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MECA 1901

Mecanique des milieux continus

-Notes de cours

Professeur Francois Dupret

Septembre 2008

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Transparents

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Chapitre 1

Introduction, concepts de

base, calcul tensoriel

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Espace-temps en physique classique

Lespace-temps est continu

Lensemble des evenements couples (lieu, instant) forme uncontinuum

Lespace-temps est homogene, stationnaire et isotrope

Les proprietes intrinsequesde lespace-temps sont independantes dulieu, de linstant et de lorientation suivant lesquels les experiences

sont effectuees

La simultaneite est independante de lobservateur

On peut identifier un temps universel (a son origine et son echellepres)

A chaque instant, lespace est euclidien

La geometrie classique (caracterisee par des proprietes des distances

et des angles, ainsi que par les concepts de droites, plans, cercles,spheres...) est en application

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Reperes

Les evenements sont designes(reperes)par 3 coordonnees et untemps

Les coordonnees peuvent etre cartesiennes(le plus souvent orthonor-mees) ou curvilignes (le plus souvent cylindriques ou spheriques)

Le temps est determine par le choix dune origine et dune echelle

Un repere orthonorme est caracterise par une origine (par ex. O) et 3vecteurs de base orthonormes (par ex. ei)

Les coordonnees xi dun point Psont telles que

OP =x = xiei (sommation sur i muet)

Orthonormalite :ei ej =ij (i, j libres)

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Coordonnees cylindriques

Definition

A partir dun repere cartesien orthonorme, les coordonnees cylin-driques dun point P sont

r= (x21+x22)

1/2

= arctanx2

x1

z= x3

(r 0, < )

avec

x1= r cos

x2= r sin

x3= z

Proprietes

Pour chaque coordonnee, il y a une et une seule surface de coordonnee

qui passe par P :

r = Cste : cylindre circulaire daxeOx3 = Cste : demi-plan issu de Ox3z = Cste : plan perpendiculaire a Ox3

(les surfaces de coordonnees sont orthogonales en P)

En tout point P, on peut construire la base locale orthonormee

(er, e, ez)

NB : OP =r er+z ez

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Coordonnees spheriques

Definition

A partir dun repere cartesien orthonorme, les coordonnees spheriquesdun point P sont

r= (x21+x22+x

23)

1/2

= arctan(x21+x

22)

x3

1/2

= arctanx2

x1

(r 0, 0 , < )

avec

x1= r sin cos

x2= r sin sin

x3= r cos

Proprietes

Pour chaque coordonnee, il y a une et une seule surface de coordonneequi passe par P :

r = Cste : sphere de centreO = Cste : cone (a une nappe) de sommet O et daxe Ox3 = Cste : demi-plan issu deOx3

(les surfaces de coordonnees sont orthogonales en P)

En tout point P, on peut construire la base locale orthonormee

(er, e, e)

NB : OP =r er

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Changements de reperes

Soient deux reperes cartesiens orthonormes (O, ei) et (O, ei)

On definitaij = cos(e

i, ej) =e

i ej

La matrice A = [aij] est orthogonale :

aikajk = akiakj =ij

On a les relations reciproques

ei= aijej

etei= ajie

j

On definit bi tel que OO =biei

Changement de coordonnees cartesiennes

Pour un point P, de coordonnees (xi) ou (x

i), on prouve que

xi= aij(xj bj)

et reciproquement, que

xi= aji x

j+ bi

Extension par composition de fonctions aux changements de coor-donnees quelconques (cartesiennes ou curvilignes)

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La matiere en Mecanique des Milieux

Continus

Dans tout corps (partie de la matiere), les proprietes physiquessont continues, excepte sur certaines surfaces (lignes, points) dediscontinuite

Exemples de surfaces de discontinuite :

onde de choc

front de solidification

interface entre deux materiaux differents

N.B. : La derivee partielle temporelle ( t ) et le gradient ( xi

) dunepropriete physique sont des proprietes physiques

Justification de lhypothese de continuite au regard de la nature(moleculaire, atomique, particulaire, quantique. . .) de la matiere

Concept de volume representatif :

tres petit par rapport aux dimensions caracteristiques du pheno-mene observe

tres grand par rapport aux dimensions caracteristiques de la struc-ture fine de la matiere (distances intermoleculaires, libre parcoursmoyen, ou diametre des grains. . .), de sorte quil contient beau-coup de molecules ou grains. . .

A partir de grandeurs extensives, les grandeurs physiquesmacrosco-piquesde base sont definies en un point P par leursmoyennesprises

sur un volume repesentatifVrepr

entourant P

De par leur construction, les champs ainsi obtenus sont supposessatisfaire lhypothese de continuite

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Exemples

Masse specifique

= (e)(xi, t) =Mrepr(t)

Vrepr

ou

Mrepr(t) est la masse de matiere occupant le volume representatifau temps t (grandeur extensive)

Vrepr en est le volume

Vitesse

vi= (e)(xj, t) v(e)i (xj, t) = P

repr

i (t)Vrepr

ou Prepri (t) est la composante suivanteide la quantite de mouvementdu volume representatif au temps t (grandeur extensive). De la,

vi= vi

Extension

En repetant lexperience macroscopique consideree et en faisant la

moyenne statistique (moyenne densemble) des resultats obtenus,on peut travailler avec des volumes representatifs aussi petits quelon veut

AlorsMrepr(t) = M(exp)(t)

Prepri (t) = P(exp)i (t)

ou M(exp) et P(exp)i sont les mesures associees aux differentes experiences

et designe leur moyenne densemble

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Scalaires

Definition

Pour un systeme dunites choisi, un champ scalaire (ou tenseur dor-dre 0) est une grandeur physique representee dans un certain repereparunefonction de la position (c.-a-d. des coordonnees) et du temps

Exemple : la masse specifique

= (e)(xi, t)

Autres exemples :

T (temperature absolue)

p (pression)

r (densite de puissance calorifique fournie a distance par rayon-nement)

U (energie interne specifique, c.-a-d. energie calorifique et de liai-son moleculaire par unite de masse)

S(entropie specifique)

Grandeurs scalaires extensives pour un volume V, au temps t

M(t) =

V

(e)(xi, t) dV (masse)

U(t) =

V

(e)(xi, t) U(e)(xi, t) dV (energie interne)

S(t) =V

(e)

(xi, t) S(e)

(xi, t) dV (entropie)

Qd(t) =

V

r(e)(xi, t) dV (puissance calorifique fournie par rayonnement)

K(t) =

V

1

2(e)(xj, t) (v

(e)i (xj, t))

2 dV (energie cinetique) (N.B. :i muet)

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Changements de reperes pour un champ

scalaire

Invariance

Pour tout changement entre deux reperes fixes lun par rapport alautre, la valeur dun champ scalaire (par exemple s) a un endroitet a un instant determines est invariante

Sis

= s(e)

(xi, t

) dans le repere cartesien (O, e

i)= s(e)(xi, t) dans le repere cartesien (O, ei)

alorss(e)(xj, t) = s

(e)(aji x

j+ bi, t)

s(e)(xj , t) = s(e)(aij(xj bj), t)

pourvu que aij et bi ne dependent pas de t

Meme propriete pour un changement de coordonnees quelconques(cartesiennes, curvilignes . . . )

Objectivite

Un champ scalaire pour lequel la propriete dinvariance setend auxchangements de reperes quelconques (eventuellement mobileslun parrapport a lautre) est dit objectif

Exemples : , T, p, r, U, S

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Vecteurs

Definition

Pour un systeme dunites choisi, un champ vectoriel(tenseur dordre1) est une grandeur physique representee dans un certain repere par3 fonctions de la position et du temps. Celles-ci forment les 3 com-posantes du champ vectoriel, c.-a-d. les projectionsde ce champ surles vecteurs de base (base locale, en cas de coordonnees curvilignes)

Exemple

Composantes de la vitesse :

vi= v ei= v(e)i (xj , t)

Vecteur vitesse :

v= v(e)i (xj, t) ei (i muet)

Autres exemples :

gi (force a distance par unite de masse ou specifique)

ai (acceleration)

qi (vecteur flux de chaleur)

Grandeurs vectorielles extensives pour un volumeV, au temps t

Pi(t) =

V

vidV (quantite de mouvement)

Fdi(t) = V gidV (forces a distance externes)

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vectoriel

Invariance

Pour tout changement entre deux reperes fixes lun par rapport alautre, les composantes wi dun champ vectoriel w a un endroit eta un instant determines se transformentsuivant une loi telle que cevecteur lui meme soit invariant

Si wi = w(e)i (xk, t) dans le repere cartesien (O, ei)

wi = w(e)i (x

k, t) dans le repere cartesien (O, ei)

alorsw(e)i (x

l, t) = aijw(e)j (alkx

l+bk, t)

w(e)i (xl, t) = aji w

(e)j (akl(xl bl), t)

pourvu que aij et bi ne dependent pas de t. En abrege :

wi = aijwjwi = ajiw

j

et doncw= wiei= w

ie

i

Objectivite

Un champ vectoriel pour lequel la propriete dinvariance setend auxchangements de reperes quelconques (eventuellementmobileslun parrapport a lautre) est dit objectif

