modules sur les anneaux principaux -...

MODULES SUR LES ANNEAUX

PRINCIPAUX

Universite de Franche-Comte, Besancon

Henri Lombardi

Maıtre de Conferences

emile: [email protected]

page web: http://hlombardi.free.fr

derniere mise a jour le 1er septembre 2009

http://hlombardi.free.fr

Table des matieres

Table des matieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

Avant-Propos v

1 Arithmetique de base 1Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 On a le droit de calculer modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Theoreme des restes chinois sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Les lemmes de Gauss et d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Systemes d’equations lineaires sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Manipulations elementaires sur une matrice a coefficients entiers . . . . . . . . . 5Le plan de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Groupes et anneaux commutatifs 112.1 Groupes commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Homomorphismes de groupes abeliens, isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . 12Le groupe des morphismes de G vers H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Somme et produit de groupes abeliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Groupes abeliens quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Anneaux commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Quelques definitions et proprietes elementaires reliees a la structure d’anneau . . 18Sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Ideaux, anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Produit fini d’anneaux, systeme fondamental d’idempotents orthogonaux . . . . 24Theoreme des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Ideaux premiers et maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3 Quelques rappels sur la theorie de la divisibilite dans les anneaux integres . . . . 272.3.1 Premieres definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3.2 Anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Systemes lineaires sur un anneau principal 313.1 Calcul matriciel et systemes de Cramer sur un anneau commutatif arbitraire . . 313.2 Anneaux de Bezout et anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Reduction de Smith d’une matrice sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . 35

Manipulations elementaires et manipulations de Bezout . . . . . . . . . . . . . . 35

ii Table des matieres

La reduction de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Systemes lineaires sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Modules sur un anneau commutatif 43Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1 Definitions generales concernant les modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Modules et applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Sous-modules, systemes generateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Applications lineaires entre modules libres de rang fini . . . . . . . . . . . . . . . 454.3 Modules de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Matrice representant une application A-lineaire entre modules de type fini . . . 48Un resultat structurel important pour les modules de type fini . . . . . . . . . . . 49

4.4 Sommes et produits de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.5 Modules quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Theoreme de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Sous-modules et quotients d’un module quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.6 Dualite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.7 Torsion, annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.8 Modules monogenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.9 Un important resultat d’unicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.10 Modules de presentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Systemes lineaires sur un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Changement de systeme generateur pour un module de presentation finie . . . . 58Applications lineaires entre modules de presentation finie . . . . . . . . . . . . . 58Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Modules de presentation finie sur les anneaux principaux 615.1 Structure des applications lineaires entre modules libres . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Theoreme de la base adaptee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Structure des modules de presentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.4 Un peu de dualite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.5 Structure des modules de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 Application : structure d’un endomorphisme 676.1 Un K[X]-module interessant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.2 Forme reduite de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7 Anneaux et modules nœtheriens 857.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.3 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.4 Discussion, suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Table des matieres iii

8 Solution des exercices 898.1 Arithmetique de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.2 Rappels sur les groupes abeliens et les anneaux commutatifs . . . . . . . . . . . . 938.3 Systemes lineaires sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.4 Modules sur un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.5 Modules de presentation finie sur les anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . 1038.6 Application : structure d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Index des notations 111

Index des termes 113

Avant-Propos

Le contenu de ce cours

Ce cours constitue une introduction a la theorie des modules sur un anneau commutatif, avecune insistance toute particuliere sur le cas des modules de presentation finie sur les anneauxprincipaux.

La notion de module est la generalisation aux anneaux commutatifs de la notion d’espacevectoriel sur un corps.

Comme dans le cas des corps, la theorie des modules peut etre vue comme une abstractionde la theorie de la resolution des systemes lineaires.

L’exemple le plus elementaire d’anneau principal est l’anneau des entiers relatifs. C’est pour-quoi le chapitre 1 est consacre, d’une part au rappel des proprietes arithmetiques de base del’anneau Z, d’autre part a la resolution des systemes lineaires a coefficients et inconnues dansZ. Cette resolution s’appuie sur des transformations elementaires qui ramenent n’importe quelsysteme lineaire a un systeme equivalent pour lequel la resolution est tout a fait claire et simple.

Il s’agit d’une adaptation au cas de l’anneau Z de la reduction d’une matrice sur un corps ala forme standard

Ik 0

0 0

a laquelle le lecteur est habitue.Cette nouvelle reduction, sur Z, est l’objet du theoreme 1.4.1 qui explique comment ramener

une matrice a la formeD 0

0 0

avec pour D une matrice diagonale.Un algorithme tout a fait analogue est developpe dans le chapitre 3 consacre a la resolution

des systemes lineaires sur un anneau principal, avec le theoreme fondamental 3.3.2 pour lareduction d’une matrice a la forme de Smith.

La lectrice qui maıtrise parfaitement ces deux theoremes peut estimer qu’elle a comprisl’essentiel de ce cours.

Mais il lui faudra aussi faire un effort d’abstraction non negligeable pour faire le lien entre latheorie des systemes lineaires et celle des modules. Tout le reste du cours est consacre a expliquercette abstraction.

Le chapitre 2 est constitue de rappels concernant les groupes abeliens et anneaux commu-tatifs, rappels de ce qui est usuellement fait dans les cours de L3. Les points essentiels sont lestheoremes de factorisation 2.1.15 et 2.2.11, ainsi que le theoreme des restes chinois 2.2.17, genera-lisation a un anneau commutatif arbitraire du theoreme analogue pour Z. Tout au plus, peut-etre,certains lecteurs n’auront pas encore entendu parler des systemes fondamentaux d’idempotentsorthogonaux, mais cette notion ne presente aucune difficulte. Le theoreme les concernant (2.2.16)peut etre considere comme une variante du theoreme des restes chinois.

Le chapitre 4 est consacre a la definition des A-modules et a quelques generalites utilesconcernant cette notion. Les groupes abeliens sont exactement les Z-modules, et cela facilitera

vi Avant-Propos

sans doute la tache du lecteur, car le chapitre reprend en grande partie, avec quelques modifi-cations necessaires les rappels sur les groupes abeliens.

Deux notions essentielles sont d’une part celle de A-module libre de rang fini, qui est la gene-ralisation immediate des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps, et d’autre part cellede A-module de presentation finie, en relation directe avec la resolution des systemes lineaires.C’est aussi la generalisation naturelle de la notion de groupe abelien de type fini.

Le chapitre 5 concerne le cas ou A est un anneau principal. Il culmine avec le theoreme destructure des A-modules de presentation finie. Auparavant on aura donne la structure d’uneapplication lineaire entre modules libres de rang fini, et la structure d’une inclusion M ⊆ Llorsque L est un module libre de rang fini et M un sous-module de type fini.

Signalons que de facon tout a fait etonnante, on ne sait toujours pas si les trois theoremes destructure que nous venons d’evoquer sont ou non valables pour le cas des anneaux de Bezout.

Le chapitre 6 est une belle application de la theorie developpee au chapitre precedent. Onobtient le decryptage de la structure des endomorphismes d’un K-espace vectoriel de dimensionfinie, pour un corps K arbitraire, avec une matrice en forme de Frobenius pour une base conve-nable de l’espace vectoriel. Il s’agit d’un progres substantiel par rapport a la classification deJordan, qui ne concerne que les endomorphismes dont le polynome caracteristique est scinde.

Le chapitre 7 qui termine le cours est consacre a une breve discussion d’une notion fortdelicate, qui est la notion de module ou d’anneau nœtherien.

Quelques renseignements pratiques

On trouve un index des notations page 111, suivi d’un index des termes.Les definitions de termes sont mises en italique gras. Elles sont souvent situees dans le texte

du cours plutot que dans une definition numerotee.Tous les theoremes, proposition definitions etc. . . sont numerotes les uns apres les autres

dans chaque section, a l’exception notable des exercices, qui sont regroupes a la fin de chaquesection, avec une numerotation separee. Un chapitre final est consacre a la correction (de laplupart) des exercices.

Les exercices marques d’une etoile sont consideres comme difficiles. Les autres sont plutotdu style (( application directe du cours )). Il est recommande de ne pas se precipiter sur lescorrections, mais plutot d’essayer serieusement de les resoudre.

Henri LOMBARDILaboratoire de Mathematiques de Besancon

UFR des Sciences et TechniquesUniversite de Franche-Comte25030 BESANCON cedex FRANCE

fax : (33) 3 81 66 66 23tel : (33) 3 81 66 63 30

emile : [email protected] web : http://hlombardi.free.fr/

http://hlombardi.free.fr/

1. Arithmetique de base

Introduction

Ce chapitre commence par quelques rappels sur l’arithmetique de base dans N et Z. Il setermine avec un theme nouveau : la discussion et la solution des systemes lineaires a coefficientset inconnues dans Z.

1.1 On a le droit de calculer modulo n

On se place dans Z, et on considere un entier n > 1. On ecrit

a ≡ b mod n, ou encore a =n b pour signifier ∃k, a = b+ kn.

Dans un tel cas on dit que a et b sont congrus modulo n.

Fait 1.1.1

1. Il s’agit d’une relation d’equivalence.

2. On a les proprietes de stabilite suivantes

a =n a′ et b =n b

′ =⇒ a+ b =n a′ + b′

a =n a′ et b =n b

′ =⇒ a× b =n a′ × b′

a =n a′ =⇒ −a =n −a′

Ainsi tous les calculs dans Z qui utilisent +,−,×, 0, 1 vont pouvoir etre faits sous une formeminiature, modulo n, en ne conservant que l’information (( a mod n )) pour l’element a.

Exemple avec n = 100 : pour les nombres ecrits en base 10, on ne garde que les deux dernierschiffres.

Exemple de la preuve par 9 et de la preuve par 11 pour les operations effectuees avec desnombres ecrits en base 10. Elles sont basees sur le genre de calcul suivant, en remarquant que10n =9 1n =9 1 et 10n =11 (−1)n :

123524 =9 1 + 2 + 3 + 5 + 2 + 4 =9 17 =9 1 + 7 =9 8,

123524 =11 −1 + 2− 3 + 5− 2 + 4 =11 5.

On peut se demander ce qui se passe avec des operations plus compliquees que +,−,× :– Ou bien l’operation compliquee est une combinaison des operations +,−,×, par exemple

(a, b, c) 7→ 7ab2 − 3abc3 + b4,

ou encore

(a, b, c, d, e, f, g, h, i) 7→

∣∣∣∣∣∣a b cd e fg h i

∣∣∣∣∣∣et tout se passe bien.

2 1. Arithmetique de base

– Ou bien ce n’est pas le cas et en general rien ne va plus.Par exemple la relation d’ordre a completement disparu.Autre exemple le quotient et le reste de la division de a par b 6= 0 : ceci est caracterise para = bq + r avec 0 6 r < |b|. Si on les a effectues dans Z, il va rester modulo n l’egalitea =n bq + r. Mais si l’on remplace a et b par a′ et b′ tels que a =n a

′ et b =n b′ et si q′

et r′ sont le nouveau quotient et le nouveau reste, on n’a pas en general q =n q′, ni non

plus r =n r′. Par exemple comparer modulo 7 le quotient et le reste de la division de 101

par 10 et celui de la division de 31 par 17.

1.2 L’algorithme d’Euclide

Theoreme 1.2.1 Soient a, b > 0 dans Z, et g le plus grand diviseur commun a a et b. Alors :

1. Tout diviseur commun a a et b divise g.

2. On peut exprimer g sous la forme ua+ vb avec u, v ∈ Z.Plus precisement il existe une matrice M ∈M2(Z) de determinant ±1 telle que

M

[ab

]=

[g0

].

3. m = ab/g est le plus petit commun multiple de a et b : plus precisement, tout multiplecommun a a et b est multiple de m.

Demonstration. La preuve du point 1. est basee sur les deux remarques suivantes :– Le resultat est trivial si b divise a, dans ce cas g = b, et tout diviseur commun a a et b

divise b.– Si b ne divise pas a et si par division euclidienne on obtient a = bq + r avec b > r > 0,

alors les diviseurs communs a a et b sont exactement les diviseurs communs a b et r.Ainsi en demarrant avec a0 = a, b0 = b, on pose a1 = b et b1 = r, et on remplace le problemede depart pour (a0, b0) par le meme probleme pour (a1, b1). La remarque importante est que0 < b1 < b0. En recommencant l’operation, on remplace ensuite (a1, b1) par (a2, b2) etc. . . Apresun nombre fini d’etapes du processus on tombe forcement sur la situation ou pour un certain k,bk divise ak. Et les diviseurs communs a a et b sont alors exactement les diviseurs de bk.Tous les diviseurs communs a a et b sont donc diviseurs d’un seul d’entre eux, bk : celui-ci n’estpas seulement le plus grand au sens de la relation d’ordre usuelle, c’est aussi (( le plus grand ))

au sens de la relation de divisibilite, pour laquelle (( plus grand )) signifie (( etre multiple de )).

2. La forme matricielle du calcul precedent est[br

]=

[0 11 −q

] [ab

], i.e.

[a1

b1

]=

[0 11 −q1

] [a0

b0

]Donc si l’on appelle q1, q2 . . . les quotient successifs, jusqu’a qk+1 le quotient de ak par bk onaura [

bk0

]=

[0 11 −qk+1

]· · ·

[0 11 −q2

] [0 11 −q1

] [a0

b0

]Ainsi en posant M0 =

[1 00 1

]et, successivement pour i = 0, . . . , k, Mi+1 =

[0 11 −qi+1

]Mi,

on obtient en fin de compte[g0

]= Mk+1

[ab

]avec det(Mk+1) = (−1)k+1.

3. Tout d’abord m = a(b/g) = b(a/g) est bien un multiple commun de a et b. Ensuite si l’on aun multiple commun ad = bc, en utilisant au+ bv = g on obtient

gd = (au+ bv)d = adu+ bvd = bcu+ bvd = b(cu+ vd),

d = (b/g)(cu+ vd) et ad = m(cu+ vd). 2

1.3. Theoreme des restes chinois sur Z 3

On appelle ce type d’egalite (( au+ bv = pgcd(a, b) )) une relation de Bezout entre a et b.Le pgcd est aussi souvent note a ∧ b.

Remarques. 1) L’algorithme des divisions successives pour calculer le pgcd est appele (( algorith-me d’Euclide )). Lorsque on (( enrichit )) l’algorithme de maniere a calculer egalement u et v (oumeme la matrice Mk) on parle d’(( algorithme d’Euclide etendu )). Il s’agit de la mere de tousles algorithmes.2) Au sujet de la propriete caracteristique du pgcd d de a et b :

(( x divise g si et seulement si x divise a et b )).2a) Si on la lit dans Z, cela determine g seulement au signe pres. La convention la plus pratiqueest de choisir le pgcd dans N pour retablir l’unicite. De maniere generale les nombres x et −xsont equivalents du point de vue la divisibilite.2b) Puisque tout nombre divise 0, il n’y a pas de difficulte a etendre la notion de pgcd a uncouple (a, b) arbitraire dans Z (dans le theoreme on a examine le cas ou a et b sont > 1). Enparticulier

pgcd(a, 0) = |a| et pgcd(a,±1) = 1.

Commentaire. Le mot (( algorithme )) vient de Al Khwarizmi (790-850), un savant perse qui aecrit un livre en arabe dans le titre duquel se trouvait (( Al Djabr )), qui a donne (( algebre )).

Deux entiers a et b sont dits etrangers, ou encore premiers entre eux , ou encore co-maximaux , lorsque pgcd(a, b) = 1, (on n’a pas besoin pour cela de supposer qu’ils sont positifs,ni meme que leur valeur absolue est > 1). Cette condition equivaut a : ∃u, v ∈ Z, au + bv = 1et ceci conduit a la definition generale suivante :

Definition 1.2.2 Dans un anneau commutatif arbitraire A deux elements a, b ∈ A sont ditsetrangers, ou encore comaximaux lorsqu’il existe u, v ∈ A tels que au+ bv = 1.

Corollaire 1.2.3 Si a est etranger a b et c alors il est etranger a bc.

Demonstration. On fait le produit des deux relations de Bezout. 2

Exercices

Exercice 1.2.1 Si[g0

]=

[u vs t

] [ab

]avec ut− vs = 1, a quoi sont egaux s et t ?

Exercice 1.2.2 On peut utiliser une legere variante de la division euclidienne. On supposeseulement a, b 6= 0 (plutot que a, b > 0). Alors on peut ecrire a = bq + r avec |r| 6 |b| /2. Dansce cas donner une majoration du nombre d’etapes de l’algorithme d’Euclide ainsi modifie.

Exercice 1.2.3 Donner un algorithme en langage de programation pour l’algorithme d’Euclideetendu correspondant a la demonstration du theoreme 1.2.1.

1.3 Theoreme des restes chinois sur Z

Theoreme 1.3.1 On considere des entiers a1, . . . , an deux a deux etrangers et des entiersx1, . . . , xn arbitraires, alors il existe un entier x tel que x ≡ xi mod ai pour chaque i. Enoutre deux solutions du probleme sont congrues modulo le produit a =

∏ni=1 ai.

Demonstration.Existence. Commencons par le cas n = 2. On ecrit a1u1 + a2u2 = 1, on remarque alors que{

a1u1 ≡ 1 mod a2

a1u1 ≡ 0 mod a1et

{a2u2 ≡ 1 mod a1

a2u2 ≡ 0 mod a2


Une solution est donc x = x2(a1u1) + x1(a2u2). La difference entre deux solutions eventuellesest un multiple commun a a1 et a2, i.e. un multiple de a1a2 (car a1 et a2 sont etrangers).Cas general. Montrons d’abord que l’on peut trouver e1 tel que

e1 ≡ 1 mod a1 et e1 ≡ 0 mod ai pour i 6= 1

Pour ceci on multiplie les relations de Bezout pour chacun des couples (a1, ai). On obtient uneegalite du type

c1a1 + f1∏ni=2 ai = 1.

Alors e1 = 1 − c1a1 convient. De la meme maniere, on construit pour chaque j ∈ J1..nK un ejqui est congru a 1 modulo aj , et a 0 modulo les autres ai. Finalement on pose x =

∑j xjej .

Unicite modulo le produit des ai. Si on a deux solutions b et b′, leur difference est multiple dechacun des ai. L’unicite modulo

∏ni=1 ai resulte alors du theoreme 1.2.1 point 3. (il implique

que tout multiple commun de deux elements etrangers est multiple de leur produit) et du corol-laire 1.2.3 (qui permet de passer a n > 2). 2

Remarque. On pourrait aussi traiter d’abord le cas n = 2 en entier (existence et unicite), etterminer avec un raisonnement par recurrence sur n.

Les lemmes de Gauss et d’Euclide

Lemme 1.3.2 (lemme de Gauss)Soient a, b, c, d des entiers > 1.

1. Si pgcd(a, b) = 1 et si a divise bc alors a divise c.

2. (forme symetrique) Si pgcd(a, b) = 1 et si ad = bc alors il existe e tel que c = ae et d = be

3. (forme symetrique, la meme, dite autrement) Si pgcd(a, b) = 1, tout multiple commun a aet b est multiple de ab.

4. (cas particulier : (( lemme d’Euclide ))) Si un nombre premier p divise bc, il divise b ou ildivise c.

Demonstration. Le point 3. a deja ete demontre, sous une forme un peu plus generale : c’est letheoreme 1.2.1 3. 2

Commentaire. Le lemme d’Euclide (apparemment demontre par Gauss pour la premiere fois)est le lemme crucial quand on demontre l’uncite de la decomposition d’un nombre entier > 2 enproduit de facteurs premiers.

Exercices

Exercice 1.3.1 (systeme de congruences simultanees)On considere sur Z le systeme de congruences simultanees

x ≡ a1 mod n1...

......

...x ≡ ar mod nr

1. Dans le cas ou une solution existe montrer qu’elle est unique modulo le ppcm des nj .

2. Demontrez que le systeme admet un solution si et seulement si sont verifiees les congruencesai ≡ aj mod pgcd(ni, nj) pour 1 6 i < j 6 r.

3. Quel est le rapport avec le theoreme chinois formule en termes d’ideaux deux a deuxcomaximaux ?

1.4. Systemes d’equations lineaires sur Z 5

1.4 Systemes d’equations lineaires sur Z

Manipulations elementaires sur une matrice a coefficients entiers

On appelle manipulation elementaire sur une matrice a coefficients dans Z l’unedes transformations suivantes que l’on fait subir a la matrice :

1. Ajout a une ligne d’une combinaison lineaire (a coefficients entiers) des autres lignes.

2. Ajout a une colonne d’une combinaison lineaire (a coefficients entiers) des autres colonnes.

3. Permutation de colonnes ou de lignes.

Si la matrice, notee A, est celle d’un systeme lineaire AX = C, dont les coefficients et lesinconnues sont dans Z, nous pouvons comparer avec ce que nous savons deja dans le cas ou lescoefficients et les inconnues sont dans un corps (Q par exemple).

Comparaison avec le cas des matrices a coefficients dans QCe qui ne change pas :

– Une manipulation elementaire de lignes remplace le systeme lineaire par un systeme li-neaire equivalent dont les coefficients restent dans Z. Autrement dit le systeme lineaireest equivalent au precedent, en tant que systeme a coefficients et inconnues dans Z (passeulement dans Q).

– Une permutation de colonnes revient a changer la numerotation des inconnues.– Faire une manipulation elementaire de lignes sur A ∈ Mm,n(Z) revient a la multiplier a

gauche par la matrice U ∈ GLn(Z) obtenue a partir de In en lui faisant subir la mememanipulation elementaire.

– Faire une manipulation elementaire de colonnes sur A ∈ Mm,n(Z) revient a la multipliera droite par la matrice C ∈ GLm(Z) obtenue a partir de Im en lui faisant subir la mememanipulation elementaire.

Ce qui change :– On n’autorise pas la division d’une ligne par un element non nul : dans le cas des corps

Q, R ou C, cela permet de rendre les pivots egaux a 1.– On autorise des manipulations elementaires de colonnes. Les inconnues subissent alors

des transformations plus importantes qu’une simple renumerotation. C’est le prix a payerpour ramener le systeme lineaire a une forme diagonale. La transformation sur les in-connues n’est cependant (( pas trop grave )), car a partir de la solution obtenue avec lesnouvelles inconnues, on peut retrouver la solution avec les inconnues de depart en faisantles transformations inverses.

Le plan de travail

– algorithme qui ramene une matrice a coefficients dans Z a la forme (( diagonale )) au moyende manipulations elementaires de lignes et de colonnes

– application a la resolution (et a la discussion si le second membre est donne par desparametres) d’un systeme lineaire a coefficients dans Z.

Theoreme 1.4.1 (forme reduite (( diagonale )))On peut a l’aide des manipulations elementaires decrites precedemment, ramener toute matricea coefficients entiers a une forme reduite du type suivant :

D 0

0 0

la matrice D etant diagonale a diagonale entierement non nulle.NB : La matrice D, les colonnes de 0 ou les lignes de 0 peuvent etre absentes.


Demonstration. L’algorithme est le suivant.Si la matrice est nulle il n’y a rien a faire. Sinon . . .On repere un coefficient non nul minimum en valeur absolue, disons c.Si sa ligne et sa colonne sont nulles (hormis lui meme), on le ramene en position (1, 1), ce quidonne une matrice de la forme :

c 0

0 A′

et on doit traiter le probleme initial avec la matrice restante A′, de taille plus petite, ce qui permetde terminer par recurrence (du point de vue algorithmique on fait une boucle convenable).Sinon . . .On repere dans la ligne ou la colonne de c un coefficient non nul, disons a.

– (cas simple) Si c divise a, on utilise c comme pivot pour tuer a et on passe a un nouveaucoefficient non nul dans la ligne ou la colonne de c, s’il en reste.

– (cas decisif) Si c ne divise pas a, on peut ecrire c = aq + r avec |r| 6 |c| /2. Par unemanipulation elementaire autorisee on peut donc remplacer a par r. Maintenant r faitoffice de nouveau c, et on peut terminer par recurrence (du point de vue algorithmique onfait une boucle convenable).

Il est clair que cet algorithme termine, parce que tant que l’on n’est pas ramene au cas d’unematrice de taille plus petite, chaque etape (( decisive )) remplace le coefficient minimum en valeurabsolue par un coefficient au moins deux fois plus petit (en valeur absolue). 2

Pour voir comment cet algorithme permet la discussion complete des systemes lineaires surZ le mieux est d’examiner un exemple en detail.

Etant donne un systeme lineaire sur Z ecrit matriciellement sous la forme AX = B, onconsidere la matrice F = [A | B ]. On fait subir a F des manipulations elementaires de lignes,ce qui ne change pas les solutions du systeme, et des manipulations elementaires de colonnes,seulement sur la partie A de la matrice, ce qui revient a faire un changement d’inconnues. On doitdonc memoriser les transformations de colonnes. Pour cela on cree une matrice carree C ayantpour taille le nombre d’inconnues (i.e. le nombre de colonnes de A). Au depart cette matrice Cest egale a la matrice identite. Ensuite, chaque fois que l’on fait subir a A une manipulation decolonnes, on fait subir a C la meme manipulations de colonnes.

Un exemple

Voici un exemple traite avec Maple :

On va analyser le systeme lineaire sur Z : AX = B, avec [A | B ] = F1, la matrice F1 etant la suivante(on a mis des parametres dans le second membre B pour faire la discussion en fonction des valeurs desparametres).

Pour faire comprendre comment on choisit la manipulation que l’on va faire, on encadre le coefficientle plus petit en valeur absolue (parmi les coefficients non nuls) et on souligne, dans sa ligne ou sa colonne,le plus petit coefficient restant en valeur absolue1 (parmi les coefficients non nuls).

> F1 := matrix([[-1075, -175, 545, -850, a], [3010, 490, -1526, 2380, b], [-1489,-247, 755, -1177, c]]);

F1 :=

−1075 -175 545 −850 a

3010 490 −1526 2380 b

−1489 −247 755 −1177 c

La matrice C est donnee au depart par

> C:=LinearAlgebra[IdentityMatrix](4);

1. En fait la lectrice attentive remarquera quelques imperfections de details, sans influence sur la justesse duresultat : on n’a pas toujours souligne le coefficient optimal, et le reste de la division n’est pas toujours le restecentre.


C :=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

> F2:=addrow(F1,1,3,-1);

F2 :=

−1075 −175 545 −850 a

3010 490 −1526 2380 b

−414 -72 210 −327 −a+ c

> F3:=addrow(F2,3,1,-3);

F3 :=

167 41 −85 131 4 a− 3 c

3010 490 −1526 2380 b

−414 −72 210 −327 −a+ c

> F4:=addrow(F3,1,3,2);

F4 :=

167 41 −85 131 4 a− 3 c

3010 490 −1526 2380 b

−80 10 40 −65 7 a− 5 c

> F5:=addrow(F4,3,1,-4);

F5 :=

487 1 −245 391 −24 a+ 17 c

3010 490 −1526 2380 b

−80 10 40 −65 7 a− 5 c

> F6:=addcol(F5,2,3,245): F6:=addcol(F6,2,4,-391): F6:=addcol(F6,2,1,-487):> F6:=swapcol(F6,2,1): F6:=addrow(F6,1,2,-490): F6:=addrow(F6,1,3,-10);

F6 :=

1 0 0 0 −24 a+ 17 c

0 −235620 118524 −189210 11760 a− 8330 c+ b

0 −4950 2490 −3975 247 a− 175 c

> C6:=addcol(C,2,3,245): C6:=addcol(C6,2,4,-391): C6:=addcol(C6,2,1,-487):> C6:=swapcol(C6,2,1);

C6 :=

0 1 0 0

1 −487 245 −391

0 0 1 0

0 0 0 1

> F7:=addcol(F6,3,2,2); C7:=addcol(C6,3,2,2):

F7 :=

1 0 0 0 −24 a+ 17 c

0 1428 118524 −189210 11760 a− 8330 c+ b

0 30 2490 −3975 247 a− 175 c

> F8:=addrow(F7,3,2,-48);

F8 :=

1 0 0 0 −24 a+ 17 c

0 -12 −996 1590 −96 a+ 70 c+ b

0 30 2490 −3975 247 a− 175 c


> F9:=addrow(F8,2,3,2);

F9 :=

1 0 0 0 −24 a+ 17 c

0 −12 −996 1590 −96 a+ 70 c+ b

0 6 498 −795 55 a− 35 c+ 2 b

> F10:=addrow(F9,3,2,2): F10:=swaprow(F10,3,2) ;

F10 :=

1 0 0 0 −24 a+ 17 c

0 6 498 −795 55 a− 35 c+ 2 b

0 0 0 0 14 a+ 5 b

> F11:=addcol(F10,2,3,-83); C11:=addcol(C7,2,3,-83):

F11 :=

1 0 0 0 −24 a+ 17 c

0 6 0 −795 55 a− 35 c+ 2 b

0 0 0 0 14 a+ 5 b

> F12:=addcol(F11,2,4,133); C12:=addcol(C11,2,4,133):

F12 :=

1 0 0 0 −24 a+ 17 c

0 6 0 3 55 a− 35 c+ 2 b

0 0 0 0 14 a+ 5 b

> F13:=addcol(F12,4,2,-2): F13:=swapcol(F13,4,2);> C13:=addcol(C12,4,2,-2): C13:=swapcol(C13,4,2);

F13 :=

1 0 0 0 −24 a+ 17 c

0 3 0 0 55 a− 35 c+ 2 b

0 0 0 0 14 a+ 5 b

C13 :=

0 133 −83 −265

1 8 −4 −13

0 266 −165 −530

0 1 0 −2

On a obtenu LAC13 = A13, LB = B13 avec

– [A13 | B13 ] est la matrice F13, autrement dit

A13 =

1 0 0 00 3 0 00 0 0 0

et B13 =

−24 a+ 17 c55 a+ 2 b− 35 c

14 a+ 5 b

– L est le produit des matrices elementaires correspondant aux transformations de lignes,– C13 est le produit des matrices elementaires correspondant aux transformations de colonnes

Notons que l’egalite LB = B13 nous donne par simple lecture de B13

L =

−24 0 1755 2 −3514 5 0

Le systeme de depart AX = B equivaut a LAX = B13 donc aussi a A13Y = B13, avec X = C13Y ,Y = C−1

13 X.On a donc les conditions de compatibilite 14 a + 5 b = 0 et 55 a + 2 b − 35 c ≡ 0 mod 3 (c’est-a-dire

a− b+ c ≡ 0 mod 3). Lorsque ces conditions sont satisfaites la solution generale en (y1, y2, y3, y4) est :

y1 = −24 a+ 17 cy2 = (55 a+ 2 b− 35 c)/3y3 : arbitrairey4 : arbitraire


La solution generale en (x1, x2, x3, x4) est donnee quant a elle au moyen de deux parametres m1 = y3 etm2 = y4 qui peuvent prendre des valeurs arbitraires

x1

x2

x3

x4

=

0 133 −83 −2651 8 −4 −130 266 −165 −5300 1 0 −2

·

−24 a+ 17 c(55 a+ 2 b− 35 c)/3

m1

m2

> print(‘conditions de compatibilite: ‘, F13[3,5], ‘= 0 ‘,> F13[2,5], ‘congru 0 mod ‘, F13[2,2]);

conditions de compatibilite : , 14 a+ 5 b, = 0 , 55 a− 35 c+ 2 b, congru 0 mod , 3

> print(F13[2,5], ‘mod ‘, F13[2,2], ‘est egal a ‘, F13[2,5] mod F13[2,2]);

55 a− 35 c+ 2 b, mod , 3, est egal a , a+ c− b> X:=vector(4,[x1,x2,x3,x4]):

> W13:=evalm(C13&^(-1)); Y:=evalm(W13&*X):> y1:=Y[1]: y2:=Y[2]: y3:=Y[3]: y4:=Y[4]:> print(‘changement d’inconnues, y1=‘, y1,‘ y2=‘, y2,‘ y3=‘, y3,‘ y4=‘, y4);

changement d’inconnues, y1 = 487 x1 + x2 − 245 x3 + 391 x4 ,y2 = − 330 x1 + 166 x3 − 265 x4 , y3 = − 2 x1 + x3 , y4 = − 165 x1 + 83 x3 − 133 x4> Y[1]:= F13[1,5]/F13[1,1]; Y[2]:= F13[2,5]/F13[2,2];> Y[3]:= m1; Y[4]:= m2; X:=evalm(C13&*Y):> x1:=X[1]; x2:=X[2]; x3:=X[3]; x4:=X[4];

Y1 := −24 a+ 17 c

Y2 := 553 a− 35

3 c+ 23 b

Y3 := m1Y4 := m2

x1 := 73153 a− 4655

3 c+ 2663 b− 83m1 − 265m2

x2 := 3683 a− 229

3 c+ 163 b− 4m1 − 13m2

x3 := 146303 a− 9310

3 c+ 5323 b− 165m1 − 530m2

x4 := 553 a− 35

3 c+ 23 b− 2m2

On aurait prefere que Maple n’ecrive pas les fractions sous forme separee, i.e. par exemple qu’il ecriveplutot :

x1 =7315 a− 4655 c+ 266 b

3− 83m1 − 265m2.

On termine avec quelques verifications qui montrent au moins que l’on ne s’est pas trop trompe.

> x1-(a+c-b)/3; x2+(a+c-b)/3; x3+(a+c-b)/3;

2438 a− 1552 c+ 89 b− 83m1 − 265m2123 a− 76 c+ 5 b− 4m1 − 13m2

4877 a− 3103 c+ 177 b− 165m1 − 530m2

> A:=submatrix(F1, 1..3, 1..4);

A :=

−1075 −175 545 −850

3010 490 −1526 2380

−1489 −247 755 −1177

> AX:=evalm(A&*X);

AX :=[−475 a− 170 b 1330 a+ 476 b −672 a+ c− 240 b

]> AX1:=subs(b=-14*a/5,AX[1]); AX2:=subs(a=-5*b/14,AX[2]);AX3:=subs(b=-14*a/5,AX[3]);

AX1 := a

AX2 := b

AX3 := c


Exercices

Exercice 1.4.1

1. Montrer que a = 385 et b = 357 ont pour pgcd 7 en utilisant l’algorithme d’Euclide.

2. En deduire deux entiers u et v ∈ Z tels que ua+ vb = 7.

3. Resoudre completement dans Z2 l’equation 385x+ 357y = 0 : les inconnues sont x, y.

4. Resoudre completement dans Z2 l’equation 385x + 357y = c : les inconnues sont x, y ; cest un parametre. (Discuter suivant que c est ou non un multiple de 7.)

5. Resoudre completement dans Z3 l’equation 385x + 357y + 15z = e : les inconnues sontx, y, z et e est un parametre.

Exercice 1.4.2Resoudre completement dans Z l’equation suivante (x, y sont les inconnues, a est un parametre,la discussion se fait en fonction de la valeur de a) : 36x+ 21y = a.

Exercice 1.4.3A quelle condition necessaire et suffisante portant sur a et b (elements de Z) le systeme lineairesuivant (inconnues x, y, z ∈ Z) admet-il une solution ?{

14x+ 35y + 10z = a

5x+ 11y + 4z = b

Exercice 1.4.4

1. Calculer le pgcd g de a = 159 et b = 24 par l’algorithme d’Euclide.

2. En deduire le calcul de u et v ∈ Z tels que ua+ vb = g.

3. Resoudre completement dans Z l’equation 159x + 24y = c : les inconnues sont x, y, et cest un parametre.

4. Resoudre completement dans Z l’equation 159x + 24y + 106z = c : les inconnues sontx, y, z, et c est un parametre.

Exercice 1.4.5En application du theoreme 1.4.1 montrer que toute matrice dans GLn(Z) peut etre obtenuepar des transformations elementaires de lignes appliquees successivement a la matrice In. Si ledeterminant est egal a 1, les permutations de lignes ne sont pas necessaires.

Exercice* 1.4.6 (forme reduite de Smith, calcul rapide)On considere une matrice M ∈Mn×`(Z). On peut determiner un mineur maximal non nul, quel’on note d, par la methode du pivot de Gauss sur Q.

1. Pour eviter l’explosion dans la taille des coefficients lorsqu’on met en œuvre l’algorithmedu theoreme 1.4.1, on fait tous les calculs modulo 2d. Dire quelles precautions on doitprendre (Z/2d n’est pas vraiment un anneau principal !) pour etre certain de recuperer laforme de Smith de M .

2. Question beaucoup plus difficile : peut-on aussi recuperer pour pas cher des matrices in-versibles P et Q telles que PMQ soit en forme de Smith ?

2. Rappels sur les groupes abelienset les anneaux commutatifs

2.1 Groupes commutatifs

Definition 2.1.1 Un monoıde est un ensemble M avec une loi de composition et une cons-tante verifiant des proprietes (ou axiomes) convenables. La structure est decrite sous le format(M, ·, e).La loi · est une loi binaire, e est une constante.Les axiomes sont les suivants :

1. e · a = a · e = a (element neutre)

2. a · (b · c) = (a · b) · c (associativite)

Le monoıde est dit commutatif si la loi · est commutative

Remarques. 1) e est l’unique element neutre (a droite et a gauche) pour la loi ·.2) L’associativite permet de supprimer les parentheses, par exemple (a · (b · c)) · d se reecrit sansambiguite a · b · c · d.3) Un element x d’un monoıde est dit idempotent si l’on a x · x = x.

Definition 2.1.2 Un groupe commutatif est un ensemble G avec des lois de composition etune constante verifiant des proprietes (ou axiomes) convenables. La structure est decrite sous leformat (G,+,−, 0G).La loi + est une loi binaire, la loi − est une loi unaire, 0G est une constante.Les axiomes sont les suivants :

1. a+ b = b+ a (commutativite)

2. a+ (b+ c) = (a+ b) + c (associativite)

3. a+ 0G = a (element neutre)

4. a+ (−a) = 0G (oppose)

Remarque. On dit aussi groupe abelien a la place de groupe commutatif.

On adopte la convention usuelle d’ecriture : a+ (−b) = a− b.Dans le second membre, le symbole − peut alors etre interprete comme une loi binaire, dite

de soustraction. Cependant dans l’ecriture −a+ b− c le premier symbole − est necessairementlu comme une loi unaire.

Dans un groupe commutatif (note additivement), 0 est l’unique element verifiant 0 + y = ypour tout y, et −x est l’unique element verifiant x + (−x) = 0. Pour cette raison (unicite),on omet parfois de donner la loi unaire − et la constante 0 comme elements constitutifs de lastructure de groupe. Cette prise de position ne tient pas la route si l’on veut implementer unestructure de groupe sur machine : on doit alors donner l’element 0 et la loi x 7→ −x de maniereexplicite.

12 2. Groupes et anneaux commutatifs

Remarque. Il arrive souvent qu’une loi de groupe soit notee ×, ◦ ou · , ou meme sans aucunsymbole. On dit alors que le groupe est note multiplicativement. La notation pour le neutren’est plus 0, mais 1 ou e, ou encore autre chose, de meme l’oppose de a n’est plus note −a maisa−1. Dans ce cas on parle par exemple du groupe (G, · , a 7→ a−1, 1G).

Addition (ou loi binaire) repeteeOn considere un groupe G en notation additive. On definit une (( loi externe )) (n, x) 7→ n · x(generalement note seulement nx), pour n ∈ Z et x ∈ G. Cela se definit comme suit :

• 0Z · xdef= 0G

• 1 · x def= x

• n · x def= x+ · · ·+ x (n fois) si n > 2

• (−1) · x def= −x

• (−n) · x def= −(n · x) = (−x) + · · ·+ (−x) (n fois) si n > 2

On verifie alors que(n+Z m) · x = (n · x) +G (m · x) et m · (n · x) = (mn) · x pour tous m,n ∈ Z.

Notez la ressemblance avec quelque chose de familier : la loi externe dans le cas d’un espacevectoriel possede les memes proprietes.

Remarque. En notation multiplicative :

• a0 def= 1, a1 def= a, an def= a · · · a (n fois) si n > 2,

• a−1 def= a−1 ( ! ! !), a−n def= (an)−1 = a−1 · · · a−1 (n fois) si n > 2,

• avec les proprietes a(n+m) = an · am, a(mn) = (am)n.

Homomorphismes de groupes abeliens, isomorphismes

Ce qui suit est tout a fait similaire a ce que l’on a vu pour les applications lineaires entreespaces vectoriels. Dans le cas des groupes, on ne parle plus d’application lineaire mais d’homo-morphisme, ou de morphisme .

Theoreme et definition 2.1.3 On considere deux groupes (G,+,−, 0) et (G′,+′,−′, 0′).1. Un homomorphisme de G dans G′ est une application h : G → G′ qui (( conserve les

lois )), i.e. pour tous x, y dans G :

(a) h(x+ y) = h(x) +′ h(y)

(b) h(−x) = −′h(x)(c) h(0) = 0′

2. En fait, il suffit que la propriete 1a) soit satisfaite pour que h soit un homomorphisme.

3. Un homomorphisme bijectif est appele un isomorphisme. Dans ce cas, la bijectionreciproque est egalement un homomorphisme, donc un isomorphisme.

