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ELE2700 — Analyse des signaux

Notes de cours

Christian Cardinal

Yves Goussard

Benoit Hamelin

Août 2006

Chapitre 3

Énergie et puissance des signaux

Les chapitres précédents ont présenté les signaux comme des outils demodélisation de phénomènes. Par exemple, prenons le battement du coeur.Ce phénomène peut être représenté par un signal en mesurant le potentielbio-électrique en un certain point du coeur durant une période fixée. Dansce chapitre, nous présentons des outils permettant, à l’inverse, d’interpréterun signal en termes d’un phénomène concret.

Le concept à la base de cette interprétation est celui d’énergie. Cettequantité est intimement liée à l’ensemble image de la fonction représentant lesignal. Elle est aussi également exprimée en termes de temps qu’en termes defréquence, justifiant d’autant plus la représentation harmonique des signaux.

Il nous convient donc d’abord de jeter un coup d’oeil aux liens qu’on peuttracer entre l’interprétation de la représentation temporelle d’un signal etcelle de sa représentation fréquentielle. Nous introduisons ensuite le conceptd’énergie, ainsi que divers outils de manipulation. Nous étendons ce conceptà celui de puissance, qui permet une étude plus fine des signaux dont l’énergieest infinie. Finalement, nous examinons comment formuler et interpréter lapuissance des signaux périodiques.

3.1 Valeur moyenne d’un signal

La moyenne d’un signal est une quantité riche en information. Par exemple,soit une source de courant alternatif. Si la tension moyenne aux bornes decette source n’est pas nulle, cela pourrait indiquer une anomalie dans le fonc-tionnement de la source.

59

60 CHAPITRE 3. ÉNERGIE ET PUISSANCE DES SIGNAUX

Pour un signal périodique x(t) (de période T ), l’information est entière-ment comprise dans une seule période. Ainsi, sa moyenne x peut être calculéecomme

x =1

T

∫

T

x(t)dt = X0, (3.1)

où X0 est le coefficient d’index 0 du développement en série de Fourier de x(t).En général, pour un signal x(t) non nécessairement périodique, les choses

sont plus compliquées. L’information spectrale qu’on détient sur x(t) est satransformée de Fourier X(ν), et

X(0) =

∫∞

−∞

x(t)dt 6= x.

Cependant, tâchons de lier la moyenne à la transformée de Fourier en passantpar la définition.

x = limT→∞

1

2T

∫ T

−T

x(t)dt

= limT→∞

1

2T

∫ T

−T

∫∞

−∞

X(ν)e2iπνtdνdt

= limT→∞

1

2T

∫∞

−∞

X(ν)

∫ T

−T

e2iπνtdtdν

= limT→∞

∫∞

−∞

X(ν)1

2T

1

2iπν

(e2iπνt

∣∣T

−Tdν

= limT→∞

∫∞

−∞

X(ν)sin 2πνT

2πνTdν. (3.2)

Lorsqu’on fait tendre T à l’infini, le sinus cardinal exprimé dans l’équation 3.2tend vers 0 pour tout ν 6= 0. De ce fait,

x =

∫ 0+

0−X(ν)dν. (3.3)

Cette intégrale est effectivement nulle pour tout signal X(ν) qui ne se com-porte pas comme une impulsion de Dirac en ν = 0.

Exemple 3.1 Déterminons, par la représentation spectrale, la valeur moyennedu signal x(t) = 1 — qui est évidemment 1.

3.2. ÉNERGIE ET THÉORÈME DE PARSEVAL 61

Résolution Ayant X(ν) = δ(ν), on calcule

x =

∫ 0+

0−δ(ν)dν = 1.

Exemple 3.2 Déterminons par la transformée de Fourier la valeur moyennedu signal sinusoïdal x(t) = cos(2πt).

Résolution Ayant X(ν) = 12δ(ν − 1) + 1

2δ(ν + 1), on détermine

x =1

2

∫ 0+

0−[δ(ν − 1) + δ(ν + 1)]dν = 0.

La détermination de la valeur moyenne d’un signal illustre les difficultésque nous rencontrons lorsque nous cherchons à interpréter comparativementses représentations temporelle et spectrale. On a pu ici « faire parler » latransformée de Fourier d’une quantité nominalement définie dans le domainedu temps. Cependant, que représente le spectre du signal pour les autresfréquences que ν = 0 ? Pour un signal périodique, on peut dire que Xn

représente la « contribution de la sinusoïde de fréquence 2πn/T » au signal.Cette proposition demeure obscure, au mieux. Du reste, elle ne se généraliseque maladroitement aux signaux n’ayant qu’une transformée de Fourier.

3.2 Énergie et théorème de Parseval

Il est clair à ce stade qu’un signal constitue la mesure d’un phénomènedynamique se déroulant dans le temps ou dans l’espace. De tels phénomènesont ceci en commun qu’ils constituent un transfert d’énergie d’une partieà une autre d’un système. Par exemple, considérons la mesure du potentielélectrique aux bornes d’un résistor branché à une source. Le signal de po-tentiel constitue une observation du passage du courant électrique dans cecircuit. On sait qu’à cause de l’effet Joule, l’énergie électrique impliquée parce courant est transférée sous forme de chaleur au résistor. Nous allons voircomment un tel transfert d’énergie est « encodé » dans un signal.

3.2.1 Définitions

On définit l’énergie associée à une mesure comme son module élevé aucarré. L’énergie transférée au fil du temps peut donc être modélisé par un


signal dérivé du signal décrivant le phénomène qui nous intéresse : il s’agitde sa densité d’énergie.

Définition 3.1 Soit un signal x(t). La densité temporelle d’énergie (souventabrégé en densité d’énergie) est définie comme

ex(t) = |x(t)|2. (3.4)

Il est souvent intéressant de connaître l’énergie transférée durant un in-tervalle [t0, t1] de temps. Il suffit alors de la cumuler :

ex[t0, t1] =

∫ t1

t0

ex(t)dt =

∫ t1

t0

|x(t)|2dt. (3.5)

Lorsqu’on étend cet intervalle à l’axe du temps en entier, on calcule l’énergietotale du signal.

Définition 3.2 L’énergie totale d’un signal x(t) est

Ex =

∫∞

−∞

|x(t)|2dt. (3.6)

Exemple 3.3 Considérons le signal exponentiel v(t) = e−tu(t). Détermi-nez la proportion de l’énergie totale transférée durant la première seconde,considérant que la transmission du signal commence à t = 0 s.

