t'ST

~ KE {T IYsn+m - Ytl2 ,1:-; + K {T p(s, E l)~;i+m-1 - '(;'-112)d.'i .h h +KE (fr~ 1z:+m - z;12 ds).

De ( 5.8), pour tout l E [T1, Tl, nous tirons que JE l}~n+m-1 _ y;n-112 ~ <Pn-2(/.).

D'où

Par conséquent,

JE ( sup l"Yin+m - y;n12) Ti 'St'ST

T T

< K ( E Ir. IYsn+m - '(t 12 ds + J\lf </Jn-1 (Ti) + E il I z:i+m - z: 12 ds) . Puisque [Y"} et {Zn} sont de Cauchy respectivement dans M2(T1,T;JRk) et M2(T1, T;JRkxd) et que </)11_1(Ti) converge vers 0, ou déduit que {}/71} est de Cauchy

67

1

dans S2([T1, T]; JRk). Par conséquent, comme S2([T1• T]; JRk) et M2(T1, T; JRkxd) sont des espaces de Ba nach, {Y11

} et {Z"] convergent. Soit Y la limite de {Y"} et Z celle de {Z11}.

Alors (Y,Z) E S2([T1,T];JRk) x M2(T1,T;JRkxd). Montrons que (Y, Z) est solution de l'EDDSR (1) sur [T1, T].

On a, par définition de M2(T1' T; ]Rkxd), lim JE ( {T 1z.:· - zi ds) = O. n-+oo l-,

Donc, pour tout l E [T1, T],

D'autre part, en appliquant le lemme de Fat.ou à (5.8), 011 a pour tout t E [T1, Tl,

JE IYt - Y,12::; liminf JE l"Yin+m - Yi1112::; <Pn-1(t). m.~oo

Il vient donc de l'inégalité de Hôlder et de la. propriété d'isométrie de l'intégrale

stochastique de Itô que

T 2

JE 11 f(s, Ys11, z:) - f(s, Ys, Zs)dsl < (T - T1)JE 1T IJ(s, )~.", z;1) - f(s, Y., z,.)i2 ils

T T < (T - T1)CJE 1 1z: - Zsl2 ds + (T - T1)IE 1 p(s, W:' - Y/)ds < (T - T1)CJE 1T jz;1 - zJ ds + (T ~,,Ti) <P,,(l)

et

1

T 12 T JE 1 g(s, Y.", z.:1) - g(s. Ys, Zs)d13s = JE 1 lg(s, Yt, Z.~) - g(s, Ys, Zs)l2 ds

< nJE 1T IZ.~' - Z,.12 d.-; + !</Jn(t).

Par conséquent, pour tout t E [T1, T],

1T f(s, Y:', z_;1)ds -1T f(.-;, Y., Zs)ds en probabilité, quand n -t oo

68

1

et

en probabilité, quand n - oo.

0

Donc, par passage à la limite dans l'équation (5.1), 011 obtient

T T T Y, = ( + 1 J(s, Y,, Zs)ds + 1 g(s. Y., Zs)das -1 Z,.dH:,. T, :s; t :s; T.

1 t t

Il en résulte que la limite (Y. Z) sur [T1, T] de la suite (Y11• Z") satisfait l'équation

( 1) sur [T1 , T]. Nous venons ainsi de montrer l'existence d'une solution de l'EDDSR (1) sur [Ti, T].

Si T1 = 0, alors l 'existence globale est prouvée. Si T1 #- 0, on considère l'équation à horizon Ti et de donnée finale Yri suivant

(5.9)

Ou construit, comme en (5.1), la suite approximante de Picard associée à l'équation

(5.9) que nous notons aussi (Yn)n- En utilisant la même teclmique de la preuve du lemme 5.1 et du lemme 5.2, nous établissons, pour tout t E [O. Ti], n, m ~ 1, les inégalités suivantes

E 1v.n+m - Y"l2 < e r1~ ( 1 - (} + 1) 1T1 p(s JE 1v:•+m-l - y11-112)d:, t t - (' , .•• s , , t

et

2 2 ( 1 - U ) (2C+n)T 1T1 . 2 JEIYtl :::; µ1+ 32C+n +1 c---y::-;;-

1 p{s.E!Y:'-11 )ds

où

2 (2C+o)T ( 2 1T [2(1 - a) ,, 1 + 2C 2] ) µ1 =e~ EIYr1I +JE 1 2C+n IJ(s,O,OW+ l-o lg(s,O,O)I ds .

En posant 2 (2C+n)T 2 M2 = 2µ0 = 2e---.=--;;--E 1Yr11 + A.

comme dans le lemme 5.2, il existe T2 E [O, Ti[ tel que

69

1

Ici T2 = 0 ou T2 E]O. T1 [ tel que

{Ti µ5 lr

2 p(s, M2)ds = l\F

Comme précédemment, on montre l'existence d'une solution de l'EDDSR (5.9) sur [T2. T1]. Si T2 = 0, la preuve de l'existence est complète. Sinon, ou répète le même processus.

Ainsi de suite, on obtient la suite {Tv, l'i, Mp, p 2:: 1} définie par

0 ~ Tp < Tv-1 < ... < T1 < Tc = T,

(2C+n)T [ 2 1T (2(1-a) 2 1 +2C 2) ] µ'/ =e 1-0 EIYr,, 11 +Et 2C+a IJ(s,O,O)I + l-a lg(s,O,O)I ds , (2C+n)T 2

M; = 2µf; = 2e 1-<> E !Yrv-il + A,

telle que

1T1,-1 µg p(s, Mp)ds = 1\/"

T,, Par conséquent, nous obtenons par itération, l'existence d'une solution de l'EDDSR

(1) sur [Tv, Tl, pour tout entier p 2:: 1. Montrons, maintenant qu'il existe un entier p 2:: 1 tel que 1~, = O.

Supposons que 'r/ p 2:: 1, Tp > O. On a, d'après (5Hl),

(2C+a)T 2 'rf p 2:: 1, l\IP = 2p,b = 2e 1-0 E jYT,,_ 1 j + A 2:: A > O.

Alors, 011 a A

'rf p 2:: 1, 0 < M ~ 1. p

On sait que pour tout t E [O, T], la fonction p(t, .) est concave et p(l., 0) = O. Donc

'rf ). E [0, 1 j, 'r/ u E JR+, p(t, >.u) 2: >.fi( I, u).

A . En prenant >. = M et u = Alv dans (5.10), on obtient, pour tout p 2:: 1,

p

(5.10)

A A p(t, A)= p(t, MMp) 2: Mp(l., 1"vl,,). p p

70

Il en résulte alors, pour tout p 2 1 que

{T p {Ti-1 p A {T,-1 p A µb l7

p(s. A)ds = L l7

p(s, A)ds 2 LV. l7

p(s. Afi)ds = L ~f M. Tr i=l T, i=l 1 i T; i=l 1 i

i 1 Or, par définition, :J. = 2, pour tout i 2 1. i.

Donc, pour tout p 2 1,

{T pA lr p(s, A)ds 2 2Af.

p

(5.11)

Le réel A étant strictement positif, le membre de droite de (5.11) tend vers l'infini lorsque p tend vers l'infini.

