notes de cours théorème d'ampère - flux magnétique5 action d'un champ magnétique sur...

UNIVERSITÉ SULTAN MOULAY SLIMANEFaculté Polydisciplinaire

Béni Mellal

Notes de CoursÉlectromagnétisme dans le vide

Théorème d'Ampère - Flux magnétique

Filières : SMP, SMC, SMA, SMI (S3)

Élaboré par:Pr Elmostafa ATIFY

Département de PhysiqueFP Béni Mellal

Théorème d'Ampère

Outline

1 Théorème d'AmpèreThéorèmeExempleÉquation de Maxwell-Ampère

2 Flux magnétiqueÉquation de Maxwell-�uxExemple

3 Relations de passage du champ magnétiquePosition du problèmeContinuité de la composante normaleDiscontinuité de la composante tangentielle

4 Le potentiel vecteurDé�nitionÉquation de poisson-Jauge de CoulombAnalogie magnétostatique électrostatique

5 Action d'un champ magnétique sur un circuit fermé

E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide November 30, 2019 2 / 33

Théorème d'Ampère Théorème

Théorème d'Ampère

Énoncé du théorème d'Ampère

La circulation du champ magnétique le long d'un contour fermé orienté , C, est égale au produitde µ0 et Ienlacé. On écrit : ∮

C

−→B (P)

−→dl(P) =µ0Ienlacé (1)

Ienlacé est l'intensité des courants qui traversent une surface ouverte quelconque qui s'appuiesur le contour C


Théorème d'Ampère Théorème

Expression de Ienlacé

Example

n

MI1

I2I3

I4P

dl

On oriente un élément de la surface ouverte,−→dS, selon la règle de tir-bouchon à partir de

l'orientation de C. Soit −→n le vecteur unitaire normal en−→dS.

Si le courent traverse le surface ouverte dans le sens de −→n il est compté positif, dans le cascontraire il est compté négatif.

Ienlacé =−I2 − I3 + I3 + I4 = I4 − I2 (2)

Si la distribution de courant est volumique alors :

Ienlacé =Ï

S

−→j (M).

−→dS(M) (3)

(S) la surface ouverte qui s'appuie sur le contour C.E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide November 30, 2019 4 / 33

Théorème d'Ampère Exemple

Exemple d'application du théorème d'Ampère : méthode

Example (méthode)

En utilisant les symétries et invariances pour déterminer la structure du champ magnétique.Dans ce cas −→

B (M) = Bθ(r)−→e θ (4)

On choisi le conteur C de tel sorte à calculer facilement l'intégrale∮C

−→B (M)

−→dl(M) (5)

un élément du contour C en M doit être parallèle ou perpendiculaire à−→B (M).−→

B (M) doit être constant sur le contour, si−→B (M).

−→dl(M) est non nul.

On oriente conventionnellement le contour pour orienté les éléments de surface quis'appuient sur le contour.



Exemple d'application du théorème d'Ampère

Example

On considère un �l in�ni parcouru par un courant stationnaire I. On cherche à calculer le champmagnétique en un point quelconque de l'espace.

C

I

er

e0

(S)

n

ez

r

x

y

ere0

C

r0

Symétries et invariances −→B (M) = Bθ(r)−→e θ (6)

Choix du contour : C est un cercle de centre O point de l'axe Oz et de rayon r distance entrele point d'étude M dans le plan (M ,−→e r ,−→e θ).



Exemple d'application du théorème d'Ampère

Example

Selon l'orientation choisi de C, la surface est orienté du bas vers le haut.

le sens de I est du bas vers le haut il est compté positif.

d'après le théorème d'Ampère : ∮C−→B (M)

−→dl(M) = µ0Ienlacé∮

C Bθ(r)−→e θ .rdθ−→e θ = µ0I

rBθ(r)∫ 2π

0 dθ = µ0I2πrBθ(r) = µ0I

(7)

d'où :

Bθ(r) = µ0I

2πr(8)

Expression vectorielle :

∀M ,−→B (M) = µ0I

2πr−→e θ (9)


Théorème d'Ampère Équation de Maxwell-Ampère

Équation de Maxwell-Ampère

Selon le théorème d'Ampère :∮C

−→B (P)

−→dl(P) =µ0Ienlacé =µ0

ÏS

−→j (M).

