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Mustapha SADOUKI Maitre de Conférences

Faculté des Sciences et de la Technologie

Cours de Mathématiques pour la Physique

Intégrales simples et multiples Intégrales impropres Equations différentielles Les séries : Numériques, Entières et de Fourier Transformation de Fourier Transformation de Laplace

Tome 1

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Le présent document est le fruit d’une expérience pédagogique acquise ces quatre dernières années (2011-2014) dans le cadre de l’enseignement assurée de la deuxième année licence de physique. Ce cours polycopié correspond au programme de l’Unité d’Enseignement Fondamental UEF-F121 : « Séries et équations différentielles » de la deuxième année de la licence de physique fondamental, il intéressera aussi les étudiants de la licence sciences et technologies en Electronique, Electromécanique, Génie Mécanique, Génie Civil, automatique …

Je tiens à remercier Monsieur Mohamed FELLAH professeur à

l’Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène d’Alger, Professeur Mourad LOUNIS et Maamar BENBACHIR maitre de conférences à l’université Djilali Bounaama de Khemis-Miliana pour leurs conseils critiques et suggestions.

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Sommaire Cours de Mathématiques pour la Physique

Université Djilali Bounaama à Khemis-M i M.Sadouki

Sommaire Chapitre 1 : Intégrales simples et multiples 1. Intégral de Riemann 1.1 Calcul d’une aire

1.2 Propriétés 1.3 Applications

01 02 02

1.3.1 Valeur moyenne – Valeur efficace 02 1.4 Intégrales indéfinies 03 1.5 Intégrales généralisées 03 1.6 Méthodes d’intégration 03 1.6.1 Décomposition en somme 03 1.6.2 Intégration par parties 03 1.6.3 changement de variable 04 2. Intégrales doubles 05 2.1 Généralités 05 2.2 Calcul en coordonnées cartésiennes 06 2.3 Calcul en coordonnées polaires 07 2.4 Calcul d’aire du domaine D 08 2.5 Changement de variables 08 3. Intégrales triples 09 3.1 Généralités 09 3.2 Méthodes de calcul de l’intégrales triple 10 3.2.1 Calcul en coordonnées cartésiennes 10 3.2.2 Calcul de l’intégrale triple sur un parallélépipède rectangle 12 3.2.3 Calcul de l’intégrale triple par la méthode de tranche 12 3.2.4 Calcul de l’intégrale triple par la méthode de bâtons 14 3.3 Changement de variable dans les intégrales triples 15 3.3.1 Déterminant Jacobien 15 3.3.2 Calcul en coordonnées cylindriques 16 3.3.3 Calcul en coordonnées sphériques 17 Chapitre 2 : Intégrales impropres (généralisées) 19 1. Cas d’un problème à une seule borne 19 2. Cas d’un problème aux deux bornes 20 3. Intégrales faussement impropres 20 4. Propriétés 21 5. Théorème de convergence – Fonction intégrables 23 5.1 Théorème de convergence 23 5.2 Critère d’équivalence 24 5.3 Fonction intégrables 24 5.4 Utilisation de développements asymptotiques 25 Chapitre 3 : Equations différentielles 27 1. Définition 27 2. Equation différentielle linéaire du premier ordre 27 2.1 Equation différentielle linéaire sans second membre 27 2.2 Equation différentielle linéaire avec second membre 28 2.2.1 Recherche d’une solution particulière 29

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2.2.2 Méthode de variation de la constante 29 2.3 Equation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants 30 2.4 Equation de Bernoulli et Equation de Riccati 31 2.4.1 Equation de Bernoulli 31 Transformation d’une équation de Bernoulli en équation linéaire 32 2.4.2 Equation de Riccati 33 Transformation d’une équation de Riccati en équation de Bernoulli 33 Transformation d’une équation de Riccati en équation linéaire 33 3. Equation différentielle d’ordre deux 36 3.1 Equation différentielle linéaire sans second membre à coefficients constants 36 3.2 Equation différentielle d’ordre deux linéaire avec second membre et à

coefficients constants 37

3.3 Solutions particulières 37 3.4 Equation différentielle d’ordre deux avec des coefficients non constants et sans

second membre : 38

3.4.1 Cas des équations incomplètes 38 Cas des équations ݔ)ܨ, ݕ ݕ,′ ′′) = 0 (absence de y) 38 Cas des équations ܨ(ݕ,ݕᇱ,ݕᇱᇱ) = 0 (absence de x) 39 3.5 Equation différentielle d’ordre deux linéaire sans second membre et à

coefficients non constants : 40

3.6 Equation différentielle d’ordre deux linéaires à coefficients non constants avec second membre :

42

4. Système d’équations différentielles 44 4.1 Définition d’un système d’équations différentielles 44 4.2 Equation différentielle d’ordre n 45 4.3 Systèmes linéaires homogènes à coefficients constants 46 4.3.1 Cas des valeurs propres réelles 46 4.3.2 Cas des valeurs propres complexes 48 4.3.3 Cas d’une matrice non diagonalisable 48 4.4 Systèmes linéaires non homogènes à coefficients constants 50 5. Equations aux dérivées partielles (EDP) 52 5.1 Rappel sur les dérivées partielles 52 5.2 Dérivées successives 52 5.3 Dérivées d’une fonction composées de deux variables 53 5.4 Différentielles totales 53 5.5 Formes différentielles totales exactes 54 5.6 Application à l’intégration d’équations différentielles du premier ordre 55 5.7 Facteur Intégrants 56 5.7.1 Détermination de facteurs intégrants monovariables 56 Facteur intégrant de la forme F(x) 57 Facteur intégrant de la forme F(y) 57 5.8 Généralisation aux fonctions de plus de deux variables : 59 5.9 Différentielle totales et fonctions d’etat 61 5.10 Equation linéaire et homogène aux dérivées partielles du 1er ordre dans le cas

d’une fonction de 2 variables 62

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Chapitre 4 : Les séries 65 1 Séries numériques 65 1.1 Série géométrique 65 1.2 Série exponentielle 65 1.3 Séries à termes positifs ou nuls 67 1.4 Critères de Cauchy et de d’Alembert 70 1.4.1 Critère de Cauchy 70 1.4.2 Critère de d’Alembert 71 1.5 Séries à termes quelconques 72 1.6 Somme de séries 72 2 Séries entières 74 2.1 Définitions 74 2.2 Lemme d’Abel 75 2.3 Rayon de convergence d’une suite entière 75 2.4 Détermination de rayon de convergence 75 2.4.1 Lemme d’Hadamard 75 2.5 Dérivée et primitive d’une série entière 76 2.6 Opération sur les séries entières 77 2.7 Série de Taylor 77 2.8 Equations différentielles et série entières 78 2.8.1 La série des binômes 78 2.8.2 Equation du second ordre 79 3. Séries de Fourier 81 3.1 Série trigonométrique 81 3.2 Condition de Dirichlet 81 3.3 Expression de décomposition en série de Fourier 82 3.4 Forme algébrique de la décomposition en série de Fourier 83 3.5 Forme polaire de la décomposition en série de Fourier 83 3.6 Forme complexe de la décomposition en série de Fourier 84 3.7 Parité des fonctions 85 3.7.1 Cas des fonctions paires 85 3.7.2 Cas des fonctions impaires 86 3.8 Développement en série de Fourier de fonction non périodiques 88 3.9 Relation de Parseval 91 Chapitre 5 : Transformation de Fourier 93 1. Définition 93 2. Inversion de la transformation de Fourier 93 3. Propriétés de la transformation de Fourier 94 3.1 Linéarité 94 3.2 Translation 94 3.3 Modulation 94 3.4 Changement d’échelle 95 3.5 Conjugaison complexe 95 3.6 Transformée de Fourier de la dérivée d’une fonction 95 3.7 Dérivation de la transformée de Fourier 96 3.8 Convolution et transformation de Fourier 97 3.9 Théorème de Parseval – Conservation de la norme 98 4. Transformée de Fourier d’une fonction radiale à deux et trois dimensions 100 5. Transformation de Fourier d’une fonction de plusieurs variables 100

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6. Relation d’incertitude 101 Chapitre 6 : Transformation de Laplace 103 1. Définition et transformée inverse 103 2. Propriétés des transformées de Laplace 104 2.1 Linéarité 104 2.2 Translation dans l’espace de départ 104 2.3 Dilatation ou contraction dans l’espace de départ 104 2.4 Transformée de Laplace d’une fonction modulée 104 2.5 transformée de Laplace de la dérivée d’une fonction 105 2.6 Transformée de Laplace de la primitive d’une fonction 105 2.7 Dérivation de la transformée de Laplace 105 2.8 Théorème de la valeur initiale 105 2.9 Théorème de la valeur finale 105 2.10 Transformée de Laplace d’un produit de convolution 106 3. Applications : Transformature de Laplace des fonction usuelles 106 3.1 Transformée de Laplace de l’impulsion de Dirac 106 3.2 Transformée de Laplace de l’échelon unitaire 107 3.3 Transformée de Laplace de la fonction sinus 107 3.4 Transformée de Laplace de la fonction cosinus 107 3.5 Transformée de Laplace de l’exponentielle 108 3.6 Résolution d’une équation différentielle linéaire 108 4. Table de transformées de Laplace 110 Annexe

Bibliographie 111 117

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Chapitre 1 Intégrales simples et multiples

Université Djilali Bounaama à Khemis-M 1 M.Sadouki

Chapitre 1 :

Intégrales simples et multiples

1. Intégrale de Riemann 1.1 Calcul d’une aire :

Soit f une fonction une fonction de la variable réelle telle que pour tout x de

l’intervalle [a, b] f(x) ≥ 0 . On note Cf sa représentation graphique, on appelle S la surface

décrite par

푆: 푎 ≤ 푥 ≤ 푏0 ≤ 푦 ≤ 푓(푥) (1.1)

푥 ,푥 , … , 푥 des réels tels que 푎 = 푥 < 푥 < 푥 < ⋯ < 푥 = 푏.

Dans chaque intervalle de la forme [푥 , 푥 ] on choisit un réel ℎ (au hasard) et on pose

푌 = 푓(ℎ ) . On appelle alors 푅 le rectangle de base [푥 ,푥 ] et de hauteur 푌 . Les

rectangles 푅 recouvrent approximativement la surface S, plus les largeurs des rectangles 푅

sont petites, plus l’approximation est « bonne ». On définit ∆푥 = max … (푥 − 푥 ) et on

impose la condition ∆푥 ⟶ 0, Riemann pose alors 푆 = ∑ 푦 (푥 − 푥 ) et on démontre

que :

Si lim∆ → 푆 = 퐿 alors L ne dépend pas du choix des 푥 ,푥 , … , 푥 ni des ℎ .

Dans ce cas on note L sous la forme ∫ 푓(푥)푑푥 qui se lit « somme entre 푎 et 푏 de 푓(푥)푑푥.

푎 et 푏 sont les bornes de l’intégrale, 푓(푥)푑푥 est l’intégrante, 푑푥 est l’élément différentiel et 푥

est une variable « muette » qui n’intervient pas dans le résultat.

y 푓(푥)

Yk

a = x0 x1 x2 xk-1 h xk xn-1 xn = b x

Figure 1.1 – Intégrale de Riemann

Rk

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1.2 Propriétés :

Nous admettons les propriétés suivantes :

Positivité : si 푓(푥) ≥ 0 pour tout 푥 ∈ [푎, 푏] avec 푎 < 푏 alors ∫ 푓(푥)푑푥 ≥ 0

Conservation de l’ordre :

Si 푓(푥) < 푔(푥) pour tout 푥 ∈ [푎, 푏] alors ∫ 푓(푥)푑푥 ≤ ∫ 푔(푥)푑푥

Linéarité : ∫ [훼푓(푥) + 훽푔(푥)]푑푥 = 훼 ∫ 푓(푥)푑푥 + 훽 ∫ 푔(푥)푑푥

Relation de Chasles : ∫ 푓(푥)푑푥+∫ 푓(푥)푑푥 = ∫ 푓(푥)푑푥

Symétries : ∫ 푓(푥)푑푥 = 2∫ 푓(푥)푑푥 푠푖 푓 푒푠푡 푝푎푖푟푒0 푠푖 푓 푒푠푡 푖푚푝푎푖푟푒

Période : si 푓 a pour période T alors :

∫ 푓(푥)푑푥 = ∫ 푓(푥)푑푥 et ∫ 푓(푥)푑푥 = ∫ 푓(푥)푑푥

∫ 푓(푥)푑푥 ≤ ∫ |푓(푥)|푑푥

Si F est une primitive quelconque de 푓 alors on a :

푓(푥)푑푥 = [퐹(푥)] = 퐹(푏) − 퐹(푎)

1.3 Applications

1.3.1 Valeur moyenne - Valeur efficace

La valeur moyenne de « plusieurs » nombres est la constante qui en remplaçant chacun

de ces nombres donnerait la même « somme ».

Exemple :

- Calculer la moyenne des carrés des réels compris entre 0 et 1

∫ 푥 푑푥 = ∫ 푚푑푥 ⟹ m = 1/3.

- Calculer la moyenne des sinus des réels compris entre 0 et π/2

∫ sin(푥)푑푥/ = ∫ 푚푑푥/ ⟹ m = 2/π.

Définitions :

La fonction f étant intégrable dans [a,b] :

On appelle moyenne de f (x) dans [a , b] le nombre 푚 = ∫ 푓(푥)푑푥.

On appelle valeur efficace de f (x) dans [a , b] le nombre v tel que 푣 = ∫ 푓(푥) 푑푥

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1.4 Intégrales indéfinies :

La notation sans borne ∫푓(푥)푑푥 présente intégrale indéfinie, le calcul de cette

intégrale se termine toujours par une constante d’intégration.

Exemple :

푥 푑푥 = 13 푥 + 푐푠푡푒

1.5 Intégrale généralisées

La méthode de Riemann ne peut s’appliquer qu’à des intégrales dans un intervalle

borné lorsque l’un des deux bornes d’intégration est infini le calcul de l’intégrale passe par

un calcul de limite. ∫ 푓(푥)푑푥 désigne lim → ∫ 푓(푥)푑푥

De même, pour ∫ 푓(푥)푑푥 désigne lim → ∫ 푓(푥)푑푥

Enfin, pour la notation ∫ 푓(푥)푑푥, on sépare l’intégrale en deux parties pour pouvoir traiter

séparément les deux limites.

1.6 Méthodes d’intégration :

1.6.1 Décomposition en somme

Si une fonction f est telle que 푓(푥) = 푓 (푥) + 푓 (푥) et si 푓 (푥) et 푓 (푥) ont des

primitives on calcule ∫ 푓(푥)푑푥 en utilisant ∫ 푓(푥)푑푥 = ∫ 푓 (푥)푑푥 + ∫ 푓 (푥)푑푥

Exercice :

Calculer 퐼 = ∫ 푑푥

Solution :

퐼 = ∫ 푑푥 = ∫ 푥 + 2 + 푑푥 = + 4ln (2)

1.6.2 Intégration par parties

On sait que 푑(푢푣) = 푣푑푢 + 푢푑푣 et en intégrant ∫푑(푢푣) = ∫ 푣푑푢 + ∫ 푢푑푣. C'est-à-

dire : 푢푣 = ∫ 푣푑푢 + ∫ 푢푑푣, on en déduit :

- Pour les intégrales indéfinies : ∫ 푢푑푣 = 푢푣 − ∫ 푣푑푢

- Pour les intégrales définies ∫ 푢푑푣 = [푢푣] − ∫ 푣푑푢

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Remarque :

L’intégration par parties est commode dans les cas où f(x) est de l’une des formes 푃(푥)푒

ou 푃(푥)푠푖푛(휔푥) où 푃(푥)ln (푎푥), …( 푃(푥) est un polynôme).

1.6.3 Changement de variable

On suppose que f est une fonction intégrable dans [a , b], que φ est une fonction à

dérivée continue, réalisant une bijection de [α , β] vers [a , b] et telle que 휑(훼) = 푎휑(훽) = 푏 dans ces

conditions ∫ 푓(푥)푑푥 = ∫ 푓 휑(푡) .휑 (푡)푑푡.

Exercices :

- Calcule 퐼 = ∫√1 − 푥 푑푥

푥 ∈ [−1; 1], on pose 푥 = sin 푡 avec 푡 ∈ [− , + ] alors √1 − 푥 = cos (푡) et

푑푥 = cos(푡)푑푡 avec 푡 = 퐴푟푐푠푖푛(푥) on obtient,

퐼 = 푐표푠 (푡)푑푡 =1 + cos (2푡)

2 푑푡 =12 푡 +

sin(2푡)2 + 퐶푡푒

=12 퐴푟푐푠푖푛(푥) + 푥 1 − 푥 + 퐶푡푒

- Calcule 퐼 = ∫ 푥 ln(푥)푑푥 (intégration par partie))

퐼 = 푥 ln(푥)푑푥 =푥 ln (푥)

3 −13 푥 푑푥 =

푒3 −

13

푒 − 13 =

2푒 + 19

- Calcule 퐼 = ∫ ( )푑푢 (changement de variable)

On pose 푢 = tan (푥) d’où 푑푢 = (1 + 푢 ).푑푥 et = 푐표푠 (푥) …

1(1 + 푢 ) 푑푢 = 푐표푠 (푥)푑푥 =

12 푥 +

sin (2푥)2 + 퐶푠푡

=12 퐴푟푐푡푎푛(푢) +

푢1 + 푢 + 퐶푠푡푒

- Calcule 퐼 = ∫√

푑푥 (changement de variable)

On pose 푢 = √1 + 푥 d’où 푢 = 1 + 푥 et 2푢푑푢 = 푑푥

On obtient : 퐼 = ∫√

푑푥 = ∫ . 2푢. 푑푢

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퐼 = 2 (푢 − 1)푑푢

= 2푢3 − 푢 + 퐶푡푒

= 2√1 + 푥푥 − 2

3 + 퐶푡푒

- Calcul de ∫ 푥√1 + 푥 (changement de variable)

On pose 푢 = 1 + 푥 d’où 푑푢 = 2푥푑푥 et 푥 = −1 ⇒ 푢 = 2푥 = 0 ⇒ 푢 = 1

On obtient : ∫ 푥√1 + 푥 = ∫ √푢 푑푢 = 푢 / = 1 − 2√2

- Calcul de ∫퐴푟푐푠푖푛(푥).푑푥 (intégration par partie + changement de variable)

퐼 = 퐴푟푐푠푖푛(푥).푑푥 = 푥퐴푟푐푠푖푛(푥)−푥

√1 − 푥푑푥 = 푥푎푟푐푠푖푛(푥)−

− 12푑푢

√푢

= 푥퐴푟푐푠푖푛(푥) + √푢 + 퐶푡푒

Où on a posé 푢 = 1− 푥푑푢 = −2푥푑푥

On obtient :

퐼 = 푥퐴푟푐푠푖푛(푥) + √1 − 푥 + 퐶푡푒.

- Calcul de ∫ 푥 푒√ 푑푥 (changement de variable + 3 intégrations par partie)

On pose 푡 = √푥 d’où 푡 = 푥 ⟹ 푑푥 = 2푡푑푡

푥 푒√ 푑푥 = 2 푡 푒 푑푡 = ⋯ = 2푒√ 푥√푥 − 3푥 + 6√푥 − 6 + 퐶푡푒

2. Intégrales doubles 2.1 Généralités :

Soit 푓 une fonction des deux variables 푥 et 푦 définie sur un domaine 퐷 ∈ ℛ . On sait

que lorsqu'on fait varier les coordonnées du point 푀(푥, 푦) dans D et que l'on reporte sa cote

푈 = 푓(푀), on obtient la représentation graphique de f qui est une surface que l'on notera Σ.

dS est la surface infinitésimale entourant le point M. Alors 푓(푀)푑푆 représente le volume du

prisme infinitésimal dessiné ci dessous (fig 1.2). Lorsqu'on fait la somme de tous les volumes

des prismes 푓(푀)푑푆 pour tous les points 푀 ∈ 퐷 , on obtient une intégrale double :

퐼 = 푓(푀)푑푆 (1.2)

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Figure 1.2- Représentation graphique de f(M) lorsque M varie dans le domaine D

Cette intégrale double représente mathématiquement le volume algébrique compris entre le

plan 푥푂푦 délimité par le domaine D et la surface Σ. La notation ∬ renvoie au fait que le

domaine d'intégration est une surface à deux dimensions et donc que nous allons procéder à

deux intégrations successives.

2.2 Calcul en coordonnées cartésiennes

En coordonnées cartésiennes, l'élément de surface dS s'obtient en faisant varier x de dx

et y de dy. Ainsi dS est un rectangle de côtés dx et dy et donc 푑푆 = 푑푥푑푦.

On a donc :

퐼 = 푓(푥, 푦)푑푥푑푦 (1.3)

On peut inverser les rôles de x et y et on obtient :

퐼 = 푓(푥,푦)

( )

( )

푑푦 푑푥 = 푓(푥,푦)

( )

( )

푑푥 푑푦 (1.4)

Exemple :

- Calcule 퐼 = ∬ (1 + 푥)푑푥푑푦 où 퐷 = [0,1]푥[0,2]

On a 퐼 = ∬ 푓 (푥)푓 (푦)푑푥푑푦 = ∫ 푑푦 ∫ (1 + 푥)푑푥 = 3

- Calcule l’intégrale double

퐼 = ∬ (푥 + 푦)푑푥푑푦 où 퐷 = {(푥, 푦) ∈ ℛ ; 푥 ≥ 0,푦 ≥ 0, 푥 + 푦 ≤ 1}

- Lorsque x est compris entre 0 et 1, le nombre y varie de 0 à 1 − 푥, donc : 퐼 = ∬ 푓(푥, 푦) 푑푥푑푦 = ∫ ∫ (푥 + 푦)푑푦 푑푥 =

Y 1 D 0 1 x

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2.3 Calcul en coordonnées polaires

On obtient l'élément de surface dS en coordonnées polaires, en faisant varier r de dr et θ de

dθ. dS est alors un secteur angulaire que l'on considère comme un pseudo rectangle

infinitésimal de longueur dr et de largeur rdθ. Ainsi dS = rdrdθ.

L’intégrale I se calcule par deux intégration successives :

퐼 = 푔(푟, 휃) 푟푑푟푑휃 = 푟푔(푟, 휃)

( )

( )

푑푟 푑휃 (1.5)

y

dS=rdrd휃

r+dr rdθ dr

θ+dθ

O θ x

Figure 1.3 Elément de surface dS en coordonnés polaires.

Soit 퐼 = ∬ 푓(푢, 푣)푑푢푑푣 une intégrale double. On dit que le domaine d'intégration

D est un pavé si les bornes vmin(u) et vmax(u) sont indépendantes de u. Dans ce cas on a :

퐼 = 푓(푢, 푣)푑푢푑푣 = 푓(푢,푣)푑푢푑푣 (1.6)

Lorsque l'on est en coordonnées cartésiennes, un pavé est un rectangle dont les côtés

sont parallèles aux axes. En coordonnées polaires, un pavé est un secteur circulaire.

Si en plus sur ce pavé D on a 푓(푢,푣) = 푔(푢)ℎ(푣), on dit que f est à variables séparables,

dans ce cas on peut alors transformer le calcul d'une intégrale double en un produit de deux

intégrales simples :

퐼 = 푓(푢, 푣)푑푢푑푣 = ℎ(푣)푑푣 x 푔(푢)푑푢 (1.7)

Exercice :

- Calculer 퐼 = ∬ 푥푦푑푥푑푦 où D est le pavé [0 , 1]x[0 , 2]

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Solution :

퐼 = 푥푦푑푥푑푦 = 푥푑푥 푦푑푦 = 1

2.4 Calcul de l’aire du domaine D :

Dans le cas où 푓(푢,푣) = 1, l’intégrale 퐴 = ∬ 푑푢푑푣 correspond à l’aire du domaine

D. En coordonnées cartésiennes 퐴 = ∬ 푑푥푑푦 et en coordonnées polaires

퐴 = ∬ 푟푑푟푑휃 .

Exercice :

Calculer l’aire de la région du plan xOy délimitée par les courbes : A

2푦 = 16 − 푥 et 푥 + 2푦 = 4

Solution : A

Lorsque x varie entre -4 et 4, y varie entre

푦 = (4− 푥) et 푦 = (16− 푥 )

퐴 =

⎝

⎜⎛

푑푦

( )⎠

⎟⎞푑푥

= −12 푥 +

12 푥 + 6 푑푥 =

803

2.5 Changement de variable :

On appelle jacobien de 휑: (푢,푣) ↦ (푥, 푦) le déterminant suivant :

푑푒푡 푗 휑(푢, 푣) =

휕푥휕푢

휕푥휕푣

휕푦휕푢

휕푦휕푣

(1.8)

Soit D une partie de ℛ et 휑: [푢 ,푢 ]x[푣 ,푣 ] ⟼ [푥 ,푥 ]x[푦 , 푦 ] telle que φ(Ω) = D, on a

alors :

∬ 푓(푥,푦)푑푥푑푦 = ∬ 푓 휑(푢,푣) 푑푒푡 푗 휑(푢,푣) 푑푢푑푣.

Soit D un domaine défini en coordonnées polaires comme un pavé Ω = [푟 , 푟 ]x[휃 ,휃 ]. On a

휑: [푟,휃] ⟼ [푟 cos휃, 푟 sin휃] et on retrouve alors :

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푓(푥, 푦)푑푥푑푦 = 푓(푟푐표푠휃, 푟푠푖푛휃)|푟|푑푟푑휃 (1.9)

Exercice :

- Calculer en passant aux coordonnées polaires 퐼 = ∬ 푑푥푑푦

퐷 est la couronne limitée par les cercles de centre 푂 et de rayons respectifs 푎 et 푏 (0 < a < b).

Solution :

Le domaine 퐷 est obtenu lorsque les coordonnées polaires (r,휃) parcourent le rectangle.