Résolution Déterminons d’abord la densité d’énergie du signal :

ex = |e−tu(t)|2 = e−2tu(t).

Calculons ensuite son énergie totale, puis l’énergie propagée durant la pre-mière seconde :

Ex =

∫∞

0

e−2tdt =1

2

ex[0, 1] =

∫ 1

0

e−2tdt = −1

2

(e−2t

∣∣1

0=

1

2(1 − e−2) ≈ 0,432 J

Ainsi, environ 0,432/0,5 ≈ 86,5% de l’énergie totale du signal est transféréedurant la première seconde de transmission. ¤

L’énergie peut aussi être répartie et mesurée dans l’espace des fréquences.


Définition 3.3 Soit un signal x(t) ayant pour transformée de Fourier X(ν).La densité spectrale d’énergie (abrégé en spectre d’énergie) est définie comme

Ex(ν) = |X(ν)|2. (3.7)

On peut évidemment mesurer l’énergie sur un intervalle de fréquences [ν0, ν1]comme

Ex[ν0, ν1] =

∫ ν1

ν0

|X(ν)|2dν. (3.8)

Il faut cependant tenir compte ici d’une importante convention concernantl’évaluation de l’énergie de signaux réels dans les fréquences. Le spectred’énergie d’un signal réel est une fonction paire1, c’est-à-dire que Ex(t) =Ex(−t). On tient compte de cette symétrie lorsqu’on calcule l’énergie surun intervalle de fréquences, qu’on appelle alors une bande. Cette bande estdélimitée par des scalaires 0 ≤ ν0 < ν1 et constitue l’ensemble de fréquences

[ν0, ν1] ∪ [−ν1,−ν0].

Le calcul de l’énergie sur la bande [ν0, ν1] est donc

Ex[ν0, ν1] = 2

∫ ν1

ν0

Ex(ν)dν. (3.9)

Cette convention mérite d’être répétée.

Convention 3.1 Pour un signal réel x(t), le calcul de l’énergie sur la bande [ν0, ν1]est le double de l’intégrale définie du spectre d’énergie sur l’intervalle [ν0, ν1].

3.2.2 Conservation de l’énergie entre les représentationsdu signal

Notons que nous avons pris la peine de définir l’énergie totale en termesde l’espace du temps, mais pas en termes de l’espace des fréquences. Intuiti-vement, il semble logique que l’intégration du spectre d’énergie sur tout l’axedes fréquences corresponde à l’énergie totale calculée dans le temps. En effet,la transformée de Fourier n’est qu’une représentation alternative d’un signalautrement décrit dans le temps. Pour étudier cette question, on introduit unrésultat.

1Cela est faux pour les signaux dont la partie imaginaire n’est pas trivialement nulle.


Théorème 3.1 (Théorème de Parseval) Soient deux signaux x(t) et y(t)ayant respectivement X(ν) et Y (ν) comme transformée de Fourier. On aalors ∫

∞

−∞

x(t)y∗(t)dt =

∫∞

−∞

X(ν)Y ∗(ν)dν. (3.10)

Preuve

∫∞

−∞

x(t)y∗(t)dt

=

∫∞

−∞

∫∞

−∞

X(ν)e2iπνtdνy∗(t)dt

=

∫∞

−∞

X(ν)

∫∞

−∞

y∗(t)e2iπνtdtdν

=

∫∞

−∞

X(ν)

(∫∞

−∞

y(t)e−2iπνtdt

)∗

dν

=

∫∞

−∞

X(ν)Y ∗(ν)dν ¤

Un corollaire de ce théorème nous procure une règle de conservation del’énergie entre les représentations temporelle et fréquentielle du signal.

Théorème 3.2 L’énergie totale d’un signal est la même, qu’elle soit mesuréedans le temps ou dans les fréquences. Formellement,

Ex =

∫∞

−∞

ex(t)dt =

∫∞

−∞

Ex(ν)dν. (3.11)

Preuve Comme ex(t) = |x(t)|2 = x(t)x∗(t) et Ex(ν) = |X(ν)|2 = X(ν)X∗(ν),on obtient la relation (3.11) par le théorème de Parseval (3.1). ¤

Exemple 3.4 (Problème 1.36) Vérifiez la loi de conservation de l’énergiepour le signal x(t) = e−2tu(t) et déterminez la proportion de l’énergie totalecomprise dans la bande [0, 1] Hz.


Résolution Cet exemple est la suite de l’exemple 3.3, présenté à la page 62.Vérifions d’abord la loi de conservation. Il faut pour cela déterminer le spectrede puissance du signal.

x(t) = e−2tu(t)

⇒ X(ν) =1

1 + 2iπν

⇒ |X(ν)|2 =1

|1 + 2iπν|2

=1

1 + 4π2ν2.

Ainsi, en calculant l’énergie totale dans l’espace des fréquences,

Ex =

∫∞

−∞

1

1 + 4π2ν2dν.

On opère le changement de variables u = 2πν, menant à la relation différen-tielle 1

2πdu = dν, et on calcule

Ex =1

2π

∫∞

−∞

1

1 + u2du

=1

2π(arctan u|∞

−∞

=1

2π

(π

2+

π

2

)

=1

2.

Calculons maintenant l’énergie incise dans la bande [0, 1] Hz. Comme x(t)est un signal réel,

E[0, 1] = 2

∫ 1

0

1

1 + 4π2ν2dν

=1

π(arctan ν|2π

0

=1

πarctan 2π

≈ 0,450.

La bande [0, 1] Hz comporte donc environ 90% de l’énergie totale. ¤


3.2.3 Énergie, auto-corrélation et systèmes linéaires

L’énergie peut, du reste, être calculée en termes d’autres outils d’analyseque nous avons vus au cours des chapitres précédents. Lions-la d’une partà l’auto-corrélation et, d’autre part, jetons un coup d’oeil à l’impact d’unsystème linéaire sur l’énergie d’un signal.

Auto-corrélation

Théorème 3.3 Pour un signal réel x(t) (pour lequel x(t) = x∗(t)), on a

Ex(ν) = |X(ν)|2 = F [Rx(t)](ν). (3.12)

Cette relation est très utile pour analyser les signaux aléatoires, pourlesquels on ne connaît parfois que la fonction d’auto-corrélation.