Exemples de champs vectoriels objectifs : qi, gi

Exemples de champs vectoriels non objectifs : vi, ai

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Passage aux coordonnees cylindriques ou

spheriques pour un champ vectoriel

Changement de coordonnees

On utilise lexpression des (xi) en fonction de (r,,z) ou (r,,) poureffectuer le changement de coordonnees

Nouvelles composantes

Afin de tenir compte, dans le calcul des nouvelles composantes desvecteurs, de la rotation des vecteurs de base, on utilise la matrice or-thogonale descosinus directeursdes vecteurs de la base locale (notesei) par rapport a ceux de la base cartesienne ei :

A = [aij] =

ei ej

ou (ei) = (er, e, ez) ou (er, e, e)

Donc, en coordonnees cylindriques :

A = cos sin 0 sin cos 0

0 0 1

et en coordonnees spheriques :

A =

sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin

sin cos 0

Ici, A depend de la position (et donc des coordonnees)

Exemple (coordonnees cylindriques) : v

(e)r (r, , z , t)

v(e) (r, , z , t)

v(e)z (r, , z , t)

=

cos sin 0 sin cos 0

0 0 1

v

(e)1 (r cos , r sin , z , t)

v(e)2 (r cos , r sin , z , t)

v(e)3 (r cos , r sin , z , t)

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Effets agissant a la frontiere dun corps

Position du probleme

Certaines des grandeurs physiques associees a un corps quelconquesobtiennent paradditionde contributions calculees sur les differentesparties de la frontierede ce corps

Exemples :

La force de contactexercee sur un corps au temps t, de compo-santes cartesiennes Fci(t), est la somme vectorielle de toutes les

forces exercees par le reste de la matiere sur la surface de ce corps

Le flux de chaleurentrant dans un corps au temps t, note Qc(t),est la somme de tous les apports calorifiques injectes a la surfacede ce corps par unite de temps

Methode de calculEn general, de telles grandeurs se calculent a laide de leur densite(grandeur par unite daire), qui depend alors de la position et dutemps, mais aussi de lorientation de la facette consideree, mesureepar sa normaleunitaire sortante locale :

n= nkek

Densite de forces de contact(ou contrainte) :

i(n) =(e)i (xj , t , n)

(= force par unite daire exercee sur une facette de normale uni-taire sortante n)Par consequent,

Fci(t) = V

(e)i (xj , t , n) dS

Densite de flux de chaleur :

q(n) =q(e)(xi, t , n)

(= flux de chaleur par unite daire penetrant dans une facette denormale unitaire sortante n)Par consequent,

Qc(t) =

V

q(e)(xj, t , n) dS

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Linearite

Le plus souvent, on peut prouver que ces densites dependent line-airement de la normale n (cf. chapitre III). Dans un repere donne(cartesien ou curviligne), les composantes de ces densites dependentalors lineairement des composantes de n (mesurees par rapport ala base appropriee). Les coefficients de la matrice representant latransformation lineairepeuvent alors etre definis

Densite de force de contact :

(e)i (xk, t , n) =

(e)ji (xk, t) nj (j muet, i libre)

ou les

(e)

ij (xk

, t) definissent les composantes du

tenseur des contraintes

dans la base consideree.En abrege :

i(n) =jinj

Densite de flux de chaleur :

q(e)(xk, t , n) = q(e)i (xk, t) ni (i muet)

ou lesq(e)i (xk, t) definissent les composantes du vecteur densite de

flux de chaleurdans la base consideree. En abrege :

q(n) = qini

InterpretationLa composante de ei (vecteur de base orthonormee cartesienne oucurviligne locale) suivant la direction ej est ij

Ainsi,

j(ei) =kjik = ij

etijest la composante suivantejde la densite de force de contactexercee sur une facette de normale unitaire sortanteei.On a aussi

(ei) =ijej

De meme,q(ei) = qjij = qi

et qi est loppose de la densite de flux de chaleur penetrant dansune facette de normale unitaire sortante ei.

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Tenseurs

Definition

Pour un systeme dunites choisi, un champ tensoriel dordre 2est unegrandeur physique representee dans un certain repere par 9 fonctionsde la position et du temps. Au champ tensoriel est associe en chaquepoint P et a chaque instant, une transformation lineaire (locale) :

vecteur en P vecteur en P

Les 9 composantesdu champ tensoriel sont les coefficients de la ma-

trice (3 3) representant la transformation lineaire dans la baseconsideree (base localeen cas de coordonnees curvilignes)

Tenseurs de base :eiej designe le produit tensorieldeeipar ej, c.-a-d. la transformationlineaire qui applique

ej sur eiles autres ek sur 0 (vecteur nul)

La matrice de cette transformation dans la base(ek) a pour elements 1 a la ieme ligne, jeme colonne0 ailleurs

Exemple : la transformation lineaire e2e3, qui applique e3 sur e2, ete1 et e2 sur 0, a pour matrice dans la base (e1, e2, e3) :

0 0 00 0 10 0 0

Exemple

Contraintes :ij =

(e)ij (xk, t)

Tenseur des contraintes :

=

(e)ij (xk, t) eiej (i, j muets)

Interpretation

Il faut dabord noter que le tenseur des contraintes estsymetrique(cf. chapitre III) :

ij =ji

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La relation

i(n) =ijnj

indique alors que le tenseur des contraintes, en tant que transfor-mation lineaire, applique le vecteur unitaire n sur la densite deforce de contact (n) exercee sur toute facette elementaire dontn est la normale sortante en P.

Autre exemple

Vitesses (ou taux) de deformation : a partir du champ de vitessesvi, on definit en coordonnees cartesiennes orthonormees

dij =d(e)ij (xk, t) =12

vixj

+ vjxi

Tenseur des taux de deformations :

d= d

(e)ij (xk, t) eiej

Interpretation(cf. chapitre II) :

1. Dans tout repere choisi, une composante diagonalede dij, soitd11, est lallongement relatif par unite de tempsdun segmentelementaire de matiere qui, au temps t, est parallele a e1 :

d11= d(e)11(xk, t) = lim

s(t),t0

s(t+t) s(t)

s(t) t

avec s(t) = s(t) (t t t+t)

2. Dans tout repere choisi, unecomposante non diagonalede dij,soit d12, est la moitie du rapprochement angulaire par unitede temps de deux segments elementaires de matiere qui, autemps t, sont paralleles lun a e1, et lautre a e2 :

d12 = d(e)12(xk, t) = lim

t0

1

2

12(t+t)

t

Tenseurs dordre quelconqueGeneralisation immediate, par exemple en considerant recursivementqua un champ tensoriel dordre (n + 1) est associe en chaque pointP et a chaque instant une transformation lineaire (locale) :

vecteur en P tenseur dordre n en P

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tensoriel

Invariance

Pour tout changement entre deux reperes fixes lun par rapport alautre, les composantes Tij dun champ tensoriel

T a un endroit et

a un instant determines se transformentsuivant une loi telle que cetenseur lui-meme, en tant que transformation lineaire, soit invariant

Si

Tij = T(e)ij (xm, t) dans le repere cartesien (O, ei)

Tij = T(e)ij (x

m, t) dans le repere cartesien (O, ei)

alorsT(e)ij (x

n, t) = aikajlT(e)kl (anmx

n+bm, t)

T(e)ij (xn, t) = akialjT

(e)kl (amn(xn bn), t)

pourvu que aij et bi ne dependent pas de t. En abrege :

Tij = aikajl Tkl

Tij = akialjT

kl

et donc

T =Tijeiej =T

ije

ie

j

Objectivite

Un champ tensoriel pour lequel la propriete dinvariance setend auxchangements de reperes quelconques (eventuellement mobileslun parrapport a lautre) est dit objectif

Exemples de champs tensoriels objectifs : ij, dij

Exemples de champs tensoriels non objectifs :

vjxi

(gradient de vitesses)

ij = 12

vixj

vjxi

(taux de rotation)

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Passage aux coordonnees cylindriques ou

spheriques pour un champ tensoriel

Changement de coordonnees

On utilise lexpression des (xi) en fonction de (r,,z) ou (r,,) poureffectuer le changement de coordonnees

Nouvelles composantes

Afin de tenir compte, dans le calcul des nouvelles composantes destenseurs, de la rotation des vecteurs de base, on utilise la matrice or-thogonale descosinus directeursdes vecteurs de la base locale (notesei) par rapport a ceux de la base cartesienne ei :

A = [aij] =

ei ej

ou (ei) = (er, e, ez) ou (er, e, e)

Exemple (coordonnees spheriques) :

(e)rr (r,,), t) . . .

... . . .

= A

(e)11(xi(r,,), t) . . .

... . . .