퐷 = [푎,푏]x[−휋,휋]

D’autre part, 푓(푟 cos휃 , 푟 sin 휃) = .

Donc : 퐼 = ∬ 푓(푟 cos 푡 , 푟 sin 푡)푟푑푟푑휃

= ∬ D

= ∫ ∫ 푑휃 O a b

= 2휋 ln푏푎

3. Intégrales triples 3.1 Généralités

Soit f une fonction de trois variables x, y et z définie sur un domaine 푉 ∈ ℛ , est M est

un point appartient à V (M∈V) entouré par un volume infinitésimale dV. Lorsqu’on fait la

somme de tous les volumes pour tous les points M∈V, on obtient une intégrale triple :

퐼 = 푓(푀)푑푉 (1.10)

Question : pourquoi calcule-t-on une intégrale triple ?

. Calcul de masse : Si V est un domaine de l’espace constitue d’un matériau de masse

volumique µ(x,y,z), alors la masse m de V est égale à :

푚 = 휇(푥, 푦, 푧)푑푥푑푦푑푧 (1.11)

D

θ

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. Calcul de volume : Lorsque, en particulier, 휇(푥, 푦, 푧) = 1,∀(푥,푦, 푧) ∈ 푉, cette masse

est égale au volume du domaine V multiplié par 1, ce qui permet de calculer le volume V d’un

domaine quelconque de l’espace par :

푉 = 푑푥푑푦푑푧 (1.12)

Calcul des coordonnées du centre de gravité d’un domaine de l’espace : Les

coordonnées (xG, yG, zG) du centre de gravité d’un domaine V de masse volumique 휇(푥,푦, 푧)

sont données par :

⎩⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎧푥 =

1푚 푥 (푥, 푦, 푧)푑푥푑푦푑푧

푦 =1푚 푦 (푥, 푦, 푧)푑푥푑푦푑푧

푧 =1푚 푧 (푥, 푦, 푧)푑푥푑푦푑푧

(1.13)

3.2 Méthodes de calcul d’une intégrale triple :

3.2.1 Calcul en coordonnées cartésiennes :

On procède par analogie avec les intégrales doubles. En coordonnées cartésiennes,

l'élément de volume dV s'obtient en faisant varier x de dx, y de dy et z de dz et donc

푑푉 = 푑푥푑푦푑푧 .

On a alors :

퐼 = 푓(푥, 푦, 푧)

( , )

( , )

푑푧

( )

( )

푑푦 푑푥 (1.14)

Bien sur, on peut intervertir les rôles de x, y, z. ainsi, on a 6 possibilités différentes pour le

calcul de l’intégrale I.

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Figure 1.4 – Bornes d’intégrations en coordonnées sphériques

Exemple :

Calcule 퐼 = ∭ (푥 + 푦 + 푧) 푑푥푑푦푑푧.

Où 푉 = {(푥, 푦, 푧) ∈ 푅 /푥 ≥ 0,푦 ≥ 0, 푧 ≥ 0,푥 + 푦 + 푧 ≤ 1}

Solution :

La projection du domaine V sur le plan xOy est

le domaine D limité par les axes et le droite

d’équation 푥 + 푦 = 1.

Lorsque (푥, 푦) appartient à D, on a

퐼 (푥, 푦) = ∫ [(푥 + 푦 + 푧) 푑푥푑푦]푑푧 = ( ) = (1 − (푥 + 푦) ),

On calcule alors l’intégrale double,

퐼 = ∬ (1− (푥 + 푦) )푑푥푑푦,

Lorsque 푥 est compris entre 0 et 1, on a :

퐼 (푥) = 퐼 (푥, 푦)푑푦

=13

(1− (푥 + 푦) )푑푦

=13 푦 −

(푥 + 푦)4

=14 −

푥3 +

112 푥

Y 1 D 1 x

z 1 V 1 1 y x

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Alors,

퐼 = 퐼 (푥)푑푥 =14 −

푥3 +

112 푥 푑푥 =

푥4 −

푥6 +

160 푥 =

110

3.2.2 Calcul d’une intégrale triple sur un parallélépipède rectangle :

Le calcul pratique de cette intégrale triple va se ramener au calcul pratique d’une

intégrale simple et d’une intégrale double, ou de trois intégrales simples sur un domaine

푉 = [푎 ,푏 ]푥[푎 ,푏 ]푥[푎 ,푏 ].

퐼 = 푓(푥,푦, 푧)푑푥푑푦푑푧 = 푓(푥,푦, 푧)푑푧 푑푦 푑푥 (1.15)

Il est facile de voir que l’on peut écrire les intégrales simples dans n’importe quel

ordre puisque les bornes de ces intégrales sont indépendantes lorsque le domaine d’intégration

est un parallélépipède rectangle.

Exemples :

Donner la valeur de l’intégrale suivant :

퐼 = ∭ (1 + 푥)푧푑푥푑푦푑푧 où 푉 = [0,1]푥[0,2]푥[0,1].

- 퐼 = ∭ 푓(푥, 푦, 푧)푑푥푑푦푑푧 = ∫ (1 + 푥)푑푥∫ 푑푦 ∫ 푧 푑푧 = ∗ 2 ∗ =

퐼 = ∭ 푥 푦푒 푑푥푑푦푑푧 où 푉 = [0,1]푥[0,2]푥[−1,1].

- Puisque la dérivée par rapport à z de exyz est xyexyz , on peut commencer par intégrer

par rapport à z, ce qui donne :

퐼 = ∭ 푥 푦푒 푑푥푑푦푑푧 = ∬ 푥 ∫ 푥푦푒 푑푧 푑푥푑푦 où D= [0,1]푥[0,2].

퐼 = ∫ ∫ (푥푒 − 푥푒 )푑푦 푑푥 = ∫ [푒 − 푒 ] 푑푥 = 푠ℎ2 − 2.

3.2.3 Calcul de l’intégrale triple par la méthode de tranche :

Lorsque le domaine V de l’espace n’est pas un parallélépipède rectangle on peut

ramener le calcul de l’intégrale triple à celui d’une intégrale simple et d’une intégrale double.

La difficulté consiste à trouver les « bonnes » bornes de cette intégrale simple et de cette

intégrale double. On suppose que le domaine V peut être défini par :

푉 = {(푥, 푦, 푧) ∈ 푅 /푎 ≤ 푧 ≤ 푏 , (푥,푦) ∈ 퐷 } où Dz est le domaine (plan) intersection de

volume V avec le plan parallèle à xOy qui a pour cote z, ce domaine Dz varie avec z en

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général, a3 est la plus petite cote des points du domaine V et b3 la plus grande cote des points

de V. On peut montrer que

퐼 = 푓(푥,푦, 푧)푑푥푑푦푑푧 = 푓(푥, 푦, 푧)푑푥푑푦 푑푧 (1.16)

Figure 1.5 – Méthode des tranches

Dans la formule précédente on a privilégié l'axe Oz. On aurait pu aussi bien privilégier

l'axe Oy, ce qui donnerait

퐼 = ∭ 푓(푥,푦, 푧)푑푥푑푦푑푧 = ∫ ∬ 푓(푥, 푦, 푧)푑푥푑푧 푑푦

Exemples :

1. Soit 푉 = {(푥, 푦, 푧) ∈ 푅 / 푥 + 푦 + (푧 − 1) ≤ 1, 푧 ≤ 1}

Montrer que 퐼 = ∭ 푓(푥, 푦, 푧)푑푥푑푦푑푧 peut s’écrire :

퐼 = ∫ ∬ 푓(푥, 푦, 푧)푑푥푑푦 푑푧 표ù ∫ ∬ 푓(푥, 푦, 푧)푑푧푑푧 푑푥 Préciser les

valeurs de a3, b3, a1, b1.

Solution :

Le volume est la demi boule de centre (0,0,1), de rayon 1 située au dessous du plan

d'équation z = 1.

Donc z varie de 0 à 1: a3 = 0, b3 = 1. Dz0 est l'intersection de avec le plan d'équation z = z0,

il s'agit donc d'un disque situé dans le plan d'équation z = z0 , centré en (0,0,z0) et de rayon

1 − (푧 − 1) .

x varie de -1 à 1: a1 = -1, b1 = 1.

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Dx0 est un demi disque situé dans le demi-plan x = x0, z ≤ 1 , de centre (x0, 0, 1) et de rayon

1 − 푥 .

2. Calculer par la méthode des tranches le volume du domaine

푉 = {(푥,푦, 푧) ∈ 푅 / 푥 ≥ 0, 푦 ≥ 0, 푧 ≥ 0,푥 + 푦 + 푧 ≤ 1} .

Solution :

- 퐼 = ∭ 푑푥푑푦푑푧 = ∫ ∬ 푑푥푑푦 푑푧

Où Dz est le triangle {푥 ≥ 0,푦 ≥ 0, 푥 + 푦 ≤ 1 − 푧}, ce qui donne :

퐼 = ∭ 푑푥푑푦푑푧 = ∫ ∫ ∫ 푑푦푑푥 푑푧 = 1/6

3.2.4 Calcul d’une intégrale triple par la méthode des bâtons :

Dans la méthode des tranches, on a exprimé une intégrale triple I comme une intégrale

simple d'intégrale double, on peut également exprimer I comme une intégrale double

d'intégrale simple, c'est la méthode des bâtons qui va être décrite ci-dessous.

On suppose maintenant que le domaine V est décrit par :

푉 = {(푥, 푦, 푧) ∈ 푅 / (푥, 푦) ∈ 퐷,훼(푥, 푦) ≤ 푧 ≤ 훽(푥,푦)}

L’expression de l’intégrale triple par la méthode des bâtons est la suivantes :

퐼 = 푓(푥,푦, 푧)푑푥푑푦푑푧 = 푓(푥, 푦, 푧

( , )

( , )

)푑푧 푑푥푑푦 (1.17)

Le domaine plan D est la projection orthogonale de V sur le plan xOy.

Figure 1.6 – Méthode des bâtons

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Soit un point de coordonnées (x,y) dans D, on considère alors la droite parallèle à Oz et

qui passe par ce point. Cette droite coupe le domaine V en deux points dont les cotes 훼(푥,푦)

et 훽(푥, 푦) comme cela est représenté par la figure (1.6).

En fait 푧 = 훼(푥,푦) est la surface qui limite le domaine V vers le bas. 푧 = 훽(푥,푦) est la

surface qui limite le domaine V vers le haut.

On aurait aussi en privilégiant l’axe Oy

퐼 = 푓(푥,푦, 푧)푑푥푑푦푑푧 = 푓(푥, 푦, 푧

( , )

( , )

)푑푦 푑푥푑푧 (1.18)

où D est la projection de V dans le plan xOz et [훼(푥, 푧),훽(푥, 푧)] est l’intersection de la droite

parallèle à Oy passant par le point (x,y) du domaine D avec V.

Exemples :

1. Soit 푉 = {(푥,푦, 푧) ∈ 푅 / 푥 + 푦 + (푧 − 1) ≤ 1, 푧 ≤ 1} .

Montrer que : 퐼 = ∭ 푓(푥, 푦, 푧)푑푥푑푦푑푧 peut s’écrire ∬ ∫ 푓(푥, 푦, 푧( , )( , ) )푑푦 푑푥푑푧

- Le volume V est la demi boule de centre (0,0,1), de rayon 1 située au dessous du plan

d’équation z = 1. Donc D, projection de V sur le plan xOy est un disque de centre O et

de rayon 1.

- La surface qui limite le volume au dessus est le plan z = 1, la surface qui limite le

volume en dessous est la demi sphère inférieure d’équation 푧 = 1− 1 − 푥 − 푦 .

d’où 훼(푥,푦) = 1 − 1 − 푥 − 푦 et 훽(푥,푦) = 1

2. Calculer par la méthode des bâtons le volume du domaine

푉 = {(푥, 푦, 푧), 푥 ≥ 0,푦 ≥ 0, 푧 ≥ 0,푥 + 푦 + 푧 ≤ 1}.

- ∭ 푑푥푑푦푑푧 = ∬ ∫ 푑푧 푑푥푑푦, où D est le triangle du plan xOy {푥 ≥ 0,푦 ≥

0,푥 + 푦 ≤ 1} ce qui donne

∭ 푑푥푑푦푑푧 = ∫ ∫ (1− 푥 − 푦)푑푦푑푥 = 1/6

3.3 Changement de variable dans les intégrales triples

3.3.1 Déterminants jacobien :

On considère le changement de variables suivant :

푥 = 푎(푢,푣,푤)푦 = 푏(푢,푣,푤)푧 = 푐(푢, 푣,푤)

(푢, 푣,푤) ∈ Ω (1.19)

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Où a, b, c sont des fonctions supposées continument différentiables sur un domaine Ω de

l’espace R3. On appelle matrice jacobienne, la matrice j(u,v,w) suivante :

푗(푢, 푣,푤) =

휕푎(푢, 푣,푤)휕푢

휕푎(푢,푣,푤)휕푣

휕푎(푢, 푣,푤)휕푤

휕푏(푢,푣,푤)휕푢

휕푏(푢, 푣,푤)휕푣

휕푏(푢,푣,푤)휕푤

휕푐(푢,푣,푤)휕푢

휕푐(푢, 푣,푤)휕푣

휕푐(푢, 푣,푤)휕푤

(1.20)

et on appelle déterminant jacobien ou jacobien le déterminant :

퐷퐽(푢, 푣,푤) = det 퐽(푢, 푣,푤) (1.21)

Par le changement de variable ci-dessus, on a :

퐼 = 푓(푥, 푦, 푧)푑푥푑푦푑푧 = 푔(푢, 푣,푤)|퐷퐽(푢,푣,푤)|푑푢푑푣푑푤 (1.22)

Le terme |퐷퐽(푢,푣,푤)| représente la valeur du jacobien.

Exemples:

Quelles sont les matrices jacobiennes des changements de variable :

푥 = 푟푐표푠휃푦 = 푟푠푖푛휃푧 = 푧

et 푥 = 푟푠푖푛휃푐표푠휑푦 = 푟푠푖푛휃푠푖푛휑푧 = 푟푐표푠휃

.

Quel sont les jacobiens associées ?

Solution :

- On a 퐽(푟, 휃, 푧) =푐표푠휃 −푟푠푖푛휃 0푠푖푛휃 푟푐표푠휃 0

0 0 1⟹ 퐷퐽(푟, 휃, 푧) = 푟.

- 퐽(푟,휃,휙) =푐표푠휙푐표푠휃 −푟푐표푠휙푠푖푛휃 −푟푠푖푛휙푐표푠휃푐표푠휙푠푖푛휃 푟푐표푠휙푐표푠휃 −푟푠푖푛휙푠푖푛휃푠푖푛휙 0 푟푐표푠휙

⟹ 퐷퐽(푟, 휃,휙) = 푟 푐표푠휙

3.3.2 Calcul en coordonnées cylindriques :

Les coordonnées cylindriques sont données par :

퐼 =푥 = 푟푐표푠휃푦 = 푟푠푖푛휃푧 = 푧

(1.23)

Ici dV est obtenu en faisant varier r de dr, θ de dθ et z de dz. dV est un pseudo-parallélépipède

tel que 푑푉 = 푟푑푟푑휃푑푧.

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Figure 1.7 - Elément de volume dV en coordonnées cylindriques

On a donc : 퐼 = ∭ 푔(푟, 휃, 푧)푟푑푟푑휃푑푧 . dans la pratique, on calcule souvent ainsi :

퐼 = 푟푔(푟,휃, 푧)

( , )

( , )

푑푧

( )

( )

푑푟 푑휃 (1.24)

Exemple :

Calculer le volume du cylindrique de rayon R et de hauteur h.

Solution :

푉 = 푟푑푟푑휃푑푧 = 푟푑푟 푑휃 푑푧 = ℎ휋푅

3.3.3 Calcul en coordonnées sphériques

Les coordonnées sphériques sont données par :

푥 = 푟푠푖푛휃푐표푠휑푦 = 푟푠푖푛휃푠푖푛휑푧 = 푟푐표푠휃

(1.25)

L’élément de volume est alors d푉 = 푟 푠푖푛휃푑푟푑휃푑휑.

et on a donc :

퐼 = ℎ(푟,휃,휑) 푟 푠푖푛휃푑푟푑휃푑휑 (1.26)

son calcul se fait de la manière suivante :

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퐼 = 푟 ℎ(푟, 휃,휑)

( , )

( , )

푑푟

( )

( )

푠푖푛휃푑휃 푑휑 (1.27)

Figure 1.7 - Elément de volume dV en coordonnées sphériques

Exercice :

Calculer 퐼 = ∭ 푧푑푥푑푦푑푧

Où 푉 = {(푥, 푦, 푧) ∈ 푅 /푥 + 푦 + 푧 ≤ 푅 ; 푧 ≥ 0}.

Solution :

En coordonnées sphérique l’intégrale I devient:

퐼 = 푟 푠푖푛휃 cos 휃 푑푟푑휃푑휑

où Ω(푟,휃,휑) = [0,푅]x 0, x[0,2π]

퐼 =12 푟 푠푖푛(2휃)푑푟푑휃푑휑

=12 푟 푑푟 sin(2휃) 푑휃 푑휑 =

휋푅4

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Chapitre 2 Intégrales impropres


Chapitre 2

Intégrales impropres (généralisées)

Le but de ce chapitre est de généraliser la notion d’intégration à une fonction continue

par morceaux sur un intervalle non borné ou sur un intervalle (semi) ouvert.

1. Cas d’un problème à une seule borne :

On donne ici la définition pour l’intervalle [a, b[ où −∞ < a < b < +∞. on adaptera cette

définition pour les intervalles suivants : [a,+∞[ , ] −∞, b] et ]a, b].

Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle [a,b[ ⊂ ℛ.

On dit que l’intégrale de f sur [a,b[ est convergente ( ou converge, ou existe) lorsque

l’intégrale partielle 퐹(푥) = ∫ 푓(푡)푑푡 possède une limite finie lorsque 푥 ⟶ 푏 , Si c’est le

cas, on note cette limite ∫ 푓(푡)푑푡→ dans le cas contraire on dit que l’intégrale de f sur [a,b[

est divergente ou qu’elle n’a pas de sens.

Remarque :

Si on est dans le cas de la convergence, et en notant F une primitive quelconque de f

sur [a,b[, on utilisera la notation,

∫ 푓(푡)푑푡→ = [퐹(푡)]→ = lim → (퐹(푏) − 퐹(푎)).

Soit c ∈ [a,b[ : ∫ 푓(푡)푑푡→ 푐표푛푣푒푟푔푒 ⇔ ∫ 푓(푡)푑푡→ 푐표푛푣푒푟푔푒

Exemples :

- Soit f définie sur [1,+∞[ par 푓(푡) = 1/푡 . Pour x ≥ 1 on a :

∫ 푑푡 = − = lim →∞ 1 − = 1 donc l’intégrale de f sur [1,+∞[ est

convergente et on écrit ∫ 푑푡∞ = 1.

- Soit 푔 définie sur [1,+∞[ par 푔(푡) = . Pour x ≥ 1 on a :

∫ 푑푡 = [ln 푡] = lim →∞ ln푥 = +∞. Donc l’intégrale [1,+∞[ est divergente.

- Considérons la fonction cosinus sur ℛ+. on a pour tout x ≥ 0 :

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∫ cos 푡 푑푡 = [sin 푡] = sin 푥 qui n’admet pas de limite lorsque x tend vers +∞, donc

l’intégrale ∫ cos 푡 푑푡 n’a pas de sens.

- Soit ℎ définie sur ]0,1] par ℎ(푡) =√

. Pour 0 < x ≤ 1 on a :

∫√

= 2√푡 = lim → 2 − 2√푥= 2 est donc l’intégrale ∫√

existe est vaut 2.

- Montrons que ∫ ln 푡 푑푡→ converge et vaut -1. Pour 0 < x ≤ 1 on a :

∫ ln 푡 푑푡 = [푡 ln 푡 ] − ∫ 푑푡 = lim → 푥 − 1 − 푥 ln 푥=−1, d’où le résultat.

2. Cas d’un problème aux deux bornes :

On s’intéresse ici au cas des intervalles] a, b[ , ]−∞, b[ , ]a, +∞[ et ℛ, c’est `a dire au

cas des intégrales doublement impropres. Donnons par exemple la définition sur ]a, b[ .

Définitions :

Soit 푓 une fonction définie sur un intervalle ]a, b[ ⊂ R et c ∈ ] a, b [

On dit que l’intégrale de 푓 sur ]a, b[ est convergente lorsque les deux intégrales ∫ 푓(푡)푑푡→

et ∫ 푓(푡)푑푡→ convergent , Si c’est le cas, on note :

∫ 푓(푡)푑푡→⟶ = ∫ 푓(푡)푑푡→ + ∫ 푓(푡)푑푡→ , Sinon on dit que l’intégrale de 푓 sur ]a, b[ est

divergente.

Remarque :

Il faut décomposer en somme l’intégrale donné pour connaitre sa nature. On retiendra

par exemple que lim → ∞ ∫ sin 푡 푑푡= 0 et pourtant ∫ sin 푡 푑푡∞∞ n’a pas de sens puisque

∫ sin 푡 푑푡∞ diverge.

Exemple :

On a déjà montré que ∫ ∞ est convergente. Pour x ∈ ]0, 1] on a :

∫ = lim → − 1 = +∞. Donc ∫→ diverge. Ainsi l’intégrale ∫ ∞→ est divergente.

3. Intégrales faussement impropres

On se place ici sur l’intervalle [a, b[ où −∞ < a < b < +∞.

Soit f une fonction définie sur [a, b[. si f admet une limite finie en 푏 alors ∫ 푓→ converge.

On dit dans ce cas que l’intégrale est faussement impropre (ou mal écrite) en b.

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Exemples :

L’intégrale ∫ /→ 푑푡 est faussement impropre en 0, donc converge. En effet,

lim → = 1.

∫ ∞ converge ⟺ α > 1. et ∫→ converge ⟺ α < 1. En effet,

Soit ∫ ∞ , on a les cas suivants :

1- Si α = 1, une primitive de 1/t sur R*+ est lnt qui n’admet de limite finie ni en +∞ ni

en 0+, donc ∫ ∞ et ∫→ divergent.

Supposons désormais α ≠ 1.

2- ∀푥 ≥ 1, ∫ = [푡 ] = qui tend, lorsque x→+∞ vers +∞ si α < 1 et

vers si α >1.

3- ∀푥 ∈]0,1], ∫ = [푡 ] = qui tend, lorsque x→0+, vers +∞ si α > 1

et vers si α <1.

On notera que ∫ ∞ est toujours divergente car les conditions α > 1 et α < 1 sont

incompatibles.

∫ 푒 푑푡∞ converge ⟺ α > 0.

Pour α = 0 l’intégrale est bien sur divergente, on suppose donc α ≠ 0. On a alors, pour

tous x ≥ 0 :

∫ 푒 푑푡 = − 푒 = (1− 푒 ) ce qui, lorsque x →+∞, tend vers +∞ si

α < 0 et vers 1/α si α > 0.

Dans le cas général, on montre par récurrence sur n le résultat suivant.

∀ 훼 > 0,∀ 푛 ∈ 푁, ∫ 푡 푒 푑푡∞ converge et vaut !

4. Propriétés :

4.1 Linéarité :

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [a,b[ et λ une constante :

- Si ∫ 푓→ converge et ∫ 푔→ converge alors ∫ (푓 + 푔)→ converge et on a:

∫ (푓 + 푔)→ = ∫ 푓→ + ∫ 푔→ .

- Si ∫ 푓→ converge alors ∫ 휆푓→ converge et vaut 휆 ∫ 푓→

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Attention aux éclatements illicites ! On pourrait écrire :

1 =푑푡푡

∞

=1 + 푡푡 −

1푡 푑푡

∞

=1 + 푡푡 푑푡

∞

−푑푡푡

∞

Or ça n’a aucun sens car les deux dernières intégrales écrites sont divergentes.

4.2 Intégration par parties :

Soient f et g deux fonctions de classe C1 sur [a , b[.

Si f g possède une limite finie en 푏 , alors les intégrales ∫ 푓′푔→ et ∫ 푓푔′→ sont de la même

nature. Si de plus elles sont convergentes, alors :

푓′푔→

= [푓푔]→ − 푓푔′→

Exemple :

Montrons que l’intégrale ∫ ( )푑푡→ converge et calculons sa valeur.

On remarque que : lim → 푡 ln 푡= 0 et donc l’intégrale est faussement impropre en 0, donc

convergente.

Une primitive de ( )

est mais si on fait ce choix, le terme tout intégré devient

–

→ qui n’a pas de sens. Il faut choisir la primitive de

( ) qui s’annule en 0, c’est-a-

dire 1 − = . les trois objets de la formule ont alors un sens et on peut écrire :

∫ ( )푑푡→ =

→− ∫→ 푑푡 = 0− [ln(1 + 푡 )] = − .

4.3 Changement de variable :

Soient a et b deux réels tels que - ∞ ≤ a < b ≤ + ∞ ; φ une bijection de classe C1 de

]a,b[ sur son image et f une fonction continue sur φ( ]a,b[ ).

Les intégrales ∫ 푓(푡)푑푡→ ( )→ ( ) et ∫ 푓 휑(푢) 휑′(푢)푑푢→

→ sont de la même nature, et égales si

convergentes.

Exemple 1 :

1. Calculons 퐼 = ∫ .

La règle de Bioche nous invite à poser 푢 = tan soit 푡 = 2 arctan 푢 = 휑(푢). La fonction φ

établit une bijection C1 de [0,+∞[ sur [0,π[ et la fonction 푓: 푡 ↦ est continue sur [0,π[

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donc on peut appliquer le théorème du changement de variable. On rappelle les formules

suivantes :

Pour 푢 = tan ; cos 푡 = ; sin 푡 = ; 푑푡 =

On a donc : 퐼 = ∫ ∞ = ∫ 푑푢∞ =√

arctan√

∞= 휋/√3

Exemple 2 :

Pour a < b, calculons 퐼 = ∫( )( )

→→

(푡 − 푎)(푏 − 푡) = −푡 + (푎 + 푏)푡 − 푎푏 = − 푡 − + .