Système linéaire

Soit un système linéaire ayant H(ν) comme réponse fréquentielle. Partantde l’expression de la sortie du système dans l’espace des fréquences, on peutdéterminer le spectre d’énergie de la sortie :

Y (ν) = H(ν)X(ν)

⇒ |Y (ν)|2 = Ey(ν) = |H(ν)X(ν)|2

= |H(ν)|2|X(ν)|2

= |H(ν)|2Ex(ν). (3.13)

Exemple 3.5 Soit le signal x(t), dont le spectre d’énergie est

Ex(ν)

ν50-50

10

On fait passer x(t) par un filtre passe-haut idéal de gain unitaire et de fré-quence de coupure νc = 10 Hz. Quelle est l’énergie totale du signal à la sortiedu filtre ?

3.3. PUISSANCE 67

Résolution Illustrons les spectres d’énergie du filtre et de la sortie :

10ν

50-50

ν

1

H(ν) = |H(ν)|2

Ey(ν)

-10

L’énergie totale de la sortie du filtre est donc l’aire des deux triangles re-présentés ci-haut. Nous devons donc en déterminer la hauteur. En ce sens,déterminons la pente m de la droite formant le côté supérieur du triangle dedroite :

m =0 − 10

50 − 0= −

1

5.

Sachant que l’ordonnée à l’origine de cette droite est b = 10 (à cause de lareprésentation de Ex(ν)), ont peut déduire la hauteur h comme

h = Ey(10) = 10 −1

5(10) = 8.

Par conséquent,

Ey = 2

(40 × 8

2

)

= 320. ¤

3.3 Puissance

Évidemment, le calcul de l’énergie totale (équation 3.11) n’est pas convergentpour tous les signaux. Certains ont effectivement une énergie totale infi-nie ; c’est le cas notamment des signaux périodiques. Dans ce cas particulier,l’usage d’un signal périodique constitue effectivement une approximation dela réalité, puisque le phénomène décrit par le signal n’est pas éternel.

Lorsque l’énergie totale d’un signal est ainsi infinie, plutôt que de s’in-téresser à la quantité totale d’énergie transmise, on peut étudier la quantité


d’énergie transmise par unité de temps : il s’agit de la puissance d’un signal.On en arrive à distinguer ainsi deux catégories de signaux au sens de l’infor-mation énergétique globale qu’on peut en tirer : les signaux d’énergie, dontl’énergie totale est finie, et les signaux de puissance.

3.3.1 Puissance moyenne et spectre de puissance

Puisque les signaux de puissance ont une énergie totale triviale, on définitun concept alternatif pour tracer un portrait global du signal au sens de sonénergie.

Définition 3.4 La puissance moyenne d’un signal de puissance x(t) est dé-finie comme

|x(t)|2 = limT→∞

1

2T

∫ T

−T

|x(t)|2dt. (3.14)

On remarque que, malgré la présence de la notation fonctionnelle (t) dans

le symbole |x(t)|2, cette quantité est un scalaire constant pour le signal, et nonune fonction. La puissance moyenne du signal exprime la quantité d’énergietransférée en moyenne par unité de temps.

Exemple 3.6 Soit un signal x(t) à bande limitée [−B,B]. Soit aussi le si-gnal y(t) = x(t) cos 2πν0t, où ν0 > B. Montrons que

|y(t)|2 =1

2|x(t)|2.

Résolution

|y(t)|2 = |x(t)|2 cos2 2πν0t

=1

2|x(t)|2 +

1

2|x(t)|2 cos 4πν0t.

Il nous suffit donc de montrer que

I =

∫∞

−∞

1

2|x(t)|2 cos(4πν0t)dt = 0.

Définissons

z(t) =1

2|x(t)|2 cos 4πν0t;

3.3. PUISSANCE 69

ainsi,

I =

∫∞

−∞

z(t)dt = Z(0),

où Z(ν) dénote la transformée de Fourier de z(t). Tâchons donc de concevoirl’aspect du spectre Z(ν).

Dans ce but, examinons les caractéristiques spectrales de |x(t)|2. Comme x(t)est à bande limitée entre [−B,B], sa densité d’énergie doit être un signal àbande limitée entre [−2B, 2B]. En effet, comme |x(t)|2 = x(t)x∗(t), sa trans-formée de Fourier sera la convolution de X(ν) et de X∗(−ν), tous deuxspectres ayant pour support fréquentiel [−B,B]. Comme la convolution designaux ayant un support fini central a un support fini central doublementplus long, on conclut que |x(t)|2 est à bande limitée [−2B, 2B].

Revenons donc à Z(ν). Comme z(t) consiste en le produit d’une sinusoïdede fréquence 2ν0 et de |x(t)|2, son spectre est la convolution de celui de |x(t)|2

par une paire de diracs centrés respectivement en −2ν0 et 2ν0. Le spectrede z(t) consiste donc en la superposition de deux « copies » de F [|x(t)|2](ν)respectivement centrées en −2ν0 et 2ν0. Chacune de ces « copies » a unsupport fini allant de −2ν0 − B (respectivement 2ν0 − B) à −2ν0 + B (res-pectivement 2ν0 + B). Ceci dit, on a supposé dans l’énoncé que ν0 > B. Parconséquent, les « copies » ne se chevauchent pas, et Z(0) = 0 = I. ¤

Malgré que l’énergie totale des signaux de puissance soit triviale, il de-meure possible de mesurer l’énergie transmise par un signal durant une pé-riode finie, ou sur une bande finie. Par ailleurs, on peut calculer la puissancedu signal sur un certain intervalle de temps ou de fréquence.

On définit une densité spectrale de puissance, soit une répartition de lapuissance du signal entre les composantes de diverses fréquences.

Définition 3.5 La restriction centrale de longueur 2T d’un signal de puis-sance x(t), dénommée xT (t), consiste en x(t) dont on contraint le support àl’intervalle [−T, T ]. Formellement,

xT (t) = x(t)Rect[−T,T ](t). (3.15)

On note que la restriction centrale d’un signal de puissance est un signald’énergie.2

2Il faut aussi que le signal soit absolument intégrable, évidemment.


