Module d’Electricité

Chapitre 1 Introduction L’Electrocinétique est la partie de l’Electricité qui étudie les courants électriques.

1- Courant électrique 1-1- Définitions • Définition : un courant électrique est un mouvement d’ensemble de porteurs de charges électriques. Métaux (cuivre, aluminium …) : électrons libres. Charge électrique de l’électron : q = -e ≈ -1,6⋅10-19 coulomb (C). Solutions liquides (électrolytes) : ions (cations et anions). • Définition : le sens conventionnel du courant électrique est le sens du mouvement des porteurs de charges positives.

Le sens conventionnel du courant est donc le sens inverse du mouvement des électrons (q < 0) :

• Définition : L’intensité du courant électrique i est la quantité d’électricité transportée par unité de temps.

dq est la quantité d’électricité qui traverse la section du conducteur pendant la durée dt.

A.N. Dans un fil, le débit est de 100 milliards d’électrons par seconde. Calculer l’intensité correspondante. i = 100·10 9⋅1,6⋅10-19 / 1 = 0,016 µA • Le courant électrique est symbolisé par une flèche :

Le courant est positif quand on oriente la flèche du courant dans le sens conventionnel. Le signe du courant change quand on inverse l’orientation :

• Un ampèremètre mesure le courant qui le traverse. Il est donc branché en série :

1-2- Loi des noeuds (1ère loi de Kirchhoff) Un noeud est un point de jonction de plusieurs conducteurs électriques :

La somme des intensités des courants arrivant à un noeud est égale à la somme des intensités des courants sortant du noeud : i1 + i2 = i3 + i4

2- Tension électrique 2-1- Définitions • Une tension électrique est une différence de potentiel électrique (ou d.d.p.) : UAB = VA - VB UAB (en V) : tension électrique entre les points A et B VA (en V) : potentiel électrique du point A VB : potentiel électrique du point B • Le potentiel électrique est défini à une constante près. La référence des potentiels électriques est la « masse électrique ». C’est le « 0 V » :

Remarque : ne pas confondre masse et terre

• La tension est une grandeur algébrique : uAB = -uBA

• Un voltmètre mesure la tension présente à ses bornes. Il est donc branché en dérivation :

2-2- Loi des branches (2nd loi de Kirchhoff) • La tension totale entre deux points d’un circuit électrique est égale à la somme des tensions intermédiaires.

uPN = uPA + uAB + uBC + uCN • Cas particulier d’une maille Une maille est une branche refermée sur elle-même.

uNP + uPA + uAB + uBC + uCN = 0 : c’est la loi des mailles.

3- Relation entre courant et tension 3-1- Loi d’Ohm Dans une résistance électrique, tension et courant sont proportionnels. - Loi d’Ohm en convention récepteur On parle de convention récepteur quand les orientations du courant et de la tension relatives à un dipôle sont en sens inverse :

u = +Ri [V]=[ Ω] [A] R est la résistance électrique (en ohm).

3-2- Résistance électrique d’un conducteur ohmique

l : longueur (en m) S : section (en m²) ρ : résistivité électrique du conducteur (en Ω⋅m) R : résistance (en Ω) La résistivité dépend de la nature du conducteur et de sa température : ρ(T) = ρT0 (1 + α (T - T0)) Tableau 1

A.N. Calculer la résistance d’un câble en cuivre de 2 mètres, de section 1 mm² à 20 °C, puis à 60 °C. - à 20 °C : R = 1,7.10-8.2/(1.10-6) = 34 mΩ - à 60 °C : R = 34.(1 +4.10-3(60 - 20)) = 39 mΩ Remarque : généralement, on peut négliger la chute de tension dans un câble.

3-3- Echelle des résistivités

Remarques : - un supraconducteur a une résistivité nulle (résistance nulle) - un isolant a une grande résistivité (courant quasi nul)

4- Puissance et énergie électrique 4-1- Puissance électrique

• La puissance électrique mise en jeu dans un dipôle est : p = u i [W]=[V] [A] • Dipôle générateur et dipôle récepteur (de puissance) Un dipôle générateur est un dipôle qui fournit de la puissance électrique. Cette puissance est consommée par les dipôles récepteurs. Exemple :

La puissance que fournit la pile est : p = ui = 6 W La puissance que consomme l’ampoule est : 6 W

4-2- Energie électrique La puissance dérive de l’énergie :

[W] = [J] / [s] dE est l’énergie mise en jeu pendant la durée dt. L’énergie électrique s’écrit donc : dE = ui⋅dt Remarque : les compteurs d’énergie mesurent l’énergie électrique en kilowattheure (kWh). 1 kWh = 3,6.106 J

4-3- Effet Joule Un conducteur parcouru par un courant électrique dégage de la chaleur.