AT

avec

A(r,,) =

sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin

sin cos 0

etx1(r,,) =r sin cos

x2(r,,) =r sin sin

x3(r,,) =r cos

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Operations tensorielles ponctuelles

Produit tensoriel

DefinitionLe produit tensoriel de 2 champs de vecteurs, par ex. u et v, est lechamp tensoriel dordre 2, note uv, dont les composantes sont, danstout repere, les produits 2 a 2 des composantes de ces vecteurs :

(uv)ij =uivj

Caractere tensoriel (invariance)Les composantes de uv se transforment, pour un changement dereperes fixes lun par rapport a lautre, comme celles dun tenseurdordre 2 :

(uiv

j) =aikajl(ukvl)

Extension : le produit tensoriel dun champ tensoriel dordre m parun champ tensoriel dordren est le champ tensoriel dordre (m+n)dont les composantes sont dans tout repere les produits 2 a 2 descomposantes de ces tenseurs

Contraction

DefinitionLa contraction (ou trace) dun champ tensoriel dordre 2, par ex.

w,

est le champ scalaire (tenseur dordre 0), note tr(w), egal dans tout

repere a la somme des composantes diagonalesde ce tenseur :

tr(w) =wii (i muet)

Invariance

Le scalaire tr( w) conserve la meme valeur dans nimporte quel reperefixe par rapport au premier :

wii= wii

siwij =aikajl wkl

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Extension

La contraction sur 2 indices choisis dun champ tensoriel dordre (n+2) est le champ tensoriel dordre n obtenu par sommation sur lesvaleurs repeteesde ces 2 indicesExemple : pour un tenseurTdordre 3, la contraction sur le 1er et le3eme indice donne le vecteur (tenseur dordre 1) de composantesTjij

Transposition

DefinitionLa transposition dun champ tensoriel dordre 2, par ex.

T, est le

champ tensoriel dordre 2, noteTT, obtenu en transposant la matrice

representative de ce tenseur dans tout repere :

(TT)ij =Tji

Caractere tensoriel (invariance)Pour un changement de reperes fixes lun par rapport a lautre :

Tji = aikajl(Tlk)

Extension (immediate) : transposition sur 2 indices choisis dun champtensoriel dordre (n+ 2)

Concepts associes :

Tenseur symetrique : un champ tensoriel dordre 2 est dit syme-trique si, en tout point, a tout instant,

T =

TT,

c.-a-d.Tij =Tji dans tout repere

Tenseur antisymetrique : un champ tensoriel dordre 2 est ditantisymetriquesi, en tout point, a tout instant,

T =

TT,

c.-a-d.Tij = Tji dans tout repere

Partie symetriquedun tenseurTdordre 2 :

1

2

T+

TT

, de composantes

1

2(Tij+ Tji)

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Partie antisymetrique dun tenseur

Tdordre 2 :

1

2

T

TT

, de composantes

1

2(Tij Tji)

Tout tenseur dordre 2 est la somme de sa partie symetrique etde sa partie antisymetrique

Generalisations :

On peut definir les concepts de tenseur dordre quelconquecomp-letement symetrique (dont les composantes sont inchangees pourtoute permutation de 2 indices quelconques), et completement

antisymetrique (dont les composantes sont opposees 2 a 2 pourtoute permutation de 2 indices quelconques)

On considere frequemment en elasticite des tenseurs dordre 4(par exemple S) symetriques par rapport aux permutations desindices 1 et 2, des indices 3 et 4, et des paires dindices (1, 2) et(3, 4) :

Sijkl = Sjikl = Sijlk = Sklij

( = Sjilk = Slkij =Sklji= Slkji par consequent)

Operations tensorielles ponctuelles elementaires

Addition de deux champs tensoriels de meme ordre, multiplicationdun champ tensoriel par un scalaire

Ces operations se font aisement composante par composante

Composition doperations tensorielles ponctuelles

Produit scalaire de deux champs vectoriels u et v

u v= uivi

(trace ou contraction du produit tensoriel de u et v)

Produit dun champ tensorielTdordre 2 et dun champ vectoriel u

(T u)i= Tijuj

(contraction sur les 2 derniers indices du produit tensoriel deT etu)

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Coordonnees curvilignes orthogonales

En coordonnees cylindriquesou spheriques, les operations tensoriellesponctuelles (produit tensoriel, contraction . . .) seffectuent exacte-ment comme en coordonnees cartesiennes

Exemple : contraction dun tenseurT dordre 2 en coordonnees-

composantes cylindriques :

tr(T) = Trr +T+Tzz

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Tenseurs a composantes invariantes

Tenseur identite (tenseur de substitution)

Les ij forment les composantes dun meme tenseur dordre 2 danstout repere :

ij =aikajl kl

Formule de substitutionPar exemple, pour un tenseurTij dordre 2, on a

ijTjk = Tik

ijTkj =Tki

(substitution de i a j )

N.B. :ii= 3

Pseudo-tenseur de permutation

Definitiondu symbole ijk :

si (i,j,k) est une permutation pairede (1, 2, 3),c.-a-d. si (i,j,k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1) ou (3, 1, 2), alors

ijk = 1

si (i,j,k) est une permutation impairede (1, 2, 3),c.-a-d. si (i,j,k) = (2, 1, 3), (3, 2, 1) ou (1, 3, 2), alors

ijk = 1

dans tous les autres cas,

ijk

= 0

Caractere pseudo-tensoriel : les ijk forment les composantes dunmeme tenseur dordre 3 dans tout repere, pourvu quecelui-ci ait lameme orientationque le repere de depart :

ijk = ailajmaknlmn

pourvu que det(aij) = +1

Physiquement, on se limitera a considerer des reperes dits dorienta-tion directe(orientes suivant les 3 premiers doigts de la main droite)

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Proprietes de ijk

Le pseudo-tenseur ijk est completement antisymetrique

ijk = jik =jki = kji = kij = ikj

On a les relations

ijk lmn= 0 !

il im injl jm jnkl km kn

ijmklm = 1 ! ik iljk jl

=ikjl iljk

ikljkl = 2! |ij| = 2 ij

ijkijk = 3! = 6

A tout tenseurdordre 2 antisymetriquea est associe un et un seul

vecteur Atel queAi =

12ijkakj

aij = ijk Ak

et donc

[aij] =

0 A3 A2A3 0 A1A2 A1 0

Produit vectorielPour deux vecteurs quelconques uet v, on a

(u v)i= ijkujvk

Determinant dun tenseurPour un tenseur dordre 2 quelconque

T, on definit

det(T) =

1

3!ijklmnTilTjm Tkn

Cest donc un scalaire(independant du repere), qui vaut dans toutrepere le determinant de la matrice des composantes du tenseur :

det(T) =

T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

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Coordonnees cylindriques et spheriques

En coordonnees curvilignes orthogonales, les symbolesij et ijk ontlameme significationet le meme usagequen coordonnees cartesien-nes orthonormees

Exemples :

composantes cylindriques

rr = 1, z = 0, rz = 1, z = 0

composantes spheriques

= 1, r = 0, r = 1, r = 1

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29/242

Gradient en coordonnees cartesiennes

orthonormees

Gradient dun scalaire

Definition

Le gradient dun champ scalaire s est le champ vectoriel sdont lescomposantes sont dans tout repere cartesien orthonorme lesderiveespartiellesspatialesde ce scalaire :

(s)i=

s

xi

Caractere vectoriel (invariance)Les composantes de s se transforment, pour un changement dereperes fixes lun par rapport a lautre, comme celles dun vecteur :

s

xi=aij

s

xj

ou, en detail,

s(e)

xi(xl, t) =aij

s(e)

xj(alkxl+bk, t)

Exemple dapplication : loi de Fourierde la conduction thermique

cas isotrope :

qi= KT

xi

(Kest le coefficient de conduction thermique)

cas non-isotrope :

qi=

Kij

T

xj

(Kij est le tenseur de conduction thermique)

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30/242

Gradient dun vecteur

DefinitionLe gradient dun champ vectoriel w est le champ tensoriel dordredeux w dont les composantes sont dans tout repere cartesien or-thonorme lesderiveespartiellesspatialesdes composantes de ce vec-teur :

(w)ij =

xi(wj) =

wj

xi

Caractere vectoriel (invariance)Les composantes de w se transforment, pour un changement dereperes fixes lun par rapport a lautre, comme celles dun tenseur

dordre 2 :w j

xi=aikajl

wl

xk

ou, en detail,

w(e)j

xi(xn, t) =aikajl

w(e)l

xk(anmx

n+bm, t)

Exemple dapplicationLe tenseur des taux de deformationest la partie symetrique du ten-

seur gradient de vitesses

dij =1

2

vi

xj+

vj

xi

ou

d=

1

2

vT +v

28

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31/242

Operations composees avec le gradient en

coordonnees cartesiennes orthonormees

Divergence

Definitions

La divergence w dun champ vectoriel w est la trace de songradient :

w= wi

xi

Cest un champ scalaire (invariant) :

wi

xi=

w ixi

La divergence Tdun champ tensoriel symetrique dordre 2 est

lacontraction, sur lun quelconque de ses indices, de son gradient :

( T)i=

Tji

xj

Cest un champ vectoriel (invariant) :

Tikxk

=aijTjl

xl

Theoreme de la divergence(ou de Green)Pour tout volumeV, de frontiere Vde normale unitaire sortante n,

VwinidS=

V

wi

xidV

V TjinjdS= VTji

xjdV

Rotationnel

DefinitionLe rotationnel w dun champ vectoriel w est la double contrac-tion du produit tensoriel du pseudo-tenseur de permutation par legradient de ce vecteur :

