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Natation à faible nombre de Reynolds François Alouges 1 Collaborations: A. DeSimone, A. Lefebvre-Lepot, B. Merlet, L. Heltai, L. Giraldi 1 CMAP Ecole Polytechnique Décembre 2012 F. Alouges

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Natation à faible nombre de Reynolds

François Alouges1

Collaborations:A. DeSimone, A. Lefebvre-Lepot,

B. Merlet, L. Heltai, L. Giraldi

1CMAPEcole Polytechnique

Décembre 2012

F. Alouges

Qu’est ce que la natation?

Définition: Capacité à se déplacer dans ou sur l’eau avec desmouvements appropriés périodiques (une brassée), et sansforce extérieure

Problème de contrôle: Etant donné un corps déformable, est-ilpossible de trouver une loi de forces internes produisant unchangement de forme périodique (une brassée) et qui induiseun déplacement par réaction sur le fluide ?

F. Alouges

Motivation

Des systèmes performants...

c©Speedo, c©EPFL

F. Alouges

Motivation

...à la microtechnologie.

ESPCI (2005), Monash University (Australia 2008), SpintecCEA GrenobleConception de micro-robots nageurs : diagnostique,microchirurgie non invasive, dépôt de médicament, réparationd’ADN, etc.)

F. Alouges

Motivation

F. Alouges

Motivation

F. Alouges

Nombre de Reynolds Re = ρULν

Dans l’eau ρν ∼ 106m−2s.

Pour un dauphin, un homme, etc., nageant dans l’eau, ona L ∼ 1m,U ∼ 1m/s et

Re ∼ 106.

Bon modèle: Equations d’Euler[ρ(∂u∂t + (u · ∇)u

)+∇p = f ,

divu = 0

Pour une bactérie L ∼ 1µm,U ∼ 1µm/s et

Re ∼ 10−6.

Bon modèle: Equations de Stokes[−ν∆u +∇p = f ,divu = 0

F. Alouges

Nombre de Reynolds Re = ρULν

Dans l’eau ρν ∼ 106m−2s.

Pour un dauphin, un homme, etc., nageant dans l’eau, ona L ∼ 1m,U ∼ 1m/s et

Re ∼ 106.

Bon modèle: Equations d’Euler[ρ(∂u∂t + (u · ∇)u

)+∇p = f ,

divu = 0

Pour une bactérie L ∼ 1µm,U ∼ 1µm/s et

Re ∼ 10−6.

Bon modèle: Equations de Stokes[−ν∆u +∇p = f ,divu = 0

F. Alouges

Situations à faible nombre de Reynolds

Dans l’eau, des tailles et des vitesses faibles U,L 1 (ungrand nombre d’écoulements biologiques)A l’échelle humaine, des fluides très visqueux ν 1, (miel,silicone, etc.)Des vitesses extrêmement faibles U 1 et/ou desfluides extrêmement visqueux (ex: glaciers)

F. Alouges

Propriétés des fluides à faible nombre de Reynolds

Re =ρULν

(Film: G. I. Taylor)

F. Alouges

Le théorème de la coquille Saint-Jacques

(Film: G. Blanchard, S. Calisti, S. Calvet, P. Fourment, C.Gluza, R. Leblanc, M. Quillas-Saavedra)

F. Alouges

Le théorème de la coquille Saint-Jacques

Obstruction:[Purcell]En régime de Stokes, un mouvement réciproque n’induit aucundéplacement global

F. Alouges

Evidence du théorème de la coquille Saint-Jacques

(Film: G. I. Taylor)

F. Alouges

Exemple de robot nageur (Purcell)

Edward Mills Purcell(1912 - 1997)

F. Alouges

Exemple de robot nageur (Purcell)

F. Alouges

Modélisation

Etat = (forme, position)Forme=ξ = (ξ1, · · · , ξN) (un nombre fini de variables)Position= p(∈ R3 × SO(3))

Le nageur change de forme =⇒ ξ(t) et pousse le fluide.Celui-ci réagit en suivant les équations (de Stokes) et déplace(et tourne) le nageur.

Auto-propulsion

0 ∼ mγ = Ftot

= Fvisc + Fext

= Fvisc

La force totale et le couple total appliqués au fluide par le robotsont nuls.

F. Alouges

Modélisation

Etat = (forme, position)Forme=ξ = (ξ1, · · · , ξN) (un nombre fini de variables)Position= p(∈ R3 × SO(3))

Le nageur change de forme =⇒ ξ(t) et pousse le fluide.Celui-ci réagit en suivant les équations (de Stokes) et déplace(et tourne) le nageur.

Auto-propulsion

0 ∼ mγ = Ftot

= Fvisc + Fext

= Fvisc

La force totale et le couple total appliqués au fluide par le robotsont nuls.