On a donc pour 푎 < 푡 < 푏 ∶ ( )( )

=√

où on a posé :

푢 = 푡 − i.e 푡 = 휑(푢) = 푢 + où 휑: ] − 1,1[→]푎,푏[

D’où :

퐼 =2

푏 − 푎1

√1 − 푢(푏 − 푎)

2

→

→

푑푢 =푑푢

√1 − 푢

→

→

= [arcsin 푢] = 휋

5. Théorème de convergence - Fonctions intégrables

5.1 Théorème de convergence

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [a, b[ ⊂ ℛ. on suppose que :

∀ 푡 ∈ [푎,푏[, 0 ≤ 푓(푡) ≤ 푔(푡).

i. Si ∫ 푔→ converge alors ∫ 푓→ converge et 0 ≤ ∫ 푓→ ≤ ∫ 푔→ .

ii. Si ∫ 푓→ diverge alors ∫ 푔→ diverge.

Exemple :

Montrons que ∫ ∞ 푑푡 est convergente.

On a : ∀ 푡 ∈ [0, +∞[, 0 ≤ ≤ . Or l’intégrale ∫ 푑푡∞ est convergente et vaut π/2.

D’après le théorème de comparaison on conclue que ∫ ∞ 푑푡 est convergente et que

0 ≤ ∫ ∞ 푑푡 ≤

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5.2 Critère d’équivalence :

Théorème :

Soient 푓 et 푔 deux fonctions définies sur [a, b[ ⊂ ℛ. on suppose que 푓(푡)→ 푔(푡) et

que 푓 garde un signe constant au voisinage de b. alors les intégrales ∫ 푓→ et ∫ 푔→ ont la

même nature.

Exemple :

Déterminer la nature de ∫ [ ( )]→ 푑푡 où (α, β) ∈ R2.

Il suffit de remarquer que [ ( )]

≥ 0 et donc l’intégrale étudiée a la même nature

que l’intégrale de Riemann ∫→ qui converge Si et seulement si 훽 − 훼 < 1.

5.3 Fonctions intégrables

soit 푓 une fonction définie sur [a,b[. on dit que l’intégrale de 푓 sur [a,b[ est absolument

convergente ou encore que 푓 est intégrable sur [a, b[ lorsque ∫ |푓(푡)|푑푡→ est convergente.

Théorème :

Toute intégrale absolument convergente est convergente.

Exemples :

1- a une intégrale absolument convergente sue [1, +∞[ car ≤ et a une

intégrale convergente sur [1,+∞[.

2- Etudions, pour α > 0, la nature de ∫ ∞ 푑푡.

Si α > 1, on a alors ∀ 푡 ∈ [1, +∞[, 0 ≤ ≤ . De plus l’intégrale de Riemann

∫ ∞ est convergente car α > 1, donc l’intégrale ∫ 푑푡∞ est absolument

convergente (donc convergente).

Si 0 < α ≤ 1. Montrons que l’intégrale ∫ 푑푡∞ est convergente.

On applique le théorème d’intégration par partie : puisque lim → ∞– = 0,

l’intégrale étudiée a même nature que ∫ 푑푡∞ or cette dernière est absolument

convergente (donc convergente), en effet :

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∀ 푡 ∈ [1, +∞[, 0 ≤ ≤ . et l’intégrale de Riemann ∫ ∞ est convergente

car α + 1 > 1.

Si 0 < α ≤ 1. Montrons que l’intégrale ∫ 푑푡∞ est convergente.

Si 0 < α ≤ 1. Montrons que l’intégrale ∫ | | 푑푡∞ diverge.

On utilise la minoration suivante : |sin 푡| ≥ 푠푖푛 푡. On a donc :

∀ 푡 ∈ [1, +∞[, 0 ≤ ≤ | |, il suffit donc de démontrer, d’après le théorème de la

comparaison, que l’intégrale ∫ 푑푡∞ est divergente. Or on a :

= − .

On étudie donc la nature des deux intégrales suivantes :

- ∫ ∞ : elle est divergente d’après le critère de Riemann ( α ≤ 1).

- ∫ 푑푡∞ : elle est convergente (par intégration par parties identique à celle faite

précédemment).

On en déduit, par le théorème de la linéarité que ∫ 푑푡∞ diverge et donc que ∫ | | 푑푡∞

diverge également.

0 < 훼 ≤ 1 ⇒ ∫ 푑푡∞ est semi-convergente.

훼 > 1 ⇒ ∫ 푑푡∞ est absolument convergente.

En particulier on voit que l’intégrale ∫ 푑푡→ , qui est faussement impropre en 0, est semi-

convergente et de méthode permettant de prouver qu’elle vaut π/2.

5.4 Utilisation de développements asymptotiques

Il est parfois possible, en utilisant des développement limités, d’écrire une fonction f,

dont on veut étudier la convergence de l’intégrale sur [a, b[, comme somme de deux (ou plus)

fonctions dont la convergence des intégrales est plus simple à étudier.

Exemple :

On considère, la fonction 푓(푥) = continue sur [1, +∞[, on peut écrire

푓(푥) = et avec le développement limité à l’ordre 1 de :

푓(푥) = 1 − (1 + 휀(푥)) avec lim → 휀(푥) = 0.

푓(푥) = − (1 + 휀(푥)).

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L’intégrale de est semi-convergente sur [1,+∞[ et celle de (1 + 휀(푥)) est

absolument convergente sur [1,+∞[ puisque (1 + 휀(푥)) ≤ .

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Chapitre 3 Equations différentielles


Chapitre 3

Equations différentielles

1. Définition :

De manière générale, une équation différentielle est une équation :

- Dont l’inconnu est une fonction y dépendant d’une variable x (ou t).

- Qui fait intervenir y et certaines de ses dérivées y’, y’’, … etc et éventuellement la

variable x (ou t).

Résoudre l’équation différentielle, c’est chercher toutes les fonctions, définies sur un

intervalle, qui satisfont l’équation (on dit aussi intégrer l’équation différentielle).

2. Equation différentielle linéaire du premier ordre :

Une équation différentielle linéaire d’ordre un est de la forme :

푦 + 푓(푥)푦 = 푔(푥) (3.1)

- On parle d’équation différentielle d’ordre un sans second membre si 푔(푥) = 0 (SSM).

- On parle d’équation différentielle linéaire d’ordre un avec second membre si 푔(푥) ≠ 0

(ASM).

- La fonction 푔(푥) est le second membre de l’équation, l’équation sans second membre

(SSM) est encore appelée équation homogène.

2.1 Equation différentielle linéaire sans second membre (SSM) :

Nous considérons des équations de la forme :

푦 + 푓(푥) 푦 = 0 (3.2)

Ces équations SSM sont à variables séparables et aisément intégrables sous réserve de

pouvoir calculer la primitive de la fonction 푓 :

푦 + 푓(푥) 푦 = 0 ⇔푑푦푑푥 = −푓(푥)푦

⇔푑푦푦 = −푓(푥)푑푥

Par intégration on obtient :

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ln 푦 = −퐹(푥) + 퐶

Où 퐹(푥) est la primitive de la fonction 푓(푥) est C est la constante d’intégration.

Finalement on trouve :

푦 = 퐾푒 ( ) (3.4)

Où on a posé 퐾 = 푒 est une constante.

Exemples :

- Résoudre l’équation : 푦 + 푒 푦 = 0 (E0)

Solution :

(퐸 ) ⇔ = −푦푒

⇔푑푦푦 = −푒 푑푥

⇔ ln 푦 = −푒 + 퐶

⇔ 푦 = 퐾푒 (C,K) : constantes

- Résoudre l’équation : 푦 = 푦 푒 (E’0)

Solution :

(퐸′ ) ⇔ = 푦 푒

⇔푑푦푦 = 푒 푑푥

⇔ −1

2푦 = 푒 + 퐶

⇔ 푦 =

⇔ 푦 = ±√

, C : constante

2.2 Equation différentielle linéaire avec second membre (ASM) :

Nous considérons dans ce paragraphe des équations de la forme :

푦 + 푓(푥)푦 = 푔(푥) (3.5)

Ces équations avec second membre (ASM) se résolvent en deux temps :

1- On intègre d’abord l’équation sans second membre (SSM) pour obtenir :

푦 = 퐾푒 ( )

2- On résout l’équation avec second membre ASM, soit en recherchant une solution

particulière 푦 de (E), soit en utilisant la méthode de variation de la constante.

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2.2.1 Recherche d’une solution particulière :

Supposons que l’on dispose d’une solution particulière 푦 de (E), alors la solution

générale de (E) est la fonction définie par :

푦 = 푦 + 푦 = 퐾푒 ( ) + 푦 (3.6)

Vérification :

Soit 푦 = 푦 + 푦 = 퐾푒 ( ) + 푦 . Montrons qu’une telle fonction est bien solution de

(3.5). 푦 est une solution particulière de (3.5), elle vérifie donc 푦′ + 푓(푥)푦 = 푔(푥), par

ailleurs 푦 = −퐾푓(푥)푒 ( ) + 푦′ , on remplace dans (3.5) :

푦 + 푓(푥)푦 = −퐾푓(푥)푒 ( ) + 푦′ + 푓(푥) 퐾푒 ( ) + 푦

= −퐾푓(푥)푒 ( ) + 퐾푓(푥)푒 ( ) + 푦′ + 푓(푥)푦

= 푦 + 푓(푥)푦

= 푔(푥)

Alors, 푦 = 푦 + 푦 = 퐾푒 ( ) + 푦 est bien solution de (3.5).

Exemple :

Résoudre l’équation 푦 + 푥푦 = 푥 + 1 (E)

Solution :

On résout d’abord l’équation SSM : 푦 + 푥푦 = 0 (E0)

On trouve : 푦 = 퐾 푒

On cherche une solution particulière de (E), posons 푦 = 푎푥 + 푏 où a et b sont à

déterminer de telle sorte que 푦 vérifie (E), on trouve a = 1 et b = 0. Une solution particulière

de (E) est donc 푦 = 푥.

On conclue sur la solution générale de (E) : 푦 = 푦 + 푦 = 퐾 푒 + 푥.

Cette méthode repose entièrement sur la connaissance de 푦 qui n’est pas toujours facile à

obtenir. La méthode de variation de la constante est par contre beaucoup plus générale.

2.2.2 Méthode de variation de la constante :

On utilise cette technique lorsqu’on ne peut pas trouver de solution particulière de

l’équation avec second membre (3.5), on résout dans ce cas l’équation sans second membre

(SSM) qui fournit 푦 = 퐾푒 ( ), puis on fait varier la constante :

En posant dans (3.5), 푦 = 퐾(푥)푒 ( ), on obtient :

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퐾 (푥)푒 ( ) − 푓(푥)퐾(푥)푒 ( ) + 푓(푥)퐾(푥)푒 ( ) = 푔(푥) ⇔ 퐾 (푥)푒 ( ) = 푔(푥)

⇔ 퐾 (푥) = 푔(푥) 푒 ( )

Ainsi, par intégration et sous réserve que l’on puisse calculer une primitive de 푔(푥) 푒 ( ), on

obtient : 퐾(푥) = ∫ 푔(푥) 푒 ( ) 푑푥.

Finalement la solution générale de l’équation (3.5) s’écrit :

푦 = 푒 ( ) 푔(푥) 푒 ( ) 푑푥 (3.7)

Exemple :

- Résoudre l’équation : 푦 − = 푥 (E)

Solution :

On résout d’abord l’équation sans second membre SSM :

푦 − = 0 (E0)

(퐸 ) ⇔푑푦푑푥 =

푦푥

⇔푑푦푦 =

푑푥푥

⇔ ln 푦 = ln 푥 + 퐶

Il vient : 푦 = 퐶 푥 avec 퐶 = 푒

On utilise ensuite la méthode de variation de la constante en cherchant y sous la forme

푦 = 퐶 (푥) 푥 , on remplace y dans (E), on obtient, 퐶 (푥) = 푥, d’où 퐶 (푥) = + 퐾, et la

solution générale de (E) est : 푦 = + 퐾푥

2.3 Equation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants

Nous considérons cette fois des équations différentielles linéaires du premier ordre à

coefficients, constants, c’est-a-dire de la forme :

푦 + 푎푦 = 푔(푥) (3.8)

avec a ∈ ℛ une constante.

C’est un cas particulier des équations différentielles du premier ordre que nous avons vu

précédemment, en effet, nous avons ici, 푓(푥) = 푎. Ainsi, après avoir résolu l’équation SSM,

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la méthode précédente s’applique, soit avec recherche d’une solution particulière, soit par

variation de la constante, la solution particulière 푦 , dans ce cas, s’obtient parfois facilement :

- Si 푔(푥) = 푃 (푥) un polynôme de degré n, alors 푦 = 푄 (푥) un polynôme de degré n.

- Si 푔(푥) = 푒 푃 (푥) alors on pose 푦 = 푧푒 , et z devient la fonction inconnue de

l’équation différentielle : 푧 + (푎 + 푚)푧 = 푃(푥), on est ramené au cas précédent.

Exemple :

Résoudre l’équation : 푦 − 2푦 = 푥 + 1 (E)

Solution :

On résout d’abord l’équation SSM : 푦 − 2푦 = 0 (E0)

On trouve 푦 = 퐶푒 .

On cherche ensuite une solution particulière de (E) :

Posons 푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐푥 + 푑 où a,b,c et d sont à déterminer pour que 푦 vérifie (E). on

trouve 푎 = , 푏 = 푐 = − , 푑 = . Par conséquent :

푦 = − − (푥 + 푥) − .

On conclu sur la solution générale de (E), 푦 = 푦 + 푦 soit :

푦 = 퐶푒 −푥2 −

34

(푥 + 푥) −78

2.4 Equations de Bernoulli et Equations de Riccati

2.4.1 Equation de Bernoulli

On appelle équation de Bernoulli toute équation différentielle de la forme :

푥 + 푎(푡)푥 = 푏(푡)푥 (3.9)

Où 푎(푡) et 푏(푡) sont des fonctions continues de la variable indépendante 푡 ou des

constante connues, avec la condition :

푛 ≠ 0 et 푛 ≠ 1 (3.10)

Bien entendu, si 푛 = 0, l’équation de Bernoulli devient une équation linéaire avec

second membre

푥 + 푎(푡)푥 = 푏(푡) (3.11)

et si 푛 = 1 l’équation de Bernoulli devient une équation linéaire sans second membre

푥 + (푎(푡) − 푏(푡))푥 = 0 (3.12)

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Transformation d’une équation de Bernoulli à une équation linéaire

Il est aisé de voir que l’on peut ramener l’équation différentielle de Bernoulli à une

équation différentielle linéaire par les transformations suivantes.

- Divisons tous les termes de l’équation par 푥 , on obtient

푥 푥 + 푎(푡)푥 = 푏(푡) (3.13)

Faisons le changement de variable suivant

푦 = 푥 (3.14)

- La dérivée des deux membres de la fonction (3.14) donne

푦 = (1 − 푛)푥 푥 (3.15)

- Substituons ces transformations dans l’équation (3.13), il vient

푦 + (1 − 푛)푎(푡)푦 = (1 − 푛)푏(푡) (3.16)

Il est à remarquer que l’équation différentielle (3.16) est linéaire, simple à résoudre par la

méthode de variation des constantes.

Exemple :

Résoudre l’équation différentielle suivante :

푥 + 푥 =√

(E)

Solution :

L’équation différentielle (E) est de Bernoulli avec 푛 = − , divison tous les termes par

√, on obtient l’équation suivante

푥 / 푥 + 푥 / = exp 푡 (E1)

Introduisons la nouvelle fonction 푦 donnée en fonction de 푥 par la relation

푦 = 푥 /

D’où la dérivée des deux membres de la fonction 푦(푡) donne

푦 =32 √푥 푥′

Portons ses expressions dans l’équation (E1), on est ramené à une équation linéaire avec

second membre

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23 푦 +

2푡 푦 = exp 푡

Il est aisé de voir que cette équation se résout par la méthode de variation des constantes dont

la solution est :

푦(푡) = 9 −1푡 +

1푡 −

12푡 +

16 푒 +

퐶푡푒푡

D’où la solution, 푥(푡) = (푦(푡))

2.4.2 Equation de Riccati :

On appelle équation de Riccati toute équation différentielle de la forme :

푥 + 푎(푡)푥 + 푏(푡)푥 = 푐(푡) (3.17)

où 푎(푡), 푏(푡) 푒푡 푐(푡) sont des fonctions continues de la variable indépendante 푡 ou des

constantes connues avec la condition

푏(푡) ≠ 0 et 푐(푡) ≠ 0 (3.18)

Transformation d’une équation de Riccati à une équation de Bernoulli

Il est simple de voir que l’on peut ramener l’équation différentielle de Riccati à

une équation différentielle de Bernoulli par les transformations suivantes :

- Connaissons une solution particulière 푥 (푡) d’équation de Riccati.

- Substituons le changement de variable

푥 = 푥 (푡) + 푦 (3.19)

Pour aboutir à une équation de Bernoulli de la forme

푦 + 퐴(푡)푦 = 푏(푡)푦 (3.20)

où 퐴(푡) est une fonction continue donnée par

퐴(푡) = 푎(푡) − 2푏(푡)푥 (푡) (3.21)

Transformation d’une équation de Riccati à une équation linéaire

Il est aisé de voir que l’on peut ramener l’équation différentielle de Riccati à une équation

linéaire avec second membre par les transformations suivantes :

- Connaissons une solution particulière 푥 (푡) d’équation de Riccati.

- Substituons le changement de variable

푥 = 푥 (푡) +1푦 (3.22)

Pour aboutir à une équation différentielle linéaire non homogène de la forme

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푦 + 퐴(푡)푦 = 푏(푡) (3.23)

où 퐴(푡) est une fonction continue donnée par

퐴(푡) = 2푏(푡)푥 (푡) − 푎(푡) (3.24)

- Intégrons les équations obtenues par ces changements, suivant les cas connus,

équations linéaires ou équations de Bernoulli.

Remarque 1

Il n’est pas toujours évident de trouver la solution particulière de l’équation de Riccati.

Exemple :

Résoudre l’équation différentielle suivante

푥 − 푥 + 푥 = 4푡 + 2푡 + 2 (E)

Solution :

On remarque dans l’équation (E) que les termes du premier membre sont semblables à

ceux du second membre, il suffit donc de prendre le changement de variable suivant

푥 = 푎푡 + 푏 (E1)

Portons l’expression (E1) dans l’équation (E) et égalons les coefficients des termes

semblables, on trouve les constante 푎 et 푏.

Si la solution particulière du type donné existe, ce qui n’est pas toujours le cas, on

trouve :

푎 푡 + (−푎 + 2푎푏)푡 + 푎 − 푏 + 푏 = 4푡 + 2푡 + 2

En égalant les coefficients de même puissance de 푡 dans les deux membres, on obtient le

système

푎 = 4 −푎 + 2푎푏 = 2푎 − 푏 + 푏 = 2

Il est simple de voir que les valeurs 푎 = 2 et 푏 = 1 sont solution de ce système.

D’où l’existence de la solution particulière 푥 (푡) sous forme polynomiale

푥 = 2푡 + 1

Soit le changement de variable suivant

푥 = 푥 (푡) +1푦 = 2푡 + 1 +

1푦

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Substituons cette expression dans l’équation différentielle (E), afin d’obtenir une équation

linéaire non homogène de la forme

푦 + (−4푡 − 1)푦 = −1

qui se résout par la méthode de variation de la constante.

Comme, on peut mettre le changement de variables suivant

푥 = 푥 (푡) + 푦 = 2푡 + 1 + 푦

dans l’équation différentielle (E), afin d’obtenir une équation de Bernoulli de la forme

푦 + (4푡 + 1)푦 = −푦

Proposition 1

Etant donné une équation de Riccati de la forme

푥 = 퐴푥 +퐵푡 푥 +

퐶푡 (3.25)

où 퐴, 퐵 et 퐶 sont des constantes, si de plus, on a

(퐵 + 1) ≥ 4퐴퐶 (3.26)

alors cette équation admet une solution particulière 푥 (푡) de la forme

푥 (푡) =푎푡 (3.27)

En effet, portons l’expression 푥 (푡) = dans l’équation (3.25), on obtient

퐴푎 + (퐵 + 1)푎 + 퐶푡 = 0 (3.28)

Pour trouver la valeur de 푎, il faut que la condition (퐵 + 1) ≥ 4퐴퐶 soit remplie.

Proposition 2

Etant donné une équation de Riccati de la forme

푥 − 푥 = 푥 + 퐶 (3.29)

où 퐴 et 퐵 sont des constantes, alors cette équation se ramène à une équation à variable

séparables par la substitution de la fonction suivante

푥 = 푦√푡 (3.30)

En effet, portons l’expression 푥(푡) = 푦√푡 dans l’équation (3.29), on obtient

√푡푦 = 퐴푦 + 퐶 (3.31)

ou encore 푑푦

퐴푦 + 퐶 =푑푡√푡

(3.32)

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3. Equation différentielle d’ordre deux : 3.1 Equation différentielle linéaire sans second membre à coefficients constants :

On désigne ainsi une équation différentielle de la forme :

푦 + 푎푦 + 푏푦 = 0 (3.33)

Avec (a , b) ∈ R2 des constantes.

On cherche des solutions sous la forme 푦 = 푒 avec r une constante. En remplaçant 푦 = 푒

dans (3.33) puis en simplifiant par 푒 on obtient l’équation :

휑(푟) = 푟 + 푎푟 + 푏 = 0, qui s’appelle polynôme caractéristique de l’équation (3.33).

La nature des solutions de l’équation (3.33) dépend de la nature des solutions de 휑(푟) = 0.

On note Δ = 푎 − 4푏 le discriminant de l’équation caractéristique.

- Si Δ > 0, alors 휑(푟) = 0 admet deux racines réelles distinctes r1 , r2 et l’équation

(3.33) admet deux solutions particulières 푦 = 푒 et 푦 = 푒 , la solution

générale de l’équation (3.33) est donc :

푦 = 퐶 푒 + 퐶 푒 (3.34)

où C1 et C2 sont des constantes.

- Si ∆ = 0, alors 휑(푟) = 0 admet une racine double 푟 = −푎/2 et l’équation (3.33)

admet la solution particulière 푦 = 푒 , en posant 푦 = 푧 푒 , on montre que la

solution générale de l’Eq. (3.33) est :

푦 = (퐶 푥 + 퐶 )푒 (3.35)

- Si ∆ < 0, alors 휑(푟) = 0 admet deux racines complexes conjugués 푟 , = 훼 ± 푖훽, la

solution générale de l’Eq (3.33) s’écrit alors :

푦 = 푒 (퐶 sin 훽푥 + 퐶 cos 훽푥) (3.36)

Exemple :

Résoudre l’équation,

푦 − 2푦 + 푦 = 0

Solution :

L’équation caractéristique s’écrit : 푟 − 2푟 + 1 = 0, elle admet une racine double

푟 = 1. Par conséquent, la solution générale de l’équation différentielle est :

푦 = 푒 (퐶 푥 + 퐶 )

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3.2 Equation différentielle d’ordre deux linéaire avec second membre et à coefficients

constants :

Ils sont de la forme

푦 + 푎푦 + 푏푦 = 푓(푥) (3.37)

Ces équations ASM se résolvent en deux temps :

1- On intègre d’abord l’équation SSM, on obtient y0.

2- On résout l’équation ASM en recherchant une solution particulière yp de l’Eq. (3.37) et

dans ce cas 푦 = 푦 + 푦 (solution générale).

Exemple :

Résoudre l’équation :

푦 − 2푦 + 푦 = 2푥 − 푥 − 1 (E)

Solution :

- Résolution de l’équation SSM :

푦 = (퐶 푥 + 퐶 )푒 .

- On cherche alors une solution particulière yp sous la forme :

푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐 (Solution particulière de la forme du second membre) soit

solution de (E), on trouve par identification 푎 = 2, 푏 = 7, 푐 = 0, on en déduit que :

푦 = 2푥 + 7푥 + 9

est une solution particulière de (E).

- La solution générale de (E) est : 푦 = 푦 + 푦 c’est-a-dire :

푦 = (퐶 푥 + 퐶 )푒 + 2푥 + 7푥 + 9

3.3 Solutions particulières :

Nous allons résumer dans un tableau les solutions particulières dans le cas d’

équations différentielles avec un second membres (ASM) ‘simple’.

