notes du mont royal ← · 2017-11-29 · notes du mont royal cette œuvre est hébergée sur «no...

Notes du mont Royal

Cette œuvre est hébergée sur « Notes du mont Royal » dans le cadre d’un

exposé gratuit sur la littérature.SOURCE DES IMAGES

Google Livres

www.notesdumontroyal.com 쐰

2”fis

ARCHIM’EDIS

O P E R A O M N I A’ CUM COMMENTARIIS EUTOCII.

E CODICE FLORENTINO RECENSUIT, LATINE UERTIT

NOTISQUE ILLUSTRAUIT

J. L. HEIBERGD3. PHIL.

UOLUMEN Il.

Æ

gIPSIAE-IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI.

MDCCCLXXXI.

PRAEFATIO.Cum in uolumine primo satis, ut opinor, de con-

silio, genere adiumentîsque huius editionis prsefatussim, haie praefationi nihil relinquitur, niai ut paucaquaedam uel addam uel corrigam.

In sdnotatione igitur critica. uoluminis I haecaddantur, de quibus postes. demum, quam prodieratuolumen illud, ab Henrico Lebègue certior fœtussum:I p. 56, 17 etiam in A est zspcqzspelag; quare scrib.

"con-r. ed. Basilfî

I p. 116, 2 post ,,ed. Basil.fi ponenda erat stellula.(nam ubi stellula nominj editoris recen-tioris adponitur, hoc significatur, codicesParisinos denuo inspectos cum cod. Flo-rentino congruere).

122, 7 post ,,uulgoff stellula. ponatur.. 132, 13 deleatur ,,corr. ed. Basilff nam in omni-

bus codd. est 16 (excepta Florentino).132, 18 post ,,ed. Busil.fl ponatur stellula.150, 3 post ,,ed. Basilff ponatur stellula.190, 19 pro ,,corr. ed. Basilff scribatur ,,corr. B

manu 2".I p. 216, 17 and. C prorsus idem habet, quad F ; in

I B ita scribitur: n°3 p6 196g 61’ 1561:5 ml(à; 1:6 ànô a). «çà; 16’ Il] [30 zoos ôxt

456w sial 055- zà duo n]. cet.I p. 452, 20 offre cum omnibus codd. Parisinîs reci-

piendum crut. rpostremum moneo, sicubi signum interrogationis scrip-turae cod. Florentini adponatur, hoc non significari,me de collations mes dubitare, sed codicem ipsumlectu difficilem esse, ita. ut prorsus certo dignosci ne-

109907

HH’15"?

HHHsur"?I

IV PRAEFATIO.queat, quae sit scriptura eius. unus tamen locus ex-cipiendus est H p. 352, 19. ibi enim ad Torellii scrip-turam triduums nihil e cod. Florentino adnotaui; sedcum et ante et post in eadem pagina legamus tamia,non dubito, quin errauerim, et hoc quoque loco n incod. Florentino reperiatur.

In uolumine altero p. 359 sq. recepi interpretatio-nem Tartaleae librarum, qui sunt and ôxovpa’vmv,quia intellexeram, Commandinum suc Marte plurimamutasse, ita ut forma genuina, in qua libri illi nobistraditi sunt, ex Tartalea solo cognosci posait. itaquecum liber eius satis rarus sit, interesse putaui, utdenuo cum fide ederetur quasi fundamentum hoscelibros emendandi. sed hac ipse. re accidit, ut libriilli forma corruptissima et ita, ut interdum intelleginon possint, prodirent. sed cum intellexerim, eos tamfideliter e Graeco conuersos esse, ut pristina formaubique fere adpareat, constitui, postes aliquando, siotium mihi contigerit, hos libros Graece conuertere.tum demum licebit de lacunis explendis et erroribusplurimis foedissimisque corrigendis seuere cogitare.dum hoc fiat, habita barbaro et dilacerato, quo adnos pernenerunt, hic quoque prodeant. hoc loco inter-ponere libet, quae Carolus Thurot u. d. ad emen-dandos libros ’illos contulit (Recherches sur le prin-cipe d’Archimède. Revue archéologique 1868-69).Il p. 356, 4: ôfleïdôm] delet C. Thurot.Il p. 356, 6: nolwœv 416’505 41.590512] mima d’à rôt a6-

, 1:05 515’917 idem.Il p. 357, 10: laofiagfi iam suspicatus est Thurot.Il p. 358, 10: uaraflm’vœm] naraflaîoi idem.

Il p. 358, 2: laofiagfi iam Thurot.praeterea in uerbis Tartaleae citandis saepe ca uel cor-rigit uel explicat additis Graecis, in quo saepe in

PRAEFATIO. Veadem incidit, quae ego in adnotationibus posui. delacuna. p. 369, 5 haec habet: peut-être y avait-il: enefibt, si a n’était pas entièrement tau-dessous de lasurface, le volume du liquide égal à la portion plon-gée aurait un poids moindre que ad. idem uir doctus(Revue critique 1880 nr. 2) quaestionem obseuram acdifficilem, utrum Tartalea ipse codicem Graecum ha-buerit necne, ita soluere conatur, ut putet, libros illosTartaleae causa ab homine Graecae linguae satis pe-rito, sed qui mathematicam non calleret, e Graecoconuersos esse. praeterea consensum Thuroti (Recher-ches etc. p. 12 not. 2) de auctoritate editionis Tar-taleae laetus commemoro, de que. ita iudicat: nousmontrerons plus bas que cette publication est la seulebase authentique qui puisse jusqu’ici servir à établirle texte de ce traité d’Archimède. -- sero animaduerti,pro littera æ usurpandam fuisse litteram 1P, ut fecitCommandinus; nam apud Tartaleam haec littera, quaesaepius formam litterae a: prae se fert, interdum ta-men litterae 11” simillima est, ita ut uel-i simile sit,Tartaleam semper banc litteram reddi uoluisse. .

De lemmatis hoc addendum uidetur, MauritiumCantor (Vorlesungen über d. Gesch. der Math. p. 255-57) nuper pluribus de quibusdam eorum propositio-nibus egisse. quae Curtzius et Steinschneiderus de.huius libri apud Arabes fatis disputauerunt, breui re-censere in animo mihi est.

De codice Parisino problematis bouini e litterisHenrici Lebègue haec cognoui. codex Graecus 2448inter alia hoc epigramma et id quidem tertio lococontiuet. de eo in Catalogo codd. mas. bibliothecaeregiae Il p. 504 haec leguntur:

MMCDXLVIII.,,-- 3°. Archimedis supposititia ad. Eratosthenem

V1 PRAEFATIO.cpistola sive problema Alexandrinis versibus scriptumde bobus salis sacris --.

Codex bombycinus, olim Colbertinus.Is codex saeculo decimo quarto exaratus videturfi.

conspectus scripturae discrepantiae, in quo de accenti-bus et l, subscripto (quad saepe omittitur) tacui, hic est:

u. 4: 60466115153111] âaaape’vn cod. Paris. 2448.

5: àldaaowœ] alterum a supra Paris. 2448.12: rerpdrça ce] sic cod. Paris. 2448.13: miaou] sic. cod. Paris. 2448.16: dring] «61069.16: laœçope’vavç] fdaaopévovg.

19: 13902191] sic.20: tôtçwlflp] sic.22: néons] miaous.22: êpxope’vng] êpxous’vaig.

23: aigrefins] 6’ 027151913 (et sic Struuius).

24: tergaxfi] rétamer.27: 60:51;] fiées.29: 196w] 190*051!-30: Âéyoz’] Âs’yow.

31: summums] sic.38: &pflololônv] &yfioloîvônv.40: oïiz’ êmlemoue’vœv] 01’)? mlsmom’vmv.

41: npaariôwaw] atomismes").41: dôpoa’dag] 0209156419.

42: a; gémi] germa roi.44: ionien] ratings.

hac problema. Archimedi re uera tribuendum esse,quamquam dubitari possit, an ipsi uersiculi ab eo con-scripti non sint (quad ipse admiseram Quaest. Archim.p. 26 not. 1), etiam Krumbiegelius .censet; quem deexplicando uerbo xÂlvôov u. 36 (s1 mado explicaripotest) mecum consentire (L l. p. 134) gaudeo. sed

FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF

PMEFATIO. V11in ea sententiam meam minus recte intellexit, quadputauit, me causis a me adlatis demonstrare uoluisse,Archimedem huius epigrammatis auctarem esse. namhoc solum ostendere conatus sum, nihil esse, cur abeo discederemus, quad traditum est, his uersibus con-tineri problema ab Archimede propositum. de re ap-tisime me monuit L. Oppermannus, eo quoque confir-mari originem problematis Archimedeam, quad numeritain scite electi sint, ut cita ad ingentes numeros per-ueniatur, in quo ipso auctor problematis praecipuam eiusdifficultatem inesse uoluerit. coniecturam meam in u. 24:

amaril." laâgiôpov mlfiôag fzova’ 500511],

quem palaeographice explicare passe uideor, tamennunc improbaui, quia araucan tum de grege vaccarumvariarum, non de toto grege varia, accipiendum erat,quad fieri uix potest. - etiam iudicium Mauritii Can-tor u. d. de hoc problemate adferre iuuat: Vorlesungenûber d. Gesch. d. Math. I p. 268: Zu einem Ergeb-nisse kommen wir allerdings auch hier: dues nâmlichein Grund das Rinderproblem darum für untergescho-ben zu erklâren, weil Archimed es nicht habe lôsenkônnen, in keiner Weise vorliegt.

Inter fragmenta catoptricorum recipere potueramMichaelis Pselli locum in synopsi mathemat. p. 73 ed.Xylandri: ômzarôv pâmai, and 621M); 0211509159: (induronsa? psôôôça xmjaœaôm, uaflà d’écran nul ’Apxtmjônç

59 noté www 5905183200121) mol mis ôn’ ô’rpw «wapi-

609, (lardon de]! du sa uëyeôag, 15111 édfiôav êtaipmg598mm! «pas tipi fg 151.1501) ni; «coupelles uaramjgagd’unir), 05g rôts (impair; n’ig- re éolflôov nul :179 ampu-

pdôog 6g l’eau dwanoxsgatoôaôœi datois. «ai 6150 Év-teôflev ànorels’aœg idoyaîvm (16163511 s’amjyayev’ 31;

1.632011 1’] év êmnéôç: aussi"; and! tfig éâflôov «ou; aûrùv

1) ëempe’vœv Xylander.

VIII PRAEFATIO.515L nia) édflôov, du: 0:61:61! and i7 à! àmrte’ôçrtfig uvau-

plôog and nçôg «skip! è’xel. tipi magouilliez. aux), Âomôv

si? dimissorial, tifs Galois rfig 7112904115609 1:6 si; impuni-ôog 511109 raïs àçmnjaœm ôfilov uars’dmasv. nam ueri

simile est, banc narratiunculam inde artam esse, quadin catoptricis Archimedis inueniebatur propositio ali-qua de altitudinibus ex ambra dimetiendis, qualis estEuclidis optic. prop. 18.

ultimo loco adnotabo errores typographicos,quos quidem adhuc deprehenderim.

Scriptum est: Scribendum erat:l p. 24, 15: nsgiyoizpon «emporiums.I p. 46, 7:560151P1] iaoüzpfi.

I p. 106, 9: 17I p. 240, 20: raflant. oing quina, 4159l p. 380, 25: uoçvtpœ nopvtpàI p. 424, 5: ovôè oôôèIl p. 146, 20: 5101m. 51mm; et in notis

p. 147 addendum: ,,20.510m F, uulgo.n

in figuraII p. 360 littera F excidit, quae ponendaerat in dextre. parte extrema parabolae. I p. 244 infigura ducatur linea. A K.

praeterea non rare in accentibus more Doriensiumponendis erraui, uelut quad in futuri tertia personanum. sing. circumflexum non posui, et omnino in dia.-lecto restituenda fartasse parum mihi constiti. sedhuic rei aliquatenus mederi me passe spero, collectisomnibus dialecti Doricae uestig’iis, quae apud Archi-medem occurrunt. hoc et materiem disputandi ube-riorem et, ut arbitror, fructuosiorem, certe mihi fami-liariorem, quem praebet quaestio de codicibus aesti-maudis, praefationi uoluminis tertii sepono.

Scrib. Hauniae Cal. Februariis MDCCCLXXXI.

DE LINEIS SPIRALIBUS.

Archimedes ed. Heiberg. Il. 1

10

l5

20

3191111156179 40603591 pilum).

T1511 111012 K61Iowa &zodrale’wmv fleœonpnîtœv,ôxèp 15v octal. rôts ànoôergi’aç émaciant; par, yçéwai,

10512 [13512 111155610111 à) rots 1511:0 inazler’da nome-35’11-

1866W Exact; ysypappe’vag, twàg 6è 111310511 ml 5’11 19565

11,5 131611591 pedums êmaze’Mm 170L. 1.11) minaudons de,si filetant: 19612012 flOLflfilÎ’Ut’êç âuâlôopeç ràg ànoôuglag

011511511. dvpfialvsl. yole 10171:0 yeysvfiaôai duit r6 flav-Âe’dôal. (Le 196159011 616611511 raïs mal. 1:6; acidifiants:

upayparevope’vmg nul puerais": admit apoaigovpa’vozg.x6601 7&9 115v à; yetopsrgû; ôaœonpoîrw 01’»: 515143-

060: à; 02919? monisme; x961291 du! ëgspyadfav 10111.60?-1lo1m; Kôvaw 11h) 01511 0151 [110111011 112130311 ëg ràv p.02-

drsvaw «151:0511 1961101! perdllagw 170v 61’011: 1? 6127.11

ênoinaëv un: confira Mieux 51590511, and 5Mo: nouât ég-svpoôv 5715?. sa 711517011 «goéyaysv yeœpetgc’av. émani-

psôœ 7&9 dardoglxdav 1115195 6151256111 01’) 1:in 111101760111

mol 1:0 [affinant ml. malaxovlav Ônsgfiéllavaow. and6è 1&1; 1051100110; 175151115111 1011.0512 315’031; êmyeyevn-

pâmas oôd’ in)? ëvôg odôèv 115v nçofiÂqpoîrmv alcad-

vâpeôa usqupa’vov. 60121611051 6è xaô’ S1; 31101617011

«61:61) «posveyuoiaôar’ and 7&9 6111160151151 6150 mais

1. 400610qu F, nulgo. 2. flaconpamw F. 3. 0110651-güxç] scripsi, ut lin. 7; «1:08:15 cum com . 13; F; ânoâslfiuçnulgo. 7. 511818011511 F, nulgo. 11. 110’001 Barrowius; nom F,

Archimedes Dositheo s.

Eorum theorematum, quae ad Canonem miseraiu,quorum demonstrationes semper me perscribere iubes,plerasque demonstrationes in iis ilibris perscriptas habes,quos Heraclides ad te pertulit, nannullas autem etiamhoc libro perscriptas ad te mitto. neu miratus sis,si diutius moratus demonstrationes eorum edidi. hocenim ea de causa factum est, quad prius ea uolui per-mittere mathematices studiosis, et qui ipsi ea scru-tari malint. quot enim geometriae theoremata, quaeinitia difficilia inuentu uidebantur, postea tandem con-fecta surit? Canon igitur, antequam satis temporis adsa perscrutanda ei contigit, mortuus est; alioquin es.illustrasset, his omnibus inuentis, et multis aliis in-super de sua inuentis geometriam amplificasset. sci-mus enim, ei fuisse et peritiam mathematices singu-larem et industriam praecipuam. sed multis iam postmortem Conanis annis interiectis nondum ullum pro-blematum illorum quemquam adtigisse comperimus.singula autem hoc loco adferam. accidit enim, ut duo

nulgo. 05001711011007 F. 12. mais] en» par camp. F; corr.Torellins. 13. 011v] addidi; am. F, uulgo. 14. fi 65101]Maduigius; 016177.01 F, nulga; sa). d’âme: cd. Basi1., Torellius.15. na] scripsi; un". F, nulgo. 16. Gal] scripsi; mu un F,nulgo. 1&1: ysmpszqr’av? 17. 0111150 cum camp. 171: F.19. meœvoc F, nulgo.

1*

10

15

20

4 IIEPI BAIKSÆN.011510511 à! cadrats 11h; 11510091091505, vélos 6è 11100866-

psva, 31mg al 1110111151101 11h! mima 5159171115111, aimi-6812111 6è «151*031! 0156511150511 êuqns96wsg ëÂeyuaivral. aïe:

noôwyoloynuôreg 5159116115111 1rd sidérant. 10:51:05 61)nota 10511 n9ofilnpolrœv 3111:5, and rhum! mais ânoôsigt’ag

ëxug duearalpe’vag, mil, 160151.01: à! 19565 1:95 131.131.591

maltages, 6auLpoiÇopsç 61191011112011 rai. «9151011 61)

10511 z9ofilnpdrœv du 60101159019 6005150119 âzfnsdovlandau 81595511 [001! sa? êquavelçi 1&9 119105159119 6 61)nul 169151011 ëya’veza 0201118901; ëudoôe’vrog 1:01? 1559?. 1:61:

01110169111! 61.131.101). decxôe’vrag 7029, 0’11. m2009 611201159059

à 3110102115101 reroaarlaala étui 1015 psylarav 111511101;r61: à: 1:97 amadou, 6111011, 039 6121111161; c’est 100915011

5115156011 515961711 1’001; a; 311192011150; 1:65 0010159119. 6515-

159011 6è” 110511011 609e’vrag 1j 1111113169011 aqmî’9a11 815-

9eî’1l [01111 14:5 11051193 fi 11,5 111211116991. 195m1; 6e” 1’611:

60195km! amaï9av équarrît,» 1511.6211 03’615 1:01 quipous:

01615629 atar’ duale; 1011 101131:01:01 10’701: ëxew. rémo-

1011 de” 1:61! 6019850011! 611201191111 êmatëdça 1511.5511 dicte

roi 11102110110: 1&9 émqnavu’ag 16v 104387110: 1.67011 515w

nor’ 61.101141. «5111615011 61;” si) 609èv 711071101 69105590113

tu? 60651111 11102110111. aquilons 61101056011. 3111011 65”6150 609.5111011; ryapolzœv 011210909 être 1&9 «1510?; être

1. 01611511] scripsi; 10011 F, uulgo. 511. mirois] scripsi cumNizzia; sa dans F, uulgo; 567.1515011: retentis 1037 et 111i Madui ’us.

115v] (si) F; con. ed. Basi1.* 11510090101151": F; corr. B*;.s au:usxœpwuévu Torellius cum Barrowia. 15’101; Nizzius; 15101:;F, uulgo. nomadisera] saripsi; «0150001181: , nulgo; 1101915-0011511 Barrow; énorsuêôpwu Torellius; émancipent uel 0665-uaô’ 556115110: Nizzius; fort. 25’101); 611 «01:16:69,210. 2. (pavot

509101: cum camp. 11v F, ut lin. 4, 9, 14. 3. alu 11000.1-poloynudzsç] scripsi; anoôœpoloynuonç F, uulgo; 05 «00’ 611.0-loynuôzsç Barrow, Torellius. 5. 011106515 cum camp. 119 F.

6. prfilùp] alterum 13, supra manu 1 F. 7. 110111:01:55

DE LINEIS SPIRALIBUS. 5quaedam eorum inter ca collocata flint, confiai autemnon possint, ut isti, qui se omnia inuenire dictitent,nullam autem demonstrationem eorum in mediumproferant, aliquando redarguantur, quippe qui absurdaetiam se inuenire passe profesai sint. est autem pro-blemata. qualia. flint, et quorum demonstrationes per-scripta habeas, et qualium demonstrationes hoc libroadferamus, mihi uisum est tecum communicare. pri-mum igitur problema hoc crut: data. sphaera planumspatium inuenire superficiei sphaerae aequale [de sph.et cyl. Il p. 190], id quod etiam primum palan factumest, edito de sphaera libro. cum enim demonstratumait, superficiem sphaerae quadruple maiorem esse cir-culo maximo sphaerae [de sph. et cyl. I, 33], ad-paret fieri passe, ut inueniatur spatium planum super-ficiei sphaerae aequale. secundum autem hoc erat:data cono uel cylindra sphaeram inuenire cono uelcylindro aequalem [de sph. et cyl. Il, 1]. tertiumantem: datam sphaeram piano aecare, ita. ut segmentaeius inter se datam rationem habeant [ib. Il, 4]. quar-tum autem: datam sphaeram plano secare, ita. ut seg-menta superficiei inter se datam rationem habeant [ib.Il, 3]. quintum autem: datum segmentum sphaerae(labo segmenta sphaerae simile reddere [cfr. ib. Il, 5].aextum autem: dadais duobus sphaerae segmentis siue

F; cou. Torellius. doumcigopEÊJ sel-ipsi; (immature: F,unlgo. ëpqmm’gœ B; ânonnait» orellius; êpqauvlaaz A, cd.Baal. 8. 60mm cum camp. ne F; com Torellius. 10. 1&1:avaleur] scripsi; 1m: (comp.) «tympan! F, uulgo; raïs amateur;Torellius. 16. evç cum comp. ma F, ut lin. 17, 19, p. 6 l. 117. flnuulfl! F; corr. Torellius; sic semper in omnibus huiusnerbi formis in hoc libro, niai ubi contra adnotatum est.18. mon]: F; corr. Torellius. 21. nanar F.

10

15

20

25

6 HEPI EAIKRN.65110:9 5139551» u quina (matous, 3 émiettoit me; phi(maton! 1:95 51:5,le 145v rpupoircov, ràv 6è êmqwîvemvfaon: Égal, 1:9? émepuvslç 1:05 5115901: rpéparog. Ëflôapov’

(in?) 1&9 600566059 amadous mêla: (inaugural Ënme’ôtp

45615 nô mêla: and, tôt! 94051101! 1:61! fléau: Ëzowa tàv

«1516:1: 195 maman and 511109 [60v 16v razôévw 1.67011

fixa"! (nigaud 1:05, 311 ËZEL zà cola and rôt 6’60. 1015-raw ne» 05v 14511 aigqpa’vœv animaux rôts ànoôezëtaç

inaxlaL’ôas ëxômëw. nô 6è parât mûre: xsxœpwua’vov

112615609 17v. Eau 65" et ne: comme; êmm’ôçæ ruant??? ais

â’waa, 1:6 perçai; quina nazi ra 51426601; ômlam’ovœ1.67011 5’254, fi à paîtrai! émqwîvsm nazi du: 31056603101.

51:1, 6è fO’ÜIO 11155669 éon, ôLà 105v npaansaralpæ’vmv (pœ-

vspôv êau. nezœolfawz 7&9 à: minots 1665i et aux Gemmaânme’ôcp Imam] ais â’waa «01’ 6906:3 ricanâtes) rwl tafia;

à! a? «www: 1&9 pieu âztmavez’aç 1:6 pEÏËO’V rpâya and

nô 51.056601: tau «61:61; 385L 167011, 311 nô quipo: nônattai; 1&9 ômye’rgov and ra 514166011, 1:6 6è (LGÏCO’V

ryâ’ya mis amadous 2501:1 ra 511166011 Éléaaava pâli) 6L-

nlaîmav 1.67m; 5x54 1017, 3’]! fixa à mitan: âmqwêvewnazi min: ëÂdao’ova, (nigaud ô); fi émanai). 1’111 (Ë aux!

16 561mm: xezmowus’vov 1:61! npafllnpoîznw ursôôog,511., a! aux agiotions zwôg à ôLdysrpoç spam] (561:5 rô

data 1:01? pantoums ryéyœrog terpéyawov zçtzldawvalpax mû recpayaivov mû (in?) 1017 51026601209 quipo:-

7. p miton F; corr. Nizzius. 8. 017v] per camp. F;0m. cd. Fusil. anoôuâug F, unlgo. 9. momon F, uulgo.10. 1Mo F; con. Torellius; et sic par totum hune librum inomnibus 1min uerbi formis (etiam in compositîs), ubi nihil ad-notatum est. 15. noz’] «pas par camp. F; com Torellius.16. de ph: êmquslaç] addidi Neue Jnhrb. Suppl. XI p. 397;0m. F, uulgo. nous) sa flacon -- 19. sa 6è mitai: quipo;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 7eiusdem sine alius segmentum sphaerae inuenire, quadipsum alteri segmenta aequale sit, superficiem autemalterius segmenti superficiei aequalem’ habeat [ib.Il, 6]. septimum: a data sphaera segmentum planaabscindere, ita ut segmentum ad canum basim eaudemhabentem, quam segmentum, et altitudinem aequalemdatsm rationem habeat maiorem quam 3 : 2 [ib. Il, 7].110mm. igitur omnium, quae nominauimus, proble-matum demonstrationes Heraclides ad te pertulit. sedquad deinde positum erat, falsum erat. est autemhuiusmodi: si sphaera plana in partes inaequales saca-tur, mains segmentum ad minus duplicem rationemhabet, quem maior superficies ad minorem. hoc autemfalsum esse ex iis, quae antes ad te misse. sunt, ad-paret. in iis enim hoc pasitum est: si sphaera inpartes inacquales secatur plana ad diurnetrum aliquamsphaerae perpendiculari, superficiei segmentum mainsad minus candem habebit rationem, quem maior parsdiamatri ad minorem, sphaerae autem segmentummains ad minus minorem quam duplicem rationemhabet, quam major superficies ad minorem, maiorem110m quem sesquialteram [ib. Il, 8]. uerum etiamproblema ultima loco pasitum falsum erat: si alicuiussphaerae diametrus ita secatur, ut quadratum partismaioris tripla mains sit quadrata partis minoris, etpar hoc punctum 1) planum ad diametrum perpen-

l) Se. in quo diametrus ita diuisa est.

delet Nizzius. 18. 62’] scripsi ibid; 719 F, nulgo. 19. glua-uov] 0m. FV. 21. and mais] zoo; (comp.) un (camp) F; cart.Torellius. 23. fi F; cart. Torellius.

10

15

20

25

8 HEP! EAIKSIN.toc, and duit 1:05 capelan rouirai: 31115601; âxflèv noz’690029 sa? draperai,» râpa!) 1&1! amateur), rô rozoôtov193 elôal. influiez, aida: écu sa garçon raïs 6911269113 mégot,

pâturai: c’est. 1051: 31.1.0311 magnéton! 10511 1516me [dam

min: 37159144151151.0111. du 6è 1061:0 weôôôç dm, ôfilov dut

105v npoaatedralpe’vœv flsœpmwîrœv. ôeôelutal. 7020,

du ta àpmcpatptov (bipartis: éon 17451; naacszope’vœv131:0 tous àmqmvac’ag damions empâtai). parât 6è mâta

and. 1013 nuirai: «goflefll’qm’va éon! nids. si aux 60430-

70011600 miaou rond: paumions zig diapëtaav materez-fifi, 45618 811.0811 35mm niai ôtépstpov, sa amplement!)exigu 1571:0 1&3 1:05 6019070011501: 3:05va toués stewa-uôèg xaÂeiabm. and. et aux 1:05 xœvaeaôéag ovipare;355156011 chaman, and 6è «a ënzzpaôov mandai: 61’110

ëxdnaôov dzêta àflotêflfl u spina 1:05 xœvouôêog, 17017

ânozpæfia’wog rydyarog même ph: micmacs 1:6 aïno-tégwav ànémôov, uogwpà 6è a) caneton, xæû’ 3 èm-

1pa1551. sa 3050011 guindai! 1:01? xmvouôa’og. et? dé aux

ra 5430115031101! (même êmnéôcp spaâfi n01." 608029 sa;

5550m, du au à tous? adulas kachas, ôfilov’ du 6ètô àatozpwfitv smilax mutinas: écachai. 17013 andalou1017 fléau! excusas ràv «616w se)" racinant. and 174:0;470’011, daigna. der. aux). et aux 1:05 unwouôs’og 6150 1:41.05-

paru ànorpaôe’mwz êmats’ôocg 61016051! àyye’vocg, du

(du! 015v est topai. ëaaacimal. ôgvymvlmv mimai: rayai,ôfilav, si! aux 1:6: data-régalant: 5111560; (a) 6086: 50)szand. 10v ëëova? du dt tà maman: «01’ 52.11.4210; soû-

l. ("même F; carr. Torellius; et sic et totum librum, ubinihil adnotatum est. 1:06:00] scripsi; to F: nulgo; u? 2. mais]in» F; cart. Torellius. 3. euh) F. 12. me (comp.) . . .son: F; corr. Torellius. 16. énumérâmes] sic F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 9diculare ducatur et sphaeram secet, figura talis specie,quale est mains segmentum sphaerse, maxima est

omnium segmentorum aequalem superficiem haben-tium. hoc autem falsum esse, ex iis thcorematis, quaeantes ad te misse. sunt, adparet. ibi enim deman-stratum est, hcmisphaerium maximum esse segmenta-rum aequali superficie sphaerae comprehensorum [ib.Il, 9]. deinde de canal) haec erant proposita: sisectio coni rectanguli manants diametro circumualui-tut, ita ut diamatrus sit axis, figura sections coni rect-anguli comprehensa. conoides uocetur [cfr. de conoid.p. 274]. et si planum conoides contingit, et aliudplenum contingentai paraIIclum segmentum aliquodconoidis abscindit, segmenti abscisi basis uoceturplenum abscindens, uertex autem punctum, in quealterum planum conoides cantingit. sin autem figura,quam commemorauimus, plana ad axem perpendicu-lari secatur, sectionem circulum fore, adparet; sed seg- imentum abscisum dimidia. parte mains futurum essecana basim eandem habenti, quem segmentum, etaltitudinem aequalem, demonstrandum est [de conoid.21]. et si a. conaide duo segmenta planis quouismodo ductis abscinduntur, sectiones conorum scuti-angulorum sectiones futures esse, si plana. abscin-dentia ad axem perpendicularia non sint, adparet [deconoid. 12]; segmenta autem eam inter se rationem

1) Uidendum est, ne scribendum ait mû umvoszôéoç lin. 9.

17. mosan; F, uulgo. 18. dé] en F; cart. ed. Basi1.* sa]scripsi; un. F, m1130. 25. 6507107100 mérou Nizzius cum C,Cr. 26. anost (cum camp. av) sa F0

10

15

20

25

10 HEPI EAIKQN.10v êëaïnru 76v 1.67011, 31: 5101m ôvvdpu arat’ cillai-

la; al dard 1&1: 94091299512 admît; àypéval. amatit 10v5501m (1.5’sz fiat sa? ênlmôa rôt tépvavm, daigna der.

ratinai: 6’ al (influâtes 05mn 10L ànaazauôwm. perd:dt mâta me). zig 515x09 du noaflsfilnm’va môm’t’ait 6è (dans) 55Mo n yévag xaafllnpétœv aride!) èm-

xowmveôwmv rots apostanye’vozg’ facto 05v à; :956514,5 fitflMç) site ânaôeLEL’aç yeypacpfiuœys’g vos. 501w 6è

réôs’ et au 5605m paumai: à; amande) péuowag 1:05ëtéaav micmac [aoraxa’œg 15948115105104: ànommoraôfi

ruiler, 549w 459540651), 5m; 6è sa": miaula; mapupspape’vçz

amarina u duperai: icosaza’œg «me écarta? and: râg 515-ofleûzç àaëépsvav du?) 1:05 pévawog m’auras, sa aunerai:

52.an 7902W; à: sa; sumérien. (papi 61] sa neptlœqiâèvgraciai: 151:6 sa 1&9 glanas aux! 1&9 515mm; raïs n’avancen-

arafislaag, 535v (Baudrier, tairai: M909 dual 1017minon 105 ypacpe’vrog usurpa) ph: 1:93 yëvmz capela),ôcaarfipuu dt rai 560510: a; dmwaûaiaç and) 105 au-yelav à: sa? (ne? nommage? 1&9 miasme. ml a! sur zig51m0; êmzponiy us 5605m aunât ra négus aïs 52.1.54091:0 56101101: yevôyevav, d’un se us 51305170: sa? negu-«1105509; and ànamadrwfiu’agz youpin; atar’ 6933:9 0218.7]

du?) 105 pévawog «épata; minis, 05’015 épinceta; sa?

êmzpavadaqe, (papi ràv ataraxâeîaaw advenu) leur 8141.51:sa? 1:05 M’ÜMÂO’U napzmsçu’ç. nul et sa: à usatayaps’vœ

flambât and 1:0 aunerai: sa œaaôusvav mn’ «6107s atla-

1. E 0m] scripsi; szmvu F, uulgo. 3. 6.1:! cd] scripsi;tu F, u go. ni: riposta] soi-ipsi; tu? am. F, un] a. 4. muo-âeLE cum camp. ne F; «fumisterie uulgo. mimai Torellius etNizzius; 01mn F, nulga. 5. sima: F; com B . 6. sm-uawmvsdwmv] scripsi; emuowœnmu F, uulgo; lnluowor5100m Barrowius; ênluowov 5169101 Torellius; ,,c0mmuni-

DE LINEIS SPIRALIBUS. Ilhabitura. esse, quem habeant quadrata linearum, quea uerticibus eorum asque ad plana. abscindentia axipatellelae ducant-ur, demonstrandum est [ib. 24]. ho-rum autem demonstrationes nondum ad te mittuntur,post haec autem de linea. spirali haec proposita. erant;surit autem quasi aliud problematum genus, quaecum iis, quae adhuc commemorauimns, nihil communehabent; de quibus hoc libro demonstrationes tibiperseripsimus. surit autem haec: si linea recta, ma.-nente altero termino, in piano aequabiliter circumactarursns in cum locum restituitur, unde coepta. estmoueri, et simul dam linea circumagitur, punctumaliquod aequabiliter sibi ipsi in linea promouetur a.termina manente incipiens, punctum in plano spiralemdescribet. dico igitur, spatium comprehensum spiraliet linea in cum locum restituta, unde moueri coepta.est, tertiam pattern esse circuli, cuius centrum aitterminus manens, radius autem linea. a. puncto in unalineae circumuolutione permeata [pr0p. 24]. et silinea in extremo termina spiralis spiralem contingit,alia. autem linea a termino manente ad lineam circum-actam et in suum locum restitutam perpendicularisducitur, ita ut in lineam contingentem incidat, dico,lineam ita [ad contingentem] ductam circuli ambituiaequalem esse [prop. 18]. et si linea, quae circum-agitur, et punctum, quod in en. mouetur, pluribus

(tansn Cr. 8. yeyputpnnausv F, nulgo. un] Torellius; ont. F,milgo. 9. n59; 21men F mg. 16. annulerai! F. 23. asbeste;actés] me; to avec F; con. Torellius. 24. 93mn F; corr. To-

rellius. 12921102404111 F; corr. Torellius; fort. nommaient.

10

15

20

26

12 HEP! 13mn.o’vag «501.9200619 mpzsvsxfls’œvn aux) ànonazaawm’mvn

1021141), 505v 1591112651), «papi 7015 icoglan 1017 à; réé

dsvte’pgz nepzqnoçç" zoulaqzôëwog 1310 zàg 511x09 10

phi à! a; tçttqc zorclatpûèv 61111110261011 âddetdflm, 106è à: té? 15705019: rpznloîo’bov, 1:6 6è à: se? «8’sz9:

tsrganloïmov, ml de), rôt à: rat; Üazepov neçzœoçaïgnoulayflavôyæva zozota uatà 10139 Ëëfig 02010110139 102.-

lazléam édaez’abal. r05 à; a; ôsms’pgz 11350192009? aton-

Âatpôëfltog’ ce 6è à; a? «9051:9: 1159143099? noulaqzô-èv

10701101: 511101: (1500:; 611161: 1:06 à) se? 65121599: 159141094;

noulaæôe’vroç zœpc’ov. and. et un: 371:1 1&9 51.1.1109 raïs

à; me; «501920091 757012111116an 6130 sapera Âatpôe’œvn,nul o’m’ 411510311 àmazôe’mwz 6131051111 137:1 1:0 pspevmôg

crépus 1&9 napzevezâalaag ypaypâg, and 116211.01. 6150ypacpe’mwa xe’wpça phi 1:95 (1511511001611. 601115511», timon]-

poîreaaz 6è sars êmÇsvxbsiaaLg fini 1:0 11511511011109 négus

1&9 81319515019, nul à 1931026011112 1&1: énaçevxôswâv hmm."-

ôfi, «papi r0 nepzlacpflèv zmptov 131:6 1:5 tés 1.1017 nettoyasxôxlov neçLanpelœg 1&9 en), fà «1’216: 19"; 31.sz (Letaêù 1&1:

560615511 30156019 aux). 1&9 511x09 mû. 1&9 5150515419 si; à:-

filflfleldag and si) nepzlacpflèv zœplov 1511:6 1:5 1&9 1:01":üoîddovoç 111511101) assommants aux! tés minis 5.11.1109 and.

1&9 eôôeiaç rüç s’mayvoôaag rôt m’ont-w 1113151; roûrov

555w rôv 1.67011, 31: 5st. à à: 1:06 1115111001) 1013 éléa-

aovog 1115111101) une? 6150 rotrapopc’aw tâg éneçch’Eg, si

ôxegs’xu à à: 1015 ue’wpov 1:06 mitons 111511101: aïs

à: 1:05 115111901: 1:05 5.1026601109 1115111012 and tàv éx

2. au). cum comp. ml F. 10. 105] m F; con. B.11. shunte F; corr. B. 15. youpémrn] scripsi; 7579111115meF, qugo. 19. 21,2] eddidi; 0m. F, uulgo. 21. 11501111111057 F.

23. 01315:1] autem supra. scripto compendio un uel circum-

DE LINEIS SPIRALIBUS. l3circumuolutianibus circumaguutur et rursus in eumlocum restituuntur, unde moueri coepta. est [linea recta],dico, spatia in secunda. circumuolutioue a. spiraliadiecto dupla mains fore spatium in tertia adiectum,tripla autem mains spatium in quarta adiectum, qua-drupla autem spatium in quinte. adiectum, et omninospatia in sequentibus circumuolutionibus adiecta multi-plicia fare, quem spatium in secunda circumuolutioueadiectum, secundum numerorum insequentium seriem;spatium uera in prima. circumuolutioue comprehensum 1)sextam partem esse spatii in secunda. adiecti [prop. 27].et si in spirali in une. circumuolutiane descripta duopuncta sumuntur, et ab iis ad manentem terminumlineae circumactae ducuntur lineae, et duo circulidescribuntur, quorum centrum est punctum mamans,radii autem lineae ad manentem terminum lineaeductae, et minor linearum ductarum producitur, dico,spatium comprehensum eo ambitu circuli maiaris, quiin eadem parte est, in qua. est spiralis, inter lineaspositus, et spirali et linea producta ad spatium cam-prehensum ambitu circuli minoris et eadem spiraliet linea terminas earum iungenti eam habiturum esserationem, quam habeat radius circuli minaris cumduabus partibus excessus, quo radius circuli maiorisradium minoris circuli excedat, ad radium circuli minoriscum tertia parte eiusdem excessus [prop. 28]. harum

1) Puto scribendum esse: negdaqwûs’v lin. 9.

flexu F. 24. SEN F, uulgo. 25. 9?] au; F; 001T. Torellius.26. pelgovoc 1115111011 - p. 14, 1: xénon: toi am. F; corr.

Torellius, niai quad am. alterum 1015 lin. 27.

14 nm 11111115211.1017 us’wpov 1:06 ëlâ6601109 1115311011 yard: 51169 mura-

poplov 1&9 stmyëva9 1515901079. 1015111111 612 1101 ami.

651110311 and 1&9 51.11109 ai 1510051559 in 19365 se? flafllûp7911926111111. «(touchau de, 169 and. ra’î11 43’va 1.1511

5 ysœpstpovye’vœv, zà "slow 5101m: 559 16111 026665ng11«1,111511. lapfidvm de and 1511 1101517019, 169 s’y 10179 1:96-

repov êxdsdoys’vazg 511311019, lippu zôôe’ 10211 âvl6a11

7100111116211 aux). 14511 0211130011 zmpc’aw 118w àneçozoîv, ë

15115506151. 1:6 matou 1’013 éloi66o1109, aôrdw êavtqï 61111-

10 nôspe’vow 60111111311 alun 30:11:09 finsngew 1017 arço-nôs’wog nôv nor’ 55111110: leyopévmv.

IIl .

El aux zani 11.1109 719111111519 grelin? n 6apeto11 360-wzs’œg miro 50111195 9159611511011, and laçaôëmwa 6’11 11131:1?

15 6150 719111111116, al énolatpôahac rô11 «151611 550131111. 1.6-

70 71:01.” &ÂÂâÂag, 511159 0l: 1961101., 311 aïs ra 60111517011

1&9 7014141819 êzopsüôn.

311111151007 71029 1:1. 60150817011 une? 1&9 AB 11901ngidorazs’œg, and ÂeÂoïqJâœ6a11 6’11 «du? 0150 79011111011. a!

20 FA, AE. 561:0) 6è ô x961109, 311 a; 16:11 FA 7191111418111 rô

«matou 61.5609515017, ô ZH, 311 a; 6è 10211 AE ô H0.ôamrs’ov, du :611 01151011 5101m. 1611011 à FA 71901111402

and 1:19:11 A E ypappoîv, 311 ô 1961109 ô ZH nazi. 11311 H Ü.

6vyual6flco6a11 7&0 à; 15:11 FA, AE 11911va ai25 AA, AB ypappai naô’ 51111511101311 61511356141 051m9,

156w 15629515111 1:à11 AA 1:59 AB. ml 6602m9 uèv6117121551111. à FA 701111116; 311 a; A A , 1:06a1n’oîmg 61171-

- 1. paf ed. Basil., Torellius. 3. 411106815 cum camp. 179F; ànoâetfiszg nulgo. 4. 11961181101; Nizzius. 6. «39] scripsi;son per camp. F, uulga. 7. 25mm: nids] scripsi; 1mm me:

DE LINEIS SPIRALIBUS. 15igitur [theorematum] et aliorum quarundam de spiralidemanstrationes hac libro a me perscribuntur. prac-mittuntur autem, ut etiam in ceteris scriptis geome-triois, quae Ead ea demanstranda utilia. sunt. et hicquoque, sicut in libris antea editis 1), hoc lemme. sumo:excessum linearum uel spatiarum inaequalium, quomains excedat minus, sibi ipsi adiectum excedere passequamuis magnitudinem datam earum, quae inter secomparari possunt.

I.

Si in linea: aliqua punctum aliquod Bibi ipsi aequa-biliter fertur, et in en. duae lineae sumuntur, lineaesumptae eandem rationem habebunt, quam tempora,quibus punctum lineas permeauit.

feratur enim aequabiliter punctum aliquod in lineaAB, et in sa duae liueae FA, AE sumantur. tempusautem, qua punctum lineam FA permeauit, sit ZH,et quo lineam A E, sit H9. demanstrandum est,esse FA: AE a ZH: HO.

companantur enim ex lineis FA, AE lineae AA,dB, quotiescunque sumuntur lineae illae, ita ut linea.441 lineam AB excedat’) et quoties linea FA inlinea AA continetur, toties cantineatur tempus ZH

1) H. e. me). «gaulons and 1111111159011 (I 1011143. b p. 10) et1519117. 11019126. praef. (Quaest. Arch. p. 45).

2) Bac fieri potest per lemma illud lin. 7-11.

F, supra scripta il. et tu menu prima (et sic uulgo); 11711410210011:68: Nizze. 18. 1111511910 F, un] a. 22. ê’zovu] scripsi; 21001111.F, nulgo. FA] .441 F; com orellius; uy ed. BasiL; 9ch01’. 24 un - 790111410011 (comp.) F; cart. Torellius.

16 nm 1211111211.11566001 ô 1961109 ô ZH 511 193 1961191 11,5 AH’ 66021119

6è 611731561111 à AE 7911111102 :511 16E A B, 1066111021019

1’" AÈlBà à à i K’

611711556610 ô 9H zpôvog 5’11 195 KH 196119). 6115i 0151113110115111011 10 6011151011 176011116019 15111311510011. m1131 1&9

5 AB 79011111629, ôfiÂov, 059, 5’11 56m m6119) 113w FA 5’11-

11115’111011, 5’11 1060619) 1101i 51102610111 â111711s’n1a1. 1&11 [60:11

1g? FA. (12011159011 0611, 61L Mai 60711519511611 113111 AA7190111106111 5’11 10606192 1961191 61111116111120; 3609 561.111 ô

AH m6109, 6115161) 10611111021119 611731561011 61’ 15 FA

10 y90111118: 5’11 197 AA y9appqï, ami ô ZH 1961109 511193 AH 1596119). duit 10:61:81 dû 1101i 1&11 BA 1190111116111

5’11 10606193 x9609) 10 60111517011 51117116111111, 3609 é61i11

ô KH 35961109. 5715i 01511 pelëow 561i11 à AA 79011111131

1&9 BA, ôfilov, 31L 311 211560111 Z9609: 1o 6011151011 1&015 AA ôLa71095115’10u 719011111611, 13 1:13:11 BA. 06615 ô 196-

1109 ô AH 11569311 5’61i 1013 KH 1961101). 611060.19 dt

ô5izôw6é1ai, 1101i et 1m à; 10311 196110311 10511 ZH, H6?60111836101111. 1961101. uaô’ 6111111101311 6611056111, 03615

151159515111 1011 5159011 1017 515’901), 51L 1101i 1&11 à: 1&11

20 7190111116211 10’111 FA, AE and 1&11 0115113111 615111956111 61111-

150516&11 1511596551 à 61161107109 156 1511595101111 196119).

6511011 0611, 51L 1611 0161011 5251 2.671011 à FA 1101i 16111

AE, 311 ô 1961109 ô ZH 1101i 1611 19611011 1611 Ha

1. 060m cum com . 179 F, ut lin. 2, 9. 6. 1006011101 F.5110m1: cum camp. 1711 ; corr. Torellius. 11. 1è 0113102 Torel-lius. 17. 011’110; Torellius, ut fera semper.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 17in tempore AH. quoties autem linea 4E in linea. 4Bcontinetur, toties contineatur tempus ÜH in temporeK H. iam quoniam suppositum est, punctum in lineaA B aequabiliter ferri, adparet, quo tempore lineamFA permeat, eo etiam singulas lineae FA aequalespermeare. manifestum igitur est, punctum illud etiamlineam compositam A4 eo tempore permeare, quan-tum est tempus 11H, quoniam, quoties linea FA inlinea A4 continetur, toties continetur tempus ZHin tempore 11H. eadem igitur de causa etiam lineamBd eo tempore permeat punctum, quantum est tempusKH. iam quoniam m» BA, adparet, punctum longioretempore lineam 41A permeare quem lineam Bd.quare erit A H e K H. et eodem modo demonstrabimus,etiam si ex temporibus ZH, H (9 tempora componentur,quotiescumque in fis illa. tempora contineantur, ita utalterum excedat alterum, etiam linearum ex lineisF4, 4E toties sumptis, quoties tempora ZH, H (9,compositarum eam excedere alteram, quae temporiexcedenti respondeat. adparet igitur, esse FA : JE: ZH: HQ [Eucl. V def. 5].

Archimedel cd. Heiberg. Il. 2

5

10

15

20

25

18 man 13mn.13’.

El m 6150 camion! êuars’pov and rwog ypaypà’çêvsxfls’vrog M] 5&9 «61:59 Edowzs’mg «ôtai? êamç’i (pago-

ps’vov laanfis’œvu à: êuare’pçz 1:51! 7911va 6150 79cm-

pou’, (à: aï 1:5 «poirat. à: [dans 19611049 inti) r61; 6a-peltov ôLavvs’afiœv and aï 65121622051, du: «61:61: êëoüvu

Âôyov «05’ 02111021053 al Âaqaflstaal, ypœppat’.

561:0) muât 1&3 AB y90414162; ëvnvaype’vov n 6a-paîov taotaxs’mg aôzô êavrç’i, aux), 60Mo uatà râç K11.

Âsla’qaôroo’av 6è à! r9? AB 6150 ai FA, AE ypappat’,

aux), à! 1:9? KA ai ZH, H6), à: kg.) 6è 1961191 rô muât1:62; AB ygappâg ëvnvsype’vov 61151647011 176w FA youp-yàv ôtmtopwæ’aâm, à: 6’699 1:6 5589011 zani 1,1323 K11

ëvnvsypæ’vov 1:6"! ZH’ ôyoz’œg nul du! AE 790!va

év la? ômnopsve’o’fiw 16 60551547011, à) 3693 16 31.59011

1&1; H6). ôemre’ov, 511. rôv aürôv 515L 1.67011 à FA

nazi zôw AE, 311 à ZH and, 1&1: HG).561m ô’à ô 1961105 à! ç; 1&1: FA 79055141651)- (haro:

98651:0 1:3) camion, ô MN. à; rodage a?) 193 1961291and 1:6 grapov aayetov ôLazoçwe’taL ràv ZH. mil":6è nui, à; 55 1&1! AE yçappàv ôLenopsüsro zô 60:-peïov, fait» ô NE 1961109. à; roünp M1 and tô 51:5-gov 60551547011 ômazoçsva’wz 1&1! Hà rôv aôrîw à?)

1.67011 ëëoôvn à? ne FA 7501?, 1:13:11 AE ygappaîv, 31;

ô 1961109 ô MN azor! NE, mû à ZH arc-:2 du;H09, 311 ô xçôvog ô MN and r61: NE. ôfilov 015v,("in rôv 051317611 510m 10’701; à FA and 143w AE, auà ZH «:012 1&1; H09.

3. aérai] ’scripsi; «une F, nulgo. 4. Zamflevœvu F.5. 51v] addidi; 0m. F, nulgo. admirant] sic F. 9. mon) F.

F

F

F

F

F

F

F

F

F

DE LINEIS SPIRALIBUS. 19

Il.Si duo puncta. in sua quodque linea. sibi ipse.

aequabiliter feruntur, et in utraque linea duae Iineaesumuntur, quarum Alinearum et priores et posterionsaequalibus temporibus a punctis permeentur, lineaesumptae eandem inter se rationem habebunt.

feratur in linea AB punctum aliquod sibi ipsumaequabiliter, et in linea K11 aliud punctum eodemmodo. sumantur autem in linea. AB duae lineaeFA, AE, et in linea K A lineae ZH, HQ, et punctum,quad in linea AB fertur, eodem tempore lineam FApermeet, quo alterum punctum, quad in linea. K Afertur, lineam ZH permeat. et eodem modo etiamlineam AE eodem tempore permeet punctum, quoalterum lineam H69 permeat. demonstrandum est,esse FA: AE 2 ZH: H69.

tempus igitur, quo punctum lineam FA permeauit,ait MN. itaque hoc tempore alterum punctum lineamZH permeat. rursus autem tempus, quo punctumlineam AE permeauit, sit NIE. hoc igitur temporeetiam alterum punctum *linea.m H6) permeat. erit

A F A E BA, Iz H 0 KM N Eigitur FA : AEe MN: NE et ZH:HQ:MN:N,E

[prop. 1]. adparet igitur, esse FA: AE z ZH : H0.

10. ni] un F; corr. B. 14. êvnvaype’vov] scripsi; menn-vov F, (111130. 15. Gamin] sic F, ut lin. 12. 2l. 615] To-rellius; 617 F, nulgo. 25. and] (prius) «gos per icomp. F;con. Torellius. 26. N E] M E F. 27. 81(0er F.

2*

10

15

20

20 un): hum.l71 .

K15xlœ11 60851110111 67106001101311 1:95 nidifiez. 61111011611

136-1111 51518511111 16135111 1155:01101 501360111 15111 1:0311 111511111111

1150195051511.

«5917001111511009 yàp 1059?. 3111161011 11511 11151111011 110111-

71511011 ôfilov, 159 û 511 x126â11 61171151115110: 10’111 71:59:.-

115’100111 5151951701 1155:0111 566551011 nœdâv 60711 10511 11151110311

115011115951â11.

6’.

A150 9100111111211 60195160711 0211160711, 5151355019 1:5 110d

1115111011 71591112505569, ôvvmôv 5611 1011351711 51335170111 1:129

11511 1151201109 6&0 ôofi5161î11 700111110711 51156601101, 1&9 65

51026601109 1155:01101.

66021119 yàg à 1311500102, 1; 1510505151 à 115120111 7901111101

1&9 éld6601109, 01151101 501116137 61111610511506 1311505551 1079

5138515019, 5159 1061151711 1’601 61011950556019 1&9 5151355019 113

E11 1111321101 510166011 566556011 6&9 15115901629. 515 11511 01511

11a à 1150191595101 115120111 1:0?9 5151855019, 51109 111021101609

11011153511109 11:01! 113111 51319500111 1&9 11511 51056601109 15111

60138161331! ôfilov 159 1151211111 5665156011, 1’079 65 1155:01109

511i66m11. 515 65’ aux 51026611111, 51109 1110211011109 110111:5-

35’111:09 and 113111 71501905951611 6110151119 1&9 11511 11125.

601109 115591011 566551011, 1079 65 115151501109 51102661611. 11011

71310 à 11:0uu51115’1101 5102660011 5’611 6029 15115901â9.

2. 61106 cum compp. 11111 et 056 F. 3. 01160111 F, qugo.6. 110160011 F, nulgo. 61171151115111, 11m1 F, nulgo. 7. 56651161]scripsi; 561.1011 par comp. F; uulgo. 11. 151p cum comp. 117F. 15. 01151:0? 50:61:51] scripsi; 0111m F, nulgo. 16. 5139 scripsi;11011 519 F, nulgo. 17. 566511011] scripsi cum B; «un parcomp. F, uulgo. 18. un: fi] scrîpsi; mu F, nulgo. 20. 1181-taw] scripsi; 115400 F, vulgo. 1151906 cum camp. 019 F. 21.si 65 1101 asque ad 1151201109 5102600011 lin. 23 addidi; 0m. F, 1111130.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 21

III.Datis circulis quotlibet numero fieri potest, ut

snmatur linea. maior, quam ambitus circulorum. cir-cumscripto enim circum singulos circulos polygonosdparet, lineam ex omnibus eorum perimetris com-positam maiorem futuram esse, quam omnes ambituscirculorum [de sph. et. cyl. I, 1].

IV.

Datis duabus lineis inaequabilibus, recta. linea etcirculi ambitu, fieri potest, ut sumatur linea recta.minor maiore linearum datarum, minore autem maior.

nain quoties excessus, quo maior linea minoremexcedit, sibi ipse adiectus lineàm rectum excedetl), intot pattes aequales diuisa. linea. recta. una. pars minererit excessu. iam si ambitus major est linea recta,adparet, si unam partem ad lineam rectam adiiciamus,summum maiorem fore minore linearum datarum,minorem uero maiore. sin minor est [ambitus quamlinea recta], si unam partem ad ambitum adiicimus,summa rursus minore linea maior erit, maiore autemminor. nam quae adiicitur, minot est excessu.’)

1) Boc fieri potest pet lemme p. 14.2) Bit p ambitus, l linea. recta; erit igitur, si p m I,

1 1 1"(P-0m13:p-lmïh 191471; quarepml-i-Îlml-

. . 1 1un 1m11), erit: n(1-p)mln:I-pmïl,lmp4-ÎI;

quuelmp-Inîîlmp.

10

15

20

25

22 IIEPI EAIKSZN.I

8.161539100 600512109 aux) 56051059 émzpœvoôo’ug 1:05

minima; 6vvœt6v ému (in?) 1013 ue’wpov 1:06 utixlov0270575511 afiôstav and 1:43:11 énupmîovdœv, (Bars du! y5-

ragù 1&9 énzwuvoüaœg ml 1&9 1:05 uüxlov n59upep5ûzg5130511111 nazi, 1.13511 à: 1:05 uévtpov ËÂOÏGO’O’Dœ 1.6701:

515w, fi à zsptma’gam 106 115341.01) à gardât) 1&9 àqzâg

and 1&9 6Laxô5lfo’ag 7505?, du: 6035111051) ônomvoûv mî-

ulov napzme’pswv.

65666001 95624109 ô ABI’, xéwoov 65 0:61:06 zô K,

aux), émzpavérro 1:06 minima) à AZ mais 56 B. 656660111

65 aux! minou amadoua 61050501711. 6vva’côv 61j écu15669 6019556019 mpupspsûxg Italien! aux 5130511111 métaux,

ml faro) à E 513mm peignai! 17079 6085L’6ug 11:59:,-cpepsûxg. (351mo 65 ànô son? K ue’vrpov 1:10:96; du: A Z

à AH, and u5c’63œ à H6) [du a; E 11560060: 57:5 1:6B, 0271:6 65 roi? K ue’vrpov 5752 1:6 â émçevxmî’aa én-

fisfihjdfiœ. 1:61! 0:61:61; ôù 1.6701; 5’151. à 92 7501:5 165v

(9K, 311 à BQ 1501:5 16:11 8H. à â’pa 26) 75011 miniûK êloîaaovœ 1.67011 5’151. 1015, 31: à B9 nsgzqaéguu

and 176w 60295111421: nspzmzs’çuœv, 6L6u à p51; BÜ5605:0; 5102660011 in), 1&9 Bâ napztpsgdœç, à ’65 (6H

(tatami, 162g 6035(Idag «manostats. 5102660110; 05v 110’-701: 5’154 and à ZQ 11:01:! mais: à: mû xéwoov, fi à 88

mpupb’pem nazi, 105v 6008176051! zepoms’puav.

2. anzwavovonc F; con. Torellius. l2. dû] scripsi; JeF, uulgo. 15. aîné] and? 17. dé] scripsi; 617 F, unifie.19. à] (alt.) scripsi; n F, nulgo. 20. 310 En: à suspica nrTorel ius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 23V.

Dato circule et linea circulum contingenti fieripotest, ut a centre circuli ad contingentem linea du-catur, ita ut linea inter contingentem et ambitum cir-culi posita ad radium eam rationem habeat, quem -ambitus circuli inter punctum contactas et lineam pro-ductam positus ad quemlibet datum ambitum circuli.

datus sit circulas ABF, et centrum eius sit K, etAl circulum in B contingat. datus sit etiam qui-libet ambitus circuli. fieri igitur potest, ut sumaturlinea aliqua dato ambitu maior [prop. 3], et sit Edate ambitu maior. ducatur autem a centre K lineaeAl parallela linea AH, et ponatur H9 linea lineaeE aequalis ad punctum B uergensl), et [linea] a K

E puncto ad 9 ducta produca-tur. erit igitur-

A 12 z 92:0K:B6:QH.’)rm itaque 26): âK minorem ra-

K tionem habet, quam ambitusB9 ad datum ambitum, quia

i I r I linea 89 miner est ambitune [de sph. et cyl. I 1.0455. 1p. 8], et linea 0H [quia

lineae E aequalis est] maior ambitu dato [cfr. Eucl.V, 8]. itague ZÜ ad radium minorem rationem habet,quam ambitus Be) ad datum ambitum.

A

1) Quod que mode fieri posait, Archimedes non dicit; cfr.Zeitachr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 66 nr. 8.

2) Nam cum dz a; AH, erit L BZG) a sur; etL nez : K0 H;

quem BOZ N KOH; tum u. Eucl. V1, 4.

24 HEPI 12mnI5’ .

Küu10v 600511109 au), 511 195 111511191 70011111659 510M-

60’009 1&9 610111510011 61111011611 02116 1017 115111001; 105

1115111011 11011 1&1! 11501025051011; 01131017 1101tfia1st11 515-

5 051’011: 15111101160111 1&1: 511 195 111511190 656011511011: 1001p,-

pdv, 05’615 16111 01101602651600! 513051011: 115101813 1&9

11501615955019 11015 1&9 513651019 1&9 5’11 1,6 111511191 6560-

11511019 11015 1&1: 5111C5v1ôsî’6œ11 02116 1017 115001109 1&9

«01111560156019 106 511?, 1&9 11501112595109 11011 16 5150011

10 «506g 1&3 511 1071 111511100 656011.5qu 5130515019 1611 10:1-

05’11101 161011 515w, 5l 1101 ô 60651; 16709 é1é660w1017, 611 5’151. à 1711165101 1&5 51: 11,5 111511101 656011511019

11012 113w &116 1017 1151110011 1102851011 51’ 01151051; &yaévav.

65666800 111511109 ô ABF, 151210011 65 01151013 16 K,

15 au), 511 0115115 6566666) 51565501 5102660111 1&9 61011151001;

à FA, un! 1670;, 611 5’151. à Z 11011 H, 5102660011 1013,31: 5’151. à F0 11011 1&1; K61), 1101051011 5015603 1&3 K 0.

&1361 65 02116 1013 1151110012 11010131 1&1: AF à KN, un),

z 10? K F 1101’ 608619 à FA.2o I----------- ôgzol’a 611 5611 1è FâK,

B FKA 19(7011101. 561111 0611,ais à 1103 11015 1&1: 0K,

AL 0510m 0? KF 11012 1&1; FA.A N 51026601101 &pa 10’701! 5151

à Z 1101516111 H, fi à KF1101?. 1&1: F11. 611 61) 16701;

515L à Z 11015 1&1: H, 1017101! 515’100 à KF 11012 11.51?-

Cova 1&1; FA. 515’101 1101i. 1&1: BN. 11516301 65 à BN

115101513 1&3 11501015051019 nul 1&1; 51505501; 61è 106 F’

25

10. micas] 5009 F; con. Torellius. 11. un] sari si; unF, uulgo. y’ scripsi; 1p F, uulgo. 18. «11151019 ; con.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 25VI.

Date circula et in circule linea minore, quam dia-’metrus est, fieri potest, ut a centre circuli ad ambitumeius ponatur linea lineam in circule datam secans, itaut linea inter ambitum ét lineam in circule datamcomprehensa ad lineam, quae ducitur ab eo terminolineae ad ambitum ductae, qui in ambitu est, adutrumuis terminum lineae in circule datae datam ra-tionem habeat, si ratio data minor est ca, quam habetdimidia pars lineae in circule datas ad lineam acentro ad eam perpendicularem ductam.

ait datus circulus ABF, et centrum eius K, et ineo data sit linea FA minor diametro, et ratio, quamhabet Z: H, miner ea, quam habet F6 : K 0, perpen-dieulari ducta linea K G. ducatur autem a centrolinea K N lineae AF parallela, et linea FA ad KI’perpendicularis. erit igitur FQK NFKA [EucL I,29]. quare F8 : 6K: KF:FA [Eucl. V1, 4]. eritigitur Z z H ( K F3 FA. itague quam rationem habetZ:H, eam habebit K F ad lineam maiorem linea FA[E110]. V, 10]. habeat ad lineam BN. et ponaturlinea BN par punctum F1) inter ambitum et lineam[KN].’) fieri enim potest, ut ita secetur.’) et cadet

1) Cfr. Zeitachr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 66 net.2) Per 1&9 5605101: lin. 29 nidetur significari linea. AF.

quod cum ferri nequeat, fortasse addendum 1&9 KN.3) H00 problema eodem fera redit, quo problema p. 23

not. 1 commemoratum.

Torellius. 16. 11011] a oc per comp. F; con. Torellius. 17.mac F, nulgo. 18. 6g aux! B, cd. Basil. 19. 111 F, unigo.2.7. 515101 à] 8551 à? 1101!] «pas par comp. F; corr. Torel-lius. 28. and] cm. F; corr. Torellius; fort. del. 51510».

10

15

20

25

26 mm sans.61111011611 65 561111 051013 15115111’ 11015 1156551011 511163,

51155 11553111 561511 1&3 FA. 51155 0611 05 KB 11015 BN1611 0161611 5’151 167011, 611 à Z 11015 H, 11115 05 EB-11015 BF 1611 01131611 5’551 167011, 611 à Z 11015 H.

Ç’.

To511 01610511 6560115110111 11015 1&3 511 193 111511191 56-

1955013 51155fi1n115’11013 61111011611 561111 0111:6 106 1151110011

11011130115111 11015 1611 51655111150611, 61’615 11511 11510126

1&3 11501015055013 11015 1&3 511135611111511113 11015 10511 5111-

:5111051’60111 05116 1013 1115001103 1&3 506110101910556113 11015

16 1150013 1&3 51656117051123 1611 10116511101 1671011 515111,

55’ 1101 6 600553 167103 115120111 fi 101?, 611 5151. à 1111565101

1&3 511 195 11611191 656011511013 11015 113111 01116 1015 115’11-

10011 116651011 511’ 01616111 617115110111. .666661301 161 016105, 11015 56101 61 511 105 11611191 700111 i

51165611115001, 6 65 60855316703 56101, 611 5’151 à Z

11015 10511 H, 1155C0111 1015,

611 5’151 05 F6 11015 10511 (6K.

A 115550111 0611 566551011 11015

1013, 611 5’151 à K F 11015 FA.

611 6è 1611011 5’151 à Z 11015

Es H, 1061011 5E51 05 KF11015z---" 51016601101 1&3 .FAO 515’101

11015 IN 1151501161111 5115 16 F’ 61111111611 65’ 561111 0171013

1511115111’ 11015 111565151011 511163 1&3 FA, 51151611 5101660011

5615 1&3 FA. 51155 01511 1611 01151611 5’151 1691011 à KF

Î E

2. KB] KBF expuncta F F; KF BCO; FK VD; BK ed.Basi1., Torellius. 11015] 11003 par comp. F; con. 0*. 3.10511 H ed. Basil., Torellius. 8. 5119510111 11015 susp. Torellius;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 27extra [lineam FA] l), quia. maior est linea F11. iamquoniam KB : EN: Z : H [nam KB : KI’], eritetiam EB:BF--:Z:H [nam KB:BN:EB:BF;Eucl. VI, 2].

0V11.

Iisdem datis et linea in circula posita producta.fieri potest, ut a. centro ad lineam productam ponaturlinea, ita. ut linea inter ambitum et lineam productamad lineam, quae a. termino lineae [in circule] com-prehensae ad terminum productae ducitur, datam ra-tionem habeat, si data. ratio maior est en, quam ha-bet dimidia. pars lineae in circulo datas ad lineam acentra ad eam perpendicularem ductam.

eadem data. flint, et linea in circula posita. pro-ducatur, et data ratio sit Z : H, maior quam m : 8K.quam etiam Z:H 2 KF: FA?) quam igitur ratio-nem habet Z : H, eam habebit KF ad lineam mino-rem linea. FA [Eucl. V, 10]; habeat ad lineam INad punctum F uergentem. fieri autem potest, utita seceturf’) et intra lineam F11 cadet, quoniam

h 1) Puto, haec uerba. audiri posas, neque noceuse esse cumNazio scribere: régnant, un). mutina ânes raïs FA lin. 1.v1 2) Nam KFONKFA; quam F9: 9K a KF: FA (Eucl.

4).î 3) U. prop. 5 p. 23 not. 1.

probat Nizzius. 10. svanoqusûewaç F. 12. au scripsi;un F, unlgo. 15. surnager com ., addito ne F; croira C2l. 1101!] nec; per camp. ; con. orellius, ut lin. 22, 23, 26,à); 28 lin 1 (ter). 26. ragua cum comp. m F. mg F; cou.orellius. 27. 1119 par comp. F; corr. Torellius.

10

15

20

25

28 HEPI mmsm.and IN, du à Z azor), H, nul à EI 7501:1, IF tôvaôrôv 555L 167011, 311 à Z and ràv H.

13’.

Küulov 6005111709 ml à: 1:95 mîle 790:ng éléa-dovog 7&9 ôcœuè’rgov nul (intis êazzpavoüo’œg 1017 xünlov

azurât 16 négus 152g à: 1793 115x19) ôsôopa’vœg 61211411611

ànô 1:05 ue’wçov 17017 xüxlov noufialetv aux 5605m1:ami 1&1! EÔÜEÙZ’I’, 4561:5 tàv ânolatpôstdœv ân’ «ôtât;

pâmât) mais 1:01? xénon mgzçsosa’ag au! mis à! 1:95

3:62:19) 686011511059 7941ng and 1&1: ànolaqflsl’aavàuô 1&9 énurpavoüdag 176v taxfle’vta 1.67011 515w, et

au: ô 80:0le Âôyog 51056641311 fi 105, du 515L à immun1:59 év :555 nabab,» ôsôopévœg un), 16m 021:6 roi név-

tpov 106 215x101: uéùerov ën’ aôtàv àype’vœv.

être; 31530109 ôsôope’vog ô ABFA, ml à; 1:95 x6149)

21385174: 6566600) 311026di tés dmps’zçov à FA, au).

à ÉA êxWave’tœ 106 minot; nard: 1:6 F, au), 1670;, -311 Ëzea à Z azor! H, 3102660111 1:05, 3U 5st à F8 andOK. ëddstzal. à?) êÂéddmv and mû, 31: 5155 à FKami FA, et ne: nagélznloç 021M à KA r9? 01". 315mdû à KF and FIE 16v advînt 1167011, du à Z «et! H.patron: ôn’ émir à EF tâg FA. 75790295001 215x100mpups’pua me). du K, A, fil. âne). 015v écu mitan! à

15T 1&9 FA, ml azor’ 690059 31m cillâmes ai KF,SA, 612111117611 écu 171,32 MF faon: d’un"; flânai: 1&1: IN

2. 25mm F; con. Torellius. 8. au! 1&1: 2150317411: encre0m. Riualtus; prob. Torellius. (mol (phases: F; corr. To-rellins, ut lin. 10. 11. nie] me tu: îFC. 12. sari si;son F, nulgo. 18. «et! (bia)] «en; par comp. F; com oral un,ut lin. 20, 21 (bis); p. 30, 2, a, a, 9, 10. 11, 12, 13, 14 (bis).H] H hm BC, cd. Baail., Torellius. 20. à] 1] F; corr. To- A

DE LIN E18 SPIRALIBUS. 29minar est linea FA. iam quaniam est KF: IN aZ:H, erit etiam EI:IF::Z:H.1)

VIH.

Data circula et in eo linea, quae minor est dia-metro, et alia linea. circulum in termina lineae incircula datae contingenti, fieri potest, ut a centracirculi ad lineam [datam] linea ponatur, ita ut enpars eius, quae inter ambitum circuli et lineam incircula datam abscinditur, ad partem contingentis li-neae abscisam datam rationem habeat, si data ratiominar est ca, quam habet dimidia pars lineae in cir-cula datae ad lineam a centra ad eam perpendicula-

rem ductam. idatus sit circulus ABFA, et in circula data aitlinea FA minot diametro, et linea [SA circulum inpuncto F contingat, et [data sit] ratio Z : H , minoren, quam habet FÜ : OK. erit igitur etiam

Z : H ( FK : FA,si KA lineae (’9F parallela ducitur.’) sit igitur

K F: FIE : Z : H.itaque erit EFa FA [Eucl. V, 10]. describatur am-bitus circuli per puncta K, A, E. iam quoniamEFF FA, et KF J. SA, fieri potest, ut panatur

1)Nam FIEN KIN; quam K1: IN: El: IF; sedK1: KF.

2) Nain KGFN KFA; tum n. Eucl. VI, 4.

i rallias. 15;] en F; con. Torellius. 22. ôfi] de F; cart.Torellius. 24. «1111m; F; cart. Torellius.

3o 1mm 13111115211.NEÜO’Uda’II 1511?. 10 K. 16 dû flEQLEZÔpÆ’IIOII 15116 17071:

SI, IA 10011 1:6 1571:6 1&1: KE, IA 1:01; 01151011 5st167011, 311 à SI 1101?.KE, 110d 16 151d) 11211KI, IN 7101:1 1:0 151161&1! KI, FA 16v aïnôv5151 1167011, 311 à IN1101:1 FA. 1561:5 aux). à

IN azor). FA 3611.11, 05gà SI 1001:3, KE. 0561:811011 à FM 7101?. FA,1101i à SF 71:01:! K F 1101?,

- 11501:1 K B 561w, 055 à SI71011. K E, 11012 lamât à IF 1001:2 BE 1612 01131612 51151.

15 1.67011, 311 à SF 1101:1 1&1: FK, 110d 311 à H 1101?, Z.11091110111511 013v à KN 1101:2 110111 émùaüovdav, 1101i 5101

de assagi: 1&9 11891915965019 110d 1&9 5131951219 à B E 1101216111 ânolacpôeî’aav ànô 1029 âmapa’voüo’ag 1611 0113161!

11.67011, 311 à Z 11:01! 16111 H.

20 19’,To511 011310511 6860115110111 nul mais à! sa; 111511100 6a-6ops’vag 790151110213 15111301311111.5an 61112011011 0211:6 105 110’11-

raov 1:06 1115111011 fiOprdÂSË’U nazi 113w éxfiefllnpe’vav

615195170111, 0361:5 1&1! 1181013) 101g nsQLÇJspeiag 1001i 107g25 âuflsfilnye’vag’ 71:01). 16111 ânolaqzôei’a’av 0’11tô 1&9 13m.-

1. du; :011 F; cart. Torellius. 2. SI A F; corr. AH.111’111] 101w ; corr. Torellius. 4. 115111] 110011 pet camp. F; corr.Torellius, ut lin. 6. 5. K IN F; carr. ed. Basil. 6. 1611 011i-11611 au 1.67011, 311 à IN 11:01! FA] 0m. F; corr. Commandi-nns. 8. à] ’17 F; con. Torellius, ut lin. 10, 11, 12, 13, 14.

14. 1011m F, uulgo. 15. Z] scripsi; to Z F, uulgo. 18.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 31linea. IN lineae MF aequalis ad punctum K uergens.1)erit igitur EI X 1A : KEX 111 s---: E1: KE, etKI X IN: KI x F11 : IN: F11. quam eritIN :114 : MI z KE.’) quam etiam

FM : FA : E1 : K E[nam IN: FM], et51’: KF: El": KB [nam KF: KB] : ’I:KE.3)et IF:BE:,’EF:I"K4):H:Z.itague linea. K N ad lineam contingentem ducta. est,et linea. inter ambitum et lineam [AI’] posita, h. e.BE, ad partem lineae contingentis [a KN] abscisam[11. e. IF] eandem rationem habet quam Z : H.

1X.

Iisdem datis et producta linea. in circula data fieripotest, ut a centro circuli ad lineam productam po-natur [linea], ita ut linea. inter ambitum et lineamproductam posita ad eam partem lineae contingentis,

1) Quod quo mode par sectfones conicas fieri posait, osten-dit Pappus I p. 298 (cfr. p. 272) duobus lemmatia memissis;de cnius loci emendatione u. Zeitschr. f. Math, ist. Abth.XXIH p. 117 aq.; Baltzer apud Hultach: Papp. 111 p. 1231 sq.

2) Nam SI x 1A a: K1 x IN (Eucl. HI, 35),

et KExIAaKIxFA,quia EF4: KA (tum u. Eucl. V1, 2).3) Nam FM: FA a EF: KF (Eucl. HI, 35).4) Nam cum ait EP: K8 :- EII:KE, erit 3111111025

En EI:KB z KE,nnde âvaatge’vmlu El" : IF a KB : BE : PX :BE; tu!!!bullé; ET: FK : IF: BE.

azalwâucav F; corr. Torellius. autan: un 1.0701: F; cou.germas. 19. au Élu Torellius. H 1.0701 F, nulgo; 1.0700e am.

32 HEP! EAIKSÆN.Vpavoüo’œg and 1&1! âtpôw 1:61! zaxôévm 167’011 515w,

et ou! 6 60051.; 116709 11,51;ch 106, 31: Ëxu à figul-dua ni; à: r95 3:15qu ôeôom’vaç azor), ràv 021:6 1:01")35111901) 9905081011 éu’ «ôtât: &youévav.

5 65666000 11531.09 6 ABFA, ml à! 1:95 3:62:14p 51’;-ôai’u filiation: raïs ôcam’zçov à FA méfiiez, ml Ém-

ilmve’ro) 1:05 xénon à ET mât 16 F, nul lôyoç, 311fixez à Z azor), du: H, miton! 1:05, 31: 515L à F6) «cri1:61) 0K. 456645km 61) pattern: nul r05, 31: 518L à KF

10 and du; FA. aéro) 05v à KF ami du! F5 169M «616v lôyov, 31: à Z

ami 176w H. éloio’dmv

5290: 361111 05151:6: tâg FA.

«021w 66 yeypécpôœ x15-

xlog ôtât 1,1511 E, K, A

musiquai. 3m56 06115M6-dow écria: à 31” aïsFA, and noz’ ôpôoîg

Z ému. élidions aï KM,

T EF, ôvvwrôv il; FMl----I [au] mimi 16v IN

115601:60:11 à!) 1:6 K. 6’151 06v 176 «M6 1&1: SI, IA«01:1 176 621:6 156211 AI, KE ému, à; MI «cri KE,02Mo? 14,5 40611 61:6 un?» E1, 1A 17601! écula: 1:6 611:6 1&1!

25 KI, IN, 195 66157:6 1:51: AI, KE 1’601! 561:6 16 152:61&1: KI, FA ôtât 1:6 d’un), à; 165v KE and. I K, 0’5-

tœg 1:13:11 AF maori AI, ami 055 â’pa à [51 n01), KE,

0517015; 16 621:6 1&1; KI, IN nazi :6 151d) 1&1: KI, FA,towéarw 6g NI nazi FA, rows’o’tw à FM nazi FA.

2. à] scripsi; 0m. F, uulgo; fia: Torellius. à. «hmm» F3con. Torellius. 9. Ëaaahm] acrîpai; Garou pet coup. F, unlgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 33quae ad punctum tactionis uersus abscinditur, (1&thrationem habeat, si data ratio maior est en, quamhabet dimidia pars lineae in circule datae ad lineama centre ad eam perpendicularem ductam.

datus ait circulas ABFA, et in circulo linea FAducatur miner diametro, et circulum in pnncto F con-tingat linea En et [data ait] ratio Z: H major sa,quam habet FÛ : (9K. erit igitur etiam

Z : H N K F : FA .

ait igitur KF: F5: a: Z: H. itague erit F3 F FA[Eucl. V, 10]. rursus igitnr circulus per puncta E,K,A describatur. iam quoniam EFFFA, et K M.LEF,fieri potest, ut ponatur lineae FM aequalis linea INad K uergensf) iam quoniam

EIXIA:AIXKE:EI:KE,et KI x IN r.- SI x IA [Eucl. HI, 35], et

KIxFA:AIxKE,quia KE:IK--- AFzAI’), erit igitur etiam

51: KE : KIXIN:KIXFA:NI:FA:FM:FA.1)’De hoc problemate cfr. p. 31 notrl.2) Quia. KIA «a FIE, erit FI: IA :- EI: 1K (Eucl. VI,

4), unde avvôévn FA : I A a: KE : I K.

10. quo F. 13. ou)"; me F; corr. Torellius. 17. me F;con. Torellius. 19. bu; en": F, uulgo. «unau; F;son. Torellius. 20. 1:11 ; com Torellius. . 21. La cumcomp. "a: F; con. Torellius. flanc", "la! F; corr. Torellius.22. wir un (comp.) F; con. Torellius, ut lin. 23, 24 (bis), 25,26, 28 bis). SI A F, 1111130, ut lin. 24. 23. un! (bis)]me par camp. F; com Torellius, ut lin. 26, 27 bis, 28, 29 bis,g. 34 lin. 1 bis, 2 bis. AI, KE] AXE supra. scripta I man. 2. 24. fifi] 1:0 F. 26. signer] aveu per comp. F; corr. To-

rellius. 27. n F; con. Torellius, ut lin. 29, p. 34 lin. l bis, 2.

Anhimedel, sa. Heiberg. Il. 3

34 1mm aman.6’6er 66 un). «3g à FM azor) FA, à EF un) K1”,rovre’drl. azor) KB. 6’6er 59a, a); à SI azor) KE,à EF Mr) KB’ aux) loura): à IF mer) louzàv r61:BE ëorw, 05g à ET azor) FK. 31: 66 167m: 5x5), à

5 IF mer) FK, roôrov fixez à H azor). Z. normativité:66 à K E azor) r61: Ëxflafilnpe’vœv, au) à panât) ré;

fixflefilnm’vaç un) râg «commodats à BE azor) r61:FI ràv àvzô râç ëmwavoüoag àzolapâeïo’m: r61: on):

r61: 6’st 16701:, 31: à Z nez). rôti: H. .

10 L’.El aux 794mm). 681]; rsôs’œvrr ôzodaroûa: rcfi la)»

«indien: ônapezoüoaz, 66 à émoud; la): r9": éla-zlfo’rç, aux). 52m) nappa) rsôe’nwrr r93 p.61: «Mm:

tout. rouirais, r93 66 41.876496). Endura a; peytdrç, r616 rsrooîyœva rà a’m6 râv (6&1: r9? psylo’rqz norrlœpfld-

amura r6 ra aînô râg [rafleras rapéyawov aux). r6 11:59)-

ezôuevoæ: 611:6 ra râç flattera); aux). râç tous miaousrats r95 logo (indium ônepaxoüdazg rambiniez 3660151:-rou. raïa: rsroayaivnw minon: r61: 0216 r51: r93 [69)

20 durillon: ônspszovoâv. .forma: romand). ônodazoôv ëqnëfig xszyévm r95 1’691

«indien: ônapezoüom ai A, B, F, A, E, Z, H, 0, àI 66 Û [du En)» ré) brumai. azormæo’o’ôœ 66 azor). ràæ:

B l’au r9? G) à I, nez). 66 ràv F à K [du r4)": H, azor).25 66 r61: A à A [du r9": Z, azor), 66 rôti: E à M la): rqî

1. m’irmç à EF ed. Basil., Torellius. 3. n F; con. To-rellius (bis), ut lin. 4 bis, 5. and] mon; pet camp. F; con.Torellius (bis), ut lin. 4, 6 bis. 10mn et 10mm: F, nnlgo.8. «uolnqaûsmm: F. 18. raïs] addidi; 0m. F. nnlgo. 21.lorans] scripsi; sans F, nulgo; formant AV et Nizzins. 2b.à] (prias) 0m. F

DE LINEIS SPIRALIBUS. ’ 35

est autem etiamFM: FA : 54T: KF [Eucl. HI, 35] g EF: KB.

erit igitur SI: KE-: ET: KB, et IF: BE-s EF:FK.1)sed EF : FK :- H: Z. itaque linea K E ad lineamproductam ducta est, et linea BE, quae inter lineamproductam et ambitum posita est, ad lineam FI,quae a linea contingenti abscisa est, eandem rationemhabet, quam Z : H. ’

X.

Si quotlibet lineae deinceps datae sunt aequalispatio inter se excedentes, et excessus minimae aequo.-lis est, et praeterea aliae lineae datae sunt numeroiis aequales, magnitudine autem singulae maximas[aequales]3), quadrata lineamm maximas aequaliumadiecto et quadrato maximae et rectangulo compre-henso minima lineaque omnibus simul lineis interse aequali spatio excedentibus aequali triplo maiora.emnt omnibus quadratis lineamm aequali spatio interse excedentium.

lineae quotlibet deinceps datas sint aequali spatiointer se excedentes A, B, F, A, E, Z, H, (9, et (9 aequa-lis sit excessui. et lineae B adiiciatur linea I lineae8 aequalis, F autem lineae linea K lineae H aequa-lis, A autem lineae linea A lineae Z aequalis, Eautem lineae linea M lineae E aequalis, Z autem

1) Nam bandé est: :571 : [51’ :- KE : KB, unde and".IF : au" a BE : KB; tum 571111025.

2) Fortasse scribendum lin. 14: Endura fait r92.

3*

36 IŒPI BAIKQN.E, azor) 66 ràa: Z à N le): rqï A, azor) 66 réa: H àE [ou rçï F, aror) 66 ràa: 0 à O [ou r92 B. êoooaîvra:6h a): revope’va: tout àÂÂoËÂatç aux) r92 psylo’rç. 6em-

re’oa: 06v, ("in rôt rsroéyœvu ra): 021:6 armada: roïg r5 A

5 aux). raïa: yevoue’raa: azortlaflôvrœ r6 r5 021:6 raïs A uroni-

7ma:oa: aux) r6 asprexôpsvoa: 61:6 ra raïs Ü aux) raïs tous

«dans rats A, B, F, A, E, Z, H, é) murmuré évr:raïa: rerpœynôvma: 1:02a:rma: raïa: 021:6 raïa: A, B, F, A,E, z, H, a.

10 écru: 6a) r6 p.61: 121:6 raïç BI rerpoîywvoa: raca: rots021:6 raïa: I, B rnoayaivœg aux). 6150 rots 6az6 raïa: B, Inaotezope’vmç. r6 66 021:6 raïs K F 1’601: rots 021:6 raïa:

K, F raoayoôvotg aux). 660 rots 61:6 raïa: K, F 1:59:-ezoye’rmg. 64:05:09 6a) aux). r6: 021:6 raïa: 022.1121: raïa: ioda:

15 rqï A rsrpoïymam [ou 6’er rots 0211:6 raïa: rpapoîrma:

reroayoôvozg aux). 61:6) rots61:6 raïa: rpœpdrma: «amazo-

11 pérore. rôt p61: 06a: 021:6 réa:N A, B, F, A, E, z, H,Ûaux)

20 0 rà 021:6 raïa: I, K, A, AI, N,B F E, O nortluflôrra r6 121:6

A E roïg A rsroéyawoa: madéfiél ému réa: 021:6 raïa: A, B, F,

a) A, E, Z, H, Q rerpayoo’vmr.

25 Âowrôa: 66 émôslëopeg, (in r66:1:1026m nia: nagiezoyæ’vœa: 151:6 rôa: rpuyérœa: raïa:

à: êuare’ççz 7:91:51p); raïa: ioda: r92 A azorIÂœflôvra il)

naotsxôyevoa: 61:6 r5 raïs é) aux) raïs tous «dans rai;

3. 61j] Nizzius; 66 F, uulgo; "igituru Cr. Il. raïa: (pains)soi-ipsi; un: F, uulgo, ut etiam lin. 13, 14. 6150 6M! orelliusyut lm. 13 (h. l. etiam B). 12. me F; corr. Tore lins. 13. amu-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 37lineae linea N lineae A aequalis, H autem lineaelinea E lineae F aequalis, 0 autem lineae linea 0lineae B aequalis. itaque quae oriuntur lineae, interse et lineae maximae aequales erunt. demonstrandumigitur, quadrata omnium lineamm, et lineae A etearum, quae ortae sunt [adiiciendo], cum quadratolineae A et rectangulo comprehenso linea 0 et lineaomnibus simul A, B, F, A, E, Z,H,0 aequali triplomaiora esse omnibus quadratis linearum A, B, F, A,E, z, H, 9.1)

est igitur (B 4- I)’ a: 1’ 4- 3’ 4- 231 [Eucl. Il, 4],

et(K -I- F)’ a K’ -)- F’-l- 2K1”. eodem modo igitur

etiam ceterarum linearum lineae A aequalium qua-drata aequalia sunt quadratis partium et duobus rect-angulis a partibus comprehensis. iam

A’-f-B’-l-F’-I-A’-l-E’-f-Z’-I-H’-l-O’-I-I’

-I-K’-)-A*-)-M’-i-N’-)-E’-i-0’-I-À’:2(A’-l-B’-I-I*’-I-A’-!-E’-I-Z’-I-H’-I-0’)-*)

deinde restat, ut demonstremus, dupla rectangulo-mm partibus uniuscuiusque linearum lineae A aequa-lium c’omprehensorum cum rectangulo

1) H. e. demonstrandum est esse4’4-(B-I-I)’-)-(F-I-K)’-i-(4-i-A)’-)-(E-I-M)’

-i-(Z-I-N)’-)-(H-)-E’)’-l-(9-)-0)’-)-A’-l-

9x(A-l-B-l-F-)-A-)-E-I-Z-l-H-I-9)a3(A’-I-B’-I-I*’-l-A’-)-E’-f-Z’-)-EUH-9’).

O 2)3Nam 1-9,K-H,A:Z, M-E, N:A,S-I’,

:111va F; con. B. 14. 615] 6! Torellius. 17. 61:6;ouzo F, un) o. 21. O nordaflo’rza] OH ou (comp.lapone: F; corr. A . 23. raïs] un F, nulgo. 25. eau:-âugopsa: F, nulgo. 26. raïa: 61:] scripsi; réa: 0m. F, nulgo.

38 mm mm.A, B, F, A, E, Z, H, 0 560: (En! rots àzô 1&1; A, B,I”, A, E, Z, H, 8. and écru 6150 443w rôt 15m3 B, I«confluant 1’60: 61:62 tous 6x6 tût! B, 0 85944510115-vous, 6150 6è rôt 1511:6 1&1: K, F tu 11,5 zsmexopè’mp

5 151:6 ra 1&9 û ml 1&9 rupaarlaatag raïs F ôcà 16 tîntK ômladova alun tés 9, 6150 6è tôt 1’216 nia A, A1’60: 195 13m3 1&3 0 and 1&9 êëanladag râç A 61.6; zô

du! A rpmla6lav ahan! à; 0. 65404039 631 aux). 13:55Mo: rôt (haleine: fà xeçtsxôpemz 15m3 :0511 cpupaîuw

10 [au fini 195 «spaszopæ’mp 1371:6 ne 1&9 Q aux! tés zoua-

15

20

25

«10:65:19 éd zonât roûç 5&9 àpwpo’ùg àptlovç zig éno-

506’an ronflais. 1:6: 0131i 615447:60:41 noulaflôvw 1:6zeozszôpsvov 62:6 1:5 6&3 0 and 6&9 [60:9 miam; ratsA, B, F, A, E, Z, H, 9 é66oüwm (1’60: 195 mamelo-pæ’vçn 151:6 u mais 0 and. 1&9 [6419 amidons a; un A and

1:9": tpzzlœflgz 7&9 B aux! a; newanlœà’qz zig F andciel 1è? [1591.6692] mât robs ëëfiç équipez); 21:59:.660153

minauda; zig 53044511059 700441159. Ml ôà aux! ràànô 1&1: A, B, I", A, E, Z, H, 63 zsrpciymva 1’60: fifineotazopëvgn 1311:6 1&1! «21515:1: ypappâv. 561:; 7&9 1:6du?) tâç A zarçéymvov 1’601! 195 zaoLszops’mp 1571:6 t5

1&9 6 un! mis 1’669 [adams] 19:” n A and a? 1’69: un;imanats, (à; émiera 1’60: a; 4’ 36:1,ng 7&9 guipât ë 1:5

0 nia; A, and à A 1&9 1760:9 «1519? Midas Gin; té? A.0561:5 [60v ëdtl 16 du?) A ruoéyœvov 1:97 nepwæopémp

151:6 1:5 raïs Û aux! 1&9 [60:9 a; A and a; (hurlade:1&1: B, F, A, E, Z, H, 9’ ai 7&9 [6m 1:97 A 3026m

1. un F, nulgo, ut lin. 3, 4.. 2. nul 61m] guipai; un.un F, nulgo. 8. M] sol-i ’; Je F, uulgo. 10. sque-duaux;- F. 17. menai] de eo. 18. zomualç] ampli;nolluzlqmouç F, m1130. 19. tût] un F, nulgo. 28. mi.

1

4

Â

1

DE LINEIS SPIRALIBUS. 39exMFBFFZAZEZZFHFm

aequalis. esse omnibus simulf4- B’-I- F’ 4- A’-I-E’-FH’-l-9’.

estenim2BxI:2BX0, et2KXI’EÛX4I”,quiaK:26, et2AXA:(’9X64, quiaA:30.eodem modo igitur etiem dupla ceterorum rectan-gulorum partibus comprehensorum aequalia. sunt rect-angulis comprehensis linea Û et linea semper secun-dum numeros pares deinceps positos multiplici lineaesequentis. omnia. igitur [rectangulorum dupla] cumrectangulo

0X(A-I-B-!-F-l-A-I-E-I-Z-I-H-f-Ü)aequalia. erunt

6x(A-I-3B -I-5F-I- 7A-I-9E-I- 112-!- 13H-I- 150).sed etiam

Æ-f-B’4-IÛ-l-A’4-E’4-Z’4-H1-I-9’

eidem rectangulo aequalia sunt. nam 11’ aequale estrectangulo comprehenso linea. Û et linea, quae aequalisest et lineae A et lineae aequali ceteris, quarum quae-que lineae A aequalis asti) [113m quoties linea. 63 1i-neam A metitur, toties etiam linea. A omnes lineassibi aequales cum linea A]. quare eritmanMFÆœFrFAFEFzFHZæ)

1)H.e. ’:6x(A-f- (B-i-I)-l-(I’-I-K)-I-(A-I-A):d(Eà-I-I;1L-I-(Z-i-N)-Æ-(H-I-E)-i-(O-l-0))a9x8A;

duc] delco. 23. ab au F, unlgo. mon: cum com . m- F.ît de u: F; con. orellius. 27. tût] un F, un o.B] dB ; con. B, ut p. 40 lin. 1.

10

15

20

40 IlEPI EAIKQN.103919 1&9 A ômÂa6la1 31112 1&1! B, I’, A, E, Z, H, 8.ôpotmg 6è 2101?. 16 02116 1&9. B 18190271011011 1’601 ë111

195 11591110115119 15116 1a 1&9 â 11011 1&9 [6019 11,32 15 B

0101?, 19? (finitude; 1&1; F, A, E, Z, H, Ü. 9101?. 11021111: 1è

02113) 1&9 F 1519027011011 1’601 11,5 15716 1&9 0 161 1&9

1’6019 1&1 1s I’ un). 1g? 6111101619: 1&1 A, E, Z, H, 6.61101009 6è 110d 1è 02116 1&1; 0211.0211 1119027102102 1’611 1’112

1ot9 11591510951019 15716 1e 1&9 Û un! 1&9 1’6019 02611,32

1a 11012 19": 611110161592 1&1 10171&v. ôfilov 051, 511 1è02116 11016&v 151902700101 1’601 1’112 193 «19111011151191 15116

1s 1&9 8 :1012 1&9 [6019 110260119 197 11 A au). 11,71 191111.02-

6191 1&9 B aux), 19": 11511671101619: 1&9 F aux! 19": 110116: 10139

s’ëfig 02918410139 11591660139 11011011110164: 1&9 5110518511019.

HOPIEMA.

’Eu 1015101: 01511 93011159611, 511 101 15190271071101 11021102

1è 02116 1&1 (6&1! 19? (18716192 107w 41è: 1819027061091: 1151

02716 1&1; 11,5 2’693 021.1021011 131119510v6âv 131102660112 361w

fi 191111026101, énuâù 71011101561102 11101 191111026102 Éva,

11511 6è 10111051 191929 105 02:16 1&9 1157561029 111901702-

vov 11140101 191111026102, êns1ôù 1è noulaqzâe’wa51026601102 561w fi 191711026101 101-) 0211?) 1&9 (117161019

6. me F F; con. Torellius. 15116 u 1&9 9 B. 6. A)0m. F; corr. Torellius. 9. 101w 1011001 F, nulgo. 14. 10-9161101] 0m. F, nulgo. 19. me 1111161119 F; con. D. Pont101902706101: in F nacat spatium adpositis 1V punctis.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 41[nam(B-I-1)-l-(F-l-K)-I-(4 1L 11H- (E 1M)

1Œ1M1Œ1m1œ1m:2(B-1-I’-I-A-I-E-I-Z-1-H-I-û)].

eodem autem modo etiam

B’:9x(B-I-2(F-l-A-l-E-I-Z-l-H-I-0)),et rursus

rœexawr 2011 E121 1119))»,et eodem modo otium ceterarum quadrata aequalia.sunt rectangulis comprehensis linea 0 et linea aequsliipsi lineae et duplo ceterarum. adparet igitur, qua-drata omnium [lineamm] aequalia. esse rectangulocomprehenso linea 0 et linea, quae aequalis estA-I-3B -f-5I’-l-7A-I-9E-I- 112-!- 13H4-159.’)

9 COROLLARIUM.Hinc igitur manifestum est, omnia quadrata linea-

mm maximae aequalium minora esse quam triplomaiora [omnibus] quadratis linearum aequali spatiointer se excedentium, quoniam adiectis demum qui-busdam [spatiis]°) triplo maiora. sunt, reliquis autempraeter quadratum maximae maiora. esse quam triplomaiora, quoniam quae adiecta sunt, minora snnt quam

1) Cum littera A lin. 6 in codd. desit, fartasse sic scri-bendum est lin. 6: 1101). 192 61.1611101121 1&1 A, E, Z, H, 9. sa).31127.11 16 02116 1&9 A 1s19021m101l 1’601 11,5 15116 1&9 9 sa!tic 1’6119 1g": 1s A un! a; 61111016lç 1&1 E, Z, H, 9.

2) Hnius demonstrationis tenor mire pmeposterus est; quamsuspicari licet, hic illic quaedam explicandi causa interposita.fasse, quae in interpretatione Latins. uncis inclusi. demonstratio11188. mugis perspicue exposita est et simul es. rations, qua.nunc utimur, confeeta. ab Nizzio p. 126-27; cfr. Quaeda. Arch.p. 52-53.

3) Se.1’4-ÛX(A-i-B-I-F-l-4-I-E-I-Z-l-H-I-9)-

10

15

20

26

42 HEPI 11mn.1119017051012. 1101?. 101mm et 1101 6110101 116101 021117901-(ps’aw11 02116 11016&1 02116 1s 1&1; 11,5 1’65» 12110210111 61119-

szov6&v 11016 02116 1&1 1’6&v ,11; 110756191, 161 51’616 161

02116 1&1 i6&v 19? 111766191 10511 11611 12116 1&1 193 [61,0021.1021011 61159510060211 1136150311 61126601101 666015111011 fi

191111126101, 11511 6è 10111161 110919 1017 &116 1&9 1117!-

61019 126509 peltova fi 191111026101. 1611 31619 01616115506011 16701 161 6110101 11’611: 1019 15190170121019.

101 .

El 1101 y96111111). ëëfig 1566011111 611060110511 11,5 1’69)

12110210111 61159510126011, 11012 622.1011 79011111011 11015011111 193

1161 1115011 1119? 3111666109 1&1 195 1’691 611.021.011: 61159-

szov6&v, 195 66 (15755611 511026101 1’601 11,32 911716191, 16

1s1902yawa1 11021101 161 02116 1&1: l6&v 162 115716191 1101!961: 1è 151902700101 161 02116 1&1 193 1’69) 0211121111 61119-

exov6&v 101919 1&9 5101x561019 61026601101 1.67011 610111,

fi 16 1519027011101 16 02116 1&9 psytdwg 1101i 16 1’6010211910119019 195 1s 11591111091319) 6116 1a 1&9 111716111911011 1&9 61111131019 11011 195 191191 911’911 101": 02116 1&9

61159oz&9 151901705101, 92 611595111 à 111716101 1&9 6101-

zl61a9, 1101?. 66 16 1519027011101 161 02116 1&1 1,6 1’69?

0211021011 61109110060111 110919 106 02116 1&9 1117161019

1519017021100 pattue": 106 0115106 lôyov.561006011 7619 79011111012 61106011051 195 1’69) 021.1021111

61159110156011 55179 115111131011, 0’: 11611 AB 1&9 FA, 0’1 621

1. 02101790119124.0111] scrîpsi; uvaywoucpemnz F, nulgo. 3.16 11’611: . . 111110191] 0m. F; coi-r. Commandinus. Ante prop. Ilin F spatiaux quasi figuras relinquitur; in mg. sdsoripsit ms-nus 2:3,vscat spâtfl 16. 1119 11011101119 F13”; fort. 106 0’1161&9 Il. 19. 106 . . 111901706100] soripsi; un . . tenonnant F,unlgo. 24. 561000011] par camp. F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 43tripla maiora quadrato maximaefi) et etiam si speciessimiles construuntur in omnibus lineis, et iis, quaeaeqnali spatio inter se excedunt, et quae maximasaequales sunt, species in lineis maximae aequalibnsminores erunt quam triplo maiores, quam [omnes]species, quae in lineis aequali spatio inter se excevdentibus constructae sunt, reliquis autem prester eam,quae in maxima constructa est, maiores quam triplo’maiores. nant species similes eandem rationem habe-bunt, quam quadrata [Eucl. V1, 20].

XI.

Si lineae quotlibet deinceps ponuutur aequalî spatiointer se excedentes, et alias quoque lineae ponunturnumero una pandores lineis aequali spatio inter eexcedentibus, magnitudine uero singulae maximaeaequales, omnia quadrata. lineamm maximae aequa-lium ad quadrette. lineamm uequali spatio inter seexcedentium praeter [quadratum] minimes minoremrationem habent, quam quadratum maximae ad spa.-tium utrique Ëequale, et rectangulo maxima et minimacomprehenso et tertiae parti quadrati excessus, quomaxima minimum excedit, ad quadrata autem linea.-rum aequali spatio inter se excedentium praeter qua.-drstum maximae rationem maiorem eadem ratione.

sint enim quotlibet lineae aequali spatio inter seexcedentes deinceps positae, ita ut linea AB lineam

1)A”9X(A-i-(B-t-I)-I-(F-I-K)-Hd-I-A)HE-I-MH-(Z4-N)-I-(H-I-E«’)-I-(9-l-0))(pn39not-1)).8x(A-f-B-f-P-l-A-f-E-I-Z4-H-i-9). itaquequseMinets. sunt, orant (2A’

44 HEPI EAIKSZN.r4 1&9 EZ, à et EZ 1&g H0, à 6è H8 1&9 1K,à 6è IK 1&9 AM, à 6è 4M 1&5; NE. «omnium»

V 66 1101i. ph: 16v FA tau 5m? 151159019? à F0, 2101i, 6è1&1; EZ l’au 611611; 67159010112; à EH, 11011 ôè 161v H0

5 tu 191.621) ônspozatg à HP, aux), 11011 1&9 61110:9 16v«131611 19611011. 36606121011 67) al: 71511041611111. 021.1051111;

l’au, m2 51102610: 14:22 psylo’1qz. 6811116011 061, 511. 1è

’âxô amuïr 1&1 71511031614112 151967111110: 1101?. pâti mima

, 1è 15196703110; 16: 6716 114165211 1&1 193 1’693 02110210111

10 fixepsxovdâv 1mois 105 02716 1&9 N Il 1s19ayœ’vov éléa-

dova 1167012 5151, fi 16 65216 1&9 AB 1n90îymvov 1101116 1’601 &ptpon’poag 195 1s 11591510416129) 15716 1&1 AB,

NE ml 195 19kg) m’est. 101i 6:16 1&3 N T 181941705-vov, 1101?. 6è 16 13196701110: 1è 6716 1&1! «rônin x0001;

16 105 &216 1&g AB 15104176va nettoya 16701 5st 105«131017 116701).

69101516024901 &tp’ êmidmg 1&1! 193 1’691 021.1021411;

énepazovaâv [au 19’? 15115001932. 311 à) 16701; 5x51 16

c’mô 1&9 AB 11011 60110419161591! 16 1e 15716 1&1: AE,

20 03 21591516115101 nul 16 1911011 (46’909 1013 &216 1&5.40 1519017051012, 1061011 5151 1611 16701,16 1s 02916 1&9

0.4 151967101201 :101! 1a 16 naocezôpsvov 15:16 1&1:04, A X aux), 16 10km! (16’909 1017 02116 1&3 X0 151941-

7061012, aux! 16 15196701101 16 &216 1&9 H Z 21012 1626 11591516115101) 15116 1&1: HZ, W2 and 16 1961011 (4.6909

101") &116 1&9 4’11 1510017161101), aux! 1è &716 1&1: 0’:le

161067100110: 91012 1è 61105109 10111130116445ch loupiot. ml

16 mima ôù 16; 02:16 91016511 1&1! 04, HZ, P0, 2K,TM, TE «on! 1s miam: 16 11501816445110: 15:16 1s 1&9

8. 62’] Nizze; 671 F, unlgo. 1&1] 1a F; com B. 6. a1-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 45FA excedat, FA lineam EZ, EZ lineam H8, H9lineam 1K, 1K lineam AM,AM lineam NE. etlineae FA adiiciatur linea F0 uni excessui aequalis,linette autem El duobus excessibus aequalis linea.EH, lineae autem H Û tribus aequalis linea H P, cete-risque eodem modo. itaque quae oriuntur lineae,inter se aequales erunt, et unaquaeque maximae[aequalis]. demonstrandum igitur, quadrata omniumlineamm, quae [adiiciendo] ortae sunt, ad omnia. qua.-drata. omnium linearum aequali spatio inter se exce-dentium praeter quadratum lineae N E minorem ratio-nem habere, quam AB’ : AB X NE -I- 1v NT’, adquadrata. uero eanmdem linearum praeter quadratumlineae AB rationem maiorem eodem ratione-

a singulis lineis aequali spatio inter se excedentibusabscindatur [linea] excessui aequalis. itaque erit:

- AB’:ABx0B-I-&AID’a 04’: 04x AX-H 1m2:IIZ’:IIZX IFZ-l-ê; 11’779,

et eandem rationem habebunt quadrata ceterarum [li-neamm] ad spatia similiter composite. quare etiam erit[Eucl. V, 1m

1.th F; corr. Torellius. 13. H51 F. 28. P9] P0 F.29.16] addidi; 0m. F, nulgo.

46 HEPI EAIKSZN.NE 1101?. 1&9 tous 11660119 101t9 56911115311119 7901111101t9

aux! 1è 1911011169101 11511 15191171610711 11511 02116 1&11

0X, H41, P62, Æià, TQ, TN 1611 0161611 5201311111.611011, 311 16 6116 1&9 AB 15190270011011 11011 161 61111-

5 0111413615901 16 15 6:6 1&11 AB, (DB 15915169511011 1101116 1911011 115’909 1015 0h16 (15.4 15190111611011. 5l 0611 :101

6511W 16 15 11591516115101 15716 15 1&9 NE 11011 1&9

tous 110260119 101t9 04, HZ, P6, 2K, TM, TE and161 191101 115’950: 10511 15190171611001 10311 6116 1&11 0X,

10 11111, P62, 26A, TQ, TN 10511 11511 15191170511001 105116116 1&11 AB, FA, EZ, Hg, IK, AM 5110î11011a, 1151165 15190176110111 11511 &116 1&11 FA, EZ, H3, IK, AM,

NE 115lC01101, 65651111151101 50’651!-

A-O-H-P-z-T T- 1011 16 1190150511. 51111 611 16 11511

16 r «59151611511011 15116 15 1&9 N E 110121&9 tous 110260119 101179 04, HZ,

EH P0, 2K, TM, TE; 1101?. 1èI 191’101 115’950: 11511 15191270510111 11511

. " 02:16 1&11 0X, 111p, p11, 29.5,20 11j TQ, TN 5601 10179 15190170611019

(li-X tr. - 1019 12216 X4, in, ne), 21K,QJà q N-Bidizlelenlsi 1M, NE un! «,5 ïËOWZOPËT’P

6716 15 1&9 N E 11011 1&9 [6019 0105-

60119 10119 0X, 1111?, P62, 26A, TQ, TN 1101i 115 191’191

25 115’951 10511 15190170510011 10511 02116 1&11 0X, 111F, P52,

26A, TQ, TN. 101 66 &116 1&11 AB, F4, EZ, H0,I K , AM 1519027011101 [du 10179 02:16 1&11 B45, X4, 1PZ,

2. 19110111009101 F. 8. 21] 2A F, ut lin. 10 et infra. ue-pius; nain m in F plerumque ita. depranatum est, ut similli-mnm sit litterne A, et eandem formam praebet ed. Basil. (A).Tq] hic et lin. 10 littera. q in similitudinem compendii 11969compta. est. 9. 115911 F, nulgo. 10. 1159] addidi; 0m. F,

DE LINEIS SPIRALIBUS. 4704’ 4- IIZ’l 4- P8”-i- ZK’ -*- TM1l -I- T33:

NEx(OA-l-IIZ-l-PO-l-2K-l- TM-I- T1501)4- 1, (OX’ 4- 11w 4- 1’522 4- 2W 4- TQ’ -I- TN’)

a: AB’:ABX0B-1-«g»0.4’.

itaque si demonstrauerimu ANEx (04 4- 112 4- Po-I- 2K4- TM-l- TE)-1- à (OX’ -I- Il?!" -l- P62? -l- ËA’ -I- TQ’ -I-TN’)

o 43’ 4- 121s -f- EZ’ 41- HO’ 4- IK’ 4- AM’,

sed

Mun- EZ’ 4- H03-1-IK’4- AM’-l- NE’,

demonstratum erit, quod propositum est [Eucl. V, 8].erit igitur

NEx (04 4- 112 4- 110 4- 21M. TM-l- TE)4- ), (0X2 4- mm 4- m! 4- 22,5! 4- TCP-I- TN’):(XA’ -I- 1PZ’ 4- 9.83 -l- &1? -l- QM’ 4- NEI’)

-f-NEx(OX-l-IIOP-I-P624-E&-l- Tq-I- TN)4- ; (orî 4- mm 4- 1352! .1- 229 4- Tqî-i- TN’).*)

1) Nom dX-îP’Zr-naenKo-Mq: NE. Archi-medes enim tacite supponit, hic quoque minimum linearumlequali s atio inter se excedentium excessui aequalem esse (necali uin m demonstrsndo pro . X uti potuit), quamqnam necad emonstratîonem conficxen am par se necessarium est, necpostes, ubi hac propositions utitnr (prop. 25 et 26), ab eo ad-anmitur. a

2) Nana 04 a OX-I- X4, HZ a 17111 -l- WZ cett., etNE: X4 :- 1PZ cett.

nulgo. 12. tquymwoov F. 17. TE] TN F; corr. Torellius.18. me" F, nulgo. 21. .529] pro sa in F est compendiumnerbi «nous mire corruptum. 23. uou’ zig] 162c 0m. F, uulgo.

48 IlEPI 11mn620, 6AK, qM 15191170511049 ml rots aïno du 40,PX, E’P’, H62, I 6A, AQ and r93 zepcezoue’vçæ 151:6 1:07;

B0 ml zig ôznladiaç tâv 40, PX, E11”, H62, Ph,AQ. xowà p21! 013v ëvu êxau’pœv tôt terpéyœva tôt

a «in niai [647w tu? N :57. zô 62 zapcezôysvov in?) misNE aux! 1&9 tous rats 0X, HEP, 62?, 6&2, QT, TN514266612 éon 106 napzsxope’vov 131:6 1:5 1&9 B0 aux)nig- ômÂozdL’ag tâv 40, PX, E’P’, H62, Ph, AQ ôtât

to 1&9 vôv elpnpe’vag ypappàg tais ubi P0, EH, PH,10 I E, 4T, TN tous ducal, 1&1: 625 lomâv pscâôvag. aux),

tà retpdymva 62 où ciao «in 40, PX, E117, H62,FA, 1m 115101102 6m roi? 196mo 41.69509 nôv o’mô 7&1!

0X, 111.1”, P62, 26A, TQ, TN’ ôsôetxrm 7&9 :0510à: rots émiant). êloinova fieu émit! tu? (513061210: lapiaz

15 145v tarpayaôvœv raïa: aïno du 4B, P4, EZ, H8,I K, 4M lomôv 6è ôuâoüpeg, 5m pstçové 6121:4. 145v

tarpaym’vœv 1.151! duo râv P4, El, HG, IK, 4M,NE. mil"; à?) rôt 1551902701110; 21:8: du?) 17071: P4, EZ,

H8, IK, 4M, NE [du ëvtlurol’g 1:5 aïno 166v XP,20 EQP, H62, Ph, Aq ml 1:0ch du?) 107v X4, zF2, 623,

&K, QM, NE nul 193 neoLaxope’mp 15m5 ra 1&9 NEnul 17629 marinerions 1116021! 1&1: PX, E111, H62, I 6h , 4G.nul! éon zowà 51.21: 1:5; aïno tâîl X4, a.172, 6269, 6km

MG, NE, WŒOU 62 to 131:6 1:5 tés NE Mal 1&9 tous

2. H52] M9. F supra. scripte Hmanu l. I ] m suprascripto I manu 1 F. 3. un 345 F; corr. A?, ed. mail. H62]N62 F. In figura. pro æ in F scribitnr H, pro q littera T.9. yoappouç F; con. Torellius. F0] P6 F, sed corr. ma-nus 1. 12. nettoyé 61m . . . lin. 13: TN 0m. F; corr. To-rellius (niai quod 145’901); habet lin. 12) et ommandinus (3cm,pépons, 15151: 18190170610001! n51! ciné). 15. 1&1] un par comp-F; corr. Torellius. 16. 031501159 F, uulgo. 20. aux). raïs . ..lin. 21: N E] 0m. F ; con: Commandinus. 22. H62] H 0m. F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 49sed

AB’-f-P4’-I- EZ’-I-HÛ’-I-IK’-i-4M’

a: (BID’ -I- X4’ -I- Il”? 4- 628’ 4- 6AK’ -I- QM’)

4- (Adï’ -I- PX” -I- E111” -f- H62’ 4- PÆ’ -I- AQ’)

-l-Bdix2(4(D-I-PX-i-EZ-l-H62-I-I?.,-f-AQ)[Eucl. Il, 4]. itaque utriusquo partis communia suntquadrata linearum lineae NE aequalium, et praetereaest NEx(OX-I- Hw-«I-62P-FiAZ-I- QT-I- TN)(BŒX2(40-l-I’X-I- ElF-i-H62-1-I6b-I-AQ),quia. hae lineae aequales sunt lineis

PO-l-EH4-PH-FI2-l-4T-1-TN,sed reliquis [PX 4- E’P’ 4- H 62-]- I 6A -I- AQ] maiores

[et OX-f- II’P’4- 62P-I- &Z-l- QT-I- TN

:(PO-I-EII-I-PH-i-IZ-l-AT-i- TN)4- (PX-I- EïP-I- H62 -I- PÆ --l- AQ)].

sed etiam44” -I- PX’ -f- E1172 -I- H62’ -I- PA’ -I- AQ’

2416020 4- H11" -I- P62î -l- Eib’ -I- TQ’ -I- TN’).

hoc enim supra. demonstratum est [prop. 10 coroll.p. 40]. itague [omnia simul], quae commemorauimus,spatia erunt

(48’ -I- P4’ 4- EZ’ -I- HQ’ -I-IKO-I- AM’.

deinde autem demonstrabimus, maiora ea essequam [’4’ -f- EZ’ -l- HÜ’ -I- IK’ 4- 11M -I-:N’,E’.

rursus igitur erit:P4’ -I- EZ’ -I- H02 -f- IK’*-I-4M’l 4- NIB?i

: (XP’ -l- E11" -I- H62il --l- PA’ -l-*AG’)4- (X4’ 4- îpzi .1- 5on 4- 9410 -I- QM’ 4- NE’)

-l-NEx2(rx-l- EïP-i-H62-l-I6A-I-4fi) [Eucl.II,4].et communia sunt

X4’ -l- ÊI’Z’ 4- .620l -I- XK’ -l- MQ’ -I- NE’,

4Archimedes, ad. Heiborg. Il.