Exemple. Les applications log et exp sont deux isomorphismes reciproques entre les groupes(R+,×, x 7→ x−1, 1) et (R,+,−, 0).

Lemme 2.1.4

1. Un homomorphisme de groupes commutatifs h : G → G′ est injectif si et seulement sih−1(0) = {0}. On note Kerh = h−1(0) et on l’appelle le noyau de h.

2. Le compose de deux homomorphismes G1 → G2 et G2 → G3 est un homomorphisme.

2.1. Groupes commutatifs 13

3. Les automorphismes d’un groupe commutatif forment un groupe (en general non commu-tatif) pour la composition.

Fait 2.1.5 Soit (G,+,−, 0) un groupe commutatif et a ∈ G. L’application

µa,G : Z −→ G, n 7−→ n · a (2.1)

est l’unique homomorphisme de Z dans G qui envoie 1 sur a.

Remarque. Voici l’enonce correspondant en notation multplicative pour le groupe (Q+, · ) :l’application n 7→ an, Z→ Q+ est l’unique homomorphisme de Z dans Q+ qui envoie 1 sur a.

Le groupe des morphismes de G vers H

Notons HomGroupes(G,H) l’ensemble des morphismes du groupe G dans le groupe H.

Lemme 2.1.6 Soient G,H deux groupes abeliens1.

1. Il existe une structure naturelle de groupe sur l’ensemble E = HomGroupes(G,H) definiecomme suit :

ϕ+E ψdef= (x 7−→ ϕ(x) + ψ(x))

−E ϕdef= (x 7−→ −ϕ(x))

0Edef= (x 7−→ 0H)

2. L’application

µG : G −→ HomGroupes(Z, G), a 7−→ µa,G

est un isomorphisme de groupes.

Sous-groupes

Definition 2.1.7 Un sous-groupe H d’un groupe G est une partie stable par les operations+, − qui contient l’element 0G.

Dans un tel cas, H est muni d’une structure de groupe pour les lois induites par +, − et laconstante 0G. En outre l’injection canonique H → G est un homomorphisme. Un tel homomor-phisme est appele un homomorphisme d’inclusion , ou encore une inclusion .

Fait 2.1.8 Si ϕ : G → G′ est un homomorphisme de groupes, l’image Imϕ = ϕ(G) est unsous-groupe de G′, et le noyau Kerϕ = ϕ−1(0) est un sous-groupe de G.

Fait 2.1.9 Si C est une partie d’un groupe abelien G il existe un sous-groupe de G, note 〈C〉,qui est le plus petit-sous groupe de G contenant C. Il est forme par les sommes

∑ki=1mixi, ou

les mi ∈ Z et les xi ∈ C. On dit que 〈C〉 est le sous-groupe de G engendre par C.

Un groupe abelien G est dit de type fini s’il est engendre par une partie finie.

1. Ce lemme n’est valable que parce que les groupes consideres sont abeliens.


Somme et produit de groupes abeliens

Si H1 et H2 sont deux sous-groupes de G, alors l’intersection H1 ∩H2 est un sous-groupe deG, la reunion H1 ∪ H2 engendre le sous-groupe H1 + H2 = {h1 + h2 | h1 ∈ H1, h2 ∈ H2 }, quiest appele la somme de H1 et H2.

Si en outre on a(h1 ∈ H1, h2 ∈ H2, h1 + h2 = 0) =⇒ h1 = h2 = 0,

on dit que les sous-groupes H1 et H2 sont en somme directe et l’on ecrit H1 ⊕ H2 pourH1 +H2.

Si H1 ⊕H2 = G on dit que G est somme directe interne de H1 et H2 et que H2 est unsupplementaire de H1 dans G. Un sous-groupe H de G est dit facteur direct dans G s’ilpossede un supplementaire dans G.

Plus generalement. Soit (Hi)i∈I est une famille de sous-groupes de G.

1. La reunion⋃i∈I Hi engendre le sous-groupe∑

i∈I Hi ={∑

j∈J hj | hj ∈ Hj , J une partie finie de I},

qui est appele la somme des Hi.

2. Si en outre on a pour toute partie finie J de I

(hj ∈ Hj ,∑

j∈J hj = 0) =⇒ ∀j ∈ J, hj = 0,

on dit que les sous-groupesHi sont en somme directe et l’on ecrit⊕

i∈I Hi pour∑

i∈I Hi.

Nous fixons le contexte suivant pour la fin du paragraphe.

Soit (Gi)i∈I une famille de groupes abeliens, et G =∏i∈I Gi

l’ensemble produit cartesien de la famille, c’est-a-dire l’ensemble des familles(xi)i∈I telles que chaque xi est dans Gi.

Notons πk : G→ Gk la projection canonique (xi)i∈I 7→ xk.

Proposition et definition 2.1.10 Il existe une unique structure de groupe abelien sur G quifasse de chaque πk un homomorphisme de groupes. Par exemple en notation additive, lorsquel’on note les structures sous la forme (Gi,+Gi ,−Gi , 0Gi) et (G,+G,−G, 0G) on a les egalitessuivantes.

(xi)i∈I +G (yi)i∈I = (xi +Gi yi)i∈I , 0G = (0Gi)i∈I et −G (xi)i∈I = (−Gixi)i∈I .

On dit que G est le groupe produit de la famille (Gi)i∈I . Lorsque I = {1, . . . , n} on noteaussi G1 × · · · ×Gn.Cas particulier : lorsque tous les groupes Gi sont egaux a un meme groupe H on note HI pourle produit

∏i∈I H.

Lemme 2.1.11 Soient H1 et H2 deux sous-groupes d’un groupe abelien G. On a un homomor-phisme naturel

H1 ×H2 −→ H1 +H2, (h1, h2) 7−→ h1 + h2.

Cet homomorphisme est un isomorphisme si et seulement si H1 ∩ H2 = {0} c’est-a-dire siH1 +H2 = H1 ⊕H2.

Proposition 2.1.12 Il revient au meme de donner un homomorphisme ϕ : H →∏i∈I Gi, ou

de donner une famille d’homomorphismes (ϕi)i∈I , ou chaque ϕi est un homomorphisme de Hdans Gi. Precisement, pour un ϕ donne, on definit la famille (ϕi)i∈I par

πk ◦ ϕ = ϕk.


Reciproquement si la famille (ϕi)i∈I est donnee il faut definir ϕ parϕ(x) = (ϕi(x))i∈I .

Sous forme plus abstraite, l’applicationHomGroupes(H,

∏i∈I Gi) −−→

∏i∈I(HomGroupes(H,Gi)), ϕ 7−→ (πi ◦ ϕ)i∈I

est une bijection et meme un isomorphisme de groupes.

Pour chaque k ∈ I notons k : Gk → G l’homomorphisme naturel qui a x ∈ Gk associe lafamille k(x) = (yi)i∈I definie par yi = 0 si i 6= k et yk = x.

Definition 2.1.13 Les sous-groupes k(Gk) sont en somme directe dans G et le sous-groupe∑i∈I i(Gi) est note (par abus)

⊕i∈I Gi. On dit que

⊕i∈I Gi est le groupe somme directe

(externe) de la famille (Gi)i∈I .

Remarque.– Le groupe

⊕i∈I Gi est donc l’ensemble des familles (xi)i∈I telles que tous les xi sauf un

nombre fini sont nuls.– Dans le cas ou I est fini, on a

⊕i∈I Gi =

∏i∈I Gi. Ceci justifie que l’on note G1×· · ·×Gn

egalement sous la forme G1 ⊕ · · · ⊕Gn.– Pour x = (xi)i∈I ∈

⊕i∈I Gi, on dit que xk est la coordonnee de x pour l’indice k.

– Cas particulier : lorsque tous les groupes Gi sont egaux a un meme groupe H on note H(I)

pour la somme directe⊕

i∈I H.

Proposition 2.1.14 Il revient au meme de donner un homomorphisme ϕ :⊕

i∈I Gi → H, oude donner une famille d’homomorphismes (ϕi)i∈I , ou chaque ϕi est un homomorphisme de Gidans H. Precisement, l’application

HomGroupes(⊕

i∈I Gi,H) −→∏i∈I(HomGroupes(Gi,H)), ϕ 7−→ (ϕ ◦ i)i∈I

est une bijection et meme un isomorphisme de groupes.

Si la famille (ϕi)i∈I est donnee l’element correspondant ϕ de HomGroupes(⊕

i∈I Gi,H) estdefini par

ϕ(x) = ϕ((xi)i∈I) =∑

j∈J xj ,

ou J est une partie finie de I contenant tous les indices a coordonnee non nulle pour x.

Exemple. Le groupe additif d’un anneau de polynomes A[X] est isomorphe a A(N) : au polynomef(X) on fait correspondre la suite (infinie) de ses coefficients, tous nuls sauf pour un nombrefini d’entre eux.

Groupes abeliens quotients

Ensemble quotient

Rappelons que l’on definit l’ensemble quotient d’un ensemble E par une relation d’equi-valence ∼, souvent note E/∼, au moyen des conventions suivantes :

– Un element arbitraire x de E/∼ est toujours donne par un element x de E.On peut ecrire x := x mod ∼ .

– L’egalite dans E/∼ est definie par :x = y dans E/∼ ⇐⇒ x ∼ y dans E.

On a alors l’application surjectiveπE,∼ : E −→ E/∼ , x 7−→ x := x mod ∼

qui est appelee la projection canonique de E sur E/∼ .


Decomposition canonique d’une application

Lorsqu’on a une application ϕ : E → F , la relation

x ∼ x′ def⇐⇒ ϕ(x) = ϕ(x′)

est une relation d’equivalence sur E et l’on obtient une decomposition canonique de ϕ sous laforme ϕ = j ◦ θ ◦ π

E

j��

ϕ // F

E/∼θ

// ϕ(E)

π

OO

ou π = πE,∼ est la projection canonique, j l’injection canonique et θ une bijection. Ce genre dedecomposition se particularise souvent comme dans le point 2. du theoreme 2.1.15, pour lequelles 4 applications sont des morphismes de groupes.

Congruence modulo un sous-groupe

LorsqueH est un sous-groupe d’un groupe abelienG, on definit surG la congruence modulo H

x ≡ y mod Hdef⇐⇒ x ∈ y +H = {x+ h | h ∈ H }

qui est une relation d’equivalence. L’ensemble quotient est note G/H et il est muni d’une struc-ture de groupe (unique) qui fait de la projection canonique G → G/H un homomorphisme degroupes. On dit que G/H est le groupe quotient de G par le sous-groupe H (en fait il s’agitd’une abreviation pour : groupe quotient de G par la congruence modulo H).

Theoreme 2.1.15

1. (theoreme de factorisation) Soit H un sous-groupe d’un groupe abelien G. Pour qu’unhomomorphisme ψ : G→ K se factorise par G/H il faut et suffit que H ⊆ Kerψ.

Dans un tel cas l’homomorphisme G/Hψ1−→ K qui realise la factorisation est unique.

Autrement dit ψ1 est l’unique morphisme de groupes G/H → K tel que ψ1 ◦ π = ψ.Dans toute la suite du cours, on donne une version imagee des theoremes de factori-sation unique au moyen de dessins du style suivant : la fleche en trait-tiret indique quel’on cherche une factorisation, le point d’exclamation indique qu’elle existe et qu’elle estunique.

G

π��

ψ

%%LLLLLLLLLLLL

G/Hψ1 !

//_____ K

homomorphisme qui s’annule sur H

2. (decomposition canonique d’un morphisme)Tout homomorphisme ϕ : G→ K de groupes abeliens se decompose sous forme

ϕ = j ◦ θ ◦ π, G

j��

ϕ // K

G/Kerϕθ

// ϕ(G)

π

OO

– π : G→ G/Kerϕ est la projection canonique,– j : ϕ(G)→ K est l’homomorphisme d’inclusion et– θ : G/Kerϕ → ϕ(G) est un isomorphisme.


En particulier tout homomorphisme surjectif G → K permet d’identifier K a un modulequotient de G, via l’isomorphisme G/Kerϕ → K obtenu par factorisation.

Exemples. 1) Notons Q+ = {x ∈ Q | x > 0 }. Le theoreme fondamental de l’arithmetique (de-composition unique d’un nombre entier en produit de facteurs premiers) implique pour le groupemultiplicatif (Q+,×) la structure suivante : Q+ ' Z(P ), ou P est l’ensemble des nombres pre-miers : tout element r ∈ Q+ s’ecrit sous forme pmp1

1 · · · pmpkk avec les pi premiers distincts et

mp1 , . . . ,mpk∈ Z ; ainsi a r on fait correspondre la famille des exposants (presque tous nuls)

mp ∈ Z pour p ∈ P .2) Plus generalement si A est un anneau factoriel et K son corps de fractions, on a un isomor-phisme K×/A× ' Z(P ), ou P est un systeme de representants des elements irreductibles. Cetisomorphisme est egalement significatif par le fait qu’il respecte aussi les structures d’ordrenaturelles sur ces deux groupes :

– sur le premier la relation d’ordre est donnee par la divisibilite (x | y def⇐⇒ y/x ∈ A),– sur le second la relation d’ordre est l’ordre produit.

Sous-groupes et quotients d’un groupe quotient

Proposition 2.1.16 Soit H un sous-groupe d’un groupe abelien G et π : G → G/H la projec-tion canonique. L’application

K 7−→ π−1(K)

etablit une bijection croissante entre les sous-groupes de G/H d’une part et les sous-groupes deG contenant H d’autre part. Cette bijection transforme sommes et intersections en sommes etintersections. La bijection reciproque est L 7→ π(L) ' L/H. En outre pour des sous-groupesK2 ⊆ K1 ⊆ G/H, en notant Li pour π−1(Ki), l’homomorphisme obtenu en composant les deuxhomomorphismes naturels

L1 −→ K1 −→ K1/K2

donne par le theoreme de factorisation un isomorphisme

L1/L2∼−→ K1/K2.

On peut reecrire cet isomorphisme sous la forme

L1/L2∼−→ (L1/H)/(L2/H).

Proposition 2.1.17 Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe abelien G. Alors l’homo-morphisme obtenu en composant les deux homomorphismes naturels

H −→ H +K −→ (H +K)/K

donne par le theoreme de factorisation un isomorphisme

H/(H ∩K) ∼−→ (H +K)/K.

Exercices

Exercice 2.1.1 Decrire les sous-groupes de Z et ceux de Z/nZ (n ∈ N∗).

Exercice 2.1.2 Soient n,m ∈ N∗.

1. Decrire les homomorphismes de Z/nZ dans un groupe abelien arbitraire G.

2. Decrire le groupe HomGroupes(Z/nZ,Z/mZ). Quand est-il reduit a 0 ?


2.2 Anneaux commutatifs

Definition 2.2.1 Un anneau (unitaire) est un ensemble A avec des lois de composition et desconstantes verifiant des proprietes (ou axiomes) convenables. La structure est decrite sous leformat (A,+,−,×, 0A, 1A).Les lois + et × sont des lois binaires, la loi − est une loi unaire, 0A, 1A sont deux constantes.Les axiomes sont les suivants :

1. (A,+,−, 0A) est un groupe commutatif.

2. (A,×, 1A) est un monoıde.

3. a× (b+ c) = (a× b) + (a× c), (b+ c)× a = (b× a) + (c× a) (distributivite a gauche et adroite de la multiplication sur l’addition)

Les regles de distributivite peuvent se reformuler en disant que pour tout a, les applicationsx 7→ ax et x 7→ xa sont des endomorphismes du groupe additif (A,+,−, 0). En particulier ellesimpliquent que a× 0 = 0× a = 0 ainsi que a× (−b) = −(a× b) = (−a)× b.

Dans un anneau unitaire 1A est l’unique element e verifiant ex = xe = x pour tout x.Notons que x + x = x implique x = 0, mais que l’equation e × e = e admet au moins les

deux solutions 1 et 0.

Dans les formules ecrites on omet en general le signe × et on applique la regle de priorite(facilitee visuellement par l’ommission du signe ×) qui demande de lire a + bc comme a + (bc)et non pas comme (a+ b)c.

Fait 2.2.2 Un anneau A est reduit a son seul element 0A si et seulement si 1A = 0A. Un telanneau est dit trivial ou nul.

Un anneau est dit commutatif si la multiplication est commutative.On peut supprimer l’exigence de l’element neutre pour × auquel cas on parle d’anneau sans

la mention (( unitaire )).

Comme ce cours est consacre a 99% aux anneaux commutatifs unitaires,on applique dans la suite la convention terminologique locale selon laquelle

(( anneau )) vaut pour (( anneau commutatif unitaire )).Les rares cas contraires seront clairement mentionnes.

Quelques definitions et proprietes elementaires reliees a la structure d’anneau

Nous supposons que A est un anneau commutatif unitaire.

– Un morphisme (ou homomorphisme) d’un anneau A vers un anneau B est un mor-phisme ϕ du groupe (A,+,−, 0) vers le groupe (B,+,−, 0) qui, en outre, preserve lamultiplication (ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y)) et l’element neutre (ϕ(1A) = 1B).

– Un element a ∈ A est dit inversible (dans A) s’il existe b ∈ A tel que ab = 1. On ditaussi (( a est une unite de l’anneau A )).L’ensemble des elements inversibles de l’anneau A est note A×, on obtient ainsi le groupedes unites (A×,×, x 7→ x−1, 1A). Par exemple Z× = {±1}.On notera A∗ l’ensemble A \ {0}, a ne pas confondre avec A×.

– Un anneau (commutatif unitaire) non trivial dans lequel tout element non nul est inversi-ble est appele un corps. Cela revient a dire que les elements non nuls de l’anneau formentun groupe pour ×, c’est-a-dire que A∗ = A×.

– L’expression (( corps )) sous-entend toujours (( commutatif )).Dans le cas non commutatif on parle de (( corps gauche )) ou d’(( algebre a division )) (di-vision ring dans les livres ecrits en anglais).

2.2. Anneaux commutatifs 19

– L’element a de A est dit regulier si l’on a droit a la regle de simplification ax = ay ⇒x = y ; c’est-a-dire si x 7→ ax est injective. Comme x 7→ ax est un endomorphisme dugroupe additif (A,+,−, 0), cela revient a dire que ax = 0⇒ x = 0.

– Un element x non nul et non regulier est appele un diviseur de zero. On a alors x et ynon nuls avec xy = 0.

– Tout element inversible est regulier.– Un anneau dans lequel tout element non nul est regulier est appele un anneau integre .

On lit parfois : domaine d’integrite . Tout corps est un anneau integre.

Premiers exemples

On ne mentionne pas les lois lorsqu’elles sont (( bien connues )).

• Q, R, C sont des corps.

• Z est un anneau integre. Les seuls elements inversibles sont ±1.

• Z/nZ. Le fait (( on a le droit de calculer modulo n )) peut s’interpreter au moyen des deuxaffirmations suivantes.

1. Si l’on identifie deux entiers des qu’ils sont egaux modulo n, on obtient encore un anneaucommutatif, que l’on note Z/nZ.

2. En notant a l’entier a modulo n, l’application x 7→ x de Z dans Z/nZ conserve les lois +,− et ×.

Si plusieurs modules interviennent on pourra utiliser des notations comme a, a◦, a•, a . . .

Fait 2.2.3 L’anneau Z/nZ est un corps si et seulement si n est un nombre premier.

• Lorsque p est un nombre premier on note Fp le corps Z/pZ. On peut construire a partir deFp des corps finis plus grands. Voici un exemple : on verifie que dans F7, −1 n’est pas un carre.On peut alors rajouter de maniere purement formelle la racine carree de −1, que l’on note parexemple i. Un element du corps obtenu, note Fp[i] s’ecrit de maniere unique a + ib avec a et bdans F7. On verifie facilement que l’on obtient bien un corps, qui a 49 elements.

• Z[X] est un anneau integre. Pour tout anneau integre A l’anneau des polynomes A[X] estintegre.

• Mn(Q) ou Mn(Z) ou Mn(R) sont des anneaux unitaires, non commutatifs (si n > 1) avec desdiviseurs de zero (si n > 1).

• Si (H,+) est un groupe commuatif, le groupe abelien

EndGroupes(H) def= HomGroupes(H,H)

peut etre muni d’une structure naturelle d’anneau (en general non commutatif) en prenant pourloi produit la composition des applications

(h1, h2) 7−→ h1 ◦ h2

L’element neutre pour la multiplication est IdH .

• De maniere analogue si V est un espace vectoriel reel, on obtient pour les endomorphismes de Vla structure (EndR(V ),+,−, ◦, 0, IdV ) qui est un anneau unitaire (en general non commutatif).

Sous-anneaux

Definition 2.2.4 Un sous-anneau A d’un anneau B est une partie stable par +, −, × quicontient les elements 0B et 1B.


Dans un tel cas, A est muni d’une structure d’anneau pour les lois induites par +, − et ×et les constantes 0B et 1B.

En outre l’injection canonique A → B, x 7→ x est un homomorphisme. Un tel homomor-phisme est appele un homomorphisme d’inclusion , ou encore une inclusion .

Remarque. On aurait pu simplement demander dans la definition 2.2.4 que A contienne −1 etsoit stable par + et ×.

Fait 2.2.5 Si ϕ : A→ B est un homomorphisme d’anneaux, l’image ϕ(A) est un sous-anneaude B, et l’application A→ ϕ(A) qui en decoule est un homomorphisme surjectif d’anneaux.En bref tout homomorphisme d’anneaux se decompose naturellement en un homomorphismesurjectif suivi d’une inclusion.

Considerons un homomorphisme injectif d’anneaux A→ B. Alors l’application A→ ϕ(A)qui en decoule est un isomorphisme d’anneaux.

En bref la difference qui separe d’un homomorphisme injectif d’une inclusion est presqueimperceptible : un homomorphisme injectif est un isomorphisme suivi d’une inclusion.

Sous-anneau engendre par . . .

Fait 2.2.6 Soit A un anneau.

1. Il existe un unique homomorphisme d’anneau Z → A, le sous-anneau image est aussi lesous-groupe additif engendre par 1.Dans la suite on note ZA ou Z ce sous-anneau de A.

2. Z est le plus petit sous-anneau de A.

3. Si l’homomorphisme Z→ A est injectif, Z est isomorphe a Z.Sinon, si n est le plus petit entier > 0 tel que n ·1A = 0A, Z est isomorphe a Z/nZ. On ditque n est la caracteristique de A. L’anneau nul est le seul anneau de caracteristique 1.

Soient A ⊆ B des anneaux et x ∈ B. Le (( plus petit sous-anneau de B contenant A et x ))

existe : c’est l’ensemble des y ∈ B qui peuvent s’ecrire sous la forme

y = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n

pour un entier n et des elements a0, . . . , an dans A.Ce sous-anneau est en general note A[x], ce qui peut conduire a une certaine confusion avecl’anneau des polynomes en une indeterminee, mais fort heureusement A[X] est le plus petitsous-anneau de A[X] contenant A et X.

Plus generalement on peut se poser le probleme suivant :

Montrer qu’existe et decrire le plus petit sous-anneau de Bcontenant une partie donnee C de B

Un argument tres abstrait pour affirmer qu’un tel (( plus petit sous-anneau contenant C ))

existe consiste a considerer l’ensemble

C =⋂

D∈A, C⊆D

D

ou A est (( l’ensemble de tous les sous-anneaux de B )). On verifie que C est un sous-anneau deB qui repond a la question posee.

Une construction plus explicite de ce sous-anneau procede par recurrence comme suit.Tout d’abord pour deux parties E et F de B on definit E + F = {x+ y | x ∈ E, y ∈ F } etE · F = {xy | x ∈ E, y ∈ F }. Ensuite :


– On definit C0 = C ∪ {0, 1,−1}.– On definit C1 = C0 + C0.– On definit C2 = C1 · C1.– Plus generalement

– pour k pair > 2, on pose Ck+1 = Ck + Ck, et– pour k impair > 3, on pose Ck+1 = Ck · Ck.

Enfin on pose C =⋃k∈NCk. On voit facilement que C est bien un sous-anneau et qu’il est

contenu dans tout sous-anneau de B contenant C.

Notons que cette construction fonctionne aussi dans le cas d’un anneau non commutatif Bmais que celle donnee pour A[x] ne conviendrait pas : l’ensemble decrit ci-dessus n’est pas apriori stable par produit : par exemple axbx ne se reecrit pas a priori sous la forme cx2.

Corps des fractions d’un anneau integre

On peut construire le corps des fractions d’un anneau integre.Tout anneau integre s’identifie a un sous-anneau de son corps des fractions.

Ideaux, anneaux quotients

Calculer modulo un ideal

On a vu que l’on peut calculer modulo n dans Z. On a vu que cela revient a dire que l’onpeut definir un anneau Z/nZ tel que l’application naturelle

πn : Z −→ Z/nZ, x 7−→ x

soit un homomorphisme surjectif d’anneaux. Le noyau de cet homomorphisme n’est autre quele sous-groupe nZ de Z. Ainsi Z/nZ est l’ensemble quotient de Z pour la relation d’equivalence(( congruence modulo n )) et il est muni d’une structure d’anneau.

De maniere generale si I est un sous-groupe additif de (A,+) pour un anneau (A,+,×), onse pose la question :

Peut-on (( calculer modulo I )) ?

La reponse est que I doit etre un ideal de A. Elle est precisee dans la proposition suivante.

Proposition et definition 2.2.7 Un ideal d’un anneau A est un sous-groupe pour l’additionqui verifie la propriete :

∀a ∈ I, ∀x ∈ A, xa ∈ I.

Dans un tel cas il y a une unique structure d’anneau sur le groupe quotient A/I pour laquellela projection canonique πA,I : A→ A/I soit un homomorphisme d’anneau.L’anneau A/I ainsi defini s’appelle l’anneau quotient de A par l’ideal I.

Remarques.1) La question encadree peut se reformuler dans un cadre tres general et en termes abstraitscomme suit : (( lorsque A est un anneau et ∼ une relation d’equivalence sur A, a quelle conditionsur ∼ peut-on munir l’ensemble quotient d’une structure anneau de facon a ce que la surjectioncanonique x 7→ x soit un homomorphisme d’anneaux ? )).La reponse est que la relation d’equivalence est necessairement la congruence modulo un sous-groupe, et que ce sous-groupe doit en outre etre un ideal.2) On a KerπA,I = I. Tout ideal est donc le noyau de la projection canonique qu’il definit. On vabientot voir la reciproque (theoreme 2.2.11) : tout noyau d’un homomorphisme d’anneaux est unideal. En outre, le theoreme theoreme 2.2.11 implique que si ϕ : A→ B est un homomorphismesurjectif d’anneau, alors on se trouve, a isomorphisme unique pres, exactement dans la situationπA,I : A→ A/I .


3) Un ideal I de A contient un element inversible si et seulement si il contient 1, si et seulementsi I = A, si et seulement si l’anneau quotient est nul. Un ideal qui ne contient pas 1 est appeleun ideal propre .4) Indiquons ce qui se passe lorsque A est un anneau non commutatif. On dit qu’un sous-groupeadditif I de A est un ideal a gauche si (( ∀a ∈ I, ∀x ∈ A, xa ∈ I )), on dit que c’est unideal a droite si (( ∀a ∈ I, ∀x ∈ A, ax ∈ I )). Un sous-groupe additif qui est a la fois unideal a gauche et a droite est appele un ideal ou encore un ideal bilatere . La propositionprecedente s’applique alors dans le cadre non commutatif, en prenant bien soin que ideal signifieideal bilatere.

Fait 2.2.8 Si a1, . . . , an ∈ A, le plus petit ideal qui contient ces elements existe, il est egal a

a1A + · · ·+ anA,

ou aA def= { ax | x ∈ A }. Il est souvent note 〈a1, . . . , an〉A, ou 〈a1, . . . , an〉 si le contexte fixeclairement l’anneau A. On dit que c’est un ideal de type fini parce qu’il est engendre par unnombre fini d’elements.

Calculer modulo cet ideal, c’est calculer a la fois modulo a1, modulo a2, . . ., modulo an.Un ideal aA = 〈a〉 engendre par un seul element est appele un ideal principal .

Exemples. 1) Un corps K possede exactement deux ideaux : 〈0〉 = {0} et 〈1〉 = K.2) Tous les ideaux de type fini de l’anneau Z sont principaux. En effet, si g est le pgcd de m etn alors gZ = mZ + nZ.3) Le meme resultat s’applique pour K[X] si K est un corps, car l’algorithme d’Euclide sur Zfonctionne (( presque a l’identique )) sur K[X]. Cela montre que pour deux polynomes M et Ndans K[X], il y a un diviseur commun de la forme G = AM +BN , de sorte que 〈M,N〉 = 〈G〉.4) L’ideal 〈3, X〉 de Z[X] n’est pas principal. L’ideal

⟨9, 3X,X2

⟩de Z[X] ne peut pas etre

engendre par seulement 2 elements. Signalons que la description complete des ideaux de Z[X]est assez compliquee.

Operations sur les ideaux

La proposition qui suit generalise le fait 2.2.8.

Proposition 2.2.9 Si P est une partie de l’anneau A, l’ideal engendre par P existe :

Idef=

{x ∈ A | ∃n ∈ N, ∃x1, . . . , xn ∈ P, ∃a1, . . . , an ∈ A, x =

∑n

i=1aixi

}est un ideal, c’est le plus petit ideal de A contenant P .

NB : Si n = 0 la somme est vide et (par convention) egale a 0.

Proposition et definition 2.2.10 Soient I et J deux ideaux de A :1. I + J et I ∩ J sont aussi des ideaux de A.2. Les deux ideaux I et J sont dits comaximaux lorsque 1 ∈ I + J .3. – on definit IJ = { z ∈ A | ∃n ∈ N, x1, . . . , xn ∈ I, y1, . . . , yn ∈ J, z =

∑ni=1 xiyi }

(attention a la notation IJ , elle prete a confusion).– IJ est un ideal de A, appele le produit des ideaux I et J .– Si I = 〈a1, . . . , ak〉 et J = 〈b1, . . . , b`〉 alors IJ = 〈a1b1, . . . , aibj , . . . , akb`〉.– Ce produit est associatif, commutatif, et distributif par rapport a l’addition des ideaux.

4. On a (I ∩ J)2 ⊆ IJ ⊆ I ∩ J.

La notion d’ideaux comaximaux redonne dans le cas d’ideaux principaux la notion d’elementsetrangers, ou comaximaux (definition 1.2.2).


Ideaux comme noyaux d’homomorphismes, theoreme de factorisation

Theoreme 2.2.11

1. Si ϕ : A → B est un homomorphisme d’anneaux, son noyau Kerϕ = ϕ−1(0) est un idealde A et son image est un sous-anneau de B.

2. (theoreme de factorisation) Soit I un ideal de A. Pour qu’un homomorphisme d’anneauψ : A→ B se factorise par A/I il faut et suffit que I ⊆ Kerψ.

Dans un tel cas l’homomorphisme A/Iψ1−→ B qui realise la factorisation est unique.

A

π��

ψ

%%KKKKKKKKKKKK

A/Iψ1 !

//_____ B

homomorphisme qui s’annule sur I

3. (decomposition canonique d’un morphisme)Tout homomorphisme d’anneaux ϕ : A→ B se decompose sous forme

ϕ = j ◦ θ ◦ π, A

j��

ϕ // B

A/Kerϕθ

// ϕ(A)

π

OO

– π : A→ A/Kerϕ est la projection canonique,– j : ϕ(A)→ B est l’homomorphisme d’inclusion et– θ : A/Kerϕ → ϕ(A) est un isomorphisme.En particulier tout homomorphisme surjectif d’anneaux A → B permet d’identifier B aun anneau quotient de A, via l’isomorphisme A/I → B obtenu par factorisation.

Proposition 2.2.12 (quotients et sous-anneaux)Si I est un ideal de A et A1 un sous-anneau de A alors A1 +I est un sous anneau de A, A1∩Iest un ideal de A1 et le theoreme de factorisation donne un isomorphisme canonique :

A1/(A1 ∩ I) ∼−→ (A1 + I)/I .

Proposition 2.2.13 (ideaux d’un anneau quotient)Soit I un ideal de A, B = A/I et π : A→ B la projection canonique.

1. L’application J 7→ π−1(J) etablit une bijection entre– les ideaux de B d’une part et– les ideaux de A qui contiennent I d’autre part.

2. Cette bijection est croissante, elle transforme les sommes et intersections en sommes etintersections.

3. Si I1 ⊇ I alors on obtient par le theoreme de factorisation un isomorphisme canonique

A/I1∼−→ B/π(I1) ,

ce que l’on peut ecrire sous forme d’une (( simplification de fraction )) :

(A/I )/( I1/I ) ' A/I1 .

4. Soit K un autre ideal de A alors π(K) = π(I +K) est un ideal de A/I et on obtient parle theoreme de factorisation un isomorphisme canonique A/(I +K) ∼−→ B/π(K) .


Produit fini d’anneaux, systeme fondamental d’idempotents orthogonaux

Etant donnes un entier n et des anneaux A1, . . ., An, il existe une structure naturelled’anneau sur le produit cartesien

A def= A1 × · · · ×An

encore note∏ni=1 Ai : l’addition, la multiplication, l’oppose, 1 et 0 sont definis (( coordonnee par

coordonnee )), par exemple (a1, . . . , an)(b1, . . . , bn) = (a1b1, . . . , anbn).

Exemple. Le theoreme des restes chinois dans Z peut etre traduit de la maniere suivante.Si a1, . . . , an sont des entiers deux a deux etrangers et a =

∏i ai, il y a une bijection naturelle

Z/aZ −→ Z/a1Z× · · · × Z/anZ

qui, a la classe de x modulo a, fait correspondre le n-uplet des classes de x modulo chaque ai.Cette bijection est un isomorphisme d’anneaux.

Dans un produit A = A1 × · · · ×An de n anneaux, les elements e1 = (1A1 , 0A2 , . . . , 0An),e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . ., en = (0, . . . , 0, 1) jouent un role tres particulier :

– Tout d’abord ce sont des idempotents : un idempotent est un element e qui verifie e2 = e.– Ensuite eiej = 0 pour i 6= j (deux idempotents e, e′ tels que ee′ = 0 sont dit orthogo-

naux ).– Enfin

∑ni=1 ei = 1A

Alors que dans un anneau integre les seuls idempotents sont 0 et 1, dans un produit d’anneauxnon triviaux apparaissent automatiquement des idempotents 6= 0, 1.

Notons que le noyau de la projection canonique sur le k-eme facteur, πk : A→ Ak, est egal a

A1 × · · · ×Ak−1 × {0} ×Ak+1 · · · ×An = 〈1− ek〉

de sorte que Ak ' A/〈1− ek〉NB : 1− ek = (1, . . . , 1, 0, 1, . . . , 1) avec 0 en position k.

Exemple. Considerons l’exemple d’un produit de n anneaux integres non triviaux. Un tel anneaucontient exactement 2n idempotents. Avec les ej definis comme ci-dessus, chaque idempotents’ecrit sous la forme eJ =

∑j∈J ej pour une partie J de {1, . . . , n}. On a

e∅ = 0, eJ∩K = eJeK , eJ∪K = eJ + eK − eJeK , et eJ ′ = 1− eJou J ′ designe la partie complementaire de J . Ainsi on a une bijection naturelle entre les partiesde {1, . . . , n} et les idempotents de A, et les operations ensemblistes usuelles dans l’ensembledes parties ont une traduction en pur calcul algebrique sur les idempotents.

Definition 2.2.14 Dans un anneau on appelle systeme fondamental d’idempotents or-thogonaux un systeme (e1, . . . , en) d’idempotents deux a deux orthogonaux dont la somme estegale a 1.

Exemple. Le systeme fondamental d’idempotents orthogonaux de Z/60Z correspondant a ladecomposition 60 = 3 × 4 × 5 qui donne l’isomorphisme Z/60Z ' Z/3Z × Z/4Z × Z/5Z est(40, 45, 36).

Remarque. Dans la litterature on interdit souvent a tout element d’un systeme fondamentald’idempotents orthogonaux d’etre nul. Ceci est legitime si l’on est dans un anneau ou l’on a untest (( e = 0? )) pour les idempotents.

Fait 2.2.15 Pour que (e1, . . . , en) ∈ An soit un systeme fondamental d’idempotents orthogo-naux il suffit que eiej = 0 pour i 6= j et

∑ni=1 ei = 1B.


On a vu que dans un produit A = A1×· · ·×An de n anneaux, il y a un systeme fondamentald’idempotents orthogonaux e1, . . . , en. En outre, chaque Ak est isomorphe au quotient de A parl’ideal 〈1− ek〉 ou ek est l’idempotent correspondant a Ak. Le theoreme suivant enonce unereciproque : tout systeme fondamental d’idempotents orthogonaux signale un isomorphisme del’anneau avec un produit d’anneaux (non triviaux si les idempotents sont non nuls).

Theoreme 2.2.16 Soit B un anneau et (e1, . . . , en) un systeme fondamental d’idempotents or-thogonaux. Alors B est isomorphe au produit B1×· · ·×Bn, ou Bi = B/〈1− ei〉. L’isomorphismeest donne par

B 3 x 7−→ (x mod 〈1− ei〉)i∈J1..nK ∈∏n

i=1Bi

Remarque. L’homomorphisme d’anneau x 7→ (x mod 〈1− ek〉) de B sur Bk se restreint enun isomorphisme de groupes ekB → Bk. Cet isomorphisme de groupes additifs est aussi unmorphisme pour les lois de multiplication, mais ekB est un ideal et non pas un sous-anneaude B. La mutliplication fait de l’ideal Ik = ekB un anneau avec 1Ik = ek, mais l’inclusion degroupes Ik → B n’est pas un homomorphisme d’anneaux.

Theoreme des restes chinois

Ce qui vient generalise le theoreme des restes chinois du chapitre 1.

Theoreme 2.2.17 (theoreme des restes chinois, generalisation)Soient I1, . . . , In, (n > 2), des ideaux deux a deux comaximaux de A, alors

1. L’application canonique ϕ : A→∏nk=1 A/Ik est surjective.

2. Son noyau est ⋂n

k=1Ik =

∏n

k=1Ik.

3. On a un isomorphisme obtenu par factorisation :

A/(⋂n

k=1Ik

)∼−→

∏n

k=1A/Ik .

Demonstration. PosonsJi =

∏k:k 6=i

Ik.

Ecrivons aij + aji = 1 pour i 6= j avec aij ∈ Ii, aji ∈ Ij . On ecrit

1 =∏

k:k 6=i(aik + aki) =

(∏k:k 6=i

aki

)+ bi = ai + bi (#)

avec bi ∈ Ii et ai ∈ Ji, donc

ai ≡ 0 mod Ji et ai ≡ 1 mod Ii (+)

En consequence, pour x1, . . . , xn ∈ A

ϕ(∑n

i=1aixi

)= (x1 mod I1, . . . , xn mod In)

ce qui montre que ϕ est surjective. Le theoreme de factorisation donne alors le point 3. car ona evidemment Kerϕ =

⋂nk=1 Ik.

L’egalite⋂nk=1 Ik =

∏nk=1 Ik se demontre par recurrence sur n pour n > 2 en notant que (#)

implique que Ii et Ji sont comaximaux. Voyons l’initialisation, c’est-a-dire le cas n = 2 : six ∈ I1 ∩ I2 et si a + b = 1 avec a ∈ I1 et b ∈ I2, alors x = ax + bx, avec ax ∈ I1I2 parce quex ∈ I2 et bx ∈ I1I2 parce que x ∈ I1, donc x ∈ I1I2. 2

Remarque. Les elements ai que l’on a construits dans la demonstration du theoreme chinois nesont rien d’autre que le systeme fondamental d’idempotents orthogonaux (modulo I =

⋂i Ii)

correspondant a la decomposition de A/I en produit. Inversement le theoreme 2.2.16 peut etrededuit du theoreme chinois si l’on note que les 1− ei sont deux a deux comaximaux et que leurproduit est nul.


Ideaux premiers et maximaux

Definition 2.2.18 Un ideal de A est appele un ideal premier si l’anneau quotient est unanneau integre non trivial. Il est appele un ideal maximal si l’anneau quotient est un corps.

Ainsi tout ideal maximal est premier. Considerons un ideal I de A, on a :

Fait 2.2.19 (caracterisation des ideaux premiers) Les proprietes suivantes sont equivalentes.

1. I est premier (i.e., A/I est integre, non trivial)

2. 1 /∈ I et ∀x, y ∈ A, (xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I).3. 1 /∈ I et pour tous ideaux I1, I2, si I1I2 ⊆ I, alors I1 ⊆ I ou I2 ⊆ I.

Fait 2.2.20 (caracterisation des ideaux maximaux) Les proprietes suivantes sont equivalentes.

1. I est maximal (i.e., A/I est un corps)

2. I est maximal parmi les ideaux propres de A.

3. 1 /∈ I et pour tout x /∈ I, I + 〈x〉 = 〈1〉.4. 1 /∈ I et ∀x ∈ A, (x ∈ I ou ∃y ∈ A, 1− xy ∈ I).