Définition 3.6 La densité spectrale de puissance (abrégé en spectre de puis-sance) d’un signal x(t) est définie comme

Sx(ν) = limT→∞

1

2T|XT (ν)|2, (3.16)

où XT (ν) consiste en la transformée de Fourier de xT (t).

Cette définition du spectre de puissance permet l’établissement d’unerègle de conservation de la puissance moyenne entre ses représentations tem-porelle et spectrale.

Théorème 3.4 La puissance moyenne est évaluée par l’intégrale définie duspectre de puissance sur l’axe des fréquences en entier. Formellement,

|x(t)|2 = limT→∞

1

2T

∫ T

−T

|x(t)|2dt =

∫∞

−∞

Sx(ν)dν. (3.17)

Preuve Comme la restriction centrale du signal x(t) est un signal d’énergie,le théorème 3.2 permet de poser

∫∞

−∞

exT(t)dt =

∫∞

−∞

ExT(ν)dν

∫∞

−∞

|x(t)|2dt =

∫∞

−∞

|XT (ν)|2dν

1

2T

∫∞

−∞

|xT (t)|2dt =1

2T

∫∞

−∞

|XT (ν)|2dν

1

2T

∫ T

−T

|x(t)|2dt =

∫∞

−∞

1

2T|XT (ν)|2dν

limT→∞

1

2T

∫ T

−T

|x(t)|2dt = limT→∞

∫∞

−∞

1

2T|XT (ν)|2dν

limT→∞

1

2T

∫ T

−T

|x(t)|2dt =

∫∞

−∞

limT→∞

1

2T|XT (ν)|2dν

limT→∞

1

2T

∫ T

−T

|x(t)|2dt =

∫∞

−∞

Sx(ν)dν = |x(t)|2. ¤

3.3. PUISSANCE 71

3.3.2 Signaux de puissance, auto-corrélation et systèmeslinéaires

Comme nous l’avons vu pour les signaux d’énergie à la section 3.2.3, nouspouvons introduire des relations intéressantes entre le spectre de puissanceet certains outils d’analyse des signaux.

Auto-corrélation

Nous devons étirer quelque peu la définition de la fonction d’auto-corrélationpour établir une relation similaire à l’équation (3.12).

Définition 3.7 On redéfinit la fonction d’auto-corrélation d’un signal depuissance réel x(t) comme

Rx(t) = limT→∞

1

2TRxT

(t), (3.18)

où RxT(t) est la fonction d’auto-corrélation du signal d’énergie xT (t).

Théorème 3.5 Si le spectre de la fonction d’auto-corrélation d’un signal depuissance x(t) correspond à la fonction vers laquelle converge la transforméede Fourier de RxT

quand T tend vers l’infini, alors

Sx(ν) = F [Rx(t)](ν). (3.19)

Preuve

Sx(ν) = limT→∞

F

[1

2TRxT

(t)

]

(ν) = F

[

limT→∞

1

2TRxT

(t)

]

(ν) = F [Rx(t)](ν).

(3.20)La longue prémisse du théorème assure l’égalité centrale. ¤

La plupart des signaux que nous manipulons satisfont la prémisse duthéorème 3.5. Un exemple d’un signal qui ne la satisfait pas serait tel que safonction d’auto-corrélation puisse être définie par les relations

{

f(t) = 0limt→∞

f(t) = δ(t).

Il convient de rappeler que, malgré la similitude entre les relations (3.19)et (3.12), le spectre de puissance est une quantité fondamentalement diffé-rente du spectre d’énergie, et ne peut lui être librement substitué.


Systèmes linéaires

En partant de la relation que nous avons vue pour les signaux d’énergie,on peut voir que

Ey(ν) = |H(ν)|2Ex(ν)

|YT (ν)|2 = |H(ν)|2|XT (ν)|2

1

2T|YT (ν)|2 =

1

2T|H(ν)|2|XT (ν)|2

limT→∞

1

2T|YT (ν)|2 = |H(ν)|2 lim

T→∞

1

2T|XT (ν)|2

Sy(ν) = |H(ν)|2Sx(ν). (3.21)

Observez comment c’est le spectre d’énergie du filtre qui est multiplié par lespectre de puissance de l’entrée pour déterminer celui de la sortie.

Exemple 3.7 Calculons la puissance moyenne de la sortie y(t) d’un filtredont la réponse fréquentielle est

−2ν0

A

H(ν)

ν2ν0

et dont l’entrée x(t) à pour fonction d’auto-corrélation

Rx(t) = A cos(2πν0t).

Résolution Déterminons d’abord Sx(ν).

Sx(ν) = F [Rx(t)](ν) =A

2[δ(ν − ν0) + δ(ν + ν0)]. (3.22)

Le spectre de puissance de la sortie correspond donc au produit de celui del’entrée et du spectre d’énergie du filtre, évalué à la position des diracs :

Sy(ν) =A

2[δ(ν − ν0) + δ(ν + ν0)] ×

(A

2

)2

=A3

4[δ(ν − ν0) + δ(ν + ν0)].

3.4. SIGNAUX PÉRIODIQUES 73

Ainsi, la puissance moyenne de la sortie est

|y(t)|2 =

∫∞

−∞

Sy(ν)dν = 2 ×A3

4=

A3

2. ¤

3.4 Signaux périodiques

Les signaux périodiques constituent un sous-ensemble très intéressant dessignaux de puissance. En effet, les outils de description de la puissance sesimplifient élégamment pour ces signaux. Cela est dû au fait que les calculs delimite d’intégration sur la restriction centrale d’un signal périodique tendentvers l’intégrale sur une seule période du signal. En d’autres termes, si x(t)est périodique et de période T0,

limT→∞

1

2T

∫ T

−T

φ(x(t))dt =1

T0

∫

T0

φ(x(t))dt. (3.23)

En particulier, la puissance moyenne d’un signal périodique peut être évaluéeà partir de la représentation temporelle du signal par l’intégrale

|x(t)|2 =1

T0

∫

T0

|x(t)|2dt. (3.24)

En révisant les résultats dérivés pour les signaux de puissance, nous verronscomment ils s’expriment en termes du développement en série de Fourier dessignaux périodiques.

3.4.1 Auto-corrélation, spectre de puissance et systèmeslinéaires

Puisque x(t) est périodique (période T0), on peut le décomposer en sériede Fourier, dont les coefficients sont Xn. Dans ce cadre, on rappelle que

x(t) =∑

n∈Z

Xne2iπnt/T0 ;

ainsix(t + τ) =

∑

n∈Z

Xne2iπn(t+τ)/T0 .


