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U NIVERSITÉ P IERRE ET M ARIE C URIE Unité de Formation et de Recherche de Physique (UFR 925) Rapport de stage Modulation spatiale de la lumière Stage effectué du 12 mai au 11 juillet 2014 par Niccolò B ORGIOLI & Timothé R AMBOAZANAKA sous la direction de Quentin GLORIEUX au sein du L ABORATOIRE K ASTLER B ROSSEL dans le cadre de la 2 e année de la Licence de Sciences et Technologies mention Physique, parcours « Fondements de la Physique » 4, place Jussieu 75005 Paris - France

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UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIEUnité de Formation et de Recherche de Physique (UFR 925)

Rapport de stage

Modulation spatiale de la lumière

Stage effectué du 12 mai au 11 juillet 2014 par

Niccolò BORGIOLI&

Timothé RAMBOAZANAKA

sous la direction deQuentin GLORIEUX

au sein du

LABORATOIRE KASTLER BROSSEL

dans le cadre de la 2e année de la

Licence de Sciences et Technologiesmention Physique, parcours « Fondements de la Physique »

4, place Jussieu75005 Paris - France

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Version 1.0 imprimée pour le 2 septembre 2014

Le présent rapport est sous licence Creative Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Pas deModification 4.0 International (CC BY-NC-ND 4.0). Pour accéder à une copie de cette licence, merci de vousrendre à l’adresse suivante : https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/deed.fr.

Sa page de garde est librement inspirée de celle de Dorian DEPRIESTER, mise à disposition à l’adresse http:

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Résumé

Au sein du Laboratoire Kastler Brossel à Jussieu, les expériences de l’équipe « Optique Quantique dans les milieuxsemiconducteurs » portant sur les polaritons de cavité requièrent de pouvoir modifier à loisir la répartition del’intensité d’un laser dans l’espace et de corriger les aberrations de son front d’onde, quels que soient les élémentsoptiques d’un montage.

Dans cette perspective, notre travail s’est axé autour de l’application de la diffraction de Fraunhofer pourrépartir l’intensité d’un laser selon une figure de diffraction souhaitée. Nous avons mis en place un montageexpérimental comprenant un analyseur de front d’onde et un modulateur spatial de lumière, ce dernier permettantl’usage d’hologrammes de phase comme obstacle diffractant au passage d’un laser monomode. Après unecalibration du montage et l’étude de résultats préliminaires, nous avons développé un code sous MATLABappliquant l’algorithme de Gerchberg-Saxton à la création de ces hologrammes. Enfin, en tirant parti de leurimpact sur la phase du laser, nous avons recherché quelques méthodes de correction des aberrations de son frontd’onde, que les aberrations soient induites par tout ou partie du montage expérimental. L’une de ces méthodesrepose sur l’algorithme de Gerchberg-Saxton.

L’exposé des résultats obtenus au sein de ce rapport permettra à l’équipe de pouvoir mettre en applicationnotre travail et de créer des potentiels désirés sur les cavités planaires.

Located at the Kastler Brossel Laboratory at Jussieu, the experiments of the research team "Semiconductor QuantumOptics" on the cavity polaritons require to modify at will the intensity distribution of a laser and to correct the aberrations ofits wavefront, on any given optical setup.

Therefore, our work aimed at distributing the intensity of a laser through the use of Fraunhofer diffraction to obtaina desired diffraction pattern. We developed an experimental setup comprising a wavefront analyzer and a spatial lightmodulator, the latter allowing the use of phase holograms as a diffracting obstacle for a single-mode laser. Following thesetup calibration and a study of preliminary results, we created a MATLAB code to generate these holograms, based onthe Gerchberg-Saxton algorithm. By making use of the phase modulation caused by hologram, we finally researched somecorrective methods for the laser wavefront aberrations, whether induced by a portion of the experimental setup or by theentire setup. One of these methods relies on the Gerchberg-Saxton algorithm.

The results presented in this report will allow the team to implement our work and thus create the desired potentials onplanar cavities.

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Remerciements

Avant d’entamer le corps du présent rapport, nous tenons à remercier l’ensemble des membres du LaboratoireKastler Brossel pour leur accueil et ayant contribué à faire de notre stage une expérience enrichissante. Noussouhaiterions très sincèrement remercier notre responsable de stage Quentin GLORIEUX, pour la confiance qu’ilnous a accordé et son suivi de ces deux mois de stage, et même au delà pendant la rédaction du présent. Noussouhaiterions également remercier Alberto BRAMATI et Elisabeth GIACOBINO pour nous avoir accueilli au seinde leur équipe, Sébastien pour ses suggestions quant au SLM, et Jérémie SAEN du service informatique du LKBpour son assistance salutaire.

Un grand merci également à Nicolas SANGOUARD pour sa pléthore de conseils pratiques, ainsi qu’à SalmaAZIAM, Thomas BOULIER, Maëlle KAPFER, Hanna LE JEANNIC, Mathieu MANCEAU et Jean-Michel VILLAINpour les échanges scientifiques (ou non) que nous avons pu avoir, pour leur bonne humeur, leur sympathie etleur compagnie. À tou-te-s, bonne continuation pour la suite.

Nous ne saurions omettre quelques remerciements à l’égard de nos familles et amis pour leur soutien constant,ainsi qu’à Nicolas TREPS sans qui ce stage n’aurait pas eu lieu.

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Sommaire

1 Introduction 1

2 Sujet du stage 22.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Préambule théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2.1 Diffraction de Fraunhofer et transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.2 Algorithme de création d’hologrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Instruments optiques mis en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.1 Modulateur spatial de lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.2 Analyseur de front d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Travail réalisé 73.1 Montage expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 Éléments optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.2 Mise en place du montage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.3 Couplage de la fibre optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Calibration et résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.1 Défauts de la figure de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2.2 Impact des tailles et résolutions différentes du capteur CCD et du SLM . . . . . . . . . . . . 103.2.3 Mesure de l’intensité du laser en entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Code de l’algorithme de Gerchberg-Saxton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.1 Entrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.2 Caractéristiques expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3.3 Intensité du laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3.4 Initialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.5 Boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3.6 Sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3.7 Contrôle de la caméra CCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4 Correction des artefacts de la diffraction et résultats intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.1 Modification de l’hologramme en temps réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.2 Augmentation de la taille du faisceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Correction de la déformation du front d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5.1 Mise en place et calibration du Shack-Hartmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5.2 Observation de la déformation du front par un hologramme simple . . . . . . . . . . . . . 273.5.3 Correction de la déformation du SLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6 Discussion et bilan des résultats finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6.1 Perspectives de poursuite de la correction du front d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6.2 Perspectives d’amélioration de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Conclusion 33

Annexes iA Ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iB Loi normale et fonction d’erreur de Gauss à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiC Photographies du montage expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

Bibliographie iv

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Chapitre 1

Introduction

Dans le cadre de la licence de Sciences et Technologies, mention Physique, de l’Université Pierre et MarieCurie (UPMC), nous avons effectué un stage en binôme en laboratoire de recherche destiné à nous faire découvrirla réalité et le fonctionnement du monde de la recherche. Si le stage initialement prévu au sein de notre parcoursne devait durer que deux semaines au cours de la troisième année de la licence, nous avons souhaité effectuer unstage anticipé à l’issue de la deuxième année afin de pouvoir travailler de façon plus autonome, de s’ouvrir à desdomaines dans la continuité de nos études, en contribuant autant que faire se peut au travail de chercheurs enlaboratoire.

Notre choix s’est porté sur le Laboratoire Kastler Brossel (LKB), au sein duquel le groupe de rechercheœuvrant sur l’optique quantique dans les milieux semiconducteurs a accepté de nous accueillir pour un stage de deuxmois entre le 12 mai et le 11 juillet 2014, sur le campus Jussieu de l’UPMC.

Le LKB, membre de la fédération du Département de Physique de l’École Normale Supérieure (ENS), estl’UMR 8552 du CNRS, de l’ENS, et de l’UPMC. Sous la co-tutelle de ces deux dernières et du Collège de France, leLKB centre ses activités sur l’étude fondamentale des systèmes quantiques, autour d’axes de recherches couvrantentre autres les condensats de Bose-Einstein (transition de phase manifestant les effets de statistique quantique)ou la métrologie des systèmes simples et tests fondamentaux. Le groupe de recherche nous ayant accueilliconcentre ses recherches sur l’optique quantique, et plus précisément sur l’optique quantique dans les milieuxsemi-conducteurs, interface entre optique quantique et physique des semi-conducteurs. Trois thématiques sontdéveloppées, dont les perspectives visent à explorer des pistes de développement technologique quant autraitement quantique de l’information et la cryptographie quantique : les nanocristaux à puits quantiques semi-conducteurs, les microcavités semi-conductrices décrites en terme de polaritons de cavité, et le développementd’un dispositif hybride couplant nanocristal et nanofibre.

Ce rapport présentera tout d’abord le sujet du stage, suivi de l’ensemble du travail réalisé et de ses résultats,dont l’exposé permettra à l’équipe d’accueil de pouvoir mettre en application notre travail pour leurs expériencesrelatives aux polaritons de cavité. Nous terminerons par un bilan du stage, de son déroulement et des résultatsobtenus.

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Chapitre 2

Sujet du stage

Avant de nous intéresser au travail réalisé pendant ces deux mois, il est nécessaire d’introduire différentsconcepts théoriques qui permettront de bien comprendre leur portée. Après une première partie exposant lecontexte dans lequel s’est inscrit notre travail, seront exposés dans une seconde partie des rappels sur ces conceptsainsi que la présentation d’un algorithme reposant sur ceux-ci, suivi dans une troisième partie du fonctionnementde deux instruments optiques permettant l’application expérimentale de ces concepts.