Exercices

Exercice 2.2.1

1. Montrer que l’anneau EndGroupes(Z/nZ) est isomorphe a Z/nZ.

2. En deduire que le groupe des automorphismes du groupe Z/nZ est isomorphe a (Z/nZ)×.

3. Montrer que les groupes (Z/nZ)× sont cycliques pour n = 4, 7, 11 et donner a chaque foisun generateur.

4. Quel isomorphisme donne la decomposition en facteurs premiers de 308 pour l’anneauZ/308Z (theoreme des restes chinois) ?

5. Decomposer le groupe AutGroupes(Z/308Z) en produit de groupes cycliques.

Exercice 2.2.2 Demontrer la proposition 2.2.12 comme consequence du theoreme de factori-sation 2.2.11.

Exercice 2.2.3 Par definition un anneau commutatif B est une algebre de Boole si et seule-ment si tout element est idempotent. Soit B une algebre de Boole. On montrera les affirmationssuivantes.

1. 2 =B 0, ∀x, x = −x et B× = {1}. Si B est integre, c’est le corps F2.

2. La relation x 4 y definie par (( x est multiple de y )), c’est-a-dire 〈x〉 ⊆ 〈y〉 est une relationd’ordre.

3. Pour la relation 4 deux elements arbitraires admettent une borne inferieure, leur ppcmx ∧ y = xy, et une borne superieure, leur pgcd x ∨ y = x+ y + xy. En outre 0 est elementminimum et 1 element maximum.

4. Pour tout x ∈ B l’element x′ = 1+x est l’unique element qui verifie x∧x′ = 0 et x∨x′ = 1,on l’appelle le complement de x.

5. Les idempotents d’un anneau commutatif A forment une algebre de Boole pour les deuxlois suivantes :– l’addition est definie par a⊕ b = a+ b− 2ab– la multiplication est la meme que dans A

2.3. Quelques rappels sur la theorie de la divisibilite dans les anneaux integres 27

NB : Dans une algebre de Boole on prend pour relation d’ordre la relation de divisibilite renverseedans le but d’obtenir 0 et 1 comme elements minimum et maximum, conformement a la notationtraditionnelle en logique booleenne. Quand on prend l’algebre de Boole des parties d’un ensembleE, a chaque partie est associee sa fonction caracteristique, 0 correspond a ∅ et a la fonctionpartout nulle, 1 correspond a E et a la fonction constante 1, ∧ correspond a ∩ pour les partieset inf pour les fonctions caracteristiques, et ∨ correspond a ∪ et a sup.

Exercice 2.2.4 Soient a et b deux idempotents et x un element d’un anneau commutatif A.

1. Montrer que x ∈ aA ⇔ ax = x. En particulier aA = bA ⇔ a = b.

2. L’element ab est le plus petit commun multiple de a et b parmi les idempotents de A (i.e.,si w est un idempotent, w ∈ aA ∩ bA ⇔ w ∈ abA). En fait, on a meme aA ∩ bA = abA.On note a ∧ b = ab.

3. L’element 1− (1− a)(1− b) = a+ b− ab est note a∨ b. Montrer que aA + bA = (a∨ b)A.En deduire que a ∨ b est le plus grand commun diviseur de a et b parmi les idempotentsde A (en fait un element arbitraire de A divise a et b si et seulement si il divise a ∨ b).

4. Montrer que les deux anneaux A/〈a〉×A/〈b〉 et A/〈a ∨ b〉×A/〈a ∧ b〉 sont isomorphes.

Exercice* 2.2.5 (lemme de l’ideal de type fini idempotent)Si I est un ideal de type fini idempotent (c’est-a-dire si I = I2) dans A, alors I = 〈e〉 avec unidempotent e entierement determine par I.

2.3 Quelques rappels sur la theorie de la divisibilite dans lesanneaux integres

2.3.1 Premieres definitions

Soit A un anneau integre

1. a, b ∈ A : a divise b, note a | b, equivalent a 〈b〉 ⊆ 〈a〉. La divisibilite est une relation depreordre, c’est-a-dire reflexive et transitive.

2. a, b ∈ A : a et b sont dits associes s’il existe u ∈ A× avec a = ub. C’est une relationd’equivalence, appelee association . Si a ou b est nul, l’autre est nul aussi.Pour a et b dans A les proprietes suivantes sont equivalentes.

(a) 〈a〉 = 〈b〉(b) a | b et b | a(c) a et b sont associes.

Si on note A/A× l’ensemble quotient de A par la relation d’association, on obtient :– la loi de multiplication (qui passe au quotient) est associative et commutative, elle

possede pour element neutre la classe des inversibles,– la relation de divisibilite est une relation d’ordre : reflexive, transitive et antisymetrique.On dit que A/A× est le monoıde de la divisibilite dans A.

3. p ∈ A∗ \A×– p est irreductible signifie : a | p implique p | a ou a | 1 (a ∈ A×).

Autrement dit, 〈p〉 est maximal parmi les ideaux principaux 6= 〈1〉.– p est premier signifie : p divise ab implique p divise a ou b.

Autrement dit, 〈p〉 est un ideal premier.Un element premier est irreductible, la reciproque n’est pas toujours vraie. Par exempledans A = Z[X2, X3] ⊆ Z[X], X2 et X3 sont irreductibles mais pas premiers (X2 divise(X3)2 mais ne divise pas X3, X3 divise (X2)3 mais ne divise pas X2).


4. a, b, c ∈ A : c est un pgcd de a et b signifie : pour tout x, x | c ⇐⇒ x | a et x | b.S’il existe, un pgcd de a et b est defini de maniere unique a association pres, autrementdit en tant qu’element de A/A× , il est unique.En termes de la relation d’ordre, c’est ce que l’on appelle la borne inferieure de a et b.

5. a, b ∈ A– a et b sont premiers entre eux signifie : tout diviseur commun est inversible, ce qui

revient a dire que 1 est un pgcd de a et b.– a et b sont etrangers (ou comaximaux ) signifie 〈a, b〉 = 1.Deux elements etrangers sont premiers entre eux. La reciproque n’est pas toujours vraie.Par exemple X et Y dans K[X,Y ] sont premiers entre eux, mais pas comaximaux.

6. a, b, c ∈ A : c est un ppcm de a et b signifie : pour tout x, c | x ⇐⇒ a | x et b | x.Autrement dit 〈c〉 = 〈a〉 ∩ 〈b〉.S’il existe, un ppcm de a et b est defini de maniere unique a association pres, autrementdit en tant qu’element de A/A× , il est unique.En termes de la relation d’ordre, c’est ce que l’on appelle la borne superieure de a et b.

2.3.2 Anneaux factoriels

Definition 2.3.1 L’anneau integre A est dit factoriel s’il verifie le (( theoreme fondamentalde l’arithmetique )). En detail :

1. Tout element non nul admet une decomposition en produit de facteurs irreductibles, c’est-a-dire plus precisement s’ecrit sous forme u

∏ri=1 p

mii avec

– u ∈ A×

– r ∈ N (si r = 0, le produit vide est par convention egal a 1)– pi irreductible et mi ∈ N∗ pour 1 6 i 6 r.– pi et pj ne sont pas associes si i 6= j.

2. Une telle decomposition est unique, a association pres, et a l’ordre des facteurs pres.

Definition 2.3.2 Soit A un anneau factoriel et p un element irreductible. Pour a ∈ A∗ on notevp(a) l’entier defini comme suit :

– Si a ∈ A×, vp(a) = 0.– Si a = u

∏i pmii avec u ∈ A×, les pi irreductibles deux a deux non associes et les mi > 0,

alors– vp(a) = 0 si aucun des pi n’est associe a p,– vp(a) = mi si pi est associe a p.

On appelle vp(a) la valuation de a en p ou encore la valuation p-adique de a.

NB : L’entier vp(a) est bien defini en raison de l’unicite (a association pres) de la decompositionde a en produit de facteurs irreductibles.

Proposition 2.3.3 (propriete de base de la valuation p-adique)Soit A un anneau factoriel, a, b ∈ A∗.

1. vp(ab) = vp(a) + vp(b).

2. a divise b si et seulement si pour tout irreductible p, vp(a) 6 vp(b) (on peut se limiter auxp qui figurent dans une decomposition de a en produit de facteurs irreductibles).

Corollaire 2.3.4 Soit A un anneau factoriel, K son corps de fractions, a, b ∈ A∗.

1. a, b admettent un pgcd et un ppcm. Ceux-ci sont caracterises a association pres par :∀p irreductible, vp(a ∧ b) = min(vp(a), vp(b)), et vp(a ∨ b) = max(vp(a), vp(b)).

2. Toute suite strictement croissante d’ideaux principaux est finie.

2.3. Quelques rappels sur la theorie de la divisibilite dans les anneaux integres 29

3. vp se prolonge de maniere unique a K∗ si l’on demande vp(xy) = vp(x) + vp(y).

4. Alors si on etend la relation de divisibilite de A∗ a K∗ en posant (( x divise y si y = axavec a dans A∗ )), on obtient que x divise y si et seulement si pour tout irreductible p,vp(x) 6 vp(y), et l’on a aussi un pgcd et un ppcm comme dans le point 1.

Theoreme 2.3.5 Pour qu’un anneau integre soit factoriel il faut et suffit que les deux proprietessuivantes soient satisfaites

1. Toute suite strictement croissante d’ideaux principaux est finie.

2. Deux elements arbitraires admettent un pgcd.

La propriete 2. peut etre remplacee par :

2bis. (lemme d’Euclide) Si p irreductible divise ab il divise a ou b.

3. Systemes lineaires sur un anneauprincipal

Dans ce chapitre la section 3.2 est un simple rappel sur la theorie de la divisibilite dans lesanneaux principaux.

Le reste du chapitre est (( nouveau )).La section 3.1 reprend dans le cadre des anneaux commutatifs la theorie des systemes line-

aires de Cramer. Il y a quelques differences subtiles avec ce que l’on connaıt deja bien pour lescorps. Tout est base sur des identites algebriques qui sont demontrees d’une maniere qu’il estimportant d’assimiler. En effet, elles sont deduites, pour un anneau commutatif arbitraire, dufait qu’elles sont valables dans le cas des corps.

Les sections 3.3 et 3.4 sont consacrees aux systemes lineaires sur les anneaux principaux, dontla solution complete est basee sur la reduction des matrices a la forme de Smith (theoreme 3.3.2).

Ce theoreme concentre a lui seul l’essentiel des resultats la theorie des systemes lineaires,puis celle des modules de type fini sur un anneau principal, ainsi que des applications lineairesentre de tels modules. Tous les resultats sur les anneaux principaux qui suivent dans ce coursne sont que l’enumeration de corollaires a peu pres immediats de ce theoreme, souvent formulesen langage nettement plus abstrait et plus (( savant )) que le langage matriciel suffisant pourl’enonce du theoreme 3.3.2.

3.1 Calcul matriciel et systemes de Cramer sur un anneau com-mutatif arbitraire

La somme de deux matrices de Mm,n(A) et le produit de deux matrices de formats conve-nables sont bien definis (par les formules usuelles). Le produit est distributif sur l’addition, adroite et a gauche. Le produit est associatif (pour 3 matrices A,B,C de formats convenables).En particulier Mn(A) est un anneau (en general non commutatif).

Un systeme lineaire de m equations pour n inconnues, a coefficients et inconnues dans Apeut s’ecrire sous forme matricielle (avec A ∈Mm,n(A))

AX = B.

Le determinant d’une matrice carree A ∈ Mn(A) est bien defini : on utilise pour celala formule usuelle. On definit egalement la comatrice de A, notee A, comme la transposee dela matrice des cofacteurs (on dit aussi matrice cotransposee)

Lemme 3.1.1 Soient A,C ∈Mn(A).

1. On a toujours det(AC) = det(A) det(C).

2. On a AA = AA = det(A) Im.

3. Les proprietes suivantes sont equivalentes.

(a) A est inversible dans Mn(A).

(b) A est inversible a droite dans Mn(A).

32 3. Systemes lineaires sur un anneau principal

(c) A est inversible a gauche dans Mn(A).(d) det(A) est inversible dans A.

Demonstration. 1. Il s’agit d’une identite algebrique (les indeterminees dans cette identite sontles 2n2 coefficients de A et C). Il suffit donc de la verifier lorsque les coefficients de A et C sontdes indeterminees sur l’anneau Z. Dans ce cas l’anneau est integre, donc c’est le sous-anneau deson corps de fractions. Le fait d’avoir donne une demonstration pour le cas des corps commutatifssuffit donc a conclure pour tous les anneaux.2. Ces n2 identites algebriques peuvent etre traitees selon la meme methode qu’au point 1. Maisil est plus simple de remarquer qu’elles resultent du fait que l’on peut calculer le determinantd’une matrice carree en le developpant selon une ligne ou une colonne arbitraires, ce qui resultedirectement de la formule definissant le determinant.3. Consequence facile des points 1. et 2. 2

Corollaire 3.1.2 (systeme lineaire de Cramer)Pour une matrice carree A correspondant a un systeme lineaire de n equations a n inconnuesAX = B les proprietes suivantes sont equivalentes.

1. Le systeme admet toujours une solution (quel que soit le second membre B).2. Le systeme admet toujours une solution unique (quel que soit le second membre B).3. La matrice A est inversible dans l’anneau Mn(A).4. Le determinant det(A) est inversible dans A.

Dans ce cas la solution pour un second membre fixe B peut etre donnee par les formules deCramer : xk = det(Ak)/det(A), ou Ak est la matrice obtenue a partir de A en remplacant lak-eme colonne par B.

Demonstration. 3. ⇔ 4. d’apres le lemme 3.1.1 3.2. ⇒ 1. est evident.1. ⇒ 3. Pour chaque colonne Bi de la matrice In on a un Xi tel que AXi = Bi. En juxtaposantles Xi on obtient une matrice A′ telle que AA′ = In, on conclut par le lemme 3.1.1 3 que A estinversible dans Mn(A).3. ⇒ 2. Si A′A = AA′ = In on a equivalence de AX = B avec X = A′B pour tous X, B enraison de l’associativite de la multiplication des matrices.Formules de Cramer. La meme demonstration que pour le cas des corps s’applique. On appelleCj la j-eme colonne de la matrice A. Le systeme lineaire se reecrit

∑k xkCk = B. On utilise

ensuite le fait que le determinant est une forme n-lineaire alternee des colonnes. Posons Φ(Y ) =det(C1, . . . , Y, . . . , Cn) avec Y a la place de Ck. Alors det(Ak) = Φ(B) et par linearite Φ(B) =xkΦ(Ck) = xk det(A), car tous les Φ(Cj) pour j 6= k sont nuls (deux colonnes egales). 2

Remarque. Contrairement au cas des corps, pour une matrice carree A, il ne suffit pas quel’equation AX = 0 admette 0 pour unique solution, pour que A soit inversible. Pour s’en rendrecompte, prendre A = Z, n = 1 et A = [ 2 ].

Voici maintenant un lemme, toujours purement matriciel, qui prendra bientot la significationgeometrique precise suivante : sur un anneau non nul, le rang d’un module libre est bien defini.

Lemme 3.1.3 Soient deux matrices A ∈ Mm,n(A) et C ∈ Mn,m(A) avec m > n. Si AC = Imalors 1A = 0A.

Demonstration. On a AC = A1C1 avec des matrices carrees A1 et C1 obtenues a partir de A etC en completant par des zeros (m− n colonnes pour A1, m− n lignes pour C1).

A1 =

0...0

A C1 =

0 · · · 0

CA1C1 = AC = Im.

3.2. Anneaux de Bezout et anneaux principaux 33

Ainsi 1 = det Im = det(AC) = det(A1C1) = det(A1) det(C1) = 0. 2

On termine cette section avec le theoreme de Cayley-Hamilton et l’expression de la matricecotransposee A comme polynome en la matrice A.

Theoreme 3.1.4 Soit A ∈Mn(A) et notons

P (X) = det(XIn −A) = Xn +∑n−1

k=0dkX

k = XQ(X) + dn

son polynome caracteristique (donc det(A) = (−1)ndn). Alors

P (A) = 0 (Cayley-Hamilton) et plus precisement A = (−1)n+1Q(A).

Demonstration. Il s’agit dans les deux cas de familles d’identites algebriques avec les coefficientsde A comme indeterminees. Il suffit donc de les demontrer dans le cas de la matrice generique Adont les coefficients sont des indeterminees. On est alors sur l’anneau polynomes Z[(aij)i,j∈J1..nK],sous-anneau d’un corps L, et la matrice A a un determinant inversible dans L. Le theoreme deCayley-Hamilton est valable pour le cas des corps, il s’applique donc pour la matrice generique.Le theoreme de Cayley-Hamilton s’ecrit aussi sous la forme AQ(A) = −dnIn. Alors l’egaliteA = (−1)n+1Q(A) resulte des egalites AA = det(A) In et AQ(A) = −dnIn en simplifiant agauche par A, ce qui est legitime parce que la matrice A est inversible dans Mn(L). 2

3.2 Anneaux de Bezout et anneaux principaux

Cette section constitue un rappel de resultats de base pour les anneaux principaux.

Definition 3.2.1 Un anneau integre non trivial dans lequel tout ideal de type fini est principalest appele anneau de Bezout.

Theoreme et definition 3.2.2 Pour un anneau integre A les proprietes suivantes sont equi-valentes.

1. Tout ideal est principal.

2. A est un anneau de Bezout et toute suite croissante (au sens large) d’ideaux principauxadmet deux termes consecutifs egaux.

Un anneau integre non trivial qui verifie ces proprietes equivalentes est appele anneau princi-pal.

Demonstration. Supposons l’anneau principal. Tout d’abord il est clair que c’est un anneau deBezout. Soit par ailleurs 〈a1〉 ⊆ 〈a2〉 ⊆ · · · ⊆ 〈an〉 ⊆ · · · une suite infinie d’ideaux principaux,croissante au sens large. Considerons la reunion I de tous ces ideaux. Il est clair que c’est unideal. Puisque l’anneau est principal on a I = 〈b〉 pour un certain b ∈ I. Par exemple b ∈ 〈ak〉.Mais alors 〈b〉 ⊆ 〈ak〉 ⊆ I = 〈b〉, donc tous les 〈a`〉 pour ` > k sont egaux a 〈ak〉.Inversement supposons que toute suite croissante d’ideaux principaux admet deux termesconsecutifs egaux. Alors il est absurde d’avoir une suite infinie strictement croissante d’ideauxprincipaux. Soit maintenant I un ideal arbitraire et cherchons a construire un systeme genera-teur fini pour I. Si I = 0 alors I = 〈0〉. Sinon soit a1 6= 0 dans I. Si I = 〈a1〉, c’est OK. Sinonil existe x2 ∈ I \ 〈a1〉. Soit a2 un generateur de 〈a1, x2〉. Si I = 〈a2〉, c’est OK. Sinon il existex3 ∈ I \ 〈a2〉. Soit a3 un generateur de 〈a2, x3〉. etc. . . On construit ainsi une suite strictementcroissante d’ideaux principaux 〈0〉 ( 〈a1〉 ( 〈a2〉 ( 〈a3〉 · · · Comme elle doit s’arreter, on obtientI = 〈ak〉 pour un certain k. 2


Remarque. La definition d’anneau principal que l’on trouve dans la plupart des ouvrages cor-respond au point 1. du theoreme precedent. Cette definition pose cependant un reel probleme.C’est une definition tres abstraite que nous discuterons plus en detail dans le chapitre 7 consacreaux anneaux nœtheriens. Le point 2. du theoreme precedent donne un contenu plus concret acette definition. Nous utiliserons dans ce cours essentiellement cette definition alternative.

La theorie de la divisibilite pour les anneaux principaux est similaire a celle de Z. Les premiersresultats utilisent seulement le fait que l’anneau est de Bezout.

Fait 3.2.3 (theoreme de Bezout)Dans un anneau integre, les proprietes suivantes sont equivalentes.

1. 〈a, b〉 = 〈g〉 .2. Il existe u, v, a1, b1 tels que[

g0

]=

[u v−b1 a1

] [ab

]et ua1 + vb1 = 1.

Dans un tel cas g est un pgcd de a et b. Et si a, b 6= 0, ab/g est un ppcm de a et b.

Demonstration. L’egalite 〈a, b〉 = 〈g〉 signifie que l’on a a1, b1, u, v ∈ A verifiantau+ bv = g, ga1 = a, gb1 = b.

2. ⇒ 1. On a deja ua+ vb = g. On inverse la matrice et on obtient[ab

]=

[a1 −vb1 u

] [g0

].

1. ⇒ 2. Le seul cas delicat est celui ou (a, b) 6= (0, 0). Si 〈a, b〉 = 〈g〉 on obtient– d’une part g(ua1 + vb1) = g et on peut simplifier par g parce que g 6= 0,– d’autre part −ab1 + ba1 = −ga1b1 + ga1b1 = 0.

Pour le dernier point, il est clair que g divise a et b et que tout diviseur commun a a et bdivise au + bv = g. Montrons que ab/g est un ppcm de a et b. Tout d’abord ab/g = a1b = ab1est bien un multiple commun. D’autre part si ad = bc, alors gd = (au + bv)d = b(cu + vd),d = (b/g)(cu+ vd) et ad = (ab/g)(cu+ vd). 2

Theoreme 3.2.4 (lemme de Gauss pour un anneau de Bezout)Soient a, b, c, d des elements non nuls d’un anneau de Bezout A.

1. Si pgcd(a, b) = 1 et si a divise bc alors a divise c.

2. (forme symetrique) Si pgcd(a, b) = 1 et si ad = bc alors il existe e tel que c = ae et d = be

3. (forme symetrique, la meme, dite autrement) Si pgcd(a, b) = 1, tout multiple commun a aet b est multiple de ab.

4. (cas particulier, (( lemme d’Euclide ))) Si un element irreductible p divise bc, il divise b ouil divise c. Autrement dit, tout element irreductible est premier.

Demonstration. 1., 2. et 3. disent la meme chose, qui resulte du dernier point de 3.2.3. 2

Lemme 3.2.5 Dans un anneau integre, si toute suite croissante d’ideaux principaux admet deuxtermes consecutifs egaux, tout element a ∈ A∗ \A× peut etre decompose en produit de facteursirreductibles (non necessairement distincts).

Demonstration. Tout d’abord tout element a ∈ A∗ \ A× possede un diviseur irreductible. Sia est irreductible, c’est OK. Sinon, il a un diviseur strict a1. Si a1 est irreductible, c’est OK.Sinon il a un diviseur strict a2. En poursuivant le processus on construit une suite (an) avec〈a0〉 ( 〈a1〉 ( 〈a2〉 ( · · ·. Et par l’hypothese faite cela ne peut continuer indefiniment.Ensuite la decomposition en produit d’irreductibles. L’element a est multiple d’un irreductiblep1. On ecrit a = a1p1. Si a1 ∈ A× c’est termine. Sinon a1 est multiple d’un irreductible p2.

3.3. Reduction de Smith d’une matrice sur un anneau principal 35

On ecrit a1 = a2p2. Si a2 ∈ A×, c’est termine. Sinon a2 est multiple d’un irreductible p3 . . .On construit ainsi de proche en proche une suite a1, . . . , an, . . . avec 〈ak〉 ( 〈ak+1〉 pour tout k.Cette suite strictement croissante d’ideaux principaux doit s’arreter vue l’hypothese qui a etefaite. 2

Remarque. Si l’on a un test qui decide si un element donne est irreductible, et qui en cas dereponse negative, fournit un diviseur strict, la demonstration precedente fournit un algorith-me de calcul d’un diviseur irreductible d’un element non nul a /∈ A× arbitraire, puis d’unedecomposition en produit de facteurs irreductibles.Dans le cas contraire, il arrive qu’un tel algorithme soit inconnu, ou meme que l’on sache qu’iln’en existe pas.

Theoreme 3.2.6 Tout anneau principal est factoriel. Autrement dit un anneau principal verifiele (( theoreme fondamental de l’arithmetique )) (decomposition (( unique )) en produit de facteursirreductibles).

Demonstration. 1. Existence d’une decomposition en produit de facteurs irreductibles. Voir lefait 3.2.2 et le lemme 3.2.5.2. Unicite : resulte du lemme d’Euclide. 2

Theoreme 3.2.7 Les ideaux premiers d’un anneau principal A sont, d’une part l’ideal {0},d’autre part les ideaux maximaux 〈p〉 = pA pour chaque element irreductible p. Dans le premiercas, le quotient est A, dans le second cas, le quotient est un corps.NB : On suppose que A n’est pas un corps.

Demonstration. Puisque tous les ideaux sont principaux, et vu le lemme de Gauss, on voitfacilement que les ideaux premiers sont exactement ceux decrits ci-dessus. Si p est un elementirreductible et x /∈ pA, alors 〈p, x〉 est un ideal qui contient strictement 〈p〉, donc il est egal a 1.Ainsi dans l’anneau quotient, tout element x 6= 0 est inversible. 2

3.3 Reduction de Smith d’une matrice sur un anneau principal

Manipulations elementaires et manipulations de Bezout

Nous avons deja decrit les manipulations elementaires de lignes ou de colonnes pour unematrice a coefficients dans Z. Ce qui a ete dit s’applique a n’importe quel anneau et nous ne lerepetons pas.

Nous introduisons maintenant de nouvelles (( manipulations )).

Definition 3.3.1 Une matrice de Bezout de taille n est une matrice carree, egale a la maticeidentite, sauf pour 4 coefficients en positions (i, i), (j, j), (i, j) et (j, i) avec 1 6 i < j 6 n et∣∣∣∣ aii aijaji ajj

∣∣∣∣ = 1. Nous pouvons noter cette matrice Bz(n, i, j; aii, aij , aji, ajj). Par exemple

B = Bz(6, 2, 4;u, v, s, t) =

1 0 0 0 0 00 u 0 v 0 00 0 1 0 0 00 s 0 t 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

avec ut− sv = 1

Effectuer une manipulation de Bezout sur une matrice M c’est la multiplier a gauche (ma-nipulation de lignes) ou a droite (manipulation de colonnes) par une matrice de Bezout.


Pour mieux visualiser une matrice de Bezout, on peut remplacer les 0 par des cases vides,voici ce que cela donne avec l’exemple precedent :

B = Bz(6, 2, 4;u, v, s, t) =

1u v

1s t

11

avec ut− sv = 1

Si l’on a dans un anneau une egalite matricielle[u vs t

] [ab

]=

[g0

], alors pour une matrice

A ∈M6,n(A) ayant des coefficients a et b dans la colonne k en positions (2, k) et (4, k), effectuerle produit B ·A revient a faire les manipulations de lignes simultanees suivantes sur la matrice A :{

L2 ← uL2 + vL4

L4 ← sL2 + tL4ou encore

[L2

L4

]←

[u vs t

] [L2

L4

]Le resultat sera (entre autres) que les coefficients en position (2, k) et (4, k) seront remplacespar g et 0.

Par exemple avec

A =

∗ ∗ ∗c d a∗ ∗ ∗e f b∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

on obtient

B ·A =

∗ ∗ ∗uc+ ve ud+ vf g∗ ∗ ∗

sc+ te sd+ tf 0∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

De la meme maniere, effectuer un produit A ·B′ pour une matrice de Bezout convenable B′

permettra de remplacer deux coefficients a, b situes sur une meme ligne par un couple (g, 0).

La reduction de Smith

Theoreme 3.3.2 (forme reduite de Smith)Soit A un anneau principal. On peut a l’aide de manipulations elementaires et de manipulationsde Bezout, ramener toute matrice a coefficients dans A a une forme reduite du type suivant :

D 0

0 0avec D = Diag(a1, . . . , ak) et a1 | a2 | · · · | ak, ak 6= 0

NB : La matrice D, les colonnes de 0 ou les lignes de 0 peuvent etre absentes.

Demonstration. L’algorithme est le suivant.Dans un premier temps on va reduire la matrice a la forme diagonale sans chercher a imposerles relations de divisibilite entre les coefficients diagonaux successifs de D.Si la matrice est nulle il n’y a rien a faire. Sinon . . .On repere un coefficient non nul, disons c, on le ramene en position (1, 1) par des manipulationselementaires.


Si la premiere ligne et la premiere colonne sont nulles (hormis le coefficient c en position (1, 1)),on obtient une matrice de la forme :

c 0

0 A′

et on doit traiter le probleme initial avec la matrice restante A′, de taille plus petite, ce qui premetde terminer par recurrence (du point de vue algorithmique on fait une boucle convenable).

Sinon . . .

On traite d’abord la premiere ligne au moyen de manipulations de colonnes, de maniere a laremplacer par une ligne [h 0 · · · 0 ]Pour ceci on considere dans la premiere ligne tous les coefficients non nuls, les uns apres lesautres. Soit a un tel coefficient.

– (cas simple, manipulation elementaire) Si c divise a, on utilise c comme pivot pour tuer a.– (cas decisif) Si c ne divise pas a, on utilise une manipulation de Bezout qui permet de

remplacer le couple (c, a) par un couple (g, 0) avec g = pgcd(c, a) qui divise strictement c.

Quand on a traite tous les coefficients de la premiere ligne. On traite ensuite de la meme maniereles coefficients de la premiere colonne.

Cependant on constate que si l’on doit faire des manipulations de Bezout pour traiter la premierecolonne, alors la premiere ligne peut en etre affectee, si bien qu’apres cette premiere passe, il sepeut qu’il faille retraiter la premiere ligne, puis la premiere colonne etc. . .

On note que chaque fois que l’on utilise une manipulation de Bezout (cas decisif), le coefficienten position (1, 1) decroıt strictement au sens de la divisibilite. Puisque toute suite strictementdecroissante pour la divisibilite est finie, on est certain d’aboutir a la situation ou la premiereligne et la premiere colonne de la matrice sont entierement nulles, a l’exception du coefficient enposition (1, 1). On est alors ramene a la situation envisagee tout au depart.

En conclusion, on est capable de reduire la matrice a la forme diagonale.

Il ne reste donc qu’a traiter le cas d’une matrice diagonale.

Or une matrice[a 00 b

]avec a 6= 0 et b 6= 0 donne par manipulation elementaire la matrice[

a b0 b

], puis par manipulation de Bezout une matrice

[g 0c d

], puis par manipulation ele-

mentaire une matrice[g 00 d

]. Puisque le determinant n’a pas change on a gd = ab et comme

g = pgcd(a, b), on voit que d est un ppcm de a et b donc est multiple de g. Ainsi des manipulationsdu meme type permettront d’ordonner la diagonale de D, au sens que les coefficients successifsse divisent les uns les autres. 2

Remarque. Pour que l’algorithme fonctionne vraiment, on doit disposer des facilites suivantesde maniere explicite :

– Savoir tester si un element de A est nul ou pas.– Savoir tester, pour a 6= 0 et b 6= 0 si a divise b, et

– en cas de reponse positive, fournir le quotient b/a,– en cas de reponse negative, fournir une matrice de Bezout repondant a la question qui

se pose, c’est-a-dire une matrice[u vs t

]de determinant 1 telle que sa+ tb = 0.

Lorsque ces conditions ne sont pas remplies, on n’a pas vraiment d’algorithme a notre disposition,mais la demonstration donne quand meme une preuve abstraite d’existence.

Nous allons redonner maintenant le meme theoreme sous une forme plus abstraite (moinsalgorithmique) en rajoutant un resultat d’unicite.

Pour une matrice A ∈ Mm,n(A) nous noterons Aα,β la matrice extraite sur les lignes α =


[α1, . . . , αr] ⊆ J1..mK et les colonnes1 β = [β1, . . . , βs] ⊆ J1..nK.Rappelons que l’on appelle mineur d’ordre k d’une matrice A le determinant d’une

matrice carree extraite de A sur k lignes et k colonnes.Nous noterons P` l’ensemble des listes extraites de J1..`K (en ordre croissant) et Pk,` le

sous-ensemble des listes a k elements.

Theoreme 3.3.3 Soit A un anneau principal et A ∈Mm,n(A). Il existe des matrices inversiblesL ∈ GLn(A) et C ∈ GLm(A) telles que l’on ait

L ·A · C = D 0


En outre l’entier k et les ideaux principaux 〈a1〉 ⊇ · · · ⊇ 〈ak〉 sont uniquement determines par A.En fait a1 est un pgcd des coefficients de A, a1a2 est un pgcd des mineurs d’ordre 2 de A, a1a2a3

est un pgcd des mineurs d’ordre 3 de A, etc. . .

La matrice ∆ = LAC s’appelle une forme reduite de Smith de la matrice A. Lorsquel’on donne aussi les matrices inversibles L et C on parle d’une reduction de Smith .

Remarque. On ignore si le theoreme 3.3.3 est valable ou non dans le cas d’un anneau de Bezoutgeneral. On n’a ni demonstration ni contre-exemple.

Demonstration du theoreme 3.3.3. Il reste seulement a demontrer la question de l’unicite.Tout d’abord concernant l’entier k on remarque qu’il est egal au rang de la matrice lorsqu’on laconsidere comme une matrice a coefficients dans le corps des fractions K de A. Le rang d’unematrice sur un corps etant bien defini, l’entier k ne depend que de A, et non des matrices inver-sibles L et C qui interviennent dans la reduction. On peut noter que k est defini comme l’ordremaximum d’un mineur non nul de la matrice A.Ensuite concernant les ideaux 〈aj〉, ou, ce qui revient au meme les elements aj (( a associationpres )), il est clair qu’il suffit de demontrer la toute derniere affirmation : en fait a1 est un pgcddes coefficients de A, a1a2 est un pgcd des mineurs d’ordre 2 de A, . . .Voyons l’affirmation pour a1. On note que 〈a1〉 est l’ideal engendre par les coefficients de LAC.Il suffit donc de montrer que l’ideal engendre par les coefficients d’une matrice ne change paslorsqu’on la multiplie a gauche ou a droite par une matrice inversible. Ceci resulte clairementdu lemme suivant qui est evident :Lemme. Pour une matrice U notons D1(U) l’ideal engendre par les coefficients de U . Surun anneau arbitraire, si U et V sont des matrices de formats tels que UV est definie, alorsD1(UV ) ⊆ D1(U)D1(V ) ⊆ D1(U) ∩ D1(V ).Pour terminer la demonstration, il nous faut une generalisation de ce lemme pour chaque idealengendre par les mineurs d’ordre r d’une matrice. C’est l’objet de la fin de cette section. 2

Nous introduisons les ideaux determinantiels d’une matrice.

Definition 3.3.4 (ideaux determinantiels) Soit A un anneau commutatif arbitraire, A ∈Mm,n(A) et 1 6 k 6 min(m,n). L’ideal determinantiel d’ordre k de la matrice A estl’ideal, note DA,k(A) ou Dk(A), engendre par les mineurs d’ordre k de A. Pour k 6 0 on posepar convention Dk(A) = 〈1〉, et pour k > min(m,n), Dk(A) = 〈0〉.

Ces conventions sont naturelles car elles permettent d’obtenir en toute generalite les egalitessuivantes :

– Si C =Ir 00 A

, pour tout k on a Dk(A) = Dk+r(C).

1. Le symbole d’inclusion signifie ici que la liste de gauche est extraite en ordre croissant de la liste de droite.


– Si C = 0 0

0 A, pour tout k on a Dk(A) = Dk(C).

Lemme 3.3.5 (Formule de Binet-Cauchy)Si A ∈Mn,m(A) et C ∈Mm,n(A) avec m < n, on a

det(CA) =∑

α∈Pm,n

det(C1..m,α) det(Aα,1..m).

Demonstration. Dans le produit CA on intercale entre C et A une matrice diagonale D ayantpour coefficients des indeterminees λ1, . . . , λn, et l’on regarde quel est le coefficient de λi1 · · ·λimdans le polynome det(CDA) (pour cela on prend λi1 = · · · = λim = 1 et les autres nuls). Ontermine en prenant tous les λi egaux a 1. 2

Le corollaire suivant est immediat.

Corollaire 3.3.6 Si A et C sont des matrices telles que AH est definie, alors, pour tout r > 0on a

Dr(AC) ⊆ Dr(A)Dr(C) (3.1)

Rappelons que deux matrices A,C ∈Mm,n(A) sont dites equivalentes si l’on peut obtenir Ca partir de A en la multipliant a droite et a gauche par des matrices inversibles.

Theoreme 3.3.7

1. Si deux matrices A ∈ Mm,n(A) et C ∈ Mm,p(A) ont le meme module image dans Am,elles ont les memes ideaux determinantiels de chaque ordre.

2. En particulier deux matrices equivalentes ont les memes ideaux determinantiels. Enconsequence les ideaux determinantiels d’une application lineaire ϕ entre deuxmodules libres de rangs finis sont bien definis (en utilisant une matrice representantl’application lineaire). Et si ϕ ◦ ψ est definie, on a Dr(ϕ ◦ ψ) ⊆ Dr(ϕ)Dr(ψ).

Demonstration. Il suffit de montrer le point 1. Il existe deux matrices H et K telles que A = HCet C = KA, donc pour tout r on a

Dr(A) ⊆ Dr(C)Dr(H) ⊆ Dr(C) et Dr(C) ⊆ Dr(A)Dr(K) ⊆ Dr(A).2

Fin de la demonstration d’uncite dans le theoreme 3.3.3. Il est clair que les ideaux determinan-tiels de la matrice ∆ = LAC sont donnes par

Dr(∆) ={

0 si r > ka1 · · · ar 6= 0 si r ∈ J1..kK

Comme Dr(∆) = Dr(A) on obtient l’unicite de k et le fait que a1 · · · ar est un pgcd des mineursd’ordre r de A pour toute reduite de Smith de A. 2

Exercices

Exercice 3.3.1 Montrer que pour toute matrice A et tout entier r on aDr+1(A) ⊆ Dr(A)D1(A) ⊆ Dr(A).

Exercice 3.3.2 (ideaux determinantiels d’une matrice de projection sur un anneau arbitraire)Si A ∈ Mn(A) est idempotente, on dit que A est une matrice de projection . Montrer quechaque ideal determinantiel Dr(A) est idempotent. En consequence il est engendre par un idem-potent (voir l’exercice 2.2.5).


Exercice* 3.3.3 (matrices de projection sur un anneau principal)NB : Cet exercice est base sur l’exercice 3.3.2.1. Si P ∈ Mn(Z) est idempotente (c’est-a-dire si P 2 = P ) elle peut etre reduite, au moyen detransformations elementaires de lignes et de colonnes a la forme canonique d’une matrice deprojection standard

Ik,n =[

Ik 0k,n−k0n−k,k 0n−k,n−k

]avec k 6 n.

En outre les permutations de lignes ou de colonnes ne sont pas necessaires.2. Generaliser a une matrice sur un anneau principal.3. En fait la matrice P est semblable a Ik,n.

3.4 Systemes lineaires sur un anneau principal

Soit A un anneau principal. On considere un systeme lineaire a coefficients et inconnues dansA que l’on ecrit sous forme matricielle : AX = B avec A ∈ Mm,n(A). Il s’agit d’un systeme dem equations a n inconnues.

Theoreme 3.4.1 Supposons que l’on ait une reduction de Smith de A sous forme

L ·A · C = D 0


(a priori on a k 6 inf(m,n), eventuellement k = 0, ou k = n, ou k = m). Supposons aussi queaj est une unite exactement pour j ∈ J1..`K (eventuellement ` = 0 ou ` = k).

1. La solution generale du (( systeme sans second membre )) AX = 0 est donnee comme suit :(a) Si n = k il y a l’unique solution X = 0.(b) Si n > k la solution est donnee au moyen de n − k parametres libres dans A,

y1, . . . , yn−k comme suit :

X =

x1...

...xn

= C ·

0...0y1...

yn−k

= y1Ck+1 + · · ·+ yn−k Cn

en notant Cj la j-eme colonne de C.2. Le systeme admet une solution si et seulement si les contraintes suivantes sont satisfaites

pour le second membre B. On pose L ·B = B′ =

b′1...b′m

et on doit avoir

– b′j = 0 pour k < j 6 m et– b′j ≡ 0 mod aj pour ` < j 6 k.La solution generale du systeme dans ce cas est donnee au moyen de n − k parametreslibres dans A, y1, . . . , yn−k comme suit :

X = C ·

b′1/a1...

b′k/aky1...

yn−k

=

b′1a1C1 + · · ·+

b′kakCk + y1Ck+1 + · · ·+ yn−k Cn

3.4. Systemes lineaires sur un anneau principal 41

Remarques.1) Si on pose aj = 0 pour k < j 6 m, toutes les contraintes dans le point 2. du theoreme peuventetre formulees de la meme maniere : b′j ≡ 0 mod aj pour j ∈ J1..mK.2) On retrouve naturellement comme cas (tres) particulier les systemes de Cramer etudies dansla section 3.1 sur un anneau arbitraire.3) Une difference importante avec le cas des systemes lineaires sur les corps c’est qu’on a main-tenant souvent besoin d’une matrice inversible C generale, alors que dans le cas des corps onpouvait se contenter d’une matrice de permutation, ce qui permettait de designer des inconnuesprincipales et des inconnues auxiliaires.4) Lorsque les conditions de compatibilite sont satisfaites, on obtient une solution particulieresimple en prenant tous les parametres libres egaux a 0. Mais pour autant la solution n’estpas en general donnee par des formes A-lineaires C 7→ α(C), ceci a cause de la presence desdenominateurs ai. Cependant lorsque les ai sont des unites, on trouve bien des formes A-line-aires. Supposons que A = K[X] pour un corps K, le fait de ne pas avoir de denominateursdans l’expression generale de la solution est une circonstance tres favorable, car cette expressiondonnera une solution pour toute valeur du parametre X, ce qui evite une discussion en fonctiondes valeurs de ce parametre.