En utilisant la définition 3.7, exprimons la fonction d’auto-corrélation de x(t) :

Rx = limT→∞

1

2TRxT

(t)

=1

T0

∫

T0

x(τ)x(t + τ)dτ

=1

T0

∫

T0

x(τ)

(∑

n∈Z

Xne2iπn(t+τ)/T0

)

dτ

=∑

n∈Z

Xne2iπnt/T0

(1

T0

∫

T0

x(τ)e2iπnτ/T0dτ

)

︸︷︷︸

X∗n

⇒ Rx =∑

n∈Z

|Xn|2e2iπnt/T0 (3.25)

Par conséquent, le spectre de puissance de x(t) s’exprime comme

Sx(ν) = F [Rx(t)](ν) =∑

n∈Z

|Xn|2δ

(

ν −n

T0

)

. (3.26)

Cette expression a la forme algébrique typique d’un spectre de raies. De cefait, la puissance moyenne peut être calculée avec la représentation harmo-nique du signal comme

|x(t)|2 =

∫∞

−∞

Sx(ν)dν =∑

n∈Z

|Xn|2. (3.27)

De plus, on conçoit de ce fait que le spectre de puissance de la sortie d’unsystème linéaire (de réponse fréquentielle H(ν)) ayant un signal périodiqueen entrée sera à son tour un spectre de raies. Par conséquent, la sortie dufiltre sera aussi un signal périodique. Les coefficients du spectre de puissancede la sortie s’expriment en termes de ceux du spectre de puissance de l’entréecomme

|Yn|2 =

∣∣∣∣H

(n

T0

)∣∣∣∣

2

|Xn|2. (3.28)

Exemple 3.8 Trouvons le spectre de puissance et la puissance moyenne dusignal

x(t) = A cos(2πν0t + φ).

3.4. SIGNAUX PÉRIODIQUES 75

Résolution Pour obtenir le développement en série de Fourier de x(t),exprimons ce signal à l’aide d’exponentielles complexes :

x(t) =A

2(e2iπν0t+iφ + e−2iπν0t−iφ)

=A

2eiφe2iπν0t +

A

2e−iφe−2iπν0t.

Il apparaît donc que

Xn =

A2eiφ si n = 1

A2e−iφ si n = −1

0 sinon.

Ainsi,

Sx(ν) =

∣∣∣∣

A

2eiφ

∣∣∣∣

2

δ(ν + ν0) +

∣∣∣∣

A

2e−iφ

∣∣∣∣

2

δ(ν − ν0)

=A2

4[δ(ν + ν0) + δ(ν − ν0)];

|x(t)|2 = 2A2

4=

A2

2. ¤

Exemple 3.9 Soit l’onde carrée

1

t

T-1

Déterminons sa puissance moyenne et sa puissance à la fréquence fondamen-tale.

Résolution Pour la puissance moyenne, c’est trivial : en limitant l’intégra-tion à un cycle de l’onde carrée, on se trouve à calculer l’aire d’un rectangle

de largeur T et de hauteur 1. Donc, |x(t)|2 = T .Pour connaître la puissance à la fondamentale, il faut obtenir le dévelop-

pement en série de Fourier de l’onde carrée. C’est possible de le faire par


calcul direct, mais on peut se l’épargner en passant plutôt par la transfor-mée de Fourier d’un rectangle. Appelons rT/2(t) un signal rectangulaire dehauteur 1 et de largeur T/2. Le spectre de ce signal est donc

RT/2(ν) =T

2Sa

(πνT

2

)

.

De plus, comme ce signal rT/2(t) est à support fini, on peut en calculer ledéveloppement en série de Fourier. Ce développement correspond, on le sait,à celui du signal périodique dont chaque cycle correspond à notre signalrectangulaire. On a alors

Rn =1

T

∫ T/2

0

rT/2(t)e−2iπnt/T ,

correspondant à l’évaluation du spectre en ν = n/T . Ainsi,

Rn =1

TRT/2

(n

T

)

=1

2Sa

(πn

2

)

=

12

si n = 00 si n est pair(−1)

|n|−1

2

πnsi n est impair.

Ceci dit, on peut voir notre onde carrée x(t) comme une simple dilatation ettranslation de rT/2(t) :

x(t) = 2rT/2(t) − 1.

Ainsi,

Xn =

{0 si n est pair2

πn(−1)

|n|−1

2 si n est impair,

d’où

|Xn|2 =

{0 si n est pair

4π2n2 si n est impair.

Attendu que l’onde carrée x(t) est un signal réel, ayant égard à la conven-tion 3.1, la puissance du signal à la fréquence fondamentale est

2|X1|2 =

8

π2≈ 0,811. ¤

3.5. APPLICATION 77

3.5 Application : accord d’un instrument demusique

Nous allons maintenant démontrer comment on utilise en pratique l’éner-gie et la puissance des signaux. En ce sens, nous allons présenter un modèledes notes de musique émises par un instrument, et comment on peut utiliserce modèle pour calibrer la justesse de cet instrument, c’est-à-dire l’accorder.Nous allons aussi quantifier la marge d’erreur de cette calibration.

3.5.1 Son, fréquence et note

Un son est une simple oscillation de la pression de l’air. Ce qu’on perçoitcomme la hauteur du son correspond à la fréquence de cette oscillation.L’oreille humaine perçoit des oscillations dans un domaine de fréquencesallant de d’environ 20 Hz à environ 20000 Hz. Notez comment la différenceentre ces bornes est aisément mesurée en termes logarithmiques — en d’autrestermes, 20 kHz = 103 × 20 Hz. Cela est en accord avec nos observationsquant à la perception de la hauteur du son. En effet, l’oreille humaine a unesensibilité logarithmique à la fréquence. Par exemple, soient trois sons defréquences respectives 100 Hz, 200 Hz et 400 Hz. Un auditeur de ces troissons percevrait que la progression de la hauteur du son est linéaire.