( w)i= ijkwk

xj

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32/242

Cest un champ vectoriel (invariant) :

iklw lxk

=aijjmnwn

xm

Exemple dapplication en mecanique des fluides

Le vecteurtourbillon2 est le rotationnel du champ de vitesses :

2 = v

ou

2 i= ijkvk

xj

Le vecteur taux de rotation est la moitie du vecteur tourbillon

Le tenseur taux de rotation est la partie antisymetrique du

gradient de vitesse transpose :

=

1

2

vTv

ou

ij =1

2

vi

xj

vj

xi

On a les relations reciproques

ij = ijk k

i = 12ijk kj

Interpretation (cf. chapitre II)Dans tout repere choisi, le vecteur taux de rotation a un endroit

P et a un certain instant donne la directionet lavitesse angulairede rotation instantanee dun element infinitesimal de matiere ence point a cet instantPour tout Q voisin de P, la partie rotative autour de P de lavitesse en Q est

dx= dx

(effet sur dx de la transformation lineaire representee par

)

Theoreme de StokesPour tout champ vectoriel w et pour toute surface S de normalesortante n, delimitee par une ligne fermee C orientee dans le sensdirect par rapport a n,

Cwidxi=

S

ijkwk

xjnidS

Cw dx=

S

( w) n dS

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33/242

Operateurs et en coordonnees

cartesiennes orthonormees

Operateur (nabla)

Definition : cest loperateur defini en coordonnees cartesiennes or-thonormees par

= ei

xi(i muet)

Applications : on opere comme si etait un vecteur et on developpe


s=

ei

xi

(s) =

s

xiei

(les composantes sont donc bien sxi

)


w= ei

xi (ej wj) =

wj

xi

eiej

(les composantes sont donc bien wjxi

)

Divergence dun vecteur

w=

ei

xi

(ej wj) =

wj

xiei ej =

wj

xiij =

wi

xi

(formule correcte)

Rotationnel dun vecteur

w= ijk

el

xl

j

wk = ijkwk

xjei

(formule correcte)

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34/242

Laplacien (operateur )

Definition : cest loperateur defini em coordonnees cartesiennes or-thonormees par

= 2

xixi=

2

x2i(i muet)

et donc, formellement, =

Le laplacien sapplique aux champs scalaires, vectoriels, tensorielsdordre quelconque, et donne un tenseur de meme ordre

Exemples

Laplacien dun scalaire s

s= 2s

x2i(i muet)

= (s)

Cest la divergence du gradientde ce scalaire

Laplacien dun vecteur w

(w)i = 2wi

x2j(i libre, j muet)

etw= (w)

Cest la divergence du gradientde ce vecteur. Cest aussi le gra-dient de la divergence de ce vecteur moins le double rotationnelde ce vecteur :

w= ( w) ( w)

ou2wi

x2j=

xi

wj

xj

ijk

xj

klm

wm

xl

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35/242

Gradient en coordonnees curvilignesorthogonales

Principe

A cause de la dependance des vecteurs de base locale par rapport a laposition, les operations impliquant des derivations spatiales se fontpar des formulesdifferentesen coordonneescylindriques et spheriqueset en coordonnees cartesiennes orthonormees

Les formules sont derivees de facon a ce que les tenseursainsi obte-nus soient invariants (c.-a-d. representent les memes tenseurs quencoordonnees cartesiennes)

Lexpression de loperateur nabla () en coordonnees curvilignes etla differentiation des vecteurs de base localepermettent de trouverles formules cherchees

Technique de calcul

Expression de loperateur

En coordonnees-composantes cylindriques :

=er

r+ e

1

r

+ ez

z

En coordonnees-composantes spheriques :

=er

r+ e

1

r

+ e

1

r sin

Differentiationde la base locale


der =ed

de = erd

dez = 0

et donc err

er

erz

er

e

ez

ezr

ez

ezz

=

0 e 00 er 0

0 0 0

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36/242


der = e d + sin ed

de= erd + cos ed

de = (sin er+ cos e) d

et doncerr

er

er

er

e

e

er

e

e

=

0 e sin e0 er cos e

0 0 (sin er+ cos e)

Gradient


Coordonnees-composantes cylindriques :

s=

er

r+ e

1

r

+ ez

z

(s)

=ers

r+ e

1

r

s

+ ez

s

z

Les composantes sont donc

s

r,1

r

s

, s

z

Coordonnees-composantes spheriques :

s=

er

r+ e

1

r

+ e

1

r sin

(s)

=ers

r+ e

1

r

s

+ e

1

r sin

s

Les composantes sont doncs

r,1

r

s

,

1

r sin

s

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37/242


Coordonnees-composantes cylindriques :

w=

er

r+ e

1

r

+ ez

z

(wrer+ we+ wzez)

= wr

r erer+

w

r ere+

wz

r erez

+

1

r

wr

w

r

eer+

1

r

w

+

wr

r

ee+

1

r

wz

eez

+wr

z ezer+

w

z eze+

wz

z ezez

Par consequent,

(w)rr (w)r (w)rz(w)r (w) (w)z

(w)zr (w)z (w)zz

=

wrr

wr

wzr

1rwr

wr

1rw

+ wrr

1rwz

wrz

wz

wzz

Coordonnees-composantes spheriques :

w=

er

r+ e

1

r

+ e

1

r sin

(wrer+ w e+ we)

= wrr erer+ wr e

re+ wr ere

+

1

r

wr

w

r

eer+

1

r

w

+

wr

r

ee+

1

r

w

ee

+

1

r sin

wr

w

r

eer+

1

r sin

w

w

r tan

ee

+

1

r sin

w

+

wr

r +

w

r tan

ee

Par consequent,

(w)rr (w)r (w)r(w)r (w) (w)(w)r (w) (w)

=

wrr

wr

wr

1rwr

wr

1r

w

+ wrr

1rw

1r sin

wr

wr

1r sin

w

wr tan

1r sin

w

+ wrr

+ wr tan

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38/242

Operations composees en coordonneescurvilignes orthogonales

Divergence dun vecteurLa divergence dun vecteur w est la trace de son gradient


w=wr

r +

1

rwr+

1

r

w

+

wz

z


w= wr

r +

2

rwr+

1

r

w

+

1

r tan w+

1

r sin

w

Divergence dun tenseurLa divergence dun tenseur symetrique

Test lacontraction, sur nimporte

lequel de ses indices, de son gradient


( T)r = Trrr +1r

Tr

+ Tzrz

+ Trr Tr

( T) =

Tr

r +

1

r

T

+

Tz

z +

Tr + Trr

( T)z =

Trz

r +

1

r

Tz

+

Tzz

z +

Trz

r


( T)r =

Trr

r +

1

r

Tr

+

1

r sin

Tr

+

2 Trr T T + Trcot

r

( T) =

Tr

r +1

r

T

+ 1

r sin

T

+2 Tr+ Tr+ (T T)cot

r

( T) =

Tr

r +

1

r

T

+

1

r sin

T

+

2 Tr + Tr + (T+ T)cot

r

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Rotationnel dun vecteur

Le rotationnel w dun champ vectoriel w vaut, en coordonnees-composantes cylindriques,

( w)r = 1

r

wz

w

z

( w) = wr

z

wz

r

( w)z = w

r +

w

r

1

r

wr


( w)r =1

r

w

+

w

r tan

1

r sin

w

( w)= 1

r sin

wr

w

r

w

r

( w) =w

r +

w

r

1

r

wr

Laplacien dun scalaire

Le laplacien s= (s) vaut, en coordonnees cylindriques,

s= 2s

r2+

1

r

s

r+

1

r22s

2+

2s

z2

Le laplacien s= (s) vaut, en coordonnees spheriques,

s= 2s

r2+

2

r

s

r+

1

r22s

2+

1

r2 tan

s

+

1

r2 sin2

2s

2

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Laplacien dun vecteur

Le laplacien w= ( w) ( w) dun champ vectoriel wvaut, en coordonnees-composantes cylindriques,

(w)r = wr wr

r2

2

r2w

(w) = w+ 2

r2wr

w

r2

(w)z = wz

ou wr, w, wz designent les laplaciens scalaires formels de wr,w, wz :

s= 2

sr2

+1r

sr

+ 1r2

2

s2

+ 2

sz2

Le laplacien w= ( w) ( w) dun champ vectoriel wvaut, en coordonnees-composantes spheriques,

(w)r = wr 2wr

r2

2

r2w

2wr2 tan

2

r2 sin

w

(w)= w+ 2

r2wr

w

r2 sin2

2cos

r2 sin2

w

(w) = w+ 2

r2

sin

wr

+ 2cos

r2

sin2

w

w

r2

sin2

ou wr, w, w designent les laplaciens scalaires formels de wr,w, w :

s= 2s

r2+

2

r

s

r+

1

r22s

2+

1

r2 tan

s

+

1

r2 sin2

2s

2

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Integration en coordonnees curvilignesorthogonales