Plus généralement, l’effet Joule se traduit par la conversion d’énergie électrique en énergie thermique (chaleur). Dans le cas des conducteurs ohmiques et des résistances, l’énergie électrique consommée est entièrement transformée en chaleur.

4-4- Loi de Joule

La puissance électrique consommée par une résistance est : p = u i avec u = Ri

Chapitre 2 Régime continu En régime continu, les courants et les tensions sont constants dans le temps. • Dipôle passif, dipôle actif Un dipôle passif est un dipôle qui consomme de l’énergie électrique et qui transforme toute cette énergie en chaleur. Exemple : résistance, ampoule … Autrement, on parle de dipôle actif. Exemple : pile, moteur électrique à courant continu … • Classification des dipôles en régime continu

1- Dipôles passifs Un dipôle passif est un dipôle récepteur de puissance. La caractéristique tension - courant U(I) passe par l’origine : U = 0 V I = 0 A

1-1- Dipôle passif non linéaire La caractéristique U(I) n’est pas une droite. - dipôle passif non linéaire symétrique La courbe U(I) est symétrique par rapport à l’origine :

- dipôle passif non symétrique La courbe U(I) n’est pas symétrique par rapport à l’origine.

Remarque : le comportement d’un dipôle non symétrique dépend de son sens de branchement :

1-2- Dipôle passif linéaire U(I) est une droite qui passe par l’origine :

Une droite est caractérisée par sa pente. On retrouve la résistance :

Les dipôles passifs linéaires sont donc les résistances et les conducteurs ohmiques :

Remarque : la conductance est l’inverse de la résistance :

Unité : Ω-1 ou siemens (S). 1-2-1- Association de dipôles passifs linéaires Une association de dipôles passifs linéaires se comporte comme un dipôle passif linéaire de résistance équivalente Réq. • Association en série

Loi des branches : U = U1 + U2 + U3 Loi d’Ohm : U1 = R1I, U2 = R2I et U3 = R3I Il vient : U = (R1 + R2 + R3)I = RéqI En série, les résistances s’additionnent :

• Association en parallèle

En parallèle, les conductances s’additionnent :

Cas particulier de deux résistances :

1-2-2- Diviseur de tension Le montage diviseur de tension permet de diviser une tension U en autant de tensions Ui qu’il y a de résistances en série Ri :

U1 = R1I U2 = R2I U = U1 + U2 = (R1+R2)I La tension est proportionnelle à la résistance. d’où :

Formule générale :

• A.N. Calculer la tension E :

1-2-3- Diviseur de courant Le diviseur de courant divise un courant I en autant de courants Ii qu’il y a de résistances en parallèle Ri :

- Cas particulier de deux résistances :

1-2-4- Théorème de Millman Le théorème de Millman est une traduction de la loi des noeuds.

V1, V2, V3 et VA désignent les potentiels électriques aux points considérés. Loi des nœuds au point A :

On peut aussi utiliser des tensions, à condition de les référencer par rapport au même potentiel (généralement la masse) :

• A.N. calculer la tension U :

2- Dipôles actifs La caractéristique U(I) ne passe pas par l’origine. Un dipôle actif n’est pas symétrique et il faut distinguer ses deux bornes : il y a une polarité. • Exemples : - pile, photopile, dynamo (dipôles générateurs) - batterie en phase de recharge, moteur à courant continu (dipôles récepteurs)

2-1- Dipôle actif non linéaire La caractéristique U(I) n’est pas une droite. • Exemple : pile

A vide (I = 0 A) : U = E (≠ 0 V) E est appelée tension à vide ou fem (force électromotrice).