Demonstration du theoreme 3.4.1. Posons L · A · C = A′. Le systeme AX = B equivaut ausysteme LAX = LB = B′ et, en posant Z = C−1X, a A′Z = B′. Avec la matrice A′ sous formereduite la discussion du systeme est evidente. Les contraintes sur B′ sont celles annoncees, et lasolution generale pour Z est z1 = b′1/a1, . . . , zk = b′k/ak avec zk+1, . . . , zn arbitraires. PuisqueX = CZ, on obtient les resultats annonces en prenant pour variables libres (ou parametres)yi = zk+i pour i ∈ J1..n− kK. 2

Exercices

Exercice* 3.4.1 A est un anneau principal, A ∈ Mm,n(A). Montrer que le systeme lineaireAX = B admet une solution si et seulement si pour tout r ∈ J1..mK on a l’egalite des ideauxdeterminantiels

Dr(A) = Dr([A B]),

ou [A B] designe la matrice obtenue en juxtaposant la colonne B a droite de la matrice A.NB : Ce resultat subtil n’est pas valable pour un anneau commutatif arbitraire. Il generalise unresulat analogue dans le cas des corps : le systeme lineaire admet une solution si et seulement siles matrices A et [A B] ont meme rang.

4. Modules sur un anneaucommutatif

Introduction

Dans ce chapitre A est un anneau commutatif unitaire, et K est un corps. Nous ne faisonsaucune hypothese particuliere sur A.

Dans le chapitre 1 nous avons vu comment les systemes lineaires sur l’anneau Z peuvent etretraites au moyen de calculs matriciels qui generalisent les techniques que nous connaissions dejadans le cas des corps.

On sait que la notion d’espace vectoriel a ete introduite en particulier comme une abstractiongeometrique de la notion de systeme d’equations lineaires. Une matrice est alors vue comme uneapplication K-lineaire entre espaces vectoriels de dimensions finies. La geometrie des sous-espa-ces vectoriels et celle des applications lineaires permet de mieux comprendre l’etude des systemeslineaires.

De la meme maniere, la notion de A-module, qui est l’analogue pour les anneaux de la notiond’espace vectoriel pour les corps, peut etre comprise comme une abstraction geometrique de lanotion plus concrete de systeme lineaire.

4.1 Definitions generales concernant les modules

Modules et applications lineaires

La definition d’un A-module est directement calquee sur celle d’un K-espace vectoriel.

Definition 4.1.1 Soit (A,+,−,×, 0, 1) un anneau commutatif.Un A-module M est donne sous la forme (M,+,−, 0, · ) ou

1. (M,+,−, 0) est un groupe commutatif et

2. la loi · est une loi externe, une application

A×M →M, (a, x) 7→ a · x

satisfaisant les proprietes suivantes (a1, a2 ∈ A, x, x1, x2 ∈M) :

(a) (a1 + a2) · x = (a1 · x) + (a2 · x)(b) a · (x1 + x2) = (a · x1) + (a · x2)

(c) (a1 × a2) · x = a1 · (a2 · x)(d) 1 · x = x

Les axiomes de la loi externe · peuvent se reformuler en disant que l’applicationa 7→ (x 7→ a · x)

est un homomorphisme de l’anneau A dans l’anneau EndGroupes(M) des endomorphismes dugroupe (M,+,−, 0). En particulier elles impliquent que

0A · x = a · 0M = 0M et −x = (−1) · x.

44 4. Modules sur un anneau commutatif

En general on omet les symboles × et · .

Exemples. L’anneau A peut etre vu comme un A-module en prenant pour loi externe · lamultiplication ×. Le produit cartesien An, qui est un groupe additif, peut etre muni d’unestructure naturelle de A-module en definissant la loi externe · comme suit

a · (x1, . . . , xn)def= (ax1, . . . , axn)

On appelle base canonique de An les elements e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . .,en = (0, . . . , 0, 1). En fait il faudrait les noter eA,n,1, eA,n,2, . . . , eA,n,n.

Les morphismes de A-modules sont appeles des applications A-lineaires, ils sont definiscomme pour les espaces vectoriels, comme suit.

Definition 4.1.2 Soient M et N deux A-modules. Une application A-lineaire ϕ : M → Nest un homomorphisme du groupe (M,+,−, 0) vers le groupe (N,+,−, 0) qui est (( compatibleavec la loi externe )) au sens suivant :

– ϕ(a · x) = a · ϕ(x) (a ∈ A, x ∈M)

Lemme 4.1.3 Pour verifier qu’une application ϕ : M → N est une application A-lineaire ilsuffit de verifier que ϕ est compatible avec la loi + et avec la loi externe.

Lemme 4.1.4 Si ϕ : M → N est une application A-lineaire bijective, la bijection reciproqueest egalement lineaire. On dit alors que ϕ est un isomorphisme lineaire de M sur N .

Proposition et definition 4.1.5 (le A-module LA(M,N))Soient M et N deux A-modules. L’ensemble des applications A-lineaires de M dans N est noteLA(M,N), ou, si le contexte est clair, L (M,N). C’est un sous-groupe de HomGroupes(M,N).Il est muni d’une structure naturelle de A-module au moyen de la loi externe definie commesuit :

a · ϕ def= (x 7−→ a · ϕ(x)) (ϕ ∈ L (M,N), a ∈ A, x ∈M).

En outre le A-module EndA(M) def= LA(M,M) est un anneau (pour la loi de multiplication ◦)et l’application

A −→ EndA(M), a 7−→ a · IdMest un homomorphisme injectif d’anneaux.

En verifiant que l’on obtient bien une structure de A-module sur L (M,N) le lecteur noteraque la commutativite de l’anneau est indispensable.

Theoreme 4.1.6 Si H est un groupe abelien, il existe une unique structure de Z-module surH. La loi externe est celle qui a ete definie page 12. Si H et G sont deux groupes abeliens, ona l’egalite HomGroupes(G,H) = LZ(G,H).

Lemme 4.1.7 (applications lineaires depuis un module An)Si M est un A-module arbitraire une application A-lineaire ϕ : An → M est completementcaracterisee par l’image de la base canonique de An, qui sont n elements arbitraires de M .L’application A-lineaire x : An → M correspondant au n-uplet x = (x1, . . . , xn) ∈ Mn estdefinie par

(a1, . . . , an) 7−→∑n

i=1 aixi.

En langage plus abstrait : on a une bijection naturelle

LA(An,M)λA,M,n−−−−→ Mn, ϕ 7−→ (ϕ(e1), . . . , ϕ(en)),

avec (λA,M,n)−1(x) = x. En outre λA,M,n est un isomorphisme de A-modules.

4.2. Applications lineaires entre modules libres de rang fini 45

Definition 4.1.8 Soit x = (x1, . . . , xn) un n-uplet dans un A-module M . On utilise la notationx du lemme 4.1.7.

1. Les xi sont dits lineairement independants si x est injective, i.e., si l’egalite∑n

i=1 aixiimplique les ai sont nuls.

2. On dit que x1, . . . , xn est un systeme generateur de M si x est surjective, i.e., si toutelement de M s’ecrit sous forme

∑ni=1 aixi.

3. Le n-uplet x est appele une base de M si x est un isomorphisme, i.e., si tout elementde M s’ecrit de maniere unique sous forme

∑ni=1 aixi. On dit alors que M est A-module

libre de rang n.

Une base d’un A-module libre de rang n est donc l’image de la base canonique de An par unisomorphisme An → M , et un A-module est libre de rang n si et seulement si il est isomorphea An.

Sous-modules, systemes generateurs

Definition 4.1.9 Soit N un A-module, M un sous-groupe de N , et j : M → N l’injectioncanonique. Il existe au plus une structure de A-module sur (M,+,−, 0) qui fasse de j une appli-cation A-lineaire. Ceci se produit lorsque M est stable pour la loi externe. Les lois sur M sontdonc celles induites par les lois de N . On dit dans ce cas que M est un sous-A-module de N .

Lemme 4.1.10 Les sous-A-modules de A vu comme un A-module sont les ideaux de A.

Lemme 4.1.11 Soit ϕ : M → N une application A-lineaire.Alors le noyau de ϕ : Kerϕ = {x ∈M | ϕ(x) = 0 } est un sous-A-module de M .De meme l’image de ϕ : Imϕ = { y ∈ N | ∃x ∈M, ϕ(x) = y } est un sous-A-module de N .

Une combinaison lineaire d’elements x1, . . . , xn du A-module M est un element de laforme

∑ni=1 aixi (pour des ai ∈ A).

Proposition 4.1.12 Soient x1, . . . , xn des elements d’un A-module M . Il existe un plus petitsous-module de M contenant les xi, c’est l’ensemble des combinaisons lineaires des xi. On peutegalement le caracteriser comme le sous-module image de l’application A-lineaire x : An → Massociee au n-uplet x = (x1, . . . , xn). On note ce sous-module Ax1+· · ·+Axn ou 〈x1, . . . , xn〉A,M ,ou encore, si le contexte est clair 〈x1, . . . , xn〉. On dit que c’est le sous-A-module de Mengendre par x1, . . . , xn.Plus generalement pour une partie G quelconque de M , il existe un plus petit sous-module de Mcontenant G, qui est l’ensemble des combinaisons lineaires pour des familles finies d’elementsde G. On note ce sous-module 〈G〉A, ou encore, si le contexte est clair 〈G〉.

Definition 4.1.13 Un systeme generateur d’un A-module M est une famille d’elements de Mqui engendre M comme sous-module de M . Un A-module est dit de type fini s’il possede unsysteme generateur fini.

Ainsi un module est de type fini si et seulement si il existe une application A-lineaire sur-jective An →M .

4.2 Applications lineaires entre modules libres de rang fini

Matrice d’une application lineaire

Definition 4.2.1 Soient E et F deux A-modules libres de bases respectives E = (e1, . . . , en) etF = (f1, . . . , fm), et ϕ : E → F une application A-lineaire. Si ϕ(ej) =

∑mi=1 aijfi, la matrice

A = (aij)i∈J1..mK,j∈J1..nK ∈Mm,n(A)


est appelee la matrice de l’application A-lineaire ϕ sur les bases E et F . On la noteraA = ME,F (ϕ).

Ainsi les colonnes de ME,F (ϕ) expriment sur la base de F les images par ϕ des elements dela base de E.

D’apres le lemme 4.1.7 il est clair qu’une application A-lineaire entre modules libres de rangfini est entierement caracterisee par sa matrice, qui peut etre choisie arbitrairement. On obtientalors l’isomorphisme suivant.

Lemme 4.2.2 Avec les notations de la definition 4.2.1 l’application

LA(E,F ) −→Mm,n(A), ϕ 7−→ME,F (ϕ)

est un isomorphisme de A-modules. En particulier, LA(E,F ) est un A-module libre de rang mn.

Ce lemme doit etre complete par la correspondance entre la composition des applicationsA-lineaires et le produit des matrices.

Proposition 4.2.3 Soient E, F et G trois A-modules libres de bases respectives E =(e1, . . . , en), F = (f1, . . . , fm) et G = (g1, . . . , gp). Soient ϕ : E → F et ψ : F → G desapplications A-lineaires. Alors on a l’egalite

ME,G(ψ ◦ ϕ) = MG,F (ψ) ·ME,F (ϕ)

Remarque. Une egalite ϕ(x) = y se traduit par l’egalite matricielle AX = Y , ceci peut aussiinterprete en terme de composition d’applications A-lineaires en remarquant queX est la matricede l’application A-lineaire A → E, a 7→ ax et Y est la matrice de l’application A-lineaireA→ F, a 7→ ay (le A-module A etant muni de sa base canonique : 1).

Rang d’un module libre de type fini

Corollaire 4.2.4 (le rang d’un module libre est bien defini)Si An ' Am avec m > n alors l’anneau A est nul. Donc si A est un anneau non nul, le rangd’un A-module libre (de rang fini) L est bien determine. On le notera rgA(L) ou rg(L).

Demonstration. C’est une consequence du lemme 3.1.3, car les isomorphismes ϕ : An → Am etϕ−1 : Am → An donnent des matrices F , G qui verifient FG = Im (proposition 4.2.3). 2

En fait on a un resultat un peu plus precis 4.2.6. Mais il nous faut un lemme preparatoire.

Lemme 4.2.5

1. Soient M un A-module, L un A-module libre de rang fini et ϕ : M → L une applica-tion A-lineaire surjective. Alors il existe une application A-lineaire ψ : L → M telle queϕ ◦ ψ = IdL.

2. Tout endomorphisme surjectif d’un A-module libre de rang fini est un isomorphisme.

3. Tout systeme generateur de m elements dans un module libre de rang m est une base.

Demonstration. 1. On definit ψ comme suit : pour chaque element yi d’une base de L on prendpour ψ(yi) un element xi de M tel que ϕ(xi) = yi.2. Soit L le module libre, ϕ l’endomorphisme surjectif et F la matrice de ϕ sur une base fixee.D’apres le point 1. F est inversible a droite dans Mn(A). Le point 3. du lemme 3.1.1 nous ditque F est inversible dans Mn(A), donc que ϕ est inversible dans EndA(L).3. Simple reformulation du point 2. 2

4.2. Applications lineaires entre modules libres de rang fini 47

Une application A-lineaire surjective ϕ : M → N est dite scindee s’il existe une applicationA-lineaire ψ : N →M telle que ϕ◦ψ = IdN . Le point 1. du lemme precedent dit donc que touteapplication lineaire surjective vers un module libre de rang fini est scindee.

Corollaire 4.2.6 Si ϕ : An → Am est surjective avec m > n alors l’anneau A est nul.

Premiere demonstration. Le point 1. du lemme 4.2.5 nous ramene a la situation du lemme 3.1.3.

Deuxieme demonstration. On compose la projection Am → An, (x1, . . . , xm) 7→ (x1, . . . , xn)avec l’application A-lineaire ϕ. On obtient un endomorphisme surjectif de Am. Le point 2. dulemme 4.2.5 indique que cet endomorphisme est injectif, c’est-a-dire que son noyau est reduita 0, or ce noyau contient le dernier element de la base canonique de Am, avec une coordonneeegale a 1. Donc 1A = 0A. 2

Formule de changement de bases

Etant donnees deux bases E et E ′ d’un meme A-module libre E, la matrice de E ′ surE est par definition la matrice ayant pour colonnes les vecteurs de E ′ exprimes sur la base E ,autrement dit c’est la matrice ME ′,E(IdE). On dit aussi que c’est la matrice de passage deE a E ′.

Une matrice de passage d’une base E a une autre base E ′ est inversible et son inverse estegale a la matrice de passage de E ′ a E . En effet

ME ′,E(IdE) ·ME,E ′(IdE) = ME,E(IdE) = In et ME,E ′(IdE) ·ME ′,E(IdE) = ME ′,E ′(IdE) = In

On deduit de la proposition 4.2.3 la formule de changement de bases.

Fait 4.2.7 (formule de changement de bases)Soient E et F deux A-modules libres de bases respectives E = (e1, . . . , en) et F = (f1, . . . , fm),et ϕ : E → F une application A-lineaire qui admet la matrice A sur ces deux bases. Consideronsdeux autres bases E ′ = (e′1, . . . , e

′n) et F ′ = (f ′1, . . . , f

′m) de E et F . Soit P la matrice de passage

de E a E ′, Q la matrice de passage de F a F ′ et A′ la matrice de ϕ sur les bases E ′ et F ′ alorson a l’egalite

A′ = Q−1 ·A · P

Demonstration. En effet

ME ′,F ′(ϕ) = MF ,F ′(IdF ) ·ME,F (ϕ) ·ME ′,E(IdE)

2

Deux matrices A et A′ de Mm,n(A) sont dites equivalentes si on a une egalite A′ = Q−1·A·Pavec Q inversible dans Mn(A) et P inversible dans Mm(A). Il est clair qu’il s’agit d’une relationd’equivalence sur Mm,n(A).

Deux matrices A et A′ de Mn(A) sont dites semblables si on a une egalite A′ = P−1 ·A ·Pavec P inversible dans Mn(A). Il est clair qu’il s’agit d’une relation d’equivalence sur Mn(A).

Remarque. Le fait que le rang d’un module libre sur un anneau non nul est bien defini n’est passi evident. A titre d’illustration on presente ici un anneau non commutatif C et deux matricesF ∈M2,1(C) et M1,2(C) telles que FG = I2 et GF = I1. Ceci signifie que les modules libres C2

et C1 sont isomorphes (on peut les considerer soit tous deux comme des modules a droite, soittous deux comme des modules a gauche).L’anneau C est l’anneau des endomorphismes du groupe additif B[X], ou B est un anneau nonnul. Tout element f de B[X] s’ecrit de maniere unique sous la forme f1(X2) +Xf2(X2), avec


f1, f2 ∈ B[X]. On considere alors les elements π1, π2, ι1, ι2 de C definis comme suit : π1(f) = f1,π2(f) = f2, ι1(g) = g(X2), ι2(g) = Xg(X2). Un calcul facile donne alors les egalites

[ ι1 ι2 ][π1

π2

]= [ 1C ] et

[π1

π2

][ ι1 ι2 ] =

[1C 00 1C

].

4.3 Modules de type fini

Matrice representant une application A-lineaire entre modules de type fini

Considerons deux A-modules de type fini M = Ax1 + · · ·+ Axn, N = Ay1 + · · ·+ Aym etϕ : M → N une application A-lineaire. Si ϕ(xj) =

∑nj=1 cijyi, on considere la matrice

C = (cij)i∈J1..mK,j∈J1..nK ∈Mm,n(A).

On dit alors que la matrice C represente l’application A-lineaire ϕ sur les systemesgenerateurs (x1, . . . , xn) et (y1, . . . , ym).

Il est clair que la matrice C donne l’information suffisante pour calculer ϕ(x) pour un xarbitraire de E, c’est-a-dire que la matrice C (( definit )) l’application ϕ. Neanmoins il y a deuxdifferences substantielles avec le cas des modules libres et des bases (systemes generateurs li-neairement independants). La premiere est que deux matrices distinctes peuvent representer lameme application A-lineaire. La deuxieme est que toute matrice ne represente pas necessaire-ment une application A-lineaire entre les deux modules, au sens de la definition qui vient d’etredonnee. En bref la relation (( la matrice A represente l’application A-lineaire ϕ )) (pour des sys-temes generateurs fixes) ne donne lieu ni a une application de LA(E,F ) vers Mm,n(A), ni a uneapplication de Mm,n(A) vers LA(E,F ).

Cependant, on retrouve d’autres proprietes des matrices qui etaient valables pour les moduleslibres. Notamment celles concernant la somme ou la composition de deux applications A-lineai-res :

– si C et C ′ representent des applications A-lineaires ϕ,ϕ′ de M vers N remtivement auxmemes systemes generateurs alors C + C ′ et aC representent les applications A-lineairesϕ+ ϕ′ et aϕ,

– meme type de resultat reliant la composition des applications A-lineaires et le produit desmatrices, pour des applications A-lineaires ϕ : M → N et ψ : N → P entre modules detype fini.

On en deduit les deux lemmes suivants.SoitM un A-module de type fini et ϕ ∈ EndA(M). Pour un polynome R(X) =

∑mk=0 akX

k ∈A[X], on definit comme d’habitude

R(ϕ) = a0 · IdM +∑m

k=1ak · ϕk.

On a alors pour R et S ∈ A[X] l’egalite R(ϕ) ◦ S(ϕ) = (RS)(ϕ).

Lemme 4.3.1 Soit (x1, . . . , xn) un systeme generateur de M et C ∈ Mn(A) une matrice quirepresente ϕ sur ce systeme generateur, alors pour R ∈ A[X], R(C) represente l’endomorphismeR(ϕ) sur le meme systeme generateur.

Lemme 4.3.2 Avec les memes hypotheses, si ϕ = 0EndA(M) on a det(C) · IdM = 0EndA(M),c’est-a-dire ∀x ∈M, det(C)x = 0.

Demonstration. Soit P (X) = det(XIn−C) = Xn+∑n−1

k=0 dkXk = XQ(X)+dn le polynome ca-

racteristique de la matrice C. L’endomorphisme P (ϕ) = ϕQ(ϕ)+dnIdM = dnIdM est representepar la matrice P (C) = 0Mn(A), donc dnIdM = 0EndA(M). 2

4.3. Modules de type fini 49

Un resultat structurel important pour les modules de type fini

Nous demontrons dans ce paragraphe le theoreme 4.3.3, de portee tres generale, qui permetde retrouver, dans le cas ou l’on a affaire a un module libre de rang fini, les resultats 4.2.5 et4.2.6, sous une forme plus precise.

Soit M un A-module de type fini et une application lineaire ϕ : M → M . Notons A1 lesous-anneau de EndA(M) image de A par l’injection naturelle a 7→ a · IdM , puis B = A1[ϕ] ={R(ϕ) | R ∈ A[X] } le sous-anneau de EndA(M) engendre par A1 et ϕ. Comme RS(ϕ) = R(ϕ)◦S(ϕ) et RS = SR, l’anneau B est un anneau commutatif unitaire. On peut considerer M commeun B-module avec la loi externe

ψ · x def= ψ(x) (ψ ∈ B, x ∈M).

Theoreme 4.3.3 (surjectif implique bijectif)Soit M un A-module de type fini et ϕ : M → M un endomorphisme surjectif. Alors ϕ est unisomorphisme et son inverse est un polynome en ϕ.

Demonstration. On reprend les notations avant le theoreme. Soit (x1, . . . , xn) un systeme gene-rateur. Considerons l’ideal I de B engendre par ϕ :

I = ϕB =∑∞

k=1A · ϕk = {ϕ ◦R(ϕ) | R ∈ A[X] } .

Puisque l’application lineaire ϕ est surjective, il existe une matrice

P =

a11ϕ · · · a1nϕ...

...an1ϕ · · · annϕ

(aij ∈ A)

verifiant

P

x1...xn

=

x1...xn

et donc (In − P )

x1...xn

=

0...0

,ou In est la matrice identite de Mn(B). On en deduit

det(In − P )

x1...xn

= ˜(In − P ) (In − P )

x1...xn

=

0...0

.Donc det(In − P ) = 0B, or det(In − P ) = 1B − ϕψ avec ψ ∈ B, parce que la matrice P est acoefficients dans I = ϕB. Comme ψ est un polynome en ϕ il commute avec ϕ et l’on obtientϕψ = ψ ϕ = 1B = IdM . En conclusion ϕ est inversible dans B, donc dans EndA(M) et soninverse ψ est un element de A1[ϕ], i.e., un polynome en ϕ. 2

Remarques. 1) La matrice P dans la demonstration ci-dessus ne represente pas necessairementun endomorphisme de M .2) On utilise dans cette preuve des matrices dont certaines ont leurs coefficients dans B etd’autres (les vecteurs colonnes) leurs coefficients dans M . Pour que la demonstration soit sansreproche, il faut se convaincre que l’associativite du produit matriciel reste valable dans ce cadregeneralise. La verification de ce fait est basee d’une part sur la regle d’assocativite mixte

(ψ1 ◦ ψ2) · x = ψ1 · (ψ2 · x),

qui resulte directement des definitions de la loi interne ◦ et de la loi externe · , et d’autre partsur la bilinearite de ces deux produits.

Corollaire 4.3.4 Si M est un module de type fini, tout element ϕ inversible a droite dansEndA(M) est inversible, et son inverse est un polynome en ϕ.

Demonstration. Un endomorphisme inversible a droite est surjectif. 2


4.4 Sommes et produits de modules

Cette section reprend presque sans changement la section analogue pour le cas des groupesabeliens

Si M1 et M2 sont deux sous-A-modules d’un A-module N , alors l’intersection M1 ∩M2 estun sous-A-module de N et la reunion M1 ∪M2 engendre le sous-A-module

M1 +M2 = {x1 + x2 | x1 ∈M1, x2 ∈M2 } ,

qui est appele la somme de M1 et M2.Si en outre on a

(x1 ∈M1, x2 ∈M2, x1 + x2 = 0) =⇒ x1 = x2 = 0,

on dit que les sous-A-modules M1 et M2 sont en somme directe ou encore supplementaireset l’on ecrit M1 ⊕M2 pour M1 +M2.

Si M1⊕M2 = N on dit que N est somme directe interne de M1 et M2 et que M2 est unsupplementaire de M1 dans N . Un sous-A-module M de N est dit facteur direct dans Ns’il possede un supplementaire dans N .

Plus generalement soit (Mi)i∈I est une famille de sous-A-modules de N .1. La reunion

⋃i∈IMi engendre le sous-A-module∑

i∈IMi ={∑

j∈J xj | xj ∈Mj , J une partie finie de I},

qui est appele la somme des Mi.2. Si en outre on a pour toute partie finie J de I

(xj ∈Mj ,∑

j∈J xj = 0) =⇒ ∀j ∈ J, xj = 0,

on dit que les sous-A-modules Mi sont en somme directe et l’on ecrit⊕

i∈IMi pour∑i∈IMi.

Proposition et definition 4.4.1 Soit (Ni)i∈I une famille de A-modules, et N =∏i∈I Ni le

produit des groupes (Ni,+,−, 0). Notons πk : N → Nk la projection canonique (xi)i∈I 7→ xk.Alors il existe une unique structure de A-module sur N qui fasse de chaque πk une applicationA-lineaire. Cette structure est definie par la loi externe

a · (xi)i∈I = (axi)i∈I

On dit que N est le A-module produit de la famille (Ni)i∈I . Lorsque I = {1, . . . , n} on noteaussi N1 × · · · ×Nn.Cas particulier : lorsque tous les A-modules Ni sont egaux a un meme A-module M on noteM I pour le produit

∏i∈IM.

Proposition 4.4.2 On prend les notations de la definition 4.4.1. Soit M un autre A-module.L’application ϕ 7→ (πi ◦ ϕ)i∈I est une bijection

LA(M,∏i∈I Ni) −−→

∏i∈I(LA(M,Ni)),

et cette bijection est un isomorphisme de A-modules.

Lemme 4.4.3 Soient M1 et M2 deux sous-A-modules d’un A-module N . On a un homomor-phisme naturel

M1 ×M2 −→M1 +M2, (x1, x2) 7−→ x1 + x2.

Cet homomorphisme est un isomorphisme si et seulement si M1 ∩ M2 = {0} c’est-a-dire siM1 +M2 = M1 ⊕M2.

Definition 4.4.4 Soit (Ni)i∈I une famille de A-modules, et N =∏i∈I Ni. Le sous-groupe⊕

i∈I Ni de N est aussi un sous-A-module. On dit que⊕

i∈I Ni est le A-module sommedirecte (externe) de la famille (Ni)i∈I .

4.4. Sommes et produits de modules 51

Remarque.– Le A-module

⊕i∈I Ni est donc l’ensemble des familles (xi)i∈I telles que tous les xi sauf

un nombre fini sont nuls.– Dans le cas ou I est fini, on a

⊕i∈I Ni =

∏i∈I Ni. Ceci justifie que l’on note N1×· · ·×Nn

egalement sous la forme N1 ⊕ · · · ⊕Nn.– Pour x = (xi)i∈I ∈

⊕i∈I Ni, on dit que xk est la coordonnee de x pour l’indice k.

– Cas particulier : lorsque tous les A-modules Ni sont egaux a un meme A-module M onnote M (I) pour la somme directe

⊕i∈IM.

Proposition 4.4.5 Soit (Ni)i∈I une famille de A-modules et M un autre A-module. Notonsk : Nk →

⊕i∈I Ni l’application A-lineaire naturelle. L’application

LA(⊕

i∈I Ni,M) −−→∏i∈I(LA(Ni,M)), ϕ 7−→ (ϕ ◦ i)i∈I

est un isomorphisme de A-modules.

L’isomorphisme reciproque est donne par(ϕi)i∈I 7−→ ϕ avec ϕ(x) = ϕ((xi)i∈I) =

∑j∈J xj ,

ou J est une partie finie de I contenant tous les indices a coordonnee non nulle pour x.

Exercices

Exercice 4.4.1 (autour du theoreme chinois)On note Cn un groupe cyclique d’ordre n. On rappelle qu’un treillis est un ensemble ordonnepour lequel deux elements ont toujours une borne superieure et une borne inferieure. On cherchea expliciter des isomorphismes (( naturels )) entre C7×C10 et C70.

1. Dessinez le treillis des sous-groupes de C70.

2. Explicitez une relation de Bezout 7u+ 10v = 1.

3. La premiere methode consiste a utiliser la famille des groupes µn = µn(C) (le groupe desracines n-emes de l’unite dans C). On note ζ = e2iπ/70 le generateur canonique de µ70. Lesgroupes µ7 et µ10 sont les sous-groupes

⟨ζ10

⟩et

⟨ζ7

⟩de µ70. On sait que µ70 = µ7 � µ10

et cela nous fournit donc un isomorphisme (( naturel )) α : µ7×µ10 → µ70 : (x, y) 7→ xy. Ondemande d’expliciter α−1.

4. La deuxieme methode consiste a utiliser la famille des groupes Z/nZ. Pour m ∈ Z on notem la classe de m dans Z/70Z, par m sa classe modulo 7 et par

◦m sa classe modulo 10.

Rappeler brievement pourquoi les applications m 7→ m (de Z/70Z vers Z/7Z) et m 7→ ◦m

(de Z/70Z vers Z/10Z) sont bien definies et sont des homomorphismes surjectifs. Ce sontdes homomorphismes (( naturels )). On note λ : Z/70Z→ Z/7Z×Z/10Z l’homomorphismedefini par λ(m) = (m,

◦m). Montrer que c’est un isomorphisme et expliciter l’isomorphisme

reciproque.

5. Pouvez-vous comparer ces deux methodes ?

Exercice* 4.4.2 (modules projectifs de type fini)Un A-module P est dit projectif de type fini s’il est isomorphe a un facteur direct dans unmodule libre de rang fini. Autrement dit il existe un entier n > 0 et un module Q tels queP ⊕Q ' An.

1. Montrer qu’un A-module est projectif de type fini si et seulement si il existe un entier net une matrice de projection F ∈Mn(A) (i.e., F 2 = F ) telle que P ' ImF .

2. Montrer que si P est un A-module est projectif de type fini, alors P ? egalement et l’ap-plication A-lineaire naturelle de P dans P ?? est un isomorphisme (pour la dualite voir lasection 4.6).


3. Soit F ∈ Mn(A) une matrice de projection. On definit le polynome RF (X) ∈ A[X] parl’egalite RF (1 +X) = det(In +XF ) .

(a) A quoi est egal RF (X) lorsque F est une matrice de projection standard Ik,n ?

(b) Montrer que RF (1) = 1 et RF (XY ) = RF (X) RF (Y ).

(c) Montrer que les coefficients de RF (X) forment un systeme fondamental d’idempotentsorthogonaux.

(d) Montrer que RF (X) ne depend que du module P = ImF . Autrement si pour unematrice de projection G ∈Mm(A) on a ImF ' ImG, alors RF (X) = RG(X).

Exercice 4.4.3 (vecteurs unimodulaires)Soit x un element d’un A-module M . Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes.

1. x est sans torsion et le sous-module 〈x〉 = Ax est en facteur direct dans M .

2. Le sous-module 〈x〉 = Ax est libre de rang 1 et en facteur direct dans M .

3. Il existe une forme lineaire α ∈ LA(M,A) = M? telle que α(x) = 1

Dans ce cas on dit que x est unimodulaire (comme element de M). Montrer qu’alors α estunimodulaire comme element de M?.

4.5 Modules quotients

Definition 4.5.1 Soit M un A-module, N un sous-A-module, M/N le groupe quotient et π :M → M/N la projection canonique. Il existe une unique structure de A-module sur M/N quifasse de π une application A-lineaire. Elle est definie par la loi externe

a · π(x) def= π(ax).

Le A-module ainsi obtenu est appele le module quotient de M par le sous-module N .

Theoreme de factorisation

Theoreme 4.5.2

1. (theoreme de factorisation) Soit N un sous-A-module de M . Pour qu’une application A-lineaire ψ : M → P se factorise par M/N il faut et suffit que N ⊆ Kerψ.

Dans un tel cas l’application A-lineaire M/Nψ1−→ P qui realise la factorisation est unique.

M

π��

ψ

%%LLLLLLLLLLLL

M/Nψ1 !

//_____ P

application A-lineaire qui s’annule sur N

2. (decomposition canonique d’un morphisme)Toute application A-lineaire ϕ : M → P se decompose sous forme

ϕ = j ◦ θ ◦ π, M

j��

ϕ // P

M/Kerϕθ

// ϕ(M)

π

OO

– π : M →M/Kerϕ est la projection canonique,– j : ϕ(M)→ P est l’homomorphisme d’inclusion et– θ : M/Kerϕ → ϕ(M) est un isomorphisme.

4.5. Modules quotients 53

En particulier toute application A-lineaire surjective M → P permet d’identifier P a unmodule quotient de M , via l’isomorphisme M/Kerϕ → P obtenu par factorisation.

Lemme 4.5.3 Soit M un A-module de type fini. Si un quotient M/N de M est isomorphe aM , alors N = 0.

Demonstration. Cela resulte du theoreme 4.3.3, car en composant la projection canonique M →M/N avec l’isomorphisme M/N →M on obtient une application A-lineaire surjective M →Mde noyau N . Comme elle est bijective, N = 0. 2

Sous-modules et quotients d’un module quotient

Proposition 4.5.4 Soit N un sous-module d’un A-module M et π : M → M/N la projectioncanonique. L’application

P 7−→ π−1(P )

etablit une bijection croissante entre les sous-A-modules de M/N d’une part et les sous-A-mo-dules de M contenant N d’autre part. Cette bijection transforme sommes et intersections ensommes et intersections. La bijection reciproque est L 7→ π(L) ' L/N . En outre pour des sous-A-modules P2 ⊆ P1 ⊆ M/N , en notant Li pour π−1(Pi), l’application A-lineaire de L1 versP1/P2 obtenue en composant les deux applications A-lineaires naturelles

L1 −→ P1 −→ P1/P2

donne par le theoreme de factorisation un isomorphismeL1/L2

∼−→ P1/P2.

On peut reecrire cet isomorphisme sous la formeL1/L2

∼−→ (L1/N)/(L2/N).

Proposition 4.5.5 Soient N et P deux sous-modules d’un A-module M . Alors l’application A-lineaire de N vers (N +P )/P obtenue en composant les deux applications A-lineaires naturelles

N −→ N + P −→ (N + P )/P

donne par le theoreme de factorisation un isomorphismeN/(N ∩ P ) ∼−→ (N + P )/P.

Exercices

Exercice 4.5.1 On reprend les hypotheses de l’exercice 2.2.4.

1. Donner une suite de manipulations elementaires (voir page 5) qui transforment la matriceDiag(a, b) en la matrice Diag(a ∨ b, a ∧ b).

2. En deduire que les deux A-modules aA× bA et (a ∨ b)A× (a ∧ b)A sont isomorphes.

3. Est-ce qu’il existe un automorphisme de l’anneau A ×A qui transforme l’ideal aA × bAen l’ideal (a ∨ b)A× (a ∧ b)A ?

Exercice 4.5.2 (surjections scindees)

1. Montrer qu’une application A-lineaire surjective ϕ : M → P est scindee si et seulement siKerϕ est en facteur direct dans M . Dans ce cas si M = N ⊕ Kerϕ la restriction ϕ|N estun isomorphisme de N sur P .

2. Est-ce que les applications Z-lineaires naturelles Z/100Z → Z/10Z et Z/100Z → Z/4Zsont scindees ? Generaliser au cas d’un anneau principal.

3. Si A est un produit fini de corps et P un module de type fini, toute application A-lineairesurjective ϕ : M → P est scindee.


Remarque. Dans le cas d’espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps toutes les surjectionssont scindees et la fabrication des espaces vectoriels quotients est sans mystere. Cela devientnettement plus amusant avec les anneaux commutatifs.

Exercice 4.5.3 (reduction d’un module, modulo un ideal)Soit M un B-module, I un ideal de B et C = B/I l’anneau quotient. On note IM le sousmodule de M engendre par les ax tels que a ∈ I et x ∈ M . Pour a ∈ B et x ∈ M on notea := a mod I et

◦x := x mod IM .

1. Montrer que le B-module quotient M/IM est muni d’une unique structure de C-modulesatisfaisant a

◦x =

◦ax pour a ∈ B et x ∈M .

2. Si M est libre sur B de base E = (e1, . . . , en), M/IM est libre sur C de base (◦e1, . . . ,

◦en)

3. Si P est un sous-B-module de M , a quelle condition P/IP s’identifie-t-il a un sous-C-mo-dule de M/IM ?

4. Si M = M1 ⊕ · · · ⊕Ms pour des sous-B-modules Mi, alors

M/IM s’identifie a M1/IM1 ⊕ · · · ⊕Ms/IMs.

5. Si M est monogene sur B, isomorphe a B/J , a quoi est isomorphe M/IM ?

6. Dans le theoreme 5.3.1 quelle est la structure de (A/〈a〉)-module M/aM pour un elementarbitraire a de A ? Examiner en particulier le cas ou a est l’un des diviseurs elementaires.

4.6 Dualite

Le module dual d’un A-module M est le module LA(M,A), souvent note M?. Ses elementssont appeles des formes lineaires sur M .

Toute application A-lineaire M → N donne lieu a une application transposeetϕ : N? −→M?, α 7−→ α ◦ ϕ.

Dans le cas de modules libres de rang fini, on a la base duale du module dual (definie commepour les espaces vectoriels de dimension finie) et la matrice transposee correspond a l’applicationlineaire transposee pour les bases duales, comme dans le cas des corps.

On a aussi, pour n’importe quel module M une application lineaire canonique M → M??,definie par x 7→ (α 7→ α(x)). Cette application lineaire est un isomorphisme si le module estlibre de rang fini.

4.7 Torsion, annulateurs

Un element x d’un A-module M est appele un element de torsion s’il est annule par unelement regulier b de A : bx = 0. Autrement dit b qui est regulier dans A (( n’est plus regulierpour x )).

Dans un module arbitraire M les elements de torsion forment un sous-module : en effet si bet b′ reguliers annulent respectivement x et x′, l’element bb′, qui est aussi regulier, annule toutecombinaison lineaire de x et x′. Ce sous-module est appele le sous-module de torsion de M ,nous le noterons TA(M), ou, si le contexte est clair T(M).

Un module est dit de torsion si tous ses elements sont de torsion.A l’oppose des elements de torsion il y a les elements sans torsion , c’est-a-dire les elements

x pour lesquels l’ideal annulateur

(0 : x) = (0 : x)A,Mdef= { a ∈ A | ax = 0 }

4.8. Modules monogenes 55

est reduit a 0. Si l’anneau est integre tout element d’un module est ou bien un element de torsion,ou bien un element sans torsion. Mais un idempotent 6= 0, 1 n’est ni un element de torsion, niun element sans torsion.

L’ideal annulateur du A-module M est defini par

AnnA(M) = Ann(M) = (0 : M) = (0 : M)Adef= { a ∈ A | aM = 0 }

Un module est dit fidele si son annulateur est reduit a 0. Il revient au meme de dire quel’homomorphisme canonique A→ EndA(M), a 7→ a · IdM est injectif.

Lemme 4.7.1 Un module de type fini est un module de torsion si et seulement si son annulateurcontient un element regulier.

Demonstration. La condition est evidemment suffisante. Reciproquement si le module est en-gendre par x1, . . . , xn et si chaque xi est annule par un element regulier bi, alors le produit desbi est regulier et annule M . 2

On definit aussi des sous-modules annulateurs comme par exemple, pour un ideal I de A

AnnM (I) = (0 : I)M = {x ∈M | Ix = 0 } .

Les annulateurs sont des cas particuliers de transporteurs, par exemple pour x ∈M et Nun sous-module de M le transporteur de x dans N est

(N : x) = (N : x)A,Mdef= { a ∈ A | ax ∈ N } .

ou encore pour deux sous-modules N , P de M le transporteur de P dans N est

(N : P ) = (N : P )A,Mdef= { a ∈ A | aP ⊆ N } .

Exercices

Exercice 4.7.1 On note P l’ensemble des nombres premiers.

1. On considere le Z-module M =⊕

p∈P Z/pZ.

(a) Montrer que tout element de M est de torsion : M = T(M).

(b) Montrer que M est fidele.

2. On considere l’anneau A =∏p∈P Z/pZ.

Montrer que pour tout x ∈ A il existe un unique y verifiant y(1− xy) = (1− xy)x = 0.