2.1 Contexte

Les expériences de l’équipe d’accueil portant sur les polaritons requièrent de pouvoir modifier à loisir larépartition de l’intensité d’un laser dans l’espace et de corriger les aberrations de la forme de son front d’onde,quels que soient les éléments optiques d’un montage. Cette possibilité permettra de créer des potentiels désiréssur les cavités planaires, comme par exemple un faisceau carré à partir d’un laser quasi-gaussien.

Pour ce faire, la méthode retenue a été de faire usage du phénomène de diffraction de la lumière. S’il estpossible de déterminer mathématiquement la répartition de l’intensité lumineuse au passage d’un élémentdiffractant, ou, si l’on peut déduire d’une figure de diffraction observée les caractéristiques géométriques del’élément l’ayant engendrée, obtenir une figure de diffraction précise à partir d’une figure théorique est plusalambiqué. Pour ce problème et celui de la correction du front d’onde, diverses méthodes de résolution existent[1], l’une d’entre elles passant par l’usage d’un hologramme dit « hologramme de phase », généré par ordinateurà l’aide d’un algorithme.

En tant que stagiaires, notre tâche a porté sur l’application de cette méthode. À ce titre, il a fallu réaliser unmontage expérimental permettant d’implémenter la méthode choisie afin de pouvoir la généraliser à d’autresméthodes. Le stage a ainsi abordé cette problématique par deux aspects complémentaires : l’utilisation d’unmodulateur spatial de lumière (ou SLM pour spatial light modulator) permettant d’intégrer un hologramme sur lepassage de la lumière, et l’élaboration d’un programme sous MATLAB implémentant un algorithme qui permetsa création. Mais avant de se pencher plus en détail sur ces points, il convient d’effectuer quelques rappels sur ladiffraction.

2.2 Préambule théorique

L’hologramme étant un masque de phase, dont l’étude de l’impact se fait pour un front d’onde supposé plan,nous allons nous intéresser à la description d’un champ dans un plan d’onde normal à un axe optique donné.Définissons un vecteur-position r associé à un point de ce plan plutôt qu’à un point quelconque de l’espace. Ensupposant que l’axe optique et k (avec ‖k‖ = 2π

λ et λ la longueur d’onde) soient dirigés selon z en coordonnéescartésiennes, toutes les grandeurs fonctions de r ne seront donc plus fonctions que de x et y (voir figure 2.1). Celareste néanmoins approximatif en l’absence d’informations sur la déformation du front d’onde.

L’onde lumineuse du laser est engendrée par le champ électrique E et le vecteur induction magnétique H,reliés par les équations de Maxwell ; on peut donc se restreindre à l’étude de E, et en déduire H si besoin est.D’autre part, si la cohérence temporelle de cette onde est considérée comme suffisante, l’étude de la diffraction etde la déformation du front d’onde peut se faire indépendamment de t. En effet, selon nos hypothèses, l’onde estplane et harmonique, et toute variation de t n’entraînera qu’un déphasage, qui n’intervient pas dans le calcul deson intensité.

Afin de faciliter les calculs, nous pouvons, si la polarisation des champs est identique en tout point duchemin optique (caractéristique à obtenir au préalable expérimentalement), approximer les deux champs commescalaires, de telle façon à ce que seules leurs amplitudes et phases respectives suffisent à leur description par unnombre complexe.

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CHAPITRE 2. SUJET DU STAGE

Ainsi, l’équation du champ électrique s’écrit

E(r) = A(r) eiφ(r) (2.1)

avec |E(r)|2 = A(r)2 = I(r) son intensité.

2.2.1 Diffraction de Fraunhofer et transformée de Fourier

En ce qui concerne la diffraction, il s’agit un phénomène physique observé lorsqu’une onde (par exemplelumineuse) rencontre un obstacle dont les dimensions sont du même ordre de grandeur que la périodicité spatialede l’onde (à l’instar d’un cheveu humain pour une onde lumineuse). Cet obstacle va répartir l’intensité de l’ondeselon une distribution spatiale particulière appelée « figure de diffraction ». Sa description part du principe deHuygens-Fresnel, selon lequel chaque point de la surface d’une source non ponctuelle d’une onde peut êtreconsidéré comme une source secondaire ponctuelle émettant une onde sphérique. Autrement dit, les mêmesperturbations de l’espace sont obtenues en remplaçant cette surface par de telles sources, au biais, par exemple,d’un obstacle dont les caractéristiques géométriques engendrent des sources que l’on peut considérer commeponctuelles [2]. Dans notre cas, cet obstacle est un hologramme de phase affiché par le SLM (voir section 2.3.1pour une description de son fonctionnement).

Une nouvelle hypothèse simplificatrice peut être faite en étudiant la diffraction de Fraunhofer, ou diffractionen champ lointain. Elle permet de simplifier l’expression du champ électrique diffracté en une somme d’ondesplanes au niveau du plan d’observation. À grande distance de l’obstacle (i.e. en champ lointain), la courbure desondes diffractées devient négligeable devant la distance parcourue, si bien qu’elles peuvent être approximées pardes ondes planes. Si l’on ne dispose pas de suffisamment d’espace pour la mise en place d’un montage permettantcette diffraction, il est toujours possible d’utiliser une lentille convergente entre l’obstacle et le plan d’observation,qui devra être confondu avec le plan focal de ladite lentille. L’une ou l’autre de ces configurations permet àl’ensemble des ondes diffractées d’avoir la même phase au plan d’observation, de façon à ce que les expressionsdes champs Eout au plan d’observation et Ein au plan de l’obstacle (tels que représentés sur la figure 2.1) soientreliés par une transformée de Fourier.

Plan « in » Plan « out »Lentille

Axe optique

Obstacle

FIGURE 2.1 – Schéma d’un plan d’un obstacle quelconque et du plan d’observation dans le cas d’une diffractionde Fraunhofer permise par une lentille convergente de focale f . Les points des plans sont repérés par r et par ρ.Plan « in » : plan de l’obstacle. Plan « out » : plan d’observation.

Dans le cas d’une diffraction avec lentille de focale f , cette relation [2] peut s’exprimer par

Eout(ρ) =1

λ feiφlentille(ρ)

∫∫Obstacle

Ein(r) e−i 2πλ f r·ρ dr ≡ TF [Ein(r)] (2.2a)

Ein(r) =1

λ f

∫∫Obstacle

Eout(ρ) e−iφlentille(ρ) e−i 2πλ f r·ρ dρ ≡ TF−1[Eout(ρ)] . (2.2b)

Le terme 1λ f est un facteur de normalisation, qui traduit l’impact de la distance focale f et de la longueur

d’onde λ sur l’amplitude du champ au plan d’observation. Le terme eiφlentille(ρ) traduit quant à lui le déphasagesystématique induit par la lentille. Si une transformée de Fourier ne comporte pas ce dernier terme, celui-ci n’ad’impact ni sur la forme du front d’onde (à l’inverse de la vergence de la lentille) ni sur l’intensité du faisceau.

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CHAPITRE 2. SUJET DU STAGE

Compte tenu de la finalité du problème, nous pouvons donc négliger son impact, et c’est pourquoi nous pouvonsexprimer une relation d’équivalence entre les doubles intégrales et les transformées des équations (2.2a) et (2.2b).

Enfin, si l’on considère un système d’obstacles identiques et pareillement orientés, on peut appliquer à ladiffraction de Fraunhofer le théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon. Pour un obstacle correspondant ànotre hologramme de phase, la distribution du champ résultant (en intensité et phase) correspondra au produitde la transformée de Fourier de la phase de l’hologramme et de la figure résultant d’un ensemble de sourcesponctuelles dans la même configuration. Dans le cas d’un faisceau ne couvrant pas l’ensemble d’un systèmed’obstacles, il reste possible, si les obstacles sont régulièrement répartis, de retrouver une même figure dediffraction quelque soit la position du faisceau. Nous constaterons à cet effet une application de ce théorèmedans les sections 3.2.2 et 3.4.2.

2.2.2 Algorithme de création d’hologrammes

Les hologrammes peuvent être créés en utilisant la méthode dite de Gerchberg-Saxton [3]. Cette méthodeconsiste en un algorithme itératif, qui, après une initialisation, répète p fois une série d’instructions. Sous saforme classique, il nécessite la connaissance du champ électrique Elaser initial du laser entrant (en amont du SLM)tel que

Elaser(r) = Alaser(r) eiφlaser(r) . (2.3)

Comme présenté sur la figure 2.2, eiφlaser(r) peut être remplacé par une phase uniforme aléatoire eiφrand(r) sil’on ne peut la mesurer en amont du SLM. La phase peut également être nulle, auquel cas Elaser(r) = Alaser(r).

Pour n = 0, ce champ est défini comme le champ incident déphasé par un terme de phase arbitraire oualéatoire φin

0 , et aura donc pour expression

Einn (r) = Elaser

n (r) eiφinn (r) . (2.4)

Quelle que soit la phase choisie initialement, la phase finale obtenue convergera, ce qui justifie ce choixarbitraire.