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Equation différentielle du 1er ordre linéaire à coefficient constant

푦 + 푎푦 = 푔(푥)

Solution particulière

Soit 휑(푟) = 푟 + 푎 l’équation caractéristique

Second membre de la forme :

푔(푥) = 푃 (푥) avec d°P = n

푦 = 푥 푄 (푥) avec d°Qn = d°Pn

k = 0 si 0 n’est pas sol_de l’équ_ 휑(푟) = 0

k = 1 si 0 est sol_ de l’équ_ 휑(푟) = 0


푔(푥) = 푒 푃 (푥) avec d°P = n

푦 = 푥 푒 푄 (푥) avec d°Qn = d°Pn

k = 0 si α n’est pas sol_de l’équ_ 휑(푟) = 0

k = 1 si α est sol_ de l’équ_ 휑(푟) = 0


푔(푥) = 퐴 cos 훽푥 + 퐵 sin 훽푥

푦 = 퐶 cos 훽푥 + 퐶 sin 훽푥

Equation différentielle du second

ordre linéaire à coefficients constants

푦 + 푎푦 + 푏푦 = 푔(푥)

Solution particulière

Soit 휑(푟) = 푟 + 푎푟 + 푏 l’équation

caractéristique


푔(푥) = 푃 (푥) avec d°P = n

푦 = 푥 푄 (푥) avec d°Qn = d°Pn

k = 0 si 0 n’est pas sol_de l’équ_ 휑(푟) = 0

k = 1 si 0 est racine de l’équ_ 휑(푟) = 0

k = 2 si 0 est racine double de 휑(푟) = 0


푔(푥) = 푒 푃 (푥) avec d°P = n

푦 = 푥 푒 푄 (푥) avec d°Qn = d°Pn

k = 0 si α n’est pas sol_de l’équ_ 휑(푟) = 0

k = 1 si α est racine de l’équ_ 휑(푟) = 0

k = 2 si α est racine double de 휑(푟) = 0

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3.4 Equation différentielle d’ordre deux avec des coefficients non constants et sans

second membre :

3.4.1 Cas des équations incomplètes :

Cas des équations 푭(풙, 풚 , 풚 ) = ퟎ, (absence de y)

L’astuce consiste ici à poser 푧 = 푦′, ce qui permet de ce ramener à 퐹(푥, 푧, 푧 ) = 0, qui

est une équation différentielle d’ordre un, on résout d’abord 퐹(푥, 푧, 푧 ) = 0, ce qui donne

푧 = 푓(푥, 퐶 ) puis on résout 푦 = 푧, ce qui permet d’obtenir 푦 = 퐹(푥, 퐶 ) + 퐶 .

Exemple :


(푥 + 1)푦 + 푥푦 = 0. (E0)

Solution :

Absence de y, on pose 푧 = 푦′, d’où :

(퐸 ) ⇔ (푥 + 1)푧 + 푥푧 = 0

⇔ = − 푑푥

⇔ ln 푧 = − ln(푥 + 1) + 퐶

⇔ 푧 =퐶

√1 + 푥

Reste à résoudre :

푦 =√

(E1)

(퐸 ) ⇔ =√

⇔ 푦 = 퐶 arg(sinh 푥) + 퐶 = 퐶 ln 푥 + 푥 + 1 + 퐶

Cas des équations 푭(풚, 풚 , 풚 ) = ퟎ, (Absence de x)

Dans ce cas on pose encore 푦 = 푧 d’où :

푦 =

=

= 푧

Ce qui nous ramène à considérer z comme une fonction de y, on est ainsi ramené à

l’équation :

퐹 푦, 푧, 푧 = 0, avec 푑푥 = .

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Exemple :


2푦푦 = 푦′ + 1 (E)

On pose 푧 = 푦 = ⟹ 푦 = 푧

On remplace 푦 푒푡 푦′′ par ces expressions dans l’équation (E) on trouve :

2푦푧푑푧푑푦 = 푧 + 1

Où les variables se séparent : 2푧

푧 + 1 푑푧 =푑푦푦

ce qui donne

푦 = 퐶 (푧 + 1)

Sachant que

푧 =푑푦푑푥 =

푑푦푑푧

푑푧푑푥

ce qui conduit à :

푧 =푥

2퐶 + 퐶

En remplaçant cette expression dans l’expression de y, on obtient finalement,

푦 = 퐶 + 퐶 + 1 .

3.5 Equation différentielle d’ordre deux linéaire sans second membre et à coefficients

non constants :

On appelle ainsi une équation différentielle de la forme :

푦 + 푎(푥)푦 + 푏(푥)푦 = 0 (3.38)

Ces équations ne se résolvent que si on dispose d’une solution particulière 푦 .

Remarque :

푦 = 푒 est solution particulière de toute équation différentielle de la forme :

푦 + 푎(푥)푦 + 푏(푥)푦 = 0, à condition que : 1 + 푎(푥) + 푏(푥) = 0.

Connaissant 푦 on pose 푦 = 푧 푦 , z devenant la nouvelle fonction inconnue de x. Il en

résulte :

푦 = 푦′ 푧 + 푦 푧′ et 푦 = 푦′′ 푧 + 2푦′ 푧 + 푦 푧′′

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Ainsi,

(퐸 ) ⇔ 푦 푧 + 2푦 푧 + 푦 푧 + 푎(푥) 푦 푧 + 푦 푧 + 푏(푥)푦 푧 = 0

⇔ 푦 푧 + 2푦 + 푎(푥)푦 푧 + 푦 + 푎(푥)푦 + 푏(푥)푦 푧 = 0

⇔ 푦 푧 + 2푦′ + 푎(푥)푦 푧 = 0.

On pose alors : 푢 = 푧′ ce qui ramène à une équation différentielle d’ordre un à variables

séparables :

푦 푢 = − 2푦′ + 푎(푥)푦 푢 ⟹푑푢푢 = − 2

푦′푦 + 푎(푥) 푑푥

Par intégration on trouve :

ln 푢 = − 2 ln 푦 + 퐴(푥) + 퐶 avec 퐴(푥) = ∫ 푎(푥) 푑푥

Ainsi : 푢 = 퐶( )

où on a posé 퐶 = 푒

Reste à résoudre 푧 = 퐶( )

c’est-a dire 푧 = 퐶 퐹(푥) + 퐶 ce qui conduit finalement à la

solution générale de l’équation différentielle (E0) de départ:

푦 = 푦 (퐶 퐹(푥) + 퐶 ) (3.39)

Exemple :


(푥 + 1)푦 − (2푥 − 1)푦 + (푥 − 2)푦 = 0 (E0)

Solution :

On constate que 푦 = 푒 est une solution particulière de (E0).

On pose 푦 = 푧푒 d’où 푦 = 푒 (푧 + 푧′) et 푦 = 푒 (푧 + 2푧 + 푧)

En remplaçant dans (E0) et en simplifiant, on obtient :

(푥 + 1)푧 + 3푧 = 0

On pose alors : 푢 = 푧′ ce qui donne : (푥 + 1)푢 + 푧푢 = 0 ⟹ = − 푑푥

Ainsi : ln 푢 = −3 ln(푥 + 1) + 퐶, il vient :푢 = 푧′ =( )

où on a posé 퐶 = 푒

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Finalement, 푧 = −( )

+ 퐶 .

La solution générale de (E0) est donc :

푦 = 푒푘

(푥 + 1) + 퐶

3.6 Equation différentielle d’ordre deux linéaires à coefficients non constants avec

second membre :

Sont de la forme :

푦 + 푎(푥)푦 + 푏(푥)푦 = 푔(푥) (3.40)

1) Si on connait une solution particulière 푦 , la solution générale est alors :

푦 = 푦 + 푦 où 푦 est la solution de l’équation homogène.

Exemple :

Soit l’équation (E) : 푥 푦 + 푥푦 − 푦 = 푥 dont les solutions de l’équation homogène

sont 푦 = et 푦 = 푥, alors la solution homogène de l’équation (E) est: 푦 = + 퐶 푥.

A la vue du second membre, l’intégrale particulière sera un polynôme de 3eme degré :

푦 = 푎푥 + 푏푥 + 푐푥 + 푑. On obtient donc, en remplaçant dans (E) : 푦 = d’où la

solution générale 푦 = + + 퐶 푥

2) Si on ne connait pas de solution particulière, on applique la méthode de Lagrange

appelé aussi méthode de variation de la constante, dans laquelle on va faire varier les

constantes de la solution homogène 푦 , on pose : 퐶 = 퐶 (푥) et 퐶 = 퐶 (푥).

On dérive 푦 = 퐶 (푥)푦 + 퐶 (푥)푦 pour obtenir :

푦 = 퐶 (푥)푦′ + 퐶 (푥)푦 + 퐶′ (푥)푦 + 퐶 (푥)푦 (3.41)

On impose alors que

퐶′ (푥)푦 + 퐶 (푥)푦 = 0 (3.42)

En dérivant (3.41) on obtient :

푦 = 퐶′ (푥)푦′ + 퐶 (푥)푦′ + 퐶 (푥)푦′′ + 퐶 (푥)푦′ (3.43)

En remplaçant les équations (3.41) et (3.43) dans l’Eq.(3.40) on trouve :

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퐶′ (푥)푦′ + 퐶 (푥)푦′ + 퐶 (푥)푦′′ + 퐶 (푥)푦′ + 푎(푥) 퐶 (푥)푦 + 퐶 (푥)푦

+ 푏(푥)(퐶 (푥)푦 + 퐶 (푥)푦 ) = 푓(푥) (3.44)

Comme 푦 et 푦 sont des solutions particulières, l’équation se simplifiée en deux système :

퐶′ (푥)푦 + 퐶 (푥)푦 = 0 퐶′ (푥)푦′ + 퐶 (푥)푦′ = 푓(푥) (3.45)

et comme 푦 et 푦 sont linéairement indépendantes :

(Wronskien) : 푊(푥) =푦 푦푦′ 푦′ ≠ 0 (3.46)

on a alors les solutions 퐶 (푥) et 퐶 (푥) qui par intégration dépend chacune d’une constante

arbitraire, d’où la solution générale.

Exemple :


푦 + 4푦 = tan 푥 (E)

Solution :

L’équation homogène est : 푦 + 4푦 = 0 dont les solutions sont :

푦 = 퐶 cos 2푥 + 퐶 sin 2푥

Cherchons les solutions générales par la méthode de Lagrange, on a :

퐶′ (푥) cos 2푥 + 퐶 (푥) sin 2푥 = 0 (1) x sin 2푥

−퐶′ (푥) sin 2푥 + 퐶 (푥) cos 2푥 =12 tan 푥 (2) x cos 2푥

De (1) + (2) on trouve :

퐶′ = cos 2푥 = sin 2푥 −

Par intégration 퐶 = − cos 2푥 + ln(cos 푥) + 푘

D’après (1) : 퐶′ cos 2푥 = −퐶′ sin 2푥 ⟹ 퐶′ = (cos 2푥 − 1)

D’où : 퐶 = sin 2푥 − 푥 + 푘

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Finalement la solution générale de l’équation (E) s’écrit :

푦 =14 sin 2푥 −

12 푥 + 푘 cos 2푥 + −

14 cos 2푥 +

12 ln(cos 푥) + 푘 sin 2푥

4. Système d’équations différentielles 4.1 Définition d’un système d’équations différentielles :

Exemple :

Le système suivant :

푦′ (푥) = (2푥 − 1)푦 (푥) + 2(1 − 푥)푦 (푥) + 2푥푦 (푥) = (푥 − 1)푦 (푥) + (2 − 푥)푦 (푥) + 푥 (3.47)

est un système de deux équations différentielles, dont l’écriture matricielle est :

푦 (푥) = 퐴(푥). 푦(푥) + 푔(푥) (3.48)

Où,

푦 (푥) = , 푦(푥) = ( )( ) , 퐴(푥) = 2푥 − 1 2(1 − 푥)

푥 − 1 2 − 푥 et 푔(푥) = (3.49)

Définition :

On appelle système d’équations différentielles linéaires du premier ordre un système

de la forme :

푦 (푥) = 퐴(푥). 푦(푥) + 푔(푥) (3.50)

- Où 퐴(푥) est une matrice donnée dont les éléments 푎 (푥) sont des fonctions de la

variable x.

- Le second membre 푔(푥) appartient à ℛ , ses composantes 푔 (푥) (i=1,n) sont des

fonctions de la variable x.

- On dit que le système est à coefficients constants si la matrice A ne dépend pas de la

variable x.

- On dit que le système est homogène si 푔(푥) = 0, ∀푥.

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4.2 Equation différentielle d’ordre n :

Une équation différentielle linéaire d’ordre n se met sous la forme d’un système de n

équations différentielles linéaires du premier ordre. En effet soit l’équation :

푧( )(푥) + 훼 (푥)푧( )(푥) + ⋯ + 훼 (푥)푧 (푥) + 훼 (푥)푧(푥) = 푔(푥) (3.51)

On pose:

푦 (푥) = 푧(푥) 푦 (푥) = 푧 (푥)

⋮ 푦 (푥) = 푧( )(푥)

⟹

⎩⎨

⎧푦′ (푥) = 푧 ( ) = 푦 (푥) 푦′ (푥) = 푧 (푥) = 푦 (푥)

⋮ 푦′ (푥) = 푧( )(푥) = −훼 (푥)푦 (푥) − ⋯ − 훼 (푥)푦 (푥) − 훼 (푥)푦 (푥) + 푔(푥)

(3.52)

Alors l’équation (3.51) se réécrit :

푦 (푥) = 퐴(푥). 푦(푥) + 푔(푥) (3.53)

Où :

푦(푥) =

⎝

⎜⎛

푦 (푥)푦 (푥)

⋮푦 (푥)

푦 (푥) ⎠

⎟⎞

(3.54)

퐴(푥) =

⎝

⎜⎛

0 1 00 0 1 ⋯ 0 0

0 0⋮ ⋱ ⋮

0 0 0−훼 (푥) −훼 (푥) −훼 (푥) ⋯ 0 1

−훼 (푥) −훼 (푥)⎠

⎟⎞

(3.55)

et

푔(푥) =

⎝

⎜⎛

00⋮0

푔(푥)⎠

⎟⎞

(3.56)

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Exemple :

Soit l’équation différentielle suivante :

푧 + 푏(푥)푧 + 푐(푥)푧 = 0,

푏(푥) et 푐(푥) étant des fonctions réelles.

Transformer cette équation différentielle du second ordre en un système d’équations

différentielles du premier ordre.

Solution :

On pose, 푦 (푥) = 푧(푥)푦 (푥) = 푧 (푥) ⟹ 푦′ (푥) = 푦 (푥)

푦′ (푥) = 푧 (푥) = −푏(푥)푦 (푥) − 푐(푥)푦 (푥)

Soit,

푦 (푥) = 퐴(푥). 푦(푥)

Avec,

퐴(푥) = 0 1−푐(푥) −푏(푥)

4.3 Systèmes linéaires homogènes à coefficients constants :

Ce sont des systèmes de la forme,

푦 = 퐴. 푦 où 퐴 = 푎 , = (퐶푠푡푠) (3.57)

Théorème :

Soit 푣 un vecteur propre de 퐴 associe à la valeur propre 휆, alors : 푦 = 푒 푣 est

solution du système 푦 = 퐴. 푦

4.3.1 Cas des valeurs propres réelles :

Corollaire :

Si 푣 , 푣 , … , 푣 est une base de vecteurs propres de A associent aux valeurs propres

휆 , 휆 , … , 휆 , alors 푦 = 푒 푣 , 푦 = 푒 푣 , …, 푦 = 푒 푣 est un système

fondamentale de solution de 푦 = 퐴. 푦

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Exercice :

Résoudre le système,

푦′ = 푦 + 2푦푦′ = 푦 (s0)

(푠 ) ⇔ 푦 = 퐴. 푦 avec, 퐴 = 1 21 0

- Cherchons les valeurs propres de A.

Le polynôme caractéristique de A est :

푝(휆) = 푑푒푡(퐴 − 휆. 퐼) où I est la matrice identité.

푝(휆) = 1 − 휆 21 −휆 = 0 ⇔ 푝(휆) = (휆 + 1)(휆 − 2) = 0.

Les valeurs propres sont : 휆 = −1 et 휆 = 2

- Cherchons les vecteurs propres 푣 , 푣 correspondants aux valeurs propres 휆 et 휆

respectivement.

Soit 푣훼훽 , on a (퐴 − 휆 . 퐼)푣 = 0 ⇔ (퐴 + 퐼)

훼훽 = 0

⇔ 2훼 + 2훽 = 0훼 + 훽 = 0

⇔ 훼 = −훽

Soit , 푣 훼−훼 = 훼 1

−1 on prend 푣 1−1

De même on a (퐴 − 휆 . 퐼)푣 = 0, on trouve, 푣 21

La solution générale est,

푦 = 퐶 푒 1−1 + 퐶 푒 2

1 ⇔ 푦 = 퐶 푒 + 2퐶 푒푦 = −퐶 푒 + 퐶 푒

Si A admet des valeurs propres multiples, on peut encore appliquer la méthode

précédente à condition que la multiplicité algébrique de chaque valeur propre soit

égale à la dimension du sous espace propre associé.

Exemple :

Soit la matrice A définie par,

퐴 =0 1 11 0 11 1 0

Le polynôme caractéristique de la matrice A est, 푝(휆) = (1 + 휆) (휆 − 2)

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A admet une valeur propre double 휆 = 2 et un vecteur propre associe 푣111

.

Elle a aussi une valeur propre double 휆 = −1 qui admet deux vecteurs propres linéairement

indépendants :

푣01

−1 et 푣

−101

Donc la solution générale du système est :

푦 = 퐶111

푒 + 퐶01

−1+ 퐶

−101

푒

4.3.2 Cas des valeurs propres complexes :

Si λ est une valeur propre complexe de A et 푣 le vecteur propre correspondant

alors 푣̅ est le vecteur propre associe à la valeur propre 휆̅.

Donc il suffit de travailler avec l’une des valeurs propres complexes, soit 푦 = 푒 푣 , la

solution générale 푦 est :

푦 = 퐶 푅푒(푦) + 퐶 퐼푚(푦) (3.58)

Exemple :

Résoudre, 푦′ = 푦

푦′ = −푦 ⇔ 푦 = 0 1−1 0 푦

푝(휆) = 푑푒푡(퐴 − 휆. 퐼) = 0 ⟹ 휆 = ±푖

- Vecteur propre de la valeur propre λ=i :

On a (퐴 − 푖휆)푣 = 0 ⟹ 푣 = 훼 1푖 = 훼 1

0 + 푖 01

La solution correspondante : 푦 = 푒 푣 = 푒 10 + 푖 0

1 , avec 푒 = cos 푥 + 푖 sin 푥

et la solution générale est : 푦 = 퐶 cos 푥− sin 푥 + 퐶 sin 푥

cos 푥

4.3.3 Cas d’une matrice non diagonalisable :

Supposons que A, de degré n, a seulement k (k < n) vecteurs propres linéairement

indépendants. Nous avons k solutions de 푦 = 퐴. 푦 de la forme 푒 푣. Il manque 푚 = (푛 − 푘)

solutions pour avoir un système fondamentale de solution.

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Soit λ valeur propre de A de multiplicité m, nous allons construire ces m solutions

explicitement.

Définissons m vecteurs, ℎ , ℎ , … , ℎ par :

(퐴 − 휆. 퐼)ℎ = ℎ (3.59)

et,

푦 = 푒 ℎ + 푥ℎ +!

ℎ + ⋯ +( )!

ℎ , 푖 = 1, 2, … , 푚 (3.60)

Alors les 푦 sont des solutions linéairement indépendantes de 푦 = 퐴. 푦

Exemple :

Résoudre,

푦′ = 2푦 + 푦 + 푦푦′ = −2푦 − 푦

푦′ = 2푦 + 푦 + 2푦 (s0)

Solution :

(푠 ) ⇔ 푦 = 퐴. 푦, 퐴 =2 1 1

−2 0 −12 1 2

푝(휆) = 푑푒푡(퐴 − 휆. 퐼) = (휆 − 2)(휆 − 1)

Les valeurs propres sont : 휆 = 2 et 휆 = 1 (double).

Cherchons les vecteurs propres correspondants,

- (퐴 − 휆 퐼)푣 = 0, on trouve 푣−12

−2, soit 푦 = 푒

−12

−2

- (퐴 − 휆 퐼)푣 = 0, on trouve 푣01

−1, soit 푦 = 푒

01

−1,

un seul vecteur propre 푣 , alors A non diagonalisable.

On pose ℎ = 푣 =01

−1 et cherchons le deuxième vecteur propre ℎ

훼훽훾

comme suit,

(퐴 − 휆 퐼)ℎ = ℎ , on trouve ℎ−101

, soit 푦 = 푒 (ℎ + 푥ℎ )

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La solution générale du système (s) est :

푦 = 퐶−12

−2푒 + 퐶

01

−1+ 퐶

−1푥

1 − 푥푒

4.4 Systèmes linéaires non homogènes à coefficients constants :

Il est de la forme :

푦 = 퐴. 푦 + 푔(푥) (3.61)

La solution du système (s) se fait en deux temps,

- On résout le système homogène (s0) : 푦 = 퐴. 푦

- Pour trouver une solution de (s), il suffit d’utiliser la méthode de variation de

constante. On cherche une solution sous la forme :

푦 = 퐶 (푥)푦 + 퐶 (푥)푦 + ⋯ + 퐶 (푥)푦 (3.62)

On pose :

퐶(푥) =

퐶 (푥)퐶 (푥)

⋮퐶 (푥)

(3.63)

L’équation (3.62) se réécrit sous forme matricielle :

푦 = 푦(푥). 퐶(푥) (3.64)

et

푦′ = 푦 (푥). 퐶(푥) + 푦(푥). 퐶 (푥) (3.65)

On remplace 푦 et 푦′ dans l’Eq.(3.61) on trouve :

푦 (푥). 퐶(푥) + 푦(푥). 퐶 (푥) = 퐴. 푦(푥). 퐶(푥) + 푔(푥) ⟹ 푦(푥). 퐶 (푥) = 푔(푥)

D’où, il vient

퐶 (푥) = 푦(푥) . 푔(푥) (3.66)

On détermine 퐶′ , 퐶′ , … , 퐶′ , et on déduit 퐶 , 퐶 , … , 퐶 .

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Exemple :

Résoudre, 푦′ = 푦 + 2푦 + 푒푦′ = 2푦 + 푦 (s)

Solution :

(푠) ⇔ 푦 = 퐴. 푦 + 푔(푥) ,

où :

퐴 = 1 22 1 et 푔(푥) = 푒

0

- Cherchons les solutions du système homogène (s0) : 푦 = 퐴. 푦

푝(휆) = 푑푒푡(퐴 − 휆. 퐼) = (휆 + 1)(휆 − 3)

푝(휆) = 0 ⟹ 휆 = −1 표ù 휆 = 3 , deux valeurs propres réelles.

- Cherchons les vecteurs propres 푣 et 푣 correspondants aux valeurs propres 휆 et 휆 .

(퐴 − 휆 . 퐼)푣 = 0 ⟹ 푣 1−1 , soit 푦 = 푒 1

−1

(퐴 − 휆 . 퐼)푣 = 0 ⟹ 푣 11 , soit 푦 = 푒 1

1

La solution 푦 du système homogène est :

푦 = 퐶 푒 1−1 + 퐶 푒 1

1

- Variation des constantes 퐶 et 퐶 :

On a trouvé que :

푦(푥). 퐶 (푥) = 푔(푥) ⟹ 퐶 (푥)푒 + 퐶 (푥)푒 = 푒 (1)−퐶 (푥)푒 + 퐶 (푥)푒 = 0 (2)

(1) + (2) ⟹ 퐶 (푥) = 푒 d’où 퐶 (푥) = − 푒 + 푘

(1) − (2) ⟹ 퐶 (푥) = 푒 d’où 퐶 (푥) = 푒 + 푘

- La solution générale du système (s) s’écrit :

푦 =14 푒 + 푘 푒 1

−1 + −14 푒 + 푘 푒 1

1

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5. Equations aux dérivées partielles (EDP) :

Définition :

Soit une fonction 푓(푥, 푦) de deux variables réelles définie dans un voisinage de

A = [a, b] ; si la fonction 푓(푥, 푏) fonction de x seulement a une dérivée pour la valeur a de x,

on la note 푓′ (푎, 푏) et on l’appelle dérivée partielle de 푓(푥, 푦) par rapport à x au point (a,b).

Si en tout point d’un voisinage de A, 푓′ (푥, 푦) existe, on définit ainsi une nouvelle

fonction, la dérivée partielle de 푓(푥, 푦) par rapport à x. On définit de même la dérivée

partielle par rapport à y. On note :

푓′ = ( , ) et 푓′ = ( , ) (3.67)

5.2 Dérivées successives :

De la même façon que précédemment, on peut étudier l’existence de la dérivée par

rapport à x de 푓 (푥, 푦) et de 푓 (푥, 푦) ; on définit ainsi les dérivées secondes que l’on note

푓′′ = et 푓′′ = (3.68)

On peut de même définir les dérivées secondes par rapport à y,

푓′′ = et 푓′′ = (3.69)

Théorème (de Schwarz) :

Si en un point de A = [a, b], les dérivées successives 푓′′ et 푓′′ existent et sont

continues, en ce point ces dérivées sont égales :

푓′′ = 푓′′ soit = (3.70)

Exemple :

Déterminer , , et de la fonction 푓(푥, 푦) = 푥 − 5푥푦 + 푦 .

Solution :

휕푓휕푥 = 3푥 − 5푦 ⟹

휕 푓휕푥 = 6푥 푒푡

휕 푓휕푦휕푥 = −5

휕푓휕푦 = −5푥 + 2푦 ⟹

휕 푓휕푦 = 2 푒푡

휕 푓휕푥휕푦 = −5

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5.3 Dérivées d’une fonction composées de deux variables :

Soit la fonction 퐹(푥, 푦) = 푓(푢, 푣), 푢 et 푣 étant des fonctions de 푥 et 푦 admettant des

dérivées partielles, si 푓(푢, 푣) admet des dérivées partielles continues, alors 퐹(푥, 푦) admet des

dérivées partielles données par :

휕퐹휕푥 =

휕푓휕푢

휕푢휕푥 +

휕푓휕푣

휕푣휕푥 (3.71)

et 휕퐹휕푦 =

휕푓휕푢

휕푢휕푦 +

휕푓휕푣

휕푣휕푦 (3.72)

Exemple :

Soit 푓(푥, 푦) = 푥 + 푥푦 + 푦 et 푥 = 2푢 + 푣푦 = 푢 − 2푣

Déterminer ,

Solution :

On a :

= 2푥 + 푦 , = 푥 + 2푦 , = 2, = 1, = 1, = −2

Il vient :

휕푓휕푢 =

휕푓휕푥

휕푥휕푢 +

휕푓휕푦

휕푦휕푢 = (2푥 + 푦)(2) + (푥 + 2푦)(1) = 5푥 + 4푦

휕푓휕푣 =

휕푓휕푥

휕푥휕푣 +

휕푓휕푦

휕푦휕푣 = (2푥 + 푦)(1) + (푥 + 2푦)(−2) = −3푦

5.4 Différentielles totales :

Définition :

Soit une fonction de deux variables 푈(푥, 푦) possédant des dérivées partielles

continues. La différentielle totale ou exacte de 푈(푥, 푦) s’écrit :

푑푈 =휕푈휕푥 푑푥 +

휕푈휕푦 푑푦 (3.73)

Si 푈(푥, 푦) = 퐶푡푒, alors 푑푈 = 0.