En court-circuit (U = 0 V) : I = Icc Icc est le courant de court-circuit :

2-2- Dipôle actif linéaire La caractéristique U(I) est une droite qui ne passe pas par l’origine. En convention générateur :

• Résistance « interne » L’équation de la droite est :

avec R la résistance interne :

Autre écriture : I = Icc – U/R

• Modèle équivalent de Thévenin (modèle série) Un dipôle actif linéaire peut être modélisé par une source de tension continue parfaite E en série avec une résistance interne R :

• Modèle équivalent de Norton (modèle parallèle) Un dipôle actif linéaire peut être modélisé par une source de courant continu parfaite Icc en parallèle avec une résistance interne R :

• Equivalence entre le modèle de Thévenin et le modèle de Norton Le passage d’un modèle à l’autre se fait par les relations : E = R Icc ou Icc = E / R

4- Théorème de superposition La tension [le courant] entre deux points d’un circuit électrique linéaire comportant plusieurs sources est égale à la somme des tensions [courants] obtenues entre les deux points lorsque chaque source agit seule. N.B. - Eteindre une source de tension revient à la remplacer par un fil (source de tension nulle). - Eteindre une source de courant revient à l’ôter du circuit (source de courant nul). • A.N.

- Eteignons la source de tension U1 :

- Eteignons la source de tension U2 :

- Finalement : U = U’ + U’’ = 8,5 V

5- Association de dipôles non linéaires Une méthode graphique s’impose … • Exemple : cherchons le courant et la tension aux bornes de la diode :

Pour cela, il faut connaître la caractéristique U(I) de la diode :

Loi des branches : U = 5 –50I (équation d’une droite) :

On lit : I ≈ 84 mA U ≈ 0,8 V

6- Linéarisation de la caractéristique d’un dipôle non linéaire On simplifie la caractéristique réelle de la diode par des segments de droite :

Le schéma équivalent du circuit est maintenant :

Loi des branches : 5 = 0,7 + 50I d’où : I = (5 – 0,7)/ 50 = 86 mA.

Chapitre 3 Régime sinusoïdal 1- Introduction : les grandeurs périodiques • Période Un signal périodique est caractérisé par sa période :

T = 2 ms. • Fréquence La fréquence f (en hertz) correspond au nombre de périodes par unité de temps :

A.N. T = 2 ms ⇔ f = 500 Hz (500 périodes par seconde) • Pulsation La pulsation est définie par : ω = 2πf = 2π/T (en radians par seconde) • Valeur moyenne On note <u> la valeur moyenne dans le temps de la tension u(t) :

• Composante continue (DC =) et composante alternative (AC ~) Une grandeur périodique a deux composantes : - la composante continue (c’est la valeur moyenne ou « offset ») - et la composante alternative u(t) = <u> + uAC(t) :

Remarques : - la composante alternative a une valeur moyenne nulle : <uAC> = 0 - une grandeur périodique alternative n’a pas de composante continue : <u> = 0 • Puissance électrique

p(t) = u(t)⋅i(t) est la puissance électrique consommée à l’instant t (ou puissance instantanée). En régime périodique, ce n’est pas p(t) qu’il est intéressant de connaître mais la puissance moyenne dans le temps :

Attention : en général, <ui> ≠ <u> <i> • Valeur efficace (RMS) Par définition, la valeur efficace Ueff de la tension u(t) est :

A.N.

Remarques : La valeur efficace est une grandeur positive. Ueff² = <u>² + UAC eff ² Valeur efficace d’un courant électrique :

• Signification physique de la valeur efficace Soit une résistance parcourue par un courant continu :

La résistance consomme une puissance électrique : P = RI² = U²/R (loi de Joule) Soit la même résistance parcourue par un courant périodique i(t) de valeur efficace Ieff :

La puissance moyenne consommée est : P = <Ri²> = R<i²> = RIeff² = Ueff²/R Pour avoir les mêmes effets thermiques, il faut que Ieff soit égal à la valeur du courant en régime continu I (idem pour les tensions) : La notion de valeur efficace est liée à l’énergie. • Cas particulier des grandeurs sinusoïdales alternatives

Û désigne la tension maximale (ou tension crête) On montre que :

Exemple : EDF fournit une tension sinusoïdale alternative de valeur efficace 230 V et de fréquence 50 Hz. Pour un courant sinusoïdal alternatif :

2- Représentation des grandeurs sinusoïdales 2-1- Fonction mathématique

avec : • Ieff : valeur efficace (A) • ω : pulsation (rad/s) • t : temps (s) • (ωt + ϕ i) : phase (rad) • ϕ i : phase à l’origine (rad)

2-2- Représentation de Fresnel C’est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales. Le vecteur de Fresnel associé au courant i(t) est défini de la façon suivante :

2-3- Nombre complexe associé Le nombre complexe I associé au courant i(t) est défini de la façon suivante : I = (Ieff , ϕ i) Le module correspond à la valeur efficace et l’argument à la phase à l’origine

3-Déphasage (ou différence de phase) entre deux grandeurs sinusoïdales Soit deux grandeurs sinusoïdales (de même fréquence) :

Le déphasage de u par rapport à i est par convention : ϕu/i = ϕ u - ϕ i τ : décalage (en s) entre les deux signaux.