50 Iflflü EAIKQN.«02601:3 :atg 0X, 1711?, P62, 26A, TQ, TN :017 151:6:âg N :57 110:2 :629 61110166129 1:12:65: :âv PX, E11”, H62,

Ph, AQ. 611:2 62 and :6: :szpoîyanm :6: 022:6 ni: X 0,1FIT, 62P, 6&2, QT, TN :451: 027:6 :âv PX, E4”, H62,

5 16A, Aq peigna ü «1110166101. ôaôstxm: 7&0 ml :oô:o.nettoya â’pa 611:1 :6: énrfiéwa 110060: :151: :e:payaivml«a» 022:6 :6511 114, EZ, H0, IK, 4M, NE.

JIOPHHMA.

Kal :oëvvv a! un: 611.0170: &Uaypacpëmvn 027:6 «0165511

10 017:6 :5 :âv :ç5 6693 61110510111 15150510116071! aux). 61:6

:âv 360?: :01" (15756:9: 06650:, mima :6: 611:6 :0711 [65v:9? 05766:0: 7:0:2 :13: 027:6 :âv :95 [697 021.).de 61:50-axov6âv 101019 :05 027:6 :079 éliminas 5176503 3102660110

16701; égoôvu, fi :ô :e:poîymlov :ô 027:6 :âg avinas15 7:01). :ô I601: 020920:12:01; :95 :5 «5015101161191 157:6 :0

:623 panifias nul :029 510150101; un: :ç5 1:96:97 [68,986:05 021:0 :079 Ônspozüg, à 15359615: à (15766:0: :079 éla-

ztdmg, 7:0:î, 6è :à aïno :621; 1:13:07: 56650: zonois :017027:6 :âg 05766:0; psiâova :017 0:15:01? 16701). :61: 0113:6:

20 yàp êâoôvu 1167011 :13: 6110m 513’680: :oïg :a:paym’vozç.

OPOL

œ’. El aux 51308:0: 01mm??? ypappà à: 69:11:60?and 96:07:09 :013 5:69:21: négawç minis [60:axe’mg

1. H111] IIP F. 3. :01] (prius) addidi; 0m. F, nulgo.6. bd] un) F. 8. 1:60:61101] 0m. F, nulgo; ,,corollariumruemissaeu Cr. 10. uvaygaæsvt: F; con. B. 11. [050...’n. 12: ciné :6211] 0m. F; corr. Torellius. 14. :6] (prius) un F.

20. 2501m F, un go. 21. 5’001] 0m. F, unlgo; ,,definitionesuCr. 23. nul] 0m. F; corr. Torellius. Lacune: me F; con. B.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 51et NEX (OX-«I-II’If-l-PSZ-t-ZiA-I- Tq -I-TN))NEX 2(PXè-I- E’P’-I- H62 -I- FAX AQ).*)et praeterea sunt

XO’ -1- z1’2II”--l- 62P” -f- 6A2? -l- QT’ -l- TN’

m 3 (PX’ 4- E4" -I- H622 -I- Iiæ’ -l- AQ’).

1mm hoc quoque demonstratum est [prop. 10 coroll.p. 40]. itaque [omnia simul] spatia, quae commemo-ranimus, maiora sunt quam

P4’ -f- E22 -I- HQ’ -]- IK’ -I- AM’ -f- NE”.

COROLLARIUM.

Quare etiam si in omnibus lineis, et iis, quaeaequali spatio inter se excedunt, et iis, quae maximaeaequales sunt, similes species construuntur, omnes.species in lineis maximae aequalibus constructae adspecies in lineis aequali spatio inter se excedentibusconstructas praeter speciem in minima constructamminorem rationem habebunt, quam quadratum maximaelineae ad spatium utrique aequale, et rectangulo lineamaxima et minima comprehenso et tert-iae parti qua-drati excessus, quo maxima. minimam excedit, adspecies uero in üsdem lineis constructas praeter spe-ciem in maxima constructam rationem eadem rationemaiorem. nam species similes eandem rationem habe-bunt, quam quadrata [Eucl. VI, 20].

DEFINITIONES.

I. Si in plane recta linea ducitur et manentealtero termino aequabiliter circumacta rursus in eum

1) Nam PO-i-EII-i- PH-i- 124-4114; TNFFX-i-Eï’i-HQ-i-IËà-t-AQ;

tum u. p. 49, 12 sq.4*

5

10

15

20

25

52 HEPI 12mm.«5015051560100: 61:01:0::0:6:0:8fi 1021:0, 6’051: 0301111650,

6:00? 66 :9? 70011110? zeptayope’vg: 016017:01’ :1. (tupaïa:

360:0:15’109 «15:6 60:12:95 zani: :629 51565509 «102021:01:01:

021:6 :017 06:00:09 «6’01"09, :6 611115601: 5101:0: 7061,06:

à: :95 31:11:66,».

43’. 1:0:1566601 061: :6 p.61: 1:60:19 :029 815656119 :6

1:61:01: 1501070116069 1113:0?9 01018: :69 3111109.y’. à 66 866:9 :0?9 70011111629, 021p’ 6:9 5056:0 à

0665170: 1:50:q:aps’66a:, 6916: :629 1:50:1p000?9.

6’. 51505:0, 631: 1:61: à: :6: «0115:0: 1:59:1popçî 6:01:0-

oevôfi :6 60:11:10: :6 zani: :0?9 51365609 queç6psvov, «016:0:

ua1566ôm, 621: 6a à: :0? 651::s’90: «59142000? :6 0:6:6

60:11.st 610:1:1i6n, 681::s’pa, 1:06. 0:6 63110:: 61:06:09 unî-

:0::9 611011:60:09 :0:t9 159100:10:69 20:106660160111.5’. :6 6è 1000601: :6 1:00:1aqnôè1: 131:6 :5 :0?9 51:-

1109 1&9 à: :0? 1016:9: «591112090? 7009156609 ml :079 i5600609, à? 66:11: 1006:0, 1:96:01: 1:0:1566601, :6 66«8911091661: 61:6 :6 :69 5111109 :âg à: :0? 601::e’pq: 1:10:- 1

01000? 700056609 un! :629 51565609 :0?9 651::épœg 656:5-001: 111115156610, x01 :6: 62110: 51517; 05:00 11015156601.

ç’. 1:01 si? 1:0: 021:6 :013 60418600, 5 36:11: émoi :019

511x09, 61187") :19 01319510: 790401002, :âg 51368669 nains:13: 61:1 :6: 005:6, êtp’ ë 1:0: à «59102006: 700mm, 1:00-

ayoüpava 2111566000, :6: 66 ënl 36:50:: 5661.1006.C’. 6 :0 70000519 1:61:109 1:60:00: :161: :95 60:11:19),

5 66:11: 011mo? :0?9 5111109, 6mo’:1iy.0::: 62 :0? 8136860, Ë

66:11: 1016:0, 1:06:09 1:0:156660), 6 6è 70091519 1:60:99:

3. 5000:0 F; corr. BC.* 11. :6 1101:6] :6 0m. F. Nu-meros ipse addidi. 23. :0? 31:6] scripsi; :02 0m. F, uulgo-60’ a? 110:] addidi;«om. F, unlgo. 1100070611100] h. e. n00-11706118701, scripsi; «0007011870: F, 1111130.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 53locum restituitur, unde moueri coepta. est, et dumlinea circumagitur, punctum aliquod sibi ipsum ae-quabiliter in linea, fertur a. manente termine inci-piens, punctum in plano lineam spiralem describetf)

Il. Terminus igitur lineae, qui, dum ipsa. circum-agitnr, manet, principium spiralis uocetur.

III. Positio autem lineae, unde circumagi coepta.est, principium circumactionis.

IV. Ea linea, quam in prima circumactione punctumpermeauerit, quod in linea fertur, prima. uocetur; quamin secunda. circumactione idem punctum permeauerit,secunda, et ceterae eodem mode circumactionumcognomines sint.

V. Spatium autem spirali in prima. circumactionedescripta. et linea, quae est prima, comprehensumprimum uocetur; quod spirali in secunda circum-actione descripta et linea. aecunda comprehenditur, se-cundum uocetur, et cetera quoque deinceps eodemmodo nominentur.

VI. Et si a. puncto, quod principium spiralis est,recta. linea. ducitur, quae in eadem eius lineae partesunt, in quam fit circumactio, praecedentia nocen-tnr, quae in albera parte sunt, sequentia.

VIL Et circulus, cuius centrum est punctum,quad principium spiralis est, radius autem linea,.qua.eest prima, primus uocetur, circulus autem, cuius

1) Cfr. Pappus I p. 234 (N, 30), ubi similiter linea. spi-mlis definitur.

54 IlEPI 2mnph: 1:95 0:61:93, ôtaam’pau 6è a? 61.1104615925 5605M 656-

15909 mlstafiœ, sur! o! 5512.01. 6è 52179 10151on 176v dô-zôv 1961011.

Ms,- .b El’ au! and du; gluau tàv à: un; nepupogë 61:0qu-oôv yeypappæ’vav aînô 1&9 0201079 1&9 511.3403 560M;êyarsdcô’WL ônocmoüv l’avis accoudai, ymviag «01’ 031M-

Àaç, 193 1’691 âne-(zézaya (indium.

Satan fifi, ëq)’ 0’49 ai AB, AI", A4, AE, AZ tous10 7001115413 101.0156050 «01’ &Âlélag. ôsmn’ov, au 195 la?

ênapëxsl. à AI" 1:65"; AB, nul à A4 1:07; A1”, nul aïtillac. 644051119.

à: 95 7&9 1961191 à nepLayopëvœ ypœppà 45m3 tâg

AB 451:2 du: AI" &qnmietmz, à: 102519: r93 1961:9) 1:616 duperez: 1:6 zonât raïs 51506501; (pagineriez: ràv 13189016111

ôtanopeva’tat, q? ôuspè’zu à

17 4 E P11 râç AE, à: 95 6è 196119701m3 1&9 AF 59:2 «En: A4, à;1:06:92 ôtaatoosvëtm 16cv 61:59-oxaîv, ë ûnsoe’zu à 114 du;

A1”. à; 1’693 6è 196m,» à 1mn-

ayopëva nappa? aîné 1:5 mais A B

311:1 du: AI’ àqnxvsc’ral. and 021:6 1&9 AF’ 311:1 ràv A4,

ënuôîz a! ramiez» [am 31m2 à: 1’692 651m 1961191 16

25 mû fig 5158545419 (125961151101; aunerai: ômnopsuémz fàil

15159010211, ë 15159153551, à FA 1&9 AE, un! 1&1; 15me-

1. ni] addidi; 0m. F. unlgo. 5 aux!!!» F. tût Ër]scripai; un. par F; 0m. Torellius; du (Lb cd. Basil., nulgo.6. yeyçappnu F; con. ed. Basîl. 8. vzzçzzovu F. 17. de]un F; con. B. 26. FA] FA F; AI" unlgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 55centrum idem est, radius autem linea. duplo maior,secundus uocetur, et ceteri deinceps eodem modonominentur.

XI.I.

Si ad spiralem qualibet circumactione descriptama principio spiralis lineae quotlibet ducuntur aequalesangulos inter se efficientes, aequali spatio inter se ex-cedunt.

ait spiralis, in qua lineae 43,41.) A4, AE, AZsût!) aequales angulos inter se efficientes. demon-strandnm, aequali spatio excedi lineam AB a lineaAI; lineam AI" a linea A 4, ceterasque eodem modo.

nem quo tempore linea, quae circumagitur, abAB ad .41” peruenit, eo tempore punctum, quod inlinea fertur, excessum’ permeat, quo excedit linea. FAlineam AB, et quo tempera ab AI" ad A4 pernenit,eo permeat excessum, quo A4 linea. excedit lineamAI’. sed aequali temporis spatio linea, quae circum-agitur, ab AB ad AF et ab AI" ad 44 paruenit,quoniam anguli aequales sunt. eodem igitur temporisspatio punctum, quad in linea. fertur, excessum per-meat, quo linea. F11 lineam AB excedit, et quo linea

1) Fort. scribendum lin. 9: âq’ à; [3è A, B, 1*, A, E, z, H.à?!» 6è aiguë fait; 31m0: :6 A. au). and vos? A âpzlutmvfl]a :11.

6

10

15

20

26

56 mm man.01:51;, q? ôzspe’zal. à A4 aïs AI’. r95 me) 39a incap-

s’za â’ ra AF tés AB, and à A4 1&9 AF, ml ai

lourd.14”.

El au! aimera nappât tâg glaças ëzcwaüy, and?à: (1611012 ëmwaüau capelait.

56m» filé, fg” de rôt A, B, I’, 4. i561!!!) 6è 02916:

11h! mis 51mm; rô A dapaîîov, 45910? dt 1&3 nengpoçâç

à A4 8154km, «a! ëmzpavè’tm 1&9 511.109 eôôsîoî mg à

ZE. (peut) dû xaô’ En pôvov saperai! êm1pmisw midis.

ëmapavs’rm 7&9, si ôvvatôv, nard: 6150 captera tôt

1", H, and Ëzsâsüzbmaav al A1", AH, ml à yœwfa

. Z (fixa tsrpéo’ôai à negu-0 I exope’va in?) n21: AH,

r AF. uaô’ 3 6è duperez;à 61510: tGIyJIO’UUd 1&1!

yœvùxv a? 52.1.3". nou-m’nnz, fait?) zô 0. r95Où la? Üflêpé’lêt 5E 178 AH

1&9 A8, aux! à AÜ 1:52; AF, and?) tous glandas 11:59:.-e’xovn 1501? 0211021059. 4561:5 chahutai. fiant ut AH,AI" tâg A0. tillât tâç à; 193 191.7051191 [1&3 A 6]84’250: tsyvoüaag 1&1! QIŒ’IIÛMI "51.561155 Étui fi ôLuÂao’L’m.

Üülov 015v, (in, xafl’ 3 GUMÛETGL duperai: 19": PH8138542: (FAQ, parait) 14511 0, A 31:-n. Gage-lm. rimiez.âge: à EZ du: Sima, (bradé u flint ëv. Il? FÛH 6a-

E

J

12. à] n F; corr. Torellius, ut lin. 13. 13. fêfft’flfiôm F,nnlgo. mon! ont"; 9m) un (comp.) F; con. Torellius. 16.un F; con. orellius. 20. tu: A9 F; con. Torellius.menaces cum comp. 171 F; con. VA. 22. 7&6 49 (alterum)]deleo. 23. parmi F; com B.* 24. 10 «quam F; t6 uncis in-cluait cd. Basil.; de]. Torellius. 26. PH D, ed. Bail, Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 57AA lineam AF excedit. quare AI’ lineam A B etA4 lineam AF aequali spatio excedunt [prop. 1], etceterae eodem modo.’)

XIII.

Si linea recta spiralem eonting-it, in uno solopnncto continget.

ait spiralis, in qua sint puncta A, B, 1”, A. princi-pinm autem spiralis sit A punctum, et principiumcireumactionis linea A4, et linea aliqua EZ spiralemcontingat. dico igitur, eam in uno solo puncto con-

tingere. .ù contingat enim, si fieri potest, in duobus punctisF, H, et ducuntur lineae AF, AH, et in duaepartes aequales secetur angulus, qui lineis AH, AFcomprehenditur. et punctum, in quo linea. angulumin aequales partes secans in spiralem incidit, sit 8.quare aequali spatio excedit linea. AH lineam A 0,et linea A9 lineam AF, quoniam aequales angulosinter se efficiunt [prop. 12]. quare AH 4- A1": 2A 0.sed AH --l- AI’ maiores sunt quam duplo maioreslinea in triangulo angulum in aequales partes se-cuntif) adparet igitur, punctum, in quo linea A3 inlineam PH incidat, inter puncta 6, A positum esse.quare EZ spiralexn secat, quoniam quoddam punctumlineae PH inti-a spiralem est.’) et suppositum est,

1) Banc propositionem citat Pappus I p. 284 .(IV,.33)..2) De hac propositione: duo aimai latere cmusuis trian-

guli maiora esse quam duplo maiora linea, quae angulum abiis oomprehensum in dans partes aequales secet, cfr. Zeitschr.f. Math. hist. Abth. XXIV p. 178 m. 5, Nizze p. 133, Sturmp. 403.

3) Cfr. Eucl. III, 16 «émana.

5

10

15

20

25

58 nm sans.peton: 4.312169 écru 1&5- Ehuoc. ôns’xsno 6è émzpaéovaa.

xaô’ En: â’pa pôvov àfltélfdl. à EZ tés amas.

Lô’.

El aux and du: gluau 1&1: à» a; 21905:9: zepzpopç";yeypaups’vav normeaôvu 6150 515085431, dard r05 du-ueiov, 3 561w àpxà 1&3 autos, and énfilqôe’œvu «et!

du! 1017 «pérou 315x101) nepzqw’puow, du: aôrôvfinira 1.6701! a! alto-r1 du! Sima uouarmtoæîdm :101?àMoËlaç, du ont «commodat 1017 36x101; ut mugi; 1:05«douros 1&9 514x09 Ml n51: 112590210011 107v âufilnôewâv

568546211 145v 521:2 mais nepupepslag ywopévœv, in) 1:6:npouyoæîpsva lapflavopëvav 1&1: nspzqzspuâv du?) un?«égares mais Slang.

561m ÈME à A BI’4 E8 êv a; «906174,! «591.1120ng ys-

ypapps’va, delà 6è raïs ph! glume 561m rô A suintait,à se 0A 86061?! &pxà raïs nepupogâc être), and mî-uloç ô ÛKH être: ô «paires. noumazrôwœv 6è «in

1017 A 6:1de and 1&1! gluau ai AE, A4, and én-manôvtœv are-ri du: r06 542511.02) mpupe’pauw en 1:5:Z, H. ôemn’ov, du 1611 «13161: 5101m 10’701: à AE

me! 1&1: A 4, 311 à 8K Z «semence: mort 1&1; GKH«maquées-mal.

nepmyous’vag 7&9 1&9 A6 704.!ng ôfilov, (59 1:6M11 0 duperai; and: râg :013 ÜKH 311530.01) «agape-pstœg ëvnvsypa’vov 30:11; 360141161209, rô et A muât si;

56min; (paginerai: 143w A0 flagada! nopave’rm, au!1:6 9 duperai! and: 1&9 1:01? 4:63:10!) nepupspeûxg (ps-pôpwvov rôti: 0K2 nepzqas’psmv, 1:6 6è A du; AE

1. me F; con. Torellius. 2. EZ] EH F; con. B mg.7. un! par comp. F; corr. Torellius. 9. 3.] in F. 20.

t

i

i

DE LINEIS SPIRALIBUS. 59eam contingere. itaque in une solo puncto linea Elspiralem tangit.

XIV.

Si ad spiralem prima circumactione descriptamduae lineae a puncto, quad principium est spiralis,ducuntur et ad ambitum primi circuli producuntur,lineae ad spiralem ductae eandem inter se rationemhabebunt, quam ambitus circuli inter terminum spi-ralis et terminos linearum produetarum, qui in am-bitu sunt, positi, si ambitus a termino spiralis adpraecedentia uersus sumuntur.1)

sit spiralis ABFAEG primaHX Z circumactione descripta, et prin-cipium spiralis sit punctum A, et

r v linea 8A principium circumactio-( A anis ait, et circulas OKH primus

B J sit. ab A autem puncto ad spi-bè ralem ducuntur lineae A E, A4

et producantur ad ambitum cir-culi ad Z, H. demonstrandum, esse

AE:A4:0KZ:8KH.nain si circumagitur linea A9, adparet, punctum

8 in ambitu circuli 6K H aequabiliter ferri, A autempunctum, dum in linea feratur, lineam A3 permeare, etpunctum 0, dum in ambitu circuli feratur, arcum 0K Zpermeare, A autem lineam AE’), et rursus punctum

1) Cfr. Pappus I p. 234 (1V, 32).2) Se. eodem temporis spatio.

nous; F; cou. Torellius. 24. me F; cou. Torelliu , ut lin.26, 27. 26. uoqsvinu] scripsi; mangement; F, unlgo.

6

10

15

20

25

60 HEPI aman.æôôstœv, un! mihi: t6 te A vaudou: du: A4 youp-pdv, au! 16 8 ràv OKH nepupe’psmv, indagua: tao-raxs’œg mît?) êavtçî quepôpevov. 6171.01: 015v, du du:

«616v 535mm 167011 à AE 1ms! du: A 4, du à 8K2trisomique: «01:3 ràv OKH nepupëpamv. ôaôatxral.7&9 7051:0 émiant) à: tors zoon’pocg. cipolins dt del.;-Mae’wz, and et aux à éden 1&1: ummmrovdâv en! rônéons 1&9 Simog «ouata-r11, du a?) «151:6 auafim’vu.

ne .

El 66’ aux 11:01:! ràv à: a; ôwte’pgz 3594920991 ys-

wapps’vow Sima flemmardant sôôstaz du?) mais dolésrâg guanos, 16v «dada: 15805011. 16701: a! eûbez’m noz’

âllélag, 311 a! 5197141511414. «spzçspsùzc p55 51a; 102g

son? uÜuÂov uspzqaapelag lapflavopé’vaç.

zona gag, si à; à Annie, à un 431mo45v a? apaisa uspzqæopq? yeyçaape’va, à 6è OAEM à:

19;" ôswa’pçz. and noummôwm; 513mm ai AE, AA.damiez), du 1:61: «dab» 5101m 16701! à AA and 1&1:AE, du à GK Z nepupe’psw p.55 3110:9 raïs 105 mixiez:

uspzqæçsùzg 101:1 0KH p.51? 51m; 1&9 roi) 115x100nepupepsûzg.

à! 569) 7&0 1961193 rô A caneton aunât aïs aimiez;(papôpwov ràv AA 790:va ôtanoçevérm, aux). 1:6 8vaudou mû 1&5- toô miaulez: negupeçstag (paçôasvov31m: ra du; mû 316342.01: mpups’puav au). En ràv 8K Z

negzqzépemv dmnopsve’rm, aux! mil"; et A capiston;1&1) AE 51385174211, ami 1:6 Û 511cv ra 1&1! mû album)aeqaçae’psmv and En du! OKH, êxoîtspov loculé»;

4. sium F. 6. incisai] scripsi; sen) F, unlgo. noo-n’çozc] soi-ipsi; newtons F, nulgo. 8. du] addidi; 0m. F,

DE LINEIS SPIRALIBUS. 61A lineam A4 et G arcum ÛKH, utrumque aequa-biliter sibi ipsum. adparet igitur, esse

AE: A4 a: 0K2 : ÛKH.hoc enim supra in priaribus demonstratum est [prop. 2].et eodem mode demonstrabimus, etiam si altera linea-mm ad spiralem ductarum in terminum spiralis inci-dent, idem futurum esse.

XV.

Sin ad spiralem secunda circumactione descriptama. principio spiralis lineae ducuntur, eandem rationeminter se habebunt, quam arcus, quos commemorauimus[prop. 14], adsumpto toto circuli ambitu.

sit spiralis, in qua sit linea ABI’49, ita utABI’AO prima, ŒAEM secunda circumactiane de-scripta sit. et ducantur ad spiralem lineae AE, AA.demonstrandum, habere lineam AA ad lineam AEeandem rationem, quam arcus 6K2 adsumpta totocirculi ambitu ad ûKH adsumpto toto circuli ambitu.

nam quo tempore 1) punctum A, quad in linea fer-tur, lineam AA permeat, etiam punctum Q, quad inambitu circuli fertur, et tatum circuli ambitum etpraeterea arcum 0K Z permeat, et rursus [quo tem-pore] punctum A lineam AE permeat, etiam punctum0 tatum ambitum circuli et praeterea arcum QKH,

1) Ut faeda uitetur anacoluthia (lin. 26 sq.), fartasse prac-stat lin. 22: En: l’atp 7&9.

unlgo. l4. 311015 lapfiavaçévœc? 15. ABFAOEAM To-rellius. 17. noumanœvu ; corr. B. 18. 51mn: F; corr.Torellius. 20. and] «pas par camp. F; corr. Torellius. 23,ul r6 8] une: to E F; cart. Torellius.

62 IIEPI aman.«616 «6195 935969511011. 6mm: 06v, dû 16v 1113161:

ëzovu 1.6701: à AA 70(1pr azor! du: AE, 31: à 8K2«saupiquet psi? 510:9 zig r05 niant: napcmepætag nazidu: QKH mpups’pemv psi? 51mg si; r01? 1115111011

5 accommodas.1:61: «61:61: dt ratinai: demandent, and et aux me!

du! à! tu? votre: «soupape; ysypappévav 5).an 1mn-7586:5er 513851511; , 51:1 1:61: 0115161: 1.67011 êEoôwç nat’

&ÂÂdÂug, 311 ai stanneux: mpupsgelm ysô’ 52.059 1&5;

10 roi 141510.01: mpupspalag dis lapflavope’vag. ôpolœçdt au) oct nazi ràg â’Mag 57.131119 noummoüo’az dem-

vôvtm, du 1:61: 0:61:61! ixowzdôyov, 311 a! signas’vabnegupagstm psô’ 31.019 râç mû 10610.01: nepcçaspetag

tadavzémç lapfiavoue’vag, 5609 êdtîv 6 êvl 310266071!

15 àgcôpôg 1&1: nepcqmgâv, x4125! 1m à natmtutovdu àêxare’ça mati 16 négag 1&9 âmes anima.

15’.

Ei’ au: raïs 31m0; 1&9 à: fg? 11:96:59: zapzqaopqz" ys-79uppe’vag cédera 790151416: humain, nul 0211:6 1&9 oignis

20 amen: 791151116: êmÇevxôfi gal 1:6 capiston, 5 36m:aimât 1&9 glaças, 623 nocer renvias à êtpaæropa’vœ nazi

1&1: âmCsvxôsïdœv, dv6601 àaaoüwœæ, nul à p.61: à: rot;

nçoayovpe’vmg âpfilsîœ, à 6è à) raïs ênopëvaag 655m.

fait» 31.15, àp’ aïs tôt A, B, F, 4, Q, êv a? «ouïra

25 angupopg? yeyçœpps’vu. zut être: 1:6 p.611 A capelai:

2. 51mm F; cart. Torellius. yeaapuv F. 8. du] am.F; cart. Nizzius. 12. nous; F; corr. Torellius. à 51911-sva «cancana F; cart. Torellius. 14. roaavmc F; cart.orellius, 5M] à F; eau. B; am. ed. Basil.; ,,uno mino-

remn Cr. 18. 111 nanan; F; cart. Torellius. 22. EUWfluLF, uulgo. 23. nçoayapsvoLç F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 63ntrumque sibi ipsum aequabiliter, permeat. adparet igi-tur, eandem habere rationem AA:AE, quam nous QKZ

cum toto ambitu circuliad arcum 0K H cum totoambitu circuli [prop. 2].

et eodem modo de-monstrabimus, etiam siad spiralem tertia cir-cumuolutioue descriptamlineae ducuntur, cas ean-dem inter se rationemhabituas esse, quam ar-

cns, quos significauimus, cum toto ambitu circuli bissumpto. et eodem modo etiam lineae ad ceteras spi-rales ductae eandem rationem habere demonstrabun-tu, quam arcus, quos significauimus, cum toto ambitucirculi toties sumpto, quoties indicat numerus unominor [numero] circumactionum, etiam si altera linea-mm ductarum in terminum spiralis incidat.

XVI.

Si spiralem prima circumactione descriptam linearecta contingit, et a puncto tactionis ad punctum,quod principium spiralis est, linea recta ducitur, an-gnli, quos linea contingens cum linea ad eam ducta.efficit, inaequales erunt, et angulus, qui in praeocedentibus est, obtusus erit, angulus autem, qui insequentibus est, acutus.

ait spiralis, in qua sinh puncta A, B, F, A, G), primacircumactione descripta. et sit punctum A.principium

20

25

64 IIEPI 11mn.doxa? 1&9 51.4209, à 6è de 5605m (i916: zig mpupopüg,8 ra «945’509 ZWOQ 6 0K H. àmqbavs’rœ 63’ us- 5133m

ypappà tüg 31m0; à E412 muât r6 A, and du?) 1’017A du! 16 A Énetsüzâœ à AA. ôemrs’ov, du à Al

un) tût: AA damans! avocat yœvûw.yeypoîœfim 21511.09 ô ATN 3:59:99) ph: t9? A,

ôzuo’rfipan 6è 195

AA. àvayuai’ov M]

1:06:01; r01? x6210!)du! 1th! à! roî’g ago-

ayovpévmg aspa-(ps’puav êwôg utrum

1&9 511.309, 1&1: dë

à: rots 51051531onénôg ôbà 1:6 1&1:

&azô 1:05 A and 1&1:

51m0: mammouthaffluât: 1&9 pèv à!10179 apoayovue’vmç

(1546an alitez: 1&9 AA, 1&3 6è à: tors êzopévozçÊÂœGGô’Wxç. du ah: 015v à yœvüx à nepcsxope’iga in?)

1:51: A4, dz 06x êo’zw dicta, 6731011, ëazuôîy autan:

gal 1:59 101": fiumwcllov. du 6è 6966: 03x En, 65m-is’ov oümg’ gâta) 7&9, et 6011411611, demi. à 524m

EAZ ëmzpaüu 1:05 ATN 115x101). ôwarôv M ému!(in?) 1:05 A «napalm! sôôsïaw azor). 1&1: énwaüovo’av,

«561:5 1&1! pastaga) 1&9 Emdmvoüoag ml 1&9 1:05 115x100

nepcqaegelœg 515mm: and. du: à; 1:05 xêwpov 1:05cabalai: Éloîo’dova 1.6701: 515w 1:05, 31: 5st à peut!)

.2. nomme ou F. 3. AEZ F, nulgo. 7. 11,5] :9? To-rellius. 10. 1&1] tu F; con. BC.* «naniserois F,

DE LINEIS SPIRALIBUS. 65spiralis, linea autem A6 principium circumactionis,et primus circulus 0K H. contingat autem linea rectaE112 spiralem in puncto A, et a puncto A ad Aducatur linea AA. demonstrandum, lineam Al cumlinea A4 obtusum ongulum effieere.

describatur circulas ATN, cuius centrum ait A,radius autem AA. itaque necesse est, huius circuliambitum, qui in praecedentibus est, intra spiraJemcadere, qui in sequentibus est, extra, quia lineaerab A ad spiralem ductarum quae in praecedentibussunt, maiores surit linea zizi, quae in sequentibussunt, minores. angulum igitur lineis 11.4, Al com-prehensum scutum non esse, adparet, cum maior sitangulo semicirculi. 1) rectum uero cum non esse, itademonstrandum est: sit enim, si fieri potest, rectus.itaque linea Ed Z circulum ATN contingit [Eucl.HI, 16 uôocdpa]. fieri igitur potest, ut ab A lineaad lineam conüngentem ducatur, ita ut linea. intercontingentem’ et ambitum circuli posita ad radiumcirculi minorem rationem habeat, quam habet arcusinter punctum tactionis et lineam ad contingentem

1) H. e. angulo inter lineam A41 et arcum APT com-rehenso, qui maior est quolibet acuto angulo rectilineo (Eucl.

16); quare cum hic angulus pars ait au uli AAZ, adparet,hune scutum certe non esse (Eucl. I nom. 51W. 9).

nulgo. 18. raffinent F. 22. un A4 Z F, unlgo. 23.0901; F; con. Torellius. 24. 05:00;] pet compendium pauloinsolentins scriptum F; 51 B, ed. Basil., Torellius. 094M. ilF; con. Torellius. 26. 021:6] ni F.

Archîmedes, cd. nanars. n. 5

66 HEP! mu.mais dupé; and mais atonauanoüdag «comique: nov), 143w

damnai: gasozqaæ’puav. noumans’rœ 6;; à AI. tapertu) «ôtât du! "tu gluau and: 16 A, 143w 0è 1:05 4N Tmotœs’gem’u mîxlov aunât zô P. aux! fixé-m à PI 513-

5 acta azor). du: A P üdddova 1670 r06, 31: fixez à 4Pangupëpsm azor! du: 4N T ausçaqae’pewv. and 31a 52m:à 14 azor), 16cv 4P ËÂÉGGO’WI 1167m: 515L, fi à P4N T

1.5qu25225441 and. du; 4N T «sotqaépemv, 10015317411 duEn; à 2H K 0 nepzqzêçeux azor) nia! H K Q nepups’peuw.

10 du 6è à ZHKG) napzméçeca and, 143w HKÛ aragn-(péouow, 1017101: 5160 à 44 569m: and, tàv’A 4. ds-ôætxml, 7&9 1051:0. 67.4226601105 634m 1.6701: au à AI

and 1&1! 4P, fiang à 4.4 nazi fà’v 44’ 3159 aidai-mnov. [au yàp à P4 in; A4. 01’»: «2’90: inti: 6986:

16 à usgzszops’vu in?) tâta A4, 4 Z. ôeôeixwz dé, duoôôè 655m3 «influiez âge: écriai. 6561:5 à lama? ôâeïé

écura. (malins dt 684011651411, zut 5l au à ënnpmi-ovoœ anis 511.109 zani; 1:6 adonis ëaudmtîy, du 1:6 miroavpfindérm.

20 LÇ’.Kart 1’0va et aux 1:07; à: 1:9": ôevte’ççz zepcçooê

yeypapys’vag 51m0; àmapaüy à 513mm, to «me, 614kfindëmz.

êmapavërœ 7&9 à EZ 5665m 1&3 à; 1:9? 651!!!qu25 1594412099? yeygayps’vqg 511mo; nard: to 4, ami tà 5Mo;

rà mirât rots «9615901! narsdusvoîdôœ. 6905009 ô?) 1&9

1:05 PN 4 zeçzœeçelaç zoulou tôt ph! ëv 150173 azooœyov-

1. atomiseur] scripsi; mpupspewc F, nulgo. 6. 4TNTorellius. 9. HKO H supra scri tum manu 2 F. 14.A4] 44, page)» 6è a: Id mais A11 ommandinus, Torellius,Nizzius. 09077 F; cor-r. Torellius, ut p. 68 lin. 3, 4. 15.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 67ductam positus ad datum arcum [prop. 5]. ducaturigitur ad lineam contingentem linea AI. en. igitnrspiralem in puncto A, ambitum autem circuli 4NT1)in puncto P secabit. et sit PI: AP(4P:4NT.quare etiam IA : AP ( P4NT: 4NT’), h. e.(EHKû :HKÜ.3) sed ZHKQ: HKQ s: 44 :44.hoc enim demonstratum est [prop. 14]. itaque

AI:AP(AA:A4;quod fieri non potest. nam PA : A4 [et I A a AA][Eucl. V, 8]. itaque angulus lineis A4, 4 Z compre-hensus rectus non est. et demonstratum est, ne acu-tum quidem eum esse. itaque obtusus est. quarereliquus angulus acutus est. et eodem mode demon-strabitur, etiam si linea spiralem contingens in ter-mino contingat, idem futurum esse.

XVII.

Iam etiam si spiralem secunda circumactione de-scriptam linea contingit, idem futurum est.

contingat enim linea EZ spiralem secunda. circum-actione descriptam in puncto 4, et cetera eodem modo,que supra [prop. 16], comparentur. itaque, ut supra,es pars ambitus circuli PN 4, quae in praecedentibus

1m 1) Miras uerborum ordo lin. 3-4 defenditur simiîi locoI . 27.

2) Se. GUVÛ’EI’IŒL; Pappus V11, 46 p. 686.

3) NainP4NT: 4NT: L PAT (a 180°) : AAT (a 180°)

a ZHKQ : HKG (Eucl. V1, 33).

un per comp. F; corr. Torellius. A4Z F, uulgo. 65’]0m. F; corr. AB. 18. du] addidi; 0m. F, uulgo. 24. EZ]A Z F. 25. nsçzçoçç’ï] scripsi; nsçzqaoçug F, uulgo.

5*

68 1mm aman.pévou; raïs Eimoç êvrôg «caouanne, ni: 6è à: rots s’am-

pe’voaç émis. à 015v glanda à 15m3 1&1: A4, 4Z 01’521

Éo’zw 69602, &iià &uflial’a. fait» 7&9, et ôwarôv,

6904i. galvaudez da) à E Z mû PN 4 minima and:1:6 4. Élisa) dû ard-

iw azorl 143w t’au-apmiovdav à AI, ami

navire) du: (duSima nard: 16 X,«in! dt 1:06 PN 4fluxion negcqas’psmvaux-rôt to P." êxé’m

dt à PI azor) P4âiéao’ova iéyov ne, q

31: 515L à 4P aupz- t9259510: nazi. Sima ï

rôti; 1:05 4PN mixiov zsquas’ouow ami. [azorî] mais!4N T. 656559:11:54 7&9 1505150 ôwatôv 36v. scat diaâ’oa à I A «012 1&1: AP ëioîaaova iôyov 515L, fi à

20 P4N T atspupépua psû’ fiions zig son fluxion angu-(pspu’aç azozi mina 4 N T arspupéœmv "59’ dia; aïs q

105 minima neçaneçsiag. &ii’ 3U 515L iôyov à P4N T ànepcqæs’gua pefl’ ding :629 1017 4NTP minima aragn- q(pepsine; and ràv 4N T WEQLQËQEMI’II psô’ ding roi;

25 1:01? 4NTP minima neçzqaeou’œç, 1:05:01! 515L du: i6-7ov à ÆHKû EEQLÇDEIQSMX "50’ ding 1&9 1:05 mîxiov

araquasgeûxg mais QZHK azor! du! HKQ auspupépuavyaô’ ding 1&9 1:01? 82H K minima araquaeçsL’ag. 31;

6è iôyov ëzoarn ai 5615901: slçnpëvm mgrgasgsufm,

2. AAZ F, uulgo. 6. mais] tu F. 13. and] arecs petcamp. F; corr. Torellius. 17. nazi] deleo. In figura pro

DE LINEIS SPIRALIBUS. 69est, intra spiralem cadet, quae in sequentibus est, extra.angulus igitur lineis 44, 4Z comprehensns rectusnon est, sed obtusus. sit enim, si fieri potest, rectus.continget igitur linea E2 circulum PN4 in puncto4 [Eucl. III, 16 adonna]. rursus igitur ad lineamcontingentem ducatur linea. AI, et spiralem in punctoX, ambitum autem circuli PN 4 in puncto P secet.et sit PI: P4 ( 4P: 4PN1) 4- 4NT. nain damon-stratum est, hoc fieri passe [prop. 5]. quare erit [p. 67not. 2] IA : 4134 P4NT .1- 4PN: 4NT .1- 4PN.est autem

P4NT-i- 4NTP’) : 4NT-i-I4NTP:ZHKQ-I-ÔZHK’) :HKâ-i-ûEHK:XA:A4.

1) Significaui hoc modo ambitum totum circuli 4PN, ut -rursus h. pag. lin. 10 bis.

2) Fer 4NTP hoc loco idem significatur, quad supra pet4PN (u. net. 1).

3) H. e. totus ambitus circuli GZHK. proportio autemhoc modo sequitur: sit P4NT:- P,, 4NTP: 0, ANT- P,2’er :- p , 82111! :- c, HKO 15 erit igitur P :p:- 0: c (nuai v1, 33 11:69.; Zeitschr. f. tu, hist. Abth. 1mp. 181 nr. 14); uare P, -l- Cap, 2- c :- P gal; praetereaP:p:0:cet -l-C:p-I-c:- :p; sed ,:p,:P:pEn 67 net. 3). itague P -i-C’:pl -I-c-P-*-0:p-l-c, etruilé; P, -*-C:P-fi-d-p,-1-c:p-l-c, q. e. d.

9 in F est O. 26. «suçotement F. 29. nous": F; corr.Torellius.

5

10

15

20

70 IŒPI EAIKQN.roôtov 515L 16v 167011 à XA 515mm azor! 143w 11.4süûel’av. ôsôsùmu 7&9 10610. üéoaova âge: 1.67m:

Élu à IA nov! ràv AP, fi à AX azor! 1&1: 44’ 5259156157011011. [du phi 7&9 à Px! 1:9? Agi, Mitan! 6è àIA tais AX. 6511011 015v, 5m üpfllstd ému! à arqu-azopæ’vœ in?) du A4 dz. 0561:5 à lamât ôâetoî écu.

tà 6’ «151:3: dvpflqu’wz, un! et aux à êncùaüovaœ mû

zô négus 1&9 âmes êmwaôy.

HOPIEMA.(01105079 6è ôszxô’no’e’tm, ami et aux 1&9 à: 61014051!

negupopçî ysyçuyye’vag 5).ng 31140111513 rag-5685m, and

et un amuît 1:6 négus m’rrâg, 5m &m’o’ovg «cuida [rôts]

ymm’ag nazi ràv (in?) tés àtpâg êmÇevzôstaav éd du!

02918:1: mis 51mg, aux). tût! 51h: à: tory nçôayovpe’vmç ;

&yfllsïw, 1&1! 6è à! rots 511051.!va ôgsm.

n; .El un raïs 87.!,qu 1&9 à; mg": «9061:9: hepttpoçq’î ys-

yçœpps’vag 5133m ygaypà êmzpatîn une? 1:6 négus du;

glume, in?) 6è toi? dupent), 5 ëarw âne? n23 Emacs,zor’ 6906:3 (51023 us r9": 02919? 1&9 zeçzmoçù’g, à éraflant

avpnadshm 1:9? ëmwavoüo’ç, aux), à muât) aman; 1&9

ënwuvoüdaç and 1&9 üçzüg zig 3114qu tout 56655141;

të 106 2:96:01: minet; negcqaegsigz.fait» 51.1.8 a? 1131210, 56m 6è 1:6 A (musical àçzà F

3. à] (8.112.) 0m. F; con. Torellius. 4. un; F; corr. Torellius.à (bis) 1; F; con. Torellius, ut lin. 5, 6. 14;] m F; con.

orellins. 6. 1&9] 1129 F; con. Torellius. 1139151055591; F;corr. Torellius. 6. AAZ F, uulgo. 1mm; F; con. Torel-lius. 11. mgupooq’î] addidi; 0m. F, uulgo; "quacunque r9-uolutzliîoneu Cr. 12. rée] delco. 21. «emmena; F. a]0m. .

DE LINEIS SPIRALIBUIS. r 71

hoc enim demonstratum est [prop. 15]. quai-e eritIdzAP ( AX :114; quod fieri non potest. [namP4: AA, et I A)AX].1) adparet igitur, angu-lum lineis .44, 42 comprehensum obtusum esse?)quam reliquus angnlus soutras est. eadem autem eue-nient, etiam si linea contingens in termino spiraliscontigerit.

COROLLARIUM.

Eodem autem modo demonstrabimus, etiam si spi-ralem quolibet circumactione descriptam linea aliquacontingat, etiam si in termino eius, inaequales eamangulos efl’ecturam esse cum linea a puncto tactionisad principium spiralis ducta, et anguhun in pras-cedentibus positum obtusum fore, qui in sequentibuspositus ait, acutum.’)

XVIII.Si spiralem prima circumactione descriptam linea.

recta. contigerit in termino spiralis, et a puncto, quodprincipium est spiralis, linea ad principium circum-actionis perpendicularis ducta. erit, linea [ita] ducta incontingentem incurret, et linea. inter contingentem etprincipium spiralis posita aequalis erit ambitui circuliprimi.

ait spiralis ABI’AG, et punctum A principium

l 1) Putnuerim, uerba [au (du lin. 4-râc AX lin. 5 sub-ditiua esse, cum quia. formas uulgares in cod. F hoc loco con-stante: traditae sont, tum quad Archimedes, si cansnm plane«lierre noluisset, hoc sine dubio non hoc loco. sed supra. p. 66,14, ubi louis tantum significatio additnr, fecîsset.

2) Nain ne mutas quidem est; u. p. 66 not. 1.8) Cfr. prop. 15 corollarium.

10

15

20

72 . IlEPI maman.1&9 511x09, à 0è 84 791111148: 02913: 1:53 1691920969, ôà 6H K 111511110; ô 11905109. âmwœve’rœ 63’ a; ni;

32.11109 and: rô 0, à 82, and «me» 1’015 4 51010 1:01’

ôçôàç a? 64 à 4Z. 00111156511111, 61) 01131:6: 110111611:

02, 31151 ai Z0, 04 ôâetow 7min 1150115101111. dup-mms’rm une? 16 Z. 681.1105011, 31:1 à Z4 l’au 13011qu1017 OKH 1115111011 1159101595101.

si yàç mi, firor gelée-w 30121: fi êléaamv. 56mnpôtegov, et 6011011611, gemma 51.415012 (M zwa sébum:

0&1: 44 1&9 phi 24 513351019 514660005, 1&9 6è 1:05

(QHK 111511101: 11591015051211; petçovu. 561w ôù 11151110;

us 6 âHK, 110:2 6’11 1:95 111511190 ygaypà 3102661011 1&9 1

611110515901! à QH, 110d 116709, 311 5st à g4 101:2 44,11,15km! 1013, 31: 5151, à 151116510: 15g H0 11011 1:43:11 duo

1:01? 4 110205101: 31’ 01151311: 0271115310511, 616:1 au! 1013, 31!

5151. à (1)4 11011 4Z. 6111101001: 0151: ému 0271:0 1017 Anouflalsïv 11:01:). 1&0 ëxflefilnpa’vm’ 1&1: 4N, 1561:6 du:

(1510:5) 1:59 «commodats aux! 1&9 514351311111!an du: N P11:01:! 0P 1:61: «15101: 515w 1.67011, 311 à Q4 «01:1 du!

44. sa 01511 à NP ami 1&1: P4 1.67011, 311 à 8P513mm 101?. 113w 44. à 6è 0P 11:00) 1:13:11 44 éléa-aova 1.6700 5151., à 0P 1150191595101 1100?. du; 1017

3. 1:06] 1:00: per comp. F; con. V. 5. 25011100041 F;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 73spiralis ait, linea autem Q4 principium circumactionis,circulus autem ÛHK primus. contingat autem [linea]aliqua 92 spiralem in puncto (a), et a puncto 4 adlineam 04 perpendicularis ducatur linea 42. sa igi-tnr in lineam 02 inenrret, quoniam lineae 20, 04scutum angulum eomprehendunt [prop. 16; tum u.Eucl. I ah. 5]. incidat in eam in puncto 2. damon-strsndum, lineam 24 aequalem esse ambitui circuli

GKH. .nem si aequalis non est, sut maior est sut minonsit prias, si fieri potest, maior. sumpsi igitur lineamaliquam 44 minorem linea. 24, maiorem autem amb-itu circuli QHK [prop. 4]. itaque datas est circulusquidam GHK, et in circule linea ÜH miner diametrol),et ratio 04 : 44 maior en, quam habet dimidia lineaH9 ad lineam a puncto 4 ad eam perpendicularemductam, quia. en. quoque minor est, quam habet

Û4 : 42.’)

fieri igitur potest, ut ab 4 ad lineam productam 4 Nlinea ducatur, ita ut sit N P: 0P a: 84 : 44 [prop. 7].erit igitur NP: P4 :013: 44.3) sed linea 0P ad44 minorem rationem habet, quam arcus 6P ad amb-

1) Nain 82, spiralem contingens, extra eam cadet, necper punctum A transire potest; tutu n. Eucl. III, 7.

2) Nam 44 ) 24 (tum u. Eucl. V, 8 . Et si ducitur li-nea ab A ad H 8 perpendicularis, eam in uas partes aequalessecabit (Eucl. 111, 3), et efficietur triangulus similis triangulo402 (Eucl. V1, 8); tum n. Eucl. V1, 4.

3) Nam 511021145: NP: 94 a 8P:44, et 94 a P4.

con. Torellius. 13. and] «on; par comp. F; con. V (? u.Torellius p. 236 e), ut lin. 16. 17. suiv] (prias) un un: F;con. D. 19. 11:01:). 1&0 6P 5130217010 dubitans Nizzius.

10

15

20

74 1mm 11mn.011K 1115111011 11591615951011). à (du 7&9 0P 5130111:6105660311 561?. 1&9 8P 115911p5951’aç, â 6è 44 5150511:

1&9 1017 0H K 116111011 11591915951019 guigna 5115660711

061: 167’011 5251 and, à NP 11011 P4, fi à 8P 11591-91159510: 11012 113w 101": GHK 1115111011 11591915951011. au)

3101 .0151! à N4 1101:1 1&1! 4P sudation; 16y1w E151,171159 à 8P 11591911595111 (.150’ 51019 115g 1017 111511101:

1159161595611; 11011. 113w 1017 8H K 116111011 11591949511111.

31: ôè 16y011 5151. à 0P 159191595111 115W 51119 1&9 1017

ÛHK 11611101: 11591925951019 11012 113w 105 ûHK 11611100

115911p5’9511w, 1015101: 5151 à X4 11011 1&1: 48. da-ôeùmxl. 7&9 101310. 5105660110: 51’901 16701! 5151. à N4

11:01! 1&1: 4P, 171159 à X4 1101?. 10211 40’ 31159 12615-

11011011. à p.11; 7’619 N4 mitan: 15611 1&9 4X, à 614P [du du! 11,1" 84. 01’111 61’901 115mm: à 24 151g 1013 t

1115111011 115919595lag 1017 811K.

5111m 611 11611.11, 51’ 6111011611, 510266011: à 24 151g

1017 GHK 1115111011 11591615956019 510113011 611 11.1101 56- i051’011! 111211.11 1&1: 44 1&g 1.1351 42 1151201111, 1âg 6è 1017

GHK 1115111011 11591915956019 31026601111, un! 131’710 122116 1017

Q 1&1: 6M 11119611111011 11; 4 2. 110211.11 0151 1161110;E111: ô ÛHK, 11011 à: 016115 1316660111 7912111161 1&9 ôta-

115’1901) à 9H, 11a! 61’110: 3111111016011611 101") 1115111011 m1131

1è 0, aux! 16709, 311 5151. à 40 1101?. 1&1: 44, 51056di

1. 611K] 9H F; con. Torellius. 4. 1101i] 1190s percamp. F; con. V0). 11. 1&1 40] Torellius; 1011 comp.)46 F, uulgo. 12. 50a] 0m. F; com AB. 17. 10’ ; 0m. t1111130, .sed infra pro prop. 19 in Cr. est prop. 20, et sic dein- tceps. 19. 1171 F; con. Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 75itum circuli 611K. nam linea 0P minor est arcu8P, et linea AA maior ambitu circuli ÜHK [ex hy-pothesi]. quare etiam linea N P ad FA minorem ra-tionem habebit, quam arcus 6P ad ambitum circuliOHK. itaque etiam tota linea NA ad lineam APminorem rationem habet, quam amas 0P cum totoambitu circuli ad ambitum circuli OHKÈ) sed quamrationem habet arcus 0P cum toto ambitu circuliOHK ad ambitum circuli OHK, eam habet XAulÛ.hoc enim demonstratum est [prop. 15]. quam eritNA:AP(XA:AO; quod fieri non patent. 1mmNA) AX, et AP- 84. quam linea. ZA maior nonerit ambitu circuli 8H K.

rursus, si fieri potest, linea Z11 mînor ait ambitucirculi QHK. sumpsi igitur rursus lineam quandam411 linea AZ maiorem, ambitu autem circuli ûHK

minorem [prop. 4], et a puncto 01men A Z parallelamduce lineam 0M rursus igitur datus est circulas 8H K,et in eo linea diamatro minor QH [p. 73 not. 1], et8.15.8 linea [ÜM] circulum in puncto 8 contingens[Eucl. III, 16 369.], et ratio ,40 z 1111 minor ca, quam

1) Se. avrôt’nz; u. p. 67 not. 2.

10

15

76 1mm EAIKQN.1017, 311 5x51 à 1111165101 1&9 HÜ «01:1 1&1! 0211:6 roi A

néôetov ën’ «1313211 027116110111, 51:51.6?) and mû, 312 5181

à (9A and AZ, 0.1226611711 1561:1. 601101161: 01’111 Éfizw

«i116 mû A &yœysl’v du; AH «et! 113w êmrpaüovdav,

15015 1&1! PN 1&1: (15:42:51) raïs à: 193 116111.92 56mm;

and 1&9 negawsgelag and du: fifi ànolaqnôetdav dabzig êmzpavoüaag 7061011 ëxaw 1611 1.67011, 311 fixez à8A 1101:1. 1&1: AA. 151.1517 à) à AH du! 11è» 1115111011

amuît 1:6 P, 1’611: 6è 4’57.an muât zô X. and 5851 aux!

âvaMàê 1:61: «131612 lôyov à NP «ou! PA, 31: à 0H

«et! AA. à 6è 9H «oïl 113w AA neigeux 1.65201; 51a, dî] à QP nepupe’pua’ 101?, 156w :013 011K 111511101) atem-

(pe’psmv. à uèv 7&9 0H 51505170: y51211111 à)?! aïs 6P 1napupeçetag, à ôê A11 1.3110266001: 1&9 1017 QHK 111511101:

11591915955123. (tatoua: 51’911 116701! 5151. à NP 11:01:) du!

AP, fi à 6P 11159192159611: 11:01:) 1&1) 7017 OHK 111511101:neçLps’çeaav. 03’615 aux). à PA nov). 1&1: AN pEIÎÇOWC

lôyov 5151, fi à c015 ÛHK 1115111101; nepzçve’psm and

113w GKP nepupb’guaw. 311 6è 16701: 5151, à 1017 QHK

20 1115111101) negupe’pam 11501:1 1&1! ÛKP mpups’psmv, 1:05-

:01: 5x51. à 0A 51305122: nazi 1&1: AX. 656515111011 7&9 Ï

105m. pagaya 59a 1.6701: 5151. à PA au) 1&1; AN,13 à 6A «et! 16111 AX’ 51:59 0261511011011. 015x 51’911

palgmv 511le oôôè 510566031: à ZA 1&9 1015 QHK mî-25 111.01) nepzqæçeiœg’ l’au 51’901.

3. nazi] noce En camp. F; con. V(?), nt’lin. 10, 11 (priai).181.].9HK] GNK ; con. manu: 2. 25. un] F; com To-re me.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 77habet dimidia linea H0 ad lineam a puncto A adeam perpendicularem ductam, quoniam minor est ea,quam habet 0A : Al [p. 73 net. 2]. fieri igitur pot-est, ut ab A ducatur linea AH ad lineam contingen-tem, ita ut ait PN: fifi: 0A : AA [prop. 8]. ita-que linea AH circulum in puncto P secabit, spiralemautem in puncto X. et etiam uicissim erit [Eucl. V,16] NPzPAl) : 0H: AA. linea autem 9H ad AAmaiorem rationem habet, quam arcus 9P ad ambitumcirculi GHK; nam linea 811 maior est arcu ÜP’),et AA minor ambitu circuli &H K [ex hypothesi].itaque maiorem rationem habet N P: AP, quam nous8P ad ambitum circuli 011K. quare etiam PA:NAmaiorem rationem habet, quam ambitus circuli GHKad arcum âKR’) sed quam rationem habet ambituscirculi QHK ad arcum GKP, eam habet 0A :AX,

.hoc enim demonstratum est [prop. 14]. erit igiturPA: AN n 0A : AX; quod fieri non potestf) itaquelinea ZA neque maior est neque miner ambitu cir-culi âHK. itague aequalis est.

1) Nam FA .-. 94.2) Si ducitur H11, erit H114- H9 maior arcu H9 (de

spb. et cyl. I lapfi. 2 . 8); sed HII -I- I1 O: 29H (Zeitschr.f. Math, hist. Abth. gXlV p. 181 nr. 15), et arcus

H9 :- 29P): 9H) 9P.3) Nam nîwoînalw est AP : NP ( OHK : 9P (Pappus VIL

49 p. 688), et &vucrçs’qpavn AP: AN ) 9H K : OKP (PappusV11, 4s p. 686). .

4) PA a 9A, et ANb AX; tum u. Eucl. V, 8.

10

15

20

25

78 1mm muras.10’.

El 65’ 11a 115g 511 19? 651116991 1159161099": 75119611661101;

57.11103 1m16: 16 115’901g 6111111111511 5605m, «(Il 02116 1&9

àpzüg 1&9 52.11109 dzflfi 119 1101’ ô9ôàg 19? 02916 1&9

11:59an09519, 61411156561011 011316 1101?. 1611 énz1pa150v6a11,

111:2 56656161 à 51505170: à 11.511186 1&9 31116161106669 au).

1&9 â9zâg 1&9 32.11109 61111.66la 1&9 105 6511159011 1:15-

xÂov 11591112595Jag.

56101 7&9 à 9&1 ABFQ 51.1.5 5’11 19? 11905113: 11591.-

(po9qÎ 71579611116116, à 66 âET 5’11 19? 65016991, 11012 6

11611 ÜKH 111511109 6 11905109, 6 66 TMN ô 651515909.56100 65’ 119 71904111161 51111116150066 1&9 51111109 1m16 16

0, à TZ, à 6è ZA 1101’ 6966m 61’191» 1g? TA. 61111--

11565K1œl. 61) 016161 191" TZ 6161 1:6 6565(10411 16111 711611150111

ôësïav 601760111 16:11 6116 16211 AT, TZ. 6511115011, 51L

à ZA 51319516 61111016121 611d rôts 1013 TMN 1115111011,

11591615955019

si 71619 1.115 5’611 611111161511, 61’101 1151111111 561111 13 61-

11111650; fi 5102660011 661211 13 611110161511. 561cc 1196159011,

5l 6111161611, 11.5[Çaw fi 6111101656. nul 152.0211206) ne 513-

6m: à AA 1&9 11611 ZA 5605(019 616660111, 1&9 661013TMN 1113x1011 1159161595Kag 115412011 î) 6111141656. 561w61) 11.9 111511109 6 TMN, 11012 5’11 195 1115111913 11901114161 65-

601161101 6102666111 1629 610111569011 à TN, aux), 611 6’151. à

TA 1101Z 1611 AA, (15550111 1:06, 311 6151 à épiant): 1&9TN 1m12 16111 02116 106 A 1103951011 5’11’ 1161611 chopé-

11u11. 61111111611 0611 361,111 12116 1017 A 11011611151711 16111

A Z 1101?. 1611 TN êxflsfllnpæ’vav 03’615 1611 11510151 1&9

l. 11’ F. 2. au] seripsi; une: F, uulgo; de]. Nizzius.3. 511111161101 F; con. Torellius. 5. 6011115651161 F. 7. «au;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 79XIX.

Sin spiralem secunda circumactione descriptamtermine contingit linea, et a. principio spiralis lineaad principium circumactionis perpendicularis ducitur,ea in lineam contingentem incidet, et linea inter con-tingentem et principium spiralis posita duplo maiorerit ambitu circuli secundi.

nam spiralis A B F0 prima circumactione descripta.ait, ÜET autem secunda, et circulus ÛKH primusait, TMN autem secundus. .et linea aliqua TZ spi-ralem contingat in puncto 9, et linea ZA ad lineamTA perpendicularis ducatur. en. igitur in lineam TZincidet, quia. demonstratum est, angulum lineis AT,TZ comprehensum acutum esse [prop. l7]. damon-strandum, lineam ZA duplo maiorem esse ambitu cir-auli TMN.

nam si duplo maior non est, aut maior est autminer quam duplo major. ait prias, si. fieri potest,maior quam duplex. et aumatur linea AA minor quamîuplo maior linea 2A, sed maior quam duplo majormbitu circuli TMN [prop. 4]. itague datus est cir-aulus TMN, et in circula linea miner diametro, TN:p. 73 not. 1], et [ratio] TA:A11 maior en, quamhabet dimidia. linea TN ad lineam ab A ad eam per-pendicularem ductam [p. 73 not. 2]. fieri igitur pot-est, ut ab A linea A2 ad lineam TN productam ita

un tu; F; con. B. 14. 61j] scripsi; a; F, uulgo. mirai]imine; sa and F, uulgo. 15. 0mm: F, uulgo. 1:50] 1:an

Der comp. F; con. V. ATZ F, uulgo. 23. nappa? 6800-"É1u] scripai; ysyeappsva F, uulgo; nappai B; ,,1inea (la idCr. 24. Ëzer. 7.6707 BOD, ed. BasiL, Torellius (nou 0*).

80 IIEPI EALKQN.nepupagelaç aux), 165g éxfisfilnm’vag 1&1! P2 azor), 16cv

TP 16v afitôv 515w lôyov, 3v à TA and 1:49:11 AA.«égal? 61) à A2 16v ph; 541520.01: muât zô P, 143w ôà

31.an azurât 1:6 X. aux). Évallàë 16v m’rrôv 555L 1.67m!

.6 à P2 7:01), 1&1! TA, 311 à TP azor! du! AA. à 6èTP amuï tàv 1111 ëÂoîdfiova 1671011 au, fi à TP aragn-

tpa’pem amuï, 1&1: (immolai; 1:05 TMN uüxlov moz-(pe’puav. fanal 7&9 à (LEV TP» aûûsùx êÂédev raïs

TP nsgtqasgsfag, à 6è .411 sôflata neiger!) fi ôtatlao’lfa’10 niés 1:05 TMN mîxlov WEQLÇDEQGL’ŒQ. üa’ddova âge; d

167011 è’xu à P2 «:012 1&1: AP, fi à TP mgupëpataun! 1&1: ômlao’c’av tâg 1:05 TMN mîuÂov nsçzqzsgu’ag.

31a 01511 à 2A and 1&1! AP guidant! lôyov 515L, fià TP nepccpa’gem pali 1&9 toi) TMN ondulai) nept-

15 4125955059 ôlg signyévag azor). ràv mû TMN «indounegcqae’gsmv (il; sigqpe’vav. 31; 6è Nylon! 51012171. ai

donnante mgnpegelm, roüzov 515L tôv 167’011 à XAnazi 158w AT. ôeôslxrm 7&9 101710. ëÂoîddova âge: 1167011 5x51, à A2 7:01) tàv AP, fi à X11 and tà’u TA’ 1

:2 20 5159 4561511005011. 015x 65’901 païen: Ëdtîv fi 641110:61:12 à ;

2. 515L F; corr. B. 7. Jmlaoïa F. TMN] MN F; ï

i

DE LINEIS SPIRALIBUS. 81ducatur, ut sit P2: TP:-- TA : AA. 112 igitur cir-culum in puncto P secabit, spiralem autem in puncto X.et uicissim erit [Eucl. V, 16]: P2: TA --- TP: AA.sed ratio TP:A11 miner est ea, quam habet arcus TPad duplicem ambitum circuli TMN. nam linea TPminor est mon TP, et linea AA maior quam duplomaior ambitu circuli TMN. quare linea P2 ad API)minorem rationem habet, quam arcus TP ad dupli-cem ambitum circuli TMN. itaque tota linea 2.41lad AP minorem rationem habet, quam arcus TP cumambitu circuli TMN bis numerato ad ambitum cir-culi TMN bis numeratum.’) sed quam rationem ha-bent ambitus, quos significauimus, eam habet XA : A T.hoc enim demonstratum est?) itaque

A2:AP2XA: TA;quod fieri non potestf) itague linea ZA maie: non

1) Nain A P a AT.2) Se. aurifiant; u. p. 67 not. 2.3) Prop. 15; hoc loco altera linea in terminum spiralis

cadit; sed hoc nihil ad demonstrationem refene, diserte dictumest prop. 14 p. 60, 6 et 15 coroll. p. 62, 15. tum arcus a lineaad terminum spiralis uersus abscisus nullus est.

4) Nam A2) XA et AP: TA; tum u. Eucl. V, 8.

M ed. Basi1., uulgo; con. Torellius. 14. 1:05] addidi; 0m.F, uulgo. 15. eünppÉ’uuç et lin. 16 sllnpuévav Torellius.16. szovo’w F, uulgo. 19. A? fi à X11 and mir repetunturin F.

Archimedes, Ed. Heiberg. Il. 6

5

10

15

20

25

32 nm EAIKQN.ZA 5605m tâç 1017 TM N zoulou nommait; 611010796è ôstônae’taa, ("in oôôè adam: fi maladive ôfilov015v, (in (haletait: ào’u’v.

HOPIEMA.6L3: 6è 1:05 «15:06 196mo ôemre’ov, and et au 1:63

à: ônmgzoûv «coupage? ysygapye’vaç 51mg émané!)

mg 61305470: muât 1:6 négus 17529 âmes, aux), ànô 1:59

159x07; 1&9 Shows nor’ 69043:9 àzôetda 197 02914,52 aïs

napzçaogâg 514mm" 150121:43:11 émûaüovdow, 5m noua-

nÂaGla 8’612 1&9 1013 mîmlov neptqnsgsiag r05 zani1:61! (590941131: mais negztpopüg leyops’vov 1:95 «6193àçtôpçô.

Iu .

El me tâç glaces tâg à; :9? 15905:9; mgzqaopqî ys-yçumœ’vag 51305470: ypaupà ëmzpwôy m) nard: 1:6 m’ont;

aïs 51on5, 0211:6 6è tâg âcpâg 52:2 113w 02918:1! 1&3 Sh-

xog 515135111 ëmÇsvzûfi, nul ue’vtgçæ ph» 197 0291:; tâç

Elmog, ôzao’njpan 6è tu": émÇsvzôsffiç 3515241109 79:29:17,

a’mô 6è 1:62; 0291629 tâg 51;qu 0211917 tu; noz’ ôgôàg 1g?

&nô 1&9 âtpâg gui ràv 02916:1: zâç ümog s’mÇevzôaldç,

avymau’raa 0:61:02 and 1:19:11 ëanaüovdav, aux). écacha»

à gantât) 8635m raïs n dupant-6mm and 1&5 02915:;aïs 51mg [du ré? nsçaqasgelgt mû ypaqæ’vtog mixiov19": (as-vagi: zoïs- âqaâg nazi mais topais, mô’ 62v vélum

ô ygatpeîg xüxÂog tàv 02918:1: 10?; negLœopâg, ênl rôt

9. au] Nizzius; 0m. F, uulgo. 13. ua’ F 19. té]0m. F; corr. ABC. Initio prop. 20 spatium 118.08! in F. 2l.ëaasttab] cumula F. 22. avpntœ’o’mç] scripsij cvpnyœgwg F,:353. 24. 1:9] tu; F; corr. B man. 2*. au] Bcanl; o F,

DE LINEIS SPIRALIBUS. 83est quam duplo maior ambitu circuli T.MN. et si-militer demonstrabimus, eam ne minorem quidem essequam duplo maiorem. adparet igitur, eam duplo ma.-iorem esse.

COROLLARIUM.

Eodem modo demonstrandum, etiam si spiralemqualibet circumactione descriptam linea in terminespiralis contingat, et a principio spiralis linea. adprincipium circumactionis perpendicularis ducatur etin contingentem incidat, eam toties multiplicem essequam ambitum circuli ex numero circumactionis nomi-nati, quoties indicet idem numerus!)

XX.

Si spiralem prima circumactione descriptam rectalinea contingit extra terminum spiralis, et a punctotactionis ad principium spiralis linea ducitur, et de-scribitur circulus, cuius centrum est principium spira-lis, radius autem linea ducta, et a principio spiralislinea ducitur ad lineam a. puncto tactionis ad prin-cipium spiralis ductam perpendicularis, sa. in lineamconüngentem incidet, et linea inter punctum concur-sionis et principium spiralis posita aequalis erit am-bitui circuli descripti inter punctum tactionis et sec-tionem posito, in qua. circulus descriptus principium

1) Cfr. prop. 15 coroll. et prop. 17 coroll.

6*

10

15

20

34 nm 11mn.ngoayoüuevœ layfiavoye’vaç zàg mannequin; ne zoéaupaz’ov zoô à; zig? 02919? zâç nsçiqaoéâg.

faro) SALE, àp’ ois à ABFA, év zig"; n9aizqz nagi-(pogq? yeypamië’ua, nui énupave’zœ zig œûzâg 51305470: à

EAZ xazà zô A, vina 6è zoü A nazi zàv dgzàv zâç51m0; ëneçsüxôoo à A4, ami 3:65szch (zizi zçî A, ôta-

dzfipau 6è zçô AA xüxlog 75790292190) ô AMN. za-lwe’zm ô’ oôzog zàv àgxàv zâg nepupogâg xazà zè K.

5511907 6è à ZA nazi zàv AA 6900Z. fin (Liv 05vuôzà dvpninzsi nazi zàv ZA, âfilov’ 5m 6è ami [au5’6in à ZA 51506170: zq? K MN A negupspu’çz, ôemzs’ov.

si 7&9 (ni, fin; usiÇœv s’fiziv 1"; fléchirai]. 56m,et ôvvazo’v, npôzspov (1,555011). lôÂdç’Üü) dé zig à 11A

zâg (Liv ZA 566515419 êÂdGaaw, zâg 6è K .MN A néot-

tpegu’ag (15126011. ndlw dû Mm; ëdziv ô K MN, naît

à: te; 5:15:49) 791114145! ëldo’amv zig ôtaya’zgov à AN,

nui 16709, 311 515L à AA nazi AA 145121312 zoû, 3111518L à finitiste: zâg AN nazi zàv 022:6 zoô A xéôszovën’ aûzàv àype’vav. ôvvazôv 015v :56sz lino zoû A a

nozzfialsi’v zàv AE nazi zàv N A êufiefilnps’vav, 45618

zàv EP nazi zàv AP zôv aôzôv 515w 1.67011, 312 dAA nazi zàv AA. ôsôu’uzai 7&9 zoôzo ôvvazôv 56v

1. nçoaypwa F, supra scripto compendio ou insolen 1

DE LINEIS SPIRALIBUS. 85circumactionis secat, ambitu a puncto in principiocircumactianis pasito ad praecedentia uersus sumpta.

sit spiralis, in qua. sit A BFA, prima circumactionedescripta, et eam contingat linea aliqua EAZ inpuncto A, et a puncto A ad principium spiralis du-catur AA, et describatur circulas AMN, cuius cen-trum sit A, radius autem AA. hic autem principiumcircumactianis in puncto K secet. et ducatur linea ZAad lineam A A perpendicularis. adparet igitur, eam inlineam ZA incidere [angulus enim A AZ acutus est;prop.16]. sed demonstrandum est, lineam ZA etimaequalem esse arcui KMN A.

nain si non est, aut maior est aut minor. sit prius,si fieri patest, maior. sumatur igitur linea AA minorlinea ZA, sed maior arcu K MN A [prop. 4]. rursusigitur datus est circulas K MN, et in circula lineaAN minor diametro [p. 73 nat.1], et ratio AAzAAmaior ea, quam habet dimidia linea AN ad lineam abA ad eam perpendicularem ductam [p. 73 not. 2].fieri igitur potest, ut ab A ducatur linea AE ad 1i-neam NA productam, ita ut sit EP:AP:AA :AA.1mm demonstratum est, hoc fieri passe [prop. 7]. quare

ducta; naauysvpeva ed. Basil. 3. nsaupogëz] Torellius; 0m.F, uulgo. 4. nazi supra scriptum manu 1 F. 5. EAZ]Niuius; AEZ F, AEZ uulgo. 8. ovzœç F; con: Torellius.10. nazi zain: ZA] addidi; am. F, uulgo. 13. neutron-v F.M] scripsi; de F, uulgo. 17. nazi] ngoç per camp. F; cart.Torellius.

10

15

20

25

86 IIEPI EAIKSZN.gis» 0511 ami à EP nazi zàv AP zôv aôzôv 1.67011,311 à AP nazi zàv AA. à 6è AP nazi zêta A11élédaova layai; fixai, fi à AP nspups’çem nazi zàvKMA nsaups’pszav, ënæi à (Liv AP 5102664011 êazi zig

AP nepupapslaç, à ôi AA neigeux zâç KMA nagi-aimants. ëÂddaava 013v 1.6701! au à EP 51538170: naziPA, à AP nagiqæ’çsm nazi zain KMA WEQLÇJE’QGLMI.

(son nui à AE nazi AP êÂoZadowx 16701; 515L, fi àKMP flêQiÇËQSLÇ nazi zàv KMA naaicps’auav. 31;

6è 167011 515L à KMP nazi zàv KMA mgzqiëçuav,zœüzav glu à XA nazi AA. éléaaava fiant ÂôyovÉlu à EA nazi AP, fi à AX nazi AA’ ô’nep écria;

&ôv’vazov. 015x 59a pelte-av à ZA zée KMA negu-(peaelag. épata); ôi zotç npôzsgov daizôna’e’zai, (in

midi advenu; sam- laa 6290:.

HOPIEMA.duit dt zaû mirai) zgônov ôsixânas’zaz, nui si na

züg à! a; ôsvzê’mx nagupoag? yeyaapma’vag gimog ém-

zpouîy aûôsïœ un) nazi: zô négus zâg .91on9, zà 6è 55Mo:

zà mirai nazaausvadfls’wvzi, ô’zL à nuait) 51565170: à

nazi zàz ênupmîovaav avyninzovaa zâç ze amarrai-o’Log nui zâg émois zig 51m0; fait ëdziv 6’19: zçï zoô

yaaqis’vzog mîxlov nsaiaasaeiq: mi En zq’Z gantât) zaiv

stanuëvœv dapaimv, 0560515sz mais nsaiçsasi’ag lamie-

vopémxg. nazi si aux zâg à; ônozqcaûv ysyaaupe’vaç

naazœopqc” aimas ënnpaüy zig 513mm ("il nazi: zô né-

2. 0è AP] de A P F; carr. Torellius. 6. nazi nous petcamp. F; corr. Torellius, ut lin. 8, 9, 10, 11, 12 (]bis). 9.1’051: addidi; am. F, uulgo. 12. à EA] n E11 F; cart. To-rellius. à AX] à am. F. 15. un) F; cart. Torellius.20. uazuaus’uaarflsvzi F; corr. Torellius. à] (au) scripsi; un;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 87etiam erit [Eucl. V, 16] EP: AP: AP: AA.1) sedA P ad AA minorem rationem habet, quam arcus APad arcum K MA, quoniam linea AP miner est arcuAP, linea autem AA maior arcu KMA [ex hypa-thesi]. itague EP ad PA minorem rationem habet,quam arcus AP ad arcum KMA. quare etiam AEad AP minorem rationem habet, quam arcus K MPad arcum K MA?) sed quam rationem habet arcusKMP ad arcum KMA, eam habet XA:AA [prop. 14].erit igitur EA : AP( AX: AA; quad fieri non pot-est.3) guare linea ZA arcu K MA maior non est. et.eodem mode, qua supra, demanstrabimus, ne minoremquidem eam esse. itague aegualis est.

COROLLAEIUM.

Eodem autem modo demanstrabimus, etiam si spi-ralem secunda circumactione descriptam linea contingatextra terminum spiralis, et cetera eadem comparentur,lineam in contingentem incurrentem inter punctumconcursianis et principium spiralis comprehensam ae-qualem esse tati ambitui circuli descripti et prastereaarcui inter puncta, quae commemorauimus [p. 82, 24],comprehensa, arcu eodem modo sumpta. et etiam sispiralem qualibet circumactione descriptam linea can-tingat extra terminum spiralis, et cetera eadem cam-

1) Nam 4.1 a: AP.2) auvôém; u. p. 67 not. 2.3) Nam AP:- AA et EA n AX; tum u. Eucl. V, 8.

F, uulgo; am. B. 21. avuncnzaüaaç Torellius. zâç neouatâmes] addidi; am. F, uulgo. 22. and] ciné ed. Bas11.,Torellius. 26. nsaupoqac F; 001T. A.

10

15

88 HEPI EALKQN.pas zo’Zg glanas, zà 6è d’un: zà aôzà xazaa’xwadm’mvzi,

ô’zL à gazait) sôôaîa zaîv claque’vnw dapslaw noua-

nitrata zig éon zo’Eg zaü ypatpæ’vzag WÜKÂO’U manageât;

nantit zôv 511i ëldmîava (290951.61: 1:05, and), 311 ai nept-

(popai lsyôvzai, nui ëzi fait zig? pazaâù zaîv 5391111231011;

capeliez: agiota); lapfiavauæ’qu.

aux .

Aapfiâvovztx zô zozotai! zù neaiszôysvov 6nd nezâg 511mo; zâg à) zig"; nodal! nepupopêi ysypœmie’vaç

nui zâg édifiions zâg npaizag à; 1:9? cieux" zâg nagi-tpoaâg ôvvazôv 34m mai aôzô influa ânlnsôov nagi-yaaîzpou nui 65Mo âyyaoîtpat à; ôuOL’aw zonerai; dami-

usvav, :5st zô neazysyaayus’vov zoû âyysyaayus’vovperçai; d’un; êioîdaow navzôg zaû naozsôs’vzog papion

è’dzoo ÈME, étp’ ois à ABFA, à; zqî nonne; nagu-

(paaçî ysyaamie’va. fana 6è aimât (En; zâç glaças zô 6

capiston, dolai dt zâg nspupoaâg à ÛA, ô 6è nanzoç«1596109 ô ZHIA, ai ôiAH, ZI dmpa’zpoz mimi)noz’ 6986:; cinéma; deià) zâg ôpô’âç yœw’aç

65x05 zsuvaps’vag nui un?

zonâtes -zoü zôw 6988:1!

yœw’av neaiëzavzog Éd-

aei’zai zô nazalsznôpsvov

zaiî zoue’œg 510666011 zaü

ngozsôe’vzag. nui 56mysyavnps’vog ô zapsùgô

1. xazwuevaaûauœnz F. 4. ëvt] Torellius; 0m. F, uulgo.6. lapfiavapivq] scripsi; lappavopswc F, uulgo. 7. ufi’ F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 89parentur, lineam inter puncta, quae significauimus,comprehensam taties multiplicem esse quam ambitumcirculi descripti, quoties indicet numerus uno minarce, quo circumactiones nominentur, et praeterea aegua-lem [arcui] inter puncta, quae commemorauimus, ea-dem modo sumptod)

XXI.

Sumpta spatio comprehensa spirali prima circum-actione descripta et linea prima earum, quae in prin-cipia circumactionis sunt, fieri patest, ut circum hocspatium circumscribatur figura plana et alia inscriba-tur ex similibus sectoribus compositae, ita ut figuracircumscripta excedat inscriptam spatio minore, quamest quodlibet spatium datum.

Bit spiralis, in qua sit A BFA, prima circumactionedescripta. et principium spiralis sit punctum Û,principium autem circumactionis linea FA, et primascirculas ZHIA, et diametri AE,-Z1 inter se perpen-diculares. angulo igitur recta et sectore, qui rectumangulum camprehendit, semper deinceps in duae partesaequales diuisa, quae reliuquitur pars sectoris, [ali-quando] minor erit data spatio [Eucl. X, 1]. et artus

l) Cfr. prop. 15 coroll., prop. 17 coron.

8. langé-voua] lufidvza? 12. zonas? F; corr. Nizzius; idemHerba l5 ripaton zops’aw avyxslpsvav post nsaiyçéwaz collocat.20. noz’] naos per camp. F; corr. Torellius. «uniate F ad-dita compendio ou; supra 2.; corr. Torellius. 23. un 0940177F; con: Torellius. In figura ordo litterarmn turbatus est in F.

10

15

20

25

90 HEP! EAIKQN.AÛK élidons: zaü naozaôévzog zonation. diamantâm-

60W à) ai glandai ai ze’daacasg 690d de zaig [dansyearling zig? nspiszops’vq Ônô 1&1: A0, 0K, ami a! nai-0136m mais yawlag eüôeüu gaze nazi zàv 57.an 65’380)-

aaw. xwt)’ 3 d’à zanni sandow à 0K zain Sima, 56mzô A, nazi aiguage zç5 â, amarinant. ôi zçi 62A mincie;yeyaaîtpôœ. necez’zau d’à animai à luta; dg zai npoayoü-

(Lava: nepups’asia ëvzôg zâg âmes, ai ôi sis zà éné-

pLEvac émis. ysypaîcpfim à) ai napupe’peia, Seize un ava-

ns’ay zig? (9A zonai zô O, à 0M, ami zig? and: zàv 0Ksôôsïav nazi zaiv êïma nozznznzoüdqz. naüw dû Mi

uaô’ 3 n’avez zàv 51.an caneton à (0M, gaza) zô N,nazi us’vzpço zçô Q, ôLao’zfipazi 6è zçî ÛN minus ys-

yaaÉtpôœ, Seize ne: amande" à negups’paia zoô nandou

zig? (ûK nazi zaî gazai zàv FM nozznznzoüaaz nazi du!51mm agiotais 6è nazi ôtai zaiv dum; névzœv, xaz’62 zs’çwavzi zaiv Sima ai mais [dans ymm’ag naiaz’vaai,

maclai yayaaitpômaav xévzaç) 1:93 0, à"? du cannée!)ëxaîaza ai napiqæ’aua zig? ze naaayavpe’vç 51335159: nazi

a)? ’ânopévac. ëaaaizm dû zL nsai zô laçôiv zozotai!

nagiysyoœpus’vov ëg épioit-av zape’aw enneigeai)?! nui

62Mo âyyaypapps’vov. du dis zô nsaiyeyaamps’vav 61524541

zoû ëyyeypauus’vov luttai; 8’6sz êÂaîa’dom zoü nao-

zæfls’vzog xmpi’ov, ôsixônaa’zau. è’a’zw yàç ô (Liv QAO

zoysùg magne eMA, ô as 8N17 zaî eNP, a aiQX2 1:95 EX T, 56sz ôi nazi zain 651.11ch zopémv

2. dû aï] (in am! F; corr. B. 3. zaç neaaszopnozç F;corr. Torellius. 4. gaze nazi scripsi; sa "la une: F, uulgo;ëufis Mahatma Ëaz’ div muai orelhus. chômeur] B; «lûm-au , nulgo; 021005sz Torellius. 7. M] au F; corr. B”. nao-ayoæîpsva] scripsi; naoayœasva F; nqaayéps-ya uulgo. 8. n59;-(peanut F. 9. Fats un] scripsi; zazou (comp.) un! F, vulgo;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 91ait sector AÛK data spatio miner. diuidantur igituranguli recti guattuor in angulos si aequales, quilineis A6), (9K comprehenditur, et lineae angulosefficientes usgue ad spiralem producantur. punctumigitur, in guo linea (9K spiralem secat, ait A, et de-scribatur circulas, cuius centrum sit 0, radius autem0A. ea igitur pars ambitus eius, quae in praecedenti-bus est, intra spiralem cadet, quae in sequentibus est,extra. describatur igitur ambitus usgue eo, ut occurratet lineae ŒA in puncto O et lineae post 0K ad spi-ralem ductae, et sit 0M rursus igitur punctum, inque linea âM spiralem secat, sit N, et describaturcirculas, cuius centrum sit û, radius autem QN, usgueeo, ut ambitus circuli lineae EX et lineae post QMad spiralem ductae accurrat. et eodem modo etiampar cetera amnia puncta, in quibus lineae aequalesangulos efficientes spiralem secant, circuli describanturquorum centrum sit 6), usgue ea ut singuli ambituset praecedenti lineae et seguenti occurrant. itaguecircum spatium sumptum [figura] guaedam circum-scripta erit et alia inscripta ex similibus sectoribuscompositae. demonstrabimus autem, figuram circum-scriptam excedere inscriptam spatio minore, quamest datum spatium. est enim ŒAO : FM A,ONU: (’9NP, ÜX2: QXT, et ceterorum quoque

êaz’ dz B mg., Torellius. 11. nozznznzodaçz nazi: zô M To-rellius. 13. QN] QN supra scripta K manu 1, ut uidetur,F; 9K H C. 14. ne sa] scripsi; sarrau un (utrumque camp.)F; ëaz’ air B, Torellius (gui addit 0K). 15. zig": 6K] am.F; corr. B. 16. manif a Torellius. 19. imam; F; cart.Torellius. ngoayoapézç] scripisi; naauyapsza F, uulgo. 20.êaaslzm] scripsi; zazou par camp. F, uulgo. 21. neaiysyaap-pesos opina: Torellius. zonaient! F.

10

15

20

25

92 IIEPI EAIKQN.guanos zaiv à! 155 âyyeyaaqagae’va) opinant. taos zç5uowàv 5101m nievaàv zoner zaîw à! zçî nspiysyaapns’mp

opinant zoue’aov. Milan 05v, ô’zL ami nai’uzsg ai zonais

ndvzsddw i601. édaoüvzau. [60v â’au éaziv zô gable-

79uype’vov 61mm à) zai zaouia) zaî næpiyaypaupê’wp

neai zô papion opinant zœaig zoü ÛAK zops’œç. y6-

vog raie miras ad hiémal. zain à; zçî napiysyaaapéries Gzfipazi. ôfiiov 0131!, 5m zô nsaiysypappévovopina zoü êyysyoapmévov nattai; écu zou" AKét) zoner,3g êÂaÊo’aaw ëaziv zoô naozsfiêvzog.

HOPIEMA.

in zoüzov ôi (panada, (in demanda éon mai zôsigqps’vov xœalov 6164m, oiav sipzizau, 79021125141, «5m

zô naaiyayaappa’vov 61mm perçai; siam! zoô 1109500sudation navzôg zoü npozafle’vzog xœatov, nazi nâiwâyypaîcpsw, dione zô zeugma cipolins nattai; alitez zoüëyyampe’vzog axzjuazog ëldaaow navzôg zoü npozsrfis’v-

zog zozotai). infi’.

Aafiôvza zô zeugma; zô nagiezôpwov fini) zâg 5h-uog za’Zg Év zçî ôsvze’aaz negupopgî yeygappëvaç ami zig

sûflelag, à? écu ôsvze’pœ zâv à: zig? doxa? zâg Maupa-

pâg ôwazôv ëo’zi nsoi m’nô opina ênz’neôov néomé-

wau 5E, ôpolaw zoys’œv avyxu’ysvov nazi 5Mo êyyaaiwat,

dione zô nsoiygaupiv zoô ëyyoaupb’vzog ueîÇov sima

éléaaow navzôg zoü naozsôe’vzog zozotai).

4. saouvzm F, uulgo. 5. n35] (alterum) za F. 7. mi]addidi cum Nizzia; am. F, uulgo; Zélsinzai B. 9. "sitarBCD; partant F, uulgo. 14. EIfLEW] Torellius; swau pet camp. F yuulgo. 15. êiéaaoai] dans striez F; con. B. na). cum

DE LINEIS SPIRALIBUS. 93sectorum unusquisque earum, qui in figura. inscripta.saut, aequalis est sectori latus commune habenti eorum,qui in figura, circumscripta. sunt. adparet igitur, etiamomnes sectores omnibus aequales fore. itaque figuraspatio inscripta. aequalis est figurae circumscriptaepræter sectorem 69AK. hic enim solus non adsump-tus est eorum, qui in figura circumscripta. sunt.adparet igitur, figuram circumscriptam excedere in-scriptam sectore AKG), qui minor est spatio dato[ex hypothesi].

COROLLARIUM.

Hinc autem manifestum est, fieri posse, ut circumspatium, quod commemorauimus, figura. huiusmodi de-scribatur, ita. ut figura. circumscripta. spatium excedatspafiio minore, quam est quodlibet spatium datum, etrursus inscribatur, ita ut spatium eodem modo figuraminscriptam excedat spatio minore, quam est quodlibetdatum spatium.l)

XXII.Sumpto spatio comprehenso spirali secunda. circum-

actione descripta et linea secunda earum, quae inprincipio circumactionis sunt, fieri potest, ut circumid [spatium] figura plana. circumscribatur et alia in-scribatur ex similibus sectoribus compositae, ita utfigura circumscripta excedat inscriptam spatio minore,quam est quodlibet datum spatium.

1) Nam spatium mains est figura inscripta, minus uero cir-cumscripta.

camp. m: uel w F. 16. pu: cum comp. «w F. 19. wy’ F.20. 111:6 1:2 B, Torellius.

10

15

20

94 HEP! EAIKQN.En: ÈME, ëq)’ ois à ABI’AE, à; 19? ôsvn’pç

nepcqzopqî yeypawzëva. aux) fait» 16 phi 6 duperai!émoi mais autos, à 63 216 delà 1&9 mgupogâg, à6è Ed à ôsvu’gœ 8608M 1:51; à: t9? oing? 1&9 aragn-

qaopâç. ô en AZH 9:61:10; 56m) ôeüregog, anal ai11”11, ZI ôzœps’rpoc 0:61:05 zoz’ 6988:9 (indium.mil") 06v 04110: rsyvopæ’vag 1&9 ôgôëç 7mm’aç au!

tu") topémg 1:06 ràv 6906:1: yawlow zapaa’zovrog Émail.

tœl, 1:6 natalsmôpwov 51.116601) 1017 argonôéwog. andfaire) ysysvnpévog ô ûKA rayai); êÂoÊddmv toi? argo-teôs’wog. ôzmpsôudâ’v 61) m’y 6900711 7031240711 si; du;

au; yœw’ag il? 151d) du; Kg, 6A ami. 1:61) 311mnaraduevaafiè’wœv and dz miro? zoî’g «grinçai; 6’668!-

zou. t6 negtysygappe’vov influa mû ëyysypappe’vovazfipœtog 51.55501: ëldaaom, fi ô voilai); ô 6)KA. pëïëov7&9 ÊddêlÏ’rab 1:97 énegozq’î, q? ûneps’zu ô âKA roua);

mû ÜEP.

HOPIEMA A’.

ôfilov 0511, (in 61112M611 4’5er nul 16 negzygatpèv61mm mû lamôè’wog papion (LEÏIËOII cipal êloifiaom

navrôg 106 «parsôa’vrog zœptov, and «du» rô loupâèv

10095011 peïÇov d’un r01? 37790147253110; clignas éléa-

aow amincis 1:05 agoreôs’wog 1039501).

6. AFH] aFH F; corr. ACD; PH B, ed. Basi].; AHTO-rellius. nor’] nom; pet comp. F; corr. Torellius. ann-laLç F; corr. Torellius. 7. mon). cum camp. m uel w F, utlin. 21. de! 67141 Torellius. 8. 1mn: 090716 (comp.) F; son.Torellius. 9. nul Forum ad nçozsâs’wog lin. 11 mg. F, manu 1,signo adposito, quod idem in textu entant; zœçfov addidit (lin.11) cd. Basil., Torellius. 12. 2&7] 1mm par comp. F; corr.Torellius. KOA F, uulgo. 15. [natter] (3115.) pageot! petcomp. F; con. Torellius. 16. ni] Torellius; à F, uulgo. 20-lapcpôsvroç F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 95ait spiralis, in qua. sit ABI’AE, secunda. circum-

actione descripta. et punctum 6) principium sit spi-ralis, linea. autem zig principium circumactionis, linea.autem E11 secunda earum, quae in principio circum-actionis sunt. et circulus AZH secundus ait, et AFH,ZI dimetri eius inter se perpendiculares. rursusigitur recto angulo et sectore rectum angulum com-

prehendenti in partesaequales diuiso, quod re-linquitur, minus erit datospatio [Eucl. X, 1]. etortus sit sector âKA

1 dato spatio minor. an-gulis igitur rectis [quat-tuor] in angulos aequa-les angulo lineis K 9, (9A

J comprehenso diuisis etÎ ceteris eodem modo, quo

antes, domparatis figura. circumseripta. excedet in-scriptam spatio minore, quam est sector (9K4 ex-cedet enim spatio, quod est ÜKA e 0ER

COROLLARIUM I.

Adparet igitur, fieri posse, ut figura. circumscripta.spatium sumptum excedat spatio minore, quam estquodlibet spatium datum, et rursus ut spatium sump-tum figuram inscriptam excedat spatio minore, quamest quodlibet datum spatium [p. 93 not. 1].

10

15

20

25

96 HEP! 11mm.HOPIXMA B’.

ôtât 6è 101": 0115106 1061101: 9761150611, 61.611. 6111261011

141661216 10 10305012 10 11504516051012 15:16 1s 1&93141109 mis à) 67101910171: 1150102000? yeypapue’vag nul

1&5; EÔÜEÛZQ 1079 à; 10? 02011,52 1&9 nequaoçâç 1101101 10v

6131011 àpvfipôv 16701.15,an 11501706111011, 6117116, oïov

stgfizm, 31161156011, (5615.10 xspcygaqüèv 61mm (LEËËW

cipal 1017 161118511109 1010501: 5102660111 11611103 1017

7100150511109 1010501), and 716111.11 37700M011, 03615 10Âmpôèv 10105011 11311012 d’un; 105 ëyypaqiêwoç 61mm-

109 6102660111 7161110; 1017 110015651109 1039501).

x7 .Aafiôwa 10 xœçt’ov 10 flâçtêZÔlLêîIO’U 15116 1s 1519

37.11109, ë 561w 5105661011 1&9 à) me]? 1159197000? y5700111-

pêvag, 013x 510156019 715’069 1&1! àçzàv 1&9 ümog, ami

1&1; EÜ’ÙêLâ’II 1&1; 02110 11511 7150021011; 1&9 51.11109 aîyo-

(Léman! 6121111161! 361L 9159?. 1è 10101501) afflua «43915218601!

11501700211011 :55 61105011! 1011.5131) 61271154151101! aux). 62Mo

3117190211161, 05’615 1è negtygatpèv 61mm 1017 15791009151109

margay J051; 00660111 nav1ôg 1017 21901513531101; 1070501).

5610) ÈME, êtp’ aïs à ABFAE, «épand 6è 111515;

1è A, E, 56101 6è àçZà 1&9 521mo; 10 6), and 3:15:56;-

ôœ60w al A3, (9E. 9157100202196) ôù 311511101; 115311991

psy 195 Q, ôtadnflmn 6è 193 (9.4, 110d dvynwmêw) 19?(57E x6113; 10 Z. ciel ôù 1&9 yœvûxç 1&5- :101î 11,5 0

and. 105 10115119 1015 âAZ 6510: 15111101150011) 56651100 1

10 xawlemo’uevov 1015 1100151951109 510566011. E61013102666111 ô 10116139 ô QAK 105 71901519531103. 61105019

1. 116016110: p’] mg. Hopwlm (comp.) F. 2. 61611] 5HNizzius. 7. mon] une: pet comp. F; corr. AB. 9. 1m?-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 97COROLLARIUM Il.

Et eodem ratione manifestum est, fieri pesse, utsumpto spatio comprehenso spirali qualibet circum-actione descripta et linea eodem numero nominataearum, quae in principio eircumactionis sunt, figuraplana eius modi eircumscribatur, ita ut figura. circum-scripta. spatium sumptum excedat spatio minore, quamest quodlibet spatium datum, et rursus inscribatur, itaut spatium sumptum figuram inscriptam excedat spatiominore, quam est quodlibet datum spatium.

XXIII.Sumpto spatio comprehenso spirali, quae miner est

spirali une circumactione descripta, sed cuius terminusnon est principium spiralis, et lineis a terminis spi-ralis ductis fieri potest, ut circum id spatium figura.plana circumscribatur et alita. inscribatur ex similibussectoribus compositae, ita ut figura. circumscripta. ex-cedat inscriptam spatio minore, quam est quodlibetdatum spatium.

sit spiralis, in que. ait ABI’AE, et termini eiusA, E puncta, et principium spiralis sit Q, et ducanturlineae AQ, QE. describatur igitur circulus, cuiuscentrum sit 0, radius autem Q1, et in lineam ûEincidat in puncto Z. itague angulo ad (9 posito etsectore QAZ semper deinceps in duae partes aequales

cum comp. 171 uel w F. 12. 16’ F. 14. un F, un] o. 16.10j: 115911109 Riualtus, Torellius. 25. 611] scripsi; 62 , uulgo.112°]scripsi; 10 F, uulgo. 26. 56651161] scripsi; 301w. parcomp. F, uulgo.

Archimedes, 0d. Heiberg. II. 7

98 nm 11mn.61] 105g 1106150012 75706906160112 116111.01, me? 11512 6a-11560312, 11015 05 16111201111, 13:12 57.an ont 1&9 [601g yawz’aç

110120156011, 11012 193 û, 45615 1&1!

11501025051512 5316610112 612p-

1161115112 192 15 11906710120510

1101211; 57101161201. 666561111 61j 11.

11502 10 «50151611512012 102015012

157:6 15 1&9 ABFAE 57.11109and 1&1: A61, (9E süôcuîv

11501757001011.6007 61mm éni-1156012 55 611.0150112 101160212 6127-

15511512012 and 61.1.0 57325700110-

115.1012, 11011 10 65047570011111.6001! 105 5’77570041115’1200

516660121 13715961551 1013 71001501512105- zmpiov. 516660112

15 92029 561w ô FAX 1011.5159.

HOPIEMA.en 1061012 02011250612 561w, 31L 6121261612 561w 11501

10 sipnpe’vov 11006012 61mm 51161156012, 0Î01I 5396100,7150170026011, 03’615 10 11500700102512 flâna 11512012 sium!

20 1017 xœglov 5102660121, 110112105 1017 1100150512109 150105012,

and 11021112 577200210011 05’615 10 5301711612012 1501015012 1:55:00

5111512 1013 57920019261210; 61561101109 3102660121 110112169 1017

9100150612109 xœçiov.

xô’.

25 Tô 71501101112350 75000501! 15:16 15 1&9 31111109 1&9 à1g? 7101619; 71501111009? 757200111116an aux), 1&9 5131956013 1&9

710161013 10’212 511 19’? 610107 1&9 negupopâg 101’101! (15’003

5’612. 1013 1115111012 101? 11005100.

2. 15110012610 1171 F; com Torellius. 3. 193] Torellius;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 99diuiso, quad relinquitur, minus erit spatio data. sec-tor OAK ait dato spatio minor. eodem igitur mode,quo antea, circuli describantur par en. puncta, inquibus lineae aequales angulos ad 0 punctum efficien-tes spiralem secant, ita ut unusquisque arcus et pne-cedenti lineae et sequenti occurrat. erit igitur circumspatium comprehensum spirali ABFA E et lineis A0,9E figura plana circumscripta et alia inscripta exsimilibus sectoribus compositae, et figura circumscriptaexcedit inscriptam apatio minore, quam est datum spa-tium. eo enim minor est sector 3.4K.

COROLLARIUM.

Bine manifestum est, fieri posse, ut circum spatium,quad commemorauimus, figura. plana eiusmodi circum-scribatur, ita ut figura. circumscripta. excedat spatiumspatio minore, quam est quodlibet datum spatium, etrursus inscribatur, ita. ut spatium illud figuram in-scriptam excedat spatio minore, quam est quodlibetdatum spatium [p. 93 not. 1].

XXIV.

Spatium comprehensum spirali prima circumactionedescripta et linea prima earum, quae in principio cir-eumactionis sunt, tertia. pars est circuli primi.’)

1) Hoc theorema suis uerbis propositum et propria. rationedemonatratum habet Pappus 1V, 34 p. 236-38.

Il! F, uulgo. 4. annota F; corr. Torellius. 7. mol] 0m.F; con. Torellius. 14, dans cum comp. av F. 18. 01mm]addidi; 0m. F, uulgo. 21. and milw ad lin. 23 1079100 0m.F; corr. Riualtus. 24. us’ F.

7*

100 mm 13mn.Eau) 511,5, êcp’ 159 à ABFdEû, à: 1:9? zoning: nept-

(popqî ysypappe’va. 56m3 ôë rô ph: 0 duperai) 029143:

mais autos, à 6è ÛA 8130m: 259061.12: 162v év la; (i919?fâg nsçcqaopâç, ô 6è A K ZH I nihilo; 59:51:09, 015 1:9!-

5 10v (bégus être) ô, à: (la; Q, 211532.09. ôsmre’ov, 51:; mon:

à") zô aposzonps’vov 1009501: 1:93 Q 1:61:19).

si 7&9 mi, 41’101. parafa: écru à 51116607. faire) n96-

zapov, si ôvvutôv, 514166011. ôvvarôv 1M ëau «59116 141395012 1:6 notezôpsvov 151:6 te 1&5; ABFAEÛ 3Mo; j

10 aux). n39 A0 sôôsfag naçtypézpat 6117m; Ëzineôov 8’53

651050311 toys’mv dvyxdpevov, (561:5 tô nepzygaqüèv dxfilw

peïÇov dum) mû 101915012

ëlâdaow 1&9 ônspozoîg, ç?

abîmas; ô Q xünlog un)etçnps’vov 10391501). nept-

ysyçétpôm (M, nul 56m

145v tombal, fig c511 6127-xez’rou 1:3) elpnyëvov fixfipa,

paros 6è 6 0E0. 6517.01!0131:, ô’u rô zapaysygappë-

110v 61mm 510566611 Ëdu

l

guanacos phi ô ÜAK, éloi-

toi? q mîxlov. ëxfiefilfi- 6011161111 6è ai 81305641445

25 and r95 (N) zozoüacu, ràçrang yawlag, à"? 0’211 7:01!

143w mû 2:63:10!) naçtqzæ’pstav 186451111" ëvrl 612 rwsç

ygamuxl ou? (in?) 1:05 Û and du! gluau noumnroüaaz I193 [Gap àMoÉÂav ônsçsxoz’vaaz, à; écu payaient: phi à

3. 1&7] addidi’; 0m. F, uulgo. 4. AKZHI ANZHI suprascripto K manu, ut uidetur, 2 F. 5. ô] addi i; 0m. F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 101sit spiralis, in que. sit JBI’AEQ, prima circum-

actione descripta. et punctum Q principium sit spi-mlis, linea autem 0A prima earum, quae in principiocircumactionis sunt, et A K ZHI circulus primus, cuiustertia. pars sit circulus, in quo est littera Q. damon-strandnm, spatium illud cireulo G aequale esse.

nam si non est, aut maius est aut minus. sitprius, si fieri potest, minus. fieri igitur potest, utcircum spatium comprehensum spirali ABFA E09 etlinea dû figura. plana eircumscribatur ex similibussectoribus composite, ita ut figura. circumscripta. spa-tium excedat spatio minore, quam excessus est, quocirculus q spatium illud excedat [prop. 21]. circum-scribatur igitur, et sectorum, ex quibus figura. illa.composita. est, maximus sit ûAK, miniums autemQEO. adparet igitur, figuram circumscriptam mino-rem esse circulo G?) producantur igitur lineae, quaead punctum Q aequales angulos efficiunt, usque eo,ut ad ambitum circuli perueniant. sunt igitur lineaequaedam, eae scilicet, quae a puncto d ad spiralemductae sunt, aequali spatio inter se excedentes, qua-

1) Sit spatinm illud R, figura autem circumscripta. F; tumerit ex hypothesi F- R ( q - R a: F( q.

11. enflammoit] 0m. F; corr. Torellius. 21. 51L] camp. F.24. ai] (prius) addidi; 0m. F, uulgo. ut] 0m. F; corr. T9-xellius. 25. watt] 1:ro par comp. F; con. Torellius. 1:90]sari si; to F, uulgo. 28. «il addidi; 0m. F, uulgo. 29.M , uulgo. pintera] scripsl; (bugnes F, uulgo.

10

15

20

102 HEPI mimant.34, flafla-m 6è à 8E, and à 31mm; [au du; 15mg-ozçî. 6’sz 6è aux! film nuèg gigawatt al dard roi 6and zàv uepzqnæ’pswv :017 mixiez: normanoüaat 193ph: «M4351. [6m mâtons, r93 6è peye’ôez émiant [au1:9": m’aidiez, aux). &vaysypama’wz dard amatît: 65101501, to-

uées, été ne 1&1! tu; 1’691) 021110214111 ÔfiEQEZOWâ’U mû

(in?) 1&1! (6&9 lineam; 1:5 aux). 1:92 (swing. 05 59atapées et du?) 1&1! iaâv 1:9? (1.575619: 310566675; à!) fi1794111066501, 16v tops’œv 115v éæô du a); 1’69) àÂÂoÊÂav i

Mepexov6âv. ôsôælînao 7&9 tOÜfO. 3121:1 6è o[ ph! .

roides 015 du?» têv 1651; (indiens te aux), fg? perlon;[60L 1:95 AZHI 2152197, 05 6è rouées a! 02m3 n’a: 193 i1’690 àMéÂow ûnspsxov6âv 13’601. 195 zeçcyeypappa’mp ;

flânait. ËÂoÉ66ow â’pa ô AZHI scindas- roü flEQt- ;

yayguypæ’vov (irriguas ü zptxlam’œv’ mû dt q uüxlov Ë

rpanlœdt’œv. ÉÂé66œv 59a ô Q miaulas 1:05 negayeyçap- Â

pénal: tamtams. 06’s: 361:1. 65’, aillai (LEIÏÊŒII. 01’»: 59a

émir rô nsçLexo’usvov 750395011 131:6 me 1&9 ABI’AEO

314x09 and 1&9 A3 51.056601! r06 Q zmpiov. ioôôè 101,,va getter. fait» 7&9, si 601105161), miton

5cm, dû mihi: ôvvœrôv sig- rô 141195011 1:6 usptexôpwov

.ûnô zâç ABI’AEÛ âmes and raïs A6) 513855419 37-

25

ygézpou agraina, orins 1:6 aignpëvov 16296011 1:05 s’yyga-gna’vrog 61125412109 41.617501; cipal flânant, fi 95 Ôflïêoâlxêt

1:3) siçnpévov zœptov mû q 26x101). ëyyeygéqyfiœ dû,

1. flafla-w] (prius) scripsi; 810106009 F, uulgo; u. Quwt.Arch. p. 138. 2. aï] addidi; 0m. F, uulgo. 5. civiquem-«pétun scripsi; avayeyçamw F. uulgo; detendit Ahrens: de gr.ling. ’31. Il p. 333. naamv F; con. V. 9. 0:11am F. l4.AZH I] scripsi; AZHIK F, uulgo; "afgiti Cr. 19. zeugma]uiâîilov Torellius. 20. uç’ F. 22. ABFAO F; corr. To-re us.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 103mm maxima est QA, minima autem 6E, et minimaexcessni aequalis est.1) sed etiam alias lineae sunt,ses scilicet, quae a. puncto 8 ad circuli ambitum duc-tae sunt, numero illis aequales, magnitudine autemsingulae aequales maximae, et in omnibus similessectores constructi sunt, et in iis, quae aequali spatiointer se exeedunt, et in iis, quae inter se et maximaeaequales sunt. sectores igitur in lineis maximae aequa-libus construeti minores sunt, quam tripla maioressectoribus in lineis aequali spatia inter se excedenti-bus constructis. hoc enim demonstratum est [prop. 10coroll. 3]. sed sectares in lineis inter se et maximaeaequalibus eanstructi aequales sunt circula AZHI,sectores autem in lineis aequali spatio inter se exce-dentibus constructi aequales sunt figurae circumscrip-tee. itaque circulus A2 HI miner est quam triplamaior figura circumscripta; circula autem Q triplamaior est. itaque circulas q minar est figura circum-scripta. erat autem non minar, sed maior. quarespatium comprehensum spirali A B FA Et? et linea A6)minus non est spatia Q.

sed ne mains quidem est. sit enim, si fieri pot-est, mains. itaque rursus fieri potest, ut spatio com-prehenso spirali ABFAEÛ et linea. Je? figura. in-scribatur, ita ut spatium, quad commemorauimus,figuram inscriptam excedat spatio minore, quam quantaspatium illud eirculum q excedit [prap. 21 coroll.].

1) Lineas 6E, 941, 91", 9B cett. aequali spatio inter seexcedere, adpsret ex prop. 12, quia. angnlos aequales faeiunt.lineam autem 9E excessui aequalem esse, sine 9E s:- i941,lequitur ex prop. 1; nain cum anguli aequales sint, tempustempore duplo mains est.

10

25

104 IŒPI mucus.mû 561m 1611 105mm, .45 :51! 6073155101 16 5775791141-pæ’vov 61124101, yéyzaoç peu ô GPE, êldzwmg 66 ô

09E. Omar 01511, 511 16 37275710014144.5101; 611km pst-;ôv 561L 106 Q 26x101). ëxflsflinfaôœdav 61) a! 1101015-6411 1&9 lieus yowa’aç 1101?. 195 Q, ë61’ à! 21011 1&1

1013 zoulou flêthpÉQELav 1156051211. mil"! 01511 311115 1L-

ves 790:le 193 1’69) (tudieu! 61159810136011 a! (in?) 105Û 71011. 143w 5’].an «01111111106601, du 5’611 115526610: pâti

à QA, filoutant 6è à (DE; mi ë61w à auxine: tu143i 15115001952. êwl 6è aux!

517.1111 gigawatt ai aidai105 0 110111611 1013 AZHI215211.00 neçzçéaemv :1011-

mmoümu 195 ph: 711’685;

[du manas, 11,5 6è payé-IfisL 53102610: [du 1g? www,

au). &vœyeypatpôwm ointe

7101651: épatai. mais; 02216

15 1&1 fait: &ÀÂéÂaLç 1s

and 1g? (557156101 aux). du?)

1&1 1g? [64,3 611051.61; 151159-

sxavaâv. ai 59a mafias ci02116 1&1 (6&1 a; 118921619:

(suçâmes gant fi 191111.41-

61’01 1031 101mm: 1151 o’mô 1&1: 14,5 1’691 021.1021011; 159150-

exavdâv flapis 106 6716 1&9 11571561119 65651311011. 7&9

10510. (31211 6è 05 ph: made; ai 02116 1&1 fait; 1g?psyI61çz 1’601 14,5 AZHI 916911.97, ai 6è «i116 1&1! 195 1’61,»

02111021011! 15115951006651! 103919 105 02716 1&9 imaginas 1’601

2. flûteras] B; 510160011 F. uulgo. 3. 09E] scrigsi;9E F, uulga; 9E0 Torellius. 0’51] pet camp. F. ou]

DE LINEIS SPIRALIBUS. 105inseribatur igitur, et sectarum, ex quibus composite.est figura inscripta, maximus sit QPE, minimus autem09E. adparet igitur, figurera inscriptam maiaremesse circula (3.1) producantur igitur lineae ad punctum8 aequales angulas efficientes usque eo, ut ad amb-itum circuli perueniant. rursus igitur lineae quaedamsunt aequali spatio inter se excedentes, sas scilicet,quae a. puncto (N) ad spiralem ductae sunt [prop. 12],quarum maxima est ûA, minima autem QE, et mi-nima excessui aequalis est [p. 103 not. 1]. et pras-terea alias quoque lineas surit, quae a puneto 0 adambitum circuli AZH I duetae sunt, numera illis ae-quales, magnitudine autem singulae maximas aequales,et in omnibus sectores similes constructi sunt, et iniis, quae inter se et maximas aequales sunt, et in iis,quae aequali spatio inter se excedunt. sectares igiturin lineis maximas aequalibus constructi majores suritquam tripla maiores sectoribus in lineis aequali spatiointer se excedentibus constructis prester sectorem inmaxima constructum. hoc enim demonstratum est[prop. 10 coroll.]. sed sectores in lineis maximasaequalibus constructi aequales sunt circula AZHI,sectarss autem in lineis aequali spatia inter se ex-cedentibus constructi prester sectorem in maxima con-

1) Sit figura inscripta f, spatium illud R; erit ex hypo-thesi R-f(R-q3:fmq.

on. F; corr. B. 5. 193] scri si; 1o F, uulgo. 7. aï] ad-didi; am. F, uulgo. 8. «w , uulgo. 11. cillai. 1ws’ç To-rellius. aï] addidi; 0m. F, uulgo. 17. êvaysyçmpoîmz B.29. ciné] in F; corr. Torellius.

