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Gérard Hincelin - Electronique B8 1
Notions sur les lignes de transmission
! 1. Introduction
! 2. Circuit équivalent! Tension et courant! Exemple du guide d’onde plan! Éléments du circuit équivalent
! 3. Ligne continue infinie! Équation des lignes! Impédance caractéristique
! 4. Ligne chargée! Coefficient de réflexion! Taux d’ondes stationnaires! Impédance ramenée
! 5. Étude de quelques cas! Ligne demi-onde, quart-d’onde! Ligne en court-circuit! Ligne en circuit ouvert
! 6. Adaptation des lignes! Quelques exemples
! 7. Abaque de Smith! Coefficient de réflexion! Représentation des impédances
dans le plan complexe! Exemples d’applications
SOMMAIRE

Gérard Hincelin - Electronique B8 2
Introduction
! Modèle théorique commun à tous types de guides d’ondes! Ligne de transmission équivalente:
! La théorie des ondes électromagnétique manipule des champs E et H! Dans la théorie des circuits les champs sont remplacés par des éléments de
circuits! permet d’associer des circuits actifs (représentés par des circuits équivalents)
! Le guide d’onde est remplacé par un circuit équivalent! Inductances, capacités, résistances! Ces éléments ne sont pas discrets, mais continus
! Permet de traiter à partir de notions d’impédance les problèmes! de raccordement de guides d’onde! de connexion à une charge quelconque

Gérard Hincelin - Electronique B8 3
circuit MMIC
53C.R. CNAM Circuits Intégrés Microondes janvier 2002
Structure arborescente 2 étages

Gérard Hincelin - Electronique B8 4
Tensions et courants
! La structure est représentée par! Une Inductance série L, unité H/m.! Une résistance série R, unité Ω/m! Une capacité en parallèle C, en F/m! Une conductance parallèle G, en S/m
! Relation entre Champ E et tension V:
! Relation entre champ H et courant (loi d’Ampère):
! Puissance transportée:
a) Représentation d’un guide d’onde planb) Éléments de circuitsc) Ligne de transmission
.V E dl= ∫rr
.c
I H dl= ∫rr
"
1 1Re Re2 2 S
V I E H dS∗ ∗ = × ∫r r

Gérard Hincelin - Electronique B8 5
Illustration: guide d’onde plan! Expression des champs:
! Tension V :
! Courant I:
! Puissance moyenne (mode TEM)
xEyH
za
w
Mode TEM dans le guide plan
( )
( )
0
0
exp
exp
x
y
E E j t z
EH j t z
ω β
ω βη
= −
= −
( )00
( ) expa
xV z E dx aE j t zω β= = − ∫
( )0
0
( ) expw
yEI z H dy w j t zω βη
= = − ∫
201 1Re
2 2 2x yS
E waP E H dS E H waη
∗ = × = = ∫r r

Gérard Hincelin - Electronique B8 6
Eléments du circuit équivalent
! Inductance équivalente L par unité de longueur:! Caractérise la densité d’énergie
magnétique stockée dans le milieu
! Capacité équivalente C par unité de longueur:! Caractérise la densité d’énergie
électrique stockée dans le milieu.
! On les calcule à partir du théorème de Poynting
! Résistance série R:! Caractérise les pertes par effet
Joule à la surface des parois du guide
! Conductance parallèle G:! Caractérise les pertes dans l’isolant
(le courant circule d’une armature à l’autre)
! Traiter en exercice la cas du mode TEM dans le guide d’onde plan

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La ligne continue de longueur infinie! D’après le schéma b):
! soit:
! Pour le courant:
! soit:
! Équations des lignes:
Courant et tension sur la ligne:
a) Section de ligne de longueur dzb) Circuit équivalent
V dV V RdzI jL dzIω+ = − −
( )dV R jL I ZIdz
ω= − + = −
I dI I GdzV jC dzVω+ = − −
( )dI G jC V YVdz
ω= − + = −
2
2
2
2
0
0
d V ZYVdzd I ZYIdz
− =
− =