• Déphasages particuliers

- déphasage nul (τ = 0) :

les grandeurs sont en phase - déphasage de 180° (τ = T/2) :

grandeurs en opposition de phase - déphasage de 90° (τ = T/4) :

grandeurs en quadrature de phase

N.B. Le déphasage est une grandeur algébrique : ϕ i/u = - ϕ u/i Fig. 3d : ϕ u/i = +90° : u est en quadrature avance sur i.

• Déphasage et vecteurs de Fresnel

• Déphasage et nombres complexes

4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal • Impédance complexe En régime continu, un dipôle passif linéaire est caractérisé par sa résistance : R = U/I (loi d’Ohm) En régime sinusoïdal, un dipôle passif linéaire est caractérisé par son impédance complexe Z :

- L’impédance Z (en Ω) est le module de Z : - Le déphasage de u par rapport à i correspond à l’argument de Z :

arg(Z) = ϕu/i

- En définitive : Z = (Z, ϕu/i) = (Ueff/Ieff , ϕu/i) • Admittance complexe L’ admittance complexe est l’inverse de l’impédance complexe :

Y est l’admittance (en siemens S) : arg(Y) = - arg(Z) = ϕi/u

• Dipôles passifs élémentaires en régime sinusoïdal - résistance parfaite

- bobine parfaite

L : inductance d’une bobine (en henry H) L’impédance d’une bobine augmente avec la fréquence.

- condensateur parfait

C : capacité en farad F (corps humain ≈ 200 pF) L’impédance d’un condensateur diminue avec la fréquence.

5- Etude des circuits linéaires en régime sinusoïdal Un circuit électrique linéaire est composé uniquement de dipôles linéaires : - passifs : R, L, C - actifs : source de courant ou de tension sinusoïdal (de fréquence f) Dans un tel circuit, tensions et courants sont sinusoïdaux (de fréquence f). On peut donc utiliser : - la représentation vectorielle - ou les nombres complexes associés.

5-1- Lois de Kirchhoff • Loi des noeuds

i(t) = i1(t) + i2(t) Pour les vecteurs de Fresnel :

Pour les nombres complexes associés : I = I1 + I2 • Exemple :

Une mesure au multimètre (en mode AC ~) donne : IR eff = 5,00 mA IL eff = 3,98 mA Calculer la valeur efficace du courant i(t) et le déphasage par rapport à la tension u(t) : ϕu/i Utilisons une construction vectorielle : ϕu / iR = (IR ,U) = 0° ϕu / iL = (IL ,U) = +90° I = IR + IL

En raison des déphasages, la loi des nœuds ne s’applique pas aux valeurs efficaces. • Loi des branches / Loi des mailles u(t) = u1(t) + u2(t)

La loi des branches ne s’applique pas aux valeurs efficaces. 5-2- Association de dipôles passifs linéaires Une association de dipôles passifs linéaires se comporte comme un dipôle passif linéaire. On note Zeq l’impédance complexe équivalente de ce dipôle. • En série, les impédances complexes s’additionnent :

• En parallèle, les admittances complexes s’additionnent :

• Exemple n°2

La tension d’alimentation u(t) est sinusoïdale alternative de valeur efficace 5 V et de fréquence 10 kHz. Le circuit est linéaire donc le courant i(t) est sinusoïdal de fréquence 10 kHz. Calculer sa valeur efficace et le déphasage par rapport à u.

5-3- Théorèmes généraux Les formules et théorèmes vus en régime continu (diviseur de tension, Thévenin – Norton, superposition …) se généralisent au régime sinusoïdal. Analogies :

6- Puissance en régime sinusoïdal

On montre que la puissance moyenne consommée (ou puissance active) est :

Le terme cos ϕ est appelé facteur de puissance.