4.8 Modules monogenes

Un module est dit monogene s’il est engendre par un seul element. Si par exemple M = Axalors l’application lineaire surjective µx : A → M, x 7→ ax donne par factorisation un isomor-phisme A/Kerµx

∼−→M .On dit parfois module cyclique pour module monogene, mais la terminologie ne semble pas

bien fixee quant a une difference eventuelle entre les deux notions. On definit parfois un modulecyclique comme un module monogene de torsion.

Sur un anneau principal A, un module monogene est isomorphe a un quotient A/〈a〉. Cettesection est consacree a l’etude de ces modules a travers quelques exercices, qui sont les analoguesdes exercices 2.1.1, 2.1.2 et 2.2.1 qui traitent le cas A = Z.


Exercices

Exercice 4.8.1 Soit A un anneau, a ∈ A et M le module monogene A/aA. On notera e laclasse de 1 dans M .Decrire les sous modules monogenes de M . Que signifie la relation d’inclusion ? Decrire le quo-tient de deux d’entre eux lorsqu’il y a inclusion.

Exercice 4.8.2 Soit A un anneau principal et a ∈ A∗ \A×. Decrire les sous-A-modules de Aet ceux de A/〈a〉.

Exercice 4.8.3 Soit A un anneau arbitraire.

1. Si a ∈ A decrire les applications A-lineaires de A/〈a〉 dans un A-module arbitraire M .

2. On considere a, b dans un anneau principal A. Decrire le A-module LA(A/〈a〉 ,A/〈b〉).Quand est-il reduit a 0 ?

Exercice 4.8.4 Soit A un anneau arbitraire.

1. Montrer que l’anneau EndA(A/〈a〉) est isomorphe a A/〈a〉.2. En deduire que le groupe des automorphismes du A-module A/〈a〉 est isomorphe

a (A/〈a〉)×.

4.9 Un important resultat d’unicite

Theoreme 4.9.1 Soient I1 ⊆ · · · ⊆ In et J1 ⊆ · · · ⊆ Jm des ideaux de A avec n 6 m. Si unA-module M est isomorphe a la fois a A/I1 ⊕ · · · ⊕A/In et A/J1 ⊕ · · · ⊕A/Jm, alors on a

1. Jk = A pour n < k 6 m,

2. et Jk = Ik pour 1 6 k 6 n.

Demonstration. 1. Il suffit de montrer que si n < m alors Jm = A, i.e. que l’anneau B := A/Jmest nul. On a

Bm =⊕m

j=1 A/(Jj + Jm) 'M/JmM '⊕n

i=1 A/(Ii + Jm).

Or chaque A/(Ii + Jm) est un quotient de B, donc il existe une application lineaire surjectivede Bn sur Bm et par suite B est nul (corollaire 4.2.6). On suppose desormais sans perte degeneralite que m = n.

2. Il suffit de montrer que Jk ⊆ Ik pour k ∈ J1..nK. Remarquons d’abord que pour un ideal I etun element x de A, le noyau de l’application lineaire y 7→ yx mod I de A sur x(A/I) est l’ideal(I : x), et donc que

x(A/I) ' A/(I : x).

Soit maintenant x ∈ Jk. Pour j ∈ Jk..nK, on a (Jj : x) = A et donc

xM '⊕n

j=1A/(Jj : x) =

⊕k−1

j=1A/(Jj : x) et xM '

⊕n

i=1A/(Ii : x).

En appliquant le point 1. au module xM avec les entiers k− 1 et n, nous obtenons (Ik : x) = A,i.e. x ∈ Ik. 2

4.10 Modules de presentation finie

Systemes lineaires sur un anneau commutatif

Considerons une matrice M ∈Mq,m(A). A cette matrice correspondent :

4.10. Modules de presentation finie 57

– d’une part le systeme lineaire MX = B, ou X est le vecteur colonne des inconnues et Bun vecteur colonne ayant pour coordonnees des parametres ou des elements de A ;

– d’autre part l’application A-lineaire ϕ : Am → Aq qui est representee par la matrice Msur les bases canoniques.

Dans le cas ou A est un corps, la structure geometrique de ϕ est donnee par des changementsde base sur les espaces vectoriels de depart et d’arrivee, qui conduisent a ramener la matrice ala forme canonique

Ik,q,m =[

Ik 0k,m−k0q−k,k 0q−k,m−k

]avec k 6 min(m, q).

Dans le cas ou A est un anneau principal, on a vu dans le chapitre 3 que l’on obtientegalement une forme reduite, un peu plus sophistiquee, dite forme reduite de Smith[

D 0k,m−k0q−k,k 0q−k,m−k

],

ou D est une matrice diagonale D = Diag(a1, . . . , ak) avec a1 | a2 | . . . | ak 6= 0.

Dans les deux cas la geometrie de l’application A-lineaire ϕ est ainsi parfaitement decrite,et l’interpretation en termes du systeme lineaire est claire.

– Le noyau de ϕ est un A-module libre de rang m − k qui admet un supplementaire librede rank k, ce noyau represente le defaut d’injectivite de ϕ, c’est-a-dire encore le degred’ambiguite de la solution (eventuelle) du systeme lineaire.

– Le conoyau de ϕ, a savoir le module quotient Am/ Imϕ, represente le defaut de surjecti-vite de ϕ, et en termes du systeme lineaire le defaut de solutions. Dans le cas des corps, ils’agit a nouveau d’un module libre, avec la signification (constructive) que l’on est capabled’en calculer une base. Dans le cas d’un anneau principal ce module est isomorphe a unmodule

Aq−k ⊕A/〈d1〉⊕ . . .⊕A/〈dk〉

c’est-a-dire la somme directe d’un module libre et d’une somme directe de modules cy-cliques.

Lorsque l’on passe au cas d’un anneau commutatif arbitraire, les choses deviennent nette-ment plus compliquees. Le noyau, l’image et le conoyau des matrices sont toujours des modulescruciaux, mais leur structure est souvent difficile a cerner.

Definition 4.10.1 Un module isomorphe au conoyau d’une matrice, c’est-a-dire isomorphe aun quotient d’un module libre de rang fini par un sous-module de type fini, est appele un modulede presentation finie.

Pour un anneau arbitraire A, etudier la structure des modules de presentation finie, lesclassifier, est une tache essentielle.

Si M est le module conoyau d’une matrice A = (aij) ∈Mm,n(A), si

π : Am →Mdef= Am/ Im(A)

est la projection canonique et si g1, . . . , gm ∈ M est l’image de la base canonique e1, . . . , em deAm, alors M est engendre par les gk, il est donc de type fini. Les colonnes de la matrice Arepresentent des relations de dependance lineaire entre les gk dans M . On peut visualiser cesrelations en ecrivant

tA

g1...gm

=

a11 . . . am1...

...a1n . . . amn

g1...gm

=

0...0

.En fait on a un peu mieux :


Lemme 4.10.2 Avec les notations precedentes, toute relation de dependance lineaire entre lesgk dans M est une combinaison lineaire des relations donnees par les colonnes de A.

Demonstration. Une egalite∑

i αigi = 0 dans M signifie que∑

i αiei ∈ ImA ⊆ Am, c’est-a-dire

exactement que le vecteur colonne

α1...αm

est une combinaison lineaire des vecteurs colonnes

de A. 2

Ainsi s’explique la terminologie module de presentation finie : un module de presentation finieest un module donne par un nombre fini de generateurs soumis a un nombre fini de relations.

On dit que la matrice A est une matrice de presentation du module M pour lesysteme generateur (g1, . . . , gm).

Changement de systeme generateur pour un module de presentation finie

Se pose alors la question suivante : si l’on change de systeme generateur, est-ce que lesrelations sont toujours engendrees par un nombre fini d’entre elles ? La reponse est positive.

Proposition 4.10.3 Si un module M est de presentation finie, pour tout systeme generateurfini h1, . . . , hr de M , le module des relations pour (h1, . . . , hr) est de type fini.

Demonstration. Avec les notations precedentes on a des matrices H1 ∈ Mm,r(A) et H2 ∈Mr,m(A) telles que

[ g1 · · · gm ]H1 = [h1 · · · hr ] et [h1 · · · hr ]H2 = [ g1 · · · gm ].

On va montrer que le module des relations entre les hj est engendre par les colonnes de H2Ad’une part et les colonnes de Ir −H2H1 d’autre part. En effet tout d’abord on a clairement

[h1 · · · hr ]H2A = 0 et [h1 · · · hr ] (Ir −H2H1) = 0.

Ensuite si l’on a une relation de dependance lineaire [h1 · · · hr ]C = 0, on en deduit[ g1 · · · gm ]H1C = 0, donc H1C = AC ′ pour un certain vecteur colonne C ′ et

C = ((Ir −H2H1) +H2H1)C = (Ir −H2H1)C +H2AC′ = HC ′′,

ou H = [ Ir −H2H1 |H2A ] et C ′′ =[CC ′

]. 2

Applications lineaires entre modules de presentation finie

Tout module de presentation finie M peut etre (( code )) par une matrice de presentation Atelle que Coker(A) 'M . Pour pouvoir (( calculer avec les modules de presentation finie )), il fautaussi decrire les applications lineaires au moyen de matrices.

Nous expliquons comment cela fonctionne sans donner les demonstrations. Le lecteur pourras’y essayer. Il s’agit essentiellement d’appliquer judicieusement le theoreme de factorisation pourdes applications lineaires d’un module dans un autre.

1. Un module de presentation finie M est decrit par un triplet (k, g, A) ou A ∈ Mm,n(A)represente une application lineaire entre les modules libres Ak et Ag. On a M ' Coker(A)et πM : Ag → M est une application lineaire surjective de noyau Im(A), c’est-a-dire quel’on a une suite exacte :

Ak A−−→ Ag πM−−→M → 0

La matrice A est une matrice de presentation de M (pour le systeme generateur de Mimage de la base canonique de Ag par πM ).

4.10. Modules de presentation finie 59

2. Une application lineaire ϕ du module M1 (decrit par (k1, g1, A1)) vers le module M2 (decritpar (k2, g2, A2)) est decrite par deux matrices Kϕ et Aϕ vues comme des applications li-neaires Kϕ : Ak1 → Ak2 et Aϕ : Ag1 → Ag2 soumises a la relation de commutationAϕA1 = A2Kϕ.

Ak1A1 //

Kϕ

��

Ag1

Aϕ

��

πM1 // // M1

ϕ

��Ak2

A2

// Ag2πM2

// // M2

3. L’application lineaire ϕ de M1 vers M2 representee par (Kϕ, Aϕ) est nulle si et seulementsi il existe Z : Ag1 → Ak2 verifiant A2Z = Aϕ.

4. La somme de deux applications lineaires ϕ et ψ de M vers N representees par (Kϕ, Aϕ)et (Kψ, Aψ) est representee par (Kϕ +Kψ, Aϕ +Aψ).Pour a ∈ A l’application lineaire aϕ est representee par (aKϕ, aAϕ).

5. Pour representer la composee de deux applications lineaires, on compose leursrepresentations.

Ceci montre que les problemes concernant les A-modules de presentation finie peuvent tou-jours etre interpretes comme des problemes a propos de matrices, et se ramenent souvent a desproblemes de resolution de systemes lineaires sur A.

Exercices

Exercice* 4.10.1 (reduction d’un module, modulo un ideal, 2)On reprend les notations de l’exercice 4.5.3. On a C = B/I.

1. Si N est un C-module montrer qu’on peut le voir comme un B-module en posant, poura ∈ B et x ∈ N , ax def= ax.

2. Toute application B-lineaire ψ : M → N se factorise de maniere unique par M/IM .

M

π��

ψ

&&MMMMMMMMMMMMM

M/IMθ !

//_____ N

B-modules

applications B-lineaires

C-modules, applications C-lineaires

3. Si M est engendre par (g1, . . . , gm), alors M/IM est engendre comme C-module par(◦g1, . . . ,

◦gm).

4. Si M est de presentation finie sur B avec une matrice de presentation A pour un sys-teme generateur (g1, . . . , gm), M/IM est de presentation finie sur C avec la matrice depresentation A pour le systeme generateur (

◦g1, . . . ,

◦gm).

5. Modules de presentation finie surles anneaux principaux

Dans tout ce chapitre, A designe un anneau principal

5.1 Structure des applications lineaires entre modules libres

Soient E et F deux A-modules libres de bases respectives E = (e1, . . . , en) et F =(f1, . . . , fm), et ϕ : E → F une application A-lineaire.

Soit ϕ : E → F une application A-lineaire avec pour matrice A = ME,F (ϕ).On donne une description geometrique de ϕ dans le theoreme qui suit.

Theoreme 5.1.1 Supposons que l’on ait une reduction de Smith de A sous forme

L ·A · C = D 0


(a priori on a k 6 inf(m,n), eventuellement k = 0, ou k = n, ou k = m). Soit E ′ = (e′1, . . . , e′n)

la base de E telle que C soit la matrice de passage de E a E ′. Soit F ′ = (f ′1, . . . , f′m) la base de

F telle que L−1 soit la matrice de passage de F a F ′. Alors :

1. Le noyau Kerϕ est le A-module libre de base (e′k+1, . . . , e′n), il admet comme supplemen-

taire le module libre de base (e′1, . . . , e′k)

2. L’image Imϕ est le A-module libre de base (a1f′1, . . . , akf

′k). Il admet un supplementaire si

et seulement si les ai (i ∈ J1..kK) sont des unites. Une base d’un supplementaire est alors(f ′k+1, . . . , f

′m).

En outre l’entier k et les ideaux 〈a1〉 , . . . , 〈ak〉 ne dependent que de ϕ.

Demonstration. C’est evident puisque ME ′,F ′(ϕ) = LAC (fait 4.2.7). Le dernier point concer-nant l’unicite des ideaux se deduit de l’unicite analogue dans le theoreme 3.3.3. 2

Remarque. Dans le theoreme precedent si le module image Imϕ n’admet pas de supplementaireon peut neanmoins remarquer que le module G qui admet (f ′1, . . . , f

′k) pour base, et qui est en

facteur direct, peut etre defini de facon intrinseque a partir de Imϕ comme suit.

G = {x ∈ F | ∃a ∈ A∗, ax ∈ Imϕ }

L’ecart entre G et Imϕ est somme toute assez faible puisque G/ Imϕ ' A/〈a1〉⊕ · · · ⊕A/〈ak〉est un module de torsion.

62 5. Modules de presentation finie sur les anneaux principaux

5.2 Theoreme de la base adaptee

Ce theoreme analyse la structure d’une inclusion d’un module de type fini dans un A-modulelibre de rang fini.

Theoreme 5.2.1 Soit M un sous-A-module de type fini d’un module F libre de rang m. AlorsM est libre de rang k 6 m et il existe une base F = (f1, . . . , fm) de F adaptee a M au senssuivant. Il existe un entier k > 0 et des elements a1, . . . , ak de A∗ avec a1 | a2 | · · · | ak tels quea1f1, . . . , akfk soit une base de M .En outre

– l’entier k et les ideaux 〈a1〉 , . . . , 〈ak〉 ne dependent que de M (vu comme sous-modulede F ), on dira que 〈a1〉 , . . . , 〈ak〉 est la liste des facteurs invariants de l’inclu-sion M ⊆ F ,

– si ψ ∈ GL(F ), M et ψ(M) ont les memes facteurs invariants.

On dira aussi que les 〈ai〉 sont les facteurs invariants de l’application A-lineaire ϕ.

Demonstration. L’existence de la base adaptee resulte du theoreme 5.1.1 puisqu’un sous-modulea n generateurs de F est le module image d’une application A-lineaire ϕ : An → F ' Am.On reprend les notations du theoreme 5.1.1. L’unicite de k et celle des ideaux 〈aj〉 resulte

– du fait que les ideaux determinantiels de ϕ sont donnes par

Dr(ϕ) = Dr(A) = Dr(LAC) ={

0 si r > ka1 · · · ar 6= 0 si r ∈ J1..kK

– et du fait que les ideaux determinantiels d’une matrice ne dependent que du module image(theoreme 3.3.7).Enfin le tout dernier point est evident.

2

On dira aussi que la base F est adaptee a l’inclusion M ⊆ F .

Cas des groupes abeliens

On appelle base d’un groupe abelien H une base de H lorsqu’on le voit comme un Z-mo-dule.

Corollaire 5.2.2 Si H est un sous-groupe de type fini d’un groupe abelien libre F ' Zm il existeune base F = (f1, . . . , fm) de F adaptee a H au sens suivant. Il existe un entier k > 0 et deselements a1, . . . , ak de N∗ avec a1 | a2 | · · · | ak tels que a1f1, . . . , akfk soit une base de H.En outre les entier k, a1, . . ., ak ne dependent que de H.

Methode pratique

Elle pourra etre utilisee dans les exercices 5.2.1 et 5.2.2.On veut donner une description precise d’un sous-A-module de type fini de An donne comme

l’image d’une matrice A ∈ Mm,n(A). A priori on procede par manipulations elementaires oumanipulations de Bezout, de lignes et de colonnes.

Comme les manipulations de colonnes ne changent pas le module image, on peut donner lapriorite aux manipulations de colonnes, et n’utiliser les manipulations de lignes que lorsque c’estabsolument necessaire.

Une fois que l’on a une reduction de Smith LAC = ∆, la base adaptee pour le module ImAest fournie par les colonnes de la matrice L−1 ∈ GLm(A).

5.3. Structure des modules de presentation finie 63

Supposons que l’on ait L = Ep · · ·E2 · E1, ou les Ei correspondent aux manipulations (ele-mentaires ou de Bezout) effectuees dans l’ordre de leur numerotation. Alors

L−1 = Im · E−11 · E−1

2 · · ·E−1p .

Pour obtenir L−1 sans trop d’effort, il suffit donc de faire subir a la matrice Im les manipulationsde colonnes correspondant aux multiplications a droite successives par E−1

1 , E−12 , . . ., E−1

p .Par exemple si une matrice E correspond a la manipulation elementaire de lignes Li ←

Li + aLj , la matrice E−1 correspond a la manipulation elementaire de lignes Li ← Li − aLj eta manipulation elementaire de colonnes Cj ← Cj − aCi.

Exercices

Exercice 5.2.1 On considere l’anneau Z et le module M ⊆ Z3 image de la matrice

A =

−1075 −175 545 −8503010 490 −1526 2380−1489 −247 755 −1177

donnee dans l’exemple page 6. Donner une base de Z3 adaptee a l’inclusion M ⊆ Z3, et la basede M correspondante.

Exercice 5.2.2 Meme contexte. Soit P = Im( tA) ⊆ Z4. Donner une base de Z4 adaptee al’inclusion P ⊆ Z4, et la base de P correspondante.

5.3 Structure des modules de presentation finie

Theoreme 5.3.1 Tout A-module de presentation finie M est isomorphe a un module

Ar ⊕A/〈a1〉⊕ · · · ⊕A/〈ak〉 , (r, k ∈ N)

pour des elements a1, . . . , ak de A∗ \A× avec a1 | a2 | · · · | ak. En outre les entiers r, k et lesideaux 〈a1〉 , . . . , 〈ak〉 ne dependent que du module M .

Demonstration. Mise a part la question de l’unicite, cela resulte clairement du theoreme 5.1.1puisqu’un module de presentation finie est par definition un module isomorphe au conoyaud’une matrice F . Naturellement, si la reduite de Smith de A contient des unites sur la diagonale,ces elements n’interviennent pas dans la structure du quotient, puisque pour un u ∈ A× on aA/〈u〉= 0. Pour la structure du quotient nous ne devons garder que les elements diagonaux quisont dans A∗ \A×.La question de l’unicite a ete traitee dans le theoreme general 4.9.1 dans lequel on ne supposaitrien sur l’anneau A. En effet si on pose ak+1 = · · · = ak+r = 0 et s = k + r on obtient

M ' A/〈a1〉⊕ · · · ⊕A/〈as〉

avec 〈a1〉 ⊇ · · · ⊇ 〈as〉 2

Corollaire 5.3.2 Soit A-module de presentation finie M1. Le sous-module de torsion de M admet un supplementaire libre de rang fini dans M ,2. Si M est sans torsion il est libre de rang fini.

Corollaire 5.3.3 Tout A-module de presentation finie de torsion M est isomorphe a un module

A/〈a1〉⊕ · · · ⊕A/〈ak〉

pour des elements a1, . . . , ak de A∗ \A× avec a1 | a2 | · · · | ak. En outre l’entier k et les ideaux〈a1〉 , . . . , 〈ak〉 ne dependent que du module N .


Definition 5.3.4 Dans le theoreme 5.3.1, on peut poser ak+1 = · · · = ak+r = 0. Alors avecs = k + r on obtient : a1, . . . , as ∈ A \A× avec a1 | a2 | · · · | as et

M ' A/〈a1〉⊕ · · · ⊕A/〈as〉 .

La liste de ces ideaux principaux propres [〈a1〉 , . . . , 〈as〉], avec 〈a1〉 ⊇ · · · ⊇ 〈as〉 constitue unsysteme complet d’invariants pour la strucure du module de presentation finie. Autrementdit deux modules de presentation finie sont isomorphes si et seulement si ils ont la meme listed’invariants. Les elements (ai)i∈J1..sK sont appeles les diviseurs elementaires du module M .Leur liste est bien definie a association pres.

Cas des groupes abeliens

Un groupe abelien H est dit de presentation finie s’il est de presentation finie lorsqu’onle voit comme un Z-module.

Corollaire 5.3.5

1. Tout groupe abelien de presentation finie H est isomorphe a un groupe

Zr ⊕ Z/〈a1〉⊕ · · · ⊕ Z/〈ak〉 , (r, k ∈ N)

pour des entiers a1, . . . , ak > 2 avec a1 | a2 | · · · | ak. En outre les entiers r, k et a1, . . . , akne dependent que du module H.

2. Un groupe abelien de presentation finie est libre si et seulement si il est sans torsion.

3. Un groupe abelien est fini si et seulement si il est de torsion et de presentation finie. Il estest isomorphe a un groupe

Z/〈a1〉⊕ · · · ⊕ Z/〈ak〉 , (k ∈ N)

pour des entiers a1, . . . , ak > 2 avec a1 | a2 | · · · | ak. En outre les entiers k et a1, . . . , akne dependent que du groupe.

Methode pratique

Elle pourra etre utilisee pour resoudre les exercices 5.3.1 et 5.3.2.On suppose qu’un module de presentation finie M est donne par une matrice de presenta-

tion A pour un systeme generateur g1, . . . , gm. En appliquant la methode pratique (expliqueepage 62) pour le theoreme de la base adaptee pour le module Im(A), on obtiendra explicitement(comme combinaisons lineaires des gj) les nouveaux generateurs h1, . . . , hs pour lesquels

M = h1A⊕ · · · ⊕ hsA et Ann(hj) = 〈aj〉 (j ∈ J1..sK)

de sorte que hjA ' A/〈aj〉 (les aj sont les diviseurs elementaires du module M).

Exercices

Exercice 5.3.1 On considere l’anneau Z et le module N = Z3/M , conoyau de la matrice

A =

−1075 −175 545 −8503010 490 −1526 2380−1489 −247 755 −1177

donnee dans l’exemple page 6. Donner la structure de N .

Exercice 5.3.2 Meme contexte. Soit Q = Coker( tA). Donner la structure de Q.

5.4. Un peu de dualite 65

Exercice 5.3.3 Combien y a-t-il de structures differentes possibles pour un groupe abelien finid’ordre 500 ? D’ordre 32 ? D’ordre 800 ?

Exercice 5.3.4 On cherche a generaliser l’exercice precedent. Soit A un anneau principal. Pourun module de torsion de type finiM ' A/〈a1〉⊕· · ·⊕A/〈ak〉 on noteO(M) = 〈a〉 ou a = a1 · · · ak.On suppose que a = p5q3 avec p et q irreductibles non associes. Combien y a-t-il de structuresdifferentes possibles pour M si on impose O(M) = 〈a〉?

Exercice 5.3.5 Avec les notations du theoreme 5.3.1 montrer que k+r est le nombre minimumde generateurs de N , et r le rang maximum des sous-modules libres de N .

Exercice* 5.3.6 Soit p un nombre premier et H = Z/pZ⊕ Z/p2Z.Calculer les entiers suivants.

1. Le nombre d’elements d’ordre p2 dans H.

2. Le nombre d’elements d’ordre p dans H.

3. Le nombre d’elements de EndGroupes(H).

4. Le nombre d’elements de AutGroupes(H).

5. Pour p = 5 dessiner le treillis des sous-groupes de H.

Exercice* 5.3.7 (reduction de matrice sur un anneau de Bezout)On considere un anneau de Bezout A et une matrice F ∈Mm,n(A).

1. (forme echelonnee) Montrer qu’il existe un entier k ∈ J0.. inf(m,n)K, une matrice L ∈GLn(A) et une matrice de permutation P ∈ GLm(A) telles que l’on ait

L · F · P = T G

0 0avec T triangulaire superieure a coefficients diagonaux 6= 0

2. (forme triangulaire) Montrer qu’il existe un entier k ∈ J0.. inf(m,n)K, une matrice L′ ∈GLn(A) et une matrice C ∈ GLm(A) telles que l’on ait

L′ · F · C = T ′ 0

0 0avec T ′ triangulaire superieure a coefficients diagonaux 6= 0

3. En deduire que

(a) KerF est libre de rang n− k et admet un supplementaire libre de rang k.

(b) ImF est libre de rang k.

(c) En posant M = CokerF , le sous-module de torsion T(M) admet un supplementairelibre.

(d) Si m = n et F 2 = F , F est semblable a la matrice de projection standard Ik,n.

5.4 Un peu de dualite

Theoreme 5.4.1 Soit M un sous-A-module d’un A-module L libre de rang p, defini par unsysteme d’egalites et de congruences :

λi(x) = 0 pour i ∈ J1..mK et µj(x) ≡ 0 mod aj pour j ∈ J1..nK,

ou les λi et µj sont des formes lineaires sur L. Alors M est libre de rang fini et on peut calculerune base de M .


Demonstration. On introduit des inconnues yj pour j ∈ J1..nK. On a alors un systeme lineairesur L×An ' Ap+n, avec m+ n equations

λi(x) = 0, µj(x) + yjaj = 0

Ce systeme lineaire homogene admet pour solution les elements d’un sous-module M1 de L×An.Ce module est le noyau d’une matrice, il est donc libre et on peut en calculer une base, ce quifournit un isomorphisme explicite ψ : As → M1. Soit maintenant π : L ×An → L, (x, y) 7→ xla projection sur le premier facteur. Il est clair que M = Im(π ◦ ψ). C’est donc l’image d’unematrice et on peut en calculer une base. 2

Remarque. La demonstration proposee ici demande deux calculs successifs de formes reduitesde Smith. En fait le calcul d’un systeme generateur de M1 (qui apparaıt comme le noyau d’unematrice) est suffisant pour passer a la deuxieme etape du calcul. Donc la procedure peut etreacceleree.

Theoreme 5.4.2 Soit M et N deux sous-A-modules de type fini d’un A-module libre de rangfini L. Alors M ∩N est libre de rang fini et on peut calculer une base M ∩N .

Demonstration. D’apres le theoreme 3.4.1 tout sous-A-module de type fini de L peut etre definipar un systeme d’egalites et de congruences. On obtient alors M ∩N comme solution du systemeforme par des egalites et congruences qui definissent M et d’autres qui definissent N . On conclutavec le theoreme 5.4.1. 2

Exercices

Exercice 5.4.1 Calculer le module dual LA(M,A) lorsque M est un module de presentationfinie.

Exercice 5.4.2 On regarde Q comme un Z-module. Calculer son module dual.

Exercice 5.4.3 Soit M et N deux A-modules de presentation finie. Alors le A-moduleLA(M,N) est un module de presentation finie, et plus precisement :

1. On peut calculer un systeme generateur fini pour LA(M,N).2. On peut calculer une matrice de presentation de LA(M,N) pour ce systeme generateur.

5.5 Structure des modules de type fini

Theoreme 5.5.1 Soit A un anneau principal et M un module de type fini arbitraire.1. M est de presentation finie.2. M est somme directe de son sous-module de torsion T(M), qui est de type fini, et d’un

module libre de rang fini dont le rang ne depend que de N .3. Si M est sans torsion, il est libre, et pour tout sous-module de type fini N , il y a une base

de M adaptee a l’inclusion N ⊆M .4. Si M est de torsion, il est isomorphe a un module A/〈a1〉⊕· · ·⊕A/〈ak〉 pour des elements

a1, . . . , ak de A∗ \A× avec a1 | a2 | · · · | ak. En outre l’entier k et les ideaux 〈a1〉 , . . . , 〈ak〉ne dependent que du module N .

Demonstration. Le premier point releve de considerations sur la nœtherianite, que nousdevelopperons au chapitre 7 (voir le theoreme 7.3.2). Le reste en decoule puisque les resultatson ete etablis pour les modules de presentation finie. 2

Remarque. Contrairement aux resultats precedents dans ce chapitre et notamment les theoremesde structure 5.1.1, 5.2.1, 5.3.1, 5.4.1 et 5.4.2, le theoreme 5.5.1 n’a aucun contenu algorithmique.L’hypothese est trop vaguement definie (un module de type fini arbitraire) pour pouvoir etretraitee par une procedure algorithmique. Ceci sera discute dans le chapitre 7.

6. Application : structure d’unendomorphisme

On fixe le contexte suivant pour tout le chapitre 6.

Soient V un K-espace vectoriel de dimension finie,E = (e1, . . . , en) une base de V sur K et ϕ ∈ EndK(V ).

Le but du chapitre est d’etudier la structure de ϕ, ce qui revient a determiner une formereduite uniquement determinee pour la matrice de ϕ apres un changement de base convenable.

Cette etude est facilitee si l’on munit V d’une structure naturelle de K[X]-module attacheea l’endomorphisme ϕ.

Le grand avantage de la forme reduite de Frobenius (que nous allons expliquer) est d’etrecalculee par une procedure purement rationnelle : on ne sort jamais du corps des coefficients dela matrice donnee au depart. En particulier, contrairement a ce qui se passe avec la reduite deJordan, il n’est pas besoin de faire appel aux racines du polynome caracteristique de ϕ.

6.1 Un K[X]-module interessant

On peut voir V comme un K[X]-module, en definissant la loi externe comme suit :P · u = P (ϕ)(u), P ∈ K[X], u ∈ V.

Nous notons Vϕ le K[X]-module ainsi defini. Faisons alors quelques remarques de bon sens,que nous regroupons dans la proposition qui suit. Nous notons µϕ et polynome minimal et χϕle polynome caracteristique de ϕ.

Proposition 6.1.1

1. Un sous-K-espace vectoriel E de V est un sous-K[X]-module si et seulement si ϕ(E) ⊆ E(i.e. E est un sous-espace vectoriel ϕ-stable).

2. Des sous-espaces ϕ-stables sont en somme directe comme K-espaces vectoriels si et seule-ment si ils sont en somme directe comme sous-K[X]-modules de Vϕ.

3. Vϕ est K[X]-module de type fini et de torsion.

4. L’ideal annulateur (0 : Vϕ) ⊆ K[X] est egal a 〈µϕ〉.5. Si y ∈ Vϕ \ {0}, le sous-K[X]-module engendre par y, note 〈y〉ϕ ou K[X] · y, est le plus

petit sous-espace vectoriel ϕ-stable de V contenant y. Ce sous-espace 〈y〉ϕ admet une basede la forme By,ϕ = (y, ϕ(y), . . . , ϕk−1(y)), ou

ϕk(y) = a0y +∑k−1

j=1 ajϕj(y)

est la premiere relation de dependance K-lineaire qui se presente entre y et ses transformessuccessifs par ϕ. Si on pose fy(X) = Xk −

∑k−1j=0 ajX

j on a alors les resultats suivants.

(a) L’annulateur (0 : y)K[X] est egal a 〈fy〉, ce qui implique que fy divise le polynomeminimal µ.

68 6. Application : structure d’un endomorphisme

(b) Le sous-espace 〈y〉ϕ est isomorphe en tant que K[X]-module au module K[X]/〈fy〉.L’isomorphisme est donne par

K[X]/〈fy〉 −→ 〈y〉ϕ , g 7−→ g · y.

En particulier, en notant x = X, l’image de (1, x, . . . , xk−1) (base naturelle du K-es-pace vectoriel K[X]/〈fy〉), est la base By,ϕ.

(c) La matrice de la restriction ϕ|〈y〉ϕ sur la base By,ϕ est la matrice compagne dupolynome fy :

Pfy =

0 · · · · · · · · · 0 a0

1 0... a1

0. . . . . .

......

.... . . . . . . . .

......

.... . . 1 0 ak−2

0 · · · · · · 0 1 ak−1

.

(d) Le polynome caracteristique et le polynome minimal de ϕ|〈y〉ϕ, c’est-a-dire encore dela matrice compagne Pfy , sont tous deux egaux a fy.

Demonstration. 1. Clair.2. En effet dans les deux cas cela signifie qu’ils sont en somme directe comme sous-groupesabeliens de V .3. En effet V est engendre par (e1, . . . , en) et si χ(X) est le polynome caracteristique de ϕ, alorsχ annule V , i.e. χ ∈ (0 : Vϕ)K[X].4. Par definition du polynome minimal de ϕ.5. Clair, modulo eventuellement de petits calculs. 2

Le theoreme qui suit est un peu plus delicat.

Theoreme 6.1.2 Avec les notations precedentes soit F = ME(ϕ). Alors la matrice caracteris-tique XIn − F est une matrice de presentation du K[X]-module Vϕ pour le systeme generateur(e1, . . . , en).

Demonstration. Notons F = (aij)i,j∈J1..nK. On a X · ej = ϕ(ej) =∑

i∈J1..nK aijei.Autrement dit

(X − ajj) · ej −∑

i∈J1..nK,i6=j aijei = 0.

Ainsi la j-eme colonne de XIn−F est une relation de dependance K[X]-lineaire pour le systemegenerateur (e1, . . . , en).Il nous faut ensuite demontrer que toute relation de dependance K[X]-lineaire pour (e1, . . . , en)est une combinaison K[X]-lineaire des relations donnees par les colonnes de XIn − F .Puisque X2 ·ej = X · (X ·ej), on voit1 que l’expression de X2 ·ej comme combinaison K-lineairede E , s’ecrit comme combinaison K[X]-lineaire des relations donnees par XIn − F . De memepour tout g ∈ K[X], l’expression de g · ej comme combinaison K-lineaire de E , s’ecrit commecombinaison K[X]-lineaire des relations donnees par XIn − F . Cette expression est donnee enfait par la j-eme colonne de la matrice g(F ).Maintenant, pour (g1, . . . , gn) ∈ K[X]n, l’expression de

∑i∈J1..nK gi · ei comme combinaison K-

lineaire de E s’ecrit aussi comme combinaison K[X]-lineaire des relations donnees par XIn−F .Et une telle expression est identiquement nulle exactement si et seulement si

∑i∈J1..nK gi ·ei = 0.

2

1. La lectrice sceptique est vivement encouragee a ecrire les details de ce petit calcul, par exemple avec n = 3.

6.2. Forme reduite de Frobenius 69

Exercices

Exercice 6.1.1 Donner une demonstration detaillee de la proposition 6.1.1.

Exercice* 6.1.2 (structure de A[X]-module sur An associee a A ∈Mn(A))On generalise le theoreme 6.1.2 en remplacant le corps K par un anneau arbitraire A. SoitA ∈Mn(A) ; on munit An d’une structure de A[X]-module en posant

Q · x = Q(A) · x

pour Q ∈ A[X] et x ∈ An (notez que le premier · est la loi externe que l’on definit tandis quele deuxieme · est le produit matriciel usuel).Soit ϕ : A[X]n � An l’unique A[X]-morphisme qui transforme la base canonique de A[X]n encelle de An. Autrement dit, si on note du meme nom (e1, . . . , en) ces deux bases canoniques, ϕest definie par

ϕ(Q1, . . . , Qn) = ϕ(Q1e1 + · · ·+Qnen)def= Q1 · e1 + · · ·+Qn · en = (Q1(A) · e1, . . . , Qn(A) · en).

On va montrer que la suite ci-dessous est exacte :

A[X]n XIn−A−−−→ A[X]nϕ−−→ An → 0

Autrement dit An est un A[X]-module de presentation finie et XIn − A est une matrice depresentation pour le systeme generateur (e1, . . . , en).1. Montrer que l’on a une somme directe de A-modules A[X]n = Im(XIn −A)⊕An.2. Conclure.

6.2 Forme reduite de Frobenius

Dans l’anneau euclidien K[X] tout polynome non nul est (( associe a )) un unique polynomeunitaire (au sens de la relation d’association). Or dans la forme reduite de Smith d’une matrice,les elements diagonaux sont a priori definis a association pres. On obtient donc dans le cas del’anneau K[X] une forme reduite completement unique en demandant que les elements diagonauxnon nuls soient des polynomes unitaires.

Rappelons qu’une matrice H ∈ Mn(K[X]) est inversible si et seulement si son determinantest inversible dans K[X], c’est-a-dire si det(H) ∈ K∗. Dans le processus de reduction de Smithd’une matrice, les matrices de passage produites sont automatiquement de determinant ±1.

Theoreme 6.2.1 (structure d’un endomorphisme d’un K-espace vectoriel)Avec les notations precedentes.

1. La reduction de Smith de la matrice XIn − F est du type

L · (XIn − F ) · C = Diag(1, . . . , 1, f1, . . . , fk), k ∈ N∗, L, C ∈ GLn(K[X])

avec pour fi des polynomes unitaires dans K[X] \K verifiant f1 | · · · | fk.2. Le K[X]-module Vϕ est isomorphe a

K[X]/〈f1〉⊕ · · · ⊕K[X]/〈fk〉

3. La matrice F est semblable a une matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonauxsont les matrices compagnes des polynomes fi. Cette forme reduite de la matrice de ϕ estappelee forme de Frobenius.

4. Le polynome fk est egal au polynome minimal µ de ϕ. Le polynome caracteristique χ de fest egal au produit des fi.


5. Si le polynome caracteristique de ϕ est egal a son polynome minimal il n’y a qu’un blocdiagonal, Vϕ = 〈y〉ϕ pour un y ∈ V et sur une base convenable la matrice de ϕ est lamatrice compagne de son polynome caracteristique.

Demonstration. Consequence du theoreme 5.3.1 (forme reduite de Smith d’une matrice sur unanneau principal), du corollaire 5.3.3 (structure des A-modules de presentation finie de torsionsur un anneau principal), du theoreme 6.1.2 (matrice de presentation de Vϕ) et de la proposition6.1.1 (remarques de bon sens sur le module Vϕ). Les details sont laisses au lecteur. 2

Les deux theoremes structurels 6.1.2 et 6.2.1 doivent etre completes par le theoreme plusfacile qui suit.

Deux endomorphismes d’un meme K-espace vectoriel de dimension finie sont dits sem-blables s’ils sont conjugues sous l’action du groupe lineaire, c’est-a-dire encore si leurs matricessur une meme base sont semblables.

Theoreme et definition 6.2.2 On considere deux endomorphismes ϕ et ψ du K-espace vec-toriel V (de dimension finie n).

1. (a) Tout homomorphisme de K[X]-modules, θ : Vϕ → Vψ, est un endomorphisme duK-espace vectoriel V .

(b) Pour qu’un θ ∈ EndK(V ) soit un homomorphisme de Vϕ dans Vψ, il faut et suffit queθ ◦ ϕ = ψ ◦ θ.

2. Les endomorphismes ϕ et ψ sont semblables si et seulement si les K[X]-modules Vϕ et Vψsont isomorphes.

3. Les polynomes fi dans le theoreme 6.2.1 caracterisent la classe d’equivalence de ϕ pourla relation de similitude. Ils sont appeles les invariants de similitude de l’endomor-phisme ϕ.

Demonstration. 1a) Evident.1b) Pour g ∈ K[X] et v ∈ V notons g(ϕ)(v) = g ·ϕ v et g(ψ)(v) = g ·ψ v. Alors θ est unhomomorphisme de Vϕ dans Vψ si et seulement si pour tout g ∈ K[X] et v ∈ V on a

θ(g ·ϕ v) = g ·ψ θ(v)

Ceci implique pour g = X que θ(ϕ(v)) = ψ(θ(v)). Inversement si θ ◦ ϕ = ψ ◦ θ, alors par recur-rence sur r, θ ◦ ϕr = ψr ◦ θ, puis pour tout g ∈ K[X], θ ◦ g(ϕ) = g(ψ) ◦ θ, donc pour tout v,θ(g ·ϕ v) = g ·ψ θ(v).2. Consequence immediate de 1.3. La liste des fi caracterise exactement la classe d’isomorphisme du module Vϕ. D’apres lepoint 2., elle caracterise donc exactement la classe de similitude de ϕ. 2

Remarques. 1) En dimension n fixee et pour un polynome caracteristique donne, les invariantsde similitude sont soumis a deux contraintes. D’une part leur produit doit etre egal au polynomecaracteristique, d’autre part ils doivent se diviser successivement : f1 | · · · | fk. Notons aussi quefk est egal au polynome minimal et que fk1 divise le polynome caracteristique.2) Si ϕ est nilpotent, son polynome caracteristique est Xn et les invariants de similitude de ϕsont des Xri . La forme de Frobenius est alors identique a la forme de Jordan (a ceci pres que dansun bloc de Jordan usuel les 1 sont au dessus de la diagonale, alors que dans la forme de Frobeniusils sont en dessous de la diagonale, il suffit de prendre les vecteurs dans la numerotation opposeepour passer d’une forme a l’autre).3) Si ϕ − λId est nilpotent, son polynome caracteristique est (X − λ)n et les invariants desimilitude de ϕ sont des polynomes (X − λ)ri . La forme de Frobenius de ϕ− λId redonne alorsla forme de Jordan (comme dans la remarque 1)).