Integrales de volume

Lelement de volume dV vaut

dV =r dr d dz en coordonnees cylindriques

dV =r2 sin drdd en coordonnees spheriques

En coordonnees-composantes curvilignes, on ne peut pas effectuerles integrales de volume vectorielles (ou tensorielles) composantepar

composante, car les vecteurs (tenseurs) de base locale ne peuventpas etre sortis des integrales. Il faut donc travailler en composantescartesiennes et coordonnees curvilignes

Integrales de ligne

Lelement de longueurvectoriel dx vaut

dx= erdr+ r ed+ ezdz en coordonnees cylindriques

dx= erdr+ r e d + r sin ed en coordonnees spheriques

Integrales de surface

Lelement daire dS multiplie par la normale unitaire sortante a lafacette n vaut

en coordonnees-composantes cylindriques :

n dS= err d dz pour une facette de normale sortante er

=edr dz pour une facette de normale sortante e

=ezr dr d pour une facette de normale sortante ez

en coordonnees-composantes spheriques :

n dS= err2 sin dd pour une facette de normale sortante er

=e r sin drd pour une facette de normale sortante e

=er dr d pour une facette de normale sortantee

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Moments

Definition

Soit une grandeur vectorielle extensive calculee par integration, surun volume V, de sa densite (par exemple w par unite de masse, etdonc w par unite de volume)

La densite de momentde cette grandeur par rapport a lorigineO du repere est le vecteur

x w

Ce vecteur forme avec x et w un triedre dorientation directe, etsa norme est le produit de la norme de wpar le bras de levierOP correspondant

Alors, le momentde cette grandeur vectorielle par rapport a Oest egalement une grandeur extensive, obtenue par integration surV de x w

De meme, soit une action vectorielle exercee a la frontiere de Vet mesuree par integration sur V dune densite vectorielle(par ex.

p(n), qui represente la densite de cette action vectorielle par unitedaire, sur une facette de normale sortante n)

Alors, le momentde cette action vectorielle par rapport a O estune action sur la frontiere deVobtenue par integration sur Vde x p(n)

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Exemples

Moment par rapport a O de la quantite de mouvement dun volumeV :

N(t) =

V

x v d V

ou, par composantes,

Ni(t) =

V

ijkxj vkdV

Moment par rapport aO des forces a distances exercees sur V :

Md(t) =V

x g d V


Mdi (t) =

V

ijk xj gkdV

Moment par rapport aO des forces de contact exercees sur V :

Mc(t) =

V

x (n) dS


Mci(t) =

V

ijkxjk(n) dS

=

V

ijkxjlknl dS

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Chapitre 2

Cinematique

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Les relations reciproques

XA= X(e)A (xj , t)

sont supposees definiesde maniere unique

Integration des relations de base

Partant dune representation eulerienne des vitesses

vi = v(e)i (xj , t)

on considere le probleme de Cauchy

dxi 0(t)

dt =v

(e)i (xj0(t), t)

et xi 0(t0) =xi 0

pour un temps initial (t0) et une position initiale (xi 0) donnes

La solutionde ce probleme

xi = xi 0(xj0, t)

donne une representation lagrangienne du mouvement, la confi-

guration de reference etant la confirmation au temps t0 :

R0= R(t0)

Le passage a uneautreconfiguration de reference R0 (arbitraire)est immediat par les relations

xi 0= x

i 0(XA)

qui lient biunivoquement les coordonnees de reference XA et lescoordonnees xi 0 au temps t0.

Des lors, par composition :

xi = x(l)i (XA, t)

= xi 0(x

j0(XA), t)

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Trajectoires, lignes de courant, lignesdemission

Trajectoires

DefinitionLa tra jectoire dun point materiel est lensemble des positions quiloccupe dans son mouvement

Calcul

En representation lagrangienne :

xi = x(l)i (XA, t)

pour XA donnes

En representation eulerienne: resolution du probleme de Cauchy

dxi

dt =v

(e)i (xj , t)

et xi = xi 0 pour t= t0

pour trouver la trajectoire xi = xi(t) passant par xi 0 en t0

Lignes de courant

DefinitionUne ligne de courant est lune des enveloppesdu champ de vitesses

a un instantdetermine

Calcul en representation eulerienneOn resoud le probleme de Cauchy

dxi

d =v

(e)i (xj , t)

et xi = xi 0 pour =t

pour trouver la ligne de courant xi = xi() passant par xi 0 en t. Lavariable independante est

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Interpretation

On fait comme si le champ de vitesses etait stationnaire, c.-a-d. quondefinit, pour tous les instants , un champ de vitesses fictif egal auchamp de vitesses reel au temps particuliert :

vi(xj , ) =v(e)i (xj , t)

Ensuite, les lignes de courant sont les trajectoires associees a cechamp de vitesses fictif

Lignes demission

DefinitionUne ligne demission est la ligne generee par emission continue depoints materiels a partir dune position donnee de lespace

Calcul en representation lagrangienneLa ligne demission emise depuis le point fixe xi 0 a partir du tempst0 a pour equation au temps t t0 :

xi = x(l)i (XA, t)

pour tous lesXAtels que, pour un certain temps demissioncomprisentre t0 et t,

xi 0= x(l)i (XA, )

Donc, au temps t :

xi = x(l)i (X

(e)A (xj0, ), t)

pour toutes les valeurs du parametre telles que

t0 t

Propriete

Dans un probleme stationnaire, les trajectoires, lignes de courant etlignes demission sont confondues

NB : un probleme est stationnaire pour un certain repere quand larepresentation euleriennede toutes les grandeurs physiques dans cerepere est independante du temps

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Derivee materielle

DefinitionDans un certain repere, la derivee materielle dune grandeur physique(scalaire, vectorielle, tensorielle) est la variationde cette propriete parrapport autempspour un observateur qui accompagnele mouvement dupoint materiel pour lequel cette propriete est mesuree

Calcul pour un scalaire

En representation lagrangienne

Soit une grandeur scalaire

s= s(l)(XA, t)

La derivee materielle DsDt

des sobtient parderivation partielledecette grandeur par rapport au temps :

Ds

Dt =

s(l)

t (XA, t)

= s(l)

t (en abrege)

La meme formule est utilisee pour un scalaire en coordonneescurvilignes

En representation eulerienne

Soit un scalaires= s(e)(xi, t)

La derivee materielle DsDt

de s sobtient en reliant ses expressionseulerienne et lagrangienne

s(l)(XA, t) =s(e)(x

(l)i (XA, t), t)

et, en procedant par composition de derivees :

Ds

Dt =

s(e)

xi(xj , t) v

(e)i (xj , t) +

s(e)

t (xj , t)

=s(e)

t + v

(e)i

s(e)

xi(en abrege)

=s(e)

t + (v )s(e)

=s

t+ v s (contexte eulerien)

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Pour passer en coordonnees curvilignes, il suffit de prendre la

formule appropriee de loperateur

Extension au cas dun vecteur ou dun tenseur

Principe

La derivee materielle dun vecteur ou dun tenseur dordre quel-conque sobtient en coordonnees-composantes cartesiennesde lameme facon que pour un scalaire (en appliquant les formules com-posante par composante). En effet, les ei sont constants dans lerepere choisi

Ainsi, pour lacceleration a :

ai = Dvi

Dt =

v(l)i

t (en lagrangien)

=v

(e)i

t + v

(e)j

v(e)i

xj(en eulerien)

Coordonnees-composantes curvilignes

Il faut tenir compte de la dependancedes vecteurs de base localepar rapport a la position, ce qui se fait par usage de loperateur.

Par exemple, en representation eulerienne, on trouve pour lac-celeration

a= Dv

Dt =

v

t + v v

Par consequent, le developpement des composantes du tenseurv donne, en coordonnees-composantes cylindriques,

ar =vr

t + vr

vr

r +

v

r

vr

v2r

+ vzvr

z

a =v

t + vr

v

r +

v

r

v

+

vvr

r + vz

v

z

az = vz

t + vr v

z

r + v

rvz

+ vz vz

z

et, en coordonnees-composantes spheriques,

ar = vr

t + vr

vr

r +

v

r

vr

v2

r +

v

r sin

vr

v2r

a= v

t + vr

v

r +

v

r

v

+

v vr

r +

v

r sin

v

v2r tan

a = v

t + vr

v

r +

v

r

v

+

v

r sin

v

+

vvr

r +

vv

r tan

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Par comparaison avec la formule 1), il vient :

D

Dt(dV(t)) = ( v) dV(t)

et la divergence du champ de vitesse v est laccroissementrelatif par unite de temps dunvolume materiel elementairedV(t)

Formule 3)

On observe que

V(t)

f

t

dV

est la variation par rapport au temps de lintegrale de la densitef sur le volume fixe a sa valeur au temps t (c.-a-d. quon derivesous le signe dintegration comme si V(t) ne dependait pas de t)

Dautre part, V(t)

f v n dS

est le flux a travers V(t) de la grandeur extensive de densite f(compte positivement pour un flux sortant)

Formule 4)

Considerant de nouveau les integrales comme des limites de som-mes de produits :

V(t)

g d V = limK

gK(KVK)

on trouve par derivation temporel leet passage a la limite :

d

dtV(t)

g d V =V(t)

DgDt dV + g

D

Dt ( dV(t))