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Impédance caractéristique
! Solution générale pour les tensions:
! variations sinusoïdales en! VI: amplitude de l’onde incidente! VR: amplitude de l’onde rétrograde
! Constante de propagation:
! partie réelle α: atténuation! partie imaginaire β: phase
! Ligne sans perte:! Pour R = 0 et G = 0: α = 0
! Onde TEM:
! Impédance caractéristique ZC:
! Ligne infinie: VR = 0
! Ligne sans perte:
( ) ( )( ) exp expI RV z V z V zγ γ= − +
( )exp j tω
( ) ( )( ) 1 21 2ZY R jL G jCγ ω ω= = + +
jγ α β= +
LCβ ω=
2πβλ
=
( ) ( )1 exp expI RdVI V z V z
Z dz Zγ γ γ= − = − −
1 21 2
CV Z Z R jLZI Y G jC
ωγ ω
+ = = = = +
CLZC
=

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Coefficient de réflexion à la charge
! Ligne finie sans perte:! Impédance de charge ZL en z = 0
! Impédance Z(z) « vue en z »:
! En z = 0 :
! Coefficient de réflexion à la charge:
! Impédance normalisée:
( ) ( ) exp( ) exp( )( ) exp( ) exp( )
I RC
I R
V z V z V zZ z ZI z V z V z
γ γγ γ
− += =− −
(0) I RL C
I R
V VZ Z ZV V
+= =−
11
R LL L C
I L
V Z ZV
ρρρ
+= ⇒ =−
11
L C LL
L C L
Z Z ZZ Z Z
ρ − −= =+ +
L L CZ Z Z=
Représentation d’une ligne chargée :ZL peut représenter éventuellement uneautre section de ligne de transmission.
onde incidente
onde réfléchie

Gérard Hincelin - Electronique B8 10
Ondes stationnaires! Ligne infinie, ou ρL = 0
! Valeur moyenne de V constante! Impédance Z = V/I constante
! Réflexion à la charge ρL < 1! Une partie de la puissance est
renvoyée vers la source! Taux de réjection! La ligne n’est pas adaptée! V et I varient le long de la ligne
! Réflexion totale! Il n’y a plus de propagation
( ) 1020logdB LR ρ=
1Lρ =

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z
z/λ
( )1I LV ρ+
( )1I LV ρ−
Taux d’ondes stationnaires TOS
! On montre l’expression:
! Soit:! Impédance ramenée Z(z):
! « vue par l’onde » en un point z
! Z(z) varie avec la période λ/2! Mesures sur banc:
z/λ
z/λ
Enveloppes du courant et de la tension
11
L
L
TOS Sρρ
+= =
−1TOS ≥
( )( )( )
V zZ zI z
=
( )max CZ z Z S=min( ) CZ z Z S=
( 1 ( 1)L S Sρ = − +

Gérard Hincelin - Electronique B8 12
Impédance ramenée
! On a établi l’expression
! En fonction de ρL:
! Ligne sans pertes:! Impédance ramenée en un point z = - b:
! En reportant l’expression de ρL:
! L’impédance en un point de la ligne dépend de:! L’impédance de charge ZL
! L’impédance caractéristique ZC
! La distance réduite b/λ :
( ) exp( ) exp( )exp( ) exp( )
I RC
I R
V z V zZ z ZV z V z
γ γγ γ
− +=− −
( ) exp( ) exp( )exp( ) exp( )
LC
L
z zZ z Zz z
ρ γ γρ γ γ
+ −=− + −
jγ β=exp( ) exp( )exp( ) exp( )
Lb C
L
j b j bZ Zj b j bβ ρ ββ ρ β
+ −=− −
( )( )
L Cb C
C L
Z j Z tg bZ ZZ j Z tg b
ββ
+=+
2 bbβ πλ
=

Gérard Hincelin - Electronique B8 13
Exemple pratique n° 1
Parties réelle et imaginaire de l’impédance Z, sur une ligneterminée par une charge 0,5 1,0L CZ Z j= +
! Impédance normalisée:
! Exemple:
! Équation de la courbe (pour b > 0)
! Périodicité de λ/2
L L CZ Z Z=
0,5 1,0LZ j= +
( )( )
L Cb C
C L
Z j Z tg bZ ZZ j Z tg b
ββ
+=+
( )1 ( )
b Lb
C L
Z Z j tg bZZ j Z tg b
ββ
+= =+-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
z/λλλλ
Z b/Z
C
Re bZ
Im bZ