−→dS(M) (10)

Selon le théorème de Stockes :∮C

−→B (P)

−→dl(P) =

ÏS

−→rot

−→B (M).

−→dS(M) (11)

On en déduit que : ÏS

−→rot

−→B (M).

−→dS(M) =µ0Ienlacé =µ0

ÏS

−→j (M).

−→dS(M) (12)

D'où l'équation de Maxwell-Ampère :

−→rot

−→B (M) =µ0

−→j (M) (13)


Flux magnétique

Outline







Flux magnétique Équation de Maxwell-�ux

Équation de Maxwell-�ux ou Maxwell-Thomson et conservation du �ux

Équation de Maxwell-�ux

On postule quediv

−→B (M) = 0 (14)

D'après le théorème de Green-Ostrogradski :Ñ(V )

div−→W (M)dτ(M) =

Ó(S)

−→W (M).

−→dS(M) (15)

Où (S) est une surface férmée qui engendre le volume (V)Cas du champ magnétique : Ñ

(V )div

−→B (M)dτ=

Ó(S)

−→B (M).

−→dS(M) = 0 (16)

(S) est la surface fermée qui engendre le volume (V).

n1

P

dl

n2

n2e

(S1)

(S2)


Flux magnétique Équation de Maxwell-�ux

Équation de Maxwell-�ux ou Maxwell-Thomson et conservation du �ux

Expression du �ux magnétique à travers (S1) (Orientée par la règle de tir-bouchon):

Φ1 =Ï

(S1)

−→B (M).

−→dS(M) =

Ï(S1)

−→B (M).dS(M)−→n 1(M) (17)

Expression du �ux magnétique à travers (S1) :

Φ2 =Ï

(S2)

−→B (M).

−→dS(M) =

Ï(S2)

−→B (M).dS(M)−→n 2(M) (18)

Flux à travers une surface fermée :Ó(Σ)

−→B (M).

−→dS(M) = 0 =

Ï(S1)

−→B (M).dS(M)−→n 1(M)+

Ï(S2)

−→B (M).dS(M)−→n 2e(M) (19)

Ó(Σ)

−→B (M).

−→dS(M) =

Ï(S1)

−→B (M).dS(M)−→n 1(M)+

Ï(S2)

−→B (M).dS(M)(−−→n 2)(M) = 0 =Φ1 −Φ2 (20)

Conservation du �ux

Φ1 =Φ2 (21)


Flux magnétique Exemple

Flux propre d'un solénoïde

Example

On considère un solénoïde, constitué de N spires circulaire jointives, de longueur l et de rayon R,

parcouru par un courant stationnaire I. On note par n = N

lle nombre de spire par unité de

longueur. L' axe de révolution du solénoïde est l'axe Oz.

l >> R

ez

NordSudI I I

Le solénoïde est supposé in�ni càd l >> R autrement 100 R ≤ l

Le champ magnétique en un point M de son axe est (Calcul direct):

−→B (M) =µ0

N

lI−→e z =µ0nI−→e z (22)

À partir du théorème d'Ampère on montre que le champ magnétique en tous point M :à l'intérieur du solénoïde : −→

B (M) =µ0nI−→e z (23)

à l'extérieur du solénoïde : −→B (M) =−→

0 (24)




Example

l >> R

ez

NordSudI I I

Le �ux de champ magnétique propre à travers une spire est :

ϕp =Ï

S

−→B (M).dS−→n (25)

−→n oriente la surface à partir de l'orientation du contour. On prend comme orientation ducontour sur la spire le sens du courant I.

−→n =−→e z (26)

on en déduit que :

ϕp =Ï

S

−→B (M).dS−→e z =

ÏSµ0nI−→e z .dS−→e z =µ0nIS (27)

S est la surface de la spire S =πR2




Example

Le �ux de champ magnétique propre à travers une spire :

ϕp =µ0nIπR2 =µ0N

lIπR2 (28)

Le �ux de champ magnétique propre du solénoïde

φp = Nϕp =µ0N2

lIπR2 = L I (29)

Inductance propre du solénoïde L

L =µ0N2

lπR2 > 0; Son unité dans S.I : Henry (H) (30)


Relations de passage du champ magnétique

Outline







Relations de passage du champ magnétique Position du problème

Relations de passage du champ magnétique

On considère une surface plane (Σ), plan (Oxy), qui sépare deux milieux (1) et (2). La surface estparcouru par un courant de densité surfacique

−→j s(M) en un point M de la distribution de courant

(nappe de courant).

nappe de courant

Milieu (1)

Milieu (2)

M1

M2

M

dS2

dS1

ex

eyez

dz

dSL

Soient M1 et M2 deux points très voisins de M de part et d'autre de la nappe de courant.