Par comparaison avec la formule 4), il vient :

D

Dt( dV(t)) = 0

et la masse dV(t) dun volume materiel elementaire dV(t) estinvariabledans le temps (chapitre III)

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Derivees convectives

Position du problemeLa derivee materielle dun champ vectoriel ou tensoriel objectif nestpasnecessairementobjective. Lorsque cette propriete est requise (comme enrheologie), dautres operateurs de derivation sont introduits

Definitions

La derivee convective superieuredun champ vectoriel w est

w=Dw

Dt w v

La derivee convective inferieuredun champ vectoriel w est

w= Dw

Dt + (v) w

On peut definir par des formules similaires les derivees convectivessuperieures et inferieures de champs tensorielsquelconques

ProprieteLes derivees convectives superieures et inferieures dun champ vectorielou tensoriel objectif sont objectives

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Interpretation

Transformation

Soit, dans un certain systeme daxes communs a R0 et R, unetransformation affine (homogene) entre ces deux configurations :

xi = LijXj+ bi

ou les Lij et bi sont constants

Un second point (Yj) de R0 se transforme dans R suivant la loi

yi = LijYj + bi

Par difference,(yi xi) =Lij(Yj Xj)

et les vecteurs materiels (Yi Xi) de R0 sont transformes envecteurs (yi xi) de R par la transformation lineairede matrice[Lij ]

Transformation orthogonale

Si la transformation lineaire, et donc la matrice [Lij ], sont ortho-gonales, le produit scalairede toute paire de vecteurs materiels

S= (Yi Xi) (Zi Xi)

est conserve par la transformation :

s= (yi xi) (zi xi)

=LijLik(Yj Xj) (Zk Xk)

=S

La distance entre (Xi) et (Yi) est donc conservee :

(Yi Xi)2 = (yi xi)

2

Langle entre les vecteurs (Yi Xi) et (Zi Xi) est egalementconserve, puisque son cosinus vaut

(Yi Xi)(Zi Xi)

Yj XjZk Xk=

(yi xi)(zi xi)

yj xjzk xk

Lorsque le determinant de [Lij ] est positif (c.-a-d. lorsquil vaut+1, puisque cette matrice est orthogonale), lorientationde touttriplet de vecteurs est aussi conservee

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Une transformation lineaire homogene orthogonale de determi-

nant positif correspond donc a une rotationde tous les vecteursmateriels autour du point materiel considere, superposee a latranslation de R0 aRqui amene (Xi) en (xi)

Transformation symetrique definie positive

Si la transformation lineaire, et donc la matrice [Lij ], sont syme-triques definies positives, elles ont trois vecteurs propres ortho-normes ei et trois valeurs propres reelles i strictement positives

Passant a la base ei, la transformation lineaire prend alors une

forme diagonale :

Lij

=

1 0 00 2 0

0 0 3

Un vecteur materiel S ei, issu de (X

i) et parallele ae

i, se trans-forme en un vecteur materiel issu de (xi) qui lui est parallele :

i S

e i (sans sommation)

Une transformation homogene symetrique definie positivecorres-

pond donc a une deformation purede tous les vecteurs materielsautour du point materiel considere, superposee a la translationde R0 a R qui applique (Xi) sur (xi)

Conclusion

On combine les resultats precedents avec le theoreme de decom-position polaire : la transformation dun voisinage infinitesimal

de XA dans R0 en un voisinage infinitesimal de xi = x(l)i (XA, t)

dans R(t) est, localement, la compositiondunedeformation pureUAB suivie dune rotation RiA, ou egalement la composition de

la rotation RjA suivie de la deformation pure Vij

NB : pour arriver a ce resultat, il faut supposer que le tenseurFiA a un determinant positif, c.-a-d. que lorientation des axesest la meme dans R0 etR(t). En pratique, cest toujours le cas

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Tenseurs de deformation

Introduction

Point de depart

Soit (XA) les coordonnees lagrangiennes dun point materiel, et

xi = x(l)i (XA, t)

ses coordonnees euleriennes au temps t

Un vecteur elementaire (dXA

) dans R0

, issu de (XA

) et de lon-gueur dS, se transforme dans R(t) en un vecteur elementaire(dxi), issu de (xi) et de longueur ds, suivant la loi locale

dxi = F(l)iA (XB, t) dXA

Un second vecteur elementaire (dYA) issu du meme point se trans-forme en un vecteur (dyi) suivant la meme loi

Objectif

On veut calculer la difference (dxi dyi dXA dYA) des produits

scalaires de ces vecteurs resultant de cette transformation

En particulier, on veut calculer la difference

ds2 dS2

descarres longueursdun vecteur elementaire resultant de la trans-formation

Il sagit deffets de deformation locale, car la rotation locale RiAna aucun effet sur ces grandeurs

Calculs

On trouve

dxi dyi dXA dYA= (FiA FiB AB) dXA dYB

=

ij F1Ai F

1Aj

dxi dyj

ou F1Ai est linverse du tenseur FiA, avec

FiAF1Aj =ij

F1Ai FiB =AB

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Petits deplacements

Vecteur deplacement

Il faut que les axes pour les configurations R0 et R(t) soient com-muns. Le meme type dindices (i , j . . . ) est alors utilise pour les co-ordonnees euleriennes (xi) et lagrangiennes (Xi)

En coordonnees-composantes cartesiennes, le vecteur deplacement(de R0 a R(t)) est la difference

ui = xi Xi

En representations lagrangienne et eulerienne, il secrit respective-ment

u(l)i (Xj , t) =x

(l)i (Xj , t) Xi

u(e)i (xj , t) =xi X

(e)i (xj , t)


Soit, pour R0 donne, une famille de champs de deplacements (et

donc dhistoires du mouvement) dependant dun parametre petit :

ui, = O( L) =O()

On fait la meme supposition pour toutes les derivees partiel les suc-cessives du deplacement :

u(l)i,

Xj= O()

. . .

Le probleme effectif quon considere correspond a une valeur parti-culiere () suffisamment petite de (0 < 1). On note

ui = ui,

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Proprietes des petits deplacements

Les representations lagrangienne et eulerienne de tous les champssont confonduesPar exemple, pour un champ scalaire s,

s(e)(xi, t) =s(l)(xi, t)

(remplacement direct de Xi par xi, et vice-versa)

Les derivees partielles spatiales de tous les champs seffectuent in-

differemmentpar rapport aux coordonnees lagrangiennes et eulerien-nesPar exemple, pour xi = x

(l)i (Xj , t),

s(e)

xi(xj , t) =

s(l)

Xi(Xj , t)

ou, en abrege,s

xi=

s

Xi

Les derivees materielles de tous les champs sont confondues avec

leurs derivees temporelles euleriennes :

Ds(e)

Dt (xi, t) =

s(e)

t (xi, t)

ou, en abrege,Ds

Dt =

s

t

En particulier, la derivee temporelle eulerienne du deplacement estle champ de vitesses :

vi =

Dui

Dt (en general)

= ui

t (petits deplacements)

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Proprietes (en petits deplacements)

Decomposition polaireLes tenseurs Uij , Vij et Rij secrivent

Uij =Vij =ij+ ij

Rij =ij+ ij

Tenseurs de deformation de Lagrange et dEuler

Eij =eij =ij

Vitesse de deformation

dij = Dij

Dt =

ij

t

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Integration du champ de deplacements


Connaissant le champ de deformations infintesimales

ij =(e)ij (xk, t)

on cherche a repondre aux questions suivantes :

Y a-t-il toujours un champ de deplacements

ui = u(e)i (xj , t)

dont ces deformations derivent ?

Quelles sont les donnees additionnelles necessaires pour que cechamp soit unique(sil y en a un) ?

Comment calculer le champ de deplacements ?

StrategieOn construit effectivement dabord le champ de rotations infinite-

simales et puis le champ de deplacements, tout en examinant lesconditions qui permettent deffectuer les calculs et de fixer le resultatde maniere unique

Solution

Lemmes :La solution doit verifier les relations

ij

xk=

ik

xj

jk

xi

etui

xj=ij+ ij

Integration des rotations infinitesimales

Partant de la forme differentielle

dij = ij

xkdxk =

ik

xj

jk

xi

dxk

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Theoremes globaux

Centre de masse

Le centre de massexm(t) dun volume materielV(t) est defini par larelation

M xm(t) =

V(t)

x d V

On prouve que le mouvement du centre de masse de tout volumemateriel sobtient en y concentrant toute la masse de ce corps et les

forces exercees sur lui :

d

dt

M

dxm(t)

dt

= Fd(t) + Fc(t)

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Changements de repere

Il suffit de postulerque les lois de conservation sont verifiees dansunrepere inertielpour quelles soient verifiees dans tout repere inertiel

Tout autre repere inertiel (O, ei) est en mouvement detranslationrectiligne uniforme a la vitessev0par rapport au premier (O, ei) :

x =x OO (t)

v =v v0

Les grandeurs,g,,U,r et qsontconserveespar le changement

de repere

Des lors, apres calcul, on trouve

P(t) = P(t) M v0

N(t) = N(t) OO(t) P(t) M (xm(t) OO(t)) v0

Md(t) = Md(t) OO(t) Fd(t)

Mc(t) = Mc(t) OO(t) Fc(t)

K(t) = K(t) P(t) v0+1

2M v0 v0

P

d

(t) =P

d

(t) F

d

(t) v0Pc(t) =Pc(t) Fc(t) v0

Les grandeurs globales M, Fd(t), Fc(t),U(t), Qd(t) et Qc(t) sontconserveespar le changement de repere

En injectant les relations precedentes dans les lois de conservationglobales a etablir dans le nouveau repere, on prouve le resultat

Il suffit de postulerque la loi de conservation de la masseest verifieedans un repere quelconquepour quelle soit verifiee danstoutrepere.