Par conséquent, comme fT p(s, A)ds est fini, on peut trouver un entier p assez t; grand tel que

lT 1n·T p(s, A)ds 2 p(s, A)ds, , Tr, . o

ce qui est absurde et clone Tp = O. Par conséquent, il existe p ~ l tel que quelque soit k 2 p, n = O. Ainsi, on obtient l'existence de la solution sur [O, T]. Unicité. Soient (Y, Z) , (Y', Z') deux solutions de l'EDDSR (1). Soit /3 > O. Eu appliquant la formule de Itô à I½ - Y;'l2ei1t, on a

lT 1·T JEI½ - Yi'l2c111 + /3IE IY. - Y;12é'ds + JE IZ., - z.~l2c/J·'ds , 1 , 1

= 2JE !T (Ys - Y;, J(s, Y., z .• ) - J(s, ~:. z.:)) c'hds

+JE !T jg(s. Ys, Zs) - g(:,, Y;, z;)l2c'1·'ds. 1

Ainsi, de (5H2) et de l'inégalité de Young 2n.b ~ (3a2 + 1nl, nous obtenons que

JEI½ - Yr'l2ei11 + (1 - a -1C)JE JT IZ., - Z~l2c:"15ds

< (~ + 1) JE !T p(s, IYs - Y:l2)ei1sds. 71

1


En choisissant f3 > __!!__ et en remarquant que 1 ~ P.111 ~ pJrr, V t E [O, Tl, nous 1-n

avons

IEIYi - Y/12 + (1 - a - ¼c)IE jr 1z .• - z.~12r1 .••

~ (½ + 1) c'~TJE 1T p(s, IY, - }~J2)cls.

Par conséquent,

D'après le théorème de comparaison pour les équations différentielles ordinaires,

nous avons

IEIYi - Yi'l2 ~ r(t), V t E [ü, T],

où r(t) est une solution de l'équation suivante :

{ u' = -(i + l)ei1T p(t, u};

u(T) = O.

D'après (5H3), r(t) = 0, t E [O, T]. Ainsi, lEIYi - Y/12 = 0, l E [O, T], soit Yi= Y/, IP-p.s. V l E [O. T]. De (5.12), il résulte que Z1 = z:, IP-p.s. V l E [O, T].

(5.12)

D

5.4 Théorème de comparaison

Pour terminer ce chapitre, nous donnons un théorème de comparaison pour ce type d'EDDSR's. Ici, nous considérons seulement les EDDSR's uni-dimensionelles, i.e., k = 1. Considérons les EDDSR's suivantes :

lT 1T -- lT }~ = ç + J(s, ),:., Z .• )ds + g(s, }~, Zs)dB., - ZsdWs, • t t . t

T T T

}~' = ( + J t(s, y:, z.~)ds + f g(s, y:, z;)~ -J z;dW., t . t t

72

1


où ç, (, f, f' et g vérifient les conditions du théorème 5.1. Alors il existe deux paires de processus (Y, Z) , (Y', Z') E S2(F, [O. T]; JRl x M2(F, [O, T];!Rd) solutions respectives des EDDSR's (J,g,ç) et (11,g,().

Nous pouvons énoncer le théorème de comparaison suivant. :

Théorème 5.2. Supposons que les EDDSR 's (J, g, ç) et (f', g, E,') vérifient les condi tions du théorème 5.1. Soient (Y, Z) et (Y', Z') les solutions respectives des EDDSR's (J,g,ç) et (11,g,ç'). Si ç ~ E,'. lP- p.s., et J(t, y, z) ~ J'(l, y, z), lP - p.s., V (t, y, z) E [0, T] x lR x IR. Alors Yi ~ Yi'. lP - p.s., V t E [O, T].

Preuve. Soit ,B > O. En appliquant la formule de Itô a 1 (Yi - Y;'f l2efJt, on a

JEI (Yi - Yi'r 12é~1 + /jJE 1T 1 (Ys - Y:)- l2e135ds + JE 1T l{r'.,:S-r::}IZs - z~12/Jsds

= JEI (ç - er l2e{jT - 2JE 1T ( (Ys - Y:r, J(s, Ys, z .. ) - f'(s. Y:, z;)) e{j5ds l·T +JE 1{}''.,:S-Y:}l9(S, Ys, Zs) - g(s, Y:, Z~)l2e11·'ds. • t

Puisque ç ~ ç', JP-p.s. et J(s, y:, z;) ~ f'(s, Y;, z.~). l?-p.s.,

T ·T JEI (Yi - Yi') l2e'11 + jJJE f 1 (Ys - r::r 12cr1·'ds + JE / lo:.:9D IZs - z.~12e1

1·'ds · t , 1

~ -2JE 1T ( (Y. - r::r , J(s, Ys, Zs) - J(s, Y:, z;)) c118ds +JE lT 1{}''.,$'}·:nlg(s, Y., z .• ) - g(s, Y;, z~)l2e138ds.

, I

73

1

Ainsi, de (5H2) et de l'inégalité de Young 2ab :S /Ja2 + ?/2, nous obtenons

!El (Y. - Y.')- l2e1u + BIEiT 1 (Y. - Y')- l2ef1·'ds + EiT 1 · , IZ - Z'l2efJsds t t . s s · { l'., :5 Y,} .• s t t

< tJIE 1T 1 (Y ..• - Y:f l2e115ds + ¾JE 1T l{Y.:9:.:} (p(s, IY ..• - Y:12) + CIZs - Z~l2) ef35ds t ' t

+IE 1T l{Y,.~;Y:} (p(s, IYs - Y:12) + alZ .• - Z~l2) e(Jsds

< /31E 1T 1 (Ys - Y:)- l2e13"ds + (½ + 1) E 1T l{Y.~Y:}P(s, IY. - Y:l2)e135ds

+ (½c + o:) JE 1T l{Y.:51".:llZs - Z~l2efi-'ds

< {JIE 1T 1 (Ys - Y:)- l2e135ds + (½ + 1) JE lT p(s, 1 (Y. - Y:)- l2)e135ds

+ (½c +a) JE lT l{Y.::;Y;>IZ ..• - z;12e138ds.

C En prenant /J > --, nous avons, d'après l'inegalité de .Jensen 1-o:

En utilisant le même raisonnement que celui de la preuve de l'unicité, on conclut que

E] (Yi - Yi')- 12 = 0, V t E [ü, T].

D'où }"t ~ Y/, 1P - p.s., V l E [O, T]. D

74

Chapitre 6

Applications : EDPS's à coefficients non-lipschitziens, solutions de viscosité stochastiques

6.1 Introduction

La théorie des EDDSR 's 11011 linéaires joue un rôle essentiel daus la résolution des EDPS's. En effet, il est bien connu aujourd'hui qu'en considérant une équation différentielle doublement stochastique rétrograde couplée avr«: 11m· équation différen tielle stochastique progressive, on peut construire la solution de certaines EDPS's. On peut citer par exemple les travaux de Pardoux-Pcug 1311, pour les solutions fortes et. Buckdalui et. Ma (lïl,181), l3ally et Matoussi [3]. pour les solutions faibles. Dans cc chapitre, nous nous intéressons au lien qui existe eut rc les solutions de viscosité stochastiques des EDPS's et les EDDSH.'s.

