Gérard Hincelin - Electronique B8 1

Notions sur les lignes de transmission

! 1. Introduction

! 2. Circuit équivalent! Tension et courant! Exemple du guide d’onde plan! Éléments du circuit équivalent

! 3. Ligne continue infinie! Équation des lignes! Impédance caractéristique

! 4. Ligne chargée! Coefficient de réflexion! Taux d’ondes stationnaires! Impédance ramenée

! 5. Étude de quelques cas! Ligne demi-onde, quart-d’onde! Ligne en court-circuit! Ligne en circuit ouvert

! 6. Adaptation des lignes! Quelques exemples

! 7. Abaque de Smith! Coefficient de réflexion! Représentation des impédances

dans le plan complexe! Exemples d’applications

SOMMAIRE

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Introduction

! Modèle théorique commun à tous types de guides d’ondes! Ligne de transmission équivalente:

! La théorie des ondes électromagnétique manipule des champs E et H! Dans la théorie des circuits les champs sont remplacés par des éléments de

circuits! permet d’associer des circuits actifs (représentés par des circuits équivalents)

! Le guide d’onde est remplacé par un circuit équivalent! Inductances, capacités, résistances! Ces éléments ne sont pas discrets, mais continus

! Permet de traiter à partir de notions d’impédance les problèmes! de raccordement de guides d’onde! de connexion à une charge quelconque

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circuit MMIC

53C.R. CNAM Circuits Intégrés Microondes janvier 2002

Structure arborescente 2 étages

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Tensions et courants

! La structure est représentée par! Une Inductance série L, unité H/m.! Une résistance série R, unité Ω/m! Une capacité en parallèle C, en F/m! Une conductance parallèle G, en S/m

! Relation entre Champ E et tension V:

! Relation entre champ H et courant (loi d’Ampère):

! Puissance transportée:

a) Représentation d’un guide d’onde planb) Éléments de circuitsc) Ligne de transmission

.V E dl= ∫rr

.c

I H dl= ∫rr

"

1 1Re Re2 2 S

V I E H dS∗ ∗ = × ∫r r

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Illustration: guide d’onde plan! Expression des champs:

! Tension V :

! Courant I:

! Puissance moyenne (mode TEM)

xEyH

za

w

Mode TEM dans le guide plan

( )

( )

0

0

exp

exp

x

y

E E j t z

EH j t z

ω β

ω βη

= −

= −

( )00

( ) expa

xV z E dx aE j t zω β= = − ∫

( )0

0

( ) expw

yEI z H dy w j t zω βη

= = − ∫

201 1Re

2 2 2x yS

E waP E H dS E H waη

∗ = × = = ∫r r

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Eléments du circuit équivalent

! Inductance équivalente L par unité de longueur:! Caractérise la densité d’énergie

magnétique stockée dans le milieu

! Capacité équivalente C par unité de longueur:! Caractérise la densité d’énergie

électrique stockée dans le milieu.

! On les calcule à partir du théorème de Poynting

! Résistance série R:! Caractérise les pertes par effet

Joule à la surface des parois du guide

! Conductance parallèle G:! Caractérise les pertes dans l’isolant

(le courant circule d’une armature à l’autre)

! Traiter en exercice la cas du mode TEM dans le guide d’onde plan

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La ligne continue de longueur infinie! D’après le schéma b):

! soit:

! Pour le courant:

! soit:

! Équations des lignes:

Courant et tension sur la ligne:

a) Section de ligne de longueur dzb) Circuit équivalent

V dV V RdzI jL dzIω+ = − −

( )dV R jL I ZIdz

ω= − + = −

I dI I GdzV jC dzVω+ = − −

( )dI G jC V YVdz

ω= − + = −

2

2

2

2

0

0

d V ZYVdzd I ZYIdz

− =

− =

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Impédance caractéristique

! Solution générale pour les tensions:

! variations sinusoïdales en! VI: amplitude de l’onde incidente! VR: amplitude de l’onde rétrograde

! Constante de propagation:

! partie réelle α: atténuation! partie imaginaire β: phase

! Ligne sans perte:! Pour R = 0 et G = 0: α = 0

! Onde TEM:

! Impédance caractéristique ZC:

! Ligne infinie: VR = 0

! Ligne sans perte:

( ) ( )( ) exp expI RV z V z V zγ γ= − +

( )exp j tω

( ) ( )( ) 1 21 2ZY R jL G jCγ ω ω= = + +

jγ α β= +

LCβ ω=

2πβλ

=

( ) ( )1 exp expI RdVI V z V z

Z dz Zγ γ γ= − = − −

1 21 2

CV Z Z R jLZI Y G jC

ωγ ω

+ = = = = +

CLZC

=

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Coefficient de réflexion à la charge

! Ligne finie sans perte:! Impédance de charge ZL en z = 0

! Impédance Z(z) « vue en z »:

! En z = 0 :

! Coefficient de réflexion à la charge:

! Impédance normalisée:

( ) ( ) exp( ) exp( )( ) exp( ) exp( )

I RC

I R

V z V z V zZ z ZI z V z V z

γ γγ γ

− += =− −

(0) I RL C

I R

V VZ Z ZV V

+= =−

11

R LL L C

I L

V Z ZV

ρρρ

+= ⇒ =−

11

L C LL

L C L

Z Z ZZ Z Z

ρ − −= =+ +

L L CZ Z Z=

Représentation d’une ligne chargée :ZL peut représenter éventuellement uneautre section de ligne de transmission.

onde incidente

onde réfléchie

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Ondes stationnaires! Ligne infinie, ou ρL = 0

! Valeur moyenne de V constante! Impédance Z = V/I constante

! Réflexion à la charge ρL < 1! Une partie de la puissance est

renvoyée vers la source! Taux de réjection! La ligne n’est pas adaptée! V et I varient le long de la ligne

! Réflexion totale! Il n’y a plus de propagation

( ) 1020logdB LR ρ=

1Lρ =

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z

z/λ

( )1I LV ρ+

( )1I LV ρ−

Taux d’ondes stationnaires TOS

! On montre l’expression:

! Soit:! Impédance ramenée Z(z):

! « vue par l’onde » en un point z

! Z(z) varie avec la période λ/2! Mesures sur banc:

z/λ

z/λ

Enveloppes du courant et de la tension

11

L

L

TOS Sρρ

+= =

−1TOS ≥

( )( )( )

V zZ zI z

=

( )max CZ z Z S=min( ) CZ z Z S=

( 1 ( 1)L S Sρ = − +

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Impédance ramenée

! On a établi l’expression

! En fonction de ρL:

! Ligne sans pertes:! Impédance ramenée en un point z = - b:

! En reportant l’expression de ρL:

! L’impédance en un point de la ligne dépend de:! L’impédance de charge ZL

! L’impédance caractéristique ZC

! La distance réduite b/λ :

( ) exp( ) exp( )exp( ) exp( )

I RC

I R

V z V zZ z ZV z V z

γ γγ γ

− +=− −

( ) exp( ) exp( )exp( ) exp( )

LC

L

z zZ z Zz z

ρ γ γρ γ γ

+ −=− + −

jγ β=exp( ) exp( )exp( ) exp( )

Lb C

L

j b j bZ Zj b j bβ ρ ββ ρ β

+ −=− −

( )( )

L Cb C

C L

Z j Z tg bZ ZZ j Z tg b

ββ

+=+

2 bbβ πλ

=

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Exemple pratique n° 1

Parties réelle et imaginaire de l’impédance Z, sur une ligneterminée par une charge 0,5 1,0L CZ Z j= +

! Impédance normalisée:

! Exemple:

! Équation de la courbe (pour b > 0)

! Périodicité de λ/2

L L CZ Z Z=

0,5 1,0LZ j= +

( )( )

L Cb C

C L

Z j Z tg bZ ZZ j Z tg b

ββ

+=+

( )1 ( )

b Lb

C L

Z Z j tg bZZ j Z tg b

ββ

+= =+-1 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

z/λλλλ

Z b/Z

C

Re bZ

Im bZ

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Etude de quelques cas

! Ligne demi-onde : b = λ/2 soit βb = π! Zb = ZL : on retrouve l’impédance de la charge tous les nλ/2