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Exemple :

Soit 푈(푥, 푦) la fonction de deux variables définie par :

푈(푥, 푦) = 푥 + 푥 푦

푑푈(푥, 푦) = (1 + 2푥푦 )푑푥 + (3푥 푦 )푑푦

5.5 Formes différentielles totales exactes

Soit une équation différentielle donnée sous la forme :

푀(푥, 푦)푑푥 + 푁(푥, 푦)푑푦 = 0 (3.74)

Si on peut trouver une fonction 푈(푥, 푦) qui vérifie :

푀(푥, 푦) = et 푁(푥, 푦) = (3.75)

Alors on peut poser l’équation (3.74) sous la forme d’une différentielle totale exacte :

푑푈 =휕푈휕푥 푑푥 +

휕푈휕푦 푑푦 (3.76)

Alors 푈(푥, 푦) est la solution cherchée sous forme implicite :

푈(푥, 푦) = 퐶푡푒

Pour cela, il faut prouver que les dérivées et sont égales. En effet, conformément au

théorème de Schwarz :

Soit 푈(푥, 푦) une fonction de class 퐶 dérivable, si et sont continues, alors =

une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation (3.74) soit une équation exacte est

donc :

휕푀(푥, 푦)휕푦 =

휕푁(푥, 푦)휕푥 (3.77)

Dés lors, la fonction 푈(푥, 푦) peut être trouvée de façon systématique par :

푈(푥, 푦) = 푀(푥, 푦) 푑푥 + 푘(푦) (3.78)

Dans cette intégration par rapport à x, 푘(푦) joue le role d’une constante. Il suffit de dériver la

fonction 푈(푥, 푦) par rapport à y pour déterminer la fonction 푘(푦) :

푁(푥, 푦) =휕푈휕푦 ⟹ 푘 (푦) +

휕휕푦 푀(푥, 푦)푑푥 = 푁(푥, 푦) (3.79)

On obtiendrait le même résultat en intégrant d’abord 푁(푥, 푦) par apport à 푦 et en dérivant

ensuite par rapport à x.

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5.6 Application à l’intégration d’équations différentielles du premier ordre

Soit à résoudre l’équation différentielle du premier ordre :

푀(푥, 푦) + 푁(푥, 푦)푦 = 0 (3.80)

Où 푀(푥, 푦) et 푁(푥, 푦) sont deux fonctions quelconque de x et de y. on peut résoudre cette

équation en posant :

푑푈 = 푀(푥, 푦)푑푥 + 푁(푥, 푦)푑푦 (3.81)

Résoudre l’équation (3.80) revient à résoudre 푑푈 = 0 soit 푈(푥, 푦) = 퐶푡푒 Après avoir vérifié

que 푑푈 est une différentielle totale, il suffit donc de déterminer 푈(푥, 푦) selon la méthodologie

présentée précédemment. Nous verrons plus tard comment résoudre l’équation (3.80) dans le

cas où 푑푈 n’est pas une différentielle totale exacte.

Exemple :

On cherche à résoudre l’équation différentielle :

푦 = −1 + 2푥푦

3푥 푦 (퐸)

Solution :

Cette équation peut se mettre sous la forme :

(1 + 2푥푦 )푑푥 + 3푥 푦 푑푦 = 0

Posons :

푑푈 = (1 + 2푥푦 )푑푥 + 3푥 푦 푑푦

Résoudre l’équation (E) revient à déterminer la solution de 푑푈 = 0. Ceci est aisé si l’on peut

montrer que 푑푈 est une différentielle totale. Soit :

푀 = 1 + 2푥푦 et 푁 = 3푥 푦 휕푀휕푦 =

휕푁휕푥 = 6푥푦

D’où, en intégrant la différentielle totale exacte 푑푈, :

푈(푥, 푦) = 푥 + 푥 푦

푑푈 = 0 ⟹ 푈 = 퐶푡푒

D’où :

푥 + 푥 푦 = 퐶푡푒

Est solution de (E).

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5.7 Facteur Intégrants

Soit la différentielle 푑푈 :

푑푈 = 2푥푦푑푥 + (4푦 + 3푥 )푦푑푦 = 0 (3.82)

Cette différentielle n’est pas totale. En effet :

Soit 푀(푥, 푦) = 2푥푦 et 푁(푥, 푦) = (4푦 + 3푥 )푦

= 2푦

= 6푥푦⟹ ≠

On ne peut donc pas résoudre l’équation (3.82) par la procédure présentée dans la partie

précédente. On a alors recours au facteur intégrant.

Définition :

Soit une différentielle de la forme :

훿푉 = 푃(푥, 푦)푑푥 + 푄(푥, 푦)푑푦 (3.83)

Telle que : 휕푃휕푦 ≠

휕푄휕푥

Cette différentielle n’est pas exacte. On cherche alors une fonction auxiliaire 퐹(푥, 푦) telle

que :

푑푈 = 퐹(푥, 푦)푃(푥, 푦)푑푥 + 퐹(푥, 푦)푄(푥, 푦)푑푦 (3.84)

Soit une différentielle totale.

Cette fonction 퐹(푥, 푦) est appelée facteur intégrant de la différentielle 훿푉.

5.7.1 Détermination de facteurs intégrants monovariables :

Il s’agit de trouver une fonction 퐹(푥, 푦) qui vérifie la relation :

휕(퐹푃)휕푦 =

휕(퐹푄)휕푥 (3.85)

Soit :

푃휕퐹휕푦 + 퐹

휕푃휕푦 = 푄

휕퐹휕푥 + 퐹

휕푄휕푥 (3.86)

Restreignons nous ici à rechercher des fonctions monovariables 퐹(푥) ou 퐹(푦).

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Facteur intégrant de la forme F(x) :

Si on recherche un facteur intégrant de la forme 퐹(푥), il doit vérifier :

퐹휕푃휕푦 = 푄

푑퐹푑푥 + 퐹

휕푄휕푥 (3.87)

Soit en réarrangement et en divisant par 퐹푄 :

1푄

휕푃휕푦 =

1퐹

푑퐹푑푥 +

1푄

휕푄휕푥 (3.88)

Soit : 1퐹

푑퐹푑푥 =

1푄

휕푃휕푦 −

휕푄휕푥 (3.89)

Le facteur intégrant est obtenu par :

퐹(푥) = 푒∫ (3.90)

Facteur intégrant de la forme F(y)

Si on recherche un facteur intégrant de la forme 퐹(푦), il doit vérifier :

퐹휕푄휕푥 = 푃

푑퐹푑푦 + 퐹

휕푃휕푦 (3.91)

Soit en réarrangement et en devisant par 퐹푃 :

1푃

휕푄휕푥 =

1퐹

푑퐹푑푦 +

1푃

휕푃휕푦 (3.92)

Soit : 1퐹

푑퐹푑푦 =

1푃

휕푄휕푥 −

휕푃휕푦 (3.93)

Le facteur intégrant est obtenu par :

퐹(푦) = 푒∫ (3.94)

D’une manière générale, on cherche un facteur intégrant du type 퐹(푥) quand :

1푄

휕푃휕푦 −

휕푄휕푥 = 푓(푥) (3.95)

et un facteur du type 퐹(푦) quand : 1푃

휕푄휕푥 −

휕푃휕푦 = 푔(푦) (3.96)

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Exemple :

Résoudre 푦 − 푥푦 = 0 (퐸)

Solution :

Soit 푑푉 = 푦푑푥 − 푥푑푦

Cette différentielle n’est pas exacte. On cherche 퐹(푥, 푦) telle que :

푑푈 = 퐹(푥, 푦)푑푉

Soit une différentielle exacte.

Si on cherche 퐹(푥) alors il faut :

1퐹

휕퐹휕푥 =

1−푥

휕푦휕푦 −

휕(−푥)휕푥

Soit :

1퐹

휕퐹휕푥 = −

1푥

(1 + 1)

퐹(푥) = 푒∫ = 푒

D’où

퐹(푥) =1

푥

La différentielle :

푑푈 = 퐹푑푉 =1

푥(푦푑푥 − 푥푑푦)

est une différentielle totale. Résoudre l’équation 푑푉 = 0 revient à résoudre l’équation

푑푈 = 0. Soit :

푈(푥, 푦) = 푦1

푥 푑푥 + 푘(푦) = −푦푥 + 푘(푦)

et 휕푈휕푦 = −

1푥 + 푘 (푦)

푁(푥, 푦) = −1푥 ⎭

⎬

⎫⟹ 푘 (푦) = 0 ⟹ 푘(푦) = 퐶푡푒

D’où la solution :

푈(푥, 푦) = −푦푥 + 퐶푡푒 = 퐶 ⟹

푦푥 = 퐶

Où 퐶 est une constante réelle soit :

푦 = 퐶 푥

La solution de l’équation (E) est donc une famille de ligne passant par l’origine.

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5.8 Généralisation aux fonctions de plus de deux variables :

Soient 푋(푥, 푦, 푧), 푌(푥, 푦, 푧), 푍(푥, 푦, 푧) trois fonctions continues des trois variables

푥, 푦, 푧 et 훿푔 la forme différentielle :

훿푔 = 푋(푥, 푦, 푧)푑푥 + 푌(푥, 푦, 푧)푑푦 + 푍(푥, 푦, 푧)푑푧 (3.97)

훿푔 est une différentielle totale exacte si :

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

휕푋휕푦 =

휕푌휕푥

휕푌휕푧 =

휕푍휕푦

휕푍휕푥 =

휕푋휕푧

(3.98)

Plus généralement :

Soient 푋 (푥 , 푥 , … , 푥 ), 푋 (푥 , 푥 , … , 푥 ), … , 푋 (푥 , 푥 , … , 푥 ) n fonction continues

des n variables 푥 , 푥 , … , 푥 et 훿푔 la forme différentielle :

훿푔 = 푋 (푥 , 푥 , … , 푥 )푑푥 + 푋 (푥 , 푥 , … , 푥 )푑푥 + … + 푋 (푥 , 푥 , … , 푥 )푑푥

훿푔 est une forme différentielle totale exacte si :

⎩⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎧

휕푋휕푦 ,

=휕푌 ,

휕푥⋮

휕푌휕푧 ,

=휕푍 ,

휕푦⋮

휕푍휕푥 ,

=휕푋 ,

휕푧

(3.99)

Exemples :

Estimation d’une erreur

Soit un bloc rectangulaire de longueur x, largeur y et hauteur z, les mesures d’un tel

bloc conduit aux valeurs suivantes : x = 10 cm, y = 12 cm, z = 20 cm avec une marge d’erreur

de 0.05 cm. A partir de l’expression de la différentielle totale exacte de l’aire de ce bloc,

évaluer approximativement l’erreur maximale concernant l’aire du bloc ainsi que le

pourcentage d’erreur du aux erreurs de mesures.

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Solution :

L’air d’un bloc rectangulaire s’écrit : 푆 = 2(푥푦 + 푥푧 + 푦푧)

푑푆 =휕푆휕푥 푑푥 +

휕푆휕푦 푑푦 +

휕푆휕푧 푑푧

푑푆 = 2(푦 + 푧)푑푥 + 2(푥 + 푧)푑푦 + 2(푥 + 푦)푑푧

La plus grande erreur que l’on peut commettre sur S est :

푑푆 = 2(12 + 20) ∗ 0.05 + 2(10 + 20) ∗ 0.05 + 2(12 + 10) ∗ 0.05 = 8.4푐푚

Soit un pourcentage d’erreur de :

푒푟 = 100 ∗푑푆

푆 = 0.75 %

Soient trois variables indépendantes 푥, 푦 푒푡 푧. Montrer que l’expression :

푑푈 = (3푥 푦푧)푑푥 + 푧(푥 + 2푦)푑푦 + 푦(푥 + 푦)푑푧

Est une différentielle totale. En déduire l’expression de 푈(푥, 푦, 푧).

Solution :

Soit : 푝 = 3푥 푦푧 ; 푞 = 푧(푥 + 2푦) ; 푟 = 푦(푥 + 푦).

푑푈 est une différentielle totale si :

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧

휕푝휕푦 =

휕푞휕푥

휕푝휕푧 =

휕푟휕푥

휕푞휕푧 =

휕푟휕푦

Calculons ces dérivées partielles : 휕푝휕푦 =

휕푞휕푥 = 3푥 푧

휕푝휕푧 =

휕푟휕푥 = 3푥 푦

휕푞휕푧 =

휕푟휕푦 = 푥 + 2푦

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푑푈 est bien une différentielle totale. On a :

휕푈휕푥 = 3푥 푦푧

D’où,

푈 = 푥 푦푧 + 푔(푦, 푧) 휕푈휕푦 = 푥 푧 +

휕푔휕푦 = 푞 = 푧푥 + 2푦푧 ⟹

휕푔휕푦 = 2푦푧

Soit :

푔(푦, 푧) = 푧푦 + 푓(푧)

D’où :

푈 = 푥 푦푧 + 푧푦 + 푓(푧)

휕푈휕푧 = 푥 푦 + 푦 +

휕푓휕푧 = 푟 = 푦푥 + 푦 ⟹

휕푓휕푧 = 0

On obtient alors,

푈(푥, 푦, 푧) = 푥 푦푧 + 푧푦 + 퐶

Où C est une constante réelle.

5.9 Différentielle totales et fonctions d’Etat

Soit dZ une différentielle totale. Alors :

푑푍 = 푍 − 푍 = Δ푍 (3.100)

En physique, la fonction Z est dite équation d’état, et la valeur de Δ푍 ne dépend pas du

chemin suivi.

Soit dV un différentielle qui n’est pas totale. En physique, on la notera 훿푉. Dans ce cas :

푑푍 ≠ 푍 − 푍 (3.101)

La valeur de ∆V dépend du chemin suivi.

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5.10 Equation linéaire et homogène aux dérivées partielles du 1er ordre dans le cas

d’une fonction de 2 variables

Etant donnée une fonction 푓 de deux variables x, y.

On appelle EDP du 1er ordre linéaire, toute équation de la forme :

푃(푥, 푦, 푧)휕푓휕푥 + 푄(푥, 푦, 푧)

휕푓휕푦 = 푅(푥, 푦, 푧) (3.102)

où P, Q, R sont des fonctions de x, y, z,

Soit 푧 = 푓(푥, 푦) une solution de l’ EDP (3.102).

Posons

휙(푥, 푦, 푧) = 푓(푥, 푦) − 푧 (3.103)

On a

⎩⎪⎨

⎪⎧ =

=

= −1

(3.104)

L’équation (3.102) s’écrit :

푃(푥, 푦, 푧)휕휙휕푥 + 푄(푥, 푦, 푧)

휕휙휕푦 + 푅(푥, 푦, 푧)

휕휙휕푧 = 0 (3.105)

Soit:

휕휙휕푥 +

푄(푥, 푦, 푧)푃(푥, 푦, 푧)

휕휙휕푦 +

푅(푥, 푦, 푧)푃(푥, 푦, 푧)

휕휙휕푧 = 0 (3.106)

On ramène ainsi l’intégration (3.102) à celle d’une équation homogène. Si 휙 = 퐶 et

휙 = 퐶 sont deux intégrales premières du système adjoint :

푑푥푃(푥, 푦, 푧) =

푑푦푄(푥, 푦, 푧) =

푑푧푅(푥, 푦, 푧) (3.107)

L’intégrale générale est une fonction arbitraire :

휙 = Ω(휙 , 휙 ) (3.108)

et l’équation générale des surfaces intégrales de l’équation (3.102) peut s’écrire :

Ω(휙 , 휙 ) = 0 (3.109)

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Exercice :


푥휕푧휕푥 + 2(푦 − 푎)

휕푧휕푦 = 푧(푥, 푦)

Solution :

Le système adjoint est : 푑푥푥 =

푑푦2(푦 − 푎) =

푑푧푧

De ce système, on obtient deux intégrales premières :

푧 = 퐶 푥푥 = 퐶 (푦 − 푎)

On a 퐶 = Ω(퐶 ), soit :

푧(푥, 푦) = 푥Ω푥

푦 − 푎

Où Ω désigne une fonction arbitraire.

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Chapitre 4 Les séries


Chapitre 4 :

Les séries

1- Séries numériques Définition1 :

Soit (푢 ) ∈풩 une suite de réels ou de complexes. On appelle série de terme général

푢 , et on note ∑ 푢 la suite des sommes partielles, (푠 ) ∈풩, où pour tout 푛 ∈ 풩,

푠 = 푢 + ⋯ + 푢 = 푢 (4.1)

Les deux séries les plus souvent utilisées sont la série géométrique et la série

exponentielle.

1.1 Série géométrique :

Le terme général d’une série géométrique est 푢 = 푟 , les sommes partielles ont une

expression explicite.

푠 = 푟 = 1 + 푟 + ⋯ + 푟 =푛 + 1 푠푖 푟 = 1

1 − 푟1 − 푟 푠푖 푟 ≠ 1

(4.2)

1.2 Série exponentielle :

Le terme général de la série exponentielle est 푢 =!, les sommes partielles 푠 sont

des rationnels mais n’ont pas d’expression explicite.

Observons que n’importe quelle suite (푠 ) ∈풩 peut être vue comme une série, de

terme général 푢 = 푠 − 푠 , pour 푛 ≥ 1 et 푢 = 푠 . Dans la plupart des cas, les sommes

partielles n’ont pas d’expression explicite, et c’est souvent pour cela que l’on parle de série

plutôt que de suite.

Définition 2 :

On dit que la série ∑ 푢 converge vers 푠 si la suite des sommes partielles converge

vers 푠, qui est appelée somme de la série,

푢 = 푠 ⟺ lim→

푢 = 푠 (4.3)

Dans le cas contraire, on dit que la série diverge.

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Exemples :

- La série géométrique ∑ 푟 converge si et seulement si |푟| < 1. Dans ce cas, la somme

est .

- La somme de la série exponentielle est le nombre e, dont le logarithme népérien vaut1.

1푛! = 푒 ≈ 2.71828

- La somme de la suite suivante est : ∑( )( )

= 1.

En effet,

푢 =1

(푛 + 1)(푛 + 2) =1

(푛 + 1) −1

(푛 + 2)

donc,

푢 + 푢 + ⋯ + 푢 = 1 −12 +

12 −

13 + ⋯ +

1푛 + 1 −

1푛 + 2 = 1 −

1푛 + 2

et 1

(푛 + 1)(푛 + 2) = lim→

1 −1

푛 + 2 = 1

Théorème 1:

Si la série ∑ 푢 converge, alors la suite (푢 ) ∈풩 tend vers 0.

푢 = 푠 ⟹ lim→

푢 = 0 (4.4)

La contraposée de ce résultat est souvent utilisée : une série dont le terme général ne

tend pas vers 0 ne peut pas converger.

Remarque :

Le fait que le terme général tende vers 0 n’est pas qu’une condition nécessaire de

convergence. De nombreuses séries divergentes ont un terme général qui tend vers 0. Par

exemple, la série de terme général 푢 = diverge. En effet :

푠 − 푠 =1

푛 + 1 + ⋯1

2푛 ≥푛

2푛 =12 (4.5)

La suite des sommes partielles n’est pas de Cauchy, donc elle ne converge pas.

La linéarité des limites entraine immédiatement le théorème suivant.

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Théorème 2 :

Soient ∑ 푢 et ∑ 푣 deux séries convergentes, de somme respectives 푠 et t. soient α et

β deux complexes quelconques. Alors la série de terme général 훼푢 + 훽푣 est convergente, et

sa somme est 훼푠 + 훽푡.

Exemple :

12 +

13 =

12 +

13 =

1

1 − 12

+1

1 − 13

= 2 +32 =

72

Comme conséquence de la linéarité, observons que si ∑ 푢 converge et ∑ 푣 diverge, alors

∑(푢 + 푣 ) diverge. Comme autre conséquence, pour 훼 ≠ 0, ∑ 훼푢 converge si et seulement

si ∑ 푢 converge.

1.3 Séries à termes positifs ou nuls :

La série à termes positifs ou nuls sont plus faciles à étudier. En effet si 푢 ≥ 0 pour

tout n, la suite des sommes partielles est croissante.

푠 − 푠 = 푢 ≥ 0 (4.5)

Une suite croissante (푠 ) ∈풩 n’a que deux comportement possible. Soit elle est majorée et

elle converge, soit elle tend vers +∞.

Théorème 3 :

Soient ∑ 푢 et ∑ 푣 deux séries à termes positifs ou nuls. On suppose qu’il existe

푛 ≥ 0 tel que pour tout 푛 ≥ 푛 , 푢 ≤ 푣 .

Si ∑ 푣 converge alors ∑ 푢 converge.

Si ∑ 푢 diverge alors ∑ 푣 diverge.

Exemples :

- Nous avons déjà vu que la série :

∑( )( )

converge.

Nous allons en déduire que :

∑ converge.

En effet :

lim→

12푛

1(푛 + 1)(푛 + 2)

=12

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En particulier, il existe 푛 tel que pour 푛 ≥ 푛 : 1

2푛 ≤1

(푛 + 1)(푛 + 2)

En effet c’est vrai pour 푛 ≥ 4, mais il est inutile de calculer une valeur précise 푛 . On en

déduit que la série de terme général converge.

Montrons maintenant que :

∑ ( ) converge,

pour tout réel α. En effet :

lim→

1푛

(ln 푛) = 0

donc il existe 푛 tel que pour 푛 ≥ 푛 ,

(ln 푛) ≤ 1.

En multipliant les deux membres par :

(ln 푛)푛 ≤

1푛

Comme la série ∑ converge, il en est de même de la série ∑ ( ) , par le théorème3.

Inversement, nous avons vu que ∑ diverge. On en déduit facilement que les séries ∑ et

∑√

diverge également.

Le théorème de comparaison permet d’utiliser des équivalents.

Théorème 4 :

Soient (푢 ) et (푣 ) deux suites à terme strictement positifs, équivalentes au voisinage

de +∞,

푢 ~ 푣 ⇔ lim→

푢푣 = 1 (4.6)

Alors les séries ∑ 푢 et ∑ 푣 sont de même nature (convergentes ou divergentes)

Exemple :

∑ converge

∑ converge

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Dans les deux cas, le terme général est équivalent à , et nous avons vu que la série ∑

converge. Par contre.

∑ diverge

∑ diverge

Dans les deux cas, le terme général est équivalent à , et nous avons vu que la série ∑

diverge.

Série de Riemann

Si 훼 ≤ 1 ∑ diverge

Si 훼 > 1 ∑ converge

Série de Bertrand

Si 훽 ≤ 1 ∑( )

diverge

Si 훽 > 1 ∑( )

converge

Nous retrouvons en particulier le fait que ∑ converge, alors que ∑ diverge.

Exemple :

Voici deux exemples d’utilisation des équivalents pour la comparaison avec les séries

de Riemann et de Bertrand.

- La série : ∑ ln 1 + converge.

En effet :

ln 1 +1

푛 ~ 1

푛

et la série de Riemann ∑ converge.

- La série ∑ √ diverge.

En effet :

1 − cos 1푛√ln 푛

sin 1푛

~ 1

2푛 ln 푛

et la série de Bertrand ∑ diverge.

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1.4 Critère de Cauchy et de d’Alembert :

Rappelons tout d’abord que la série géométrique ∑ 푟 converge si |푟| < 1, diverge

sinon. Les critères de Cauchy et de d’Alembert permettent de comparer une série à terme

positifs avec la série géométrique. Pour comparer 푢 avec 푟 , le critère de Cauchy porte sur

푢 = (푢 ) , le critère de d’Alembert sur .

1.4.1 Critère de Cauchy :

Théorème 6 :

Soit ∑ 푢 une série de terme positifs ou nuls.

S’il existe une constante 푟 < 1 et un entier 푛 tel que pour tout 푛 ≥ 푛 ,

푢 < 푟 < 1, alors ∑ 푢 converge. (4.7)

S’il existe un entier 푛 tel que pour tout 푛 ≥ 푛 ,

푢 > 1, alors ∑ 푢 diverge (4.8)

Démonstration :

Rappelons que la nature de la série ne dépend pas de ses premiers termes. Dans le

premier cas,

푢 < 푟 ⟹ 푢 < 푟

Si 0 < 푟 < 1, alors la série ∑ 푟 converge, d’où le résultat par le théorème de

comparaison.

Dans le second cas,

푢 > 1 ⟹ 푢 > 1

Le terme général ne tend pas vers 0, donc la série diverge.

Corollaire :

Soit ∑ 푢 une série de termes positifs, telle que 푢 converge vers 푙.

Si 푙 < 1 alors ∑ 푢 converge.

Si 푙 < 1 alors ∑ 푢 diverge.

Si 푢 tend vers 1, on ne peut pas conclure en général.

Exemples :

- ∑ converge, car 푢 tend vers < 1.

- ∑ diverge, car 푢 > 1.

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Remarque :

Le critère de Cauchy ne s’applique ni aux séries de Riemann, ni aux séries de Bertrand.

lim→

1푛 = lim

→

1푛(ln 푛) = 1 (4.9)

Or certaines de ses séries converge, d’autres divergent.

1.4.2 Critère de d’Alembert :

Le critère de d’Alembert est plus facile à appliquer, par contre il échoue plus souvent

que celui de Cauchy.

Théorème 7 :

Soit ∑ 푢 une série à termes strictement positifs.