Un autre exemple est celui des gammes (do, ré, mi. . . ), comme nous lesrépétons à l’école élémentaire. Alors que la progression de la hauteur noussemble par pas « égaux », la fréquence augmente de manière multiplicative.Formellement, pour une note de fréquence f0, la note suivante (plus hauted’un demi-ton) a pour fréquence

f1 = Kf0. (3.29)

Il est assez aisé de déterminer la fréquence rattachée à toutes les notes dela gamme. Premièrement, l’étalon de calibration des instruments de musiqueest un outil appelé diapason. Lorsque frappé, cet instrument métallique vibreà 440 Hz, ce qui correspond au LA central d’un piano (dit LA4). Deuxième-ment, on sait que les notes de la gamme sont au nombre de sept avant d’êtrerépétées : DO, RÉ, MI, FA, SOL, LA, SI. L’intervalle de fréquences entre unenote et sa répétition (en d’autres termes, entre un DO et le DO suivant) senomme un octave et cet intervalle correspond au doublement de la fréquence.Par exemple, LA5, plus haut d’un octave que LA4, a pour fréquence 800 Hz.


Notes Fréquences (Hz)DO 262— —RÉ 294— —MI 330FA 349— —

SOL 392— —LA 440— —SI 494DO 523

Tab. 3.1 – Progression des tons dans la gamme de DO majeure. Chaqueligne du tableau correspond à une augmentation d’un demi-ton.

Troisièmement, on note que la progression en hauteur dans une gamme n’estpas régulière. Les anciens théoriciens de la musique, qui ne quantifiaient pasles fréquences aussi précisément que nous, avaient remarqué que l’augmenta-tion régulière de la hauteur des notes ne donne pas une gamme mélodieuse.Ces théoriciens avaient donc inventé une échelle de hauteur du son gradéeen tons. Entre certaines notes d’une gamme, la hauteur progresse d’un tonentier, alors qu’entre certaines autres, elle ne progresse que d’un demi-ton.Par exemple, dans la gamme dite de DO majeure, qui nous est généralementplus familière, les notes sont réparties comme indiqué par le tableau ??. Onvoit que d’un DO au suivant, la hauteur du son croît de 12 demi-tons. Cesinformations suffisent pour établir le facteur d’augmentation de la fréquencecorrespondant à une progression d’un demi-ton en hauteur. En effet, sachantqu’en augmentant la hauteur d’une note d’un octave, soit de 12 demi-tons,on double sa fréquence, nous avons

2f0 = K12f0

⇒ K = 21/12. (3.30)

3.5. APPLICATION 79

3.5.2 Modélisation

Puisqu’une note émise n’est finalement qu’un son oscillant à une fréquenceprécise déterminée sur la gamme, on peut la modéliser à l’aide d’un signal.

Définition 3.8 Une note pure de fréquence f0 se modélise comme

x̂(t) = cos 2πf0t. (3.31)

Ce modèle a ceci d’imparfait qu’il suppose que la note est soutenue du-rant un temps infini. Évidemment, aucun instrument ne peut soutenir in-définiment une note : l’oscillation est rattachée à une énergie qui diminuerapidement lorsque le musicien interrompt son jeu. Pour les instruments àvent et les instruments à cordes frottées, le son s’arrête dès que le musicienarrête de souffler ; pour les instruments à cordes pincées ou frappées, la cordegarde son énergie d’oscillation un certain temps après la dernière action dumusicien. On peut modéliser cette dégradation de l’oscillation en faisant enincorporant la variation de l’amplitude au modèle.

Définition 3.9 Une note de fréquence f0 est modélisée par le signal

x(t) = v(t)x̂(t) = v(t) cos 2πf0t. (3.32)

La fonction v se nomme l’enveloppe de la note. Cette fonction est continuesur R et son intégrale définie sur R converge.

Puisque, par définition, l’enveloppe est intégrable sur R, sa transforméede Fourier, V (ν), existe. De ce fait, le spectre d’une note est

X = [V ∗ X̂](ν)

= V (ν) ∗1

2[δ(ν − f0) + δ(ν + f0)]

=1

2[V (ν − f0) + V (ν + f0)] . (3.33)

3.5.3 Spectre d’énergie et accord de l’instrument

Déterminons donc le spectre d’énergie de la note :

Ex(ν) =1

4|V (ν − f0) + V (ν + f0)|

2. (3.34)


Théorème 3.6 Soit une enveloppe v(t) à bande limitée [−B,B]. Pour unenote de fréquence f0 > B, le spectre d’énergie de la note peut être écrit comme

Ex(ν) =1

4[Ev(ν − f0) + Ev(ν + f0)]. (3.35)

Preuve

Ex(ν) =1

4|V (ν − f0) + V (ν + f0)|

2

=1

4[ℜ(V (ν − f0) + V (ν + f0))

2 + ℑ(V (ν − f0) + V (ν + f0))2]

=1

4

[ℜ(V 2(ν − f0) + V 2(ν + f0) + 2V (ν − f0)V (ν + f0))

+ ℑ(V 2(ν − f0) + V 2(ν + f0) + 2V (ν − f0)V (ν + f0))

]

Comme V (ν) a pour domaine [−B,B] (par hypothèse), V (ν ± f0) a pourdomaine [±f0 −B,±f0 + B]. Si f0 > B, alors V (ν − f0) et V (ν + f0) ont desdomaines disjoints, d’où V (ν−f0)V (ν+f0) = 0 pour tout ν. Par conséquent,

Ex(ν) =1

4[ℜ(V 2(ν − f0) + V 2(ν + f0)) + ℑ(V 2(ν − f0) + V 2(ν + f0))]

=1

4[ℜ(V 2(ν − f0) + ℑ(V 2(ν − f0)) + ℜ(V 2(ν + f0) + ℑ(V 2(ν + f0))]

=1

4[Ev(ν − f0) + Ev(ν + f0)]. ¤

La figure 3.2 illustre la forme du spectre d’énergie lorsque les conditionsconcernant l’enveloppe et la fréquence de la note sont satisfaites. On voit quece spectre d’énergie correspond à deux « copies » du spectre d’énergie del’enveloppe (« dégonflées » par un facteur 4) recentrées respectivement en f0

et −f0.On déduit de cette forme un procédé de calibration d’un instrument de

musique. Connaissant la fréquence d’une note de référence (LA4 à 440 Hz,par exemple), on obtient le spectre d’énergie de la note telle que jouée parl’instrument. En déterminant le centre des copies du spectre d’énergie del’enveloppe, on obtient une estimation de la fréquence de la note jouée, qu’oncompare à la fréquence connue pour cette note. On ajuste l’instrument jus-qu’à ce qu’il y ait accord entre la fréquence connue et la fréquence entendue.