! Ligne quart d’onde : b = λ/4 soit βb = π/2! Transformateur d’impédance : adaptation par une section de ligne ZC

! L’impédance normalisée en b est égale à l’admittance de charge normalisée! Zb est fonction des caractéristiques de la section de ligne utilisée

2 1 1Cb b

L L C C

ZZ ZZ Z Z Y

= ⇒ = =

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Ligne en court-circuit

! Impédance ramenée avec ZL = 0:

! L’impédance est purement réactive! Sa valeur varie entre

! Adaptation d’impédance

! Coefficient de réflexion: ρL = - 1 ! Analogue à la réflexion d’une onde

plane sur un conducteur parfait

! Tension et courantTension et courant sur une ligne

court-circuitée

Tension courant

( )b CZ jZ tg bβ=

b bZ et Z= +∞ = −∞

( )

( )

2 sin2 cos

I

I

C

V jV zVI zZ

β

β

= −

=

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Ligne en circuit ouvert

! Impédance ramenée avec ZL = ∝

! Peu commode à réaliser en pratique! Les ondes rayonnent et voient donc

l’impédance de l’espace libre

! Choke : simulation d’un circuit ouvert! Ligne en court-circuit:! Impédance ramenée à la distance λ/4 du

court-circuit :! Utilisé dans les portes des fours à micro-

ondes pour éviter les fuites d’énergie

Court-circuit et ligne quart d’onde« Choke ». Les champs qui voient une impédance infinie sont stoppés

Circuit ouvert

( )cotb CZ jZ g bβ= −

( )b CZ jZ tg bβ=

bZ = ∞Champs

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Adaptation des lignes : ligne quart d’onde

! Zb = ZC entre la source et la section d’adaptation.

! Section de ligne en série! Avec une ligne quart d’onde

! Adapter un câble de 75 Ω (ZL) à un câble de 50 Ω (Zb)

2b C LZ Z Z=

2 75 50 61, 2C L bZ Z Z= = × = ΩAdaptation avec une ligne quart-d’onde

1 50CZ = Ω 2 61,2CZ = Ω 3 75L CZ Z= = Ω

LZbZ

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Un exemple d’adaptation par « stub »

! Soit à adapter une charge d’impédance:

! L’impédance caractéristique de la ligne est réelle:

! Première étape : déterminer sur la ligne un point X où Re[Zb] = RC :! Graphiquement on trouve deux points (et

tous les points distants de λ/2)! L’impédance ramenée est de la forme :

! Deuxième étape : placer au point X une impédance de valeur - jXb annule la partie réactive et adapte la ligne.

Adaptation avec un stub en série

court-circuit

zb1 0,5L C CZ Z jZ= +

Z b/Z

C

0,5 1,0LZ j= +

b C bZ R jX= +

C CZ R=

0 0,25 0,5d/λ

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Stub parallèle

! Il est souvent plus facile d’ajouter une portion de ligne en parallèle.

! On résonne alors sur les admittances

court-circuit

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Abaque de Smith : introduction

! Due à P. Smith (Bell labs. 1939)! Aide graphique pour traiter:

! Coefficients de réflexion! Ondes stationnaires! Impédances ramenées

! Toujours utilisé dans les logiciels spécialisés, pour la présentation des résultats de simulation.