S’il existe une constante 푟 < 1 et un entier 푛 tel que pour tout 푛 ≥ 푛 ,

< 푟 < 1, alors ∑ 푢 converge. (4.10)

S’il existe un entier 푛 tel que pour tout 푛 ≥ 푛 ,

> 1, alors ∑ 푢 diverge. (4.11)

Démonstration :

Rappelons que la nature de la série ne dépend pas de ses premiers termes. Dans le

premier cas, on vérifie par récurrence que :

< 푟 ⟹ 푢 < 푢 푟 푟 .

Si 0 < 푟 < 1, alors la série ∑ 푟 converge, d’où le résultat par le théorème de comparaison.

Si > 1, la suite (푢 ) est croissante, elle ne peut donc pas tendre vers 0 et la série diverge.

Corollaire :

Soit ∑ 푢 une série à termes positifs, telle que converge vers 푙.

Si 푙 < 1 alors ∑ 푢 converge.

Si 푙 > 1 alors ∑ 푢 diverge.

Si lim→

= 1, on ne peut pas conclure en général.

Remarque :

Le critère de d’Alembert ne s’applique ni aux séries de Riemann, ni aux série de

Bertrand.

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lim→

(푛 + 1)푛 = lim

→

(푛 + 1)(ln(푛 + 1))푛(ln(푛)) = 1

Plus généralement, si 푢 est une fraction rationnelle en n et ln(n), alors les deux

critères échouent. Dans ce cas, il faut calculer un équivalent et appliquer le théorème 4.

1.5 Séries à termes quelconques :

Quand une série n’est pas à termes positifs, la première chose à faire est d’examiner la

série des valeurs absolues, ou des modules s’il s’agit de nombres complexes.

Définition :

On dit que la série ∑ 푢 est absolument convergente si la série ∑|푢 | converge.

Théorème :

Une série absolument convergente est convergente.

Démonstration :

Supposons pour commencer que les 푢 sont réels. Pour tout 푛 ∈ 풩, notons.

푢 = 푢 푠푖 푢 ≥ 00 푠푖 푢 < 0 et 푢 = 0 푠푖 푢 ≥ 0

−푢 푠푖 푢 < 0

Pour tout 푛 ∈ 풩 :

0 ≤ 푢 ≤ |푢 | et 0 ≤ 푢 ≤ |푢 |

Par le théorème de comparaison, si ∑|푢 | converge, alors ∑ 푢 et ∑ 푢 convergent aussi. Par

linéarité, ∑(푢 − 푢 ) = 푢 converge, or 푢 + 푢 = 푢 . D’où le résultat.

1.6 Sommes de séries :

Il n’y a pas beaucoup de séries dont on connait la somme, à part la série exponentielle,

les séries géométriques. Voici par exemple deux résultats classiques :

∑ = et ∑ ( ) = ln 2.

On pourra calculer certaines sommes, en combinant celles qu’on connait.

Exemples :

- Soit la série ∑( )

, c’est bien une série convergente, car sont terme générale est

positif, et équivalent à . Nous allons démontrer que :

1(푛 + 1) =

34

Utilisons la décomposition en élément simples.

= − .

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Par récurrence, on en déduit l’expression des sommes partielles.

푠 =12 +

14 −

12푛 −

12(푛 + 1)

D’où le résultat.

En utilisant la même technique de décomposition en élément simple, on pourra aussi

calculer les sommes suivantes :

∑( )

= − 1.

∑( )( )( )

= .

Un autre exemple de calcul de somme qui se ramène à une série géométrique. Soit 푟 tel que

|푟| < 1. Nous allons montrer que :

푛푟 =푟

(1 − 푟)

Pour cela écrivons :

푠 = ∑ 푛푟 = ∑ 푛푟

= 푟 ∑ 푛푟 = 푟 ∑ 푟 + 푟 ∑ (푛 − 1)푟

= + 푟푠

D’où le résultat, en résolvant cette équation en s. la même technique permet de montrer que :

푛 푟 =푟 + 푟

(1 − 푟)

Quand le terme général est le quotient d’un polynôme en 푛 par 푛!, on peut toujours se

ramener à la série exponentielle. Si le polynôme est 푛, (푛 − 1), …, la simplification est

immédiate.

∑!

= ∑( )!

= 푒.

∑ ( )!

= ∑( )!

= 푒.

Un polynôme en 푛 de degré ≥ 1 peut toujours s’exprimer comme combinaison linéaire de 1,

n, n(n-1), … par exemple,

∑!

= ∑ ( )!

= 2푒.

On pourra procéder de même pour calculer les sommes suivantes :

∑!

= 3푒.

∑!

= 푒.

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2. Séries entières

2.1 Définition :

On appelle série entière toute série de fonction ∑ 푓 dont le terme générale est de la

forme 푓 (푥) = 푎 푥 , où (푎 ) désigne une suite réelle ou complexe et 푥 ∈ ℛ.

Une série entière est noté (∑ 푎 푥 ), comme pour les séries de fonctions, on cherche

l’ensemble :

∆= 푥 ∈ 푅, 푎 푥 푐표푛푣푒푟푔푒 (4.12)

Qu’on appelle domaine de convergence de la série entière.

Exemples :

∑!

Posons 푓 (푥) =! est appelons le critère de d’Alembert :

lim⟶

푓 (푥)푓 (푥) = lim

⟶

푛푛 + 1 = 0

La série entière est absolument convergente pour toute 푥 ∈ 푅, donc ∆= 푅.

∑

Posons 푓 (푥) = on a

lim⟶

푓 (푥)푓 (푥) = lim

⟶

푛푛 + 1 푥 = 0

- Si |푥| < 1, la série est absolument convergente

- Si |푥| > 1, la série diverge.

- Etudions le cas où |푥| = 1, dans ce cas on a : |푓 (푥)| = ,

La série ∑ est alors absolument convergente dans [−1,1], (∆= [−1,1]).

∑ 푛! 푥

Cette série ne converge que si 푥 = 0 car lim ⟶( )

( )= lim ⟶ |(푛 + 1)푥| et la limite

n’existe que si 푥 = 0, d’où ∆= 0.

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2.2 Lemme d’Abel :

Soit ∑ 푎 푥 une série entière. On suppose qu’il existe 푥 ∈ ℛ tel que la suite 푎 푥

soit bornée, alors :

1- la série ∑ 푎 푥 est absolument convergente pour |푥| < |푥 |.

2- la série ∑ 푎 푥 est normalement convergente pour |푥| < 푟 pour tout 0 < 푟 < |푥 |.

2.3 Rayon de convergence d’une suite entière :

Pour les séries entières, la forme de convergence prend une forme assez simple.

Théorème :

Soit ∑ 푎 푥 une série entière, alors il existe un unique nombre réel 푅 ≥ 0

(éventuellement infini) tel que :

- ∑ 푎 푥 converge absolument dans ] − 푅, 푅[.

- ∑ 푎 푥 diverge si |푥| > 푅.

Remarque :

Le rayon de convergence d’une série ∑ 푎 푥 est caractérisé par :

1- |푥| < 푅 ⟹ ∑ 푎 푥 est absolument convergente.

2- |푥| > 푅 ⟹ ∑ 푎 푥 diverge.

3- |푥| = 푅 est le cas douteux où on ne peut rien dire sur la nature de la série.

4- Pour tout 푟 ∈ ℛ tel que 푟 < 푅, la série ∑ 푎 푥 est normalement (donc absolument)

convergente pour |푥| ≤ 푟.

2.4 Détermination du rayon de convergence :

2.4.1 Lemme d’Hadamard :

Soit ∑ 푎 푥 une série entière, le rayon de convergence R est donné par la relation :

1푅 = lim

⟶

푎푎 = lim

⟶|푎 | (4.13)

- Preuve :

1- Posons 푙 = lim ⟶ . En utilisant le critère de d’Alembert on a :

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lim ⟶ = lim ⟶ |푥| = 푙|푥|, ceci implique :

a- 푙|푥| < 1 ⇔ |푥| < ⟹ la série est absolument convergente.

b- 푙|푥| > 1 ⇔ |푥| > ⟹ la série est divergente.

D’après la remarque précédente, 푅 = .

c- Posons 푙 = lim ⟶ |푎 |. En utilisant le critère de Cauchy :

lim ⟶ |푎 푥 | = 푙|푥|, puis on adopte le même raisonnement que précédemment, on

aboutit à la même conclusion 푅 = .

Exemples :

∑

On a lim ⟶ = lim ⟶ = 1, rayon de convergence R = 1. La série est

absolument convergente pour toute |푥| < 1 et divergente si |푥| > 1.

∑!

On a, lim ⟶ = lim ⟶!

( )!= lim ⟶ =0, donc le rayon de convergence est

푅 = ∞, la série est absolument convergente pour tout 푥 ∈ ℛ.

∑ ,

le critère de Cauchy donne :

lim ⟶ = , le rayon de convergence est 푅 = 2, la série est absolument convergente

pour tout |푥| < 2 est divergente si |푥| > 2.

2.5 Dérivée et primitive d’une série entière :

Proposition1 :

Soit ∑ 푎 푥 une série entière de rayon de convergence R, et soit : 푓: ] − 푅, 푅[ → ℛ

la fonction définie par 푓(푥) = ∑ 푎 푥 , alors 푓 est dérivable et on a :

푓 (푥) = 푛푎 푥 (4.14)

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Proposition2 :

Soit ∑ 푎 푥 une série entière de rayon de convergence R, et soit : 푓: ] − 푅, 푅[ → ℛ la

fonction définie par 푓(푥) = ∑ 푎 푥 , on considère la fonction 퐹: ] − 푅, 푅[→ ℛ définie par

퐹(푥) = ∑ 푥 , alors ,

퐹 (푥) = 푓(푥), ∀푥 ∈] − 푅, 푅[

Remarque :

Dans le cas réel, si 푓(푥) = ∑ 푎 푥 avec 푎 ∈ ℛ et 푥 ∈] − 푅, 푅[ ,

∫ 푓(푡) 푑푡 = ∫ (∑ 푎 푡 ) 푑푡 = ∑ 푥 = ∑ 푥 , ∀푥 ∈] − 푅, 푅[

2.6 Opération sur les séries entières :

Proposition :

Soit ∑ 푎 푥 , ∑ 푏 푥 deux séries entières ayant respectivement 푅 et 푅′ pour rayon de

convergence .

1- Si 푅 ≠ 푅′, le rayon de convergence 푅′′ de la série ∑(푎 + 푏 ) 푥 est 푅 = 푚푖푛(푅, 푅′).

2- Si 푅 = 푅′ le rayon de convergence de la série ∑(푎 + 푏 ) 푥 est 푅′′ ≥ 푅.

Exemple :

Soient les deux séries 푓(푥) = ∑ 푥 et 푔(푥) = ∑ 푥 les deux séries ont

pour rayon de convergence 푅 = 1.

Par contre la série somme (푓 + 푔)(푥) = ∑ 푥 a pour rayon de convergence 푅 = 2.

2.7 Série de Taylor

Pour qu’une fonction 푓 soit développable en série entière au voisinage d’un point

푥 ∈ ℛ, il est nécessaire qu’elle soit de classe 퐶 dans un voisinage ]푥 − 휀, 푥 + 휀[ de 푥 et

dans ce cas on a :

푓(푥) =푓 (푥 )

푛!(푥 − 푥 ) (4.15)

Exemple :

∀푥 ∈ ℛ, on a :

푒 = 1 +!

+!

+ ⋯ = ∑!

cosh 푥 = = 1 +!

+!

+ ⋯ = ∑( )!

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sinh 푥 = = 푥 +!

+!

+ ⋯ = ∑( )!

sin 푥 = 푥 −!

+!

− ⋯ = ∑ ( )( )!

푥

cos 푥 = 1 −!

+!

+ ⋯ = ∑ ( )( )!

푥

(1 + 푥) = ∑ ( )( )… ( )!

푥

2.8 Equations différentielles et série entières :

2.8.1 La série des binômes :

Considérons la fonction 푦 = 푓(푥) = (1 + 푥) , 훼 ∈ ℛ, son domaine de définition est

] − 1, +∞[ , on a une relation simple entre la fonction 푓 et de sa dérivée.

푦 = (1 + 푥) , on a 푦 = 훼(1 + 푥) , d’où l’équation différentielle :

푦 (1 + 푥) = 훼푦 (4.16)

Toutes les solutions de cette équation sont de la forme 푦 = 퐶(1 + 푥) , où C est une

constante arbitraire.

Cherchons maintenant s’il existe une fonction 푓 développable en série entière au

voisinage de 0, 푓(푥) = ∑ 푎 푥 qui est solution de (E). Pour qu’une telle fonction existe il est

nécessaire d’avoir les relations :

(1 + 푥)푓 (푥) − 훼푓(푥) = (1 + 푥) 푛푎 푥 − 훼 푎 푥

= [(푛 + 1)푎 − (훼 − 푛)푎 ]푥 = 0 (4.17)

On déduit alors que (푛 + 1)푎 − (훼 − 푛)푎 = 0, pour toute 푛 ∈ 풩, et donc,

(푛 + 1)푎 = (훼 − 푛)푎 , ceci permet d’avoir :

푎 = 훼푎

푎 =(훼 − 1)

2 푎 ⋮

푎 =(훼 − 푛 + 2)

푛 − 1 푎

푎 =(훼 − 푛 + 1)

푛 푎

(4.18)

Ce qui donne enfin :

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푎 =훼(훼 − 1) … (훼 − 푛 + 1)

푛! 푎 (4.19)

Soit la série,

푎훼(훼 − 1) … (훼 − 푛 + 1)

푛! 푥 (4.20)

Le rayon de convergence R est donné par la relation :

1푅 = lim

→

훼(훼 − 1) … (훼 − 푛)(푛 + 1)!

푛!훼(훼 − 1) … (훼 − 푛 + 1) = lim

→

훼 − 푛푛 + 1 = 1

Par construction, la série 푓(푥) = ∑ 푎 ( )…( )!

푥 est solution de l’équation

différentielle (E), elle est donc de la forme 푓(푥) = 퐶(1 + 푥) ,

on déduit que pour 푥 ∈] − 1,1[ :

(1 + 푥) = 1 +훼(훼 − 1) … (훼 − 푛 + 1)

푛! 푥 , 푅 = 1 (4.21)

2.8.2 Equation du second ordre :

Considérons l’équation différentielle 푦 (푥) + 푦(푥) = 0. nous savons que la solution

est de la forme 푦 = 퐴 sin 푥 + 퐵 cos 푥.

Pour résoudre l’équation par la méthode des séries entières on remplace la fonction inconnue

푦(푥) par une série entière dont on essayera de déterminer les coefficients.

En posant :

푦 = 푎 푥 = 푎 + 푎 푥 + 푎 푥 + ⋯ (4.22)

On trouve :

푦 = 푛푎 푥 = 푎 + 2푎 푥 + 3푎 푥 + ⋯ (4.23)

et

푦 = 푛(푛 − 1)푎 푥 = 2푎 + 6푎 푥 + ⋯ (4.24)

On substitue les expressions pour 푦′ et 푦′′ dans l’équation différentielle, ce qui donne :

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푦 + 푦 = (푎 + 2푎 ) + (푎 + 6푎 )푥 + ⋯ + [푎 + (푛 + 1)(푛 + 2)푎 푥 ] + ⋯ = 0

(4.25)

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧푎 = −

12! 푎

푎 = −1

12 푎 = −14! 푎

⋮

푎 = −1

(2푛 + 2)(2푛 + 1) 푎 = ⋯ =(−1)

(2푛 + 2)! 푎

(4.26)

et

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧푎 = −

13! 푎

푎 = −1

20 푎 = −15! 푎

⋮

푎 = −1

(2푛 + 1)(2푛) 푎 = ⋯ =(−1)

(2푛 + 1)! 푎

(4.27)

Observons que l’on a lim ⟶ = 0, d’où il résulte que le rayon de convergence de la

série est infinie. La solution peut s’écrire :

푦(푥) = 푎 1 −!

+!

−!

+ ⋯ + 푎 푥 −!

+!

−!

+ ⋯ (4.28)

Soit,

푦(푥) = 푎 cos 푥 + 푎 sin 푥 (4.29)

D’une manière plus générale, on peut appliquer cette méthode pour résoudre des équations

différentielles de la forme :

푦 + 푝(푥)푦 + 푞(푥)푦 = 푟(푥) (4.30)

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3- Séries de Fourier

Dans la plupart des domaines de la physique, en électricité, optique, acoustique,

thermique, mécanique, … on a souvent affaire à des fonctions périodiques, mais de forme

quelconque.

Nous allons montrer que sous certaines conditions, on peut considérer ces signaux

comme la superposition de fonctions périodiques simples que sont les fonctions sinus et

cosinus. Le signal apparait alors comme la somme d’une série trigonométrique appelée série

de Fourier.

3.1 Série trigonométriques :

Une série trigonométrique est une série dont le terme général est une fonction

trigonométrique dont la fréquence varie selon l’indice n.

Exemple :

∑ 푎 cos(푛휔푡) = 푎 + 푎 cos(휔푡) + 푎 cos(2휔푡) + ⋯ + 푎 cos(푖휔푡) + ⋯ ,

3.2 Condition de Dirichlet :

Pour être développable en série de Fourier, une fonction f(t) doit :

- être périodique, de période T, de pulsation 휔 = , telle que 푓(푡 + 푇) = 푓(푡) pour tout t,

- être définie dans un intervalle ] − , [

- vérifier les conditions dites de Dirichlet qui sont les suivantes :

1- Les discontinuités de 푓 sont de premier espèce et sont en nombre fini dans tout

intervalle fini.

2- 푓 admet en tout point une dérivée à droite et une dérivée à gauche.

3- la série de Fourrier associé à 푓 est convergente, de plus, la convergence est

uniforme sur tout intervalle où la fonction 푓 est continue.

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Exemples :

Fonction ‘ carré’ : f(t) -T/2 0 T/2 T t

f(t) -T/2 0 T/2 T t

f(t) -T/2 0 T/2 T

Fonction ‘triangle’ : f(t) -T/2 0 T/2 T

f(t) -T -T/2 0 T/2 T t

f(t) -T/2 0 T/2 t

Figure 4.1 Série de Fourier des fonctions ‘carré’ et ‘triangle’

Contre exemple :

Une fonction telle que 푓(푡) = pour – 휏 < 푡 < 휏, de période 푇 = 2휏, non bornée en

푡 = 0 + 2휋푘 n’est pas décomposable en série de Fourier.

Il en est de même pour la fonction 푓(푡) = sin de période T sur l’intervalle – < 푡 < .

en effet cette fonction admet une infinité de maxima et de minima, de valeur ±1 au voisinage

de zéro (chaque fois que = (2푘 + 1)

3.3 Expression de la décomposition en série de Fourier

Soit une fonction périodique f(t) de la variable t qui satisfait aux conditions de

Dirichlet, elle est alors développable en série de Fourier, sous la forme :

푓(푡) = 푎 + 푎 cos(휔푡) + 푎 cos(2휔푡) + ⋯ + 푎 cos(푛휔푡) + ⋯

+푏 sin(휔푡) + 푏 sin(2휔푡) + ⋯ + 푏 sin(푛휔푡) + ⋯ (4.31)

Où encore, en posant 푏 = 0,

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푓(푡) = (푎 cos(푛휔푡) + 푏 sin(푛휔푡)) (4.32)

Où n est un entier naturel et 휔 = .

Les coefficients 푎 , 푎 , 푏 sont des constantes réelles que l'on appelle les coefficients de

Fourier. Ils représentent l'amplitude des termes successifs de la série trigonométrique.

Considérons la fonction 푓(푡) de la variable t, intégrable sur l’intervalle ] − , [

Calcul de 풂ퟎ :

Par définition on a : 푎 = ∫ 푓(푡)// ,

C’est la valeur moyenne de la fonction sur l’intervalle d’une période [− , ]

3.4 Forme algébrique de la décomposition en série de Fourier :

La forme la plus couramment utilisée de la décomposition en série de Fourier d’une fonction

푓(푡) est la forme algébrique. Elle s’écrit comme suit :

푓(푡) = 푎 + (푎 cos(푛휔푡) + 푏 sin(푛휔푡)) (4.33)

Les coefficients de la série de Fourier s’évaluent selon les expressions suivantes

푎 = ∫ 푓(푡) cos(푛휔푡)푑푡, 푏 = ∫ 푓(푡) sin(푛휔푡)푑푡 (4.34)

Remarques :

Il est important de remarquer que l’expression du coefficient 푎 n’est pas la même que

celle que l’on obtiendrait en faisant 푛 = 0 dans l’expression de 푎 .

Pour 푛 = 1, la fonction (푎 cos(휔푡) + 푏 sin(휔푡)) s’appelle le fondamental de la

fonction.

Les fonctions (푎 cos(푛휔푡) + 푏 sin(푛휔푡)) s’appellent les harmoniques de la

fonction.

Les intégrales sont à prendre sur une période de la fonction 푓(푡). On peut donc

généraliser les expressions suivantes :

3.5 Forme polaire de la décomposition en série de Fourier :

Soit le développement en série de Fourier de 푓(푡) : 푓(푡) = ∑ (푎 cos(푛휔푡) +

푏 sin(푛휔푡)). On peut écrire la décomposition en série de Fourier comme une somme infinie

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de fonction cosinus uniquement ou sinus en faisant intervenir des déphasages dans les

fonctions trigonométriques.

- Choisissons d’exprimer la décomposition série de Fourier de 푓(푡) avec uniquement

des fonctions cosinus.

On pose alors : 푎 = 휌 cos 휑푏 = 휌 sin 휑 Ainsi :

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧ 휌 = 푎 + 푏

cos 휑 = =

sin 휑 = =

푡푔 휑 =

(4.35)

휑 est la phase de l’harmonique 푛. Alors :

푓(푡) = 푎 + ∑ 휌 [cos 휑 cos(푛휔푡) + sin 휑 sin(푛휔푡)].

= 푎 + ∑ 휌 cos(푛휔푡 − 휑 ) (4.36)

On écrira donc :

푓(푡) = ∑ 휌 cos(푛휔푡 − 휑 ) avec 휌 = 푎휑 = 0 (4.37)

- Choisissons maintenant d’exprimer la décomposition série de Fourier de 푓(푡) avec

uniquement des fonctions sinus.

On pose alors : 푎 = 휌 sin 휓푏 = 휌 cos 휓 Ainsi :

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧ 휌 = 푎 + 푏

cos 휓 = =

sin 휓 = =

푡푔 휓 =

(4.38)

휓 est la phase de l’harmonique 푛. Alors :

푓(푡) = 푎 + ∑ 휌 [cos 휓 cos(푛휔푡) + sin 휓 sin(푛휔푡)].

= 푎 + ∑ 휌 sin(푛휔푡 − 휓 ) (4.39)

On écrira donc :

푓(푡) = 푎 + 휌 sin(푛휔푡 − 휓 ) (4.40)

3.6 Forme complexe de la décomposition en série de Fourier :

Introduisons les formules d’Euler dans la décomposition en série de Fourier de f(t)

mise sous forme algébrique.

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cos(푛휔푡) = et sin(푛휔푡) = .

푓(푡) = 푎 + ∑ 푎 + 푏 .

Soit

푓(푡) = 푎 + ∑ 푒 + 푒 (4.41)

Posons, 푐 = et 푐′ = et calculons leurs expressions.

Les deux coefficients 푎 et 푏 étant réels, les coefficients 푐 et 푐′ sont alors complexes

conjugués l’un de l’autre : 푐′ = 푐

Calculons 푐 :

푐 = ∫ 푓(푡) cos(푛휔푡) 푑푡 − ∫ 푓(푡) sin(푛휔푡) 푑푡 ,

= ∫ 푓(푡)[cos(푛휔푡) − 푖 sin(푛휔푡) ]푑푡.

Soit :

푐 = ∫ 푓(푡)푒 푑푡 et 푐′ = ∫ 푓(푡)푒 푑푡 (4.42)

On passe de 푐 à 푐 en changeant i en – 푖, ce qui revient, d’après l’expression de 푐 à changer

푛 en – 푛.

푐′ = 푐 = 푐

Le développement de 푓(푡) est alors :

푓(푡) = 푎 + 푐 푒 + 푐 푒 (4.43)

et s’exprime ainsi sous la forme :

푓(푡) = ∑ 푐 푒 avec 푐 = ∫ 푓(푡)푒 푑푡 (4.44)

Pour la valeur particulière 푛 = 0, on obtient

푐 = 푎 =1푇 푓(푡)푑푡 (4.45)

3.7 Parité des fonctions :

Le calcul des coefficients de la décomposition en série de Fourier d’une fonction 푓(푡)

se simplifie lorsque la fonction à décomposer est pair ou impaire.

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3.7.1 Cas des fonctions paires :

soit la fonction paire 푓(푡). Alors 푓(푡) = 푓(−푡).

La fonction 푓(푡) cos(푛휔푡) est aussi une fonction paire sur l’intervalle [− , ] alors que la

fonction 푓(푡) sin(푛휔푡) est une fonction impaire, il en résulte que :

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧푎 = ∫ 푓(푡)푑푡 = ∫ 푓(푡)푑푡

푎 = ∫ 푓(푡) cos(푛휔푡) 푑푡 = ∫ 푓(푡) cos(푛휔푡) 푑푡

푏 = ∫ 푓(푡) sin(푛휔푡) 푑푡 = 0

(4.46)

La décomposition en série de Fourier d’une fonction paire ne contient que des termes en

cosinus avec éventuellement un terme en 푎 . On ne calcule donc ces coefficients que sur une

demi-période.

Cas des fonctions impaires :

soit la fonction impaire 푓(푡). Alors 푓(푡) = −푓(−푡).