F. Alouges

Le système différentiel

Or Fvisc =∫∂Ω f et

f = DN(ξ,p)v

(linéarité des équations de Stokes)

v(x) = Ap + Bξ

0 = Fvisc =

∫∂Ω

DNp,ξ

(Ap + Bξ

)dx0,

0 = Tvisc =

∫∂Ω

x0 × DNp,ξ

(Ap + Bξ

)dx0.

p = V (p, ξ)ξ .

F. Alouges

Le système différentiel

Or Fvisc =∫∂Ω f et

f = DN(ξ,p)v

(linéarité des équations de Stokes)

v(x) = Ap + Bξ

0 = Fvisc =

∫∂Ω

DNp,ξ

(Ap + Bξ

)dx0,

0 = Tvisc =

∫∂Ω

x0 × DNp,ξ

(Ap + Bξ

)dx0.

p = V (p, ξ)ξ .

F. Alouges

Le système différentiel

Or Fvisc =∫∂Ω f et

f = DN(ξ,p)v

(linéarité des équations de Stokes)

v(x) = Ap + Bξ

0 = Fvisc =

∫∂Ω

DNp,ξ

(Ap + Bξ

)dx0,

0 = Tvisc =

∫∂Ω

x0 × DNp,ξ

(Ap + Bξ

)dx0.

p = V (p, ξ)ξ .

F. Alouges

Le système différentiel

Or Fvisc =∫∂Ω f et

f = DN(ξ,p)v

(linéarité des équations de Stokes)

v(x) = Ap + Bξ

0 = Fvisc =

∫∂Ω

DNp,ξ

(Ap + Bξ

)dx0,

0 = Tvisc =

∫∂Ω

x0 × DNp,ξ

(Ap + Bξ

)dx0.

p = V (p, ξ)ξ .

F. Alouges

Résumé 1

Micro-natation⇒ Re ∼ 0Equations de Stokes (linéaires)Ecoulements réversibles (théorème de la coquilleSaint-Jacques)Linéarite + autopropulsion⇒ p = V (p, ξ)ξ

F. Alouges

Exemple: le nageur de Najafi et Golestanian (2001)

&%'$B1

&%'$B2

&%'$B3

- -

a

ξ1 ξ2

-x1 x2 x3

p

En changeant ξ1 et ξ2, les sphères imposent des forcesf1, f2, f3 au fluide avec f1 + f2 + f3 = 03 variables ξ1, ξ2,p et deux paramètres de contrôleLes vitesses (et donc les forces) sont linéaires en ξ1, ξ2, p

p = V1(ξ)ξ1 + V2(ξ)ξ2

F. Alouges

Exemple: le nageur de Najafi et Golestanian (2001)

&%'$B1

&%'$B2

&%'$B3

- -

a

ξ1 ξ2

-x1 x2 x3

p

En changeant ξ1 et ξ2, les sphères imposent des forcesf1, f2, f3 au fluide avec f1 + f2 + f3 = 03 variables ξ1, ξ2,p et deux paramètres de contrôleLes vitesses (et donc les forces) sont linéaires en ξ1, ξ2, p

p = V1(ξ)ξ1 + V2(ξ)ξ2

F. Alouges

Plans tangents

On peut réécrire le système sous la forme

ddt

ξ1ξ2p

= u1

10

V1(ξ)

+u2

01

V2(ξ)

= u1F1(ξ)+u2F2(ξ)

ProblèmePeut-on trouver ξ(t) périodique tel que p ne le soit pas?

Réponse: A-t-on dim(Lie(F1,F2)) = 3?Ici:

[F1,F2] =

00

∂ξ1V2 − ∂ξ2V1

F. Alouges

Plans tangents

On peut réécrire le système sous la forme

ddt

ξ1ξ2p

= u1

10

V1(ξ)

+u2

01

V2(ξ)

= u1F1(ξ)+u2F2(ξ)

ProblèmePeut-on trouver ξ(t) périodique tel que p ne le soit pas?

Réponse: A-t-on dim(Lie(F1,F2)) = 3?Ici:

[F1,F2] =

00

∂ξ1V2 − ∂ξ2V1

F. Alouges

Contraintes holonomiques ou pas?

p = W (ξ1, ξ2)

F. Alouges

Contraintes holonomiques

p = W (ξ1, ξ2) p = V1(ξ)ξ1 + V2(ξ)ξ2

F. Alouges

Contraintes holonomiques

p = W (ξ1, ξ2) p = V1(ξ)ξ1 + V2(ξ)ξ2

équivalent si V = ∇ξW c’est-à-dire rotξV = 0

F. Alouges

Le théorème de la coquille Saint-Jacques

La coquille Saint-Jacques n’a qu’un degré de liberté ξ. Lesystème devient

ξ = α(t)p = V (ξ)ξ

et p =∫ ξ V (y)dy =: W (ξ)

Si ξ est périodique, p l’est aussi...La contrainte est toujours holonomique.