10

15

25

106 1mm 11mn.193 ëwsywppévça amputa. (15mm! 01’901 ô AZHI mî-

xÂag fi 191111016le 105 ëyysypappëvov fixûpærog’ 101i6è Q 316211.01) 19171141615011). peigna: 01’901 ë61lv ô Q mi-

ulog 1017 êyysy9apps’vov dzfipatog. 06x 361:, 6è, 0211.01Élâddœv. 01’»: 39a 4661211 oôôè 1151:0» 16 zœ9éov 1è

15116 1s 1&1; ABFAEQ 51mg aux). 1&9 Je? 513356019 105(à 215911.00. I601 01’901 â61lv [193 zs9tlœcpâév11 15216 1&9

glanas nui. 101g A8 et’ûsfag].

ne .Tô 7159110920111! 1039601 15716 15 1&9 311mo; 1&9 à:

19? 6501.4901 9159192090? yey9appe’uag ami 1&9 8150515419

1&9 6.5121e’9ag 1&1: à; 10? 02910? 1&5; 1109147209079 11011 161

651515901! 111522.01: 10131011 5151 161 16701, 611 5x51 1è5’ 91011. 1è Lfi’, 59 616111: ô 4115163 193, 31: 515:, 1è 6mi-

apqiô1s9œ 16 1e 71891816405101 13116 1625 à: 106 91.921900

105 6sv1é9ov minima ml 10?; à: 1013 41.111900 10511905100. 311511100 nul 1è 191’101! pe’9aç 1017 181901920in

1015 02716 1&9 13215901019, a]; 131159e’x51, à à: 105 41511901)

105 6801.6900 316312.00 1&9 à: 1013 xe’v19ov 1017 71905100

minou 71011 1è 1s190îyawov 1è 02716 1&9 à: 1m? név-

19ov 106 56058,90!) 5115911012. i56101 5’115, fief de à ABFAE, ëv 10? 6501590; m91-

qzo90’Z 91579419115101. 561m 6è 16 ph! fi 604181701;- &9zà

1&9 51.13109, à 6è (57E 5605m à! 19’? 029101" 1&9 m91-

(pO9âè a? 11905101, à 6è AE ëv 10? 51910? 1079 118914720959

à 65010901, ô 6è mixâog ô AZHI ô 651515909 561m,aux! ai AH, I Z 61014111901, 1101’ 69490:9 011102111119. 63m-

1e’ov, 31L 1ô’ns9wzôysvav 7501915011 13716 1e 1ëç ABFAE

6. ABHEO F. 7. quo; Torellius; sed de spatio ’tur,non de circulo;j quine retmendum 1’009 (camp. F) et de suds.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 107structura aequales sunt figurae inscriptae. itaque cir-culus AZHI maior est quam tripla maior figura in-scripta; sed circula Q tripla maior est. quarta circulus Qmaior est figura inscripta. sed maior non est, uerumminon itaque ne mains quidem circule q erit spatiumcomprehensum spiraliAABI’AEQ et linea 113. itaqueaequale est.

XXV.

Spatium comprehensum spirali secunda circum-actione descripta et linea secunda earum, quae inprincipio circumactionis sunt, ad circulum secundumeam babel; rationem, quam 7: 12, quae eadem estratio, quam habet rectangulum comprehensum radiosecundi circuli et radio primi una cum tertia partequadrati eius excessus, quo radius secundi circuli ra-dium primi excedit, ad quadratum radii secundi circuli.

ait spiralis, in qua ait ABFAE, secunda. circum-actione descripta. et punctum û principium ait spi-ralis, linea. autem 0E prima. earum, quae in principiocircumactionis sunt, AE autem secunda; et circulusAZHI secundus ait, et AH, I Z diametri interse perpendiculares. demonstrandum, spatium spirali

Herba n35 neqzloupâé’uu . . siffliez; lin. 7-8; 0m. Cr. 9. uç’F- 1-0. 16 1259412905] addidi; 0m. F, uulgo. 16. dev-rëoov] B F; et sic supins infra. gent lin. 17, 19 bis, 21).27. 1:90; (comp.) coïtas aunions ; corr. Torellius.

103 un?! mm.51.11109 ml 1&1; 4E süsfug 11ml 1611 AZHI 11151110111167011 5150, 311 1è E 11012 Lfl’.

50’101 fifi 119 1115x109 ô Q, à 6è à; 106 11151119011 1013

q 11151111011 61111051100 [au 105 10 15110 10’111 .46, ÛE 11591-

6 5101153191 1101?. 193 19619) 106’951 1013 01116 151g AE 15190:-

70511011. 5851, à) 6 Q 1113111109 1101?, 1611 AHZI, 055 Ë1101?. 15’, 61.611. 11012 à à: 1011" 1101119011 0115105 11011. 1&1

à; 1013 1151119011 1017 AZHI 11151111011 10131011 5101 611-

11051051. 1611 1.67011. 65010116051011 01511 [dag ô G 111311109

193 «amélanche? 100959

1516 15 1&9 A B FdE 31.0-1109 ami 1âg A E 5138515019.

si 7&9 1015, 52’100 115021011

ëo’1111 fi éloi11m11. 56m

61) 1196159011, si 61111011611,

050Cm1. 61111011011 (M 3611

11091 1è 10090011 11591-9190î1p0u. (flâna 311151156011

SE 611050111 101151111 6117-

1155110100, 03’615 16 11591-

y9aq2è11 01mm 11512011 ef-

11511 1015 xœoéav 9102660111,

ü 05 1511595150 ô Q 1115-

x109 1015 101911011. 11891-25 7879021121901, 1101?, 56101, êE c511 6111111501011 16 1159170790111-

(15’11011 azfipa, péywroç 10011 6 8.4K 10118139, 3105116109

0è ô (904. M7101 01511, 510 16 11591719atpè11 6151m5110111611 écu 1013 11151111011. âuflsfilfiaômdav oct 5605m1

al 71010156011 71011 195 0 [dag yawtug, 561’ 0’211 1101l1à1l

2. 11909 par çamp. F; con. Torellius. 3. q] s sempered. Baal, Torelllus. 6. 1190s pér camp. F; com Tan-0111111.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 109ABI’AE et linea 11E comprehensum ad circulumAZHI eam rationem habere, quam 7 :12.

sit igitur circulas quidam Il, et radius eius qua-dratus sit a: .46 x QE -l- &AE’. itaque circulus Qad circulum AHZI eam rationem habebit, quam 7: 12,quia radius eius quadratus ad radium circuli AZHIquadratum banc rationem habet [Eucl. X11, 211) de-monstrabimus igitur, circulum Q aequalem esse spatiocomprehenso spirali ABI’AE et linea AE. nam siaequalis non est, aut maior est aut minar. sit igitur,si fieri potest, prias maior. fieri igitur patest, ut cir-cum spatium circumscribatur figura. plana ex simili-bus sectoribus composita, ita ut figura circumscriptaspatium excedat spatio minore, quam quanta circulus qspatium exeedit [prop. 22]. circumscribatur, et [sec-torum], ex quibus composita est figura circumscripta,maximus sit ûAK, minimus autem (904. adparetigitur, figuram circumscriptam minorem esse circula[p. 101 nat. 1]. producantur lineae ad punctum (9aequales angulas efficientes, usgue eo ut ad ambitum

1) Nain A9x9E-i-iAE’:A9’:26E’-1-«&OE’AGE’e 69E’ 4- GE’:120E’ z 7: 12, quia 9E :AE; nain sitambitus circuli primi p; erit ex prop. 15: 9E:OA :p12p.

ut lin. 7 bis. 23. 11295121. F. 25. 50’101 10511 1011.0011 Torel-lius. 28. 1017 q 1115111011 Nizzius. 29. 105] scripsi; 1o F,uulgo. In figura. O, A cum F posui; sed pro A posui A, etP addidi.

10

15

110 HEPI EAIKQN.1017 6511169011 1115111011 11591916901010 1156151111. 5’111! 66

111159 79011111011. 11,5 1’69) 01110110111 11115951066011 ut 01116

105 8 11011 10111 5111101 11011111111066111, 0111 3611 (1.576610!

11611 à 9.4, 3101166111 66 à 6E. 5’011 6è 11011 6111011

79011011011 015 61116 1015 0 11011 1611 1015 AZHI 1111111011

11159111115951.0111 110111111110156011, 11,5 11111 11111050 (1001" 31016-

661159 10111111111, 115 6è 11576051 01110110119 1s [6011 1101210":

115756191, 11112 01110175791191011011 611.0601 1010659 01116 11111

30’511 107 110766101 11011 02116 1â11 193 1’690 11110110111 61159-

510116611, 01116 66 1&9 31117661019 01’111 0111017901915’1011. ai

5901 1011609 a! 01116 10111 1760111 10? [087661701 11011 1069 1o-

110’019 1069 01116 1511 195 [691 02110210111 61159510060711 701-

929 1013 01116 1&9 61011661019 61016601101 167011 5701111, fi

16 15190170111011 16 0111:6 1&9 1157661019 1&9 8.4 1101?, 16 a

61111111111161.5901 16 15 15116 10111 219, 6E 10591761151100 ml

16 1951011 115’909 1017 02116 1&9 E4 15190171611011. 68- ï651111111 769 101’110. 6111?. 66 1al’9 11611 101065661 101’9 6116 *

16211 660711 01110110119 11011 10? 115715611; [609 6 AZHI 116-

11109, 10t9 66 101065661. 101:9 6116 1&11 11,5 1’691 0111610111 Î

M95zov6âv 700919 101"; 0111:6 1019 é1a11’61019 I600 16

25

11591757901119.6100 67131101. 31016601101 51’901 167011 5151 ô

111511109 11011 16 11591757914111.6707 67mm, fi 16 15196-70111011 16 0111:6 1019 Aû’ 1101i, 1è 61111011111161.5901 16

15 15116 10511 A0, (9E 11011 16 1961011 115’909 1013 6116

1&9 AE 15190171611011. 611 66 167011 5151 16 15196-70111011 16 01116 1079 ûA 11012 16 1311:6 10111 ÛA, 66E 11111

16 1961011 115’909 1015 0111:6 1079 A E 15191170611011, 1017101!

5151 6 AZHI 111511109 11011 1611 Q 1111111011. 61016601101

3. 11011111111011.1111 F; carr. B. 0011 F, 91111130. 6. naïf]scripsi; 5111. F, uulgo. 6. 510166 cum camp. on F; cart. To-rellius; 5101600119 B. 7. 101111511] scripsi; 501111019 F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 111circuli secundi perneniant. sunt igitur lineae quaedamaequali spatio inter se excedentes [prop. 12], eae sci-licet, quae a puncto 9 ad spiralem ductae sunt, qua-rum maxima. est 8A, minima autem 0E. sed etiamalise lineae sunt, quae a puncto 8 ad ambitum cir-culi AZHI ductae sunt, numero une. pauciores illis,magnitudine autem et inter se et maximae aequales,et constructi sunt sectores similes in lineis maximaeaequalibus et in iis, quae aequali spatio inter se ex-cednnt, in minima autem nullus cqpstructus est. ita-gue sectores in lineis maximae aequalibus constructiad sectores in lineis aequali spatio inter se excedenti-bus constructos praeter sectorem in minima construc-tum minorem rationem habent, quam habet

9A2 : A0 X (DE -I- &EA’.

hoc enim demonstratum est [prop. 11 coroll.]. sedsectoribus in lineis inter se et maximae aequalibusconstructis aequalis est circulus AZHI, sectoribusautem in lineis aequali spatio inter se excedentibusconstructis praeter sectorem in minima constructumaequalis est figura circumscripta. itague circulus[AZH I ] ad figuram circumscriptam minorem rationemhabet, quam A6” :AO X ÛE-4- «&AE’. est autem

AZHI: Q : 9A2 : QAX (DE-F àAE’[Eucl. V, 7 «691.651,04. quare circulus AZHI ad figu-

Éudlmç] leu. supra scriptum manu 1 F. 8. &vuysyçâqaovmr.Torellius. 10. avayçaipstm F. 12. «Mm: F. 14. (La-111mm] p. supra scriptum manu 1 F. 17. topÉEGO’L] scripsi;topé!!!" F; confiez ed. Basil., uulgo; tamia Torellius. 18.allah; F; con. A. AZH F; corr. B. 19. toucan: F; to-utim Torellius. 21. ô 11511.10; AHZI (debuit ô AEZ] mi-me) Torellins; habet Cr. 26. 8E] scrîpsî; A E F; JE uulgo.28. zone par comp. F; con. Torellius.

1 12 m1 nm.01511 1.67011 E151 ô AZHI 11611109 1101:1 1:0 «équivoq-

(1511011 61171101 fi 1101:1 11511 q 116111011. 15615 13111100011301’111 ô Q 116111.09 101731691757190111116’11011 616111111109 0151

361:1 dé, 0111.01 gemma 0611 61’001 psitnw écrin ô Q 116-

5 111.01; 1:05 papion 1015 «80101011611011 15116 ce 1’019 ABI’AE

31111109 11011 111; AE 56051019.

oôôè tofvml 13101600111. 561:0) 7010, et 61111011611, éléa-

0’1011. 1111111110611 61111017611 ému

dg 1:0 10001011 16 11891516111-

11011 151156 1:15 1019 5111103 un!

1019 AE 56056019 êyypéfuu61171111 êutneôov 1511:6 1511011111

4101160111 duyuslpavov, 15615115«50181611011011 100915011 15116 11

1&9 ABI’AE 31.11109 11011 1&1

A E 515881019 11512011 5111611

1:06 èyysyguppa’vov 616110110;

32101060111, fi 1,5 15115015181 a)?

01616 10106011 1017 q 1161110111

20 37715706111190) 01511, 11011 50m110511 101160111, êë «511 611711111111

rô ërrsroawe’vov 6111W, 11’-

710on 11è11 (5 61K P 11011563,

1’1011161709 à? ô 0E0. ôfilov 01511, 511 10 371715790111.

25 111511011 aigu (1812611 3611 1013 Q 116111011. ènfieflhfaôa-i60111 011 1101066011 [dag y10111019 11011 195 (9, Ear’ 13211 11011

113111 1:06 116111011 mpupa’psuw 1156151111. 11021111 0611 1’111!

1711159 79011111011 1:95 1’691 0111101110111 15115951066011 011’ 11716

11017 (1?) 11011 11111 3111101 «01121111066011, 0111 1157116101 11è"1

à 0A, 151101166101 61 à ûE. 3111:1 6è 11011 611111011 7111Wt

7. 1117’ F. 23. GKP] supra scriptum X manu, ut aide.1

I

DE LINEIS SPIRALIBUS. 113mm .circumscriptam minorem rationem habet quamad circulum (à. quare circulus Il minor est figuracircumscripta [Eucl. V, 10]. sed non est minor, uerummaior. itaque circulas q maior non est spatio com-prehenso spirali ABFAE et linea JE.

sed ne minor quidem est. sit enim, si fieri pot-est, minor. rursus igitur fieri potest, ut spatio com-prehenso spirali et linea AE figura plana inscribaturex similibus sectoribus composite, ita ut spatium com-prehensum spirali ABFAE et linea AE figuram in-scriptam excedat spatio minore, quam quanta idemspatium circulum q excedit [prop. 22 coroll.]. inscri-batm- igitur, et sectorum, ex quibus figura inscriptacomposita est, maximus sit 6K P, minimus autem 61E 0.adparet igitur, figuram inscriptam maiorem esse cir-cule q [p. 105 net. 1]. producantur lineae ad punctum9 aequales angulos efficientes usque eo, ut ad amb-itum circuli perueniant. rursus igitur lineae quaedamsunt aequali spatio inter se excedentes, eae scilicet,quae a puncto 9 ad spiralem ductae sunt [prop. l2],quatum maxima est 8.4, minima autem 8E. sed

tu, 1 F. 26. 1100; par com . F; con. Torellius. 1135]scripsi; to F, uulgo. 29. on , uulgo.

Archimodes, ad. Heiberg. n. 8

10

15

20

25

114 IIEPI EAIKQN.11011 ut 0116 1013 8 11011 1611: 101") 116111011 11501016051011:

«01111111106601 105 1151: 11115051 11101 13101660113 111111121,

105 65 11516651 1’601 011161011; 15 11011 10? peyldtç, 1101

61075700026101 01116 1&1: 115 [69) 0111011011: 15115051006011

6110101 1011659 11011 6116 1&1: 66011: 101 11571611. 01’ 61’001

101063 015 01116 1&1: 66071: 101 115111610 11011 1015s 10116019

10159 01116 1011: 115 1’690 01110210111 15115051006611: 101019 105

01116 16g 1157156101; 1151C01101 16101: 5101111, fi 16 15106-7011101: 16 01116 161g ÜA 11011 101 6011011191615001 16 15

11501516115001: 15116 1011: A6, ÜE 11011 16 106101: 1017 01116

1019 EA 15100110611011. 56111: 65 101g 1151: 101165661111019 01116 1&1: 195 1’600 0111011011: 15115051016011: 1œ0lg 1013

01116 1513 1157161013 1’601: 1è 3775701111116101: 61111101 à: 193

1000101, 1019 65 515’001; ô 11611105 1151201101 061: 1671011

5’151 ô AZHI 1161110g 11011 16 57115700111115’1101: 61131101,

fi 1è 1510017011101: 16 01110 1019 ÛA 11011 16 15116 1&1:04, ÛE 11011 1è 101’101: 115’009 1015 01116 1&9 AE 101001-

70611011, 1011166111: 15 AZHI 11611109 11011 161: q 116111011.115120111 61’001 1’6111: (5 Q 1161110g 1017 31915110011111.6001: 616-

11011og’ 51150 016611011011’ 61: 11610 6101660011. 0611 61’001

56111: 0665 3101660011 6 Q 11611103 10171150151011.5100 101-01’011 15116 15 1&9 ABI’A E 3111109 11011 101g AIE 566515019.

05’615 1’609.

HOPIEMA.6161 65 1013 01151013 10611011 6511617661011, 11011 61611

1è 11501111016511 10001501: 15116 15 1&9 5111109 1015 à:61101010131: 115011110091 757100111116an 11011 107g 566515019 1&9

1101161 161: 0113161: 010161161: 101179 11501910011179 1511011511019

.2. 1110111F; corr. B*. 1011110111] scripsi; 10111111 F; 016117 AB, ed.1301111.; 5011110111 Torellius. 3. 01111710113 F. 4. 0111017570019an

DE LINEIS SPIRALIBUS. 115etiam aliae lineae sunt, quae a puncto 6 ad ambitumcirculi ductae sunt, numero une. peuciores illis, magni-tudine autem et inter se et maximae aequales, et sec-tores simile constructi sunt et in lineis aequali spatiointer se excedentibus et in lineis maximae aequalibns.itague sectores in lineis maximae aequalibus constructiad nectons in lineis aequali spatio inter se exceden-tibus constructos praeter sectorem in maxima. con-structum maiorem rationem habent, quam

84’ : 16 X 8E -l- fEAÎ’ [prop. 11 coroll.].

sectoribus autem in lineis aequali spatio inter se ex-cedentibus constructis praeter sectorem in maxima.constructum aequalis est figura. spatio inscripta, alizarisautem circulus. itague circulus AZHI ad figuraminscriptam maiorem rationem habet, quam

’ zwzeAer-l- ME”,h. e. quam AZHI : q t[ex hypothesi]. itague circulusQ maior est figura inscripta [Eucl. V, 10]; quod fierinon potest; erat enim minor. itague circulus Q neminor quidem est spatio comprehenso spirali ABI’A Eet linea AE. quam aequalis est.

COROLLARIUM.

Eadem autem ratione demonstrabimus, etiam spa-tium comprehensum spirali qualibet circumactione de-scripta et linea eodem numero nominata, quo circum-actiones, ad circulum nominatum eodem numero, quo

Torellius. 10. 1316] scripsi; mm 1re F, uulgo. EplçogpéoocB, Torellius. 11. museau: F, uulgo. 13. euro] une Fcum Torellius. 16. "pas per comp. F; con. Torellius, utlm. 18. tâv] un et camp. F; con. Torellius. 19. uu-Çov F. 26. mu] En. izzius. 28. nard] scripsi; non F, uulgo.

8 *

10

15

20

25

1 16 nm MN.1101?, 161: 111511101! 16v muât 1611 121511311 029119111311 1576-

1151101: rats 11591112091113 1.6701: fixez, 311 awaçupôræov

16 1:5 151d) 1&9 in 1:01": 115121901: 1:01? and: 1611 «15161!15910111311 111511101; and 1&9 à: mû 115111901; 1015 muât 161!

5112 610561:01:41 1621: 11159an095111 1157on01: and). 1:?) 191’101!

115903 1017 16191171151101) 1:01? 0211:6 162g 1511590159, q? 131159-

e’xu à à: 1015 115111901) 10171 usitovoç 111511101; 11511 5191]-

pæ’vmv tés 311 1:01? 11811901; 1:05 31.1226601109 111511101: 11511

53917111512011: azor). 1:6 15190271111101: 1:6 in?) 1&9 à; 1:01?

115111901) 1015 petÇovoç 1115111101: 115v simpe’vmv.

ns’.

T6 1159151611511011 10195011 1511:6 n 1&9 flancs, 61’ 361w

àloîdamv zig à; me? 11591112099? ysy9ugms’vag, 01111 131013-

Gag 115’901; zàv &9zàv 1:62; 51111043 11012 1511 sôôsw’v 1&1!

âne 1151: 1159021011: «ôtés êzlïàv à9zà11 1&9 5).ng

àype’vav norl 11311 rouée: 1611 fixant); 113:1: 11h! à: mûue’vt9ov l’accu a? 115120111 1:51; 0211:6 115v 7155905111111 3112

113w é9zà1l 1&9 31mm; àyps’vav, 1&1: 6è 11:59:.qn’95w1l,

ë 361:1 pemëî: 1:51: sl9nue’1m11 süôuâv à! 1:13: aimé 1:1;

511111,, 10131011 5st 1:61: 167011, 311 5151. 61111011111161.5911 16

15 «5915161181201: 15113) 1&1; 02116 10511 1:59âraw 511?. 117w

âpxôw 107g 31.1.1109 02711531111: and 1:6 1:95:01; 11e’9og 1:06

15190171151101: 1013 0,1116 raïs 15115901129, q? ôns9ëxsc à 1185-

Çaw 1&1: 8191111512011: 8134931511: 1&9 Éla’oaovoç, 11:01:). 16

rar9oîycavo11 rô énô 1&9 pelÇovog :6211 du?) 1:61: 115912-

raw éd 1&1: &9zàv raïs glume êmfisvzôuo’âv.

gara: 52.15, ëtp’ aïs à ABFAE, 52.1226611111 1:55; à!

111.9? 1159191099? yey9a11115’vag, 1115941112 6è minis Sana n?

4. 1611 hl] sari si; tu un en F: un en COD; 11m Y;tu un A, ed. Basi ; 11,5 un 511i B , Torellius. 8. tu:

DE LINEIS SPIRALIBUS. 117circumactiones, eam rationem habere, quam rectan-gulum comprehensum radio circuli eodem numeronominati et radio circuli numero uno minore, quamnumerus circumactionum est, nominati simul cumtertia parte quadrati eius excessus, quo radius circulimaioris radium circuli minoris eorum, quos commemo-ranimus, excedit, ad quadratum radii circuli maioriseorum, quos commemorauimus.

XXVI.

Spatium comprehensum spirali, quae minor estspirali una circumactione descripta, et cuius terminusnon est principium spiralis, et lineis a terminis eiusad principium spiralis ductis ad sectorem, cuius radiusaequalis est maiori linearum a terminis ad principiumspiralis ductarum, arcus autem arcui inter lineas illasposito ad eandem partem uersus, in qua est spiralis,eam rationem habet, quam habet rectangulum lineisa. terminis ad principium spiralis ductis eomprehensumsimul cum tertia parte quadrati eius excessus, quomaior linearum, quas commemorauimus, minorem ex-cedit, ad quadratum maioris linearum a terminis adprincipium spiralis ductarum.

sit ’spiralis, in qua sit ABI’AE, minor spiralî una

circumactione descripta, et termini eius sint A, E.

tu 1013 uévtçov 1013 51.0201101109 1115111011 1157 sinuera»: mg. Fmanu 1, adposito signo V, quo ad suum locum referantur; 0m.cd. Basîl. 11. uû’ F. 16. 10v (comp.) 115912109 F; corr.Torellius. 20. En; tu FV; fort. scrib. nappméçuav tu"! a;111111515. 25. un (comp.) ELQflpEWŒW 5110810111 F; con. To-rellius.

10

15

118 HEPI EAIKQN.A, E. 56101 6è aimât mais 51.11109 16 0 duperai. ml115121990 11.611 195 8, ôtafitfipmu 6è 195 0.4 1115x109 ye-79020200), aux). 61111111111610) 10": 1109111259500: 0:61:01? à 8E

1101:0? 16 Z. 66111115012, 31:1. 16 11591515605001! 101911011

15916 te tés .4de E 51.11109 1101?. 1&1! 0138.51.51; 1&1: AC,

8E 11:01), 1611 1011,50: «:611 AEZ 105101: 5151. 1:61! kiwi,311 5151. avvapqaôtsgia 16 1:8 15116 10’211 A9, 9E 1101?. 16

1951011 11590; 1017 02116 1&9 EZ 1001?. 1:6 15190270111011 916 ânô raïs âA.

56m 61) 111511109, à! 9; QX, 16111.51; 1013 118321901)510w [60:11 61111021151. 1:95 1:5 151z6 1&1: défi, 0E aux). 193

191’191 115’950 1:01? àatô 1&9 EZ, 11:01:! dt 1:05 11511:9?

01131017 71011100: 1’60: 1:0? 1001:1 1:95 (9. 6 ô?) 1:00.51); 6 QX x

1101:1 161i tapée: 1611 QA Z 1611

7 t I (l I0:01:01; 5151 1.07011, 011 5st

1:6 191’101: 115’90ç 0017 0211:6

1&9 EZ 15090171051101: and, 160211:6 1&9 ûA 151:9d7011zo12’ ai

71619931: 1051: 11511790111 10171011

5101m. 1611 1.67011 611116115111:01:’ 0111201019. ÔGLZÔ’flfiétm

01) 6 X0 1011569 17609 3’031!

tu? 1019591 1:95 115915101151011511:6 ne 1&3 ABI’AE 57.1110;

nul 1:51; dû, 0E 5151951511.si 7&9 mi, 17’101. 115121011 ëdzlv

’71 guêtron). 561:0) 611 11:96-

159011, et 61211011611, 1155m0. 61211011611 01511 3m 1159116

2. 105] (bis) 10 F; con. Torellius. 12. 11,5 scripsi cumBCOD; 10 F, uulgo. xénon A, ed. Basil., orellius.

16 1511:6 117w .46), (9E and ’

DE LINEIS SPIRALIBUS. 119principium autem spiralis ait 9 punctum. et descri-batur circulus, cuius centrum ait 0, radius autem 8A,et linea 9E in ambitum eius incidat in puncto Z.demonstrandum, spatium comprehensum spirali ABI’JE

et lineis A9, QE ad sectorem AâZ eam habere ra-tionem, quam de x 8E 4- &EZ’ : OA’.

ait igitur circulas, in quo it QX, cuiu radius qua.-dntus’ aequalis ait 40 x 0E .1- th’, et ad centrum

eius angulus ponatur aequalis angulo ad 0 posito.ithne sector QX ad sectorem GAZ eandem rationemhabet, quam .49 x QE-I- âEZ’ÏzûA’; nam radii

quadrati banc inter se rationem habentfi) demonstra-bimus igitur, sectorem XQ aequalem ese spatio spi-rali ABFAE et lineis 46, 0E comprehenso. namsi aequalis non est, aut maior est aut minor. priusigitur, si fieri potest, maior ait. itague fieri potest,ut circum spatium, quad commemorauimus, figura.

1) Nam nectons aimilea, sine quorum anguli aequales sunt,cum rationem habent, quam circuli; tum u. Eucl. XII, 2. cfr.Zeitschr. f. Math, hîst. Abth. XXIV p. 181 m. 14.

l8. «on; pet com . F; corr. Torellius. 21. 21mm F. 23. ouF, uulgo. 27. mir] addidi; 0m. F, uulgo; post êldnmr in-sernit Torellius. 28. ôfi] scripsi; 14:9 F, uulgo.

10

15

20

25

120 IIEPI EAIKQN.sionpévov 1039601: «aperçoivent. «flâna ënlfzsôov 35 ouatai:

topéaw Gvyxatpwov, 0361:5 to 18917194211269sz exigu:petto» sïpw mû sipnpévov 10191500 adonna, 1’) élût,»

ônegs’za ô QX 10505139 mû sipnuévo’v 1019101). zam-

yeyoécpflœ (M, aux), faire 16v royêaw, à; «in! vomira:

to negzyeypappe’vov 61mm, pâmant; M11 ô 6.4K,avivons ôè ô 004. ôfiÂo’u 05v, 3m là negwaypap-pévov cumin: 52.416661: 3m 1:05 XQ rouéœg. 61.023380)-

am: à) a! 56356411. a! 101.0156011, rôts tous ymvûzg 2:01!195 0, ëor’ 85v ami 1&1: nepupépemv 1:05 8112 zoningmonôme. hit (in aveg 613056051. r95 1’69) àÂÂéÂav 15me-

exoüo’m, al aïno 17013 8 azor). 164v Sima noumnrozîam,

div éon (nylon: ph; à 84, fluxion; 6è a? 6E. Élu! 16è ami 5111m 513195505; 195 ph: Muffin me? filandre;ramâv, 195 6è 51.876061. tout. élidions 178 aux), 1:9? pe- t

75019:, ai aïno 106 6) nazi du: mû .462 rowing nept-(pe’çsmv uoumzroüo’m 101929 raïs ÜZ, nul àvuysyea- t

(pétai, 65:01:01, rom-’59 02m3 m2651: aîné t5 râv (6&1!

àÂÂâÂaLg ne ml 1:43": peytdrgz aux), o’mô 1&1: 74,5 la?

451110211011) ùzsgsxovo’âv, 0221:6 6è du; âE 015x éva-

7eyçémm. rouées 015v et daté 1&1: 365w éliminas 1:5 ml

a; 11576619: atout 70139 rowing 170139 022:6 niai m3 la?àMoÉÂcw ônspsxovaüv 160934; 105 aîné 1&9 fluxions1044.5009 êÂoÊo’dova 167011 Ëzovn, fi rô 021:6 râg (5)11 nazi

tôt dvvaptpôrsga 1:6 ne 151:6 1&1; dû, QE mi 16 roi-tov pênes mû aïno ré; EZ rezçaynîvov. garni 6èrots ph; rouésadw rots aïno 1:5"; 565v éliminas 1:8 and

6. péyunoç] scripsi; page»! F, uulgo. 94H ed. Bail,ToreHius (qui etiam in figura. H pro K habent); OAK F, uulg0*

7. flamants] sari 51; clameur F, uulgo. 8. 6117100004"F, uulgo. 9. ôù a] scripsi; ut 0m. F, uulgo. 10. :95]

DE LINEIS SPIRALIBUS. 121plana circumscribatur ex similibus sectoribus com-posite, ita ut figura circumscripta spatium illud ex-cedat spatio minore, quam quanta sector QX spatiumillud excedit [prop. 23]. circumscribatur igitur, etsectorum, ex quibus figura. circumscripta compositaest, maximus sit QAK, minimus autem 604. ad-parét igitur, figuram circumscriptam minorem essesectore QX [p. 101 net. 1]. producantur igitur lineaeaequales angulos ad punctum é? efficientes usque eo,ut ad ambitum sectoris 9A Z perueniant. sunt igiturlineae quaedam aequali spatio inter se excedentes,quae a. puncto 8 ad spiralem ductae sunt [prop. 12],quarum maxima. est 9A, minima. autem QE. sedetiam alise lineae sunt, numero una pauciores illis,magnitudine autem et inter se et maximae aequales,quae a puncto é) ad ambitum sectoris A82 ductaesunt, praeter 02, et in omnibus lineis, et iis, quaeinter se et maximas aequales sunt, et iis, quae aequalispatio inter se excedunt, similes sectores constructisunt, in 6E autem nullus constructus est. sectoresigitur in lineis et inter se et maximas aequalibus con-structi ad sectores in lineis aequali spatio inter seexcedentibus constructos praeter sectorem in minimaconstructum minorem rationem habent, quam

ûA’ : Aâ x (’9E -l- âEZ’ [prop. 11 coroll.].

sed sectoribus in lineis et inter se et maximae aequa-

scripsi; to F, uulgo. 13. «w F, nul o. 14. clam: cumcom . un! F, uulgo; corr. Torellius; éludons B; 9.02060" ed.Buiï 15. auniez; F; corr. Torellius. ut lin. 19. 17. vîm-yeypcîiponm. Torellius. 18. tonus F, uulgo. 25. 16 18]lcripsi; tu 12 F, uulgo. 27. toussant F, uulgo. aunionsF; con. Torellius.

122 IŒPI 11mn.en; 1157km; 1’009 ô GAZ 10155159, tory dt dab du 1:931’091 (tudieu 15155951011651: 1:0 15501757012111va. éléa-

eova 0151: 2.67011 5151 ô 8A2 1011.5139 1501:2 1:0 1501-

7570amu’vov influa, si) tupaîyawov rô àxô s59 8,46 21:01). si: awampôtœa 16 t5 131:6 1&1: 8A, âE un) si)

miam! 145’909 1:05 liard tüg ZE. 312 dt 167011 5151 16«i116 mais 8A 1101:1 zà 510111141211, 705101! 1611 16701! 5151

ô GAZ 101151); zut 101: XQ topiez. 03’615 adamëazlv ô Xq 101151); 1’017 «59175701211111.1501; 61151141109

10 00”11 écu dé, cillât Miaou. 01’»: dieu 5’665tzaL ô XQ a

7011.5133 1452011: 1015 xeowxopévov 11001501) 13116 15 mais

ABFAE 52.1.1109 and 1&1; AE, 0E 515’951511.01365 1:0le aérien. 501:0) 7’610 üoîddœv, ml ni

d’un rà aïno? xm5duwéeôœ. influx 61) doua-:611 561w

si; 1:0 xœptov ëyypoîzpm exigu:

5115150011 Æ 6110151011. 0011.5011

61270154157011, 15615 si) 5301111531011

xmçL’ov 11.51’6011 5511.51: 1:06 5’7-

7pa1p5’wog amincira; 5102660111,

fi village 131150151551. rô 1215:6 zw-

olov 101": Xq roulais. 37-757M900 0151:, and, 5’010) du101150011, 55 1511 01.1721561121 16

Erreyoawëvov «même 115716109

25 115v ô ÛBH, aimeras ôtôq OûE. ôfilov 01511, du id 37-

ysypaupb’vov exigu 11.5161; son1:06 Xq 101151209. mil"! 0151: 3121i

rang 700:le 1:95 laça 021110210111 15150510156125, ai 0211:0 1013

2. asocysyçupmérov 07171101 Torellius. 5. 116 ce] tu n F-) 8. X q] X F; corr. Torellius, ut lin. 9. 10. 51mn pet coup.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 123libus constructis aequalis est sectar GAZ, iis autem,qui in lineis aequali spatia inter se excedentibus con-structi sunt, [figura] circumscripta. itague sector GAZad figuram circumscriptam minorem rationem habet,quam 64’ : 9A x 8E -I- &ZE’. est autem

9.4” : 9.4 x 0E d- iZE’ g GAZ : XQ.quam sector KG minar est figura circumscripta [Eucl.V, 10]. sed minar non est, uerum maior. itaguesector Xq maior non erit spatio comprehensa spiraliABI’AE et lineis A0, 9E.

sed ne minar quidem est. sit enim miner, et cetera.eadem comparentur. rursus igitur fieri potest, ut spatioinscribatur figura plana ex similibus sectoribus com-posite, ita ut spatium, quad commemorauimus, figuraminscriptam excedat spatia minore, quam quanta idemspatium sectorem XQ excedit [prop. 23 coroll.]. inscri-batur igitur, et sectorum, ex quibus figura inscripta com-posite. est, maximus sit OBH, minimus autem 09E.ndparet igitur, figuram inscriptam maiorem esse sec-tore XQ [p. 105 not. 1]. rursus igitur lineae quaedamsunt aequali spatio inter se excedentes, quae a puncto

F. uulgo. 13. 1’ F. 1&0, si 6111112161! Torellius. l9. 51an-m Fi; corr. 8*. 24. génome] scripsi; petto" F, uulgo25. 9B1” F, nul 0* (etiam in figura F pro H); OBK ad.Baud; corr. Tare .us. Éloi nous] soi-ipsi; 51eme»! F, uulgo.26. DE F. pygargue-1101 ; corr. BD. 28. Xq] scripsi; X F,uulgo. 29. ai] 0m. F; com Torellius.

10

15

20

25-

124 IIEPI 15mn.9 1101?. 1&1: 51mn: no1uuz10150az, du 5’011 y57150151 051:9?

0A, flonflon: 65 à 0E. 51:15 65 aux). dînai. 7091110111ut data 1:05 8 :1012 1&1: 1013 0.4 Z 10915019 1150192505101nommanoüdm 101059 1&9 0.4 195 11.51: 11119051 11.19? 5’106-

061:59 1&1: 195 1’091 oËMoEÂow 130505xav0âv, 195 651:5-

75’051 (511022.01; 15 zut 19? 41571019: mon, ml 02091757011-

qooî1al. 02:16 êuoi01u9 61101501. 1011559, du?) 65 1&9 1157501119

1&1: 195 [091 ouléma 13115051000121: 01’»; àvay570oîztaa.

ai 1011559 0131: on? 02:16 1&1: (0&1: 022.1921019 15 x0519?11.571019; 11015 10139 100.509 10139 aima 1&1: 195 E093 culoi- ,

.1911: 13715051000071: 190019 1013 dora 1&9 91571101919 11.5[Çomz 1

1.6701: 510011., 1"; 10 1510dyœvo1: 113 dard 1&9 0A :1012 i16 131113 1&1: Q1], 0E aux). 113 101’101: 915’009 1013 61:6

1&9 EZ. 53’015 nul ô ébat Z 10915139 1101?. 1è 570570111:-

115’001: 0117111: 115119001: 16701: 5151, 47’050 1101?. 161: X q 101159.

15015 11.512011: ô XQ 1011.5139 1013 97592000115001: 010’110-

109. 03x 5’011. 65’, &ÂÂà 511220000. 013:1 61’001 50121: 01565

5110500011: ô XQ 1005139 1013 11501579005001: 1010m1: 131:6

15 1&9 ABFAE 52.1.1109 nul 1&1: AQ, QE 51365151.l009 50a.

uÇ’.

T951: 110015001: 1151: 11501510050971: 13:16 15 1&1: 51.511911: 3

ml 1&1: 513351621: 1&1: 51: 19": 715010009": 16 p.51: 101’101:

1:01": 65015001) 611111920161: 5’011, 10 65 151910101: 1011119?-

0101:, 16 65 1151111101: 1510azÂoE010v, and 9’155 10 5116115-

1:01: 1151161 10139 58,159 â018110139 noÂÂanÂéfiLov 1013 651:-

1. au: F, uulgo. 3. aï] 0m. F; cart. Torellius. 4. par;F; cart. Torellius. 5. 1121:] 1m: F; corr. Torellius. 195] 1addidi cum V0); 0m. F, uulgo. 6. uvayey0acps1m F, uulgo; t&va75y0aîqiavtm T-orellius. 7. 1011559 F. . 10:1: 9151101111: F;com B. 8. un: 191] 1&1: 0m. F; corr. Torellius; 1157

DE LINEIS SPIRALIBUS. 1250 ad spiralem ductae sunt [prop. 12], quarum maximaest 9A, minima autem (âE. sed alise quoque lineaesaut, quae a 9 ad ambitum sectoris GAZ ductae sunt,praeter lineam (9A, numero une. pauciores iis, quaeaequali spatio inter se excedunt, magnitudine autemet inter se et maximae aequales, et in omnibus simi-les sectores constructi sunt, in maxima autem earum,quae aequali spatio inter se excedunt, nullus construc-tus est. sectores igitur in lineis et inter se et maxi-mas aequalibus constructi ad sectores in lineis aequalispatio inter se excedentibus constructos praeter sec-torem in maxima oonstructum maiorem rationem ha-bent, quam QA’:QAX0E-f- &EZ’ [prop. 11 co-roll.]. quam etiam sector 0A Z ad figuram inscriptammaiorem rationem habet quam ad sectorem X Q. quaresector Xq maior est figura inscripta [Eucl. V, 10].sed maior non est, uerum miner. itaque sector Xqne miner quidem est spatio spirali ABI’AE et lineisA0, 69E comprehenso. itaque aequalis est.

XXVII.

Spatiorum comprehensorum spiralibus et lineis,quae in circumactione sunt, tertium duplo mains estsecundo, quartum uero triplo mains, quintum ueroquadruplo mains, et semper deinceps insequens spa-tium toties multiplex erit, quam spatium secundum,

manu 2. 10. m3] 0m. F; corr. B. 13. 9E] AE F; con. B?14. Sus] son» per comp. F; corr. BC. 16. nem; per comp.

F; con. Torellius. X q] scri si cum Cr; X F, uulgo, ut lin. 16,18. 20. un: F; con. Tore lins. 21. 11’ F. 23. 191mm]ÎF. et sic semper in hac propositione, niai quad interdumicrîbitur u’ (p. 126 lin. 7). ’

O!

10

25

126 DE?! W.176’000 141191500, rô 6è 21:96:01: tarpan: fatma pégog 3613

105 6512114901).

fera) à «pommera SALE à: se a; «paire; uepcqaopq?ysypapps’va aux). à: se? ôms’pçz aux! à: sont; Europium

ôxoauwoôv. 561:0) a; àpzà ph: si; Slang sa 8 dupâtes,à 6è 9E 5605m 02910? 1&3 nspaqaopüg. n51! de xœpfawEn: 16 phi K 16 nçôrov, :6 6è A 16 6519159011, 1:6 ôèM

16 195107, rô 6è N rô damnai, «3 0è E rô négatonôsmzëov, 57L 1:6 (Lès: K 11095011 garou pépog Étui rot";

êzops’vov, 1:6 6è M ômÂoîdLov :01": A, rô 6è N 19L-

«105mm: 1:06 A, au). mais: êâfig de! zô ëxdysvov smila- a

nléazov toi? A un? vos); êëfig âpvfipoüg.

5m, pâti 015v 16 K 5mm: pépoç au: roi. A, gicle tdandina. 3m52 zô K11 zeugma: and 76v 65151789011

uüulov ôsôetnmz 1015m»

510v rôv 11691012, 312 51501d: Ç’ and rôt Lfl’, ô 6è

ôafitspoç mîmes arc-xi si)»

12905101: zoulou, à; Lfi’

azor! rôt y" 6132.01: 7059leur ô 6è zoning mî-uÂoç 101:1 1:6 K xmgz’ov

âge: sur). to K papion! 1:06 A. «051w 6è ml 16K AM 100945011 and rôv toisas; zoulou ôsôaûàm ("in1061011 fixai. vos: 2.67011, 31; E151, ovvapqaôzsçov r6 se

67:6 F0, Q8 aux! 16 mérou pëgog roi; (fard 1&9 F3

3. agouaLpsvm F. 5. de] addidi; 0m. F, uulgo. 10. Nronflâmes] H PH FC”. 11. nananlamov F. 16. ËzovLÎcripsi;E180? F, uulgo. 17. naos pet comp. F; corr. Tore ’ns, uthn. 23. 28. gnou] s’ FBCO; au! A; [vos ed. Basil., uulgo.24. A] A F; cuir. A. 27. P98 F, uulgo. a

6’154, ais y’ azor! a’, 52mn: t

DE LINEIS SPIRALIBUS. I 127quoties indicant numeri ordine sequentes, primumautem spatium sexte. pars est secundi.

spiralis proposita in prima, secunda, reliquisquequotlibet circumactionibns descripta sit. principiumautem spiralis sit punctum 8, linea autem 6E prin-cipium circumactionis. spatiorum autem primum sitK, secundum A, tertium M quartum N, quintum 15;.demonstrandum, spatium K sextam partem esse spatiisequentis [A], spatium autem M duplo mains spatioA, spatium autem N triplo mains spatio A, et reli-quorum spatiorum semper deinceps insequens totiesmultiplex esse, quam spatium A, quoties indicent nu-meri ordine sequentes.

iam spatium K sextam partem esse spatii A, hocmode demonstramus. quoniam (hmonstratum est, sp1»tium K -[- A ad secundum circulum eam habere ra-tionem, quam 7: 12 [prop. 25], secundus autem cir-cnlus ad primum circulum eam rationem habet, quam12:3 (hoc enim manifestum est) 1), primus autem cir-culas ad spatium K eam rationem habet, quam 3: 1[prop. 24], erit igitur spatium K sexte. pars spatii A?)rursus autem demonstratum est, etiam spatium

K -I- 11 -l- Mad tertium circulum eam habere rationem, quam

F9 x 8B -l- «kI’B’ : FG’ [prop. 25 coroll.];

l) Ex Eucl. XII, 2; nam 9B z:- 29A.2) Sit enim circulas primas 0,, secundus 0, cett. erit:

lit-11:0, a: 7:12, C, : 0, :- 12 : 3; inde ôL’ [son (Eucl. V,22,lîK-I-.I1:(Il :7:3. est autem 0,:K::-3:1; itaqueà Ïuw:K-f-A:K:7:l;8iue K-I-A:7K,A :GK.

10

15

20

25

128 HEPI 1mm.rerçayaivov azor! rô àazô F0 rsrpoîymvov. ô ô! retro;soulas 5st azor! rôt: ôsürsçav alizier, 31: rô (in!) râç

FQ rsraéyævov azor! rô ne) râg 8B. ô se ôsôregog315x109 flet. azor! sa K11 xœptov, ’31: rô éazô B9 re-rpoîymvav azor! rôt avvawpa’rsaa 16 ra ôazô raïa; B8,

94 aux! rô miras: pépog r06 dazô raïs AB rnçayaivov.aux! ra KAM 59a azor! rô K11 1.67011 515L, 311 rô au?)râv F9, 9B aux! r6 rama: (réacs raïa àazô raïs FBazor! rô 15m! râv B9, 01 au! rô rafrov pipas roidata râg AB rsrpuynivav. raôra ô! 5x51. azor! 31.1.4114:1.67011, 311 tô’ azor! ra! Ç’. dicte aux! rô KAM 1mm

azor! ra AK zœaz’av mûres: 5st rôv 1,671011, du Wazor! ra! Ç’. «me, 015v ra M azor! rô K11 1.67011 État,

31: rà zfi’ azor! tu! C’. rô a; KA azor! ra A 167wExu, 311 ra! C’ azor! ri 5’. 6511011 015v, (in ôuzhidzôv

3er rô M r05 A. au 6è a! êazo’yava rôv raïa: e’âfig3

alarmais! 1.67011 Exez, ôszxfiqo’s’rm. ra 7&9 KAMNE

azor! rôv aubain, 015 écrw à: r06 névrçov à 9E, r05-rov E15! r61! 2.67011, 311 fixa! cwaazçvôrsaov r6 ra intèî

raïa: E0, Q4 azegLGxôysvov aux! rô tairas: (15’909 r06àazô râg 4E rsrçayrâvov azor! rô 02m3 râç (9E terpé-

ymvov. ô ô! minas, 015 sans: à; r05 ue’vrpav à 0E,azor! rôv xüulov, 015 sur": à; r05 usurpai) à (94,1:05-rov 518L rôv 2.67011, 311 rô àazô raïs QE rnçdyawovazor! ra (in?) râç (’94 zsrgéyawav. 6 6è unifias, 015écru: à: r05 ue’vrpav à 4(9, azor! rô K A MN 1430501!

roûrav 5x51. rôv 16701), 312 rô àazô raïs Q4 ragtim-

2. me F9 F; corr. Torellius. 7. na! rà KAM dans us-gue ad roi: dard 1&9 AB rsrgayoôvou lin. 19 am. Fa, uulgo. fîtortasse abesse passant; suppl. Commandlnus (rnw pro tu!

lin. 9; corr. lIÏorellius), niai quad omisit rsrquyaôvaa lin. 10,quad ipse addidx. 10. «au; par camp. F; corr. Torellius.

x

DE LINEIS SPIRALIBUS. . 12m

circulas autem tertius ad secundum eam rationem ha-bet, quam 1’792 : âB” [Eucl. X11, 2]; secundus autem

circulas ad spatium K -f- A eam rationem habet, quamBûngâ x (9A -]- âAB’ [prop. 25]; erit igitur etiam

K -]- A 4- M: K -I- A: FQ X âB -]-- àFB’ : 367x âA -]- àABz, l)

h. e. --- 19 : 7.2) quare etiamK-f-A-f-MzA-I-Kzl9z7.

ergo M: K -]- A ---- 12:7 [Eucl. V, 17]. sedK -f- A : A z 7 : 6.

[ergo M : A : 12 : 6 (Eucl. V, 22)]. quare M : 2A.iam demonstrabimus, spatia insequentia eas ratio-

nes habere, qaas numeri deinceps ordine seqaentes.nain spatiam K -]- A -I- M -]- N -]- E ad circulum,cuius radias est linea 69E, eam rationem habet, quamE6! X 8.4 -]- à AE’:&E2 [prop. 25 coroll.]. circulasautem, cuius radius est ÜE, ad circulam, cuius radiasest (94, eam rationem habet, quam ÛE’ z ("2212 [Eucl.

m, 2]. circulas autem, cuius radius est de), adspatium K -]- A -]- M -f- N eam rationem habet, quam

1)Nam K-I-A-f-M:C,, :rexes-i-yîshre’,05:02 ---- FG’ : 9B2, h. e. (Eucl. V, 22) K-I- A -]- M: 0,

: F9 X 63 -I- âI’B’: 98’;sed 0,:K-i-A:QB’:B0xOA-I-âAB"; tam a. Eucl. V, 22.

2) Nam FQ:39A, 93:22.4, FB:AB:0A (p.109uot.1); quare F8 x 013 .4- ;rm : se x (M 4- A32:6942]- 739,0 : 269434-à9fl g 19942 z un : 19 : 7.

allyle: FBCO. 15. mir fin] on am! utrumqae per camp: F.17. HKA, MNE.’ F. 20. raw per camp. F; cart. Torellius.26. Su] seripsi; aïno F, uulgo.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 9

10

15

20

130 1mn EAIKsaN.1:01: azor! ra! ovvayqao’rsça r6 ra 6m) raïa: Q4, QF aux!

rô rotroa: guipas r01": dard râg 41" rsroayaivov. am!rô KAMNE üça azor! ra K AMN 1.67m: fixer, 31: r615m) raïa: QE, Q4 aux! ra rgdroa: psoas r05 du?) raïs4E azor! rô 13m) raïa: 4Q, QF am! rô rotroa: gréco;r05 du?) raïs 4l". dasldrrr ara! rô E xœpioa: azor! r6KAMN 1.6701: 515L, 3a: a! ônepozà r06 ra ôarô E69,Q4 (and: rot": rotrov peinas r01? àazô râg E4 aux! roi:15m3 raïa: 4Q, QF and: r06 rairov (15’950; r01? du?)raïs 41” azor! r5 rô ôazô raïa: 4Q, QF ara! rô rplrovpégoç r06 aïno râg 4P. ôzepe’zsa ô! rôt ouvapqadraaa

rafla: ovvayqaors’çaw, a; aux! ra aima raïa: EQ, Q4 roi:ont) raïa: 4Q, QF. faarsgs’xaz 6è r93 faazô raïa: 4 Q, TE.

rô E â’ça azor! rô K AMN 167m: 5151,, 31: rô 13m) raïa:

Q4, TE azor! rô and raïa: 4Q, QF am! rô rama:(râpa; roü du?) raïs F4 rsrpœyaôvov. duit ô! raïa: ani- 1raïa: ôsrzôayoe’raa am! r6 N azor! rô K4 M 1039501: 1.6-

yoa: 5101: roôrov, 3a: ra Ôazô raïa: QF, B4 azor! ràowaaqaôrspa r6 ra du?) FQ, QB aux! rô rotroa: pipasr05 aîazô I’B rerpaqmôwv. r6 N ligot azor! rô KAMNxmçloa: roôroa: 515L rôa: loyer, 3a: ra 15m) QI’, B4

azor! r6 15m3 QF, B4 aux! ra 15m) QF, QB aux! r6

I I N ’ K I- , I ar94roa: 51.5905,- rov aazo rag I’B [anal aveindra] rama

4. râal] raw F; con. Torellius, ut lin. 5, 10, 13 (a1t.), 14 etlin. l2, l3, 15 (camp. F). 5. 48] AQ FD. 7. n varan" F;corr. Torellius. 8. mon; F, uulgo. aux! r05 aîné . . adraïs 41” lin. 10 0m. F; corr. Torellius, nisi quad raïa: 1in.9omisit. 10. nerf] azaac F; corr. Torellius. 12. E94 F ;com Torellius. 13. 4 QF F; corr. Torellius. 14. 31 r6]ou ra F; 001T. A; 5a: r5 ro’ B. 16. r1]; F; corr. Torellius.19. r6 ra] ra: ra F. FQB F, uulgo. 22. r6 131:6 QI", BJand] addidi; am. F; post PB lin. 23 addunt Commandinus etTorellius: aux! rà 151:6 QP, B4. and] 0m. F; corr. B. 23.aux! âvdnalw] delco.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 131042 : Q4 X QF-l- à 4F” [prop. 25 coroll.]. quareerit etiam

K-kA-t-M-I-N-f-E:K-]-A-l-M-]-Nz QEXQ4-l-à4Eîz4QXQF-f-à4fgfl)

et dirimendo [Eucl. V, 17] eritSizK-f-A-f-Mfl-N:EQXQ4-]-]E4’

e(4(9x(9F-I-J;AFO):AQx0F-l- gAF”.sed EQ XQ4-I-àE4zvz-(4Q X QF -]- J; 4F’)

:EQXQ4e4QXQF[quia E4 : 41”] : 4Q X TE. erit igiturE:K-I-A-I-M-I-NXQ4XFEz4QXQF-kèf4’.et eadem ratione demonstrabimus, esseNzK-i-A-i-M:QfxB4:FQXQB-]-«2;FB’.erit igitur NaK-I-A-f-M-l-N

z QFXB4zQFX QB -]- èFBS-I-QFXBAÂ)sed QFXB4-l-QI’XQB-I-«5FB’

: 4Q X QFfi- à F42 [nain F4 : FB].

K-FA-I-M-i-N-t-EI:C,,:EQxQ4-l-è4Eî:QE’,et 05:C,:ÜE’:94’; ande Eucl. V, 22):K-FA-FM-kN-FE:C,:EQXQ4-1-y4E’:Qd*;sed a, K-I-A-I-M NseÆÆAxeP-Haræmm

u. Eucl. V, 22.2)CamsitN:K--t-A-]-M:QFXB4:PQXQB-f-âFB’,

erit etiam aveindra:K-ç-A-g-MzN: PQxQB-I-ayPB’:QPXBA,

et avrfle’alrrK-i-A-l-M-f-Ner:FQXQB-l-âFBz-I-QFdezQI’XBA,et. âvânalwN:K-f-A-]-M-]-N:0FXB4:FÜXGB-I-âFB’dI-QFXBA.Bine simul intellegitur, ineptam esse additamentum aux! abai-arazlw lin. 23; nam proportio N : K 4- A -]- M -]- N ipsa cirai-arazlra: orta. est. bis aerbis deletis hoc quoque adipiscimur, utuerbum raôra lin. 23 habent, quo apte referatur(se. QF X B4 -!- QI” x Q3 -]- àFB’, proxime antecedeas).

9*

132 IIEPI EAIKQN.ô! [au êvr! r95 ra on!) raïa: 4Q, QF am! r93 mira)peau roaï dard raïg F4 rsroayaivav. âne! oaïa: r0 (ah:E xœaafaa: azor! rô KAMN roüroa: 5x5: rôv,lôyoa:, 3a:

r6 me) raïa: Q4, FE azor! ra! ovvapqaôrsoa r6 r5a and raïa: 4Q, QF ara! rô rglraa: guipas roaï aïarà raïg

F4 rsrçayaivov, ra ô! KAMN azor! rô N, 31: rôtovvaycpôrsoa ro’ ra aïno raïa: 4Q, QF aux! rô rotroa:p.590; r05 aïazô raïs F4 raroayczivav azor! ra aïazô raïa:

QF, 4 B, 5st 59a arak! rô E azor! rô N rôa: arairôa: 16701:,

10 3a: r6 aïno raïa: Q4, FE azor! ra Ûazô raïa: QF, 4B.rô ô! aïazô raïa: Q4, FE aror! r0 15m5 raïa: QF, 4Brôa: mlrôa: 515L lôyov, 3a: aï Q4 azor! ràa: QF, sur!tout. Ëvr! a! FE, B 4. daïÂoa: oaïa:, du ara! rô E azor!rô N roaïroa: fixez rôa: 167w, 3a: aï Q4 azor! raïa: QF.

15 ôpaoa’aag 6è ôaLxôajos’rau am! rô N azor! rô M r05-

roa: 51m: rôa: lôyov, 31: aï QF azor! raïa: QB, aux! r6M azor! ra A, 3a: a! BQ azor! raca: AQ. a! 6è [E8]4Q, FQ, BQ, AQ salariat! rôa: raïa: ëëfig 0291.19anlôyoa: 510m.

20 anf.E! aux êaz! raïç 311x09 râg à: dazoaçcoaïa: aregupogqï

715790451415qu 6150 dupant 2.05923500er a1) ra! aze’gazra,aïazô 6è raïa: Aaqaôe’vraaa: capelan: ËŒLÇEUZÛÉŒWZL 515495171!

en! raïa: éclaira: raïs 51ans, am! margea ph: raï aïpzçï25 raïa; 311.209, ôaaarajpaîrao’oa 6è raïs dard raïa: capelan:

sa! raïa: 02916": raïg glanas minima yçaqas’awra, rô aragn-

Âaqaôèa: xœça’aa: aïno ra raïç pataras raïa: azaQanspeLâa:

3. «on; pet camp. F; corr. Torellius. 4. r6] (alt.) scripsi;ras F,.ualgo. ô. 4QF F, uulgo. 6. rà 85’] ra: de F; con.Torellius. 7. AQI’ F, uulgo. 8. r6 and] ra ana F; cart.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 133iam quaniamE:K-I-A-]-M-;-N:Q4XFE:4QXQF-l- un!etK-f-A-l-M-l- NzN: AQXQF-l- «31”42:QFX4B[Eucl. V, 7 azooao’aœ], erit igitur etiam [Eucl. V, 22]

E:N:Q4XFE:QFX4B:Q4:QF(quoniam FE ---a B4). adparet igitur, esse

E : N : Q4 : QF.et eodem modo demonstrabimus, esse etiam

N:M:QF:QB,M:AI:BQ:AQ.sed lineae 4Q, FQ, BQ, AQ eam rationem habent,quam numeri ordine sequentes. 1)

XXVIII.

Si in spirali qualibetz) circumactione descriptaduo pancta sumuntur, quae termini eius non sunt,et a punctis [ita] sumptis ad principium spiralislineae ducuntur, et circuli describuntar, quorum cen-trum est principium spiralis, radii autem lineae apunctis ad principium spiralis ductae, spatium com-

1)Erit igiturE:N:M:A:Q4:QF: QB: QA. hincautem intellegitur, lineam EQ male additam esse lin. 17. ne-que enim si ullum spatiam respondet.

2) Propositio de omni spirali aera est, sed ab Archimede(le spirali ana circumactione descripta sala demonstratar; qaarearnaquais lin. 21 saspectam est; cfr. p. 12, 12.

B» raïa] ra F; corr. ABD. 10. rô 15m! raïa: Q4, FE «ourepetuntur in FVA. 11. 64] 9A F; corr. manas 1. 17.un] roa: F; corr. B. EQ] delco. 19. 51mm F. 20. m7’]0m. F. ’ 21. ônamaaïv] au; Nizzius. 22. hammam! F uulgo.23: Étagevzôémam scripsi; engoulâmes": F, uulgo; dartre;-Oam Torellius. 25. dauarnaaïrsaaa] scripsi; ôaaampaaz FC;aluminera uulgo; ôaaarnpaîaaa Torellius. capelan] sic F.6. au and F; corr. Torellius.

10

15

20

134 nEPI EAIKszN.raïa: ganga) raïa: 8139615": am! raïg 311x09 raïs pas-ratât)raïa: adraïa: salôsaaïa: am! râg salarias raïs s’anfilrlôea’oang

roaïroa: âge! rôa: Âôyoa: azor! rô aïazolanzpôèa: xmptoa: dazo’

ra raïs êÂaïooovoç azeçnqasçan’ag am! raïg andraïg gitana;

am! raïs 5608m9 raïs êaraÇavyvvoaîdag rôt aze’panran andraïv,

3a: a! âan r05 anévroav r06 êÂaïooovag andalou and 6150roaraaapn’ma: raïg üeooxaïç, aï aïazsps’xsn aï ëan rat": anév-

roav r06 pacifieras andalou raïs ëan roaï anévrQov raï-éléooovog andalou azor! raina: ëan roaï anévrçov r05 éléa-

ooa:ag anaîanlav and 51:65,- ronranpopa’ov raïs andraïç dansa-

axés.

fora) ÈME, ëqa’ dg a! ABF4, sa: au; azspupogçï ys-yoançnys’van, am! ÂsÂaîqJÛaa ëar’ andraïg 6150 canasta ra! A,

F, dinars rô Q damna: &pzàa: dansa: raïs guanos. am!aïazô raïa: A, F ëanaÇsaSzôaaaana: en! rô Q. am! anévrpça

r95 Q, ômorawaïrso’oz ô! raïs QA, QF anémia! ysypaïnp-

bandana deaanrs’ov, n’ira rô E zozoter azor! r6 H rôa:

aôrôa: 5st Adyov, 3a: 5st awaaznpôrsooç a? r5 46am! 6150 ronranuôpm raïs HA azor! dvvaaaqaôrsooa: raïa:

ra AQ am! 3a: roarauôpnoa: raïs HA.rô 7&9 laoçn’oa: rô N H azor! rôa: HFQ rayée: ds-

dsa’anran raaïroa: 510v rôa: 16701:, 31: 515! r6 ra du!) raïa:

HQ, AQ aux! rô rotroa: 415’909 roaï aïazô raïs AH raman-

1. raina: arrangé] scripsi; rang arrange F, uulgo. 2. enfila]-fismg F. 3. negrlantpôs’aa? 6. flâneras 0m. F; cart. To-rellius. 7. vansgozsn F. 9. anar! raïa: an roaï anévrgaa: roiéléaaaraç minima] 0m. F; cart. cd. Basil. (azaôg raïa: pro anar!raïa, quad corr. orellius). 10. ronrnuooaov F. 12. ès] ad-didi; 0m. F, uulgo. 15. rnzïrè rata: per camp. F. 5605m1.in! cd. Basi1., Totellius (non B *). 16. r55] ra F. 18. ra]addidi; 0m. F, uulgo. A Q] H Q FBCO; QA uulgo, ut lin.20. 19. roua] com FCO. HA] H FBCO. 20. HA] MAFBCO 22. zou] B*, Nizzius; sznov FCOV; Ëxsw uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 135prehensum majore eorum arcuum, qui sunt interlimas, et spirali inter easdem lineas posita et linea.productal) eam habebit rationem ad spatium com-prehensum arcu minore et eadem spirali et linea ter-minos eorum iungenti, quam radius circuli minoriscum duabus partibus excessus, quo radius circuli ma-ioris radium circuli minoris excedit, ad radium cir-culi minoris cum tertia parte eiusdem excessus.

sit spiralis, in qua ait ABFA, uns, circumactionedescripta, et sumantur in ea duo puncta A, I”, ita utpunctum 6) principium ait spiralis. et a punctis A, Fad punctum Q [lineae] ducuntur. et describantur cir-culi, quorum centrum sit 6), radii autem 6L4, ûI’. de-

monstrandum, esse Z:H:Aû-i-ëHzleQ-i-gHA.nam demonstratum est, esse N -I- 17 : HFÊ

1’ A

: HQ X 109 -l- 43.4112 : H62 [prop. 26].

1) Indicandum erat, radium circuli minoris ad ambitumora-euh maions producendum esse.

5

10

15

20

25

136 HEPI EAIKSIN.7161100 11011 16 02716 1&9 Hâ 1510127161101. 01-616 6911 16

E :1011 16 N17 1051011 5151 161 1.6701, 31 5151 16 61161&1! 8A, AH (15161 6150 19110111091631: 105 6116 1&9 HA

1519117161101: :1011 161 001111qu611911 16 1e 6116 1&1 A8,9H 11111 16 191’101 111’909 106 11716 1&9 HA. 11111 31151 16

N H 159911011 «:011 1611 NUE 1011601 1061011 5151 1611 16;!01,

311 5x51 601111193615901 16 15 6:16 1621 0A, QH and 16191’101 (11’909 106 6116 1&9 HA 11011 16 6116 151g 0H

1510127111101, 6 66 N11 E 1011569 11011 1611 N 1011601 106-

101 5x11 161 16yov, 311 16 6116 1179 (0H 2101116 61216112;

HA, 5551 11011 16 NII 11091011 11011 1611 N 1611 1161611.67011, 31 5151 60111116615901: 16 11 6116 8A, 9H11)16 191’101 labos 105 61116 1129 HA 11011 16 02716 6A.16 62911 N11 11011 16 II 1.67011 5x51, 311 601111111116119011

16 1e 6116 1&1 HQ, (6A 11121 16 1911011 111’905- 1oô 6716

115g HA 11011 60101116615901; 16 1e 6116 16211 HA, (9A110:1 16 191101 (11’009 106 11116 1&9 HA 151911716101.

61151 0611 16 E 11691011 :1012 16 N11 1017101 53551 1611.67101, 311 élu amiawpôupov 16 1s 6216 ÛA, AH mû660 1911111169101 105 6216 1519 HA 13191171161101: 1101116

avvampônça 16 1a 6116 117w HQ, (9A 11121 16 191’101!

115’909 105 01116 1&5 HA, 16 66 N H 1629101 11011 16 II1051011 5151 1611 1.67011, 31 161 601111192615901 16 1e 15116

1&1; H6), HA :1111 16 191’101 (1690; 106 11116 1&1; HA1519117106101) :1011 dwayçpônpov 16 1e 6116 1&1 HA,AGI 11011 16 191101 115’905 105 12116 1&g HA 15191176-

100, 5511 un! 16 E 71011 16 II 105101 1611 16701, 611

1. 1179 F; con. Torellius. 3. OAH F, unlgo; aimilîterlin. 4. 6. NUE] N115 FD; NE? uulgo; cor-r. Torellius. 7.1&1] 1m: par comp. F; corr. Torellius. 8. 1&9] 101) par comp.F. 9. N115: FV. 11. N 1011611 B, cd. Basil., Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 137quare eritl)

E:N-I-II:(9AXAH-I-âHA2:AâXHH-i-àHA’.et quoniam estN-i-H:N-f-II-l-E:6)AxâH-l-àHA’:0H’,et N4- H-f- E: N:- 0H2 : 8A’,’) erit igiturN-l- H: N:ŒAXQH-I- àHA’:0A3 [Eucl. V, 22].itague

N-f-II:IIAHQXQA15HA’:HAx8A-I-èHA’P)iam quoniam estE:N-1-II:(9AXAH-I-&HAzzHŒXQA4-fiHA’et

N-l-II:H:H(BXŒA-f-«QHA’:HAXAâ4-«gHA’,

1) 611111111111: HFQ: N-f-ÎI:H92: HQXAG-i-iAHg;unde 61516111:EaN-f-I’I:HQ’è-(HGXAQ-I-âAH’):HGXAO-ln-à-AH’.sed 1192.7010 x 10 4- Mm):HA’fl-AQÎ-I-2HAXA9-1-HAxAO1A0’1-QAH”

(Eucl. Il, 4) slfleAÊ-I-ëHA’.2) Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 14. cfr.

p. 119 not. 1.3) êmorçéæpuvu (Eucl. V def. 17) erit

lia-I-H:H:6Ax9H-I-ÊHA’:QAxOH-l-àHA’é-QA’.

a erit .94X9H-l-â-HA’1ÛA’ a QAX(QH1 9A)-[-*HA’-.-. 19,1 x HA 4- 1H1!

Figura in F paullo aliter descripta. est, numeris additis. 14.MI zmçfo’u ad. Basi1., Torellius. 1101i] 119° F; corr. Torel-hllB. HA 01161119101800: F; corr. B. 15. H911anlgo; almiliter lin. 19, 21, 24, 25. 16. HA] (prima) MA F.

1101!] 0m. F; corr. B. 9A] 0E FV. 21. 1116 1&1]mon: F. 27. El ZŒQL’O’V ed. Basil., Torellius.

10

138 HEPI EAIKQN.5151 61104193615901 16 15 6716 1&1 HA, HA 31011 61501911011169111 106 01716 1&9 HA 91011 61101991615901 1615 6916 1&1 HA, HA 11011 16 191’101 115’909 1013 à216

1&9 HA. 161 65 01101119161590: 16 15 6116 1&1 HA, HA11011 660 1911011169101 106 01716 1&9 HA 21011 61101qu.6-

15901 16 15 6716 1621 HA, HA 11011 16 191101 115’9091013 61:16 1&9 HA 151901106101 105101 5x51 161 11.6701,31 5151 611011107015’901 61’ 15 HA 11011 660 1911011169101 1529

HA 2101?. 0110111420159011 1021 15 HA 91011 16 191’101115’909 1&9 HA. 617101 061, 6’11 21011 16 E 15109101 :1011

16 H x009101 105101 5x51 161 16101, 31 01101119301591!61’ 15 HA 11011 660 1911111169101 1&9 HA 1101?. 61210151-

93615901 1011 15 HA 11011 16 191101 115’909 1&9 HA.

1. HA] HH F, ut lin. 3. 4. HA] HH FV, ut lin. 8,9, 12, 13. 5. 01101119015901 F, uulgo. 6. HA, HA] HHA F;corr. A. 11. 11] scripsi; N F, uulgo. 12. 01111119301591.7111?

1;. 1e] addidi, 0m. F, uulgo. In fine 1191111116019 11591 51.1-1001

DE LINEIS SPIRALIBUS. 139erit etiam [Eucl.- V, 22]

5:11: æAxAH-i-gHAzzHAxAQ-HHÆ.sed erit

69A X HA-l- gHAzzæAxHA-l-èI-IÆ--- 0A -f- êHA : 6L4 4- èHA.

adparet igitur, esse etiamE: H:QA-I-3LHA:QA-l-&HA.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS.LIBRI H.

’Emne’dœv iôoççozwîv fi xévrga fiaçcôv

ëmze’dcav a’.

a’. 1431015115190; rôt [au fiégaa ànô lamai panéœv i609-

çoazal’v, rôt 6è l’au 1302950; o’mô tafia: àw’aœv panèrent gui

à Efiogçoataîîv, 15116; és’mw 6’211 tô flépoç 1:6 &atô 1:06 pei-

Çovog minces.6’. a! au; fiaçe’œv faogçonao’yrœv aîné www ya-

xe’aw and t6 Êtegov 70511 fiaps’aw nomsôfi, pi] i609-jgonatv, (9110? (55151.11 éd rô [305909 594317110, 95 notate’flq.5

10 7’. 611054139 6è mi, si ne: 0221:6 roi? êrs’gov :4511 fia-ps’aw âqampeô’fi n, w) idoçponaîîv, 0111:3: ée’new fini 16

502909, âq)’ 015 013x &myps’ôn.

6’. 1:an ÜGOJ’U nul ouOL’œv 6111114110311 ëmn’ôœv àpag-

yoâopa’vaw ën’ (ï11a1œ and tôt xéwgu raïa; flape’aw

15 épagpôëæa éac’ 551104105.

6’. 105v 6è 0211160311, 6410m1) 6è rôt nëwga raïa; flan

95’ko 64105033 êddairm nigaud. ôyoz’mç 6è 115705459

(musiez usa’aôal, 21012 tôt épura azfipwwa, ohp’ 05v M

têts [dag yawiag &yoys’vou 5151955011, zOLE’OWL 70012501; in;

20 fieri tàg 651016701); 118119029.

3. wagon-cum comp. m: uel w F, ut lin. 5 bis. 5. ldfio-j9011:va F, ut lm. 7. 8. u, mi Torellius. 9. sumac F;corr. Riualtus. 12. âtp’] corr. in atp’ manu 1 F. 14. a1-1171u F; corr. Torellius, ut lin. 15. 15. êqzagpâg’sw Torellius.17. êaoea’tw] scripai; sel-zou pet camp. F, un] 0;lins. 17. 1éyopsv F, uulgo. 19. nourri: à, uulgo.

alun Torel-

De planornm aequilibriis sine de centris grauitatisplanorum I.

I. Supponimus’), aequalia pondera ex aequalibusongitudinibus suspense. aequilibritatem serua.re, aequa-ia uero pondera ex inaequalibus longitudinibus sus-)ensa. aequilibritatem non seruare, sed ad pondus enaiore longitudine suspensum uergere.

Il. Si, ponderibus e quibusdam longitudinibus sus-nensis aequilibritatem seruantibus, alteri adiiciatur«liquid, aequilibritatem ea non seruare, sed ad pondus,Iui adiectum sit aliquid, uergere.

III. Eodem modo si ab altero pondere auferaturfiquid, ea. aequilibritatem non seruare, sed ad pondus,tquo nihil ablatum sit, uergere.

1V. Figuris planis et aequalibus et similibus con-gruentibus, etiam grauitatis centra inter se congruunt.

V. Figurarum uero inaequalium, sed similiumentra. grauitatis similiter posita erunt. puncta. autemIl figuris similibus similiter posita esse dicimus, aInibus quae ad aequales angulos ducantur lineae, cumateribus inter se respondentibus aequales angulosèfficiant.

1) (Q qutmîô’nç :031! nîmo’oegomcôv &ozôpsvoge altoüpafioz,

91W, tu [au tien 021:6 n51! i’o’ow punch! laoggonsîv’ manioc’0’"!!! M1101! à [noya 0’21: tu; agocslnoL. Proclus in Eucl. p. 181, 18.

10

16

144 Eml’IEASèN IXOPP. H KENTPA BAPQN EHIII. A’.

6’. si? na 05755950; tiaré 11mm; panée"; 13609901501011,

aux! 10? [au 01151059 du?) 115v 011310511 pans’œv 360990-

mien.Ç’. nav1ôg axfipamg, 05 na à 11594161909 3112131

05610? zona à, 1è 9151119012 105 [3059509 1311109 lehm; 655

1013 axfipa1og. - 10610011 6è 13910151960031;

01’.

Tôt &nô l’ami garnirai! 36099071501110: 1302950; i170: 501i.

5177159 7&9 6511060: 6176051011, àqzm9aôu’6aç 02716106

yetÇovoç 1&9 ôzs9ox0ïg 1è 101,110; 013m 36099091110050",

àmszôù ËGOQQOWGÔ’IITŒ’II ànô 1017 515’900 0511227961054. 07m

102 02:10 10511 mon; panâmv fioi95a 63099021501110: [0a 31115.

fi’.

Tà 02110 1051: Kami panée»! 51mm fid9sa 0151: [609-90711760171111, 021101 és’afiu :5711 16 1.002011.

â(paL9aôsL’aag 7&9 10":; 13915901079 56099oamdoûm,

51150613 1è l’au dab 105v 1760011 000102011 36099071501111.

nounôe’wog 013v 105 âtpaz9585’wog éÉIIIEL 6’712 1è pu"-

Çov, âne) 36099015611011: 105 515’900 71016152917.

2. laoggomioew Torellius. 5. mon par comp. F; cm.Torellius,. 6551: Torellius. 7. 01’] 0m. F; corr. Torellius.11. n. 00015 Torellius. 13. 9’] 0m. F; corr. Torellius. 14.(«09901111000114 scripfsii 1000901100er F, uulgo. 19. 1:05; 5150m :

natstæ’ôn] scnpsl; nonuâ’m F, uulgo; nomsflï] 1L To- 1rellius.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS etc. 145

VI. Si magnitudines e quibusdam longitudinibussuspensae aequilibritatem semant, etiam magnitudinesiis aequales ex iisdem longitudinibus suspensae sequi-libritatem seruabnnt.

VII. Cuiuslibet figurae, cuius perimetrus in eandempartem cana estl), centrum grauitatis intra figureraesse necesse est. -- His autem suppositis

I.

Pondera, quae ex aequalibus longitudinibus sus;pensa. aequilibritatem semant, aequalia sunt.

nam si inaequalia. erunt, excessu a. maiore ab-lato, quae refinquuntur, aequilibritatem non sema-bunt, quoniam aequilibritatem semantibus ab alteroaliquid ablatum est [postuL 3]. quam”) quae ex aequa-libus longitudinibus suspense. aequilibritatem semant,aequalia sunt.

II.

Pondera. inaequalia e longitudinibus aequalibussuspense aequilibritatem non seruabunt, sed ad mainsuergent.

nam ablato excessu aequilibritatem seruabunt, quo-niam aequalia ex aequalibus longitudinibus suspenseaequilibritatem semant [postuL 1]. adiecto igitur,quod ablatum est, ad maius uergent, quoniam sequi-libritatem seruantibus alteri aliquid adiectum est[post 2].

1) Cfr. desph. et cyl. I def. 2.2) Nm illud absurdum est ex postul. 1.

Archlmedel, cd. Heiberg. Il. 10

146 EIlIIIEASZN IZOPP. H KENTPA BAPSZN EHIH. A’.

Iy .To1 0111060: [3059601 02710 11511 01100111 11011150011 160990-

xnaoôvu, and 10 petÇov 02710 1017 (51056601109.

501m 311160: 13029501 1è A, B, and 56100 11512011 10 A,5 1111?. [60990156111011 02710 1151111", FB 11011100111. 6511115011,

0’11 3102660311 561211 à AF 1âg FB.

1,117 71019 36101 3101660311. àq)0z19sôe[6ag 61) 1079 157159-

oxâg, ë 1571595st 10 A 101") B, énezôû tao9907156111m1102710 106 512’901) 0207119111011, 91’151. é711 10 B. 013 ës’zpez

10 61’. du 7019 1’001 501111 à FA 113? FE, i6099071n601î1111’

10: 7019 En; 02710 11511 1330111 1141100111 idop90718’01110* du:I115120711 à FA 1&9 FB, 961161 571?. 10 A’ 102 716:9 [du

02710 10511 02111160111 1.0001150111 01511 16099071501111, 021101 95’151

5712 10 01710 105 115120709 110511505. 6161 617 1016101 151020-

15 60111 361111 à AI’ 107ç FB. - 07011159011 65’, 511 110d 1è

02710 11511 0111060111 1.0011150011 176099071s’o111a â’vadoî 31111, 1101?.

10817:611 561L 10 02710 105 651056001109

6’.

El 1:01 6150 [du 115732950: 1117 10 011310 11151119011 1017

2° fiâ9eog 51011110, 1017 ëg 02119101690111 10311 11.5751950111 6117-

1. 7’] 01’ et 5’ F. 3. 11215011] pet coup. F, ut lin. 4.fléau-roc] per camp. (in meurs), F, ut lin. 6, 7. 7. 7&9]


III.Poudera inaequalia ex inaequalibus longitudinibus

suspense aequilibritatem semabunt 1), et mains e minorelongitudine suspensum erit.

sint 11,3 pondera inaequalia, et mains sit A, ete longitudinibus .41”, FB suspense aequilibritatemsemant. demonstrandum AI" ( FB.

nem minor ne ait. ablato igitur excessu, quo ex-cedit A megnitudinem B, uergent ad B, quoniemaequilibritatem seruantibus ab altero aliquid ablatumest [posta]. 3]. sed non uergent. nam sine FA aFB, aequilibritatem semabunt; aequalia enim ex ae-qualibus longitudinibus suspense. aequilibritatem ser-ment [postul. 1]. sine FA n F3, ad A uergent;nem aequalia ex inaequalibus longitudinibus suspenseaequilibritatem nonpseruent, sed ad pondus ex meiorelongitudine suspensum uergunt [postuL 1]. quareerit 111-’1 FB. - et adparet, etiam pondera, quae exinaequalibus longitudinibus suspense aequilibritatemsement, inaequalia esse, et pondus e minore longitu-dine suspensum mains?)

IV.

Si duae magnitudines aequales idem centrum greni-tatis non habent, magnitudinis ex utraque magnitu-

1) H. e. si pondera ineequalia aequilibritatem semant,longitudines inaeqnales sont.

2) Connersio est propositionis 3.

pet camp. F. 61j] scripsi; de F, uulgo. Il. [Magazine-11]0m. F; con. Torellius. 14. 5111] 0m. F; con. Torellius.16] 0m. F; corr. Torellius. 16. 10009901120110; F. 18. [3’ F.20. 5101111 F, uulgo.

10”:

5

10

15

20

25

148 EHIHEAQN IEOPP. H KENTPA BAPQN EHIII. A’.

71511151100 1157150509 7151119011 566551011. 100 511’950; 10

1156011 1&9 50050019 1019 5711:50711110156019 10511 115751950111

101 715111901 1017 5019509. -56110 100 11511 A 7151119011 100 M9509 10 A, 100

65 B 10 B. 71011 5711C50105l’601 à AB 15111016801 61’101

7101101 10 F. 157101, 0’11 100 55 01110101590011 10511 11575-

1850111 60717151115000 115750509 7151119011 561Z 10 F.

50 7019 111i, 56100 100 5E 01116101590111 10511 A, B 11.5-715050111 7151119011 1013 flâ-

95og 10 A, 55 601101100.

A, 41 lI” B 6’11 71019 561111 5712 1&9AB, 71906565571161. 571520011 10 A 60111517011 115’11-

19011 561111 106 13019509

100 571 10011 A, B 60771511151100 1151150509, 71615z0115’1100

100 A 560990710651. 101 01’901 A, B 115753501 1360990-10600011 01710 10511 AA, 4B 11017150111’ 87159 016011011011’

101 7019 0’601 01710 11511 0111560111 11017151011 0011 56099071501111.

6111011 0011, 0’11 10 F 7151119011 5611 1017 fioi95og 100 571

11511 A, B 60311151115000 11571519509.

I5 .

El 7101 1901511 115751950011 101 715111901 100 fié950g 51’

501955011; 5011111 71551151101, 71011 101 11511519501 1’600 1302909

51001111, 11012 a! 11.510150 10511 71511190111 501955011. [6011 5011111,

100 511 7161110111 10011 115751950111 60711511151100 115751950;

1151119011 566551011 1017 flâ95og 10 60111517011, 3 71011 1011

115’600 10 011’110 7151119011 5611 100 13029509

1. 115115000; F, uulgo, ut lin. 7. 566551011] scripsi; 001par comp. F; 561011 uulgo. 2. payse cum com . 007 F; con.Torellius, et lin. 6, 8. 5. 15111116300 F; eorr. orellius. 7.5611 100 5019509 Torellius. 8. 11575050011 60711511151100 115750009


dine compositae centrum grauitatis punctum mediumerit lineae centra grauitatis magnitudinum iungentis.

Bit A centrum grauitatis magnitudinis A, B autemmagnitndinis B, et ducatur linea AB et in punctoP in dans partes aequales secetur. dico, F punctumcentrum [grauitatis] esse magnitudinis ex utraquemagnitudine compositae.

nain si non est, ait punctum A centrum grauitatismagnitudinis ex utraque magnitudine compositae, sifieri potest. nam [centrum grauitatis] in linea. ABpositum esse, antes. demonstratum est!) quoniamigitur punctum A centrum grauitatis est magnitudinisex A, B compositae, aequilibritatem semabit punctoA sustento. itaque magnitndines A, B ex longitu-dinibus .44, 4B suspensae aequilibritatem semabunt;quod fieri non potest. nam pondera. aequalia ex longi-tudinibus inaeqnalibus suspense. aequilibritatem nonsemant [postuL 1]. adparet igitur, punctum F cen-trum grauitatis esse magnitudinis ex A, B compositae.

V.Si trium magnitudinum centra granitais in eandem

linea. recta. posita surit, et magnitudines eiusdem suntponderis, et lineae inter centra [grauitatis] positaeaequales sunt, magnitudinis ex omnibus magnitudini-bus compositae centrum grauitatis erit punctum, quodidem mediae magnitudinis centrum grauitafis est.

1) Sine dubio in libro mol Ëvyôv; Quaest. Arch. p. 32.

cd. B8811, Torellius (non ABCDO). Il; me F; corr. Torellius.12. (flânant: Eutocius. 16. 101)] to supra scnpizoFrov

manu 1 F. 18. Laoqoonsmvn F; con. Torellius. 21. y .

150 EHIIIEASZN IEOPP. H KENTPA BAPSàN EHIIÏ. A’.

mon rota psyëôaœ tà A, B, F, xénon 6è «ôtai!un": flépsog c6: A, B, F dupera ëu’ 8695M; usinant.

être) 6è ni t5 A, B, F tout, aux! 015111", FB [ausôûsiau. 1.47m, 51L 1015 ëx minon: n51: peyeâæ’œv 61’7-

6 andalou psyëôsog n’aimes: roi; 5029569 éon to Pantalon

in! 716:9 rôt A, B (157359541 l’ami M903 515L, tév-

L

190v écacha; mû 50595013 to F «musical, 315467) tout i

in). a! AP, FB. foui: 6è aux! roi) F m’wpov rot";5029504; ce) F vaudou. 6171012 01311, 51L and 106 à

10 prénom! amanus’vov 115758509 ue’wpov ficaire". mi e

fidosog «a damnai, 3 and 1:01") necton us’wpov 3th :015 3fiépsog.

HOPIEMA A’.

’Em 61) mérou quavagôv, (in, ônôom na 7,6 «MIN

15 aspiooôv y57505001; rà xa’wga 1017 flépsog 31’ Waters

5mm, craignez, et aux té 1:5 t’o’ov énigme: (in?) mipétiez) infime; leur; [311909 ËZŒ’U’H, aux! ai aima!» (Il

paradai) 103v xéwpow (213*561) l’eau è’awu, 106 à: név-

mw 145v yeyeôéæv avyuam’vov psye’ôeog uémgov éd-

20 astral. mû 13029503 16 dapsl’ov, 3 aux! roi? 508’601: 01131157

us’woov étui 1:06 6029809.

2. «mina F ( ni in hoc libro fera saperont germait); con.Torellius. 9. ami] addidi; 0m. F, uulgo. 13. FI mg. F.18. "in flâneur] Torellius: zoo narrent: F, uulgo.

DE PLANOBUM AEQUILIBRIIS etc. 151

sint tres magnitudines A, B, F, et centra grani-tatis earum A, B, F puncta. in eadem linea. recta.posita. et magnitudines A, B, F aequales sint, etlineae AI", FB aequales. dico, magnitudinis ex omni-bus magnitudinibus compositae centrum grauitatis essepunctum F.

nain quoniam magnitudines A, B aequale pondushabent, centrum grauitatis erit punctum F, quoniamAP: FB [prop. 4]. sed F etiam magnitudinis Fcentrum grauitatis est. adparet igitur, etiam magni-tudinis ex omnibus compositae centrum grauitatisfore punctum, quod idem mediae magnitudinis cen-trum grauitatis est.

COROLLARIUM I.

Hinc manifestum est, quotcunque magnitudinumimperium numero centra grauitatis in eadem linea.recta. posita sint, si et magnitudines aequali spatioa media distantes aequale pondus habent, et lineaeinter centra earum positae aequales sint, magnitu-dinis ex omnibus magnitudinibus compositae centrumgrauitatis fore punctum, quad idem mediae earumcentrum grauitatis sit.

10

15

20

152 EHIIIEASÆN IEOPP. H KENTPA BAPQN E1111]. A’.

1’10le B’. I

El au nul 59net funin 11,5 70.15851. rôt peyæ’flsa,and ’tà xénon 1:05 fiai se ’ i à ’ ’0 ’ ë9 g «mon! a: au 5ms me

IÎÎÎ1 l I I

usineriez, aux). rôt péan «26:61: au), tôt Ëda 02115101210: àu’

«616v 1’601; M905 51mm, mû ou? patagù 15151! us’vrçœv

815mm tout, Emma, toi) à: «démuni :151; 4457505071!ovyusmæ’vov payâmes ue’vrpov écachai, 1017 [3029809 t6

448’601! :629 56mm; 7&9 émâwyvvoüoag rôt usurpa r05

M9609 :0511 peyefl’a’mv, ais ànoysypa’rnm.

5’.

Tà déguerpi: psys’ôea iaogçoars’ovu &nô gauchir

&wmmovâo’tœg 16v «610v 167.011 flâna») rots flé-

956w.56m; 6155448190; peys’ûw rôt A, B, 05v xénon; ni:

A, B’ aux! lithos gara) u to Ed, ami ais to A 7:01).ce) B, 051m9 1:6 dF pâuog nozl 1:6 FE mixa; deut-vécu, 5m toô .32 àptpore’çœv n51: A, B avynebpe’vov

ysyëôsog xëvrpov 6’th 105 [3029509 t6 F.

sans), 71029 en": nôs 16 A ami). rô B, 05mgrô AF nazi to FE, rô 6è A tçô B dépitezgov,aux! 1:6 FA aux 11,5 TE düpysrçov, routées"; 56mm

4. and toi [au 051515107141 ân’ 01131031] addidi; 0m. F, uulgo;and êqa’ futé-reçu 1:an pédant Barrowius; suivra 1m? péon; Nizzius.

5. 51mm] scripsi; slow; F, uulgo. 10. 6’ F. 11. onQO-


COROLLARIUM Il.

Etiam si magnitudines pares sunt numero, etcentra earum grauitatis in esdem linea. recta. posita.saut, et mediae magnitudines, quaeque ab iis aequalispatio distant, aequale pondus habent, et lineae intercentra [grauitatis] positae aequales sunt, magnitudinisex omnibus magnitudinibus compositae centrum graui-tatis erit medium punctum lineae centra. grauitatismagnitudinum iungentis, icut infra descriptum est. 1)

VI.

Magnitudines commensurabiles aequilibritatem ser-uaut suspensae ex longitudinibus, quae in contraria.proportione sunt ac pondera.

commensurabiles magnitudines sint A, B, quarumcentra. [grauitatis] sint puncta A, B. et longitudeait aligna Ed, et sit A : B : 41” : FE. demonstran-dum, punctum F centrum grauitatis esse magnitudinisex attaque simul A, B compositae.

nam quoniam est A : B : AI’ : FE, et A, Bcommensurabiles surit, etiam longitudines, h. e. lineaerectite, FA, TE commensurabiles sunt [Eucl. X, 11];

1) Cfr. uol. I p. 13 not. 1. hic semel moneo, sermonem etdisputandi rationem, quae in bis duobus libris occurrat, ab ca,qua in ceteris libris usus sit Archimedes, aliquantum discre-psre. hoc utrum recensioni posteriori debeatur, au ideo fac-Ëm ait, quod adolescens bos libros ediderit, longioris disputa-

onis est.

mon; F; corr. Riualtus. 12. avunsnowfiorœv F (av- supranmpsit manus 1); eorr. Torellius. 15. «pas per camp. F;00m.Torellius, ut lin. 16. 16. carme] par camp. F, ut infra.lupins.

10

15

20

t154 EIIIIIEASZN IEOPP. H KENTPA BAPStN EIIIII.’A’

réé 51505591, âcre 1:61: ET, FA 6’er uowôv përgov.

faire) 61) rô N, zut une.» r4; "tu ET [au émioitréa: AH, AK, r9? dt AP [du à EA. zut finet tu àAH

A B Z

A E If H a Kl-!

r9? FE, [du scat â AF r97 EH. (Sara scat à AE [our9? EH. ôtnlaat’a du à p.251! AH raïs AP, à dt HKrôt; TE. 1 (tiare rô N ardt ênars’pav râv AH, HKperçu, ênsrôæizep ardt rot imides; aôrâv. xat été! 36m,

059 rô A zort rô B, oïirœç à AF atart FE, 15g dt à!AI’ mort FE, oïirmg à AH nort HK’ maladie: Mieêxare’gœ Exars’gocç’ uat 03g 5590: rô A «art rô B, 05mg.

à AH mort HK. ôaanladz’œv dé ëdrw à AH ris N,1

rodavranladt’œv faro) rô A r05 Z. En": âge: à; a?AH azort N, oïîrœg rô A mort Z. fart 6è scat 055dKH avort AH, oïirœç r6 B nort A. 64’ l’dov 39aâortv 059 à KH mort N, offrons rô B avort Z. tains6290: nolianladr’œv êo’rtv à K H râg N zut rô B’roi-

Z. 56551617 6è roi? Z met rô A crollanloîo’wv 361.

(fiers rô Z r61! A, B munir gara yërpov. dramatisi-aœg 015v râç phi AH dg ràg roi N lady, r05 dt Asi; rot r95 Z (du, rôt à; tu; AH racinant: idoyeys’âearé? N [au écachas 155 «Mita rots à: rçî A rimai-

3. râv] Torellius; un pet camp. F, ut lin. 6. 6. 5mm

DE PLANORUM AEQUILIBEIIS etc. 155

quare langitudinum EF, FA communia est mensura.ait igitur N, et ponatur AH: AK a E1" et EA aAF. et quoniam est AH a FE, erit etiam AF-EH; quare etiam AE --: EH. itaque AH a: 2 AI’ et11K: 2FE. quare N etiam utramque lineam AH,HK metitur, quia dimidias metitur [Eucl. X, 12].et quoniam est A :B - AP: FE, sed AF:FE a:AH:HK (nam utraque [linearum AH, HK] duplomaior est utraque [linearum AP, FE]), erit etiamA:B : AH: HK. quoties autem linea N in lineaAH continetur, toties contineatur Z in A. est igitur[Eucl. V def. 5] AH:N::A:Z. sed etiam KH:AH: B: A [Eucl. V, 7 WÔQLGM]. quare ex aequali[Eucl. V, 22] K H : N z B: Z. itaque quoties N inKH continetur, toties etiam Z in B continetur. seddemonstratum est, Z etiam A magnitudinem metiri;quare Z communis mensura est magnitudinum A, B.diuisa igitur linea AH in partes lineae N aequales,et magnitudine A in partes magnitudini Z aequales,partes lineae AH aequales lineae N numero aequalesemnt partibus magnitudiuis A magnitudini Z aequa-

Cnm eomp. av F; cart. Torellius. 7. flPLd’I] F, uulgo.8- 3909 per com . F; cart. Torellius, ut semper ln hac pa-gina. 12. roi: ra F. 17. «onduleras cum camp. un F;con. Torellius. or F, uulgo. 19. râ] am. F; 001T. BC.20. mopsysbn F, uulgo. 21. [au] leur F; cart. BC. Gave!-7318 SGI-ipsi; saron pet camp. F; in; uulgo. magnums; F,u o.

10

15

20

156 EHIIIEAStN IEOPP. H KENTPA BAPStN ETHII. A’.

radon: tous ëoüdw r93 Z. agars 0’21: êq)’ Escadron: r61:

rpupurmv r61: à: ru’ AH êmreæ’îfi (457.9309 taon: 11,5 Z

rô «évrpov r05 6020509 fixai: s’art 115’601) roü rpupuroç,

roi r5 «vivra peye’ôau [du ëvrt r95 A, zut r05 à: mil:-raw amatpe’vov us’vrpov écachai. r01? fidpsog rô E.fierté ra yép éon rot «ému r95 nitrifier, saut rà Étp’

écurage; roi? E [ou r95 abîma ôtà rô leur sium! ràvAE r97 HE. 641.0th dt dazônoe’rut, du uutïsï auxàp’Z garderai: r61: à: ré? K H ryupotrœæ: êmreôvfi pipe-p

flog [601: r95 Z xe’vroov r05 même; 5x01: ènt r01": in?don r05 rpéuurog, ré ra suivra 515755350; [du écachant

2re; B, zut roô à: artimon: GUWLFËVO’U ue’vrpov r06,

fiu’osog faudras rô A. êddu’rut 015v rô ph: A En,uelpevov azurât rô E, r6 6è B saurât rô A. 3665m4!61) peye’ôsu [du &Mulmç êar’ 51505qu usinera, nia: 1Hue’wpu r05 flupeog tu o’m’ (211.021.001: ôtëoruxev, Guy-Ë

usinera Éprtu r95 nanifier. 65101: 05v, du r06 à:mimais: confluerai: 1457549509 ue’vrpov ëort r05 lié-ï950g et ôtxoropfu 1&9 sôôelug raïs excédas ru usurpar61: périma: peyaôs’œv. âne). 6’ faut ëvrt à ph: 11E

ru" FA, à dt EI’ r9? 4K, zut 51a 5590: à AF [ou ré

FK. agars r05 du artimon y57553509 us’vrpov rot")t

1. 000w F, uulgo; ëôvrsaaw? 2. r93] supra scripto la;manu 1 F. 3. 510 cum camp. ou: F. 6. zut rot êqa’ 8,1411reçu r05 E i’ou r93 nitrifia] addidi; 0m. F, uulgo. 7. mm;per camp. F; corr. Torellius. 8. nui] scripsi; un: F, uu1g0n13. ËGo’êlruL] (alt.) scripsi; carat par camp. F, ut lin. 14. 1H017.1771041.- F; corr. Torellius, ut lin. 16. 20. peyeôœa: F; com,Torellius. ërrl] scripsi; slow per camp. F, uulgo. ï

s


libus. itaque si in singulis partibus lineae AH magni-tude ponitur magnitudini Z aequalis centrum grani-tatis in media partis habens, omnes simul magnitudinesmagnitudini A aequales sunt, et magnitudinis exomnibus compositae centrum grauitatis erit punctumE. nam et .omnes simul pares sunt numero, et quaein utraque parte puncti E positae sunt, numero aequa-les, quia AE a: HE [tum u. prop. 5 coroll. 2].1)similiter demonstrabimus, etiam si in singulis partibuslineae K H [lineae N aequalibus] magnitude aequalismagnitudini Z ponatur centrum grauitatis in mediapartis habens, omnes simul magnitudines magnitudiniB aequales orant, et centrum grauitatis magnitudinisex omnibus compositae erit punctum 4’) itaquemagnitude A in E puncto posita erit, magnitudeautem B in A. et magnitudines quaedam inter se aequa-les in eadem linea recta positae erunt, quarum centragrauitatis aequali spatio inter se distent, omnes simulsumptaea) numera pares. adparet igitur, centrumgrauitatis magnitudinis ex omnibus compositae me-dium fore punctum lineae eius, in qua centra magni-tudinum mediarum4) posita sint. et quoniam AE:FA, et EF :-- AK, erit igitur etiam AF : FK.quare magnitudinis ex omnibus compositae centrum

1) Nain et omnes magnitudini Z aequales sunt, et spatia,t quibus centra in eadem linea posita distant, lineae N aequalia.

2) Nam Z metitur magnitudinem B; tum u. prop. 5 co-ron. 2 et net. 1.

3) Uereor, ne in uerbo avyuslpsvu lin. 16 mendum lateat.4) Ex prop. 5 coroll. 2; nam punctum medium tetius li-

une centra iungentis idem medium est lineae centra medîarumiungentis.

158 EIIHIEAQN IEOPP. H KENTPA BAPSZN EIIIII. A’.

(vos rô F (ragrafer. tOÜ ph: fieu A nagerai; nard 16E, r05 dt B nard rô A loopponndoôvrt uurà rô F.

É’.

Kut rolvvv et au ddüppsrpu 5mm, ru psyëfiea,5 ôpeiœg [60990117605er ne [macérer àvrumrevôdrœç

r61: m’rrôv 1.6701: ëxôwaw rots psyëâedw.

fora daigneront (Leye’ôeu ru AB, F, puma dt tuAE, EZ. fixera) dt rô AB azort rô I’ r61: udrtwloyer, 31: zut rô Ed zort rô EZ flânes. légua, du

10 r05 à &pœors’çmv r61: AB, F us’vrpov r06 flégeôç6’er rô E.

si 7&9 m) idoppoam’ost rô AB reôtv sa r95 Z r93F raflera ënt r95 A, fini. nattée: éon rô AB rot": F

4 1.5 zfi agars faoppon’eîv r95 F, fi 05. fora) gazer. zut

16 àqmmjdôœ dard roi? AB ËÂuo’oov un; 151590159, et

natter: 5er ra AB r05 F fi «Sore 36090055170, 6m[rô] Âomôv rô A 615114151901! sium: r55 1”. émet 051: 615p-

perpoi éer rot A, F ysye’ôsu, zut 31.02660le 1.6701: 5x61.

rô A mort rô F, fi à AE avort EZ, 01’»: 160990112-20 0’05er rot A, F aïno 105v AE, EZ yuze’œv, reôërroç

3. 3’ F. 5. unmmorâor cum camp. on F; corr. ed.Basil. 13. r95 A] scripsi; to A F, uulgo. 14. 17] addidicum B; am. F, uulgo. F, fi] PH F. r93 F 0m. Eu-

DE PLANORUM AEQUILIBEIIS etc. 159

grauitatis est punctum I’. itaque magnitudine A inpuncto E posita, B autem in A, ex puncto I’ sus-pensae aequilibritatem seruabunt.

VII.Iam etiam si incommensurabiles sunt magnitudines,

eodem mode aequilibritatem semabunt ex longitudini-bus suspensae, quae in contraria proportione sunt acmagnitudines.

magnitudines incommensurabiles sint AB, 1”, lon-gitudines’autem aliquae AE, EZ, et sit AB : I’ -:EA :EZ. dico, centrum grauitatis magnitudinis exutraque AB, F compositae esse punctum E. l)

nam si aequilibritatem non seruabunt AB magni-tude in puncto Z posita, F uero in puncto A, autmaior erit A B magnitudine F, quam ut aequilibritatemsemet, sut non maior. sit maior, et a magnitudineAB auferatur magnitude miner excessu, que ABmagnitudine F maior est, quam ut aequilibritatem

remet, ita ut, quae relinquitur magnitude A, commen-laurabilis sit magnitudini F [u. Eutacius]. quoniamigitur A, I’ magnitudines commensurabiles sunt, etlest A: F ( AE: EZ, magnitudines A, F ex longitu-1,dinibns AE, EZ suspensae, ita utIA in puncto Zponatur, F autem in puncto A, aequilibritatem non

1) Se. magnitudine AB in Z posita, P autem in A.

I ’us. 16. getter] cum Eutocio; putois: F, uulgo. fi] ad-didi; 0m. F, uulgo. 17. r6] deleo cum Eutocio. mur parcomp.cerr. Torellius. r93] r0 F; corr. Torellius. 19.Il à] PH F. n90: per camp. F; corr. Torellius. wago-

, v-u.

10

16

20

25

160 EHIIIEAStN IEOPP. H KENTPA BAPStN EHIH. A’.

r06 ph: A 3m r95 Z, r01": dt I’ fart r95 A. sur mûritd’ oôd’ et r6 F mûrir: écru: fi (Bore (6099oarsï1: r93 AB.

17’.

Et’ aux dard rwoç payâmes àqmtpeôfi u nëyaôoç

na) rô m’arô névr9oa: 5x01: r93 5114,11, roü lourai payâmes

ue’vr9ov fart roi 43029509, êxfllnôstdug raïs saiôet’ug r69

émCavyvvorîoug rà ue’vr9u r61: flu9ém1: r06 ra 510v

psyéôsog saut r05 dm9npa’vov fart rot mirai, 39)’ et r6

ue’vr9oa: roi? 310v (157559509, zut ânoÂumbetoug maisdard [rus] êufilayôeio’ug rus êauâsvyvvoriouç çà sinuera

uévr9u, (dans r51: mirer: 51m: 1.6701: arort ràv lieraitr51: ace’vr9aw, 31: 515:, rô flâçog r05 &mn9nue’vov payé-

ôeoç mort r6 roi lourer? fié9og, rô au!qu râç ciao-i

lucpôalouç. Ifaire: 957558569 rwog r05 AB xè’vr9oa: roi M9509r6 1”. zut àtpygnjdôm une) r05 AB rô AA, 015 m’a:-r9oa: r05 13459509 faire: rô E. êartÇaozôeloug dt rüçEI acut âzfllnôst’duç unoleloitpôm à FZ azort rua: TE

loyer: 510mm rôa: uôrôv, 31: 5184 rô AA péyeâoç mut;

ra AH. demréov, du r05 AH payâmes uëvr9oa: torii[3029569 .4er r6 Z caneton!

na) 7029, &M.’ et ôvvuro’v, être; rô (9 caneton. tarett

015v r05 (du: AA paréage; uévr9ov r06 13029369 à!!!rô E, r05 dt AH rô (9 damier, r05 Æ àpcpors’gawvraïa: AA, AH pæyæôe’œv névr9oa: r05 fld9eog 566551110

1. r93] scripsi cum B; ra F, uulgo (bis). "2. r93 AB] To3rellius; ra A F, uulgo. 3. 5’ F. 8. ëzp’ u] scripsi; se 0F, uulgo; fin! Torellius. 10. un] deleo. 11. 71909 in!(compp.) F; corr. Torellius. 12. un: uiprlçnusvmr paysans Fatcorr. ed. Basil. 13. arecs per camp. F; corr. Torellius. 24-apqaorsçov F, uulgo. 25. fiuçsmç F. t


aeruabunt [prop. 6]. et eadem de causa hoc ne tumquidem fiat, si F magnitude maior est, quam ut cumAB aequilibritatem seruetf)

VIH.

Si a. magnitudine aliqua magnitudo aufertur, ouiidem centrum non est, quod toti, reliquae magnitu-dinis centrum grauitatis est: producta. linea centraet totius et ablatae magnitudinis iungenti in eandempartem, in qua est centrum totius magnitudinis, etablata linea. a producta. linea. centra illa. iungenti, ita.ut eandem habeat rationem ad lineam inter centrapositam, quam pondus magnitudinis ablatae ad pon-dus reliquae, terminus ablatae.

magnitudinis cuiusdam A B centrum grauitatis aitF. et ab AB auferatur A4, cuius centrum gratui-tatis ait E. ducta autem linea EF et producta [uersusF] abscindatur TZ, ita ut sit FZ : TE a A4: AH.demonstrandum, centrum grauitatis magnitudinis AHesse punctum Z.

nam ne sit, uerum, si fieri potest, sit punctum (a.quoniam igitur magnitudinis A4 centrum grauitatisest E, magnitudinis autem AH punctum é), magni-tudinis ex utraque magnitudine A4, AH compositae

1) Demonstratio imperfecta. et paullo obscurior ita sup-plenda. est: cum A : F ( 4E : EZ, ad punctum A uergent,quad fieri non potest, cum minus excessu ablatum ait ab AB.eodem modo ratiocinandum, si F maior est. quare cum ABmagne maior sit neque minor, demonstratnm est, quod propo-arrimas.

Archimedes, ad. Hoiberg. Il. 11

10

15

20

162 EmnEAQN mon». H KENTPA BAPQN 11mn. A’.

à! raïs E6 1504105156059 (561:5 rôt unipare: m’nâg s’am-

umowôépsv «and; 1:61; aôràv lôyov rots peys’bsow.

sans 01’»: guetteur rô F caneton; and: 113w &vdloyov

A HA .1810min: zgî 53972951195. 013x 62941 Étui. zô F ue’wpoaz r06

à: :1512 A A, AH avyueme’vov ysyéôsog, ramifia un?AB. fait. de” intégrante 7029. 013x 6290: édit t6 O xéni-

zpov fiaipsog 1017 AH peys’ôeog.

3’.

Hawôg napallnloypa’upov 16 ue’vrgml roi) [3029569

ëarw 511?, raïs 5649515059 1&9 ëmçwywoüdag rôts ôtio-

zopiaç tâv xar’ évavu’ov 105 napallnloygoîyyov

nlêvgüv. .56W) napallqlôypappov rô ABI’A, ënl 6è du;ôLzoropL’av tu?!) AB, FA à EZ. (plus! 615, 51L 1:05ABFA nagallnloypoïypov 1:6 xê’wgov :015 fiéçsoç

366651051, 371:2 7&9 EZ.M7 yoîp, &M.’ si ôvva’to’v, 561m) rô (I9, une), 5218:0

impôt 1&1) AB a? ûI. 1&9 ôà aï; EB ôLZOtopovpa’vag

«(si écachai. momie à uuralsmops’va 5102660311 1&3 16).

and ômprjdfiœ Eau-râpa réa: AE, EB dg 1&9 in; EK

1. avunmoôsvpsv F. 3. ËUUEIÏtaL] scripsi; sont; percamp. F, uulgo. 4. ashram: 1:01": flânant; Torellius. 7. fia-povc . . 41.5750on F, uulgo. 8. t F. 11. tu; . . 127.511quF; con. Torellius. 14. rial] un pet camp. F; con. Torel-


centrum grauitatis positum erit in linea EQ ita diuisa,ut partes eius in contraria ratione sint ac magnitu-dines [prop. 6 - 7]. [sed punctum F positum estin linea EZ ita diuisa., ut partes eius in contrariaratione sint ac magnitudines].1) quare punctum I’ insectione ei, quam commemorauimu, respondenti posi-tum non erit. quare punctum I’ magnitudinis exAA, AH compositae, h. e. magnitudinis AB, centrumnon est. uerum est; hoc enim suppositum est. ita-que punctum Q magnitudinis AH centrum grauitatisnon est.

1X.

Cuiusuis parallelogrammi centrum grauitatis in es.linea positum est, quae media. puncta. laterum sibioppositorum parallelogrammi iungit.

pal-callelogrammum sit AB FA, et ad medium punc-tum laterum AB, FA [ducta sit] E Z. dico igitur,centrum grauitatis parallelogrammi ABFA in linea.EZ fore.

nem ne sit, uerum, si fieri potest, sit Q, et duca-hlrQI lineae AB parallela. itaque linea EB semperdeinceps in dues partes aequales diuisa, quae reliu-quitnr, aliquando minor erit linea I Q. et utraquelinea AE, EB in partes lineae EX aequales diuidatur,

l 1) Ex hypothesi; neque fieri potest, ut sit FZ : TE scans-rafioni partium lineae FQ, ceterum adparet, ante monNm. 3 lacunam esse, quam hune in modnm expleo: :6 6è 1”,311 de EZ 5mn zyaôelaozg, 05’618 1:6: tpâpafd âvuuenosôs’pw1m? peywsaw.

ilins, ut lin. 20. 16. sont; per comp. F, uulgo. 19. nouai],Torellius; nom F, uulgo. à] addidi; 0m. F, uulgo.

11*

10

15

20

164 ElIIIIEASèN IEOPP. H KENTPA BAPSEN EHHI. A’.

tous, and du?) n51: nard: rôts ôLaLpde’ag capelan: â’zôm-

6m: «and; 1&1; EZ. ôLaLpsâno’s’raL ô?) 16 310v arap-

allnlôypayyov 53g napallnlôygappoî nm! Ida ml

A E K Bt

l

i I i-mel i 4F Z Aouata 1:95 K Z. 115v 015v nagallnloygoippœv 115v Ivan!

nul 641054011 193 K Z ëtpaçyotoys’mov ën’ 552.111,10: and

1:8: xe’wpa 1:05 fldosog 046174511 èn’ 5211.0510: necoüvm.

éoo’oüvwz 61) ysye’ôsoî nua, nagallnlôygœmm [au r95

KZ, 5291m 155 «Ânfiflez, aux! tôt m’aime; roi? [3029509 0113-,

raïa; 51’ sinisions nigaud, and rôt guida l’au, suri mimaità ëqa’ éminça 170511 (sedan; mité n [au évu’, ml a!

guindât) :0511 us’wgaw eôôsim faut. 1:06 à: 1:02me«1310511 «3’90: dvyxems’vov 1157559505- 12) ue’vrpov 436655111:

105 [3029809 fui 107g 868515049 mis èmçwyvvoüdag ni,us’vrpa r05 [3029509 145v péan"; 14119150212. 015x s’en ôa’f

ri) 7&9 Q fanés 561L 105v gestion: zapallnloypoîppœvf(pavepôv 015v, (in 4511:2 nig- EZ 515855419 76 xëwpov

.4012 106 43029503 1017 A BF A napallnloygdppov.

lL.

Havtôç napallnloypépyov’rô us’vrgov 105 fldQEOISi

361:1. :6 6041517011, xaô’ a ou? ôLœpLE’rpOL ovuninmvu.