Ensuite, pour tout n supérieur ou égal à 0 et strictement inférieur à p, le champ du plan « out » est défini par

Eoutn (ρ) = TF [Ein

n (r)] = Aoutn (ρ) eiφout

n (ρ) . (2.5)

Eoutn et ses composantes sont désormais fonctions d’un nouveau vecteur position ρ dont la relation avec r

dépend des caractéristiques du montage optique. On y substitue l’amplitude du champ sortant obtenu Aout

par Aoutf , l’amplitude du champ donnant la répartition de l’intensité recherchée Iout

f . On obtient donc un nouveauchamp d’expression

Eoutn (ρ) = Aout

f (ρ) eiφoutn (ρ) (2.6)

auquel on applique la transformation de Fourier inverse, de sorte à ce que

Einn (r) = TF−1[Eout

n (ρ)] = Ainn (r) eiφin

n (r) , (2.7)

champ que l’on va une fois encore modifier en substituant son amplitude par Elaser de façon à ce que

Einn (r) = Elaser(r) eiφin

n (r) . (2.8)

On réitère ensuite les étapes précédentes à partir de l’équation (2.5) jusqu’à ce que n = p. Cela fait, onpeut ensuite intégrer l’hologramme de phase correspondant à φin

n (r), puis mesurer l’intensité effectivementobtenue Iout

c (ρ) et la phase correspondante φoutc (ρ), à laquelle on peut associer un front d’onde Wout

c (ρ).Au lieu de définir manuellement le nombre d’itérations p, on peut également utiliser un critère d’erreur

qui déterminera l’arrêt (ou non) de la boucle. La méthode la plus simple pour ce faire consiste, pour tout n,à comparer Iout

n ou Ioutc avec Iout

f à l’aide, par exemple, d’une moyenne quadratique de la différence entre cesintensités [4]. Dans ce cas, la boucle effectuera d’autres itérations tant que le critère d’erreur n’est pas satisfait,mais leur nombre ne sera pas connu à l’avance.

La boucle peut aussi débuter soit par une transformation de Fourier directe (initialisation A de laditefigure), soit par une transformée indirecte (initialisation B), bien que les deux méthodes soient équivalentes[5]. La figure 2.2 représente l’algorithme dans le cas de la définition manuelle de p, avec les deux possibilitésd’initialisation de l’algorithme.

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CHAPITRE 2. SUJET DU STAGE

2.3 Instruments optiques mis en œuvre

2.3.1 Modulateur spatial de lumière

Le cœur de notre montage expérimental est sans nul doute notre SLM, qui permet de « moduler » la lumièreen réflexion en modifiant la phase du laser incident en affichant des hologrammes de phases. En effet, celui-cicomporte une grille (ou matrice) de nano-cristaux liquides, pouvant être assimilés à des miroirs montés sur despistons dont la différence de longueur entraîne en réflexion un déphasage inégal de la lumière dans l’espace.Après la réflexion, le laser déphasé va « interférer avec lui-même », engendrant ainsi un nouveau front d’onde etune nouvelle figure de diffraction.

Les hologrammes affichés sur le SLM sont représentés par des images en valeurs de gris allant de 0 à 255(donc du noir au blanc), chacune étant ensuite traduite par le boîtier CTRL SLM en un phase allant de 0 à 2π.Le SLM peut également fonctionner comme un simple miroir si l’hologramme qui y est affiché est représentépar une image totalement noire ; dans ce cas, on pourra indistinctement parler d’hologramme par défaut oud’absence d’hologramme — mais pas d’absence de diffraction.

Diverses applications sont possibles, comme par exemple la création en usine un front de laser sortantpouvant découper des objets d’une manière bien déterminée (à l’instar de la société CAILabs) ou encore lespincettes optiques (optical tweezers) permettant de créer un front sortant qui piège des microparticules telles quedes cellules afin de les déplacer de la manière souhaitée.

2.3.2 Analyseur de front d’onde

S’il existe plusieurs types d’analyseur de front d’onde, celui qui a été intégré à notre montage expérimentalest l’analyseur dit « Shack Hartmann ». Il est formé d’une matrice de microlentilles qui vont chacune focaliserune partie du faisceau en un point sur un capteur CCD dans le plan focal des microlentilles. La position dechacun de ces points par rapport à un emplacement correspondant à un front d’onde plat permet de visualiser ladéformation du front d’onde mesuré, comme l’illustre la figure 2.3. Le front peut ensuite être modélisé à partirde cette position par le biais d’un logiciel dédié, les groupes de pixels du CCD étant alors attribués à chaquemicrolentille. L’usage de ce type d’analyseur est très utile pour estimer l’aplatissement du front d’onde et pourobserver ses déformations lorsque l’on applique un hologramme sur le SLM.

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CHAPITRE 2. SUJET DU STAGE

Fin

Début B

IFFT

FFT

Boucle

Initialisation B

Initialisation A

Sortie

Oui

Début A

Non

FIGURE 2.2 – Organigramme de programmation de l’initialisation et de la boucle de l’algorithme de Gerchberg-Saxton. Celui-ci peut être initialisé en A au plan « in » (partie bleue) pour commencer sa boucle par unetransformation de Fourier directe, ou bien en B au plan « out » (partie ocre) pour commencer sa boucle par unetransformation de Fourier inverse.

CCD

Mic

role

nti

lles

Front d’onde Mesure

(a) Front d’onde plat et points de référence.

Point deplace

Point manquant

(b) Exemple de front d’onde déformé.

FIGURE 2.3 – Schéma du fonctionnement d’un Shack-Hartmann dans le cas d’un front d’onde plat et d’un frontdéformé, avec une illustration de la mesure enregistrée par le logiciel.

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Chapitre 3

Travail réalisé

Les expériences réalisées au cours de ces deux mois de stage ont autant porté sur l’application des notionsthéoriques en optique de Fourier que sur la compréhension des phénomènes physiques associés par leurobservation, grâce au SLM et à l’analyseur de front d’onde. À ce titre, ces instruments sont caractéristiques dutravail réalisé. Nous allons donc porter notre attention sur le montage expérimental mis en place et ses contraintesvis-à-vis du fonctionnement de nos instruments, puis sur des résultats préliminaires pavant la voie vers les deuxaspects parallèles et complémentaires du stage : la génération algorithmique d’hologrammes de diffraction et lacorrection des aberrations de la forme du front d’onde d’un laser. Chacun de ces deux aspects sera suivi d’unediscussion sur les résultats obtenus.

3.1 Montage expérimental

Diode laser

Periscope Biprisme

L1

L2 Filtre F1

F2

CCD

LF1

SLM

Fibre optique

Coupleur C1

C2

PC

Ecran 1

Diviseur DVI

CTRL SLM

Ecran 2

Shack-Hartmann

2

LSH

Puissance-metre

LT2 LT1

LF2

Flip-mirror

FIGURE 3.1 – Montage expérimental réalisé. Pointillés ocres : câble Ethernet. Lignes bleues : câbles DVI. Tiretsocres : câble USB 2.0. Pointillés et tirets noirs : câbles propriétaires pour le SLM. Le cas échéant, les flèchesindiquent le sens de l’axe optique.

Au laser, au SLM et au Shack-Hartmann s’adjoignent plusieurs autres éléments optiques nécessaires à labonne utilisation de l’algorithme et permettant une optimisation maximale du laser utilisé en amont du SLM.Néanmoins, leur montage est assujetti à plusieurs contraintes [6], notamment d’espace et de surface.

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3.1. MONTAGE EXPÉRIMENTAL

3.1.1 Éléments optiques

Diode laser Générant par des semi-conducteurs un faisceau laser à la fois gaussien et ellispoïdal, et de longueurd’onde λ = 830,0 nm (dans le proche infrarouge), elle doit être suivie par un biprisme pour obtenir au passage deses différents dioptres un faisceau circulaire et gaussien.

Du fait de contraintes d’espace et de la nécessité de définitivement fixer la direction de l’axe optique à lasortie de la diode, le périscope qui la sépare du biprisme, manuellement monté à l’aide de miroirs et de pieds,permet de ramener le faisceau à la hauteur des faces de ce dernier, en lieu et place d’un système plus commun dedeux miroirs disposés à 45° par rapport à l’axe optique.

Fibre optique Elle permet, en y faisant pénétrer le faisceau, d’avoir toute latence pour le diriger (et contournerlesdites contraintes), mais surtout de « purifier » le signal obtenu en sortie, c’est-à-dire obtenir un laser monomodedont la cohérence temporelle sera suffisante pour négliger la dépendance du champ électromagnétique vis-à-visdu temps.

Elle nécessite l’usage de deux miroirs à 45° ainsi que de deux coupleurs de fibre en entrée (C1) et en sortie(C2), chacun équipé d’une lentille convergente destinée à focaliser le faisceau aux extrémités de la fibre, et d’uneautre lentille convergente L1 de distance focale fL1 = 100,0 mm. L’ensemble permet de minimiser les pertes enpuissance à sa sortie.

SLM Pierre angulaire du montage, il permet comme énoncé d’afficher un hologramme provoquant la diffractiondu faisceau lors de sa réflexion sur sa surface active. Le nôtre est un Hamamatsu WFS150-5C dont la surfacemesure 16× 12 mm, soit 792× 600 px. Sa résolution est de 20× 20 µm/px ou de 49,5× 50,0 px/mm. Sa fréquencede rafraîchissement est de 60 Hz.

Il est toutefois nécessaire de modifier la polarisation la lumière du laser à l’aide de la lame λ2 afin de rendre

la plus efficiente possible la diffraction et de pouvoir conserver une polarisation identique en tout point dumontage, afin de pouvoir considérer le champ comme scalaire. De plus, puisqu’en sortie de C2 le faisceau estdivergeant, le placement de la lentille convergente L2 ( fL2 = 125,0 mm) s’impose pour le collimater, suivi d’unfiltre (F1) pour éviter une saturation du signal au niveau du capteur CCD ou du Shack-Hartmann. Entre les deuxs’intercale un flip-mirror pouvant si nécessaire renvoyer le faisceau vers un puissance-mètre ou une photo-diode.Ces derniers permettent de mesurer la puissance de laser en sortie de la fibre.

Le SLM est incliné par rapport à l’axe optique d’un angle inférieur à 10° afin de minimiser les pertes enpuissance, mais aussi pour des contraintes d’espace. Le laser y est dirigé à l’aide d’un deuxième diptyquede miroirs à 45°, puis redirigé à l’aide d’un troisième diptyque vers un cube séparateur non polarisant (dit« NPBS ») permettant l’usage parallèle d’une caméra CCD et du Shack-Hartmann. De plus, il est relié par descâbles propriétaires à un boîtier de contrôle de modèle Hamamatsu LCOS CTRL X104468 Series, que nousdénommerons « CTRL SLM ».