! Aspect compliqué provenant de la grande quantité d’informations

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Coefficient de réflexion : plan complexe! Impédance ramenée en z = - b (ligne sans

pertes):

! En fonction de ρL:

! Coefficient de réflexion ramené en z = – b :

! Variation de ρ le long de la ligne:

! Pas de pertes :! Vers générateur : rotation horaire! vers la charge : rotation anti-horaire

exp( ) exp( )exp( ) exp( )

Lb C

L

j b j bZ Zj b j bβ ρ ββ ρ β

+ −=− −

1 exp( 2 )1 exp( )

Lb C

L

j bZ Zj b

ρ βρ β

+ −=− −

exp( 2 )b L j bρ ρ β= −

z0- b1- b2

vers le générateur

b2 > b1

vers la chargeb2 < b1

( )2 1 1 2exp 2b b j b bρ ρ β= −

constρ =

- b2

point dedépart

1- 1

1ρ ≤

θ [ ](Re )x ρ

[ ](Im )y ρ

vers

géné

rate

ur vers charge

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Représentation des impédances normalisées dans le plan complexe : partie résistive

! Impédance ramenée Zb en fonction de ρb :

! Impédance normalisée :

! P est la composante résistive! Q est la composante réactive

! Courbes « équi-résistance » dans le plan du coefficient de réflexion xOy

! Famille de cercles dans le plan xOy:! Centrés en x = P/(1+P); y = 0! De rayons R = 1/(1+P)

11

bb C

b

Z Z ρρ

+=−

11

b bb

C b

ZZ P jQZ

ρρ

+= = = +−

2 22 1

1 1Px y

P P − + = + +

[ ](Re )x ρ

[ ](Im )y ρ

rayon unité

∞21

1/2

P = 0

Partie résistive de l’impédance normalisée

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! Courbes « équi-réactance » :

! Famille de cercles dans le plan xOy:! Centrés en x = 1; y = 1/Q! Rayons R = 1/Q

Représentation des impédances normalisées dans le plan complexe : partie réactive

( )2

22

1 11x yQ Q

− + − =

[ ](Re )x ρ

[ ](Im )y ρ

rayon unité

x =1

Q = 0

1/21

2

∞

-1/2-1

-2

Partie réactive de l’impédance normalisée

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Abaque de Smith : description

! Superposition des deux familles de cercles dans le plan xOy! Composante résistive: graduations de 0 à l’infini sur l’axe Ox.! Composante réactive :

! Valeurs positives moitié supérieure ! Valeurs négatives moitié inférieure

! Coefficients de réflexion! Pas de graduations radiales (utilisation d’un compas)! Graduations sur la circonférence

! D’après! Un déplacement de b = λ/2 sur la ligne correspond à un tour (2π)! Graduations externes en fractions de longueur d’onde! Indication du sens de parcours (vers la charge ou vers le générateur)! Valeur de la phase du coefficient de réflexion

! Taux d’ondes stationnaires TOS (partie positive de l’axe Ox)

exp( 2 ) exp( 4 )b L Lj b j bρ ρ β ρ π λ= − = −

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Exemple n° 2 : abaque de Smith

! Reprendre les valeurs de l’exemple graphique n° 1 avec! On pose

! Calculer et vérifier cette valeur sur l’abaque

! Mesurer

! Déterminer le module et l’argument de ρb au point b = 0,3 λ :

! En déduire la valeur de et de Zb (on donne ZC = 50 Ω):

! Vérifier graphiquement les résultats

( )expL L Ljρ ρ φ=

Lρ

Lφ

bZ

0,5 1,0LZ j= +

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Exemple n° 3 : Calcul du stub série

! Dans l’exemple fig. 18, déterminer la position et la longueur de ligne (impédance ZC) en court-circuit à utiliser pour adapter la charge:

! Placer le point P1 de coordonnées! Tracer un rayon de centre O passant par P1: graduation externe 0,133 λ ! Tracer le cercle de centre O passant par P1 (rayon = )

! Première possibilité! Impédance normalisée au point P2: ! Lecture à l’intersection du rayon et de la graduation externe : 0,18 λ ! Valeur du déplacement : X1 = 0,18 – 0,133 = 0,047 λ

! Placer en X1 une ligne en court-circuit, de réactance Q1 = - 1,65 ! Point P3 figuratif d’une charge en court-circuit! Pour arriver à Q1, il faut se déplacer vers le générateur de : 0,321 λ

! Procéder de même pour trouver la seconde possibilité

0,5 1,0LZ j= +

0,5 1,0LZ j= +

Lρ

1 1,65bZ j= +

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court-circuit

P1P2

P3