3.5. APPLICATION 81

Ex(ν)

−f0 f0

ν

Fig. 3.1 – Forme du spectre d’énergie d’une note comme suggéré par l’équa-tion 3.34.

3.5.4 Accord d’un instrument à cordes frottées

Évidemment, si simple cette méthode soit-elle, le diable est dans les dé-tails. Voyons comment on peut l’appliquer à la calibration harmonique d’uninstrument à cordes frottées, tel qu’un violon ou un violoncelle.

Un premier détail consiste à spécifier l’enveloppe v(t). Pour cela, il im-porte de comprendre comment on joue les notes d’un violon. Pour émettre unenote, un violoniste glisse un archet composé de crin de cheval sur les cordesde l’instrument. Le crin entraîne la corde en une vibration constante. Dèsque le glissement de l’archet s’arrête, la vibration est interrompue, puisquel’archet immobile continue de faire pression sur la corde. Même si le violo-niste retire délibérément l’archet pendant le glissement, une corde de violonest si tendue qu’elle ne vibre que très peu lorsqu’elle n’est pas entraînée. Lafigure 3.3(a) illustre le profil du graphe d’une enveloppe répondant à cettedescription. La description algébrique de cet objet est compliquée et on peuts’attendre que le calcul de son spectre le soit tout autant. On peut cepen-dant simplifier le modèle d’enveloppe en ignorant les parties non constantesau début et à la fin de l’enveloppe (figure 3.3(b)).3 On se retrouve avec uneenveloppe rectangulaire, décrite algébriquement comme

v(t) = Rect[t0,t0+T ](t). (3.36)

Le spectre de cette enveloppe est

V (ν) = Te−iπνT Sa(πνT ), (3.37)

3Ces parties sont nommées, respectivement, l’attaque et la dégradation d’une note.


donc son spectre d’énergie est

Ev(ν) = T 2Sa2(πνT ). (3.38)

Ce spectre d’énergie est représenté par la figure 3.3(c).On voit immédiatement que cette enveloppe n’est pas à bande limitée, une

condition nécessaire aux développements de la section 3.5.2. Cependant, onvoit que ce spectre décroît rapidement à mesure qu’on augmente la fréquence.Ainsi, l’énergie du signal est effectivement concentré dans ses composantesde basse fréquence. En ce sens, on peut considérer à toute fin pratique quela bande du signal est limitée : les limites de cette bande sont définies parl’intervalle de fréquence renfermant, disons, plus de 95% de son énergie. Pouridentifier ces limites, procédons par essais et erreurs en identifiant les bornesd’un nombre entier de pics du spectre. Les limites de ces pics correspondentaux zéros du sinus cardinal élevé au carré à la base du spectre. Ainsi,

Sa2(πνT ) = 0

⇒ sin πνT = 0

πνT = nπ

ν =n

T,

où n ∈ Z∗. En d’autres termes, le pic central est borné par l’intervalle de

fréquences [−1/T, 1/T ] ; les pics secondaires sont inclus en étendant à l’inter-valle [−2/T, 2/T ] ; les pics tertiaires, en étendant à l’intervalle [−3/T, 3/T ] ;et ainsi de suite. Donc, calculons l’énergie entre les bornes d’un intervalleétendues par incrément de 1/T pour identifier la bande pratique (BP) del’enveloppe.

∫ 1/T

−1/T

Ev(ν)dν ≈ 0,9028

∫ 2/T

−2/T

Ev(ν)dν ≈ 0,9499

∫ 3/T

−3/T

Ev(ν)dν ≈ 0,9664

Nous considérerons donc que la BP d’une enveloppe rectangulaire de durée Tconsiste en l’intervalle [−3/T, 3/T ].

3.5. APPLICATION 83

t

v(t)

(a) Profil graphique artistique de l’enveloppe d’une note jouée au vio-lon.

v(t)

t

T

(b) Modèle d’enveloppe rectangulaire.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(c) Spectre d’énergie de l’enveloppe rectangulaire (T = 1).

Fig. 3.2 – Enveloppe d’une note de violon et modèle simplifié.


Donc, le spectre d’énergie d’une note de fréquence f0 se présente commedeux copies d’un sinus cardinal élevé au carré ; le pic central de chacunede ces copies est respectivement centré en −f0 et f0. Pour vérifier l’accordde l’instrument, il faut alors comparer notre mesure de f0 à la fréquencequ’on connaît de la note sur laquelle on s’accorde (i.e. 440 Hz pour LA4).Cette mesure de f0 est évidemment associée à une marge d’erreur. Il estvraisemblable de concevoir qu’en observant le spectre d’énergie de la note, lepic central des Sa2 sera facile à localiser. Voyant le pic central, il est permisde penser qu’on déterminera son centre dans les limites de la bande pratiquede l’enveloppe. Ainsi, la fréquence f0 est calculée dans l’intervalle définissantle pic central d’une copie du spectre de l’enveloppe, soit

[f0 −

3T, f0 + 3

T

]. La

marge d’erreur absolue de la calibration est donc ∆f0 = 3/T . Ainsi, pluslongtemps on soutient la note d’accord sur l’instrument, plus précise est lamesure de la fréquence effective de la note. Par exemple, si on calibre à l’aided’une note soutenue pendant 2 secondes, la marge d’erreur sur l’estimationde la fréquence de la note est de 3/2 Hz. Si cette note est le LA4 émis par lapremière corde d’un violon jouée à vide, l’erreur relative de la calibration est

∆f0

fLA4

=3/2

440≈ 0,3%.

Ce protocole de calibration mène donc à un accord très précis de l’instrument.

3.5.5 Pistes à explorer

Il n’est pas possible de soutenir longtemps l’intensité d’une note pourtous les instruments de musique. Par exemple, pour les instruments à cordespincées, tels la guitare et le luth, ou frappées, tels le piano, l’intensité d’unenote se dégrade nécessairement après l’attaque. Pour ces instruments, ondoit mettre en oeuvre des modèles d’enveloppe alternatifs. Ces modèles, àl’instar de l’enveloppe rectangulaire, ne satisfont que rarement les conditionsd’écriture de l’équation (3.34), aussi doit-on étirer notre conception de leurbande, ayant égard à la concentration spectrale de leur énergie.