Notons que la notion de solutions de viscosité srochastiqu« pour les EDPS's a i'.>t{• introduite pour la première fois eu 1998 par Lions and Sougauidis dans [211. Les applications de telles solutions sont présentées par les lllh11es auteurs dans [22]. Leur démarche est basée sur la méthode appelée "Stochast ir characteristics". C'est une technique qui consiste à enlever l'intégrale stochast iquo intervenant dans l 'EDPS. U1w aut ro \.c'drniq1w pour définir 1111<' solution cl<· visc:osit.{· st ocliust.ique d<'S EDPS's

7G

1

CHAPITRE 6. APPLICATIONS : EDPS'S À COEFFICIE~TS NON-LIPSCHITZIENS, SOLUTIONS DE VISCOSITÉ STOCHASTIQUES

est d'utiliser la transformation de "Doss-Sussman" qui est une méthode qui permet de convertir une EDPS en une EDP ordinaire. Buckdahn et Ma ont utilisé dans 17] et 181, cette approche pour relier la solution de viscosité stochastique des EDPS's avec les EDDSR's. Dans cc chapitre, nous utilisons la transformation de Doss-Sussrnan et nous établis sons un résultat d'existence de solutious de viscosité stochastiques pour les EDPS's

de Itô, de la forme suivante :

u(t, .c) = l(x) + 1T[.Cu(s, .i:) + J(s, :r, u(s, .r), (a* Du)(s, ,1:))]ds (6.1) T

+ 1 g(s, :1:, u(s, x))~, l E [ü, T]

où u est à valeurs dans IR, et

f : fh x [O, T] x IRq x IR x ]Rd - IR, g : fh x (0, T] x JR'I x IR - JR1, b : [ü, T] x JR'I - ]Rq, a : [O, T] x IRq - IRqxtl et l : JR'I - IR sont des fonctions vérifiant les conditions suivantes:

(<iA1) 9 E ct2·:\[o, rJ x JR'I x IR; IR1),

(6 A2) f(., 0, 0, 0) E M2(F8, [O, T]; IR), g(., 0, 0) E M2(F1\ [O, T]; !R.1) tels que

E ClT (IJ(s, 0, 0, 0)12 + lg(s, 0, 0)12) ds) > 0, C'A3) V (y, z) E IR x Rel, .r.1, :1:2 E ]R.'1 et I.E [O, T],

1 J(t, :r1, y, z) - J(t, :r2, Y, z) IS: /\'(I :r1 - :r:2 1),

1 J(l. x, Y, z) IS: b(t) + a(t)IYI + Kll=II,

où J( > 0 est une constante, a et b sont des processus possitifs déterministes T

tels que f (a(s) + b(t)]ds < +oo, .f o

76

CHAPITRE 6. APPLICATIONS : EDPS'S À COEFFICIENTS NON-LIPSCHITZIENS, SOLUTIONS DE VISCOSITÉ STOCHASTIQCES

{ 1 J(t, x, YI, Zr) - J(t, x, Y2, z2) 12s p(t, 1 Y• - Y2 12) + C Il Z1 - Z2 112

11 g(t, x, v1) - g(t, x, Y2) 112s p(t, 1 Y• - v2 12)

où C > 0 est une constante et p : [ü, T] x R+ ---+ R+ vérifiant :

(i) pour t E [O. T] fixé, p(t, .) est concave, strictement croissante et continue telle que

p(t, 0) = o. (ii) pour u fixé,

1T p(t, u)dl < +oo, (iii) pour tout M > 0, l'EDO suivante

{ u' = -Mp(t,11)

u.(T) = 0

a une solution unique u définie par u(t) = 0, t E [O, T].

(6 AS) Les fonctions c; : [O, T] x Rq ---+ Rqxd et b : [O, T] x JR." ---+ Rq sont uniformé

ment lipschitiennes de constante de lipschitz commune K > O.

(6 A6) La fonction l : R'I ---+ R est continue et bornée.

Pour cela, nom; considérons l'EDDSR suivante :

yt,T = [(Xt,x) + 1T J(r xt,x yt,T zt,:r)dr (6 2) ...• · T , r , r , r ·· · s

lT - 1T + ..• g(r, X;·x, Y/·x)dBr - s Z;·xdWr, s E [t, Tl,

où le processus { X.!·x; t S ,<; S T, .1: E Rn} vérifie 1 'EDS suivante :

1•• 1S X'. ,x = :r + b(r x1,x)dr + c;(r xt,,r)dW . • r. • - , r , r ., , t t

,., E [L T]. (6.3)

Notre objectif est de montrer que si l'EDDSR (6.2) a une solution {(Y;·x, Z;•x), t S s ~ T. :r E !Rq}, la fonction u: [O, T] x IR'1---+ IR définie par

'lL(t, x) = Yit,x, V (t, :r) E [O, T] X JR'I,

77

CHAPITRE 6. APPLICATIONS : EDPS'S À COEFFICIENTS NO'.'J-LIPSCHITZIE'.'JS, SOLUTIO~S DE VISCOSITÉ STOCHASTIQUES

est alors solution de viscosité stochastique de l'EDPS (6.1). Pour ce faire, nous donnons dans la section 6.2, les notations utilisées dans cc cha pitre et rappelons quelques notions et résultats sur la théorie de solution de viscosité stochastique. Toutes les notions et résultats développés dans cette partie sont ins pirés de Buckdahn et Ma [7] et de Boufoussi et al. [6J. Dans la section 6.3, nous établissons le résultat principal du chapitre. Dans la suite, nous noterons EDPS(f, g) pour l'EDPS (6.1)

6.2 Préliminaires

6.2.1 Notations

Dans ce chapitre, nous supposons que les mouvements browniens { lV,. 0 ~ l ~ T}

et { e; 0 ~ t ~ T} sont définis respectivement sur (01, .1-1, !Fi) et (02, F2, IP2) et à valeurs respectivement dans JR" et lR1.

Nous considérons par la suite, l'espace probabilisé (O. F, IP, {F, }o9~r) où i2 = n1 X n2, :F = F1 x· F2, JF = IP1 ® IP2 et Fig, :F,111 ()() :F/j.

Toute variable aléatoire ((w•1), w1 E 01, {resp. r7(w2), w2 E 02) est considérée comme variable aléatoire sur n via. l'ident.ificatiou suivante :

· pW fi. {, W} pB fi. vr. } Dans la suite, nous notons = F1 o~t~T et = .r1.r o,st<ST·

Nous désignons par /vtff.r l'ensemble des temps d'arrêt r relatifs à F8 tels que

0 ~ T ~ T. IP2 - p.s .. Pour des espaces euclidiens génériques E et E1, nous introduisons les espaces fonc tionnels suivants :

- cA·,11([0, T] x F;; t,;1) désigne l'espace de toutes les fonctions à valeurs dans E1 dé finies sur [O. T] x E. k-fois continûment différentiables en / et n-fois fois contiutunent différentiables e11 .,:, et ct11([0, T] x B: B1) le sous-espace de Ck·11([0, T] x E; Ri) des fonctions à dérivées partielles uuifonnernent bornées;

- Pour tout a-algèbre g c F/, Ck·11(Ç, [O, T] x E; Bi), (rcsp. C,~·"(Ç, [O, T] x E; Ei)

78

CHAPITRE 6. APPLICATIONS : EDPS'S À COEFFICIENTS NON-LIPSCHITZIENS, SOLUTIONS DE VISCOSITÉ STOCHASTIQUES

désigne l'ensemble des variables aléatoires à valeurs dans Ck·'1([ü, T] x E; E1),

(resp. Ct'1([0, T] x E; Ei) qui sont Q ® B([O. T] x E)-mesurables;

- Ck·11(FB, [ü, T] XE; E1), (resp. ct·11(F8, [O, T] XE; E1) est l'ensemble des variables

aléatoires '{JE Ck',11(:F/, [D, T] XE; E1), (resp. c:·11(:F,f!, [O, T] XE; E1) telles que pour tout :-z: E E, l'application (w2, t) 1--+ if(Gv·2, t, :r) est pH =progrcssivement

mesurable.