6.3. Exemples 71

4) Si l’on sait calculer la decomposition en facteurs premiers du polynome caracteristique χd’un endomorphisme ϕ, on peut ecrire χ = q1 · · · qr ou les qi sont des puissances de polynomesirreductibles pi. Alors on a V = V1⊕· · ·⊕Vr ou Vi = Ker(qi(ϕ)) (lemme des noyaux). En notantϕi l’endomorphisme de Vi obtenu par restriction de ϕ, on peut ensuite calculer la forme reduitede Frobenius de chaque ϕi. Les invariants de similitude de ϕi sont alors des puissances de pi.Ceci donne lieu a une autre forme reduite, mais son calcul est a priori beaucoup plus difficileque pour la forme de Frobenius, voire impossible, dans la mesure ou il est base sur le calcul (apriori difficile) de la decomposition en facteurs premiers du polynome caracteristique.

6.3 Exemples

Les exemples d’application de la theorie precedentes sont de deux ordres.

Tout d’abord le plus souvent, un endomorphisme ϕ (d’un espace vectoriel de dimension finie)a son polynome minimal egal a son polynome caracteristique. Dans ce cas la theorie nous ditque, sur une base convenable, l’endomorphisme admet pour matrice la matrice compagne de sonpolynome caracteristique. La base est du type

(x1, . . . , xn) avec x2 = ϕ(x1), x3 = ϕ(x2), . . . , xn = ϕ(xn−1).

En pratique, il suffit de choisir le vecteur x1 (( au hasard )) et cela marche avec une tres bonneprobabilite de succes (i.e., les xi sont lineairement independants).

Les exemples plus difficiles sont lorsque le polynome minimal n’est pas egal au polynomecaracteristique. Il existe des techniques d’algebre lineaire pure qui n’utilisent pas la belle theoriedes modules sur les anneaux principaux, et qui donnent a partir d’une matrice carree F deuxmatrices H et P ou H est la forme reduite de Frobenius de F et P est la matrice de changementde base : P−1 F P = H.

La theorie que nous avons developpee est plus elegante, mais ne fournit sans doute pasd’algorithme plus performant que ceux bases sur l’algebre lineaire.

Nous proposons deux exemples que nous traitons avec le logiciel Maple 9 et nous donnons letexte correspondant (programmes et exemples) juste apres nos commentaires de ce texte.

Les trois premieres pages definissent les procedures qui seront utilisees.Pour notre methode nous considerons la matrice caracteristique A = uI6 − F a coefficients

dans Q[u] et nous allons lui faire subir des transformations de lignes et de colonnes legitimespour l’anneau principal Q[u]. A la suite de ces transformations nous aurons une egalite L A C =A′ avec L,C ∈ GL6(Q[u]) (en fait L et C sont de determinant ±1) et l’image de A′ serasuffisamment simple (en forme de Smith a des permutations de colonnes pres) pour que lastructure du module CokerA′ soit claire.

Nous aurons besoin de connaıtre L−1 pour donner la matrice de changement de base. Pourcela nous initialisons V et W = V −1 avec V = W = I6. Au cours du traitement de la matrice Achaque fois qu’une manipulation de ligne intervient, nous faison subir a V la meme manipulationde ligne et a W la manipulation de colonne opposee, de maniere a avoir constamment W =V −1. Par contre nous ne nous preoccupons pas de calculer la matrice C correspondant auxmanipulations de colonnes, car cette matrice n’a pas d’incidence sur l’image de la matrice LFC.

Ainsi les procedures de manipulations de lignes operent sur le triplet B = (A, V,W ) tandisque les procedures de manipulations de colonnes operent uniquement sur la matrice A.

La procedure pivotligne utilise le coefficient en position (m,n), suppose constant nonnul, comme pivot pour tuer tous les coefficients de la colonne n, sauf le pivot, au moyen demanipulations de lignes.

La procedure pivotcolonne utilise le coefficient en position (m,n), suppose constant nonnul, comme pivot pour tuer tous les coefficients de la ligne m, sauf le pivot, au moyen demanipulations de colonnes.


La procedure pivotlc enchaıne les deux procedures precedentes.

La procedure quopivcol considere les coefficients a et b ∈ Q[u] en positions (m,n1) et(m,n2). La division euclidienne de a par b donne le quotient q : on retranche q fois la colonnen2 a la colonne n1, ce qui remplace a par le reste de la division de a par b.

La procedure quopivli est la procedure analogue de manipulations de lignes, visant a diviserun coefficient par un autre situe dans la meme colonne.

La procedure iBzCol utilise une relation de Bezout (sur Z) entre deux coefficients cons-tants (entiers, non nuls) situes sur une meme ligne. La procedure fait subir aux colonnes unemanipulation de Bezout correspondante.

La procedure BzCol utilise une relation de Bezout (sur Q[u]) entre deux coefficients nonconstants situes sur une meme ligne. La procedure fait subir aux colonnes une manipulation deBezout correspondante.

Enfin les deux dernieres procedures servent a expliciter la structure de Q[u]-module de Qn

en presence de l’endomorphisme defini par la matrice F .

La procedure EvalPolMatVect prend en entree une matrice F ∈Mn(Q), un polynome P (enla variable u) et un vecteur V ∈ Qn. Cette procedure evalue P ·F V = P (F ) · V (retourne sousla forme du vecteur V1)

La procedure EvalMatVectPol prend en entree une matrice F ∈Mn(Q) et un V ∈ Q[u]n (lenom de la variable est precise). Cette procedure evalue V apres substitution de F a u. Autrement

dit, si V =

p1(u)...

pn(u)

, on evalue le vecteur∑n

i=1 pi(F ) · ei, ou (e1, . . . , en) est la base canonique

de Qn. Le resultat est retourne sous la forme du vecteur V1.

La page 4 commence le premier exemple en creant une matrice F convenable. Nous noteronsϕ l’endomorphisme de Q[u]n correspondant.

La fonction Pass prend en entree un entier, et donne en sortie une matrice unitriangulairesuperieure, les coefficients non nuls etant tires au hasard parmi −1, 0, 1.

La matrice G est en forme reduite de Frobenius.

G :=

0 0 0 −1 0 01 0 0 0 0 00 1 0 −2 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 −10 0 0 0 1 0

Ses invariants de similitude sont X2 + 1 et (X2 + 1)2. On construit une matrice inversible T1 aumoyen de deux utilisations de Pass, on calcule T2 = T−1

1 , puis F = T2 G T1, ce qui donne

F :=

13 −9 −5 −13 −3 −6−4 0 0 10 3 526 −14 −8 −36 −9 −186 −1 0 −8 −4 −28 −8 −5 −8 0 −6−7 1 0 10 5 3

La procedure frobenius de maple, appliquee a la matrice F , donne les matrices suivantes pour

6.3. Exemples 73

P et P−1

P =

13231643

178891643

249651643 −12960

1643 − 3201643 −3470

1643

− 4051643 −5652

1643 −45241643

319401643 − 405

16439201643

15661643

358111643

378661643 −71957

164315661643 −6907

1643

−21181643

61091643

284061643 −1180

1643 −21181643 −3749

164312553

38453 −125

53 −38453

12553 −40

5318391643 −5954

1643 −281271643

10251643

18391643

55471643

1 −20491643 −1269

1643 − 4501643

3921643 − 429

1643

0 6321643

3331643 − 412

1643 − 953 − 1

53

0 − 3131643 − 184

16436041643

2371643

2841643

0 1361643

231643 − 9

1643 0 0

−1 2483445

31689

60263445

4853

27673445

0 − 6163445 − 77

68938133445

953

33513445

Autrement dit la nouvelle base est formee par le vecteur correspondant a la premiere colonnede P , ses 3 transformes successifs par F , puis le vecteur correspondant a la 5-eme colonne de Pet son transforme par F . On verifie que l’on a bien P−1 F P = G.

Avec notre methode, apres quelques calculs nous obtenons

L F C = A8 =

0 0 5 0 0 0

0 0 0 0 0 52

0 0 0 0 − 425 u

4 − 825 u

2 − 425 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 −12 −

12 u

2 0 0

1 0 0 0 0 0

=

0 0 5 0 0 0

0 0 0 0 0 52

0 0 0 0 − 425 (u4 + 2u2 + 1) 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 −12 (1 + u2) 0 0

1 0 0 0 0 0

avec L = V8 et

L−1 = W8 =

1 0 0 9 0 41 + u

0 1 0 u 0 6u+ 415 u+ 8

5425 u

3 − 325 u

2 + 425 u−

4325 1 14 1

5 −15 u 58

0 0 0 1 0 0

1 −25 u

2 − 25 0 8 1 40

0 0 0 −1 0 1

Exprimee sur la base (w1, . . . , w6) de Q[u]6 formee par les colonnes de W8 l’endomorphisme

ψ = uIn − ϕ est represente par la matrice A8, donc l’image de ψ est egale a

Q[u]w1 ⊕Q[u]w2 ⊕ (u4 + 2u2 + 1)Q[u]w3 ⊕Q[u]w4 ⊕ (u2 + 1)Q[u]w5 ⊕Q[u]w6.


Or l’espace vectoriel Q6 vu comme Q[u]-module via l’action ϕ est isomorphe a Cokerψ. Donc,apres subsitution de F a u les vecteurs w1, w2, w4, w6 doivent etre nuls, tandis que les vecteursw3 et w5 sont evalues non nuls, et

(w3, ϕ(w3), ϕ2(w3), ϕ3(w3), w5, ϕ(w5))

doit etre une base de Q6 par rapport a laquelle l’endomorphisme ϕ est en forme reduite deFrobenius pour les polynomes (u2 + 1)2 et u2 + 1. C’est ce qui est verifie par le calcul.

Les pages qui suivent donnent un autre calcul pour la meme matrice F dans lequel onessaie d’eviter l’apparition de denominateurs dans les matrices de passage, d’ou l’utilisation dela procedure iBzCol. Mais le succes n’est pas complet.

Enfin les dernieres pages traitent un exemple plus simple, avec une matrice nilpotente, pourlaquelle les formes de Frobenius et de Jordan coıncient.

> restart: with(linalg):

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> pivotligne:= proc(A,V,W,m,n) local nl, nc,A1,V1,W1, piv, i; nl:=rowdim(A); nc:=coldim(A); A1:=matrix(nl,nc,0); A1:=copyinto(A,A1,1,1); piv:=A[m,n]; V1:=matrix(nl,nl,0); V1:=copyinto(V,V1,1,1); W1:=matrix(nl,nl,0); W1:=copyinto(W,W1,1,1); for i to nl do if i<>m then A1:=addrow(A1,m,i,-A[i,n]/piv); V1:=addrow(V1,m,i,-A[i,n]/piv); W1:=addcol(W1,i,m,A[i,n]/piv); fi od; RETURN(A1,V1,W1); end;

pivotligne := proc A, V, W, m, n( )local nl, nc, A1, V1, W1, piv, i;

nl := rowdim A( ); nc := coldim A( ); A1 := matrix nl, nc, 0( ); A1 := copyinto A, A1, 1, 1( ); piv := A[m, n]; V1 := matrix nl, nl, 0( ); V1 := copyinto V, V1, 1, 1( ); W1 := matrix nl, nl, 0( ); W1 := copyinto(W, W1, 1, 1); for i to nl do

if i <> m then A1 := addrow A1, m, i, - /A[i, n]( ) piv( )( ); V1 := addrow V1, m, i, - /A[i, n]( ) piv( )( ); W1 := addcol(W1, i, m, /A[i, n]( ) piv( ));

end if;end do; RETURN A1, V1, W1( );

end proc;

> pivotcolonne:= proc(A,m,n) local nl, nc,A1, piv, j; nl:=rowdim(A); nc:=coldim(A); A1:=matrix(nl,nc,0); A1:=copyinto(A,A1,1,1); piv:=A[m,n]; for j to nc do if j<>n then A1:=addcol(A1,n,j,-A[m,j]/piv) fi od; A1:=map(expand,A1); RETURN(A1); end;pivotlc:= (A,V,W,m,n)-> pivotligne(pivotcolonne(A,m,n),V,W,m,n);

pivotcolonne := proc A, m, n( )local nl, nc, A1, piv, j;

nl := rowdim A( ); nc := coldim A( ); A1 := matrix nl, nc, 0( ); A1 := copyinto A, A1, 1, 1( ); piv := A[m, n]; for j to nc do if j <> n then A1 := addcol A1, n, j, - /A[m, j]( ) piv( )( ) end if;

end do; A1 := map expand, A1( ); RETURN A1( );

end proc;

pivotlc := A, V, W, m, n( ) ® pivotligne pivotcolonne A, m, n( ), V, W, m, n( )

> quopivcol:= proc(A,m,n1,n2,u) local q; q:=-quo(A[m,n1], A[m,n2], u); map(expand,addcol(A,n2,n1,q)) end;

quopivcol := proc A, m, n1, n2, u( )local q;

q := -quo A[m, n1], A[m, n2], u( ); map expand, addcol A, n2, n1, q( )( );end proc;

> quopivli:= proc(A,V,W,n,m1,m2,u) local q,A1,V1,W1; q:=-quo(A[m1,n], A[m2,n], u); A1:=map(expand,addrow(A,m2,m1,q)); V1:=map(expand,addrow(V,m2,m1,q)); W1:=map(expand,addcol(W,m1,m2,-q)); RETURN(A1,V1,W1);end;

quopivli := proc A, V, W, n, m1, m2, u( )local q, A1, V1, W1;

q := -quo A[m1, n], A[m2, n], u( ); A1 := map expand, addrow A, m2, m1, q( )( ); V1 := map(expand, addrow V, m2, m1, q( )); W1 := map expand, addcol W, m1, m2, -q( )( ); RETURN A1, V1, W1( );

end proc;

> iBzCol:= proc(A,m,n1,n2) local i,nl,a,b,s,t,g,Bz,A1; nl:=rowdim(A); a:=A[m,n1]; b:=A[m,n2]; igcdex(a,b,'s','t'): s; t; g:=s*a+t*b; a:=a/g; b:=b/g; Bz:=diag(seq(1,i=1..nl-2),matrix(2,2,[[s,-b],[t,a]])); if nl>n2 then A1:=swapcol(A,nl,n2) else A1:=A fi; if nl>n1+1 then A1:=swapcol(A1,nl-1,n1) else A1:=A1 fi; RETURN(evalm(Bz),evalm(A1.Bz)); end;

iBzCol := proc A, m, n1, n2( )local i, nl, a, b, s, t, g, Bz, A1;

nl := rowdim A( ); a := A[m, n1]; b := A[m, n2]; igcdex a, b, 's', 't'( ); s; t; g := s*a + t*b; a := /a( ) g( ); b := /b( ) g( ); Bz := diag seq 1, i = 1 .. nl - 2( )( ), matrix 2, 2, s, -b[ ], t, a[ ][ ]( )( ); if n2 < nl then

A1 := swapcol A, nl, n2( )else

A1 := Aend if; if n1 + 1 < nl then A1 := swapcol A1, nl - 1, n1( ) else A1 := A1 end if; RETURN evalm Bz( ), evalm `.` A1, Bz( )( )( );

end proc;

> BzCol:= proc(A,m,n1,n2,u) local i,nl,a,b,s,t,g,Bz,A1; nl:=rowdim(A); a:=A[m,n1]; b:=A[m,n2]; gcdex(a,b,u,'s','t'): s; t; g:=s*a+t*b; a:=expand(normal(a/g)); b:=expand(normal(b/g)); Bz:=diag(seq(1,i=1..nl-2),matrix(2,2,[[s,-b],[t,a]])); if nl>n2 then A1:=swapcol(A,nl,n2) else A1:=A fi; if nl>n1+1 then A1:=swapcol(A1,nl-1,n1) else A1:=A1 fi; RETURN(evalm(Bz),map(expand,evalm(A1.Bz))); end;

BzCol := proc A, m, n1, n2, u( )local i, nl, a, b, s, t, g, Bz, A1;

nl := rowdim A( ); a := A[m, n1]; b := A[m, n2]; gcdex a, b, u, 's', 't'( ); s; t; g := s*a + t*b; a := expand(normal( /a( ) g( ))); b := expand normal /b( ) g( )( )( ); Bz := diag(seq 1, i = 1 .. nl - 2( )( ), matrix 2, 2, s, -b[ ], t, a[ ][ ]( )); if n2 < nl then A1 := swapcol A, nl, n2( ) else A1 := A end if; if n1 + 1 < nl then A1 := swapcol A1, nl - 1, n1( ) else A1 := A1 end if; RETURN evalm Bz( ), map expand, evalm `.` A1, Bz( )( )( )( );

end proc;

6.3.

Exem

ples

75

> EvalPolMatVect:= proc(F,P,V,u) local j, d, Ve, V1; d:=degree(P,u); Ve:= V; V1:=evalm(coeff(P,u,0)*Ve); for j to d do Ve:=evalm(F.Ve); V1:=evalm(V1+coeff(P,u,j)*Ve) od; RETURN(evalm(V1)); end;

EvalPolMatVect := proc F, P, V, u( )local j, d, Ve, V1;

d := degree P, u( ); Ve := V; V1 := evalm coeff P, u, 0( )*Ve( ); for j to d do Ve := evalm `.` F, Ve( )( ); V1 := evalm V1 + coeff P, u, j( )*Ve( );

end do; RETURN evalm V1( )( );

end proc;

> # le vecteur V a pour coeffs des polynomes en u # on l'évalue en remplaçant u par la matrice F # par exemple avec # V = [2+3*u,1+u,u^2] = (2+3*u) e1 + (1+u) e2 + u^2 e3 # le resultat sera (2I+3F)(e1) + (I+F)(e2) + F^2(e3) # où e1, e2, e3 est la base canonique EvalMatVectPol:= proc(F,V,u) local nl, i, j, Vb, V1, P; nl:=rowdim(F); V1:=vector(nl,0); for i to nl do P:= V[i]; Vb:= vector(nl,0); Vb[i]:=1; V1:= evalm(V1 + EvalPolMatVect(F,P,Vb,u)) od;RETURN(evalm(V1)); end;

EvalMatVectPol := proc F, V, u( )local nl, i, j, Vb, V1, P;

nl := rowdim F( ); V1 := vector nl, 0( ); for i to nl do P := V[i]; Vb := vector nl, 0( ); Vb[i] := 1; V1 := evalm V1 + EvalPolMatVect F, P, Vb, u( )( );

end do; RETURN evalm V1( )( );

end proc;

> `mod` := mods: Pass:= n -> map(x-> x mod 3,randmatrix(n,n,unimodular));

Pass := n ® map x ® x mod 3, randmatrix n, n, unimodular( )( )

> p:=x^2+1: p2:=p^2:G:=diag (companion(p2,x),companion(p,x)); T1:=evalm(transpose(Pass(6)).Pass(6)): T2:=evalm(T1^(-1)):F:=evalm(T1.G.T2):

G :=

0 0 0 -1 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 -2 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 -1

0 0 0 0 1 0

éêêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúúû

> F:=Matrix(6, 6, {(1, 1) = 13, (1, 2) = -9, (1, 3) = -5, (1, 4) = -13, (1, 5) = -3, (1, 6) = -6, (2, 1) = -4, (2, 2) = 0, (2, 3) = 0, (2, 4) = 10, (2, 5) = 3, (2, 6) = 5, (3, 1) = 26, (3, 2) = -14, (3, 3) = -8, (3, 4) = -36, (3, 5) = -9, (3, 6) = -18, (4, 1) = 6, (4, 2) = -1, (4, 3) = 0, (4, 4) = -8, (4, 5) = -4, (4, 6) = -2, (5, 1) = 8, (5, 2) = -8, (5, 3) = -5, (5, 4) = -8, (5, 5) = 0, (5, 6) = -6, (6, 1) = -7, (6, 2) = 1, (6, 3) = 0, (6, 4) = 10, (6, 5) = 5, (6, 6) = 3});

F :=

13 -9 -5 -13 -3 -6

-4 0 0 10 3 5

26 -14 -8 -36 -9 -18

6 -1 0 -8 -4 -2

8 -8 -5 -8 0 -6

-7 1 0 10 5 3



> H:=frobenius(F,'P'); print(P); print( evalm(P^(-1))); print(evalm(P^(-1).F.P));

H :=

0 0 0 -1 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 -2 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 -1

0 0 0 0 1 0



766.

Application

:stru

cture

d’u

nen

dom

orphism

e

13231643

178891643

249651643

-129601643

-3201643

-34701643

-4051643

-56521643

-45241643

319401643

-4051643

9201643

15661643

358111643

378661643

-719571643

15661643

-69071643

-21181643

61091643

284061643

-11801643

-21181643

-37491643

12553

38453

-12553

-38453

12553

-4053

18391643

-59541643

-281271643

10251643

18391643

55471643

éêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúû

1 -20491643

-12691643

-4501643

3921643

-4291643

06321643

3331643

-4121643

-953

-153

0 -3131643

-1841643

6041643

2371643

2841643

01361643

231643

-91643

0 0

-1 2483445

31689

60263445

4853

27673445

0-6163445

-77689

38133445

953

33513445

éêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúû

0 0 0 -1 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 -2 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 -1

0 0 0 0 1 0



> U:=diag(seq(u,i=1..6)): A:=evalm(U-F); V:=diag(seq(1,i=1..6)): W:=V:

A :=

u - 13 9 5 13 3 6

4 u 0 -10 -3 -5

-26 14 u + 8 36 9 18

-6 1 0 u + 8 4 2

-8 8 5 8 u 6

7 -1 0 -10 -5 u - 3



> B1:=pivotlc(A,V,W,4,2): A1:=B1[1]: V1:=B1[2]: W1:=B1[3]: print(A1);41 + u 0 5 -9 u - 59 -33 -12

6 u + 4 0 0 -u 2 - 8 u - 10 -4 u - 3 -2 u - 5

58 0 u + 8 -14 u - 76 -47 -10

0 1 0 0 0 0

40 0 5 -8 u - 56 -32 + u -10

1 0 0 u - 2 -1 -1 + u



> B2:=pivotlc(A1,V1,W1,6,1): A2:=B2[1]: V2:=B2[2]: W2:=B2[3]: print(A2);

0 0 5 -48 u - u 2 + 23 u + 8 29 - 40 u - u 2

0 0 0 -7 u 2 - 2 2 u + 1 -1 - 6 u 2

0 0 u + 8 -72 u + 40 11 48 - 58 u

0 1 0 0 0 0

0 0 5 -48 u + 24 u + 8 30 - 40 u

1 0 0 0 0 0

éêêêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúúúû


0 0 5 0 0 0

0 0 0 -7 u 2 - 2 2 u + 1 -1 - 6 u 2

0 0 0565

u 2 + 15

u + 15

u 3 + 165

- 15

u 2 - 165

u - 95

15

u + 85

+ 485

u 2 + 15

u 3

0 1 0 0 0 0

0 0 0 u 2 + 1 0 u 2 + 1

1 0 0 0 0 0

éêêêêêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúúúúúû

6.3.

Exem

ples

77

> A4:=quopivcol(A3,2,6,5,u);

A4 :=

0 0 5 0 0 0

0 0 0 -7 u 2 - 2 2 u + 1-52

0 0 0 565

u 2 + 15

u + 15

u 3 + 165

- 15

u 2 - 165

u - 95

- 25

u 3 + 310

u 2 - 25

u + 4310

0 1 0 0 0 0

0 0 0 u 2 + 1 0 u 2 + 1

1 0 0 0 0 0

éêêêêêêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúúúúúúû


éêë

0, 0, 5, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 0, 0, 0, -52

éêë

ùúû

,

0, 0, 0, 2825

u 5 - 2125

u 4 + 4125

u 3 - 2725

u 2 + 1325

u - 625

, - 825

u 4 + 225

u 3 - 25

u 2 + 225

u - 225

, 0éêë

ùúû

,

0, 1, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 0, - 145

u 4 - 135

u 2 + 15

, 45

u 3 + 45

u + 25

u 2 + 25

, 0éêë

ùúû

, 1, 0, 0, 0, 0, 0[ ]ùúû


A6 :=

0 0 5 0 0 0

0 0 0 0 0-52

0 0 0 110

u 3 - 110

u 2 + 110

u - 110

- 825

u 4 + 225

u 3 - 25

u 2 + 225

u - 225

0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 - 12

- 12

u 2 45

u 3 + 45

u + 25

u 2 + 25

0

1 0 0 0 0 0

éêêêêêêêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúúúúúúúû


A7 :=

0 0 5 0 0 0

0 0 0 0 0-52

0 0 0 110

u 3 - 110

u 2 + 110

u - 110

- 425

u 4 - 825

u 2 - 425

0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 - 12

- 12

u 2 0 0

1 0 0 0 0 0



> B8:=quopivli(A7,V5,W5,4,3,5,u): A8:=B8[1]: V8:=B8[2]: W8:=B8[3]:print(A8);

0 0 5 0 0 0

0 0 0 0 0-52

0 0 0 0 - 425

u 4 - 825

u 2 - 425

0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 - 12

- 12

u 2 0 0

1 0 0 0 0 0



> gcd(A8[5,4],A8[3,5]);

u 2 + 1

> print(W8); expand(det(W8));

1 0 0 9 0 41 + u

0 1 0 u 0 6 u + 4

15

u + 85

425

u 3 - 325

u 2 + 425

u - 4325

1 14 - 15

u + 15

58

0 0 0 1 0 0

1 - 25

u 2 - 25

0 8 1 40

0 0 0 -1 0 1



1

786.

Application

:stru

cture

d’u

nen

dom

orphism

e

> C:=k->EvalMatVectPol(F,col(W8,k),u): print(C(1),C(2),C(3),C(4),C(5),C(6));

0, 0, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 1, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 0, 0, 0, 0[ ], 1, 0, 95

, 0, 2, 0éêë

ùúû

, 0, 0, 0, 0, 0, 0[ ]

> q5:=EvalMatVectPol(F,col(W8,5),u): q1:=EvalMatVectPol(F,col(W8,3),u):q2:=evalm(F.q1): q3:=evalm(F.q2): q4:=evalm(F.q3): q6:=evalm(F.q5):Q:=transpose(matrix(6,6,[q1,q2,q3,q4,q5,q6]));

Q :=

0 -5 -10 0 1 -2

0 0 5 -10 0 2

1 -8 -21 1895

-325

0 0 -10 -5 0 -2

0 -5 0 5 2 -1

0 0 10 5 0 3

éêêêêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúúúúû

> Q1:=evalm(Q^(-1)); Q1FQ:=evalm(Q1.F.Q);

Q1 :=

-75

4125

1 1225

-15

925

-25

-225

01625

15

725

0 125

0 -825

0 -625

0-225

01

250

225

-1 0 0 2 1 1

0 0 0 1 0 1

éêêêêêêêêêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúúúúúúúúúû

Q1FQ :=

0 0 0 -1 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 -2 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 -1

0 0 0 0 1 0



AUTRE TRAITEMENT POSSIBLE À PARTIR DE A2

> print(A2);

0 0 5 -48 u - u 2 + 23 u + 8 29 - 40 u - u 2

0 0 0 -7 u 2 - 2 2 u + 1 -1 - 6 u 2

0 0 u + 8 -72 u + 40 11 48 - 58 u

0 1 0 0 0 0

0 0 5 -48 u + 24 u + 8 30 - 40 u

1 0 0 0 0 0




A3 :=

0 0 5 -48 u - u 2 + 23 u + 8 319 - 40 u - u 2

0 0 0 -7 u 2 - 2 2 u + 1 -1 - 6 u 2

0 0 u + 8 -72 u + 40 11 512

0 1 0 0 0 0

0 0 5 -48 u + 24 u + 8 320 - 40 u

1 0 0 0 0 0



> BZ:=iBzCol(A3,3,5,6)[1];

BZ :=

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 -93 -512

0 0 0 0 2 11



> A4:=iBzCol(A3,3,5,6)[2];

A4 :=

0 0 5 -48 u - u 2 + 23 -106 - 173 u - 2 u 2 -587 - 952 u - 11 u 2

0 0 0 -7 u 2 - 2 -95 - 186 u - 12 u 2 -523 - 1024 u - 66 u 2

0 0 u + 8 -72 u + 40 1 0

0 1 0 0 0 0

0 0 5 -48 u + 24 -104 - 173 u -576 - 952 u

1 0 0 0 0 0



6.3.

Exem

ples

79

> B5:=pivotlc(A4,V2,W2,3,5): A5:=B5[1]: V5:=B5[2]: W5:=B5[3]: A5:=swapcol(A5,4,5): print(A5);

[ 0, 0, 853 + 1490 u + 189 u 2 + 2 u 3, 0, -760 u - 12377 u 2 - 144 u 3 + 4263, -587 - 952 u - 11 u 2[ ], 0, 0, 760 + 1583 u + 282 u 2 + 12 u 3, 0, 600 u - 12919 u 2 - 864 u 3 + 3798, -523 - 1024 u - 66 u 2[ ], 0, 0, 0, 1, 0, 0[ ], 0, 1, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 837 + 1488 u + 173 u 2, 0, -616 u - 12456 u 2 + 4184, -576 - 952 u[ ], 1, 0, 0, 0, 0, 0[ ]]

> B6:=BzCol(A5,5,5,6,u): print(B6[1]); A6:=B6[2]: print(A6);

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 -1416144392

576 + 952 u

0 0 0 0 - 10294144392

+ 18528344392

u -616 u - 12456 u 2 + 4184



éêë

éêë

0, 0, 853 + 1490 u + 189 u 2 + 2 u 3, 0, 72535549

+ 107144392

u + 17045549

u 2 + 107144392

u 3 ,

-960 u - 592 u 2 - 960 u 3 - 72 u 4 - 520ùúû

, éêë

0, 0, 760 + 1583 u + 282 u 2 + 12 u 3 , 0,

5466544392

+ 1197544392

u + 1027344392

u 2 + 321322196

u 3, -952 u - 1016 u 2 - 952 u 3 - 432 u 4 - 584ùúû

,

0, 0, 0, 1, 0, 0[ ], 0, 1, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 837 + 1488 u + 173 u 2, 0, 1, 0[ ], 1, 0, 0, 0, 0, 0[ ]ùúû

> B7:=pivotlc(A6,V5,W5,5,5): A7:=B7[1]: V7:=B7[2]: W7:=B7[3]: A7:=swapcol(A7,3,5): print(A7);

éêë

éêë

0, 0, 0, 0, - 43144

179 - 680389

1432 u - 1831462

5549 u 2 - 10638671

22196 u 3 - 493998

5549 u 4 - 185283

44392 u 5,

-960 u - 592 u 2 - 960 u 3 - 72 u 4 - 520ùúû

, éêë

0, 0, 0, 0,

- 3876351432

- 6803891432

u - 1167790122196

u 2 - 2220375744392

u 3 - 1133911744392

u 4 - 55584922196

u 5,

-952 u - 1016 u 2 - 952 u 3 - 432 u 4 - 584ùúû

, 0, 0, 0, 1, 0, 0[ ], 0, 1, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 1, 0, 0, 0[ ],

1, 0, 0, 0, 0, 0[ ]ùúû

> B8:=BzCol(A7,1,5,6,u): print(B8[1]); A8:=B8[2];

éêë

1, 0, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 1, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 1, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 0, 1, 0, 0[ ],

0, 0, 0, 0, 129 - 18 u, 72 u 2 + 960 u + 520[ ],

0, 0, 0, 0, - 856271432

+ 991511456

u + 185283177568

u 2, - 18528344392

u 3 - 4939985549

u 2 - 6803891432

u - 43144179

éêë

ùúû

ùúû

A8 :=

0 0 0 0 u 2 + 1 0

0 0 0 078

+ 14

u + 78

u 2 + 14

u 3 -2 u 2 - 1 - u 4

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

éêêêêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúúúúû

> gcd(A8[1,5],A8[2,5]);

u 2 + 1

> B9:=quopivli(A8,V7,W7,5,2,1,u): A9:=B9[1]: V9:=B9[2]: W9:=B9[3]:print(A9);

0 0 0 0 u 2 + 1 0

0 0 0 0 0 -2 u 2 - 1 - u 4

0 0 0 1 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0



> print(W9); expand(det(W9));

éêë

1, 0, -106 - 173 u - 2 u 2, 9, 72535549

+ 107144392

u + 17045549

u 2 + 107144392

u 3 , 41 + uéêë

ùúû

,

14

u + 78

, 1, -95 - 186 u - 12 u 2, u, 5466544392

+ 1197544392

u + 1027344392

u 2 + 321322196

u 3 , 6 u + 4éêë

ùúû

,

0, 0, 1, 14, 0, 58[ ], 0, 0, 0, 1, 0, 0[ ], 0, 0, -104 - 173 u, 8, 1, 40[ ], 0, 0, 0, -1, 0, 1[ ]ùúû

1

> C:=k->EvalMatVectPol(F,col(W9,k),u): print(C(1),C(2),C(3),C(4),C(5),C(6));

-54

, 78

, -72

, -14

, -2, 14

éêë

ùúû

, 0, 1, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 0, 0, 0, 0[ ]

806.

Application

:stru

cture

d’u

nen

dom

orphism

e

> q5:=EvalMatVectPol(F,col(W9,1),u): q1:=EvalMatVectPol(F,col(W9,2),u): q2:=evalm(F.q1): q3:=evalm(F.q2): q4:=evalm(F.q3): q6:=evalm(F.q5):Q:=transpose(matrix(6,6,[q1,q2,q3,q4,q5,q6]));

Q :=

0 -9 -16 1 -54

98

1 0 7 -1678

-94

0 -14 -32 30 -72

234

0 -1 -16 -7-14

98

0 -8 0 8 -2 1

0 1 16 7 14

-178

éêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúúû


Q1 :=

-78

1 3964

38

-332

932

-14

0132

38

564

316

0 0 -164

-18

132

-332

0 0132

0-364

116

1 0 0 -2 -1 -1

0 0 0 -1 0 -1

éêêêêêêêêêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúúúúúúúúúû

Q1FQ :=

0 0 0 -1 0 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 -2 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 -1

0 0 0 0 1 0



DEUXIEME EXEMPLE

> G:=diag (companion(x^3,x),companion(x^2,x));

G :=

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

éêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúû

> T1:=evalm(transpose(Pass(5)).Pass(5).transpose(Pass(5)).Pass(5)): T2:=evalm(T1^(-1));

T2 :=

-1 0 2 -1 1

-4 4 -4 7 5

-1 1 -1 2 1

-2 3 -4 5 3

-2 2 -2 4 3



> F:=evalm(T1.G.T2);

F :=

-9 14 -22 27 13

-13 16 -22 31 17

-12 15 -20 28 16

-9 11 -14 20 12

6 -5 4 -9 -7



> F := matrix([[-9, 14, -22, 27, 13], [-13, 16, -22, 31, 17], [-12, 15, -20, 28, 16], [-9, 11, -14, 20, 12], [6, -5, 4, -9, -7]]);

F :=

-9 14 -22 27 13

-13 16 -22 31 17

-12 15 -20 28 16

-9 11 -14 20 12

6 -5 4 -9 -7



6.3.

Exem

ples

81

> U:=diag(seq(u,i=1..5)): A:=evalm(U-F); V:=diag(seq(1,i=1..5)): W:=V:

A :=

u + 9 -14 22 -27 -13

13 u - 16 22 -31 -17

12 -15 u + 20 -28 -16

9 -11 14 u - 20 -12

-6 5 -4 9 u + 7



> B1:=iBzCol(A,1,2,5): Bz:=B1[1] ; A1:=B1[2];

Bz :=

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 -1 13

0 0 0 1 -14



A1 :=

u + 9 -27 22 1 0

13 -31 22 -1 - u 30 + 13 u

12 -28 u + 20 -1 29

9 u - 20 14 -1 25

-6 9 -4 2 + u -33 - 14 u



> B2:=pivotlc(A1,V,W,1,4): A2:=evalm(B2[1]); V2:=B2[2]: W2:=B2[3]:

A2 :=

0 0 0 1 0

10 u + u 2 + 22 -58 - 27 u 44 + 22 u 0 30 + 13 u

u + 21 -55 42 + u 0 29

u + 18 -47 + u 36 0 25

-11 u - u 2 - 24 63 + 27 u -48 - 22 u 0 -33 - 14 u

éêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúû

> B3:=iBzCol(A2,3,2,5): Bz:=B3[1] ; A3:=B3[2]:

Bz :=

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 10 -29

0 0 0 19 -55



> B4:=pivotlc(A3,V2,W2,3,4): A4:=evalm(B4[1]); V4:=B4[2]: W4:=B4[3]:

A4 :=

0 1 0 0 0

503 u + 24 u 2 + 232 0 464 + 998 u + 23 u 2 0 32 + 68 u

0 0 0 1 0

-214 u - 10 u 2 - 87 0 -174 - 425 u - 10 u 2 0 -12 - 29 u

-98 u - 5 u 2 - 87 0 -174 - 193 u - 4 u 2 0 -12 - 13 u

éêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúû

> B5:=BzCol(A4,2,3,5,u): print(B5[1]); A5:=B5[2];1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 -289160

-32 - 68 u

0 0 08391320

+ 391640

u 464 + 998 u + 23 u 2



A5 :=

0 1 0 0 0

503 u + 24 u 2 + 232 0 0 1 0

0 0 1 0 0

-214 u - 10 u 2 - 87 0 0 - 38

- 764

u + 221640

u 2 2 u 2 + 13 u 3

-98 u - 5 u 2 - 87 0 0 - 38

+ 2564

u - 459640

u 2 2 u 2 - 27 u 3



> B6:=pivotlc(A5,V4,W4,2,4): A6:=evalm(B6[1]); V6:=B6[2]: W6:=B6[3]:

A6 :=

0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

- 8351320

u 2 - 109483640

u 3 - 66380

u 4 0 0 0 2 u 2 + 13 u 3

- 8351320

u 2 + 224877640

u 3 + 137780

u 4 0 0 0 2 u 2 - 27 u 3



826.

Application

:stru

cture

d’u

nen

dom

orphism

e

> B7:=BzCol(A6,4,1,5,u): print(B7[1]); A7:=B7[2];1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 40 -13 u - 2

0 0 0 835916

+ 512

u - 8351320

- 109483640

u - 66380

u 2

éêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúû

A7 :=

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 u 2 0

0 0 0 u 2 -u 3



> B8:=quopivli(A7,V6,W6,4,5,4,u): A8:=evalm(B8[1]); V8:=B8[2]: W8:=evalm(B8[3]);

A8 :=

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 u 2 0

0 0 0 0 -u 3



W8 :=

1 0 0 0 0

-1 - u 1 -10 - 23 u 0 0

-1 0 1 0 0

-1 - 38

- 764

u + 221640

u 2 5 + 10 u 1 0

2 + u - 38

+ 2564

u - 459640

u 2 3 + 4 u 1 1



> C:=k->EvalMatVectPol(F,col(W8,k),u): print(C(1),C(2),C(3),C(4),C(5));

0, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 0, 0, 0[ ], 0, 0, 0, 1, 1[ ], 0, 0, 0, 0, 1[ ]

> q4:=EvalMatVectPol(F,col(W8,4),u): q1:=EvalMatVectPol(F,col(W8,5),u):q2:=evalm(F.q1): q3:=evalm(F.q2): q5:=evalm(F.q4):

> Q:=transpose(matrix(5,5,[q1,q2,q3,q4,q5]));

Q :=

0 13 2 0 40

0 17 4 0 48

0 16 3 0 44

0 12 2 1 32

1 -7 -2 1 -16




Q1 :=

-1 0 2 -1 1

-12

-12

1 0 0

-516

1716

-78

0 0

18

38

-54

1 0

1364

764

-932

0 0



Q1FQ :=

0 0 0 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0



> H:=frobenius(F,'P'): print(P,evalm(P^(-1))); # calcul par la procedureMaple

-8 2279

-2 -9 3089

-1049

2479

-4-104

9364

9

-323

763

-3 -323

1123

-7164

9-2 -7

2459

163

-659

2 163

-1199

éêêêêêêêêêêêêêêêêêêë

ùúúúúúúúúúúúúúúúúúúû

,

1 0 -2 1 -1

013

49

-89

49

0 -43

139

0 0

-137

67

087

0-31147

-214441

89

-115441



6.3.