La surface du petit cylindre (dS) est :

(dS) = (dS1)∪ (dS2)∪ (dSL) surface fermée (31)

Le �ux magnétique à travers (dS). Soit dΦdS(−→B ) :

dΦdS(−→B ) = 0 = dΦdS1

(−→B )+dΦdS2

(−→B )+dΦdSL

(−→B )

= −→B (M1)dS1(−−→e z)+−→

B (M2)dS2−→e z +−→

B (ML)−→dSL

(32)


Relations de passage du champ magnétique Continuité de la composante normale

Relations de passage du champ magnétique : composante normale

nappe de courant

Milieu (1)

Milieu (2)

M1

M2

M

dS2

dS1

ex

eyez

dz

dSL

Flux de la surface latérale :

dΦdSL(−→B ) =−→

B (ML)−→dSL =−→

B (ML)2πrdz−→n L (33)−→n L vecteur unitaire normal sortant de dSL.sachant que dz −→ 0 alors

dΦdSL(−→B ) −→ 0 (34)

d'où : −→B (M1)dS1(−−→e z)+−→

B (M2)dS2−→e z =−Bz(M1)dS1 +Bz(M2)dS2 = 0 (35)

puisque dS1 = dS2 = dS, on en déduit :

Bz(M1) = Bz(M2) = Bz(M) (36)

Continuité de la composante normale

La composante normale du champ magnétique est toujours continue à la traversé d'une nappe decourant :

−→B (M1).−→n =−→

B (M2).−→n , avec −→n le vecteur normale à la nappe de courant en M.E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide November 30, 2019 17 / 33

Relations de passage du champ magnétique Discontinuité de la composante tangentielle

Relations de passage du champ magnétique : composante tangentielle

nappe de courant

Milieu (1)

Milieu (2)

ex

eyez

AB

C D

js

js(M)

dz M

M2

M1

dl

Sachant que dl >> dzLa circulation du champ magnétique le long du contour fermée (ABCDA) :

dCfermé = dCAB +dCBC +dCCD +dCDA

= −→B (M2).

−→AB+−→

B (M).−→BC +−→

B (M1).−→CD+−→

B (M ′).−→DA

= −Bx(M2)dx−Bz(M)dz+Bx(M1)dx+Bz(M ′)dz(37)

Sachant que dz −→ 0, donc :

dCfermé = −Bx(M2)dx+Bx(M1)dx (38)




nappe de courant

Milieu (1)

Milieu (2)

ex

eyez

AB

C D

js

js(M)

dz M

M2

M1

dl

Le courant dIenlacé:Selon l'orientation choisi du contour (ABCDA) le vecteur unitaire −→n =−−→e yle courant enlacé par le contour est :

dIenlacé = −→j s(M).−→n dl

= −−→j s(M).−→e y dx= −js,y dx

(39)




D'après le théorème d'Ampère on en déduit :

−Bx(M2)dx+Bx(M1)dx = µ0dIenlacé= −µ0js,ydx

(40)

d'où :−Bx(M2)+Bx(M1) = −µ0js,yBx(M2)−Bx(M1) = µ0js,y

(41)

Discontinuité de Bx

La composante tangentielle de−→B suivant −→e x est discontinue à la traversé de la nappe de courant

dans le plan (Oxy).Bx(M2)−Bx(M1) =µ0js,y (42)

De même on montre une discontinuité de la composante suivant −→e y

Discontinuité de By

La composante tangentielle de−→B suivant −→e y est discontinue à la traversé de la nappe de courant

dans le plan (Oxy).By(M2)−By(M1) =−µ0js,x (43)



Discontinuité de la composante tangentielle : généralisation

Sachant que la composante normale de−→B est continue Bz(M2) = Bz(M1) :

−→B (M2)−−→

B (M1) = (Bx(M2)−Bx(M1))−→e x +(By(M2)−By(M1)

