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NOMBRES ENTIERS ET DECIMAUX Cycles 2 et 3 Roland Charnay - 2017 1

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NOMBRES ENTIERS ET DECIMAUX

Cycles 2 et 3

Roland Charnay - 2017

1

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Sur les enjeux d’apprentissage

Roland Charnay - 2017

2

La résolution de problèmes constitue le critère principal de la

maitrise des connaissances dans tous les domaines des

mathématiques….

… mais elle est également le moyen d’en assurer une

approriation qui en garantit le sens.

On veille aussi à proposer aux élèves des problèmes pour

apprendre à chercher qui ne soient pas directement reliés à la

notion en cours d’étude, qui ne comportent pas une seule

solution, qui ne se résolvent pas uniquement avec une ou

plusieurs opérations mais par un raisonnement et des

recherches par tâtonnement. Extrait du programme C3

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Roland Charnay - 2017

3

- 30 000

Tablette sumérienne - 3 500

- 300 400 (avec 0)

800

1 585 Stevin

1 592 Magini 19,178

° 19178 1 595 Bürgi

1 200

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LES LIMITES DE L’APPRENTISSAGE A COUP DE REGLES

Enseigner des règles ou aider à comprendre ?

L’exemple de la multiplication par 10, 100…

Roland Charnay - 2017

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Multiplier par 100

Règle pour les nombres entiers :

Écrire deux 0 à droite

24 x 100 = 2 400

Règle pour les nombres décimaux :

Déplacer la virgule de 2 rangs vers la droite

2,345 x 100 = 234,5

2,34 x 100 = 234 (disparition de la virgule)

4,7 x 100 = 470 (disparition de la virgule, et … apparition de 0 !)

Roland Charnay - 2017

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Résultats et difficultés

2,3 x 10 (évaluation 6e) 23 64 %

20,3 ou 2,30 ou 20,30 20 % La virgule "frontière" et "écrire un 0"

230 5 % La virgule "absente" et "écrire un 0"

35,2 x 100 (évaluation 6e) 3 520 47 %

3500,2 ou 35,200 ou 3 500,200 15 % La virgule "frontière"

352 15 % Que faire quand la virgule "disparaît" ?

Roland Charnay - 2017

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Comment justifier que 20,45 x 10 = 204,5 ? Ou comment trouver la réponse sans connaître de règle ?

Comprendre l'écriture 20,45, par exemple en unités de numération :

2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes

Savoir que multiplier 2 dizaines + 4 dixièmes + 5 centièmes par 10 revient à multiplier chaque "terme de la décomposition" par 10, donc on obtient :

20 dizaines + 40 dixièmes + 50 centièmes

Savoir que 20 dizaines, c'est 2 centaines (car 10 dizaines, c'est 1 centaine)…

Savoir que 40 dixièmes, c'est 4 unités (car 10 dixièmes, c'est 1 unité)

Savoir que 50 centièmes, c'est 5 dixièmes (car 10 centièmes, c'est 1 dixième)

2 centaines + 4 unités+ 5 dixièmes

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En résumé (dans le tableau de numération) pour 20,45 x 10

milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

2

2

0

0,

4,

4

5

5

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8

,

La virgule n’a pas changé de place !

Mais chaque chiffre a pris une valeur « 10 fois plus grande ».

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en réalité…

Ce n'est pas la virgule qui se déplace, mais les chiffres qui "changent" de valeur… donc de place (déplacement vers la gauche)

C'est le même phénomène pour les entiers que pour les décimaux !

Roland Charnay - 2017

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En résumé (dans le tableau de numération) pour 20,45 x 10 37 x 10 0,4 x 10

milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

2

3

2

0

3

7

0

0,

4,

7

0

0,

4

4

5

4

5

Roland Charnay - 2017

10

,

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Illustration par un matériel (bande déplaçable)

milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes

Roland Charnay - 2017

11

, 2 0 4 5

2 0 4 5

3 7

3 7 0

0 4

0 4

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Avec d’autres systèmes de numération (exemple du système romain)

CCXL (240)

Roland Charnay - 2017

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Multiplier XXIV par D (24 par 10)

Méthode :

Remplacer chaque symbole par un symbole de valeur dix fois supérieure.

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TACHES, TECHNIQUES et JUSTIFICATIONS

Roland Charnay - 2017

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Enseignement centré sur…

Multiplier par 10, 100…

Tâche

- Déplacement

de la virgule

- ou des chiffres

Technique

MECANISME

Chaque chiffre prend une valeur 10

fois, 100 fois supérieure

Justification

COMPREHENSION

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Avec du matériel Exemple de 12 x 10

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14

12

120

10 fois 12 ?

