L2S3-MASS- MICROECONOMIE – r. foudi - Examen de janvier 2012 – Session 1 –- Page 1 sur 5

Exercice n° 1 : Elasticités

Soit la fonction de demande du bien X xp

Rx ×=

43

(px >0)

- Question 1- Calculer : l’élasticité prix et l’élasticité revenu Sous les deux hypothèses

N.B. : Cet énoncé constitue en même temps la feuille de réponse, vous devez l’insérer dans la copie qui pourra être utilisée pour ajouter des précisions ou des compléments éventuels. N’oubliez pas de compléter ci-contre.

NOM :…………… . . . . . . . . . . Prénom :……………………. N° place :……….

U.S.T.L - Faculté de Sciences Economiques et Sociales Année universitaire 2011-2012

I.S.E.M - Institut des Sciences Economiques et du Management-

Durée : 3 heures Documents (notes de cours et polycopiés), calculatrice autorisés (sauf micro-ordinateur et téléphones portables) Il est demandé de traiter les deux exercices ci-dessous (barème précisé ultérieurement).

EXAMEN DE JANVIER 2012 – SESSION 1

L2-S3 MASS - INTRODUCTION A LA MICROECONOMIE - r. foudi

a) R = 100 et px = 6 x = (100×0.75)×6-1 = 12.5

εx/px = x

px

px

x ×∂∂

= [0,75.R- px -2]×(6/12.5) = [(-0,75×100)/6²]×(6/12.5) = -(75×6) /(6²×12.5) = -1

εx/R = x

R

R

x ×∂∂

= (0.75×6-1)×(100/12.5) = 1

b) R = 200 et px = 8

εx/px = x

px

px

x ×∂∂

= [(-0,75×200)/8²]×(8/12.5) � εx/px = - 1

εx/R = x

R

R

x ×∂∂

= (0.75×8-1)×(200/12.5) = 1

Question 2- Généraliser le résultat obtenu pour chacune des élasticités calculées en 1, si la fonction est : x = A Rα p

β

εx/px = x

px

px

x ×∂∂

= 0.. 1

<=−

βββα

βα

pAR

ppAR

εx/R = x

R

R

x ×∂∂

= 0.... 1

>=−

ααβα

αβ

pAR

RRpA

Question 3 : Que constate t’on ? Les courbes représentatives sont isoélastiques. La valeur de l’élasticité est donnée pour chaque variable par son exposant.

L2S3-MASS- MICROECONOMIE – r. foudi - Examen de janvier 2012 – Session 1 –- Page 2 sur 5

Soit U=U(x1,x2) = x1(x2+3) ; x1 et x2 ≥0 Les prix des biens sont px1 = px2 = 1. Le revenu du consommateur (R) est intégralement dépensé.

1-Déterminer l’équation de la courbe d’indifférence x2=f(U*, x1) U = x1 (x2 +3) = x1x2 + 3x1 � x2 = (U/x1) – 3 l’équation de la courbe d’indifférence est celle d’une fonction hyperbolique qui admet comme asymptote horizontale la droite x2 = -3 et comme asymptote verticale la droite x1 = 0.

3-Donner l’équation de la contrainte de budget pour R variable. R étant variable et px1= px2=1, la contrainte s’écrit : R = x1 .px1 + x2.px2 = x1 + x2

Soit x2 = -x1 + R. Elle est représentée dans le plan (x2,0,x1) et a pour pente = -1

5-Comment qualifier l’optimum qui en résulte ? Quelle est sa particularité ? Ecrire ses coordonnées en respectant les conventions habituelles. l’optimum est dit « optimum de coin ». Ses coordonnées sont A (x*2, x*1,U*) = A(x* 2=0), (x*1=R/px1), U1*) = A(0,R,U*1). Le revenu est totalement consacré à l’achat de biens x1, soit x1=R et donc x2=0.

2-L’échelle étant approximative, représenter graphiquement plusieurs courbes d’indifférence (deux minimum, dénommées U*1, U*2, etc..)) en veillant à respecter les hypothèses de la TNCc relatives à ces courbes. (Graphique utilisé pour les questions 2, 4, 6 et 7).

Les courbes d’indifférence coupent l’axe horizontal. Selon les hypothèses de la TNCc, on ne retient que la partie positive de leur épigraphe.

4-Dans le graphique précédent, représenter cette équation. On appelle (A) l’optimum alors représenté, (B) le point opposé, et R1 la droite de contrainte. (voir graphique ci-dessus)

Exercice N° 2 : maximisation de l’utilité sous contrainte et « CRC »

Ce graphique comporte les réponses aux questions 2, 4, 6 et 7 Il est donc le graphique complet de l’exercice

L2S3-MASS- MICROECONOMIE – r. foudi - Examen de janvier 2012 – Session 1 –- Page 3 sur 5

6-Sous l’hypothèse de deux croissances quelconques successives du revenu (R2,R3), représenter la courbe joignant les équilibres du consommateur à prix constant (courbe de revenu consommation ou « CRC »). (Voir graphique et Voir page 5 ci-dessous : complément de réponse à la représentation graphique)

7-Déterminer l’équation de la CRC sous la forme x2 = f (R,x1) et la reporter en pointillés dans le graphique. (Il est recommandé d’utiliser d’abord un brouillon). NB : 1-On admettra qu’au point A le TMSx2/x1 est > (px2/px1) (Pour rappel : Des équilibre successifs doivent toujours vérifier l’égalité du TMS et du rapport des prix, et doivent respecter la contrainte de budget). NB : 2- La démonstration doit aboutir à une équation de la CRC en deux portions selon que R<3 ou R≥3.