Télescope inversé Dernier élément installé, et situé en amont du SLM, il est constitué d’une lentille divergenteLT1 ( fLT1 = 30,0 mm) et d’une convergente LT2 ( fLT2 = 200,0 mm) dont les foyers objets sont confondus afin depouvoir agrandir le faisceau d’un facteur de grandissement G = 6,66. Ceci permet de couvrir l’ensemble de lasurface du SLM, ce qui aura une influence sur la qualité des figures de diffraction obtenues et du front d’ondemesuré.

CCD Dénomme le type du capteur de la caméra servant à visualiser l’intensité Ioutc du faisceau après réflexion

sur le SLM, associée à l’amplitude Aoutc . Les hologrammes de ce dernier sont plus efficients et plus aisés à

calculer si l’on se trouve dans le cas d’une diffraction en champ lointain, permise par l’usage de la lentille LF1( fLF1 = 250,0 mm) ; la caméra se trouve ainsi dans le plan de Fourier de cette lentille.

Le modèle utilisé est une JAI CM-030 GE, de taille 4,9× 3,7 mm soit 656× 494 px pour une résolution de7,4× 7,4 µm/px ou de 135 px/µm, avec une fréquence de rafraîchissement maximale de 60 Hz. Le capteur estsensible au proche infrarouge et à la lumière visible mais la caméra filme en noir et blanc. Elle est équipée d’uncache et d’un filtre (F2) permettant d’obstruer la lumière visible autant que faire se peut.

Shack-Hartmann Il s’agit de l’analyseur de front d’onde, un modèle ThorLabs WFS150-5C, d’une taille de800× 600 px pour une résolution de 20× 20 µm/px ou de 50,0 px/mm, et équipé d’une grille de 37 par 29 micro-lentilles. Il est également équipé d’une lentille LSH dont l’usage se limite à celui d’adaptateur pour un cachequi obstrue la lumière visible. L’ensemble permet de mesurer la déformation du front d’onde du faisceau Wout

c ,associée à la phase φout

c du champ au plan du Shack-Hartmann. Son orientation est modifiable à l’aide de visde réglage micrométriques. Une lentille convergente LF2 ( fLF2 = 125,0 mm) peut être éventuellement placé defaçon à ce que le Shack-Hartmann soit dans son plan focal, afin de retrouver la même configuration que pour la

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3.1. MONTAGE EXPÉRIMENTAL

caméra CCD. Enfin, toutes les microlentilles sont de focale effective fML = 3,2 mm, bien que cela soit sans grandeimportance.

Notons que l’intensité reçue par le Shack-Hartmann sur son capteur n’est pas répartie de la même façon quesur le plan de caméra CCD, du fait des microlentilles et de la lentille LSH, qui rendent l’analyseur inadapté à lamesure de l’intensité après réflexion sur le SLM.

PC Permettant de contrôler le SLM et de visualiser les données fournies par la caméra et le Shack-Hartmann, ilest relié en DVI à l’écran 1, et à un diviseur DVI qui duplique l’affichage envoyé par la seconde sortie DVI duPC vers les deux éléments y étant branchés : l’écran 2 (résolution : 800× 600 px, fréquence de rafraîchissement :60,0 Hz) et le CTRL SLM. Le PC est également relié par un câble Ethernet au CCD, et par un câble USB 2.0 auShack-Hartmann.

L’écran 1 (fréquence de rafraîchissement : 60,0 Hz) permet d’afficher l’interface de l’ordinateur, et notammentles logiciels associés au CCD, à l’algorithme et au Shack-Hartmann. L’écran 2 (résolution : 800× 600 px, fréquencede rafraîchissement : 60,0 Hz) permet d’afficher l’hologramme voulu tout en le transmettant au CTRL SLM,reconnu par le PC comme un écran.

3.1.2 Mise en place du montage

L’ensemble de éléments a nécessité une installation minutieuse sur trois semaines, car, à l’inverse des travauxpratiques en optique réalisés jusqu’ici, les éléments de notre montage possèdent quatre degrés de liberté entermes de placement : trois relatifs à la position dans l’espace et un relatif à l’orientation par rapport à l’axeoptique. Aligner ces éléments de façon à ce que le faisceau soit entièrement contenu dans leurs surfaces et centréautant que faire se peut avec les axes optiques propres à chaque lentille, qui plus est lorsque le chemin optiqueest invisible à l’œil nu, a pris un temps considérable.

D’autre part, la surface disponible pour le montage de ces éléments étant réduite, nous avons fait le choixd’un chemin optique qui intersecte avec lui-même (sans interaction) entre le filtre F1 et le cube séparateur. Cettemême contrainte a pesé dans le choix du placement du SLM au sein du montage car il existe deux façons de l’yintégrer. La première, comme énoncé précédemment, est de l’incliner au maximum de 10° par rapport au cheminoptique incident, et d’utiliser des miroirs et éléments optiques de taille réduite à proximité du faisceau réfléchipour ne pas l’obstruer — qui plus est si celui-ci est agrandi par le télescope inversé. L’autre possibilité consisteà l’incliner de 45° par rapport au chemin optique, en conjonction de l’usage de plusieurs lentilles et miroirsdestinés à minimiser les artefacts de diffraction induits par un tel angle. Cette dernière possibilité nécessitant unnombre accru d’éléments optiques, qui plus est assujettis à des contraintes géométriques incompatibles avec lasurface disponible pour les placer [6], la faible inclinaison a prévalue.

Enfin, les surfaces réfléchissantes des miroirs, du cube séparateur et du SLM étant sujettes à des déformationsen cas de changement de température, celle-ci a été fixée à 19 ◦C.

3.1.3 Couplage de la fibre optique

Une des parties les plus ardues du montage est le couplage de sa fibre optique. Afin d’obtenir un lasermonomode, on peut faire passer le laser d’origine au sein de la fibre. La méthode la plus classique fait usage desvis de réglage fin du système de deux miroirs précédant le coupleur C1, associé à un puissance-mètre ou à unephoto-diode en sortie de la fibre permettant de quantifier en permanence l’effet du réglage. Une autre méthodeutilisée a été le couplage de fibre par laser contre-convergeant, qui consiste, à l’aide d’un branchement spécifiqueà fixer à l’extrémité de sortie de la fibre un deuxième laser, qui prend ainsi la direction opposée au premier en parla sortie de la fibre. Ensuite, il ne reste plus qu’à aligner les deux lasers grâce à la propriété du retour inversede la lumière. Cette méthode, d’une grande précision, est économe en temps mais nécessite néanmoins d’êtreen possession de deux lasers, l’un devant pouvoir directement se brancher à la fibre. Malgré tout, le couplagea dû être régulièrement réitéré du fait du déréglage des vis ; la première tentative a nécessité quatre jours, lesdernières ne nécessitant pas plus d’une heure en fin de stage.

En termes de puissance optique, le premier couplage fut désastreux : la méthode classique n’ayant permisqu’une transmission maximale de 1,5 µW sur les 30,0 mW du laser circulaire en entrée du coupleur C1, nousnous sommes tournés vers la seconde, et avons atteint approximativement 5,5 mW en sortie de la fibre, ce quine correspond tout de même qu’à une transmission d’approximativement 18,3 % du faisceau incident. Cettedernière proportion, qui aura été celle de référence à chaque couplage ultérieur, est relative à la puissance dufaisceau incident au niveau du coupleur C1, qui est à la fois circulaire et gaussien.

Dans notre cas, ce faible rendement n’a pas posé de problèmes majeurs du fait, même dans de telles conditions,d’une saturation en intensité du capteur CCD et en puissance de l’analyseur de front d’onde — d’où l’usage desfiltres F1 et F2.

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3.2. CALIBRATION ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES

3.2 Calibration et résultats préliminaires

Une fois le montage achevé, mais avant d’écrire l’algorithme générant les hologrammes, il a fallu, afin defaciliter son développement, effectuer des mesures préliminaires relatives à la qualité des figures de diffraction età la taille du laser.

3.2.1 Défauts de la figure de diffraction

Les figures de diffraction peuvent présenter six types de défauts, trois d’entre eux ne pouvant être corrigéspar l’algorithme de Gerchberg-Saxton dans sa forme basique exposée à la section 2.2.2, et trois autres pouvantl’être mais pour lesquels la correction expérimentale est plus aisée.

En premier lieu, toute mesure de l’intensité Ioutc au niveau du plan de la caméra CCD comprend un spot

lumineux au centre de l’image, correspondant à l’ordre zéro de la diffraction engendrée par le SLM, quelque soitl’hologramme y étant affiché. Si cet artefact ne peut pas être corrigé par l’algorithme de Gerchberg-Saxton danssa forme basique, il permet néanmoins de repérer le centre du faisceau et des figures de diffractions. D’autresautres de diffraction parasites peuvent exister, comme illustré sur la figure 3.2a où ils prennent la forme de tâches,les plus lumineuses étant répartis sur quatre axes centrés autour de l’ordre zéro.

(a) Absence d’hologramme. (b) Ioutf asymétrique.

FIGURE 3.2 – Fragment d’image acquises par la caméra CCD, correspondant à l’intensité Ioutc au plan focal de la

lentille LF1 dans deux cas de figure différents.

De plus, comme on peut l’observer sur cette même image, les ordres de diffraction parasites (et avec euxl’intensité des figures de diffraction) diminuent rapidement en intensité en dehors d’une certaine zone ; leurposition par rapport au cadrage de la caméra CCD et à l’ordre zéro est fonction de la position des deux miroirsprécédent le télescope inversé et des deux miroirs précédant le cube séparateur. Enfin, les transformées de Fourierdirecte et inverse ne permettant d’obtenir que des fonctions impaires pour une fonction de deux variables, onverra apparaître une seconde figure de diffraction moins intense sur le plan de la caméra CCD, symétrique decelle recherchée par rapport à l’ordre zéro, comme le montre la figure 3.2b où deux figures symétriques l’une del’autre se superposent autour du centre de l’image.