1

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Avec du matériel Exemple de 0,12 x 10

Roland Charnay - 2017

15

0,12

1,2

10 fois 0,12 ?

1

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UN TRIPLE CODE POUR REPRÉSENTER

LES NOMBRES.

Roland Charnay - 2017

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Triple code et « petits nombres »

Roland Charnay - 2017

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quatre 4

Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres

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Roland Charnay - 2017

18

1

174 cent soixante-quatorze

Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres

Triple code et « numération des entiers »

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Roland Charnay - 2017

19

1,74

Un, sept dixièmes et quatre centièmes

Un et soixante-quatorze centièmes

1

Etre capable de « naviguer » entre ces 3 registres

Triple code et « numération des décimaux »

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REPÈRES POUR L’ENSEIGNEMENT

Des premières connaissances sur les nombres…

… aux nombres décimaux

Roland Charnay - 2017

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Roland Charnay - 2017

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MAITRISER LES NOMBRES

Connaitre des problèmes qu’ils permettent de

résoudre

Utiliser et élaborer des résultats, des

techniques

Connaitre des propriétés

Maitriser des désignations

- numération

- arithmétique

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Premières connaissances arithmétiques sur les nombres,

de la maternelle au CP

Roland Charnay - 2017

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Les nombres pour exprimer, mémoriser, communiquer…

…des quantités

aspect cardinal

Prendre une quantité de valeur

donnée

Réaliser une quantité égale

(plus importante, moins

importante) qu’une quantité

donnée

Modifier une quantité pour la

rendre égale à une quantité

donnée

Comparer des quantités

… des rangs

aspect ordinal

Indiquer une position

Replacer un objet à sa

position

Comparer des positions

Roland Charnay - 2017

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Les nombres pour anticiper…

Sur des quantités

aspect cardinal

Résultat d’une augmentation ou d’une diminution

Valeur de la transformation

Etat avant transformation

Résultat d’un partage

Sur des rangs

aspect ordinal

Position après un déplacement (en avant ou en arrière)

Valeur du déplacement

Position avant déplacement

Roland Charnay - 2017

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Exemple de l’utilisation des nombres pour

anticiper le résultat d’actions sur les quantités.

Augmentation et diminution.

Exemple en début de CP

Roland Charnay - 2017

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Roland Charnay - 2017

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Un exemple de problème fondamental Dix dans la boite (Cap maths CP)

- 2 joueurs

- 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup.

- Faire en sorte d’arriver à avoir 10 jetons dans la boite

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Roland Charnay - 2017

27

Dix dans la boîte : 3 problèmes

Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup

Plusieurs solutions… dont la notation avec les nombres

Connaître le contenu de la boîte Vers l’addition

Savoir s’il est possible de gagner au coup suivant

Vers le complément

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Roland Charnay - 2017

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ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation

Réel

Il favorise l’appropriation de la situation et du

problème

Anticipation

Elle incite à

l'expérience mentale

Il permet la validation de la réponse ou d'une

procédure

Elle oblige à élaborer des procédures

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Roland Charnay - 2017

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Le travail sur fiche

ne remplace pas l'expérience…

mais peut la prolonger.

(entrainement nécessaire).

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Situation « Dix dans la boite »

resituée dans une progression.

Roland Charnay - 2017

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Avant "Dix dans la boite"

Combien de jetons dans la boîte ? (nombres de 1 à 10)

• Expérience effective avec anticipation : ajout et retrait de 1, de 2 ou de 3

• Expérience évoquée (idem)

• Décontextualisation : "3, j'ajoute 2"

Roland Charnay - 2017

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Après "Dix dans la boite"

• Entraînement : calcul oral

"trois plus un", "quatre moins deux"

• Nouveaux problèmes : "Où suis-je ?" déplacements sur la ligne numérique

• Mise en place d'un langage symbolique (3 + 1, 4 – 2) répertoire de ce qu'on sait par cœur

• Décomposition des nombres sous forme de sommes et de différences

Roland Charnay - 2017

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Roland Charnay - 2017

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NOMBRES ENTIERS NUMERATION

Cycle 2

Roland Charnay - 2017

34

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Des réussites parfois trompeuses (à l’entrée en sixième)

• Les compétences « techniques » sont les plus évaluées

– Lire / écrire des nombres 85 % à 95 %

– Comparer / ranger des nombres 70 % à 90 %

• Pourtant à l'entrée en sixième…

– Ecris en chiffres 25 dizaines 41 %

Roland Charnay - 2017

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NUMÉRATION ORALE JUSQU’À 99

Numération écrite et numération orale Etude conjointe ou étude disjointe ?