- Pour tout 17-alg,füre Q C :F/, et p ~ 0, U(Çj, R), désigne l'ensemble des variables aléatoires ç, Ç-mesurables à valeurs dans E telles que IE1çl,, < oo.

Nous adoptons aussi les notations suivantes : pour (t, :c. y) E [O, T] x !Rq x IR, - - {) {) - {) - é) - (' 2 )1/ D - Dx - (Ô,TJ ••.. , OXq), Dy - Ûy' Dt - aï• et D.n· - c}_,,,,"-'.i i.,i=I.

6.2.2 Notion de solutions de viscosité

Nous introduisons ici la notion de solution de viscosité stochastique pour l'EDPS(J. g). Pour cela, nous considérons le processus 11 E C0·0•0([0, T] x IRq x IR; IR) défini comme la solution de 1 'EDSR de Stratonovich suivante :

JT _._

r,(L:r,.11) = y+ 1

(g(s,x,17(s,x,y)),odB.,), 0 ::; l::; T. (6.4)

T où l'intégrale rétrograde au sens de Stratonovich 1 (g(s,x.p(s)).odBs) est définie par

1' T ·T l (g(s,x,p(s)),odf3s) = l l (g,Dyg)(s,:c,p(s))ds+ / (y(:;,.i:,p(s)),dBs), (6.5) , t , t • 1

1T _._

avec 1

(g(s,:r,p(.-.)),dBs) l'intégrale rétrograde au sens de Itô.

En utilisant la relation (6.5), on obtient l'équivalant. au sens de Hô de l'EDSR de St.ratonovich (6.4), c'est à dire l'équation suivante :

1 lT 17(t,:r,y) = y+2 (g,Dyg)(s,x,17(s,.T,Y))ds . t

JT +--- + (g(s, x, 17(s, :c, y)). dB.,). 0::; f, ::; T. t

79


Sous l'hypothèse (6Al), l'application y 1-+ Tt(t,x,y) est un difféomorphisme pour tout (t, :z:), JP2 - p.s. (pour plus de detail; voir Boufoussi et al. [61). Désignons par E:(t, .z:, y) la y-inverse de r1(t, x, y). Alors, on a

ê(t, x. TJ(t, :r:, y)) = y. V (t, x, y) E [O, T] x JR'I x R IP2 - p.s.

et

E:(t,x,y) = y- iT(DyE:(s,x,y),g(s,:1:,y)o~), O~t~T.

Cas particulier : si g(s, x, y)= g(s, 1;)y, alors

11T lT f--- TJ(t, .T, .11) = Y+ 2 .?/(s, x)71(s, x, y)ds + /;(s, :r)q(s, .T, y)dR8•

t • t

Par conséquent,

ry(t, x, y) = y exp (lT g(s, x)das) g yiJ(t, .1;), où 1Î(/., :r) = exp (lT lJ(s, :1:)dBs) et

E(t,x,y) = yexp (-1T g(s,x)dHs) ~ yi(t,:r:), où i(t, .1:) = exp (--1T [J(s, x)dBs) = ij-1(t, x). Remarque 6.1 (cf. [61). Sous l'hypothèse (6Al), le [loi t] défini par l'EDSR (6.4) appartient à c0•2•2 ( Ji'8. [O, T] X ]Rq X JR; JR). Il en est de même pour son y-inverse é(t, x, y) g [77(l, .r, .)J-1 (y). Alors en considérant la transformation

,j;(t, x) = 71(t, X. ip(l, x)), (t, x) E [O. T] x JR!.'1,

o·u l 'équivala.nt

;;(t, .z:) = é(l, x, 1/)(l, x)), V (t, x) E [0, T] x JR'I,

80

il en résulte que~> E c0,P(F8, [O, T] x JRq;JR) si et seulement si ip E c0,P(F8, [O, T] x lR'I; JR), pour p = 0, 1. 2. De plus si 'P E C0·2(F8, [O, T] x lR'1; JR), on a

DxxV' = Dx,vT/ + 2(DxyTJ)(D,vcp)* + (DyyT/)(Dxcp)(Dx:;)* + (Dy17)(D:rx:P),

Par ailleurs, puisque E(l,x,·11(l,x,y)) = y, V (l,x,y) E [O, T] x lRq x JR, IP2 - µ.s.,

on a IP2 - p.,.;.

D,r,i:E + 2(DxyE)(Dx11)* + (DyyE)(Dx17)(Dx17)* + (Dyc){D,u1J) = 0, (DxyE)(Dy17) + (DyyE)(Dx17)(Dy17) + (Dyc)(Dxy17) = 0,

(DyyE)(Dy17)2 + (Dyê)(Dyy1J) = 0, où toutes les dérirëes partielles de E(., ., .) sont évaluées en (t, .r, q(I., x, y)) et toutes

celles de 17(., ., .) sont. évaluées en (t, x, y).

Nous donnons maintenant la définition de solution de viscosité stochastique pour

l'EDPS(J, g). Pour simplifier les notations, considérons l'opérateur A f.g défini par :

A1.9(.p(l, :i:)) = -L'{)(l, :1:)- f (t, :r, :;(/,, :1:), a*(t., :1:)/J.1,ep(I., :1:))+~(!J, I J11g)(I,, :r, r.p(I., :i:)).

Définition 6.1. • Un champ aléatoire u E C0·0(F'8, [ü, TJ x lRq; JR) est appdfr sous-solution de viscosité stochastique de l'EDPS(J, g), si u(T, :z:) ~ l(J;), V .r E JR<i; et si pour tout temps d'arrêt , E }vlff,r, ç E L0(:F;1, JR<i) et tout champ aléatoire :; E C1•2(:F!, [ü, T] x lR'1; JR) vérifiant pour TP-presque tout w2 E {O < , < T}

pour tout (t,x) dans un voisinage de (,(w2),ç(w2)), on a

(6.6)

TP2 - p.s., sur {O <, < T}, où 'ljJ(t, x) ~ TJ(l, x, .p(l, .r)).

81

• Un champ aléatoire u E C0•0(F8, [ü, TJ x IR\ IR) est appelé sur-solution de viscosité stochastique de l'EDPS(J.g), si u(T,:c) ~ l(x),\f :z: E IR'I; et 8i pour tout temps

d'arrêt T E M~T• ç E L0(:F.f, IRq) et tout champ aléatoire 9 E C1•2(:F!, [ü, TJ x '

IR'I; IR) vérifiant pour ?-presque tout w2 E {O < T < T}

pour tout (l,x) dans un voisinage de (T(w2),ç(w2)), on a

(6.7)

'!P2 - p.s., sur {O < T < T}. • Un champ aléatoire u E c0,0(F8, [ü, T] x IRq; IR) est appdé solution de viscosité sto chastique de l 'EDPS(J, g), s'il est ii la fois une sous-solution de viscosité stochastique et une sur-solution de viscosité stochastique.