Les trois autres défauts que présentent les figures peuvent être préférablement corrigés expérimentalement.Le premier est un mauvais cadrage du centre de la figure de diffraction, donc de son ordre zéro, par rapport aucentre du capteur CCD, et qui peut être causé par un élément optique décentré ou désaxé par rapport à l’axeoptique ; la correction s’effectue en replaçant la lentille LF1, la caméra CCD ou les miroirs en amont de celle-ci.Les mêmes causes peuvent également rendre la figure de diffraction floue, mais la correction de ce défaut passepar le replacement des lentilles L2 et LF1 et la modification de l’orientation de la lame λ

2 . Enfin, si le laser restetrop puissant malgré les filtres, la surexposition du capteur CCD peut être compensée par un temps d’expositionmoindre.

3.2.2 Impact des tailles et résolutions différentes du capteur CCD et du SLM

Comme expliqué précédemment, on peut obtenir une figure de diffraction particulière au moyen de ladiffraction par le SLM. La répartition correspondante de l’intensité sur le plan d’observation peut être définie àl’aide d’une fonction, mais il peut être plus commode de procéder avec une image matricielle. Une telle imagepossède donc une taille (ou une résolution) et représente la figure recherchée, qui couvre une proportion donnéede l’image. Pour plus de clarté, on parlera donc d’image « f » et de figure « f » pour désigner respectivementl’image représentant l’intensité recherchée Iout

f et la figure de diffraction associée, et de même pour l’intensité Ioutc

visualisée par la caméra CCD sous la forme d’une image dite « c ».Avant de développer l’algorithme, nous avons dévoué une partie du stage à modifier la taille de l’image « f »

et la proportion de la figure « f » afin d’en observer les effets sur la figure « c ».

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3.2. CALIBRATION ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES

Algorithme

Mesure recherchee (« f ») Mesure obtenue (« c »)

Image

Figure

FIGURE 3.3 – Schéma des mesures « f » et « c » de l’intensité auxquelles correspondent des images pareillementdénommés, chacune ayant une figure de diffraction correspondante. Cette dernière n’occupe pas nécessairementl’ensemble de son image.

Préambule

En l’absence d’un algorithme développé, il a fallu faire usage de celui intégré au sein du logiciel du fabricantdu SLM pour générer des hologrammes, puis du logiciel fourni par le fabricant de la caméra CCD pour enregistrerles figures de diffraction obtenues. Les deux logiciels ne traitent et ne produisent des images ne pouvant présenterque les caractéristiques suivantes :

Image « f » : en noir et blanc, carrée, de côté valant un multiple de 100 ou une puissance de 2 (en pixels), auformat BMP 24 bits ;

Hologramme : de taille 792× 600 px, en noir et blanc, au format BMP, composé d’un motif de même taille quel’image « in » ;

Image « c » : de même taille que le capteur CCD (656× 494 px), en noir et blanc, au format TIFF.

Ces restrictions justifient la création d’un algorithme plus flexible à l’usage en termes de définition derépartition de l’intensité recherchée.

En premier lieu, nous avons remarqué que fixer la taille de la figure « f » et ne faire varier que la taille del’image « f » ne modifie que l’inclinaison (par rapport à la figure recherchée « f ») et le cadrage de la figure « c »sans affecter sa taille. Celle-ci est systématiquement inclinée, sans que l’on soit parfaitement sûr de la constancede cette inclinaison. Il s’est alors avéré que l’inclinaison était autant imputable à la position du SLM sur samonture qu’à une inclinaison inhérente au miroir en amont du cube séparateur, chose qui peut être compenséelors de la création de l’hologramme.

Notons que le logiciel distingue l’hologramme calculé — un motif de même taille que l’image « f » — de celuiaffiché sur le SLM — une mosaïque du premier de même résolution que le SLM. Le logiciel du fabricant appliquesemble-t-il le théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon, permettant de couvrir l’intégralité de la surfacedu SLM tout en obtenant une figure de diffraction complète quelque soit la taille du faisceau et sa position sur lasurface du SLM.

Enfin, nous avons mesuré le grandissement entre l’image « f » et l’image « c », en identifiant pour des figures« f » asymétriques la figure « c » parasite, qui sera la moins lumineuse des deux figures « c » observées. Celle-ci etla figure « f » étant pareillement orientées, le grandissement est négatif. Une mesure de la taille de la figure « c »a permis ensuite de déterminer sa valeur absolue. Au final, le grandissement des hologrammes du logiciel dufabricant est de −1, si l’on mesure la figure en millimètres.

Impact de la proportion de la figure « f »

Méthodologie Les tests relatifs à la relation entre les tailles des figures de diffraction recherchées et obtenuesont été réalisés en fixant la taille de l’image « f » à 256× 256 px, en ne faisant varier que la taille de la figurerecherchée selon différentes proportions par rapport à la largeur de l’image « f » (entre 15 et 80 %) de la mire decalibration de la figure 3.4b. Pour chaque mire créée, un hologramme a été calculé puis affiché à l’aide du logicieldu fabricant, à la suite de quoi une capture de l’image « c » de l’intensité a pu être enregistrée par la caméra CCD,avec un temps d’exposition fixé à 2095,0 µs.

Observations Comme l’on pouvait s’y attendre, et par analogie avec des optical tweezers [4], plus la proportionde la figure « f » est élevée, et plus les détails de l’hologramme engendré sont petits, et donc plus la figure « c »obtenue est grande, et plus ses détails sont fins, tel que l’illustre la comparaison de la figure 3.5. En termes decadrage, la proportion optimale se trouve entre 45 et 52 %. En deçà, on constate que la figure « c » est trop petitepar rapport à l’image « c » et donc non optimale car entachée de bien trop d’ordres de diffraction parasites.

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3.2. CALIBRATION ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES

(a) Image « f » dont on a fait varier lataille.

(b) Image « f » dont on a fait varier laproportion de la figure.

FIGURE 3.4 – Mires utilisées pour l’étude de l’impact des caractéristiques de l’image « f ».

Au-delà, la figure « c » n’est pas totalement visible. De façon moins surprenante, plus la figure « c » est grande etplus son intensité est faible en chaque point, car, à puissance égale, la surface couverte est plus grande.

(a) Fragment d’hologrammepour 15 %.

(b) Fragment d’hologrammepour 30 %.

(c) Fragment d’hologrammepour 45 %.

(d) Fragment d’hologrammepour 60 %.

(e) Image « c » pour 15 %. (f) Image « c » pour 30 %. (g) Image « c » pour 45 %. (h) Image « c » pour 60 %.

FIGURE 3.5 – Figures « c » de diffraction obtenues et fragments des hologrammes associés pour quelquesproportions de la figure « f » lors de la diffraction par un hologramme généré par le logiciel du fabricant.Les fragments des hologrammes ont été obtenus en rognant l’hologramme complet sur un rectangle de taille198× 150 px dans son coin supérieur gauche.

Impact de la taille de l’image « f »

Méthodologie De manière similaire à la partie précédente, nous avons ensuite fixé la proportion de la figure« f » à 45 %, en ne faisant varier que la taille de l’image « f » entre 32 à 600 px de la mire de la figure 3.4b, avec untemps d’exposition de 691,2 µs.

Observations Si la taille de l’image augmente, le temps de calcul de l’hologramme également ; ce dernierprésentent proportionnellement plus de détails et laisse passer un plus grand nombre de photons sur l’image« c » pour de plus hautes résolutions. Si son motif revêt toujours la même taille que celle de l’image « f », sesdétails conservent toujours la même finesse.

On remarque également qu’entre les tailles 128× 128 px et 200× 200 px, l’image « c » n’est plus caractériséepar des carrés ou « pixels » dessinant la forme du motif, mais par des tâches lumineuses non uniformes en tailleet en intensité. En deçà d’une résolution de 128× 128 px, plus la résolution de l’image « f » est faible et plus lespixels formant le motif de l’image « c » seront petits et distants les uns des autres. Au-delà de 128× 128 px, larépartition des tâches formant le motif fait apparaître un grain sur l’image « c » qui augmente en intensité avec

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3.2. CALIBRATION ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES

(a) Fragment d’hologrammepour 64 px.

(b) Fragment d’hologrammepour 100 px.

(c) Fragment d’hologrammepour 200 px.

(d) Fragment d’hologrammepour 300 px.

(e) Fragment d’image « c »pour 64 px.

(f) Fragment d’image « c »pour 100 px.

(g) Fragment d’image « c »pour 200 px.

(h) Fragment d’image « c »pour 300 px.

FIGURE 3.6 – Fragments des figures « c » de diffraction obtenues et fragments des hologrammes associés pourquelques tailles de l’image « f » lors de la diffraction par un hologramme généré par le logiciel du fabricant.Les fragments des figures « c » et hologrammes ont été obtenus en rognant l’image « c » à une taille valantrespectivement 199× 150 px et 198× 150 px, au niveau de la partie supérieure droite de la figure et du coinsupérieur gauche de l’hologramme.

la résolution de l’image « f », remplaçant progressivement les pixels. Les quelques exemples de la figure 3.6illustrent ces deux cas de figure, et plus particulièrement l’effet de crénelage sur le bord de la figure qui diminuelorsque la taille de l’image « f » augmente.

Conclusions

Ces résultats préliminaires confortent la relation de proportionnalité inverse entre la taille d’une pupille (icinotre hologramme) et la taille de la figure de diffraction obtenue par celle-ci. En d’autres termes, plus grandesera la figure recherchée par rapport à l’image servant à calculer l’hologramme, plus les détails de ce dernier unefois calculés seront fins, et plus grande sera la figure obtenue.