50’103 napallnlôypappov sa) ABFA, aux! év «611,5

à EZ 61:10: répvovaa ràg AE, FA, à 6è K11 tàg AI",

1. (hamac cum comp. ne F; ômtçe’ouç uulgo. 3. un]


et a punctis diuisionum [lineae] ducuntur lineae EZparallelae. itaque totum parauelogrammum in paral-lelogramma. quaedam diuidetur parallelogrammo K Zaequalia. et similis. parallelogrammis igitur aequa-libns et similibus parallelogrammo K Z inter se con-gruentibus, etiam centra grauitatis eorum congruent[postal 4]. erunt igitur magnitudines quaedam, paral-lelogramma aequalia. parallelogrammo K Z, numeropares, et centra grauitatis earum in eadem linearecta posita, et mediae magnitudines aequales, etomnes in utraque parte mediarum positae et ipsae ae-quales, et lineae inter centra positae aequales. itaquecentrum grauitatis magnitudinis ex omnibus illi com-positae in en. linea positum erit, quae centra grani-fatis spatiorum mediorum iungit [prop. 5 coroll. 2].sed non est; nain punctum Q extra. parallelogrammamedia positum est.1) adparet igitur, centrum graui-tafia parallelogrammi ABFA in linea EZ esse.

X.

Cuiusuis parallelogrammi centrum grauitatis idpunctum est, in quo diametri inter se concurrunt.

parallelogrammum sit ABFA,yet in eo linea. EZlineas AE, FA in dues partes aequales diuidens, K11

4) Nain EK ( I Q ex hypotbesi.

. soupai; sa F, uulgo. 5. smappoçopsvov (or comp.) F; corr.Torellius. auniez F; corr. Torellius, ut lin. 6. 6. au: cumcamp. ou F; corr. B mg. 12. sural. pet comp. F, uulgo. 14.Mont; F; con. V. 18. H’ F.

10

15

20

166 EHIIIEAQN IEOPP. H KENTPA BAPQN EIIIII. A’.

BA. 50’er 61) 1:06 ABFA napallnloypoîppov to xén-rpov 7013 5029509 57:2 raïs EZ’ ôsôslmac 7&9 10510.

ôbà même? 6è aux! 431:2 zig KA. 16 Q 5290: camion

A E Br .17v- -- 9 AI..

F Z Aus’wpov roi? [3029503. un? 6è sa. Q ont ômgs’rpm roi

napallnloyooîppov wigwam. 036:5 ôaôaL’umL ce) 1:90-1808,11.

AAASZÊ.

561w 63 and 65’110); 16 «131:6 ôat’EaL.

561m napallnlôypawzov 1:6 ABFA, ôtépezgoç ôë r

0:61:05 faire) à AB. têt 59a ABA, BAF 191321111141 t[ou t’ait! and épata 021.1021014, 0361:5 ëçagpoçope’vœv 31:, t

filiale! 16v 19141415110311 aux). tà m’aime: 105 fidgsog a6-

ra’îv ân’ 5511.00.42 maoüwm. 561m (in) mû ABA zoz-

yaîvov athanor toi) 13020804; zô E Gamin, aux). 37:45:56;th

à EQ and ëxflafilûdôœ, un). àuoleldcpôœ à ZQ [au179;" QE. àpagpoêope’vov M7 :05 ABA 191.7161101; t’ai

to BAF roiyœvou and raôspe’vag 1&9 (tu AB ulm-oâg in) "in; AF, 1&9 6è AA énl 143w BF ëœœgpôguami à QE 513198470: 6’212 du: ZQ, and 1:6 E duperas! fini

et Z «coaltar cillât aux). fini r6 ue’vtoov 1017 fldgsoç

7. amas] 0m. F, uulgo. 10. dB] AB F. 11. allu-1ozç F; corr. Torellius, ut lin. 12, 13. swappozopsvov F.Post causant lin. 14 addunt ed. Basil. et Torellius: ml 15-zpfioôœ (teryoïcâœ) être: à A B x0116: 16 Q. 15. «marnât!


autem lineas AF, BA eodem modo diuidens. itaquecentrum grauitatis parallelogrammi ABFA in lineaEZ positum est; hoc enim demonstratum est [prop. 9].sed eadem de causa etiam in linea. K A est. itaquepunctum Q centrum grauitatis est. in Q autem punctodiametri parallelogrammi concurruntf) quare damon-stratum est, quod proposuimus.

ALITER.

Sed etiam aliter idem demonstrari potest.parallelogrammum sit ABFA, et diametrus eius sit

AB. itaque trianguli ARA, BAF aequales et simi-les sunt [Eucl. I, 34]. quare triangulis inter se con-gmentibus etiam centra grauitatis eorum congruent

A BA . 1’[postuL 4]. sit igitur punctum E centrum grauitatis’trianguli ABA, et ducatur linea. EQ et producatur,et abscindatur ZQ aequalis lineae QE. itaque trian-gulo AB A cum triangulo BAF congruente et positolatere AB in AF et AA in BF, etiam linea QE cumZQ congruet, et punctum E in Z cadet. uerum etiamin centrum grauitatis trianguli B AF cadet [postuL 4.itaque punctum Z centrum grauitatis est trianguli

1) Fortasse scribendum avpau’vnovfl lin. 5. ceterum cfr.Zeitschr. für Math, hist. Abth. XXIV p. 180 nr. 10.

F, uulgo. 16. .434] .4312: FV. 17. BAF] AAF FV.18. emmurez F, uulgo; Ëtpaçpôdêb Torellius.

10

16

168 EHIIIEAQN IEOPP. H KENTPA BAPQN EHIII. A’.

r05 BAF 101.7051100. 315i 0’611 mû pin ABA 191-yaivov xe’vrpov 1:01? flâoeog r6 E caneton, r05 dt ABF16 Z, ôfilov, 06g 106 fg àptpon’gmv 1.1511 tçiynîvaw(immanence! 05785350; ue’vzoov 1:05 13029569 301:1, 1:6 m’-

aov mais EZ eôôslag, 51:50 étui 16 Q canezou.

La .

’Eôw 6150 soignera 6140m àlÂdÂOLg ami à) aIÎrroïç

canera (incitas xeipsva zori rà’tplymva, Mai 16 à:60055011 105, à! ç; 361L, tpiym’vov ue’vtpov 1:05 fid-psog, ami 16 lomôv augurai! «empan; 361i r01? fiéçêoç

105, à! 96 écu, tpiyaivov. 600mm; 6è Âe’youeg dansiez

32556000 nozi toi 600m enfant-m, &(p’ (511 and sari 169i’o’œç yawlag choperai 8151881111. [dag «045’0er ymw’aç

nori raïs 6001.6704; «leveurs.fait.) 6150 tpi’ymva ni ABF, AEZ, nui Euro: 059

à AF nazi AZ, oïîrœç ë 1:5 AB «cri AE, ami à BF

A JI

B 1’

E Z«cri EZ, ami à! rots elpnue’vmg tpiyw’vmg dansiez6005m9 «5505110: faire roi Q, N nazi zà ABF, AEZtgiyawu, nui faire 16 Q 3053110011 mû 5050503 mû ABF

1. BAF] AAF F; con. B. 2. :6] 100 per comp. F.6. 41’ F. 7. «Mulot; F; corr. Torellius. 8. nous pet comp.F; corr. Torellius. 11. épatas: dé ad auvents delenda. ceno


BAF]. iam quoniam trianguli ABA centrum grani-tatis est punctum E, trianguli autem ABF punctum Z,adparet, magnitudinis ex utroque triangule compositae[h. e. paraHelogrammi ABFA] centrum grauitatis essepunctum medium lineae EZ, quod est punctum Q!)

XI.

Si dati sunt duo trianguli inter se similes et iniis puncta. similiter posita, et alterum punctum eiustrianguli, in quo est, centrum grauitatis est, etiamreliquum punctum eius trianguli, in quo est, centrumest grauitatis. puncta, autem in figuris similibus simi-liter posita esse dicimus, a quibus quae ad aequalesangulos ducuntur lineae, cum lateribus inter se respon-dentibus aequales angulos efficiant?)

sint duo trianguli ABF, AEZ, et sit

AF:AZ:AB:AE:BF:EZS),et in triangulis illis similiter posita. sint puncta. Q, N,et Q punctum centrum grauitatis sit trianguli ABF.

l) Nain ex hypothesi est E6 a: QZ. audiendum est,punctum Q id esse punctum, in quo diametri concurrent.

2) Mihi quoque haec uerba. ex postul. 5 inutiliter repetita.Suspects. sunt, sed satins duxî, nunc saltem en. relinquere, cumpostulats. illa. eodem modo saepissime par totum hune librum

l Tel-Magnum, qui loci aut omnes subditiui sunt sut omnes ge-mmi; utrum ueri similius sit, tum diiudicari poterit, si quando

l de integritate huius libri quaesitum erit.

l r

3) H. e. sit ABFN AEZ (Eucl. V1, 4).

sent Barrowius, censor Ienensis, Nizzius. 1.51an1: F, uulgo.13. 10100011: F, uulgo; 11010371; Torellius. 14. nous par camp.mon. Torellius, ut lin. 16 bis, 17, 18, p. 170, 9.

10

15

20

25

170 EHIHEASèN IEOPP. E KENTPA BAPQN EHIII. A’.

191410511011. 16’702, 51:0 aux). 1:6 N us’wgov fiéçsôg écu

1:06 AEZ 191411151101).

m) 7&9, ouï si ôvvarôv, être: 1:6 H xe’wgov fid-peog 106 AEZ 1907051100. aux! ézsçsüxôœo’av. al 8.4,

013, 01", AN, EN, ZN, AH, EH, ZH. gazez où;ôpoïôv écu 1:6 ABF tptymvov 1:95 AEZ zpzyaîvçæ,and ue’vrpa 715v 542950011 6’611 rôt û, H damiez, n51! 6è

ôuolnw 6111510210011 de n’y-zou 1:51! flaps’aw ôyoz’œg àwî

nigaud, (5615 Ida; «connin-n yearling azor), rats épo-Âôymg aboyai; Enddrov êxoîdtmç, l’au âge: à 159:6 HAE

yawlfa 19? 13m3 ÜAB. cillât à 671:6 601B ravie: l’au

in) 19? 131:6 EAN ôtà rô épatons mafflu 1:8: G, Ndamiez. aux! à 13m3 EAN yœm’a â’pa la! fini a; 131:6EAH, à fiEL’ÊCO’VAfl; êÂoîo’dow’ 571559 àôüvarov. 013x

à’ga 05x 361:1. us’vrpov mû fidgeog 1:06 AEZ szyaîvov

1:3) N caneton ëdtw 59a.

Lfl’.

El un 6150 tQL’yœva épata Ëmvu, 705 6è êvôg Iph- Î

7061101) n°1119011 101") fioipeog à). 102g 513855053, ë êæm

022:6 rwog glandas girl (15’600)! tàv [3026412 âyoyè’va, Mal

mû lamai 19071061100 1:6 ue’vrçov àao’u’rm 1:06 fiépeoç

éd mis égala); 0270"!!an ygappâg.

56103 6150 zpiyawa tôt ABF, AEZ, ami ânon 059à AI" azor), AZ, oïîrcoç ë 1:5 AB nov), AE, ami à BFazor) ZE. mû rpaôu’cœg 1&9 AF ôt’xa azurât tô Hênsêeüzflœ à BH, anal 561w zô us’wpov 1:06 (idem; 101":

10. Examen êudarmg] Quaest. Arch. p. 144; 5111,0th Enfant;Torellius. un] F; con. Torellius. 12. Ed H F. 13.EAH et EAN F, uu’lgo; permutaui propter sequens à mitan1:62 êléaaom. 17. L F. 24. 1:90; pet camp. F (hier con.

Torellius, ut lin. 26. ’


dico, etiam N punctum centrum grauitatis esse trian-guli AEZ.

nain ne sit, sed si fieri potest, punctum H centrumgrauitatis sit trianguli AEZ. et ducantur lineae ("7.4,8B, QI”, AN, EN, ZN, AH, EH, ZH. iam quoniamsimiles sunt trianguli ABF, 4E2, et centra grani-tatis sunt puncta. 0, H, et similium figurarum centragrauitatis similiter posita sunt [postuL 4], ita ut sin-gula cum ingulis lateribus inter se respondentibusaequales angulos efficient [postuL 5], erit igitur

L H A E a Leu B.sed LQAB ---- LEAN, quia. puncta (’23, N similiterposita sunt [postul. 5]. quare etiam angulus Ed Naequalis est angulo EAH, maior minori; quod fierinon potest. quare fieri non potest, ut N punctumcentrum grauitatis trianguli AEZ non ait. est igitur.

XII.Si dati 8m11: duo trianguli similes, alterius autem

trianguli centrum grauitatis in ea. linea positum est,quae ab angulo aliquo ad mediam basim 1) ducta est,etiam reliqui trianguli centrum grauitatis in lineasimiliter ducta. positum erit.

duo trianguli sint ABF, AEZ, et sit

AF:AZ:AB:AE:BF:ZE[cfr. p. 169 not. 3]. et linea. AF in puncto H induas partes aequales diuisa ducatur linea BH, et

1) H. e. lattis angulo oppositum.

10

15

172 ETHHEASZN IEOPP. E KENTPA BAPSZN EHIII. A’.

ABF zaLyœ’vov ëni zâg BH zô 9. 18’701, 5m nui zoô

EAZ zazynivov ue’vzpov zoô fldaeôg Ëazw fini zo’Zg

anciens àyouê’vag aimants. Izezpédôœ à Al 61:10: xazà zô M, nazi énaêê’ôzôœ

EB

0

A H FÀ Il Zà EM, nui nenonfiaôm, n59 à BH nazi Bâ, oïîzœg à

ME nazi EN. nui Âneëæüxômaav ou" .46), En AN,NZ. ënêL’ Eau züç p.391! FA émacia à AH, zâg 6è

Al ûfib’dêLd à 4M, 5(5sz â’ga and, (zig à BA nazi

Ed, 05mm à AH nazi AMe nui nepi [dag yœvûzgouï nÂe’vpœi àvoîloyôv ému. [au ze â’pa écriai à 152:6

AHB glanda a; ônô AME, and ëazw 059 à AH naziAIW, 05m); a? BH nazi EM Ëazw 6è neuf, a3; à BHnazi B6), aô’zcog à ME nazi EN. aux). ôz’ 560v 59as’azi’v, 05g à AB nazi AE, 013’sz à BCû nazi EN’

nui nsgi tous yœm’ag ou" nÂsvgai &vdloyav Éva. si 6èzaûzo, [au guzla: à 15m; BAH Tania zçî 15m3 EAN. «Banami lainai à 15m3 ÜAF ymwfa Ida éo’zi a; ana NAZ yœw’qz.

ôLà zà «au? ôi à pin Ônô HFQ yawz’œ tu ëdzi a? ônô

EZN, à 6è ont) en; n; ônô NZM rua. zonzon

3. ôpolmç] supra «in; in F manu 2 scriptum est a. 6.usnozfioflœ] yeyows’zm ed. Basil., Torellius. nazi nous petcamp. F; corr. Torellius, ut lin. 6, 8, 9, 11, 12, 13 is, 14 bis.6. A9] .89 FV. AN] AH F, ut uidetur; V. etiam in


centrum grauitatis trianguli ABF in linea BH posi-tum sit, uelut a. dico, etiam trianguli AEZ centrumgrauitatis in linea similiter ducta positum esse.

secetur llinea AZ in puncto M in dues partesaequales, et ducatur linea. EIW, et fiatl)

BH:B0:ME:EN.et ducantur lineae A 0, QF, A N, N Z. iam quoniamest AH: afI’A et’AM: æAZ, erit etiam

BA : Ed : AH: AM2);et latere. aequales angulos3) comprehendentia propor-tionalia sunt. quare erit L AH B : AM E [Eucl. VI, 6]et AH: AM: BH: EM [Eucl. VI, 4]. est autemetiam BH : B6) ---x 114E : EN [ex hypothesi]. quareetiam ex aequali erit AB : AE : B0 : EN’); et la.-tera. aequales angulos 5) comprehendentia proportionaliasunt. hoc si est, erit L BAC? z E41 N [Eucl. V1, 6].quare etiam qui relinquiturs) angulus ÛAI” a N Al.et iisdem de causis erit

LBIYQ: EZN et LâFH: NZM

1) nenonfioflm lin. 5 pro ysyovs’zœ uestigium recensionis.posterioris est; u. Quaest. Arch. p. 70.

2) Nam ex hypothesi est BA : Ed a AP: AZ.3) Nain BAH: EAM, quia. ABFN AEZ.4) Nam faluné; erit AH: BH a 4M: EM; tum u. Eucl.

v, 22.5) Nam ABQ a AEN ex Eucl. V1, 6; u. lin. 8 sq.6) Se. ablato LBAâ ab BAH et EAN ab EdM, aequa-

libus ab aequalibus (Eucl. I uow. 31v. 3).

figura. H pro N praebet F. 7. NZ] HZ FV. 5nd 013vion? 9. AH AN F; 001T. menus 1. 10. 5m] scripsi;du; per camp. , ut lin. 15. 17. à] addidi; 0m. F, uulgo.

174 13mm»: mon. H manu BAPQN EHIl’I. A’.

a» nui à 157:6 ABQ :137 151:6 AEM l’au. 156:8 ami1011:6: à 157:6 ÛBI1 renvia [du 3617i :9? 131:6 NEZ. 61.6:

zaôza 61) mima 64.0th usina zà 0, N dupera [nazi:àg 611.01.67on nlavpàç Iaaç raflas nouai]. étai 015v

5 6110km; netza: :8: 9, N capota, and 56:: :6 Q nëvzpov:017 fioipsog :013 ABF :piyœ’vov, aux). :6 N 501x 916’11-

:901: fioipsoç :013 AEZ.

1;: .

Havzôg :ptyœ’vov :6 us’vzpov êazi :017 13059509 éni

1o :659 eûfistag, â’ in") En zwog 7111115019 ëni 11531:1: 0270-ue’va zàv 150261.11.

56:00 zpz’ycwov :6 ABF, nui à) 0:15:93 à A4 37:).115’001: :3111 BF [3026m ôazxze’o’u, 5:: fini zâg A4 :6

xëvzaav ëazi :017 flégeog z01î ABF.

15 1:6 91029, àU.’ si ôwazo’v, 56:10 :6 Q, nui 61.6 :015-

A

sa

FM?1x,0EH1:Ë Z1*

.30 4.2 W17zov napà :611 BF 513111 à HI. &Ei 6:1 61’101 umla-ps’vag zâg AF faucha: nouât à xœwlsznayæ’va 51026-

3. mira] Torellius; m «un: F, uulgo. 4. nui [me To-


sed demonstratum est LABH a: AEM’) quare etiamqui relinqujtur’) angulus HBF a: NEZ. itaque prop-ter haec omnia. puncta H, N similiter posito sunt[nam cum lateribus respondentibus aequales angulosfaciunt].3) iam quoniam puncta H, N similiter posito.sunt, et H centrum grauitatis trianguli ABF est, etiamN centrum grauitatis erit trianguli AEZ [prop. 11].

X111.

Cuiusujs trianguli centrum grauitatis in ea linea.positum est, quae ab angulo aliquo ad mediam basim4)

ducitur. I "triangulus sit AB F, et in eo linea A4 ad me-diam basim BF [ductà]. demonstrandum, centrumgrauitatis trianguli ABF in linea A4 positum esse.

nam ne sit, uerum, si fieri potest, sit punctum H,et per id ducatur HI lineae BI’ parallela. linea igitur41” semper deinceps in duas partes aequales diuisa,

1) Sc. p. 172, 8 sq.; u. not. 5.2) Sc. ablatis LABH 4- BFH 4- HI’H 4- HAH 4- HAB

a. summa angularum trianguli ABF, etAEN .4- EZN 4- NZM 4- MAN 4- NAE

a somma. angulorum trianguli AEZ, aequalibus ab aequalibus.3) Uerba nm). :6; 611016101); nlevçoîg lin. 3 necessario ad

eeqnentia: l’au; yœvtaç notai trahenda. sunt, et omnia haecuerbo. inter-polatori tribua.

4) U. p. 171 nat. 1.

telline; tous 7&9 Nizzius. 8. ux’ F. 10. mac] scripsi;tu; F, uulgo. peut F. Mayenne: F; carr. Torellius etmatchas. 15. me? :oüzov] scripsi; 6m zoo F, uulgo; du)?:01? 9 B; 61’ «6:05 ed. Basil., Torellius. 17. écachai] scripsî;and: par camp. F, uulgo. «noua F; corr. Torellius.

10

15

20

176 EHIIIEAQN IEOPP. H KENTPA BAPSàN EHHI. A’.

0’011: :019 HI ’ 1001i 60719110801 ëxazs’pu :071: BA, AF 59

:69 56019, nui 6:61 :51: :0602: napà zàv AA 51mm»,1101i 51595610511111: 015 EZ, HK, AM ëaaoôvzai 61)mimi naaoi :61! BF. :013 61) napaM’qÂo70é10pov :013

p.611 MN :6 1:57:00: ëdzi :013 fioipsog ëni :519 TE,:013 65 K3 :6 nëvzpov :05 6029509 ëni zâg TT, :017ôi ZO 51:1 zâ9 TA. :017 300: 5x ndvzaw 007115511511001557519509 :6 1:57:00: :015 730205159 50:01: êni :59 2A5131955059. 56:03 65] :6 P, 1101i ënsçeüzflœ à PH 1001i 5’11-

1355111501901, mi 571900 naaà :611; A41 à F0. :6 61)AAF :0570111011 nazi néon: zà :057011101 :0i 021:6 zâv

AM, MK, KZ, ZF 02110175700407.5701 61001701 :95 AAFzoôzov 5’15: :612 1167011, 311 5’15: à FA nazi AM, 614i

:6 560:9 eius: :609 AM, MK, ZF, KZ. 51:5i 65:16:6 AAB :057awov nazi noî’uza :13: àn6 :5111 A11, AH,H E, EB 02701757011141.5110: 61min :057001101 :611 016:6:575: 1.67011, 612 à BA nazi A11, :6 51’001 AB F :0570)-

11011 nazi mima zà 559111:51:01 :9570wa :oôzav 515: :61!

1.67011, 611 5’751 à FA nazi AM cillai à FA naziAM 1:55:01": 1.67011 575:, fineg à (DP nazi PH. 6 769:019 FA nazi AM 3.6709 6 «13:69 50:0 :95 [52.019] :079(DP nazi PH 61.6 :6 610050: 5610511 :6: :957001201. nazi:6 AB F déçu :9570011012 nazi :à 559171:51:01 115590110: 1.6700

1. HI] HIE FV. :0711] :aw per camp. F; corr. Torahlins, ut lin. 11, 16. 2. :001: rouan: F, uulgo. 3. saavwain.corr. Torellius. 7. Z0] ZH FV. 9. 50:01 50:01: par camp.F; cart. Torellius. 13. n90; per camp. ; 001T. Torellius,ut lin. 17, 19 bis, 20, 21, 22, 23. 14. 5mn par camp. F;son. Torellius. MK] MZ F; corr. B*. KZ, ZF B , cd.Basil., Torellius. 19. cillât à FA nazi A M in mg. F. 21..811?] delco cum Eutocio. 22. 51m: per camp. F; corr. To-re us.


aliquando, quae relinquitur, minorerit linea 0l, etattaque linea BA, AI1 in partes lli] aequales dîni-datur, et pet puncta sectionum [ ineae] parallelaelineae 14 ducantur, et ducantur lineae E Z, H K, 111W.eue igitur lineae BF parallelae erunt [u. Eutocius].itaque parallelogrammi MN centrum grauitatis inlinea TE positum erit, parallelogrammi autem K Ein TT, parallelogrammi autem ZO in TA [prop. 9].itaque magnitudinis ex omnibus compositae centrumgrauitatis in linea Ed positum erit [prop. 4]. sitigitur P, et ducatur PÛ et producatur, et lineae A4parallela ducatur F4). triangulus igitur AAI” adomnes triangulos triangulo AAF similes, qui inlineis AM, MK, K Z, ZI’ constructi sunt, eam ratio-nem habet, quam FA : AM, quia lineae AM, MK,ZF, K Z aequales suntl) [u. Eutocius]. et quoniametiam triangulus AAB ad omnes triangulos similesin lineis .411, AH, HE, EB constructos eandem ra-tionem habet, quam BAI z A11, triangulus igitur ABFad omnes illos triangulos eam rationem habet, quamhabet FA : AM2) sed FdzAM (DP:PCN); namFA:AM : (DP: PH, quia trianguli similes sunt”)[u. Eutocius]. quare etiam triangulus ABF ad eos,

1)Eutocius praebet sium mais sôôslag lin. 14; quarepute, litteraa lin. 14 ab interpolatore pro genuino substitutaame (prauo ordine).

2) Sint enim summum triangulorum s et 8,. eritA41": 8: FAzAM 4413:8, BA:AA;

sed FA : AM: Bd: 11.4, quia. AM1: BF (Eucl. V1, 2). ita.que AAF: A43 --: s : 81; unde ovvôhn:

ABI”:AzIB:s-I:s1 :81;h.e.ABr:s-l-s,:AAB:s, :BA:AA:1"’A:AM.’ 3) Herba ôté tà épata sïpsv ni rgfyœva lin. 22 non ha-

but Eutocius.

Archimedol, ad. Heiberg. n. 12

10

15

20

25

178 EHIHEASÀN IZOPP. H KENTPA BAPQN EHIH. A’.

515L, fixée à 0P azor) P0. :5615 ml 6051.6111; rôt MN,

K15, ZO nupaüqlôypapya and tôt untalsmôpwa19571123110: nettoya 1.691011 E154, 13’159 à (DO «cri 9P.7570115102 01’211 à! :95 mît! naçalhyloypaîppcov n°12 tu?

19157411110: 1.6919; à XÛ 1501:1 QF. étal 05v 36:6 n pé-

751909 zô ABF, 015 t6 xæ’vrgov zoé flépso’g écu tô 6,

and dmg’âtal. ân’ 056’501? 44575009 1:6 60754555181101: à:

115v MN, K E, ZO nagallqloypoêçmmv, ne": 561w 105âmmpe’vov paye’ôsog us’vrgov 1:05 flépsoç t6 P 6a-

mtov, mû â’pa lamez? paye’ôeog toi? waste’vo’v à;

150511 negtlemops’vmv tgLyCôvmv n’aimez: 1:05 6029564;

3m12 ënl raïs Pû sûôeûxg ëxfllnôslfaaç 561985115; âno-

Âœtpôu’o’ag «Ml 1&1! ûP 1051011 êzoüôag rôv 167011,

312 fixez, rô âmabpeôèv y63115009 nazi 16 Amanda). 1:6 âge:

X daustov xs’wpov ëdtl 105 fluions 1013 Gvyxscps’vovpayè’ôeog à: 170511 nsçtlsmope’vmw 37mg 026151101107. 1:5;

7&9 6L6; 1:06 X 5130515059 7:42:96: tàv A 4 àyops’vag à!

1:95 êmnëôço 521:1 m1318; même: ëvu’, tondant) fini 3d-

rsgov négus. ôfilov 015v tô «gonflé».

AAAQE TO ATTO.

gara) vpL’yœvov 16 ABF, and 52x001 à 44 ënî 51,5’-

o’ow 178w BI’. 157m, ("in 371:2 1&9 44 16 xévtpov 5613

mû [3029809 1:05 ABF 191.7061101).

m) yoîg, &M’ et ôvvarév, faire 1:6 6, nul gantai»;-

ôcodcw aï ne 4Q, ûB, GIF aux), ou? E4, ZE Karl 41,2’-

1. 515L] 0m. F. nooç pet comp. F; com Torellius, utlin. 2, 3, 4, 5. s. K2, sa F. 12. P9] E0 FV. sé-ôstaç] (ait) scripsi; aux: F, uulgo. 13. nazi] Torellius; un.F, uulgo. 17. 10271 compendio singulari F. 18. mina511M] goudron mina m xénon: (zqiymvu?) Eutocius.


quos commemorauimus, maiorem rationem habet, quamŒP: Pé). quare etiam dirimendo parallelogrammaMN, K5, ZO ad triangulos reliques maiorem ratio-nem habent, quam (Dû) : 6M?) fiat igitur rationi par-allelogrammorum et triangulorum aequalis ratio

Xéè : 69R”)

iam quoniam est magnitudo quaedam ABF, cuiuscentrum grauitatis est Û, et ab ea magnitudo ablataest, quae composite. est ex parallelogrammis MN, K E,ZO, et magnitudinis ablatae centrum grauitatis estpunctum P, reliquae igitur magnitudinis, quae extfianguljs relictis composite. est, centrum grauitatis inprodueta linea PC") positum est, linea. ab ea abscisa,quae ad 6P eam rationem habet, quam magnitudeablata ad reliquam [prop. 8]. itaque punctum X cen-trum grauitatis est magnitudinis ex [triangulis] re-lictis compositae; quod fieri non potest. nam omnes[trianguli] in eadem parte sunt lineae per X in planaductae lineae A4 parallelae, h. e. in altera parte.itaque constat propositum.3)

IDEM ALITER.

Sit triangulus ABF, et ducatur A 4 ad mediamB1". dico, centrum grauitatis trianguli ABF in lineaA4 positum esse.

nam ne ait, uerum, si fieri potest, sit Q, et ducau-tur lineae 46, QB, QI", et lineae E4, ZE ad me-

1) Cfr. Pappus VII, 45 p. 684 et supra uol. I p. 235 not. 1.2) Adparet enim, X6 maiOrem esse quam 9150 (Eucl. V, 8).3) Res ipsa satis adparet ex postul. 7, sed uerba Archi-

medis obscuriora. sunt, nec en Eutocius intellexisse uidetur.12*

180 EHIIIEAQN IZOPP. H KENTPA BAPSZN EHHI. A’.

dag 1&3 BA, AF, and impôt 143w Aâ chôment!) ont EK,

ZA, and Ëzstsüzûœaav al K A, A4, 4K, 40, MN.ÈME ôpoïôv 301L 16

ABF 101.7011101; 1954ZF1gvyaîvgo ôbà 16

11059011111101; 5151,51! 101v

BA 1g? Z4, aux! s’en

105 ABF 101yaîvov3151210011 1013 502950;

- 10 0 005051011, aux! 105

Z41" 50a 19Lyaôvov4151110012 1013 5020569

écu 10 A 60115100.65101073 7020 51111, usi-

A

15 pava 1è Û, 4 admira à! 53101115093 10511 101701120311, ânes-

20

25

M1150 7m11 1&9 6410167on nÂavpàg lads nme’ovn yœvL’ag’

0211050012 7649 10610. duit 1è 011318: 61) and 106 EB4 m’y-

100v 1013 [3029569 Eau 1b K duperai). (561:6 1017 5.501qu-15’00011 10311 EB4, Z41" 191705110112 dvynsme’vov p.575-

ôsog «53110012 101") 53020569 361w 371:1 (1560:9 1&ç K11

5133515019, énuôfinep [du 51211 1è EB4, Z41" 1017031101.

aux! 361w 1&9 K4 050’011 10 N, gazai ê0’1w, 059 à BE

71011 E4, 05mg à BK 71011 QK, 05g et à FZ andZA, dans à FA 71011 40. si 61 101710, 561w à BF19? K4 napéllnlog. aux). ëusêsüxrmd 4G). 561w 59a,03g à B4 71011 41", 051m9 à KN n01), 1&1! N11.03’615 105 if, 02119201511011: 10511 54501305310711 10Lyoo’vœv avr-

3. 11:51 051? 6. un; per camp. F; corr. Torellius.1029] 101 F; cou. Torellius. 14. aman sur F; con. Torel-lius. 16. agas par comp. F; eorr. Tore lins, ut semper hacin pagina. nouant; F, uulgo. 26. 41”] B F.


dies lineas B4, 41", et lineae 43 parallelae ducau-tur EK, Z4, et ducuntur K4, 44, 4K, 40, MN.iam quoniam ABFN 421", quia 34 1 Z41), et tri-anguli 4B1" centrum grauitatis est punctum 0, etiamtrianguli Z41" centrum grauitatis est punctum 4[prop. 11]. nem puncta 6, 4 similiter posita. sunt inutroque triangule, quoniam cum lateribus inter se re-spondentibus aequales angulos faciunt; hoc enim mani-festum est.’) eadem igitur de causa etiam trianguliEB4 centrum grauitatis est K. quare magnitudinisex utroque triangule EB 4, Z41" compositae centrumgrauitatis in media linea K4 positum est, quoniamEB4 a: Z41"5) [prop. 4]. et medium punctum li-neae K4 est N, quoniam est BE:E4:BK:OK[Eucl. V1, 2; nem EK*43] et I"Z : 24 a 1"4 : 40[nem 24140]. hoc si est, erit B1"*K4.*) etducta est 40. quare erit B4:41"::KN:N4.5)quare magnitudinis ex utreque triangule compositae

1) Nain 41": Z1": BI": 41":: 2; tum u. Eucl. 71, 2b.2) Nm cum 48 à: 24 et L BAI": 4ZP, erit

042 : AZF et B48 a .424;pmeterea. ZFA, AP4 communes sent, et quoniam est

ZI":41":41":91":1:2:41":BI",erit 4A 4: B9, et L A41" a 8B4; quatre etiam reliquusZAAaABO. ceterum cfr. Eutocius, ex cuius lemmate: épela);1&0 31m. ne! en: tà 8, K, A 31 rot: toryoôvozc concludi pesseuidetur, si a iam huius 100i formam sub oculis fuisse.

3) Eucl. I, 38; nam Bd a 4P et EZ :1: B1"; quam alti-tudines aequales.

4) Nm BE : EA a: PZ : Z4; quel-e etiamF4:49---BK:9K;

tum u. Eucl. V1, 2.5) Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 3.

182 EIIIIIEAQN IEOPP. H KENTPA BAPSZN EHIH. A’.

1151115101) 1157850509 11111110011 3612 1è N. 561w 6è aux!

105 4E4Z 91010a111710y001111100 1151210012 1017 M050;16 M 6011151012. 15615 1013 à: naîwaw 61271151118101) (La-ye’ôeog 1è 115110011 1015 fidpsôg ému; t’ai 1&5 MN ed-

5 051’019. 561w 61 110d. 105 481" név10ov 1015 61105015 10

Q 6011151011. à MN 61’001 ëxfiallope’va 11005051011, 6161

105 0 6011051101)’ 51150 0261511011012. 015x 01’001 1è 11151210011

1013 5020509 105 431" 1017051200 01’511 661w .5112 10?;44 515051019. 561w ë001 11’ «131019.

170111169 1017051100 1151110011 à"), 1013 fidpsog 16 da-

psl’ov, and? 3 00011571101211 1013 10171051101) 0:1 à; 1&1:y10111011! e911 péans 1619 ulsv0àg àyope’vm 813851011.

10

415

20 0B

25

56100 1067071101: 10431", un! 511800 à ph!44 fini 105’001: 1611) BI",

V à 6è DE 5111 115770111 1&1!

41". êddslwz 61"? 10134B1" 101461101) 1:6 név-100v 1013 [3020509 Ëcp’

êua1ê0aç 10111 44, BE’

60655111011 7&0 101710.0561s 16 6 dupera» név-10011 1013 13050563 1501111.

110111169 10017151101) 16g 6150 711.5120619 ëxowog :1010-

aÂÂfiÂovg 02110210119 1è 915110011 gai 1017 13020809 6’111

1019 515055019 10k 51130700015009 1&9 640101115019 10711

1. En) 101") 602050: Torellius. 6. 6102] de du! F. 10. tfi’ F.


centrum grauitatis est N. sed etiam parallelogrammiAEAZ centrum grauitatis est M [prop. 10]. itaquemagnitudinis ex omnibus compositae centrum grani-tatis in linea. MN positum est [p. 149 not. 1]. sedetiam centrum grauitatis trianguli ABF punctum Qxest. itaque linea MN producta per punctum G ibit;quad fieri non potestfi) quare fieri non potest., utcentrum grauitatis trianguli ABF in linea A4 posi-tum non sit. itaque in en. est.

XIV.

Cuiusuis trianguli centrum grauitatis est punctum,in quo lineae ab angulis ad media latera ductae con-carrant.

triangulus sit ABF, et ducatur .44 ad mediamBI”, BE autem ad mediam AF. erit igitur trianguliABF centrum grauitatis in utraque linea A4, B E;hoc enim demonstratum est [prop. 13]. quare punc-tum Û centrum grauitatis est.

XV.

Cuiusuis trapezii duo latera inter se parallela ha-bentis centrum grauitatis in es linea positum est,quae media. puncta. paraHelarum iungit, ita diuisa, ut

1) Nam EM: MZ, KN : NA; quare MN 4: ZA si: ,49.

12. tu»! yœwnw F, uulgo. 18. influa] scripsi; 8L F, uulgo;351L B, Torellius. 19. 1:6] addidi; 0m. F, uulgo. 21. unper comp. F; corr. Torellius. 25. Ly’ F. 27. aunlmg F;con. Torellius. 28. 1&0] un F, uulgo.

184 summum mon). n KENTPA BAPSZN mm. A’.

napalhjlow ôLaLpsôeL’dag, (3615 rô mina «ôtois 16zépaç 510v 176w ôazorogu’av zig 3114156601203 râv Mou).-

hilow and rô 1.014161: tpâpa coûtai; 515w 16v 16701:, o311 au dwampônçoç à [au a; ôzulam’ç 1&9 pelèovoç

5 puai 1&9 31.0211601109 azor! ràv ôLnÂam’av 1&9 üédôovog

pêtà 107g petÇovog 1&1: napalhilmv. -561m tpaats’ëzov 16 ABFA napalhjlovg 51011 rôts

A41, Br, à 6è E2 ëmçevyvvétm rôts anamniens râvA4, BI’. au 013v ëzl 1&3 El écu zô xéwçov :06

10 rpansëlfov, 9011159611. ëùv yào 31:50:11]"; ràç FAH, ZEH,

BAH, 6551011, En 5er zô aïno dapsi’ov ëpxôwab. âc-delfraL 013v mû H B1" 19141051101) rô uêwpov 1:06 flâçsog

315?, n29 HZ, ml (moto); :05 AHA tçwaîvov r6 xén-rçov 1017 fldpsog 31:3 raïs EH. aux! lomoû and roi?

15 ABFA monnayai: to us’wçov r05 flégsog écachai. 531:2,

1&9 EZ. âmçsvzfletda 6è à B4 ômp’ridôœ si; qui:l’au zani rôt K, 6 (tupaïa, and. 64’ «151051; nanti ràv

1. au cum camp. ne F. 2. suiv] tu" F; corr. Biualtns.


pars eius terminum habens punctum medium minorisparallelarum ad reliquam pattern esm habeat ratio-nem, quam habet linea duplici maiori aequalis simulcum minore ad duplicem minorem simul cum maioreparauelarum.

trapezium sit 11de latere. A4, BF parallelahabens, et linea. EZ media puncta. linearum .44, BI’iungat. iam centrum [grauitatis] trapezii ln linea EZesse, manifestum est. nam si produxeris lineas FAI1,ZEH, BAH, adparet, eas in idem punctum incidere[u. Eutocius]. itaque trianguli HBF centrum grani-tatis in linea. HZ positum erit [prop. 13], et eodemmodo trianguli AHA centrum grauitatis in linea EHpositum erit [prop. 13]. itaque quod relinquitur, tra-pezii ABFd centrum grauitatis in linea. EZ positumerit [prop. 8]. ducta autem linea Bd in tres partesaequales diuidatur in punctis K, 0, et per ea. lineae

tir] 12ml! par camp. F, uulgo, ut lin. 6. 4. me «inhume F;con. B. 5. nous par camp. F; corr. Torellius. 7. zoo:-zsgsw’w F. 10. expulsa F. 11. évadas; 015v scripsi; acron(comp.) to F, uulgo. 13. 16] addidi; 0m. F, u go. 15. rou-an;st F; corr. Torellius. 1:6] addidi; sa deletum manu 1F; 0m. uulgo. sont; par comp. F, vulgo, ut p. 186 lin. 2.

10

l5

20

25

186 EHIUEASZN IEOPP. H KENTPA BAPSÆN El’IIrI. A’.

BF â’zôœdav ai 119M, NK T, ami hsçaüxôœaav a!

4Z, B E; DE. écachai 61] 105 p.311 4BF 101.7051201;nè’wgov 1015 [1029509 311i raïs 0M, «511816157159 19510:!

pépog à âB 107g B4, Mi ôzà 1015 Q caneton arag-éÀÂnlog 197 fléau dînai à Mû. 561w 66 16 néwpov

105 5029509 1015 431" 1pvyaîvov mi fini 1&g 4 Z. «5cm16 ,5 m’wpov 1015 [3059509 105 slpnye’vov 1piyoîvov. 6d:

1a15’rà 66 ami 16 O duperai! 3151119011 étui 105 1305950;

1015 AB4 19144151101). 105 59a 35 àpcpon’pmv 1450.484, B4F minium: avyxemæ’izov 5459158509, 5150361i 16 manégiov, 16 dv1001! 105 fldçsoç fini 15g DE515054029. 561w 66 1015 atpnpa’vov managiez) 16 név-

1pov 1015 flépeog ami fini 1&9 EZ. 03615 106 .4de1ganaÇiov ue’mpov É61i 1015 [369509 16 H caneton. 51m

6’ du 16 B41" 10570111011 2101i 16 484 loyov, 31:0?OH 1101i HE. 021.1, à; 16 B41" 19lyawov 1101i 164B4 1gtyawov, 0171019 âv1i à 81" 1101i 44, 05g ôià 0H 7101i HE, 0171m9 à P17 101i H2. ami 059 du:à B1" 7101i 44, 051039 à PH no1i H2. (.5618 mi;039 6150 ai BF p.516: 1&9 44 7101i 6150 16g A4 parai1&9 BF, 051019 6150 ai PII m1431 1&9 H2 1101i 61501&9 H2 une? 15g HP. cillât 6150 suiv ai P1105161429- H2 ovvœpqvônpâç 4361111 à ZPII, 1ov1&’61w à HE’

6150 6è ai H2 paroi 1&9 HP avvapqzôrsgôç 361w à]P2711, 10121156114; à Il Z. ôsôstxwi â’pœ 1è n901sôe’v1æ]

---*- i11. 16 manétcov] cum B; 1901115;st F; munsztîo’n uulgo;

19011:5va V, Torellius. 16] addidi; 0m. F, uulgo. 12. 515-98111: .4010? mantelet: ; con. V. 16] addidi; 0m. F,uulgo. 14. touustuov F; corr. Torellius. 15. «on; parcamp. F; con. Torellius, ut semper hac in pagina. 23. ravi-Jsans] pet comp. F, ut un. 26. 2b. P211] scripsi; P112 F,

i

uulgo. i


BF parallelae ducantur AÛM, N K T, et ducanturAl, BE, DE. erit igitur trianguli 4BF centrumgrauitatis in linea 8M positum, quoniam QB n: àB4[u. Eutocius et prop. 14], et per punctum (9 basi par-allels ducta. est linea M611) sed centrum grauitatistrianguli 481” etiam in linea 4 Z positum erit [prop.13]. itaque punctum E centrum grauitatis est illiustrianguli. et eadem de causa etiam punctum O cen-trum grauitatis est trianguli 48 4. magnitudinis igi-tur ex ntroque triangulo 4 B4 , B41" compositae,h. e. trapezii, centrum granitatis in linea. DE positumerit. sed centrum grauitatis huius trapezii etiam inE2 positum est. quare trapezii 48F4 centrum gra-uitatis est punctum Il. erit autem

B4F: 434 --- OH: 11E [prop. 6 et 7].sed B41”: 434 :: BI’: 44 [Eucl. VI, 1], et

OH: HIE: PH:H2.’)quam BI’: 44 a: PII : I1 E. quare etiamËBF-f-44z244 -]- Br: 2PIÎ-l- HE:2IIE-f- H23)sed 2PII-]- H2 : EP4- PH: UE4); et

2H2 -I- 17F: P2 -I- 2H: 112.5)itaque demonstrata sunt, quae proposita erant.

1) Haec Herba: ami thé 1015 9 lin. 4 - 51mn à M 9 lin. 6Entocius habuîsse non uidetnr.

2) Nam OPHN 211.57; tum u. Eucl. V1, 4.3) Cfr. Quaest. Arch. p. 48.4) Nam EP a P2 a zz, quia AN:- NA .-. BA et

NTOAMOBR5) Erit igitur 2BF-l- 44 : 244 .5- 31": HE : HZ.

’Eamræ’ôœv 560990911031) 13’.

a’. ’ .El aux 6150 xœpL’a 11594516515110: 6116 1s 51585511; nui

ôpôoymvlfov un5v0v 1051,59, 62 6vvoîp5’9a 110196; 143w 60-.

5 651’600): 515651011 11019013411513), in] 16 M516 9151119011 10153

3059509 51mm, 1015 55 0551001500011 «1510511 avyxELpëvovi

(137529609 16 ue’wpov 1015 3020509 Ëôdêh’at 6112 107; si]

bêtas 1&9 31113111111006!!on 1è xénon: 1015 3029505 411510311]

ôzaiçe’ov 051m9 16m 53947515314111 eôôeî’av, (5618 16 qui-1

10 para «1515:9 évuzenovôônog 1611 m5161! 1.67011 515w?

105g 161915019 i5610) 6150 109m 1è 43, F4, oie: elçfitm’ si»!100: 66 m5161: 1015 5050509 56110 16 E, Z dansiez, uni311 515:. 167501: 16 43 7101i 16 F4, 1015101: fixé-m à

15 29 501i 0E. ôeixn’ov, 6’11 1015 fig &qu015’90w 16W

1. uo’ooomumv fi F. 2. 12’] 0m. F. 5. 1109416411 cumcomp. a! uel n F. 6. Ëzawu] scripsi; 8101141 F, uulgo;

De planarum aequilibriis liber Il.

I.

Si duo spatia comprebensa linea recta et sectioneconi rectanguli, quae datae lineae adplicare possu-musl), idem centrum grauitatis non habent, magnitu-dinis ex utroque compositae centrum grauitatis inlinea centra. grauitatis eorum iungenti ita positum

î erit, ut lineam illam ita diuidat, ut partes contrariamhabeant proportionem ac spath?)

duo spatia, qualia diximus, sint 43, F4, et centragrauitatis eorum sint puncta E, Z, et sit

43:F4:ZG):üE.

. 1) Hoc demonstratum est in libro de quadratura para-bolse scripta; u. Eutocius.

2) Haec proportio nihil continet nisi peculjarem quendamcasum libri I propp. 6-7, quae Archimedes propria. demon-

, stations adiecta. ad segmenta parabolarum, de quibus hoc libroî agnus, transferri uoluit; quad carte necessarium non erat.

gIMl Riualtus. 9. 610105001! F; 001T. Torellius. 10. curu-12101601 cum camp. un: F; 001T. Torellius. 15. 71909 parcamp. F; cart. Torellius.

10

15

20

190 EnmEAsaN mappomsaN B’.43, F4 110911011 10721311161201: 1153256509 115111901: 1015

3050569 361i 16 O caneton50’110 61) 11,32 1161: E6) 5111x1590: [du 112v ZH, ZK,

.11; 6è ZÛ, 101515011. 11,52 HE, [du à E4. 3665111111 60a

ami à 49 19’: K0 l’au, ami 51L, 059 à 4H :101i HK,01’510); 16 43 2101i F4 a 61.7110161511 9:69 ënara’ça êxars’paç.

«11001555115600: 67] ampli: 1611 4H16 161015011 1015 43 36’

éminça 1&9 4H, 65’615 sima! 16 MN [1101: 11,5 AB.kacha 61] 1015 MN acæ’111çov 1015 31729609 16 E 6a-

ystov. dvpnenlaypaîdôœ 66 16 NE. 5:51 6a] 16 MN101i 16 N E 2.67012, 81; à AH 101i HK. 5151. 6è uni16 43 1101i 16 F4 161; 162g 4H 7101i HK 167ml.ami à; 151’911 16 43 7101i F4, 01’516); 16 MN 7101i NE.

ami 111111.15. [601; 6Ès 16 43 195 MN. [6011 61’001 mi

16 F4 105 NE. ami 1151119011 36111; m5101": 1015 3059:0;16 Z caneton ami 3115i [au ë61iv à AÛ 11;? 8K, ami6’111 à 4K 169 02915111111501) 911.5119619 61’111 115111551, [10:5]

610v 1015 IIM 1152119011 1015 30595159 in; 16 â camion.6:12.61 10 MII 170’011 193 3g àpqaon’çœv 115v MN, N5.

15615 ami 1015 35 6111;)015’00011 11511 4B, F 4 1151119011

361i 1015 13020509 16 (9 capelan

3. 615 scripsi; 65 F, uulgo. 1&1] 101w par camp. F;001T. Tare lins. 4. HE] H 6 F; cart. manus 2. satuzpercamp. F, uulgo, ut lin. 9. 5. 1:90; pet camp. F; con. To-rellius, ut semper hac in pagina. .7. zœolov] 6111115101 F; com,Torellius. 1013] 16 Torellius. 10. 675] 65 F; con. To-rellius. 17. 1015 deleo.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS Il. 191

demoustrandum, magnitudinis ex utroque spatio AB,FA compositae centrum grauitatis esse punctum 6.

ait igitur ZH:-- 2K: E09 et EA z ZÜ----- HE.1)erit igitur etiam

dû : K92), et AH: HK : AB : F4;utraque enim [AH, H K ] duplo maior est utraque[29, 951]?) adplicetur igitur lineae.AH spatium ABinhtramque partem lineae 11H, ita ut ait MN :AB.itaque spatii MN centrum grauitatis erit punctum E

; [1, 10]!) expleatur igitur spatium N ,57. erit igiturj MNzNE : AH:HK [Eucl. VI, 1]. sed etiam1 AB:I’A:AH:HK. quare

Ï. ABzf’AaMNzNE.et uicissim [.48 : MN:: FA: NE; Eucl. V, 16]; eti AE: MN. itaque etiam F4 : N E. et centrum5 grauitatis [spatii N E] punctum Z erit [I, 10; u. not 4].Èet quoniam A6) : (9K, et AK tota latera. sibi oppo-

site. in duas partes aequales diuidit f’), totius spatüNM centrum grauitatis est (9 [1, 10; u. not. 4]. sed

5 M11: MN 4- N E. quare etiam magnitudinis ex A B,MUS) compositae centrum grauitatis est punctum a

1) Nm E 8 a: HZ; auferatur igitur linea. H 9 communia.2) Addendo E8 : ZK et EA : 92.3) Est enim dB : FA --- Z9: 8E a 2Z9 : 29E; sed

AH: EA 4- EH: 220 et 11K: HZ 4- ZK: 2E9.h 4) Nam unctum E id est, in quo diametri concurrunt; u.

Zeltschr. f. 34:11., hist. Abth. XXIV, p. 180 nr. 10.6) Auditur, spatium M N ita positum esse, ut linea. AH in

58 aequales partes diuidatur; hic enim sensus est uerborumtv 51021690: 1&9 AH lin. 7.

6) Se. in puncti; E, Z suspensis; ideo enim demonstra-est, haec puncta. centra. grauitatis esse spatiorum MN, NE.

10

15

20

25

192 EHIIIEAQN IEOPPOIIIQN B’.fi’.

El un si; zpâpa mgteæôywov 152:5 afiflu’ag mi698070311501) m6110!) roulis rpiymvov ëyyçatpfi 1:43:11 a6-

tùv fléau; 510v 195 tyépau nul 51km; 1’601), aux! mihi!dg rà uaraÂeLnôpsva guipant tQL’yœva êyygatpéœvn

rôts côtés flaciag 5101210: rots rpapoînao’w and Mao;

[6011, nul dal dg t’à natalemôpava zpépata rgtyœvaëyypaqaëcovu rôt) «15:61! 19615011, 1:6 ywôpevov azimutà) tç5 tuéyan yvcoçlfpcoç ëyypacps’aôm leye’o’ôto. (pave-

çôv 66’, 51L r06 oô’tœg ëyyçaqae’vrog dzæipævog aï 1&9

yœm’ag Émgavyvvoüaal. mais ra Ënyo’ta ànô 1&9 xogv-

guis 105 rpéparog au), têts fifi; nage? 143w 5026W 36-Goüvwz 106 animeras, and 6510; tuaôndo’vrm 151:6 raïsr05 14102510510; (nagèrent), ami 1&1; ôtoîperpov 155101"!er

539 toùg 145v ëEfig nspdetfiv âgtôpoîv lôyovg, 5’126;

layopæ’vov 501:2 a; uOQUÇJâ 1017 rydpatog. raôta 6è ôamtê’ov à! un; 102.5541111.

El 68’ un: si; 14007110; mgœzôpwov 1571:6 568615019 1:5 o

and 6930702111501) nœ’wv topât; süâüypappov 711411941019

s’yygatpfi, rô 105 âyypaqae’vrog névrpov mû flâgsog

5665151421. éd 1&9 toi; tpdparog ôzapæ’rpov.

561:0) quipo: r6 ABF, oïov 5391km, ami 37757190291280)dg «616 sôôüypamwv yuaæga’pœg rô AEZHBÛIKIÏôsmrs’ov, (in çà n’aimez: 105 fiâçsog 105 süôvyçoîppov

Ëdtlv 371:2 162g BA..

4. 1:95] 10 F. 5. ayygoupsvmwu F. 6. flua cum comp.11g F; pliGELÇ uulgo. tyapdtêa’ul F; con. Torellius. 7. Pontr60? repetit F: nul sic 1:02 nazalamo’pwu . . . 1’601; corr. cd.Basil. 9. ywmçwp cum comp. mg FA. 14. ôwîpnçov du.parqua. F; ômps’tgmr uulgo; corr. Torellius. repaîtra mmF; corr. Torellius. 15. mais] m1: F. 16. mira cum Eu-tocio; routa F, uulgo. 18. na] scripsi; mu F, n go. 20.


II. ’Si segmento comprehenso linea. recta et sectione

coni rectanguli triangulus inscribitur eandem basimhabens, quam segmentum, et altitudinem aequalem, etrursus segmentis reliquis trianguli inscribuntur easdembases habentes, quas segmenta, et altitudinem aequalem,et semper deinceps segmentis reliquis eodem modo trian-guli inscribuntur, figura inde orta. pro prie segmentainscribi dicatur. adparet autem, in figura. ita inscriptalineas angulos iungentes et uertici segmenti proximoset ceteros basi parallelas fore, et diametro segmentiin partes aequales diuisum iri, et diametrum in pro-portionibus numerorum imparium ordine sequentiumdjmsuras esse, maria numero ad uerticem segmentinumerato. haec autem suis locis demonstranda. sunt.1)

Sin segmenta comprehenso linea recta. et sectioneeoni rectanguli figura rectilinea proprie inscribitur,[figurae] inscriptae centrum grauitatis in diametrosegmenti positum erit.

sit ABF segmentum, quale diximus, et ei inscri-batur proprie figura. rectilinea AEZHBŒI K1”. de-monstrandum, centrum grauitatis figurae rectilineae inlinea B A positum esse?)

1) U. Eutocius, ex cuius nota adparet, haec omnia. in Frecte cum prop. 2, non cum prop. r coniungi.

2) Auditur igitur, lineam Bd diametrum esse.

t6] addidi; 0m. F, uulgo. 2l. 50mm F. I 23. A] F.24. Ante aunées in ed. Basil. (et apud Torelhum) addltur:flânerons 6è roi: tydpuroç 51mn à Bd. ’

Archimedes, 0d. Heiberg. 11. 13

10

15

194 EHHIEAQN IEOPPOIIIQN B’.

351151 yào 101") 11211 AEKF managiov 1è 315119011

105 5029509 gal 1&9 114 1’611, 106 6è EZIK 19a-negt’ov 16 2151119011 6211, 1&9 M11, 1017 6è ZHQI 1011-

F!

.17 K1 &d Ansgiov 16 2161119011 6112 1&9 MN, 511. 6è ml 105 HBO1917061100 1è 1153119011 105 13029509 fui 151g BN, ôfilov,511 nul 1017 5100 66907902111100 16 315121900 1013 1302910; 1

6’712 107g Bd 361w.

I

7’ - 1El aux 6150 1111111021101: 611,011sz «59151011511031; 15116

613955111; 15 and 6980701111500 911161100 1011029 dg 5110215901!

sôôüypappov 11371710019117 711019111039, ëzowu 6è 1è 677911-

07511111 51536790111110: 1&9 711.809615- [mais 195 «biwa 02Mo?-

Âoug, 11511 56307902011101: 1è 311511191: 1150 flaos’ow 611050;

115111101111. 1&9 6101111519on 11511 11Lœ11d1œv.

561m 6150 111021111101 16: AB F, 50H, and 37175329020190

dg 011’116: 56815791111110: 7111019111019, lai 1&1; 71116121; 71151)-

pâv 1611 02914911611 Ëxôv’rœv &Mélmg [6011. 61011152901

6è 5610060112 1151! 11101110210111 «1’ BA, 0P, ml 5:15:56;-eœaau a1 EK, ZI, H0 aux), 2T, T415, X217. guai

1. AEKI’] E-i ÏÎ FV. touuatuov F, uulgo, ut lin. 2, 3.

DE PLANORUM AEQUILIÎBRJIS 11. 195

nain quoniam trapezii AEKI’ centrum grauitatisin linea. AA positum est [I, 15] l), trapezii EZI Kin linea MA, trapezii ZHÛI in linea MN, porrotrianguli HBGJ in linea. BN [1, 13; u. not. 1], adparet,etiam totius figuras rectilineae centrum grauitatis inlinea Bd positum esse [cfr. I, 4 not. 1].

III.Datis duobus segmentis aequalibus”) comprehensis

linea recta. et sectione coni rectanguli, si attique figurarectilinea proprie inscribitur’; et figuras inscriptae la-tere. numero inter se aequalia. habent, centra. grani-tatum figurarum similiter diametros segmentorum e-

cant. .duo segmenta sint ABF, 50H, et iis inscriban-tut proprie figuras rectilineae, et numerum omniumsimul laterum inter se aequalem habeant?) et dia-metri segmentorum sint BA, OP, et ducantur lineaeEK, ZI, Hé) et 2T, T115, XËPZ iam quoniam et

1) Nm EN: NH, IM:- MZ, KA : AE,1’21 : 4.4;L p. 192, 13 sq.

2) U. Eutocius; efr. Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV1. 46 nr. 3; Apollon. V1 def. 7.

3) 516711101 lin. 17 imperatiuus est.

2. mulon; FV. 14. 15111001111. F. 16. sa). 1&1] scripsi;ne F, uulgo. 1151601; vampée Torellius. 17. 510110: To-elhus. «12.177.019 F; corr. Torellius. 19. ZI] ZF FV.

13*

196 EHIIIEAQN IEOPPOHLQN B i.015v 5 1e Bd 61a105l1a1. 15716 1&1; zapalqulœv ais 101391151) 5’81"19 05018111511 7151501660312 1167009, aux! à P0, and

195 zlfiôu 1è 111021112112 011511211 [du fini, 6551.00, 059 tu?

15 11102110110: 1&1! 6101115190011 à! 101’9 aérois 11671019 got-

5 68151111, and a! drapaüfiloz 10139 01131069 16710113 ëëoôv’n.

and 10511 190715:15:11"; 105 11; AEKF x06, 1017 EZTfi.’ )1è xénon 11511 flaps’aw 3665151111, 371:2 1&1: A4, SEPaûôsLâv 6110th 111551151111, 157151 1611 01131612 5101111. 1.67011

«611F, EK 101121517, 2T. 11021111 6è ami 1151: EZIK.10 ZTŒT maxiton! 1è 1115111001 11511 51295101; 666015v1a1.

épatais 6101105011101 nig- AM, .Wà, ml 11512 2H81,TXËP’Œ 1012715550111 102 usurpa 11511 fiaça’aw 566015111011;

1. 1m! F, uulgo. 10159] 1:00 F. 2. à P0] scripsi;


Bd et P0 in proportionibus numerorum impariumordine sequentium lineis parallelis secantur, et partesearum numero aequales eunt, adparet, et partes dia.-metrorum in iisdem proportionibus fore, et parallelaseasdem rationes habituras esseï) et trapeziorum AEKI’

et 52TH centra grauitatum in lineis A4, SEP simi-liter posita erunt, quoniam est AszK : 717:211’)rursus autem etiam trapeziorum EZI K, ZTŒT cen-tra grauitatum lineas A M, 52(b similiter diuident’),et trapeziorum ZHQI, TX 31H15 centra grauitatum

1)Nam BN:NM:MA:AA:-1:3:5:7 (p. 192, 14):Oq:q9.,:FSZ:SZP;

inde BN:BM:BA:BA:1:4:9:16-Oq:OF:OQ:OP.est autem (quadr. parab. 3)

HN’:ZM’:EA’:AA’:BN:BM:BA:BA:Oq:OF:OQ:OP:XQ’:TF’:ZQ’:EP’J:H9:ZI:EK:AF:X7IJ: TŒ:2T:EIÏ(p.192, 13).2) Nam situa central-nm ex ratione laterum AF, EK, En,

2T pendet (I, 15).

IIPO F, uulgo; P0 ôpoz’mç ed. Basil., Torellius. 3. (wwwF, uulgo. 4. un F, uulgo, ut . 198 lin. 3. 51v] 0m. F;6911. Torellius. 6. mangetout! IF, uulgo, ut lin. 10, p. 198

.4. 7. nov-nûment: F, uulgo. 8. émet] Torellius; unF, uulgo. 9. 65’] acripsi; 611 F, uulgo. 11. 1&9 AM, au»,affluoit»; ôwzçs’zwra p. 198 lin. 1 cm. F; suppleuit ed. Basil.,nm quod in: rois Z0, TIF mantelets lin. 11-12 praebet,quod ex neu Archimedis correxi.

198 EHII’IEAQN IEOPPOIIIQN B’.

61105039 ôtatçe’ovm 1&9 MN, Fèû. infime 6è ml 115vHBG, X011! 191761:01:11 fà 916111011 1151! [342050111 ênl

du: BN, Oq 6005m9 usinant. 5101m 61) 1:01: aüzôv116701! tôt 194211:15:11: aux), ni rolymvœ. ôfilov 015v, 51:1.

5 1015 51.00 aûôvyçéppov 1:05 à: 1:55 ABF ruinait ânie-yçappê’vov 1:6 115’th011 1017 5029809 61405009 61,011,085 du:

Bd, aux! 1:05 à: 1:95 50H unipare 51175119111111.5101: 1:6us’wpov 1:01": 5029509 1&1! OP. 57:50 565L ôsŒao.

à".

10 Havrôg 111021111109 nepzaxopëvov 132:0 515855019 te aux!6000710111701; 91161101: 101159 1:6 névrpov 1017 fidpsôg 15071.11

321:1 raïs 1017 zpdyatog ôzupe’tpov.

561m mâpa, à; slpfirm, r0 ABF, 015 61021181909561m à BA. ôsmze’ov, 51:1 1017 51301111151100 tuéparog

16 tô uëvtpor 1017 fioigsôg :56er 1511:1 1&9 BA.si 7&0 mi, 561m rô E, aux) 01’ «151.017 51’100) sauçai

1:13:11 Bd à EZ. aux) âyysygdtpôm sis 16 quipo: r91:-7nwov t0 ABF 0&1: 1113156111 fléau; 51011 nul 171,009 11’601:-

uœl 31; 515:. 1167011 à FZ «oïl dz, 0013001: fixâtes rô20 ABF rgtynwov and zô K gabelou. ëyysypâœôœ 6è

nul 51501579110001; et; t0 111.511,01 711010511039, 15678 1:6:

nsçalsmâpwa unipare: ëlddaova dum: 1017 K. :017M7 éyypuqaops’vov eôôvypoîppov 16 ue’wpov 1017 fiépsôg

.66sz fini tâg Bd. 51mn fô 9, un). ëxsÇsüxôœ à 0.E

1. F14, scripsi (quas litteras etiam in figura. cum F re-stitui) CT , uulgo; sq Torellius. 801111. pet comp. F, uulgo.3. 5100er F; corr. Torellius. ôfi] scripai; ôe F, uulgo. 6.10 O F; con. AB. 8. sur. un F; com Nizzius. 16. :6] ad-didi; 0m. F, uulgo, ut lin. 17. 19. nous par comp. F; corr.Torellius, ut lin. 20. 22. anion pet comp. F; corr. Torellius.

DE PLANORUM AEQUlLIBRIIS Il. 199

lineas MN, tac; similiter diuidentf) et etiam trian-gulorum H BÜ, X 011” centra grauitatum in lineis B N,0G similiter posita erunt.’) itaque trapezia et trian-guli eandem rationem habent,?) adparet igiturt), etiamtotius figurae rectilineae segmento ABF inscriptaecentrum grauitatis lineam Bd similiter diuidere acfigurae segmento E011 inscriptae centrum grauitatislineam 0P; quod erat demonstrandum?)

IV.

Cuiusuis segmenti comprehensi linea recta. et sec-tione coni rectanguli centrum grauitatis in diametrosegmenti positum est.

sit ABF segmentum, quale diximus, cuius diame-trus sit Bd. demonstrandum, segmenti illius centrumgrauitatis in linea Bd positum esse.

nam si non est, ait E, et par id lineae Bd par-allela. ducatur linea EZ. et segmente inscribaturtriangulus ABF eandem basim habens et altitudinemaequalem. et ait FZ: A Z : ABF: K. praeterea figura.rectilinea. segmento proprie inscribatur, ita ut seg-menta reliqua. spatio K minora sint [u. Eutocius].itaque figurae rectilineae inscriptae centrum grauitatisin linea Bd positum est [prop. 2]. sit punctum (à,et ducatur linea ÛE et producatur, et lineae B A par-

1) Cfr. p. 197 not. 2.2) Ex I, 14 et Eutocio ad I, 15. .3) Nam cum trapezia respondentia et triangula. similîa

sint, eas rationes habent, quam: latera. quadrata (Eucl. V1, 20)3: 41””: 5m, EK’ : ÆT’ cett., quae aequales sunt.

4) Ex I, 6-7. omnino u. Nizzius.5) Banc propositionem etiam de segmentis non aimilibus

Imam esse, ostendit Nizzius p. 30 0.

200 EHIHEAQN IEOPPOHIQN B ’.11011 31135131116801, aux! 1111961 1à11 Bd 6210111 à FA. 617-

1011 65’, 6’11 (15191111 1167011 5’151 16 érysypapms’vov 515-

00091111000 511 115 11102111111 11011 1è 11511161151101 11.1411141111,

fi 16 ABF 19170111011 11011 16 K. àM’ 5611, à; 166 ABF 101711111011 11011 16 K ,. 0171m9 à FZ 11011 ZA.

ami 16 57171570011111.5000 59a 51780719010000 11011 1è 11591-15111605001 111021101101 1151201101 110’700 5’151, fi à FZ 11011

ZA, 1001561111 à AE 11011 Ea 515’110 01711 à ME11011 EQ 1611 111171611 1167011 1611 1017 50007002111100 11011

10 1è 111021101101. 1’115! 01711 16 11511 E 1151119011 1017 51.011

111011101103, 1017 6è 57715719011111.5000 511 0117195 5178070111

(100 16 (a, 61711011, 511 10111017 1017 60711511151100 11575-19509 5’11 10511 1159115111011501011 11101110211011 16 1151119011 1017

13029561; 561111 êxfilqôa’dug 1&9 9E and 51110111101051.2111;

15 111169 5171851019, 1? 1.611011 5151 11011 10711 QE, 311 16 5775-

7141011111.5000 50015719010000 11011 1è 11591151116111.5110; 1111i-

1101101. 07615 5117 aux 1017 60311151115000 11571559509 à: 11511

«59115191011501011 11111110211011 1153119011 1017 13129509 16 M

6011151011’ 51150 511011011. 107g 11619 6161 1017 M 1101061 1611

20 Bd 0271011511019 511?. 10117161 566011111111 710211101 1è 11591-

4. 121.13 51m ad 16 K lin. 5 0m. F; cou. ed. Basil. 5. 1190;


allela ducatur linea FA. adparet autem, figuram in-scriptam segmento ad spatia reliqua maiorem ratio-nem habere, quam triangulum ABF ad K3) est autemFZ:ZA : ABF: K. quare figura inscripta ad seg-menta reliqua maiorem habet rationem quam FZ : ZA,h. e. quam AE : EÛ.’) habeat igitur ME: EÜ ipsamrationem, quam habet figura rectilinea ad segmentaf’)iam quoniam punctum E centrum grauitatis est totiussegmenti, punctum Q autem figuras ei inscriptae, ad-paret4), reliquae magnitudinis ex segmentis reliquiscompositae centrum grauitatis inueniri producta linea.0E et linea quadam ab e.a abscisa, quae ad lineam9E eam rationem habeat, quam figura inscripta adsegmenta reliqua. quare punctum M centrum graui-tatis est magnitudinis ex segmentis reliquis com-positae; quod absurdum est. nam omnia segmentareliqua in eadem parte lineae pet M lineae Bd par-

1) Nam figura. inseripta maior est triangule ABF, seg-menta uero minora spatio K.

2) U. Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 2.3) Itaque, cum ratio maior esse debeat, quam AE : 136),

punctum M extra punctum A cadere necesse est.4) Ex I, 8.

DE! comp. F; corr. Torellius, ut lin. 6, 7, 8, 9 bis, 16. 8.Z41] Z 0m. F. 10. E] B F. 12. 1.0111 cum comp. 011 F;0011., A. 17. 1m] scripsi; 1101m F, uulgo; un! Torellius; avun: B. 18. 11511100111 F. 19. 1&3 Torellius; 1a F, uulgo-M 11505101: Torellius. 20. 5000111111 , uulgo. r

202 EIIIIIEAsaN IEOPPOIIISàN B ’.

1511161151101 111021111101. 6171011 01711, 511 5111 1&9 Bd 16

1151110011 5’611 1017 13020509.

I5 .

El 1101 5179 111071101 11501516115000 0116 5176515019 15 aux!

6 6060110011100 11051100 101159 51760706111100 37170010111" 711101-

0111019, 1017 51.00 111021101109 16 1151110011 1017 13050509 57-

711150611 5611 1079 1100001179 1017 111071101109 fi 16 101767700101511109 51719011011211.1100 1151110011.

56110 16 ABF 111071111, 07011 530111011, 61051151009 6610 01171017 à dB. 11011 57757002119600 5159 011’116 101710111011

010151011 11110301511009 16 ABF, 11011 15111076001 a? Bd 1111161

16 E, 66’615 5311511 61111101610111 16111 BE 11579 Ed. 561111

01711 1017 ABF 1017161100 1151110011 1017 13070509 16 E60111517011. 151110261906 66) 61’101 5310115001 10711 dB, BF

15 1101161 161 Z, H, 11011 6161 10511 Z, H 1101061 16111 Bd6711911160111 ou? ZK, AH. 566511011 171’001 1017 (.1611 AKB

111071101109 16 1153110011 1017 6070509 5’711 1079 ZK, 1017 66

BFA 111071101109 16 1161110011 1017 (3020509 6711 1079 H11.

8. 51101170011111 cum comp. 011 F; con. B. 11. 151111108.


allelae ductae posita eruntf) adparet igitur, centrumgrauitatis [segmenti totius] in linea. Bd positum esse.

V.

Si segmente comprehenso linea recta. et sectioneconi rectanguli figura rectilinea. proprie inscribitur,totius segmenti centrum grauitatis uertici segmentipropius est quam centrum figurae inscriptam.

sit ABF segmentum, quale diximus, et diametruseius AB. et primum ei triangulus proprie inscribaturABF, et linea. Bd in puncto E ita secetur, ut ait8E: 2E4. itaque punctum E centrum grauitatisast trianguli ABF [I, 14; Eutocius ad I, 15 p. 186, 3].1traque igitur linea. AB, BF in duas partes aequaleslecetur in Z, H punctis, et par Z, H lineae Bd par-Lllelae ducantur lineae ZK, AH. itaque segmenti4K3 centrum grauitatis in linea. ZK positum eritprop. 4P), segmenti autem BFA centrum grauitatis

1) I postal. 7; cfr. I, 13 p. 179 not. 3.2) Nam ZK diametrus est segmenti AKB, quia A Z :- ZB

tZflKfl: BA. u. Zeitechr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 51n’- .

; cart. Torellius. 14. du: Torellius; un» pet camp. F,P180. 16. n57] scripsi; tu , uulgo. 16. saron pet camp.ylmlgo. 17. 16] addidi; 0m. F, uulgo. In figura. in FIn. E et pro N scnbîtur T.

10

15

20

204 EnmEAsaN IEOPPOIIISZN B’.561:0) 6è tôt 0, I, and âneâsüxôm à 6H. and été! stag-

ullnlôypœppôv écu 1:2) ÊZHI, aux! i’aa étui 19? ZN

à NH, En"! 5590: ami à X6 [au a)": XI. (Sara toi.65 &pmofê’pœ’v 11511 AK B, BAF rpaydrœv avyxsmë-

vov payâmes rô névrçov 105 5059569 6’6er in), pe’ôag

têt; &I, ëmzôæfnep mon âwl rà mégotiez, toméfirw rô

X camion 5nd 6è 1:01? ph; ABF tmyoôvov 151119011 105 [3029569 éon tô E damnai, 106 6è avynsme’vov 32

àytpon’paw n51; AKB, BAF tô X, ôfilov 05v, au L5101) 1:01? tpoîyarog 1:05 ABF rô «55111901! 1:06 fléçaôç

561w 591:1 15g X E, tomée"; parage) 105v X, E aupstaw. Âc361” de] na 57715159011 1623 105 rpâyarog xopvœâg 16 F

fiue’vrpov 1:06 510v mainates n t6 mû âyyçaœops’vov790761101; 711009555039.

êyysyçoîtpôœ mil"! sa; 16 ryâpa névtoîycavov 5131915- 1

7905514501! yvœglfymg 1:6 A K BA 1”. and 56mn mû yèv 510v

tuâuærog méfierons à BA, êxars’gov 6è 1’051; rpaydmw F

êuars’ça nia: K Z, A H ôLoÊystgog. and fatal à; 11,5 AKB guipait, érysygoîmrou efiôüygappov yvœgt’yœç, mû 510v ,

tpdyatoç xè’vrgov 1:01? fldçaôg 30’sz 57771516901! tâg j

xogmpâç ü 1:43 r06 süôvygéppov. Etna) 0151; roi un

rpéparog 1:6 us’vrgo’u 105 flâçaog 1:13 6), roi 6è 19;-

2. QZH FVCr. ZN] ZH F. a. NH] HH F. 5.:6] addidi; 0m. F, uulgo. 6. toi addidi; 0m. F, uulgo.8. E] 0m. F; corr. AB. . 9. BAF AF F. 1o. 16] ad-didi; 0m. F, uulgo. 13. fi 16] scripsi; 17 F, uulgo. 15.5150511014101 F; sis 16 ABF quipo: Nizzius. 17. 65’] 65 un) JEF, expuncto de ton manu 2. n51: AKB, BAF zpapoîtmyNizzius. 18. 1621:] nov per comp. F; corr. Torellius. aux.paseos] Nizzius; ômpsrgœv F, uulgo. l9. süôüygapng] 191’-yawov Nizzius. 510v] 0m. B; delet Nizzius. 21. 503157005!!-pou] tgzyaîvov Nizzius. 22. AKB maillures ed. Basil., To-remua.


in linea H AÂ) sint û, I puncta, et ducatur linea 0Let quoniam parallelogrammum est QZHI2), et

NH : ZN3),ierit etiam X6 --- XI. quare maguitudinis ex segmen-tis AK B , B AI’ compositae centrum grauitatis inmedia linea QI positum est, quia. segmenta aequalia.31111134), h. e. punctum X5) et quoniam trianguli ABFcentrum grauitatis est E, magnitudinis autem ex [seg-mentis] AKB, BAF compositae punctum X, adparet,totius segmenti ABF centrum grauitatis in linea XEpositum esse 6), h. e. inter puncta. X, E. quare cen-trum grauitatis totius segmenti propius uertici seg-menti est quam centrum trianguli proprie inscripti.

rursus segmento proprie inscribatur figura recti-linea. quinque laterum AKBAF, et totius segmentidiametrus sit BA, et segmentorum [AK B, B AF] dia- ,metri sint KZ, AH. et quoniam segmenta AKBfigura rectilinea7) proprie inscripta. est, totiuss) seg-menti centrum grauitatis uertici propius est quamfigurine”) centrum [p. 202, 10 sq.]. ait igitur segmenti

1) Cfr. p. 203 not. 2.2) U. Eutocius. inde colligitur etiam KZ a: AH.3) Nain cum BZ : ZA a BH:H1”, erit ZHO AP; ita-

que (Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 3)ZN:NH::Ad:AI’::1.

4) Nam AKZ s KZB, quia. AZ:ZB, et BAHEAHF;et praeterea K ZB :r BHA, quia. bases K Z, AH aequales sunt(riot 2), et altitudo eadem (nain K Z à: Bd à: AH). itaqueA AKB a BAF; tum u. quadr. parab. 17.

5) Debuit sic dici: quitte cum segmenta aequalia sint, cen-trum grauitatis magnitudinis compositae erit punctum X.

6) Cfr. I, 4 not. 1.7) Debebat esse: triangulus et infra: trianguli.8) Abesse debebat.

206 EHmEAszN IEOPPOIIISZN B’.

yévov 1:6 I. «051w 6è édito roi? ph: BAF zpéymoç1:6 us’wçov 1:05 flégsog rô M, :06 6è 191.7151101; zô N

A J .17[and ëatsfsüzflm rà â, M, I, N. la: 55’905 3613m à 9X

il; XM, à 6è IT n; TN. cillât nul tçoyaivçæ r955 AKB [6011 étui 1:6 BAF, quipo; 6è rô AKB minima

1,65 BAF. ôsôeûnao 7&9 à! â’Mozg, tôt rpépaw été

recru taïga; 105v marcherai]. ào’aellzm ô?) r05 [à]! 52àycpors’pnw 115v AKB, B AI’ ryapoirmv 6vyusma’vov

pays’ôaog m’aimait roi? [3029509 1:6 X, 1:06 6è fig âp-

10 modem! 11511 AKB, BAF rgbyaivœv 16 T. mêla;015v été! mû ABF rgtym’vov 31151119011 105 fiéçaôg 31m

1:6 E, 1:05 6è 58 àycpoze’çcov 10511 AKB, BAF wa-pwêzcov 1:6 X, ôfilov, 059 [roi] 510v 1:05 ABF rpdpmroçzô us’vrgov roi; flâpsôg âfirw ênî raïs XE tyaflaz’fiaç

15 05mm, 6361:5, 31; 515L 1.67011 rô ABF zpiymvov and.rà awampôrega rôt AKB, BAF immine, tÔv «61:61!167101! 516w ’tô quipo; (wifis 1:ô négus 51011 r6 X and

zô 510566011 influx. 1017 6è AKBAF nevmym’vov xén-

zgov 105 fldçsôg 301w En), du; ET 5606m9 tyaôetdaç20 051m9, (5ms, 311 515L 1.67011 rô ABF 191574:01:01; and

tôt AK B, BAF 19024231112, 105101! 515w 16v 167’011 rô

3. nul Ënszsôziho ad :4511 rgLym’vmv lin. 7 0m. FVABCD Un;


[AKB] centrum grauitatis Ü, trianguli autem I. rur-sus segmenti B11 I’ centrum grauitatis sit M, trianguli

autem [BAF] N. magnitudinis igitur ex segmentisAKB, BAF compositae centrum grauitatis est X,magnitudinis autem ex triangulis AKB, BAF com-positae T.1) rursus igitur quoniam trianguli ABFcentrum grauitatis est E, magnitudinis autem ex seg-mentis AK B, BAF compositae X, adparet, totius seg-menti ABF centrum grauitatis in linea XE positumesse ita diuisa, ut, quam rationem habeat triangulusABI’iad utrumque simul segmentum AKB, BAF,eam habeat pars lineae XE, cuius terminus sit X, adpattern minorem’) [1, 8]?) figurae autem quinque 1a-terum AKBAI’ centrum grauitatis in linea ET po-situm est ita diuisa, ut, quam rationem habeat trian-gulus ABF ad triangulos AKB, BAF, eam habeat

1) U. Eutocius; et cfr. p. 205 not. 4 et p. 204 lin. 3-7.2) Nain triangulus ABF maior est segmentis A K B -f- BA F

(quad. parab. 21 et 17); tum cfr. I, 6-7.3) Sit enim centrum segmenti ABF punctum y inter X, E

positum; erit magnitudinis relictae, segmentorum AXE, BAF,centrum grauitatis (X) in linea. Ey producta ita. positum, utsit yX: Ey a A ABF.- segm. AKB -1- BAF. poterat idemetiam ex I, 6-7 concludi (cfr. not. 2). eodem modo infra. lin.18 sq. ratiocinandum est.

habent, Tartalea, ed. Basil., Torelliust; sed manifesto recentissimotempore interpolant. sunt; ex adnotatione Eutocii adparet, eumaco nerba non habuisse, et ipse. forma Archimedea non est

(3145151000 de punctis, tpâlux 16 AXE). [gémeau 6:11]acripsi; sont: (comp.) de F, uulgo, nisi quod ou: ed. Basil.,Torellius. 11. marteau F. 13. 1:06] delco. 14. 54m7 êm’]Torellius; 50m: 0m. F, uulgo. 17. 510w F.

10

15

20

25

203 10111111414911 1201101115211 B’.

1110-1110; 01131079 16 115’914; 51011 16 T ami 16 110111611.

157151 0611 (LeiÇova 1.67101: 5st 16 ABF 19570012011 110121è KAB, ABF 195700110: fi 1101?: 16; 111021101101, 613101:

0611, 6’11. 1017 ABF 111021101109 16 ue’vtpov 105 fidpaog

07715159611 .4611. 1&9 B zoovqyâg fi 16 1017 âyypaqaopa’vov

eüôvyoéppov. Ml 1’711 1102111011 56007005011011: 1150

ëyyoatpops’vmv à; 16; 1116110110; 7120305me 6 013169 1.6703.

I

5 n ,Tpoêçwnog 600511109 11501510115101) 15116 513195009 un!

690070011100 11061200 1011629 61.1110111511 E1111 3g 161115110

51319157100111.1101: 711039511009 ëyyoézpm, 03615 1&1: 115105)

51308170111 10511 31611100711 1017 fiâosog 1013 111021101103 :101

1017 3792909251110; 51560790201101; êÂoËo’dova cipal micas

1079 1190151955601; 56051019.

65666601 11115110; 16 ABF, oîov 5301i10u, 06 m’y-1

19011 50’109 101") [3029809 16 0, anal êyyayooîcpôm si; 011316

19020711011 7110091511019 16 ABF. nul 5611:0 à 0190158600)513195170! à Z, un). 311 16701: 5151, à Dû 7101?. Z, 1013101:

161: 1.672011 615’100 16 ABF 1pc’ymvov 11011 16 K paumai

ëyysygoîqn’îœ 61) sis 16 ABF rucha: 56191579041001!1

711000611009 16 AKBAF, 03’015 1è 11801181111511.5101 11:02-)

110110: 3.1020601201 5511511 1013 K. ami 56100 1017 137790-

01151210; 51560700210001) uëvmov 1013 fioigsog 16 E. (papi).61) 16111 (9E Éléo’dova 051151: 1&g Z.

si 76:0 mi, 1’7’1OL [au 561111 fi mitan 5015?: 66 11H

AKBAF côôüygaupov 1101?, 16 11591115de115110; 1114i-pmw paiçova 1167011 5151., 13 1:6 ABF 1011311011011 :1011)

2. 71009 pet comp. F; com Torellius, ut lin. 18, 19, 26, 27.;3. 102 (alt.)] supra. scriptum manu 1 F. 6. 117g B 11000606)(comp.) F; corr. Torellius. 6. 110d] supra. scriptum mannl

l

- J

.DE PLANORUM AEQUILIBRJIS Il. . 209

pars lineae ET, cuius terminus ait T, ad reliquam[1, 8].1) iam quoniam triangulus ABF maiorem n.-tionem habet ad triangulos K A B, ABF quam ad seg-menta [Eucl. V, 8] , adparet segmenti ABF centrumgrauitatis propius esse uertici B quam centrum figu-rae inscriptaeË) et in omnibus figuris rectilineis seg-mentis proprie inscriptis eadem ratio ualet.

VI.

Data segmento comprehenso linea recta et sectionsconi rectauguli fieri potest, ut figura rectiliuea seg-mento proprie inscribatur, ita ut linea inter centragrauitatis segmenti et figurae inscriptae posita miner

L ait quauis linea data.datum sit segmentuin, quale diximus, ABF, cuius

centrum grauitatis sit 9, et ei inscribatur proprietriangulus ABF. et data linea. sit Z, et ait

AABF:K:BO:Z.iam segmento ABF proprie inscribatur figura recti-linea AK B AF, ita ut spatia relique. minora sint spa.-fio K3) et figurae inscriptae centrum grauitatis ait E.dico, lineam 9E minorem esse linea Z.

nam si non est, aut aequalis est aut maior. quo-niam autem figura rectilinea AKB4F ad segmentareliqua. maiorem rationem habet, quam triangulus

1) Cfr. p. 207 not. 3.2) U. Eutocius.3) U. Entocius ad prop. 4 p. 198, 20.

F- evôvyçayp cum comp. ou F. 10. êarw] addidi; 0m. F,uulgo. 1s. z (prias) AZ FV. z (a1t.)] EZ FV. 22.10v] to cum comp. ou .

Archimedcs ed. Heiberg. Il. l4 ’

210 - summum IZOPPOIIISZN Bi.K, tome’arw à 93 «01:1 Z, 5st 6è un à BQ 210le061c 15105660110: lôyov, fi 311 515L and. QE, ôLà 1:6 yù

êÂéddova plus: 143w 0E

a zig Z, mon?" â’pa rô5 a Z AKB 11T 81381531911va

B and rôt usgulsmôpsvainégaux panicaut 16701:Elsa, fi à BQ 1:07), 9E.03’618 5&1) aménageas, ais

rô AKBAI’ aôôwîygau-

nov and rà supplantâ-ywu inégaux, 05mgânon; uvà and 0E,àmôù 105 ABF maî-

15 paros rô xs’vrpov r05 [3029503 écru zô fi, ëufilnmé-

Gag aïs E0 nul àazolaqzôslfdag twàç 5154955059 31015-aag 10’701! 71:01:), zôw Efi, 31! ’rô AKBAF süflüyçap-

par 101:3, 1:6: nsçtlamôpavœ méfiant, évasif-raz. patati7&9 ZE. âza’rm 013v à Hâ 1501:1 QE. 1:2) H 6291 m’y-

20 190v 1017 fiéçaoç 1:06 dvyusme’vov à; 1051; negzlamoyé-

vœu maudtœv’ 61:89 àôfivazov. aïs 7&9 6L8: 105 H&zôu’aag «me? râw AF à). tôt miré 361w tôt rpdpam.

ôfilov 05v, 51L à 60E âÂoîadaw à"), aïs Z. 5651. ôëroüzo ôu’ëm.

10

A ,

25 (3’.4150 ryagwîrœv 651050011 nagaexous’vœv 6nd te s15-

leag aux), ôçôoyowtov x6001; roulis tôt xe’vtga 103vfiœgëcov si; tôv 0:61:61; 1.67011 répvovn 1&5- ômps’zpovç.

1. à 8B; fi 93 F; corr. Torellius. «pas (bis) par camp.F; con. Tore lins, ut lin. 2, 6, 8, 11, 13, 17, 18, 19. 9. azot-

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 211

ABF ad Kl), h. e. quam 8B:Z, et 8B ad Z nonminorem rationem habet, quam OR : 8E, quia. 0Eninor non est linea Z [Eucl. V, 8], figura igiturAKBAF ad segmenta reliqua multo maiorem ratio-lem habet, quam BÛ : QE. si igitur fecerimus rationi,imam habet figura AKB 11T ad segmenta reliqua,œqualem rationem, quam habet alia linea ad 0E,producta. linea E6, quoniam segmenti ABF centrumgrauitatis est 9, et abscisa linea. ad E0 eam habentirationem quam figura A K B A F ad segmenta reliques),maior erit [linea illa] quam QB [Eucl. V, 8]. sitigitur H0 : 6E [a AKBAF: segmenta reliqua]. ita-que punctum H centrum granitatis erit magnitudinisa: segmentis reliquis compositae’); quod fieri nonpotest. nain segmenta [omnia] in eadem parte lineaepar H lineae AF parallelae ductae posita eruntf) ad-paret igitur, esse ûE ( Z, quod erat demonstrandum.

VII.Duorum * segmentorum similium comprehensorum

men recta et sections coni rectanguli centra grani-Btum diametros eadem ratione diuidunt.

1) Nm AKBAF) ABF, et segmenta ( K.2) Cfr. I, 8.33 I, 8; u. p. 207 not. 3.4 I postal. 7; u. p. 179 not. 3.

W" F, uulgo. Mirum est, litteram K bis usurpatam esseF 18. 31mn pet com .F, uulgo. 22. leur] scripsi;W F, uulgo; en; tris ed. asi]., 36005er Toreliius. 1:6:www] Nizzius; un munira F, uulgo. 23. 01W] 0m. F;30m Torellius. 1&8] bis F (semel per comp.). ZE au

28. fiançant F. tsunami. F14”

212 EIIIHEAQN IEOPPonIszN B’.

5mm 6150 smigard, oïl: aiguisai, sa? ABF, EZH,air ôtapæ’rpoo ou? Bd, le. and. être» 105 "à! ABFtyéçunog m’y-:9011 1:05 M9609 to K musical, roi 6èEZH si) A. ôsmte’ov, du si; 161! aôzôv lôyov n’a-

5 1101m zàg ôLape’rpovg tôt K, A.

si 7&9 mi, son» ais à KB «ost K4, 05mn?ZM azor). 0M, and 377579024780.) si; to EZH radial815015790;qu yvmpz’pmg, «Sors 1&1: mugi: 1013 xéwçov

toi rpépatog ml toi

10 ëyyoacpope’vov sciât).ypéppov âÂoîaaow si-

psv aïs AM nation)

A - ,5’ 1:05 3779410832109 am

. yçéppov xe’wgov roi,15 F B Û E poissas to E 601mm.

K Émis é au) 6è si; 16 ï79 9’

ABF racina r95 à; 193

K E ZH âyysyçaws’wpA ’ A I, sôôvypoîppcp ôpoïov

20 sûôüyçappov, rom-è’ozw 6’40me yvmoipmg, 05 uévrçov mû [3029509 raïs nom» ;

qui; ëyyütspov âme to toültpdparog’ 3m99 &ôüw-i

zou. ôfilov 015v, du 150v «61:61; 1.6701; 515L à BK ami

K4, 31; à ZA mort [la

l

’25 a; .110511769 rpépœrog zaoisxops’vov 157:6 sûôu’aç ra mi i

690070311501: xœ’vov toués to 94511159011 105 13029509 duu-

4. A] A F. réprouva] scripsi; septum F, .uulgo; 5.nous per comp. F; con. Torellius ut lin. 7, 23, 24. 8. "I7pet comp. F; corr. Torellius. 18. ëyyaygapps’mp 36011796441591] i


duo segmenta, qualia diximus, sint ABF, EZH,quorum diametri sint BA, 29, et segmenti ABF cen-trum grauitatis sit K, segmenti autem EZH punctumA. demonstrandum, puncta K, A diametros eadem ra-tione diuidere.

nam si minus, sit KB:KA :2 ZM: 81W, et seg-mento EZH inscribatur proprie figura rectilinea, ita.ut linea inter centra [grauitatis] segmenti et figurasinscriptae minor sit quam linea AM [prop. 6]. etigame inscriptae centrum grauitatis sit à: punctum.1)inscribatur autem segmento ABF figura. rectilinea.igame segmento EZH inscriptae similis, h. e. simi-liter proprie [u. Eutocius], cuius centrum grauitatislertici propius erit quam centrum segmenti”), quadfieri non potest [prop. 5]. adparet igitur, esse

BK:KA-----ZA:AÛ.

VIII.Cuiusuis segmenti comprehensi linea recta et sec-

tione coni rectanguli centrum grauitatis diametrum

1) Cadet hoc punctum infra punctum A (prop. 5), sed supra.M, quia AE: ( AM (ex hypothesi).

2) Debuit sic dici: itaque centrum eius uertici propius eritmit, et fartasse lin. 21 pro in” scribendum: a; mir. ceterum10e uerum esse, sic intellegitnr: centrum figurae segmenta481" inscriptae sit y; erit igitur (prop. 3)

B : yd s Z5 : :59;mi ZE:EO( ZM: M8; itaque By : yA(KB: Bd, et ymm K cadet.

indican Eutocius. 21. 015 1:6 Nizzius. 22. 1:6] addidi; 0m.F, uulgo.

214 EmrIEAsaN IEOPPOInsaN B’.

est «in: roi: rainuras 610244819015 dans siam: àppôlpow1:6 pâme minis ce, azor) 1:97 uopmpq’î roi) rainuras 1015

and a; fléau.être) to ABF ratina, oîov aiguisai, ôwîpetgog 6è

6 «61017 fait» à B4, nëvtpov 6è 1015 flépsoç si) O 6a:-

pstov. ôsmu’ov, du émoud. édita: à B6 raïs 84.êyysypérpflœ à; t6 ABF quipo: 7110391!pr tçlyævov

rô ABF, 015 xe’wpov 1017 fldpeog 561m se) E. aux). 1:5-zpoîdôm ôtiez êxœu’pa tâv BA, BI", and 510ml al KZ,

1I0 H4 1m96; du: B4. dzapa’zpoz â’pa fiant 103v 4K B,

4 1’

BAF ryaçwîtmv. Euro) 015v 106 phi 4K B rpéyœrogus’wpov mû fioigsog rô M, 1017 dt BAF r6 N, aux).ênefgeüzflœdav aï ZH, MN, K4. roi? 6590: 5g âp-(pon’pœv raïa: maudirai: duyxsopæ’vov psys’ôeog xe’vrçov

15 vos? 13029869 écu 16 X. agi émet ëdzw, :59 à 89 1:01!94, 051.109 à KM nort MZ, and ovvôévu and éval-102g, 059 à B4 un). KZ, 051m9 à 43 and. Ml, za-rpanlam’a 6è à B4 tâç K Z’ mûre 7&9 éd. fêler.

duumîmi, 015 dapstov 4’ tarpanlaoiwv 6590: aux). à20 46) raïs MZ.’ dans and ÂOLfltà à B63 lamés si; K51,

1. simouns! F, inutile V. 3. sa"; fléau] scripsi; son flua-up


segmenti ita diuidit, ut pars eius ad uerticem seg-menti posita dimidio maior sit parte ad basim posita.

ait ABF segmentum, quale diximus, et diametruseius sit B4, et centrum grauitatis punctum 9. de-monstrandnm, esse B Q a: 43-694.

segmenta ABF proprie inscribatur triangulus 4B1”,cuius centrum grauitatis sit E. et lineae B A, B1" induas partes aequales [in punctis Z, H] diuidantur, etlineae B4 parallalae ducantur lineae K Z, H A. ita-que diametri sunt segmentorum AKB, BAF [p. 203not. 2]. sit igitur segmenti 4K B centrum grauitatisM, segmenti autem BAF punctum N [cfr. prop. 4],et ducantur lineae ZH, .MN, K4. magnitudinis igiturex utroque segmenta compositae centrum grauitatisest X [p. 205 not. 6 et not. 4]. et quoniam estKM: MZ a BQ : Q4 [cfr. prop. 7 et Eutocius],

et componendo [KZ : ZMm B4 : Q4; Eucl. V, 18]et uicissim [Eucl. V, 16] B4: KZ : 49 : MZ, sed

’ B4:4K Z (hoc enim in fine demonstratur, ubi estz signum J)1), erit 4(9 ---- 4.MZ. quare etiam quae

1) U. Eutacius.

F, uulgo. 4. oîav] Torellius; ouatas (comp.) au; F, uulgo; oîov69 ad. Basil., C. 7. AB4 FV. 8. on? 1:6 Nizzius. 9. 1&7] To-rellius; tu FV; mais! uulgo. BF] AF F; corr. ed. Basil. Post8P ed. Basil. , Torellius addunt un? rot Z H et post 510ml: «mon?Id! 134, quae uerba post HA lin. 10 iriserai. 10. HA] H F.12.1Éngov scripsi; sa sureau F, uulgo. N] H FV. 14.to 1871901! , uulgo. 16. nous par camp. F; corr. Torellius,ut lin. 16, 17. 17. rac (per camp.) KZ F, uulgo; rots KZ6d. Basil., Torellius; malui me delere. 05mg à 48 ad KZlin. 18 am. F, uulgo; suppleui ex Eutocio; minus recto Torel-im cum 6d. Basil.: 05th à 84 azor). (1:96; ed. Basil.) très M Z-a! dt 84 inoculeroient 1&9 K Z. 19. d] ô nuas F, unigo; 1:6 8Torellius, ô 9 ed. Basil.; ego hic quoque Eutocium secutus sum.

216 EHIIIEASZN IEOPPOIIIQN B’.

ramène mis 27X tstpanlam’mv. and lamai «in auv-aqupors’oa à B2, X0 tQLnÂam’mv tés Z X. gâta) fol.-

nÂam’a à 327 si; ZE. and à X8 âge: mais EX écutpLxÂadIIa. nul in! rezpaatladz’œv à B4 1&9 BEt nul

a 7&9 10510 ôsmvürar à 6è B2 tâg 25 rpcnladtmz,à :58 aigu 1&9 B4 mitai! négros [361w]. 50’er 6è un!à E4 tâg 4B tairai! M909, énsLô’rinsp uévrgov 1013

fidosog toi ABF 191.7051101; sur). zà E. and. lourd du:à 5E rai-50v psoas 1&9 B4. nul âne) 105 ph; 510v

10 racina-rag uévtpav mû fléQEÔç éon. 1:6 6 duperas, 1:01?

6è 32 (impon’paw 105v 4K8, BAF mandrin aunerpévav 4157593509 sa us’vrpov taf) [3029509 sa X, 106 dt

ABF tpzyaôvov to E, êadsEIaL, à; tô ABF taiymvovand ni natalemo’psva smigard, 05mn à X8 sur).

15 63E. 194711150101) dt çà ABF roiyawov 1:45!) spapdrœv

[énuôæimo a) 510v méfia ahanai; 5’611. taf: ABFrpLydvov]. tgLnÂaaL’a â’oa and à XQ raïs: QE. 56551312

6è à Kg rondirait): and. aïe X5. navranladt’a d’au

écria; à SE 1&9 E0, ronéota) à 4E 1&9 E0. [au20 7&9 361w mitai. (56W éganlaaûz ëdtlv à 46 mis 8E;

and 3111:1. râç 4E tgmlao’z’a à B4. âpLoÂL’a aigu in).

à B6? 162g Ü4’ 51:59 E651. 6555m.

a,El’ sur 156605959 ygappal dvdloyav funin à» a?

25 annexez" dvalaquz, and au 5st 1.67011 à fluxion: 7101:21&1; 15189010211, a; ÔWEQSIZEL à perfora zig agiotas,

1. lamai] soi-ipsi; leur cum camp. or F, uulgo; lourai»Torellius; lourât! fartasse retineri potest; u. Hultschii index!Pappi p. 68. 2. recalculer] cum C et Nizzio; tamia (inlineae) F, uulgo. 3. 2.51] ES FV. écris à Eutoci6. Écris] am. Eutoeius. 12. flavone F, uulgo. 13. son


relinquitur BQ a 4K M : 42.70) quare etiam quae .relinquitur’) B2 -]- XQ --- 32X. ait B2 a: 32E.erit igitur etiam X69 : 35X. et quoniam est

B4 a 4B2(nain hoc quoque demanstratur [u. Eutocius]), et

32 a: 3 2:5,erit igitur EB -: à B4 [u. Eutacius]. sed etiamE4 m è4B, quoniam trianguli ABF centrum graruitatis est E [I, 14 coll. Eutocio ad I, 15]. quareetiam quae relinquitur SE :- «kB4. et quoniam to-tius segmenti centrum grauitatis est punctum (9, magni-tudinis autem ex utroque segmenta 4K B, BAF com-positae centrum grauitatis X, et trianguli ABF punc-tum E, erit ut triangulus ABF ad segmenta reliqua,ita X9 : 69E [1, 8]. sed triangulus ABF tripla maiorest segmentis?) quare etiam X0 m 30E. sed etiamdemonstratum est esse X (à : 3 X E. itaque 5E : 5E6,h. e. 4E t: 5Eâ; nam 4E ---- EE. quare 4C"): 669E.et est B4 : 34E. quare est BQ : ââ4 [u. Eu-tocius]; quad erat demanstrandum.

1X.

Si quattuor lineae in continua proportione propor-tionales sunt, et quam habet rationem minima addiiierentiam maximae et minimae, eam linea aliqua

1) Nam parallelagrammum est K MX 2.2) Subtracto 24’ communi ab se :- 42X.3) U. Eutocius, qui sequentia. uerba lin. 16-17 non ha-

buisse uidetnr.

p8! camp. F, uulgo. 14. zoos (bis) par camp. F; cart. Torellius.16. mandatas] scripsi; tous). cum camp. ou: F, uulgo, Eutocius.

.5nsç 562L 6515m] ô’i FVA; am. uulga; habet Eutacius.

218 EHIIIEASÆN IEOPPOIIISàN B ’.

1017101! 51012602 us 1019087] 1101:1 rôt toto: nepnrapôoza1&9 Ônspozâg, a? 1511895151. à (nylon: 1&1: 45110210701! mais

toisas, 31! dt fixai. 1.67011 à [du ce? se 61111111659: maisparia-mg 166v 02110210701! nul sa? respaatladlîgt tés dav-

5 répaç aux). se? 551111:11:qu râç tairas and) sa? mutinoit;

aïs retaiprag watt 176w [612w a)? te nevmnlaoL’qz 1&9parlotas au). 19? dénaturoit; 1&9 ôevn’gag and ré? 6m-

nÂaolgz mais taf-mg au). sa? newanlam’ç: raïs radotas,10131011 Exovoé a; 11197017 nazi sa"; éneooxdv, a? 15Mo

10 .4st à 11.575611! 162v àvdloyov 1&9 tairas, avvapqgots’oazaï 1011120513054. 15660131210". 6150 «maraudois: zig neyr’owg.

0

15

25

A

«O

..E

-B

5051176051) estivages 790411111! 021102107011 au"

4B, Br, B4, BE, ml 31) phi 5151. 167mlà BE 1101?. E4, 10171011 ëxs’rm à ZH sorttà mais zénana raïs 44, 31: 6è 1.6701: élu

à [ou sa? (induvie: 1&9 4B and remanieroit;1&9 B1" and 554211142659; 1029 B4 nul 191111416in1.1329 BE nazi min; faon: sa? newocarladc’gz 1&9

4B scat 65141111101659: 1:62; FB scat (inanimée!aïs B4 scat «nirvanas: raïs BE, 1051011 s’zs’m

rôv 2.67012 à HE 71011 113w 44. 651.1111501,511 à 2E 6150 neparwpôgwî ému 1&9 AB.

51:51 7&9 021115107611 ëvu ai 4B, BF,B4, BE, ami ai AF, F4, 4E à) r95 «ôtai2.6729) évu’. aux). ovvupqaônooç à 4B, BF

watt du! B4 , roms’onv à 6110416150: 61manonars’çav r59 4B, BF nazi 1&1! 61.1110161311 1&5

1. man-myopie: F; cart. Torellius. 2. à] dg F; con. B.1&9] r F; ’ addidit manne 2; ràç A, ad. Basii. 3. amusiez]p F, ut saepissime in hac propositions; 001T. fera ed. Baail,;ego semper totum uerbum pasui suadente Nizzio. 4. niva-].oyav] «7011071011! F; corr. ed. Basil. 5. sont 14,2 somnola]

F.DE PLANORUM AEQUILIBRIIS Il. 219

adsumpta habet ad 42 difierentiae maximae et tartinelinearum proportionalinm, et quam habet rationemlinea aequalis duplici maximae proportionalium etquadruplici secundae et tertiae sexies sumptae et tri-plici quartae ad lineam aequalem maxîmae quinquiessumptae et secundae decies sumptae et tertiae deciessumptae et quartae quinquies sumptae, eam habet 1i-nea aliqua adsumpta ad difi’erentiam maximae et ter-tiae proportionalium, utraque simul linea, adsumpta ferit maximale?)

quattuor lineae AE, BI", B A, B E proportionalessint’), et ait BE: E11 : 2114.44 et

2AB -f- 4BF-f- 634 -l- 3BE:5AB -l- 10FB -i- lOBA -l- 5BEa: H6) : AA.

demonstrandum, esse le) : êAB.nam quoniam A3, BF, BA, BE proportionales

saut, etiam AF, FA, 4E in eadem ratione sauts)et erit AB -l-BF:BA, h. e.

1) Huius propositionis paraphraaim dedit Eutocius; deman-atmtio mugis conapicua. u. Quaest. Arch. p. 48-60; breuioremdemonstrationem ex ratione recentioria arithmetices dederuntStnrmius p. 273, Nizzius p. 38.

2) H. e. ait AB:BF:-BF: BA:BA:BE.3) Nam cum ait AB : BF a: BF : BA, erit ôœlôm:AP: EP:: r4 : BA,

et 912114125: AP: FA a BF : Bd. eodem mode, cumBF:BA::BA:BE, erit FA:BA:AÏE:BE

et FA:AE:BA:BE;h. e. .4sz41: PA:AE ---- AB:BF: BF:BA :- BA:BE.

0m. F. 8. nevranlnam F. 10. du] tu; F; corr. Torellius.Il. ùæpnrnpcçm F; corr. Torellius. 13. B41 0m. F. 14;m; (prima) par comp. F; con. Torellius, ut 1m. 26. 22. aZ8] tu AZG F; corr. A. 24. BE] 4E F. 26. un Bdad BF un! lin. 27 suppleui; 0m. F, uulgo; «hululant 15:; lin.27 0m. cd. Basil., Torellius.

10

15

20

26

220 EHHTEAQN IEOPPOIIIQN B’.

Bd fixa du! aérât: 167m), 311 à dd and zàv AE,aux), dvvapqaôzsoog à dB, BI’ ami 1&1: EB, nulmême: au). mima. tôv 42131611 â’oa 167011 au àd d ami 10211 dE, 31: à [du t9? 178 maladie; 1&9 A]!nul il? tpwEÂaGL’ç 1&9 FB and a? dB and du: [aux1:91 15 marierais; mis Bd aux). a; BE. 311 6è lôyovau à l’au 19? la maladie: mis dB ml té inoculerait;1&3 BF nul a? amandaie: mis Bd and r9? malaxait;raïs BE and du! [dam a; te maladie; ni; dB nula? EB, 1051m; 385L à dA nazi ëldddova 1:59 dE.6’15’ch 015v nazi dO. ml àptpon’gm 6è «où 1&9 n96;-

rag tôv aütôv 550151211, 167011. 5&5; 015v à 0d 710ddd tôv «616v 3.671011, 311 à [du a; t5 ômladz’qz raïs

dB nul tsiganladz’qz tais FB mû ëâœxladlfqz 1&9 Bdaux). reculerait; râg BE «01:1 tàv duyuupe’vav 5x te 15gômÂao’ùxç dwapuporæ’gag raïs dB, EB and, nigaude:- d

alfas dvvawoze’pov aïs FE, Bd. 5x51. 6è aux). à Adnazi HÜ 1:61; 41151611 lôyov, 31: à nsvtanlao’z’a m-

apqaon’çov ni; dB, BE (un? 1&9 ôezanÂam’aç 61W-

ampœe’pov 102g FB, Bd and tàv avyxêms’vav En ra1&9 ôLnÂam’ag tà’g dB nul du; terganladùxç raïs F B

nul m’y mmladc’ag mis EB nul êâanlam’aç 1&9 Bd.

àvopoiœg 6è 1151i 167m; rewyyévmv, tomédrw à: ts-ragaype’vq: 02111210754, ôL’ Idov rôv afirôv fixa. 1.6707

à 0d nazi H0, 312 à «51210521101650: dwapqaon’pov ni;

dB, BE une? 1&9 ôeuanlam’aç rob; F8, Bd ami d113w duyuszpe’vav 5x ra aïs ômladL’ag dwayœon’oov

tâç dB, BE and raïs terganlafitag dvvapqyore’çovmâç

FE, Bd. 021.13 à amazpe’va à: t8 1&9 nevranlaôlag

3. une par comp. F; corr. Torellius, ut lin. 10, 11 (prias),12, 18, 20, 26. 5. nul té] scripsi; mu a F, uulgo. 6. té 8E]

DE PLANORUM. AEQUILIBRIIS Il. 2212(AB 4- 31") : 2134 : Ad : 4E1),

et dB 4- BF: EB 2), et omnia ad omniaf’) erit igitur

Adsz:2dB-l-3I’B-f- dB:2Bd-l-BE.itaque quam rationem habet

2dB 4v- 4BF-l- 4Bd 4- 2BE: 2dB -l- EB,eam habebit dA ad lineam minorem linea dE [Eucl.V, 8]. habeat ad lineam d 0. et etiam utraeque si-mul sumptae ad primas eandem rationem habebunt.quare erit

0.4:dd : 2dB -l- 4FB -f- 6Bd 4- 3BE:2(dB 4v- EB) 4- 4(FB 4- Bd).4)

sed etiam [ex hypothesi] eratAd : Hé): 5(AB 4- BE) -I- 10(FB -I- Bd)

:2AB -I- 4FB -I- 3EB -f- 613d.proportionibus autem inaequaliber ordinatis, sine inperturbata. ratione, ex aequali erit [Eucl. V, 23]

011 : H9 : 5(dB -I-- BE)-I-10(I’B 4v- Bd):2(AB 4- BE) -f»- 4(FB 4- Bd).

1) Emt (p. 219 net. a) AB : BF---- AF:1”d,ha. 413 4- EP: EP: Ad:1”d.sed BF: Bd: Fd:dE;

quam 61’ i’cov AB 4- BP: Bd a: Ad : dE.2) BF: Bd : AP: Pd (p. 219 not. 3); unde

BF-f-Bd:Bda:Ad:Fd;sed Bd : BE a Pd : dE (p. 219 not. 3); quare

BF-l-Bd:BE:Ad:dE.3) Emt 2(AB-i-BF):2Bd:BI’-f-Bd:BE:Ad:dE;

tu?! u. Eucl. V, 12, unde intellegitur, mima and mina esse:une: tà 13704511814! 15969, flirta là êflôPE’NU.

’ f4) H. e. «romain! et ouvôévu.

lçripsi; un BE F, uulgo. 7. AB B F; con. AB. 10.19] acripsi; un F, uulgo. 11. 40 de F; corr. Torellius.12. 0A] GA F; con. ed. Basil. 14. aux), tsrqanlaalq 1&9 FB]0m. F; com-cd. Basil. 25. OA] A F; con. ed. Basil. nev-mlzluala] dE F; corr. ed. Basil. 26. du] scripsi; me F,un go.