Remarque 6.2. Si dans l'EDPS(J, g) la fonction g = 0, ,, devient 7](t, x, y) = y, \f (t, :r., y) d l/•(l, :z:) = 1.p(t, x). Alors si J est tleiermitiisie, la dé finition 6.1 coïncide avec celle de la solution de viscosité détenniniste ( cf. Par doux, E., Zlumg. S. /33/). Ainsi la définition d'une solution de viscosité stochas tique devient la méme que celle d'une solution de inscosité déterministe pour chaque w2 E {O < T < T} fi,xé, modulo la :Ff-mesumbilité de ln [onction test sp .

Rappelons maintenant la notion de w2-solutiou de viscosité (cf. 161) qui est un pont reliant la solution de viscosité stochastique et sa contrepartie déterministe.

Définition 6.2. Un champ aléatoire u E C0•0(F8. [O, T] x IRq; IR) est appelé w2-solution de oiscositë si pour '!P2-presque tout w2 E S22, 11(w2, ., .) est une so lution de viscosité (déterministe) de l'EDPS(J(w2), 0).

Remarque 6.3. Une w2-solution de viscosité est une solution de viscosité stocluis

tique. cf. /6/.

82

1

CHAPITRE 6. APPLICATIONS : EDPS'S A COEFFICIENTS NON-LIPSCHITZIENS, SOLUTIONS DE VISCOSITÉ STOCHASTIQUES

6.2.3 Transformation de Doss-Sussmann

Dans cette partie, nous iutro<lusons la transformation dt> Doss-Sussmann, Cette transformation nous permet de convertir une EDPS cle la forme EDPS(f, y) eu une EDP de la forme EDPS(Î, 0) où j est une fonction aléatoire (progressivement

mesurable) 1lNi11i1° par :

Ï(l,:r,y,z) = (_l -. ) {f(t. :r, TJ(l, x, y), a*(t., .z:) D.,.11(t, :r. y)+ DyrJ(l, x, y)z)

)yrJ t .. :1:, .IJ

-}(g,D11g)(t,:1:,77(t,.r,y)) + lrJ(l,:r,y) + (a*(t,:1:)DxyT](t,x,y),z)

1 2} +2Dyy17(t, :1:, y)izl ' (6.8)

pour tout (t. x, y,.:) E [O, T] x IRq x IR x JRd, !?2 - p.s.

Alors, nous avons le resultat. cl 'équivalence suivant

Proposition 6.1. Une variable aléaioire u est une sous-(n:sp. sur-} soluiioti de vis cosité stochastique de l'EDPS(J,y) si et seulement si ù(.,.) = c(.,.,u(.,.)) est une sous-Iresp. sur-} solution de viscosité stochastique de l'EDPS(f, 0). Par conséquent, u est une solution de viscosité stochastique de l 'EDPS(f, !J) si et seulement si ù(.,.) = E( ... , u.(., .)) est une solution de inscosiié stochastique de

l 'EDPS(f, 0).

Ce résultat est tiré de Buckdahu et Ma 171. Nous reprcuous juste la preuve :

Preuve. Nous allons établir la preuve seulement pour la sous-solution stochas tique. La démarche est similaire pour la sur-solution stochastique. Alors, suppo sons que u E c0,0( F8, [O, T] x IRq; IR) est une sous-solution de viscosité stochastique de l'EDPS(J, g). Ainsi, d'après la remarque 6.1, ù(., .) = s(., ., u( ... )) appartient à c0·0(F8, [O, TJ x IRq; IR). Pour montrer que ü est une sous-solution de viscosité stochastique de l'EDPS(/, 0), nous considérons T E )\/l~r, ç E L0(:F;!, IRq) et 'P E C1•2(:F;!. [O. T] x IRq: IR) tels que pour !?2-presque tout ....,,2 E {O < r < T}

pour tout (t,x) dans un voisinage V(r(w2),ç(w2)) de (T(w2),ç(....,,:i)). Posons ensuite 1/)(!,J..·) = r1(t,,x,:.;(t,,:1·)). Puisque l'application y 1--+ ·T](t,.1:,y) est

83

1

CHAPITRE 6. APPLICATIONS : EDPS'S À COEFFICIENTS NON-LIPSCHITZIENS, SOLUTIONS DE VISCOSITÉ STOCHASTIQCES

strictement croissante, pour tout (l, .c) E V(T(w2), ç(w2)), nous avons

u(t, x) - î)J(t. ;r) = 17(t, x, ü.(t, x)) - 17(l, :c, ip(t, :r))

< 0 = rJ( T. ç, ü(-r, ç)) - 77( T, ç, ip( T. ç)) = u( T, ç) - ip( T, ç),

IP2 - p.s., sur {O < T < T}. Dès lors, puisque u est une sous-solution de viscosité stochastique de l'EDPS(J,g), nous avons, IP2 - p.s., sur {O < T < T},

D'autre part. de la remarque 6.1, ou a

Dyr(l,x,1)1(/,,x))= n ( 1

( ,,, 'v'(l,:r)E[O,T]xR'I, IP2-p.s. yT/ t, X, 'P t, X

et

CtjJ(t, x) = 1Tr(a*(t, x)a(t, x), Dxxt/J(t, :r)) + (b(t, .r), Dx'lfJ(t, ,r,)) C17(t, x, 'P(t, x)) + Dy17(t, x, .p(l, x))Ctp(l, :i:)

+(a(t, x)Dxy1J(l, :i:, 'P(t, x)), a(t, .1:) Dxç(t, .1:)) 1 2 +2D111117(t, ;i;, ip(t, x))(Dl,cp(t, x)) .

Alors de la définition de f, on obtient

l\E(t. :i:, 1j;(t, x))A1,9('11:,(t, x)) = Aj,0(:;(t, .1:)). (6.9)

Ainsi, on déduit que

Aj,o('P(T.ç))-D1ç(T,ç) ~ 0, IP2-P··"·· sur {O < T < T}.

Ce qui montre que ù est une sous-solution de viscosité stochastique de l'EDPS(], 0). La réciproque s'établit de la même façon. D

Ainsi, on peut construire une solution de viscosité stochastique u( ... ) d'une EDPS(.f,g) à partir d'une solution de viscosité "déterministe" 1ï(., .) d'une EDP de la forme EDPS(], 0) pour IP2-presque tout w2 E n2 via la transformation u.(., .) = 17(., ., ü(., .)), appelée transformation de Doss-Sussmann.

84

1

CHAPITRE 6. APPLICATIONS: EDPS'S À COEFFICIENTS NON-LIPSCHITZIENS, SOLUTIONS DE VISCOSITÉ STOCHASTIQUES

Nous allons voir maintenant comment convertir une EDDSR en une EDSR via la transformatiou de Doss-Sussmann. Pour cela, nous allons imposer une condition

supplémentaire sur la fonction g = (g1, ... , g1) : (6Al') g vérifie (';Al); et pour t: > 0, il existe une fonction G' E C1•2•2•2((0, T] x JR1 x ]Rq x JR: JR) telle que

a~( (t. .r, w, y)= t; :~: = gi(t, X, cu, w, X, y)), i = 1, ... , /; G'(T, 0, X. y)= y.