)−→e y +=0︷︸︸︷

(Bz(M2)−Bz(M1))−→e z= µ0js,y

−→e x −µ0js,y−→e y

= µ0−→j s ∧−→e z

= µ0−→j s ∧−→n 1−→2

(44)−→n 1−→2 est le vecteur unitaire perpendiculaire à la nappe de courant en M et de sens dumilieu (1) vers le milieu (2) :

Discontinuité de la composante tangentielle

La composante tangentielle de−→B est discontinue à la traversé de la nappe de courant dans le

plan (Oxy) tel que : −→B (M2)−−→

B (M1) =µ0−→j s ∧−→n 1−→2 (45)

−→n 1−→2: vecteur unitaire orienté du milieu (1) vers le milieu (2) perpendiculaire à la nappe decourant au point d'étude.


Le potentiel vecteur

Outline







Le potentiel vecteur Dé�nition

Dé�nition

∀ le champ de vecteur−→V on a :

div−→rot

−→V = 0 (46)

Relation de Maxwell-Flux div−→B (M) = 0

Il existe un vecteur−→A (M) tel que :

−→B (M) =−→

rot−→A (M) (47)

−→A (M) est appelé potentiel vecteur en M.Sachant que ∀ la fonction scalaire f (M):

−→rot(

−−−→gradf (M)) (48)

on en déduit que tout vecteur−→A′(M) tel que :

−→A′(M) =−→

A (M)+−−−→gradf (M) (49)

est aussi un vecteur potentiel. En e�et :

−→rot

−→A′(M) = −→

rot−→A (M)+−→

rot−−−→grad(f (M))

= −→rot

−→A (M)+−→

0

= −→B (M)

(50)

Pour le même champ magnétique il existe une in�nité de potentiel vecteur.


Le potentiel vecteur Équation de poisson-Jauge de Coulomb

Équation de poisson

Choix d'un potentiel vecteurParmi les potentiels vecteurs on choisi celui qui véri�é

div−→A (M) = 0 (51)

Cette condition est appelé jauge de Coulomb.Équation de poisson

Sachant que : −→rot

−→rot(

−→A (M)) = −−−→

grad div−→A (M)−∆−→A (M)

−→rot

−→B (M) = −−−→

grad div−→A (M)−∆−→A (M)

µ0−→j (M) = −∆−→A (M) (div

−→A (M) = 0)

(52)

À partir de la jauge de Coulomb div−→A (M) = 0, on en déduit l'équation de Poisson pour le

potentiel vecteur :

Équation de Poisson

∆−→A (M)+µ0

−→j (M) =−→

0 (53)

Équation de Laplace

En dehors de la distribution de courant−→j (M) =−→

0 . L'équation précédente devient :

∆−→A (M) =−→

0 (54)


Le potentiel vecteur Analogie magnétostatique électrostatique

Analogie

Projection de l'équation de Poisson sur −→e x

∆Ax(M)+µ0jx(M) = 0 (55)

L'équation de Poisson en électrostatique:

∆V (M)+ ρ(M)

ε0= 0 (56)

Analogie électrostatique magnétostatique

Analogie entre grandeur :Ax ←→ Vjx ←→ ρ

µ0 ←→ 1

ε0

(57)

Pour un distribution de charge �ni (limité dans l'espace V (∞) = 0), le potentiel s'écrit sous laforme :

V (M) = 1

4πε0

Ñ(D)

ρ(P)dτ(P)

PM(58)

De même pour un distribution de courant �ni (−→A (∞) =−→

0 ), le potentiel vecteur s'écrit sous laforme :

Ax(M) = µ0

4π

Ñ(D)

jx(P)dτ(P)

PM(59)



Expression du potentiel vecteur

D'une manière générale

Pour distribution volumique de courant :

−→A (M) = µ0

4π

Ñ(D)

−→j (P)dτ(P)

PM(60)

Pour distribution surfacique de courant :

−→A (M) = µ0

4π

Ï(D)

−→j s(P)dS(P)

PM(61)



Les symétries du potentiel vecteur

Le potentiel vecteur est un vrai vecteurSymétrie identique au champ électrostatique.M ∈ΠS =⇒ −→

A (M) ∈ΠS

M ∈ΠAs =⇒ −→A (M) ⊥ΠAs

M ′ = SymΠS (M) =⇒ −→A (M ′) = SymΠS (

−→A (M))