10

15

20

25

222 EnxrmAszN mommszn B’.dwuçupoze’aov zâg dB, BE and zig ôeuanlao’i’ug avu-

upqaoza’aov zig FB, Bd nazi zàv amsmévav En tezâg annotas avvapupoze’oov zâç dB, BE mi zazou-nÂaa’ùxg awapqaozs’aav zée FE, Bd 16701: élu, 31:

même nazi 6150. nazi à A0 â’aa nazi H9 167m: 515i,31: névzs nazi 660. nélw ânsi à 0d nazi dd zôvaôzôv 515L Âôyov, du à EB and zée ôLnÂœaiaç zâg

Bd nazi zàv fait» zqî avyxupéqu En ze zâg annotasdvvœpqaazs’aov zâç dB, BE gazât zâg zszçanÂaalaç

awagupoze’pov zâg FB, Bd, 5’6sz 6è and, 05g à Ad

nazi dE, aÜzmg à (imageai): in zs zâg ôLnÂaaûzçzâg dB nazi zainÂaa’i’œg zà’g FB nui zâg Bd nazi zàv

[642w zig? zs EB ami zig? ôLnÂaatgz zig Bd, àvopolæç01”11 zaîv 167m; zszayps’vœv, zovzæ’azw zezaaawe’vag

ëatîdug zâg 02124210717129, ôi’ [60v êa’ziv, :59 à 0d nazi

dE, oïîzœç à amincie: zig dB gazai zâ’g miniums ï

zâg BF nui à Bd nazi zàv dayxuye’vav ëu zâg ôt-nÂaa’L’œg dwapçaazs’aov zâg dB, BE nui zâg zazou-

nladlag un?» FE, Bd. 45sz mi à; à 0E nazi Ed aëdzw, aô’zœç à FB gazai zâç zaLnÂadL’aç zâg Bd mi i

ôLnÂaalag zâg EB’ nazi zàv ôLnÂaatow awapqaozæ’gov

zâg A B, BE ami zszamlaatav avvagupoze’pov zâg FE,

Bd. .66sz (il? and, 453 à dE nazi EB, aïno; ü 178AF nazi FB’ ënsi nazi une? düvôsa’w’ mi à zgt-t

nÂaGL’œ zâg Fd nazi zàv zaLnÂaaùzu zâç dB, zain?ôinladi’a zoîg dE nazi zàv ôinlocai’av zâg EB. 45615

ami à ameiae’va En za zâ’g AI" ami zaLnÂaataç :59

Fd ami ôznlaatag zâg dE nazi zôw dayxupe’vav à:zs zâg FB ami zainlao’lag zâg dB nui ÜLflÂadûZç zig

2. nous per camp. F; cart. Torellius, ut lin. 5 bis, 6 bill. a8, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 26, 28. a. on] en a:

rDE PLANORUM AEQUILIBRIIS Il. 223

sed 5(AB-I-BE)-f-10(FB-f-Bd):2(dB -f- BE) 4- 4(FB -l- Bd) r: 5: 2.1)

quare etiam A0 : H Ü r: 5 z 2. rursus quoniam est0d:dA:EB 4- 2Bd:2(dB-I-BE)-f-4(I’B-1-Bd)[Eucl. V, 7 coroll.], et etiam44:4E.-.243 4- 3m: 4- Bd: EB 4- 2Bd,

inacqualiter ordinatis rationibus sine proportione per-turbata, ex aequali erit [Eucl. V, 23]

1 Od:dE:--2dB-i-3BF-1-Bdî :2(AB4-BE)-f-4(FB-f-Bd).I; quam etiam

g 0E:Ed:1”B-I-3Bd-I-2EBî :2(AB-f-BE)-I-4(FB-1-Bd). [âvdnalw Eucl. V, 7 coroll. et àvadzae’wavzi V, 19coroll. et &vânalw]. sed etiam dE: EB a AF : FB(quoniam etiam componendo

[est dB : BFn dB: EB])’) : 3rd : 3dBg 2 dE : 2 EB.

quatre etiam

AIv 4- 3 Fd -I- 2 dE:FB-f-3dB-I-2EB[: dE:EB].3)

1) Cfr. Quaest. Arch. p. 48.2) Bine enim 81.51.6sz (Eucl. V, 17) AF:BF:dE:EB;

tir. Quaest. Arch. p. 147.a) Nam AF:I’B --- 2dE:2EB a Fd :43 (p. 219not. a)

:3121: 3.413; unde ex Eucl. V, 12:AH 24E 4- 3121: PB 4- 2ER 4- 3dB : 24E : 2EB.

001T. B. 8. zona avyuups’vow F; corr. B. 10. dd dB F;-A. 13. Bd] HBd F; corr. A. 14. zszaypnmu] ze-

Imemv FV. zszaaaypavoc F. 15. nous F, uulgo..7] 0m. FV. 0d] 8d F; cart. ed. Basil. 19. zâv

lfl’liptzi; mg F, uulgo; avvapqmzs’aav zée Torellius. 0E"agui; 9E F, uulgo; E0 ed. Basil., Torellius. 20. 05mn

. 27. zaznlaalozç] F’ F, uulgo; à î ed. Basil., Torellius.

224 EnmEAszN 120PP0msaN B’.EB. oivopoz’œg 061; ndÂw zaîv 1.67m; zezaypa’vaw,zovzs’azw à) zezapawiê’qu âvœÂoyi’qc, ôL’ [60v zôv ad-

zôv 5’554. 1.67011 à E0 nazi EB, 31; à dl" and zâçzainlam’aç zâg Fd ami ôLnÀaaL’ag zâg dE nazi zôw

5 ôinlœdi’av avvapqaoze’pav zâg dB, BE prêtât zâç ze-

zpanlaai’ag dvvapqvoze’pav zâç FB, Bd. 51a alizé

OB nazi BE zôv uôzôv au. lôyov, 31: à Ida a; zesznÂaa’L’ç zâ’g dB and zâg ëëanlozatug zâç FB mi

zqï zainÂœdi’q: zâg Bd nazi zaiv ôLnÂadùxv dvvœpcpoze’aov

10 zâç dB, BE and zâg zazpanladlaç dvvœpqnozs’pov

zâç FB, Bd. ami ênsi aï ze Ed, dF, FA à: fifiaôzçô laya) âvzi nui dvvaptpôzepag ëxddza zà’v EB,

Bd, dB, BI’, FB, Bd, Éddeizou and, C59 à Ed nazidd, aïîzmg avvœptpôzapog à EB, Bd nazi dwapcpô-

15 1559012 zàv dB, BF and zâç awawoze’aov zâg FB,

BA. nui 6121105sz d’au Ëdzlfv, 059 ai dE nazi dd,ïoÜzmç awapœazepog à EB, Bd and; avvaptpazæ’pov

zâg dB, BF nui avvapqaozëpov zâg FB, Bd, 5 Ëdfl ;avvampôzaaag à EB, Bd gazai zâg ôLnÂaai’ag 6m!-

20 «pæaze’gav mais dB, B F nazi avvapcpôzspav zoiv Bd, 1.Bd gazât zâç ôLnÂadL’ag zâg BF. (Han ami à ôinlaai’a

nazi zàv ôinlaai’av zôv alizari Égal. 116m», zovze’fizw,

à; à Ed nazi dd, cô’zcoç à ôLnÂaa’ia dvvapqnaza’pov

zâg EB, Bd and zâg zezptxnÂaaL’œg dwœlupazëpov;

25 zâg FB, Bd nazi zàv ôLnÂudlow dwapœoze’aov zâgdB, Bd and zâg zezpanÂaaz’ag zâg FB. «Seize nui,

3. E0 E6 F; corr. ed. Basil. naos pet camp. F;corr. Tare] Bus, ut semper in hac pagina. 4. zainlam’ug midiam. F; con. A. zcîv] addidi; am. F, uulgo. 7. 0B] EBF; cart. ad. Basil. 13. ËazuL per camp. F, uulgo. 16. ais]am. F; corr. A. à AE] à addidi; am. F, uulgo. 13-PBd F; con. Torellius. 19. EBA F, uulgo, ut lin. 24.


rursus igitur rationibus inaequaliter ordinatis sine pro-portione perturbant, ex aequali erit:

E0: EB --- 434- 3Fd 4- 2dE:2(dB -I- BE) 4- 4(FB -I- Bd)

[Eucl. V, 23]. itaque [6011195sz Eucl. V, 18]:03 : BE: 343 4- 6FB 4- 334!)

:2(43 4- 33) 4- 4(33 4-34).et quoniam lineae Ed, dF, FA et

E3 -f»- 34,43 4- 31133 4- 34in eadem ratione sunt’), erit etiam34:44:334-34 : 43-1- 332-334-3113)quam etiam componendo [Eucl. V, 18] erit43:44: EB4-Bd4-dB-I-BF-f-I’B-i-Bd:344- 34 4- 233 : 33 4- 34 2- 2(43 4- 31"):344- 34-1- 231": 2(33-1-34)-i-4(43-l-31")

:2(Bd -l- Bd) 4- 4B1".

1) Nam41’4-3Fd-l-2dE-l-2AB-l-2BE-l-4I’B-f-4Bdans-H412;- FB)-f-3(Fd-1»-Bd)-l-2(dE-l-BE)-l-3FB-i-Bd

:3434-3334-2344-31’3-1-34.2)H.e. E4:41’:4r:1"4:EB-4-34:43-4-BP

: dB-i-BI’: FB-I-BA;luod facile ex p. 219 not. 3 et Eucl. V, 12 concluditur.

3) Est enimEdzdF: FdsEBfl-dedB-I-szfB-f-BA;mare

Ed:dF-i- r4 : 33 4- 34 : (43;;- BF)-I-(1”B 4- 34);à Quaest. Arch. p. 48.

10- ABF F, uulgo, ut lin. 25, p. 226, 3: 334; lin. 26: 434;1.226131). 2 ARE; ibid. lin. 6: ARA. 21. Bd] Ad F. 24.En; me zszaanluaüxc ad zâg A B, Bd lin. 26 rapetita in F;on. B. 26. FB] FE F; corr. Basil.

Archimedes ad. Eaiberg. Il. 15

10

15

20

25

226 EIIIHEARN IEOPPOIILQN B ’.(in; à Ed nazi zai zaL’a néganza zaîg dd, aÜzmg à Gay-

nszya’wx En zs zâg ôLnÀuaL’ag avvayqaoze’aov zâg dB,

BE nazi zezaanlaalag awaptpozs’aav zâg FE, Bd nazizà zala népnza zâg avyuezpa’vœg En zs zâg ôLnÂaai’ag

avvapqaozb’aov zâç d B, Bd nui zszaanlam’ag zâg F B.

aiM’ 05g ai Ed nazi zai zain: népnzac zâg dd, 05mgëo’ziv à EB nazi ZH. Mai (in; 55’905 à EB nazi ZH,off-nos à ôinlazaz’a avvapqaaze’aav zâg dB, BE (mi

zâg zszpanlazai’azg awayçpoza’pav zâg dB, BF nazi zà

zain nëpnza zâç amaigévazg En zs zâg ôznlawtag auv-

agupoze’aov zâg dB, Bd gazai zaîg zezpacnlaai’ag zâç

FB. 56561217 6è natif, à; ai 0B nazi EB, oiizcogâzainlaatac dwapæoze’pov zâg dB , Bd and: zà’g Éga-nÂaai’ag zâg FB nazi zà’u ôtnlaai’aw avvapupaze’gov

zâg dB, BE nazi zezganlazai’av avvagitpoze’aov zâç F B,

Bd. nazi ôi’ 1’601) ripa êazz’v, ai; ai 0B nazi ZH, 05-zaog à avynugis’vat à; ze zaîç zaLnÂadL’atç avvagaqaoze’aov

zâç dB, Bd nazi ëEanÂaai’ag zaîg FB nazi zà zaiane’pnzaz zâg avyxeips’vazg à: zs zâç ôznÂaalfazg dWlX’MpO-

ze’pov zâg dB, Bd nazi zszpanlazaz’ag zâg FB. aillaià avyneme’va à: z; zaîg zaLnÂao’L’ag avvaptpozs’aov zâgi

dB, Bd nui âganlazo’z’ag zâg FB nazi nia zàv Gay-inezpæ’vaw à: zs zâg ôLnÂaai’azg avvœpqaozëaov züg dB,

Bd nazi zazaanlœaz’ag zâç FB 1.6701; 515L, sa zafa nazi

6150, nazi 6è zà zpfaz népnzaz zâg alizés 1.67011 515i, 3a

2. za] z supra. scripta a F. 3. naos per camp. F;001T. Torellius, ut semper in hac pagina. 12. 0B] AB F;com ed. Basil. 16. 0B] EB F; cart. ed. Basil. 22.55an1aaz’aç] 53mm FVA; 5’ uulgo. 23. A Bd F, uulgo. utlin. 11, 13, 18, 20, 22; sic etiam lin. 8: ARE; lin. 9: ABF;lin. 15: 43E; ibidem: 3124. . 24. nazi] "à F; cart. To.rellius.


quarre etiam

4E: .344 : 2(EB 4- 34) -I- 4(43 4- 33)d :&(2(Bd-l-Bd)-I-4BF).

se dEzJZrdd:EB:ZH.1)quam etiam

EB:ZH22(dB-i-BE) -f-4(dB -l-BF):g(2(43 -I- Bd) -I- 4FB).

sed demonstratum est, esse

OB:EB:3(dB -l- Bd) 4- 61”B:2(dB 4- BE) -I- 4(FB -f- Bd).

itaque etiam ex aequali [Eucl. V, 22] erit

OB:ZH:3(dB-i-Bd) -f- 6I’B:42 (2 (dB 4- Bd) 4- 4FB).

sed

i(AB-I-Bd)-J-6FB:2(dB-I-Bd)-f-4FB:3:2’),ai

3(AB-l-Bd)-I-6FB:42(2 (dB-FBd)-l-4I’B):5:2.

I 1) Quia. ex hypothesi est EB : AE : ZH: ibid; tutusauri;

2) Eucl. VI, 16; nain2x (3(43 4- 34) 4- 63B) g 6(43 4- 34) 4- 1233

.: 3 x (2(AB -f- Bd) 4- 4FB).[une

3(434-B4)-i-633:g(2(43-i-34)-i-433):3:2xg:5:2.

16*

10

15

20

î

228 EIIIHEASZN IEOPPOHIQN B ’.ne’vzs nazi 660. éôeizôzg 6è nazi à dO nazi H 0 1.67m;

Exavoa, 311 névzs nazi 5150. nui 51a (fait à Bd nazi310w zàv Zû 167w 515i, 3a névze nazi 6150. si ôizoüzo, 0150 nsynzagiôawi 5’sz ai Z1? zâg dB. (inca502L 6565m.

IL .

Hawzôg zâyov ainô 690074-011501) naivav zonais dip-auaovgia’vav zô ne’vzaov zoô 13029503 ëni zâg élimiez;

émia, ôi ménagés gaza zoô zôuov, zo’vôs zôv zpônov

nslpavov’ ôiœipeôslfaœç zâg sôôslazg si; [du névze fini ,

M601; nsynzapopa’av, dieu zô quipo; aunai? zô

Q I Î .’ I 2 2zsaov zag êÂao’dovog flaflas zou zonal; nazi za lainai!zyâpaz zôv aôzôv Ëxaw 167011, 311 5154 zô 6169561! zô

602mm pin 510v zô zezaaîyœvov zô vina zaïg pataraszà’v finition: zaô miaou, 51009 ôi zàv iam; ovvapçpazs’aa *

a)": zs ôLnÂazaûgz züg ëÂéoaovog zâv fluate-av nazi zë psi. i

gava nazi zô azsaeôv zô 302m nia 510v zô zazaoî- aramai: zô vina zâg éldadavog zâv fluate"; zaô zôpov, i51009 5è zàv l’accu àpqaoze’paz zig? ze ôtn’ÂüGL’lll zâg psi-

Çavag nazi a)? 3142660111. mini».êfizmaœ’u à! 6980757111501) miaou zona? 6150 513355411

ai AF, dE. ôwipszpag ôi gaza: zoü ABF zpaîpœzoçai BZ. (17411159611 à), du nazi zoô ddEI’ minou ôtai-

1. nazi (bis)]3 per camp. F; cart. Torellius, ut lin. 2 bis, 3.40] A F; cart. . 2. Bd] 3a F; corr. AB. 4. neutra-(aaam F; corr. Torellius. 4B] dB F; corr. AB. 5Mo 565idaigna] ü FV; 31:59 565L uulga; corr. Torellius. 9. ü] am.F. zôv] addidi; am. F, uulgo. 14. ûpldovç zâç nettoya;et lin. 18: finirons zâg éliminant; ad. Basil., Torellius. 15.zaw par camp. F; 001T. Torellius, ut lin. 16. (3265m! F, uulgo.ut lin. 16, 18. 16. zâ (2.115)] zo F, uulgo; 1:93 BD; corr. To-rellius. l9. âpmozsaaz] scripsi; appontiez;- F, uulgo; in.

DE PLANORUM AEQUILIBRIIS Il 229

sed demonstratum est etiam d0:Hû : 5:2 [p. 222,5][itaque 0B: ZH : 4o : Hû : 5 :2]. quare etiamdelû : 5: 2 [Eucl. V, 12]. itaque

I ZQ z ë dB;quad erat demonstrandum.

X.

Cuiusuis frustil) a sectione cani rectanguli ablaticentrum grauitatis in es. .linea, quae diametrus estfinsti’), ita. positum est: linea in quinqua partes aequa-les diuisa. in media. quints. parte ita positum, ut parseius minori basi propior ad reliquam pattern eandemrationem habeat, quam magnitudo solida. basim ha-bens quadratum maioris basis frusti, altitudinem autemaequalem simul duplici basi minori et maiori basi admagnitudinem solidam basim habentem quadratumbasis minoris frusti, altitudinem autem lineam aequa-lem simul duplici basi maiori et minari earum.

in sections coni rectanguli duae lineae [parallelae]âint dI’, dE; et segmenti ABF diametrus sit BZ.ldparet igitur, etiam frusti ddEI’ diametrum esseZH, quia lineae dl", dE parallelae sunt lineae in

. 1) Intellegitur pars paraboles duabus lineis parallelis abs-m, quasi tra. ezium quoddam, cuius duo lutera. patafiola,lue partes para. olae sunt; cfr. I, 15.

,2) H. e. linea, quae puncta. media. laterum parallelornm(mugit; u. Entocius.

miaou; Torellius. 21. s’y] am. F; com Torellius. zonaii; con. Torellius. 23. 61)] Torellius cum Eutocio; de F,mlgo. 44E3 ad à ZH p. 230 lin. 1 am. F, uulgo; ex Eu-0610 suppl. ed. Basil. (am. minon) et Torellius (H Z pro ZH).

230 EHIHEASZN IEOPPOIIISÀN B’.

(14.1969 gaza: à ZH, ainsi au? dI’, dE napaufiioz Mizaz" nazà zô B émanzogzs’vaz zâg zapâg. nazi zâç HZ

aidants ôzazpsôez’aazg de nëvze fait (48’601! Etna) neynzaz-

pépias: ai 0K. à ai FI nazi zàv I K zôv aziziw 512m)b 1.67011, 3a fixez zô o’zspsôv zô péan) pin; 510v zô zinc

zaîg d Z zszpaiyawov, 51009 ôi zàv l’o’aw damoza’aazzg zzz?

ze ôznÂaza’z’az zâg dH nazi a)? dZ nazi zô (nageai: zô

fléau! 510v zô vina zâg dH zszpaiyawov, 511209 6è zâzv[dam &ymoza’aazzg n)? ôznlazdz’az zâ’g dZ nazi zig? dI-I.

10 ôeznza’ov, du zoô ddEF zôyov ns’wçov ëazi zoü flai-

peag zô I caneton.5(1sz dz) za’î nia ZB 56a à MN, a)? ôi HB [du

ai N O, nazi lelaîtpôao zâv pis! MN, N0 péan dizai-Âoyov à NE, zszaipzaz ôi dvélayov à TN. nazi ais à

i5 TM nazi TN, aïno); ai Zû nazi zwaz aËnô zoii I,

20

Snav du ëaxn’zazz zô gzspav caneton oôôiv yàa ôzaz-

cpe’psz, du nazi gazait) zain Z, H du nazi pêïag’ù zôvH, B’ zôw I P. nazi énai à! ôaôoyawz’av naivov zona-z

ôzaigzezpôg écu zoô zaaiuazzog à ZB, ai B Z fi’zoz déminai

êo’zz zâg zonais ï) nazaà zizi! ôzaîpszaov ënzazz, ai 65

d Z, d H dg anizàv zezaypza’vasg ëvzi nazaypzs’vazz, ênezôz)

naaaufiloz âvzi a? Ëni zoü B zâg zopâg 499054204454.

1. énei ai] scripsi; am. F, uulgo; ed. Basil. et Torellius:nazi ai (n’a. 2. HZ] EZ FV. 4. naos per camp. F; con.Torellius. 6. za’zç] mg F; corr. V(?). AZ] AZ F; 001T. B.zszaozyowmv (comp.) F; corr. Torellius. 7. dH] ZH F; cart.AB. 1a. 4.43 FV. 12. z3] ZE FV. 13. à NO] oz N9FV. 5411412013 F, uulgo. MN, N O] Torellius; MNO F;MNO uulgo. l4. M El F. zezczazz) F; 001T. Torellius.à TM] à TM F, uulgo. 15. nazi] n90; par com . F; cart.Torellius, ut sem et posthac in hac prop. 16. av] sur F;corr. B. gnous «sans F; corr. B. 18. un: F; corr. To-rallias, ut lin. 20. 19. «aman; F; «ppm; uulgo; 429115 cd.Basil.; nippai Torellius. 20. me zapnc (comp.) F; 001T. To-


puncto B segmentum contingenti?) et linea HZ inquinqua partes aequales diuisa, media pars quinta sit9K. et sit

("71: 1K: A22 x (2AH-l- A2):AHg X (2A2 4»- AH).’)

demonstrandum, frusti AAEF centrum grauitatis essepunctum I.

sit igitur MN--- ZB, NO : HB, et fiatM N : N E ---- N E : N 0

et MN:N0:NE:TN et TM:TN: ZârIP,sumpta. a. puncto I linea. aligna, quocunque alterumpunctum cadit; nam nihil interest, utrum inter Z, Han inter H, B cadat. et quoniam in sectione coni rect-anguli diametrus segmenti est ZB, aut axis est sectio-nis aut diametro parallela”); et lineae A2, AH ordi-nate4) ad eam ductae sunt, quoniam lineae in B sec-tionem contingenti parallelae sunt. quare erit

1) Ex Eutocio adparet, Archimedem diserte addidisse, esse4H: HE et AZ : ZF; hum u. quadr. parab. 1, b. ceterumuerba ème). ai lin. 1 ad ré; topois lin. 2 uix genuina. sunt, necca habuisse uidet-ur Eutocius.

2) In ipsa propoaitione banc proportionem significat:AF’ x (24E 4- AI"): 4E2 x (241" 4- 4E),

sed cum AFs 2AZ, 4E .--- 24H, eritAF’ x (24E 4- A1") : AE’ x (2AP 4- 4E)a 4AZ’ x (44H 4- 242) : 44m x (4AZ 4- 24H)

a 42’ x (24H 4- AZ) :4112 x (2A2 4- AH).3) U. Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 51 nr. 14.

inné est axis sine, ut apud Archimedem uocatur, diapatoàçrâç tapés; idem par divinement lin. 20 significatur.

4) Cfr. Apollon. con. I def. 17. »

rallias. 17mm F; con. Torellius. 21. mît cum comp. ne:F; com Torellius. 516L par 00mg. F, uulgo. uamypevwF, uulgo. 22. 536w F, uulgo. ni] scripsi; une F, uulgo.marronnai. F V.

10

15

20

232 31111115115211 IEOPPOIIIQN B’.

si 6è 101’110, 511er 059 à AZ un) AH ôvvoîpez, 0171:0);

à ZB nazi BH 11021151, zovte’arw à MN azor), NEôvvoîpez. ml (à; 61’001 à AZ n°11 AH 61111021151, 01715135;

à MN «oïl NE ôvvoîpu. 03’615 ami mixez ê11 193 œôrçî

163191. aux! 059 39a ô o’mô A2 x6609 azor! 1011 àzôAH 111513011, 0171m9 ô 0271:0 MN 11151309 1:01) tôv 0211:0

NE mîflow. &M’ 059 M11 ô oinô AZ 1115509 1101:! 1611

du?) AH 11156011, 0171:0); :6 BAF quipo: nazi 16 AB Ezpâya, 05g ôè ô club MN 11151309 71501:2 1011 du?) N E

mîflov, 05mm à MN 1:01! N T. 5m and 615161111.1361311 059 ô AAFE 1611,09 71:07! 1:6 ABE zpâpa, 017-rœg à M T nazi N T, 101114611, rà qu’a «épata 1&9 i

HZ 101:1 I P. ami 13ml tô 61595611 10 13026111 M11 510111:6 rimé A Z rezgdyœvov, Üwog 6è rôw 61171181115110511 à:

ra 1&9 ômlaaéag 1&5 AH and 1&9 AZ 11:01! 1611 du?)A2 111513011 167011 5151, 311 à 61111116511 râg AH perd -

1&9 A2 715ml 2A, (5615 and, 311 à 61751116150; 1&9 NEparât 1&9 N.M 71012 NM, 561:1, 6è scat, 05g ô du?) AZmîflog 11:01). 1011 0210 AH 311513011, 051:ng à MN 71:01:). 1

N T, 053 6è ô ànô AH 11151309 and 1:6 61595611 1:0 poê-

dw M11 51011 1:ô 0211:0 AH ratodymvov, 5110s 0è 123wduynupe’vav 5x 1:5 des ôwtlum’ug râg Al p.513; 16E;AH, 013’er à AH nov! 1:15:11 avyuatpe’va’u à; ne 1&3

ôLnÂaatag ring AZ and raïs AH, 03’615 Mal à TN azor), l

1. à AZ] n AZ F; corr. Torellius. 4. Post MN adduned. Basil. et Torellius: «01:1 NO. 035- ôë à MN and N O po?-usL, 0171m9 à MN (ngôg ed. Basil.). 11. râpas] scripsi; 1’0-un; F, uulgÈ). AB FV. 13. IP N T F; corr. Torellius.14. tfig AZ ùtocius. 17. 511] 0m. ; corr. Torellius. 19.AH] AN F. 21. 1’171! avynsmavnv (comp. 1111) F; con. To-

"-44

rellius, ut lin. 23; 51319511111 addit Eutocius. 22. mais 611211101115 -1&1an n]; F0; me uulgo; antiacide add. ad. Basil., Cr; a];corr. Torellius. perd] aux! Eutocius. 24. mantelets] 0m. F;corr. ed. Basil., Cr.

I DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 233A22 : 4H2 z ZB : 8H5,

h. e. MNil :NE’.’) itaque AZ’ : AH’ : MN’l : NE’.

quare etiam AZ : AH a MN : NE. itaque etiam423: 4H3 : MN3: 55. sed

A23 : 4H5 u: BAI”: ABE [11. Eutocius],et M N 3 : N Es : MN : N T?) quatre etiam dirimenao[E110]. V, 17]

AAFEdeE: MTzNTr:»gHZ:IP.4)et quoniam

A23 x (2AH-l-AZ):AZ3:2AH-f- AZ:AZ.-- 2N,’E-i- NM: NM5),

Æ 5’ 07’ N

et AZS:AH3 MN:NT [1in. 5 sq. et 9],et 4H3 : AH’X (2AZ-l-AH) : AH:2AZ-I-AH

: TN:20N-i- TNG),

1) Quadr. arab. 3; Apollon con. I, 20. Zeitschr. f. Math,’ . Abth. XX p. 60 nr. l2.

2) Nam MN : NE; a NE z NO; undeMN : NO a MN’ : NIE.”l (Eucl. V def, 10) a ZB : BH.

3) Quia MN:NO---MN’:NE’::NE: TN;et un h d MN:N.E:MN:NE;tum mu ’ .can o.

4) Nain MT:NT:: w : IP (ex hypothesi) et Z9:&HZ-a) Nana AZ : AHaMN: NE; tum u. QuaeehArch. p.485.’e) Nam AZ:AH:MN:NE:NO: TN (ex hmothem.

310111025); tum u. Quaest. Arch. p. 48.

234 EITIIIEASàN IEOPPOÎIISEN B ’.

1&1: duyxaam’vœv Ex 1a 1&9 617110165019 1&9 ON and 1&9

TN, yëyovw 01511 156601901 ysyëôaa, 16 61595611 1b fid-

o’w phi 51012 16 02716 AZ 15190îyawov, 51009 6310:0avyusmé’vav Ex 1a 1&9 6011105615059 1&9 AH 910d 1&9 Al,

b au). ô 02716 Al 316,309, un), ô 02216 AH mîfiog, m114561.59561: 16 [30207,11 (1h; E1011 1è du?) AH 1erpoîyawov,511’013 6è 1&1 dvynezpe’vav in 15 1&9 617110160019 1&9 Al

910:1 1&9 AH, 10’1101961 (1591956111 &vdloyov Gin; 6150

layfiowope’vozg 10"; 1a 607151505310: En 1s 1&9 6112.0610;

10 1&9 NE Mal 1&9 N.M un! 516’992 5059255351. 10? MNnul 6512.93 êëfig 193 N T 10:2 1slav1œl’ov 107 6117215150519!

En 15 1&9 61211016109 1&9 N O ml 1&9 N T. 51’ 1’600&ça yavno’a’wa, 059 16 6159561 1ô [302611 503w ëzov 1è

12116 Al 1519dyœvov, 51009 6è 1&1 duyuszps’vav En 1e

15 1&9 61211061219 1&9 AH ml 1&9 A2 1101Z 16 6159561! 916 fléaux ph; 51011 1è 0271?) AH 15190571031201, 511209 6è 1

143w avyxems’vav En 15 1&9 617110165019 1&9 A Z nul 1&9

AH, 051m9 à dvyuatvpe’wu à: 1e 1&9 617110:60:19 1&9 N 5 0

10:1 1&9 MN 71013 1&1! avyueme’vav Ex 1a 1&9 ômla-20 61’019 1&9 NO and 1&9 N T. &ÂÂ’ 059 1è 80131705000

6159561 11011 16 169011051100 61895611, 051079 à 6U and 9

I K. am), 059 6590: à ÛI 11011 I K, 051009 a? dvyxsms’va11012 1&1: avyxupe’wav. 45015 aux! avvôs’vu 10:2 103005701405400711 1è nevwnloîam’ 561w 5290; 059 à ZH 101i

25 I K, 051039 à 71511111101610: avvœwou’gov 1&9 MN, N T i

nul 65101211016150: avvapqyo1épov 1&9 N E, N O 710111011

ôLatÂœm’ow 1&9 ON aux! 1&1: N T. nul 059 & ZH 1011ZK Ëo’ôaav &ô1&9 6150 1151171101, 051m9 à 11811011110610

. 1. 1m! 0011511101111 (m: par camp.) F; corr. Torellins, utun. 7, 14, 17. 2. (10pr F, nulgo. 4. 61111010 F in fine ihneae, nulgo. 5. au! o &nà AZ] 0m. F; corr. ad. Bail. Ï


ergo quattuorl) magnitâdines sunt, magnitudo solidabasim habens AZ”, altitudinem autem 2 AH -I- A Z,AZ”, AH 3, magnitudo solida basim habens AH 2, alti-tudinem autem 2 A Z -I- AH, proportionales Cum quat-tuor magnitudinibus binis simul sumptis, 2 N E -I-- N MMN, N T, 2N0 -l- N T?) itaque ex aequali [Eucl.V, 22] erit

A22 x (2AH 4- AZ) : AH’ x (2 Al 4- AH)

d :2NE-f-MN:2NO-f-NT.se

A23 x (2AH-I- AZ) : A112 x (2 Al 4- AH): 01: IK.

quare etiam 2NE-f- AMN: 2N0 -I- NT: QI:IK.quare etiam componendo [EucL V, 18] et anteceden-tibus quinquies sumptis:ZH:IK:5(MN-I-NT)-I- lO(NE-l-NO):2ON-I-NT3)

1) Bine paraphrasim dedit’Eutocius, Archimedis uerbis suaadmiscens; quare ex eo iam nihil ad Archimedis net-ba. amen-danda. petendum est.

2) H. e.AZ’ x(2AH-l-AZ):AZ’:AH’:AH’x(2AZ-l-AH)

:2NE-I-NM:MN:NT:2NO-*-NT.3) Nam ZH:50K.

7. 1179 F; con. Torelljus, ut bine semper in hac proposition.1&9 AZ] un 1179 AZ F. 9. 11; 1s 00715111811] F; corr.

Torellius. 10. NM nul] NM mu un: FA. 515901 1.Le-153509 F; cou. Torelliua. 14,2] scripsi; 1179 F, uulgo; 1&9Torellius. 11. 011.190] scripsi; allo F, nulgo. 10’: (bis) ûF; corr. Torellius. N1" F. 007151445117 F; corr. orellius.12. ômlaalag] B’H F. 17. 159 AZ ad 1029 61111011729 lin. 18(un. F; corr. ed. Basil., niai quod 17 pro a praebet, quod con.Torellius. l9. 1m: 01715111qu1 F; con. Torellius; et omninohinc nusquam in hac proportione a Doricum in codd. sema.-tum est, sed ubique 11 irre ait. 25. newanlaata] scripsi;0m. F, nul o; 71511011111.) ed. 3811., Torellius. 27. 1021] 0m.F; con. A . 28. 0100:1 F, nulgo.

236 EHIUEASZN 12011101115211 B’.

. 6v1101111po15’9o17 1&9 MN, N T 71011 65710171101611! 61711011 6

970159017 1&9 NE, N O 71011 1&1 61711016150177 61717011100-

11’9017 1&9 MN, N T 71011 15190711061011: 61717011111701.4900

1&9 NE, N 0. 1’66511011 0611, 059 ZH 7101?. ZI, 01’519,6 à «51101711016101 60101997015901) 1&9 MN, N T 71011 657171-

71111651: 677110111970119017 1&9 EN, N O 71011 1&1) 61777151-

yè’vav En 15 1&9 617110161019 1&9 MN 71011 15190171106111;

1&9 NE 71011 5’567110161’019 1&9 ON 71011 1917110161019 1&9

N T. 57151 01511 15’6601959 513055011 ëâfiç 011101107017 tu"

’10 MN, NE, ON, NT, 71017! 561111 059 11611 à NT 71011 ,TM, 051079 15101111107101 119 &.PI 71012 101 19101 7111177111

1&9 ZH, 1017175611 1&9 M 0, 059 6è à 61777151115101 571 15

1&9 617110161019 1&9 NM 71011 1519017110161019 1&9 NE 71011

52017110161019 1&9 N 0 71011 1917110165019 1&9 N T 7101?. 167

15 61777151111’111111 571 15 1&9 71511107110161019 60161107015900 1&9

MN, N T 71011 65710711016109 60101997015901) 1&9 EN,N O, 0171079 515’901 119 15101111151101 à I Z 71011 1611i ZH,

10171661117 71012 113111 M O, 566511011 6101 16 71901590776

PZ 6150 7151171101 1&9 MN, 101715611 1&9 ZB. 0361520 7157119011 [3019569 5611 1013 ABF 11.1011101109 16 P 601115107.

E6107 61] 71011 1013 ABE 111011101109 71551119017 5019509 Il

X 60111517012. 1017 51’901 AAEF 1611017 5665151011 16 715’7-

19011 1015 [3029509 5711 1&9 ê71’ 515051019 1g? XP 1617 0113-

1617 71011 011310117 167011 510156019, 611 5x51 6 161109 71011

25 16 10171611 111071101. 561111 635 16 I 6011151017. 37151 71019

1&9 phi ZB 191’01 7151171101 1561117 à BP, 1&9 61H13

1. 65101711010111] î FV; 6571017111.) uulgo. 2. N E, N 0] acripsi:N E O F, uulgo; ENO Torellius; eadem omnia. lin. 4. 3. MN TF, uulgo, ut lin. 1, 5, p. 234, 25. 4. 501011 per camp. F.uulgo. 039 à? 6. EN, NO] scripsi; ENÛ F; ENO 011130-9. 010w 011 Torellîus cum Eutocio. 10. MNE, ONT F»unlgo. 11. 11171111151177 F, uulgo, ut lin. 17. 14. N 0] N 9]

b DE PLANORUM AEQUILIBRIIS II. 237et ZH: 2K: 5(MN-[- NT) -l- 10(NE -l- N0)

:2(MN-I- NT) -l- 4(NE-f- N0), .quia ZK : FZHJ) quare etiam [&woîzalw, addendo,àvénaÂlîv] erit

ZH: ZI--- 5(MN-l- NT) -I- 10(EN-I- NO):2MN-[- 4NE -I- 60N-I- 3NT.

iam quoniam quattuor lineae in continua. proportionesunt, MN, NE, ON, N T [ex hypothesi], et

NT: TM:PI:gZH: PIngO’),

et .2NM4- 4NE 4- 6N04- 3NT: 5(MN-f- NT)4- 10(EN-I-NO) : IZ:ZH: IZ:M0,

erit propter praecedens [prop. 9]

l PZ ----- g« M N : g ZB.quare punctum P centrum grauitatis est segmentiABF [prop. 8]. sit autem segmenti ABE centrumgranitatis punctum X. quayre frusti AAEF centrumgrauitatis in linea XP producta positum erit, lineaabscisa. eandem rationem habenti ad XP, quam habetfrustum ad reliquum segmentum [I, 8]. eiusmodiautem est punctum I. nam quoniam BP: 4223 et

1 Etsame-f-NT)-i-10(N.’E-I-NO):2(MN-f-NT)4-4(NE-i-NO)

:5:2 (Eucl. V1, 16).2) Nm MO:MNFNO:ZBFHBaZH.

FV. 16. MNT F, nulgo. ENO F, uulgo. 18. surcum comp. ou F, uulgo. t6] F; 1:02 unlgo. 20. flaconsË, unlgo, ut lin. 21, 23. 21. rpâpazoç] sic F, unlgo. 22.cou] 0m. F; corr. Torellius. saron par comp. F, nulËo. 23.têt] scripsi; mg F, uulgo. 24. rôyog] scripsi; rouans , uulgo.

10

238 EumEAszN mQPPomszN B’.17951.! crépue; écria; à BX, aux). lomâg 59a 1&9 HZrota néynm Ëdzlv à XP. âne! 05v 561,111, (in; ph) ô

AAEF rôpog azor! tô ABE tpâpa, 051m9 à MTand NT, 059 6è à MT nov). tàv TN, 051m3 rôtmm admira 1&9 HZ, 55ng 561211 à XP, nazi PI, ÉG-delfzal, â’ça aux! (fig ô AAEI’ 165009 azotî r6 ABE

mégot, oürmg à XP nazi PI. and écru r06 54h; 510vryéparog névrpov 1017 [3059509 r6 P (Sauna), 1:05 ôèABE us’vrgov 6029m; 1:6 X. (pavspôv 015v, (in ml1:05 AAEF râpez: xa’vtpov un; finîmes 1:6 I 604155012.

3. râpas] scripsi; repens F, nul o. 5. HZ] N Z FV.54mn per camp. F, nulgo. 6. tôuoç scripsi; tout); F, m1150.7. PI. and ad xÉ’FtQO’D lin. 8 0m. F; suppl. ed. Basil., Torellius,niai quad ah 105 praebent. 8. papoue F, uulgo, ut lin. 9.10. 10. ABEF FV. rôyo’u] scripai; rogna): F, uulgo.


BX: ngB, erit igitur etiam XP : gHZ [Eucl. Izow. 51m. 3]. iam quoniam est

AAEI’: ABE : MT: NT [p. 232, 11],et MT: TN: JEHZ : PI :XP:PI, erit igitur etiamAAEF: ABE: XP: PI. et totius segmenti cen-trum grauitatis est P, segmenti autem ABE centrumgrauitatis punctum X. adparet igitur, frusti AAEI’centrum grauitatis esse punctum 1.1)

1) I, 6-7 (Eutocius); poterat etiam ex I, 8 concludi; u.p. 207 net. 3.

ARENARIUS.

Archlmodes, cd. Heiberg. Il. 16

Tauptrnç.1 I. 036mm uvée, [30560185 Fümv, mû 11105111101: tîw

àpbôpôv â’zæcpov alpax zçî zÂn’DeL’ 1157:0 0è 015 pôvov

1017 me). 27094120156429 te and tàv 511ml 241311411!5 ùdpzowog, 02Mo? and tO’Ü muât «560w 14159421! 1&1: te

otunpe’vav ml ràv «2053041011. ëmt nst 66’, oï «13:61;

51549011 p.311 alun: 061 ônolapflévovu, pnôe’va pâmez

talmoôtov zarœvopadpe’vov indexera 5cm; 131:5le-2 la. t2) nlfiôoç «15106. o! 6è 051m9 ôoEaCôvtsç 6511m!

10 059 si vorjfimw à: :05 wéppov 141142051011 57mm: avr-zetyævov tà phi 501M, élûtes ô 1&9 yâç 57:09, dua-arsnlnpmpa’vaw 6è à: «6195 n51; te «8105750011 mimant

ml n51: zozlmuaïtnw 1&9 7&9 sis taon: ôtpog rots 131M-Âotoîzoaç :4512 ôpe’aw, «almandin; p.57 yvœaôvtm pn-

15 (Hua au: (5170654511 (291.911,61! 61595022101110: rô nlfiôog «1’2-

3 106. 3705 6è nszpaaofiyac ton (hawaïen; ôz’ ânoôuëinw

yeœpnpmâv, aï; napmolovfhiaug, sa r61; ôqa’ âpaîvxœzœvopaape’vmv àpvflpaîv and ëvôaôops’vœv à» 1059

101:1 Zeügmnov yeypappëvozg ônspfioîllowl nazes 013

2. mon! F. 8. âpzôpôv] 0m. F; corr. manas 3, W311i!-4. 1:05 un: per camp. F; com ed. Basil. 6. 591:1] à! F;con. inaltus; 0m. B; si Wallîs. cf] 0m. F; con-r. Riusltus.7. ph alun] nageur F; con. Torellius. molapfiavœvu F0.ed. Basil. 9. cyme] pet com . F. 10. vaudoue! F. 11.tôt ph: d’un] Gertziua; tout» , ougo; cipal Wallie. ch;un! F, supra. scripta a uel comP. av manu 1; corr. Walüa.rée] au: F; com Wallie. yen] yole F; corr. Wallis. 12-

Arenarius.

I. Sunt, qui existiment, rex Gala, numerum amenas 1nfinitum esse magnitudinel); dico autem, non solum:ius, que ciron Syracusas et reliquum Siciliam est,:ed etiam quae in qualibet reg-ions sine culte. sine in-culte. alii autem infinitum cum esse non arbitrantur,mllum uera tantum nominatum esse, ut multitudinemains superet. quad qui putent adparet, si globum ex 2mena collectum esse fingant, cetera quantus glabuserras ait, expletis autem et maribus omnibus et cauiseme lacis ad altitudinem aequantem montes altissi-nos, malta minus sas intellecturas esse, nominarilasse numerum multitudinem eius supermtem. ego 3.era tibi demonstrare canabar demanstratianibus gea-netticis, quas cogitations adsequi poteris, numeraruma nabis nominatorum et in libro, quem ad Zeuxippumlisimus, propasitarum quosdam superare non moda

1) Bac tritum prouerbinm ont Graecis; Pindnrus 01. Il,3; Paraemiagr. Gr. p. 11, 167, 260 ed. Gaisfard.

Ë] Gertzius; am. F, nulgo. 18. ale] addidi; am. F, uulga."Marot; FV. 14. mosan F0. pi; yvœaânm] scripsi;rancune (w pet camp.) F, unlga. main au 6110714421:Mpôv] scrigsi; gnan «cum; manu: F, nulgo. 16. sa;m (camp.) ; con. Hultschins, Gertzius. calcanéum ,

o. 18. autonyme m1 F; cart. VAR. 5188601181 cum1111p. w F0; 51868011. un Wallis. 19. vasofiuumnz F.

16Il

244 ’PAMMITHE.11612012 1012 020101101; 1013 1102111101) 1015 11515609 5101210;

[6011 11,2? 71,1" «51111100105011, 11110021150 51211411159, aillât mû

4 1011 1017 11575009 1’601! 51011109 11,5 31661190. 1101153519 61’,

61611 11011551011 11661109 15110 111111 1051! 7115I61aw 116100-

5 2.611101! a? 6(pal’9a, ais 5’611 1151110011 1111; 1è 1&1,- 75:;

2151110011, à 65 sa 1015 115121001; 1’60: 1g? 5158510: 1g? 11511121)

1017 115111001: 1013 051.1011 and 1017 115111001) 151g 125g.11113111 7110 51111 1è 70041261151111, 059 11010131 10311 116100-

Ââymv 6111110116019. 340561apzag ôè ô 20111103 13110856501

10 11110111 58500111511 7001111059, à) aïs à: 105v 61101151115101!

61211130111151 101i 11661101: nouanloîmav 511151; 1017 vin;

5 530n115’vav. 15117011051011 7&0 1è 11h) aîulave’a 1151! 1261001;

aux! 1011 511011 11511511: &xlvn1av, 1&1) 6è yâv 11501-015056001 11501 1011 521.1011 1111181 111511101) 11501925051112,

15 53 561w à! 115’691 193 6061101 115111511051, 113w 65 10311

02111011150311 5610m1) 6112111110111 11501 10 011510 115111001! 193

(111’111 1151115120111 11,15 115759051 10111111115101: 5111511, 15615 1611

3115x1011, uwfi’ 31: 119w 115w 1571011051011 11591915056801,

10101151011; Q5111 àvalaylav 11011 16:12 10311 021110115va20 02110610611111, 01’011! 5’151 10 1158210011 1&9 6tpœ1’gaç 11011

6 1&1; êmqwîvemv. 101710 7’ eû’ônlov à; 1561511011611 361111.

5115?. 11610 10 1&9 6920159019 115121001: aôôèv 5x51 11575309,

01365 2.67012 515w 015651201 11011 16111 51110202115101! 1&9611101110115 15110111111501; 011316. 511651115011 65 101: Z4017-

25 610101012 61011105561901 1665’ 51151ôù 16111 yâv 1511011111-1

fioîva1153 1561150 5Ï115v 10 1151110011 1017 51661101), 311 5’161

2.67012 à qui 1101i 1011 139” 02110511 5501111512011 11661107.

2. 51110111511 F, unifo. 3. 1157200119 F; cart. B. 6. à]17 F; cart. V. tu 0m. F; cart. Wallis. tu] am. F1lacuna reliefs; cart. Wallis. ou 50051111 F; cou. Riualtns..8. 51111 1è 7001016115111, 039] scripsi; 511 tout; 70019101151101;- F,

ARENARIUS. 245numerum arenae magnitudinem habentis aequalem ter-me ita expletae, uti diximus, sed etiam numerum arenaemagnitudinem habentis mundo aéqualem. nouisti autem,mundum a plerisque astrologie uocari sphaeram, cuiuscentrum sit centrum terme, radius autem aequalis lineaeinter centra salis et terme positae. haec enim nulgoscribuntur, ut ex astrologie cognouisti. Aristarchus ueroSamius libros quosdam edidit, qui hypotheses inscri-bnntur, in quibus ex iis, que supponuntur, adparet,mundum multiplicem esse, quem supra diximu. sup-ponit enim, stellas fixas solemque immobilia manere,terram liera circum solem in media cursu positumsecundum circuli ambitum circumuolui, sphaeram au-tem stellarum fixarum circum idem centrum positam,circum quod sol positus ait, tantam esse, ut circulus,secundum quem terrain circumuolui supponit, eamrationem habeat ad distantiam stellarum fixarum, quamhabeat centrum sphaerae ad superficiem. hoc cettefieri non posse manifestum est. Dam quoniam cen-trnm sphaerae nullam magnitudinem habet, ne ratio-nem quidem ullam ad superficiem sphaerae habereputandum est. sed credendum est, Aristarehum hocsentirez quoniam supponimus, terram quasi centrummundi esse, sphaeram, in qua. est circulus, secundum

nnlgo. 9. minaudas-J scripsi; ômngovaug F, uulgo. dé]Iddidi; 0m. F, nulgo. 10. yçmpoîç] scripsi; 79011de F, nulgo.13. par cum comp. 111v uel w F. 01mn F. 16. animons F,unigo ut lin. 12: «aluna. 17. 5ms] sans F; con. ad. Ba-sil.; ou; Gertzins. 18. 31:] au F; corr. ed. Basil. 20. meF; corr. Walhs. 21. 7’] (Y ed. Basil., Wallie, Torellius.22. :6] tu F; corr. B. 23. a; cum comp. 11v uel w F. 24.un cum comp. av F; corr. B. 25. ôzolapfiavoyw F, nulgo.26. 66mg sigma] scripsi; En; 1:59; pas! F, nulgo. .

4

5

6

10

815

20

246 summum.1013101: Elena 161i 1.6701! du: apatoav, à: gr; éatwô1261109, uaD’ 31; du; yâv étouôémz mpcqaepe’dfim,

azor! du! r61: àzlavs’mv 36mm: «pureau. du; 7&9ànoôuèiaç 1.151! (pawope’vœv 0171m9 Mayen) Évac-

(Lôtu, ml poindra «palmitate ri) péysûog zig agames,à; 9? «calma ràv 7&1: mvovpévuv, l’eau intonôéaflao

195 15(p’ égaie: campera,» miaula. (papis; ôn’, aux! et 75’-

vowo à; vos? Wilaya: «matou sommaire: rô 414575005élime! 319161059109 énonôérao du: 115v ànlavâm’u

ëatçmv (minimal aimai, aux! 051m; uvàg 65510:5an1’051: à) Dinars 143w uwwouœgc’av êxôwaw Mafia).-

Âôamxg 195 nlfiôu 16v 029.01.61; du: 1:06 d’oignon r06

persiflas fixovroç l’aov a? 51911555qu 692055995, ôuozupé- 3

vœu nôvôe’ 1:96:01; phi du: xagtyetoov 1&9 71623 dieux

(59 r’ pvpzéômv dtuôlaw aux), pi] gamma, m5159 n-iait: «maganèrent: ànoôsmmîsw, m0039 aux! ri) meaxolovôetg, êoôdæu dénia! ais 1’ yvçeââmvïazuôz’m.

igné 0’ ànegfiallôywog ml 052g zô péyefiog mais yâç

059 âmmrloîmov 1:05 inti) 105v ngore’çaw ôsâoâaapévov

du: mpipwrçov «151429 énormépaz eîpsv oing t’ impui-

ôaw draôfœv aux). (jà Faitout. pietà 6è afin du; âni-

1. 97] n F; com Wallis. 2. 5:: ou F; con. ed. Bail.3. culai cum comp. on: F; cart. W i . 7029] cum C etTorellio; 0m. F, qugo. 4. ûzouupémp Gertziue; cæcum.»cum comp. av F, uulgo; ônoueepévœv B , Wallis, Torelliue; ,tum scribendum emt à; 1:th pro 06mg. 5. 574130; F.6. varanô’anu F; corr. Riualtus. 7. trapu F, un o. 10.quartent! F. dazzôfiaew] Alu-eus; 68:13:14! cum coup. 17v ne!w F, uulgo; Juzfiriceoflm Torellius. 11. du: uatovopaêlug]scrîpsi; une! uatovopaëmv F, unifio; :051 flamingante": Wallm,Torellius. 12. &eüpôv] comp. . 13. 442750011; F; con. B.axonoFC. 1:11 nomes" F; con. Wallis. 15. poeçuxôowF; con.B0, ut lin. 17. fifi] 0m. F; com Wallis. peignera] seripsî:yuccas F, nulgo; page: V, alii, ut lin. 2l. son mon F; con.

ARENARIUS. 247quem terrain circumuolui supponit, ad sphaeram stel-lsrum fixarum eam habere rationem, quam habeatterra ad mundum, qui uulgo uocaturJ) nam damon-strationes phœnomenorum eiusmodi suppositioni ad-commodat, et maxime magnitudinem sphaerae, in que.terram moueri fingit, aequalem mundo, qui uulgo uoca-tut, supponere uidetur. dicimus igitur, etiamsi ex arena.tenta sphaera colligatur, quantam Aristarchus sphaeramstellarum fixarum esse supponat, sic quoque’demon-strari passe, quosdam eorum numerorum, qui in Prin-cipiis nominati sint, magnitudine superare numerummenue magnitudinem habentis tali sphaerae aequalem,

bis suppositis: .l. primum perimetrum terme 3000000 stadia longam

esse nec maiorem; quamquam quidam’), ut tu quoquenouisti, demonstrare conati sunt, eàm 300000 stadialongam esse. ego uero [hune numerum] excedens etmagnitudinem terme magnitudini a. prioribus propo-situe decies fere sumptae aequalem esse supponensperimetrum eius 3000000 fere stadia Iongam nec ma-iorem esse suppono.

1) Potins sententia. Aristarchi haec fuisse uidetur, distan.tian: stellarum tamtam esse, ut circulas, in quo terra. moueatur,cum sa comparatus puncti locum obtineat; efr. Arist. de di-stant. 2; Ptolemeeus «un. II, 5 p. 74. Cfr. Qusest. Arch.p. 202; Nizze p. 210-11.

2) Significatur Entosthenes; Bernhardy Eratosth. p. 57;Quaest. Archim. p. 202.

Wallis. rivoir] scri si; un F, nulgo. 16. 26 Riualtus;un F, nulgo. 18. au flets] scripsi; «abus F, u go. 19.dessalas; cum comp. aw F; con. Wallis. ôzâogacpevœv F;

con. ed. Basil. 20. pvecéômv] A? F; corr. Wallis.

248 111.4111111er.[161’907 1&9 7&9 nettoya sium: 1&g 6104151000 1âç iaslfivag, aux! 1&1: ôwîpuçov 1017 511.501: nettoya 511m:107g ôzape’mov 1&9 7&9, 611000); 1è (1151:3: 1.01141302va rots

911151161019 1451: nçote’pow (56190167010. (and: 6è 10131:1

5 1&1: 61021151001: 1015 duos: 162g 01111151901: 1&9 65112105

à; 1gmxowanlaaûx1: sium: and in; (affloua, aulne1151: 110015’9001: 020100167031: 10606601: (1&1: du; Mea-

zlaaiova 0211003010on00, (Dandin: 6è 1013 31110152101009à; [615] ôœdmaxlao’lav, 910101020100 0è 11511519001000

10 68111015510, 51L ë61l1: à ôLéynpog 1017 021.501: 1&9 du:-

ye’1pov 1&9 (labium; péléen: (A1: fi ôu1œuaaâmzladtm,

adam: 6è fi alxodanlaaa’mv. 43:05 6è énepfiauôwoçaux! 1017100, 51mg 10 1100115415001: àvapcpcldyœg fidé-ôszyps’vov, 1511011051101 1&1: 6161151001: 1013 ânon 10":;

15 610111151901: 101g aelfivag du; 1çaaxov1amlaatm: ahan: and10 (fi) nettoya. 11011: 6è 10151019 1&1: 61051151001: 1015 05111101:

pataud chu: 1&9 106 1111101746001: 111500629 1017 dg 101:14706101: 311511.01: ëyyoatpope’vov 1051: à: 1,6 116011.01.

101310 æ énonôe’puu ’401610îçxov 11h: 613971146109 1013

20 111531101: 1031: Cpôlfœæ: 101: 51:01: (pawâlœvov 05g 10 duo-

6101: and êmauodwno’v, «010g 6è 31116215100211.5009 161:6:

101: 1061101: émzçoîônv ôçyawunîg lafletv 1&1: 7mm,

et; :321: ô 52.10; évapuôçeb 10:1: 1100091611: 51006011: 11012

111g? 0’051. 10 1.4.11: 0151: 0214.4119 1.043er 01’»: 86st59 301:.

26.610: 10 ("in 1&1: 6’va min 1&5- xez’pag min 1d: ôpywa,

1. examen F; con. B. 2. celâmes B. 6. Evdoioç,discaux; F. un me; F, con. Wallis. 7. ÉvwsuzlaaovF; con. anis. 8. 21101571011003] ,.la.tet nomen l’atrium Phi-dise significansii Maduigius. 9. ahi] delet Wallis. 10. 105]addidi; 0m. F, nul o. 13. 11001111112001] Gertzius; 0110115405-101: F, uulgo. ampouldyœg] scri si; me: 110709 F, uulgo.14. 105 ému 15g Omnium] 0m. ; corr. allie. 16. 62-

ARENARIUS. 2492. deinde diametrum terme maiorem esse diametro

lunae, et diametrum solis maiorem diametro terme,rursus eadem sumens, quae plerique astrologorum911011110.

3. deinde diametrum solis aequalem esse diametro9unae tricies sumptae nec maiorem; quamquam exwtrologis prioribus Eudoxus eam diametro Iunae rio-1ies sumptae aequalem esse declarat, Phidias autemluodecies sumptae, Aristarchus autem demonstrare:onatus est, diametrum solis maiorem esse diametroanse duodeuicies sumpta, minorem uero eadem uiciesimmpta [Aristarchus de distant. prop. 9]. ego uero311m quoque excedens, ut propositum pro certo sitiemonstratum, suppono, diametrum solis aequalemasse lunae diametro tricies fere sumptae nec ma-orem.

4. praeterea autem diametrum salis maiorem esse 10atere figuras mille laterum circulo maxima mundinacriptae. hoc uero suppono, cum Aristarchus in-tenerit, solem pattern septingentesimam fere cireuli;odiaci esse adparere, ipse autem hoc modo scrutatuset instrumenta eum angulum deprehendere conatus11m, oui sol aptatur uerticem in oculo habenti.[sium quidam ipsum deprehendere difficile est, quia 11leque uisus neque menus neque instrumenta, quibus

rime B. 16. autor F; con. B. 19. sôqnuôroc] scripsi;wons F, nulgo. 20. 1151] 1m: r comp. F; corr.3. si: 31] scripsi cum Wallisio (à; 011:); à; du: F, nulgo.1mm: F; corr. B0. 24. 01511:3] scripsi; 011.01 cum comp. 01: F.101059] scripsi; (mufles F, u go. 10:3 cum comp. 171: uelvF, ut p. 250 lin. 1, 3, 5, 7.

250 11111111111112.61’ 051: 651’ 101135170, &E1ôz16101 511151: 10 021191613 0’110-

11 01110566011. 11592 6è 10151001: 15111 101T: 110196on 015x51711011901: 110111150511: 0111019 15 11011 111501:01:11; 1010151011:

17111566016111.0000. 021101915 65’ 1101 5g 1611: 02716651211: 101":

a 11901151115000 70106011: 1aflst0, 5119 56121: 01’: page": 1&9

y12001019, 519 021: ô 51109 506906:51 1011: 1109092611: 5101:-

6011: 11011 107 0’051, :1012 1101111: 611011: 70001011: 101135170,

6’119 é6121: 013:1 610211001: 1529 71001019, 519 0E1: ô 51109

12 40119116551 1011: 11090110311: 51006011: 11012 191 6’051. 1e-

10 85’01og 001: 1101119013 110106009 1’113 110’601 69001: à: 10’119:

1155115000, 5851: 151151151: 010011511511: ô 521109 69016601, .

11012 1101106900 111119017 109000050109 11011. 15050109 in! 0

101: 110106001 69000 51365009 115161 1&1: 0100110161: 1013

e l 9 I ’ N -U f61100,1511511 ëowog 010101: 11011 100 09120011 110:1 61:-15 0011154000 [1017] 01011131501560011 5115619011071 ô 11010001: si;

101: 011100, 11012 à 501g 1101156102017 601:1 10 0111901: 101i

111211:61:03. ô 6.1 11151106909 à: 115’691: 3151115003 100 15

0211500 1101?, 1&5 510109 59156116151 195 01119). 02110110946-

: .- , a x a N f .0:115009 01:1: [101: 1101106900] 01110 101g 010109, à: et 019501020 11019011120110.5006: 100 61100 11111901: 60’ 5110215901 1013

131101106900, 110115610161; ô 11151106909 si 11h: 0151: 61:1:-

I 1 3: 1 a 1- 1 , l , .-sfiawev 1011: 011m: 011p 51:09 601115100 61571510, 511651011:0110516021: 0111’ 5131901: 1017 1101060013, 31: qui 161191 à 501g

110115610261], 51110010006121: 1017 1101106900 à 11591510-25 115’001 70001501 15:10 1&1: 0116516011: 110166001: aux fig 1&9

00101019, 539 611: ô 51109 606906:51 1011: 11090113011: 510v-

1. 6H] scripsi; 6101 F, un] 0; 0m. ed. Basil., Biualtul,Wallis, Torellius. l 02516310105 scripsi, monente Hultschio;015101110101; F, uulgo. 5. 30110 015] seripsi; 51m F, 110130;in; mi Wallis, Torellius. 6. de] me F, uulgo; ë: B, Bi-ualtus, Wallis, Torellius. 7. 191] 0m. F; com Wallis. 8.de] a: F; com B (5g). 9. 200191:10:11 F; con. B, ut lin. 6.

ARENARIUS. 251utendum est, satis certa sunt ad uerum inuenien-lnm. de hie uero rebus hoc tempera nihil adtinet 11plnn’bus disputere, praesertim cum talia saepius illu-strata sint. sed mihi ad demonstrationem propositisatis est angulum deprehendere non maiorem angulo,mi sol aptatur uerticem in oculo habenti, et rursusalium angulum deprehendere non minorem angulo,sui sol aptatur uerticcm in oculo habenti. itague 12longs regula. in pede perpendiculari posita, qui in eius-modi loco collocatus crat, unde sol ariens conspici pos-zet, et cylindro paruo tometo et in regula, posito per-pendiculari statim post ortum solis, cum sol prope hori-zontem esset, et oculi ex aduerso cum intueri passent,regula aduersus solem conuersa. est, et oculus in extrema.regula positus est; cylindrus autem in medio solis et oculipositus soli officiebat. cylindrus igitur, qui ab oculo sen-!im remouebatur, ubi paululum solie in utraque parte:ylindri adparere coepit, inhibitus est. iam si oculus 13’e uera. ab une puncto prospectant, lineis ab extremaegula, quo loco oculus positus erat, cylindrum con-ingentibus ductis angulus lineis ita. duotis comprehensusninor esset angulo, oui sol aptatur uerticem in oculo

li] mon F; con. C. 10. nâôa] Gertzius; mulon F, uulgo.141011512. cum comp. un: F. 14. mon); F; corr. Wallis.Mayas cum comp. av F; corr. B. 16. roi] 0m. Wallis;55:06 B. 16. à 51ch] 0:1th F; con. RîuaItus. 18. omo-mozçopsv cum comp. oç F; ânozmçLtops’vov B, editores. egomuni tût-I martagon delere. 19. 017v] addidi; om. F, uulgFo.

ë Ëvdoguro Gertzius; à à? 20. une cum comp. ou ;on. Wallis. 21. 057] scripsî; open cum 00mg. me E, unlgo.

24. camoufleront F; corr. Riusltus. 25. ne] scnpsx; nel, unlgo; ab) Wallis. 26. de] au; F; con. B (le). nuq-âtnBF; corr. BC. 1029] tu F; com B0. noueur; F; com

Mil.

W252 mamans.6m; 10:2 ce? 5105;, 61.43: to xspzfllsze’oûm u 1:05 âh’ovàp’ éminça mû 301.5116901). final 6’ et 6112559 01’»: àtp’

Ëvôg capelet; piézowt, tillât aîné rwog (tarâmes,üoîtpôn n péysôog 61:90le01: 013x 51411101! 51mg,

5 and reôs’vtoç roi peya’ôeog 571:2 to 521901! :06 xavôvog,

à: 4,5 me à 6’ng unednîfln, àxfiswâv sôflaüv âm-

dmvovdâv toi) ce payâmes and roi: «1111126901: à «le:xsptsxops’ua 7m64: fait?) 1&1; &xôswâv élénœv à; ni;

raillas, dg 31: ô 51.1.03 êvappôçu "la: accomplit: En»10 6m! and a; 511m. r6 6è yéysfiog to 013x ËM’UO’V 1&5

(filaos ro’vôs du: 1:96am: sûçmxe’ma’ 6150 31121151169141

laufiave’zao lamât locanda àllélozg, 1:6 pût! me»,to 6è nô, and nommément; «çà tés ô’npcog, 1:6 "à; la»

nov épeurauôg âz’ (113159, to 0è 06 lamât: à; En":

15 êyyvtdzœ 1&9 5114053 (5615 and ôzyyévew 1017 x906-

aôarov. si ph! 015v aux tôt loupôs’wa vavôgta landtapa 5(0sz tais 3101.09, nsçalaufiavs’wa 152:6 mais 511m9rô 6’ng xvltvôçaov, and émirat. 151:6 at’mïç tô 1m60,

et pév au: «qui 1:01.23 1511761590: 5mn, zâv, si 66’ au!2o (A?) napel: 101.15, yéçsaî aux roi? 1m06 6905111051. 50’

15 éminça 1017 ëyyùg 1&9 311’409. lapôa’wmv 6è 7151155

145v xvlwôçc’œv Émmôelfm nous 195 mixa émanai16 315901! «151051: up" 515’999 aux! 01’; «islam 7621:9. r6

61) talmoôtov pëysôog, Minou 156d zô mixas 1.151!25 uvlwôçtmv n51: 1015m noaoüwaw pénard mais 36m

013:: flattai: 1&9 ô’xbzog. à 6è 7min; à 013x flânant1&9 7mm’ag, dg 52v ô 55111.05; êvaçpôçaz. du: 3;on

l. nagufllsns’ofiat Gertzius. 2. «3mm; «mucor F; con-.Wallis-4. 54:10;] «la; F; corr. Wallis; fi 01mg A, Riualtus; fi à huiG ’us. 6. touron; toi Gertzius. 6. aphteux soûtra F; con.Wallis. sanpavovamox-LWallis. 9 et; uLcF;corr.B(36);liuflIOÉ’r] F; con. BD. aloyau: F; con. izzius. 12. 10

ARENARIUS. 253mbenti, quia ex utraque parte cylindri pars salis con-;piciebatur. sed quoniam oculi ab une puncto nonprospectant, sed a magnitudine quadam, magnitudinemluandam rotundam oculo non minorera sumpsi, etnagnitudine in extrema regula posita, quo loco ocu-us positus erat, lineis et magnitudinem et cylindmm:ontingentibus ductis, angulus lineis ita ductis com-)rehensus minor erat angulo, cui sol aptatur uerticemn oculo habenti. magnitude autem oculo non minor 1410e modo inuenitur. sumuntur duo cylindri tenuesæadem crassitudine, alter albus, alter uero non, etLute oculum ponuntur, ita ut albus ab eo aliquantumibsit, qui autem albus non est, oculo quem proximuslit, ita ut etiam contingat faciem. si igitur cylindri,luos sumpsimus, oculo tenuiores sunt, cylindrus pro-)ior ab oculo comprehenditur, et albus ab eo conspi-fitur, si multo tenuiores sont, totus, si minus, partesluaedam albi ex utraque parte cylindri oculo propiorisronspiciuntur. his autem cylindris crassitudine aptis 15mmptis alter alteri officit, nec maiori spatio. eius-nodi igitur magnitudo, qualis est crassitudo cylindraun: sic se habentium, baud dubie oculo minor nonet. angulus uero non minor angulo, cui sol aptatur

nés] tu par F; cou. B0. 13. 1:96] «pas pet camp. F; com3. 14. 059] cg F; con. C; 5mn Nizzins. 15. www cumlump. 7p! uel w F. 16. au] addidi; om. F, uulgo. 1mm-ma F; con. Wallis. 19. m’y] un F; corr. Wallis. leuco-mon F; corr. Wallis. sont F; corr. Wallis. 21. roi:W153] rac (comp.) 2171:: F; con. B. 22. nulLvôoœv F; cou.

lis, ut lin. 25. susnaôtôv F; corr. Wallis. émanant]5’; ratinai cum Gertzio mutata interpnnctione; Ënwuonîv C,Wallis, Torellius. 26. à ov’u] scripsi; à 0m. F, uulgo. 27..de] au; F; com B (ée).

254 amarras.81mm; nazi 1:97 54m, cônes blini)". àuoozaâe’woç31:2 r06 tuyautai; roi uvltvôoou aïno 1:59 511’503 05mg

à; immoral? du; milwôpov 5190 193 0211590 aux! dzêta-oâv 515081.51! àn’ 599901; 1:05 mvdvog, à: q; 1:67:92 à

5 dans maorémg, ëmvpavovo’âv 1:05 vavôQov, à zepp-

szopâm yourte: 151:6 1&1: àzôswâv 56851.51: 013x flét-

mw ypréau zig roulants, dg 49v ô 52.1.09 êvappôëu16 1&1: nommât: 510116011! mort tqî 511m. rat; (la) 7mm;

ruts 0171m9 laqyûsloatg natapezçnôez’dag 698-53 y’œm’aç

10 Ëys’veto à à! 1:95 6175790 ômzpsôetfiag 1&3 6905:3 si; oâô’

ëldzrmv 17 13v M909 10610311, à 6è élohim: mammal-o’ag 1&9 690623 et; o” mitan! fi Su M909 101510111. Mr

10v 015v, 51:1. ml à glanda, si; 6511 ô 3h03 évacuâtesdu: zopmpàv 51011001: 21:01:). a; 54m, flétan: (n’y ëouv

15 il ôtmpaôsloag 1&9 6980?; ais pEô’ mûron! à: pipas,

mon 0è fi ôaaaçsûeto’ag 1&9 690459 dg 6’ mm17 à! Mecs. nemorwys’uœv 6è mon"; ôszxônaémz and

à depstçog roi 5:11.600 neiger]: 50’560: mis 1:05 pha-yœ’vov ulwçâg 105 dg 1012 pépions: 211534011 dyna-

20 qaops’vov n51: à) 195 166Mo. welche) 7&9 âzlzeôovéxflefilnpe’vov ôté ce 1:06 us’wçov 105 021.501) and 1:05

xæ’wçov 1:53 guis and ôtât mais 31111.09, m1901: inde rôti

épitome: 5611109 1:01) ânon ramifia) 6è 1:6 ëufllnfièv

ëzûzadw tôv ph! nounou nard 101; ABI’ miniov, 1&1!

25 (il; 7&1; acare? 10v AEZ, 16v 0è 3h01: and rôv Z

2. lut] une F; com D. 3. 6;] 506 Wallis, Torellius.sampan-nu F; com cd. Basil. 5. suivismes cum camp.F; con. Wallis. 7. de] me F; con. B (le). intranet?) Fcon. B. 10. 1:93] addidi; 0m. F, unlgo; à ph pattus W ’Nizzins. 11. âzacoaûewu tout 090m (on per comp. bis) F:com cd. Basil. 13. etc] ou; F; com B (59). 17h06 Fcon. C. note on F; con. A3. 15. 2&9 doflüc] 0m. F;con. AB. et; se F; corr. ABC. En: péons] 0m. F; com

ARENARIUS. 255lerticem in oculo habenti, hoc moda sumptus est. cy-indro in regula ita ab oculo remoto, ut soli tati of-iciat, et lineis ab extrema regula, qua loco oculusmsitus erat, cylindrum contingentibus ductis, angulusineis ita ductis comprehensus non minor est angulo,:ui s01 aptatur uerticem in oculo habenti. itaque 16mm angulis ita deprehensis angulum rectum metirer,mgulus ad punctum positusl) minar erat una parte,’ecto angulo in partes 164 diuiso, minar uero angulusnaior una parte, recto angulo in partes 200 diuiso.dparet igitur, etiam angulum, cui sol aptatur ner-icem in oculo habenti, minorem esse una parte, an-;ulo recto in partes 164 diuiso, maiorem uero unatarte, recto angulo in partes 200 diuiso. bis autem 17onfirmatis demonstrabimus, diametrum salis maioremses latere figurae mille laterum circula maxima mundinacriptae. fingatur enim plenum pet centra salis eterrae et per oculum positum, cum sol paullo supralorizontem est. et planum ita positum mundum inirculo ABI’ secet, terram autem in circula AEZ,olem autem in circula 2H. et terrae centrum sit 6),

1) H. e. angulus, cuîus uertex est punctum illnd in ex-tema regula positum (lin. 4), cum uertex anguli minoris (lin. 11)xtra regulum cadat propter cylindras illos, in ea inueniendasurpatos. Quaest. Arcb. p. 204.

d. Basil. Deinde in F VCD repetuntur uerba: à 8è Èlnittœvn. 11 -îv pige; lin. 15, ita ut plerique encres corriganturmb. nie 6004i; lin. 15; 30 (deo; lin. 15; 62’th lin. 13; proà b lin. 13: a un; pro se lin. 16: ne). 17. aminci-raz]Ripsi; ôL’ on F, uulga; azimuta; Wallis, Torellius. 18.impanation F; corr. B. 20. :1511] un! F; corr. Wallis. 2l.si «un au! 1:05 xénon-v] addidi; 0m. F, nulgo; post 10?;n. 22 in B additur: aux). un? ânon, et sic Wallis et Torellius.3. 5361178850] scripsi cum Wallisio; nfisfllnôsv F, nulgo.

256 îPAMMITKE.Mimi. ue’wpov ôà 561:0) 1&9 ph: 7&9 rô 0, zoé 6è051.501) zô K, 51m; ôë fait» rô A. ml 5518106410 5130m4

àmpavozîdac 1017 2H minima, (i116 ph: 1:05 A ou? 4A,Aï ëmapavôwœv 6è mû 16 N and 16 T’ 02m3 ü

5 toi) Ü ai 8M, 00’ êmzpavôwmv 6è muât t6 X and

zô P. 16v 6è ABF xôxlov repvôwœv al 0M, 9018 mât rô A aux). rô B. fan ôù (Laiton!) à 0K 1&9 AX,

final baroudiez; ô 51.1.09 6129 rôt: ôçitovm chair (5mà 7mm: à zapcsxops’va 15m3 1&1: 4111, JE peigœvlëaû

10 mais yawlag 1&9 neçzszope’vag 13m3 1&1! 3M, 30. à 6è»

aragzezopa’va yœvûx 131:6 tâv 1111, AXE Mitan! yéti 56ml

fi ôLauodzodzôv p.590; 6985:9, êlcînœv 6è fi r59 6905;;

3. A] 0m. F; corr. AB. 4. smapuvawtmv F, ut lin. 5.

ARENARIUS. 257salis autem K, oculus autan] ait A. et ducantur li-neae circulum 2H contingentes, a puncto A lineae1M, AS, quae in punctis N, T contingant, a 0 autempuncto 9M, 00, quae in punctis X, P contingant.et linette 0M, (90 circulum ABF in punctis A, Baccent. iam est (9K e 4K, quia suppositum est, so- 18lem super horizontem esse.1) quare angulus lineiszizi, JE comprehensus maîor est angulo lineis Q.M,60 comprehensus.’) sed angulus comprehensus lineis

A11, JE maior est quam pars ducentesima angulirecti, minor autem uns. parte angulo recto in partes

l) [taque LQAK obtusus est (si enim sol in horizontemet, rectus eeeet, quia horizon inuenitur fines. in puncto A adne perpendiculari erecta).

2) H. e. LAAEe M00 ex Euclid. cpt. 24.

5.1 et P permutai; Torellius. 6. 9M] 8H F; corr. ed. Ba.-sll. 7. 9K 0K F; con. ed. Baail. 9. rob] un par camp.F; con. W3] à. 10. un per comp. F; com BC. ON F;con. ed. Basil. 11. mm pet comp. F; corr. Wallis. Figu-nm 0m. F lacune. reflets.

Archimedu, cd. Hoiberg. Il. l7

258 wAmm’mz.(numérations sis pëô’ ratinai; Su négros. Ida 7&9 (361L

a; yowtç, si; (à; ô 511.409 Évaçuôça du; noçvtpàv

flouant) and a? 511151.. (5615 à yœw’a à nouveau:131:6 du 9M, GO élohim! écula; fi tâg 690629 6m95-

b 9556415 et; çëô’ tov’mw 812 41.5909, à 6è À B 5605m

üârtœv Étui ni; énonwoüaag à) quipo: d’empaôu’auç

19 ni; 105 ABI’ 3463411011 nepupepu’ag ès zvg’. à 6è :015

stçnue’vov nolvyœw’ov maman; nazi du: à: toi;ue’wpov 105 ABF 11511101) ëMztova 1.6701: En, fi tà

10 uô’ 11012 1:2: Ç’, ôLà 16 «4111169 «01.0707115012 ëwsygap-

51.531011 à: x6119) tàv «59554519011 azor! 1&1: à: 1015 m’y-

tçov ëldttova 2.67011 515w, fi rôt m)" azor), tà Ç’. Ém-

onîdm 7&9 ôsôuwæ’vov 13(p’ émiai, (in nawôg www

à usçzwépem autan) 3617111 fi tmeIadlœ’v mis ôzapa’rçov

15 3.1422660114. fi ëflôâpço MËQGL. tonkas 6è üa’nm 56th;

à neptperpogkoü êyyçmps’wog 10107100115012. éloinova

015v 167011 5151 à Bd azor), tàv ÜK, fi rôt m’ ami1:6: lagpn’. (5ms Élohim; 6’6th à B A 1&9 ÜK fi âm-

201061611 545’909. a; 6è BA l’au 36111! à ôzdpsrpog roi)

20 2H 11331011, ôaôu ml à fignoleur aimais à (15A inëdtl mg? K P. 366211 7&9 300651! du ÊK, 0A ànô r61!repérant: xaôa’toc éneçevyye’vm :5er 15m3 du: aôtàv

yawlow. 6171011 015v, 5a à duipsrpog mû 22H ZMOUélohim; ëdtlv fi 576005061611 pépog 1&9 ÛK. m2 à

25 EÜT ôzépstçog élohim; étui 1&9 ômps’tgov tu") 2H

31610.01), étal éloinaw ému ô 4E2 Minos r05 27Huüulov. üurrôveg 6590: èvzl &pqæon’çm ou" QT, K2

1. in: 7&9] mm! (comp.) 74»me F; corr. Wallis. 2. :39]me F; corr. B (fig). 7. ABN F; con. AC. 9. un; ABFminima ad 51. 1:06 flingot: lin. 11 repetuntnr in F; toi ARToui-Mou ex unxjt manne 1, ut uidetur. 12. au F; con"; B-15. rouira; scnpsi; rac F, nulgo; 0m. Riualtus, Torellius; mon

ARENARIUS. 259.64 diuiso. nam aequalis est angula, cuî sol aptaturlerticem in oculo habenti. quare angulus lineis (9M,90 comprehensus minor est une parte recta angulon partes 164 diuiso, et linea AB minor est linea sub11mm partem subtendenti, ambitu circuli ABF in par-es 656 diuiso. sed perimetrus palygoni illius ad ra- 19dam circuli ABF minorem rationem habet, quam4:7, quia perimetrus cuiusuis polygoni circula inscriptid radium minorem rationem habet, quem 44: 7. no-jsti enim a. nabis demonstratum esse, cuiusuis circulimbitum maiorem esse quam tripla majorem dia-1etro spatio minore, quem est septime pars [diametri]KM. péta. 3]. eo autem minor est perîmetrus poly-eoni inscripti [anal ou). nul nul. I p. 10, 23]. quareIA:0K( 11 :1148. itaque B11 (fin; âK. sed lineae 20L4 aequalis est diametrus circuli 2H, quia

t du! z «1B1! -- K P;am cum est QK : 0A, ab terminis earum perpen-iculares ductae sunt [lineae (15A, K P], ita ut sub eun-em angulum subtendantl) adparet igitur, diametrumirculi 2H minorem esse quem fin; ÜK. et diametrusÎÛT minor est diametro circuli 2H, quoniam circu-lsAEZ minor est circula 2H [hypoth. 2]. itaque

1)H. e. A 9A0 E GKP; Encl. I, 26.

’allis. élément: Gals ad nolvyœvtov lin. 16 addidi; 0m. F,flgo. 16. alunas relicta lacune quinque litterarum F; corr.maltes. 17. à] 17 a F; carr. B. 20. 2H] EH F; carr.l. Basil. 21. 9A] scripsi; tu 8A F, nulga. 22. moniteurA Gertzius. Ëusçwyuévm lut] scripsi; emCsvyvvpevm F,1130. 23. 27H] .431" F; corr. B manu 2. 25. Guigna-0S]1œvm F; 001T. Riualtus, B mg. EH] ABH F; cart.manu 2. 26. 2H] EH F; corr. B.

17*

260 summum.fi êmzzodzôv népog zig 9K. 45st à OK nazi zàvT2 flânant: 1.67011 516L, fi zà 9’ nazi zà (28’. nui

énei à (Liv 0K peignai: ëazi zâg 8P, à ôi 2T Éloh-

zaw züg 4T, flâna) 59a uni 16701: au à 0P nazigain AT, a] zà 9’ nazi zà (23’. ânei ôi zaîv OKP,

AK T ôpôoyœvlaw 36mm: ai pin KP, K T nlavpaitout. ëvzi, ni ôi 9P, 4T évidai, uni 545mm; à 0P,à yœvta à nepcexoys’vn 137:6 «in 4T, AK nazi ziwynwiow zàv nsçzszopévœv 15m3 zâv 6P, 0K mimi:

10 nia! 5151. 1.67011, a] à 9K nori zàv 4K, flâna) 65,1]à OP nazi zàv 4T. et 70h) un 601511 zgzyoîvœv 69’30-

7mm’nw ont pin âze’pal. nlavpni ai Moi zoiv 6980211 7m-

vtav tout. 501m, ont ôà âze’pat évidai, à peignant 7min]

zain nazi zut; oivlaozg nuançais nazi zain élézzova15 nettoya pin au layon, fi à peignai: yaanyà zain inti

zàv 6986:1; yaom’ow ônozswovdâv nazi zôw ëÂoîzzova,’

élézzovu 65’, fi à petçaw ypuppà zain mai zàv 69843121

22700M411: nazi zain éloizzova. «fins à ynwùx à zwanze-;Ls’vn ônô zâv 411, JE nazi zàv yawlav zàv n59»-

20 exonérai! fini) züv 00, 8M flâna: 1.67011 ëxu, fiaiQP nazi zàv A T, 5?ng flâna) 1.67m: fixez, fi toi 9’nazi zù (10’. «Seize mi à granula à nagiezoue’va 151i)

zâv 411, JE nazi zain yawz’ow zôw nspcszaus’wv 15116zâv 81W, 690 üoîzzœ layon 515L 2] zù 9’ nazi zà G193

25 uni âne! ëdzw à yawla à nspzexope’vn 157:6 zâv Ali,

JE neige": fi ôtanoéioazôv p.690; 690569, sin nué

1. zâç] zou par camp. F; corr. Riualtus (in). 3. OKpeigne] scripsi; OKV 2111110011 F, uulgo; 9K «in flânaiWallis, Torellius (nôs ium A). 4. 51m FB. a. tés] tuF; con. B0. final] am F; cart. Wallis. nié] addidi; ontF, uulgo. 6. A]! T zazyaivœv ad. Basil., cett.; probat Gamins-7. 9P, à] OPA F; 001T. Wallis. 8. yawls: à] à addidi; om-

ARENARIUS. 26 1QT -I- K2 ( ThGK.

[une 0K: T2 ( 100 : 99. et quoniam 0K m 0P etËT( 4T1), erit igitur etiam 8P: AT (.100 : 99. et 21[naniam in triangulis rectangulis 0K1), AK T latere.(P, K T aequalia sunt, latere. autem (9P, A T in-equalia, et ÛPm 4T2), angulus lineis A T, A K com-uehensus ad angulum lineis 0P, (9K comprehensumnaiorem rationem habet, quem 0K : 4K, minorem.utem, quem 0P: AT. nam si in duobus triangulisectangulis duo laterum rectum angulum comprehen-lentium aequaiia sunt, duo inaequalia, maior angu-omm ad latere. inaequalia positorum ad minaremnaiorem rationem habet, quem maior linea enrum,[use sub angulum rectum subtendunt, ad minorem,ninorem autem quem maior linearum angulum rectumzomprehendentium ad minorem.’) quare 22J45: 09M( (9P: AT; sed 0P: AT( 100 :99.[une etiam erit L A431: 00M( 100 : 99. et qua-liam est L AAEm 7,43512, erit etiam

L OGM m 139095512.

1) Quia. 2 T omnium linearum duo puncta circularum dEZ,5H inn entium minima. est; Nizze p. 214 not. p.

2) nia 9K ) 41K; nam arum anguli lineis contingenti-ms comprehensi ea majora. sunt, quo longius uertex angnli aentrotcuculi abest.. 3) Demonstmtionem huius propositionis geometricam de-ht Commandinus fol. 62 (Qnaest. Arch. p. 204-5), trigono-nehicsm Nizze p. 214 not. y.

i, nnlgo. zée] zow par com . F; con. VD. 9. zée] fait!et coup. F; con. Wallis, ut in. 19, 20, 25, . 262, 1. 15.in] tu F; con. B. 16. vnozewovm F; corr. allie. and]Œ- F; com B. 20. 90 Ou F; con. Wallis. 23. zâvM per camp. F; com VA , ut lin. 24. monnayeur F.:6. un aux] 1; une: F; con. B; lusins Wailis, Torelhus.

262 emmuras.yawla à nagiezope’vn inti; «in 0M, 90 (laiton; fi zâç69059 ôzazpeôstang à; ôwmîpm zozîzaw Q8" peaux.«Seize necton: édziv fi ôwzpsâelaag zâç 6905:9 et; 6’

uni 7’ zozîzaw à! pipas. à 59a Bd pecten; ëazi zigb Ônozswoüaaç En quina ôzypnnévng zâç zaü A31" mî-

uÂov napupspetng sis aufl’. zqî 6è A B [on ëvzi à un)151.500 ôwipazpog. ôfiiov 015v, ("in neiger» édziv à zoôaillai) ôzépezpog zâç 1:06 142405761201; nlevpâg.

1 Il. Taôzœv’ ôi buanupa’vœv ôsmvüzni nui zéôr

10 5m. à 61.0244959013 1:05 nounou zâg ôtape’zgov zig 7&5ëiézzmv édziv fi pvpLonÂozaL’mv, mi êta 5m. à âiàmpoç

zoü nounou guindez: 5’6in a] dzœôlœv. guanines puma?-

ôeg 9’. ânei 7&9 énonslzaz zôw (inhumai! zoé àliov

(a) peigna ainsi; fi zgianovzunlnoéovn zâg diaps’zaovlb zâg dehfivocg, zàv 6è ôiéyezpov 1:59 7&9 4552501241 aigu:

zâg ôtapa’zgov zig «Miras, ôfilov, 05g à ôm’pszpoç

zaô cillai) êlézzaw êaziv fi zpzauovzœnladz’ow zig ôta-

(Lc’zpov zà’g yâg. milan 6è entai 5’85sz à 640255590; fi

zoô âÂL’ov Mafia"! 50666: zâç zoü phayoiixov nlsvpüg

20 zoô dg zou (Le’wazov 16x101; éyypnœapa’vov zaôv à!

1:95 3:66pm, manager, 5m â.zoü lezayaîvov negz’pszgogzoô stomie’vov ëÂdzzmv Ëaziv ü zLÂLonlam’dv zâg âm-

ue’zgov 1:05 âMov. à 6è ôzépezpog zoü (ilion üoîzznw

ëoziv fi zpmxovznnlaalmv zâg ôzape’zpov zâg yâg.25 «561:5 à neai’pezaog zoû lezuyoâvov êloizzœv ëoziv fi

2 zpwpvaionlam’mv zâç ôiune’zpov zâç guis. ënsi 06v

à nepinszpog zoû leznyaivov züç pin ôzœys’zpov zig

1. à] am. F. 2. page; F; corr. Wellis. 4. à in 8.4]scripsi; «ou a BA F, uulgo. 6. dg] ou; F; cart. B (te).zqî] un: F; corr. BVAD. 10. 3m] scripsi; am F, m1180.11. sa) addidi; 0m. F, nulgo. 12. "vous cum camp. ne F.14. ne tout] un: cum camp. un F; cart. B. zpuïuovzunlam

ARENARIUS 263quai-e LOÛM m figïRJ) quere linea Bd meior estlinea sub unam pertem subtendenti, embitu circuli ABI’

in pertes 812 diuiso. sed lineee A8 eequalis est die-metrus salis?) adperet igiturs), diametrum salis maïo-rem esse latere figuree mille laterum.

Il. His autem suppositis haec quoque demonstreripossunt: diametrum mundi minorem esse diemetro ter-rae decies millies sumpte, et praeteree, diametrummundi minus quem 10000000000 stadia longam esse.nam quoniem suppositum est, diametrum salis nonmeiorem esse quem diametrum lunae tricies sumptem[hypoth. 3], et diametrum terrae maiorem esse die-metro lunae [hypoth. 2], edparet, diametrum salis mi-norem esse quem diametrum terrae tricies sumptam.rursus eutem quoniem demonstratum est, diametrumsalis meiorem esse latere figurae mille leterum circulamaxima mundi inscriptee, menifestum est, perimetrumfiguree illius mille laterum minorem esse diametrosolis millies sumpte. diemetrus autem salis minor estquem diemetrus terrae tricies sumpta. quere perimetrusfiguree mille laterum minor est diemetro terrae triciesmillies sumpta. iam quoniem perimetrus figurae millelaterum minor est diemetro terrae ’tricies millies

1) Nam 99 m T3,, x 20000.2) H. e. diemetrus circuli EH; u..p. 258, 19.3) Quie latere palyganorum inscriptorum, quo plate, eo

1

minore sunt; iteque letus figuree 812 leterum, quad minus est llime AB, mains est latere figurne mille laterum.

cum camp. on: F; carr. B. 15. asln’vag] elw cum camp. acF, 0d].3 Besil., ut lin. 16. nettoya] un; cum camp. me F;

con. . I

264 www.yig éloizzœn éozin 1] zazapvpzanlaai’œn, zig 635 ôta-

nëzpov zoü néanon neige"; fi zpznlaatmn’ ôaôeixzai

nia zoz, (Min nanzôg minou à ôidpszpog suivrez!âazin. fi zatzon (48’004; nanzôg nolvymntov zig negu- .

5 (LÉIEQOU, 5 un iaônlevpon uni nolnyœnôzepon toi:êanoinon ëyyeyaapue’non in zçî nünlcp’ du un i ôté-

pszpog zoô «rideau élizzœn fi unaLonlaaûnn zig 6m-

pézpon zig yig. i Min min ôzinezpog zoô naseauâiizznw émiai fi pnpzonladz’œn zig ôtans’zpon zig yiç

10 ôeôei’nzai. 5m 6è êlizzaw êdzin à ôtipczpog zoü3:66pm) fi dzuôi’œn pvçidmg numides 9’, à: zatizov

3 ôfilon. ênei 7&9 chancirai zàn negz’pszpon zig 7&9ln] nattant: d’un fi zpmnoaz’ag (wading azaôlaw, à

6è maliennes zig yig neiëœn édzin fi minium; zig15 ôtape’zpov Oui zô nanzôg miniov zàn nepupépuan est

Cana Juan fi sznÂnm’anu zig impézpov, ôfiion, à;à ôidpezpog zig yig êiizzmn êdzin fi azaôz’œn 9’ uv-

pwîôeg. énei alain i zoü 2:6on ôiéuszpog élizzmv

èazin fi pvpLonlndi’mn zig ômpa’zgan zig yig, ôfilov,20 03g i me? natrum; ôwîpæzpog ëiizzœn édzin fi azaôz’ew

4 engaina; (21194422659 9’. nsgi (Lin min zain 41.575050"!nui zain inoazmwîzœn znôzn ônozofis’paz, nepi ôi zoô

d’oignon znîôs’ si na a duynstpenan Mysôog à; zoô

nippon in) miton ninœnog, zôn igiôuôn mimi: et25 (tsigane; sium; punition, ami zain (inhumai; zig pinaillas

ne) éloizzona Juan fi zszpmnodzopôpwn ômmilav. tina-

5. 5 na] ô mu F; corr. Wellis. à] eddidi; 0m. F, qugo.latinlsvaon] scripsi; sur o 50 niangon (on per comp.) son F,uulgo; laonlwaon 569 Wellis, Torellius. nolvyœrizsçw]scripsi; nolnymnov on (per camp.) F, nulgo; nolnymnnizsooiWellis, Torellius. 6. syysyaunnevov F; carr. Wellis. intu? 2152193] scripsi; par zou unulov F, 1111130; pin qu miels:

ARENARIUS. 265sumpte, meior autem quem tripla maior diametromundi (nain demonstratum est, cuiusuis circuli dia.-metrum minorem esse tertia. perte perimetri cuiusuispolygoni circula inscripti, quad aequileterum sit etplus quem sex latere hebeet)1), diametrus mundi minorerit diametro terrae decies millies sumpte. itequedemanstretum est, diametrum mundi minorem essedismetro terrae decies millies sumpte. diametrumeutem mundi minus quem stadia 1000000000010ngamesse, inde adperet. nam quoniem suppositum est, peri-metrum terrae non plus quem 3000000 stadia longamesse [hypath. 4], et perimetrus terrae meior est quemtripla meior diametro, quia cuiusuis circuli ambitusmaior est quem tripla meior diametro mua. une. 3],adperet, diametrum terrae minus quem 1000000 ste-din longem esse. iem quoniem diemetrus mundi minorest diametro terrae decies millies sumpte, adparet, dia-metrum mundi minus quem 10000000000 stadia Iangemesse. de megnitudinibus igitur et distentiis haec sup-pono, de erena eutem haecce: si ex arena magnitudocolligetur non maior semine papeueris, numerum are-nae non meiorem esse quem 10000, et diametrum se-minis pepaueris non minorem esse quedragesima parte

1) Nem perimetrus hexagoni tripla meiar est diemetro (Eucl.1V. mignon), et quo plure sunt latere, eo maiores sunt peri-me

Wellis, Torellius. 9. zig yâg ad distança;- lin. 10 suppleui;qui. F, nulgo. 12. 1min] zen pei- camp. FD, ed. Besil. 13.a] sans (comp.) â F; corr. Wellis. 14. fi] am. F; cart. AB.16.101.11.126". cum camp. ont F; con. B. 21. ("miam cumcomp. 77g F. pin ("in zain] eddidi; am. F, uulgo. 24. est;Cor] au; cum camp. un F; corr. B. 26. zezpœuaazonôoion]Ahrens cum V manu 2; zezaœxonzopooion F, uulgo.

3

266 lI’AMMITHE.zzôs’pm de zoôzo ênzdnszpaîpanog zanis zôn zaônontéza’ôan êni nnndna leton punainsg ën’ stiôsz’ng ëni pian

amena". inzops’naz illnlin, nazi inalifian ai ns’ an-uoinsg nÂe’ona zonai; ôanznima’ov niueog. ëÂizzona min

5 whig zin (niangon zig pizzerias ônozzôs’unz 05g za-zpmnoazondgion chien damüÂon nazi ln] êlizzona, fion-Âônsnog nazi duit zoôzaw inanmzloyuizaza ôumniaâaz

zô nponslpsnon.1 Il]. "A pin min ônoziôs’nai, znôza. zofiazpon de

10 d’un inraÂacpflalnm zàn nazonônaëw zain clampais! én-

ôzipsn, dnœg nui zain imam; ai n); m6159) un] nept-zszsvxazsg zç5 nazi Zedëannon ysyoamie’nço in) nla- inainzm ôLà zô andin chien finie adzig ên zoïde zgi

2 [3431.1593 nacaignye’non. confiai’nu in) zà (inégaux zain

15 ioiônaîn 3g zô pin zaEn pnpz’aw dnipxsw ipïn naga-ôeôops’nac, nazi Üflèç zô za5n unoz’œn [gain] inozpsdnzœg a

ëyyiynaidnopeg pvgzâôcon ioiônôn Âsyônzeg En: nazi

zig nuptial; pouding. 56min min inti) a? pin n61! q63977515201. ipaôuoi ëg zig nnoiag pwpwîôazg nouizm

20 naÂovue’noz. zain ai nonizœn (ÎQLÛ’MÔ’U ai engin; p.0- .

occideg ponig 301165600) ôsnzëown iozôpain, nazi ligot)- iusloômn zain ôsnzs’ocon poniôeg nazi (En zin noniôawdsniôsg nazi ênazonzaîôsg ami placides nazi numides s’y

zig avoiag pwpwîôacg. milan 6è nui il (matou unai-

3. üllalœv F; corr. C. 4. 6111;an et F. orin] eddidi;.om. F, uulgo. ’ 7. inanleoyaizuza] scripsi; avanmzloyœzazoz .F; nulgo. 10. «Mn cum camp. on F. 11. neçzzszsuzôzss] lnsaizennz’ à; F; corr. Nizze. 12. zqî] zo F; con. Wellîs.14. newtoniennes F; cart. Riueltus. 15. zô] za F; cart. Wel- 1i . pin] corruptum? 16. zô] addidi; 0m. F, nulgo.

ne] delco. abria zain patinons: ânozpsdnzmg Gertzius. l7-Éyyaynaâauopsg] scripsi; syiynmauopsn F, nulgo; yzyvaâaxaptcGertzius. gaze nazi] scripsi; et; zotg nazi F, nulgo; fig Wel-

ARENARIUS. 267digiti. hoc autem suppono re hoc modo examinata:in regula laeui semina papaueris in eadem linea. rectaposita sunt, ita ut inter se tangerent, et uiginti quin-que semina spatium mains longitudine digitali ex-pleuerunt. diametrum igitur seminis papaueris mino-rem ponens eam quadragesimam fere pattern digitinec minorem esse suppono, propositum etiam, quodad banc rem pertinet, quam certissime demonstraricupiensfi)

III. Haec sunt igitur, quae suppono. utile autemesse existimo, denominationem numerorum expOni, utceterorum quoque qui in librum ad Zeuxippum mis-snm non incidemnt, ne haereant, quod nihil de en hocin libre dictum ait. accidit igitur, ut nomina numerorumad 10000 nobis tradita sint, et super 10000 satis eaintellegimus myriades numerantes usque ad 100000000.hi igitur numeri usque ad 100000000 primi uocentur.sed decem millia myriadum primorum numerorumunitas uocetur secundorum numerorum, et numerentursecundorum numerorum unitates et ex unitatibus de-cades et hecatontades et chiliades et myriades ad de-cem millia myriadum. rursus autem etiam decem

1) Cfr. KâAtner: Gesch. d. Mathem. II p. 746.

lis, Torellius. 18. paginas] 0m. F; corr. Wallis. Écran]l ; and) F, ougo. 19. tu avatar avoua) cum comp. on

F; con. Wallis. 2l. douma-13v] 0m. F; con. Wallia.Éçwuatoômv] scripsi; (2903 un F, nulgo. 22. ôsvzéçœv dom.-guiv Wallia, Torellius. Il; 1&7] scripsi; factor If, unlgo; aidab n51 B, 011:6 du: Wallis, Torellius. 23. 39 tac] coton F;ærr. Wallis. 24. (me; (cum comp. au) avçtudaw F; com

allia.

1

2

268 10mm.aidas 16v 6501590011 docôpôv (10116:9 acclamât» 10mm:

45000154511, au), 01948051600012 r61: talion! 020400451; p.0-voîdsg and dard 7&7 11.0110260011 ôsuoîôsg aux! êuarowdôsç

and 1411.0265; aux! uvpcéôeg à; rôts pvçz’ag uvpcoîôag.

ë :011 «:6101; 6è mézail un! 105v velum: àpzôpaîv 0.09m

10

4

15

20

25

uvptâôsg amuît; ualslaôœ ranima-w 02908110511, ml a60’151! ranimant âpafipoîv palpita pvgcéôeg (10118:9 xa-

Âu’dôœ népmœv éçmpa’w, aux! dei 0171m9 «acculâmes

a! âpmuol rôt 61160010: ëzo’v-mw ég- zàg m’emmer-

pvçzodroîv àpufipoîv avalas pupwîôag. ânozps’OWL ph!

01512 nul 37;! roaoôrov a! àçtfipol yzyvœauops’voz. 5554m

6è ml fait aléa» agodysw. Écran: 7&0 on? 54h: vin!etpqpe’voz 02003001 «géras «501.6600 xalovue’voz, ô dt

Studios àpvflpàg qui; amuïras aupw’ôov and; muffin

damions 115046600 «enfuma 0204000511. mil"; 6è un!a! avoina. 440040265; 162; devte’oag zsçaôôov «potiron!

demain: ponds unisc’o’ôæ 162g devraient; zepbdôov dav-

n’pow «501.8140511. 651,0wa 6è and 101km! ô falunes

ponds uaÂdefim 6501:5qu neçbâdov mitan; (501.0414512,ml ciel 051m); 05 0291.0003 nooayôvteg ut 606mm! Élév-

zaw 1&9 devrions 15046601; .439 tôt; yvpzaaudpvçwazôv

aimantât! (motus pvpLoÉôag. mil"; dt un! ô faluns029419009 râg 650159059 nsçcôôov povàg xaÂec’aôœ agiras

zeçzôôov 1906150311 âgaôpaîv, aux). de! 051m9 ngoœyôwaw

39 1543:9 pupmmdpvpcodtâg naçtôôov yvçzamdyvaauôv

2. âozôasfuâœw] acripei; «000pr F, nulgd; à?» o-«on: Wallis, Torellius. 3. un ou une F, nulgo; ou deleni.4. à; tés] and; F; con. Wallis. MQlW pvçwôsc F; con.Wallis. 6. 020:0 451] 6E F, ut infra supins. 9. 8107:5; F;con. Wallis. ç tas] and; F; corr. Wallis. 10. puma;muasse F; corr. Wallis. maronnant F; corr. VB. 11.Gal 10605101] scripsi; au tout)" cum comp. «w F; du?) ro-

ARENARIUS. 269millia myriadum secundorum numerorum unitas uo-œtur tertiorum numerorum, et numerentur tertiorumnumerorum unitates et ab unitatibus decadea ethecatontades et chiliades et myriades ad decemmillia myriadum. et eodem mode etiam tertiorum 3numerorum decem millia myriadum unitas ucceturquartorum numerorum, et quartorum numerorum de-cem millia. myriadum unitas uocetur quintorum nu-merorum, et semper hoc modo procedentes numerinominentur usque ad decem minis. myriadum nume-rorum centies millies millesimorum. et satis quidamest, numeros hune ad finem cognosci. sed licet etiam 4ultra progredi. nain numeri, quos adhuc commenc-rauimus, primas periodi numeri uocentur, et ultimusnumerus primae periodi unitas uocetur primorum nu-merorum secundae periodi. rursus autem decem millia.myriadum primorum numerorum secundae periodi uni-tas uocetur secundorum numerorum secundae periodi.et eodem modo etiam homm ultimus unitas uoceturtertiorum numerorum secundae periodi, et numerisemper hoc modo procedentes periodi secundae no-minentur usque ad decem millia myriadum numerorumoenties millies milleaimorum. rursus autem ultimusnumerus secundae periodi unitas uocetur primorumnumerorum tertiae periodi, et semper hoc mode pro-cedant usque ad decem millia. myriadum numerorumcenties millies millesimorum periodi centies millies

0061m nulgo. 13. 110mm; F; com Wallis. 14. ingéras]0m. F; com B. 16. mémo ad uepcôdov lin. 17 0m. F; con.Wallie. 21. ëç rois] sinon F; cort. Wallis. 22. wigwam (w-omôaç F; vota; procréées uulgo; corr. Wallis. 25. tés] unF; corr. allia.

5

10

15

20

25

270 111mm.02001901511 111105019 111200026129. 001500011 6è 0171019 m-

01000001001100, et un 51011171. 0201.80.01 dard 1001102609 cimi-

Âoyov 52179 1154051100, ô 6è 0000064 1&1! 1001102601 ôsxàg à,

61m?) au 01151051: on? 11006100 6,1311 a; (LOWOÎÔL 1:61; 10005-

14011 «101.0100311 10011012000101! 136001501010, 01’ 6è paf ad-

toùç 51.1.01. dictai 1151! damépmv 10011011050010, Mi, 00’

Mica. 101i 0113101: 0061001: 10151009 1030 00110101510011: na-

Âovm’vœv 006015111010 1:0? (inondent. 1:12; 611002603 1100

«59000050 &zô 1&9 100051019 611015609 :0511 àgaôyaîv. 1rd;

0.411: 01511 100051019 ônzéôog 04512 02008101511 ô ô’yôoôg 6’er

020181009 10150:1 pupuiôsg, mais dt 65121011019 dutéôoçô

10005009, 301551 ôsuœnlaalœv éarlv 1’017 11:00 01131017, 1m-

ptm 101101060? émiettant. 015109 dé écu 10011019 1.151: 6511-

01500011 02009100511. ô 6è 576009 10?; 6611150019 ôxuîôoç

t’ait 1mm impwîôeg 1’031: ôevtæ’pow 02009141511. 10021.11!

6è aux! 120-19 00500:9 611105609 ô 10005109, âne). 6001011110-

diaw à"! 006 11:00 mitoit, (melon 10110102669 émietta;1030 6501521011: 02018100511. 015109 dé 1!er 10011019 17031!

10010212 àpzôpôv. (paveçôv 66’, du un! 600000100131:

6 611002659 ëëoûvu, à; 830151010. 190300012 ôa’ 0’000 aux!

1660 yLyvmdxdusvov. et un 029.00.50 du?) 0&9 povdâoçàvéloyov ëôv’mw nouankudwîçœwi 001159 151.100.0119 10512

à: 1&9 01131019 àvaloyc’ag, ô 1151161151101: 01006019 écacha;

à: raïs mirés 01111110715019 02051011! 02110 phi 1’017 patçovos

10511 nolianlaamëévlïœv 0211051on, 500v; ô élohim!150512 nouaulaamgdwmv 0211:0 11.010609 âvdloyov aîm’st,

l. fl’UQLuL 100010165;- F; corr. Wallis. 110110110 01010511001 F,

ed. Basil. 4. un scripsi; un F, nulgo; 0m. allia, Torel-lius. 6. 1101100001101 F; corr; Wallis. 8. 1:01] addidi; 0m. F,uulgo. 9.1079 au.) à F; corr. B. 19. sa] 51m petcamp. F; con. e . 0311.; 30110 du B. 011000110130] ,scripsi;11011011 F, nulgo. 21. me per comp. F; corr. V. 22. 5010-

ARENARIUS. 271millesimaef) his autem ita denominatis, si numeri 5aliquot dati sunt ab unitate in eadem proportione, etnumerus unitati proximus decas est, octo eorum primicum unitate ex numeris primis, qui uocantur, erunt, octoautem eos proxime sequentes ex secundis, et oeterieodem modo ex numeris erunt eodem numero denc-minatis, qui distantiam octadis numerorum a primaoctade indieat. primae igitur octadis numerorumoctauus numerus est mille myriades, secundae autemoctadis primus, quoniam aequalis est praecedenti de-oies sumpto, decem millia. myriadum erunt. haec autemunîtes est secundorum numerorum. et octauus nu-merus secundae octadis mille myriades surit secun-dorum numerorum. et porro etiam tertiae octadisprimas numerus, quoniam aequalis est praecedentidecies sumpto, decem millia myriadum erunt secun-dorum numerorum. haec autem unîtes est tertiorumnumerorum. et manifestum est, quotlibet octades itafore, ut dîctum est. uerum hoc quoque utile est 6cognitu. si ex numeris ab unitate in eadem propor-tione positis, aliqui inter se multiplicantur eorum, quiin endem proportione sunt, etiam productum in ieademerit proportione a maiore multiplicatorum tot numerosdistans, quot .minor multiplicatorum ab unitate distat

1) Conspectus 110mm numerorum systematis u. Quaest.hein. p. 59; Nizze p. 218; Nesselmann: Algebra d. Griechenp. 122 sq. ultimus est 103. 1°".

ms F; corr. Riualtns. «ollanlaawîçmvnlq soripsi; 1101101110:-Mfoazsc F, nulgo. 28. ysvôpsvoç] un ; con. Wallis, de-leto 00.01400. 24. 10h 1:01"! (054011051 scripsi; par cum comp.ou» F, unlgo; agitons Wallis, Torellius. 26. «un; F; corr. V.

10

15

20

272 WAMMITHE.02110 60 1&9 1101112609 02910251 0’112 31.0211011029, fi 5009

36111: 0 0201101109 dvvaptpou’gmv, 009 02101101111 02110 (10-

1102009 et nouazladmëdwsg 02111210119. 501011: 7100020001105 111159 0200210701: 02110 1101102009, o! A, B, RA,

E, Z, H, 0, I, K, A, 1100029 00 56101 0 A. ami 1s-1101111111026102031» 0 A 195 0, 0 dt 701161151109 501m 0X.

2.0102111800 01] 6’11 1029 02110110715019 0 A 1215x011: 02110 100

9 10601110v9, 360v9 0 A 02110 1101102009 02110151. 6511115011,

0’11 1’009 30111: 0 X 105 A. 431152 001: 02110210701: ëômaw

0201011151: Edovg 02115151 0’ 1s A 02110 101": A, 100d 0 A

02110 105 â, 101: 0112101: 5151 1.67011 0 A 11012 1011 A,311 0 11 11012 101: Ü. nouanlaalœv 05’ ë0’111: 0 A 100

A 105 A. 110110211101050111 02001 36121: ml 0 A 101": 0 11,5 A.

05’010 2’009 50111: 0 A 11,5 X. ôfiÂov 001:, 0’11 0 781’6-

1151109 1211 1029 12110110715019 10’ 430111: 11021 02110 105 5151201109

1031: «ollanlaamëdwaw 021110210119 l’Go119 0211610111, 50009

ô 5102110011 02110 1029 1101102609 021112561. 0102115001: 00’, 511

110d 02110 1101102609 02110151 E111 31.0111611029, fi 3009 Édfi’v

0 020101109 0111101101010’00011, 0119 0215x0111 02110 1029 110-

1102009 01’ A, 0. et 1101: 7010 A, B, F, A, E, Z, H, 0100015101 E1115, 000119 0 9 02110 1101102609 02111151, o! 62

I, K,.11 51:1 é1u1161159, à 500119 0 A 021:0 110110260902118’x51’ 001: 7020 1,15 G) 100015101 5111i.

1. 8101110011029 F. 2. 0] addidi; 0m. F, un o. 0179] meF; corr. Wallis. 011101001111 F; corr. V. 1101111609] 1101809 F,ut lin. 4, 8. 6. X. 1510201000] scripsi; X11, 5111107000 F, uulgo:A 0m. Wallis, Torellius. 7. 611] scri si; ô 9K F, uulgo;0à; Wallis, Torellius. 1&9 01121â9 Wallis, Torellius. A] 0.1F; corr. Wallis. 9. 1’009] per comp. F. 10. 0201011059]sari si; 100w per comp. F; 1’001 B, alii. 11. 1011: 02121020 F VA,ed. asil. 16. 1029 0161029 Wallis, Torellius. 16. focus]scripsi; 1009 per comp. F, un] o. 20. 05 A, 9. 0E 11h 7020scripsi; 0102 un 1010 01 F, un go. 22. 5111] un F; com BD.23. Hic spatium mat in FVBCD.

ARENARIUS. 273in proportions, ab unitate uero distabit uno pauciores,quam quantus numerus est utrorumque, quos numeriinter se multiplicati ab unitate distant. sint enimnumeri aliquot 11,3, F, A, E, Z, H, 8, I, K, A ab uni-tate in endem proportione positi, et unitas sit A. etmultiplieentur A, 8, et productum sit X. sumaturigitur ex proportione A ab (9 tot numeros distans,quot A ab unitate distat. demonstrandum, esse X : A.iam quoniam inter numeros inter se proportionales Aab A tot loca. abest, quot A ab Û, erit igitur

A : A : A : asedA:AxA. quare 11:4xe. quare 11----X.adparet igitur, productum et ex eadem proportione esseet a maiore numerorum inter se multiplicatorum totloua abesse, quot minor ab unitate absit. manifestumest autem, productum etiam ab unitate uno pauciora.loca. abesse, quem quantus est numerus utrorumquelocorum, quae ab unitate absunt A, ê). nam A, B,F, A, E, Z, H, 6) tot sunt, quot 6) ab unitate abest,et I, K, A uno pauciores, quam quot A ab unitateabest; nam adsumpto 8 totidem suntf)

1) De hac propositione cfr. Quaest. Arch. p. 68. nos sic

1 2 a n1dem demonstraremus: ait series 1, a1, a’, . . . . an-l,

n-i-l m-f-l m-è-S m-I-n-I-lan . . . . am, uni-H, . . . . (MI-t".itaque a" . am : am-i-n, quod ab am abest loca. (n -I- 1), abunitateuerom-l-n-I-l:(m-l-1)-I-(n4-1)-S-1-

Archimedes, ad. Heiberg. Il. 18

274 lPAMMITHZ.1 1V. Toütaw 6è 1,1511 ph: ôuoumëvmv, 1:51! 6è âno-

ôsôuype’vœv 16 noousépavov ôszxônas’taz. âne! 7&9

ônoxelral. 118w ôzdperpov 1&9 Macula; pi] Manon6141.51; fi tarpmxoazopôpzoæl ôaurüov, ôfilov, à; à

6 «patent à ôauwlwu’av fixovo’a ràv ôuipœrpov 015 psi-

Çaw 4361111 fi 15615 xœosi’v (muniras êëamo’yvçlaç and

rupœmdzollag. 1&9 7&9 «palpas tés 31066015 143w61.0254519011 zarpmxod’rogpôpwv ôœxtülov wollanlam’a

écrin 195 sipflpè’vça àpwyçô. ôeôeùmu 7&9 me, au aï

10 dtpafpm tpLuÂéGLov 2.67011 510mm. nazi élidiez; tîw2 ôLapè’rpœv. fatal 6è ônoueiml. and roi? 1&va tôv

àpuflpôv mû [0’011 195 1&9 péuœvog payéôu Exowoç

pëyaôos Mg peigova dual manteau, ôfilov, 05g, et uln-pœôatn daignez; à «purge: à ôœurvlzaafav 510mm 1&1;

15 ôwîperpov, où palan; aux du 6 épand); :017 dmîypov

fi (wading "à ëëamapüpm un! tamanwzüm. 01520965’ 361w ô àçLDpôg novéôag ra 6’ 105v ôwzépmv aigu?-

uaîv and 1:61; «pérou: pvpLéôag retpamdxalûu. me.641w du; Êatw à") 4’ gommes 105v ômépœv &ptô’pûîfl.