Alors, nous avons le résultat suivant

Proposition 6.2. Supposons que l'hypothèse (6 Al') ,:sf vfrifù:e. Soit TJ la solution de l'équation (6.4) et E son y-inverse. Alors il existe une constante C > 0 dépendant seulement de la constante de majoration de g et ses dtTrinées zmrtidlcs telle que pour

( E {77, E}, on ait IP - p.s., pour tout (t, x, y) E [O, T] x IR'' x lR :

l((t,x,y)I::; IYI + CJlh- Btl, IDx(I, IDu(I. IDxx(I, ID.T.y(J. IDyy(J::; Ccxp{CIBr - B1J}.

lei toutes les déri'l,ées sont évaluées en (t, x, y).

Cc résultat est une légère modification de la proposition 3.4 clans l7J. Supposons maintenant qu'il existe m1 triplet de processus { ( X.~·'\ )~/·X, z;,:1·), 0 ::; t ::; s ::; T} solution de l'EDDSR (6.2) et. l'EDS (6.3). Pour ( l, :z:) E [O, Tj x ]R('1, définissons les processus suivants :

yt,:r s --

c-(.., vt,x _ yt,x) .._ oJ • ./\. -~ ' fj '

Alors de la proposition 6.2, on déduit que { (Y}·'\ z.:·x), (s, :r) E [O, T] X lRq} E S2(F, [O, T]; JRl X M2(F, [O, T]; JRd) et Oil a le résultat. suivant :

Théorème 6.1. Pour chaque (t,x) E [O, T] x IR'1, le couple de processus (Ç:;·x, z.~·;t·. l $ .<;::; T) est l'unique solution de l'EDSR .'iU'l'U(J.'/1.f:

lT lT y:,x = l(X?) + .!.. Ï(r, x:,x, Y;·X. z:·")rlr - .!.. z;·"'dWr, (6.10)

où .f est donné par ( 6.8). 85

Ce théorème montre qu'à l'aide d'une solution de l'EDSR (6.10), 011 peut construire une solution de l'EDDSR (6.2) et vis-versa via les transformations :

r.i.x = ,,(s, x.~·x. Y;·x), zt,x

s D T/(s vt,:r }--;1,,r)z-t .. x + O'*( vt,x)D ·i(. \··t,J, }--;1.,x) y , .;\ s , s .• s' .;\ s J,r .'j' ., s ' s .

La preuve de ce résultat est. analogue à celle dans Buckdahn et Ma [7]. (on peut aussi voir dans Boufoussi et al. [6], Théorème 4.3). Pour l'établir, on applique à c(s, X!·x, r:_t,x) la version généralisée de la formule <le Itô-Ventzcll que nous énonçons

dans le théorème suivant :

Théorème 6.2 (Formule de ltô-Ventzell généralisée). Supposons que J E c0·2(F. [O. T] x IR"\ IR) est une semi-nuirtinqol« de variable spa cuile .r, E IR111 définie par :

lt 1t i'' J(t. x) = J(O. x) + . G(s, x)ds + (H(s. x), dB,.)+ (K(.s, ;r), dH's), , 0 0 . 0

0 St ST.

où GE C0•2(.F8, [O, T] xIRm; IR), li E C0•2(.F8, [ü, T] x!R111; JR1) ei K E C0•2(Fw, [O, T] x

JR111; JRd). Soit a E c0(F, [O, T]; IR"') un processus de la [orme :

O:t = Oo + A, + {' 'YsdBs + {' 8 .• dT,V., 0 S /, S T. .fo lo

où 'Y E M2(F, [ü, T]; IRmxl), 6 E M2(F, [O, T]; IR111xr1) et :1 est un processus à valeur dans ]Rm, continu, F- adapté et de trajectoires à variation localement bornée. Alors, !P'-presque surement, on a pour tout O St ST

li 1' li .J(l. o:,) = J(O, no)+ G(s, 0:8)ds + (H(s, o:.,). dBs) + (K(.s, O:s), dWs) . o O .o

11 1' 1·t + (DxJ(s, Œs), dAs) + (D:,,J(s, et.,), 'Y.-dB.s) + (D,rJ(s, Œs), ôsdl1V8)

0 0 0

1 1·1 11·f -2 r- (Da·xJ(s, O:shs'Y;) ds + 2 Tr ( o; . u». O.s)6s6.;) ds .o .()

+ 1' Tr io.n;« o:.,h;) ds -11

Tr (Dxl<(s, n.,)r5.:) ds. (6.11)

Remarque 6.4. La formule de Itô- Venizell généralisée est une combinaison de la [ormule de Itô g<Jnéralisée de Pardoux et Peng /31/ et de la formule de Itô- Ventzell de Ocone et Pardoux f 27/ .

86

CHAPITRE 6. APPLICATIO:'.'JS : EDPS'S À COEFFICIENTS NON-LIPSCHITZIENS, SOLUTIONS DE VISCOSITÉ STOCHASTIQUES

6.3 Existence de solution de viscosité stochastique

Notre résultat principal dans cette partie est le théorème suivant.

Théorème 6.3. Sous les hypothèses (6 Al') - (I; A6), il existe une solution de vis cosité stochastique u E C0•0(.F8, [O. T] x !Rq;IR) pour l'EDPS (6.1) donnée par:

V (t.,:r) E [O,T] x R", u(t,1:) = Y/'X, où {(~.t·"",Z_!·x),t ~ s ~ T;» E !Rq} est la solution de l'EDDSR

·T ·T y:,x = l(Xix) + I J(r, X;·3', Y;·3', z:·x)dr + I 9(r. x::"', Y;·x)dB,. l JR -1T Z;·xdlVr, s E [l, Tl, (6.12)

avec { ,,.\'}'\ t ~ s ~ T. x E !Rq} la solution de l'EDS (6.3).

La preuve de cc théorème utilise les résultats du chapitre 5 et la transformation de Doss-Sussrnann. Le principal argument est donné par le théorème ci-dessous.

Théorème 6.4 (1181). Soit {Y;, 0 ~ t ~ T} un processus anitisn: pV -adapté tel que

r!Yt = p(t.)dt. + v(l.)dW1,

où /J d v sont des processus continus Fw - adaptés tels <J'll,c 11 et I vl 2 sont lP'1 ®

dt-intégrables.

Si Yt 2'.: 0, IP\ - p.s, pour tout t E [O, T], alors, pour tout t. E [O, T],

lp,·,=o}V(I) = 0, lP'1 - ]J.8. et l{Y,=0}/1(/,) 2'.: 0, JP, - JJ.S.