Roland Charnay - 2017

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Pas de système

Un chiffre un mot (jusqu’à 9)

Deux chiffres un mot (jusqu’à 16)

Une dizaine un mot (de 20 à 69)

Une dizaine un ou plusieurs mots (de 70 à 99)

NUMÉRATION ORALE JUSQU’À 999

Un système On dit le nombre de « cents » (ou le sous-entend) 312 trois-cent-douze (112 cent-douze)

NUMÉRATION ORALE AU-DELÀ DE 1 000

Un nouveau système Base mille On dit le nombre de « mille », de « millions »… 602 012 six-cent-deux-mille-douze

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NUMÉRATION ÉCRITE

Numération écrite et numération orale Etude conjointe ou étude disjointe ?

Roland Charnay - 2017

37

Un système général Comprendre un nombre permet de les comprendre tous

Chaque chiffre indique une valeur liée à son rang

Au CP 32 3 dizaines , 2 unités 76 7 dizaines , 6 unités 90 9 dizaines , 0 unité

Au CP, en particulier, l’étude de la numération écrite peut (doit) être, à certains moments, disjointe de celle de la numération orale.

La lecture de certains nombres n’aide pas à comprendre leur désignation écrite.

La désignation écrite peut être comprise sans que la lecture soit assurée.

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VALEUR POSITIONNELLE DES CHIFFRES

Deux moments importants au CP

- Passage de la suite orale aux groupements par dix (appui

possible sur la désignation orale)

- Groupements par dix et place des chiffres

Roland Charnay - 2017

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Roland Charnay - 2017

39

Passage de la suite orale aux groupements par dix (appui sur la désignation orale)

Les régularités des suites écrites et orales… …jusqu'à 39, puis jusqu'à 59

• Dès la GS et en début de CP, les élèves sont familiarisés avec :

– les régularités de la suite écrite (référence au compteur)

– les régularités de la suite orale organisée par des mots-clés (au-

delà de vingt) :

• vingt et trente, d'abord

• vingt, trente, quarante et cinquante, ensuite (de dix en dix)

• D'où possibilité de dénombrer et de réaliser des quantités

par "comptage de dix en dix"

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40

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Roland Charnay - 2017

41

Groupements par dix et rang des chiffres

Un exemple de problème de référence (Cap Maths CP)

Le problème

Demander juste ce qu’il faut de « gommettes » pour

réparer le grand ziglotron

Les gommettes étant « fournies » à l’unité ou par groupes de dix.

L’objectif Mettre en évidence la "valeur positionnelle" des chiffres

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Roland Charnay - 2017

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Matériel

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Roland Charnay - 2017

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Etape 1 / 3

- Les élèves disposent du ziglotron (entre 20 et 40 gommettes à demander).

- Pas de contrainte sur la demande (elle peut être orale ou écrite).

- Une seule demande possible.

- Au retour, ils placent les gommettes pour valider leur commande.

Pour répondre, les élèves peuvent :

- Dénombrer les emplacements et formuler une demande orale (trente-quatre) ou écrite (34) du nombre total de gommettes qui sont alors servies à l’unité ou par paquets de dix gommettes (3) et des gommettes isolées (4) si le marchand sait décoder 34.

- Entourer des groupes de 10 emplacements et demander des paquets de 10 gommettes et des gommettes à l’unité (ils ne sont alors pas obligés de passer par le nombre total de gommettes).

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Roland Charnay - 2017

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Etape 2 / 3 - Les élèves disposent du ziglotron (entre 20 et 40 gommettes à demander)

- Quatre contraintes sur la demande :

- commande écrite (cf. bon de commande)

- ne pas demander plus de 9 gommettes isolées

- le marchand donne ce qui est commandé

- vérification différée : les commandes sont discutées avant d’être validées

Pour répondre, les élèves peuvent :

- Dénombrer les emplacements et écrire le nombre total souhaité (37, par exemple), puis entourer des groupes de dix et compléter la deuxième partie du bon de commande (3 paquets de dix boutons / 7 boutons)

- Entourer des groupes de dix et compléter la deuxième partie du bon de commande, puis dénombrer les emplacements en comptant de dix en dix… (dix, vingt, trente, trente-et-un, trente-deux…)

- Entourer des groupes de dix et écrire le nombre (37 par exemple) en codant 3 paquets de dix gommettes et 4 gommettes isolées…

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Roland Charnay - 2017

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Etape 3 / 3 - Les élèves ne disposent pas du ziglotron

- Ils disposent d’un bon de commande

que l’enseignant à commencer à remplir

et qu’ils doivent compléter

- La vérification est toujours différée : les commandes sont discutées avant d’être validées

Pour répondre, les élèves peuvent :

- Dessiner les 34 gommettes, puis entourer des groupes de dix et compléter la deuxième partie du bon de commande (3 paquets de dix boutons / 4 boutons).