20 à 6è 145v 9’ ômülmv ëxovaœ rôw ôzépsrpov apuroit

noÂÂanÂuo’ûx 36121! râg ôautvhalav ëxoüo’ag zàv ôté-

papou amadous tais 9’ yvpzdôwaw du)? zô tondai-aLov 167012 5x5": azot’ àÂÂdÂaç râv ôwmæ’tçœv têts 69mi-

pug. et 015v 753101.10 in 1:05 tinamou «païen; rah-25 amuïra rô pëyeôog, 5:11.320; 56th! à mpaïpœ à Ëxovo’a ràv

ôwîysrpov ôaxtülmv 9’, 65211011, 059 aérien! ëaaalîwt

ô 106 wdypov 4590941169 1017 yevope’vov dpzôpoü noua-

5. mpwÏQa à] scripsi; à 0m. F, nul o. 8. engazonn-popzov F; corr. Ahrens. 10. 31mm ; corr. V. 12. :06i’o’ov un] scripsi; au; to F, nul 0. pauma; F; eorr. BC.payéôu 510mm; addidi; 0m. , nulgo. l3. un: cum camp.M F; ce". W lis. 14. roi! «pompon Gertzius. 15. un;

ARENARIUS. 275 ’1V. His autem partim suppositis, partim demon- 1

abatis, propositum demonstrabitur. nam quoniem sup-positum’ est, diametrum seminis papaueris non mino-rem esse quam partem quadragesimam digiti [11, 4],adparet, sphaeraim diametrum digitalem habentem ma,-iorem non esse, quem ut 64000 seminum papaueriscapiat. hoc enim numero multiplex est quem sphaera.diametrum habens partem quadragesimam digiti. namdemonstratum est, sphaeras triplicem rationem habereinter se, quam diametri habeant [Eucl. XII,*18]. quo- 2niam autem hoc quoque suppositum est, numerumarenae magnitudinem habentis magnitudini seminispapaueris aequalem maiorem non esse quam 10000[11, 4], adparet, si sphaera diametrum habens digi-talem arena. compleatur, numerum arenae maioremnon fore quam 640000000. hic. autem est sex uni-tates secundorum numerorum, et quattuor millia. my-nliadum primorum. quare minor est quem decemunitates secundorum numerorum. sphaera autem dia-metrum habens centum digitos longam centum myria-dibus multiplex est quem sphaera. diametrum digita-lem habens, quia. sphaerae inter se triplicem rationemhabent quam diametri [Eucl. X11, 18]. si igitur exmena tante sphaera efficitur, quanta est sphaera. dia-metrum habens centum digitos longam, adparet, nu-merum arenae minorem fore numero multiplicatis de-

cnm camp. on: F; corr. Wallis. du] w F; corr. Wallis.19. "ovoïde; poguxôag’F; corr. A. 2l. 16:11me F; corr. BC.22. matous scripsi; un F, uulgo; Ënl’W ’s, Torellius.Mçcaaeaw 23. (hausse cum comp. «w F; con. Wallis.

24. rab-navra F; con. Walhs. 27. wollanluoôswuv F;com AB C.

18*

3

10

15

4

20

25

276 summum.uluazaofluo’âv râv 65”"! 11012026001: r51! ôsvzs’çmv 029m-

paîv rats 9’ pv9zdâsaaw. faire! 6’ al 11511 ôsvrs’9aw

0291654051) ôe’na pommas (lézards; gaur à9vâpôg (in)

pommas 02110210701: 5’11 ce)? 10511 ôauanladimv 59m1! 021m-

loytqz, a! 6è êuarôv 11129402659 51360110; (in?) novdôoçà; 1:69 «13116:9 02111110715019, ôfiÂov, 059 ô 751165581209 émû-

pôg êaaab’ral. 11511 à: 1&9 «ôtât; 02110010715019 énumé-

uonog (in?) 140110803. ôaôalxwz 7029, 51:1, ëvl 1.31111666an

&EËZEL o’mô 1&9 (101115609, fi 560g 45611111 ô 0291611133 61m-

ampozs’pœv, 0’39 aîne’zovu 027:6 nouions o[ nonanta-

amëéwsg àÂÂoËÂovç. 10511 6è ênum’ôexa 1:06am! 61161

un on? n9oîroa aùv r9? gauchît 14511 7190510111 unionyévœv inti, 0l 6è (151:6: 10151on 611105 10’511 ôwre’pmv,

and ô 56111165 15611.11 «15170511 puna 11v9wîôsg 6512159011!

0291390511. (1101115961! 01512, 51L 1:05 4102141101: 1:6 amitose

mû yéyeflog ëzovrog 176011 19? 6924:!ng a; 156w ôtâm-z9ov 9’ ôaunîÂaw êxoüaqz 5110111161: 561w fi pilou 110-;

9Loîôsg 11511 6512159001; 02916111511. mihi! 6è aux), à (imamat,

à 1:61: y11917001; 601111151,ko Ëxovaœ 1&1; 61051451901! noua-1

murait: ëotîv 1&9 ëxozîo’ag 1&1: ôzdpstçov 9’ ôœutülmè

mais 9’ 912910265661. si 01511 75’110er à; vos? daignai);691011790; raÂLuaüra to 11578803, âÂÙld 361’111 à 510116111

6æai’9a 1:43:12 ôwîyæmov (.w9taw 6011111510011, ôfilov, àgÏ

3102660011 s’oaaüm ô me" wéppov :29st roi) 718110-j

(1151101: noÂÂanÂœmaoôswâv du plain 11119102612111 1031!:

2. Muemôww FVBD. bref] au F; corr. Wallis. 6’ «HiGertzius; (la F, uulgo. 4. 19?] te F; con. Wallis. 65anmaclons] scripsi; 68110111st4111! F, nulgo; defendit Ninina(Quaest. Areh. p. 205); 08110111151: Wallis, Torellius. ân-7.0qu] 127111.07 cum comp. av F; corr. Wallis. 6. des? ’s]scripsi; suros F, uulgo; 5999 Wallis, Torellius. 8. Evl’îonlF; corr. Riualtus. 9. 027153531] addidi; 0m. F, uulgo; po ,

ARENARTUS. 27 7cem unitatibus secundorum numerorum et centummyriadibus orto. et quoniem decem unitates secun-dorum numerorum decimus ab unitate numerus est inproportione terminorum per decem crescentium, etcentum myriades septimus est ab unitate in esdemproportione, adparet, produotum fore sextum decimumab unitate in eadem proportione. demonstratum estenim, id uno pauciora. loca. ab unitate abesse, quemquantus est numerus utrorumque locomm, quae nu-meri inter se multiplicati ab unitate absint [III, 6].horum autem sedecim primi octo cum unitate ii sunt,qui primi uocantur, octo sequentes ii, qui secundinocentur, et ultimus eorum mille myriades sunt se-cundorum numerorum. manifestum est igitur, mul-titudinem arenae magnitudinem habentis aequalemsphaerae diametrum centum digitos longam habentiminorem esse quem mille myriades secundorum nu-merorum. rursus autem etiam sphaera diametrumhabens decem millia digitorum longam centum my-riadibus multiplex est quem sphaera. diametrum ha-bens centum digitos longam. si igitur ex arena tante.sphaera. efficitur, quanta est sphaera diametrum de-cem millia. digitorum longam habens, adparet, nume-rum arenae minorem fore numero multiplicatis millemyriadibus secundorum numerorum et centum myria-

gmiâoç addidit Wallis. fi 500c] «on: F; con. Wellis.0 459109643] 2105:1:an F; cor-r. Walhs. 61111419910 de F; corr.Wallis 10. «nageant F; corr. VB. 12. t1] F; corr. Wal-

14. 1m71: devrépoov Wallis, Torellius. 16. tu ce surlÎicorr. Wallis. 17. 5101101) F; corr. Wallis. dans cumeomp. «w F; con. Walhs. 21. Maman; F; con. B. 24.15101957012 F.

4

278 113mm.65111590111 0291610611 rats 9’ 11.11900i6566w. me 6’ ou? i

pèv 150511 6501590111 02918100511 ZLÂL’al, 909Ld65g 530000655

1101169 ê61rw humais 611:0 11.0110É609 611021107011, ont 6è 9’

11119102653 50609,09 0’010 1001102609 êv a; 01’119": 61101107501,

6 6fiÂo11, 03g ô 751161051109 5665km 600xa05mo6rôg 1.1511

6 en zig minis àvœloyûzg 031:0 1001102603. 10511 6è 6150and. 55x060 101560011 6:11:16 peu cl 11916100 6011 a; 100110031

1.1611 1190510111 10011100va 611d, 6:11:03 6è 05 11,510: 1mi-

tovg 10511 65115590111 10611009531010, on" 6è 11001001 33 10511

10 19010011 11610096110111. and ô 5’6zmog 011310511 3611. 65’110:

16

25

11119005659 150511 69l’mw à9praî11. 01011159011 01511, (in 10

6013 111021010011 nlfiboç 1015 11575003 51011109 E6011 10?6qaal9ç 1:01" 16:11 610310519011 13101560: pv9ûm1 60111151011

67.116661! 3611.11 13 L’ p119ui659 191560111 02909101511. and

ën5t ËÂoÊ66œ11 361211 à 6ta6001lœ11 5100601 10:11 60001519011

691007900 raïs 6qaœi9ag mais 510156019 16:11 600211569011 1111- :

900011 6011111510111, 61721011, 3a 1101?, 1:0 1013 1.0021110011 wifi-

ûog 1:00 11.575009 51011109 [6011 a; 60301599: ré? 1:13:11 610i-0519011 éxoüaçc 61116001511114 511266611 5’6er 0’ 909wîôsç

1.1511 19(60011 02908101511. 10031011 6è à 6910117901 à 51501160:

10211 600E10519o11 9’ 610:6[0011 wollanluflœv 5611 1E;6930009013 1:69; 15101km 16:11 610211519011 610160ala11 raïs 9’

11119166566111. si 0611 7151101100 à: 1017 005111100 600m66010x0601! 1:0 115751909, 61.6100 ê61’l11 615101160: 661v 610i-

10519011 9’ 66016150111, 6511011, 0’60 51105660111 5’665l60u ô 1015

111051010011 159009.09 15013 7511011511011 691181105 16011101610:-

6006’850607111 10211 65’110; 9.0900560311 159010011 6908110311 raie

3. «huila 011 ai] 0111011011010 F; corr. Wallis. 4. un"; F;com B. u si; mitât; évaluiez; Gertzius. 5. de] o F.8. une? 101510119] scripsi; 1151:0: tous F, uulgo; par’ 01151015; Wil-Iis, Torellius. 9. 10’511] (prias) addidi; 0m. F, uulgo. 3g] 511F;

ARENARIUS. 279dibus orto. sede quoniam mille myriades secundorumnumerorum sextus decimus ab unitate numerus. est inproportione, et centum myriades septimus est ab uni-fate in eadem proportione, adparet, productum uicesi-mum secundum ab unitate fore in eadem proportione.horum autem uiginti duorum primi octo cum unitate 5ii sunt, qui primi nocantur, octo autem sequentes ü,qui secundi uocantur, reliqui autem sex ex iis, quitertii uocantur; et ultimus eorum est centum millia.tertiorum numerorum. manifestum est igitur, mul-titudinem arenae magnitudinem habentis aequalemsphaerae diametrum habenti decem millia. digitorum

i longam minorem esse quam centum millia tertiorumnumerorum. et quoniam sphaera. diametrum habensstadium longam minor est sphaera diametrum habentidecem millia. digitorum longam*), adparet, etiam mul-

:titudinem arenae magnitudinem habentis aequalemsphaerae diametrum habenti stadium longam minoremesse quam centum millia. tertiorum numerorum. rursus 6autem sphaera diametrum centum stadia longam ha-bens centum myriadibus multiplex est quam sphaeradiametrum stadium longam habens. si igitur ex arenatante; sphaera colligitur, quanta est sphaera diametrumcentum stadia longam habens, adparet, numerum arenaeminorem fore numero decem myriadibus tertiorumnumerorum et centum myriadibus multiplicatis orto.

1) Heron. defin. 131: r6 créchai: Élu . . . ômmflovç lof.

0011. Walüa. 10. tokay] 1:91. cum comp. un F; corr. B.12. peyeûouç F; corr. B. 20. âé] scripsi; ôn F, uulgo. 23.matchait F; con. B. 24. à] 0m. F; com Wallis.

10

20

25

280 q’AmmHz.9’ yvpzéôsdaz. aux! âne! ai ph) 115v 19mm: 0290351451!66’140: pupwîâag 6vouausmoarôg 361w o’mô (101102609 évé-

Âoyov, ai 6è 9’ pvpzdôaç 513604109 45m3 povœ’ôog à: tàç

«ôtois 020051071319, 6171012, à; à ywôuevog êdo’u’raz

ôurœuawmoarôg à; tâg «61:59 àvœloyùxg n’anô povdôoç.

n51: 6è 62min ml show. 1061m1: 6m05 55h) ou? 11905:0;Jim réé 440110264 145v «guitran: uœÂovpæ’vœv évn’, ai ôà

parât zoürovg â’MOL dard) 1.151! 6ms’çœv, aux) 05 parât

mérous 6m05 103v 1951m1), cl 6è lourai tédaagsg 10311zazoîpzmv uaÂovge’vmv, nul ô Ëaxarog 051310511 5m 1L-

Hou 4001102659 1:51; renferma: âgzôpoîv. (13411259611 06v,

("in rô r06 wépyov nlfiflog 1:05 péyefiog 51011109 1’601!

a; maniée: mg? du: 61.0250519011 310664,: dmôt’œv 9’ 51m1-

dôv ëdtw fi pliai, povdôsg 105v ranimant) 02909514511. tmihi! 6è à (imamat à Ëzovaœ 1&1! ôtéusrpov 511295011!

6111610112 xoÂÂanÂadia fini 1:62; mpalgag n29 ëzoüdag

tàv ôtépergov dtaôlmv 9’ raïs 9’ pvgbdôedaw. si06v yévono à: mû alléguai) amuïrent talmaüa tà (n’-

ysôog, câlina Ëdrîv à 6924x590: à ëxovo’a ràv 64.422an07

azaôûnv pvptœv, 6171011, (in flonflon: écacha; zô toi)wéupov nÂfiôog roi? ysvopa’vov dpoôyoô accumulera!-adôuo’âv tâv xLÂLâ’II poud6nw 115v rardprœv domptât!

tais 9’ pvçbéôeaaw. âne! 6’ ai ph! 1.151; minimum!

âpwpaîv pliai, poud6ag ôutœumemodrôg in"! 021:6nga’ôoç o’woîloyov, ai 6’ ëuazôv pwçm’ôsg 35605409

027:6 pouding à: 1&9 mités 0211011071419, 6filoæl, 5145

ysvôps’uog ébattu à: 1&5; adirés àvaloyiœg 151019109au). rpbauodtôg o’mô y01102603. 105v 6è zsdaoîpœv nazi

15. 6é] scripai; 617 F, nulgo. plagia!!! --6uipsrçov 1m17repetuntnr in F; expunxit manne 1. 17. pvçwôsaw F; son.B. 19. (impure cum comp. un: F ç corr. BC. 20. 214m

î

t

i

î

I

l

i

î

1

i

ï

s

ARENARIUS. 28 1et quoniam decem myriades tertiorum numerorumuicesimus secundus ab unitate numerus est in pro-portione, et centum myriades septimus est ab unitatein eadem proportions, adparet, productum fore duo-detricesimum ab unitate in eadem proportione. horumautem uiginti octo primi octo cum unitate ü sunt,qui primi uocantur, octo autem sequentes ii, qui se--cundi uocantur, et octo deinde sequentes ii, qui tertiinocantur, reliqui autem quattuor ex iis, qui quarti uo-cantur, et ultimus eorum mille unitates sunt quarto-rum numerorum. manifestum est igitur, multitudinemarenae magnitudinem habentis aequalem sphaeraediametrum habenti centum stadia longam minoremesse quam mille unitates quartorum numerorum. rur-sns autem sphaera diametrum decem millia stadiorumlongam habens centum myriadibus multiplex est quamsphaera diametrum centum stadia longam habens. siigitur ex arena tanta sphaera efficitur, quanta estsphaera diametrum decem millia stadiorum longamhabens, adparet, numerum arenae minorem fore nu-mero mille unitatibus quartorum numerorum et cen-tum myriadibus multiplicatis orto. quoniam autemmille unitates quartorum numerorum duodetricesimusest ab unitate numerus in proportione, et centum my-riades septimus ab unitate in eadem proportione, ad-Païet, productum fore tricesimum quartum ab unitatein eadem proportione. horum autem triginta quattuor

cum comp. un F. 28. pvgzudaaw F; corr. B. 2.6. perdes- 26 6filov-âvaloylac mg. F, signe adposi’w, cul respon-

det 311m1 post évuloylac lin. 27.

16

20

25

282 ’PAMMITHE.101053101116 101510111 611105 11h oî 11905101 61111 19? 110110561.

10:11 1100510311 16100115111011 3111!, et 6è 11.1102 101510119

611103 11511 651111500111, «al cl 11116: 10151on 62.101 6x10?) 10311

1ptzm11, 1101?. 0[ 11.516 101510119 611105 11511 15102010711, ot

6è 2.011101 6150 10511 111111:10:11 1101011115110111 1566015111011,

and ô 56101109 011310511 i611. 65’111: 1101102659 10511 1115111010211

60119110511. 6fi1011 01511, 311. 16 1013 111021111011 nlüôog 1015

115751309 51011109 [6011 111i 693011100: 11; 1à11 61,0?11810011êxoüaq 6105610311 1111050111 510166011 écacha» fi 1’ 1101102689

10311 1115111110111- 02010110511. 710511.11 6è à 61120117901 à Ëzowa

16111 610211010011 6101650111 0’ 111101660111 11011011110612: ê611

1&5- 61paigaç 1&1; 1611 61.0211210011 01066019 6101650211 111)-

plaw 10159 0’ 1111910565661. si 0’511 115310110111 1017 vaigr-

11011 602011110: 1011111011310: 16 1115115009, 62.15110: 01m à 662011791:

à 5101160: 1611 61.0211810011 6101610711 9’ 1111910260111, 61îlo11,

059 51105660211 5665510", ô 1013 1101111011 0201191169 1015 ys-

110111’1101) 02011811013 110116110610605160’211 1&1 60’110: 110-

110260111. 10511 115111110111 029119110311 raïs 0’ 11110005686610.

110:1 émet al 11è11 10511 zé111110w &pvôpaîv 65’110: 1101102659

181691613 1’611. 1101?. 191051106169 02116 1101166og 02116107011, oct

6è 9’ 11110102689 513601109 du?) 110110É609 à; 1&9 «ôtâç

02116110715019, 6111011, 51L ô 751161181109 à; 1&9 01151079 6110:-

Âoyz’ag 1566511011 1519011106169 (i116 1101105609. 10511 63

1566010é1101110: 101510311 611103 1.1.1 et 11005101 61111 19? 110-

110î6l. 115v 1100510111 MÂOUMEI’WDII 1’115, 0! 6è 115161 1011310;

651.101 611103 11511 681111’00111, and. et 11.5161 101510119 6511.01

6x10?) 111 19510111, 05 6è 11510? 10159 105mm 611103 1051115102010111, cl 6è 115102 101510119 611106 11511 11.1111111011 x01-

1011115’110111, and ô 56x010; 011311511 É611. 11113011 11119102659,

3. 01 61101 F ; com ad. Basil. 6. 11011016 cum comp. unF; com B. 8. 11572001113 F; corr. BC. 9. 51.666 cum. comp.

ARENARIUS. i 283primi oeto cum unitate ii sunt, qui primi uocantur,)cto sequentes ii, qui secundi, octo deinde sequentesli, qui tertii, octo deinde sequentes ii, qui quarti uo-mutur, et reliqui duo ex iis erunt, qui quinti uocan-au, et ultimus eorum est decem unitates quintorumnumerorum. adparet igitur, multitudinem arenae mag-nitudinem habentis aequalem sphaerae diametrum ha-benti decem millia stadiorum longam minorem forequam decem unitates quintorum numerorum. rursusautem sphaera diametrum centum myriades stadiorumlongam habens centum myriadibus multiplex est quamsphaera diametrum habens decem millia stadiorumlongam. si igitur ex arena tanta sphaera efficitur,quanta est sphaera diametrum centum myriades sta-diorum longam habens, adparet, numerum arenae mi-norem fore numero multiplicatis decem unitatibusquintorum numerorum et centum myriadibus orto. etquoniam decem unitates quintorum numerorum tri-cesimus quartus est ab unitate numerus in proportione,et centum myriades septimus ab unitate in eademproportione, adparet, productum fore quadragesimumab unitate in eadem proportione. horum autem qua-draginta primi octo cum unitate ii sunt, qui primiuocantur, octo sequentes ii, qui secundi, octo deindesegmentes ii, qui tertii, octo deinde sequentes ii, quiquarti, postremi octo ii, qui quinti uocantur, et ulti-mus eorum est mille myriades quintorum numerorum.

M F; con. AB. 10. dé] scripsi; 611 F, uulgo. 11. 1111-owîac F, ut uidetur, in mura; con. ed. Basil. l2. 1&0 102;]soupai; 10111 F, nulgo. 18. 11001026666111] scripsi; 111101016111 ,unlgo. 24. 11,52] 1o F; com manus 2. 25. 110111511011, FC ed.BasiL; con. F manu 2. 1016101] 10151011; Wallis, Torellius.

9b

10

15

20

25

284 ’FAMMITHZ.145v «épatai; âgtflpôv. tpavapôv 015v, au roi? zwin-pov zô «Mao; roi) [1575009 ëzowog [60v a; «palpa;Il? 1&1) ôzépnçov 3101569: o’môlmv 9’ pupwîôaw 51:16-

aôv 361w fi 1415m pvpLoîôag 14511 «chameau âptôpaîv.

à 6è du) ôtoiperpov 510mm (matou crawlai! pngâvyvaîôœv nolÂauladimv 5611 1&9 amadous 1:42; 31015612.;zàv ôzdpezpov draâo’mv 9’ pvaîômv tufs 9’ (.préôea-

dw. et 61) yévowo à: 106 Ipoîppov dqaaïpa annamite: rô558315605 liliaux écria) à atpaïpa à 5101160: du; ôzdpsrpov61056431011 pvçuîv pvaîôœv, (pavepôv, 5m. 514x660!) éd-

o’ehm ri) toi) 11202545401) nlfiôog 105 ysvom’vov àpLôpoô

nouanlœawaôudâv 1&1; plaît; pupwîôow 1,1511 négat-

taw 029»an zatg 9’ pupwîôeaaw. été! à" ai ph:105v néyxzœv àpzôpôv pliai, yvpzdôag zatpœxoatôgécru; aîné (101102609 151102103101), ai 6è 9’ pvçbéôeg 51360-

pog (in?) (LOVOËÔOQ à: raïs «ôtais àvaloyûxç, ôfiÂou, 4.59

ô yavôyævoç facettai, 51109 «a? retpmzodrôg 021:6 po-véôoç. 105v 6è tsddapc’ixovw and SE tonka-w 65min ph:

ol npahoz aûv a; povéôz 15v «poireau mlovps’vmvêvn’, 62m1?) 6è a! une): 10151:on 151511 ôæms’pœv, nui a!

puât roütovg 58.1.01, 62m?) mîv mitan), ol 6è parât tu);

mérous 51.101, d’un?) 74511 retdptmv, and 0l me? 10159

renierons 62min :0311 négunœv, 05 6è lourai 32 mîvEmmy uniovpe’vœv fini, and ô 56141109 011574511 écu L’

pvpzdôsg 111511 gnon! &pLôlmîv. (pavanât; 05v, (in zô r05

wéppov nlfiboç mû péyeôog 51011109 [601! ce? amulpqz a;

3. Morgan F; corr. Wallis. 51mm cum comp. au F;con. V. 5. 01me cum comp. a: F; corr. manas 2 et B.poquas F; con. Walüa. 7. mandatant F; con. B. 8.scripsi; a: F, nulgo; 061: Walüa, Torellius. 10. pneu: ;con. Wallis. dans cum comp. on F, ed. Basil. 12. noua-1:10:61. cum camp. av F; corr. B. 18. puotoiôscau] scripsi;

ARENARIUS. 285manifestum est igitur, numerum arenae magnitudinemhabentis aequalem sphaerae diametrum habenti cen-tum myriades stadiorum longam minorem esse quammille myriades quintorum numerorum. sphaera. autemdiametfum habens decem millia myriadum stadio-rum longam centum myriadibus multiplex est quamsphaera diametrum habens centum myriades stadiorumlongam. si igitur ex arena tante. sphaera efficitur,quanta est sphaera diametrum habens decem millia.myriadum stadiorum longam, manifestum est, nume-rum arenae minorem fore numero multiplicatis millemyriadibus quintorum numerorum et centum myria-dibus orto. quoniem autem mille myriades quintorumnumerorum quadragesimus ab unitate numerus est inproportione, et centum myriades septimus ab unitatein eadem proportione; adparet, productum fore qua-dragesimum sextum ab unitate. horum autem qua-draginta sex primi octo cum unitate ii sunt, qui primiuocantur, octo sequentes ii, qui secundi, octo autemdeinde sequentes ii, qui tertii, octo autem tertios se-quentes ii, qui quanti, octo autem quartas sequentesÎi, qui quinti uneantur, sex autem reliqui ex iis sunt,qui sexti uocantur, et ultimus eorum est decem my-riades sextorum numerorum. manifestum est igitur,numerum arenae magnitudinem habentis aequalem

Mouton: F, uulgo. 14. rstguuoo’tog F, unlgo, ut lin. 17.1,7- focslrup à; tâc minis &yaloyz’ug Euros- Gertzius. 18.mon ph] aussi: F; con. Wallis; oî ph 6m05 B. 21. peutme F; com CV. 23. 55] 0m. F; son. Wallis. 24. avrcum comp. os F; corr. B. 25. pozgzaâwy F; pvgzaômv uulgo;con. Wallis.

9

286 WAMMITHE.1&1; 6102051001: amide: amôz’aw pupadômv 4100151 510:6-

10 661) 501w fi L’ 4100105659 1031; 52110112 02010444511. à 6è

10

15

20

25

16m 644511519012 510060: amadou 01016011: parpaing 51v-pwîôaw 0’ noMomlam’a 301?. 1âç dtpalpag 1&9 31015009

149w 6102081000 6106m1: pvpcéâow 00011212 mis 9’ pu-

9102630010. et 01311 ye’vono à: 105. dadypov «page:1011111011510: 10 péyaâog, liliaux ê61lv à «palpa à 510060:

1&1; 61114151901: 6101610311 51091,02ng 41.0910560711 9’, (pave-

9611, 51L 10 105 d’oignon 11111309 510160011 366551121. 1013

yevope’vov 029105105 noÂÂmÂao’wdûsLaâv 162v L’ puerai-

ônw 10311 531cm; 029090051 1atg 0’ 41001026666111. in!6’ al pèv 11:51! 5311001! àptôpoîv ôe’xa 0091.0565; 531105

aux). 181903210616; :561": 02710 410102609 45120210700, al 6è9’ pupwîôsg 513604409 05710 5101102609 Én 1&9 01151459 niva-

loyiag, ôfilov, 0’11, ô 751164181109 écachai. (Monument:-

x001ôg (in?) yovéôog à: 1&9 «151629 (balayions. 11511 6è

6150 aux). 7150143100112 1061m) m” ph: 62m0 and 15600:-00510010: dîna 1g? 41000261, oî’ 1s 11005101 xaÂovyÆ’voz 451212

and 0! ôsms’çoa and 10km ml 181020101, and ŒËpMOL

nul 331101, 0! 6è 1.01.1101 datages 1031) ëflôôpow zoulou-pæ’vow émiai, and ô 15010103 0161450 5’011 une", povdôsç

1450 5736644101: 4591800311. (pavepôv 0’511, 311 101"; 11:de

10 nÂfiûoç 105 péyeôoç 51500109 [60v 1g": 69901599: 19":

1&1; (hominem: 5101560; 6111615101) 41.1191052119 (1001026001! 9’

52.00660 361w fi la 4401102665 1030 5566110011 0200904511.11 ëzel 01511 30511191) à 1017 916651.00 610415100; êÂoËGdœv

1. (1001026011 pvptâv]vscripsi; pommas pvotuônw m0100 F,uulgo; pvgzémç Maman allie, Torellius. slows cum com .«w F; corr. Riualtus.’ 3. extradas F; corr. B0. 6. poqu-ôaw MpLâv] scripsi; (mourants (camp. de) payeurs (comp. as) F,unlgo; pvaîaug moteur Wallis, Torellius. (w matou F;cart. B. 10. 1101100111101. cum camp. m: F; con. . puma-

ARENARIUS. 287sphaerae diametrum habenti decem millia myriadumstadiorum longam minorem esse quam decem myria-des sextorum numerorum. sphaera autem diametrum 10habens decies centena millia myriadum stadiorumlongam centum myriadibus multiplex est quam sphaeradiametrum habens decem millia myriadum stadiorumlongam. si igitur ex arena tanta. sphaera efficitur,quanta est sphaera diametrum habens decies centenamillia myriadum stadiorum longam, manifestum est,numerum arenae minorem fore numero multiplicatisdecem myriadibus sextorum numerorum et centummyriadibus orto. quoniam autem decem myriadessextorum numerorum quadragesimus sextus est ab uni-tate numerus in proportione, et centum myriadesseptimus est ab unitate in eadem proportione, adparet,productum fore quinquagesimum secundum ab unitatein eadem proportione. horum autem quinquagintaduorum primi quadraginta octo cum unitate ii sunt,qui primi, secundi, tertii, quarti, quinti, sexti uocan-tu, reliqui autem quattuor ex iis sunt, qui septiminocantur, et ultimus eorum est mille unitates septi-morum numerorum. manifestum est igitur, numerumarenae magnitudinem habentis aequalem sphaerae dia-metrum habenti decies centena millia. myriadum sta-diorum longam minorem esse quam mille unitatesseptimornm numerorum. iam quoniam demonstratum 11est, diametrum mundi minus quam decies centena

in F; con. B. 11. un 0 4000101659 F; con. Wallis. 13.fzoaaoauoenog F, uulgo. 15. cinnames-11710010; F; corr. ed.

il. 20. ualovpévwv ad Ëflôâpmv lin. 22 repetuntur in F;elpunxit manus 1. 24. 1&1] 101w par comp. F; corr. VB.25. 51mm cum comp. au F; corr.

288 1111010111112.150000 010600111 1009001009 10090060111 9’, 617.1011, 610 1002

100 1110101000 10 111.5009 100 100118009 51011109 00011 193

10601000 51.010060 001011 la la 100110689 10311 8136610011102900110311. 610 pèv 0611 1è 100 010101000 111111909 100

b 10078809 51011109 00011 105 0110 10311 10180010111 0019016710111

1101001001191 10601010 51000611 1301011 fi ,00 100110689 10511

5566100"! 09019100311, 6565010100. 610 68 10000 10 112.0009

100 1110101000 100 10078009 01011109 00011 11; 09101090 100-10100010, 0.101000 34900109109 151101000100 1011 10311 0111.0-

10 115’000 00190111 091009011 8010811, 51.000611 8’01011 1’) la 1011-

12 900689 10311 67660711 0906100311, 6801617001010. 8’080 709

011010801010, 10:11 11011 1011 0131611 518011 1.671011 10010 1011

00’ 0100511 809010011011 106010011, 311 8’180 2.67011 ô 8091)-

108’1109 10601009 11010 1000 10311 010101100111 02019010 09100-

15 9011, 0211 349001019109 01101000100, 1000 00 6001051900 1011 1

0010090711 1611 00100 5101110 11611011 1101’ 01.1.0109, à 68 I

100 10601000 6001081909 1079 6001001900 109 11029 6868010100

010000311 00000 1? 00900101000010, 6fi1011 0011, 610 100i. ià 6001081909 1029 10511 011101100111 010190111 09100909 0’100-

20 00111 001011 fi 00900111000000 1&9 6001001900 100 10601000.01080 68 00’ 001009000 190111000011 1.67011 5101110 1101’ 0U.- i

2.01.09 1011 600100190111, 9101189611, 610 0’: 10511 010101100111 i

00190111 0920090, 01114900109109 011010001000, 010110111

001011 1? 1009001009 10090009 10090068000 11011001000010 i25 100 10601000. 6868010100 68’, 610 10 100 100101000 11115309 a

100 1001181909 51011109 00011 195 10601001 8310000611 061w û

1. 100900011 F m3., B mg. 4. 0611] scripsi; 01000019 postlacunam 6 litterarum F. nulgo. 10. 510100 cum camp. aw F; lcorr. AB. 12. 11011 1611] 11010 10011 (camp) FV; corr. V eademmanu, B0. 16. 0920009 cum camp. 0011 F; con. B0. 8100911 iF; carr. BV. 1101’ 007.109 F; cart. B. 18. 10090011100009F; carr. Wallis; 10091011100000 B, V e corrections. 21. 51:80 62’]

ARENARIUS. 289millia myriadum stadiorum longam esse [II, 1], ad-paret, etiam numerum arenae magnitudinem habentisaequalem mundo minorem esse quam mille unitatesseptimorum numerorum. itaque demonstratum est,numerum arenae magnitudinem habentis aequalemmundo, qualis a plerisque astrologis fingatur, minoremesse quam mille unitates septimorum numerorum.restai: autem, ut demonstremus, etiam numerum arenaemagnitudinem habentis aequalem tali spbaerae, qua-lem Aristarchus stellarum fixarum sphaeram esse sup-ponat, minorem esse quam mille myriades octauorumnumerorum. nam quoniem suppositum est, terram 12ad mundum, qualis uulgo a nobis fingatur, eam ratio-nem habere, quam idem ille mundus habeat ad sphae-mm stellarum fixamm, quam Aristarchus suppouat[1, 6], et diametri sphaerarum eandem inter se ratio-nem habent [Eucl. XII, 18], et demonstratum est,diametrum mundi minorem esse diametro terrae de-cies millies sumpta [II, 2], adparet, etiam diametrumsphaerae stellarum fixarum minorem esse diametromundi decies millies sumpta. quoniem autem sphae-me triplicem inter se rationem habent, quam diametri[Eucl. XII, 18], manifestum est, sphaeram stellarumhmm, quam Aristarchus supponat, minorem essemundis 1000000000000. et demonstratum est, nume-13mm arenae magnitudinem habentis mundo aequalemminorem esse quam mille unitates septimorum nume-

fîêfôn F; corr. Wallis. excava F; con. BV. 24. pupfmg]aumai; 0m. F, nulgo; uvpuiâmv AC, coni. Riualtus, Wallis,Toreuius. 25. du] 0m. F; con. Rinaltus. 26. slow-a cumcoup. on: F; corr. B mg.

Archimedes, ed. Heiberg. II. V 19

290 WAMMITHE.1a povéôsç 1051: 513660011! 4501.9060. ôfilov 01511, (in, et 75’-

vono à: mû wâpyov «(palpa sanitaire: t0 (1,578009, fuli-aww ô ’Aptawpxog fmonâa’wl. du: 145v ànlave’œv 356100711

manteau eîpev, ëÂdaamv s’enfuit. ô 1017 wépflov âpoflpôç

5 :017 y50006001; &pmpoô nollaniamaafiswüv du 1045:1)povdôaw arts ("maints uvpëaLg uvaÉôaddw. and été),a! "à: 154511 êflôôpœ’u la numides ôvouamewauoazôgédtw 020:0 yovoiôog 151115110701), ou: 8è pvowîmg (moflai,

pvpcoîôsg zpzaxœaô’éuazog dut?) 00002809 à; zig «été;

10 àvaloylag, ôfilov, 31L ô yevôpwog émiettant fétaptog«a! ëënxoarôç &nô (101105609 à: 1:59 mirât; àvaloyc’ag.

05109 66’ t’en 105v ôyôo’ow 0316009, 5g au de) puai.

pvgcéô’sg 1:61: 6766m! immunisa (pavepôv tatami), ("in

1:05 d’oignon 10 «11700; 105 0157600; 51012109 [60v 1:9?15 :031: énlava’œv d’amont: 643415095, 521i ’Aptfdmçxog into-

wDe’mL, Ë1u660’v éditai fi la yvptdôeg 7051i 0766m1!

1402914900511. mâta dé, flaazlsii Fs’Âœv, rots ph: avoinois

aux! in? xsxowmnxôrsdac 1:61; paônpd’mv 061: 55men:(pamfaaw Ôzolœpfiévm, rots 6è yawlslafinuônaaw ml

20 me), 103v 02106qu:41:11 aux), 1,1511 psysôs’mv zig ’58 yüg

aux) 1:05 621.100 un), 1&9 «faufilas ml 1017 0’100 2:6deammoniacé-redan: m0143: duit 1&1; dnôôugw 566656811!"blâme 95’600» aux ml th; 01’»; àvagpodnî’v [En] èm-

ôemgrîaou redira.

4. sauna F. 5. 101102100109 F; corr. B. 1L1; cumcomp. a! F; con. B. 6. povéôœw tait Êflâôpuw 02910,55. B,Wallis, Torellius, Gertzius. 7. 5136611401: 029000051: B, Riual-tus, Wallis, Torellius, Gertzius. 8. ai] 0m. F; con. Wallis.12. se au sa] scripsi; un nana F. ed. Basil.; nul flamineuulgo; nul allie, Torellius; 3c nul 501w ai Gertzius. 14.si? 0m. F; corr. Wallis. 23. un: surf] MM i ius; aux; F,«au go. du] «une F, nulgo; con. Gomperz. avagpoonïv]Maduigius; uvaçponov en) F, nnlgo; &vdçponov and.» Gom-perz. la] delet Gomperz. In fine 1001111000: vamps"); F.

ARENARIUS. 291romm [5. 11]. adparet igitur, si ex arena tantesphaera efficiatur, quantam Aristarchus suppon et spline-ram stellarum fixarum esse, numerum arenae mino-rem fore numero multiplicatis mille unitatibus [septi-mornm numerorum] et 1000000000000 orto. quo-niem autem mille unitates septimorum [numerorum]quinquagesimus secundus est ab unitate numerus inproportione, et 1000000000000 tertius decimus est abunitate in eadem proportione, adparet, productum foresexagesimum quartum ab unitate in eadem proportionenumerum. is autem octauus est numerorum octauo-mm, qui est mille myriades numerorum octauorum.manifestum est igitur, numerum arenae magnitudinemhabentis aequalem sphaerae stellarum fixarum, quamsupponat Aristarchus, minorem esse quam mille my-riades octauorum numerorum. haec autem, rex Gelo,14unlgo. homînum mathematices imperito incredibilîa.uisum iri pute, peritis uero, qui distantias et magni-tudines terrae et solis et lunae et totius mundicognouerint, credibilia propter demonstrationem fore.quare putaui, tibi quoque conuenîre haec cognoscere.

19*

QUADRATURA PARABOLAE.

Temaymmo’pôç 100901501139

Mpxmfiônç 4061009) e15 1090510300.

31100156019 Kôvawa (0.11: tuslmnub’vaz, 33 ’51: En

51.070001: 0mn: à: 0:01.091, 1h: 6è Kôvawog 706pr01: ya-5 7801560011, aux! ystoyarplag otuel’ov 511001: 0013 ph: 0m-

lsvrnzôzog 517081051: 31.0100311105; 039 au! (pilou 105021:-

6001; 1:stva 100:1 à: 100g 54001111020500; hululerez"01,009, Ëngoxupzëdmûa 6è 0210001551010 1:00 790110020159,

059 Kôvmw 704549501: 4571107106059 figes, 75101051901101: :8805- i

10 017’102 n, 3 19615001: (0.11: 015x 51: zeôeœgnpe’vov, 1:61: i

0è in]? 1310151: tsôemgfirm, 109010901: ph: 6L0: ("une10151: 51395050, fatma 6è aux! 600: 1031: yaœpstgma’îv ém-

ôuzôe’v. 1051: 10h: 0151: 109600001: «se! 750310519501: i

apayyœzsvm’wmv ânsxslgndév aves 70054)va 05g 0mm- Ï15 1:01: .601: 101513.91 005 60’05’sz nul 1:63.101: 11002100101 193 ,

6005001 papion 51505171: 56315700510001: t’aov’ nul yard

1051310: 10 70500516115001: xœgtov 15706 te 0&9 5.100 1017 1

1:61:01: topo-i; au! eôôsz’ag 751005710110;va 31000915010

Âupflavôwsg 0131: Mapaxnîpnm Âfippaw, 0561:5 aérois

4. plémw] scripsi; 151mm: F, unlgo; 1011:6; Torellius. qu’-loLç Torellius. du] scripsi; un: F, unlgo; 15’101 Torellius.6. 010217071021: F, nulgo. 7. 017100100 F, nnlgo. 8. 1:01] ,0m. F; com Torellius. 9. a m0625; Torellius. un" F,nulgo; figer Torellius. 75001081011101: fleurionunî u] scripsi; Ï13000219111001: 02000110011001: F, unlgo. 13. 0171:] addidJ; 0m. F,nulgo. 15. tympan F; con. Torellius. 17. 3100] cor-

1

ï

ï

y

ï

ï

i

»

i

Quadrature parabolaef)

Archimedes Dositheo s.Guru audiuissem, Cononem mortuum esse, qui, dum

uixit, nobis amicitia coniunctus erat, te autem Cononifamiliarem fuisse et geometriae esse peritum, demortuicausa dolore adfecti sumus, quippe qui et amicus et inmathematicis admirabili acumine praeditus esset, susce-pimus autem ad te pet litteras, sicuti ad Cononem mit-tere constitueramu, geometricum theorema quoddammittere, quad antes. perspectum non erat, nunc uero a.nobis perspectum est, prius pet mechanica inuentum,postes. autem etiam per geometrica demonstratum.eorum cairn, qui antea in geometria uersati sunt, qui-dam’) conati sunt scribere, fieri posse, ut spatium recti-lineum inueniretur date circulo et dato circuli segmentoaequale; et deinde spatium totiusT coni sectione et linea.recta. comprehensum quadrare conabantur lemmataminime manifesta adsumentes; quare plerique agno-

1) Archimedes sine dubie hune librum inseripserat molin 1013 608070071500 1105000 tamis, ut habet Eutocius ad pl.seq. Il, 8.

2) De circuli quadrature. egerant praeter alios Antiphon,Bryson, Hippias, Hippocrates.

mptum; Quaest. Arch. p. 149. 19. agars] sari si; 07:20 F,nnlgo; même Torellius. mitai-515010116me orellius.

10

15

20

25

296 TETPAPSZNIEMOE HAPABOAHE.

15110 1051: 112.5501001: 01511 51501011605001 10113101 1101570050-

0511 10 05 1011’ 5150515019 15 11011 000070171501: 1105000

107,029 111071101 11501570115701: 01505001 1151: 1100150011: 57111-

900010101 151007œvlë5w 51110105115001, 0 017 1:51: 09’ 011051:

5150151011. 051110151011 7050, 311 0&1: 111071101 11501516115001:

15110 515850119 «a! 001907007001: 1105701: 1011019 5110191161:

5011 1013 191705001: 1015 1305011: 5700109 1011: 0115101: 1101

151009 1’001: 100 11102111111 Aapfiavope’vov 101305 1015 10’11-

1101109 E9 1011: 021160511311: 011510171 1051: 01700011: 1100501:

1011: 15115001017, 1,5 011505151 10 1150901: 1017 5102000009,

00001101: 511151: 01151011: 501011,? 00010951157011: 11010109 01150-

57511: 1013 110015057109 11511500005701: 10005011. 1151001:-1al, 00 11011 01’ 110615001: 751011510011, 19505 193 11511110211.

10159 15 7010 11151110129 01111010150701 1.0701: 515w «01’

02.1105110129 1&1: 010111510011: 01100505570011: 0115105 101510

105 1.1511110111 1000115001, 1101?, 1019 00701159019 0’11 1011110100000

110701: 510711 1101’ 012.1011019 1&1: 010111510107, 5’11 051102 i

511 min 1100011119 100101: 115’009 5’012 1015 11000110109 i

1017 1011: 01151011: 1305011: 5100109 11,1" 11000111001 2 1’500;

[001w 110:0 01611 11519 1105009 105101: 115’009 ânfioô 110-

11000001: 1013 1011: 01151011: 002011: 5100109 195 11051:0) 1101

151009 i001, 01101701: 193 11905101211509) linga 11 1.0111130-760159 570020107. 001100:01:51 00 1051: «00510111150101: :9507-

01211021001: 511010101: I11120051: 170001: 1031: 05751: 1015101: 100

415111101109 151100505171150011: 115111015vxe’v011. 5011. 00 59

1011: 01100011: 1100111: 10151019 0210171157011: 1051: 159)’ 15111151:

2. JE 1511’ siesta] 0m.,F; con. Torellius. 3. 111mm F;corr. Torellius, ut lin. à, 8. 1100150007] scripsi; 110001001: F,uulgo. 11. 50:01;? addidi; 0m. F, uulgo. 14. «01’ nousper eomp. F; con. (1101!). 15. 011101009 F; con. .1001: per comp. F; corr. Torellius. 1015100 addidi; 0m. F,nulgo. 17. 1:ro pet comp. F; con. Torelhus (0010. al-

QUADRATURA PARABOLAE. 297

uerunt, haec ab iis inuenta non esse. segmentumautem linea. recta et sectione coni rectanguli compre-hensum neminem ex prioribus quadrare conatum esseseimes; id quod iam a nobis inuentum est. demon-atramus enim, quoduis segmentum linea recta. et sec-tione coni rectanguli comprehensum tertia parte mainsasse triangule basim eandem habenti quam segmen-tum et altitudinem aequalem, hoc ad demonstrationemadsumpto lemmate 1), spatiorum inaequalium excessum,quo mains excedat minus, sibi ipsum additum quoduisspatium datum terminatum excedere passe. sed prioresquoque geometrae hoc lemmate usi sunt; nam circulasduplicem rationem habere inter se, quam diametri habent[Eucl. XII, 2] , hoc ipso lemmate usi demonstrauerunt,et sphaeras triplicem inter se rationem habere, quamhabent diametri [Eucl. XII, 18]; et porro quamuis py-ramidem tertiam esse pattern prismatis eandem basimhabentis, quam pyramis, et altitudinem aequalem [Eucl.X11, 7], et quemuis conum tertiam esse partem cy-lindri eaudem basim habentis, quam conus, et altitu-dinem aequalem [Eucl. X11, 10], demonstrabant lemme.illi simile adsumentes. accidit autem, ut omnia. illatheoremata. non minus iis, quae sine hoc lemmate de-monstrata sunt, confirmauerint. et cum ea, quae nunc

l) De hoc lemmate cfr. uol. I p. 11 not 1.

lilas F; con-KV. 18. 51L] addidi; 0m. F, uulgo. guipant;-F. 20. 6161:4] 61) au Torellius. 22. 6,101700] scripsi; oyat.cnm camp. mg F, nul o. 23. êyçoîqzov F; 3719019201: uulgo.tu] 0m. F; corr. Tore lins. 24. Mesa: scripsi; 5447621: cum0019p. a; F, uulgo. 26. imitons] scripsi; www F, uulgo;goum Torrellius, nîmypévœv] scripsi; avuypevov F, uulgo;uvayops’vœv Torellius.

I

298 TETPAPQNŒMOE HAPABOÀHE. iêxôtôope’vmv évaypawoîwsg 0151! mimi ràg ànoôsoâz’ac i

üzoatéllopeg 115945107 (125v, ois ôbà tôt! pnxuvmôv

3050191501), parti: mâta 6è and, air; 6L6: 16v ysnmstpov-(www ânoôemmîmc. npoypœqaémz ôë and stomate

6 www) "au; ëzovm ès tàv àuôôuâw. 5990960.

Ia .El aux fi ôgôoyœvtov andalou topai, ëcp’ ois à ABE

à 6è à phi Bd impôt du! ôtoipstpov mini ôzâpergog,à (fi AI" Œdpà 1&1! zani rô B Ëxzwaüovdaw mis 1:06

10 univov toués, [au émiettai. à Agi t9? .41". du; tuà à A4 tu; AF, zapallfiloz 366015111411. E ne AF nul

à saurât tô B éanœüovaa 162g toi i

E univov toués.15’.

15 El aux ôpôoymvlov minoutopât à ABF, à 6è à ne» BAHnagé: 1&1; ôtépnpov fi mitât Jui-(Lazgoç, à 625 AAI’ «qui «in: muât

k 1:6 B énupaüovdav 1:62; 105 miam 3

20 i zoning, à 6è E1" 7&9 me? 1451100 1

d d a r î î ïtopas êmwcxvovda 9mm to F, ëa- i

6015111411. ai Bd, BE l’eau. 1i

1. unoôuâuç annatsllopev F, uulgo. 8. à p5] 0m. F ; ;corr. ed. Basil. 10. saron pet camp. F, uulgo. 41’] AI’ iF. un; F; con. Torellius. 11. a; 41”] on. F; com B.une F; con. B. 12. snupuuovam. F; corr. B.

QUADRATUBA PARABOLE. 299:dimus, nuper ad eandem fidem perducta sint, demon-ltrationes eorum a nabis conscriptas mittimns, prias,1110 modo pet mechanica perspecta sint, deinde autem:tiam, quo modo par geometrica demonstrentur; prac-nittuntur autem etiam conica elementa ad demonstra-:ionem utilia. uale.

I.

Si data est sectio coni rectanguli, in qua est A81",

B et Iinea Bd diametro paraHelaest uel ipse. diametrus, AI1 au-tem lineae in B sectionem conicontingenti parallela, erit

.44 a AI".et si .44 a AI", linea AI" et

r d A linea in B sectionem coni con-ingens parauelae erunt [Apollon I, 46].1)

II.Si ABI’ sectio est coni rectanguli, et linea Bd

üametro pat-allela est uel ipse. diametrus, et linea .441"ineae in B sectionem coni contingenti parallela est,èt linea EF sectionem in puncto F contingit, erit34: BE [Apollon I, 35]?)

1) Cfr. Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 51 nr. l4.2) Cfr. ibid. p. 53 un 16.

10

15

20

Iy .El sur ôgôoyawt’ov naïvov touât à AB F,

1? Bd «:4196: du; ôwîpszpov fi (161:6: .daignons, ml &zôe’œvtl.’ rweç

a! .44, EZ m1965 du: ara-rôt rô1’ Z B êmapaüovdœv 1&9 105 xoôvov î

topois, âaaeimz, (fig à Bd 2150111&1; BZ, ôvvoîyso à A4 nazi i

A J T 1&1; EZ. Ïànoôsôsz’mm 6è tonka à: rots- :wwmol’s dtozzeioog. l

f

300 TETPAPQNIEMOE HAPABOAHE. 11

«il:

5’. l"E6110 moine: nsçtsxôpsvov inti) GÙÛGÙZQ ml 6980-

750111501) 2":in roués to ABE à 6è Bd &nô 51,53an1&3 .41” ampà 143w (baigneur! 5216m, fi mirât ôzdpstpog561m, ami. à BF 5665m êmâsvxôstaa êxflsfihjo’ôœ. et

ôn’ aux àzôfi us 4’22qu à le) napà min: Bd tépvovda

du) duit r61! A, F stiôstav, rôv 0:61:61: 555L 167011 àZŒ 75011 du: QH, 31: à .411 1012 1&1! Al.

6214909 7&9 du: 105 H impôt fait!) AI.1 à K.H. ëfitwâ’ça, 059 à Bd and ràv BK pointu, 05mg à AF 21501:11&1; KH ôvvdysz. énoôsôsa’xrm 7&9 mâta. êo’fiss’raa

2. fi] supra scri tum manu 1 F. oofioyœw cum comp.or F. à de n de ; con. Torellius. 3. and tu F, ougo;w deleui; avrà à B, Riualtus, Torellius. 4. chaperon» F;corr. B. 4110006427 FC; alléluia nnlgo. 5. naquit 7&9 non-à:6 BJ 0m. F; com B. 7. Bd miss: A, ed. Basil., Torellius.8. corme ôvvdpu ed. Basil., Torellius. 10. de] scripsi; enF, uulgo. 12. tuque; F, ut lin. 14: cum), 1m. 16: au",lin. 19: mais; corr. Torellius. 16. un tillai]; scripsi; mu-arasa] F, nulgo. 17. Endrs’çuv 1&1: AI’ un: FB- 51388.74:Torellius; êuaréoav 1:61: ayfi sciûuâv mg. ed. Basil. 19. H]I FV. 21. KH] K1 F; con. ed. Basil.


III.Si ABI’ sectio est coni rectanguli, et linea Bd

liametro parallela uel ipsa diametrus, et ducunturineae quaedam Ad, EZ lineae in B sectionem conizontingenti parallelae, erit Bd: BZ : dd2 : EZ’.1)

Haec autem in elementis conieis demonstrata sut?)

IV.

Sit ABF segmentum linea recta et sectione conirectanguli comprehensum, et a media. linea AF du-:atur Bd diametro parallela, uel ipsa diametrus sit,et ducatur linea BI’ et producaturfi) si igitur aliainea 29 lineae Bd parallela ducitur, ita ut lineamin A, F ductam secet, erit lé): (9H : dd z dZ.

ducatur enim pet punctum H linea K H lineae .41”

0.

.1. P.I a FR NI Kd d Z 1’ A Z d T,Jarallela. erit igitur B d : BK : dl”2 : K H 2. hoc

1le) Apollon. I, 20; Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 501x. ,

2) In elemenfis conicis Aristaei et Euclidis; ibid. p. 42.3) ReÎgicitur ad fig. 2 solem, sed cfr. Zeitschr. f. Math.

. c. p. 58 .

10

lb

20

302 TETPAPQNŒMOE 11.0113011112.

fieu, ais à BF nazi 143w BI (mixa. 051m9 à BF «et!ràv B8 ôvvépsz. &vdloyov Égal 3111:1. ont B1”, 80, BIypuppai’ «3’615 rôv «616v Ezu 167m: à BF nazi du!

B6, 311 à F9 un! du: QI. 561w Égal, 059 à Fd «Mldu: dZ, 054m9 à 82 and 113w 0H. 1:9? 6è dF [ouécula: à d.4. ôfilov 0151:, 31:: 16v 4113161: 51a. 2.671012

a? d.4 and ràv dZ, 31: à 28 azor). flint 0H.

s ."Eau-o mégot zspzszâpsvou 157:6 eôûstag nul 6930-

74011501) xnivov toués rô dBI’, aux! 55x001 ciao 1:06 Aaragà mini ôcdpszpov à 2.4, aïno 6è mû F s’unpaüovda

1&3 1:06 34051101; topais m’ai: a; F à FZ. si 61j mgnimbai" à: 195 2.41” unguéal? nagé: du! dz, dg tin;0:61:61: 1.6701: à 02135560: rezpfldæ’mt 151:6 1&9 1:05 69490- i

yawlov univov soya-g and à .41" 137:6 1&3 âxfleidaç[àvaîloyov]. 644.6107101! 6è évada", to ruina ni; .41"to and :93 .4 195 immun 1&9 «flânions 1:55 and, 1:95 A.

â’zôm 7&9 mg à dE napel du: .42, ml appéta)19:51:01; à dE 113w .4F dilua in! 0151! s’atw 6930-yawëov univov topât à dBI’, and olyps’vu à Bd 1:42:95:

1&1: 640241519011, ai 6è dd, dI’ tout, écachai il; .4Fnapéllnloç à «and 16 B énupaüovo’œ mais 1:06 6930-

1. un) du: BB-aî BI’ lin. 2 suppleui; 0m. F, un] o.5. dz - un), suiv 0m. F lacune. poat 9H relicta; com ed. s-sil. 8. Bine propositionum numeros 0m. F, sed initia pet .lineolam transnersam in mg. ductam designat. 9. tamia F;cors. Torellius. 13. et; addidi; 0m. F, nulgo. 16. éni-loyov] uncis incluait ed. asi1.; 0m. Torellius. 17. 1:6 and14,5] scripsi; zou tu F, vulgo. se?) A] scripsi; tu A F, unlgoafort. tâ An 18. noçai] zou F; corr. A. 20. «7mm F1com Torellius.

QUADRATURA PARABOLAE. 303enim demonstratum est’) [prop. 3]. erit igitur

BI’: BI : BI” : 86’?) ,quam lineae B1”, B8, BI proportionales sunt’); quareerit BI’: B8 : F8 : 6L4) erit igitur

Fd : d2 : 02 : 811.5)sed dA --: dI’. adparet igitur, esse

d.4:dZ::28:ÜH.V.

Sit ABI’ segmentum linea recta et sectione conirectanguli comprehensum, et ducatur a puncto .4 dia-netro parallela linea 2.4, et a F linea F2 sectionem30ni in puneto F contingens. iam si linea aliquaà! triangulo 2.11" lineae A2 parallela. ducitur, in ea-lem ratione et linea ducta a sectione coni rectanguli2h41" a ducta linea secabitur; et pars lineae AI" adA site respondebit parti ductae lineae ad .4 sitae.

ducatur enim linea aliqua dE lineae A2 parallela,ït primum linea dE lineam .41" in duas partes ae-1uales secet. iam quoniem ABF sectio est coni rect-mgnli, et Bd diametro parallela, et dd 2 dl”, eritinca in puncto B sectionem coni rectanguli contingens

1) Sc. a prioribus, la soie amusoit «mustang; neque enim:dprop. 3 demonstratum est. debuit esse Ad’ : KHO, sed

- AI". .a) Nain Bd: 8K: BF: BI (Eucl. VI, 2) et. dF:KH:dF:Zd::BF:B9,[un Bd :1: Z9 (Eucl. V1, 2).3) H. e. BP: 30 :- 39:31 (Eucl. v def. 10).4) fraudé, mnO’Évu, baud: ex BF: B9 - B9 : B].5) Nain BF:BO a: T’d: dZ, quia Bd à: 82, et

. F8:91:92:9H,:1113 HI : A? (Fuel. V1, 2).

304 TETPAPQNIZMOE HAPABOAHE.701111501) naïvov toués. mêla; êta! 1:42:96: tôw ôzéparpôv

êo’rw à.AE, deal (in?) tu") F à FE ânon êmùaüovaa1&9 mû ôpôoymu’ov 31051201: topâç

zani t6 F, à ôè 41’ napéllnloç

5 192 xarà 1:?) B âmzpavoüagz, [ou4 ëarîv à EB 1:9? Bd. 5ms 137v

«ôtât: 5x51. 1.67011 à AA «01:1 du;

AF, 31; à dB nazi 1&1: BE. si4121: 015v 6610: fËy’IIêt à 021851:45:21

Z

1° 1 d du: AF, ôsôu’xmr et 6è mi, 5119m tu; 62Mo: à K11 «(qui du: Al.0 ôsm’cs’ov 015v, 511. du! aôrôv fixez

. lo’yov à AK «et! 143w KF, 3115:J K09 nazi ràv (911. âne) 7&9 [au

15 44vK..-4-K 11 goth, à 3E a; Bd, [au t’ai andà I A a; KI. 1:61: «1517131; 5590; Âôyov 5x81, à K11 nazi

145w KI, 311 à AF 101:2 du: 4A. ëxaL ôè nul à KIrrorî

143w K09 zôv 0:15:67 1167011, 31! à 4A 1:th 1:43:11 AK.ôaôu’ntm 7&9 à; 1:95 apôrapov. 0361:8 1611 416161: 1.6701!

20 5st â K6) and 143w ÊA, 311 à AK un! 1&1: KIT,

ôsôsfxzm 05v 1:6 «90158532. r

g .Nostdôœ 61) 16 r5 [456er t6] à: a; fisc-optez «go-l

uelyavov [ôgm’pwov] êm’nsôov 690611 and 1:61! ôpL’Çowa, l

25 and zig AB flinguât; [fatum] 1:8; phi 6’12 rôt airât r95A mita) 1105561903, zà 6è 151:1 80215890; 621102.. 1:6 6è BAT

tpiyœvov gara) ôçfloyaîwov 694360: ëzov du: mort :95

B ravina! and du! BF «nuptial [110w t9? finaude; 1013

13. 2&1: K F] 1:01: (comp.) K F F; corr. Torellius. 14. un F; corr. Torellius, ut lin. 15. 16. à K11] 0m. F; corr. TON

QUADRATURA PARABOLAE. 305lineae AI" parallelal) rursus quoniem linea 4E dia.-metro parallela est, et a puncto I’ linea. FE ducta estsectionem coni rectanguli in F contingens, et fines.AF lineae in puncto B contingenti parallela est, eritE3: Bd [prop. 2]. quare A4 : AF: dB : BE.si igitur ducta linea lineam AF in duas partes aequa-les diuidit, demonstratum est propositum. si minus,alia liuea. K11 lineae AZ parallela. ducatur. demon-strandum igitur, esse AK :KF:K0:0A. nam quo-miam BE : Bd, erit etiam 111 : K1?) itague

K11:KI:AF: 4.4.uerum etiam KIzKQ:dA:AK. hoc enim in prae-cedenti [propositione] demonstratum est?) quare eritK0: 0A :- AK : K IE4) itaque constat propositum.

VI.Fingatur iam plenum, quod sub oculis est, ad horizon-

tem perpendiculare, et quae in eadem parte lineae ABsunt, in qua. est punctum A, infra esse fingantur, quaein altera, supra. et BAF triangulus ait rectangulusangulum ad B positum rectum habens et latus BF

1) U. prop. 1 b.2) Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 3.3) Ex prop. 4 erit K1: 19 :: A4 : K41; tum u. Eucl. V,

19 IÔQMIMI.

4) 65’ i301: (Encl. V, 22) K11 : K9 --. AF: AK; tum 6L5-

lôvu a? oïuîzalw. ’rellins. 19. Post apôtsgov addit Torellius: «39 42”90; à K 0loti 1&1 KA, 017th à AK nazi du AH (56158] au: F; con.Torellius. 23. M] scripsi; Je F, unlgo. 301w té] deleo."I F; corr. Torellius. 24. ôgaîpsvov] delco. 25. and] ôtéNizzius; aux! du? Ien. Saura] deleo. 26. mitan] mita F.27. 0981p: F; con. Torellius. 124,5] scripsi; tu F, uulgo; 10Torellius.

Archimedel, cd. Heiborg. Il. 20

10

15

20

25

306 TETPAPQNIEMOE HAPABOAHE.:0705 [61211011610 [6129 013’013 0&9 AB 017 BF]. zoapéaâo

6è rô 105720111012 a 10311 B, F 611145110111, 91950020801 JE

and. 5Mo 10101501: tô Z à: mû ête’çov 115’050; 1017 C0706

muât a) A, and [dopçoarsirm tô Z 11005011 11011:6: 16.411050051181101: 1:95 BAF 001424151191 01701051 Ëxovu, 03g 12131!

1:55:00. (papi 615, 1:0 Z xmolov mû BAF rpzyaîvov115’909 IQÛFOII 6111511.

3nd 7&0 ônouat’mt 560000115011! ô (mais, d’1) me?

AF yoappà 1001043: 1:61! ôplÇovw, a5 ôè not’ 6006:;157011511011. a)": AF à: 095 60893 êmne’ôç: azor! 1:01) 601’-

4 3 z r C0000: 1401054001 5660150,un 511:3, 1:01) ôpt’Çowa.

1500026040 61) a? BP

1 y90111100? gaz-ni rô E 05-Z K 0409, 05’015 61.1110161000

eïpw 1&1! FE 1:5; EB,)

Â au! 51’130) 11:11:08; 1&1: A8.à KE, ml 15141026001 61’141 un? 1:0 6). 1:01? 61) BAI1rgzyaîvov 165000011 fiéçaôg 361:1, 10 Ü 6011051701). 5565110)

un 7&0 17061:0 à; toi; pnzavmoïg.’ si aux 01’111 1017 BAT

09170512012 à ph: nazà rà B, F upe’patng 1001i, narà à)

’50 E 110511016191), 05’115» 1:0 tpiyœvov, 059 121’212 5151.

514056101! 7&0 01511 xoepœps’vœv, êE 015 capelet: aux mua-1

6105317, 1151131., 4501.5 nard 1051960012 830w 1:6 ta cassier

1:06 14051100101"; ml 1:6 115320001: 1:05 flépsog 1:01; 11960414

pévov. ôsôalxraz 7&9 ml 105:0. 15ml 01’112 ràv 013d?

1. 6111014601 - BF] delco. 2. 017051011 F; con. Torellius.3. 1159on F, uulgo. 6. 501m F; con. Torellius. 7. 5mn par)camp. F; corr. Torellius. 8. 10090011400 F, nulgo. sin la]scripsi; 5111m F, au un nuïgo; êoasïzm Torellius cum B. 9-1nage? là? 601201101, ut] «010v opctovrat F; con. Torellius. )11. 1111351101; F; corr. 0d. Basil. 13. 1510110001 F; con. To-


dimidiae librae aequale. suspendatur autem triangulusex punctis B, F, et in altera. parte librae aliud spa-tium Z ex puncto A suspendatur, et spatium Z ex Asuspensum cum triangulo BAF ita. se habenti, ntinunc positus est, aequilibritatem semet. dico igitur,spatium Z tertiam partem esse trianguli BAR

Dam quoniem suppositum est libram aequilibrita-hem strume, linea AF horizonti parallela. erit, et lineaead AI" perpendiculares in plano ad horizontem per-pendiculari ductae, ad horizontem perpendicularesenmt.’) secetur igitur linea BF in puncto E ita, utait FE : 2EB, et ducatur linea K E lineae AB par-allela, et in puncto Q in duas partes aequales sece-but. itaque punctuni 9 trianguli BAF centrum gra-litatis est. hoc enim in mechanicis demonstratumet [àmrsâ 36000. I, 14]?) iam si trianguli BAF exJunetis B, F suspendium soluitur, et ex E suspendîtur,Tiangulus manet, ut nunc se habet. nam omnia sus-)ensa, in quocunque puncto posita sunt, ita. manent,lt punctum suspendii et centrum grauitatis suspensiu perpendiculari posita sint. nam hoc quoque de-lonstratum ests) quoniam igitur triangulus BFA

.1) Nam liuea AI" ei lineae, in que plenum perpendiculare0montem secat, parallala erit (Eucl, XI, 16); qusre lineaeil? endjculares etiam ad illam lineam perpendicularesTant ne . I, 29). 1mm u. Eucl. XI def. 4.

2) Cfr. Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 179 nr. 6.3) Sine dubio in libro «se! :0760; Quaest. Arch. p. 32.

11ins,nt1in. 18. 19. 80100119 F, nulgo, ut lin. 25. 21. à]F; con. Torellius. lvôfi] scripsi; 2.005117 F, nulgo. 22.www F; corr. A. 23. 01702101: F; con. Torellius. nelflîtîtctôffl scripsi; 11410010001981: F, nulgo. 26. 7020] scrîpsl;V F, nulgo.

20*

10

15

20

25

308 TETPArsaNIzMOE marnons.5551 uaté6m6w 1:6 BFA rptyawov 1501:1 161: C0760,16000011005: époimg 16 Z xœ0tov. 59:52 6è 360000-m’ovn 1:0 ph: Z upspdpsvov 1101:8: 10 A, 1:6 6è BATand: 00 E, 617107, 059 02011116601205 rots 002105610, nulê61:w, 05g à AB ami 1:61: BE, 051019 1:6 BAF 104’-yawov 1:01! 16 Z zœ0fov. 201.0106501 6è à AB 1&9 BE.

aux! 16 BAF 6206 105701001: tpLflMdtôfl 361: 1017 Z

1010500. ’01005061: 6è [31:0] and, a! un 1001011026401: 26 BAT

2057011101: 1:05 Z 1010500, 31:: 560000615650.

Ï.

"E6001 «0211:1: 507:6; à AF 70410002, 155’601: 6è «été;

561:0) 1:6 B, and 1051005600) nard: 1:6 B [zô FAH 101-yawov]. rô 6è FAH 56101 001.0071101: àpfilvyaîwovdu: ph: 5101: 1&1: AH, 500g 6è 1&1: [6041: 3066m: a?15066850: 105 Cuyoô. ml 11050026601 1:6 AFH 1017va)êx 1031: B, F Gayelaw, 1:6 6è Z xœ0éo1: 11951111505101:1:01:13: rô A Z600001règ 562m 105 FAH t0Lyaîvçz 05mg)

4. .3 F 510m, 059 1:51: usinas60015019 61) 664006500: 16)

. Z 1010501: 10h01! (18’903)Z 0013 FAH 101;:01’000.

x0500î619œ 70220 u 101i?

A d 52Mo xæptov à: 1:06005’501: (15’005; 6’61: :013 BFH 001706000. 3600000065:

76 BAF z0lyawo1: 095 ZA. 31:01 0131: rô 0&1: B FH 1

2. 160000165th F; con. Torellius. 9. En] delco. 1au] per camp. F; épelons Torellius. 12. 700mm F; corpTrel ins. mm); F; eorr. Torellius. 13. 1:6 FAH 1:01 .deleo. 15. en cum camp. 01: F. zob BF tous in!17. 6003m1: F; con. Torellius. 18. :6600001rsç F. :95] W

QUADRATURA PARABOLAE. 309sandem positionem habebit ad libram, ut antea [cumeo] aequilibritatem semabit spatium Z. et quoniamspatium Z ex A suspensum et triangulus BAF ex Esuspensus aequilibritatem semant, adparet, ea in con-traria longitudinum proportione esse [31mn [6099. I,3-7], et esse BAF:Z : ABzBE. sed AB --- 3BE.quam etiam BAF: 3Z.

et manifestum est etiam, si triangulus BAF triplomaior sit spatio Z, aequilibritatem ea. seruatura. esse.

VII.

Rursus linea. AI" libra sit, et medium eius sit B,et ex B suspendaturf) FA H autem triangulus itJbtusiangulus basim habens lineam AH, altitudinemuero lineam dimidiae librae aequalem. et triangulusAFH ex punctis B, F suspendatur, spatinm Z autem9x A suspensum cum triangulo FAH ita. se habenti,ut nunc positus est, aequilibritatem seruet. iam eo-dem modo demonstrabimus, spatium Z tertiam par-tem esse trianguli FAH.

suspendatur enim etiam aliud spatium [A] expuncto A, quod tertia pars sit trianguli BFH. ita-lue triangulus BAF cum spatio Z 4- A aequilibrita-lem seruabit?) iam quoniam triangulus BFH cum

1) Se. libra; cfr. prop. 8. nam triangulus FAH non ex B,la! ex B et F suspenditur (fin. 17).

2) Nam suppositum est, Z et FAH aequîlibritatem Berline,Et ex prop. 6, b A et B H F aequilibrîtatem semant. bine autem10e quoque sequitur, esse BAF :- 3 (Z 4»- A) (prop. 6).

30.. fifi] scrîpsi; 88 F, nnlgo. 24. «un F. zœqtov t6 ANuzm. 25. mi] seripsi; a: F, nnlgo.

10

15

20

25

310 TETPAPSZNIEMOE musons.www 66099011551" 195 A, 1:6 66 BFA 195 ZA, ami quiroc! 361:1 1:06 BFA 16 ZA, 0111159611, 51L nul 16 FAHrpiymvov tomioîtnov 101") Z.

In ."Etna; C1176; 6 AF, (15’601! 66 at’noô 16 B, and ups-

goîaôm muât 1:6 B, 16 ôè FAE fQL’yGHIO’U ôpfioyaîvwv

693611 5x01) 176:1! nazi 1:95 E ymvc’ow, aux! upepaîdôm à:

roi Çvyoô azurât rà F, E, 16 6è Z xœplov nçapoîdôm and:

16 A, nul idoppomz’tœ t9? FAE 03mm Ëxovu, (15g vin:miras. 311 66 1167011 fixez à AB 7:01! 1&1! BE, minon516’103 1:6 FA E tpiyœvov and 16 K 160915011. (papi à)

t6 Z 16195011 17013 ph) FAE 1:9;7051201) 51416601: Eïfifll,

roi? 6è K garçon. IÂeldqaôœ 7&9 1:05 AEF rpzyœ’vov 1:6 xa’vzpov roi

A 19E I 17 fioipsog, and. 56m) 1:6 9,aux). à 0H fixât» m1913;

V du; 4E. émet 05v [609-goazaî 17,6 PAIE rplfyœvov

195 Z xægûp, 16v MM»!

515; 1.67011 1:6 FAE 1m-pL’ov nazi 16 Z, 31: à

AB nazi tôw BH. 450:3 51.416661: écu 1:6 Z r01)" FAE.and 69:51 1:6 FA E 19157011201; 1101:1 yèv 16 Z 10510:!5st 1:61: lôyov, 311 à BA and ràv BH, and ôè 16 K,311 à BA nos). du; B E, ôfilov, à; yaiÇova 1.67011 au n:6 FAE 19576711011 azor! 1:6 K fi nazi 16 Z. 15618yeïgôv éon 16 Z mû K.

Z

4 I

1. A] A F; con. Torellius. 2. ZA] ZA FV. 5. 4P]AB F; corr. Riualtus. usuqapadfi’œ F. 6. dé] addidx (I1.

QUADRATURA PARABOLE. 31 1spatio A, et triangulus BFA cum Z -l- 11 aequilibri-tatem seruat, et tettia pars est trianguli BAF spa-tium Z 4- A [et trianguli BHF spatium A]1), mani-festum est, triangulum FAH triplo maiorem essespatio Z.

IVIII.

Libra sit AF, et medium eius punctum B, et.expuncto B suspendatur, FAE autem triangulus sitrectangulus anguîum ad E positum rectum habens,et in libra ex punctis F, E suspendatur, et spatiumZ ex A suspendatur et cum FAE ita se habenti, utnunc positus est, aequilibritatem seruet. et sit

ABzBE:FAVE:K.dico igitur, spatium Z minus esse triangulo FAEmains autem spatio K.

sumatur enim trianguli AEF centrum grauitatiset sit Q [p. 306, 18], et ducatur 9H lineae 4E par-allela. iam quoniam triangulus FA E cum spatio Zaequilibritatem semat, erit

FAE: Z : AB : BH [émana [6099. I, 6-7].quare Z x FAE. et quoniam est

1’21 E : Z : BA : BH

et FAE: K : B4 : BE [ex hypothesi], adparet, esseFAE : K x FAE : Z. quare Z x K [Eucl. V, 10].

1) Fortasse lin. 2 addendum est: tu"; 6è BFH t6 A.

p. 309 net. 1); 0m. F, uulgo. 7. 1:93] scripsi; un F, nulgo;r6 Torellius. 24. Élu] .5101 F; con. Ien.

312 TETPAFSZNIEMOE HAPABOAHE.

9’.

I"Ed1co 11021.11) 16 p61: AF Çüyzov, 515’001) 66 011’106

16 B, 16 62s FAX 1015720911011 02516107050101 fiéaw p61!

5101 10h! 4K, 51009 6è 10h! E1”. and. 1051105660.» à:

5 A B 1* 11 105 C0701? 1m16: 16: F, E.. 16 66 Z zœgtov nospédôœ

510110? 16 A mû inoppo-Jtelun 195 AFK 1917051193051m9 5101111, (69 015v usi-

10 Z A 1m. 612 66 167’011 515:. àJ AB 7101i 16m B E, 10171012

515’100 16 FAK 10574011011 2101) 16 A. (papi 66 16 Z101": 41612 A actéon; ducal, 105 66 AFK 57.426601.

651461765101 61.105009 193 1196189011. *

I

15 L.”E61co 71021.10 16 p.61: ABF (1571011, aux! 515’601 016106

16 B, 16 66 BAHK 1pane’ëzov 169 p.61; 71011 1012; B,H 004155019 yœw’ag 69869 5x01, 16m 66 K A 111151196111

in! 16 F 151501:00:11. 101?. 611 5x61. 1.6701) à B4 71011.20 16m BH, 106100 315’102 16 BAKH 190171551011 2101?.

16 11. 19511026801 66 16 BAHK 1pane’êcov à: 1017Çvyoü 20:16: 1è B, H 601515541, 519641026000 66 and 16 Z

xœpt’ov 410116 16 A nul laogpoatahm 193 BAKH 19a-neÇûp 0511m3 510011,, 16g 1161 671011511011. (papal 16 Z

25 1039011 51.06001; sîuav 106 A.15151026190) 7&9 à AI” 3101102 16 E 051009, 0361s 611

flat 10’701 à 6111101650: 1&9 dB aux). à KH 2101?. 16m61111101010111 1âg KH and 1&1; B A, 1051012 515w 161v EH

4. 115105540080; F; corr. A. 6. 1531920010800 F; con. AB.


1X.

Rursus sit AI" libre, et medium eius punctum B,et triangulus FAK obtusiangulus basim habens 41K,altitudinem autem E1"; et in libre. ex I”, E suspen-datur. Z autem spatium ex A suspendatur et cumtriangulo AFK ita se habenti, ut nunc positus est,aequilibritatem seruet. et sit FA K : A : AB : B E.dico igitur, spatium Z mains esse spatio A, minusautem triangulo AFK.

demonstrabitur eodem modo, quo praecedens pro-

positio. ’X.

Rursus sit ABF libre, et mediurn eius punctum B,et BAH K trapezium angulos ad puncta B, H positosrectos habens et latus K4 ad F uergens. et sit

BAKH: A:BA:BH.et trapezium BAHK in libra ex punctis B, H sus-pendatur, et etiam spatium Z ex A suspendatur etcum trapezio B A K H ita se habenti, ut nunc positumest, aequilibritatem seruet. dico, spatium Z minusesse spatio A.

secetur enim linea AF in puncto E ita, ut sit2AB -I- KH: 2KH-i- B4: EH: BE,

8. AEK F; com Torellius. 17. quantum: F, uulgo; et haecforma F in hoc librot semper praebet. 18. d’flpêLOlç F; commanus 2. 21. A zmgloar Torellius. 15119111010000 F, uulgo.22. 102 B, H dupera] scripsi; 101w B, H duMSHDV F. uulgo."19511010190: F, nulgo. 24. 0mm F; com Torellius. 26.15111170190) F; eorr. Torellius. ut p. 314 lin. 2. 27. 117; F;cor-r. Torellius. 28. 1021:] (prima) scripsi; me F, nulgo; 10?;gal-enim. 51811] av 5st F (or supra son manu 1); corr. ed.

asil.

314 TETPAPSÆNIZMOE musons.1101?. 16111 BE, 11011 6161 1013 6E 7101061 16111 Bd 121185.htm

à EN 1511166801 61’750: 0101161 16 Û. 105 61) BAHK10011151300 1115111000 6’611 106 fioi050g 16 Û. 65651311011.

A B E I 17 7610 101710 5’12 101’9 111710:-vmol’g. 131) 0150 16 BAHK

100171521011 0101161 112w 16 E

110511016ôfi, 02016 66 11511 B,H 60111515000 lvôfi, 115’051 16m

016161) 51012 11011016166112

10 d A 6161 16 016161 10179 210615-0011, aux! 16000071517 195 Z

1000100. 30151 060; 16000071517 16 B AHK 100171551011 110116:

16 E 31051102115000 11,5 Z 100010) 1101161 16 A 11061161115119),

666811011, 069 à BA 1101?. 1611 BE, 16 BAHK 1001115315 :1012 11016 16 Z 10301500. (181201141 0611 1.6701! 5151 16

BAHK 1001115’C1ov 0101?. 16 Z 51’150 01011 16 A, émet

ml à AB 01011 16111 BE 115120001 10’700 5151 6’150 0101?.

113w BI-I. 16’615 57.016600 566511011 16 Z 106 11.

101 .

20 "E6101 010511.11) 16 1161! AF (1571011, 1101?, 115’601! 0113105

A 3 -y 11 16 B, 16 66 KATP 1001-. néÇwv 5610) 1615 116v K A,

TP 011.5001319 5x00 ênï16

F 0600156019, 1619 66 4P,K T 11016510115 511?, 161v

BP, and à 4P in! 16 BP 0110115102. 30 66 1.6700

5,151 à AB 21011 119w BH, 106101 311’103 16 AKTP

3. 660mm F, nulgo. 8. 6171151001 F; corr. Torellius. 108i]scripsi; 1.065111 F, nulgo. 9. 5101101 F. Il. 13600001151] scripsi;

QUADRATURA PARABOLAE. 315:t linea EN per E ducta. linette Bd parallela in puncto9 in dune partes aequales secetur. itaque trapeziiBAH K centrum grauitatis est 9. hoc enim in mechta.-1icis demonstratum est [3mm [6099. I, 15]. si igiturrapezium BAH K ex puncto E suspenditur, ex B, Hnutem punctis soluitur, manet candem positionem ha-)ens propter eadem, quae supraï), et cum spatio Znequilibritatem semat. iam quoniam trapezium BAHKex E suspensum cum spatio Z ex A suspenso aequî-ibritatem seruat, erit BA : BE : BAHK : Z [52mn17099. I, 6-7]. quare BAHK: z x BAHK : A, quiastiam AB : BE ) AB: EH?) quare Z ( A [Eucl.V, 10].

XI.

Rursus situa" libra, et medium eius punctum B,:t K4 TP trapezium ait lutera K A, TP ad punctumF uergentia. habens, latere. autem 4P, K T ad BI’perpendicularia, et AP in B cadet. praeterea. ait

ABzBH: AKTPzA,l) Prop. 6 p. 306, 23.2) Nam B E ( EH.

WQQonurœ F, unlgo; Icooçonn’au ed. Basi1., Torellius. 15."(tout 057] scripsi; pu: (cum comp. or) ou: F; guitare: 0D;"me; âge: nulgo. a1 cum comp. av F; corr. AB.3011801 F. 18. and; pet comp. F, uulgo. 26. n F; corr.Forellius.

3 16 TETPAPSZNIEMOE IIAPABOAHE.

19011:5;on ami zô A. 16 6è AKTP rpaxê’gcov ups-pdaàm in 105 guyot? mât fà B, H nul rô Z Mtàt6 A, anal 3609901155100 16 Z 1:95 AKPT manta,»0171m9 Ëxovu, (53 1251; mitan. 644054139 65) ton; 196-

5 nom: fiscxôndërou êÂaaaov r6 Z 11091501) mû A.

Lfi’.

’Eôtœ «élu! rô ph: AF Cüytov, 445’601: 6è «61:06

rô B, tô (fi A EK H tpauëtcov 561m ràg yèv and ton;E, H capelons yearling 6906:9 Ëzov, 1&9 6è K4, EH

10 yoappàg nazi 1:6 F peucédans. and 311 p.251; 2.67011 5x5;

à AB and rab; BH, minou ëxa’rœ tô dKEH tea-ze’ÇLov nazi 1:6 M, 31: 6è 1.6701: au à AB azor), 1&1:

BE, 105101; r61; 1.67012 flétan tô JKEH Quignon7101:1 zô A. nesyédôm

15 A ’57 E 171717.» ré AKEHma-x xénon: à: 1:06 tuyoü z

«a K zonât tôt E, H, tô

Z [Z] 6è Z 1019501: zoé-41422606) xatà zô A,

20 x ml taopçoatsz’m r95M d marnât? 0171m3 5101!-

u, 45g 1161: batoud-uu. (papi à) 1:6 Z 105 ph; 11 44812011 dual, 1:05 ôêM 510566011.

25 51141501: yàp 105 4K EH rçansÇL’ov rô ue’wpov roifiâpaog, 56’500 6è r6 8’ laqaônda’ma 6è ôpoz’œg 1:95 dipô-

tepov. and 627m tàv (91 nagé; ràv 4E. à: 05v 16manè’Çzov a”: 1:06 émiai) xpspao’ôfi emmi rô I, ànô (ü

17051! E, H 111877, pavai: 113w 0161.1311! 510v nazdaraaw

l. maçonnai?!» F, nulgo. 3. 16 Z] un Z F; con. B. 9.

4. - v..-x.. ....--.,,


et trapezium AKTP in libre. ex B, H suspendaturet Z ex A, et Z spatium cum trapezio AKPT ita sehabenti, ut nunc positum est, aequilibritatem seruet.eodem igitur modo, quo in praecedentibus propositio-nibus, demonstrabitur Z e A.

X11.

Rursus sit AF libra, medium autem eius punctumB, et AEK H trapezium sit angulos ad puncta. E, Hpositos rectos habens et lineas K4, EH ad punctumF uergentes. et ait

AB:BH:AKEH:M et AB:BE:AKEH:A.et trapezium A K EH in libre ex punctis E, H suspen-datnr, Z autem spatium ex A suspendatur, et cumtrapezio ita se habenti ut nunc positum est, aequili-britatem seruet. dico igitur esse M x Z x 11.

sumpsi enim trapezii AK EH centrum grauitatis,et sit 6; sumetur autem eodem modo, que supra[p. 306, 18]; et duco QI lineae JE parallelam. siigitur trapezium in Iibra ex puncto I :suspenditur etex punctis E, H soluitur, manebit eandem positionem

«muon; F; corr. Torellius. 14. 18195M600 F, nulgo. 18.fessioôm] scripsi; anonymats F, unlgo; «5195540200111 Torel-1ms. 26. fiaçovc F, nulgo. lytpôno’emz F; corr. Torellius.28. uçspuarfifi] scripsi; uçspaaflncsmc F, nulgo.

10

15

20

318 TETPAPQNIEMOZ HAPABOAHE.

tu). iaoppomfidu 1:93 Z ôcà tôt «au? 10179 «961559011-in! 6è happant tô tpane’toov wayépeuov amuï: 1:6 I1:93 Z 11951101115119) zani 1:6 A, du: «616v 5561. 167101116 tpaza’ficov «012 ra Z, 311 à dB un). têtu BI. ôfi-

110v 013v, 51:1 sa AKEH nazi ph: ra A miton: layai!515L fi nazi 1:6 Z, azor). 6è ta M Quidam": fi and 1:6 Z.(3615 tô Z 1:06 ph: A parafa: 6’611, 1:05 ôèM Ëlao’o’ov-

rw .

"Edm mil") 1:6 ph: AF ÇüyLov, muât 14.5601! ôë0:61:05 1:6 B, r6 6è K A TP rpane’ÇLov, 156:5 tàg (duK21, TP «16129619 125110150015 aigu: 31?. t6 F, rôts æ4T, KP 1101353on 311:1 ràv BI’. 11951102600) 6è à; r05Çvyoü xatà t’à E, H, 1:6 6è Z xmplav 11951102619113 aunât

1:6 A ml 36099011585150) ta; AK TP manage) 051m51011:1, (59 vüv miton. ml 311 14h: 5151. 1.67011 à A8azor! du; BE, toôtav ËZS’tm ra A K TP tpanëgzov 71:01:)

a) A lampion, 311 6è 1167011 5151. à AB and 1&1; BH,150171011 êxe’zœ, 1:6 01131:6 tpMé’va azor! a; M 651015029

à?) 151,5 196159011 ôszxônaérm 1:6 Z mû (.1251: A MÏËOV,

1:05 6è .M 514166011.

16’.

’Eo’zœ quina ra B01" maLexépsvov 131d) 513881505; 11a!

ôpôoymviov 11(6va 101159. fana 61) 7:96:01: à B F 7:01?

1. 1:93 tu F; cart. AB. 2. Iaogaozeî] -EL in mura. F.5. A] A V. 7. page cum camp. av F. 9. nattai] nul 1:6Torellius. 13. H] 0m. F. 31511981111601» F, unlgo. 22,111mm F; con. Torellius. 23. not’] naos pet camp. F; con.

Torellius (and). t

QUADRATURA PARABOLAE. 319habens et cum Z aequilibritatem semabit propter ea-dem, que supra. [prop. 6 p. 306, 23]. et quoniamtrapezium ex I suspensum cum Z ex A suspensoaequilibritatem semat, erit A K EH : Z a: AB : BI.adparet igitur, esse AKEH: A ) AKEH: Z et

AKEH: M( AKEH:Z.1)quare erit [Eucl. V, 10] M ) Z ) A.

X111.

Rursus sit A F libre, et in media. en. positum punc-tum B, et K d TP trapezium einsmodî, ut lutera. K A,TP ad F uergant, latere autem AT, KP ad BF per-

A 1? 1 ’ 1’

Mz dypendicnlaria. sint. suspendatur autem in libre. ex punctis

E, H, et spatium Z ex A suspendatur et cum tra-pezio AKTP ita. se habenti, ut nunc positum est,aequilibritatem seruet. et sit AB : BE : A K TP: A,et AB z BH --- 4K TP: M eodem igitur modo, quasupra, demonstrabitur esse M e Z x A.

XIV.

Sit B81" segmentum linea. recta et sectione conirectanguli comprehensum. prius igitur BF ad diame-

1) Quia. Elfe 81e BE.

10

16

20

25

320 TETPAPSÀNŒMOE HAPABOAHE.

6986:9 a; 61.1211519911, ml 61’100) aînô 116v 1017 B 60116501:

à Bd 11:12:96 161: 6:0î95t9o11, 611:6 66 101": F à FA6111001150000: 1&9 taf: 11051201: 109.59 m6 16 F. 5005:!-tm 617 1:6 BFA 191’7awov 6900705111011. 619196630) 6è

à BF ès [au smigard ôzodaoôv 16 BE, E2, ZH,HI, I F, un). 0211:6 1&1: tamia: 6218036011: 1:12:96 1611 6mi-

psr9av ont E2, ZT. H T, 1E, 671:6 6610511 capelait,xaô’ 62 tépvovu ouïrai du: 105 11051201: 109.0211, âne-

Çsüzfimaav ënî 16 F and ëufiefilfio’ômo’av. «papi 61) 16

19111031101: 1:6 BAF «in: p.61: 19111:5;va 11511 K E, Al.MH, NI and 106 .5711" 1917011201: 510166012 559w?)19mloîaLav, 10311 6è rpauetlfœv 1051: ZQD, H6), I H mî-

toô I 01” :917611012 9.511151: être": 13 1911:10264011.

6161600 7&9 6606m à ABI’, ami &zoÀaÂétpôœ à

AB lac: et? BI’, and 110550801 Çüywv 1:6 A F, 95’601;

66 0:61:06 êo’au’rm 16 B, and 11959013309 à: 1017 B. 119e-

9020190 6è anal 1:6 BAF in 1:06 guyoü 11016 16 B, F.à; 6è 1:06 0050.4901: 115’950; 1:05 C0706 11959416801 16 P,

X, 7P, 52., 4 101950; 31011:6 1:6 A. aux! 36099onsftm 16

961: P 100911011 :95 4E 190114191 0171039 5101211., 16 6èX 11,5 22 r9ansÇL’ço, 1:6 6è IF 1:93 TH, 16 6è sa 193

TI, 16 66 4 11,5 511" r91yaîvço. [00990166651 61) nul

16 510v r93 67.9). 03615 1:9mloîo’wv 611 d’1] 1:6 BAF

19570711012 1017 PX 11’624 xw9iav. au! 31:51: 8’er 195M

16 BFH, 6 «591.5161011. 61:6 ra 56055019 ami 6900710111501:

4. 6è] scripsi; 617 F, uulgo. 5. fou] scripsi; tu F, uulgo;1:02 tpoîpdfu 5’00: Nizzius. 191791210: F; con. Torellius. 6.I F] 0m. F; corr. Nizzius. mg 209w; (a; bis par camp.) F;com Torellius. 8. 159.1100011; F , nulgo. m’y . . 109117 F;corr. Torellius. 9. 31:15] scripsi; une: F, unlgo. 14. 61-11010 F; corr. Torellius. n AFB ’F; à F8 Torellius; à A8

, ed. Basil.; corr. BC D. 18. papous F, nulgo. 19. 4]

QUADRATURA PARABOLAE. 321tram perpendicularis ait, et ducatur a. puncto B dia-metro parauela. linea. B41, et a. F linea FA sectionemconi in puncto F contingens. erit igitur BFA trian-gulus rectangulus.1) diuidatur autem BF in partesaequales quotlibet BE, EZ, ZH, HI, I F, et a punctisdiuisionum diametro parallelae ducantur E2, ZT, H T, I15, et a punctis, in quibus eae sectionem coni secant,lineae ducantur ad F et producantur. dico igitur, tri-angulum BAF minorem esse quam tripla maioremtrapeziis KE, 112, MH, NI cum triangulo 311”,maiorem autem quam triplo maiorem trapeziis 21D,H9, 117 cum triangulo IOI’.

ducatur enim linea ABF, et abscindatur AB lineaeBF aequalis, et fingamus, .41” libram esse, cuius me-dimn erit punctum B, et ex B suspendatur. suspen-datur autem etiam B AF in Iibra. ex punctis B, F, etin altera parte librae ex puncto A suspendantur spa-tia P, X,.1F, 52, et aequilibritatem seruet spatiumP cum trapezio JE ita se habenti, X autem cumtrapezio 22, il? autem cum trapezio TH, S2. autemcum trapezio T1, et àA cum triangulo SIR quarqetiam totum cum toto aequilibritatem sembit. itaquetriangulus BAF triplo major erit spatio

P-I-X-F zF-I-Sà-F 4 [prop. 6].et quoniam BFG segmentum est linea. recta et coni

1) Qnia BF ad diametrum perpendicularem esse supposi-tum est; tnm u. Eucl. I, 29.

soupai; A F, nnlgo. 20. 51m1, à; aï» urina Torellius.22. 31] scripsi; A F, nulgo, ut lin. 24 et in figura. ZIF F.24. rama: F; con. Torellius.

Archimedea, cd. W3. Il. 2!

322 TETPAmNIIMOE DAPABOABE.

I - D x tu 1 u Iwww rouas, aux), mm (du zou B nagez un! (harpagonânon. à Bd, 02m3 6è 1:05 F à FA ëmwaüovo’a 1&9

a: I U u B l ’I I ’I101) movov topas 5mm to F, «mon 65 tu; and alla

A BEZIII’

hfiN”:

41m96: ràv ôwîpetpov à 2E, 161! «610v 5st 1.67011 à

6 B1” and tàv BE, 311 à 2E 1501?. du; Ed). (Ba-ra andà BA :1011 du: BE 1012 «151011 515L 1.67011, au 16 JEmam’Çwv azor! 16 KE. ôpolœg 6è ôsbxônds’rw à AB

’atorî du: BZ du: 11151611 510mm 16701:, 31! t6 22rgam’âzov and 1:6 A Z, and 6è tàv BH, 312 rô TH

10 and 10 MH, un), 6è du: BI, 311 zô T1 «01116 NI.été! 015v 301:1, manégez: 10 JE ràg ph; 11:01! toits B, iE dapsz’ozg yawz’ag 69196:3 510v, rôts 6è «1.509559 371:1 t6 1

I’ 115120150115, idogponel’ 65’ n 1039501! 0:13:95 rô P x95-

poîpevov à: 1017 :0701? uazà 10 A 051m; Exowog 1:0515 rganægiov, 059 125v natron, scat 5601.11, 055 à Bd ami ,

16m; BE, dans rô 4E reaare’twv «et! tô K E, gagea: 1

d

2. muon F; com Torellius. 8. EzOfltLF; con. B. 9.. 42]


rectanguli sectione comprehensum, et a. B diametroparallela ducta est linea Bd, a. puncto F autem lineaFA sectionem coni in F contingens, et alia quoque[inca 2E diametro parallela ducta est, erit

B1": BE : 2E: E115 [prop. 5].mare etiam BA : BE : 4E: KE.1) et eodem modoicmonstrabitur esse AB : BZ : El :.AZ et

ABzBH: TH:MH et AB:BI:TI:NI.am quoniem trapezium est 4E angulos ad punctaB, E positos rectos habens, latere. autem ad F uer-gentia, et spatium aliquod P in libra. ex A suspen-sum cum eo ita se habenti, ut nunc positum est,lequilibritatem seruat, et est Bd : BE : JE: K E,

1) Nam BA a: BF et 4E : KE - 2E : Ed); u. Zeitschr.ï. Math, hist. Abth. XXIV p. 180 nr. 11. I

AZ F. 10. BI] BH F. 12. embuois F; con. Torellius.l3. 1è P] 1:60 uno ductu F.

21*

324 TETPAPQNIEMOE HAPABOAHE.51’901 561111 16 KE 10095011 1013 P xœçiov. 65051511111

7&9 101710. 71021111 ôë aux), 10 22 191121521011 1&9 11111

11011 10179 Z, E 7011111; 6986:9 51011, 16111 6è 2T 11515-ovdow En! 10 1’, 36090011517 6è 111’119; 70191011 1è X in

6 1017 5117017 19511021151107 muât 1è A, 0171mg 5101111. 197

tonneâiça, à; 111711 1151km, aux! 13611.11, 1259 pèv à B A 1011

16111 BE, 0171mg 1è 22 1pwze’fi1011 1101?, 1è Zdî, à; âè

à AB 11012 113111 B Z, 0171m9 10 ZZ 190111521011 1012 16

A Z. d’1) 01711 aux 1è X zmgiov 1017 11111 AZ 190111585011

10 510166011, 1017 ôè ZÇD [Laiton 6561515qu 7&9 aux! 101710.

61,131 1è 1117161 61] and 1b 11T 107915011 1017 11.111 MH 19a-

nsÇiOv 510166011, 1017 6è (9H MEÏÇOW, and 10 sa 71305011

1017 p.111 N OI H 1gaateçlfov 510166011, 1017 635111 (Laiton

611051119 61 nul 16 4 10296011 1017 pëv EII’ 1917061100

15 510166011, 1017 6è F10 miton êmsî 0511 1è 11111 KE1901713’51011 patÇôv ê61L 1017 P 11001501), 1è 6è 112 1017 X,

1616.3. MH 1017 4’, 10 6è NI 1017 52., 1è 6è 2111101-7œ11011 1017 4, 03011189611, 511. ml 110211101 1è Elpflpæ’fld

70091501 1181201102 15611, 1017 PX 10195011. 561111 ôè

20 10 PX 11’524 10151011 118’909 1017 BFA 191.7061101). 6171011

51’901, 511. 10 BI’A 19570211011 510166611 361w fi 1911103-

61011 11511 K E, AZ, MH, NI 190115:50:11 and 1017 311"19170511011. 71121111 3152 1è 1&7 ZIIJ manéger 511166611.6’611. 1017 X 10191011, 1è 6è 61H 1017 1P, 1è 6è Il? 1017

25 521, 10 6è IOI’ 19171011011 1017 4, 01111159611, 51L and

«d’une 1131 539111151101 6116601102 ê611 1017 452. 11111111795011.

03011159611 01711, 511, nul 16 BAF191’70011011 11.612611 3611111

a. 810011 F; corr. B. 9. 01711] scrifisi; av F, nulgo. un]scripsi; non F, 11.11150. 14. 6110m; 61.5] scripsi; 0110m1; 817 F:uulgo. g] scnpsl; A F, nulgo, ut lin. 18, 19, 20, 25. 20-

r, ,-QUADRATURA PARABOLAE. 325

erit K E 1 P. hoc enim demonstratum est [prop. 10].rursus autem etiam 22 trapezium estl) angulos adZ, E positos rectos habens, et latus 2T ad F uer-gens, et cum trapezio a) ita se habenti, ut nunc posi-tum est, spatium X in libre. ex A suspensum aequi-libritatem seruet, et est BAzBE : 22 :2115, etABzBZ : 22: 112. quare erit A2 e Xe 245.nam hoc quoque demonstratum est [prop. 12]. eademigitur de causa. erit etiam MH 1.117) 69H, et

N 01H 1 52 1 III.et eodem .modo etiam SI F1 4 1 F10 [prop. 8].iam quoniem est

KE1 P, Alex, MH1 au; N118, EIF1 4,manifestum est, etiam omnia spatia. illa majora essespatio P-i- X-l- 11’4- Sl-I- sed

P-I-X-I- 1114-514- 4---âBFA [prop. 6].adparet igitur, esse

BFA 1 3(KE 4- 112 4- MH-f- NI 4- En").mrsus quoniem est 2115 ( X, ÛH( 31”, III( .52,I 0F( 4, manifestum est, etiam omnia illa. spatia.minora esse spatio 4 -I- .52, -I- 11T -I- X. manifestumest igitur, etiam triangulum BAF maiorem esse quam

1) Auditur in: lin. 2.2) Ueri simile est, scribendnm esse lin. 5: 5101110; 1017

1901115501: ut p. 322 lin. 14.

. 8121] Ara F; corr. Nizze. 26. gQWX] sic F; AQWXnulgo.

10

326 TETPAPSZNIEMOE HAPABOAHE.1911110161011 10711 (152, QH, 1H 19a1155tœ11 110d 1017 IFO

19170611011, 510166011 6è fi 1911110261011 10511 119075790111-

115110111.

I15 .

"E6103 110211.11 1è B âF 111077.01 «59151611511011 1771:6 51’-

1951fag 110d (79807011115011 110111011 1011079, à 6è BF p.17 56101

«01’ 6913819 10’; 61011151900. 0111017xai’o11 617 11’101 16111 02116

1017 B 6011155011 1101961 16111 ôzoî11519o11 027115110111 15111 1è

’ X Ü I Ï 1 ’ 1 I! ’0111101 191 11101110111 11 10111 0111:0 1011 F 01111315170111 1101m1

70111150111 1011 113111 BF. 56101 à 10211 02114315170111 7101017611

5 à 11012 195 B. 110d 611601 11019131 16111 610211519011 0116.1017

15

20

25

B à Bd, and 0111:0 1017 F à F4 15111111111701.1601 1&9 1017

110511011 1011019 1101102 10 F. and 611191761901 à BF si; 11102-

1101101 fait 671060101711 1è BE, E2, 2H, HI, IF, 02116 6:511511 E, 2, H, I 1101911 113111 610211519011 651190160111 011 E2,

2T, H T, LE, au! 02116 11511 60111510111, une? à? 15711101111

01131011 18111 1017 310611011 10110211, 37155511780160111 5111 16 F

1101?. éufiefi11j619œo’a11. 9101112. ôù aux). 111711 1è BAF 19(-

70011011 10711 pèv 1901115CL’œ11 10711 BQD, A2, MH, NI

au! 1017 FIE 19170511011 510166011 5111511 fi 1911110261011,

11511 635 20, HQ, III aux). 1017 FOI 19170511011 11555011fi 191111056Lo11.

êxflaflhfiaôœ à A B 5’111 181115901. 0170170711 01711 11021951011

16111 FK 10? FK 160111 0211510173011 10111 AK. 11051561910 611

11011111 571.011 16 AI, 115’607 6è 11171017 1è K, ml 1195-

11026801 a”; 1017 K. 11061101690) 6è 1101?. 1è FKA 191’-

ô. 111171101 F; con. Torellius. ut lin. 9, 13. 7. 61;] scripsi;65 F, uulgo. 8. 017115110011 F. 9. 0117102 0m. F; 0011.3.11. mon; par camp. F; corr. V. aîné 1017 B izzius. 14. ni]10111 F. 16. 51’] o F; corr. Torellius. 17. 51115511190111 ’F; con. Torellius. 19. 11511 111511] 1m p.511 F. MH, NyI8H, HI F; com Torellius. 23. 1, F; corr. Torellius. 0119


triplo maiorein trapeziis (DZ, 0H, I H cum triangulo11”01), minorem autem quam triple maiorem spatiissupra. nominatis.

XV.

Sit rursus BûI’ segmentum linea. recta et conirectanguli sectione comprehensum, et BI” ad diame-trum perpendicularis ne sit. necesse est igitur, autlineam a puncto B ductam in eandem partem, in que.est segmentum, diametro parallelam, aut lineam a Fductam obtusum angulum cum linea B1” facere. Iinea.igitur obtusum angulum faciens ea ait, quae ad B est.et a puncto B diametro parallela ducatur Bd, et aF linea F4 sectionem coni in F contingens. et lineaBF in partes aequales quotlibet diuidatur BE, EZZH, HI, IF, et a. punctis E, Z, H, I diametro par-allelae ducantur EZ, ZT, H T, 1E, et a punctis, inquibus eae sectionem coni secant, ad punctum F du-cantnr [lineae] et producantur. dico igitur, sic quo-que esse 3(Bdî-I-AZ-I-MH-I-NI-l-FIE))BAI’ 3(Z115 -I- H09 -I- Il] -I- FOI).

producatur d B in alteram partemf) ducta. igiturlinea. FK perpendiculari posui AK lineae FK aequa-lem. fingamus igitur rursus, libram esse AF, et me-dium eius punctum K, et ex K suspendatur. suspen-datur autem etiam triangulus FKA in dimidia. Iibra.

1) Nam 3411 a? 4- sa 4. a! 4- X).2) H. e. non in eau: pattern, in que. segmentum est.

addidi; 0m. F, uulgo. 24. mm F; con. Torellius. 26. us-xçspaaflœ F, nulgo.

10

15

328 TETPAPSZNIEMOZ mmom.www à: un? ûuldsog mû C0705 aunât à F, K flou,6g 01:1! usina, aux). à; 1:06 ôate’pov (15’950; 1:05 C0705

xçsluidâœdav zani 16 A zà P, X, 1p, .52, 4 1min,

aux! tô phi P 1:95 4E manta): taoppoatsttm 05mg515mm, à; U131) natron, t6 6è X 195 22 zoaneçtp, t66è 11T t TH, tô 6è .5! 195 TI, r6 6è 4 1:97 FIErpLyœ’vç). idoppoatfiau 61) nul tô 51.011 193 51.9). 45615

et" âv mû 1:6 ABF 19570111012 tçmloîaaov mû P2011194

papion. ôpotœg 61) 1:93 106180011 ôuzflndæ’wo 16 18 Bd)

man’ÇLov mû P 10394501) perçai), and 1:6 ph; 0E roa-m’CLov (1.61201: 36v 105 X xœgL’ov, 1:6 6è la? 514111011,

and 1:6 ph) MH zpaxéÇzov garçon: 36v mû "a? 11119501),

zô 6è H0 üocadov, and En 1:6 ph: NI mam’ÇLov5:55:01; éôv :06 sa 1010501), zô 6è HI 511166012, ml 16

ph; EIF toiyœvov perçai! r05 4 10291501), 16 6è F10514166011. 65511011 013v 361w, 3 568L 654’811!"

IL5 .

"Etna: mil": même: t6 B631" zepzexôplsvov 15m38151956419 nul 6980703115011 m6110!) toués, ami 318m ôtât

20 ph: 101"; B à Bd m1961 16:11 ôwîpsroov, 0271:6 6è 1:06 F

à FA ëmwaüovda tâg 105 1161101) topais une? rô F.

1. mucouc F, nulgo. 2. un! addidi; ou. F, nul o. pê-eovç F, unlgo. 3. toi] un: F . g] scripsi; A , 1111130(ut in figura. et lin. 15). 4. 1:6] un F. tu; lin. 5 (3115.), 6 (prima).6. g] F; A unlgo, ut lin. 8. 7. dû] scripsi; a: F, nulgo.8. P] O F. 10. P] PX F. - 16. 3 Eau ôstâou] addidi (scrip-tum crut on ; 0m. F, unlgo; ri) «gonflât Torellius. 18. un»!F; com Torellius. 20. amure (cum comp. av) 01! F.


ex punctis F, K ita se habens, ut nunc positus est,et in altera. parte librae ex puncto A suspendantur

spatia P, X, 1P, sa,

A K i T 4, et spatium P

Ï .E Z cum trapez1o 4EB; ita se habenti, ut

A M H .F7 nunc pomtum est,aequilibritatem

seruet, et spatiumX cum trapezio

T 227, et 1P cumTH, et S2. cum

la T1, et 4 cum

PÀ;

Yl

u?

l. triangule FIE.L4- quare etiam totumA cum totoIaequili-britatem seruabit. itague erit [prop. 7]4B1”: 3(P-l-X-1- îP-i-SZ-l-zàî).

eodem igitur modo, quo supral), demonstrabimus, esseBŒB P, flEsBXB ZÇD, MHB ’P’BHŒ,

NIB 8B HI, EIFB 4B F10.itaque adparet id, quod demonstrandum erat.

XVI.

Rursus sit BâF segmentum linea recta et séctioneconi rectanguli comprehensum, et per B ducatur Bd dia-metro parallela, et a F puncto linea FA sectionem coniin F puncto contingens. et spatium Z tertia. pars ait

1) Prop. 14, sed pro propp. 10, 12, 8 usurpandae sautpropp. 11, 13, 9.

10

15

20

330 TETPAPSZNIEMOE HAPABOAHE.56101 65 1:06 BAF 19011021201: 19(1012 105’909 1:6 Z zw-90’ov. (papi 61] 10 301" même: 1’601; 514051: 005 Z 1109km K

et 7&9 paf 561w 1601!, 17’100 lutté: 561w fi 57.026601).

56101 61] 1196159011, si 60120211511, y5tÇov. 02 62902 1511590102,

02 1310595’x5L là BIYB 11002110: 1:05 Z 1009501), 60111085105110;

«151:0: 50201202 5665151020 (051.2071: :015 BFA 1907051201). ôv-

11021611 65’ 56:1. Âafleïv Il. 101915012 57.016601! 1079 15115901075

3 566500020 115’909 1013 BAF 19011051201). 56100 à] 1:6

BFE 1915110111011 57.026661! 15 1:07; 53912405500291 156590109

nul 115’905; 1015 BAF 19141061201). 5665190021. 65 16 021’216

à BE (15’909 0029 Bd.- 61379126801 0511 à Bd Es tôt105’956, aux). 56110 1132 1’051) 61.0219565011! 602405102 1:0: H, I, K.

au! 02102 11511 H, I,.K 6021155001: 511:2 10 F 51585500 37t-5Ç51518m60w’ 15101101110 61] 021317023. 170211 1:01") 120511011 1011020,

51153 à F4 51101001200602 51m. 02151029 3:02:02 1:0 F. scat 6L0:

:0311 602115150111, xaô’ 02 15’vaer 60211 10400:1: ont 5151955022, 0

5219036021! 1102902 1&1; 600211519011 al M (15, NP, EQ, H0. 056601211161, 65 02136021 nul 1102902 1&1; Bd. 51152 01211 57.026661! 9

5611, 10 BFE 179570112011 1’079 15115901039, 02 1511595151. 10 BÛF

110071002 1017 Z 10791101), 6577.01», 059 1:0: 6121102qu615902 16 t

15 Z xm9iov 100d a?) BFE 19570112011 511026601202 31m1013 110021002103. scat 11,5 BFE 19231051291 1’60: 1:62 19a-115’Ç102 51210, ôl.’ 0511 à 1013 12051201) topât 110951251020, 1è ,

ME, (15A, (0P, 00, nul m F02 695110711011. ce) ph: t

2. 1511.1790: F; con. Torellius. ut lin. 5. 1:05] t0 F. 4.5290:] addidi; 0m. F, uulgo. 5. BFQ] scripsi; BFA F; BOFnulgo. 6. 5615021 par camp. F, unlëo. 8. en] scripsi; 65 F. ,uulgo. 12. 959502] scripsi; p.391) , uulgo. 610109505000 F,nulgo. 01710510: F; corr. Torellius. 13. tô F] tu TE F; Ïcom Torellius. 500510: F; corr. Torellius. 16. 11020, 5] ï0m. F; com Torellius. 17. HO] aux, ut uidetur (potest mon .legi HO) F; com Torellius. etiam in figura. F pro O habet C. ]19. BQF] B01 F. 20. 21mm: F; corr. Torellius, ut lin. 22. 9

QUADRATURA PARABOLAE. 331trianguli BAI". dico igitur, segmentum BOF aequaleesse spatio Z.

nam si aequale non est, aut mains est aut minus.prius igitur, si fieri potest, mains ait. excessus igitur,

a M N il I 17 quo segmentum BFÔ" e spatium Z excedit, sibiipse additus maior erit

triangulo BFA [p. 296,9]. et fieri potest, utsumatur spatium aliquodexcessu minus, quod parsait trianguli BAF. sitigitur triangulus BFE etexcessu i110 minor etpars trianguli B41". ea-dem autem pars IineaeBd erit linea. BE [Eucl.V11, 1]. diuidatur igiturlinea B4 in partes [ae-quales lineae BE], et

’ puncta diuisionum sintH,I, K. et a. punctis H, I, K ad punctum F’lineae ducau-tur. secant igitur sectionem coni, quoniam linea FAeam in puncto F contingit. et pet puncta, in qui-bus lineae illae sectionem secant, diametro parallelaeducantur lineae M (D, NP, 50, HO. itague etiamlineae Bd parallelae erunt. iam quonium est

BI’E ( B691” s Z,

adparet, esse Z-I-BI’E ( 801”. triangulo BFE autemaequalia. sunt trapezia, pet quae coni sectio ducta est,ME, 115A, 0P, flO cum triangulo F02. nam tra-

332 TETPAPQNIEMOE IIAPABOAHZ’.

yàp ME toMËCLO’U nowôv, zô 6è MA l’aov 1:95 du,

and 1:6 A3 [cou 193 0P, sur! zô X5: [6011 11,5 06, au)t6 FXII tplyœvov 1:95 F02 1047051190. 1:6 ôù Z 1m-plov 51.126661: t’a-u 145v maintins: 1.151; MA, EP, H8

6 nul :05 IIOF mayaîvov. nm! eau rô BAF tçz’yawovtpmlédtov mû Z zozotai). tà à?) BAF 51116660 écru:fi recalcifiai: n51; MA, PIE, 6H tpanaëz’œv un), r06H OI’ tynyaivov’ 5m59 âôüvatov. ëôeL’xôn 7&9 [LEÏËW

3612 fi 1911112261011. 013x051: 013 1464261: écu 1:6 BOF10 mimi mû Z xwplov. 115’711) ôfi, 51:1. oôôè 514166011.

