Méthode des Volumes Finis

TP n° 1 : Equation de diffusion de la chaleur stationnaire et

monodimensionnelle

Positon du problème

Considérons le problème de la conduction de la chaleur dans une tige de longueur 𝑙 = 0.5𝑚, de

section constante 𝐴 = 10−3 𝑚2 isolée thermiquement et dont les extrémités 𝐴 et 𝐵 sont portées à

des températures fixes 𝑇𝐴 = 100 ℃ et 𝑇𝐵 = 500 ℃. La conductivité thermique de la tige vaut 𝑘 =

10000 𝑊. 𝑚−1𝐾−1 voir figure 1.

Figure 1

L’équation différentielle générale se réduit à :

𝑑

𝑑𝑥(𝑘

𝑑𝑇

𝑑𝑥) = 0 (1)

Mise en œuvre de la méthode des volumes finis :

Etape 1 : Discrétisation du domaine géométrique : diviser la longueur de la tige en 05 volumes de

contrôle équidistants et numérotés de 1 à 5.

Etape 2 : intégrer l’équation (1) sur chaque volume de contrôle et en déduire les équations algébriques

aux différents nœuds.

Etape 3 : Assembler les différentes équations algébriques en un système d’équations linéaire de la

forme : 𝐴𝑇 = 𝐵 ou 𝐴 est une matrice 5𝑥5

Etape 4 : A l’aide de Matlab écrire un programme pour solutionner le système d’équation linéaire

trouvé.

Comparer la solution numérique trouvé à la solution analytique de l’équation (1) donnée par

𝑇 = 800𝑥 + 100

Solution Octave (Matlab) A=[300,-100,0,0,0;-100,200,-100,0,0;0,-100,200,-100,0;0,0,-100,200,-100;0,0,0,-100,300] TA=100 ; TB=500 ; B=[200*TA;0;0;0;200*TB] ; T=A\B x=[0 0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.5]; T1=[100 140 220 300 380 460 500]; y = 800 * x + 100; title ("conduction de la chaleur dans une tige"); xlabel ("Distance x (m)"); ylabel ("Temperature (C)"); plot(x,T1,'o',x,y)