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Etude de quelques cas
! Ligne demi-onde : b = λ/2 soit βb = π! Zb = ZL : on retrouve l’impédance de la charge tous les nλ/2
! Ligne quart d’onde : b = λ/4 soit βb = π/2! Transformateur d’impédance : adaptation par une section de ligne ZC
! L’impédance normalisée en b est égale à l’admittance de charge normalisée! Zb est fonction des caractéristiques de la section de ligne utilisée
2 1 1Cb b
L L C C
ZZ ZZ Z Z Y
= ⇒ = =

Gérard Hincelin - Electronique B8 15
Ligne en court-circuit
! Impédance ramenée avec ZL = 0:
! L’impédance est purement réactive! Sa valeur varie entre
! Adaptation d’impédance
! Coefficient de réflexion: ρL = - 1 ! Analogue à la réflexion d’une onde
plane sur un conducteur parfait
! Tension et courantTension et courant sur une ligne
court-circuitée
Tension courant
( )b CZ jZ tg bβ=
b bZ et Z= +∞ = −∞
( )
( )
2 sin2 cos
I
I
C
V jV zVI zZ
β
β
= −
=

Gérard Hincelin - Electronique B8 16
Ligne en circuit ouvert
! Impédance ramenée avec ZL = ∝
! Peu commode à réaliser en pratique! Les ondes rayonnent et voient donc
l’impédance de l’espace libre
! Choke : simulation d’un circuit ouvert! Ligne en court-circuit:! Impédance ramenée à la distance λ/4 du
court-circuit :! Utilisé dans les portes des fours à micro-
ondes pour éviter les fuites d’énergie
Court-circuit et ligne quart d’onde« Choke ». Les champs qui voient une impédance infinie sont stoppés
Circuit ouvert
( )cotb CZ jZ g bβ= −
( )b CZ jZ tg bβ=
bZ = ∞Champs

Gérard Hincelin - Electronique B8 17
Adaptation des lignes : ligne quart d’onde
! Zb = ZC entre la source et la section d’adaptation.
! Section de ligne en série! Avec une ligne quart d’onde
! Adapter un câble de 75 Ω (ZL) à un câble de 50 Ω (Zb)
2b C LZ Z Z=
2 75 50 61, 2C L bZ Z Z= = × = ΩAdaptation avec une ligne quart-d’onde
1 50CZ = Ω 2 61,2CZ = Ω 3 75L CZ Z= = Ω
LZbZ

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Un exemple d’adaptation par « stub »
! Soit à adapter une charge d’impédance:
! L’impédance caractéristique de la ligne est réelle:
! Première étape : déterminer sur la ligne un point X où Re[Zb] = RC :! Graphiquement on trouve deux points (et
tous les points distants de λ/2)! L’impédance ramenée est de la forme :
! Deuxième étape : placer au point X une impédance de valeur - jXb annule la partie réactive et adapte la ligne.
Adaptation avec un stub en série
court-circuit
zb1 0,5L C CZ Z jZ= +
Z b/Z
C
0,5 1,0LZ j= +
b C bZ R jX= +
C CZ R=
0 0,25 0,5d/λ

Gérard Hincelin - Electronique B8 19
Stub parallèle
! Il est souvent plus facile d’ajouter une portion de ligne en parallèle.
! On résonne alors sur les admittances
court-circuit

Gérard Hincelin - Electronique B8 20
Abaque de Smith : introduction
! Due à P. Smith (Bell labs. 1939)! Aide graphique pour traiter:
! Coefficients de réflexion! Ondes stationnaires! Impédances ramenées
! Toujours utilisé dans les logiciels spécialisés, pour la présentation des résultats de simulation.
! Aspect compliqué provenant de la grande quantité d’informations