56m1 yaîp, si 61211051611, 5110566012. «021w â’pa à 1575590102,

(la? chapelai. zô Z zmplov 1:05 BQI’ intimeras, m’nàécura; dmzôsyè’va imagézu and roi? B AI’ rpLyoîvov.

ômmrôv ôe’ 5cm. Aœflsïv 1099501: 510566011 1&9 buquxüç,

15 3 s’adaL’rm pépog toi? BAF rpLyaîvov. 561:0) 05v 113 A

BI’E 19670012011 ëlœaaow raïs 131590159 nul pépog 1013

B AF 191.7051100, aux), 1:6: 62Mo: rà «finît umtso’nevddfim. j,

été! 05v 6’611, tô BI’E 1:91.31va 511166012 raïs 151590159, LÎa; émça’zu 1:6 Z xœçtov 1017 BÜF emmuras, 16 BEF

20 tgiynwov and zô BÛI’ rua-ma àpqaôzspa 311056601145 écu [

r06 Z. 561w 6è nul tô Z xmgtov 51116607 1.1511 re- ;tyaatlsüpœv n51! EM, dsN, ses, IIT and me F1127 frgzyaîvov’ ê’dtw yàçmô BAF 1:06 (ses! Z ramadan, ï

n51! 6è 56972445va 1039150911 51.016601: fi 190324564011, 059

26 à: 1:93 n96 1:06:01: 3551011. ,ë’laadov â’pa fô BFE

9. av F, unlgo; om. ed. Basil., Torellius. 10. impur F;corr. Torellius ut lin. 12, 19, 20. 11. écu] addidi; 0m. F,nulgo. 20. Éva] pet comp. F.

QUADRATURA PARABOLAE. 333pezium ME commune est, et MA --: (15A, et A5---QP,et X3 a: 001), et PXII e F02?) itaque erit

Z fiMA -I- EP-I- 1169-!- 110113)

et BAF :: 32. itague eritBAFA 3(MA -i- PE-I- GUI-I- HOP);

quod fieri non potest. nam demonstratum est, maïo-rem eum esse quam triplo maiorem [prop. 14-15].itague segmentum 303F maius non est spatio Z. dicoigitur, id ne minus quidem esse. ’ sit enim, si fieripotest, minus. rursus igitur excessus, quo spatium Zsegmentum B6911 excedit, sibi ipse additus etiam trian-gulum BAF excedet [p. 296, 9]. et fieri potest, utsumatur spatium excessu minus, ita ut pars sit trian-guli BAF. sit -igitur triangulus BFE et minor ex-cessu et pars trianguli BAI”, et.cetera. eodem modo,quo supra [p. 330, 10], comparentur. quoniem igiturtrimgulus BFE minor est excessu, quo spatium Zsegmentum BâI’ excedit, triangulus BEF et segmen-tum BŒM’v simul sumpta minora, sunt spatio Z. sedetiam ZfiEM-I- CDN-l- 2P’E-I- HT-1- F1127; namBAF e 32, sed

BAFA3(EM-I- ŒN-i- ’P’E-I- HT-i- F112),

1) Nam MA 2 (15.4 a NA : AP (Zeitschr. f. Math, hist.Abth. XXIV p. 180 m. 11); sed NA --- AP, quia.

NA : 4P: BE : EH (ibid. p. 178 un 3),et BE:EH.

2) Nain 17X:- OE, quia. BE : KA (ibid. p. 178 nr. 3),et altitudo communia est.

3) Nain ME-I-Ndi-I-Ellf-l-HT-l-HZFn BOF etME-I-dSA-i-ÛP-i- 90-1-I’OE:BFE

MA-i-EP-l-He-l-HornBeP-z-BFE.sed B9F-1-BI’EnZ.

b

10

15

20

25

334 TETPAPSZNIEMOE IIAPABOAHE.

tpiyœvov mû zô BÛI’ mima tafia: rezpanleüçœv 145v

EM, ON, EW, II T aux! r06 F1127 rçzym’vov. 03’618xowoô àtpatpsfle’vroç 1:05 aminciras 5166601: d’1] aux and

10 FBE 17017401201: 105v zeptlszuoue’vcov xœçiaw’ 32:59

56121; àâfivarov. 36511.31; yàp 1’601: 158w 1:0 BEF 1:91!-

yawov rots rpausçt’mg rots EM, (15A, 0P, ÜO mit9? F02 rpzyaïvço, à" à)" (uléma): mir ueçzÂsmoye’vœv

xmpicov. 0153: â’pa 5111266011 t6 BÛI1 10071501 r01") Z zw-

9L’00’ 3655101; 68’, Su 015629 Maçon E6011 5290: zô tpâya

1:95 Z 1099020.

LÇ’.

Toüzov ôsôuyue’vov (pavepôv, 51L m5211 ïpâlut 11591.-

sxôuwov 13m3 sôôelfag r5 and ôgôoymw’ov 5:61:01: zo-

I, E 1, pâç 57:51:9sz à?" 101": zozyaivov1:05 Exovzog fld6w du: m’nàv 1:93maman ami 511109 Z6011.

56m1 7&0 105mo; negbexôgzevov13:10 56855013 1:5 ami ôgfloyœm’ov

atrium: toués, xopvtpà 65 05151017

56m) rô 0 maniai). and 37:78-ygéçôm si; «1510 rgL’ywvov tô 863F

tàv (rônin! fléau) 510v 195 ulémaami 1711:0; [6012. 510:5! 01511 10 Q 6a-peïov xogvçpa’ Eau 17017 tuépatog,

à ânô 106 û 515195111 «qui: têtu 61,02-

psrpou 021495130! ôlza râpais; 1&1) BP,ami. à B1" 561:1, glaçât zàv êmzpaüov-A

1. "me"; F; corr. Torellius, ut 1111.3, a, 9,12, 16, 17, 22.3. au] addgdx; 0m. F, uuÏgo. l3. tonne F. 17. quipo: t6BOP Nizuus. 27. nul] inti Nizzius.

QUADRATURA PARABOLAE. 335ut in propositione praecedenti 1) demonstratum est.itaque

BFE 4- BQF(EM-I- dîN-i- Saï-l- IIT-l- F1727.quare ablato, quod commune est, segmenta triangulusPBE miner erit spatiis reliquis; quod fieri non pot-est.. nam demonstratum est, triangulum BEF aequa-lem esse EM-I- (15A -l- ÛP-I- ÛO -I- F02 [p. 330,22], quae maiora sunt spatiis reliquis. itaque seg-mentum BQI’ minus non est spatio Z; et demonstra-tum est, id ne maius quidem esse. itaque segmentum.aequale est spatio Z.

XVII.

Hoc demonstrato manifestum est, quoduis segmen-tum linea recta et sectione coni rectanguli compre-hensum tertia parte mains esse triangule eandembasim habenti, quam segmentum, et altitudinem ae-qualem.

sit enim [8691"] segmentum linea recta et sectioneconi rectanguli eomprehensum, uertex autem eius sitpunctum Ü, et ei inscribatur triangulus BQI’ eandembasim habens, quam segmentum, et altitudinem aequa-lem. iam quoniam punctum (à uertex est segmenti,linea a puncto Q diametro parallela ducta lineam BFin duas partes aequales diuidite), et linea BI’ lineaein Q sectionem contingenti parallela est [prop. 1, b].

1) H. e. prop. 14-15, quae fartasse in unnm coniungendaecraint.

2) Per conuersam prop. 18. mimm est, Archimedem iam110c loco nomina poing roi: mainate; et uoçuqaù mû mamansusurpasse, quae infra demum (p. 336, 12) definiuntur.

10

15

20

25

336 TETPAFQNIEMOE HAPABOAHE.647w 1&9 topé; nattât 16 8. 51mn 6è à E8 Matidu! ôboîperçov, 5518m 66 and 0241:6 105 B ampli: fà’ll

ôzéyszpov à BA, du?» se 1013 F à FA émwat’vovda

1&9 105 14151201) 101159 xarà 1:6 F. émet 06v à ph! K8napà du: ôzépetpôv .56er, à 639 FA êmzpmîovm zâg

topé; nard: 16 F, à ôè napéunlôg 5’614. a; âm-1pav066qz mais mités un? 1:6 0, 16 BAF rgc’yàvovretpanlémôv Éo’u 105 BGF rçzyorivov. émet dt :6

BAF rptyœvov 1017 (Lès: B0F racina-mg rçmÂdmôvEn, 105 6è BâF mwm’vov znçœnldmov, ôfilov, 039

ênlrçnôv 561:1. 66 BQF tao-tua 1:05 BQF rpLyaivov.To511 141.041.021ko 115v notezops’vnw 6nd n 5635m9

au). napatülag ypaimâç flé6w Hà! xals’œ 16m 51519534112,

51:09 66 1:61; 657561411! néflstov 1571:6 7&3 naMmilag youp-

pâg &yopæ’vuv ëazî 176v fléau 1:05 mamans, xoquiàv

66 r6 «matou, &(p’ 06 à 65315660: 940203109 chigna. i

"2’.

E17 aux à: quinone, 6 magasin 666 51305:0; ME6980310311501: 940512011 topa-:9, «i156 (15’6œç 1&9 fiddtog 011191]

56mm «696 1:61) ôtdpsrpov, accompli 456655111; 106 mé-parog r6 604151611, ’xœô’ 3 à nage? 1&1! ôtoipæslmov1

618517641 régniez du: 105 2061101: 1000211.

5610) 760 151.6260: 16 ABF neptsxôpevov 616 te 56-.flattas aux). 6900710712600 160612012 touais, mû darô gémi

zig AF 62186) à AB «:606 du: ôzépsrpov. âme! 06và: 6030701115012 naine tout)": à BA (fatma flaçà 16v,

9. fpfllMXrOQ F, uulgo. 11. 1.11,5:ng 1:01? BQF] 1:01: BAF!F; corr. B (sympa; con. Torellius). 12. zpnpazmv F; con.Torellius, ut lin. 15, 18, 20, 23. 13. mm F, nulgo. 14.aîné] une am FC. 15. (tatoueront F; corr. B. 19. pausa:F, uulgo. 22. du: 106] tu un: F. 25. 0134:] per comp. F.26. ogûœyœmov F, uulgo. naine] 0m. F; con. Torellius.

..1....-.---.-..----.- a- ira!


ducatur autem E8 diametro parallela, et etiam apuncto B diametro parallela ducatur Bd, et a F linea.F11 coni sectionem in puncto F contingens. quoniemigitur linea K 0 diametro parallela est, FA autemsectionem in F contingit, et ET lineae sectionem in8 contingenti parallela. est, erit BAF: 4BÛI’11) etquoniem tfiangulus BAF tripla maior est segmenta139F [prop. 16], et quadruplo maior triangulo BOF,adparet, segmentum B01" tertia. parte mains esse trian-gulo 381".

Segmentorum linea. recta. et curua, aliqua. lineacomprehensorum basim uoco lineam rectam, altitu-dinem autem maximam earum linearum, quae a curua.linea ad basim perpendiculares ducantur, uerticemautem punctum, unde perpendiculan’è maxima ducatur.

XVIII.Si in segmente linea recta. et coni rectanguli sec-

tione comprehenso a media basi linea diametro par-allela ducitur, uertex segmenti erit punctum, in quolinea..dia.metro parallela coni sectionem secaL’)

sit enim ABF segmentnm linea. recta et conirectanguli sectione comprehensum, et a media une:AF ducatur dB diametro parafiela. quoniamin sectione coni rectangnli linea Bd diametro par-

1) Nain EK:BA:EI’:B1"sl:2;sed E9-8KTonie). et Ber: BFA - E8:B.d (Zeitschr. f. 13th,, hist-bthXXIVp.178nr.7):l:L

2)Linea ABdiameh-msegmentiexit(dr.leihchr.f.Kath..hist.Abth.HVp.uetp.5lnr.u). tumdr.Apol-lo,n.Idetll:unfiraêrficgmf1nç.1nppï)gûzéçuricMidas (h e. ni: Jupiw)umu1ma-mm,ea.mimn 22

10

15

20

338 TETPAPQNIEMOE muons.ôzoîpnçov, ami faut, fait), a! A4, AP, ôfilov, «39 nap-oîllnlôg ëvu 55 se AI aux) à azurât rô B êazupaüovaa

3 raïs roi? 1:61:01) roués. (pava-oôv 015v, Su nia; &nô 1&9 1:0-uâg 321:1 du: AI" &yous’vau za-

fls’rœv peylam 6’668!de à 021d)

A d tu": B àyoue’va. 9109129243: 05vin": mû rpéuarog 12) B aœpatov.

00,.’Ev tyâgmn nepLsxope’wp imô 86055053 mû. 69190-

710311501) 32051101) topât; à o’mô (ubacs nig- fioîmoç 021mm

n’ig- oîxô picas 162g fimdsùxg oîyopè’vœç 37519:9ng 5665:5-

rm (Mixez.56m) yào rô ABF quipo: nagLszôpevov 157:6 sû-

ôeL’ag nul ôpâoymm’ov m6110!) roués, nul 55,100) nue?!

tâta: ôzépatpov à ph; Bd o’mô péan; 1&9 AI”, à 6è

EZ 0211:6 péans râç A4. Ëxûw 6è and à ZQ ampà AI".

âml 015v à) (39’907va01) uévov tolu)? à Bd nage? ràv

1&0;me ébattu, ami ai A4, ZQ arapà zàv nom? ràB ëmzpaüovdav 107g toués Éva, ôfilov, n53 du! 0561611

5101m 167012 à Bd 301:1. rôw BG) mixa, 3’11 a? A4and du: ZQ ôvvoîyu. tetpanlœm’a âge: ëarîv nul àB11 1629 Be) (Mixa. 99011159611 015v, au ËZL’tglÆÔg (36er

à B41 1&5- EZ peina.

1. naoalln’loz? 4. :6211] 0m. F; corr. Torellius. 5.ayopavao’ F; corr. Torellius. xaôézmv] scripsi; xaûnoç F.nulgo. 8. tpnpatog F; con. Torellius. 10. à: quipou:nsçcszopa’wp] scripsi; cfr. Quaest. Arch. p. 153; une: tungarnsçLszopswov F, uulgo; d’un; al; influa nsçLszôpevov ed. Basil,Torellius (alun-mégot). 11. pausa); F, uulgo. 18. 1mm F.20. 1&3 topai; hm] scripsi; amant F, uulgo; gavai. pinot B.ed. Basil.; Fou pénal. Torellius. taf auras: F. 21. 5101m]Élu Ien.; fort. pro 6’14 lin. 21 scrib. um’.


allela. ducta est, et Ad : dl", adparet, lineam dFet lineam in puncto B sectionem coni contingentemparallelas esse [prop. 1, b]. itaque manifestum est,linearum, quae a sectione ad lineam AI" perpendicu-lares ducantur, maximam fore lineam a puncto Bductam.1) itague punctum B uertex est sectionis[p. 336, 15].

XIX.

In segmento linea recta et sectione coni rectan-guli comprehenso linea a media. basi [diametro par-allela] 2) ducta. tertia parte maior est longitudine quamlinea a. media. basi dimidia [eodem modo] ducta.

sit enim ABF segmentum linea recta. et sectioneconi rectanguli c0mprehensum, et diametro parallelaeducantur a media. linea. AF linea. Bd et a media.

I .8 linea dd linea. EZ. et ducatura etiam 26) lineae AI’ parallela.

quoniam igitur in sectione conirectangulin diametro parallela

A d ducta est, et lineae A d, 2(5)lineae in B sectionem contingenti parallelae sunt3),adparet, esse Bd : B6) : dd’ : 2602 [prop. 3]. ita-gue etiam Bd e 4BŒ.4) manifestum est igitur, esseBd : gEzfi)

1) N am si ullius puncti sectionis distantia. maior esset, parslectionis extra lineam in B contingentem caderet. itaque coniœctîonem secaret, qnod contra hypothesim est.

2) Fortasse lin. 11 post 027505500; addendum: nage? 1&9 ôtoi-4510M.

3) Quia Ad ---- dl"; tum u. prop. 1, b.4) Nam Ad : 2ZQ.5) Nana (9d : 339 : EZ.

22*r

340 TETPAFQNIEMOE HAPABOAHE.Ix .

El 5m dg quipo: nepzsxôpwov 131:6 se 5635M; ml690070312501: 1:61:01) tapis zplyœvov ëyygaçpfi 1&1: «1’;-

tàv fléau) 510v 195 mégota nul 511:0; rô «été, 5151101!

6 écachai, rô ëyygmpèv rpiynwov fi fimdv 1:06 mémos.56103 716:9 176 ABF ryâua, 01’011 sipfirou, aux) &ny-

yçohpfiœ si; (11516 zplynwov zô ABF 113w aôtàv’ëxov

fléau: nô 51.91 ami Üzpoç [6012. me), 015v r6 19157M011

’ in); maman 1&1) aôràv 5161. fléau; nul 51mg r6 «ôté,

10 àvayuatov, 16 B «maton xopvçpàu cipal r06 ména-

[1 3 1 rag. 71041051111710; 59a 4561111à dF ré? uarà r6 B ém-zpavoüo’çc 1&9 rouis. 51:30

à dE 6L6: 105 B zapà

15 ràv AP, aux! (in?) 10311 A,Â 17 I’ a! dd, TE nagà du! tôzépezpov. maoüvrm à) crû-ml êxtôg 1013 tpdpatoç. ,

en), 015v 5mm? écu 16 ABF tptymvov 1:05 AdEFnaçaÂÂnloyçoËppov, marepôv, au petto?) 1561W fifi)

20 fimdv 1017 satineras.

HOPIEMA. IToütov ôeôabype’vov ôfilov, 5m [05g] ë; 1051:0 a)

spina ôwaro’v Ëdtl, 71:01:63:va ëyyçoïzllaz, 03’615 815m!

rôt zspclsmôueva guignant nawôç éléadova 1:05 arço-25 raflëvtog xœçz’ov. àtpmgovps’vov yâç ciel psL’Çwoç 105

2. mégot] "un: F; con. Torellius; quipo: unlgo. 3. ev-Ïlgaupn F. 5. 54mn par comp. F, unlgo. maganas F; con.

orelliu, ut lin. 6, 9, 10, 17, 20, 23. 10. swap par 00po-F; corr. Torellius. 15. nia] un F. 21. «douma addldl.22. mérou] 0m. F5 corr. Torellius. 03:] deleo. 84. mot-nopam F; com BC.


XX.

Si segmente linea recta et coni rectanguli sectioneoomprehenso triangulus inscribitur eandem basin ha.-bens, quam segmentum, et altitudinem eandem, trian-gulns inscriptus major erit dimidia parte segmenti.

sit enim ABF segmentum, quale diximus, et eiinscribatur triangulus ABF candem basim habens,quam totum [segmentum], et altitudinem aequalem.quoniem igitur triangulus eandem basim habet, quamsegmentum, et altitudinem eandem, necesse est, punc-tum B uerticem esse segmentai!) itaque AF lineae inB sectionem) contingenti parallela. est?) ducatur petpunctum B lineae AF parallela. linea dE, et a. punc-tis A, I’ diametro parallelae lineae A d, I’E. cadentigitur extra segmentumf) quoniem igitur

ABF: 11»AdEI1 [Eucl. I, 41),manifestum est, maiorem eum esse dimidia partesegmenti.

COROLLARIUM.

Hoc demonstrato adparet, fieri posse, ut tali seg-mente polygonum inscribatur, ita. ut segmenta relique.minora. sint quouis spatio data. nam si semper spa-tium, quod propter hanc propositionem [20] maius est

1) Nam altitude trianguli linea. est a B ad AF perpendi-cularis, quae cum etiam segmenti ait altitudo, maxima. eritlinesrum a. sectione ad A1" perpendicularium (p. 336, 14); tumn. p. 836, 15.

2) Nam fines. a. B diametro parauela. ducta. lineam AF indans partes aequales diuîdet (par conuerssm prop. 18; cfr. prop.17 p. 334, 25); tum u. prop. 1, b.

8) Hep). 10:10:51.6. 16; Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXVp. 63 nr. 19.

342 TETPAPQNŒMOE IIAPABOAHE.

fipiasoç 61,6 10510, 6241159611, 51L àÂaddoüvnç de! tà

151116115141 15102410110: amortirions; 10:61:! guidant! 710111169105 flçOZêÜê’WOQ zozoter).

aux .

a El aux et; quipo; 71591516415101: 6716 6665519 oudôpôoynwlov 1651101) 1051079 1ot’yawov Ëyyçacpfi 162v afi-

1àv 5056W 51012 193 15102510111 and ÜIIJOQ 16 611516, 377941-

cpè’mvu 66 aux), 5Mo: 1çlynwoc fig 1è 1.5141651510; 14102514210:

1611 (161612 fléau: 510110: 1047s 1510551021866"! aux), 1711209

10 16 «616, êxa1e’oov 16311 1ptyaôvaw 14511 dg 16 115912.51.-

nôpsva quiqu ëyygacpëwmv 621421010me ëaaeûtap16 zçiymvov 16 si; 16 31.01 quina ëyypaqpe’v.

561cc 16 ABF moisa, oïov 53961051, ami 1815105680)à AF ôlxa 193 d, à 66 Bd 611600 711196 16m 610251.5-

15 190v. 16 B 6’90: 6041517011 xoçvçpé 1561111 1017 151025105109.

16 6’90: ABF 19170311011 113w 01616:1! fléau; fixez 195 111,02-

p.a1l. ami 17609 16 :1616. 710211111 1511105606) 61’111 à A41

nA 1 d l 17195 E, xal 61’180) à EZ 710296 1611 6102651901, magnifiât.)

66 à dB 210516: 16 a 16 6590: Z 64151517011 5109119202 écu

20 105 mamans 1013 AZB. 16 61) AZB 191570111012 1&1:

1. musant; F, uulgo. 2. 11117510110: F; con. Torellius, utlin. 5, 7, 8, 11, l2, l3, 15, 16. nomo’opsv F,.uulgo. 9. 1mn-

QUADRATURA PARABOLAE. 343parte dimidia, abstulerimus, manifestum est, nos spa-tia reliqua semper minuentes [aliquando] ea minora.factures esse quouis spatio date [Eucl. X, 1].

. XXI.Si segmenta linea recta et coni rectanguli sectionecomprehenso triangulus inscribitur eandem basim ha-bens, quam segmentum, et altitudinem eandem, etetiam segmentis reliquis alii trianguli inscribuntureandem basim habentes, quam segmenta, et altitudi-nem eandem, triangulus toti segmenta inscriptus ae-qualis erit utriuis triangulorum segmentis reliquis in-scriptorum octies sumpto.

sit ABF segmentum, quale diximus, et linea dl"in puncto d in duas partes aequales diuidatur, et Bddiametro parallela ducatur. itaque B punctum uertexest segmenti [prop.18]. itaque triangulus ABF eandembasim habet, quam segmentum, et altitudinem eandemf)rursus linea A d in puncto E in dues partes aequalesdiuidatur, et diametro parallela ducatur EZ, et ab ealinea. dB in û secetur. itaque punctum Z uertex estsegmenti dZB.’) quare triangulus dZB eandem ba-

1) Nam altitudo trianguli linea. est ab B ad AF perpen-dicularis, quae eadem altitude est segmenti, quia B uertex est

2(p. 336, 15).2) Nm E9 :t Bd; itaque AE : Ed: A9: 83; sed

AE : Ed; quam 46 a 9B; tum u. prop. 18.

gluau: F; 14117110115001 uulgo; fdeTSGUL Torellius. 11. 511w.pet comp. F, uulgo. 13. 15111170300 F; corr. Torellius, utlin. 17, 18. 19. empan F. 10919211 F; con: Torellius.20. 1017] alterum suprascr. manu 1 F. 1111760110; F.

344 TETPAFQNIEMOE IIAPABOAHE.«616w fléau) 5x51 195 AZB 1udpau ami 501:0; 16 «616.ôszxu’ov, 511 ôn1anldmôv 3611 16 ABF 19157031101: un?

ABZ 101.7051101).

561w 0612 à Bd 1d; p.61; EZ 31117191109, mis 665 E0 561111426502. 61.1111416150; â’pa 361211 à EÜ 1&9 EZ.

5618 and 16 dEB 19157011011 612110261611 éon 106 ZBA’

16 p.61 769 AEÛ 6mÂoîo’Lôv écu 106 .402, 16 66

ODE 1013 ZQB. 15615 16 ABF 105 dZB 3611. 6x10:-arloîtuov. (incitas 66 6511612651011 nul 101") 519 16 BHF

10 quina ëyypaqzé’wog.

xfi’.

El 2m quina 21591516651101: 6716 56655:1; and 69-floyawlov miaou 1041629, scat 1039150: 1895,le EH; 6110-6’qu à; 195 1a1paatlam’ow 1.6790, 6è 16 415716101!

15 167w 10min") 1’601) 195 1917426196 195 fléau; 5101211, 1è»

«151611 195 14102510111 aux). 6603 16 «616, 615111141111: 1è

xmçla êÂoËo’dovœ Ê665l1al, 106 1poîpa1og.

56100 yàp même: 16 AdBEI’ 41591816651101 6116 15

56651429 ami 69190760116012 31161101) 1opâg, zappiez 66 5610)

20 62106050511 êëfig miaula 16 Z, H, 0, I, 1s19amldfisov66 561m 16 6710151150012 105 ênoyëvov, 116716101; 665616

16 Z, and 5’310) 16 Z iam) 195 191.7651191 195 Mm510111. 16v «616v 1g; moineau aux! Sapa; [son M700,31L 16 quipo: 103v Z, H, G), I 103950011 51512611 150’111.

25 50’100 105 ph) 51.01) 1péya1og nopvçpà 16 B, 10511 66

nsçzlezatoue’vmv 1pmpci1aw 16: d, E. émet 061! 16 ABF

1915;!va 63111711026161! 561w êxære’pov 1612 d B d, BEY

1. 195] 1o F. magma F; con: Torellins, ut lin. 12, 15,17, 18, 23, 24, 25, 26. 10. 14111414110; F; con. B. 13. 10an

QUADRATURA PARABOL AE. 345

sim habet, quam segmentum AZB, et altitudinememdem. demonstrandum est, esse ABF a 8 AB Z.

iam est Bd :«gEZ [prop. 19], sed etiam1M a: 2 139.1)

itaque EQ : 203Z?) quare etiam AEB m 2ZBA;nam AEG m 21402 et 83E a: 2Z6)B [Eucl. V1,1].quare est ABF: 8423.3) et eodem modo demon-strabimus, esse etiam ABF : 8BHI’.

XXII.

Si datum est segmentum linea recta et coni rect-angulj sectione comprehensum, et ponuntur spatiaquotlibet, quae deinceps in quadrupla proportione sunt,et maximum spatium aequale est triangulo basim ha-benti eandem, quam segmentum, et altitudinem eau-dem, omnia simul spatia. minora erunt segmenta.

sit enim AAB EF segmentum recta. linea. et conirectanguli sectione comprehensum, et ponantur quotlibetspatia deinceps, Z, H, (9, I, et praecedens quadruplomains sit sequenti, et maximum sit Z, et Z aequaleait triangulo basim eandem habenti, quam segmentum,et altitudinem aequalem. dico, segmentum mains essespatiis Z, H, Û, I.

totius segmenti uertex sit B, et segmentorum reli-quorum uertices A, E. quoniam igitur

ABF: SABA :: 8BEI’ [prop. 21],

1) Nam AE:AA1:E9:BA:1:2.2) Nam E9 a gEz; itaque 92 a iEZ.a) Nam ABF: 2ABA : 2(ABE 4- BEA) : 443E.

F. 17. saron par comp. F, uulgo. 19. mérou] 0m. F;con. V. 21. nyovpsvov F, nulgo. 26. E1151] am F.

1om

15

20

346 TETPAFQNIEMOE IIAPABOAHZI.tpayaîvœv, ôfilov, 5m. [059] àpzpots’çmv «1611511 3611, ze-

rpanlémov. and étui rô ABF zçlyœvov [601! êarl1:95 Z xœptqa, azurât rà «ôtât 6è nul rôt A48, BEFtptymva l’au étui 193 H 1019179), épatons 6è ôazxôvqas’tm

B

JZ

Aami rôt dg tôt nepulemôpeva arpégeant êyygacpôyswrgiyœva 143w «Ôtàv fléau! 5101m: rots ryapérsfidwand 511205.- zô 411318) in: écima 1:95 (a, aux! rôt ès rôt fiers-

pov ysvôpsva zyépœza ëyypœcpôpwa wigwam: [du 1:95I xcoçtço, dûpdtavtu â’pa rôt agozsôévta zozota [du èc-

o’oüwou. 715010705119) nm êyypatpe’vn si; rô tyâ’ya. (pa-

veçôv 015v, au 151026601102 5654 mû amputas.

xy’.

El aux psyéflea raâe’œm 55173 à: t9; tergazÂadz’ow

2.679), rôt miam: 9576860: aux! En mû êÂœzlÏdrov 1:6 qu’- y

101) (145’905- âg rô 416:6 awtaôs’vm éxtzçna édaoüimu

1:05 payldrov.km 0151) 671060401711 Meys’ôw ëëfig usiusva rôt A, B,

F, A, E tsrpaatlam’ova Ennemi! 1017 ënops’vov, pé-

ywzov 6è faire zô A. 56m1 6è t6 pèvIZ tgttov 1:06B, tô 6è H zoé F, to 6è â mû A, rô 6è I r05 E.

1. 459 delco. 3. 155] 1:0 F. 5. ou aux; F, unlgo; 5:5deleui. Hammam! F; con. Torellius, ut lin. 8, 10, 11. 6.zpnpaaw F, nulgo. 7. foot 561m fifi] scripsi; mon un» 1o

QUADRATURA PARABOLAE. 347uiparet, esse ABF à: 4(ABA 4- BEI’). et quoniemABF ---- Z, et eodem modo AAB -I- BEI’: H, etl):imiliter demonstrabimus, etiam triangulos reliquissegmentis inscriptos eandem basin habentes, quam

2;,i

un msegmenta, et altitudinem eandem aequales esse spatio9, et triangulos ’segmentis deinde ortis inscriptoslequales spatio I, omnia igitur simul spatia. dataaequalia erunt polygono cuidam segmento inscripto.nanifestum est igitur, minora ea. esse segmento.

XXIII.

Si magnitudines quaedam ponuntur in quadruplaieinceps proportione, omnes magnitudines et praeterea;ertia pars minimae simul sumptae tertia. parte ma-cres erunt maxima?)

ponantur igitur deinceps quotlibet magnitudinesA, B, 1”, A, E, singulae quadrupla maiores sequenti,et maxima sit A. sit autem Z : 4,3, H: «kF, (9:àzl,

, 1) Lin. 3-4 suspîcor, potins sic scribendum esse: nardton-ira 6?] nul . . . . 10391.30. épatons (hi.

2) Cfr. Quaest. Arch. p. 57-68. Figure. aliter descripta5st in F (u. infra).

arbis per camp.) F, nulgo; l’au iam). 1:93 B, Torellius. tà 5g]scripsi; se F, uulgo. 9. I] (Tl-û F; corr. B. 11. êloîco’ova]leripsi; 51.056001: F, nulgo. 13. teôéawn] scripsi; cuvteûammF; ouvwfls’œm nulgo. EH]: 6410641051! Torellius. 18. za-70111166407 Nizzilis.

10

15

25

348 TETPArsammoz HAPABOAEE.site). 0151: 1:6 peu Z un? B totem) pégas- êaztv, rô 62B roi? A 16’1sz Mecs 361111, àptpôupa rôt B, Z

B

rA

IE

-e-Iz HUÜÂOLflO’Ü 190’101; pépog 036173 1:05 A. ôfilov 0511, au 1è

GÜMflde zà A, B, F, A, E and 1:6 I, zowéau tô20 195101; 106 E, 1:05 A écru! aligna.

xô’.

Hâv quina r0 mpaszôuavov 15m3 sôflez’ag and 6980-

yœvlov xcfivov roués ëntrpnôv .3610 rpayaîvov mû du!«61:43:11 fléau! 51011109 aôrçâ nul Üwog [6011.

561:0) 7&9 1:6 JABEI’ flâna notezôpevov 15m3efficients nul ôpfloyœw’ov x6001) topais, t6 6è ABFrpa’yowov 56101 143w 01131:0"; fléau: 510v 1:05 15502me tu?!

10. H E F. I F F.12. A, E ; corr. Tore ius.11. 105v] zou pet comptF-

22. 111mm F; corr. Torelhnlyut lin. 25, 27. 23. 1m: amena: F; com Torellius. 27. am F.

pépog 10h01! à"! 101i

A. ôlè rôt mitât 61)

aux). zà H, F toi? B,na). zà Û, A mû F,

nul 1:0: I, E 1:05 A.nul rôt 6154015051210 à)

rôt B, F, A, E, z,H, 0, I 190701! pépoç

à") 10511 avpnémmv

1:61; A, B, F, A. Ml6è xal 0:61:31 tà Z,H, û mirai! pëçoç,

«610311 10511 B, F,nul tôt lourât 6500; 1M

B, r, A, E, 1ms;ï


I: «kE. quoniam igitur est Z:;»B et B nid,erit B -I- Z :- iA. eadem de causa etiam erit

H-l--F:âB,9-[-A:1»F,I-I-E---izl.erit igitur etiam

B-FF-I-A-FE-l-Z-I-H-l-O-i-I:HA-I-B-I-F-I-Â)est autem etiam Z-I-H-I-â:à(B-I-I’-l-A) [exhypothesi]. quare etiamB-I-F-I-A-I-E-IhI uni-A.adparet igitur, esse A--I-B-l-F-l-A-i-E-I-I,h. e.

A-l-B-i-F-l-A-l-E-f-sE-234.

XXIV.

Quoduis segmentum linea recta et coni rectangulisectione comprehensum tertia parte mains est trian-gulo eandem basin habenti, quam segmentum, et alti-tudinem aequalem.

sit enim AdBÈF segmentum linea recta et conirectanguli sectione comprehensum, et ABF triangulussit eandem basin habens, quam segmentum, et alti-

350 TETPArsaNIzMoz IIAPABOAHE.51009 12501:, :05 6è ABF Iptynivov 56m) énirpnov 10K zœplov. ôamu’ov, (in 1’601: 311d r9" A A B ET

radian.si 7&0 paf 30’er [0011, firoa mïfiôv .3er11 fi 51.116000.

b 561m «96159012, si ôwato’v, 505th 1:ô JABEI” tpâya

B

A 1’1017 K 10795011. évéyçazpa ôù rôt AdB, BEI’ rgiymva, Z

009 elpfitm. 031157905100: 6è nul dg rôt nspzlemôyævarpépaw 65Mo: 195700120: rôti; airain: flâo’w ëxovta rot;

v rpapdreadw and 51mg zô «616, and. dal dg rôt Bereçov10 70116115120: zpdpara 1577902wa [6150] rplyawa 118w at’rràv

fléau; è’xovm rots ryayoîreo’ew and 1711:0; tô (1’516.

ëedoüwm à?) tôt uocwlwtôpwa moineaux êloîdo’ova tés

157155901073, ë ôatspe’zu 16 A-ABEF quipo: 1:05 K x03-

plov. 0361:5 1:3) ëyygaqaôpsvov nolüycovov psïÇov 36655-

15 un 1701": K’ 37:59 0261511041011. 15ml 7029 étira; êâfig zai-

peva 103950; à: 1:55 terganlaalfom 16793, 219031011 ph!1:6 ABF zgtyowov tarpanloêmov 105v AAB, BEI’minium), 57mm 6è m’nà 106’510! remeubloient): raz-w si;

1:02 57156515120: rpdyam ëyypaqaa’mrov, and (ici 05100, 65-

2. a!) to F. 4. 501w] (altemm) par comp. F. 6. AAEBFF; con. orellius, ut lin. 13. sunna F; corr. Torellius. utlin. 3, 8, 10, 12, 13. 6. AAB] ,44 F. 9. Impacts: F, unlgo,ut lin. 11; mégota; Torellius. 10. 660] delco. 12. 860w-

QUADRATURA PARABOLAE. 351tudinem aequalem, et sit K : ûABI”. demonstrandumest, esse K : AdBEI”.

nam si aequale non est, aut mains est aut minus.prias, si fieri potest, sit segmentum AdBEI’ mains

[ilspatio K. inscripsi igitur triangulos AAB, BEF ita,ut diximus. et etiam segmentis reliquis alios trian-gulos inscripsi eandem basim habentes, quam seg-menta, et altitudinem eandem, et semper segmentisdeinde ortis triangulos inscribo eandem basim haben-tes, quam segmenta, et altitudinem eandem. eruntigitur [aliquando] segmenta relique. minora excessu,quo segmentum AdBEF spatium K excedit [prop. 20corol].]. itaque polygonum inscriptum mains erit spa-tio K; quod fieri non potest. nain quoniam deincepsposita sunt spatia quaedam in quadrupla proportione,primum triangulus ABF quadruplo maior triangulisA418, BEF [prop. 21; cfr. p. 346, 1], deinde hiipsi quadruplo maiores triangulis segmentis sequenti-bus inscriptis, et semper eodem modo, adparet, omnia

me F. 15. yéti] addidi; 0m. F, uulgo. 18. mirât mira]sCl’lpsi; tu «me: , uulgo.

352 TETPArsaNIzmoz HAPABOAHE.10v, à; dépanna sa: 1010001 êÂéo’aovoê 5611.11 fi 0100001101

1:05 067116100. si) ôë K 31014001061: 6’611 1:01? (1187ka

1010101). 01510 61’001 3001.1) (.10th 10 AJBEF quina1:01") K 10100011. 561:0) 60’, et 61211120611, üao’o’ov. 1050600)

5 61) 1:6 p.011 ABF 1007001101: [0’011 1:95 Z, :005 6è Z té-

zaorov 00 H, 110d 61100009 106 H 1:0 0, 1101?. ciel 581i;01000300, 500g aux 701101011. 10 56101101: 511.1166011 0&9 151150-

ozâg, 0’: 1510500151 1:0 K 10105011 105 000211011055 and, 501:0

51116601: 1:0 I. 51m1: 611 rôt Z, H, 0, I 1010001 au! 1010 0000011 106 I êm’rpna 106 Z. 50111: 6è ml 1:0 K 1013

Z àntzpnov. 17001: 01’001 :0 K 1:00; Z, H, 0, I 11011105101’193 100001 1:05 I. 01:51 015v 10 K 10001011 11511 p.211

Z, H, â, I 101000112 1510508101. 59.026601". 1:05 I, 1:01": (il

rpdpatog miton; 1:01? I, 6137.01), 059 115050002 0’011 1:11

15 Z, H, O, I 1000001 0013 tydçwzog’ 31050 026150011011.êôstzôvz 7010, 5’01, 5&1: 61006010131: 1010001 58139 «01’11st

à) 10000101060001 1.6700, rô 6è 105’7161011 1’601: 1:95 si;

1:0 110011101 37700010051101 001.7051101 , rôt 01510100112101 101014!

09.0211601101 366501011, 0017 tydpunog. 0151: ë0œ ’00 JABEF

20 quina 51.010061! éon 1:01? K 10100011. ëôetxô’n 65’, 311

oôôè (Laiton. i’o’ov 65001 50’111! 1:91" K. 1:0 6è K 1010507

3101101061: 6’611 1013 101.7061101: 1:05 ABF. 100d 10 JABEF51’001 000’100: 31111001161: 0’611 1017 ABF 101.7051101).

3. 10.1100: F; corr. Torellius, ut lin. 8, 14, 15, 18, 190).20, 23. 7. 8000 au 511111011] scripsi; 0001:8 nataywntm F.uulgo. 9. 5101000? 301011011 Ninius. 61’, seripsi; de F,nulgo. 11. 11,5] 1:0 12. 1:61] tu: F; con. C. 23. in]0m. F; corr. Torellius. In fine F: 401110068000 "0001110110009naoufiolnç’ 0110010111: 18011 0501051001: -- 4- 1001101); Ëa 1011020017-0011.- 1010 1:01.13 (parure 1101361100.


simul spatia, minora esse quam tartis. parte maiora.maximo [prop. 23]. spatium autem K tertia. partemains est maxime spatio. itaque segmentum JABEI’mains non est spatio K. - ait autem, si fieri potest,minus. ponatur igitur ABF: 21), H :11, 0:1»H,et deinceps spatia, ponantur, dam fiat ultimum spatiumminus excessu, quo spatium K segmentum excedit [Eucl.X, 1], et [hoc excessu] minus sit I. unt igitur

Z-I-H-I-â-I-I-I-àI:&Z [prop. 23];sed erat etiam K Le il itaque

K:Z-I-H-l-Û-I-I-I-g-I.iam quoniam spatium K spatia Z, H, 0, I exceditspatio minore, quam est spatium I, segmentum uerospatio maiore, quam est I, adparet, spatia Z, H, 6, Imaiora esse segmento; quad fieri non potest. namdemonstratum est, si spatia. quotlibet deinceps data.sint in quadrupla proportione, et maximum triangulosegmente inscripto aequale sit, omnia simul spatiaminora fore segmenta [prop. 22]. itaque segmentumAABEF minus non est spatio K. demonstratumautem est, id ne mains quidam esse. itaque spatioK aequale est. sed spatium K tertia parte mains esttriangulo ABF. itaque etiam segmentum AABEI’tertia parte mains est triangulo A B1”.

1) Fortasse scribendum est lin. 4-5 miam» ôà 195 ph!ÂBF quuîvço l’ami 1:6 Z.


DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR,

LIBRI H.

11501 :0312 136w; ëqmîwyæ’vcov fi and :031: ôxovps’vmr.

Attnpa a’.çThroustït’fhzo zô 153’981; tomivôs uvà (péan) 510v, 45m

1051: (1591511 «61:05 sa l’eau ueaub’vœv aux). aifleîaâm auv-

5 51051; 51:14:01: êlaüvso’flm 1:6 151101: 05001551451101: 15116

roi (aillai! ôôovpa’vov aux), névtow «6106 M9031!aîôeïo’ôm inti) r05 1379017 ànspoîvm, (161015 5m09 me?

510285011, êàv 1:6 679611 à uataflaîîvov En! tu". nui 15m5

twog ëtëpov msçôpwov.

10 88060975.": 39:51:00.’Eàv ëmqpoîvewî mg êmm’ôcp marin? 61.02 1141095151

6011151501), and fi non") tout) ciel nsquJb’psw 510mm de19011 zô agoszgnps’vov onpaïov, amarinas édita; émqæéwaJ

tremblât» 7&9 êmcpoîvam êmzs’ôtp ôtât 1:01? a’ 612-

15 peton, ml ciel û zoom) tapi; gaza) minou nepztpæ’pêw.I M700, (in opalfgag émqwëvué ëarw, fig ue’vtgov rô a’.

et yàg mi, 5601117056 une; eûflatm 02m5 1:05 a’ M!15111 êmçpaîvawv â’vwoc. ëdrmdav al afi’, «7’. ni 594

fi’, 7’ dupera à; If] 3119205115591. 151141568421 û havi

Hoc fragmentum edidit A. Mai: Classici anet. I p. 426-30Hupde totidem littoris te etiui. usus est duobus codicibus UNtlcanis, quos signaui a, .

5. âfloüpsgov’om. a. 6. :0133 (1,511101: 0500054511011; set!)manu 1. 8. 1;] 11v b. 14. a’] ngôzov a; et sic etiammfrll

HEPI TQN TAATI EthETAMENQN. 357au êmms’ôcp ôtât 115v 43’, y’, a’ annelœv. xüm’lov (W7

’om’em negcçæ’puav 95 fixontpevov, 05 zëwgov 1:?) a’.

un fieu al afi’, ay’. aillât aux! 5&1on 62189 02615-Iarov. «palpas 39a ferlai ëmqwîvew’ 51mg 565L (largua.

13’.

Hawog Üôazoç ùdvzoîçovrog (5615 âxlvntov pëvsw

jémqwîvua mpmpouông 56m; 510mm 1:?) «1516 r5 yfizëvtgovf)

fiy .Tnîv augeaîv peyeôoôv rôt laopsyæ’ân scat inroflofpfi

xaôatpæ’va si; r6 137961: flamwôvfaowaz 4561:8in; 706 1579017 ëmqwîvaav pi; imagfioîh’lew, nul oïme’u

ot’aôn’aæwt. dg ut natation?)

a,T1511 615950511 (1.57.9961: rôt 1017, 1379017 uovqaôzega,

55m si; 1379611 uamôwm, 0151 51a fianudôæio’emz, 5:11,

fluai u 0:61:61) une). être tifs êmzpavelag mû 1579017.

Ia .To51; 615980511 peyeôoôv rôt 1:05 1571905 uompo’rspa

ds ce) 1379612 unôups’va ënl roaoüzov: fiamwflæfasrm,

1) Strabo I p. 64: nia! ’Açzmn’ôovç papetier? figeai, au (pn-017 fuiras 31: rots mot 1.151 ôzovps’vmv, nantis 157905 nui?-toz’nxôtos nul phono; ria: ëqudrsww uqaazpmùv chou «(patentstavrô névrçov 3101561); ri 713. Uitruuius VIII, 5, 3., 2) Hero Pneumat. p. 151: àmôstzhl 7&9 34914M621. à: rot;filoîgpëvmg, on rôt loofiapfi 1:95 152995 amputa âqzsôévta et; r6"7907 051:5 ônseéèu roi 67906 (une nataôz’vasmz.

2. 95] nôs? 10. laofiapfi? 12. êmfiéusw b.

15

20

358 nm mu mm EQIZTAMENQN.ëtp’ 5600 zoaoôtov 1017 ôypoô 57101), 5609 goth! ô 1017

flanuaâæ’wos’yépovç, idoflapstsïvm a); 51190 (15755851..

I5’ .

Tà 615955: 157905 2009261590: par; ais rô igloôvb medfléwa ënavbaréusva (pépowal. t’ai 1:6: â’vœ momifia

ôwépso, 569) zô 137001: laoue’ysôsg 74,5 "575’050 flapi;-

zepôv éon 101"; 057450009.

Cl.

Tà flapürega 1:06 157005 même? uaôsme’va si; si10 1370011 olaôfiaerab mita), En); 015 zamflaivœm, nul «Sana.

106015793 560120261590; à; :95 137993, 560v 5x51, rô 50290916 1579611 laops’yeôsg 195 6159595 peye’flu.

Afippa fi ûnôflsdzg.e’I’flîoueltïôoo :0311 à: 157095 52mn (psgopa’vœv 51416100

15 55’110) (pè’peaôm muât M0500, fins à: 1:05 névrpov 7017

5029009 aôrôv ëxfloz’llatm.

9605011400: 71’.

’Eôw 616054511 n pëysôog 51011 6177m: zpfipatog

«padous et; 1:6 1579011 xafltfimz, (Sets tin: fléau) roi)20 rpfiparog M7 ëmeoôm 1:06 ôygoô, 10 675mm émeut-

rafio’êtal. 69061:, (561:5 1011 ëëova r01? tyfipatog mué

unifiant: sium. and . . . .

2. 130054101]? 16. Bécane a et b manu 1. 18. 0120269?22. and 0m. a.

De ils, que in humide nehunturf)

Liber I.Suppositio prima.

Supponatur humidum habens talem naturam, utpartibus ipsius ex aequo iacentibus et existentibus 5continuis expellatur minus pulsa. a. magis pulsa; etunaquaeque autem partium ipsius pellitur humido,quod supra ipsius existante secundum perpendicularem,si humidum sit descendens in aliquo et ab alio aliquo

pressum. 10Theorema. primum. Propositio prima.Si superficies aliqua plane secta pet aliquod sig-

num semper idem signum sectionem facientem circuli

Librum I primus edidit N. Tartalea Uenetiis 1543. deindeex schedis eius et primum et secundnm librum edidit TroimusCurtius Uenetiis 1565." hune interpretationem emendauit F. Com-mandinus (Bononiae 1565), quem sequitur Torellins (praef.p. XVI . cum Tartalea solus Graecum codicem habuisse ui-deatur ( usest. Arch. p. 101; cfr. p. 13; 23), eum secutus snm,ita ut soloece et barbare dicta. intacts. relinquerem, et ea. tan-tum, quae in mathematicis pemersa ersnt, corrigerem cum

1) ,,De insidentibus taquasn Tartalea. ,,De iis, quse in aqua.uehunturfi Commandinus; seeutus sum Torellium p. XVIII.

8. ,,supra. ipsam existen fi 00mm. 9. et] "autti 00mm.12. ,, 19.110u Comm. ,,per idem semper punctum, sitqus sectiocircui circumferentia." 00mm.

360 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

periferiam centrum habentem signum, per quod planosecatur, sphaerae erit superficies.

sit enim superficies aligna. secte. per signum Kplana super sectionem facientes circuli periferiam, cen-

5 trum autem ipsius K. si igitur ipse. superficies nonest sphaeree superficies, non erunt

A B omnes quae a centro ad super-ficiem occurrentes lineae aequales.sit itaque A, B, G, D signa in

1o superficie, et inaequales quae AK,l ç KE, per ipsas autem KA, KB

plenum educatur et faciat sectio-nem in superficie lineam DABG. circuli ergo estipsa, centrum autem ipsius K, quoniem supponebatur

15 superficies talis. non sunt ergo inaequales lineae KA,K3. necessarium igitur est, superficies esse sphaeraesuperficiem.

Theorema. Il. Propositio Il.Omnis humidi consistentis ita, ut maneat inmotum,

20 superficies habebit figuram sphaerae habentis centumidem cum terra.

Intelligatur enim humidum consistens ita, ut ma.-

Commandino et Nizzio, lectionibus Tartaleae in adnotationesreiectis. sed ubi Tartaleae uerba intellegi non pesse uidebau-tut, in adnotatione adtuli emendatam Commandini scripturam.etiam interpunctionem pernersissimam Tartheae et orthogra-phiam parum constantem tacite mutaui.

3. sit] "si" Tartelea. 4. super sectionem facientes] scrib.semper sectionem faciente; ,,et ait sectio sempefi 00mm. 7.«pissa hic, ut saepe, respondet articule Graeco. 16. super-ficies nominatiuus respondet Graeco En fi Èquoîvsm; cfr-p. 361 lin. 3.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 361

neat non motum, et secetur ipsius superficies planoper centrum terrae. sit autem terrae centrum K, super-ficiei autem sectio linea ABGD. dico itaque, lineaABGD circuli esse periferiam, centrum autem ipsius K.si enim non est, rectae a K ad lineam ABGD oc-currentes non erunt aequales. sumatur igitur aliqua

I recta, quae est qua-rundam quidem a K

l occurrentium ad li-] P i neam ABGD ma-10r, quamndam au-

tem minor, et centroquidem K, distantia

34 I I fil autem sumptae li-neae circulas describatur. cadet igitur periferia cir-culi habens hoc quidem extra lineam ABGD, hoc autemintra, quoniem quae ex centro quorundam quidem a Koccurrentium ad lineam ABGD est maior, quorundamautem miner. sit igitur descripti circuli periferia quaeRBH, et ab B ad K recta ducatur, et copulenturquae RK, KEL aequales facientes angulos. descri-batur autem et centra K periferia quidem quae XOPin plana et in humido. partes itaque humidi quaesecundum XOP periferiam ex aequo sunt positae con-tinue in uicem. premuntur quae quidem secundum

7. quamndam] genetiuus ex Graeco translatus est (1037 psy-us(taw). 14. sumptae lineaeÆ ri; 1179205sz 560542. 16.habens1rom. Comm. hoc qui em] 16 pév- 1:6 65’. 19.,,sintu nrtalea. 20. ,,ducanturu Tartalea. 21. RK ,,hKuTartalea; 00mm. litteras prorsus mutauit. K EL "helfiTartalea. 23. quae secundum] ni: zani. 24. ,,perîfarie.muTartalea.

10

20

25

10

15

20

362 DE US, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

X0 periferiam POBE humido, quad secundum ABlocum, quae autem secundum periferiam 0P humida,quad secundum DE locum. inaequaliter igitur pre-muntur partes humidi, quae secundum periferiam X0,iis, quae secundum 0P. quare expelletur minus pressaa. magis pressis [hypoth. l]. non etiam ergo constarefeeimus aliquod humidum. supponebatur autem con-stans ita, ut maneret non motum. necessarium ergolinos. ABGD est circuli periferiam, et centrum ipsiusK. similiter autem demanstrabitur et, si superficieshumidi plana secte. fuerit par centrum terrae, quadsectio erit circuli periferia, et centrum ipsius erit, quadet terrae centrum. palam igitur, quad superficies hu-midi canstantis non mati habet figuram sphaerae ha-bentis centrum idem cum terra, quoniem talis est, utsecte. per idem ignum sectionem faciat circuli peri-feriam habentis signum, par quad secatur plana [prop. 1].

Theorema III. Propositio III.Solidarum magnitudinum, quae aequalis molis et

aequalis .ponderis cum .humido, dimissae in humidumdemergentur ita, ut superficiem humidi non exeedantnihil et non adhuc referentur ad inferius.

demonstratur enim aliqua magnitudo asque gra-uium cum humido in humidum, et si possibile est,

1. POBE] am. 00mm. quad "quaeii Tartalea. AB]"21W Tartalea. 3. ,,aequaliterti artalea; cart. 00mm. 4.quae] ,,quadfl Tartalea. 5. iis] "aiu Tartalea. ,,non ex-pelleturii Tartalea; corr. 00mm. 6. "costumait Tartalea. 10-si] am. Tartalea; "si quomodacunque aliterii 00mm. 17-,,centrum habentirri 00mm. 2l. non excedant nihil] pi; inue-pâma» (1.116.411. 28. demonstratur] scrib. demergatur.


excedat ipsa superficiem humidi. consistat autem hu-midum, ut maneat immotum. intelligatur autem ali-quod planum eductum per centrum terrae et humidiet par salidam magnitudinem. sectio autem sit super-ficiei quidem humidi quae ABGD, solidae autem mag-nitudinis quae EZH T insidentia, centrum autem ter-rae K. sint autem salidae quidem magnitudinis quad

quidem BGH T inhumido, quad autemBEZG extra. in-telligatur et solidafigura comprensa py-ramide basem qui-dem habente paral-

A I p lelagrammum, quadin superficie humidi, uerticem autem centrum terrae.sectia autem sit plani, in quo est quae ABGD peri-feria, et planarum pyramidis quae KL, KM descri-batur autem quaedam alterius sphaerae superficiescires. centrum K in humido sub EZH T, quae XOP.secetur hoc a. superficie plani. sumatur autem et quae-dam alia pyramis aequalis et similis comprehendentisolidam, continua. ipsi. sectia autem sit planorumipsius quae KM KN, et in humido intelligatur quae-dam magnitudo humido assumpta quae RSEY aequa-lis et similis solidae, quae secundum BHGT, quadest ipsius in humido. partes autem humidi, quae sunt

5. ,,magnitudinesu Tartalea. 6. ,,insidentisu Comm. 7.K] 0m. Tartalea. 12. ,,compressam" Tartalea. 13. ,,bas-seinfl Tartalea. 14. ,,habentem par-alelogrommumu Tartalea.26. nbhagH Tartalea. 27. ipsius] se. totius solidi EZ T11.mut] -f- Tartalea.

10

15

25

10

15

20


in prima pyramide sub superficie, in qua est quaeX0, et quae in altera, in qua quae P0, ex aequosunt positae et continuae. similiter autem non premuntur. quae quidem etiam secundum X0 premitura solido THEZ et humido intermedia superficie, quaesecundum X0, LM,- et planarum pyramidis; quaeautem secundum P0 solido RSE Y et humido inter-media superficierum, quae secundum P0, MN, et pla-norum pyramidis. minor autemierit granitas humidi,quad secundum M N, OP, sa, quad secundum LM, X0.quad enim secundum RSEY, est minus solido EZHT»ipsius enim ei, quad secundum HBG’ T, est aequale,quia magnitudine aequale et aeque graue supponitursalidum cum humido. reliquum autem reliquo aequaleest. palam igitur, quia expelletur pars, quae secun-dum periferiam 0P, ab en, quae secundum periferiam0X, et non erit humidum non motum [hypath. 1].supponitur autem non motum existens. non ergo ex-cedet superficiem humidi aliquid solidae magnitudinis.demersum autem salidum non fertur ad inferiora. si-militer enim prementur omnes partes humidi ex aequopasitae, quia salidum est aequo graue.

2. aequo] ,,quo*i Tartalea. 3. ,,non continuas" Tartalea.non] am. Tartalea. 4. etiam] scrib. enim. 5. "therfi Tar-talea. superficie] :6 (assagi; 1051! Emmavswfiv au! . . 1051 Ém-néômv; cfr. lin. 8. 7. ,,rl’cyn Tartalea, ut lin. 11. 11.enim] -n- Tartalea. 14. aequale] seripsi; ,,ina.equa.1en Tartaleaet Comm. 15. quia Sain. 21. aequo] "que" Tartalea.22. ,,graue atque humi umit Comm.


Theorema HII. Propositio IIII.Solidarum magnitudinum quaecunque leuior fuerit

humidi, dimissa in humidum non demergetur tata, sederit aliquid ipsius extra superficiem humidi.

sit enim salida magnitudo leuior humido et di-missa in humidum. demergatur tata, si possibile est,et nihil ipsius sit extra superficiem humidi. consistatautem humidum ita, ut maneat non motum. intelli-gatur etiam aliquad planum eductum par centrum ter-rae et per humidum et par solidam magnitudinem.

19 secetur autem a. planahac superficies qui-dem humidi secun-

d 0 49 dum superficiemABGD, solida au-]: tem magnitudo per

figuram in R. cen-

I tram autem terraesit K. intelligatur autem quaedam pyramis compren-dens figuram R, secundum quad et prius, uerticemhabens signum K. secentur autem ipsius plana asuperficie plani AB G secundum AK, KB. accipiaturautem et aliqua alia pyramis aequalis et similis huic.secentur autem ipsius plana a plana ABG secun-dum KE, KG. describatur autem et quaedam alte-rius sphaerae superficies in humido circa centrum K,sub salida autem magnitudine. secetur ipsa ab eodemplana secundum XOP. intelligatur autem et magni-

3. dimissa] scrib. demissa, ut lin. 5 et p. 362, 20. 10."magnitudinumii Tartalea. 20. secundum quad et prius]and toi mâtât and. npdzeaov.

10

15

20

25

10

15

20


tudo absnmpta ab humido, quae secundum H, in po-steriori pyramide aequalis solidae, quae secundum R.partes autem humidi, quad in prima pyramide, quaesub superficiebus, quae secundum superficiem X0, etquad in secunda, quae sub superficiebus, quae super-ficie OP, ex aequo snnt pasitae et continuae inuicem.non similiter autem premnntur. quae quidem in primapyramide, premitur a solide. magnitudine, quae secun-dum R, et ab humido continente ipsam et exsistentein loco pyramidis, quae secundum ABOX. quae au-tem in altera pyramide, premitur ab humido conti-nente ipsam exsistente in loco pyramidis, qui secun-dum POBG. est autem et granitas, quae secundumR, minor grauitate humidi, quad secundum H, quo-niem magnitudinem quidem est aequalis, solida autemmagnitude supponitur esse leuior humido humidi con-tinentis magnitudines R, H, eritque pyramidum aequa-lis. magis igitur premitur pars humidi, quad sub su-perficiebus, quae secundum periferiam 0P. expelletergo, quad minus premitur [hypath. 1], et non manethumidum non motum. supponebatur autem non mo-tum. non ergo demergetnr tata, sed erit aliquid ipsiusextra superficiem humidi.

3. quae sub superficiebus] abscura; 0m. Comm.; cfr. lin. 5,18. 6. aequo] ,,qua2 Tartalea. 9. ipsam] "ipsastt Tartalea.11. premitur] deest: ,,ab magnitudine H etti. t ,,cont.inent"Tartalea. 14-17: ,,quoniam magnitudo solide. mole uidemaequalis et humido leuior onitnr; granitas autem hnmi ’ con-tinentis magnitudines R, HP est aequalis, cum pyramides acqui-les sintu Comm.


Theorema V. Propositio V.Solidarnm magnitudinum quaecunque fnerit leuior,

dimissa in humidum in tanto demergetnr, ut tante.moles humidi, quanta est moles demersae, habeat ae-qualem grauitatem cum tata magnitudine.

disponantur autem eadem prioribus, et sit humi-dum non motum. sit autem magnitudo EZH T leuiorhumido. si igitur humidum est non motum, similiter

Z 11I 121z r J0 1

A a K aprementur partes ipsius ex aequo positae [hypoth. 1].similiter ergo premetur humidum, quad sub super-ficiebus, quae secundum periferias X0 et P0. quareneque-lis est granitas, quae premitur. est autem ethumidi granitas, quad in prima pyramide, sine BHTGsolido aequalis grauitati humidi, quad in altera pyra-mide, sine RSEY humido. palam igitur, quad gra-nitas magnitudinis EZH T est aequalis grauitati hu-midi RSE Y. manifestum igitur, quad tanta moleshumidi, quanta est demersa. pars solidae magnitudinis,habet grauitatem aequalem toti magnitudini.

3. Scrib. demissa. 6. neandemu Tartalea. 12. quaepigemitur] ,,qua premuntur" Comm. 15. "rangn Tartalea, ut

. 17.

5

10

15

10

15

20

25


Theorema VI. Propositio VI.Solide. leuiora humido ni pressa in humidum sur-

rexi fernntur tanta ui ad snperius, quanta humidumhabens molem aequalem cum magnitudine est grauiusmagnitudine.

sit enim magnitudo A leuior humido. sit autemmagnitudinis quidem, in que. A, granitas B, humidiautem habentis molem aequalem cum A granitas BG.demonstrandum, quad magnitudo A, ubi pressa in hu-midum, refertur ad snperius tenta ni, quanta est gra-nitas G. accipiatur enim quaedam magnitudo, in quaD, habens grauitatem aequalem ipsi G. magnitudoautem ex utrisque magnitudinibus, in quibus A, D, ineadem composita. est leuior humido. est enim magni-

tudinis quidem ex utrisque gra-

1) B uitas B G, granitas autem hu-midi habentis molem aequalem

B [ipsis A, D maior est quam B G,quoniam humidi molem haben-tis aequalem] cum A granitas

A est BG. dimittatur igitnrinhu-midum magnitudo ex utrisque

A,D composita. ad tantnm demergetur, donec tanta mo-les humidi, quantum est demersum magnitudinis, habeatgrauitatem aequalem cum tata magnitudine. demonstravtum est hoc [prop. 5]. sit autem superficies quaedamhumidi alicuius quae ABGD periferia. quoniam igitur

2. surrexi] énamourions p. 358, 5; am. Comm. 4-,,molei* Tartalea, ut lin. 8, 17. 14. humido] se. molem ha-benti aequalem magnitudini A 4- D. 17. ipsis --- lin. l9: ae-qualem] 0m. Tartalea; suppleui ex Commandino.


tenta moles humidi, quanta est magnitudo A, habetgrauitatem aequalem cum magnitudinibus A, D, pa-lam est, quad demersum ipsius erit magnitudo A, re-liquum autem, in que D, erit totum desnper suprasuperficiem humidi. si enim T. palam igitur, quad 5quanta ni magnitudo A refertur ad snperius, tantaab sa, quad supra est, D, premitur ad inferins, quo-niam neutra a neutra expellitur. sed D ad deorsumpremit tenta grauitate, quanta est G; suppanebaturenim granitas eius, in quo D, esse aequalem ipsi G.palam igitur, quad oportebat demanstrare.

Theorema VII. Propositio VILGrauiora humido dimissa in humidum ferentur

deorsum, donec descendant, et erunt leuiara in humidotantum, quantum habet granitas humidi habentis tan-tam molem, quanta est moles solidae magnitudinis.

quad quidem feretnr in deorsum, donec descendat,palam. partes enim humidi, quae sub ipsius, pre-muntur magis quam partes ex aequo ipsis iacentes,quoniam solida magnitudo supponitur granior humido.quad autem leuiora erunt, ut dictum est, demonstra-bitur. sit enim aliqua magnitudo quae A, quae estgrauior humido, granitas autem magnitudinis quidem,in qua A, sit quae BG, humidi autem habentis ma-*

5. si enim] am. Comm.; lacune. uidetnr esse. 7. est] f-Tartalea. 8. neutra a neutra] h. e. quoniam aeqnilibritatemsemat A -]- D ita positum, ut A in humido sit, D autem supra.male Nizzius: altera ab altera. 10. D] ,,gdu Tartalea. 13..,ferrentnrfl Tartalea. 16. ,,mole2 Tartalea, ut lin. 24.17. "ferreturit Tartalea. 18. sub ipsius] ôn’ 0:15:05. 19.quam] "quaett Tartalea. aequo ipsis] ,,quo ipsasu Tartalea.24. sit quae] Farce à; ,,sitque** Tartalea.


10

16

20

370 DE US, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

lem aequalem ipsi A granitas B. demonstrandum,quad magnitudo A in humido existons habebit grani-tatem aequalem ipsi G. accipiatur enim aliqua aliamagnitudo, in que. D, leuior humido malis aequalis cum

b ipsa. sit autem magnitudinis quidem, in que D, grani-tas aequalis grauitati B, humidi autem habentis molemaequalem magnitudini D granitas sit aequalis grani-tati DG. compositis autem magnitudinibus, in quibus

4 -- A, D, magnitudo simul utrorumque10 B erit aequo greuis humido. grani-

tas enim magnitudinum simul ntra-

A D rnmqne est aequalis ambabus gra-G uitatibus, scilicet BG et B, granitas

humidi huius habentis malem’ae-

15 qualem ambabus magnitudinibus estaequalis eisdem grauitatibue. dimissis igitur magnitu-dinibns et proiectis in humidum aequerepentes emnthumido et nec ad sursnm ferentnr neque ad deorsum[prop.3], quoniam magnitudo quidem, in que A, exsistens

20 granior humido feretnr ad deorsum et tante ni a magni-tudine, in qua D, retrahitur. magnitudo autem, in queD, quoniam est leuior humido, eleuabitur sursnm tentani, quanta est granitas G; demonstratum est enim,quad magnitudines solidae leuiores humido impressae

25h humidum tante ni refernntur ad sursnm, quantahumidum aequae molis cum magnitudine est grauiusmagnitudine [prop. 6]. est autem humidum habens

6. ,,mole aequaleu Tartalea. 14. huius habentis] un?fiance. "moleit Tartalea. 18. ,,ferrentur" Tel-tales, utlin. 20. 19. quoniam] debebat esse: itaque. 20. tenta]a: tantldem.


molem aequalem cum D [grauius quam D ipse G gra-uitate]. Palam igitur, quad magnitudo, in qua A,fertur in deorsum tenta grauitate, quanta est G.

Suppositio II.Supponatur, eorum, quae in humido sursnm ferun-

tur, unumqnodque sursnm ferri secundum perpendicu- 5larem, quae per centrum grauitatis ipsorum producitnr.

Theorema VIII. Propositio VIII.Si aliqua solide magnitudo habens figuram portio-

nis sphaerae in humidum dimittatur ita, ut basis por-tionis non tangat humidum, figura insidebit recta itaut axis portianis secundum perpendicularem sit. etsi ab aliquo trahitur figura ita, ut basis portianistangat humidum, non manet decliuata, secundum di-mittatnr, sed recta restitnaturd-l)

1) Demonstratio huius propositionis apud Tartaleam deest(diserte ad eam respicitnr prap. 9 p. 372, 15; 21); sed fignrae cum

Ziis, quae ad prap. 9 ertinent, mixtae inueniuntnr hue; deman-strationem de sua a iecit Commandmus.

1. grauius- grauitate lin. 2 0m. Tartalea; suppleni exCommandino. 3. ,,feri2 Tartalea. 13. secundum] ,,siu

Comm. h24”

10

15

20


[Theorema IX. Propositio IX.]Et igitur, si figura leuior exsistens humido dimit-

tatur in humidum ita, ut basis ipsius tata sit in hn- 0mido, figura insidebit recta ita, ut axis ipsius sit se-cundum perpendicularem.

intelligatur enim aliqua magnitudo, qualis dictaest, in humidum dimissa. intelligatnr etiam et pla-num productum per axem portionis et pet centrumterrae. sectio autem sit superficiei quidem humidiquae ABGD periferia, figurae autem EZH periferia,et quae EH recta. axis autem portionis sit quae Z T.si igitur est possibile, non secundum perpendicularemsit quae ZT. demanstrandnm igitur, quad non ma-net figura, secundum in rectum statuetur. est autemcentrum sphaerae usque Z T. rursum enim sit figura.maior emisperio, et sit centrum sphaerae neque ademisperium scilicet T, in minari autem P, in maieriautem K. per K autem et par centrum terrae L du-catnr KL. figura autem extra humidum assumpta asuperficie humidi axem habet in perpendiculari, quaeper K. propter eadem prioribus est centrum graui-tatis ipsius in linea NK. sit enim R. totius autemportionis centrum granitatis est in linea Z T inter K

1. Theorema cett. am. Tartalea, apud quem prop. 9 itatypis expresse est, quasi sit demanstratio propositionis 8. 11.sit quae] ,,sitqueu Tartalea. 14. secundum] ,.sedu 00mm15. neque] "mu Comm. rursum] se. ut in demonstrationeprop. 8. 16. emisperio] a: hemisphaerio; cfr. lin. 17. us-que ad] ,,in dimidia sphaera.H Comm. 19. extra. cett.] "quaeest extra humidi superficiemu Comm. 21. "eandemii Tar-talca. prioribus] in demanstr. prop. 8. 22. enim] dé?


et Z, et ait O. reliquae ergo figurae eius, quae inhumido, centrum erit in recta CR inducta et absumpta,quae habebit ad 0R eandem proportionem, quam ha-bet granitas portionis, quae extra humidum, ad gra-

21V

1 2uitatem figurae, quae in humido [3mm 36099. I, 8]. 5ait autem 0 centrum dictae figurae, et per O per-pendiculari[s ducatur L0]. feretnr igitur granitasportionis quidem, quae est extra humidum, secundumrectam R0 ad deorsum, figurae autem, quae inihu-mido, secundum rectam 0L ad sursnm [hypoth. 2].non manet igitur figura, sed partes quidem figurae,quae uersus H, ferentur ad deorsum, quae autem uer-

1. inducta] ômypê’ay. 6. ,,perpendieula.riu Tartalea; ce-tera supplenit Comm. 7. ,,ferretur" Tarfalea, ut lin. 12.


sus E, ad sursnm, et super hoc erit, donec quae Z Tsecundum perpendicularem fiat!)

1) Haec quoque propositio mutila. ad nos pensait. nequeenim amplius quam primas calus pertractatln est, cum tumende duobus ceteria promissum ait (p. 372, 15), et pmeparatum(p. 372, 17). sed ne id quidem, quod entat, satis perspi-cuum est.

1. super] scrib. semper. In fine: ,,exp1icit de insidentibnsaquae libexM Tartalea.

Liber Il.I.

Si aliqua magnitudo existens leuior humido (limit-tatur in humidum, hanc habebit proportionem in gra-uitate ad humidum molis aequalis sibi, quam habetdemersa magnitudo ad totam magnitudinem.

demittatur enim in humidum aliqua magnitudosolida, quae sit FA, leuior humido. ait autem quodquidem demersum ipsum A, quod autem extra humi-

B

- Fo

l-

N

I

dum F.. demonstrandum, quod mag-nitudo FA ad humidum aequalis mo-lis in grauitate banc habet propor-tionem, quam A ad FA. accipiaturenim aliqua humida magnitudo, quaeait NI, molis aequalis cum FA, etipsi quidem F ait aequale N, ipsiautem A I. et adhuc granitas qui-dem magnitudinis FA ait B, ipsiusautem NI quae R0, ipsius autemI R. magnitudo igitur FA ad NIbanc habet proportionem, quam gra-nitas B ad grauitatem RÔ. sed quo-

niam magnitudo FA in humidum dimissa est leuior

5. molia].,,mobiliafl Tartalea. 8. quae] "quand Tarta-lea, ut lin. 14. 9. ipsam] ipsius?

5

10

15

20

10

376 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEBUNTUR.

existens humido, palam, qnod demersae magnitudinismoles humidi habet grauitatem aequalem cum magni- Vtudine FA. demonstratum est enim hoc [1, 5]. etquoniam quod secundum A humidum est I, ipsiusautem I granitas est R, ipsius autem FA granitasest B, granitas B, quae est habentis aequalem molemtotins magnitudinis FA, est aequalis grauitati humidi I,scilicet ipsi R; et quoniam est, ut magnitudo FAad humidum, quad secundum ipsam, scilicet NI, itaB ad R0, aequale autem est B ipsi R, ut autem Rad R0, ita I ad NI et A ad FA, ut ergo FA adhumidum, quad secundum ipsam, in grauitate, magni-tudo A ad FA. Tfactum est aequale demersae mag-nitudinis, scilicet A. habet ergo magnitudo FA in

’15: grauitate ad NI, ita B ad R0. quam autem prœ

20

portionem habet R ad R0, banc habet proportionemad R, . . . et A ad FA. demonstratnm est enim.

II.Recta portio rectanguli conoidalis quando- axem

habuerit non maiorem, quam emiolinm eius, quae us-que axem, omnem proportionem habens ad humidumin grauitate, dimissa in humido ita, ut basis ipsiusnon tangat humidum, posita inclinata, non manet in-

]. "demeraestt Tartalea; ,,tantam humidi molem, quanta estpars magnitudinis demersafl Comm. 4. quod secundum] 16nard t’à’y A 67961:. 6. ,,aequalitate moleu Tartalea; ,,grauita-tem aequalemfl Nizzius male. 10. B] (pl-ins) ,,B 0tt Tartalea.12. ,,ipsa*t Tartalea. 13. factum] seqnentia nerba sensu ca-rent, nec opus sunt; ,,quod demonstrare oporteba d Comm. ce-teris omisns. 17. ad R] in media lacnna Tartalea. 20.non maïorem] Torellius p. XVIII; ,,maioremu Tartalea; ,,mi-

noremtt Comm. .


clinata, sed restituetur recta. rectam dico consisteretalem portionem, quando quad secuit ipsam fueritaequjdistanter superficiei humidi.

sit portio rectangnli conaidalis, qualis dicta est,et iaceat inclinata. demonstrandum, quad non manet, 5sed restituetur recta. secta autem ipsa plana par

12

axem recte ad planum, quad in superficie humidi, por-tionis sectio sit quae AP0L rectanguli coni sectio[usai mm). 11], axis autem portionis et diameter sec-tionis quae N 0, superficiei autem humidi quae IS. 10si igitur portio non est recta, non ntique erit quaeAL aequidistans ipsi I S. quare non faciet angulnm -rectum quae N 0 ad IS. ducatnr ergo quae K52 con-tingens sectionem coni penes Psi-1)

1) Pars extrema demonstrationis apud Tartaleam deest; desua adiecit Commandinus.

8.. quae APOLl ,,qne apol.u Tartalea. 10. superficiei]pendet ab "sectiott lm. 8. quae I S ] ,,quam K T, Tartalea.12. IS] nie Ku Tartalea.

10

15


III.Recta portio rectangnli conoidalis, quando axem

habnerit non maiorem quam emiolinm eius, quae us-que ad axem, omnem proportionem habens ad humi-dum in grauitate, dimissa in humido ita, ut basisipsius tata sit in humido, posita inclinata, non manetinclinata, sed restituetur ita, ut axis ipsius secundumperpendicularem sit.

dimittatur enim aliqna portio in humidum, qualisdicta. est, et sit ipsius basis in humido. secte. autemplana par axem recto ad superficiem humidi sectio aitquae APOL rectanguli coni sectio [and uaw. 11], axisautem portionis et diameter sectionis quae PF, super-ficiei autem humidi sectio sit quae IS; et si inclinata

Ï To û

iacet portio, non erit secundum perpendicularem axis.non ergo faciet quae PF angulos aequales ad IS.ducatur autem quaedam quae K62 aequedistanter ipsi

3. non maiorem] Torellius p. XVIII; ,,maioremu Tartalea;"minorem" Comm. 9. quahs] "aequalistt Tartalea. 13.sectionis] ,,sectio m, [a Tartalea. 14. sit quae] ,,eitquet*Tartalea.


IS contingens sectionem APOL pence 0, et solidaequidem magnitudinis APOL centrum grauitatis sit R,ipsius autem I POS solidi centrum B, et copulata quaeBR educatnr, et. centrum grauitatis reliqnae figuras,scilicet ISLA, sit G [cfr. ému. tacon. I, 8]. similiter-1)demonstrabitur angulus quidem qui sub ROK acutus,perpendicularis quae ab R, TR, ad K52. producitur,cadens inter K et .52, sitqne RT. si autem ab ipsisG, B ducantur aequedistanter ipsi RT, quad quidemin humido absumptum feretnr sursnm secundum pra-ductam per G [I hypoth. 2]. quad autem extra hu-midum secundum productam per B feretnr deorsum,et non manet salidum APOL sic se habens in hu-mido, sed quad quidem secundum A habebit lationemsursnm, quad autem secundum L deorsum, donec fiatquae PF secundum perpendicularem.

1V;

Recta portio rectangnli conoidalis quando fueritleuior humido et axem habnerit maiorem quam emi-olinm eius, quae neque ad axem, si in granitate adhumidum aequae molis non minorem proportionem ha-beat illa, quam habet tetragonnm quad ab excessu,quo maior est axis quam emiolius eius, quae asque

1) Se. ac supra in demonstratione prop. 2, quae intercidit;de te u. Nizze p. 234, 17.

6. R0 ,,rmK" Tartalea. 7. perpendicularis] scrib.et perp. R] am. Comm. "kan Tartalea. 8. a] "oitTartaIea. 10. "ferret? Tartalea. 12. ,,productat* Tartalea.21. aequae] a: aequalis; ,,aequet* Tartalea.

10

20


ad axem, dimissa in humido ita, ut basis ipsius nontangat humidum, posîta inclinata, non manet inclinata,sed restituetur in rectum.

este portio rectanguli conoidalis, qualis dicta est,6 et dimissa in humidum, si est possibile, sit non recta,

sed sit inclinata. secta autem ipsa par axem planarecto ad superficiem humidiportionis quidem sectio sitrectangnli coni sectio [usai«en». 11] quae AP0L, axisautem portionis et diameterquae N 0, superficiei autemhumidi sectio sit I S. si igi-tur portio non est recta,non faciet quae N0 ad ISangnlos aequales. ducatnr

autem quae K sa contingens sectionem rectanguli conipanes P, aeqnidistans autem ipsi I S. a P autem ae-quedistanter ipsi ON ducatnr quae PF, et accipian-

20 tur centra granitatum, et erit salidi quidem APOLcentrum R, eius autem, quad inter humidum, centrumB, et copuletur BR et educatur ad G, et sit salidi,quad supra humidi, centrum grauitatis G [ëmm (mon.I, 8]. et quoniam quae N 0 ipsius quidem R0 estemiolial), eius autem, quae’ asque ad axem, est maior

10

15

1’ Il

1) Nain centrum grauitatis conoidis rectanguli ita in axi

1. axem] addendum: ad tetragonum quad ab axe. 4.,,rectaugula" Tartalea. Il. diameter] sc. sectionis. 19.quae "quot Tartalea. 20. ,,contra grauitumfl Tartalea. 21.inter a: inti-a. 22. BR] "ghm Tartalea. 23. quad suprahumidi] si: imine toi! 1379013.


quam emiolia, palam, quad quae R0 est maiar quamquae neque ad axem. sit igitur quae RE aequalis ei,quae usqne ad axem, quae autem 0H dupla ipsiusHM. quoniam igitur sit quae quidem N 0 ipsius R0emialia, quae autem M0 ipsius 0H, et reliqua quaeMN reliquae, scilicet RE, emiolia est.1) ipsi M0 estmaiar quam emiolius est axis eius, quae usque adaxem, scilicet RE’) et quoniam suppanebatnr portioad humidum in grauitate non minorem proportionemhabens illa, quam habet tetragonum, quad ab excessu,quo axis est maiar quam emiolius eius, quae usquead axem, ad tetragonum. quad ab axe, palam, quadnon minorem proportionem habet portio ad humidumin granitate illa proportione, quam habet tetragonumquad ab M0 ad id quad ab N 0. quam autem pro-portionem habet portio ad humidum in grauitate, hanchabet demersa ipsius portio ad totam solidam portio-nem. demonstratum est enim hoc [prop. 1]. sed quamhabet proportionem demersa portio ad totam, banc

positum est, ut pars ad uerticem sita duplo maiar sit altera;Quaest. Arch. p. 33.

1) Nam MN: N0 -:- M0 : 13030 vi- OH) : 421211.2) H. e. NO a âRH-i- M0. "quae asque ad axemtt (fi

aima nô fiance; «sa! un. 3 p. 304, 3) est dimidia parametrus(p); u. Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 51 nr. 13. sedEH a au) (Apollon. con. V, 13). est igitur

N0::MN-l-M0:;RH-i-M0.2. RH] "nuit Tartalea. 3. 0H] "and TartaIea. 4.

HM] ,,rmt* Tartalea. 5. 0H] sa. emiolia. 6. reliquae] ,,re-liquaft Tartalea. est] (a1t.) igitur? ,,ergo axis tante maiar estquam sesquialter eius. quae nsque ad axem, quanta est linea1110H Comm. 8. RE] ,,rmtt Tartalea. 9. nminneremuTartalea. 14. proportions] "proportionemii Tartalea. 19.portio] nproportiou Tartalea.

15


habet tetragonum quad ab PF ad tetragonum quadab N O. demonstratum est enim in iis, quae de co-noidalibus, quod, si a rectangulo conoidali duae por-tiones qualitercunque productis planis abscindantur

5 portiones, adinuicem eandem habebunt proportionem,quam tetragona quae ab axibus ipsorum [mol mon). 24].non minorem ergo proportionem habet tetragonum quoda PF ad tetragonum quad ab N 0, quam tetragonumquad ab M 0 ad tetragonum quod ab N O. quare quae

10 PF non est miner quam M0, neque quae BP quam H03)si igitur ab H ipsi N 0 recta ducatnr, cadet inth etP.quoniam igitur quae quidem PF est aequidistanter dia-metro, quae autem M T est perpendicularis ad dia-metrum, et quae RE aequalis ei, quae usque ad axem,

15 ab R ad T copulata et educta facit angulos rectosad contingentem secundum P?) quare et ad IS etad eam, quae per I S, superficiem humidi faciet aequa-les angulos.’) si autem par B, G ipsi RT acque-distantes ducantur, anguli recti erunt facti ad super-

20 ficiem humidi, et quad quidem in humido assumitur

1) Nam BP a âPF (p. 380 not. 1) etH0 :fiMO 3:BP ËHO.

2) Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 54 m. 21.3) Nam IS ut K9; tum u. Eucl. I, 29.

1. ab PF ad tetragonum quod ab N 0] 0m. Tartalea la-cuna relicta; corr. Comm. 6. ipsorum] post hoc uocabulnmlacunam habet Tartalea. 10. H O] ,,non Tartalea. 11.H] "ma Tartalea (et fortune in figura permutandae M et H znum in figura Tartaleae M loco litterae H positum est, sedraeterea inter M et 0 littera H). recta] 1:96; épais. "ca-en " Tartalea. Pont P desideratur: concidat in T; cfr. p. 386,

10. 14. EH] "Inn.u Tartalea. 17. aequalea] rectos? 18.autem] igitur? (61j).

DE IIS, QUAE IN HUMlDO UEHUNTUR. 383

salidum conoidalis sursnm fertur secundum eam, quaepet B, aequedistantem ipsi ET, quad autem extra hu-midum assumptum deorsum fertur in humidum secun-dum productam per G’ aequedistantem ipsi RT [I hy-poth. 2], et par tatum idem erit, donea utique canoi-dale rectum restituatur.

V.

Recta portio rectanguli conoidalis, quando leuiorexistons humido habuerit axem maiarem quam emio-lium eius, quae usque ad axem, si ad humidum in gra-uitate non maiarem proportionem habeat illa, quamhabet excessus, quo mains est tetraganum quad abaxe tetragano, quad ab excessu, quo axis est maiarquam emialius eius, quae usque ad axem, ad tetrago-num quad ab axe, dimissa in humidum ita, ut basisipsius tata sit in humido, pasita inclinata non manetinclinata, sed restituetur, ita ut axis ipsius secundumperpendicularem ait.

demittatur enim in humidum aliqua portio, qualisdicta est, et sit basis ipsius tata in humido. sectaautem ipsa plana per axem recta ad superficiem hu-midi erit sectio rectanguli coni sectio [and zani. 11];et sit quae ATOL, axis autem et diameter sectionisquae N 0, superficiei autem humidi sectio quae I S.et quoniam non est axis secundum perpendicularem,non faciet quae N 0 ad IS angulos aequales. ducatur

1. "cri Tartalea. 3. ,,assumpta" Tartalea. 10. quae],,quefl Tartalea. 12. ,,tetragonam" Tartalea. 23. axis] se.portionis. 24. quae] (prius) nquamu Tartalea.

6

10

15

20

25

384 DE IIS, QUAE D1 HUMIDO UEHUNTUR.

autem quae K52 contingens sectionem APOL secun-dum P aequidistans ipsi I S, et par P ipsi N 0 aeque-distans quae PF, et accipiantur centra grauitatum, et

sit ipsius quidemAPÛLcentrum R, eius autem,quad extra humidum, B,et copulata quae BReducatur ad G, et sit Gcentrum grauitatis so-lidi assumpti in humido[5mm 36099. I, 8]. et ac-cipiatur quae RHaequalisei, quae usque ad axem,

quae autem OH dupla ipsius EM, et alia fiant con-15 similiter superiari [prop. ’4 p. 381, 4]. quoniam igi-

tur supponitur portio ad humidum in grauitate nonmaiarem proportionem habens propartione, quam ha-bet excessus, quo mains est tetragonum quad ab N0tetragono quad ab M0, ad tetraganum quad ab N 0, sed

20 quam proportionem habet in grauitate portio ad humi-

25

dum aequalis malis, hanc proportionem habet demersaipsius portio ad tatum salidum (demanstratum est enimhoc in prima theoremate), non maiarem ergo propor-tionem habet demersa magnitudo portionis ad totam]portionem, quam sit dicta proportia. quare non ma-uiarem proportionem habet tata portio ad eam, quaeextra humidum, portionem, quam habet tetragonum

2. "grauitatemtt Tartalea. 12. RE] "rmtt Tartalea;cfr. ad p. 382, 11. 13. axem] "axett lacuna relicta Tartalea.19. ad] am. Tartalea. 25. proportio] "portion Tartalea.27. portionem] "proportionemtt Tartalea.


quad ab N 0 ad tetragonum quad ab M03) habetautem tata portio ad portionem quam extra humidumeandem proportionem, quam habet tetragonum quadab N 0 ad id quad a PF [and nom 24]. non ma-iarem ergo proportionem habet quad ab N 0 ad id aPF, quam quad ab -N 0 ad id quad ab M0. non mi-nor ergo fit quae PF quam quae 0M quare necquae PB quam HO [p. 382 nat. 1]. quae ergo abH producitur ipsi N 0 ad rectos angulas, concidet ipsiBP intra P et B. concidat secundum T. et quoniamin rectanguli coni sectione quae PF est aequidistan-ter diametro N 0, quae autem H T perpendicularissuper diametrum, quae autem EH aequalis ei, quaeusque ad axem, palam, quad quae RT educta facitangulos restas ad KPSZ. quare et ad IS [p. 382not. 2-3]. quae ergo RT est perpendicularis adsuperficiem humidi. et par signa B, G aequedistanteripsi RT produatae emmi: perpendiculares ad super-ficiem humidi. quae quidem igitur extra humidumportio deorsum feretnr in humidum secundum pro-ductam par B perpendicularem, quae autem intra hu-midum sursnm feretnr secundum perpendicularem, quae

1) Est ISAL : APOL ÊNÛ’ --:- MÛ’ :’ NÛ’ sine

APOL : ISAL Î NO’ : NO’ t MO’;itaque aima-médian (Eucl. V, 19 «damna et Pappus VII, 48

p. 686) ’APOL:AP0L-:- ISALÎ N0’:MO’.

1. M0] "mW Tartalea. 6. quad] ,,qua.e** Tartalea. id]id quad? 8. H0] ,,nott Tartalea. 9. H] ,,mn Tartalea.N 0 ad rectos angulos] "r0 aequidistansit Tartalea. 12. N 0],,rofl Tartalea. ET] "MW Tartalea 13. EH] "unflTartalea. 20. "ferreturtt Tartalea, ut lin. 22. "productattTartalea.

Archlmedes, ad. Heiberg. Il. « 25

10

15

20


par G, et non manet soiida portio APOL, sed intrahumidum erit motum, donec utique quae N 0 fiat se-cundum perpendicularem.

VI.

5 Resta portio rectanguli conoidalis quando humidoleuior existens axem habuerit maiarem quidem quamhemiolium, minorem autem, quam ut habet banc pro-portionem ad eam quae usque ad axem, quam habentquindecim ad quattuar, dimissa in humidum ita, ut

10 basis ipsius contingat humidum, numquam stabit in-clinata ita, ut basis ipsius secundum unum signumcantingat humidum.

sit portio, qualis dicta est, et dimissa in humidumconsistat, sicut astensum est, ita ut basis ipsius se-

15 cundum unum signum contingat humidum. secta autemipsa par axem plana recto ad superficiem humidisectio superficiei portionis sit quae APOL rectangulicani sectio [aussi zani. 11], superficiei autem humidiquae AS, axis autem portionis et diameter sit quae

20 N O, et secetur secundum F quidem ita, ut quae OFsit quae dupla ipsius FN, secundum .52 autem ita,ut quae N O ad F62 habeat proportionem quam quin-decim ad quattuor, et ipsi N 0 adduaatur quae 62K.quae autem N 0 maiarem proportionem habet ad F52,

35 quam ad eam, quae usque ad axem. sit quae FBaequalis ei, quae usque ad axem, et ducatnr quae qui-

2. ,,in matumtt Tartalea (in matu?). 7. habet] habeat?17. superficiei] delco. 19. diameter] sa. sectionis. 20. ut]am. Tartalea. 21. quae] delco. 23. adducatur] ,,ad rectoaaugulos ducatur2 Comm. 25. "sait Tartalea.


dem PC aequedistanter ipsi AS contingens sectionemAPOL secundum P, quae autem PI aequedistanter

L ipsi N 0. secet autemquae PI prius ipsamK62. quoniam igitur inpartione APOL con-tenta a recta et a sec-tione rectanguli eoniquae quidem KH ae-quedistanter ipsi AL,quae autem PI asque-

distanter diametrosecta ipsa K62, quae

autem AS aequedistanter contingenti secundum P,necessarium est, ipsam PI autem eandem pro-portionem habere ad PH, quam habet quae N52ad .520, aut maiarem proportionem. demonstratumest enim hoc persumptaJ) quae autem .52N estemiolia ipsius 520.2) et quae IP ergo aut emiolia.est ipsius HP aut maiar quam emiolia. quae ergoPH ipsius HI aut dupla est aut minar quam dupla.3)

1) A quo, nescimus; cfr. Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXVp. 54 nr. 22.

2) Nam F0:2FN; itaqueFN:NO:l:3:5:15,et ex h othesi est F32 :NO :- 4 : 15. quai-e addenda eritFN-f- .2 : N0:9:15::N.2:N0; unde OQ:NS2:6:9.

3) Erat PI: PRÉ N52 : 0.52 et N62 a .1052; unde,

q PI î çPH.ltaque HI a PI-:- PHÊ &PH, h. e. PH? 2H1.

9. KH] K52 Comm. 10. ,,ipsa AL quot Tartalea. 14.P] hic lacunam habet Tartalea. 15. autem] aut? 17. aut]0m. Tartalea. 18. persum ta] pet sumpta? S2N] "MWTartalea. 19. I P] ,,ih** artalea.

25*

10

15

20


sit autem quae PT ipsius TI dupla. centrum ergograuitatis eius, quad in humido, est signum T [p. 380not. 1]. et copulata quae TF educatur, et sit centrumgrauitatis eius, quad extra humidum, G [5mm 16099.

s I, 8], et a B ipsi NO recta quae BR. quoniamtur est quae quidem PI aequedistanter diametro N 0,quae autem BR perpendicularis super diametrum, quaeautem FB aequalis ei, quae usque ad axem, palam, quadquae FR educta aequales angulos faciet ad contingen-

10 tem sectionem.AP0L secundum P [p. 382 not. 2-3].quare et ad AS et ad superficiem aquae. ductis au-tem par T, G aequedistanter ipsi FB, erunt et ipsaeperpendiculares ad superficiem aquae, et magnitudoquidem inter humidum assumpta ex solido APOL sur-

15 sum feretnr secundum eam, ;quae par T, perpendicu- 1larem; quae autem extrahumidum, deorsum feretnr

in humidum secundumeam, quae per G, perpen-dicularem. reuoluetur ergosalidum APOL, et basis j

20

A . 0 ipsius non tanget super- 1-Pg ë ficiem humidi secundum t

2’ I’ unum si um. si autema Ï B 811 .quae PI non secuerit 1i-neam K52, sicut in secunda figura descriptum est,manifestum, quad signum T, quad est centrum gra-

9. FB.] ,,tr** Tartalea. aequales] h. e. rectos. faciet] ,am. Tartalea. 15. ,,ferreturu Tartalea. 18. ,,ferretfi T31" atalea. 27. secunda] ,,salîdat* Tartalea; con. Comm.


uitatis demersae portionis cadet inter P et I, et reli-qua similiter demonstrabuntur.

VII.Resta portio rectanguli conoidalis quanda humido

leuior fuerit et axem habuerit maiarem quidem quamemiolium eius, quae usque ad axem, minorem autemquam ut proportionem habeat ad eam, quae usque adaxem, quam quindecim ad quattuar, dimissa in humi-dum ita, ut basis ipsius tata sit in humido, nunquamstabit ita, ut basis ipsius tangat superficiem humidi,sed ut tata sit in humido, nec secundum unum signumtangens superficiem.

sit portio, qualis dicta est, et dimissa in humidum,aicut dictum est, consistat ita, ut basis ipsius tangatsuperficiem humidi. demonstrandum, quad non manet,sed reualuetur ita, ut basis ipsius tangat superficiemhumidi non secundum unum signum. secta enim ipsaplana recto ad superficiem humidi sectio sit quaeAPOL rectanguli coni sectio [mol zœv. 11]. sitautem et superficiei humidi sectio quae SL, axis au-tem portionis et diameter quae PF.]- sit I. rursumautem secetur quae PF secundum R quidem ita, utquae RP sit dupla ipsius RF, secundum .52 autemita, ut quae PF ad RS2 proportionem habeat, quamquindecim ad quattuar, et quae 62K recta ducatnrsuper PF. erit autem minor quae RS2 quam ea quae

6. eius, quae] ,,eiusq’u Tartalea. autem quam] ,,autttTartalea. 18. recta ,,rec " Tartalea. 20. humidi] ,,hu-midafl Tartalea. S ] "saü Tartalea. 21. ait I] ? 24.PF] "par:u Tartalea.

Cl

10

15

20

25

10


usque ad axem [cfr. p. 386, 24]. accipiatur igitur siquae usque ad axem aequalis quae BH, et quae qui-dem 00 ducatur contingens sectionem penes O existons

aequedistans ipsi SL, et quae N 0 et aequedistans ipsiPF. seeet autem quae N 0 ipsam K52 prius secun-dum I. consimiliter autem praecedenti demanstrabi-tur, quad quae N 0 aut hemiolia est ipsius 0I autmaiar quam hemiolia. erit autem quae OI ipsi INminor quam dupla.1) sit igitur quae OB dupla ipsiusB N, et disponantur eadem priaribus [p.388, 1 sq.]. simi.liter igitur demonstrabitur quae RT faciens angulosrectos ad 00 [p. 382 not. 2-3] et ad superficiemhumidi, et ab ipsis B, G productae aequedistanter ipsi

1) ON: 01 "s’Fa: Pa (p. 387 not. a); FaæâPaàtaqueONË âOI. et IN: ON-z- OIËJIOI, h. e. OIÎ2IN. à-fig. 2 am. Tartalea.

- 3. sectionem] ,,sectianesu Tartalea. 4. SL "asn Tar-talea. et quae N 0 et] 1) 8è N 0 and. 8. erit ,,sittt Tar-talea, Comm. 01] "et" Tartalea. IN] ,,tn2 Tartalel10. eadem] ,,tandemtt Tartalea. ,,rftt Tartalea, ut p. 391 lin-1-


RT erunt perpendiculares super superficiem humidi.portio igitur quae quidem extra humidum deorsum

feretnr in humidum secundum eam, quae per B, per-pendicularem, quae autem inter humidum, sursnm fe-retnr seeundum eam, quae per G. manifestum igitur, 5quad uoluitur salidum ita, ut basis ipsius nec secun-dum unum contingat superficiem humidi, quoniamnunc secundum unum tangens ad deorsum feretnrex parte A. - manifestum autem, quad et, si quaeNO non secuerit ipsam 52K, eadem demonstrabuntur. 10

VIH.

Recta portio rectanguli conoidalis quanda axemhabuerit maiarem quam hemiolium eius, quae usquead axem, minorem autem quam ut ad eam, quae ad

3. ,,ferreturn Tan-tales, ut lin. 4. 5. "quamu Tartalea.manifestum] ,,inaximumn Tartalea. 6. ,,aduoluittt Tartalea.nec] midi. 8. ,,ferretu Tartalea. 10. ,,eandemu Tua-tales.14. quam] 0m. Tartalea.

10

15

20


axem, habeat proportionem, quam habet quindecim adquattuar, si grauitate ad humidum habeat proportio-nem minorem proportions, quam habet tetragonumquad ab excessu, quo axis est maiar quam hemioliuseius, quae usque ad axem, ad tetragonum quad ab axe,dimissa in humidum ita, ut basis ipsius non tangathumidum, nec in rectum restituetur nec manebit in-clinata, nisi quanda axis ipsius ad superficiem humidifecerit angulum aequalem ei, qui dicendus est.

sit portio, qualis dicta est, et sit quae BD aequa-lis axi, et quae quidem BK sit dupla ipsius KD,quae autem RK aequalis ei, quae usque ad axem. sitautem et quae quidem 0B hemiolia ipsius BR. quamautem proportionem habet portio in grauitate ad hu-midum, banc habeat quad ab FQ tetragonum ad id,quad a DE. sit autem et quae F dupla ipsius Q.palam igitur, quad quae FQ ad ipsam DB- propor-tionem habet minorem proportione, quam habet quae0B ad ipsam BD.1) excessus enim quad CE est,quo axis est maiar quam hemiolius eius, quae usquead axem. quae ergo FQ erit minor ipsa BU. quareet quae F minor ipsa BE. sit autem ipsi F aequa-lis quae Ræ, et super ipsa BD recta ducatur quae

1) nm en s .1312. sed0D : BD a B0 a 41(BK-è- BR) a iRK.

et CE : BD -:- 0D a BD e âRK --- excessui. et ex hy-pothesi est CB’ : BD’ ) sectio : humidum, h. e.

0.8” : BD’ a FQ’ : BD’ (ex hypathesi).

2. grauitate] ,,grauisti Tartalea. 13. CE] "6th Tarta-lea. 15. habeat] am. Tartalea. 17. ,,fgu Tartalea. 19.CE] ,,tbu Tartalea. quad] ? CE] ,,gd2 Tartalea. 22.quae] ,,qua.mu Tartalea.


ÏE, quae posait dimidium eius, quad sub KE, Bæ, etcopuletur quae BE. demonstrandum, quad portio di-

missa in humidum, ut dictum est, consistet inclinata.ita, ut axis ad superficiem humidi faciat angulumaequalem angulo E3215. - demittatur enim aliqua 5portio in humidum, et basis ipsius non tangat super-ficiem humidi. et si passibile est, axis ipsius ad su-perficiem humidi non faciat angulum aequalem anguloB, sed prima maiarem. secta autem portiane paraxem plana recto ad superficiem humidi sectio erit 10quae APOL rectanguli coni sectio [mol son. 11],superficies autem humidi quae XS, axis autem et dia-meter portionis quae N 0. ducatur autem et quae qui-dem PY aequedistanter ipsi XS contingens sectionemAPOL secundum P, quae autem PM aequedistanter 15ipsi N 0, quae autem PI perpendicularis super N 0,

1. Bæ] ":02 Tartalea. 5. ,,demonstraturu Tartalea.aligna] delet Nizzius.. 10. erit] sit? 11. ,,quamtt Tartalea.12. superficiei? (sa. sectio). XS] ,,æsti Tartalea, qui omninolitteras X et æ confundit.

394 DE 11s, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR.

et quae quidem BR sit aequalis ipsi 052, quae autemRK ipsi T52, et quae 52H recta super axem. quo-niam igitur supponitur axis portionis ad superficiemhumidi facere angulum maiarem angula B, palam,

5 quad angula PIN angulus qui ad PY I est maiarangula B. maiarem igitur proportionem habet tetra-gonum quad a PI ad tetragonum quad ab I Y, quamtetragonum quad ab Eæ ad tetragonum quad a il?!)sed quam quidem proportionem habet tetragonum quad

10 a PI ad id, quad ab I Y, banc habet quae K R adY P); quam autem proportionem habet tetragonumquad ab Eæ ad tetragonum a 2EB, hanc habet me-dietas ipsius KR ad ŒBF) I maiarem ergo proportio-nem habet quae KR ad YI, quam medietas ipsius

15 KR ad ŒB. minor ergo est quam dupla quae I Yipsius æB. ipsius autem OI dupla est quae I Ypropter septimum theorema primi libri elementorumcanicarum Apolloniif) est ergo quae OI minor quam

i, 1) Sit L ACE-90° et LEDC’)BAC; du-catur AF * DE. erit CF : AC) CR : AC; sed

CF:AC’::C’E:CD; h. e. CE:CD)C’B:AC.cfr. Zeitschr. f. Math. XXIV p. 179 nr. 8.

2) Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 51

I nr. 13.3) Nam exhypothesi: Eæ’sâKB xBæ ne.D a EauBæiaixnœæ. ’4) Zeitschr. f. Math. XXV p. 53 nr. 16. Apollonii I, 7, quae

1. 052 "inn Tartalea. 2. T52] "non Tartalea. ,,recvtanfl Tart ea. 5. an ulo PIN] ? PYI] ,,ps’mn Tar-talea. 7. I Y] ,,i" au e lacunam Tartalea, ut lin. 10. 8.223 "2:02 Tartalea. 11. YI] "W post lacunam Tartalea,ut " . 14. 12. medietas a: dimidium. 15. I Y] "i" Tantales. 16. æB] ,,cd’t artalea. I Y] "oufl Tartalea; on.Comm. 18. ,,couoycorumu Tartalea. 4


ŒB; quare quae I52 est maiar quam æRÂ) quaeautem æR est aequalis ipsi F. maiar ergo est quaeI52 quam F. et quoniam supponitur portio ad hu-midum in grauitate habere proportionem, quam tetra-gonum quad ab F Q ad tetragonum quad a BD,quam autem proportionem habet portio ad humidumin grauitate, hanc habet proportionem pars ipsius de-mersa ad tatam portionem [prop. 1], quam autempars demersa ad totam, hanc habet tetragonum quada PM ad tetragonum quad ab ON [anal unau. 24],quam ergo proportionem habet tetragonum quad ab FQad tetragonum quad a BD, hanc proportionem habettetragonum quad ab MP ad tetragonum quad ab ON.aequalis ergo est quae FQ ipsi Plu?) quae autemPH demonstrata est esse maiar quam E3) palamergo, quad quae PM est minor quam hemiolia ipsiusPH, et PH maiar quam dupla ipsius HAIE) sitigitur quae PZ dupla ipsius ZM erit autem T qui-dem centrum grauitatis salidiô), eius autem, quad intrahumidum, Z, reliquae autem magnitudinis centrumhic locum non habet, Archimedes certe non citauerat; 0m.Comm.

1) Nain ex hypothesi est RE : 052.2) Nam ex hypothesi est BD -: ON.3) Nain PH : I 52.4) un: FQ: en sed PH) F; itaque PM(5PH.

et HM a PM-z- PHdêPH-Z- PH, h. e. PHD QHM.5) Nam T52 a RK, O52 a DE; ergo 3K: To; sed

3K: 2KD, et BD:N0; quare TOa2N0; tum u. p.380not. 1.

4. ,,perportionemu Tartalea. 6. portio] ,,proportiou Tar-talea. 10. ad] ,,au Tartalea. 13. MP] ,,mhtt Tartalea.16. hemiolia ipsms PH, et PH maiar quam 0m. Tartalea;suppleui ex Comm. 19. salidi] ,,totius salidifl Comm. 20.,,reliquamit Tartalea.

10

15

20

a!

10

15

20


grauitatis erit in linea ZT capulets. et educta, et edu-catur ad G [5mm 56099. I, 8]. demonstrabitur autemsimiliter quae TH perpendicularis existens ad super-ficiem humidi [p. 382 not. 3]. et portio quidem quaeintra humidum fertur ad extra humidi secundum per-pendicularem ductam par Z ad superficiem humidi;quae autem extra humidum feretnr intra humidumsecundumeam, quae per G. non manet autem portiosecundum suppositam inclinatianem nec etiam in rec-tum restituetur. palam enim propter hoc, quoniamquae producuntur pet Z, G perpendiculares quae qui-dem par Z perducit ipsi GL ad easdem partes ca.-dit, ad quae est L et secundum G, quae autem perG ad easdem ipsi A. palam, quad propter praedicta.Z quidem centrum sursum feretnr, G autem deorsum.quare totius magnitudinis quae ex parte A deorsumferetnr. hac autem erat inutile ad demonstrandum.

supponatur rursum alia quidem eadem, axis autemportionis ad superficiem humidi faciat angulum mino-rem ea, qui apud B; minorem autem proportionemhabet tetragonum quad a PI ad tetragonum quad abI Y, quam quad ab ,Eæ ad id quad a æB [p. 394not. 1]. et quae KR ergo ad YI minorem propor-

3. similiter] sa. ac antea. 5. ad extra humidi écu tà55a) roi) 619m3. 6. ,,ductafl Tartalea. ad] 0m. artalea.7. ,,ferreturu Tartalea. 8. ,,esft Tartalea. autem] 615?11. Ante alt. ,,quaeu lacunam habet Tartalea. 12. ,,perducit Iipsi GLtt et lin. 13: ,,et secundum G2 am. Comm.; locus cor-ruptissimus. 13. L] am. Tartalea. 14. A] ,,zgfl Tartalea.15. ,,i’erreturH Tartalea, ut lin. 17. 17. hoc autem] cet. am.Comm. haec tata conclusio omnino obscurior est. 20. autem]61]? 22. IY] "me Taxtalea, ut p. 397 lin. 2. quad abEx] ,,ad ubacn Tartalea. 23. Yl] "mW Tartalea.

DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR: 397

tionem habet, quam medietas ipsius KR ad æB. estergo quae I Y maiar quam dupla ipsius æB. ergoquae 52I miner. ipsius autem OI dupla. maiar ergo

est quae OI ipsius æB. est autem et tata quae 052aequalis ipsi RE, et reliqua minor est quam æR.*)erit ergo et quae PH minor quam F. quae autemMP ipsi FQ est aequalis. palam, quad PM estmaiar quam emiolia ipsius PH, quae autem PH mi-nor quam dupla ipsius KM sit igitur quae PZ ipsiusZM dupla. igitur rursum tatius quidem centrum gra-uitatis erit T, eius autem, quad intra humidum, Z.copulata autem Z T inuenietur centrum eius, quad

1) Et haec omnia et sequentia satis adparent ex iis, quaedicta sunt p. 394-95 cum natis. fig. 2 0m. Tartalea.

2. ,,maiaremu Taxtalea. ergo-minar- om. Comm. 3.maiar] am. Tartalea lacune. relicta. ergo "ergo m2 Tarta-lea. 4. 052] "ontfl Tartalea. 5. æR] "sorti Tartalea.

10


extra humidum, in educta, et sit G, et ducatur perpen-dicularis ad superficiem humidi per Z, G aequedistan-ter ipsi N 0. palam igitur, quad non manet tata portio,sed reualuetur ita, ut axis ad superficiem humidi fa-

5 ciat angulum maiarem illa, quem nunc facit. quoniamnec axe faciente ad humidum angulum maiarem quamB consistit portio neque minorem, manifestum, quadtantum angulum faciente consistet. sic enim erit quae10 aequalis ipsi æB, et quae 521 ipsi ŒR, et quae

10 PH ipsi F!) erit igitur MP emiolia ipsius PH, quae iautem PH ipsi HM dupla. quad autem in ergo eiusquad in humido centrum grauitatis est H. quare se-cundum eandem perpendicularem sursnm feretur, etquad extra deorsum feretnr. manebit ergo. contra

15 pellentur enim ad inuicem.

1X.

Recta portio rectanguli conoidalis quanda axemhabuerit maiarem quidem quam bemialinm eius, quaeusqne ad axem, minorem autem quam ut hanc habeat

20 proportionem, quam habent quindecim ad quattuar,

1) Nain BEæ N PYI; itaque (Eucl. V1, 4)RI’: YI’ - Eæ’ : æB’,

h. e. KR: YI:;KR:ŒB, et YI-2æB:-2OI; æB:OI.sed BR - 052; itaque subtrahendo æRa521 sine PHsF.et MPEFQaaëFr-aâPH sine PHE2HM. tum Il.p. 380 not. 1.

1. ducantur perpendiculares? 5. maiarem] cum Comm.;,,minorem quamfl Tartalea. 9. 521] "me Tartalea. 10. MF,,mhu Tartalea. 11. H M] "hmu Tartalea. quad autemlacuna relicta Tartalea; am. Comm. 12. H] am. Taxtalea.13. ,,ferretuw Tartalea, ut lin. 14. 14. contra est] ,,quO-niam altera pars ab altera non repelletur" Comm. 19. quam]am. Tartalea. 20. ,,prapartioneu Tartalea.


et in grauitate ad humidum habeat proportionem ma.-iorem proportione, quam habet excessus, quo tetra-gonum quod ab axe est mains tetragono, quod abexcessu, quo axis est maior quam hemiolius eius, quaenuque ad axem, ad tetragonum quod ab axe, demissa. ain humidum ita, ut basis ipsius toisa ait in humido,posita. inclinata. nec ut axis ipsius secundum perpen-dicularem ait nec manebit inclinata, niai quando axisipsius ad superficiem humidi fecerit angulum aequa-lem accepto similiter ut prias [prop. 8].

esto portio, qualis dicta est, et ponatur quae DEaequalis and portionis, et quae quidem BK Bit duplaipsius KD, quae autem KR aequalis ei, qu’ae usquead axem, quae autem 0B hemiolia. ipsius BE. quam

Î?