Preuve du théorème 6.3. On sait que sous l'hypothèse (uA5). l'EDS (6.3) admet une unique solution { .,,\'}'", t ~ t, ~ T, x E !Rq}. Alors en posant abusivement,

f(.", ,11, z) = f(."i, X;·\ y, z) et .'J(."i, y) = y(s, X.~ .. ", y)

où .f: fh x [ü, T] x !Rq x IR x JRd-+ IR et g: fh x [O, T] x IR'1 x IR-+ JR1, il est clair que sous les hypothèses (6A2), (6A4) et (6A6), l'EDDSR (G.12), vérifie les conditions du théorème 5.1 avec ç = l(X?). Donc, l'EDDSR (6.12) admet une unique solution

87

{(Y.t·x, Z!··,,,), I,::; S::; T. XE ]RQ} dans S2(F, [O, T]; !R) X M2(F, [ü, T]; !Rd). Pour tout {s, x) E [t. T] x !Rd, yst,x est. J=t; V .r;:r-mesurnhlc, c11 particulier, Yit,x est

fi~T-mesurable et donc indépendant. de w1 E rii. Posons:

u(l,x) = Y/·\ (t,x) E [0,T] x JR'I.

alors u E c0•0(FB, [O. T] x !R"; !R). Soit ü la transformée <le Doss-Sussrnann de u :

ü(t, x) = E:(t, :r, u(l, x)), (t, x) E [O, T] x !R".

Alors, ù E c0,0(FB. [ü, T] x !Rq; !R) (Remarque 6.1) et 011 a

u(I., ;1:) = ·11(1,, :t:, ù(t, :c)), (1., :1:) E [O, T] x !R'1.

Grâce, à la proposition 6.1, il nous suffit seulement de montrer que le champ aléatoire ii. est une solution de viscosité stochastique de l'EDPS(/, 0). Pour cela, pour tout (t, :r) E [O, T] x IR.q, posons :

yt,x s

E(s xt,x. }/t,x) , s . s , (6.13)

Z-t,x = D "'(S x: .. x \/1,:r)zt,x + ,..*(s xt,x)D ."'(s vt.:i: \l't,x) s Y'- ~ s ~1.r; '-Js v , s -3'- ·-~/\._'i ,1.i

et définissons pour chaque w2 E 02 fixé,

Alors, d'après le théorème 6. L { (Y;··r,w2, Z;,x,w2), t ::; s ::; T, .7: E lR"} est. une solution de l'EDSR à coefficient J(1.v·2, ., ., .). Pour chaque w2 E fh fixé, posons

ü(w2,l,x) = f~t,x,w2, (t,x) E [ü,T] X JR'I.

Nous allons montrer que ü((.i..•2, ., .) est une sous-solution de viscosité de l'EDP à coefficient .f (w2, ., ... ). La propriété d'être une sur-solution de vicosité est analogue. Soit T E M!r tel que w2 E {O < T < T} et ç E L0(.rf!, JR'I). Pour simplifier les notations, écrivons (X,,) pour le processus de diffusion (X_;(w2).(("'·2l) qui commence à ((w2) en r(w2) et (Ys, z.,) pour la solution (Yt(w2).~("''2), 2.;<wi).Hw2)) de l'EDSR à coefficient Ï(w2, ., ., .) dirigée par cette diffusion.

88

D'abord par l'unicité de la solution de l'EDDSR à coefficients f et g, de la pro priété markovienne du processus de diffusion X .• et la propriété d'homéomorphisme

de E, Oll a ü(w2, s, X.,) = }\. Soit ({JE C1•2(:F;\ [ü, T] x Rq; IR) tel que ({J(w2, r(w2), ~(w2)) = ü(w2, r(w2), ç(w2))

et <p(w2, s, x) 2:: ü(w2, s, x) pour tout (s, x) au voisinage <le (r(w2), ç(w2)).

Alors, <p(w2, s. Xs) 2:: Ys. D'autre part, on a

Aussi, d'après la formule de Itô,

Ainsi,

( ( Dt'P + .Cep) (s, X.,) + ](JJ2, s, X." f:,, Zs)) ds + ( o-* D<p( s, X..) - z .. ) dvV •.

Comme <p(w2, s, X.,) 2:: f's, alors, <l'après le théorème 6.4, on a pour t.out s au voisi

nage de r(w2),

1{..,(w2,.,,X..)=f°.}((D1cp+.Ccp)(s.Xs)+J(s,X. •. Y,.Z .• )) 2:: 0, lP\-p.s.

l{.p(w2,.,,X,)=f',}(a*D<p(s,X8)-.Z,..) = 0, IP\-p.s.

Puisque cp((.i.,•2, r(w2), ç(w2)) = iï.(w2, r(w2), ç(w2)), alors, pour .'i = r{w2), on a

d'où

Ainsi, ·iï.(w2, ., .) est. une sous-solution de viscosité de l'EDP fi coefficient /(w2, ., ., .). Par la loi du O - 1 de Blumenthal, on a,

T!ll((;,,t,x,w2 _ ,-;,t,x( )) _ l Ir I t - I t W11 W2 - ,

89


d'où, ü(l, x) = û(t, x). V (t, x) E [O, T] x lRq, IP\ - p.s ..

Par conséquent, pour tout w2 E 02 fixé, û E c0,0(F8, [O, T] x lR'1; JR) est une solution de viscosité de l'EDPS(i{w2, ., ., .), 0). Ainsi, par définition, c'est une w•2-solution de viscosité. Doue, d'après la remarque 6.3, û est une solution de viscosité stochastique de l'EDPS(/ 0). Ce qui termine la preuve. D

90

Conclusion et perspectives

Dans cette thèse, nous avons établi des résultats d'existence de solutions pour certaines EDDSR's sous des conditions plus faibles que le cas lipschtien classique.

Notamment, les EDDSR.'s à coefficients discontinus, les EDDSR's à coefficients lip schitziens de type stochastique et. les EDDSR's à coefficients non-lipschitziens.

Pour le premier type. nos hypothèses nous ont permis d'avoir seulement l'exis tence, mais non pas l'unicité comme le stipule l'exemple 3.3. Pour les deux autres, nous avons pu établir l'unicité de la solution et donner m1 théorème de comparaison.

L'étude <le solutions minimales des EDDSR's i', <"oeffici1~11ls discoutinus est en visageable. Il est aussi possible cl 'étudier l'unicité de sol ut ions des ces équations. Dans ce cas. il faudrait imposer des conditions supplèrueut.aircs sur les coefficients et peut-être sur la condition finale. Notons que dans l'étude de ces équations, nous n'avons regardé que la discontinuité en y. Il serait doue iutèrcssant de regarder aussi la discontinuité eu z et étudier eventuellernent l'unicité de la solution.

Nos résultats nous ont permis d'étudier les solutions de viscosité stochastiques de certaines EDPS's. Plus particulièrement, les EDPS's à coefficients non-lipschitziens.

Il serait egalemeut intéressant cl 'étudier les solutions de viscosité stochastiques des EDPS's à coefficients discontinus d'une part et d'autre part, les EDPS's à coef ficients lipschitziens de type stochastique.

91

Bibliographie

[li Bahlali, K., Elouaflin, A., and N'zi, M. Backward stochastic differential equa tions with st.ochastic monotone coefficients. .J. A 71pl. Math, Sioch, Anal., 4 :

317-335, 2004.

[21 Bahia.li, K., Elouaflin, A., and N'zi, :M. RBSDEs with stochastic monotone and polynomial growth condition, Afr. Diaspora J.Malh., G (1) : 55-73, 2008.