De plus, l’application du théorème d’échantillonnage par le logiciel à des fins d’obtention d’une figurede diffraction complète entraîne deux effets notables : une « pixellisation » de cette figure lorsque la taille del’image de départ diminue, et une augmentation des artefacts de diffraction lorsque la proportion de cette imagequ’occupe la figure diminue. Il sera donc judicieux de calculer des hologrammes à l’aide d’images à résolutionélevée et dont les figures occuperont un espace aussi grand que le cadrage de la caméra CCD puisse le permettre.

Enfin, la taille relative du motif de l’hologramme par rapport à celle du faisceau laser ne semble pas impacterla taille de la figure de diffraction. Il doit cependant exister une relation entre la taille de la figure de diffractionobtenue et les caractéristiques de sa répartition en intensité. La connaissance de la taille du faisceau est doncimportante, d’autant que celle-ci est nécessaire à l’exécution de l’algorithme de Gerchberg-Saxton.

3.2.3 Mesure de l’intensité du laser en entrée

Deux données peuvent nous informer sur la taille du faisceau : l’intensité du laser incident et l’amplitudedu champ l’ayant engendré. Puisque l’amplitude peut se déduire de l’intensité, la véritable tâche est donc demesurer l’intensité du laser. Conformément à l’impact attendu du biprisme sur la forme du faisceau, nous avonsconstaté empiriquement que celui-ci avait une forme à la fois gaussienne et approximativement circulaire. Sonintensité sur le plan « in » a ainsi pu en être déduite en calculant la puissance du laser en fonction de la position r,en utilisant pour ce faire la méthode dite « de la lame de rasoir ».

Sa première étape consiste à collimater le faisceau, que l’on envoie vers une photodiode reliée à un oscilloscope.Ensuite, on obstrue partiellement le faisceau avec une petite lame de rasoir que l’on déplace le long d’un axe, afinde mesurer la puissance en fonction du déplacement de cette lame grâce à un oscilloscope, par rapport à uneorigine arbitraire. Connaissant la relation entre puissance et intensité et la fonction de répartition théorique decette dernière, il est possible de procéder à un ajustement de courbe des données relevées pour en déduire lesparamètres nécessaires à la modélisation de l’intensité : la valeur maximale de son pic et sa largeur (supposéeidentique selon x et y).

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3.2. CALIBRATION ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES

Il est possible de prévoir théoriquement quel sera le profil de la puissance d’un laser gaussien engendré parun champ électrique (toujours supposé polarisé selon une même direction) dont l’expression est

E(x, y, z) = E0ω0

ω(z)e−2

(x+yω(z)

)2

(3.1)

et où

— E0 représente le champ électrique dans le plan d’onde à l’origine (arbitraire) des coordonnées z ;

— ω0 est la largeur du faisceau à cette origine ;

— ω(z) est la fonction donnant cette largeur en tout plan d’onde repéré par z, et ayant pour expression

ω(z) = ω0

√1 +

(zz0

)2avec z0 = πω0

2

λ .

Puisque notre faisceau est collimaté, ω ne dépend plus de z, donc ω0 = ω(z). En conséquence, l’intensité I dece champ dans n’importe quel plan d’onde a pour expression

I(x, y) = I0 e−2(

x+yω0

)2

. (3.2)

Par une double intégration de −∞ à +∞ selon x et y, on en déduit l’expression de la puissance totale Ptot dufaisceau, qui vaut

Ptot =π

2I0ω0

2 . (3.3)

En faisant translater la lame de rasoir selon l’axe x, la puissance totale P(x) transmise au-delà de la lame enfonction de son déplacement x correspond à la la puissance totale Ptot à laquelle on aura retranché la puissancereçue par la lame, c’est-à-dire

P(x) = Ptot −∫ +∞

xdx∫ +∞

−∞dy I(x, y) (3.4)

= Ptot − I0

∫ +∞

xdx∫ +∞

−∞dy . (3.5)

Après une double intégration en coordonnées cylindriques et le changement de variable u2 = 2x2

ω0, on a donc

P(x) =Ptot

2− π

4ω0

2√π

∫ x√

2ω0

0e−u2

du . (3.6)

On peut alors identifier la fonction d’erreur complémentaire, ce qui donne

P(x) =Ptot

2erfc

(x

√2

ω0

). (3.7)

Cette dernière expression permet, par ajustement de courbe sous MATLAB, de déterminer les valeurs de Ptotet ω0, avec une moyenne arbitraire x0 telle que si x0 6= 0 on ait x− x0 en lieu et place de x ; cette moyenne n’atoutefois que peu d’importance pour la suite. En reportant dans l’équation (3.2) la valeur de I0 ainsi déterminableà partir de l’équation (3.3), on peut modéliser mathématiquement l’intensité du laser dans un plan d’ondequelconque. In fine, ce procédé permet de pouvoir simuler l’intensité reçue sur la surface du SLM, à défaut depouvoir la mesurer sans effectuer de fastidieuses modifications au niveau du montage.

Expérimentalement et sans le télescope inversé, l’ajustement de courbe permet d’obtenir ω0 = 1,79 mm pourune puissance totale Ptot = 3,31 V. Le graphe de l’ajustement de courbe est représenté sur la figure 3.7 tandisqu’une l’intensité modélisée à l’aide de la liste 3.3 est présentée sur les figures 3.8a et 3.8b. Une fois le télescopeinversé mis en place, il suffit d’intégrer son grandissement G dans l’équation en substituant respectivementx× G et y× G à x et y ; le résultat de cette substitution est représenté sur la figure 3.8c.

14

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3.2. CALIBRATION ET RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Déplacement x [mm]

Pui

ssan

ce P

(x)

[V]

Mesure de la taille du faisceau

AjustementDonnées expérimentales

FIGURE 3.7 – Ajustement de courbe de la puissance P(x) en fonction du déplacement x de lame, effectué sousMATLAB à partir de données expérimentalement acquises par la méthode de la lame de rasoir. L’incertitudesur P(x) diminue au fil des mesures du fait d’un changement progressif du calibre. La moyenne x0 a pour valeur6,98 mm.

0 5 100

2

4

6

x 105

Déplacement x [mm]

Inte

nsité

I(x)

(a) Intensité théorique du laser I(x) enfonction du déplacement x de la lame,en unités arbitraires.

(b) Intensité théorique du laser sur leplan du SLM sans télescope inversé.

(c) Intensité théorique du laser sur leplan du SLM avec télescope inversé.

FIGURE 3.8 – Modélisation théorique de l’intensité du laser sur le plan du SLM à partir des données de l’ajustementde courbe de la puissance P(x). Les zones blanches des figures 3.8b et 3.8c correspondent à une intensité prochede celle maximale (I0 = 2 Ptot

πω02 ), leurs zones noires correspondant à une intensité nulle.

15

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3.3. CODE DE L’ALGORITHME DE GERCHBERG-SAXTON

3.3 Code de l’algorithme de Gerchberg-Saxton

Le montage ayant ainsi été calibré pour une mesure optimale de Ioutc , ne restait plus qu’à développer le

code permettant d’utiliser l’algorithme de Gerchberg-Saxton. Celui-ci a été écrit sous MATLAB, langage deprogrammation et environnement de développement permettant notamment d’effectuer des calculs numériques.

Décrivons à présent les différentes parties de ce code, partie par partie.

3.3.1 Entrée

En premier lieu, la partie INPUT permet de définir les données ou paramètres de l’algorithme : l’intensitérecherchée Iout

f (u, v) et le nombre d’itérations p.Pour la première, plutôt qu’une définition à l’aide d’une fonction de deux variables, nous avons opté pour

une image matricielle représentant l’intensité recherchée, à l’instar de celle requise pour l’usage du logiciel decréation d’hologrammes du fabricant du SLM. L’image étant matricielle et non vectorielle, MATLAB associe àchacun de ses pixels un coefficient ; nous repèrerons chacun d’entre eux par son indice de ligne y et son indicede colonne x sur le plan « in » , et par les indices v et u sur le plan « out ». Notons que cette notation permetune correspondance avec une représentation vectorielle de l’intensité, avec des points repérés en coordonnéescartésiennes par les couples (x, y) et (u, v).

Le pré-requis est ainsi la définition de Ioutf (u, v) par une image matricielle, créée par exemple à l’aide d’un

logiciel d’édition d’images. À l’instar du logiciel du fabricant du SLM, elle peut être au format BMP, mais cechoix reste arbitraire.

LISTE 3.1 – Partie INPUT de l’algorithme1 close all;2 clear all;3

4 %% INPUT5 % Every non-indented line is a user-defined data or parameter.6

7 %Desired intensity8 Iout_f = imread('Intensity.bmp','bmp') ; %Converts the ...

image corresponding to the desired intensity on the output plane9 Iout_f = Iout_f(:,:,1) ; %Redefines the ...

intensity matrix as a n*n*1 (2D) sub-matrix of the original one (if needed)10 Iout_f = double(Iout_f) ; %Is needed to ...

avoid errors relative to the extension/format of the input file11 Iout_f = Iout_f ./ max(max(Iout_f)) ; %Scales all values ...

of the matrix between 0 and 112 Aout_f = sqrt(Iout_f) ; %Defines the ...

amplitude of the desired field as the square root of its intensity13 Iout_f_h = size(Iout_f,1) ; %Measures the ...

length of the aformentionned matrix for further use14 Iout_f_w = size(Iout_f,2) ; %Measures the ...

width of the aformentionned matrix for further use15 %Input image must have a 1:1 ratio in order for the diffraction figure to16 %not be distorted. The initial pattern of the hologram will have the same17 %size as the input image.18

19 p = 40 ; %Sets the number ...of iterations of the for-loop

L’algorithme lit cette image en utilisant a fonction imread et y associe la matrice Iout_f. En fonction deson format, il est possible que l’image d’entrée comporte trois ou quatre canaux (correspondant au rouge, vert,bleu et à la transparence) et entraîne la création d’une matrice tridimensionnelle, alors même que l’intensitémesurée Iout

c (u, v) n’en comportera qu’un car la caméra CCD filme en noir et blanc. Il faut ainsi sélectionnerarbitrairement un seul de ces canaux. Ensuite, il faut convertir les coefficients de Iout_f au bon type (double)et au bon format afin d’éviter les erreurs de traitement de données, et calculer l’amplitude associée Aout_f,correspondant à Aout

f (u, v). On associe également à Iout_f_h et Iout_f_w la hauteur et la largeur de l’image« f ».