Gérard Hincelin - Electronique B8 21
Coefficient de réflexion : plan complexe! Impédance ramenée en z = - b (ligne sans
pertes):
! En fonction de ρL:
! Coefficient de réflexion ramené en z = – b :
! Variation de ρ le long de la ligne:
! Pas de pertes :! Vers générateur : rotation horaire! vers la charge : rotation anti-horaire
exp( ) exp( )exp( ) exp( )
Lb C
L
j b j bZ Zj b j bβ ρ ββ ρ β
+ −=− −
1 exp( 2 )1 exp( )
Lb C
L
j bZ Zj b
ρ βρ β
+ −=− −
exp( 2 )b L j bρ ρ β= −
z0- b1- b2
vers le générateur
b2 > b1
vers la chargeb2 < b1
( )2 1 1 2exp 2b b j b bρ ρ β= −
constρ =
- b2
point dedépart
1- 1
1ρ ≤
θ [ ](Re )x ρ
[ ](Im )y ρ
vers
géné
rate
ur vers charge

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Représentation des impédances normalisées dans le plan complexe : partie résistive
! Impédance ramenée Zb en fonction de ρb :
! Impédance normalisée :
! P est la composante résistive! Q est la composante réactive
! Courbes « équi-résistance » dans le plan du coefficient de réflexion xOy
! Famille de cercles dans le plan xOy:! Centrés en x = P/(1+P); y = 0! De rayons R = 1/(1+P)
11
bb C
b
Z Z ρρ
+=−
11
b bb
C b
ZZ P jQZ
ρρ
+= = = +−
2 22 1
1 1Px y
P P − + = + +
[ ](Re )x ρ
[ ](Im )y ρ
rayon unité
∞21
1/2
P = 0
Partie résistive de l’impédance normalisée

Gérard Hincelin - Electronique B8 23
! Courbes « équi-réactance » :
! Famille de cercles dans le plan xOy:! Centrés en x = 1; y = 1/Q! Rayons R = 1/Q
Représentation des impédances normalisées dans le plan complexe : partie réactive
( )2
22
1 11x yQ Q
− + − =
[ ](Re )x ρ
[ ](Im )y ρ
rayon unité
x =1
Q = 0
1/21
2
∞
-1/2-1
-2
Partie réactive de l’impédance normalisée

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Abaque de Smith : description
! Superposition des deux familles de cercles dans le plan xOy! Composante résistive: graduations de 0 à l’infini sur l’axe Ox.! Composante réactive :
! Valeurs positives moitié supérieure ! Valeurs négatives moitié inférieure
! Coefficients de réflexion! Pas de graduations radiales (utilisation d’un compas)! Graduations sur la circonférence
! D’après! Un déplacement de b = λ/2 sur la ligne correspond à un tour (2π)! Graduations externes en fractions de longueur d’onde! Indication du sens de parcours (vers la charge ou vers le générateur)! Valeur de la phase du coefficient de réflexion
! Taux d’ondes stationnaires TOS (partie positive de l’axe Ox)
exp( 2 ) exp( 4 )b L Lj b j bρ ρ β ρ π λ= − = −

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Exemple n° 2 : abaque de Smith
! Reprendre les valeurs de l’exemple graphique n° 1 avec! On pose
! Calculer et vérifier cette valeur sur l’abaque
! Mesurer
! Déterminer le module et l’argument de ρb au point b = 0,3 λ :
! En déduire la valeur de et de Zb (on donne ZC = 50 Ω):
! Vérifier graphiquement les résultats
( )expL L Ljρ ρ φ=
Lρ
Lφ
bZ
0,5 1,0LZ j= +

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Exemple n° 3 : Calcul du stub série
! Dans l’exemple fig. 18, déterminer la position et la longueur de ligne (impédance ZC) en court-circuit à utiliser pour adapter la charge:
! Placer le point P1 de coordonnées! Tracer un rayon de centre O passant par P1: graduation externe 0,133 λ ! Tracer le cercle de centre O passant par P1 (rayon = )
! Première possibilité! Impédance normalisée au point P2: ! Lecture à l’intersection du rayon et de la graduation externe : 0,18 λ ! Valeur du déplacement : X1 = 0,18 – 0,133 = 0,047 λ
! Placer en X1 une ligne en court-circuit, de réactance Q1 = - 1,65 ! Point P3 figuratif d’une charge en court-circuit! Pour arriver à Q1, il faut se déplacer vers le générateur de : 0,321 λ
! Procéder de même pour trouver la seconde possibilité
0,5 1,0LZ j= +
0,5 1,0LZ j= +
Lρ
1 1,65bZ j= +

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court-circuit
P1P2
P3