Le 13

//

1

2

1

2

2

11/2 ==+=

∂∂∂∂=

px

px

x

x

xU

xUTMS xx . Comme x1 = R et x2 = 0 alors TMXx2/x1 = 3/R.

Ce qui permet de formuler la première hypothèse quant au niveau du revenu. Suivant le « NB », l’équation du TMS est vérifiée si TMX x2/x1 >1 soit (3/R) >1 et donc R < 3. Les variations étant infinitésimales, cette hypothèse revient à admettre la restriction suivante :

A l’optimum (A) 130

1/2 >+=R

TMS xx et donc R < 3 alors que l’équilibre formel suppose R≤3.

On en déduit que : l’optimum au point A ne peut se déplacer vers des courbes d’utilité plus élevée, tant que R < 3. Il existe donc plusieurs optima correspondant à des niveaux de revenu R<3. Ils sont compris dans l’intervalle ] 0,3[ de l’axe d’abscisse (0x). Ce qui constitue la première portion de la courbe de revenu consommation.

L’équation de la CRC est ici : x2 = f(x1, R) ���� f(x1,R) = 0 pour R<3 et ]0≤x1≤R] Il s’ensuit l’autre hypothèse, celle où R ≥ 3, laquelle permet la réalisation d’équilibres au point de tangence avec des courbes d’indifférence plus élevée, notés E1, E2 etc.. à mesure que R passe de R1 à R2, R3 etc… Le graphique permet de constater que ces équilibres ne sont plus des équilibres de coin, mais des équilibres le long de la courbe d’indifférence (U*2, U*3 etc..). La recherche de l’équation de cette seconde portion de courbe (pour R≥3) est réalisée par la méthode du remplacement. Il s’agit d’une fonction x2 = f(R) � x2 = f(x1) puisque (R/px1) = R (cf supra).

On sait qu’à l’optimum : 13

//

1

2

1

2

2

11/2 ==+=

∂∂∂∂=

px

px

x

x

xU

xUTMS xx

Soit (x2+3)/x1 = 1 � x2+3 = x1 � x2 = x1 – 3 (la seconde portion) (Voir aussi : complément ci-dessous)

8-En déduire les équations des quantités optimales x2* = f(R) et x1* = f(R) et écrire l’expression générale des optima « successifs » (E). La contrainte est : x2 = - x1 + R (donc de la forme y = -x (px/py) + R/py avec px et py = 1 dans le cas d’une fonction y =f(x)). On l’écrit de même comme une fonction de x2 et de R : x1 = R – x2. En égalisant les deux équations de x2 : x1 – 3 = - x1 + R � R = 2x1 – 3 � x1 = (R+3)/2. L’équation x1 = (R+3)/2 donne la quantité x1 optimale lorsque varie le revenu R, à prix constants. et x2 = x1 – 3 = [R+3)/2] – 3 = (R-3)/2. L’équation x2 = (R-3)/2 donne la quantité x2 optimale lorsque varie le revenu R, à prix constants. Les optima « E » successifs s’écrivent donc : E (x1*, x2*, U*) = E ((R+3)/2, (R-3)/2, U*).

9-Déterminer les équations des montants de revenu permettant de réaliser ces équilibres. Les montants de revenus R permettant de réaliser ces équilibres sont :

x2 = (R-3)/2 � 2x2 = R – 3 � R = 2x2 + 3 x1 = (R+3)/2 � 2x1 = R + 3 � R = 2x1 + 3

L2S3-MASS- MICROECONOMIE – r. foudi - Examen de janvier 2012 – Session 1 –- Page 4 sur 5

Ж

10-Représenter séparément ci-dessous les deux courbes d’Engel xi = f(R), et en déduire la nature de chacun des biens x1 et x2. Equation de la courbe de x1:

Coordonnées des points utilisés pour le graphique 1

Nature du bien x1 : Le tableau montre que le bien x1 est un bien nécessaire. Tout le revenu lui est consacré tant que R<3. Equation de la courbe de x2 :

Coordonnées des points utilisés pour le graphique 2

Nature du bien x2 : La hausse du revenu (R≥3) entraîne l’apparition de la consommation de l’autre bien (x2). Celui-ci est donc un bien de luxe. Graphique 1 Graphique 2

L2S3-MASS- MICROECONOMIE – r. foudi - Examen de janvier 2012 – Session 1 –- Page 5 sur 5

Compléments de réponses Question 5)

Cf graphique : la courbe joignant les optima à prix constants et revenu croissant constitue le lieu géométrique des points vérifiant l’égalité à l’optimum : TMXx2/x1 = px2/px1 = 1 Elle est représentée dans le graphique en tenant compte de la condition R croissant et x2≥0. Sa forme en deux « portions » s’explique par son équation

Question 7)

La courbe de revenu consommation est donc obtenue par l’égalité :

13

//

1

2

1

2

2

11/2 ==+=

∂∂∂∂=

px

px

x

x

xU

xUTMS xx

Pour x2 = x1 – 3 et donc si x1 = 3 alors x2 = 0. Les quantités optimales se situent sur les deux portions de la courbe délimitées par les deux hypothèses :

R < 3 et R ≥ 3 A prix constants px1 = px2 = 1