Exem

ples

83

7. Anneaux et modules nœtheriens

Ce chapitre est de nature essentiellement epistemologique et ne constitue qu’une introductionbien faible pour un sujet tres important mais, malheureusement, tres problematique.

7.1 Definition

Theoreme 7.1.1 Pour un A-module M les proprietes suivantes sont equivalentes.

1. Tout sous-module de M est de type fini.

2. Toute suite infinie croissante (au sens large) de sous-modules de type fini de M a deuxtermes consecutifs egaux.

Demonstration. On reprend presque mot a mot la demonstration du theoreme 3.2.2 donnee dansle cas des ideaux quand les ideaux de type fini sont principaux.1.⇒ 2. Soit N1 ⊆ N2 ⊆ · · · ⊆ Nn ⊆ · · · une suite infinie de sous-modules de type fini, croissanteau sens large. Considerons la reunion N de tous ces sous-modules. Il est clair que c’est un sous-module. Par hypothese on a N = 〈b1, . . . , b`〉 pour des bj ∈ N . Il existe donc un indice k tel queNk contienne ces bj . Mais alors pour tout r > 0

〈b1, . . . , b`〉 ⊆ Nk ⊆ Nk+r ⊆ N = 〈b1, . . . , b`〉 , i.e. Nk = Nk+r = N = 〈b1, . . . , b`〉

En particulier Nk = Nk+1.2. ⇒ 1. Il est absurde d’avoir une suite infinie strictement croissante d’ideaux de type fini.Soit N un sous-module arbitraire et cherchons a construire un systeme generateur fini pour N .Si N = 0 alors N = 〈0〉. Sinon soit x1 6= 0 dans N . Si N = 〈x1〉, c’est OK. Sinon il existex2 ∈ N \ 〈N1〉. Soit N2 = 〈x1, x2〉. Si N = N2, c’est OK. Sinon il existe x3 ∈ N \ N2. SoitN3 = 〈x1, x2, x3〉. etc. . . On construit ainsi une suite strictement croissante de sous-modules detype fini 〈0〉 ( 〈N1〉 ( 〈N2〉 ( 〈N3〉 · · · Comme elle doit s’arreter, on obtient N = 〈Nk〉 pour uncertain k. 2

Definition 7.1.2 Un A-module M est dit nœtherien s’il satisfait les proprietes equivalentesdu theoreme 7.1.1. Un anneau A est dit nœtherien s’il est nœtherien comme A-module.

7.2 Discussion

Il est clair qu’un anneau principal n’est rien d’autre qu’un anneau de Bezout nœtherien.La definition 7.1.2 est la premiere definition (hormis celle des anneaux principaux, de meme

nature) que nous rencontrons en algebre et qui ne soit pas de nature elementaire. La lectricepourra en effet verifier que toutes les definitions qui ont precede sont elementaires au sensqu’elles utilisent uniquement des quantifications ∀x, ou ∃y, dans lesquels les variables quantifieesrepresentent des elements de la structure algebrique consideree.

Dans les deux variantes 1. et 2. pour la definition de la nœtherianite on voit au contraireque l’on utilise une quantification nettement plus delicate.

La premiere porte sur l’ensemble de tous les sous-modules du module M , c’est-a-dire essen-tiellement sur l’ensemble P(M) de toutes les parties de M .

86 7. Anneaux et modules nœtheriens

La seconde variante porte sur l’ensemble des suites infinies croissantes de sous-modules detype fini. Dans ce second cas, on voit que l’on quantifie essentiellement sur l’ensemble des suitesinfinies d’elements du module, que l’on note MN. On dit qu’il s’agit de definitions (( au secondordre )), car les ensembles quantifies sont de nature moins elementaire que l’ensemble concernepar la definition.

En fait la quantification sur P(M) est nettement plus problematique que celle portant surMN. Il est en effet impossible de donner une signification algorithmique concrete a la premierequantification.

Prenons l’exemple de l’anneau Z. Il est clair que Z est nœtherien au sens de la variante 2.car une suite infinie d’entiers decroissante pour la divisibilite qui demarre avec un entier n > 0contient 2 termes consecutifs egaux avant l’indice n. Et si la suite commence avec 0, ou bien ledeuxieme terme est aussi egal a 0, ou bien il est egal a un entier n > 0, et on est ramene au casprecedent.

Par contre supposons qu’on ait un ideal I, non pas arbitraire, ce qui ferait un peu trop mala la tete, mais pour lequel on dispose d’un test explicite (( n ∈ I ? )). Si I contient un entierN > 0, on peut s’en assurer en testant si N ∈ I et ensuite on peut trouver le generateur de I entestant tous les diviseurs de N . Par contre si I = {0}, on ne peut pas s’en assurer au moyen d’unnombre fini de reponses au test. Car il reste toujours la possibilite que I soit egal a NZ pour unentier N plus grand que tous ceux qui ont deja ete testes. Ainsi, bien que l’ideal I ne soit pastrop complique (on dispose d’un test d’appartenance a I), il n’y a pas d’algorithme general quipuisse determiner le generateur de I.

Ceci justifie que du point de vue algorithmique on prefere la deuxieme variante de la defi-nition de nœtherianite.

Lorsque l’on peut se baser sur cette variante, cela garantit un certain contenu algorithmiqueconcret aux resultats obtenus.

C’est d’ailleurs ce que nous avons fait precedemment pour le cas des anneaux principaux.En effet, les theoremes avant la section 5.5 concernent plutot les modules de presentation finieque les modules de type fini, ce qui leur garantit un contenu algorithmique.

7.3 Proprietes elementaires

Lemme 7.3.1

1. Soit M un A-module et N un sous-module. Les proprietes suivantes sont equivalentes.

(a) M est nœtherien.

(b) N et M/N sont nœtheriens.

2. Le produit direct d’un nombre fini de A-modules nœtheriens est nœtherien.

Demonstration. 1. L’implication a) ⇒ b) est immediate.b) ⇒ a) Soit P un sous-module de M . On a P/(P ∩ N) ' (P + N)/N . Comme (P + N)/Nest un sous-module de M/N , il est engendre par un nombre fini l’elements x1, . . . , xk. On peutprendre chaque xi dans P . Soit maintenant un nombre fini de generateurs pour P ∩ N (quiest un sous-module de N). Nous les appelons xk+1, . . . , xn. Montrons que P est engendre parx1, . . . , xn. Pour cela soit x un element arbitraire de P , il s’ecrit modulo P ∩ N comme unecombinaison lineaire de x1, . . . , xk. Ainsi x =

∑ki=1 aixi + y pour des ai ∈ A et un y ∈ P ∩N .

Donc x est bien une combinaison lineaire de x1, . . . , xn.2. Il suffit de le montrer pour le produit de deux modules nœtheriens M et N . Or M s’identifie aun sous-module M1 de M×N via l’injection M →M×N, x 7→ (x, 0) et le quotient (M×N)/M1

est isomorphe a N . On conclut donc par le point 1. puisque M1 et (M×N)/M1 sont nœtheriens.2

Theoreme 7.3.2 Soit A un anneau nœtherien et M un module de type fini.

7.4. Discussion, suite 87

1. M est nœtherien.

2. M est de presentation finie.

Demonstration. 1. Puisque A est nœtherien, An est un A-module nœtherien par le lemme 7.3.1.Or tout module de type fini est isomorphe a un quotient d’un module An.2. On ecrit M ' An/P . Comme An est nœtherien, P est de type fini. Cela signifie que M estde presentation finie. 2

Theoreme 7.3.3 Un anneau nœtherien est coherent, c’est-a-dire que le noyau de toute matriceest un module de type fini.

Demonstration. En effet le noyau d’une matrice est un sous-module d’un module An, qui estnœtherien. 2

7.4 Discussion, suite

Contrairement a la plupart des theoremes de ce cours les theoremes 7.3.2 et 7.3.3 n’ont aucuncontenu algorithmique.

L’hypothese du premier theoreme est trop vaguement definie (un module de type fini arbi-traire) pour pouvoir etre traitee par une procedure algorithmique.

Le theoreme 7.3.3 pourrait a priori avoir un contenu algorithmique, mais on n’en connaıt pasde demonstration constructive. Et l’on a de bonnes raisons de penser qu’il ne peut pas existerde demonstration constructive de ce theoreme.

Supposons qu’un module P ⊆ An soit decrit de maniere aussi simple que l’intersection dedeux sous-module de type fini :

P = G ∩H = ImA ∩ ImB,

ou les matrices A et B sont donnees.Eh bien on peut demontrer il n’existe aucune procedure algorithmique generale (pouvant faire

l’objet d’un programme d’ordinateur) pour calculer un systeme generateur fini de P a partir desmatrices A et B sous la seule hypothese que l’anneau A verifie explicitement la variante 2. pourla nœtherianite.

De la meme maniere, on n’a pas acces a la coherence de maniere explicite a partir de lanœtherianite.

Ceci signifie que la nœtherianite toute seule n’est pas une notion vraiment pertinente. C’estseulement lorsqu’elle est couplee avec la coherence que la nœtherianite permet d’obtenir desresultats interessants avec des preuves de nature algorithmique. D’ailleurs, bien souvent dans cecas, seule la coherence est utilisee.

8. Solution, ou esquisse de solution,des exercices

8.1 Arithmetique de base

Exercice 1.2.1 On inverse la matrice et on obtient[ab

]=

[t −v−s u

] [g0

]donc t = a1 = a

g

et s = −b1 = − bg .

Exercice 1.2.2 On suppose que l’on commence avec a > b > 0. A chaque etape, le coefficientbi est au moins divise par 2 en valeur absolue. Le nombre d’etapes est donc majore par dln2(b)e.

Exercice 1.2.3

Algorithme 8.1.1 Algorithme de calcul du pgcd et d’une relation de Bezout.

Entree : Deux entiers naturels a et b, > 0.Sortie : Leur pgcd g ainsi que deux entiers relatifs u et v verifiant ua+ vb = g.Variables locales : a′, b′, b′′, u′, u′′, v′, v′′ : entiers relatifs ;

Debut# initialisation

a′ ← a ; b′ ← b ; u ← 1 ; v ← 0 ; u′ ← 0 ; v′ ← 1 ;

# c’est-a-dire

[a′

b′

]←

[ab

]et

[u vu′ v′

]←

[1 00 1

]# boucle

Tant que b′ 6= 0 faire(q, b′′) ← quotient et reste de la division de a′ par b′ ;a′ ← b′ ; b′ ← b′′ ;u′′ ← u− qu′ ; u ← u′ ; u′ ← u′′ ;v′′ ← v − qv′ ; v ← v′ ; v′ ← v′′ ;

# c’est-a-dire

[a′

b′

]←

[0 11 −q

] [a′

b′

]et

[u vu′ v′

]←

[0 11 −q

] [u vu′ v′

]fin tant que ;

# fin de boucleg ← a′ ; Retourner g, u, v

Fin.

Exercice 1.3.1 (systeme de congruences simultanees)1. Si on a deux solutions x et y alors x− y est multiple des ni donc de leur ppcm.Inversement si n est ce ppcm, a partir d’une solution x, tout y ≡ x mod n est une autre solution.2. Examinons les choses progressivement, avec un anneau commutatif B au lieu de Z.Tout d’abord pour r = 2 le systeme de congruences x ≡ a1 mod J1, x ≡ a2 mod J2 n’admet desolution que si a1 − a2 ≡ 0 mod J1 + J2, c’est-a-dire a1 − a2 ∈ J1 + J2. Et cette condition est

90 8. Solution des exercices

manifestement suffisante. En outre l’unicite est assuree modulo J1 ∩ J2.Voyons le cas r = 3, avec un systeme de congruences

x ≡ ai mod Ji, 1 6 i 6 3.

Les conditions ai − aj ∈ Ji + Jj sont evidemment necessaires. D’apres le cas r = 2 on a unesolution x12 pour les deux premieres congruences, unique modulo J1 ∩J2. Pour avoir la solutiondes 3 concruences, la condition necessaire et suffisante est donc que

x12 − a3 ∈ (J1 ∩ J2) + J3.

Or ce que nous savons c’est quex12 − a3 ∈ (J1 + J3) ∩ (J2 + J3)

(parce que x12 − a1 ∈ J1, x12 − a2 ∈ J2, a1 − a3 ∈ (J1 + J3) et a2 − a3 ∈ (J2 + J3)).On sera donc assure d’avoir une solution si les ideaux de B obeissent a la regle de distributivitesuivante (l’inclusion non demandee est evidente)

(J1 + J3) ∩ (J2 + J3) = (J1 ∩ J2) + J3 (∗)

Le lecteur pourra verifier que cette condition est non seulement suffisante mais egalement ne-cessaire pour la solution generale du systeme de 3 congruences simultanees.L’anneau Z verifie cette condition, qui signifie la distributivite du pgcd par rapport au ppcm.Enfin pour l’anneau Z on peut terminer la preuve par recurrence sur r, le passage de r > 2 ar + 1 est similaire au passage de r = 2 a r = 3, deja traite.3. Le theoreme des restes chinois sur un anneau commutatif arbitraire B dit qu’une solutionexiste a un systeme de congruences simultanees x ≡ ai mod Ji des que les ideaux Ji sont deuxa deux etrangers (i.e. Ji + Jj = 〈1〉 pour tous i 6= j).Le theoreme des restes chinois est donc a la fois plus general (un anneau commutatif A arbitraire)et moins general (ideaux etrangers).Note. Les anneaux qui satisfont la regle (∗) ci-dessus sont appeles les anneaux arithmetiques.

Exercice 1.4.1 1. L’algorithme d’Euclide donne385 = 1× 357 + 28, 357 = 12× 28 + 21, 28 = 1× 21 + 7, 21 = 3× 7 + 0

et donc pgcd(385, 357) = 7, avec 385 = 7× 55 et 357 = 7× 51.2. On obtient successivement

7 = 28− 21 = 28− (357− 12× 28) = 13× 28− 357 =13× (385− 357)− 357 = 13× 385− 14× 357.

d’ou une solution u = 13, v = −14.3. L’equation 385x+357y = 0 equivaut a 55x+51y = 0, et puisque pgcd(55, 51) = 1, la solutiongenerale est

x = 51my = −55m

ou m ∈ Z est un parametre.4. Comme pgcd(385, 357) = 7, l’equation 385x+357y = c n’admet de solution que si c ≡ 0 mod 7.Si cette condition est realisee, posons c′ = c/7 ∈ Z. L’equation equivaut alors a 55x+ 51y = c′.Puisque 13 × 55 − 14 × 51 = 1, une solution particuliere de l’equation est alors donnee parx = 13c′, y = −14c′. En consequence la solution generale de l’equation est donnee par

x = 13c′ + 51my = −14c′ − 55m

avec un parametre libre m ∈ Z5. On veut resoudre l’equation 385x + 357y + 15z = e. D’apres la question precedente, il fautd’abord resoudre la congruence e−15z ≡ 0 mod 7, que l’on peut voir comme l’equation e−15z =

8.1. Arithmetique de base 91

7c′ avec les inconnues z et c′. Puisque pgcd(15, 7) = 1 on sait qu’il y a toujours une solutionet que la solution generale depend d’une parametre libre dans Z. Cela donne modulo 7, z = e.On pose donc z = 7n + e, ce qui donne pour c′ : c′ = −15n − 2e avec n arbitraire dans Z. Encombinant ceci avec le point precedent, on obtient la solution generale suivante

x = −(13× 15)n+ 51m− 26ey = (14× 15)n− 55m+ 48ez = 7n+ e

avec deux parametres libres m,n ∈ ZExercice 1.4.2 On a 36 ∧ 21 = 3, avec par exemple la relation de Bezout 3× 36− 5× 21 = 3.Ainsi, l’equation 36x+ 21y = a n’a de solution que lorsque a ≡ 0 mod 3.Dans ce cas on ecrit a = 3a′ et l’equation est equivalente a 12x+ 7y = a′ .Puisque 3× 12− 5× 7 = 1 cette derniere equation admet comme solution particuliere

(x, y) = a′(3,−5) = (3a′,−5a′).

La solution de l’equation generale est donc celle de12(x− 3a′) + 7(y + 5a′) = 0

et puisque 12 ∧ 7 = 1, on obtient en utilisant le lemme de Gauss la solution generale sous laforme

m ∈ Z,{x− 3a′ = 7my + 5a′ = −12m

, i.e.

{x = 3a′ + 7my = −5a′ − 12m

ou m est un parametre prenant une valeur arbitraire dans Z.Exercice 1.4.3 On considere la matrice du systeme lineaire et on lui fait subir des trans-formations elementaires sur les lignes, qui remplacent chaque fois le systeme par un systemeequivalent, sans modifier les inconnues.[

14 35 10 a5 11 4 b

]L1 ← L1− 3L2

[−1 2 −2 a− 3b5 11 4 b

]L2 ← L2 + 5L1

[−1 2 −2 a− 3b0 21 6 5a− 14b

]Le systeme lineaire admet donc une solution si et seulement si l’equation 21y + 6z = 5a− 14badmet une solution. Puisque 21 ∧ 6 = 3, cela equivaut a

5a− 14b ≡ 0 mod 3, i.e. a− b ≡ 0 mod 3.

Exercice 1.4.4 On procede comme pour l’exercice 1.4.1.

1. et 2. pgcd(159, 24) = 3 avec 3 = (−3)× 159 + 20× 24 , 159 = 3× 53 et 24 = 3× 8 .

3. Solution dans Z de l’equation 159x+ 24y = c. L’equation admet une solution si et seulementsi c ≡ 0 mod 3. Dans ce cas-la, en posant c′ = c/3, la solution generale est donnee par :

x = −8m− 3c′

y = 53m+ 20c′

ou m est un parametre libre dans Z.4. Equation 159x + 24y + 106z = c. On peut appliquer la question precedente. On doit avoir−106z + c ≡ 0 mod 3, ce qui donne z ≡ c mod 3. On pose donc z = −3n + c, de sorte que(c− 106z)/3 = −35c+ 106n. D’ou la solution generale

x = −8m− 3(−35c+ 106n) = −8m− 318n+ 105cy = 53m+ 20(−35c+ 106n) = 53m+ 2120n− 700cz = −3n+ c

ou m et n sont des parametres libres dans Z.


Exercice 1.4.5 Une matrice A ∈ GLn(Z) est de determinant ±1 (car le determinant doit etreinversible dans Z). Le theoreme 1.4.1 ramene la matrice A a une forme diagonale D par desmanipulations elementaires de lignes ou de colonnes. Comme ces manipulations ne changentpas le determinant ou le multiplient par −1, on a aussi det(D) = ±1 et donc tous les elementssur la diagonale de D sont aussi egaux a ±1. En resume on obtient LAC = D ou L et Csont des produits de matrices correspondant a des manipulations elementaires de lignes et decolonnes. Ceci donne A = C−1L−1In et D est donc obtenue en appliquant a In une successionde manipulations elementaires de lignes.Il nous reste a regler deux questions :

1. Comment eviter les manipulations d’echange de lignes ou de colonnes dans le theo-reme 1.4.1 ?

2. Comment remplacer des −1 par des 1 sur la diagonale de D en utilisant uniquement desmanipulations elementaires sans echange de lignes ou de colonnes ?

1. La solution est donnee comme suit :[a, b] C1←C1−C2−−−→ [a− b, b] C2←C2+C1−−−→ [a− b, a] C1←C1−C2−−−→ [−b, a]

On peut donc realiser un echange de colonnes (ou de lignes), a condition de changer le signe del’une des deux, en utilisant uniquement les manipulations elementaires du premier type. Notons

que cela correspond au produit par une matrice[

0 −11 0

](ou une matrice du meme style lorsque

n > 2, que la lectrice explicitera).2. Le carre de la matrice precedente donne −I2. On peut donc remplacer deux coefficients −1sur la diagonale de D par deux coefficients 1. Si detA = 1 et si on a realise le theoreme 1.4.1conformement au point 1., on a detD = 1, et donc il y a un nombre pair de −1 sur la diagonalede D.

8.2. Rappels sur les groupes abeliens et les anneaux commutatifs 93

8.2 Rappels sur les groupes abeliens et les anneaux commutatifs

Exercice 2.1.1 On sait que tout sous-groupe de Z est de la forme nZ, pour un unique n ∈ N.En outre cette bijection de l’ensemble des sous-groupes de Z vers N transforme intersection,somme et produit en ppcm, pgcd et produit.On en deduit qu’il y a une bijection entre les sous-groupes de Z/nZ et les diviseurs de n. Audiviseur d de n on fait correspondre le sous groupe d(Z/nZ), qui est isomorphe a Z

/(nd Z) . Enfin

cette bijection transforme intersection et somme en ppcm et pgcd.

Exercice 2.1.2 1. En composant la projection canonique Z → Z/nZ avec un homomorphis-me ϕ : Z/nZ → G on obtient un element de HomGroupes(Z, G), qui est caracterise par l’imagede 1 (fait 2.1.5). On en deduit par le theoreme de factorisation qu’un homomorphisme de Z/nZdans G est completement determine par l’image de 1, qui est n’importe quel element x de Gverifiant nx = 0 (c’est-a-dire un element d’ordre fini divisant n). Notons ϕx l’homomorphismep 7→ px correspondant. Alors x 7→ ϕx est un isomorphisme de Gn = {x ∈ G | nx = 0 } surHomGroupes(Z/nZ, G).

2. Les elements de Z/mZ dont l’ordre divise n sont ceux dont l’ordre divise g = pgcd(m,n). Sim1 = m/g, on obtient donc un isomorphisme

m1(Z/mZ) −→ HomGroupes(Z/nZ,Z/mZ), x 7−→ (p 7→ px)

En outre m1(Z/mZ) ' Z/gZ. En particulier ce groupe est nul si et seulement si g = 1.

Exercice 2.2.1 1. et 2. D’apres l’exercice 2.1.2, on a un isomorphisme de groupes

Z/nZ −→ HomGroupes(Z/nZ,Z/nZ), x 7−→ (p 7→ px).

On verifie immediatement que c’est aussi un morphisme pour les deux lois × et ◦ . C’est doncun isomorphisme d’anneaux. On obtient par restriction un isomorphisme entre les deux groupesdes inversibles, c’est-a-dire (Z/nZ)× et AutGroupes(Z/nZ)3. Les groupes (Z/4Z)× = {±1}, (Z/7Z)×, (Z/11Z)×, d’ordres 2, 6, 10 sont respectivementengendres par π4(−1), π7(3) et π11(2).4. On a 308 = 4× 7× 11, d’ou l’isomorphisme

Z/308Z −→ Z/4Z× Z/7Z× Z/11Z×, x = π308(x) 7−→ (π4(x), π7(x), π11(x))

correspondant au systeme fondamental d’idempotents orthogonaux (77, 176, 56).4. On en deduit les isomorphismes

(Z/308Z)× ' (Z/4Z)× × (Z/7Z)× × (Z/11Z)× ' C2 × C6 × C10.

En tant que sous-groupes de (Z/308Z)× les 3 facteurs ci-dessus sont engendres respectivementpar 77× (−1), 176× 3 et 56× 2.On a aussi une decomposition standard C30 × C2 × C2 donne par des isomorphismes

C2 × C6 × C10 ' C2 × C2 × C3 × C2 × C5 ' C30 × C2 × C2.

Exercice 2.2.2 Tout d’abord on verifie facilement que A1 + I est un sous-anneau de A. Onconsidere alors le morphisme d’anneaux ϕ : A1 → (A1 + I)/I obtenu en composant l’injectionnaturelle A1 → A1 + I et la projection canonique A1 + I → (A1 + I)/I. Il est clair que ϕ estsurjective car tout element de A1+I est congru modulo I a un element de A1. Donc le theoremede factorisation donne un isomorphisme

ψ : A1/Kerϕ ∼−→ (A1 + I)/I

qui factorise ϕ. Enfin Kerϕ = {x ∈ A1 | x ≡ 0 mod I } = A1 ∩ I.


Exercice 2.2.3 1. On a 22 =B 2, donc 2 =B 0. Et pour tout x, 2x = x+ x = 0, donc x = −x.Si x est regulier alors l’egalite x(1 − x) = 0 montre que x = 1. A fortiori, 1 est le seul elementinversible : B× = {1}. Donc si B 6= 0 est integre, B est le corps {0, 1} ' F2.2. La relation x 4 y est clairement une relation de preordre dans tout anneau. Dans une al-gebre de Boole on doit montrer l’antisymetrie. Si x 4 y, il existe z tel que x = yz, doncxy = y2z = yz = x, autrement dit on peut prendre z = x et l’on a

x 4 y ⇐⇒ xy = x

Si x 4 y et y 4 x, on a donc x = xy = y. Cela donne aussi que 0 est element minimum et 1element maximum.3. Avertissement : Il faut faire attention qu’ici les notions de ppcm et pgcd sont utilisees dans lecadre d’un anneau non integre. Donc le fait que ppcm(x, y) = xy n’implique plus pgcd(x, y) = 1.Montrons que xy = ppcm(x, y). L’element xy est clairement multiple de x et y. Si z 4 x etz 4 y, alors z = zx et z = zy donc z = z(xy). Ainsi 〈x〉 ∩ 〈y〉 = 〈xy〉.Montrons que u = x+ y + xy = pgcd(x, y). On a ux = x2 + 2xy = x donc u divise x. De memeu divise y. Comme u ∈ 〈x, y〉, cela donne 〈u〉 = 〈x, y〉. Enfin si v divise x et y, il divise toutelement de 〈x, y〉 donc il divise u.4. On a x(1 + x) = x + x = 0 et x ∨ (1 + x) = x + 1 + x + x(1 + x) = 1. Reciproquement sixx′ = 0 et x ∨ x′ = 1, alors x+ x′ = x+ x′ + xx′ = x ∨ x′ = 1 donc x′ = 1 + x.5. On doit d’abord montrer que la loi ⊕ est interne. On note que a ⊕ b = (a − b)2, on veutmontrer que (a⊕ b)2 = a⊕ b. Il suffit de voir que (a− b)3 = a− b. Cela resulte du developpementdu binome puisque a et b sont idempotents. On a immediatement 0 ⊕ x = x et x ⊕ x = 0. Laloi ⊕ est clairement commutative et la loi × distributive sur ⊕. Il reste a verifier l’associativitede ⊕. On trouve (a ⊕ b) ⊕ c = a + b + c − 2(ab + bc + ca) + 4abc. Puisque cette expression estsymetrique, on conclut en utilisant la commutativite.

Exercice 2.2.4 1. Si x ∈ aA, alors il existe y ∈ A tel que x = ay. Alors ax = a2y = ay = x(parce que a est idempotent). Le reste suit sans difficulte.2. L’inclusion abA ⊆ aA ∩ bA est immediate. Reciproquement si x ∈ aA ∩ bA, par le point 1.on obtient x = bx = abx.3. On a immediatement a∨ b ∈ aA+ bA, donc (a∨ b)A ⊆ aA+ bA. Reciproquement a(a∨ b) =a(a+b−ab) = a2 +ab−a2 = a+ab−ab = a, et de meme b = b(a∨b), donc aA+bA ⊆ (a∨b)A.Pour la fin de la question, on note que si 〈a, b〉 = 〈g〉 dans un anneau arbitraire A, et si x ∈ A,alors x divise g si et seulement si x divise a et b.4. Schema de la demonstration. On montre d’abord le resultat lorsque ab = 0. Ensuite dans lasituation generale, on note a′ = 1− a et b′ = 1− b. On a alors un systeme fondamental d’idem-potents orthogonaux ab, ab′, a′b, a′b′ et en appliquant le cas particulier precedent on voit que

A/〈a〉 ' A/〈ab〉×A/〈ab′〉 , A/〈b〉 ' A/〈ab〉×A/〈a′b〉 et

A/〈a ∨ b〉 ' A/〈ab〉×A/〈ab′〉×A/〈a′b〉 .

En conclusion les deux anneaux consideres sont isomorphes aA/〈ab〉×A/〈ab′〉×A/〈a′b〉×A/〈ab〉 .

Exercice 2.2.5 (lemme de l’ideal de type fini idempotent)On considere un systeme generateur (a1, . . . aq) de I et le vecteur colonne a = t[ a1 · · · aq ].Puisque aj ∈ I2 pour j ∈ J1..qK, il y a une matrice C ∈ Mq(I) telle que a = C a, donc(Iq − C) a = 0 et det(Iq − C) a = 0. On a det(Iq − C) = 1− e avec e ∈ I et (1− e)I = 0. Doncpour tout x ∈ I, x = ex ce qui donne I = 〈e〉 avec e2 = e. L’unicite de e resulte de ce que siy ∈ 〈e〉, alors y = ex = e2x = ey ; donc si 〈e〉 = 〈f〉 avec e et f idempotents, f = ef = e.

8.3. Systemes lineaires sur un anneau principal 95

8.3 Systemes lineaires sur un anneau principal

Exercice 3.3.1 Tout mineur d’ordre r + 1 de la matrice A est une combinaison lineaire demineurs d’ordre r a coefficients dans l’ideal D1(A) : il suffit par exemple de developper le deter-minant selon la premiere ligne.

Exercice 3.3.2 (ideaux determinantiels d’une matrice de projection sur un anneau arbitraire)Puisque F 2 = F on obtient Dr(F ) ⊆ Dr(F )2 (par le corollaire 3.3.6). Comme l’inclusion I2 = Iest satisfaite pour tout ideal, on obtient Dr(F ) = Dr(F )2. En consequence Dr(F ) est engendrepar un idempotent (voir l’exercice 2.2.5).

Exercice 3.3.3 (matrices de projection sur un anneau principal)1. Voir apres le point 2.2. On est sur un anneau principal. On demontre que la matrice P est equivalente a une matriceIk,n. Comme l’anneau est integre, les seuls idempotents sont 0 et 1. D’apres l’exercice 3.3.2 lesideaux determinantiels de P sont donc egaux a 0 ou 〈1〉.Soit k le rang de la matrice sur le corps des fractions de A, que nous notons K. On a

DK,1(P ) = · · · = DK,k(P ) = 〈1〉, puis DK,k+r = 0 pour r > 0.

Puisque les ideaux determinantiels de la matrice sur A sont egaux a 〈1〉 ou 0, on obtientDA,1(P ) = · · · = DA,k(P ) = 〈1〉, puis DA,k+r = 0 pour tout r > 0. On a une forme reduite deSmith pour P .

L · P · C =D 0


Puisque les ideaux determinantiels de P et L ·P ·C sont egaux, on voit que les ai sont dans A×

pour i = 1, . . . , k. Il est alors clair que la matrice est equivalente a Ik,n.1. Sur Z on peut obtenir la forme de Smith uniquement par des manipulations elementairesde lignes et de colonnes. On peut en outre se passer des echanges de lignes ou colonnes en

remarquant que la transformation[ab

];

[b−a

]peut etre obtenue comme suit

[ab

]L1←L1+L2−−−−→

[a+ bb

]L2←L2−L1−−−−→

[a+ b−a

]L1←L1+L2−−−−→

[b−a

].

On obtient alors une reduite de Smith avec des ai = ±1. Si le rang de la matrice sur Q est n, Pest reguliere et puisque P (In−P ) = 0 on a P = In. Sinon il suffit de voir que l’on peut produire[−1 00 0

];

[1 00 0

], essentiellement de la meme facon que ce que l’on vient de faire.

3. L’argument ici est independant du point 2. et donne un resultat plus fort. Par contre l’ar-gument du point 2. s’applique sur un anneau integre arbitraire des que la matrice admet uneforme reduite de Smith.On sait que KerP et ImP sont en somme directe (parce que P 2 = P ). Mais puisque l’on est surun anneau principal, l’image et le noyau d’une matrice arbitraire sont libres. En prenant unebase de ImP suivie d’une base de KerP on obtient donc une base de An, et sur cette base, lamatrice de l’endomorphisme est egale a Ik,n.

Exercice 3.4.1 Supposons tout d’abord que la matrice A est en forme reduite de Smith.

D 0


et que B = t[ b1 b2 · · · bm ].


On a D1(A) = 〈a1〉, D2(A) = 〈a1a2〉, D3(A) = 〈a1a2a3〉, etc. . . Supposons que Dr(A) =Dr([A B ]) pour tout r ∈ J1..mK.Puisque b1 ∈ D1([A B ]) on doit avoir b1 ∈ 〈a1〉 c’est-a-dire a1 | b1.Puisque a1b2 ∈ D2([A B ]) on doit avoir a1b2 ∈ 〈a1a2〉 c’est-a-dire a2 | b2.Ainsi de suite jusqu’a ak | bk.Ensuite pour k < ` 6 m, on a a1 · · · akb` ∈ Dr+1([A B ]) = 0, donc b` = 0. On voit donc que levecteur B remplit les conditions de compatibilite requises pour que le systeme lineaire AX = Bait une solution.Passons ensuite au cas d’une matrice arbitraire A. On a une reduite de Smith ∆ = LAC avec Let C inversibles.Le systeme lineaire AX = B admet une solution dans A si et seulement si le systeme line-aire ∆Y = LB admet une solution dans A. D’apres ce qu’on vient de voir le systeme lineaire∆Y = LB admet une solution si Dr(∆) = Dr([∆ LB ]), c’est-a-dire Dr(LAC) = Dr([LAC LB ])pour tout r ∈ J1..mK. Or

[LAC LB ] = L [A B ] C ′ avec C ′ = C 0

0 1,

donc C ′ inversible. Finalement puisque Dr(LAC) = Dr(A) et Dr(L [A B ] C ′) = Dr([A B ]), onobtient que la condition (( Dr(A) = Dr([A B ]) pour tout r )) implique que le systeme lineaireadmet une solution.

8.4. Modules sur un anneau commutatif 97

8.4 Modules sur un anneau commutatif

Exercice 4.4.1 (isomorphismes (( naturels )) entre C7×C10 et C70)1) Il y a bijection entre le treillis des sous-groupes de Cn et le treillis des diviseurs de n. Avecn = 70

C14

C10

C70

C35

C7

C5C2

Le treillis des sous groupes de C70.

2) On trouve u = 3, v = −2 : 1 = 21− 20.3) On a xy = (xy)21−20 avec (xy)21 = y (car x7 = 1 et y21 = y puisque 21 ≡ 1 modulo 10)(xy)−20 = x (car y10 = 1 et x−20 = x puisque −20 ≡ 1 modulo 7) donc α−1(z) = (z−20, z21).4) L’application m 7→ m peut etre obtenue comme suit : on a les projections canoniques π7 :Z → Z/7Z, m 7→ m et π70 : Z → Z/70Z, m 7→ m. Comme le noyau de la seconde est contenudans le noyau de la premiere, le theoreme de factorisation nous dit qu’il existe un unique homo-morphisme ψ : Z/70Z→ Z/7Z qui verifie ψ ◦π70 = π7, cela signifie exactement que ψ(m) = m.Et ψ est surjective parce que π7 est surjective.Il est clair que λ est un homomorphisme. Pour voir que c’est un isomorphisme il suffit de montrerqu’il est injectif (les deux groupes ont le meme nombre d’elements). Or si m = π70(m) est dans

le noyau de λ, π7(m) = m = 0 et π10(m) =◦m =

◦0, c’est-a-dire m est multiple de 7 et 10 donc

de 70, ce qui donne m = 0.

On a λ(−20) = (1,◦0) et λ(21) = (0,

◦1) donc, pour deux entiers m et n, λ(−20n+ 21m) = (n,

◦m).

Donc λ−1(n,◦m) = −20n+ 21m. On remarque d’ailleurs que n 7→ −20n est bien defini de Z/7Z

vers Z/70Z. De meme,◦m 7→ 21m est bien defini de Z/10Z vers Z/70Z.

5) Pour comparer les deux methodes il faut choisir des isomorphismes θn : µn → Z/nZ. Prenonspar exemple, ce qui semble assez naturel θn defini par θn(e2iπ/n) = πn(1) : on envoie le generateurζn = e2iπ/n sur le generateur πn(1).On peut se demander, si, via ces isomorphismes θn, les isomorphismes α et λ se correspondent.Cela nous amene donc a comparer, pour (x, y) ∈ µ7 × µ10, (θ7(x), θ10(y)) et λ(θ70(α(x, y))).Or si (θ7(x), θ10(y)) = (m,

◦n), alors x = ζm7 = ζ10m

70 , y = ζn10 = ζ7n70 , α(x, y) = ζ10m+7n

70 ,

θ70(α(x, y)) = 10m+ 7n et λ(θ70(α(x, y))) = λ(10m+ 7n) = (10m,◦

7n).La conclusion est que α et λ ne se correspondent pas via les isomorphismes θn.

µ7 × µ10

θ7 × θ10��

α // µ70

θ70��

Z/7Z× Z/10Z λ−1// Z/70Z

Le diagramme ne commute pas ! 2

Commentaire (( philosophique )) : bien que les deux familles (µn)n∈N et (Z/nZ)n∈N contiennentchacune un exemplaire unique de chaque groupe cyclique, elles sont tres dissemblables, car lesisomorphismes canoniques du type α dans la premiere famille ne correspondent pas de faconnaturelle aux isomorphismes canoniques du type λ dans la deuxieme famille. Cette dissemblance


est confirmee par le fait que dans la famille (µn)n∈N ce sont les injections du type µn → µknqui sont naturelles, tandis que dans la famille (Z/nZ)n∈N ce sont plutot les projections du typeZ/nkZ→ Z/nZ.

Exercice 4.4.2 (modules projectifs de type fini)1. Si P ⊕Q ' An on considere la matrice F de l’endomorphisme

πP,Q : An → An, x+ y 7→ x (x ∈ P, y ∈ Q).

Cet endomorphisme est appele la projection1 sur P parallelement a Q. Alors il est clairque F 2 = F et ImF ' P . Reciproquement, pour toute matrice idempotente F ∈ Mn(A), on aAn = Ker(F )⊕ Im(F ) et F est la matrice de la projection sur Ker(F ) parallelement a Im(F ).2a) Pour F = Ik,n le calcul, immediat, donne RF (1 +X) = (1 +X)k donc RF (X) = Xk.2b) On a

RF ((1 +X)(1 + Y )) = RF (1 +X + Y +XY ) = det(In + (X + Y +XY )F )det(In +XF + Y F +XY F ) = det(In +XF + Y F +XY F 2) = det((In +XF ) + (In + Y F ))det(In +XF ) det(In + Y F ) = RF (1 +X)RF (1 + Y ).

Donc RF (XY ) = RF (X)RF (Y ). Par ailleurs RF (1) = RF (1 + 0) = det(In + 0F ) = det(In) = 1.2c) Le calcul est immediat.2d) Supposons que P ⊕ Q ' An et P ⊕ Q′ ' Am, ce qui donne une matrice de projectionF ∈Mn(A) et une matrice de projection G ∈Mm(A) avec ImF ' P ' ImG. Alors

P ⊕Q⊕ P ⊕Q′ ' Am+n

Il y a un automorphisme lineaire σ de Am+n, de matrice S, qui echange les deux composantesP dans la somme directe ci-dessus en laissant les autres composantes fixes point par point. Ona σ2 = σ.

Si F1 =F 0

0 0et G1 =

0 0

0 G, la matrice F1 correspond a la projection sur le premier

facteur direct P parallelement a Q⊕ P ⊕Q′, et la matrice F1 correspond a la projection sur ledeuxieme facteur direct P parallelement a P ⊕ Q ⊕ Q′. On a donc SF1S

−1 = G1. On obtientalors S(Im+n +XF1)S−1 = Im+n +XG1, donc

det(In +XF ) = det(Im+n +XF1) = det(Im+n +XG1) = det(Im +XG),

c’est-a-dire RF (1 +X) = RF1(1 +X) = RG1(1 +X) = RG(1 +X).

Exercice 4.4.3 (vecteurs unimodulaires)1. ⇒ 2. Dire que x est sans torsion revient a dire que l’application A-lineaire a 7→ ax, A→ Axest un isomorphisme, donc que Ax est libre de rang 1 avec pour base (x).1. ⇒ 3. Si M = Ax ⊕ N , avec x sans torsion, ont definit une forme lineaire α : M → A enposant pour z ∈M , α(z) = α(ax+ y) = a ou y ∈ N . L’application α est bien definie parce quel’on a une somme directe et parce que x est sans torsion. Elle est clairement lineaire et α(x) = 1.3. ⇒ 1. On pose N = Kerα. Tout z ∈ M s’ecrit z = α(z)x + y, et un calcul immediat donney ∈ Kerα. Montrons que N ∩Ax = {0} : si α(ax) = 0, alors a = aα(x) = α(ax) = 0 donc a = 0et ax = 0. Enfin x est sans torsion : si ax = 0 alors 0 = α(ax) = aα(x) = a.2. ⇒ 1. Supposons le module Ax libre de rang 1, de base (x1) avec x1 = ux. Il existe un v ∈ Atel que x = vx1, donc x1 = uvx1 et puisque x1 est une base, uv = 1. Donc u est inversible, xest une base de Ax, et x est sans torsion.Lorsque α(x) = 1 avec α ∈M∗, on considere l’element x∗ de (M∗)∗ defini par x∗(θ) = θ(x). Ona donc x∗(α) = 1, et donc α est un vecteur unimodulaire de M∗.