La fonction 푓(푡) cos(푛휔푡) est aussi une fonction impaire sur l’intervalle [− , ] alors que la

fonction 푓(푡) sin(푛휔푡) est une fonction paire, il en résulte que :

⎩⎪⎪⎨

⎪⎪⎧푎 = ∫ 푓(푡)푑푡 = 0

푎 = ∫ 푓(푡) cos(푛휔푡) 푑푡 = 0

푏 = ∫ 푓(푡) sin(푛휔푡) 푑푡 = ∫ 푓(푡) sin(푛휔푡) 푑푡

(4.47)

La décomposition en série de Fourier d’une fonction impaire ne contient que des termes en

sinus. De plus, elle ne possède pas de terme 푎 .

En résumé :

푓(푡) paire ⟹

⎩⎪⎨

⎪⎧푎 = ∫ 푓(푡)푑푡

푎 = ∫ 푓(푡) cos(푛휔푡) 푑푡푏 = 0

(4.48)

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푓(푡) impaire ⟹

푎 = 0 푎 = 0

푏 = ∫ 푓(푡) sin(푛휔푡) 푑푡 (4.49)

Remarques :

Si 푓(푡) est une fonction paire les coefficients 푐 sont réels.

Si 푓(푡) est une fonction impaire les coefficients 푐 sont imaginaires purs.

Si 푓(푡) est une fonction quelconque les coefficients 푐 sont complexes.

Exemples

Deux exemples vont être traités en détail. Leur décomposition en série de Fourier sera

d’abord calculée sous forme algébrique puis les formes polaires et complexes seront données.

- Fonction f(x) = x :

Soit 푓: ] − 휋, 휋[⟶ ℛ une fonction périodique, 푇 = 2휋 définie par 푓(푥) = 푥.

1. les discontinuités de 푓 sont les points de la forme 푥 = (2푘 + 1)휋, 푘 ∈ 퓏 et sont de

première espèce car 푓(휋 + 0) = 휋 et 푓(휋 − 0) = −휋.

2. 푓 est partout dérivable sauf aux points 푥 . En ces points nous avons :

lim →( ) ( ) = 1 et lim →

( ) ( ) = 1.

푓 vérifie les conditions de Dirichlet, donc développable en série de Fourier.

푓 est impaire donc 푎 = 푎 = 0 et 푏 = ∫ 푥 sin(푛푥) 푑푥 = ∫ 푥 sin(푛푥) 푑푥, et par

suite :

푓(푥) = 2(−1)

푛 sin(푛푥)

- fonction créneau 풇(풕) :

Soit la fonction créneau 푓(푡) présentée sur la figure suivante.

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Figure 4.2 Fonction créneau

Calcul de 푎 :

푎 = ∫ 푓(푡)푑푡// = ∫ 푉 푑푡/

/ ⟹ 푎 = .

Calcul de 푎 :

푎 = ∫ 푓(푡) cos(푛휔푡) 푑푡// = ∫ 푉/

/ cos(푛휔푡) 푑푡 = sin .

Si 푛 est un nombre pair, 푛 = 2푝 : sin = sin(푝휋) = 0

Si n est un nombre impair, 푛 = 2푝 + 1 : sin = sin (2푝 + 1) = (−1)

푎 =푎 = 0

푎 =2푉

(2푝 + 1)휋(−1)

Calcul de 푏 :

푏 = ∫ 푓(푡) sin(푛휔푡) 푑푡// = ∫ 푉/

/ sin(푛휔푡) 푑푡 = 0.

Finalement la décomposition en série de Fourier du créneau s’écrit sous forme algébrique

comme suit :

푓(푡) = + ∑ (−1)( )

cos (2푝 + 1)휔푡 ,

Vu que les coefficients 푏 sont nuls, la forme polaire est égale à la forme algébrique : pour

tout n, 휌 = 푎 et 휑 = 0.

Pour la forme complexe cela donne :

푐 =1푇 푓(푡)푒 푑푡

/

/=

1푇 푉

/

/푒 푑푡 =

푉푛휋 sin

푛휋2

f(t)

V0

-T/2 -T/4 0 T/4 T/2 3T/4 T t

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⎩⎪⎨

⎪⎧

푛 = 2푝 → 퐶 = 0

푛 = 2푝 + 1 → 퐶 = (−1)2푉

(2푝 + 1)휋 =푎

2

푛 = 0 → 퐶 =푉2 = 푎

3.8 Développement en série de Fourier de fonctions non périodiques :

Il est clair que le développement en série de Fourier se pratique sur les fonctions

périodiques. Cependant, il est possible, dans certains cas, de faire de tels développements pour

des fonctions quelconques.

Soit 푓: [푎, 푏] ⟼ ℛ une fonction non périodique définie sur l’intervalle [푎, 푏]. Soit

푔: ℛ ↦ ℛ une fonction périodique de période 푇 ≥ 푏 − 푎 telle que la restriction 푔|[ , ] = 푓. Si

푔 satisfait les conditions de Dirichlet, on aura :

푔(푥) = 푎 + ∑ (푎 cos(푛휔푡) + 푏 sin(푛휔푡)).

Avec 푎 et 푏 les coefficients de Fourier associés à 푔. La somme de cette série coïncide

partout avec 푓 dans l’intervalle [푎, 푏] sauf peut être aux points de discontinuités de 푓.

Remarque :

Soit 푓: [0, 푙] ⟼ ℛ une fonction quelconque, et 푙 > 0 .On suppose que f peut-être

prolongée sur ] − 푙, 0[ et que les conditions de Dirichlet soit satisfaites. Dans ce cas, on a le

choix sur ce prolongement. On peut choisir soit un prolongement pair soit un prolongement

impair pour éviter les longs calculs des coefficients.

Exemple :

Donner une série de Fourier de période 2휋 qui coïncide sur ]0, 휋[ avec la fonction

푓(푥) = 푒 .

Solution :

Ici on ne précise que l’intervalle où la série de Fourier coïncide avec 푓 , c'est-à-dire ]0, 휋[.

Comme la période de la série de Fourier est 2π, il y a alors une infinité de réponses,

examinons trois cas différents.

eπ

1

0 π

Figure 4.3 - La fonction 풇(풙)

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1) Choisissons un prolongement pair et posons : 푓 (푥) = 푒 푠푖 푥 ∈]0, 휋[푒 푠푖 푥 ∈] − 휋, 0[.

On vérifie aisément que 푓 est une fonction paire. Posons 푓 (0) = 1 et 푓 (휋) = 푒 , on

a alors un prolongement continue sur ℛ. Le graphe de 푓 et celui de la série de Fourier seront

identiques.

Le calcul des coefficients donne :

푎 = ( ), 푎 = 2 ( ) et 푏 = 0.

On a alors :

푆 (푥) =푒 − 1

휋 + 2(−1) 푒 − 1

푛 + 1 cos(푛푥) = 푒 푠푖 푥 ∈ [0, 휋] 푒 푠푖 푥 ∈ [−휋, 0]

푆 (푥)

eπ

1

0 π

Figure 4.4 - La série 푺ퟏ(풙)

2) Choisissons un prolongement impair et posons : 푓 (푥) = 푒 푠푖 푥 ∈]0, 휋[−푒 푠푖 푥 ∈] − 휋, 0[ .

On remarque que 푓 est une fonction impaire mais n’est pas continue sur ℛ. Elle est

discontinue en tout point de la forme 푘휋, 푘 ∈ 퓏.

Le calcul des coefficients donne :

푎 = 0, 푏 = ( ( ) )( )

,

On a alors :

푆 (푥) =2푛(1 − (−1) 푒 )

휋(1 + 푛 ) sin(푛푥) =푒 푠푖 푥 ∈] − 휋, 0[ 푒 푠푖 푥 ∈] − 휋, 0[0 푠푖 푥 = 0 표푢 푥 = ±휋

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eπ

1

-3π -π π

Figure 4.5 - La série 푺ퟐ(풙)

3- Choisissons un prolongement ni pair ni impair et posons :

푓 (푥) = 푒 푠푖 푥 ∈] − 휋, 휋[.

On remarque que 푓 est une fonction discontinue en tout point de la forme 휋 + 2푘휋, 푘 ∈ 퓏. On

a le résultat final :

푆 =푒 − 푒

휋12 +

(−1)1 + 푛

(cos(푛푥) − 푛 sin(푛푥)) =푒 푠푖 푥 ∈] − 휋, 휋[푒 − 푒

2 푠푖 푥 = ±휋

On a obtenu trois séries différentes qui valent exactement 푒 sur l’intervalle ]0, 휋[. On

pouvait choisir d’autres prolongements et obtenir d’autres séries.

eπ

1

-2π -π 0 π 2π 3π

Figure 4.6 - La série 푺ퟑ(풙)

3.9 Relation de Parseval :

Soit une fonction 푓(푡) de la variable t développée en série de Fourier :

푓(푡) = 푎 + ∑ (푎 cos(푛휔푡) + 푏 sin(푛휔푡)).

Multiplions chaque membre de la relation précédente par la fonction 푓(푡) et intégrons sur une

période.

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∫ 푓(푡) 푑푡// = ∫ 푎 푓(푡)푑푡/

/ + ∫ 푓(푡)[∑ (푎 cos(푛휔푡) + 푏 sin(푛휔푡))]// 푑푡.

= 푎 ∫ 푓(푡)푑푡// + ∑ 푎 ∫ 푓(푡) cos(푛휔푡)/

/ 푑푡 + ∑ 푏 ∫ 푓(푡) sin(푛휔푡)// 푑푡

On reconnait les expressions des coefficients 푎 , 푎 et 푏 du développement en série de

Fourier de 푓(푡), à un coefficient prés.

D’où : ∫ 푓(푡) 푑푡// = 푎 푇 + ∑ (푎 + 푏 )

∫ 푓(푡) 푑푡// = 푎 + ∑ (푎 + 푏 )

= 푎 + ∑ 휌 (4.50)

Où on a introduit la forme polaire,

푓(푡) = 푎 + ∑ 휌 cos(푛휔푡 − 휑 )∞ (4.51)

avec

휌 = 푎 + 푏

L'intégrale du membre de gauche représente la valeur moyenne du carré de la fonction 푓(푡) .

Par définition c'est le carré de la valeur efficace de 푓(푡).

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Chapitre 5 Transformation de Fourier


Chapitre 5 :

Transformation de Fourier

1. Définition :

Soit 푓(푥) une fonction absolument intégrable sur ℛ à valeurs réelles ou complexes de

la variable réelle 푥. On appelle transformée de Fourier de 푓(푥) la fonction complexe de la

variable réelle 푘 définie par :

퐹(푘) = ℱ[푓(푥)] =1√2휋

푓(푥) 푒 푑푥 (5.1)

En physique, dans la plupart des exemples, la variable concernée est, soit une

longueur, soit un temps. Usuellement, la notation 푥 représente une longueur. Dans ce cas, la

variable 푘 a les dimensions de l’inverse d’une longueur. Elle est appelée le vecteur d’onde.

Lorsque l’on considère une fonction 푓(푡) du temps, on utilise pour la transformée de Fourier

de 푓(푡) la notation.

퐹(휔) = ℱ[푓(푡)] =1

√2휋푓(푡) 푒 푑푡 (5.2)

Où la variable ω, qui a la dimension de l’inverse d’un temps, est la fréquence

angulaire.

2. Inversion de la transformation de Fourier :

On démontre que, inversement, on peut en général obtenir 푓(푥) à partir de 퐹(푘) par la

transformation dite de Fourier inverse :

푓(푥) = ℱ [퐹(푘)] =1√2휋

퐹(푘) 푒 푑푘 (5.3)

Où la notation ℱ désigne la transformée de Fourier inverse.

Remarque :

Les conventions utilisées pour définir les transformées de Fourier ne sont pas

universelles. On peut, par exemple, définir les transformées de Fourier par les relations :

푓(푥) = ∫ 퐹(푘) 푒 푑푘 et 퐹(푘) = ∫ 푓(푥) 푒 푑푥

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mais on préférera la définition précédente, plus symétrique et donc plus facile a mémoriser.

D'autre part, on pourra noter que les intégrales de Fourier peuvent être vues comme limites de

séries de Fourier (voir par exemple l'appendice I du Cohen-Tannoudji).

3. Propriétés de la transformation de Fourier :

3.1 Linéarité

L’intégration étant une opération linéaire, la transformation de Fourier l’est aussi,

c’est–à-dire que, λ et µ étant des scalaire, on a :

ℱ[휆푓(푥) + 휇푔(푥)] = 휆퐹(푘) + 휇퐺(푘) (5.4)

De même pour la transformée inverse, on a :

ℱ [휆퐹(푘) + 휇퐺(푘)] = 휆ℱ 퐹(푘) + 휇ℱ 퐺(푘) (5.6)

3.2 Translation :

cherchons la transformée de Fourier de 푓(푥 − 푎), a est réel. En posant 푢 = 푥 − 푎, on

obtient :

ℱ[푓(푥 − 푎] =1√2휋

푓(푥 − 푎) 푒 푑푥 = 푒1√2휋

푓(푢) 푒 푑푢 (5.7)

Soit :

ℱ[푓(푥 − 푎)] = 푒 퐹(푘) (5.8)

A la translation de 푓(푥) correspond un déphasage de 퐹(푘) proportionnel à 푘 (la

transformée de Fourier de 푓(푥 − 푎) s’obtient en multipliant 퐹(푘) par le facteur de phase

푒 ).

3.2 Modulation :

Inversement, la transformer de Fourier de 푒 푓(푥) ( 푘 réel) est donnée par :

ℱ 푒 푓(푥) = 퐹(푘 − 푘 ) (5.9)

A la modulation de 푓(푥) correspond une translation de 퐹(푘).

Par conséquent, la transformée de Fourier d’un signal 푓(푡) modulé par 푒 est donnée par :

ℱ 푒 푓(푡) = 퐹(휔 −휔 ) (5.10)

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3.4 Changement d’échelle :

changer l’unité pour la variable 푥 revient à multiplier celle-ci par une constante réelle

푎 ≠ 0. En posant 푢 = 푎푥, on obtient

ℱ[푓(푎푥)] =1

√2휋푓(푎푥) 푒 푑푥 =

1|푎|

1

√2휋푓(푢) 푒 푑푢 (5.11)

Soit :

ℱ[푓(푎푥)] =1

|푎|퐹푘푎 (5.12)

En termes plus physiques, une compression de l’échelle des longueurs entraine une dilatation

de l’échelle des vecteurs d’onde. De même, une compression de l’échelle des temps entraine

une dilatation de l’échelle des fréquences angulaires. C’est l`a une propriété extrêmement

importante en pratique de la transformation de Fourier.

3.5 Conjugaison complexe :

La transformer de Fourier du conjugué d’une fonction 푓(푥) est :

ℱ[푓∗(푥)] =1√2휋

푓∗(푥) 푒 푑푥 =1√2휋

푓(푥) 푒 푑푥

∗

(5.13)

Soit :

ℱ[푓∗(푥)] = 퐹∗(−푘) (5.14)

3.6 Transformée de Fourier de la dérivée d’une fonction

La transformée de Fourier de la dérivée 푓 (푥) d’une fonction 푓(푥) est donnée par la

relation suivante :

ℱ[푓 (푥)] =1√2휋

푓 (푥)푒 푑푥 (5.15)

Intégrons par partie l’intégrale définissant la transformée de Fourier de la dérivée :

ℱ[푓 (푥)] =1√2휋

푓(푥)푒 +푖푘√2휋

푓(푥)푒 푑푥 (5.16)

La fonction 푓(푥) étant intégrable sur ℛ, cela implique que sa limite est nulle pour 푥 → ±∞.

De ce fait, le premier terme du membre de droite est nul, il vient :

ℱ[푓 (푥)] = 푖푘ℱ[푓(푥)] = 푖푘퐹(푘) (5.17)

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A la dérivation de 푓(푥) par rapport à 푥 correspond donc la multiplication de 퐹(푘) par 푖푘. Plus

généralement, pour la dérivée d’ordre 푚, on a :

ℱ 푓( )(푥) = (푖푘) 퐹(푘) (5.18)

Cette propriété est fondamentale car elle permet de résoudre simplement certaines équations

différentielles. En particulier, si on considère une équation différentielle linéaire à coefficients

constants d’ordre n où 푦(푥) est inconnue et où le terme forcé est 푢(푥):

푎 푦( )(푥) + 푎 푦( )(푥) + ⋯+ 푎 푦( )(푥) + 푎 푦(푥) = 푢(푥) (5.19)

La transformée de Fourier étant linéaire, la transformée de Fourier de cette équation est un

polynôme d’ordre 푛 en 푘 :

푎 (푖푘)( )푌(푘) + 푎 (푖푘)( )푌(푘) + ⋯+ 푎 (푖푘)푌(푘) + 푎 푌(푘) = 푈(푘) (5.20)

Il est alors facile de déduire 푌(푘) et d’en déduire, à l’aide d’une transformée inverse, la

solution 푦(푥) de l’équation différentielle. Comme on le verra au chapitre suivant cette

méthode est encore plus commode avec la transformée de Laplace. Dans un cas comme dans

l’autre, la transformée inverse est parfois fastidieuse il est fréquemment fait usage de tables où

sont consignées un grand nombre de fonctions usuelles et leurs transformées respectives.

On outre, le résultat ℱ 푓( )(푥) = (푖푘) 퐹(푘) conduit à une majoration importante.

De la formule

(푖푘) 퐹(푘) =1√2휋

푓( )(푥)푒 푑푥 (5.21)

On déduit l’inégalité :

|푘| |퐹(푘)| ≤1√2휋

푓( )(푥) 푑푥 (5.22)

Plus 푓(푥) est dérivable, à dérivées intégrables, plus sa transformée de Fourier 퐹(푘) décroit

rapidement à l’infini.

3.7 Dérivation de la transformée de Fourier :

La dérivée de 퐹(푘) par rapport à la variable 푘 donne :

푑푑푘 퐹

(푘) =1√2휋

푑푑푘 푓(푥) 푒 푑푥 =

−푖√2휋

푥 푓(푥)푒 푑푥 = ℱ[−푖푥푓(푥)] (5.23)

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Il suffit de dériver sous le signe d’intégration la transformée de Fourier. Ce résultat se

généralise aux dérivées successives de 퐹(푘) par :

퐹( )(푘) = ℱ[(−푖푥) 푓(푥)] (5.24)

Ce résultat conduit encore à une majoration :

퐹( )(푘) ≤1√2휋

|푥| |푓(푥)|푑푥 (5.25)

Plus 푓(푥) décroit rapidement à l’infini, plus 퐹(푘) est dérivable (avec des dérivées bornées).

Exemples :

- On peut montrer (soit en résolvant une équation différentielle, soit en utilisant

l’analyse complexe) que la fonction gaussienne

푓(푥) =1

휎√2휋푒

a pour transformée de Fourier une gaussienne :

퐹(푘) = 푒

- On peut montrer encore, que la fonction lorentzienne.

푓(푥) = , 푎 > 0

A pour transformée de Fourier la fonction ‘’en toile de tente’’ (non dérivable en 푘 = 0) :

퐹(푘) = 푒 | |

- La fonction porte est définie par :

푓(푥) = 1 |푥| ≤ 푎0, |푥| > 푎

elle a pour transformer de Fourier la fonction :

퐹(푘) = 2sin푎푘푘

3.8 Convolution et transformation de Fourier :

On définit le produit de convolution de deux fonctions 푓(푥) et 푔(푥) absolument

intégrables par la formule :

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[푓 ∗ 푔](푥) = 푓(푢)푔(푥 − 푢)푑푢 (5.26)

La transformée de Fourier de cette fonction :

ℱ[푓 ∗ 푔] =1

2휋 푒 푓(푢)푔(푥 − 푢)푑푥푑푢 (5.27)

Effectuons le changement de variables 푥 − 푢 = 푣, 푑푥 = 푑푣 , on obtient :

ℱ[푓 ∗ 푔] =1

2휋 푒 ( )푓(푢)푔(푣)푑푢푑푣

=1√2휋

푒 푓(푢)푑푢1√2휋

푒 푔(푣)푑푣

On obtient ainsi la relation :

ℱ[푓(푥) ∗ 푔(푥)] = ℱ[푓(푥)]ℱ[푔(푥)] (5.28)

La transformée de Fourier du produit de convolution de deux fonctions est égale au produit

ordinaire des transformées de Fourier de ces deux fonctions.

A cause de la symétrie des intégrales de Fourier et de Fourier inverse représentant

respectivement 푓(푥) et 퐹(푘), il existe un résultat analogue reliant le produit (ordinaire)

푓(푥)푔(푥) et le produit de convolution de 퐹(푘) et de 퐺(푘):

ℱ [퐹(푘) ∗ 퐺(푘)] = ℱ [퐹(푘)]ℱ [퐺(푘)] (5.29)

3.9 Théorème de Parseval – Conservation de la norme :

Théorème :

Soit la fonction 푓(푥) et 퐹(푘) sa transformée de Fourier, on montre que :

|푓(푥)| 푑푥 = |퐹(푘)| 푑푘 (5.30)

A la condition que les intégrales existent. Plus généralement, on a, à la condition que les

intégrales existent :

푓(푥)푔∗(푥)푑푥 = 퐹(푘)퐺∗(푘)푑푘 (5.31)

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Démonstration :

On a :

푓(푥)푔∗(푥)푑푥 = 푓(푥)1√2휋

퐺∗(푘) 푒 푑푘푑푥

=1√2휋

푓(푥)퐺∗(푘)푒 푑푘푑푥

= 퐺∗(푘)푑푘1√2휋

푓(푥)푒 푑푥

= 퐹(푘)퐺∗(푘)푑푘

En physique, si 푓(푡) représente une onde ou une vibration quelconque (la variable est

alors le temps t), et si 퐹(휔) est sa transformée de Fourier le théorème de Parseval se réécrit :

|푓(푡)| 푑푡 = |퐹(휔)| 푑휔 (5.32)

Les deux intégrales ci-dessus représentent l’énergie totale de la vibration. La puissance

instantanée dissipée est en mécanique 푓(푡)푣(푡) (force × vitesse), en électricité 푉(푡)퐼(푡)

(tension × courant). L’intégrale temporelle représente donc l’énergie totale. L’intégrale au

second membre correspond à une décomposition en vibrations harmoniques. Elle exprime le

fait que l’énergie totale est la somme des énergies de chacune des composantes. Cette relation

a été utilisée pour la première fois par un physicien (Lord Rayleigh, 1889).

Conservation de la norme :

Un cas pratique important en physique, notamment en mécanique quantique et en

optique, est celui des fonctions appartenant à l’espace des fonctions de carré sommable (c’est-

à-dire de carré intégrable), telles que :

|푓(푥)| < +∞ (5.33)

Entre les fonctions 푓(푥) et 퐹(푘), on a l’égalité de Parseval,

|푓(푥)| 푑푥 = |퐹(푘)| 푑푘 (5.34)

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qui exprime que, dans l’espace des fonctions de carré sommable, la transformation de Fourier

conserve la norme.

4. Transformée de Fourier d’une fonction radial à deux et trois dimensions :

On a :

퐹(푘) =1

2휋 푓(푟)ℛ

푒 ⃗ ⃗푑푟⃗ (5.35)

En utilisant dans le plan des coordonnées polaires 푟 et 휃 définies en prenant comme axe

polaire la direction du vecteur 푘⃗, on a :

퐹(푘) =1

2휋 푟푓(푟)푑푟 푒 푑휃 (5.36)

La fonction F(k) ne dépend en réalité que du module k de 푘⃗. C’est donc aussi une fonction

radiale. En utilisant la représentation intégrale de la fonction de Bessel d’ordre zéro 퐽 (푥), on

obtient le résultat suivant :

퐹(푘) = 푟퐽 (푘푟)푓(푟)푑푟 (5.37)

Dans le cas à trois dimension en prenant l’axe 푂푧 selon la direction du vecteur 푘⃗, on a :

퐹(푘) =1

(2휋)3/2 푟 푓(푟)푑푟 푑휑 푒 sin휃 푑휃 (5.38)

On a le résultat final :

퐹(푘) =4휋

(2휋)푟

sin 푘푟푘푟 푓(푟)푑푟 (5.39)

Ce résultat est important en pratique, par exemple dans la théorie de la diffusion par un

potentiel central.

5. Transformée de Fourier d’une fonction de plusieurs variables :

On considère un vecteur 푟⃗ = (푥 ,푥 , … , 푥 ) de l’espace à 푛 dimensions ℛ et un

vecteur 푘⃗ = (푘 ,푘 , … ,푘 ) de ℛ . On considère une fonction 푓(푟) absolument intégrable,

c’est–à-dire telle que :

|푓(푟⃗)|ℛ

푑푟⃗ < +∞ (5.40)

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Sa transformée de Fourier est une fonction 퐹(푘) définie par

퐹 푘⃗ =1

(2휋) / 푓(푟⃗)ℛ

푒 ⃗ ⃗푑푟⃗ (5.41)

De façon générale, les propriétés de la transformée de Fourier d’une fonction de plusieurs

variables sont du même type que celles qui correspondent au cas d’une seule variable. Citons

ci-dessous quelques cas particuliers intéressants.

- Dans le cas particulier où la fonction 푓(푟) se factorise,

푓(푟⃗) = 푓 (푟 )푓 (푟 ) … 푓 (푟 ) (5.42)

Sa transformée de Fourier se factorise également :

퐹 푘⃗ = ℱ[푓 푓 … 푓 ] = 퐹 (푘 )퐹 (푘 ) … 퐹 (푘 ) (5.43)

- Il existe un autre cas simple, c’est celui où la fonction 푓(푥 ,푥 , … , 푥 ) est fonction

seulement de 푟 = (∑ 푥 ) / . La fonction 푓(푟) est alors invariante par rotation. On

dit que c’est une fonction radiale. Nous avons étudier ci-dessus ce cas en détail lorsque

le nombre de dimension de l’espace est égal à 2 puis à 3.