Ceci tient au fait que la masse specifique est une grandeur objective

Soit un repere parallele a un repere inertiel, mais dont lorigine estplacee au centre de masse dun certain volume materiel. Alors, leslois de conservation du moment de la quantite de mouvement et delenergiesappliquent a ce volume materiel dans ce repere (les calculsetant faits par rapport au centre de masse)

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Extensions des lois locales

Reperes non inertiels

En raison de lobjectivite de tous les champs concernes, les lois lo-cales sont dapplication dans nimporte quel repere,saufcelle qui faitintervenir lacceleration

La formelocalede la loi de conservation de la quantite de mouvementen repere inertiel

Dv

Dt = + g

fait intervenir lacceleration, qui nest pas objective

Lusage dun repere non inertielrequiert de mettre dans le mem-bre de gauche de cette egalite lacceleration absolue aa (calculeedans nimporte quel repere inertiel dont les axes sont parallelesau temps considere a ceux du repere choisi) :

aa = Dv

Dt + ae + ac

Ici, DvDt est lacceleration relative(dans le repere choisi), et ae etac sont les accelerations dentranementet de Coriolis :

ae =0 x + 0

0 x

+ a0

ac = 2 0 Dx

Dt

Les vecteurs 0, 0 et a0 representent le vecteur de rotation ins-tantanee des axes par rapport a nimporte quel repere inertiel,la derivee temporelle de ce vecteur, et lacceleration absolue delorigine des axes

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Forme locale

Premiere expression(x, t),

DS

Dt

r

T

1

T q+

1

T2q T

ou

DS

Dt

r

T

1

T

qi

xi+

1

T2qi

T

xi

Cette forme locale est equivalente a la forme globale exprimee pourtoute partie dun certain milieu (moyennant la continuite des gran-deurs appropriees bien quil sagisse la dune hypothese trop res-

trictive)

Inegalite de Clausius-Duhem

(x, t),

T

DS

Dt

DU

Dt

:

d +

1

Tq T

ou

T

DS

Dt

DU

Dt

jidij+

1

Tqi

T

xi

Cette inegalite est equivalente, moyennant les hypotheses de conti-nuite adequates, a la forme locale precedente

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Formulation du probleme thermoelastiqueen deplacements temperature

Les inconnues sont les champs de deplacements (ui) et de temperature (T)

Systeme dequations a resoudre

Conservation de la quantite de mouvement(Navier)

02ui

t2 =

xi(3(T T0)) + 0gi

+

xi ujxj + xj ( uixj + ujxi )

(en repere inertiel)

Conservation de lenergie

0cT

t = 3T

mm

t + r+

xi(k

T

xi)

Hypotheses simplificatrices usuelles

Quasi-statique :0

2uit2

est neglige dans lequation du mouvement

Decouplage :3T mm

t est neglige dans lequation denergie

Discussion

Ces hypotheses sont valides quand levolutiondu systeme (carac-terisee par levolution de ses conditions aux frontieres) est lentepar rapport aux temps caracteristiques du materiau

Par la suite, ces hypotheses seront systematiquement faites, saufmention contraire explicite

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Probleme thermique decouple enthermoelasticite infinitesimale

Conditions aux limites et donnees

On donne la temperature T(x, t) sur une partie de la frontiere V(condition aux frontieres dite essentielle) :

t t0, T = T(x, t) sur V

On donne la densite de flux de chaleur q

(x, t

) entrant dans le so-lide sur le reste de la frontiere V (condition aux frontieres ditenaturelle) :

t t0, q(n) = qini = kT

n = q(x, t) sur V

On donne la temperature Tin(x) sur V en t= t0 (condition initiale,donnee seulement en cas de probleme instationnaire) :

En t= t0, T =Tin(x) sur V

On donne la densite de puissance calorifique fournie par rayonnementr(x, t) sur V, pour tout t t0

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Theoremes dexistence et dunicite

(avec les donnees et sous les hypotheses precedentes, soit k >0, c >0,et avec decouplage)

Probleme dynamique

La solution du probleme thermique existesi les donnees (V,V,V, T, q,Tin,r) sont mathematiquement assez regulieres (cequi est le cas pour toutes les situations physiquement realistes)

Lorsque la solution existe, elle est unique

Probleme stationnaire

(pose sans conditions initiales et avec des donnees stationnaires T(x),q(x), r(x))

Memes conclusions que pour le probleme dynamique si V =

Lorsque V = (si la densite de flux est imposee sur toute lafrontiere), pour que la solution existe, il faut en outre quil y ait

equilibre thermique global :V=V

q(x)dS+

V

rdV = 0

Pour que la solution soit uniquelorsque

V = , il faut en outreimposer la temperature Ten un point :

Pour x= xo T(x) =T0 donne

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Probleme elastique avec thermique imposee

La reponse u(x, t) est lineairepar rapport aux sollicitations

g(x, t) sur VT(x, t) sur Vu(x, t) sur V(x, t) sur Vuin(x) sur Vuin(x) sur V

On considere deux ensembles de sollicitations

g

(1)

sur V g(2)

sur VT(1) sur V T(2) sur V

u(1) sur V et u(2) sur V

(1) sur V (2) sur V

u(1)in sur V u

(2)in sur V

u(1)in sur V u

(2)in sur V

ainsi que les solutionscorrespondantes

u(1)(x, t) et u(2)(x, t)

Alors, pour toute paire de reels et , la combinaison lineaire

u(x, t) =u(1)(x, t) + u(2)(x, t)

est solution du probleme elastique pour les sollicitations

g(1) +g (2) sur V

T(1) +T(2) sur V

u(1) +u(2) sur V

(1) +(2) sur V

u(1)in +u

(2)in sur V

u(1)

in +u

(2)

in sur V

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Probleme elastique non isotherme

Resoudre en termes de deplacements un probleme avec thermique pre-calculee dont les sollicitations sont

g(x, t) sur VT(x, t) sur Vu(x, t) sur V(x, t) sur Vuin(x) sur Vuin(x) sur V

est equivalent a resoudre un probleme isothermedont les sollicitationssont

g 30T sur V

T0 sur Vu sur V

+ 3(T T0)n sur Vuin sur Vuin sur V

Methode semi-inverse de resolution

On part a prioridune forme simplifiee de la solution : si cette solu-tion existe, cest la solution cherchee (par le theoreme dunicite)

Technique de resolution souvent utilisee en combinaison avec le theo-reme de St.-Venant

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Solutions homogenes

Experience de cisaillement simple isotherme

Soit

[ij ] = [dij ] =

0 S12 0S12 0 0

0 0 0

et donc

[ij ] = [dij ] =

1

2

0 S12 0S12 0 0

0 0 0

Langle de cisaillement 12 depuis R0 vaut

12= 212= 2d12=

1

S12

Le rapport entre la contrainte de cisaillement S12 et langle de ci-saillement12 est donc le module de cisaillement

Experience de compression simple isotherme

Soit

[ij ] =

p 0 00 p 0

0 0 p

etmm = 3p

et donc

[ij ] = 1

3

p 0 00 p 00 0 p

avecmm =

p

Laccroissement relatif de volume depuis R0 vaut

mm = p

Le rapport entre la pression p = mm3 et laccroissement relatif devolume mm est le module de compressibilite = +

23

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Recherche du champ de deplacements

On cherche, sil y en a, a determiner les ui dont les ij derivent

ij =1

2

ui

xj+

uj

xi

Rotations infinitesimales

Il faut integrer les differentielles

dij =

ik

xj

jk

xi

dxk

soit

d12 =1k

x2 2kx1

dxk = 0d13 =

1kx3

3kx1

dxk =

0gE

dx1

d23 =

2kx3

3kx2

dxk =

0gE

dx2

Ces differentielles sont fermees et donc exactes (car le domaineest simplement connexe)

Avec la premiere condition additionnelle dencastrement

ij(0, 0, l) = 0

on trouve

[ij ] = 0g

E

0 0 x10 0 x2

x1 x2 0

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Deplacements

Il faut integrer les differentielles

dui = (ij+ ij) dxj

soit

du1 = (1j+ 1j) dxj = 0g

E (x3dx1+ x1dx3)

du2 = (2j+ 2j) dxj = 0g

E (x3dx2+ x2dx3)

du3 = (3j+ 3j) dxj = 0g

E ((x1dx1+ x2dx2) + x3dx3)

Ces differentielles sont fermees et donc exactes (car le domaineest simplement connexe)