3.6 Exercices

1. Déterminez le spectre d’énergie des signaux suivants.

(a) v(t) = etRect[0,1](t)

3.6. EXERCICES 85

(b) x(t) = e−t sin(t)u(t)

2. Calculez l’énergie totale du signal x(t) = e−tu(t), ainsi que son énergiesur la bande [0, 1] Hz.

3. Soit le signal v(t) = 4e−2tu(t) soumis à l’entrée d’un filtre de réponsefréquentielle H(ν) ; la sortie est notée y(t).

(a) Quelle est l’énergie totale de v(t) ?

(b) Déterminez l’énergie totale de y(t) si le filtre est un passe-bas idéaldont la fréquence de coupure est 4 Hz.

(c) Calculez l’énergie totale de y(t) si le filtre est un passe-bande idéalqui préserve la bande [1, 2] Hz.

(d) Déterminez l’énergie totale de la sortie du filtre si sa fonction detransfert est

H(s) =1

s + 2.

(e) Quelle est l’énergie totale de y(t) si H(ν) = e−2iπνT , avec T ∈ R ?

4. Pour chacun des signaux suivants, déterminez s’il s’agit d’un signald’énergie ou d’un signal de puissance et, selon le cas, déterminez sonénergie totale ou sa puissance moyenne.

(a) xa(t) = 3[u(t − Ta) − u(t − 6Ta)]

(b) xb(t) = xa(t) cos

(2πt

Tb

)

(c) xc(t) =∑

n∈Z

xb(t − nTc), avec Tc = 15Ta

(d) xd(t) = xa(t) + 1

5. Soient les signaux

x(t) = u(t) − u(t − 1),

y(t) = u

(

t +1

2

)

− u

(

t −1

2

)

et

z(t) = sin(πt).

(a) Considérons v(t) = x(t) + y(t). S’agit-il d’un signal d’énergie oude puissance ? Selon le cas, déterminez son énergie totale ou sapuissance moyenne.


(b) Considérons w(t) = (x∗z)(t). Ce signal en est-il un d’énergie ou depuissance ? Selon le cas, déterminez son spectre d’énergie Ew(ν)ou son spectre de puissance Sw(ν).

6. Soit x(t), un signal périodique de période Tx = 5 × 10−2 s, dont lescoefficients du développement en série de Fourier sont

Xn =

1 si n ∈ {0,−4, 4}±i si n = ±10 sinon.

Soit aussi y(t), un signal dont le spectre est

Y (ν) =150

125 + 2iπν.

(a) Soit z(t) = (x ∗ y)(t). Déterminez |z(t)|2.

(b) Soit v(t) = x(t) + y(t). Déterminez |v(t)|2.

7. Soit le signal x(t) = 3 cos(2πν1t)+4 sin(2πν2t), où ν1 = 60 Hz et ν2 = 90 Hz.Le signal x(t) est appliqué à l’entrée d’un filtre dont la fonction detransfert est

H(s) =1

120πs

+ 1.

(a) Trouvez Sy(ν), le spectre de puissance du signal y(t) à la sortiedu filtre.

(b) Évaluez |y(t)|2, la puissance moyenne de y(t).

8. Un signal v(t) est appliqué à l’entrée d’un filtre de réponse fréquen-tielle H(ν). Respectivement,

· · ·

t

v(t)1

-1

T/2−T/2· · ·

et

3.6. EXERCICES 87

6/π

H(ν)4

ν−6/π

Évaluez. . .

(a) la puissance moyenne de v(t),

(b) la puissance moyenne de la sortie du filtre si T = 2π/3

(c) et la puissance moyenne de la sortie du filtre si T = π/6.

9. Soit le signal x(t) = sin(4πt) modifié par un filtre dont la fonction detransfert est

H(s) =1

s + 1.

On note y(t) le signal qui en découle.

(a) Déterminez Sx(t), le spectre de puissance de x(t).

(b) Calculez |x(t)|2.

(c) Déterminez Sy(t), le spectre de puissance de la sortie du filtre.

(d) Calculez |y(t)|2.

10. Soit un signal périodique x(t), de période Tx = 5 × 10−3 s, dont lescoefficients du développement en série de Fourier sont

Xn =

1 si n = ±1

±i

5si n = ±2

1 ∓ 2i

10si n = ±4

0 sinon.

On définit le taux de distorsion harmonique (TDH%) d’un signal de lamanière suivante :

TDH% =

∣∣∣∣

Ph

Pf

∣∣∣∣,

où Ph dénote la puissance des harmoniques autres que la fondamentaleet où Pf dénote la puissance de la fondamentale.

(a) Évaluez le TDH% du signal x(t).


(b) Évaluez le TDH% du signal y(t) obtenu à la sortie du filtre defonction de transfert

H(s) =1

s400π

+ 1.

11. Soit le signal de puissance v(t). Soit aussi le signal

x(t) = v(t) + av(t − T ) (a ∈ R);

on peut voir que x(t) constitue la sortie d’un filtrage linéaire de v(t).Démontrez que

|x(t)|2 = (1 + a2)|v(t)|2 + 2aRv(T ),

où Rv(T ) est l’évaluation de la fonction d’auto-corrélation de v(t) en t = T .

12. En vous servant des indications données à la section 3.5.1. . .

(a) Déterminez le facteur de dilatation de la fréquence d’une notecorrespondant à l’augmentation en hauteur d’un demi-ton.

(b) Déterminez aussi la fréquence des notes de la gamme dont le LAest le LA4 de calibration.

13. Concernant l’écriture du spectre d’énergie d’une note comme la sommede décalages du spectre d’énergie de son enveloppe. . .

(a) Quelle condition doivent satisfaire la fréquence d’une note f0 et laborne B de la bande du spectre de l’enveloppe pour que le spectred’énergie de la note (équation (3.33)) s’écrive commel’équation (3.34) ?

(b) Spécifiez cette condition pour le cas de l’enveloppe rectangulaireétudiée à la section 3.5.4.

14. Tracez le spectre d’énergie d’une note de fréquence suffisamment bassepour que la condition énoncée dans le cadre de l’exercice 13a ne soitpas satisfaites, en employant l’enveloppe

v(t) = Sa(πt).

Qu’observez-vous de particulier ?

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