I-o-.---13 æ 12.01 pautem proportionem habet portio ad humidum in gra-uitate, hanc habeat excessus, quo excedit tetragonumquod a BD tetragonum quod ab FQ, ad tetragonumqnod a BD. ait autem quae F dupla ipsius Q. pa-

10

15

10

15

20

25


lam igitur, quad excessus, quo excedit tetragonumquad a BD tetragonum quad a Ba ad tetragonumquad a BD minorem habere proportionem quam ex-cessus, quo tetragonum quad a BD excedit tetra-gonum quad a FQ, ad tetragonum quad a BD. estenim B0 excessus, quo axis portionis est maiar quamhemiolius eius, quae asque ad axem [u. p. 392, 19 etnat. l]. minar est in 1x maiari ergo tetragonum quada BD excedit id, quad ab FQ, quam tetragonumquad a BD excedat tetragonum quad a BU. quamquae FQ est minor quam B0. ergo et quae F quam19R?) sit igitur ipsi F aequalis quae Ræ, et quaeæE recta ducatur super BD potens medietatem eius,quad cantinetur sub KE, æB. diao, quad portiodemissa in humidum ita, ut basis ipsius tata sit inhumido, consistat ita, ut axis ipsius ad superficiemhumidi faciat angulum aequalem angula B.

demittatur quidem enim portio in humidum, utdictum est, et non faciat axis ad superficiem humidiangulum aequalem B, sed maiarem primo. secte. au-tem ipse. plana recta ad superficiem humidi portionissectio sit quae APOL rectanguli coni sectio [and9mm. 11], superficiei autem humidi quae CI, axis autemportionis et diameter sectionis sit quae N 0, et aitsecta secundum sa, T ut et prius [u.prap.8p.394,1--2].ducatur autem quae quidem Y P aequedistanter ipsi

1) Nam ex hypothesi est F: &FQ et DE -: gBC.l. excedit] ,,excidit*t Tartalea. 3. ,,minorem habereu

neque ad ,,est enim B0 excessus" lin. 6 (incl.) am. Tartalea;suppleuî ex Comm.; cfr. p. 392, 17 sq. 8. miner est in ?;am. Comm. 10. excedjt? 14. æB] ,,et iungatur B "addit Nizzîus colleta p. 393, il.

DE US, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 401

CI contingens sectionem secundum P, quae autemMP aequedistanter ipsi N 0, quae uera PS perpenÜdicularis super axem. quoniam igitur axis portionisad superficiem humidi facit angulum maiarem angulaB, erit utique et angulus qui sub S Y P maiar an-gula B. tetragonum ergo quad a PS ad tetragonumquad ab S Y habet proportionem maiarem, quam te-tragonum quad a æE ad tetragonum quad a æB.1)ergo et quae KR ad SY habet proportionem maia-rem, quam medietas ipsius KR ad æB. minar ergoquae SY quam dupla ipsius æB, et quae S 0 quamŒB minor. quae S52. ergo maiar quam Ræ, et quaePH quam F. et si portio in grauitate ad humidumhabet proportionem, quam excessus, quo tetragonumquad a BD est mains tetragono quad ab FQ, ad te-tragonum quad a BD, quam autem proportionem ha-bet portio in grauitate ad humidum, hanc proportio-nem habet demersa ipsius portio ad totam [prop. 1],palam, quad eandem habebit proportionem demersaipsius portio ad totam portionem, quam excessus, quotetragonum quad a BD excedit tetragonum quad abF0, ad tetragonum quad a BD. habebit igitur ettata portio ad eam, quae extra humidum, proportio-nem, quam tetragonum quad a BD ad id, quadab FQÊ) quam autem proportionem habet tata

1) De hoc et de sequentibus u. p. 394, 6 seqq. cum notis.22 Erat tata portio: pars demersa a: BD’ : BD’ -:- FQO;

tum avantaéæpam sequitur, quad quaerimus.

3. igitur] ,,egittt Tartalea. 17. portio] ,,praportiott Tar-talea, ut p. 402 lin. 1. 19. quad] am. Tartalea.

Archimedel, ad. Heiberg. 11. 26

10

20

25

x71

xX

402 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUB.

portio ad eam, quae extra humidum, hanc habet quadab N 0 ad id, quad a PM [mal zani. 24]. aequalisergo quae MP ipsi FQ [p. 395, 14]. quae autem PH .demanstrata est maiar quam quae F. ergo ME est

5 minor quam Q. ergo quae PH est maiar quam duplaipsius KM!) sit igitur .quae PZ dupla ipsius ZM,et copulata quae Z T educatur ad G. erit ergo tatiusquidem portionis centrum grauitatis T, eius autem,quae extra humidum, Z [p. 395 not. 5], eius uero,

10 quae intra, in linea TG [49’sz [6099. I, 8]. sit autem G.

demonstrabitur autem similiter priaribus quae TEperpendicularis ad superficiem humidi [p. 382 nat. 2],et quae per Z, G aequedistanter ipsi TE productaeperpendiculares et ipsae super superficiem humidi. fere-

Y f

a K 022 æ ’15 tur ergo quae quidem extra humidum portio deorsum

1) U. p. 395 riot. 4.

1. quae] ,,quamtt Tartalea. 4. F am. Tartalea. 5-PH] ,,pmfl Tartalea. 13. T11] ,,tntt artalea. 14. "fer-tatar" Tartalea; ut p. 403 lin. 6.


secundum eam, quae per Z, quae autem intra secun-dum eam, quae per G, eleuabitur. non manet ergotata portio sine inalinatiane, nec etiam canuerteturita, ut axis sit perpendicularis super superficiem hu-midi, quoniam quae ex parte L deorsum, quae autemex parte A ad superiora .ferentur propter proportio-nalia dictis in praecedenti [p. 396, 10 sq.].

si autem axis ad humidum faciat angulum mino-rem angula B, consimiliter priaribus demonstrabitur,quad non manebit portio, sed inclinabitur, donec uti-que axis ad superficiem humidi faciat angulum aequa-lem angula B [prop. 8 p. 396, 18 sq.].

X.

rRecta portio rectanguli conoidalis quanda leuiorexistens humido habuerit axem maiarem, quam ut ha-beat proportionem ad eam, quae usque, ad axem, quamhabent quindecim ad. quattuar, demissa in humidum ita,ut basis ipsius non tangat humidum, quandaque quidemrecta consistet, quandaque autem inclinata, et quanda-que quidem ita inclinata, ut basis ipsius secundum unumsignum tangat superficiem humidi, et hac in duabusdispasitianibus faciet 1), et quandaque ita inclinata ean-

.sistet, ut basis ipsius secundum ampliarem lacum hu-mefiat, quandaque autem ita, ut basis ipsius nec se-

l) U. pars III; errat Nizze; idem infra p. 404 lin. 1 addipotuit (pars II et V).

4. super] am. Tartalea. 5. deorsum, quae autem ex parteA] am. Tartalea; suppl. Comm. 16. quae] ,,quamH Tartalea.18. quandaque] ,,nonnunquamtt Comm. 19. quandaque] ,,quin«quefl Tartalea.

26*

10

15

20


cundum unum tangat superficiem humidi; quam autemproportionem habeant ad humidam in grauitate, sin-gula horum demonstrabuntur.

ait portio, qualis dicta est, et secta ipsa plana6 recto ad superficiem humidi sectio in superficie sit

quae APOL rectanguli cani sectio [usai mon 11], axis ]autem et diameter sectianis sit quae BD. seceturautem quae BD secundum K ita, ut dupla sit quaeBK ipsi KD, secundum C autem, ut quae BD ad KG

A 917257111 .6

a a: .. 5 - axx;a E49 L ,12

B - 16’

.3 ïfil -r’r.i

X

p t’iitiz’l’ 0 Il)

10 habeat proportionem, quam habent quindecim ad quat-tuor. palam igitur, quad quae K0 est maiar ea, quaeusque ad axem [ex hypathesi]. sit quae KR aequalissi, quae usque ad axem, ipsius autem KR sit hemiolia.

2. singula horum] M9. Exactes! anisant, quad interpre-tandum erat: in singulis. 9. BK] ,,bdu Tartalea. 12."ait quae KE,fl ad "axem" lin. 13 0m. Tartalea; corr. Comm.


quae D8. est autem et quae SB hemiolia ipsiusBRJ) capuletur autem ipsa AB, et ipsa 0E rectaproducta ducatur quae EZ aequedistanter ipsi BD,et rursum ipsa AB secta in duo aequalis penes Tducatur aequedistanter ipsi BD quae TH, et accipiaturrectanguli cani sectio quae AE circa diametrum EZ,et quae AT circa diametrum TH, ita ut similis sitquae AEI, ATD portioni ABLF) describetur autemquae vAEI coni sectio par K3); quae autem ab Rrecta producta ipsi BD seaat ipsam AEIf) secetsecundum Y, G. cum par Y, G ducantur aequedistan-ter ipsi BD quae OGN, PYQ; secent autem ipsaesectionem ATD panes æ, F. ducantur autem et quaeP0, 0X contingentes sectionem APOL secundum 0, P.sunt tres quaedam partiones quae APOL, AEI, ATDcontentae a rectis et a sectionibus rectangularum co-

1) Nam SBzBDsSDagBK-æ 3K1:a: a](BK-:- KR) -: gBR.

2) H. e. BD: EZ:- AD:AZ et EZ:HT: AI:AD.cfr. Zeitschrift f. Math, hist. Abth. XXV p. 46 nr. 3.

3) Nam BK: 2KD; unde 130-]- C’K a 2(ÛD a 0K);et 0K : &(20D -:- B0). uerum

BD:KC: 15:4:nBC-f-CD:Ë(2CD-I-BC),nnde 20D: 330. sed B0: 0D:B :EA :DZ: 2A,quia E0 * AL et EZ à: BD. itaque

DZ:ZAa2:3-:BK:BD;tum u. rata. maraud. 4 conuersa; Zeitschr. f. Math. XXV p. 58nr. 2.

4) Nam ex hypothesi est KR a K0, quare DE ( D0.

1. D8] am. lacuna relicta Tartalea. autem] M? 2.recta] a: ad BD perpendicularis. 3. quae] ,,queu Tartalea.figura et ordo litterarum apud Tartaleam compta sunt. 8.ATD "tu";fl Tartalea. 11. cum] ,,et" Comm. 12. OGN]am. artalea. ,,secet.u Tartalea. ,,ipsefl Tartalea. 18.ÉTD] ,,aodu Tartalea. 14. P45, 0X] "Incau ante Iacunam

artalea.

5

15

10


narum rectae et similes et inaequales et tangentessuper unamquanque basem, ab N autem sursum duetaest quae NæGO et a Q quae QFYP, 0G ergo adG5 habet proportionem compositam ex proportione,quam habet quae IL ad LA, et quam habet quae ADad D13) habet autem et quae LI ad LA, quam duoad quinque; quae enim 0B ad BD habet proportio-nem, quam sex ad quindecim’), hac est quam duo adquinqua, et est, ut quae 0B ad BD, ita quae EB adBA, et quae DZ ad D11. harum autem DZ, DAduplae sunt ipsae LI, LA?) quae autem AD ad DIproportionem habet, quam quinqua ad unum.3) pro-

1) Ducatur Aw contingens ABL in A, et secet lineas N0,Z E, H T productas in c, v, m; erit (p. 405 nat. 2)

BD:EZ::AD: AZ:Dw:Zv;sed Dm :- 2BD (saron. flaquai); itaque Z0 --- 2E2, et Aintangent; AEI; eodem mode e ’am AT D tangit. quare (tua.«coup. 5) LN: AN- N0 : Oc, et aurifié-m

AL:AN:NC:ÛC;unde 0c --- ANx Ne : AL; eodem mode

Go a ANx Ne : AI

et æo:ANch:AD.et OG : G0 -:- 0c a: ANx Nc x (ALaIA):IAxAL,et Gæ : æc-z- Gc :- ANx Ne x (IA-z-AD) : ADxIA.itaque OGzGæ a ADx(ALaIA):ALx(IAsAD)ADxLI:ALxID.2) Nain BD:KC’: 15:4, et KG:50D--:-5»BC:3BC(p. 405 not. 3). itaque BD: B03 15 :4, h. e. BC:BDg 6:15:2:6: EB:B :DZ: DA 405 nat.3): LI: LA. nam LA : 2DA,et LI-AL-z-AI:2(AD -:-AZ):2DZ.3) Nam BD : B0 :z 5 : 2 (net. 2); quare àvuorçs’æpantBD:DC’:5:3 siue

DC:-&BD:6:5:EZ:HT:AI:AD;et assidus DI : AD a: 1 :6.2. unamquanque] ? ab N] post lacunam Tartalea. 3.

,,næpno" Tartalea. et a Q quae QFYP] am. Tartalea;eorr. Comm. 10. hamm] ,,habeant" Tartalea; cart. 00mm,11. sunt ipsae] am. Tartalea, lacune. relicta.


portio autem composita. ex proportione, quam habentduo ad quinque, et ex proportione, quam habent quin-que ad unum, est eadem cum proportione, quamhabent duo ad unum. dupla ergo est quae G0 ipsiusGæ. prapter eadem autem et quae PY ipsius Y F.quoniam igitur quae DS est hemiolia. ipsius KE, pa-lam, quad quae BS est excessus, quo axis est maiarquam hemiolius eius, quae usque ad axem.1)

Pars .I.Si quidem igitur portio ad humidum in grauitate

hanc habet proportionem, quam tetragonum quad aES ad id, quad a BD, aut maiarem hac proportione,portio demissa in humidum ita, ut basis ipsius nontangat humidum, recta consistet. demonstratum estenim prius, quad si portio habens axem maiarem quamhemiolium eius, quae usque ad axem îminarem pro-portione, si ad humidum in grauitate non minoremproportionem habeat proportione, quam habet tetra-gonum quad ab excessu, qua axis est maiar quamhemiolium eius, quae ad axem, ad tetragonum quadab axe, demissa in humidum ita, ut dictum est, rectaconsistet [prop. 4].

1) DS a: KR; sed KR ea est, quae ad axem (p); quareBSËBD-Z- SaBD-l-ëp.

3. ,,eandemt* Tartalea, ut lin. 5. 9. Pars I] addidit Niz-zius. 15. enim] ,,ei" Tartalea. 16. minorem proportione]am. Comm. 17. non] "a, ou Tartalea.

15

20


Pars Il.Si autem portio ad humidum in grauitate minorem

quidem proportionem habeat proportione, quam habettetragonum quad ab SB ad tetragonum-quad a BD,

5 maiarem autem proportionem, quam habet tetragonumquad ab æO ad id, quad a BD, demissa in humiduminclinata ita, ut basis cantingat humidum, consistetinclinata ita, ut basis ipsius nihil tangat superficieihumidi, et axis ipsius faciat ad superficiem humidi

10 angulum maiarem angula X.

4 Pars III. .1. Si autem portio ad humidum in grauitate hanchabet proportionem, quam habet tetragonum quad abæO ad id, quad aBD, demissa in humidum inclinata

15 ita, ut basis ipsius non tangat humidum, consistet etmanebit ita, ut basis ipsius secundum unum signumtangat superficiem humidi, et axis cum superficie hu-midi angulum faciat angula X aequalem.

2. Si uera portio ad humidum in grauitate hanc20 proportionem habet, quam habet tetragannm quad a

PF ad tetragonum quad a BD, demissa in humidumet posita inclinata ita, ut basis ipsius non tangat hu-midum, consistet inclinata ita, ut basis ipsius secun-dum unum signum tangat superficiem humidi, et axis

25 ipsius faciat angulum aequalem angula (D.l. Pars II] addidit Comm., et sic etiam infra. 2. minorem]

,,maioremfl Tartalea. 6. "stu et ,,bn Tartalea. 10. X],,mtt Tartalea. 14. inclinata] u. infra p. 413 not. 2. 15.,,tangunt" Tartalea. 16. unum signum tangat superficiem»humidi] ,,ampliarem Iocum humectetur ab humidofl Tartales.17. ,,et axistt ad 18: "aequalem" am. Tartalea; cart. Comm.25. "ipsiu Tartalea. 1D] "(et Tartalea.


Pars IV.Si portio ad humidum in grauitate maiarem qui-

dem proportionem habeat, quam quadratum FP adquadratum BD, minorem uero, quam quadratumæO ad BD quadratum, in humidum demissa et in-clinata adea, ut basis ipsius non contingat humidum,consistet et manebit itad ut basis in humidum magisdemergaturd)

Pars V.Si autem portio ad humidum in grauitate habeat

proportionem minorem proportione, quam habet tetra-gonum quad ab FP ad tetragonum quad a BD, di-missa in humidum et posita inclinata ita, ut basisipsius non tangat humidum, consistet inclinata ita, utaxis quidem ipsius ad superficiem humidi faciat an-gulum minorem angula a, basis autem ipsius nec se-cundum unum tangat superficiem humidi.

Demonstrabitur itaque haec deinceps.

Demanstratio partis II.Habeat itaque prima portio ad humidum in gra-

uitate proportionem quidem maiarem ea, quam habettetragonum quad ab 350 ad id, quad a BD, minoremautem ea, quam habet tetragonum quad ab excessu,que axis est maiar quam hemiolius eius, quae usque

. 1) Tata pars 1V lin. 1--8 a Tartalea omisse. est (cfr. uesti-sium eius p. 408, 16 net); suppleuit Comm.

16. ë] "a? Tartalea. 19. Titulum hic et infra addiditComm. 22. "minai-w Tartalea.

15

20


ad axem, ad tetragonum quad a BDO), et supponaturut prius disposita figura. quam autem proportionemhabet portio ad humidum in grauitate, hanc tetrago-num quad a 1P ad id, quad a BD. est autem quae

6 1P maiar quidem quam 550, miner autem excessu,quo axis est maiar quam hemiolius eius, quae usquead axem. inaptetur autem quaedam intermedia coui-carum sectionum APOL, AæD quae MN aequalisipsi 1FI), et secet ipsa reliquam coni sectionem penes

A .0 l

10 H, ipsam autem RG rectam penes V. demonstrabiturautem quae ME dupla ipsius H N, sicut demonstra-

1) Nam- BS ) Oæ, quia 0G a 2Gæ, Oæ :- 406; sedBS - i313 et BR ) DG.

2) Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 54 nr. 20.

I

î

I

I

2. ut am. Tartalea. 3. hanc] ,,eam habeatu Comm. l1P] cum amm.; "art Tartalea; sic etiam infra. autem] du?5. "tapit Tartalea. 8, AŒD] "andu Tartalea. MN] "in?"Tartalea. 10. H] am. Tartalea (lacune). ,,ipsatt Tartalea.,,rs" et nbu Tartalea. 11. autem] «hi? ME] ,,ou" Tubtalea. dupla] 0m. Tartalea. "and Tartalea.

DE US, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUR. 411

tum est quae 0G ipsius Gæ dupla [p. 407, 4]. abM autem ducatur quae M Y contingens sectionemAPOL, quae autem M0 perpendicularis super BD.et ab A ad N capuletur. erunt autem quae AN, QNaequales inuicem. quoniam enimin similibus sectio-nibus APOL, AæD productae sunt a basibus adsectiones quae AN, AQ aequales angulas facientes adbases, eandem proportionem habebunt quae 0A, ANcum ipsis LA, ADl) propter secundam figuram prae-scriptarum. aequalis ergo quae AN ipsi QN, et aeque-distans ipsi M Y?) demonstrandum, quad demissa inhumidum ita, ut basis ipsius non secundum unumtangit 1- axis ad superficiem humidi angulum acu»tum faciat maiarem angula X [u. figura p. 404].dimittatur enim, et consistat ita, ut basis ipsius tangatsecundum unum signum superficiem humidi. secte.autem partions per axem plana recto ad superficiem hu-midi superficiei quidem portionis sectio sit quae APOLrectanguli coni sectio [mal mm]. 11], superficiei autem

1) Ducatur in figura p. 404 linea AÆQ; erit (tara. finaud. 5)LN: NA : N0 : Oc et ovvûévn LA : NA :r Ne: Oc; si-militer erit DA : NA a: Ne : fic; unde LA:AD a æc:0qsed eodem made est Qæ : æA a: 350: Oc, sine

QA:æA:Œc:Oc,h. e. in nastra fig. LA: AD : QA :NA.

2) Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXV p. 52 nr. 14.

1. ,,psu et "sari Tartalea. 2. M] ,,o0 Tartalea. MY"asti Tartalea. ut lin. 11. 3. APOL] sa. in M. MG"oct Tartalea. 4. QN] ,,quu Tartalea. 5. sectionibusNizze; ,,portianibus*t Tartalea.; sic etiam lin. 7. 6. ,,pro-ductott Tartalea. a basibus] ,,ab axibusn Tartalea. 13.Ante "axisfl lacunam Tartalea. 14. angula X] ,,excessut” antelacunam Tartalea. 17. ,,rectan Tartalea. 18. ,,sitquett Tartalea.

5

10

15


humidi quae 0A, axis autem portionis et diametersectionis quae BD, et secetur quae BD panes K, R,ut dictum est [p. 404, 7 sq.]. ducatur autem et quae

Z quidem PG aequedistanterI ipsi A0 recta-f et contingat

p sectionem APOL secun-dum P, quae autem PT

d aequedistanfier ipsi BD, quae4 0 autem PS perpendicularis

super BD. quoniam igiturportio ad humidum in gra-

6, uitate proportionem habet,f quam tetragonum quoda a

3P ad id, quod a BD, quam autem proportionemhabet portio ad humidum, hanc habet dameras. ipsiusportïo ad totam [prop. 1], quam autem demersa adtotam, tetragonum quad a. TP ad id, quod a DE [flapixœv. 24], erit quae 1P ipsi TP aequalis; et quae NMergo ipsi TP aequalis est. quam et portiones AM0,

2o APO inuicem sunt aequales [mol unw. 20]. quoniam

25

autem in portionibus aequalîbus et similibus APOL,AMQL ab extremitatibus basium productae sunt quae0A, AQ, et portiones ablatae faciunt ad diametrosangulos aequales propter tertiam figuram praescripta-rum 1), quare anguli qui apud Y, G sunt aequales; et

. 1) Quae ait haec figura, nescio. res ipse. satis inde ad-1. portionis] scripsi; ,,sectionin" Tartalea. 2. sectionisî

0m. Tartalea. secetur uae] ,,zaecetqueu Tartalea. 6. recta0m. Comm. et 0m. artalea. ,,contingent" Tartalea.18. NM] ,,no" artalea; et fartasse in figura p. 410 linetteM, 0 permutandae emnt; Tartaleae figura compta est.19-20. ,,apq, up)" Tartalea. 22. AMQL] ,,ablk" Tar-talea. 23. 04] ,,ra" Tartalea.

DE ne, QUAE ’IN HUMIDO UEHUNTUR. .413

quae YB, GB ergo aequales surit. quare et quae8R, 0R, et quae PZ, M V, et quae ZT, VN. quo-niam minor quam dupla quae M V ipsius VN 1) , pa-lam, quod quae PZ ipsius ZT est minor quain dupla.sit igitur quae P62. ipsius 62T dupla, et copulata quaeK52. educatur ad E. totius quidem igitur centrumgrauitatis erit K, eius- autem portionis, quae inter hu-midum, centrum S2. [p. 380 not. 1], eiue autem, quaeextra, in linea KE, et sit E [écran 136099. I, 8]. quaeautem KZ perpendicularis erit super superficienr hu-midi [p. 382 not. 3]; quare et quae pet signa E, .9.aequedistanter ipsi KZ. non ergo manet portio, sedinreclinabitur, ut basis ipsius nec secundum unumtangat superficiem humidi, quoniam nunc secundumunum tacta ipsam]. reclinatnr. manifestum ergo, quodportio consistet ita, ut axis ad superficiem humidifaciat angùlum maiorem angula X.

Demonstratio partis HI.’)1. Habeat autem portio ad humidum in grauitate

proportionem, quam habet tetragonum quod ab ŒOad id, quod a BD, et dimittatur in humidum ita in-

paret, quod segmenta a portionibus aequalibus et similibuasimiliter abseisa sont (nam .40, AQ ab eodem puncto duc-tac sunt et aequalis. segmenta abscindunt). tum relique. parse intelleguntur.

1) Nam ME: 2HN; u. p. 407, 4. .2) Figura 2 huius partis apud Tartaleam in demonstratione

2. M V] ,,ou" Tartalea. VN] ,,slmnfl Tartalea. 3.,,minoremr Tartalea. M V] ,,ad Tartalea. VN] "saurTartalea. 15. ipse. reclinatur] ,,sursum fertnr a parte AiiComm. 17. X] cum Comm.; ,,yn Tartalea. 21. inclinata]se. ut basis eius non contingat humidum, quad addidit Comm.

10

15

20


clinata. secte autem ipse per axem plano recto adsuperficiem humidi, salidi quidem sectio sit quae APOLrectanguli coni sectio, superficiei autem humidi quaeOI, axis autem portionis et diameter sectionis quaeBD, et secetur quae BD ut prius [p. 404, 7 sq.],

A 0 Ï LN

rxNr 6’

0

ENNQ

et ducatur quae quidem PN aequedistanter ipsi 10

partis II posita est (figura 3 omisse. est). sed praeterea hacpertinent duae figurae, quae adpartem III (p. 408) positae sunt,quamm altera. similis est figuraep. 404, alteram hic adposni. infrahanc apud Tartaleam legitur:,,diuersimode figuraturu et tum -inter ,,inclimaita.fl et ,,ita.u p. 408,14 haec leguntur ad figuram per-

m æ a W I’ tinentia: ,,hz uult diuidi in quin-qne aequalia, media’quintaaequalis on et 15:2."

pars sit-t, k, t, i. nm nult esse

2. APOL] in fig. 2; ,,APMLWComm., qui in fig. 2pro 0 posait; cum figura Tartaleae hoc loco satis perspicua ait,eum secutus sum. 4. diameter] ,,diametristt Tartalea.


contingens sectionem secundum P, quae autem PTaequedistanter ipsi BD, quae autem PS perpendicu-laris super BD. demonstrandum, quad portio non ma-net inclinata sic, sed inclinatur, donec utique basissecundum unum signum tangat superficiem humidi.praeiaceant autem et quae in superiori figura priusdisposita sunt [p. 410] , et quae GO perpendicularisducatur super BD, et quae A33, copulata educaturad Q. erit autem Aï ipsi æQ aequalis [p. 411not. l]; et. ducatur ipsi AQ quae 0X aequedistans.et quoniam supponitur portio ad humidum in gra-uitate hanc habere proportionem, quam habet tetra-gonum quad ab 330 ad id, quad a BD, habet au-tem hanc proportionem et demersa portio ad totam[prop. 1], hoc est quad a TP ad id, quad a BD[1:te 2mn]. 24], aequalis utique erit quae PT ipsi ŒO.et quoniam portianum I B 0, ABQ axes sunt aequales,aequales et portiones [mal mon 24]. rursum quoniamin portionibus aequalibus et similibus APOL, AOQLproductae sunt A0, I 0 aequales portiones auferentes,hoc quidem ab extremitate basis, hoc autem non abextremitate, palam, quad minorem facit acutum an-gulum ad axem totius portionis, quae ab extremitatebasis producta est.1) et quoniam angulus qui apud

1) Nam ducatur AA1; cum sectiones aequales sint, etiamaxes aequales erunt; itaque et AA, et 10 par T cadet; iamadparet L ATP) ITP; sed ATP: AŒO (p. 412 not. 1).

10. 0X] ,,oyu Tartalea. 13. æO] "and Tartalea. 17.axes] Nizzius; ,,diametriu Tartalea, Comm.; sic etiam lin. 23;sed art. potins scrib. ,,sectionumu pro ,,portionumtfl 18. ae-quales] altemm am. Tartalea.

16

20


X est minor quam qui apud N, maiar est quae B0quam ES, quae autem CR minor quam R511) quare et

quae 0G minor quam PZ.Tmaior est quam dupla.et quoniam quae 0G duplaest ipsius Gæ’), palam,

quad quae PZ maiar est

igitur quae PH duplaipsius H T, et copuleturquae HK et educaturad sa. erit autem totiusquidem portionis centrum

grauitatis K, eius autem, quae intra humidum, H[p. 380 not. 1], eius autem, quae extra, in lineaK52, et sit 62. [âmm [6099. I, 8]. demonstrabiturautem similiter [p. 382 not. 3] quae KZ perpen-dicularis super superficiem humidi, et quae per signaH, sa aequedistanter ipsi EZ. manifestum igitur, quadnon manebit portio, sed inclinabitur, donec utiquebasis ipsius secundum unum signum tangat superficiem

1) Nam B0 :- BX et BS a: EN (tetçnzy. nuçap. 2); siL X - N, erit EX a: BN(p. 412, 26); et quo minor est L25,eo maiar erit BX; i ne si X(N, erit anBN meBC)BS. et CR- ReBU, RS:BReBS.2) U. p. 411, 1.

1. X] ,,y** Tartalea. - quam] 0m. Tartalea. N] ,,htTartalea. 2. CR] ,,erfl Tartalea. 3. 0G] ,,oytt Tartalea.ut lin. 5. PZ] "putt Tartalea. 4. maiar est quam dupla],,et Gæ maiar quam Z 1m Comm.; ante "maiaru apud Tar-taleam lamina est. 6. Gæ] "sur.n Tartalea. 7. "pat etlin. 8 ,,aw Tartalea. 8. ,,ipsiefl Tartalea. 12. autem] du?16. K9] h. e. HK producta.

quam dupla ipsius Z T. sit a


humidi, sicut demonstrabitur in tartis figura, quomodose habet in tertio thearemate, et manebit portio itaconsistens. in portionibus enim aequalibus APOL,AOQL productae erunt ab extremitatibus basium quaeA9, A0 aequales auferentes. demonstrabitur enimAPQ aequalis ipsi APO similiter priaribus [p. 412,19 sq.]. aequales igitur facient acutos angulos quaeA0, AQ ad axes portionum [p.412 not. 1]. quoniamaequales sunt qui apud N, X anguli 1- et ZT. copu-lata autem ipsa HK et educta ad .9. erit totius-qui-dem portionis centrum grauitatis K, eius autem quae

intra humidum H [p. 380not. 1], eius autem, quaeextra, in linea K62, etsit S2, [5mm 36099. I, 8].et quae KH perpendicu-laris est super superficiemhumidi [p. 382 not. 3].secundum easdem igitur

.’ rectas quad quidem in, 1V humido sursum feretur,

et quad extra humidum deorsum feretnr. manebitautem portio, et basis et 1- magnitudo et secundumunum signum tanget superficiem humidi, et axis por-tionis ad superficiem humidi faciet angulum aequalempraescripto.

2. in tertio theoremate]? immo in demanstratione par-tis Il. 3. enim] ,,hu Tartalea., ut etiam lin. 5. 4. ,,erituTartalea. 8. ne? Nizze; ,,diametros2 Tartalea; cfr. p. 415,17 nat. 9. et Z ] lacuna aperta est, quae ex p. 418, 1 sq.supplenda est. 10. ,,ipsi talc:n Tartalea. 11. quae] ,,qui-demu Tartalea. 23. autem] 615? ,,cuius basis humidi su-perficiem in uno puncto contmget" Comm.

Archimsdered. Heiberg. Il. 27

6

20

25


2. similiter autem demonstrabitur, et si portio adhumidum in grauitate habeat proportionem eandem,quam tetragonum quad ab FP ad id, quad a BD,dimissa in humidum ita, ut basis ipsius non tangat

6 superficiem humidi, consistet inclinata ita, ut basisipsius secundum unum signum tangat superficiem hu-midi, et axis ipsius ad superficiem humidi faciat an-gulum aequalem angula, qui apud (D [u. fig. p. 414].

Demojnstratio partis 1V.10 Sit autem rursum portio ad humidum in grauitate

habens quidem proportionem maiarem illa, quam ha-bet tetragonum quad a FP ad id, quad a BD, mi-norem autem proportionem, quam habet tetragonumquad ab æO ad id, quad a BD!) quam autem pro-

15 portionem -habet portio ad humidum in grauitate,hanc habeat tetragonum quad a Ë? ad id, quad a BD,palam igitur, quad quae 1P est quidem maiar quamFP, minor autem quam æO. inaptetur autem inter-media sectionum APOL, AæD aequalis ipsi 1P, aeque-

20 distans autem ipsi BD quae VI secans sectionemintermediam coni perles Y. rursum autem quae VY

1) Hoc fieri potest, quia FP ( æO, u. . p. 404). nainP17:- 2YF (p. 407, 5), h. e. PF: a Yfget Oæ a s60(p. 407, 4); sed G0 a PY.

3. ab FP] ,,hp2 Tartalea. 8. ,,quaeu Tartalea. 0]l ,,f" Tartalea. 12. FP] ne]:ü Tartalea. minorem] "ma-

iarem" Tartalea. 16. ,,habetfi Tartalea. 4’] hic et infmcum Comm.; "au Tartalea. 17. quad] am. Tartalea. 11’]"acou Tartalea. 18. ,,spu et "sur Tartalea. ,,întermedio"Tartalea. 19. ,,portionumu Tartalea; cart. Nizzius. AæD],,adu Tartalea. 20. VI] ,, i2 Tartalea., qui etiam infrasemper pro V habet ,,ffl.

a

N


dupla ipsius Y I demonstrabitur, sicut quae 0G ipsiusGæ, ut et prius demonstratum est [p. 407 , 4]. du-catur autem ab V sectionem APOL contingens quae

A D zIæ

4R1P

0 9Il

V52. similiter autem priaribus demonstrabitur quaequidem AI ipsi QI aequalis [p.411 not. 1], quae au-tem A0 ipsi V52 aequedistans [p. 411 not. 2]. demon-strandum autem, quad portio demissa in humidum ita,ut basis ipsius non tangat humidum, et posita incli-nata, ita inclinabitur, ut basis ipsius secundum am-pliarem locum humectetur ab humido. demittaturenim in humidum, ut dictum est, et iaceat primo sicinclinata, ut basis ipsius neque secundum unum tangatsuperficiem humidi. secta autem ipsa par axem planarecto ad superficiem humidi in superficie quidem por-tionis sit sectio quae ABG, in superficie autem hu-midi quae EZ, axis autem portionis et diameter sec-

1. 06 ipsius Gæ] ,,t (1mm) ipsi tafi Tartalea. 11.enim] "IN Tartalea. 16. ,,sectionistt et ,,portionisfl permu-tauit Tartalea. ,,dynametrumii Tartalea.

27*

10

15


tionis sit quae BD, et secetur quae BD panes signumK, R similiter priaribus [p. 404, 7 sq.]. ducatur autemet quae quidem E L aequedistanter ipsi EZ contingenssectionem ABG panes E, quae autem ET aeque-

g distanter ipsi BD, quae au-tem ES perpendicularis su-per BD. quoniam portioad humidum in grauitateproportionem habet, quamtetragonum quad a 1P ad id,quad a BD, palam, quadquae 1P est aequalis ipsi

1; cfr. p. 412, 15 sq.]. quare

H T; demanstrabitur enim :similiter priaribus [per prop. ,

16 et quae ET et aequalis ipsi VI. et portiones ergo A VQ, ;EBZ sunt aequales inuicem. quoniam in aequalibus et tsimilibus portionibus APOL, ABG sunt productae quaeAQ, EZ aequales portiones auferentes, et hoc quidem aab extremitate basis, hoc autem non ab extremitate,

2o minorem faciet acutum angulum ad axem portionis, tquae ab extremitate basis producta est [p. 415 not.1].et quoniam trigoni ELS. angulus est maiar angula a, apalam, quad miner est quae BS quam B0, quae autemSE maiar quam R0 [p. 416 not: 1], et quae EX

25 maiar quam VH, quae autem XT minor est quam 1EI. et quoniam dupla est quae VY ipsius YI, pa-

12. enim] ,,h2 Tartalea. 20. axem] Nizzius; ,,diame- tpalamtrumH Tartalea. 22. HLS] ,,hleu Tartalea. 23.

post lacunaur Tartalea. 24. EX] ,,Mtf Tartalea. 25.pâton] lacunam Tartalea. XT] "M2 Tutalea, ut p. 421

’ . 1. . t


lem, quad quae EX est maiar quam dupla ipius X111)sit igitur quae EH dupla ipsius MT. palam autemex hiis, quad non manebit portio, sed inclinabitur,donec utique basis ipsius tangat secundum unum sig-num superficiem humidi [cfr. p. 416, 19 seq.]. tangatautem secundum unum signum, ut in tertia figurascriptum est, et alia eadem disponantur. demonstra-bitur autem rursum quae T11?) aequalis existens ipsiVI, et portiones AV0, ABZ aequales inuicem, etquoniam in partianibus aequalibus et similibus APOL,ABG’) unt productae quae A0, AZ aequales par-tiones auferentes, aequales faciunt angulos ad axes

portionum [p. 412 not. 1].triangulorum igitur 7062,MSL quiapud signa L2),62. auguli suret aequales, etquae B8 recta’) ipsi B0aequalis, et quae 5’12”) ipsi

R0, et quae M X a) ipsi 7E,

et quae X1") ipsi EI[cfr. p. 413, 1 sq.]. et quo-niam dupla est quae VY

ipsius YI, manifestum, quad [quae DIX”) est maiar

1) Nain cum VY::2YI, erit VEBZEI, etHXE VIT, HIE XT.2) In fig. a.

1. EX] "ha" Tartalea. 2. ,,hltt et "w Tartalea.8. ,,aequalesn Tartalea. 12. axes] Nizsius; ,,dyamelrosttTartalea. 14.triangularum] Comm.;om.Tartalea. ,,akbzzsufqüTartalea. (retulit ad ,,portxonumtt). l9. Il X] "hait Tarta-lea., ut lin. 23. 20. XT] "art Tartalea., ut p. 422 lin. 1.22. ,,fæ ipsi" Tartalea.

H

H

0

5


quam dupla ipsius X111) sit igitur quae MN’) ipsiusN1") dupla. rursum autem ex hiis palam, quad nonmanet portio, sed inclinabitur ex parte A [cfr. p. 413,5 sq.]. quoniam supponebatur portio secundum unum

5 signum tangara humidum, palam, quad secundum am-pliarem lacum basis ab humido comprehendetur.

Demanstratio partis V..Habeat etiam rursum portio ad humidum in gra-

uitate proportionem minorem sa, quam habet tetra-10 gonum quad ab FP ad id, quad a BD. quam autem-

propartianem habet portio ad humidum in grauitate,.hanc habeat tetragonum quad a 1P ad tetragonumquad a BD. minor autem est quae Il” quam FB.

ï rursum igitur inaptetur quaedam intermedia partionum15 AæD, APOL quae VI aequedistanter ipsi BD pro-

ducta aequalis ipsi 1.1? [p. 410 not. 2]. secet autemipse. intermediam coni sectionem penes Y, ipsam autemXB rectam penes E. demonstrabitur autem quaeVY dupla ipsius Y I, sicut demonstrata est quae GO

20 ipsius Gæ [p. 407 , 4]. ducatur autem et quae qui-dem V52, contingens sectionem APOL secundum V,quae autem V0 perpendicularis super BD, et AI co-

1) Nam VH) 2E1, et MX: VE, XTa-HI.2) In fig. 3.

1. ,,ha ipsi IN Tartalea. 10. FP] "nefl Tartalea. Il1P]),,a:*t Tartalea. (sic etiam infra). ad tetragonum quad)B am. Tartalea. 13. ,,minoremn Tartalea.. autem] à!!!F P "onu Tartalea. 15. ,,amdn Tartalea. VI] "1MTartalea. (et par totam hanc partem P pro V). 17. "inter-media coni sectioneu Tartalea. 18. XR] "mm Tartalea.20. Gæ] ,,gIW Tartalea. 22. V0] ,,pefl Tartalea.


pulata ducatur ad 0. erit autem quae AI ipsi I0aequalis, et quae A0 ipsi V62 aequedistans [p. 411

d 0K Ê’ æ

[p Is . ,, Aa X -5;

prq wNgxqqg

(w pnenet. 1-2]. demonstrandum est autem, quad portiodemissa in humidum posita inclinata ita, ut basis ipsiusnon tangat humidum inclinata consistet ita, ut axis 5ipsius ad superficiem humidi faciat angulum minoremangula Q [u. fig. p.404], basis autem ipsius nec secun-dum unum tangat superficiem humidi. demittatur enimin humidum et consistat ita, ut basis ipsius secundumunum signum tangat superficiem humidi. secta autem 10portione per axem plana recto ad superficiem humidisectio sit superficiei quidem portionis quae AEB Lrectanguli eoni sectio [and 2021!. 11], superficiei autemhumidi quae AZ, axis autem portionis et diameter

. 4. ,,ipsisti Tartalea. 8. enim] ,,hfl Tartalea. 14. ,,por-tiani** Tartalea.

424 DE IIS, QUAE IN HUMlDO UEHUNTUR.

sectionis quae BD, et secetur quae BD panes signaK, R consimiliter superioribus [p. 404, 7]. ducaturautem et quae HI aequedistanter ipsi AZ contingenssectionem coni pense E, quae autem ET aequedistan-

b ter ipsi BD, quae autem ES perpendiçularis superBD. quoniam igitur portio ad humidum in grauitate

MJHhanc habet proportionem, quam tetragonum a 1P adid, quad a BD, quam autem proportionem habet portioad humidum in grauitate, hanc habet tetragonum quad

10 ab ET ad id, quad a BD propter eadem priaribus[prop. 1; cfr. p. 412, 18], palam, quad quae ET estaequalis ipsi 1P. quare et partiones AEZ, APQsunt aequales [mat xaw. 24]. et quoniam in portio:nibus aequalibus et similibus APOL, AE L ab ex-

15 tremitatibus basium sunt productae quae A0, AZaequales partiones auferentes, palam, quad aequales

l

4. ET] "habetu Tartalea., ut lin. 11. 5. "quanti Tar-talea. 8. portio ’,,propartia2 Tartalea. 10. ,,eandemitEmmy 12. AH ] "(unefl Tartalea. 14. AEL] ,41]:th

sa.


faciunt angulos ad axes partionum [p. 412 not. 1].adhuc autem et trigonomm EIS, V520 aequales suntauguli, qui apud I, 62. emnt et SB, 0B aequales.quare et quae SE, OR aequales, et quae EX, VE,et quae XT, EI [cfr. p. 413, 1 sq.]. et quoniam estdupla quae YV ipsius Y I, manifestum, quad minorest quam dupla quae EX ipsius XT.!) sit igiturE Y dupla ipsius Y T, et copulata protrahatur quaeY K0. sunt autem centra grauitatum tatius quidemK, eius autem, quad intra humidum, Y [p. 380 not. 1],eius autem, quad extra, in linea K0, et sit C [émanahoca. I, 8]. erit autem prapter praecedens theoremahoc manifestum, quad non manet portio, sed inclina-bitur ita, ut basis ipsius nec secundum unum tangatsuperficiem humidi [cfr. p. 413, 9 sq.]. quad autemconsistet ita, ut axis ipsius ad superficiem humidi fa-ciat angulum minorem angula (D, demonstrabitur.consistat enim, si possibile est, ita, ut faciat angulumnon minorem angula (D, et alia disponantur eademhiis, quae in tertia figura. similiter autem demonstra-bitur quae TM aequalis ipsi 1P [cfr. p. 412, 18 sq.],quare et ipsi TE. et quoniam L non minor est quam

1) Nain VE(2ET, et EX:- VE, XT: HI.

1. angulas] am. Tartalea. axes] Nizzius; ,,dyametros2Tartalea. 2. ,,hlspwe" Tartalea. 3. I] ,,lfl Tartalea.,,ebti et lin. 4: ,,eru Tartalea, et fart. in . p.423 pro (Épo-nendum E. 4. EX] ,,ha2 Tartalea., ut in. 7. 5. T],,atu Tartalea., ut lin. 7. 7. quam "quaeu Tartalea. 8.H Y] "agit Tartalea. 9. ,,yhttt artalea. 17. 45] "fitTartalea., ut lin. 19. 18. enim] ,,h*t Tartalea. 19. ,,ean-dem" Tartalea. 22. TE] ,,ihfl Tartalea. L] ,,hlfl Tar-talea. non] am. Tartalea.

5

15

20

426 DE IIS, QUAE IN HUMIDO UEHUNTUB.

0, non ergo maiar est B8 quam B01, neque minorquae SE quam 01R neque MX quam T 0G, et quo-niam quae I E est hemiolia. ipsius PY, minar autemquae PY quam GO, et quae quidem habet aequalis

a ipsi PC est, quae autem HA non est minar quam0G, maiar ergo quae AE quam PYÀ) quae ergoMX est maiar quam dupla ipsius TX. sit autemM Y dupla ipsius Y T, et copulata quae Y K educatur.palam autem similiter priaribus [p. 413, 6 sq.], quad

10 non manet portio, sed ualuetur ita, ut axis ipsius adsuperficiem humidi faciat angulum minorem angula dû.

1) Locus corruptissimus inde ab lin. 2. res satis atet exfigura p. 428. nain PF- Py-RC’, sine M ËPy.et PF) VI, h. e. PF) . ergo TM(41Py, h. e.

TM( gMX, sine MX) 2TX.

1. ,,f" Tartalea., ut lin. 11. ES 3mm 30,] lacunamTartalea. minar] am. Tartalea. 2. ,3] ,,sr" Tartalea.7. "M2 et "M2 Tartalea. 8. MY] "in,fi Tartalea.

LEMMATA.

Liber Assumptorum.

ISi mutuo se tangent duo circuli, ut duo circuli

AEB, C’ED in E, fuerintque eorum diametri paral-

zv lelae, ut sunt duae diametriAB, C’D, et iungantur duo

puncta B, D et contactas E

Ï [lineis]1)E, BD, erit lineaBE recta.

I E B sint duo centra G, F, etiungatur GF, et producu-mus ad E [Eucl. III, 12], eteducamus DE parallalamipsi GF. et quia EF ae-

qualis est ipsi GD, suntque GD, EG aequales, ergoex aequalibus FB, FE remanebunt GF, nempe DE,

Hunc libellum primus edidit S. Faster: Miscellanea (Land.1669) ex interpretatione I. Grauii, qui usus erat codice Arabica;neque enim Graecus exstat. deinde eum e codice Mediceo de-nuo Latine uertit Abrahamus Ecchellensis, uam interpretafia

. nem cum Apallanii libb. V-VlI edidit I. Borellus (Floren-tiae 1661 . Arabica exstat in tribus codd. Mediceis, sed cumcod. COL V (u. Catalog. codd. oriental. bibl. Medic. Laur-ed. S. E. Assemanus, Florent. 1742 p. 385) salue nastrum libellumet Apollonii libb. V-VII continet, sine dubio hoc i sa codiceusas est Borellus (cfr. praeterea Assemanus p. 383 in: CLXXI etp. 392 nr. CCLXXXVI). recepi interpretatiouem Borelli. apud cumtitulus hic est: liber assumptorum Archimedis interpreteThebit ben Kora et exponente Doctore Almochtasso

LIBER ASSUMPTORUM. 429et EB, quae erunt aequales, atque duo anguli EDB,E BD aequales. et quia duo anguli EGD, EFBsunt recti, atque duo anguli EGD, DEB sunt aequa-les, remanebunt duo anguli GED, GDE, qui interse et duabus angulis EDB, E BD aequales erunt.ergo angulus EDG aequalis est angula DBF, et com-

Abilhasan Bali ben Ahmad Nasuensi. propositionessexdecim (,,quindecimtt Poster, ut re uera surit; Borellus maleadiecit fragmentum Archimedis apud Eutacium seruatum). Thebitben Kora hanc praefationem memisit (Borellus p. 386): ,AsseritDoctor Almochtasso hune li rum referri ad Archime em, inquo sunt propasitiones pulcherrimae paucae numera, utilitatisuera maximae de principiis geometriae, optimae atque elegan-tissimae, quae adnumerant professeras huius scientiae summaeintermediorum, quae legi oportet inter librum Euclidis et A1-magestum; et uera quaedam illius propositionum laca indigentaliis propositionibus, quibus propositiones illae clariores ena-dant. et quidem ipse Archimedes lias indicauit propositianescasque retulit in aliis suis operibus, dum dixit: quemadmodumdemonstrauimus in propositionibus rectangulorum; item et:quemadmodum demonstrauimus in nostra expositiane agentesde ’ ulis; rursus: quemadmodum demanstrauimus in pro-pasitioni us quadrilaterum; et retulit in propositions quints.demanstrationem hac de re magis peculiarem. deinde compo-suit Abusahal Alkuhi Iibrum, quem inscripsit: ordinatianemlibri Archimedis de assumptis, et fractauit demonstrationemhuius propasitionis via universaliori ac meliori, nec non saquae dependent ex compositiane proportionis. quad quidem,cum id comperi, attexui lacis abscurioribus huius libri exposi-fianem sen marginales pastilles et confirmaui, quad ille indi-cauerat, pro ositionibus, uti indicaueram, et retuli ex propo-sitionibus A ihasal duae propasitiones, quibus opus est ad pro-positionem quintam declaraudam, relique. omittens breuitatisgratis. et eo quad non sint necessariaefl cfr. Wenrich: deanet. braco. vers. Arab. p. 192 sq. ex hie Arabum commen-hriis usus sum, quae mihi utilia uisa sunt, ceteris abiectis. -Sicut dubitari acquit, librum ipsam, qualem nunc habeamus,ab Archimede profectum non esse, ita ueri simile est, aliquastamen proportionum eius, quae fera satis saïte et inuentae etdamonstratae saut, re nem, ut prae se ferunt, Archimedeasesse, sed nantum si tribuendum sit, nandum satis exploratumest. cfr. àuaest. Arch. p. 24-26.[

430 LIBER ASSUMPTORUM.prehensus angnlus GDB est communie. ergo eruntduo anguli GDB, FBD (qui sunt pares duabus rectis)[Eucl. I, 29] aequales duabus angulis GDB, GDE.igitur ipsi quoque sunt aequales duabus rectis. ergolinea EDB est recta, et hoc est, quad uoluimusf)

Il.Sit CBA semicirculus, quem D0, DB tangant, et

BE perpendicularis super A0, et iungamus AD; eritBF aequalis ipsi FE.

Demanstratio. iungamus AB eamque producamusin directum, et educamus 0D, quousque illi occurrat

in G, et iungamus 0B. etquia angulus CBA est insemicirculo, erit rectus

p [Eucl. III, 31]. remanetÛBG rectus, et DBEG

est parallelogrammum

E F rectangulum.’) ergo intriangulo GBC rectangulo

A E 6’ educitur perpendicularisBD ex B erecta super basim, et BD, DO erunt ae-quales eo, quad tangunt circulum [Zeitschr. f. Math,hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 15]. ergo 0D est etiamaequalis ipsi DG, quemadmodum ostendimps in pro-

1) Utitur hac propositiane Pappus 1V, 23 p. 214, 6. idemfit, ut recto adnotauit Almochtasso, si circuli sese extrinsecuscontingunt; demonstrat Pappas VII, 175 p. 840.

2) Error apertissimus est. neque enim necesse est, linonsBD, D0 inter se perpendiculares esse, neque esse BD * ACet D0 â: BE. propositio tamen ipsa par se uera est; demon-strat Torellius p. 366. errorem iam Foster notauit p. 18; con-tra Arabes fugit.

LIBER. ASSUMPTORUM. 431positionibus, quas confecirnus de rectangulis. 1) et quiain triangulo GAG linea BE educta est parallela basi,et iam educta est ex D semipartitione basis linea DAsecans parallelam in F, erit BF aequalis ipsi FE[ib. p. 178 nr. 3], et hoc est, quad uolnimus.

III.Sit CA segmentum circuli, et B punctum super

illud ubicunque, et BD perpendicularis super AC, etsegmentum DE aequale DA, et arcus BF aequalisarcni BA, utique iuncta CF erit aequalis ipsi OE’)

Demanstratio. iungamu lineas AB, BF, FE, EB.’ et quia arcus BA aequa- .

lis est arcni BF, erit ABaequalis BF. et quia ADaequalis est ED, et duoanguli D snnt recti, et

A D E 0’ DB communie, ergo ABaequalis est BE [Eucl. I, 4], et propterea BF, BEsunt aequales, et duo anguli BFE, BEF sunt aequa-les. et quia quadrilaterum CFBA est in circula, eritangulus CFB cum angula CAB ipsi opposito, immocum angula BEA, aequalis duabus rectis [Eucl. HI,22]. sed angulus CEB cum angula BEA aequalessunt duabus rectis. ergo duo anguli OFB, CEB

1) Talem librum Archimedes non scripsit. rem ipsam sicdemonstrat Almochtassa: quia BD:DC, erit LDCBaDBC;sed DBC 4- DBG -- 90° a: DUE 4- 0GB. itaque

’ DBG : 0GB sine BD a: DG a: D0.2) Cfr. Ptolemaeus am. I, 9 p. 31 cd. Halma. in figura

codicis ABFC’ semicirculus est, sed propartio de quauis arcuCirculi uera est.

432 LIBER ASSUMPTORUM.sunt aequales. et remanent CFE, CEF aequales. ergoCE aequalis est CF, et hoc est, quad uoluimus.

N.Sit ABC semicirculns, et fiant super AC diametrum

duo semicirculi, quorum unus AD, alter uero D0, etDB perpendicularis, utique figura proueniens, quamuocat Archimedes Arbelon (est superficies comprehensaab arcu semicirculi maioris et duabus circumferentiissemicirculorum minorum), est aequalis circula, cuiusdiameter est perpendicularis DB3)

Demanstratio. quia linea DB media proportianalis

i B est inter duae lineas DA,p DO [Eucl. VI, 13; Zeit-schrift f. Math, histor.

Abth. XXIV p. 181 nr.

p 16], erit planum AD inA D0 aequale quadrata DE

a D A [Eucl. V1, 17]. et pona-mus AD in DO cum duabus quadratis AD, D0 com-muniter; fiat planum AD in DO bis cum duabus qua-dratis AD, D0, nempe quadratum A0 [Eucl. H, 4],aequale dupla quadrati DB cum duabus quadratisAD, DO. et proportio circulorum eadem est ac pro-portio quadratorum [Eucl. X11, 2]. ergo circulus,cuius diameter est AC, aequalis est dupla circuli, cuiusdiameter est DB, cum duabus circulis, quorum dia.-

1) Has propasitiones de arbelo (4, 6, 6 et 1) non dubitoArchimedi tribuere. proprietates arbeli antiquitns tractatssesse, testatur Pappus IV, 19 p. 208, 9: daguiez «aérasse. no:men accepit ex similitudine cultelli sutorii (schol. ad NicIndnTheriac. 423).

LIBER ASSUMPTORUM. I 433metri sunt AD, DC [Quaest Arch. p. 48] , et semi-circulus AC aequalis est circula, cuius diameter estDB, cum duabus semicirculis AD, DC. et anferamusduos semicirculos AD, DC communiter; remanet figura,quam continent semicircnli AC, AD, DC (et est figura,quam uocauit Archimedes Arbelan) aequalis circula,cuius diameter est DB, et hoc est, quad uoluimus.

V.

Si fuerit semicirculus AB, et signatum fuerit ineius diametro punctum C ubicunque, et fiant superdiametrum duo semicirculi AC, CB, et educatur ex Cperpendicularis CD super AB, et describantur adutrasque partes duo circuli tangentes illam et tan-gentes semicirculos, utique illi duo circuli sunt aequales.

Demanstratio. sit alter circulorum tangens DC inE et semicirculum AB in F et semicirculum AC in G.

J. 6’ 3et educamus diametrum EE; erit parallela diametraAB eo, quad duo anguli EEC, ACE sunt recti[Eucl. I, 28]. et iungamus FE, EA. ergo linea A-Fest recta, nti dictum est in propositione I. et occur-

Archimedel, ad. Heiberg. Il. 28

434 LIBER ASSUHPTORUM.rent AF, CE in D sa, quad egredinntur ab angulisA, C minaribus duabus rectis [Eucl. I ah. 5]. et iun-gamus etiam FE, EB, ergo EFB est etiam recta,nti diximus [prop. 1], et est perpendicularis super ADea, quad angnlus AFB est rectus, quia cadit insemicirculum AB [Eucl. III, 31]. et iungamus HG,G0; erit E C etiam recta. et iungamus EG, GA; eritEA recta [u. p. 430 not. 1]; et producamus eam adI et iungamus BI, quae sit etiam perpendicularis su-per AI [Eucl. 111, 31]. et iungamus DI. et quiaAD, AB sunt duae rectae, et educta ex D ad lineamAB perpendicularis DC et ex B ad DA perpendicu-laris BF, quae se mutuo secant in E, et educta AE adI est perpendicularis super BI, erunt BID matas, quem-admodum astendimus in propositionibus, quas confeci-mus in expositions tractatus de triangnlis rectaugulis.’)et quia duo anguli AGC, AI B sunt recti, utique BD,CG sunt parallelae [Eucl. I, 28], et proportio AD adDE, quae est ut AC ad EE’), est ut propartio ABad 30.”) ergo rectangulum AC in 0B aequale estrectangulo AB in EE [Eucl. V1, 16]. et similiterdemonstratur in circula LMN, quad rectangulum AC

1) Uidetur significari commentatium nescia cuius in Archi-medis librum de triangulis rectangulis ab Arabibus salis com-memoratum (Quaest. Arch. p. 30); idem fartasse significatur inprop. 2. demonstrationem dedit Almachtasso praemissa pro-positione notissima, altitudines trianguli acutianguli in eodempuncto concurrere. ne ait igitur BI D recta; ducatur alia linea,quae AI in m secet; erit LAmD- 90°; sed LAID -90°;itaque AmD - AI D, quad fieri non potest; demonstratianemeandem de quouis triangulo ualere, ostendit Nizzius p. 267.

2) Zeitschr. f. Math, hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 4.a) Ex Eus]. V1, 2 oomponendo.

LIBER ASSUMPTORUM. 435in CE aequale sit rectangulo AB in suam diametrum,et demonstratur inde etiam, quod duae diametri cir-culorum EFG, LMN sint aequales. ergo illi duocirculi sunt aequales; et hoc est, quod uoluimusfl)

V1.

Si fuerit semicirculus ARC, et in eius diametrosumatur punctum D, et fuerit Al) ipsius D0 sesqui-altera, et describnntur super AD, D0 duo semicirculi,et ponatur circulus EF inter tres semicirculos tan-gons ces, et educatur diameter EF in i110 parallela.diametro AC, reperiri debet proportio diametri ACad diametrum EE’)

iungamus enim duas lineas AE, E3 et duas 1i-neas CF, FB. erunt 0B, AB rectae, uti dictum est

A o 17 1? 0in prima propositione. describamus etiam duas lineasFGA, EH C, ostendeturque esse quoque rectas [p. 430net. 1]; similiter duas lineas DE, DF, et iungamusD1, DL et E.M, FN et producamus cas ad 0, P. et

1) Plus. de ubelo habet Pa. 1V, 19 p. 208 sq. danspro oaitiones hoc loco addidit A ahi, mathematicus Arabs;u. souvenus ; 393-95, Nizze p. 257.

2) Cfr. gappus N, 26 p. 224 sq.28”

436 LIBER ASSUMPTORUM.quia in triengulo AED AG est perpendicularis adE1), et DI est quoque perpendicularis ad AE, etiam se mutuo secuerunt in 1K, ergo EMO erit etiamperpendicularis, quemadmodum ostendimus in exposi-tione, quam confecimus de proprietatibus triangula-rum, et cuius demonstratio iam quidem praecessit insuperiori pr0positione [p. 434 not. 1]. similiter quo-que erit FP perpendicularis super 0A, et quia. duoanguli, qui sunt apud L et B, sunt recti, erit DLparallela ipsi AB, et pariter DI ipsi 0B. igiturproportio AD ad D0 est ut proportio AM ad FM[Eucl. VI, 2], immo ut proportio A0 ad 0P, et pro-portio 0D ad DA ut proportio ON ad NE, immout proportio 0P ad P0. et erat AD sesquialteraD0; ergo A0 est sesquialtera 0P et 0P sesquialtera0P. ergo tres lineae A0, 0P, P0 sunt proportio-nales, et in eadem mensura, in que. est P0 quattuor,erit 0P sex, et A0 nouem, et 0A nouendecim. etquia P0 aequalis est EF, erit proportio AC ad EFut nouendecim ad sex. igitur reperimus dictam pro-portionem. etiam si fuerit AD ad D0 qualiscunque,ut sesquitertia eut sesquiquarta aut alia, erit iudiciumet ratio, uti.dictum est. et hoc est, quod uoluimus.

V11.

Si circulas cires. quadratum descriptus fuerit, etalius intra illum, utique erit circumscriptus duplaeinscripti. sit itaque circulus comprehendens quadratumAB circulas AB, et inscriptus 0D, et sit diameterquadrati AB, et est diameter circuli circumscripti, eteducamus 0D diametrum circuli inscripti parallelam

LIBER ASSUMPTORUM. 437ipsi AE, quae est ei aequalis. et quia. quadratum A]?duplum est quadrati AE [Eucl. I, 47] sine D0, etproportio quadratorum ex diametris circulorum est

eadem proportioni circuli ad cüculum [Eucl. XII, 2],igitur circulus AB duplus est circuli 0D; et hoc est,quod uoluimus.

VIH.

Si egrediatur in circulo linea AB ubicunque, etproducatur in directum, et ponatur B0 aequalis semi-diametro circuli, et iungatur ex :0 ad centrum circuli,quod est D, et producatur ad E, erit arcus 11E triplusarcus B F.

educamus igitur EG parallelam ipsi AB, et iun-gamus DB, DG. et quia

cduo anguli DEG, DGE suntaequales, erit angulus GDÇ’

duplus anguli DEG [Eucl. I,.32]. et quia angulus BDC

g aequalis est angulo BOB, etangulus CEG aequalis est

angulo ACE [Eucl. I, 29], erit angulus GDC duplus

438 LIBER ASSUMPTORUM.anguli ODE, et totus angulus EDG triplus anguliEDC’, et arcus EG aequalis arcui AE triplas estnous EF [Eucl. III, 26]. et hoc est, quod uoluimus.!)

1X.

Si mutuo se secuerint in circule duae lineae AB,ÛD(sed non in centro) ad angulos rectos, utique duo ar-cus AD, CE sunt aequales duabus ucubus AC, DE.

educamus diametrum EF parallalam ipsi AB, quaesecet 0D bifariam in G; erit E0 aequalis ipsi ED

D [Eucl. III, 3]. et quia tem mus24! EDF, quam ECF est semicircu-

lus, et arcus ED aequalis arcuiEA cum arcu AD, erit nous CFcum duobus arcubus EA, AD ae-qualis semicirculo. et arcus E11aequalis arcui EF, ergo arcus CE

cum arcu AD aequalis est semicirculo. et remuentduo nous E0, EA, nempe arcus AC, cum arcu DEaequales illi. et hoc est, quod uoluimus.

X.

Si fuerit circulas AEC, et DA tangens illum, etDE secans illum, et D0 etiam tangens, et eductafuerit 0E parallela ipsi DE, et iuncta fuerit EAsecans DE in F, et educta. fuerit ex F perpendicu-laris FG super 0E, utique bifariam secabit illam in G.

iungamus AC, et quia. DA est tangens et AUsecans circulum, erit angulus BAC aequalis angulo

1) A te monuit Mauritius Cantor (Zeitschr. f. Math, hist.Abth. XIÆIV p. 169), hanc propositionem uere Archimedeunesse. breuiorem demonstratiOnem dedit Borellus.

LIBEB, AssuMPTORUM. 439

cadenti in alterna segmenta AU, nempe angula AEU[Eucl. III, 32], et est aequalis angula AFD sa, quadCE, BD sunt parallslae [Eucl. I, 29]. ergo anguliDAU, AFB sunt aequales, et in duobus triangulis

N DAF, AED suntFM B duo anguli AFD,EAD aequales, etangulus D commu-nis. propterea eritrectangulum FD in

a DE aequale qua-drato DAl), immoquadrato DU [p. 430, 22]. et quia. proportio FD adDU est eadem proportioni UD ad DE [Eucl. V1, 17],et angulus D communia, erunt triangule. DFU, DUEsimilis [Eucl. VI, 6], et angulus DFU aequalis DUE,qui aequalis est angula BAH; et hic est aequalisangula AFB. ergo duo anguli AFD, UFD suntaequales, et DFU aequalis angula FUE [Eucl. I, 29];et erat D171 aequalis angula AEU. ergo in trian-gulo FEU sunt duo anguli U, E aequales, et duo an-guli G recti, et latus GF commune. propterea. eritCG aequalis ipsi GE [Eucl. I, 26]. ergo UE bifariamsecetur in G. et .hoc est, quad uoluimus.

h

é

XI.

Si mutuo se secuerint in circula duae lineae AB,UD ad angulos rectos in E, quod non sit in centra,

1) Nam ADHN ADF (Eucl. V1 def. 1); ergoF1) : DA :- DA : DE (Eucl. V1, 4);

tum u. Eucl. V1, 17.

440 LIBEB. ASSUMPTORUM.utique amnia quadrata. AE, BE, EU, ED aequalisquadrato diametri.

educamns diametrum AF, et iungamus linons AC,AD, UF, DE. et quia angu-lus AED est rectus, erit aequa- l

D . Û lis angula AUF [Eucl. III, 3l],A et angulus ADU aequalis AFÛ

eo, quad surit super arcum AU[Eucl. III, 27]; et remanent induabus triangulis ADE, AFUduo anguli UAF, DAE aequa-

les. erunt pariter duo arcus UF, DE aequales [Eucl.III, 26], immo et duae chordae eorum aequales [Eucl.III, 29]; et duo quadrata DE, EE aequantur qua-drato BD [Eucl. I, 47], nempe UF, et duo quadrataAE, EU aequantur quadrata UA, et duo quadrata CF,UA aequantur quadrato FA, nempe diametri. igiturquadrata. AE, EB, UE, ED omnia sunt aequalis. qua-drato diametri. et hac est, quod uoluimus.

C

XII.

Si fuerit semicirculus super diametrum AB, eteductae fuerint ex U duae lineae tangentes illum induabus punctis D, E, et iunctae fuerint EA, DE semutuo secantes in F, et iuncta fuerit UF, et produ-catur ad G, erit CG perpendicularis ad AE.

iungamus. DA, EB. et quia angulus EDA estrectus [Eucl. III, 31], erunt duo anguli DAE, DBAreliqui in triangulo DAE aequales uni recto; et an-gulus AEE rectus. igitur sunt aequales ei. et panamus angulum FEE communem; amba anguli DAE,

LIBER ASSUMPTORUM. 441AEE sunt aequales FEE, FEE, immo angula DFEexterno in FBE [Eucl. I, 32]. et quia UD est tan-

,4, gens circulum, et DE secans illum,A angulus UDE aequatur angula DAE,1 et pariter angulus UEF aequatur

angula EEA [Eucl. III, 32]. ergoduo anguli UEF, UDF simul ae-quales sunt angulo DFE. et iamquidem planum fit ex nostro trac-tatu de figuris quadrilateris 1), quad,si educantur inter duas lineas ae-quales sibi occurrentes in aliquo

puncto, uti sunt duae lineae UD, UE [cfr. p. 430, 22],duae lineae se mutuo secantes, uti sunt duae lineaeDE, EF, et fuerit angulus ab illis contentus, ut estangulus F, aequalis duobus angulis, qui occurruntduabus lineis se inuicem secantibus, uti sunt duo an-guli E, D, simul, erit linea egrediens a puncto con-cursus ad punctum sectionis, uti est linea UF, aequa-lis cuilibet linearum sibi occurrentium, ut UD uel UEF)propterea erit UF aequalis ipsi UD. ergo angulusUFD est aequalis angula UDF, nempe angula DAG.sed angulus UFD cum angula DFG est aequalis dua-bus rectis. ergo angulus DAG cum angulo DEG-à.

IlI

lI

I

I

x

l

l

l

f 1) De eiusmodi libre Archimedis nemo praeterea uerbum

ecit. -2) Demanstrationem indirectam dedit Almochtasso. Borel-lus pro ositionem ita demonstrat: producatur DU, et sit0H: iam cum L H: UEH et ex hypothesi

DFE a UDF -]- UEF,erit DFE -]- H a UDF -]- FEH a 180°. itaque DFEHcircula inscribi potest (Eucl. HI, 22), et centrum erit U, cum0H: DU- CE. itaque erit CF: 0D

442 LlBER ASSUMPTORUM.aequalis est dnobu rectis. et remarient in quadri.latero ADFG duo anguli ABF, AGF aequales duo-bus rectis. sed angula: ADE rectus est; ergo an-gnlus AGU est rectus, et 0G perpendicularis ad AE.et hoc et, quad uoluimus. I

X111.

Si mutuo se secent duae lineae AE, UD in cir-cula, et fuerit AE diameter illius, at non UD, et edu-cantur ex duabus punotis A, E duae perpendiculsresad UD, quae sint AE, EF, utique abscindent ex illa

UF, DE aequales. -iungamus EE et educamus ex I, quad est centrum,

perpendicularem I G superUD et producamus eam adE in EB. et quia 1Gest perpendicularis ex centraad UD, illam bifariam diui-det in G [Eucl. III, 3]; etquia 1G, AE sunt duae per-pendiculares super illum,

erunt parallelae [Eucl. I, 28].et quia EI aequalis est 1A,

erit EE aequalis ipsi HE [Eucl. VI, 2], et propterearum aequalitatem, et quia EF est parallela ipsi HG,erit FG aequalis ipsi GE, et ex GU, GD aequalibusremarient ED aequales. et hoc est, quad uoluimus.

XIV.

Si fuerit AB semicirculns, et ex eius diametro ABdissectae, sint AU, BD aequales, et efficientur super

LIBER ASSUMPTORUM. 443lineae AU, UD, DE semicirculi, et sit centrum duo-rum semicirculorum AE, UD punctum E, et sit EFperpendicularis super AE, et producatur ad G, utiquecirculas, cuius diameter est FG, aequalis est super-ficiei contentas a semicircqu maiori et a duabus se-micirculis, qui sunt intra illum, et a semicirculo me-dia, qui est extra illum, et est figura, quam uocatArchimedes Salinond)

quia DU bifariam secaturiin E, et addita est illiUA, erunt duo quadrata DA, UA dupla duorum qua-

a dratorum DE, EA[Eucl. Il, 10]. sedFG- aequalis est ipsiDA.’) ergo duo qua-

drata. FG, AU duplasunt duorum quadra-tarum DE, EA. etquia AE dupla est

a AE, et UD duplaÏ quoque ED, eruntduo quadrata AE, DU quadrupla duorum quadrata-mm DE, EA, immo dupla duorum quadratorum GF,AU. similiter etiam duo circuli, quorum diametri sunt ’AE, DU, dupli sunt eorum, quorum diametri suritGF, AU [p. 433, 1] , et dimidii eorum, quorum dia-metri sunt AE, UD, aequales duabus circulis, quo-

1) Hue propositio fartasse re uera Archimedis est. quidSalinan sit, uerbnm sine dubio ab Arabibus deprauatum, du-bito. pro «climat! accepit Barrowius p. 276. contra MauritiusCantor l. c. ab délaç- deriuat (,,Wellenliniett). ipse de uerbo55’th cogitaui (ex similitudine frondis apii).

2) Nm GFs-GE-i-EFËAE-t-EDa-AD.

444 LIBER ASSUMPTORUM.mm diametri sunt GF, AU. sed circulus, cuius dia-meter AU, est aequalis duabus semicirculis AU, BD.ergo si suferamus ex illis duos semicirculos AU, BD,qui sunt communes, remanet figura contenta. a. quattuorsemicirculis AE, UD, DE, AU (quae es. est, quamuocat Archimedes Salinon) aequalis circula, cuius dia-meter est FG. et hoc est, quad uoluimus. .

XV.

Si fuerit AE semicirculus, et AU chorde. penta-goni, et semissis arcus AU sit AD, iungatur UD etproducatur, ut cadat super E, et iungatur DE, quaesecet UA in F, et ducatur ex F perpendicularis FGsuper AE: erit linea E G aequalis semidiametro circuli.

iungamus itaque lineam CE, et sit centrum H, etiungamus ED, DG et AD. et quia. angulus ABU,

2’qu 3cuius basis est latus pentagoni, est duae quintae par-tes recti [Eucl. III, 20], quilibet duorum angulorulnUED, DEA est quints. pars recti. et angulus DEAduplus est anguli DEE [Eucl. HI, 20]; ergo angulusDE A est duae quintae partes recti. et quia in duo-bus triangulis UEF, UEF duo anguli B sunt aequa-les, et G, U recti, et latus FE commune, erit B0

LIBER ASSUMPTORUM. ’ 445

aequale ipsi EG [Eucl. I, 26]. et quia in duabustriangulis UED, GED duo latera UE, EG sunt ae-qualis, et similiter duo anguli ad E, et latus BDcommune, erunt ’duo anguli EUD, EGD aequales[Eucl. I, 4], et quilibet eorum est sex quintae partesrecti’), et est aequalis angula DAE externo quadri-lateri BADU, quad est in circula?) ergo remanetangulus DAE aequalis angula DGA, et erit DAaequalis ipsi DG. et quia angulus DEG est duaequintae partes recti, et angulus DUE sex quintaepartes recti, remanet angulus EDG duae quintae partesrecti, et erit DG aequalis GE. et quiaIADE externusquadrilateri ADUE, quad est in circula, est aequalisangula UEA [not. 2], et est duae quintae partes rectiet aequalis angula GDE. et quia in duabus trian-gulis EDA, EDG- sunt duo anguli EDA, EDGaequales, et pariter duo anguli DUE, DAE, et duolatere. DA, DG, erit EA aequale E G [Eucl. I, 26].et ponamus AU commune; erit EG aequale AE. ethoc est, quad uoluimus.

Et hinc patet, quad linea DE aequalis sit semi-diametro circuli, quia angulus A aequalis est angulaDGEa); ideo erit linea DE aequalis lineae DE. etdico, quad EU diuiditur media et extrema proportione4)in D, et mains segmentum est DE, et hoc quia ED

1) Nam DUA :- JIDHA (Eucl. lII, 20) et FUR a: 90°.2) Nain

BCD 4- DAB a 180° (Eucl. HI, 22) :- DAE -]- DAE.3) Fort. scribendum: ,,quis. angulus E aequalis est angula

DHGŒ4) H. e. dans: au). péons! lôyov, sine EU: EDa- ED : DU

(Eucl. V1 def. 3).

446 LIBEB. ASSUMPTOBUM.est chorde. hexagoni [Eucl. 1V, 15 269.] et DU deca-goni, et hoc iam demonstratum est in libra clamen-torum.’) et hoc est, quad uoluimus.

l) H. e. à! si «camion, Eucl. clam. 1111, 9: 3&1! 1) 1:05thymus zircon? aux! 1) soi assa dans si» si; th 4115150 ani-slos inauguration: conchiera-r] 3111 560m: ânons and piano167M cérumen, sur! si: prîtes min"): unifié leur 1) zoé 55a-7m00 «lança.

PROBLEMA BOUINUM.

Antiquitus clarum erat problema Archimedis denumero boum Salis (1965117410: floemôv); u. Scholia.ad Platonis Charmid. 165 e: arroger laywnmf) 05vmûre uèv 1:6 abriiez! 15:5 Mpzmfiôovç fioemôv n96-fiÂmm, voûta 6è unifias ami quorums âptôumig (cfr.Anthol. Palat.XIV, 3 et 12); cfr. Anonymus Hultschii(Heron) 9 p. 248 et Cicero ad Attic. XII, 4; XIII, 28:mirifique: ’Apxzmfiôuofl?) epigramma infra adlatumproblema eiusmodi tractaus e codice Guelferbytano(77 Gud. Graec.), primus edidit G. E. Lessingius (Sâmmt-liche Schriften cd. Lachmann 1X p. 285 sq.), additoscholio et disputatione mathematica Chr. Leistii (ib.p. 297). deinde id ediderunt I. et K. L. Struuii (Altesgriechisches Epigramm mathematischen Inhalts, Altona1821. 8), G. Hermannus (De Archimedis problematebouino. Lipsiae 1828. 4. cfr. Opuscula 1V p. 228 etrecensia I. F. Wurmii in Jahns J ahrbücher XIV p. 194,ad quam respicit Hermannus Opusc. IV praef. p. III),Terquem (Bulletin de bibliogr., d’histoire et de biogr.mathématiques I p. 121; cfr. ibid. p. 113 sq., p. 130),B. Krumbiegel. (Zéitschr. f. Math. , hist. Abth. XXVp. 121 sq.). problema ipsam praeterea tractaueruntNesselmannus: Algebra der Griechen p. 481 sq., A. I.H. Vincentius: Bulletin Terquem I p. 165 sq., H p. 39,A. -Amthor: Zeitschr. f. Math. u. Physik, hist. litt. Abth.XXV p. 153 sq., quamquam nondum satis constat

PROBLEMA BOUINUM. 449quomodo Archimedes hoc problema saluerit, tamenplerique consentiunt (uelut Hermannus, Libri: hist.des mathém. en Italie I p. 206, Cantor: Zeitschr. f.Math, hist. Abth. XXIV p. 169), ces, qui Archimediabiudicant, quad saluere non potuerit, nimis inconsi-derate egisse (uelut Struuii, Nesselmannus, Vincen-Itius); cfr. Quaest. Arch. p. 66-68.

epigramma et scholium edidi Lessingium secutus.in notis adieci coniecturas omnes Hermanni, Struuii,Vincentii, Kmmbiegelii. scripturas cod. Parisiensis nr.2448, quas mecum communicauit Henricus Lebègue,qui mec ragatu bensuolentissime hune codicem in-uestigauit et contulit, in praefatione huius uoluminisrettuli.

Archlmedos, cd. Reiberg. Il. 29

Hcôfilwa.31180 ’Açzmfiông à» haypoîppadw 81390311 rots c’v’AÂæEav-

dosiez «sa! mâta zoayparevops’vozg Envers: éléatismes)

à: zoés ’Eoon’oaôe’vnv vos: Kvoqvatov êtrdtolfi.

1 1111an ’HsMoao 505v, si 251’415, pérpqdov

woowiô’ émanions, si pézizes; doping,

16661] 59’ à; radius Studio; 101? âfiôdusto vn’aov891.1100:th sagum] drapa: ôœddœlæ’vn

a zoom!) dÂÂéaaowu’ rô un lemol’o 91021413103,

avariés) 6’ 3159011 zodiacal, lapzôasvov,

17Mo pas peu Eavflôv, 1:6 6è zonation à! 6è 535056193(fripez. 560w 1005901. nÂfiôeaz fipzôôpwm

60114151915139 naïade 15150161591 01976194059 p.51:

10 avavëmv ration"; fusion fiât votre)aux! ëœvôotg déparerons: faons, ni gave, 116116012,admira uvave’ovg 1:95 151902191 se (râpez

panaméen; and adams), du gaufroir!!! ce miam10139 6’ ôzolsmoas’vovg aormlôgpmaç 6704m

15 (507611111512 raüpnw 23:19) péan êflôoaérça ce

and Eavôoïgzcxdug 716261.11 laagape’vovg.

Mietawt 6è flouai réô’ émiera bosniennes pairficus! avancions uvœvs’ng àye’hgç

193 rendras ce (n’as; and 17390219) émeus; leur

In titula: noayparovpévocc cod. Guelferb.; cor-r. Struuius.1. ’Hru’oco] cfr. Homeri 0d. X11, 127 sq. 2. «copine Les-

Problema,quad Archimedes inuenit et in epigrammate ad cos,qui Alexandriae eiusmodi rebus studebant, misit in

epistula ad Eratasthenem Cyrenensem.

Multitudinem boum Salis, hospes, computato dili-gentiam adhibens, si sapientiae particeps es, quantaquondam in campis Thrinaciae Sicnlae insulae pasca-retur in quattuor greges diuisa colore diuersos, unumlactis albi colore, alterum caerulea nitentem, tertiumflauum, quartum uarium. in singulis autem gregibustauri erant numero praeualidi, hanc rationem seruan-tes: finge, hospes, albos numero aequales dimidiae ettertiae partibus tauromm caeruleorum et simul omni-bus flauis, caeruleos autem quartae et quintae parti-bus uariorum et praeterea fiauis omnibus. reliquosautem uarios uide sextae et septimae partibus albo-rum et rursus omnibus flauis aequales. in uaccis au-tem hac erant rationes: albae tertiae et quartae par-tibus totius gregis caerulei aequales erant, caeruleaeautem quartae et quintae simul partibus uariorum si-singius. 8. «M051. Struuius. 12. essaiera) cod. Guelferb.;con. Lessin lus. 1:5 0m. oad. Guelferb.; corr. Hermannus.13. arturozooœv Struuius. «du Lessingius cum Guelferb.;con. Hermannus. - 14. «manigance Lessingius. 16. mien]Hermannus; mimés Lessingius cum Guelferb. 17-26 deletVincentius. 19. 18105th cod. Guelferb.; corr. Lessingius;item lin. 20.

29”

20

25

30

35

40

452 IIPOBAHMA BOEIKON.«15143:9 suiveur 1:93 rewritas te mais:panaméen: ami «épurai 611.05 M95; [602:0eraùv raüpoagi «dans 6’ sis voisin; ëpzope’vng

gavôoz9lxcw (59151119 «sans? (1.5951. fiât ami, être)

statufiai. iaâpLôuov nlfiôaç 510v 151905127.501113111 6’ fipwasfwto grigous miaou 13117651. leur02971511111]; 01761439 5130051422191 se 4459H.

281’118, si: 6’ ’HsMow 1300511 miam dr9sxèg sizain,

zanzis ahi recépa": Cat9scpe’mv âpcôadv,

102919 6’ mi mitant. 56m and zpoîpm guarana,aria ëtôpi’g ne léyoz’ oôô’ émince?» chionis,

013 MW ne; 7s dopois 3114190351509. àu’ au 99905031).au). roide mima 605v ’HsMow «02’842.

àpyôrpcxsg m5901 (1.1311 en! infinitum 751.9361511mmve’mg, ïdraw’ ËMŒEÔO’D ldôpst901.

55g [311’309 dg 511969 se, rà 6’ ad «empiristes: adam

niprzlavto 70.67801), Quantum; stadia.241121001 d’ «51’ et; à! and. 210420.01. àôpowôs’weç

ïatuvr’ &pfloloîômi si ëvôg à9x6aevoz

61mm relezoüweg 16.19Lu9oiazsôov 01’515 apoaôwcw(inondera; 1711591231: 051? àmlemope’vœv.

raina awsësvoàv au) êvl aguarfôeadw &bpofaagand 1117357117 ànodoùç, si 25’115, même: pâma

guéa audition! vzaniôaog, [dm ce mimonsxexgma’voç zoning danwag à! Gamin.

21. 611.1110196th Struuius. limitasse. très amigne flânasVincentius; (détona, «in: 10:69on même Lessingius. 22. xa-onç- Quarter-ne] Lessingius; adams-391094:10:14 cod. Guelvferb. zannis-591041:11:91: Struuius. ô de] Hermannug,sic cod. Guelferb., nul o. 24. ur9ctzfi] com tum; cimentsStruuius; 5101:5 12170834 ç Vincentius. talées: rumbi si.510v. 15190:1?) Lessingius. 27. miam Vincentius. flairs Her-

PROBLEMA BOUINUM. 453 .mul cum tauris aequales erant, narine numerum habe-bant aequalem quintae et sextae partibus totius fla-uorum gregis pascentis; flauae autem aequales sextaeet septimae partibus gregis albi numerabantur. tuuero, hospes, diligenter indicato numero boum Solis,quot tauri robuti quotque uaccae essent singulis co-loribus, non imperitus rudisque numerorum uoceris,neque tamen inter sapientes numereris. at die agebas quoque omnes boum Solis rationes: sicubi taurialbi suam multitudinem cum caeruleis coniungebant,stabant firmiter aequali in altitudinem et latitudinemmensura, et longi latique campi Thrinaciae undiquesolido quadrangulo ’complebantur. rursus autem flauiet uarii coniunctî ita. stabant, ut numerus sensim exuno aderesceret, figuram trilateram efficientes taurisceterorum colorum neque praesentibus neque deside-ratis. haec si simul inueneris et mente complexus cris,hospes, omnes multitudinum mensuras indicans, vic-toria gloriatus abito et putato, te ita demum sapien-tia. praestantem esse iudicatum.

mannus; fiées cod. Gnelferb., Lessin ’us. 28-29 delet Vin-eentius. 29. 196m] Struuius; "a a: cod. Guelferb., Leasin-’us. 31-44 delet Vincentins. êvuoæptoc] Struuius; la:

«(apepsie cod. Guelferb., Lessingius. 32. zoïde aréna] téâ’ Ët’

«me; Struuius. Wurmius han emendationes superman oen-set, mutato and» u. 27 in show (imperat). 84. à; 41501Vincentius. 35. néon mina Hermannus. 86. 1:1!va for-tasse corruptnm; «M009 Vincentius. 52112000; Krumbiegel.39. afin-01’515] être -si’n Hermannus. 44. www 1’ Her-mannus.

454 IIPOBAHMA BOEIKON.

2716le.Tô phi 0511 «0651.1211»: ôLà roi «méfiance ô 349p-

lniông ëôfilœde 64:19:69. 3615011 0è t6 187644512011, En

vidangez; 027591019 ahan Gai flooîw’ Âswozotzaw ph:

play 10:69:01; and ônleaôv, 151: 1:6 zlfiôog 611.013 6m!-oîyea pupuîôac (hum; Là" au! (27:15; (pnfl’ ml novdôœg

318” xvuvozpôœv ô’ «film: (moi? raügnw nui I917-).smîv, 45v zô «14506; écu çwçaéômv ômlôq êws’a

aux). 0211.0511 [nm]! nul 500110566011 01’. pcëorpt’xaw 0’ 651.-

1111! rational nul milady, (511 16 nÂfiôôç ëdu ungui-ôaw 0471514511 17’ aux! chaloir [5&Qa’ ami 44011026000 v”

mis 6è lomfig &ys’hzg 103v 30512001960111!) dvvcîyal. t6atlfiflog 61.111629 çwpwiôag ç’ aux! àazlüg [5111713 (1011026119

ôè lof. 15615 awoc’yeaflm époi! 1:6 1155609 171511 6’

45781051! gwpwîôaç 6m15; (1’ aux), ànlâç lygtfi’ and po-

vdôag [5412?]. nazi û phi 02769.11 1451i levuOtQL’xmv wü-

pow 518L pvçtoîôaç 617516231], ami ânlâg ,fiælœ’ ami

novâôaç ,Wg’, engluoit: 6è pvçwiôag ômlâç 5’ ml

ânlâg ltzv’ ml 51011026419 [026° à 6è tigrai?) 17157 uv-

avoxçôaw 1011590312 au peu uvçwîôœg ôtnlâg 8’ mi

ànlâg lazuô’ and 50011026019 Iaçu’, 9111.51.61! 6è (Impui-

ôag ômlâg 7’ ami 02111079 [agui and 44011026059 11912:”

fi 6’ 0270.1] 15051! avomzlozçlxmv ranimai: ëzu pub: pu-91.026059 61.11569 8’ and 55211073 mangé" aux) (11012026119 lôœ’,

613181451! 6è pvpzéôag ômlâg fi’ ami 02101639 [1392:5 and

povéôag fifi”) 1°] 0’ àye’in] n51! ëavôozgmçwîzmv m15-

paw 5151. ph; yvpcoîôœg 6mm; 7’ ami abrié; 1791:!and (5011026119 n83 0471154051! 6è pvptdôag ômÂâg 6’ aux),

1) Eavôotoz’zmv Hermannus.2) ,5 1’] lôz’ cod. Guelferb.; com Lessingius.

IIPOBAHMA BOEIKON. 4550511.62; l7qn7’ mi 11011026019 1:7]. 11010 En 1:0 101170091157 Âmozplzœv 1011590111 i’o’ov .195 15111380 11012 190’191

péon 106 zlfiôovg 10511 10001110796011: 1011500111 mi En31.11 a? 1051: âavôozpmuoîzmv 02757.11, 16 6è 10117009 10511

xvœvozpmpoîzœv 1’601; :05 175029100 un! 114010ch 115’951

10311 nocuclozpa’zœvl) 15011590111 110d 6’10) 193 101111951. 1151!

gavôoxçœpdtœv, 1:0 62 1011.1009 10511 nommozça’zœv toni-

Qaw 176011 193 310103 110d 513667.91 705’980 10512 1512110159!me

101159011! 110d En 1505 11115851, 511p gœvôozpœpoîtœv 10115-

90011, 1101?, mêla: tô nlfiôog 10511 levxaôv 0171501511 [6011

105 190’191 110:2 zaniçtçz piégea 31.119 1159 02757.17; 1051!

11001120706001), tô 6è 11511 11001110796011: i801: 1:93 union?)mû 1151111100 115’960 aïs 52.129 027151119 11511 nomalozçz’xœv,

t6 6è 1031! nomzÂOtplfxmv 1’601: 11:5 1151010191 1101H être)

116’950 zfig 51.119 10511 5011130511 [300511. 1021011 ôè 16 1’031!

30111190511 Mleaôv 101.1100; fiv 176011 195 311191 155210011 fifi-

661191 115’951, 1179 31.119 à7e’l1yg 1’051: 1511110511 1300511. 1m!

ï) 11,311 0i7ê’1117 1’031: 18111101957001! 1011390111 110d 15 1:51:

31001110196011: 101159011! amsôeî’o’œ 1101,51: retpoî7awov

àptflpôv, fi 8’ 0271.51.17 11511 gavôorçtxaw 1011500111 pétât

tfiç 027591179 170311 «0111010106011: 61212151353001 nouer 1:9!-

7011101! , 059 Égal, si: 1031; 61011801057011! 10011161111111 110133

3100161011 70151101.

1) 11011110706001: Hermannus.2) se 0m. Hermaunus.

FRAGMENTA.

Omissis libris, qui ab Arabibus solis commemoran-tur, de quibus u. Quaest. Arch. p. 29-30, hoc locoomnia testimonia et fragmenta librorum Arcbimedis,qui interciderunt, quae quidem inuenire potuerim, col-legi; planque indicaui Quaest. Arch. p. 30 sq.

De polyedris.1 Pappus V, 34 p. 352: 00217001 6’ 0’60211 015 10611011 00è

10010130 003 19500000001 H102000110 1051105 61111001000, 001100’60011

000002060611 00 1000?, 520550001, ôxrâe60611 00 10000 60165-

000560011, 10010100011 6’ 5310000560011, 021.160 10001, 0è 6106

2070101160111; 015050091000 00061000065100: 0611 020019-10011 015106 36010101100111 10611 1006 3007011100111, 0137:61000’0011

6è 10011170570111 10500516106110.

00 M11 7020 100050011 6100012560611 0’60011 10000016100110»

15100 000705110111 6’ 1000?. Ëâa705110011 6’. - .

00000 6è 0050130 001300 006612006100060100556001, 0511 00

0&0 100050011 105005100000 00070511009 11’ 100:0 00000070511009 5’,

00 6è 6015000011 05000070511009 5’ 100:0 êëa7051100g 0’, 00

6è 0000011 00070511009 11’ 100:0 61000070511009 5’.

100000 6è 00017000 ëuuu00010000î060é 0’60011 6150, 0511 00

100.11 100050011 100008700000 00070311009 11’ 10012 05000070511009

011’, 0è ôè 6015050011 00000070511009 0fi’, ëëa701’1100g ’4’ and

61000070511009 5’.

005000 6è 00017000 60010000000001100206002 éo’0011 00500, 0511

00 (0&1 100050011 100004100000 0007051100; 10’ 10021 10511001705-

FRAGMENTA. 45912mg Lfl’, 1:6 6è 55151589011 mamxyaîvoag ofl’ mi égayoi-

vozg x’, 16 6è mérou zpwgîvozg x’ ml ôsxaym’votg Lfi’.

mirât 6è 101’576! à; ému: ômmmwçmnowoieôçov 7:89a-

exôuwow 15m3 rçtyaâvuw Âfl’ and retçayaîvœv 5’.

parât 6è 1051:0 ôvoumaënuowoîeôgoî 361:4, 6150, (51: tô

44:51! «9:51:01: aveuglera; 191.7050018 u’ and zsrgaynîvoog 11’

nul nawuycôvoag Lfl’, 1:6 6è 6515159011 utpaycôvmg 1’nui êâayoîvmg u’ ami ôsuayoa’vozg ofl’.

puât 6è mâta talwraîôv ému: ôvoumwwnxov-102569011, 3 zsçzs’zarm rpaycn’vozg a," nul newayaîvong Lfl’.

56a; 6è yœvûxç 3910561011 515L 61595659 1:61: Ly’ n15-

un! (ingénu: «011125691011 and 560:9 ulsvçoîg, 6L3: 10565

mû 19:51:01) ôsmçsïmr 365011 "En! 7&9 ânloîg uolu-s’ôpaw ut nageai glandai. remît: ëmare’ôong nsçzéxowm

yœvlfmg, êâaçzôynôswaîv 10311 ëmm’ôœv 7mmaîv, 39

510126141 miaou. (xi 369w. 1:05 101.1283901), ôfiÂov, côg ô

r61; 61698651! 71171141511 aimâmes mérou yéçog étui 1017

751105051101: àçufiyoü’ 36ml 6è nolvé’ôpmv à 615966; yar-

w’a mçcéxezm 115661196411 êmatb’ôozg, Égaçbôpnôêwôv

7154160311 1:61! ëmnéôœv yœvuüu, 629 510mm: ai 569m 105

nolve’ôgov, toi? yavoye’vov 02946M013 16 rézaçtov [16’909

56th: ô âgzôyôg ô 1:61: azsgènîv 701111.61: roi? nolvs’ôpo’v.

6,40m; 6è and 56m: nolve’ôçœv à 615956: ynwa’u mapp-

e’xezal, 15m3 5’ yeawoîv êazmëômv, 16 négaton: r05 ahi-

ôovg «in: êmate’ôœv 7’vaon écru: ô àçufluôg mû anhi-

ôovg 11511 drèpæôv ynwuüv.

103v 6è nlsvçoîv 16 70.55809, 329 guadrov 515L 1037«01.1245690211, 161163 16v tçônov 5159156054511. égapzôpn-

19546051! 7&9 50:66:: rôt: 211181:90:31], 559 ËxeL tà êaztnsôœ

rôt napcéxov’w zô 101.1556901), ô âgtfipôg «1511511 ôfilov

459 [des écrin 195 Mafia 1:51! êmm’ôcov yœwaîv. o’cM.’

460 FRAGMENTA.315401) 660 êmazs’ôœv émiai?) :051; «1.509031: «6m? nenni

301w, ôfilov, au 1013 111.150on rô fluait: a! «lançaide", rot": nolve’ôpov.

zô phi 015v «96101: tôt: âvouowyevaîu 47’ uolu-éâpnw 32:53. démêlera marchions 6’ and ëâaynîiëocg 6’,

yawtaç W 518L (nageât; Lfi’, «levais 6è "3’. 145v ph:

7&9 156602901: tptyaivmv aï 1:5 7mm Lfi’ du": and a!alarmai zfi’, tafia: 6è 6’ êâaym’vnw aï te yawtaa «6’

du": aux! a! ulsvçaî au)". yevope’vov 01) roi émanai?navrés 16’ àvayxam’v 361w rôti (têt! raïa! 015954511 ya-

maîv &owuôv tpttov uépog sima 105 agoupqpe’vov01914011017, fatal and ëudo’m raïa: atepeôv «61:06 yœvuôv

êmze’ôoog yœvtmg nepze’xsrm 7’, r6 0è t6!) «11511961!

«M1909 18; 5m61: toi àçzôpoô touts’o’zw mû 15’, «5m

53mn alevpàg "7’.

tu?» 6è tsigaumôeuaëôpwv 16 «915101: magnifiiez;recyczîvocg 13’ ml tetçœyœ’vocg 6’, (son 518w dfêpêàç

ph: 7min; afi’ (511026127 7&9 «6105 annula 151:6 redan?-

pow 51154356001: 710110151: flEQLËZGfaL), 751309319 6è 51a

xô’. tô 6è ôsôzepov n51; zetçauatôexaéôçœv, êxel

appétera; rsrouyaîvozç 5’ and êâayaîvozg 47’, 5:61, 61:5-

peàç ph! glaviots and" (élida; 7&9 n51! yœmn’îv mî-

toû neptë’xetaz 151:6 7’ 11th émzëômv), 11509319 à

5181, 15’!) .103v (fi êuxawmoaaéôçm tô (du xpôzov, 3nd aragn-e’zsuu. tpzyaîvocg n 91’ mi 15194170512009 "1’, 555L nageât;

ph! renvias uô’, 15.1wa 6è paf. zô 0è 6515189011 r61!

1) Lacunam cum Eisenmanno sic expleuit Hultschins: 1èa) 1 hou 5:51! tsrgœuatâsuaéâemv, à"! usezézstcu numéroter;and nageante; 5’, En arsenic ph! yawfaç au! , alentie 8è 15 -aliter se chastes; u. p. 463.

FRAGMENTA. 461êuuaz511zo6as’69co11, 51155 «591.5751011 65196170511019 Lfl’ and

520176511019 13’ 1m). 6111670511013 5’, 5’551 61595619 p.511 701-

vtœg 1111’, 615119619 65 ofl’.

11511 65 6vo1caaz9muo11ms’69œ11 16 p.511 69031011, 51:55

1559157515011. 19170611019 15 11’ 110:5 11571076511019 Lfl’, 5’551

61595619 11511 701116019 11’, 111.5119619 65 2’. 16 65 65151559011

70511 61101101119101110111015’690311, 511:5). 155915751011. 15511101706-

701; Lfl’ 110:1. 550170511015; 11’, 5’251. 61595619 11511 707116013 5’,

111.5119619 65 q’. 16 65 1961011 10511 6110xuzt9m1co11’roœ’69m11,

51:55 11259157515011. 191.7051101; 15 11’ 11015 65110170511011; Lfl’,

5:51 61595619 11511 76111109 3’, 1115119615 65 Q’.

zô 65 ôxrmuan9m1covroîs69o11, 51:55 115915751011 1:91-

701’1101g 1:5 Âfi’ 11a). 15190170511019 52, 57351 61595619 11511

701111105; 116’, 1515119619 65 5’.

10311 65 ôvoxaosgnuowœ5’69œ7 16 p.511. 159051011, 51155

155915751011. 19170511019 1:5 11’ aux). 15190170511015 1’ 11015

65111670511019 Lfi’, 53:51. 615956cç [.1511 701116019 g’, 151.5119619

65 9x’. 16 65 10115611 10511 6001161521111011165’691011, 5655

155915151011 15190170611015; 11’ 110:5 51127631101; 11’ ami 651w;-

70511019 Lfl’, 5’851. 61595619 p.511 700115019 9x’, 1115119615 65 96’.

16 65 60011615757111101116569011, 51555 65915751611. 1:91-

7aî11019 15 15’ 11015 15511167051101; Lfl’, 5’351. 61595619 11511

70111669 E’, 111.5119615; 65 911’.

Haec omnia sine dubio iam ipse Archimedes pro-posuerat. cfr. de bis polyedris Keppler: Barman. mundip. 62.

Scholia Uaticana. in Pappum III p. 11711): 201’. 611102569011 5’751 1967011111 6’, 5567001111 65 6’, 112.511-

9613 111’, 701115119 65 61595619 Lfi’, 51102611] 65 615956:

1) Hoc scholium in cod. Uatioano prauo ordine scriptum

462 FRAGMENTA.

yawo’a «swingua; 151:6 7’ ruminât: émate’ôœv, 45v

6150 ph! ëëœymvmat, m’a 6è mcymmmî, (56m 2.5::-

atsw 1’031! 6’ 6001511 mû; ôpfifig 7min; 6150 roc-

mpoptmg; 1061:0 ysvvâmz 15x aïs 75961"; aupa-(u’ôog ôzmpovpe’umv n51: alevçaîv uôtfig si; 7’

l’au ml 6d: 115v toyaîv êmzs’ôœv ënfiallops’vmv

ami 7:51! ymmoîv âumutovo’aîv.

. tedaaçsgmtôexéeôpow (scil. tô npaîtov) napa-e’xetm in?) ph: rçzynîvow 11’, 13m3 6è taponnai-

vaw 5’, au ôè nÂevçàg uô’, yawtag 6è dzsgsàç

(43’, ëxoîam 6è GtEQGà 7m10: amodierai. 61:6 à"

yowuôv êmus’ôœv, 05v 6150 [Là-v terpayœmmz’, [3’

6è tgtymvmou’, (5615 laineux 1.1511 à” 69’861: (mis

70114059 ôçâfiç 6150 rçwnpoplocg. 50131:0 7512115111;

à: 1:05 mîfiov ôtacpovm’vaw me "in: 20.812951:0:13:05 ami me? 1,13511 rondin êmm’ômv ëxfiallopé-

vaw, :1511 11’ 700111451: ëuzmzovaa’iv.

. taddapsaumôsxoîsôpov (scil. zô ôaüteçov) usez-ëzswb 1311:6 yèv tetpuym’uœv 5’, 159:6 6è 5542705-

vaw 27’, 5159 6è «levçàç 15’, glandas 6è atsçeàg

au)", Ëxâdfl] 6è 615956: 7mm: mpæ’zswa 15m3 7’

yœmôv êmzs’ôœ’u, (511 0156 414311 êâayœwum’, pût

6è tupayœvmvî. 1061:0 yswüzal. à: toi? ôxwe’ôpov

. tspvopæ’vng 195p: imine]; 105v «61:01? «1.612961:nul ôtât :6511 tamia) ëmm’ômv ëuflallopëvaw and.105v 5’ yowmîv Éxmzzovo’ôv.

. tô 6è miton! (scil. :0311 tsrpauacôsuae’ôpwv), 515?.«appelant. 194.7611009 71’ un! ôumyaîvong 5’, 32a.

«mais ph; glandas uô’ (êxoïdzn 6è «591.5149541;

digessit Hultachiua, quem secnti aumus, niai quad 6’ lin. 1-5suc loco reposnimns (cfr. III p. 1170).

FRAGMENTA. . 46315106 31’ 7611101511 511010560111, 1511 6150 (3101007va11005,

1000: 6è 1907011101015), 101.5119609 6è 5100 15”!) 10610

715111161001. à: 1013 mîfiov 15001100511119 Exoîo’zng 0015-

1017 101511959 051019, 03’613 7011560001. 191’421 110151000100,

1511 16 1056011 51000159011 10511 521090311 601110060611

361011 61111001000.

a . êuua0uxo60îs69o11 (scil. 16 119051011) 7151111621001. in

1017 156600956ua06æcas’69011 1017 us90ex0105’110v 15116

n’ 190706116111 100:0 5’ 15190076116111, 15101010151139

5500061119 0015105 11.181196; 60’100 100:1 6060 10511 10101511

ëufiallom’vœv 611010560711 and

Originem huius frâgmenti Archimedeam agnouitHultschius III p. 1241.

Bine satis adparet, Heronem definit. 101 p. 29 3male narr’are: 149111066179 6è 19063000665300: 32.00 (31.039?)

91176111 51595611868000 611511105141 6111102000110! Éyyçatpfivm 11?

6910015900 019061019le 611105 105160 10000911105100 115’115. non

octo, sed tredecim noua, polyedra Platonicis quinqueadiecit Archimedes, quae omnia, ut illa quinqua, sphae-rae inscribi possunt.

Ad hune librum Archimedis spectare puto Simpli- 4cium in Aristot. 1V p. 494 a. (ed. Berol.): 15100106117 6è11511 du?) 1013 00151015 311?, 1è 001316, 101115610 10311 61150000

38905101160511 10 11001, 690Çovo’nî11 60006105650111, ë11 M11 0’110-

118’6009 1’) 101110101015, 311 6è 61595005 1’] dtpa090mi, 61610

615650101000 aux), 1096 14906101151011; pèv 1103111019, 551059

vmîrôg 059 65680914141191 60710é19111a0, and 1100960 319x0-

101560119 10002 1000902 2111106113901) 21100115159011, 6’10 10511

476011590400’190111 6111100210111 1101114019121615969 561011 311 00è11

100g 31101156009 ô 1115x109, ë11 6è 1009 615950175 1’? 692aï900.

-1) His uel-bis scholiastes expleuerat lacunam p. 460 net. 1.

5

6

7

464 FRAGMENTA.Eadem fare habet Proclus in Timaeum p. 384:

todoürov ô) 5mm; ifizoçme’ov, (in raïa! laomlaæfvpmv 1:5

aux! taoymvùrw and [671v 1594451901; ëzôwaw zô uolu-yœvônçov 515th àxoôetëamsç 19:51:01: and 16v 4215241011

E5655 pstëova 01’: 1031! (3601115159001: and [doyœvtnw, lao-

nsçma’tpœu ôé, ôauwûm aux! tînt dtpatpuv 145v l’ami

ézupdwmv ëxôwœv 6178951511 caméra"; ëxopévœg pal-

Ëovu ml ôaaœagôwœg n51; «qui 1111021501114, layom’vœv

n°10569071: (figulaüçœv nui 3607671160111, tu? ph: zoni-

pwoa rots arapà 195 Eôxlelôy 65485561., tu? 6è rots21:42:96; 155 ’Açpy’rîôu.

fieri tamen potest, ut bis .duobus lacis (4-5) tan-tum ad dimensionem circuli et librum I de sphaera.et cylindro respicitur.

Appendix liblri II de sphaera et cylindro.Archimedes uol. I p. 214, de sph. et cyl. Il, 4 so-

lutionem problematis: 6150 ôoôswa’îv E’ÜB’ELÔ’V 14511 AB,

BZ and ômlœdlag 056779 tifs dB zfig BZ nul anusiovênl rfig BZ 1:05 (9 1:59st zip: 4B zonât 16 X andamen, 1:59 zô àatô Bd nçôg tô 021d) AX, tin! XZnçôg Zâ et uniuersalis et specialis daturum se pro-mittit (p. 214, 25), sed solutio intercidit. postea ueroEutocius eam inuenit et suis uerbis proposuit Comm.ad librum de sph. et cyl. Il, 4. cfr. Zeitschr. f. Math,hist. Abth. XXV p. 51 not.

1491m1

Archimedes www. I, 7 (uol. Il p. 246): and 05.1009 rwàg ôeoxflfiasw 115v à! ’Aozatg ràv uatovoua-

FRAGMENTA. 4652355111 5161115011 61596011161110; 505 nÂfiôu 1’011 691.1911611

1:05 111021111011. cfr. I, 3 p. 242: 10311 ûq)’ 02110311 uar-mvoyadue’vwv 0291811611 11011511656011.5110311 5’11 1:0 Es «:011

251551711100 75719001550019. summam huius librihabemus 11101511.. III, 1-4 p. 266 sq. (HI, 1 p. 266,12: 195 [35131593 11,5 7501?. Zsüâumov 71579005551192).

’Eç0661011.

Suidas s. u. (950666103 p. 495, 1 ed. Bekker: (950-8666Log 1121166qu051 551901105 . . 15756451117110: 56g 16 14911.-

4511’60113 ’Eq9661011. ’

17591 E0760.Pappus VIH, 24 p. 1068: 1229156551617 yàg 5’11 5939

715591 Ëvytrîv ’Agzmfiôovg x01 raïs (15510111094011

"Tlpmvog 11121040101012, 31:1 05 1551201159 1113x101. nuncupa-

roôaw 10311 5101666110311 21153110111, 5m11 me). 10 «131015511119011 1°] 111511619 016111511 911511121011.

Pappus VIH, 19 p. 1060: tfig aôrfig 65’ 561w 350371091’019 1:0 600511 605909 117 606511611 61111051151. m-

111fi6a1’ 11061:0 yàg 29751151560115: (5511 56911110; 157151011

15111011111611, Ëtp’ 05 15751:0". 5i913x5’11m’ 663 1105, Q1361,

21:05 0595, ml m1105 11111 711711. cfr. Quaest. Arch. p. 10

not. 6.Archimedes 5mn. 66009. I, 4 p. 148: 6’11. 71020 56111111

5’71). zâç AB, n906565iu1rou. cfr. I, 13 p. 182, 3; Il, 2

p. 194, 6; Il, 5 p. 204, 10.Archimedes 15179017. 710490613. 6 p.306, 23: 5310161011 71619 12

nfiv 31950015511000, 55; 06 60441155011 ne; 11015016101617, 155’055,

1561:5 11011:6: 1102055011 J050 16 1:5 6011.55î011 1017 1195110165017

Archimedei, et]. Heiberg. Il. 30

466 FRAGMENTA.and 10 1151119011 1013 fioi9509 1017 11950010511011. 656511111011

0019 and 101310.

In hoc libro sine dubio definitionem centri graui-tatis dederat, quae in libris de planorum aequilibriisdesideratur.

K011o:1191110î.

13 Theon in Ptolemaei 60111. I p. 10 ed. Basil.: 1101110511 (in? 011’11fi9 (mis 51115039) 511:2 1011 025’901 11906111111011-

61511 021115110111 111026111 15710050006050 11011 051201101 1101.011-

61511 11111 11909 11,7] 311151 00111110111, 1101661 11011 34141.01?-

6nç 511 10179 1159i 10110111901150 61065111015010011161511, 0’10 [11010021159]l) 11011 101 559 56009 506011-

16051101 051’Ç0001 97015051011, 110115601 x0210) 1009517,

055:01101. et paullo infra: and 11501026001600 5111 161A, B, 059 EÜA, EKB, 1101601 11011149100116119 511 1017971592 10100119111050, 059 501110511.

14 Olympiodorus in Aristotelis Meteorolog. II p. 94ed. Ideler: 017.1019 15 91011 24910096129 011510 1013106515111106011, 0’10 111102101515 51009, 511 1017 60111111115011

1013 511 02713151501 13011100511011.

15 Georgius Ualla. de expetendis et fugiendis rebusXV. 2’): Sane Archimedes inquit, quod f angulusipsi e aut aequalis est aut miner aut maior. sit sane

1) Delendum puto.2) Hunc uirum codices Graecos habuisse, qui nunc uel la.-

teant uel interciderint, breui spero, me pluribus demonstratu-tum. quamquam hoc fragmentum ita. mutilum est ac deprarnatum, ut neque sententia constat neque dignoscatur, quan-tum eius Archimedi tribuendum ait, tamen reiiciendum nonexistimaui. non dubito, quin Graece inueniri posait in aliquo co-dice catoptricorum Euclidia scholiis instructo.

FRAGMENTA. , 467prius maior f quam e. ponatur itaque oculus d, et

a a ab oculo rursus refringatur in remuisam b. erit igitur e angulus ma-

n à ,1 m ior quam fi atqui erat minor, quod5 plane absurdum est, uel quod cern-

a! 5 tbides angulus omni angulo minor,uel si a. centre iungamus, ad contact-uni, totus quiest sub kl, aequalis erit qui semicirculi ei qui estsemicirculi aequalis superimpositus et ei accommoda.-tus. reliquus igitur h ipsi l aequalis. sumpto e nonamplius spectatur spectatum, quod plane extrorsusspectatur d. censetur uero spectari incoincidentia. ipsoe sumpto non amplius spectatur spectatum, quod est d,quod certespectatur in loco e regione posito ipsius b.apparens autem in coincidentia.

Apuleius Apolog. 16: alia praeterea. eius modi plu- 16rima (se. de speculis), quae tractai: ingenti uolumineArchimedes Syracusanus. cfr. Tzetzes Chiliad. XII, 973:11011671190111 10:9 5202111519 (inter scripta Archimedis re-

latum).

H591 60101901101509.

Carpus apud Pappum VH1, 3 p. 1026: Koi91109 651771015 91116111 ô 341111015139 14911011617 1011 21190111661011 511

061100 [31611500.6011151017550011 01710111111011 10 1101101 11111

607œ19011011fœ11, 10311 65 ânon 0136511 11910211511011 600-

1025010. cfr. Proclus in Eucl. p. 41, 16: 1’] 60111190-1100501 1101101 050116111 10311 0139011115010 1159101090511, oî’010

au! 1497510116119 5119000015156010. hue refero Ma.-crobii locum in Somn. Scipion. II, 3: et Archimedesquidem stadioruin numerum deprehendisse se credidit,

30*

468 FRAGMENTA.quibus a. terrae superficie luna distaret et a luna Mer-curius, a Mercurio Venus, sol a. Venere, Mars a sole,a. Marte Iupiter, Saturnus a loue; sed et a Saturniorbe usque ad ipsum stelliferum caelum omne spa-tium se ratione emensum putanit. quae tamen Archi-medis dimepsio a. Platonicis repudiata est quasi duplaet tripla. interualla. non seruans.

De anni magnitudine.18 Hipparchus apud Ptolemaeum 6111117. I p. 153 ed.

Halma: En [LEV 05v 101510211 1151: rnpfiasœv 6131011, ("inpuma! navroînaaw ysyo’vaaw ou" 1.1511 ëvmvraî’u âm-

(papou? 02123 éd, ph; :1512 190715031; 013x &zEÂm’Çœ and

limâç ml 1611 ’Agflpfiôn aux! à! zfi 11391km ml à! 193

duMoywyçï ôtapœçtoîvew ml ê’œg 1517059101) 41.59on

flys’gdg. cfr. Ammianus Marcellinus XXVI,’1, 8: spa-

tium anni uertentis id esse periti mundani motus etsiderum definiunt ueteres, inter quas Meton et Eucte-mon et Hipparchus et Archimedes excellunt, cumsol perenni remm sublimium lege polo percutso signi-fero, quem Zodiacum sermo Graecus adpellat, trecen-tis et sexaginta quinqua diebus emensis et nocfibusad eundem redierit cardinem. s

notes du mont royal ← · 2017-11-29 · notes du mont royal cette œuvre est hébergée sur «no...

Documents