Avec la seconde condition additionnelle dencastrement

ui(0, 0, l) = 0

on trouve

[ui] = 0g

E

x1x3x2x3

2 (x

21+ x

22)

12 (l

2 x23)

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Conclusions

Solution correcte par la methode semi-inverse, puisque lintegrationdes deplacements a ete possible

Application du theoreme de St.-Venant a lextremite superieure dela poutre

La distribution exacte des forces de contact sur cette sectionnetait pas donnee (on ne connaissait que leur resultante et leur

moment resultant)

La solution trouvee en contraintes et deformations convient, car

elle depend tres peu de cette distribution detaillee a une distancede la section grande par rapport a son diametre (max(2p, 2q))

Conditions additionnelles de deplacement et rotation infinitesimalenuls au centre de la section superieure

Associees a la caracterisation de lencastrement

Ajoutent un degre dapproximation supplementaire a la solutionen deplacements

Deformeede la section inferieureOn trouve en x3= 0

[ui] =

00

0g2E

l2 + (x21+ x

22)

Cette section, initialement plane, prend apres deformation la formedun parabolode de revolution

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Torsion dune barre cylindrique

Donnees du probleme

Donnees generales

Probleme isotherme

Pas de forces de volumegi= 0

Conditions aux frontieres

Surface laterale libre :

i(x) = 0

en tout point de cette surface, dequation parametrique

(x1= x1(s), x2= x2(s)) avec 0 x3 L

Bases (x3 = L et x3= 0)La distribution des forces de contact nest pas donnee en detailsur ces bases. Seuls sont donnes leurs resultantes et moments re-

sultantspar rapport aux points P et O de ces bases : F(1) = 0 et M

(1)P =M e3

F(2) = 0 et M(2)P = M e3

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Resolution des equations dans la masse du barreau

Deformations

[ij ] =

2

0 0 x2+

wx1

0 0 x1+ wx2

x2+ wx1

x1+ wx2

0

NB : mm= 0

Contraintes

[ij ] = 0 0 x2+

wx1

0 0 x1+ wx2x2+

wx1

x1+ wx2

0

Equations dequilibre

Seule equation non trivialement satisfaite :

x1

x2+

w

x1

+

x2

x1+

w

x2

= 0

ouw= 0

Le gauchissement w doit donc etre harmonique

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Resultante de traction nulle

e3 F(1) =e3

SP

(31e1+ 32e2)dS= 0

Efforts tranchants nuls

Vu lequilibre localji

xj= 0

et

ij =ji

il y a equilibre globaldes forces et moments, soit

F(1) + F(2) = 0

etM

(1)O + M

(2)O = 0

c.-a-d., par transport de forces et moments,

M(1)P + Le3 F

(1) + M(2)O = 0

CommeM

(1)P + M

(2)O = 0

(moments de flexion nuls et moments de torsion en equilibre)on a

e3 F(1) = 0

et de memee3 F

(2) = 0

Ainsi, les efforts tranchants sont bien nuls

117

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Conclusions

On a trouve la solutioncomplete du probleme en contraintes etdeformations par resolution dune equation de Laplace

Pour les deplacements, la solution a les proprietes suivantes :

[ui(0, 0, 0)] =

00

w(0, 0)

=

00

0

et12(0, 0, 0) = 0

u1x3

(0, 0, 0) = 0

u2

x3(0, 0, 0) = 0

Cette solution presente des conditions typiques approximativesdencastrement : lorigine O est fixe il ny a pas de rotation autour de Ox3 laxe Ox3 reste perpendiculaire au plan Ox1x2

Le choix de O etait arbitraire. Un autre choix aurait donne unesolution differant de la precedente par une translation et une ro-tation infinitesimale

On a donc trouve une solution au probleme (avec application dutheoreme de St.-Venant sur la section x3= 0)

118

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Exemple : poutre a section circulaire

Par symetrie :w= w(r)

Equations dequilibre :

w= d2w

dr2 +

1

r

dw

dr = 0

oudw

dr =

A

r

Conditions sur la surface laterale :

dw

dr = 0 en r= a

Conclusion :w= B

Condition dencastrement :

w(0, 0) = 0

Donc, le gauchissement est nulpartout :

w= 0

Calcul de langle de torsion :

M=

a0

r22rdr=

2 a4

(donne puisque M est connu)

119

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Chapitre 5

Fluide visqueux newtonien

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Modele du fluide visqueux newtonienincompressible (et indilatable)

Equations de constitution

Forme generaleij = pij+ 2(T)dij

qi = k(T)T

xi

U = U(T)

S= S(T)avec

dU

dT =cV(T)

etdS

dT =

cV(T)

T

Fonctions materielles donnees :

(T)> 0 (viscositedynamique)

k(T)> 0 (conductivite thermique)cV(T)> 0 (chaleur specifique a volume constant)

Masse specifique constante donnee :

>0

Coherence avec le second principeInegalite de Clausius-Duhem :

0 2(T)dijdij

k(T)

T

T

xi

T

xi

Celle-ci est identiquement satisfaite

Les seules irreversibilitessont dues a la dissipation visqueuse et auxtransferts thermiques par conduction

121

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Conditions aux limites

Conditions thermiques

Une condition initialeest imposee en cas de probleme instation-naire :

En t = t0, T =Tin(x) sur V

Une condition est imposee en chaque point de la frontiere :

Premier type (condition essentielle) : temperature donnee

t t0, T = T(x, t) sur V

Second type (condition naturelle) : densite de flux entrantdonnee

t t0, q(n) =kT

n = q(x, t) sur V

avecV V = , V V = V

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Cas particuliers (conditions mecaniques)

Parois solides: collement du fluide visqueux sur la paroi

vi= vi(x, t)

(vi(x, t) est la vitesse de la paroi)

Frontieres libres

(frontieres separant deux fluides, et de forme et de mouvementinconnus)

Interface entre deux fluides visqueux, sans tension superfi-cielle : deux conditions vectoriellessont imposees sur linter-

face : Continuite des vitesses

v(1)i (x, t) =v

(2)i (x, t)

Equilibre des forces de contact

(1)i (x, t) +

(2)i (x, t) = 0

ou

(1)

ji (x, t

)n

(1)

j (x, t

) +

(2)

ji (x, t

)n

(2)

j (x, t

) = 0(continuite de la partie de ij projetee sur lune ou lautre

des normales a linterface)

Interface entre un fluide visqueux et un fluide parfait (nonvisqueux), sans tension superficielle : Continuite des vitesses normales Equilibre des forces de contact + force de contact tangen-tielle nulle

Interfaceentre deux fluides avec tension superficielleForces supplementaires (de tension superficielle) a considererdans lequilibre des forces de contact

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Equations de Navier-Stokes

Hypotheses

Viscosite independante de T

Conditions aux frontieres mecaniques independantes de T

Systeme

Formulation (v

i, p

)

vi

t + vj

vi

xj

= gi

p

xi+

2vi

xjxj

etvi

xi= 0

Remarques

2vi

xjxj= vi

donne le laplacien vecteur de v en composantes cartesiennes

v ne sobtient pas en coordonnees curvilignes en calculant unlaplacien scalaire composante par composante, mais par la rela-tion

v= v= ( v) ( v)

Probleme thermique(a resoudre a posteriori, apres calcul de v i et p)

HypothesescV, k independantes de T

Equation a resoudre

cV

T

t + vi

T

xi

= r + 2dijdij+ k

2T

xixi

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Equations de Navier-Stokes en coordonnees-composantes cy-

lindriques

vr

t + vr

vr

r +

v

r

vr

+ vz

vr

z

v 2r

=gr p

r+

vr

vr

r2

2

r2v

v

t + vr

v

r +

v

r

v

+ vz

v

z +

vrv

r

=g 1

r

p

+

v+

2

r2vr

v

r2

vz

t + vr

vz

r +

v

r

vz

+ vz

vz

z

=gz

p

z+ vz

et1

r

r(rvr) +

1

r

v

+

vz

z = 0

avec

= 2

r2+

1

r

r+

1

r22

2+

2

z 2

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Experience de cisaillement simple

Hypotheses

Fluide situe entre deux plaques.Plaque inferieure fixe, plaque superieure se deplacant a la vitesse V

Probleme non isotherme (modele general)Plaques adiabatiques

Pesanteur exercee perpendiculairement aux plaques

Calcul des champs

Resolution

Vitesses

[vi] =

Vh x20

0

Taux de deformation et contraintes

[vi

xj] =

0 Vh 00 0 00 0 0

[dij ] =

0 V2h 0V

2h 0 00 0 0

[ij ] =

p (T) V

h 0

(T)Vh p 0

0 0 p

(champshomogenes, sauf la pression)

Reste a determiner p et T

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Analyse du resultat

Densite de forceexercee par la plaque superieure sur le fluide :

[i(n= e2)] = [2i] =

(T)Vhp

0

Decomposition

composante normale : pe2

composante tangentielle : (T) Vh

e1

Conclusion

Taux de cisaillementV

h =

= rapprochement angulaire par unite de temps entre deuxsegments elementaires paralleles en t a e1 et e2

Densite de force tangentielle (de cisaillement) exercee sur le

fluide par la plaque superieure =

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