F. Alouges

Le théorème de la coquille Saint-Jacques

La coquille Saint-Jacques n’a qu’un degré de liberté ξ. Lesystème devient

ξ = α(t)p = V (ξ)ξ

et p =∫ ξ V (y)dy =: W (ξ)

Si ξ est périodique, p l’est aussi...La contrainte est toujours holonomique.

F. Alouges

Un théorème de contrôle

ThéorèmeLe système de 3-sphères de Najafi et Golestanian estglobalement contrôlable.

Depuis n’importe quel état (ξi ,pi), on peut atteindre n’importequel autre état (ξf ,pf ) avec une loi de force appropriée (fi(t))itelle que

∑i fi(t) = 0 (ou de façon équivalente avec des

fonctions αi(t)).

F. Alouges

Un théorème de contrôle

ThéorèmeLe système de 3-sphères de Najafi et Golestanian estglobalement contrôlable.

Depuis n’importe quel état (ξi ,pi), on peut atteindre n’importequel autre état (ξf ,pf ) avec une loi de force appropriée (fi(t))itelle que

∑i fi(t) = 0 (ou de façon équivalente avec des

fonctions αi(t)).

F. Alouges

D’autres sytèmes contrôlables:

B

y

z

q

r

l

x

p

s

e

x1

x2

x3

x4

r1,2

e1,4

3 contrôles (resp. 4), 3 crochets de Lie (resp. 6)Contrôlabilité avec un bord (thèse de L. Giraldi)

F. Alouges

Efficacité de la natation

Lighthill

Eff−1 =

1T

∫ T

0

∫∂Ω

f · v dσ dt(∆cT

)2

=

T∫ T

0f1(t)v1(t) + f2(t)v2(t) + f3(t)v3(t) dt

∆c2

But: Trouver les trajectoires joignant (ξi , c i) à (ξf , cf ) etmaximisant l’efficacité (∆c est fixé).

F. Alouges

Efficacité de la natation

Lighthill

Eff−1 =

1T

∫ T

0

∫∂Ω

f · v dσ dt(∆cT

)2

=

T∫ T

0f1(t)v1(t) + f2(t)v2(t) + f3(t)v3(t) dt

∆c2

But: Trouver les trajectoires joignant (ξi , c i) à (ξf , cf ) etmaximisant l’efficacité (∆c est fixé).

F. Alouges

Efficacité de la natation

Cinématique: Sur ∂Ω, vitesses et forces s’exprimentlinéairement en fonction de ξ et pp s’exprime lnéairement en fonction de ξ

Eff−1 = T∫ T

0

N∑i,j=1

gij(ξ(t))ξi(t)ξj(t) dt = T∫ T

0(Gξ, ξ) dt

G = (gij) définit une métrique sur l’espace tangent à (ξ, c)

Géodésiques optimales dans un espace sous-riemannienF. Alouges

Efficacité de la natation

Cinématique: Sur ∂Ω, vitesses et forces s’exprimentlinéairement en fonction de ξ et pp s’exprime lnéairement en fonction de ξ

Eff−1 = T∫ T

0

N∑i,j=1

gij(ξ(t))ξi(t)ξj(t) dt = T∫ T

0(Gξ, ξ) dt

G = (gij) définit une métrique sur l’espace tangent à (ξ, c)

Géodésiques optimales dans un espace sous-riemannienF. Alouges

Efficacité de la natation

Cinématique: Sur ∂Ω, vitesses et forces s’exprimentlinéairement en fonction de ξ et pp s’exprime lnéairement en fonction de ξ

Eff−1 = T∫ T

0

N∑i,j=1

gij(ξ(t))ξi(t)ξj(t) dt = T∫ T

0(Gξ, ξ) dt

G = (gij) définit une métrique sur l’espace tangent à (ξ, c)

Géodésiques optimales dans un espace sous-riemannienF. Alouges

Une méthode de tir

L’équation des géodésiques sous-riemanniennes est une EDOdu 2nd ordre

− ˙(G ˙ )γ +

12

((Gξ1 γ, γ)(Gξ2 γ, γ)

)+ λcurlV (γ)γ⊥ = 0. (1)

oùG = (gij), γ = (ξ1, ξ2)t

Gξ1 =∂G∂ξ1

,Gξ2 =∂G∂ξ2

F. Alouges

Natation optimale

F. Alouges

Plane Swimmer

F. Alouges

Le problème de la dimension infinie

Que se passe-t-il lorsque les formes sont décrites par unnombre infini de variable?

Contrôlabilité ? Cf. Tucsnak, LohéacCrochets de Lie ?Géodésiques optimales EDO -> EPDP ?Résolution numérique

F. Alouges

Eutreptiella

F. Alouges