- Décomposer 34 en 10 + 10 + 10 + 4 et compléter le bon de commande.

- Décoder directement 34 en 3 paquets de dix et 4 unités.

34

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Synthèse

Roland Charnay - 2017

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Roland Charnay - 2017

47

Entraînement (sur fiche)

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SUITE DES ÉCRITURES CHIFFRÉES ET

VALEUR POSITIONNELLE DES CHIFFRES

Un moment important au CE1

Roland Charnay - 2017

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Roland Charnay - 2017

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Une situation : quantités, compteur et calculette D'après Cap Maths CE1

Le problème

Gérer les effets de l'ajout de 1, 10, 100 objets sur différents matériels qui permettent de représenter les nombres

Les objectifs

- Comprendre que avancer de 1, 10… revient à ajouter 1 unité, 1 dizaine…

- Comprendre qu'à chaque rang correspond un type de groupement (aspect positionnel de la numération)

- Connaître les équivalences 1 dizaine = 10 unités et 1 centaine = 10 dizaines (aspect décimal de la numération)

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10 cartes portant « 1 centaine » de perles 10 cartes portant « 1 dizaine de perles » 40 cartes portant 1 perle (« unité »)

Matériel

1 boîte

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Questions

• Ajout de perles de 1 en 1 jusqu'à 37

– Quelle action sur la calculette à chaque ajout ?

– Quelle action sur le compteur à chaque ajout ?

– Y a-t-il adéquation entre le contenu de la boîte, l’affichage de la calculette

et celui du compteur

• Ajouts d’une ou plusieurs cartes portant soit 1, soit 10, soit 100

perles

– Mêmes questions

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Un premier exemple de problème

Il y a déjà 28 perles dans la boîte (2 cartes avec 10 perles

et 8 perles isolées). On ajoute 2 fois de suite une perle.

Comment faire pour que le contenu de la boîte, l'affichage du

compteur et celui de la calculette coïncident ?

- Contenu de la boîte : 2 paquets de dix et 8 perles isolées / 2

paquets de dix et 10 perles isolées / 2 paquets de dix et 10 perles isolées

- Affichage de la calculette : 28 / 29 / 30 (avec +1, deux fois)

- Compteur : 028 / 029 / ??? (que faire quand la roue des unités est sur

9 ?)

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Un deuxième exemple de problème

Il y a déjà 92 perles dans la boîte (9 cartes avec 10 perles et 2

perles isolées). On ajoute 1 carte « 1 dizaine » de perles.

- Contenu de la boîte : 10 paquets de dix et 2 perles isolées /

10 paquets de dix et 2 perles isolées

- Affichage de la calculette : 92 / 102 (avec +10, une fois)

- Compteur : 092 / ??? (que faire quand la roue des dizaines est sur 9 ?)

Comment faire pour que le contenu de la boîte, l'affichage

du compteur et celui de la calculette coïncident ?

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Un troisième exemple de problème

Il y a déjà 199 perles dans la boîte (1 carte de 100 perles, 9 cartes

avec 10 perles et 9 perles isolées). On ajoute 1 carte de 1 perle.

Comment faire pour que le contenu de la boîte, l'affichage

du compteur et celui de la calculette coïncident ?

- Contenu de la boîte : 1 paquet de cent, 9 paquets de dix et 9 perles

isolées / 1 paquet de cent, 9 paquets de dix et 10 perles isolées

- Affichage de la calculette : 199 / 200 (avec +1, une fois)

- Compteur : 199 ??? (que faire quand les roues des dizaines et des

unités sont sur 9 ?)

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A la fin du CE2, des connaissances essentielles pour la suite….

• Connaissances relatives à l’aspect positionnel de la numération

– Valeur de chaque chiffre en fonction de son rang

• Connaissances relatives à l’aspect décimal de la numération

• Valeurs référées à l’unité

– 1 dizaine = 10 unités - 1 centaine = 100 unités - 1 millier = 1 000 unités

• Relations entre valeurs

– 1 dizaine = 10 unités - 1 centaine = 10 dizaines - 1 millier = 10 centaines

• Maitrise de diverses expressions des nombres

– 2 047 = 2 milliers, 4 dizaines, 7 unités

– 2 047 = 20 centaines, 47 unités

– 2 047 = 204 dizaines, 7 unités

• Tout cela référé au triple code : verbal, symbolique (chiffrée), matériel

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MERCI POUR VOTRE

ATTENTION.

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