1. En fait, il y a une petite ambiguite concernant la (( bonne )) definition : la projection doit-elle etre considereecomme une application A-lineaire de An sur P , ou comme un endomorphisme de An ? Nous preferons le secondchoix.


Exercice 4.5.1 1.[a 00 b

];

[a b0 b

]C1←C1+(1−a)C0−−−−→

[a+ b− ab bb− ab b

]C2←C2−bC1−−−−→

[a ∨ b 0b− ab ab

];

[a ∨ b 0

0 ab

]2. Les transformations elementaires considerees produisent un automorphisme du A-moduleA×A qui envoie le sous-module aA× bB sur le sous-module (a ∨ b)A× (a ∧ b)B.3. On considere le systeme fondamental d’idempotents orthogonaux (ab, ab′, a′b, a′b′) (voir lecorrige page 94 de l’exercice 2.2.4). Il donne un isomorphisme d’anneaux

A σ−−→ A/〈ab〉×A/〈a′b〉×A/〈ab′〉×A/〈a′b′〉 ,

a 7−→ (1, 0, 1, 0)b 7−→ (1, 1, 0, 0)ab 7−→ (1, 0, 0, 0)a ∨ b 7−→ (1, 1, 1, 0)

De meme B = A×A est isomorphe a un produit C de 8 anneaux, et par cet isomorphisme, quenous notons σ × σ, on obtient la correspondance

σ × σ :∣∣∣∣ aA× bA 7−→ (1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0)CabA× (a ∨ b)A 7−→ (1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0)C

.

Il y a un automorphisme θ de l’anneau B qui echange la composante A/〈ab′〉 du premier facteurA avec celle du deuxieme facteur A : la copie cet automorphisme dans C, a savoir

θ′ = (σ × σ) ◦ θ ◦ (σ × σ)−1,

opere sur les 8 elements du systeme fondamental d’idempotents orthogonaux associe au produit,il sont tous fixes, a l’exception de (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) et (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0), qui sont echanges.Alors θ′ envoie (1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0) sur (1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0), et donc θ envoie aA × bA sur abA ×(a ∨ b)A.

Exercice 4.5.2 (surjections scindees)1a) Considerons une surjection scindee. Soient ϕ : M → P et ψ : P → M des applicationslineaires telles que ϕ ◦ ψ = IdP . On pose N = Imψ et K = Kerϕ. Un element arbitraire z ∈Ms’ecrit z = ψ(ϕ(z)) + y et le calcul donne ϕ(y) = ϕ(z) − (ϕψϕ)(z) = ϕ(z) − ϕ(z) = 0, doncy ∈ N et M = N +K. Si x = ψ(x′) ∈ N ∩K alors 0 = ϕ(x) = x′ donc x = 0. Ainsi M = N ⊕K.Alors l’application lineaire ϕ|N = N → P est l’isomorphisme lineaire reciproque de ψ : P → N .

1b) Considerons une surjection ϕ : M → P avec M = Kerϕ⊕N pour un certain sous-moduleN de M . On voit facilement que la restriction ϕ1 de ϕ a N est a la fois injective et surjective.On definit ψ comme l’isomorphisme reciproque de ϕ1 et l’on obtient ϕ ◦ ψ = IdP , c’est-a-direque la surjection est scindee.

2a) L’homomorphisme naturel de groupes Z/100Z→ Z/10Z a pour noyau 10Z/100Z ' Z/10Z.D’apres le point 1., s’il s’agissait d’une surjection scindee on aurait Z/100Z ' Z/10Z× Z/10Z,ce qui n’est pas le cas car tous les elements du membre de droite ont un ordre divisant 10.

2b) L’homomorphisme naturel de groupes Z/100Z→ Z/4Z a pour noyau 4Z/100Z ' Z/25Z. Lenoyau est en facteur direct car Z/100Z ' 4Z/100Z ⊕ 25Z/100Z par le theoreme chinois. Doncla surjection est scindee.

2c) Si a divise b 6= 0 dans un anneau principal A, disons b = ac, on a une application lineairesurjective ϕ : A/〈b〉 → A/〈a〉 donnee par x 7→ x pour tout x ∈ A. On a Kerϕ = aA/〈b〉 ' A/〈c〉.Si cette surjection est scindee on doit avoir A/〈b〉 = A/〈a〉 × A/〈c〉. Or dans ce module toutelement est annule par a∨c (le ppcm). Si la surjection est scindee on doit donc avoir (a∨c) 1 = 0dans A/〈b〉, c’est-a-dire b | a ∨ c. Ceci implique a ∧ c = 1. Reciproquement si a ∧ c = 1, on aA/〈ac〉= A/〈a〉×A/〈c〉 par le theoreme chinois et la surjection est scindee.

3. Soit A = K1×· · ·×Kr un produit fini de corps et P un A-module de type fini. Soit e1, . . . , er lesysteme fondamental d’idempotents orthogonaux de A correspondant a ce produit et Pi = eiP .On a P = P1⊕· · ·⊕Pr ou chaque Pi est muni (via sa structure de A-module) d’une structure deKi-espace vectoriel. Les Pi sont de type fini comme Ki-espaces vectoriels donc ce sont des espaces


vectoriels de dimensions finies. Soit ϕ : M → P une application A-lineaire surjective. On veutmontrer qu’elle est scindee. On a de la meme maniere des decompositions M = M1 ⊕ · · · ⊕Mr

et ϕ = ϕ1 ⊕ · · · ⊕ ϕr, chaque ϕi est une application lineaire surjective Mi → Pi. Il suffit demontrer que chaque ϕi est scindee. Si (ai,1, . . . , ai,ni) est une base de Pi, il existe des bk ∈ Mi

tels que ϕi(bk) = ai,k. On definit alors une application Ki-lineaire ψi : Pi → Mi en posantψi(

∑k γkai,k) =

∑k γkbk, et l’on verifie que ψi ◦ ϕi = IdPi .

Exercice 4.5.3 (reduction d’un module, modulo un ideal)1. Tout d’abord la loi externe proposee est bien definie : si a = c alors pour n’importe quelx ∈M ,

◦ax =

◦cx car ax− cx = (a− c)x ∈ IM .

La verification des axiomes d’une loi externe pour (B/I,M/IM) decoule alors immediatementdu fait qu’ils sont verifies pour (B,M).2. Si M est libre sur B de base E = (e1, . . . , en), un element arbitraire de IM s’ecrit sous forme∑

i aiei avec les ai ∈ I. Donc deux elements x =∑

i xiei, et y =∑

i yiei de M sont congrusmodulo IM si et seulement si pour tout i, xi = yi. Ainsi tout element de M/IM s’ecrit demaniere unique sous forme

∑i ξi◦ei avec des ξi ∈ C.

3. Soit P un sous-B-module de M . Il faut faire attention, pour un x ∈ P la notation◦x est sujette

a erreur, car on peut considerer la classe de x modulo IP dans P , ou la classe de x modulo IMdans M . Nous reservons la notation

◦x pour la classe de x modulo IM dans M . L’application

obtenue en composant l’injection P →M et la surjection M →M/IM a pour noyau le B-mo-dule N = IM ∩ P qui contient IP . Si P1 =

{ ◦x | x ∈ P

}⊆M/IM , on obtient par le theoreme

de factorisation une application surjective naturelle P/IP → P/N ' P1. La condition pouridentifier P/IP au sous-module P1 de M est que N = IP , c’est-a-dire IM ∩ P = IP .Voici un cas simple ou cela ne marche pas. On prend B = Z, I = 3Z, M = Q, P = Z. AlorsM/IM est le F3-espace vectoriel nul tandis que P/IP ' F3 est de dimension 1.4. Meme raisonnement qu’au point 2.

5. Si x est un generateur de M on a M = Bx avec AnnB(x) = J , donc M/IM = C◦x et tout

element de I + J annule◦x. Inversement si a

◦x = 0 alors

◦ax = 0 et ax ∈ Ix, donc ax = cx

pour un c ∈ I, donc a − c ∈ J de sorte que a ∈ I + J . Ainsi AnnC(◦x) = I + J , de sorte que

M/IM ' B/(I + J).6. On considere un anneau principal A. Si a ∈ A∗ et

M = A/〈a1〉⊕ · · · ⊕A/〈ak〉⊕Ar, (r, k ∈ N)

avec a1 | a2 | · · · | ak (c’est-a-dire 〈ak〉 ⊆ · · · ⊆ 〈a1〉) on obtient en appliquant les points 4. et 5.

M/aM ' A/〈b1〉⊕ · · · ⊕A/〈bk〉⊕ (A/〈a〉)r,

avec 〈bi〉 = 〈ai, a〉 et 〈a〉 ⊆ 〈bk〉 ⊆ · · · ⊆ 〈b1〉. Si a = ai pour un certain i cela donne

M/aM ' A/〈a1〉⊕ · · · ⊕A/〈ai−1〉⊕ (A/〈a〉)r+k−i+1.

Exercice 4.7.1 1a) Notons ep l’element de M dont toutes les coordonnees sont nulles, sauf cellecorrespondant au nombre premier p, egale a a 1 (modulo p). Un element arbitraire x de M s’ecrit∑

p∈P xpep, ou P est une partie finie de P, avec les xp ∈ N. Alors mx = 0 avec m =∏p∈P p.

Donc, x est de torsion.1b) Soit m ∈ AnnZ(M), alors pour tout p ∈ P on a l’egalite mep = 0, donc p divise m. Doncm = 0.2. Un element arbitraire x de A est une suite infinie (xp)p∈P, avec pour tout p, xp ∈ Fp. Posonsyp = 0 si xp = 0 et yp = x−1

p sinon. Alors x2y = x et y2x = y. En effet, dans un corps Karbitraire, les egalites u2v = u et v2u = v sont verifiees dans les deux cas suivants


– u = v = 0– u 6= 0 et v = u−1.

Cette remarque prouve aussi l’unicite de v lorsque lorsque u est donne.

Exercice 4.8.1 Pour x ∈ A notons x la classe de x modulo a dans le module M = A/aA. Ona donc e = 1 et la structure de A-module de M est donnee par x y = xy, avec x = xe = x1. Unsous-module monogene de M est de la forme 〈x〉 = xA ⊆M . Son image reciproque dans A parla projection canonique

x 7→ x, A→M

est l’ideal aA + xA de A.En tant que A-module, 〈x〉 est alors isomorphe a

(aA + xA)/aA ' xA/(xA ∩ aA).

On a les equivalences

〈x〉 ⊆ 〈y〉 ⇐⇒ x ∈ aA + yA ⇐⇒ aA + xA ⊆ aA + yA.

Lorsque c’est le cas on a l’isomorphisme classique

〈y〉 / 〈x〉 ' (aA + yA)/(aA + xA).

Exercice 4.8.2 On sait que les sous-A-modules de A (i.e. les ideaux de A) sont tous de laforme aA, et que l’ideal aA determine de maniere unique la classe de a dans A/A× (la classede a modulo l’association).En outre cette bijection de l’ensemble des sous-A-modules de A vers A/A× transforme inter-section, somme et produit en ppcm, pgcd et produit.On en deduit qu’il y a une bijection entre les sous-A-modules de A/〈a〉 et les diviseurs de a(vus dans A/A×). Au diviseur b de a on fait correspondre le sous-A-module b(A/〈a〉), qui estisomorphe a bA/aA ou encore a A

/⟨ab

⟩. Enfin cette bijection transforme intersection et somme

en ppcm et pgcd.

Exercice 4.8.3 Dans la solution du point 1. on peut prendre pour A un anneau arbitraire.Par contre pour le point 2. il faut supposer A principal.1. En composant la projection canonique A → A/〈a〉 avec une application A-lineaire ϕ :A/〈a〉 → M on obtient un element de LA(A,M), qui est caracterise par l’image de 1. Onen deduit par le theoreme de factorisation qu’une application A-lineaire de A/〈a〉 dans M estcompletement determinee par l’image de 1, qui est n’importe quel element x de M verifiantax = 0 (on note (0 : a)M,A ou (0 : a)M ce sous-module de M). Notons ϕx l’homomorphismeb 7→ bx correspondant. Alors x 7→ ϕx est un isomorphisme de (0 : a)M sur LA(A/〈a〉 ,M).2. Supposons d’abord a, b 6= 0. Les elements de A/〈b〉 annules par a sont ceux annules parg = pgcd(b, a). Si b1 = b/g, on obtient donc un isomorphisme

b1(A/〈b〉) −→ LA(A/〈a〉 ,A/〈b〉), x 7−→ (y 7→ yx)

En outre b1(A/〈b〉) ' A/〈g〉. En particulier ce groupe est nul si et seulement si g = 1.Si a = 0, alors LA(A/〈a〉 ,A/〈b〉) = LA(A,A/〈b〉) ' A/〈b〉 (nul si et seulement si b ∈ A×).Si a 6= 0 et b = 0, alors LA(A/〈a〉 ,A/〈b〉) = LA(A/〈a〉 ,A) = {0} .Exercice 4.8.4 Il n’est pas necessaire de supposer que A est un anneau principal.On peut appliquer le point 1. de l’exercice 4.8.3 avec le module M = A/〈a〉. Tout element de Mest annule par a, donc (0 : a)M = M . Ainsi l’application A-lineaire z 7→ ϕz est un isomorphismedu A-module A/〈a〉 sur le A-module LA(A/〈a〉 ,A/〈a〉) = EndA(A/〈a〉). Avec precisement

ϕx(y) = yx = yx pour x, y ∈ A/〈a〉 .En fait cet isomorphisme de A-modules est aussi un isomorphisme d’anneaux puisque

ϕx ◦ ϕy = ϕxy.


Exercice 4.10.1 (reduction d’un module, modulo un ideal, 2)1. Verification immediate.2. Regardons N comme un B-module. Si a ∈ I et x ∈ M alors ψ(ax) = aψ(x) = aψ(x) =0ψ(x) = 0. Ainsi, IM ⊆ Kerψ, et par le theoreme de factorisation pour les applications B-line-aires, il existe une unique application B-lineaire θ : M/IM → N telle que θ ◦ π = ψ. Il reste averifier que θ est en fait une application C-lineaire, ce qui resulte immediatement des definitions.3. Clair, comme pour n’importe quel quotient de M .4. Notons A = (aij)i∈J1..mK,j∈J1..nK ∈ Mm,n(A). Les n colonnes de la matrice A representent desrelations entre les gi dans M : ∑m

i=1 aijgi = 0

Dans le C-module M/IM on a donc les relations∑mi=1 aij

◦gi = 0.

Intuitivement, il ne peut pas y avoir de nouvelles relations introduites entre les◦gi quand on

passe de M a M/IM . Mais il faut le justifier.Soit donc ∑m

i=1 bi◦gi = 0 (∗)

une relation entre les◦gi dans le C-module M/IM . Nous voulons montrer que le vecteur colonne

des bi est une combinaison lineaire (dans C) des colonnes de la matrice A.La relation (∗) signifie que

∑mi=1 bigi ∈ IM , et cela implique qu’il existe c1, . . . , cm ∈ I tels que∑m

i=1 bigi =∑m

i=1 cigi dans M . Autrement dit le vecteur colonne C := t[ b1 − c1 · · · bm − cm ]est une combinaison lineaire (dans B), C = AX des colonnes de la matrice A. Donc le vecteurcolonne C = t[ b1 · · · bm ] est egal a la combinaison lineaire (dans C) AX des colonnes de lamatrice A.

8.5. Modules de presentation finie sur les anneaux principaux 103

8.5 Modules de presentation finie sur les anneaux principaux

Exercice 5.2.1 Dans l’exemple on a obtenu, avec L et C13 inversibles

LAC13 = A13 =

1 0 0 00 3 0 00 0 0 0

avec L =

−24 0 1755 2 −3514 5 0

Cela donne A = L−1A13C

−113 . Comme l’image de L−1A13C

−113 est la meme que celle de L−1A13,

une base de Z3 adaptee au sous-Z-module ImA, est donnee par les colonnes de L−1. On a

L−1 =

−175 −85 34490 238 −95−247 −120 48

La base correspondante de ImA est (

−175490−247

, 3 −85

238−120

).

Notons que l’on peut calculer L−1 au cours de l’algorithme de la maniere suivante. On remarqueque

L = · · ·V3V2V1I3,

ou les Vi correspondent aux transformations de lignes successives. Dans l’exemple c’est

V1 :=

1 0 00 1 0−1 0 1

, V2 :=

1 0 −30 1 00 0 1

, V3 :=

1 0 00 1 02 0 1

, . . .Alors L−1 = I3V −1

1 V −12 V −1

3 · · · et cette matrice peut etre obenue a partir de la matrice I3 en luifaisant subir successivement les manipulations de colonnes correspondant a la multiplication adroite par les matrices V −1

i , avec

V −11 :=

1 0 00 1 01 0 1

, V −12 :=

1 0 30 1 00 0 1

, V −13 :=

1 0 00 1 0−2 0 1

, . . .Ainsi lorsque l’on fait une manipulation de lignes (( Li ← Li + aLj )) dans l’algorithme, on doitfaire en parallele la manipulation de colonnes suivante pour calculer L−1 : (( Cj ← Cj − aCi. ))

Exercice 5.2.2Dans l’exemple page 6 on a obtenu, avec L et C13 inversibles

LAC13 = A13 =

1 0 0 00 3 0 00 0 0 0

avec C13 =

0 133 −83 −2651 8 −4 −130 266 −165 −5300 1 0 −2

Cela donne A = L−1A13C

−113 et

tA = tC13−1 · tA13 · tL

−1 =

1 0 00 3 00 0 00 0 0

.Comme l’image de tC13

−1 · tA13 · tL−1 est la meme que celle de tC13

−1 · tA13, une base de Z4

adaptee au sous-Z-module Im tA, est donnee par les colonnes de tC13−1.

Pour calculer l’inverse de C13, on peut proceder comme indique dans l’exercice 5.2.1 : a chaquefois que la matrice C est modifiee par une transformation de colonnes, on modifie son inverse


par la transformation de lignes (( opposee )). En fait on a deja donne la matrice W13 = C−113 pour

decrire le changement d’inconnues :

C13−1 =

487 1 −245 391−330 0 166 −265−2 0 1 0−165 0 83 −133

.

Une base adaptee est donc (v1, v2, v3, v4) = (

4871−245391

,−330

0166−265

,−2010

,−165

083−133

) et la base

correspondante de Im tA est (v1, 3v2).

Exercice 5.3.1 On se reporte a la solution de l’exercice 5.2.1. On a donc

CokerA ' Z/3Z⊕ Z,

et les elements correspondant a chacun des deux termes de cette somme directe sont les classesmodulo ImA des 2-emes et 3-emes vecteurs colonnes de L−1.

Exercice 5.3.2 On se reporte a la solution de l’exercice 5.2.2. On a

Coker tA ' Z/3Z⊕ Z⊕ Z,

et les elements correspondant a chacun des termes de cette somme directe sont les classes moduloIm tA de v2, v3 et v4.

Exercice 5.3.31. On a 500 = 2253. Un groupe abelien d’ordre 500 est somme directe de son unique sous-grouped’ordre 4 et de son unique sous groupe d’ordre 125.Il y a 2 structures possibles pour un groupe d’abelien d’ordre 4 : Z/4Z et Z/2Z× Z/2ZIl y a 3 structures possibles pour un groupe d’abelien d’ordre 125 : Z/125Z et Z/25Z×Z/5Z etZ/5Z× Z/5Z× Z/5Z.Cela fait donc 6 structures possibles de groupes abeliens d’ordre 500.

– Z/4Z× Z/125Z ' Z/500Z– Z/4Z× Z/25Z× Z/5Z ' Z/100Z× Z/5Z– Z/4Z× Z/5Z× Z/5Z× Z/5Z ' Z/20Z× Z/5Z× Z/5Z– Z/2Z× Z/2Z× Z/125Z ' Z/250Z× Z/2Z– Z/2Z× Z/2Z× Z/25Z× Z/5Z ' Z/50Z× Z/10Z– Z/2Z× Z/2Z× Z/5Z× Z/5Z× Z/5Z ' Z/10Z× Z/10Z× Z/5Z

2. On a 32 = 25, et 5 peut s’ecrire sous les formes suivantes :5, 4 + 1, 3 + 2, 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 + 1,

(les entiers, tous > 0 sont ecrits en ordre decroissant dans la somme). Cela correspond aux 7structures possibles de groupes abeliens d’ordre 32 :

– 5 : Z/32Z– 4+1 : Z/16Z× Z/2Z– 3+2 : Z/8Z× Z/4Z– 3+1+1 : Z/8Z× Z/2Z× Z/2Z– 2+2+1 : Z/4Z× Z/4Z× Z/2Z– 2+1+1+1 : Z/4Z× Z/2Z× Z/2Z× Z/2Z– 1+1+1+1+1 : Z/2Z× Z/2Z× Z/2Z× Z/2Z× Z/2Z

2. On a 800 = 2552. Cela fait 7 structures possibles pour le sous-groupe d’ordre 32 et 2 structurespossibles pour le sous-groupe d’ordre 25, donc 14 structures distinctes en tout.


Exercice 5.3.4 Un module de torsion M de type fini non nul sur un anneau principal estisomorphe a un module A/〈a1〉 ⊕ · · · ⊕ A/〈ak〉 avec les ai 6= 0, 1. Si l’on impose comme dansle corollaire 5.3.3 〈a1〉 ⊇ · · · ⊇ 〈ak〉 alors les ideaux 〈ai〉 sont entierement determines par M .Si 〈a1 · · · ak〉 =

⟨p5q3

⟩avec p et q irreductibles non associes, le nombre de structures possibles

pour M se determine par la meme methode que dans l’exercice 5.3.3.En posant a = p5q3, Mp = (0 : p5)M et Mq = (0 : q3)M on a aM = 0 et une relation de Bezoutentre p5 et q3 montre que M = Mp⊕Mq (on peut voir ceci comme un cas particulier du theoremedes restes chinois si on considere la structure d’anneaux de A/〈a〉).De maniere generale si l’on est dans le cas ou O(N) = 〈πm〉 pour un element irreductible π,on aura N '

⊕ki=1 A/〈πmi〉 avec les contraintes

∑ki=1mi = m et m1 6 · · · 6 mk. Le nombre

de structures possibles correspond alors au nombre de manieres d’ecrire m comme une sommed’entiers > 0 en ordre decroissant.En notant que

3 = 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3

et5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 = 3 + 2 = 4 + 1 = 5

on obtient 3 structures possibles pour Mq

– A/〈q〉×A/〈q〉×A/〈q〉– A

/⟨q2

⟩×A/〈q〉

– A/⟨q3

⟩et 7 structures possibles pour Mp :

– A/〈p〉×A/〈p〉×A/〈p〉×A/〈p〉×A/〈p〉– A

/⟨p2

⟩×A/〈p〉×A/〈p〉×A/〈p〉

– A/⟨p2

⟩×A

/⟨p2

⟩×A/〈p〉

– A/⟨p3

⟩×A/〈p〉×A/〈p〉

– A/⟨p3

⟩×A

/⟨p2

⟩– A

/⟨p4

⟩×A/〈p〉

– A/⟨p5

⟩Ce qui fera 3× 7 = 21 structures possibles pour M :

– A/〈pq〉×A/〈pq〉×A/〈pq〉×A/〈p〉×A/〈p〉– A

/⟨pq2

⟩×A/〈pq〉×A/〈p〉×A/〈p〉×A/〈p〉

– A/⟨pq3

⟩×A/〈p〉×A/〈p〉×A/〈p〉×A/〈p〉

– A/⟨p2q

⟩×A/〈pq〉×A/〈pq〉×A/〈p〉

– A/⟨p2q2

⟩×A/〈pq〉×A/〈p〉×A/〈p〉

– A/⟨p2q3

⟩×A/〈p〉×A/〈p〉×A/〈p〉

– A/⟨p2q

⟩×A

/⟨p2q

⟩×A/〈pq〉

– A/⟨p2q2

⟩×A

/⟨p2q

⟩×A/〈p〉

– A/⟨p2q3

⟩×A

/⟨p2

⟩×A/〈p〉

– A/⟨p3q

⟩×A/〈pq〉×A/〈pq〉

– A/⟨p3q2

⟩×A/〈pq〉×A/〈p〉

– A/⟨p3q3

⟩×A/〈p〉×A/〈p〉

– A/⟨p3q

⟩×A

/⟨p2q

⟩×A/〈q〉

– A/⟨p3q2

⟩×A

/⟨p2q

⟩– A

/⟨p3q3

⟩×A

/⟨p2

⟩– A

/⟨p4q

⟩×A/〈pq〉×A/〈q〉

– A/⟨p4q2

⟩×A/〈pq〉

– A/⟨p4q3

⟩×A/〈p〉

– A/⟨p5q

⟩×A/〈q〉×A/〈q〉

– A/⟨p5q2

⟩×A/〈q〉

– A/⟨p5q3

⟩


Exercice 5.3.5 On a un A-module

M = Ar ⊕A/〈a1〉⊕ · · · ⊕A/〈ak〉 , (r, k ∈ N)

avec des elements a1, . . . , ak de A∗ \A× et a1 | a2 | · · · | ak.

1. On en deduit que M/a1M ' A/〈a1〉k+r (exercice 4.5.3, point 6.). Par ailleurs on sait d’unepart qu’un module libre de rang ` sur un anneau non nul ne peut pas etre engendre par ` − 1elements (corollaire 4.2.6) et d’autre part que tout systeme generateur du A-module M donnepar passage au quotient un systeme generateur du A/〈a1〉-module M/a1M . Ceci montre que Mne peut pas etre engendre par k + r − 1 elements.

2. On note K = FracA le corps des fractions. Dans la suite on ecrit tout element de M sous laforme x = y + z = π1(x) + π2(x), avec

y = π1(x) ∈ Ar et z = π2(x) ∈ T(M) = A/〈a1〉⊕ · · · ⊕A/〈ak〉 .

On considere alors un systeme x1, . . . , xr+1 de r+1 elements de M . Les elements correspondantsy1, . . . , yr+1 ∈ Ar ⊆ Kr sont lineairement dependants sur K. On en deduit une relation de depen-dance lineaire

∑r+1i=1 γiyi = 0 avec les γi ∈ A non tous nuls. Chaque zi ∈ T(M) est annule par

ak =: a. On en deduit la relation de dependance lineaire∑r+1i=1 aγixi = a

∑r+1i=1 γiyi + a

∑r+1i=1 γizi = 0 + 0 = 0

avec les aγi non tous nuls. Ainsi r est bien le nombre maximum d’elements A-lineairementindependants dans M .

Exercice 5.3.6

1. Un element (x, y) ∈ Z/pZ×Z/p2Z est d’ordre p2 si et seulement si y est d’ordre p2. Cela faitp2− p = p(p− 1) possibilites pour y. Il y a donc p2(p− 1) = p3− p2 elements d’ordre p2 dans H.

2. Comme tout element de H est d’ordre p2, p ou 1, et |H| = p3, on obtient p2 − 1 elementsd’ordre p dans H. Comme chaque sous-groupe d’ordre p de H est cyclique et contient p − 1elements d’ordre p, et comme deux tels sous-groupes sont d’intersection reduite a 0, on obtientqu’il y a p+ 1 sous-groupes d’ordre p, tous isomorphes a Z/pZ.

3. Un endomorphisme ϕ : H → H est defini par ϕ(1) et ϕ(1). Il verifie alors

ϕ(x, y) = xϕ(1) + yϕ(1).

Pour que ceci soit bien defini, la seule contrainte a satisfaire est que pϕ(1) = 0, ce qui laisse p2

possibilites pour ϕ(1). On obtient donc en tout p2 × p3 = p5 endomorphismes de H.

4. Pour que ϕ soit un automorphisme de H, on doit rajouter les contraintes suivantes :– ϕ(1) est d’ordre p2,– ϕ(1) est d’ordre p et ϕ(1) /∈

⟨ϕ(1)

⟩.

Cela fait p3−p2 possibilites pour ϕ(1). Concernant ϕ(1), on note que dans le sous-groupe⟨ϕ(1)

⟩il y a p− 1 elements d’ordre p, donc il reste (p2 − 1)− (p− 1) = p2 − p possibilites pour ϕ(1).Le groupe des automorphismes de H contient donc (p3 − p2)(p2 − p) = p3(p− 1)2 elements.

5. Le treillis des sous-groupes de G = Z/5Z× Z/25ZOn note tout d’abord qu’un groupe Z/5Z×Z/5Z est un espace vectoriel de dimension 2 sur F5.Ses sous-groupes sont les sous-espaces vectoriels, il y en a donc 6 de dimension 1, isomorphes aZ/5Z.


Dans le dessin ci-contre, tous les sous-groupes de G sont representespar des points. Les points plus gros representent des sous-groupescaracteristiques de G, c’est-a-dire invariants par tout automorphis-me de G. Sur la ligne du bas il y a le groupe nul. Sur la deuxiemeligne a partir du bas il y a les sous-groupes isomorphes a Z/5Z. Lesous-groupe caracteristique est le groupe 5G, engendre par (0, 5).Sur la ligne du haut, il y a G. Sur la deuxieme ligne a partir du hautil y a les sous-groupes d’ordre 25. Le sous-groupe caracteristiqueest forme par les elements dont l’ordre divise 5. Il est isomorphea Z/5Z × Z/5Z, engendre par (1, 0) et (0, 5). Les 5 autres sous-groupes d’ordre 25 sont cycliques, isomorphes a Z/25Z, chacun estengendre par un element (i, 1) avec les 5 valeurs possibles pour i.Ces 5 sous-groupes cycliques d’ordre 25 ont le meme sous-grouped’ordre 5, egal a 5G.

Exercice 5.3.7 (reduction de matrice sur un anneau de Bezout)1. Si la matrice F est nulle il n’y a rien a faire. Sinon, si la premiere colonne est nulle, parechange de deux colonnes, on ramene une colonne non nulle en premiere position. On peut doncsupposer la premiere colonne non nulle.Par manipulations de Bezout sur les lignes, on peut alors ramener la premiere colonne a la

forme

g0...0

, ou g 6= 0 est le pgcd des coefficients de la premiere colonne. On a donc une premiere

reduction

L1 · F · P1 =g 0

0 F1.

Il reste a recommencer avec la matrice F1 le meme type de manipualtions. On aboutit ainsi a

L · F · P = T G

0 0avec T triangulaire superieure a coefficients diagonaux 6= 0

2. Maintenant on traite la matriceT G

par manipulation de colonnes et permutations de lignes. Cela permet, comme au point 1. deramener cette matrice a la forme

T ′ 0 avec T ′ triangulaire superieure a coefficients diagonaux 6= 0

3. Quitte a faire des changements de base convenables, on peut donc supposer que F est de laforme

F = T ′ 0

0 0avec T ′ triangulaire superieure a coefficients diagonaux 6= 0

On a alors clairement les resultats suivants :

a) Le module KerF est engendre par les n − k derniers vecteurs de la base canonique de An,avec pour supplementaire le module engendre par les k premiers vecteurs de cette base.

b) Le module ImF est engendre par les colonnes de T ′, qui sont lineairement independantes.C’est donc un A-module libre de rang k.


c) Notons P et N sont les sous-A-modules de Am engendres respectivement par les k premiersvecteurs et les m − k derniers vecteurs de la base canonique de Am. On note T ′ la matricecotransposee de T ′. Puisque T ′ · T ′ = det(T ′) Ik on a

vP ⊆ ImT ′ ⊆ P avec v = detT ′ 6= 0.

On en deduit que M = CokerF ' (P/ ImT ′) ⊕ N avec pour sous-module de torsion T(M) =P/ ImT ′. Notons pour terminer que vT(M) = 0 et N est libre de rang m− k.d) Ici il faut faire attention, car on parle de la matrice d’un endomorphisme, et non de celled’une application A-lineaire generale. On sait donc seulement que la matrice F est equivalente(et non pas semblable) a une matrice carree de la forme

G =T ′ 0

0 0avec T ′ triangulaire superieure a coefficients diagonaux 6= 0.

Puisque F 2 = F , les ideaux determinantiels de F sont engendres par des idempotents (exercice3.3.2). Puisque l’anneau est integre, 1 et 0 sont les seuls idempotents. Les ideaux determinantielsde F sont donc egaux a 〈1〉 ou 0. Or

Dk(F ) = Dk(G) = Dk(T ′) = 〈det(T ′) 〉 6= 0.

Donc 〈det(T ′) 〉 = 〈1〉, i.e. det(T ′) ∈ A×, et T ′ est inversible. On en deduit que la matrice Fest equivalente a Ik,n. Comme F 2 = F on a An = Ker(F ) ⊕ Im(F ). Puisque F est equivalentea Ik,n son noyau et son image sont libres de rangs respectifs n− k et k. Cela montre que F estsemblable a Ik,n.

Exercice 5.4.1 On considere le A-module

M = Ar ⊕A/〈a1〉⊕ · · · ⊕A/〈ak〉 , (r, k ∈ N)

avec des elements a1, . . . , ak de A∗ \A× et a1 | a2 | · · · | ak. Alors

LA(M,A) = LA(Ar,A)⊕LA(A/〈a1〉 ,A)⊕ · · · ⊕LA(A/〈ak〉 ,A) ' Ar

car LA(A/〈a〉 ,A) = 0 si a 6= 0.

Exercice 5.4.2 On a LZ(Q,Z) = 0. En effet si α ∈ LZ(Q,Z) et α(1) = m 6= 0, alors2mα(1/2m) = α(1) = m d’ou α(1/2m) = 1/2 ce qui est absurde.

Exercice 5.4.3 Il suffit de traiter le cas M = A/〈a1〉⊕· · ·⊕A/〈ar〉 et N = A/〈b1〉⊕· · ·⊕A/〈bs〉(ai, bj ∈ A \A×). Alors LA(M,N) '

∏i∈J1..rK,j∈J1..sK LA(A/〈ai〉 ,A/〈bj〉). On se reporte alors

a l’exercice 4.8.3.

8.6. Application : structure d’un endomorphisme 109

8.6 Application : structure d’un endomorphisme

Exercice 6.1.1

Exercice 6.1.2 On note pour commencer que, en appliquant les definitions, on obtient

(XIn −A) ◦ ϕ = 0

et ϕ est l’identite sur An.1. Montrons que Im(XIn − A) ∩An = 0. Soit x ∈ Im(XIn − A) ∩An ; on applique ϕ a x et onobtient ϕ(x) = x = 0.Montrons que A[X]n = Im(XIn−A) +An. Il suffit de voir que Xkei ∈ Im(XIn−A) +An pourk > 0 et i ∈ J1..nK. Si k = 0 c’est clair, pour k > 0 on ecrit :

XkIn −Ak = (XIn −A)(∑

j+`=k−1XjA`

)En appliquant cette egalite a ei, on a Xkei −Akei ∈ Im(XIn −A) donc

Xkei ∈ Im(XIn −A) +Akei ⊆ Im(XIn −A) + An.

2. Soit y ∈ Kerϕ. On ecrit y = z + w avec z ∈ Im(XIn − A) et w ∈ An. Donc 0 = ϕ(y) =ϕ(z) + ϕ(w) = 0 + w et y = z ∈ Im(XIn −A).Le lecteur pourra comparer avec la demonstration du theoreme 6.1.2, laquelle n’utilise pas le faitque K est un corps ; il verra que les deux demonstrations disent essentiellement la meme chose,mais que celle proposee en exercice est plus abstraite, et d’apparence plus facile : la difficulteest de poser les bonnes definitions et les bonnes questions (merci a Claude Quitte).

Index des notations

Jk..`K [k, . . . , `], liste des entiers de k a ` (vide si k > `)P` ensemble des listes extraites de J1..`K (en ordre croissant)Pk,` sous-ensemble des listes a k elements

Z/nZ groupe cyclique a n elements, quotient de ZZ/nZ anneau quotient de Z, correspondant aux calculs modulo nFp ' Z/pZ p est un nombre premier, corps fini a p elementsA/I anneau quotient de A, correspondant aux calculs modulo l’ideal I

Mm,n(A) (ou Am×n) matrices a m lignes et n colonnes a coefficients dans AMn(A) Mn,n(A)GLn(A) groupe des matrices inversiblesSLn(A) groupe des matrices de determinant 1

Ker(ϕ) ϕ−1(0) ⊆ E : noyau du morphisme ϕ : E → F

Im(ϕ) image du morphisme ϕ : E → F

Coker(ϕ) F/ Im(ϕ) : conoyau du morphisme ϕ : E → F

Diag(a1, . . . , an) matrice diagonale de Mn(A) avec ai en position (i, i)

HomGroupes(G,H) groupe des morphismes du groupe abelien G vers le groupe abelien HEndGroupes(G) anneau des endomorphismes du groupe abelien GAutGroupes(G) groupe des automorphismes du groupe abelien G

B comatrice (ou matrice cotransposee) de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Fα,β matrice extraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Ik,n matrice de projection standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40LA(M,N) A-module d’applications lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44EndA(M) LA(M,M), anneau des endomorphismes du A-module M . . . . . . . . . . . 44ME,F (ϕ) matrice de l’application lineaire ϕ sur les bases E et F . . . . . . . . . . . . . . 46rgA(M) (ou rg(M)) rang d’un A-module libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46(0 : x)A,M ou (0 : x) : ideal annulateur de x (x ∈M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54AnnA(M) = Ann(M) = (0 : M) = (0 : M)A : ideal annulateur du module M . . . 55(N : P )A,M ou (N : P ) : ideal transporteur de P dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Ik,q,m matrice simple standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Index des termes

algebre de Boole, 26anneau, 18

de Bezout, 33factoriel, 28integre, 19nœtherien, 85nul (ou trivial), 18principal, 33quotient (par un ideal), 21

annulateur, 55application lineaire

entre modules, 44application transposee, 54associes

elements , 27association, 27

based’un groupe abelien, 62d’un module, 45

base adaptee, 62base canonique, 44Binet-Cauchy

formule de — , 39

comatrice, 31comaximaux

elements — dans un anneau, 3ideaux — dans un anneau, 22

combinaison lineaired’elements d’un module, 45

conoyaud’une application lineaire, 57

coordonnee, 51corps, 18

de presentation finiegroupe abelien —, 64module —, 57

diviseur de zero, 19diviseurs elementaires

d’un module, 64domaine d’integrite, 19

element de torsion

dans un module, 54equivalentes

matrices —, 47etrangers

elements — dans un anneau, 3

facteur directsous-module —, 50

facteurs invariantsd’un sous-module de type fini d’un mo-

dule libre de rang fini sur un anneauprincipal, 62

fidelemodule —, 55

forme de Frobenius, 69forme lineaire, 54forme reduite de Smith, 38

groupe des unites, 18groupe quotient, 16

homomorphismede groupes, 12

ideald’un anneau, 21de type fini, 22principal, 22

idealmaximal, 26premier, 26

ideal annulateur, 54ideaux determinantiels

d’une application lineaire, 39d’une matrice, 38

idempotent, 11element — dans un anneau, 24

imaged’une application lineaire, 45

invariants de similituded’un endomorphisme d’un espace vecto-

riel, 70irreductible

element —, 27isomorphisme

114 Index des termes

de groupes, 12de modules, 44

lineairement independantselements — dans un module, 45

manipulation elementaire, 5manipulation de Bezout, 35matrice

d’une application lineaire sur des bases,46

d’une base sur une autre, 47de projection, 39de projection standard, 40

matrice compagne, 68matrice cotransposee, 31matrice de Bezout, 35matrice de presentation

pour un module M , 58matrice diagonale par blocs, 69maximal

ideal —, 26mineur

d’une matrice, 38module, 43

de torsion, 54cyclique, 55de presentation finie, 57de type fini, 45dual, 54monogene, 55nœtherien, 85projectif de type fini, 51quotient, 52sur un anneau, 43

monogenemodule —, 55

monoıde, 11morphisme

d’anneaux, 18de groupes, 12de modules, 44

nœtherienanneau —, 85module —, 85

noyaud’une application lineaire, 45

pgcd, 28ppcm, 28premier

element —, 27

ideal —, 26produit

d’une famille de modules, 50de deux ideaux, 22

projectif de type finimodule —, 51

projectionsur un sous-module parallelement a un

autre, 98projection canonique

d’un ensemble sur un ensemble quotient,15

propreideal —, 22

regulierelement — dans un anneau, 19

relation de Bezout, 3

sans torsion, 54scindee

application lineaire surjective, 47semblables

endomorphismes —, 70matrices —, 47

Smithforme reduite de —, 38reduction de —, 38

sommed’une famille de sous-modules, 50de sous-modules, 50

somme directed’une famille de sous-modules, 50externe d’une famille de module, 50sous-modules en —, 50

somme directe interne, 50sous-anneau, 19sous-module, 45

engendre par une partie, 45sous-module de torsion, 54systeme complet d’invariants, 64systeme generateur

d’un module, 45systeme fondamental d’idempotents ortho-

gonaux, 24

torsion, 54transporteur, 55transposee, 54treillis, 51

unimodulaire, 52unite

dans un anneau, 18

modules sur les anneaux principaux -...

Documents