Enfin, on définit p comme le nombre d’itérations voulu de la boucle de l’algorithme.

3.3.2 Caractéristiques expérimentales

La partie EXPERIMENTAL SETUP liste ensuite toutes les caractéristiques du montage qui nous seront utiles.

16

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3.3. CODE DE L’ALGORITHME DE GERCHBERG-SAXTON

LISTE 3.2 – Partie EXPERIMENTAL SETUP de l’algorithme1 %% EXPERIMENTAL SETUP2 % This part lists all useful caracteristics of the experimental setup.3

4 %Caracteristics of the CCD5 CCD_h = 494 ; %Height (in px)6 CCD_w = 656 ; %Width (in px)7 res_CCD = 135.513 ; %Resolution (in px/mm)8

9 %Caracteristics of the SLM10 SLM_h = 600 ; %Height (in px)11 SLM_w = 792 ; %Width (in px)12 res_SLM_h = 50 ; %Vertical ...

resolution (in px/mm)13 res_SLM_w = 49.5 ; %Horizontal ...

resolution (in px/mm)14

15 %Caracteristics of the 2nd monitor16 Monitor2_h = 600 ; %Height (in px)17 Monitor2_w = 800 ; %Width (in px)18 MP = get(0,'MonitorPosition') ; %Gets the position ...

of the edges of each monitor (see "Root properties" in MATLAB Documentation Center)

Ces caractéristiques sont les tailles (en pixels) et résolutions (en px/µm) du SLM et de la caméra CCD denotre montage. Précisons que le h de CCD_h indique une hauteur (height) et que, de façon analogue, w indiqueune largeur (width). Il en va de même pour le SLM, ainsi que pour l’écran 2 (Monitor2). Notons que la définitionde deux variables est nécessaire pour l’inclusion de la résolution verticale et horizontale du SLM.

Une attention toute particulière est en outre nécessaire quant à l’usage de la fonction get : celle-ci, à l’aidedu paramètre associé 'MonitorPosition' permet de définir la matrice MP dont les coefficients permettent dedéterminer les positions et tailles des différents écrans connectés à l’ordinateur — on se réfèrera à l’aide deMATLAB pour plus de détails.

3.3.3 Intensité du laser

La partie LASER INTENSITY permet de modéliser l’intensité du laser Iin0 (x, y) au niveau du plan du SLM.

LISTE 3.3 – Partie LASER INTENSITY de l’algorithme1 %% LASER INTENSITY2 % Defines the intensity Ilaser of the incident laser on the SLM plane.3

4 %Data from curve fit5 w_0 = 1.79 ; %Beam waist, ...

calculated from a curve fit (in mm)6 G = 200/30 ; %Optical ...

magnification of the inverted telescope7 P_tot = 3.311 ; %Max power of the ...

beam, calculated from a curve fit (in V)8

9 %Coordinates of the centre of the matrix10 x_0 = floor(Iout_f_w / 2) ;11 y_0 = floor(Iout_f_h / 2) ;12

13 %Creating the intensity matrix knowing beam waist14 Ilaser = zeros(Iout_f_h,Iout_f_w) ; %Initializes the ...

size of the laser intensity matrix to that of the desired intensity matrix15 waist_h = w_0 * G * res_SLM_h ;16 waist_w = w_0 * G * res_SLM_w ;17

18 for x = 1:Iout_f_w19 for y = 1:Iout_f_h20 Ilaser(y,x) = ((2 * P_tot) ./(pi * (waist_h * waist_w))) .* exp((-2 * ((x - x_0)^2+(y ...

- y_0)^2))/(waist_h * waist_w)) ;21 end22 end23

24 Ilaser = Ilaser ./ max(max(Ilaser)) ; %Scales all values ...of the laser intensity matrix between 0 and 1.

25 Alaser = sqrt(Ilaser) ; %Defines a ...real-valued amplitude associated to the laser intensity

26 Elaser = Alaser .* exp(1i * 2 * pi * rand(1)) ; %Associates to the ...laser intensity a uniformized random phase

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3.3. CODE DE L’ALGORITHME DE GERCHBERG-SAXTON

Cette modélisation s’effectue à partir de sa largeur w_0 sans télescope inversé (en millimètres), de sa puissancemaximale P_tot, et du grandissement G dudit télescope (cf. section 3.4.2). On définit ensuite les cordonnées(x_0,y_0) du centre de la matrice de l’intensité du laser comme la partie entière de la moitié de chaque dimensionde Iout_f à l’aide de la fonction floor. On convertit enfin la largeur du faisceau en pixels tout en la multipliantpar le grandissement du télescope, pour chacune des résolutions du SLM ; les valeurs seront assignées à waist_het waist_w.

Après avoir initialisé sa taille comme étant celle de Iout_f, on crée la matrice Ilaser correspondantà Ilaser(x, y), coefficient par coefficient, à l’aide d’une double boucle for. À cette création ne correspond riend’autre que l’expression théorique de l’intensité d’un faisceau gaussien de l’équation (3.2). Enfin, on ramènetoutes les valeurs de la nouvelle matrice entre 0 et 1 par un double usage de la fonction max : appliquée à unematrice, cette fonction donne un vecteur ligne avec le maximum de chaque colonne. Le résultat est représenté surla figure 3.8c.

Finalement, on assigne aux variables Alaser et Elaser l’amplitude Alaser(x, y) et le champ Elaser(x, y), àl’aide d’une phase aléatoire ayant la même valeur en tout point.

3.3.4 Initialisation

Deux versions de l’initialisation ont été écrites ; la liste 3.4 correspond à l’initialisation A tandis que la liste 3.5correspond à l’initialisation B. Ces deux parties initialisent respectivement Ein

0 (x, y) et Eout0 (u, v), puis n.

LISTE 3.4 – Partie INITIALIZATION A de l’algorithme1 %% INITIALIZATION A2 % Using fixed data, this section initializes the first values of the input3 % electric field and of the iteration counter.4

5 %Initiation of the intensity and phase at the SLM plane6 Ein_0 = ones(Iout_f_h,Iout_f_w) ;7 for x = 1:Iout_f_w8 for y = 1:Iout_f_h9 Ein_0(y,x) = Elaser(y,x) * exp(1i * 2*pi * rand(1)) ; %Defines an ...

arbitrary output field using the desired amplitude output and a random phase10 end11 end12 Ein = Ein_0 ; %Initializes the ...

value of the input electric field13

14 n = 0 ; %Initializes the ...iteration counter of the loop

Pour des raisons de programmation, on initialise tout d’abord la taille de Ein_0 comme une matrice de mêmesdimensions que Iout_f.

Comme expliqué précédemment (cf. section 2.2.2), il nous faut connaitre le champ du laser, muni de lamodélisation de son intensité mais sans connaissance, à ce stade du moins, de sa phase. Pour remédier à ceproblème, il suffit de multiplier Elaser par une phase aléatoire non uniforme à l’aide d’une double boucle,afin d’obtenir ainsi une expression de départ pour Ein

0 (x, y) qui satisfasse l’équation (2.3). Afin de pouvoirconserver les informations relatives à notre laser incident, on initialise ensuite la valeur de la variable Ein commevalant Ein_0, puis la valeur de n comme valant 0.

Le code de l’initialisation B n’est pas fondamentalement différent, à ceci près qu’il initialise Eout0 (u, v) en lieu

et place de Ein0 (x, y).

LISTE 3.5 – Partie INITIALIZATION B de l’algorithme1 %% INITIALIZATION B2 % Using fixed data, this section initializes the first values of the output3 % electric field and of the iteration counter.4

5 %Initiation of the intensity and phase at the CCD plane6 Eout_0 = ones(Iout_f_h,Iout_f_w) ;7 for u = 1:Iout_f_w8 for v = 1:Iout_f_h9 Eout_0(v,u) = Aout_f(v,u) * exp(1i * 2*pi * rand(1)) ; %Defines an ...

arbitrary output field using the desired amplitude output and a random phase10 end11 end12 Eout = Eout_0 ;13

14 n = 0 ;

18

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3.3. CODE DE L’ALGORITHME DE GERCHBERG-SAXTON

Nous verrons néanmoins au section 3.5 qu’il est possible de faire usage de données sur le front d’onde dulaser entrant afin d’en déduire sa phase.

3.3.5 Boucle

Vient ensuite la partie centrale : la boucle, ou LOOP. L’ordre des lignes au sein de la boucle for diffère selonque la section précédente soit l’initialisation A ou B. Les listes 3.6 et 3.7 présentent les boucles correspondantrespectivement aux listes 3.4 et 3.5. Les explications théoriques ayant déjà été fournies à leur sujet, seule unedescription des fonctions utilisées est nécessaire.