[3] Bally, V. and Matoussi, A. Weak solutions for SPDEs and backward doubly stochastic diffcrential équations. J. Theorei. Probab., 14 ( J) : 125-164, 2001.

141 Benoît, Pert.hamc. Topologie d. analyse différeut.ielle. Ecole Normale Supé rieure, December 21 2006.

[5] Bismut, J.M. Conjugate convex fonctions in optimal stochastic control. J.

Math. Anal. Appl., 44 : 384-40.J, 1973.

[61 Boufoussi,13., .Ian Van Casteren, and Mrhardy, N. Geuerulized backward doubly stochastic differential cquations and SPDEs with nonlinear neumann bounclary conditions. Bernoulli, 13 (2) : 423-446, 2007. DOi : 10.3150/07-BE.J5092.

[7] Buckdahu, R. and Ma, J. Stochastic viscosity solutions for non-linear stochastic partial differtial équations. I. Stochustu: Process. Appl., 9:3 : 181-204, 2001.

[81 13uckdahn, R. and Ma, .J. Stochastic viscosity solutions for non-linear stochastic partial differtial équations. II. Stochastic Process. Appl., 93 : 205-228, 2001.

191 Elouaflin, A. and N'zi, M. Rcflected bacwarcl stochastic differential équation with stochastic lipschitz coefficient and random terminal t ime. Submitted.

[101 El Karoui, :'-J. and Huang, S . .J. Ageneral result of existence and uniquness of ba ckward stochastic differcntial cquations, Backward stochastic differential equa-

92

IHI3LIOG RAPHIE

t.ions (l\'. El Karoui and L. Mazliak, ecls.). Pilnuui Reseorcl: Notes in Mathe maties Series. vol. 364, Longman : pp. 27-36. 1997.

[111 EL Karoui, N., Pcng, S., and Qucncz, M.C. Backward stochastic diffcrcntial equatiom; in finance. Math. Finance, 7 {l) : 1-71, 1997.

'12[ Hainadène, S. Mult.i-dimensional BSDEs with uniforuilv cont.inuous coefficients. Bernoulli, 9 (:J) : 517-534, 2003.

[13[ Hamadène, S. and Lepcltier, .J.P. Backward equat.ious, stochastic contrai and zero-sum stochastic differential games. Stoch, Sioch, Reports, 54 : 221-231,

1995.

[141 Harnadène, S. an<l Lepeltier, J.P. Zero-sum stochastic differential garnes and backwar<l équations. System Control Leiters, 24 : 259-263, 1995.

[15] Han, 13., Shi, Y., and Zhu I3o. I3ackward doubly SDE with non-lipschitz coef

ficients. Preprint http :,//www.paper.edu.cn, 2004.

[Hi[ .Iia, G. A da.ss of backward stochastic different.ial equar iou« with discontinuons coefficients. Statist. Probab. Lett., 78 : 231-237, 2007.

[17] Karatzas, 1. and Shreve, E.S. Brownien motion and stochastic calculus. Spingcr Vcrlag New York. 2nd. edition, 1991.

[181 Kobylanski, M. Backwarcl stochastic differential cquations and partial differen tial equatious with quadratic growth, Atnuils of Probobiliis], 28 (2) : 558-602,

2000.

ll9I Kunita, H. Stochastic Flows and Stochasiic Diffcn;nfial Equations. Cambridge University Press, 1990.

1201 Lepeltier, .J.P anr] Sa11 Martin. .J. Backwanl st()(fo1sti<' dilferent.ial equations with continuons coefficients. Siutist. Probab. Leti, :32 {4) : 425-430, 1997.

1211 Lions, P.L. and Souganidis, P.E. Fully nonlincar stochastic partial differential cqutions. C.R. Acad. Sei. Paris, t, 326 (1) : 1085-1092, 1!)98.

1221 Lions, P.L. and Souganidis, P.E. Fully nonlincar stochast.ic partial differential equtions : uon-srnooth cquations and applications. C.R. Acad. Sei. Paris, t, 327 (1) : 735-741, 1998.

93

BIBLIOGRAPHIE

123] Nualart, D. and Pardoux, E. Stochastic calculus wit.h aut.icipating integrands.

Probab. Theon) Relaied Fields, 78 : 535-581, 1988.

[24] N'zi, M. and Oukninc, Y. Backward stochastic diffcrcntial cquations with conti nuons coefficients. Iùuulotti Operaiors and Stochastic Equations, 5 (5) : 59-68, 1997.

[25] N'zi, M. and Owo, J .-:'vl. Backward doubly stochastic differential equations with discontinuons coefficients. Staiist. Probab. Leii, 79(2009) : 920-926.

doi :10.1016/j.spl.2008.11.011.

[26] N'zi, M. and Owo, J.-fvl. Backward doubly stochastic differcntial équations with non-lipschitz coefficients. Random Operators and Stochaslic Eqs, W : 305-322, 2008. DOI 10.1515 / ROSE.2008.018.

127] Ocone, D. and Pardoux, E. A generalized itô-veutzcll formula. application to a class of anticipating stochastic differential équations. Ann. Inst. H. Poincaré,

25 (1) : 39-71, 1989.

[28] Pardoux, E. and Peng, S. Sorne backward SDEi; wit h non-lipschitz coefficients.

Proc. conf. Metz.

[29] Pardoux, E. and Pcng, S. Adaptatcd solutions of backward stochastic differen tial cquations. System Conirol Leii., 14 : 535-.581, 1990.

l3fll Pardoux, E. and Pcng, S. Backward srochasti« diflcrcnt ial equat.ions and qua silinear parabolic partial differential équations. Hozuuskii, B.L., Souiers, R.B., 176 : 200-217, 19D2. Lt•ct.. Nott's Control Inf. Sl"i.

[31] Pardoux, E. and Peng, S. Backwarcl cloubly stochastic clifferential equations and systèmes of quasilinear SPDEs. Probab. Theory Related Fields., 98 : 209-

227, 1994.

1321 Pardoux, E., Pradeilles, F., and Rao, Z. Probabilistic intorpretation of a system of serni-linear parabolic partial differential equatious. Ann. Inst. H. Poincaré Probab. Siaiist.. 33 ( 4) : 467-490, 1997.

133] Pardoux, E. and Zhang, S. Geueralized BSDEs and uonliucar boundary value problems. Prob. Theonj and Rel. Fields, llO : 535-558, 1998.

94

BIBLIOGRAPHIE

f34] Peng, S. Probabilistic interpretation for systems of quasilinear parabolic partial differential equations. Stoch. Stoch. Rep., 37 : 61-74, 1991.

f35J Revuz, D. and Yor, M. Continuous martingales and IJrownian motion. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 1991.

f36] Shi, Y., Gu, Y., and Liu, K. Comparison theorems of the rnulti-dimensional BDSDEs and applications. Subrnited.

[37] Shi, Y., Gu, Y., and Liu, K. Comparison theorem of backward doubly stochas tic differential equations and applications. Stoch. Ana. Appl., 23 {1) : 1-14,

2005.

[38J Zhou, S., Cao, X., and Guo, X. Backward doubly stochastic differential equa tions. Mathernatica Applicata, 17 {1) : 95-103, 2004.

95

num3 universite cocody 040418 104828 1

Documents