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Chapitre INotions de cristallographie géométrique

I- Réseau direct ;définitions

1- MotifUn cristal peut être considéré comme formé d’atomes, d’ions ou de molécules qui constituent le motif cristallin. Ce motif se répète de façon périodique dans les trois dimensions de l’espace.

2- NœudC’est le point qui se déduit de l’origine par translation;

c’est l’extrémité du vecteur avec les vecteurs du réseau.

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• 3- Réseau :• C’est un ensemble de points qui matérialisent

la façon dont le motif se répète dans l’espace.• Exemple 2D

b

a

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• 4- Rangée : • Toute droite orientée contenant au moins deux

nœuds. Elle est notée [uvw] avec u, v, w les coordonnées du nœud le plus proche de l’origine.

• On appelle aussi rangée [uvw] toute droite parallèle à l’axe joignant l’origine au nœud de coordonnées u, v, w.

• Le symbole [uvw] désigne à la fois l’orientation de la droite dans l’espace et le vecteur période qui sépare deux nœuds le long de la droite. La période de la rangée est donnée par le vecteur

u, v, w entiers premiers entre eux.

n ua vb wc

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• 5- Maille (3D) :

• Tout parallélépipède construit sur trois vecteurs ayant même origine.

a

c

b

n u a v b w c1 1 1 1 n u a v b w c2 2 2 2 n u a v b w c3 3 3 3

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• 6- Plans cristallographiques (réticulaires) :

• Les nœuds du réseau sont répartis sur des plans appelés plans réticulaires. Trois nœuds non alignés définissent un plan réticulaire.

X0

Z0

b

a

Q

Y0

c

R

P

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• Un plan réticulaire est défini par trois indices de Miller h, k, l tels que :

• h = a/x0 ; k = b/y0 ; l = c/z0.

• a, b et c sont les paramètres de la maille

• x0, y0, et z0 sont les abscisses des points d’intersection du plan avec les axes.

• Notation du plan : (hkl)

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• 7- Distance réticulaire :

• Les trois indices hkl définissent en fait toute une famille de plans parallèles et équidistants d’une longueur dhkl (distance réticulaire) égale à la distance de l’origine à ce plan. Il y a toujours un plan qui passe par l’origine.

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d010

Famille des plans (010)

b

c

a

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II- Réseau réciproque1- Définition :Soit un monocristal placé sur le trajet d’un rayonnement X :

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RX()

RC

RD

Taches de diffraction (I0)

Rayons diffractés

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Les taches de diffraction constituent le réseau réciproque. c’est un réseau imaginaire qui n’a aucune signification physique. Il facilite les calculs dans le RD et permet d’interpréter les spectres de diffraction X.

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RD RR

, , , , *, *, *

RD et RR ont même origine.

sont tels que :

cba

,, **,*, cba

a b c*, *, *

a b c* ( , )

b a c* ( , )

c a b* ( , )

aa bb cc* * * 1

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Le réseau réciproque est constitué par des nœuds qui sont à l’extrémité des vecteurs tels que:h, k, l sont les indices de Miller du plan direct (hkl).

h, k, l sont les indices de Miller du plan direct (hkl).

R*

R ha kb lc* * * *

a R h. *

b R k. *

c R l. *

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2- Propriétés du réseau réciproque

• a- Les rangées réticulaires d’un réseau réciproque [hkl]* sont perpendiculaires à la famille de plans réticulaires (hkl) du réseau direct càd : [hkl]*(hkl) ;

• b- le module du vecteur du réseau réciproque est égal à l’inverse de la distance réticulaire dhkl :

Rhkl

*

R

dhkl*

1

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3- Application :

• calcul de dhkl : R ha kb lc* * * *

R ha kb lc hka b klb c hla chkl

* * * * * * * * * *2 2 2 2 2 2 2

Systèmes orthogonaux : = = /2

R

dh a k b l c

h

a

k

b

l

chklhkl

* * * *2

22 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

1

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1 2

2

2

2

2

2d

h

a

k

b

l

chkl

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Système Volume

Cubique a3

Quadratique a2c

Orthorhombique abc

Hexagonal

Monoclinique abc sin

Triclinique [ h2b2c2sin2 + k2a2c2sin2+ l2a2b2sin2+ 2hkabc2 (coscos-cos)

+ 2kla2bc(coscos-cos)

+ 2hlab2c(cos cos-cos)]

abc (1- cos2 - cos2- cos2 - 2

cos.cos.cos)1/2

12d

h k l

a

2 2 2

2

h k

a

l

c

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

l

b

k

a

h

4

3

2 2

2

2

2( )h hk k

a

l

c

1 22

2

2

2 2

2

2

2sin[

sin cos]

h

a

k

b

l

c

hl

ac

1

23 2( )a c

12V