M ′ = SymΠAs(M) =⇒ −→A (M ′) =−SymΠS (

−→A (M))

Remarque : Formule de Kelvin

Soit U(M) un champ de scalaire, (C) un contour fermé et (S) une surface quelconque qui s'appuiesur le contour fermé (C) : ∮

(C)U(M)

−→dl(M) =

Ï(S)

−→dS(M)∧−−−→

grad(U(M)) (62)

Example

Si U(M) = 1 l'équation (62) devient :∮(C)

−→dl(M) =

Ï(S)

−→dS(M)∧−−−→

grad(1) =−→0 (63)

Autrement : ∮(C)

−→dl(M) =−→

0 (64)



Application:

Calcul du potentiel vecteur d'une spire circulaire parcouru par un courant stationnaire I:

Sachant que :

−→A (M) = µ0

4π

∮(C)

I−→dl(P)

PM(65)

PM est indépendante de−→dl(P)

L'équation (65) devient:−→A (M) = µ0

4π

I

PM

∮(C)

−→dl(P) =−→

0 (66)


Action d'un champ magnétique sur un circuit fermé

Outline








Résultante des forces

Soit un circuit �liforme parcouru par un courant stationnaire I dans un champ magnétiqueuniforme extérieur

−→B e :

n1(M)

P

dl

(S)

(C)

La force de Laplace exercé sur le contour fermé (C) est :−→F L = ∮

(C) I−→dl(P)∧−→

B e

= I(∮

(C)−→dl(P)

)∧−→

B e

= −→0

(67)

La résultante des forces exercées sur un �l �liforme fermé est nulle.

Remarque

L'action du champ magnétique sur un �l �liforme fermé parcouru par un courant stationnaire seréduit à un couple.



Calcul du moment du couple

On note par−→Γ le moment du couple exercé sur le contour (C) dans le champ magnétique

uniforme−→B e.−→

Γ est indépendant du point par rapport auquel on le calcul :−→Γ = ∮

(C)−→OP∧d

−→F L

= ∮(C)

−→OP∧

(I−→dl(P)∧−→

B e

)= I

[∮(C)

−→dl(P)

(−→OP.

−→B e

)−∮

(C)−→B e

(−→OP.

−→dl(P)

)] (68)

Puisque−→dl(P) = d

−→OP alors : ∮

(C)

(−→OP.

−→dl(P)

)= ∮

(C)

(−→OP.d

−→OP

)= ∮

(C) d

(−→OP2

2

)

=[−→

OP2

2

]Pf =Pi

Pi= 0

(69)

D'où : −→Γ = I

∮(C)

−→dl(P)

(−→OP.

−→B e

)= I

∮(C)

(−→OP.

−→B e

)−→dl(P)

= IÎ

(S)−→dS(P)∧−−−→

grad(−→OP.

−→B e

)Théorème du gradient ou de Kelvin

(70)



Calcul du moment du couple

Expression de−−−→grad

(−→OP.

−→B e

)Sachant que : −→

B e = Bex−→e x +Bey

−→e y +Bez−→e z−→

OP = x−→e x +y−→e y +z−→e z

f (x,y,z) =(−→OP.

−→B e

)= Bex x+Bey y+Bez z

(71)

On en déduit que :

−−−→grad

(−→OP.

−→B e

)= −−−→

grad(f (x,y,z)

)= ∂f (x,y,z)

∂x

)y,z

−→e x + ∂f (x,y,z)

∂y

)x,z

−→e y + ∂f (x,y,z)

∂z

)x,y

−→e z

= Bex−→e x +Bey

−→e y +Bez−→e z

= −→B e

(72)

L'équation (70) devient−→Γ = I

Ï(S)

−→dS(P)︸︷︷︸

−→m

∧−→B e

= −→m∧−→B e

(73)

−→m = IÎ

(S)−→dS(P) : est appelé moment magnétique du circuit �liforme fermé (C), avec (S) une

qurface quelconque qui s'appuie sur (C).



Action d'un champ magnétique uniforme sur un circuit fermé

Conclusion

Action d'un champ magnétique uniforme extérieur−→B e sur un circuit fermé de moment

magnétique −→m se réduit à un couple :

La résultante−→F L = −→

0

Le moment du couple−→Γ = −→m∧−→

B e(74)

Le mouvement d'un circuit fermé dans un champ magnétique uniforme est une rotation pure.


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