6. Relation d’incertitude :

Considérons pour fixer les idées une fonction du temps. Plus cette fonction varie

rapidement, plus sa transformée de Fourier s’étend vers les fréquences angulaires élevées. Il

s’ensuit que, plus un signal est bref, plus sa transformée de Fourier décroit lentement à

l’infini. A la limite, une impulsion de Dirac a une transformée de Fourier non décroissante à

l’infini. Inversement, plus la transformée de Fourier décroit rapidement, plus le signal décroit

lentement. Cela peut s’exprimer quantitativement de différentes manières suivant la façon

dont on exprime l’étendue d’un signal.

Pour les fonctions de carré sommable, donc en particulier pour les fonctions d’onde 휓(푥)

en mécanique quantique, il est d’usage courant de considérer l’écart quadratique moyen Δ푥

défini par :

(Δ푥) = ⟨푥 ⟩ − ⟨푥⟩ (5.44)

Où la moyenne de 푥 et la moyenne de 푥 sont définies respectivement par :

⟨푥⟩ =∫푥|휓(푥)| 푑푥∫|휓(푥)| 푑푥

, ⟨푥 ⟩ =∫ 푥 |휓(푥)| 푑푥∫|휓(푥)| 푑푥

(5.45)

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Si 휓(푘) désigne la transformée de Fourier de 휓(푥), on considère aussi l’écart quadratique

moyen Δ푘 défini par :

(Δk) = ⟨푘 ⟩ − ⟨푘⟩ (5.46)

Où la moyenne de 푘 et la moyenne de 푘 sont définies respectivement par :

⟨푘⟩ =∫푘|휓(푘)| 푑푘∫|휓(푘)| 푑푘

, ⟨푘 ⟩ =∫푘 |휓(푘)| 푑푘∫|휓(푘)| 푑푘

(5.47)

On peut montrer que les écarts quadratiques moyens Δ푥 et Δ푘 vérifient l’inégalité suivante :

Δ푥Δ푘 ≥12 (5.48)

Cette relation est connue en mécanique quantique sous le nom de relation d’incertitude de

Heisenberg.

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Chapitre 6 Transformation de Laplace


Chapitre 6 :

Transformation de Laplace

La transformée de Laplace est essentiellement utilisée dans un cadre physique, c’est

pourquoi on considère uniquement des signaux dits causaux, c’est à dire nuls pour t < 0.

La fonction causal la plus largement utilisée est la fonction échelon unité, notée 푢 et

définie sur ℛ par :

푢(푡) = 0 푠푖 푡 < 01 푠푖 푡 ≥ 0 (6.1)

On rend une fonction causale en la multipliant par la fonction échelon unité.

1. Définition et transformée inverse

Définition 1 :

La transformée de Laplace de la fonction causale 푓(푡), notée 퐹(푝) = ℒ 푓(푡) est

donnée par :

퐹(푝) = 푓(푡) 푒 푑푡, (6.2)

Où p est une variable réelle ou complexe appelé variable de Laplace, 푓 est appelée originale

de 퐹.

On définir une transformation inverse, notée ℒ , telle que :

퐹(푝) = ℒ(푓(푡)) ⟺ 푓(푡) = ℒ (퐹(푝)). (6.3)

Cette transformation inverse est définie comme suit :

Définition 2 :

La transformée inverse de Laplace de la fonction 퐹(푝), notée 푓(푡) = ℒ (퐹(푝)) est

donnée par :

푓(푡) =1

2푖휋 퐹(푝) 푒 푑푝 (6.4)

Où p, appelé variable de Laplace, est tel que l’intégrale existe.

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On utilise très peu cette définition mathématique pour calculer des transformées

inverses. Dans la plupart des applications on parvient à se ramener à des formes répertoriées

dans des tables où sont consignées des fonctions usuelles et leurs transformées de Laplace.

2. Propriétés des transformées de Laplace :

Une fois établies quelques propriétés pratiques de la transformée de Laplace, on

étudiera les propriétés fondamentales qui permettent de relier les opérations de dérivation

(respectivement, d’intégration) par rapport au temps t, à la multiplication (respectivement, la

division) par la variable p.

2.1. Linéarité

La transformée de Laplace est linéaire, autrement dit, pour tout couple de fonctions

푓 (푡) et 푓 (푡) telles que leurs transformées de Laplace convergent, et pour tout couple de

constantes α et β, on vérifie :

ℒ(훼푓 (푡) + 훽푓 (푡)) = 훼ℒ(푓 (푡)) + 훽ℒ(푓 (푡)) (6.5)

Il en est évidemment de même pour la transformée inverse. Pour tout couple de

constantes α et β, on a :

ℒ (훼퐹 (푝) + 훽퐹 (푝)) = 훼ℒ (퐹 (푝)) + 훽ℒ (퐹 (푝)) (6.6)

2.2. Translation dans l’espace de départ :

La transformée de Laplace de la fonction 푓(푡) retardée de τ est donnée par :

ℒ 푓(푡 − 휏) = 푒 ℒ(푓(푡)) = 푒 퐹(푝) (6.7)

2.3. Dilatation ou contraction dans l’espace de départ :

pour un réel positif 푘, on a :

ℒ(푓(푘푡)) =1푘 퐹

푝푘 (6.8)

2.4. Transformée de Laplace d’une fonction modulée :

La transformée de Laplace de la fonction 푓(푡), modulée par 푒 est donnée par :

ℒ(푒 푓(푡)) = 퐹(푝 + 훼) (6.9)

Le terme de modulation étant constant par rapport à la variable d’intégration, on peut le

déplacer dans l’intégrale et faire apparaître la transformée de Laplace en (푝 + 훼) au lieu de 푝.

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2.5. Transformée de Laplace de la dérivée d’une fonction :

Si on note 푓(0 ) la valeur initiale de la fonction 푓(푡), la transformée de Laplace de la

dérivée ( ) est donnée par la relation :

ℒ푑푓(푡)푑푡 = 푝퐹(푝)− 푓(0 ) (6.10)

2.6. Transformée de Laplace de la primitive d’une fonction :

La transformée de Laplace de l’intégrale d’une fonction 푓(푡) est donnée par :

ℒ 푓(푢)푑푢 =1푝ℒ

(푓(푡)) =1푝 퐹

(푝) (6.11)

2.7. Dérivation de la transformée de Laplace :

En dérivant la transformée de Laplace dans l’intégrale, on a :

푑ℒ(푓(푡))푑푝 = −푡ℒ(푓(푡)) (6.12)

Plus généralement, en dérivant 푛 fois, on a :

푑 ℒ(푓(푡))푑푝 = (−푡) ℒ(푓(푡)) (6.13)

Le terme en (−푡) n’affect pas la convergence de l’intégrale si l’intégrale en 푓(푡) était

définie (autrement dit, si 푓(푡) admettait une transformée de Laplace).

2.8. Théorème de la valeur initiale :

La valeur initiale d’une fonction 푓(푡) peut être obtenue à partir de la transformée de

Laplace de la fonction à partir de la relation connue sous le nom de théorème de la valeur

initiale, qui se prononce comme suit :

La valeur en 푡 = 0 de 푓(푡) est donnée par :

lim→푓(푡) = lim

→푝퐹(푝) (6.14)

2.9. Théorème de la valeur finale :

La valeur finale d’une fonction 푓(푡) peut être obtenue à partir de la transformée de

Laplace de la fonction à partir de la relation connue sous l’appellation de théorème de la

valeur finale :

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La limite pour 푡 → ∞ de la fonction 푓(푡) est donnée par :

lim→

푓(푡) = lim→푝퐹(푝) (6.15)

2.10. Transformée de Laplace d’un produit de convolution :

le produit de convolution de deux fonctions causales 푓(푡) et 푔(푡), noté 푓(푡) ∗ 푔(푡),

est défini par :

푓(푡) ∗ 푔(푡) = 푓(휏)푔(푡 − 휏)푑휏 (6.16)

La transformée de Laplace du produit de convolution de deux fonctions est égale au produit

usuel des transformées de Laplace des fonctions :

ℒ(푓(푡) ∗ 푔(푡)) = ℒ(푓(푡))ℒ(푔(푡)) (6.17)

3. Applications :

3.1 Transformée de Laplace de l’impulsion de Dirac :

Le Dirac, s’il n’est pas physiquement réalisable (valeur infinie pendant un temps

infiniment court !) est utilisé pour décrire la réponse des systèmes dynamiques à des

sollicitations très brèves. On peut approcher la fonction Dirac par une fonction porte

d’amplitude sur un intervalle T. On considère donc la fonction :

퐷(푡) = 1/푇, 푠푖 푡 ∈]0,푇[0, 푠푖푛표푛 (6.18)

La transformée de Laplace de 퐷(푡) est donnée par :

ℒ(퐷(푡)) = 퐷(푡) 푒 푑푡 =푒푇 푑푡 =

푒−푝푇 =

푒 − 1−푝푇 (6.19)

Ecrivons le développement en série de ce résultat :

ℒ 퐷(푡) =푒 − 1−푝푇 =

−1 + ∑ (−푝푇)푘!

−푝푇 =(−푝푇)

푘! = 1 −푝푇2 +

푝 푇6 −⋯

La limite de cette somme lorsque 푇 → 0 donne la transformée de Laplace de l’impulsion de

Dirac :

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ℒ 훿(푡) = lim→

(−푝푇)푘! = 1 (6.20)

3.2. Transformée de Laplace de l’échelon unitaire :

la fonction échelon unitaire, aussi connue sous le nom de fonction de Heaviside et

notée H(푡), est définie par :

H(푡) = 0, 푠푖 푡 < 01, 푠푖 푡 > 0 (6.21)

La transformée de Laplace de l’échelon unitaire est donc donnée par :

ℒ H(푡) = H(푡) 푒 푑푡 = 푒 푑푡 =푒−푝 (6.22)

La partie réelle de 푝 étant positive, la limite en 푡 → ∞ de 푒 est nulle. On a donc

finalement :

ℒ H(푡) =1푝 (6.23)

3.3. Transformée de Laplace de la fonction 풔풊풏풖풔 :

La fonction 푠푖푛푢푠 peut s’écrire sous la forme d’une somme d’exponentielle

complexes :

sin(휔푡) =푒 − 푒

2푖 (6.24)

Donc la transformée de Laplace du 푠푖푛푢푠 se calcule comme suit :

ℒ(sin(휔푡)) =12푖 푒 − 푒 푑푡 =

12푖

푒푖휔 − 푝 +

푒푖휔 + 푝 (6.25)

La partie réelle de 푝 étant positive, la limite en 푡 → ∞ de 푒 est nulle. Il vient donc :

ℒ(sin(휔푡)) = −12푖

1푖휔 − 푝 +

1푖휔 + 푝 =

휔휔 + 푝 (6.26)

3.4 Transformée de Laplace de la fonction 풄풐풔풊풏풖풔

Comme pour la fonction 푠푖푛푢푠, la fonction 푐표푠푖푛푢푠 peut s’écrire sous la forme d’une

somme d’exponentielle complexes :

cos(휔푡) =푒 + 푒

2 (6.27)

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Donc la transformée de Laplace du 푐표푠푖푛푢푠 se calcule comme suit :

ℒ(cos(휔푡)) =12 푒 + 푒 푑푡 =

12푒푖휔 − 푝 −

푒푖휔 + 푝 (6.28)

La partie réelle de 푝 étant positive, la limite en 푡 → ∞ de 푒 est nulle. Il vient donc :

ℒ(cos(휔푡)) =12

1푖휔 − 푝 +

1푖휔 + 푝 =

푝휔 + 푝 (6.29)

On peut également obtenir ce résultat en remarquant que la dérivation de la fonction

푠푖푛푢푠 donne :

푑 sin(휔푡)푑푡 = 휔 cos(휔푡) (6.30)

En utilisant la linéarité et la propriété de la transformée de Laplace d’une fonction dérivée, il

vient :

ℒ(cos(휔푡)) =1휔

(푝ℒ(sin(휔푡)) − sin(0)) =푝휔

휔푝 + 휔 =

푝푝 + 휔 (6.31)

On retrouve donc bien le résultat établi plus haut.

3.5. Transformée de Laplace de l’exponentielle :

La transformée de Laplace de la fonction 푓(푡) = 푒 se calcule directement par :

ℒ(푒 ) = 푒 푑푡 = −푒 ( )

훼 + 푝 =1

푝 + 훼 (6.32)

3.6 Résolution d’une équation différentielle linéaire :

On cherche la solution 푥(푡) de l’équation différentielle :

푥 (푡) + 4푥 (푡) + 푥(푡) = 2푒

Avec les conditions initiales suivantes :

푥(0) = 0 et 푥 (0) = 1.

Prenons la transformée de Laplace de chaque membre de l’égalité. Le terme forcé est une

exponentielle, dont on a déjà calculé la transformée de Laplace. Donc la transformée du

membre de droite est :

ℒ(2푒 ) = .

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Notons 푋(푝) la transformée de Laplace de la fonction 푥(푡). Par linéarité, la transformée de

Laplace du premier membre est :

ℒ(푥 (푡) + 4푥 (푡) + 3푥(푡)) = ℒ(푥 (푡)) + 4ℒ(푥 (푡)) + 3ℒ(푥(푡)).

= 푝ℒ(푥 (푡))− 푥 (0) + 4(푝ℒ(푥(푡))− 푥(0)) + 3ℒ(푥(푡))

= 푝 푋(푝)− 푝푥(0) − 푥 (0) + 4푝푋(푝)− 4푥(0) + 3푋(푝)

= (푝 + 4푝 + 3)푋(푝)− 1.

En remarquant que

푝 + 4푝 + 3 = (푝 + 1)(푝+ 3),

on obtient l’équation suivante, donnant l’expression de 푋(푝) en fonction de 푝 :

(푝 + 4푝 + 3)푋(푝)− 1 =2

푝 + 2 ⟹ 푋(푝) =2

(푝 + 1)(푝 + 2)(푝+ 3) +1

(푝 + 1)(푝 + 3)

Une décomposition en élément simples de chaque fraction rationnelle en 푝 donne : 2

(푝 + 1)(푝 + 2)(푝 + 3) =1

푝 + 1 −2

푝 + 2 +1

푝 + 3

1(푝 + 1)(푝 + 3) =

1/2푝 + 1 −

1/2푝 + 3

Autrement dit, il vient,

푋(푝) = −2

푝 + 2 +3/2푝 + 1 +

1/2푝 + 3

Reste à déterminer la transformée inverse de cette expression, par linéarité on sait que :

푥(푡) = −2ℒ1

푝 + 2 +32ℒ

1푝 + 1 +

12ℒ

1푝 + 3

On a déjà établi que la transformée de Laplace de 푒 est ( )

, la solution est donc

finalement

푥(푡) = −2푒 +32 푒 +

12 푒

On vérifie aisément que la solution trouvée satisfait les conditions initiales.

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4. Table des transformées de Laplace :

푥(푡) ℒ(푥(푡)) = 푋(푝)

훿(푡) impulsion unitaire 1

Γ(푡) échelon unitaire 1푝

푡 (rampe unitaire) 1푝

푡(푛 − 1)!

1푝

푥(푡 − 휏) (retard) 푒 푋(푝)

푒 1푝 + 훼

푡푒 1(푝 + 훼)

푡 푒 푛!(푝 + 훼)

sin(휔푡) 휔푝 + 휔

cos(휔푡) 푝푝 + 휔

1푏 − 푎 푒 − 푒

1(푝 + 훼)(푝 + 훽)

1훼훽 1−

훽푒 − 훼푒훽 − 훼

1푝(푝 + 훼)(푝+ 훽)

훽푒 − 훼푒훽 − 훼

푝(푝 + 훼)(푝 + 훽)

1 − (훼푡 + 1)푒 훼푝(푝 + 훼)

(1 + (훽 − 훼)푡)푒 푝 + 훽(푝 + 훼)

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Annexe


Annexe : (un peu de physique)

Revenons sur l’équation différentielle :

푎푦 + 푏푦 + 푐푦 = 푑 cos휔푡

où 푎 > 0,푏 ≥ 0, 푐 > 0, 푑 ≥ 0, et 푦 une fonction de 푡. Ce type d’équation intervient dans un

grand nombre de phénomènes physiques, où 푡 représente le temps, en particulier en

mécanique et en électrodynamique :

En mécanique :

Un objet est soumis à une force de frottement opposée à sa vitesse et proportionnelle à

celle-ci, à une force de rappel proportionnelle à son déplacement et enfin, à un régime forcé

de pulsation ω. C’est le cas par exemple pour :

Le pendule élastique (masse-ressort) :

Masse m, coefficient de frottement f, raideur de ressort k, force imposé de module F.

L’équation du mouvement est donnée par :

푚푥 + 푓푥 + 푘푥 = 퐹 cos휔푡

Le pendule de torsion :

Moment d’inertie 퐽, coefficient de frottement f, couple de rappel C, couple forcé de

module G.


퐽휃 + 푓휃 + 퐶휃 = 퐺 cos휔푡

Le pendule simple :

Masse au bout d’un fil de longueur 푙, dans un champ de gravitation 푔, pour des petites

oscillations :


푙휃 + 푔휃 = 0

En électrodynamique :

Un circuit électrique comprend en série, une résistance 푅, une inductance 퐿, et une

capacité C. il est soumis à une tension périodique U de pulsation ω. La quantité d’électricité

Q traversant un point du circuit vérifie :

퐿푄 + 푅푄 +푄퐶 = 푈 cos휔푡

Le cas étudié s'applique dans ces deux situations, ce qui signifie également que tout phénomène mécanique a un équivalent électrique, et inversement.

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Annexe


1- Equation homogène 풂풚 + 풃풚 + 풄풚 = ퟎ

Cette équation correspond à un système qui n’est soumis à aucune oscillation forcée.

L’équation caractéristique est :

푎푟 + 푏푟 + 푐 = 0

∆= 푏 − 4푎푐 = 훿 avec δ éventuellement imaginaire pur ou nul, les racines sont donc :

푟 =−푏 − 훿

2푎 et 푟 =−푏 + 훿

2푎

Si 푏 = 0, alors δ est imaginaire pur et non nul, et les solution sont des fonctions

trigonométriques, sans atténuation de l’amplitude. Nous noterons = 푖휔 . 휔 est appelé

pulsation propre d’oscillation du système étudié, avec 휔 = .

Si 푏 > 0, la partie réelle de 푟 et 푟 est strictement négative car 푏 > 훿 . Les solutions

sont des combinaisons linéaire d’exponentielle qui tendent vers 0 quand t tend vers +∞. Si δ

est imaginaire pur, ce qui se produit lorsque 푏 < 4푎푐, les solutions oscillent autour de O,

avec atténuation de l’amplitude.

Dans tous les exemples physiques proposés, est homogène à l’inverse d’un temps et peut

donc être noté . L’équation différentielle prend alors la forme :

푦 +1휏 푦 + 휔 푦 = 0

- Si 휏 > le système est faiblement amorti, ∆ est négatif, δ est imaginaire pur.

푟 = ± 푖 휔 − . Les solutions y sont combinaison linéaire de 푒푥푝 − cos(휔푡) et

푒푥푝 − sin(휔푡), avec une pulsation 휔 = 휔 − légèrement inférieure à la pulsation

propre.

On définit alors le facteur de qualité Q de l’oscillation par l’expression :

푄 = 2휋퐸푊

où E est l'énergie emmagasinée par l'oscillateur et 푊 = |∆퐸| l'énergie dissipée au cours d'un

cycle. Ces énergies sont, dans le cas mécanique ou électrique, proportionnelles au carré de

l'amplitude de y. Nous donnerons donc une expression de Q dans le cas général de notre

équation différentielle en prenant E égal à ce carré. Comme y(t) est de la forme

푦 푒푥푝 − cos(휔푡 + 휑) l'amplitude vaut 푦 푒푥푝 − . Au cours d'un cycle, par exemple

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Annexe


entre les instants 푡 = 0 et t = , l'énergie E passe de la valeur 푦 à 푦 푒푥푝 − . Dans le

cas où le système est faiblement amorti, est très faible, de sorte que 푊 = 푦 = 푦 et

que ω est quasiment égal à la fréquence propre de résonance 휔 . On a alors :

푄 = 휔휏 ≈ 휔 휏

L'ordre de grandeur de Q pour un circuit RLC et . Pour un oscillateur mécanique, où f est

le coefficient de frottement.

Le cas limite (appelé amortissement critique) est obtenu lorsque 휏 = , pour lequel

∆= 0. On a alors 푟 = − , et y est combinaison linéaire de 푒푥푝 − et de

푡 푒푥푝 −

Si 휏 < , le système est fortement amorti, Δ est positif, δ est réel. Il n’y a pas

d’oscillation. On a 푟 = − ± 푖 − 휔 = − ± 훽. y est combinaison linéaire de

푒푥푝 − exp (훽푡). On préférera parfois prendre le demi-somme et la demi-

différence de ces fonctions, faisons intervenir les fonctions trigonométrique 푠푖푛푢푠 et

푐표푠푖푛푢푠 hyperbolique, établissant un rapprochement formel avec le premier cas. y est

alors combinaison linéaire de 푒푥푝 − 푐ℎ (훽푡) et 푒푥푝 − 푠ℎ (훽푡).

L'amortissement critique correspond aux deux cas limites 휔 → 0 et 훽 → 0.

휏 s'appelle durée de relaxation en énergie. L'énergie est, dans les exemples proposés,

proportionnelle à 푦 . La durée τ donne un ordre de grandeur de la durée au bout de laquelle

l'énergie du système a diminué de 1/e.

. 2– Solution particulière avec second membre

Cette équation correspond à un système qui est soumis à une oscillation forcée.

Lorsque 푏 > 0, il y a toujours une solution particulière avec second membre

푑exp (푖휔푡) sous la forme 푦 = 퐴푒푥푝(푖휔푡), car i߱ ne peut être solution de l'équation

caractéristique. On obtient une solution avec second membre 푑cos (휔푡) en prenant la partie

réelle. La solution générale est donc la somme d'une solution périodique de pulsation ω et de

solutions exponentielles s'annulant en +∞. Les solutions exponentielles n'interviennent

physiquement que lors de la phase transitoire correspondant à la mise en route du système. La

solution périodique correspond, elle, à la solution en régime permanent.

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Annexe


Lorsque b = 0, la situation est analogue sauf dans un cas, si ω est égal à 휔 , solution

de l'équation caractéristique. Il y a alors une solution particulière avec second membre

푑 exp(푖휔 푡) sous la forme 푦 = 퐴푡 exp(푖휔 푡). On obtient une solution avec second membre

푑 cos(휔 푡) en prenant la partie réelle. On dit qu'il y a résonance. Dans ce cas, y prendra des

valeurs arbitrairement grandes.

Cas général Mécanique Electricité 푦 élongation 푥 charge 푄 grandeur étudiée 푦′ vitesse V intensité I dérivée

Le coefficient a s’oppose aux

variations de la dérivée par inertie ou

auto-induction

masse m

inductance L

Energie cinétique où

magnétostatique :

푊 =12푚푉 ,

12 퐿퐼

Le coefficient b est responsable des pertes d’énergie

frottement f

résistance R

Puissance de l’effet Joule

푃 = 푁 = 푅퐼 Le coefficient c’est celui du phénomène

de rappel

raideur k

Capacité C

Energie potentielle emmagasinée

푊 =12 푘푥 =

12푄퐶

Durée de relaxation 휏 =

푎푏

푚푓

퐿푅

Période T à la résonance

Pulsation propre 휔 = 푐/푎

2휋 푚/푘

푘/푚

2휋√퐿퐶

1/√퐿퐶

Le coefficient d est celui du moteur du

phénomène

force F

tension U

Résistance = N ou RI

Rappel = kx ou Q/C b = d = 0

푦 = 푦 cos(휔푡 + 휑) pas de frottement pas

de force imposée pas de résistance pas de tension imposée

phénomène périodique non

amorti 푏 > 0,푑 = 0

lim→

푦 = 0 frottement pas de

force imposée résistance pas de tension imposé

amortissement du phénoméne

푏 > 0,푑 > 0 Solution particulière 푦 = 푦 cos(휔푡 + 휑)

frottement force imposée

résistance tension

régime stationnaire périodique

asymptotique 푏 = 0,푑 > 0

Si 휔 ≠ 휔 , alors y est somme de

fonctions périodiques de

pulsation 휔 et ω . Si 휔 = 휔 , il y a

résonance

Pas de frottement force imposée

Pas de résistance Tension imposée

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Annexe


Le phénomène de résonance se produit en général avec un coefficient b non nul, quoique

faible. Il est parfois recherché (enfant sur une balançoire donnant des impulsions à la

fréquence propre de la balançoire, antenne en résonance avec une fréquence donnée), parfois

évité (utilisation d'amortisseurs).

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Annexe


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Bibliographie

[1] W. APPEL, Mathématiques pour la physique et les physiciens, 4ème Ed., H&K Edition, Paris, (2008).

[2] M. FELLAH , Introduction aux fonctions spéciales et à la transformation de Laplace, Office des publications universitaires, Algérie (2013).

[3] E. BELORIZKY, Outils mathématiques à l'usage des scientifiques et des ingénieurs, EDP Sciences, Paris, (2007).

[4] C. ASLANGUL, Des mathématiques pour les sciences, Concepts, méthodes et techniques pour la modélisation, De Boeck, Bruxelles (2011).

[5] S. NICAISE, Analyse numérique et équations aux dérivées partielles : cours et problèmes résolus, Ed. Dunod, Paris, (2000).

[6] A.TRITIAK. Cours équations différentielles ordinaires, Université de Constantine Algérie (1981).

[7] M.NADIR. Cours équations différentielles ordinaires. Université de Msila Algérie (2004).

[8] M. KRASNOV, A. KISSELEV, G. MAKARENKO. Recueil de problèmes sur les équations différentielles ordinaires. Editions Mir (1978).

[9] X. MEYER Equations aux dérivées partielles, Cours et exercices corrigés, INPT-ENSIACET, Toulouse, France (2005). [10] B. Bekka, Suites et séries de fonctions , Cours L3 Rennes (2014).

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