LISTE 3.6 – Boucle (ou LOOP) de l’algorithme correspondant à l’initialisation A.1 %% LOOP2 % The core of the Gerchberg-Saxton algorithm.3

4 for i = 1:p5

6 n = n + 1 ;7

8 Eout = fftshift(fft2(fftshift((Ein)))) ;9 Aout = abs(Eout) ;

10 phiout = angle(Eout) ;11 Iout = Aout .^2 ;12

13 Eout = Aout_f .* exp(1i .* phiout) ;14

15 Ein = ifftshift(ifft2(ifftshift(Eout))) ;16 Ain = abs(Ein) ;17 phiin = angle(Ein) ;18

19 Ein = Elaser .* exp(1i .* phiin) ;20

21 end

Les fonctions fft2 et ifft2 correspondent respectivement aux transformations rapides de Fourier (« FastFourier Transform ») directe et inverse en 2 dimensions, dont l’entrée et la sortie sont des matrices de mêmetaille, et aux temps de calculs sensiblement plus courts que des transformées orthodoxes. Les fonctions fftshiftet ifftshift permettent de réarranger les emplacements des quatre quarts des matrices utilisées de façon àce que les coefficients correspondant l’ordre zéro de la diffraction soient au centre des matrices. Enfin, abs etangle permettent d’obtenir respectivement la norme et l’argument d’un nombre complexe. Dans notre cas, cesdeux parties d’un coefficient de E correspondent à son amplitude et à sa phase. Toute opération sur les matricesdes champs Ein et Eout ou sur leurs composantes, autre que des transformées de Fourier, se fait coefficient parcoefficient, en vertu des équations de la section 2.2.2 exprimant des relations fonctions de la position sur le plannormal à l’axe optique.

LISTE 3.7 – Boucle (ou LOOP) de l’algorithme correspondant à l’initialisation B.1 %% LOOP2 % The core of the Gerchberg-Saxton algorithm.3

4 for i = 1:p5

6 Ein = ifftshift(ifft2(ifftshift(Eout))) ;7 Ain = abs(Ein) ;8 phiin = angle(Ein) ;9

10 Ein = Elaser .* exp(1i .* phiin) ;11

12 n = n + 1 ;13

14 Eout = fftshift(fft2(fftshift(Ein))) ;15 Aout = abs(Eout) ;16 phiout = angle(Eout) ;17 Iout = Aout .^2 ;18

19 Eout = Aout_f .* exp(1i .* phiout) ;20

21 end

19

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3.3. CODE DE L’ALGORITHME DE GERCHBERG-SAXTON

3.3.6 Sortie

La partie OUTPUT permet de produire l’hologramme qui va être affiché sur l’écran 2 et le SLM.

LISTE 3.8 – Partie OUTPUT de l’algorithme1 %% OUTPUT2 % Automatically displays the phase hologram produced by the loop.3

4 phiin_holo = phiin ; %Initialize the ...effective hologram before further transformations

5

6 %Tiling the obtained phase pattern7 while size(phiin_holo,1) < SLM_h8 phiin_holo = [phiin_holo ; phiin_holo ; phiin_holo] ;9 end

10 while size(phiin_holo,2) < SLM_w11 phiin_holo = [phiin_holo , phiin_holo, phiin_holo] ;12 end13 phiin_holo_h = size(phiin_holo,1) ;14 phiin_holo_w = size(phiin_holo,2) ;15 v_0 = floor((phiin_h - SLM_h)/2) + 1 ;16 u_0 = floor((phiin_w - SLM_w)/2) + 1;17 phiin_holo = phiin_holo(v_0:v_0+SLM_h-1 , u_0:u_0+SLM_w-1) ; %Crops phiin to ...

obtain a hologram matching the SLM's size with an hologram pattern at its center18

19 phiin_holo = phiin_holo(end:-1:1,:) ; %Rotates the ...hologram to compensate lense magnification (= -1 in mm)

20

21 %The extremes values of phiin are now between -pi and pi. We need to scale22 %them between 0 and 255 in order for the SLM to not "misbehave" when23 %displaying the hologram.24

25 phiin_holo = mod(phiin_holo,255) ;26 phiin_holo = uint8(phiin_holo) ;27

28 %The hologram is now completely black and white without any shade of gray29

30 imwrite(phiin_holo,'Hologram.bmp','bmp') ; %Saves the ...obtained hologram

31

32 figure ;33 imshow(phiin_holo,'InitialMagnification',100,'Border','tight') ; %Displays the hologram34 set(gcf,'Position',[MP(2,1) , abs(MP(1,4) - MP(2,4)) + 1 , Monitor2_w , ...

Monitor2_h],'MenuBar','none','ToolBar','none','resize','off') ; %Moves it to the 2nd ...monitor

Premièrement, on associe à phiin_holo la dernière valeur de phiin obtenue par la boucle. Que phiin ait ounon la taille du SLM, les deux boucles while qui suivent concatènent phiin_holo de part et d’autre d’elle-même,jusqu’à ce la dimension (hauteur puis largeur) de la matrice ainsi obtenue soit supérieure à celle du SLM. Ondéfinit ensuite les coordonnées (u_0,v_0) du centre de cette matrice de façon analogue à (x_0,y_0), avant derogner phiin_holo à la taille du SLM de façon à obtenir son motif d’origine au centre.

Par la suite, du fait d’un grandissement approximativement égal à −1 entre la figure recherchée et la figureobtenue, cette partie effectue une symétrie axiale de l’hologramme afin d’obtenir une figure correctement orientée,avant de le binairiser (cf. section 3.4.1) en tirant partie de la conversion du format double au format uint8, avantde l’enregistrer au format BMP.

Les dernières lignes du code procèdent, enfin, à l’affichage de l’hologramme sur l’écran 2. Pour ce faire, onutilise la fonction imshow dont les paramètres 'InitialMagnification' et 'Border' permettent d’afficher l’ho-logramme dans la fenêtre ouverte par figure, en évitant un redimensionnement automatique de l’hologrammetout comme l’apparition d’une bordure à des fins esthétiques. La fonction set permet, par l’usage des paramètres'MenuBar' et 'ToolBar', de faire disparaître tous les éléments de la fenêtre ; les paramètres restants permettentde placer correctement la fenêtre à l’aide de la matrice MP afin d’afficher l’hologramme dans sa totalité.

Spécificité notable du code : la matrice qui suit 'Position' et définissant la taille et la position de la fenêtrecorrespond à la définition se base sur la définition de la matrice obtenue par get(0,'MonitorPosition') pourun système d’exploitation Windows. Autrement dit, à configuration d’écrans identique, les coefficients ne leseront pas sous Linux ou Mac. À nouveau, on se réfèrera à l’aide de MATLAB pour plus de détails sur la détectiondes écrans par le logiciel.

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3.3. CODE DE L’ALGORITHME DE GERCHBERG-SAXTON

3.3.7 Contrôle de la caméra CCD

Si le logiciel de contrôle de la caméra CCD fourni ne sied à l’usage voulu, il est possible de contrôler celle-cidirectement depuis MATLAB, comme le présente liste 3.9. Cette partie est une ébauche de code permettantsommairement de lire, visualiser et/ou d’enregistrer les images reçues par la caméra, et notamment d’enregistrerl’intensité obtenue Iout

c (u, v) en tant que matrice éponyme pour traitement ultérieur.

LISTE 3.9 – Partie optionnelle CCD CONTROL de l’algorithme1 %% CCD CONTROL2

3 ccd = videoinput('gige' , 1 , 'Mono8') ; %Starts ...controlling the CCD camera

4 triggerconfig(ccd, 'manual'); %Configures the ...object for manual trigger mode

5 %Add any needed script if further configuration is needed (exposition time,6 %contrast, etc.)7

8 start(ccd) ; %The CCD will not ...start acquiring and sending images until told to do so

9

10 Iout_c = getsnapshot(ccd); %Acquires an image ...from the CCD camera (i.e. logs a frame corresponding to the intensity to memory)

11

12 %Stopping the camera13 stop(ccd) ; %Causes the CCD to ...

no longer sent data back to MATLAB14 delete(ccd) ;

Primo, on crée un objet ccd à partir des caractéristiques de la caméra connectée à l’ordinateur par la fonctionvideoinput. Les variables de cette fonction dépendent du type de caméra, qui doit impérativement être com-patible avec MATLAB. Secondo, à l’aide de la fonction triggerconfig, la ligne suivante configure l’objet pourune activation manuelle. Le cas échéant, il est possible d’ajouter des lignes permettant de modifier plusieursparamètres tels que le temps d’exposition ou le contraste de l’image.

Tertio, la fonction start démarre l’acquisition de données, qui doivent être manuellement enregistrées sousla forme de la matrice Iout_c à l’aide de la fonction getsnapshot. Une fois les données acquises, les fonctionsstop et delete stoppent l’acquisition avant de réinitialiser l’objet ccd.

Les fonctions de cette partie, qui peuvent aussi être implémentées ailleurs dans le code plutôt qu’à sa fin,permettent ainsi l’acquisition automatisée d’images « c ». Ceci aura d’ailleurs été fort utile lors d’une tentatived’optimisation en temps réel des figures de diffractions obtenues.

21

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3.4. CORRECTION DES ARTEFACTS DE LA DIFFRACTION ET RÉSULTATS INTERMÉDIAIRES

3.4 Correction des artefacts de la diffraction et résultats intermédiaires

Nous avions initialement testé notre algorithme avec une boucle while couplé à un critère d’erreur basé surla moyenne quadratique de la différence entre Iout

f et Ioutn=p [4], avant de constater que le nombre d’itérations était

toujours inférieur à 10 en dépit de résultats visuellement insatisfaisant. Pour cette raison, nous avons plutôt optépour une boucle for avec 40 itérations sans critère d’erreur, dans l’attente d’amélioration de la qualité de nosfigures de diffraction « c » par d’autres biais.

Le choix de la binairisation de l’hologramme au sein de la liste 3.8 a été l’une des trois tentatives d’y parvenir,les deux autres étant la modification de la taille du faisceau et la modification en temps réel de la phase de chaquepixel. Les figures 3.9a et 3.9b sont représentatives des artefacts obtenus avant lesdites tentatives : une dispersionde l’intensité caractérise la figure « c » comme le restant de l’image. L’ordre zéro y est légèrement plus intense, ensachant qu’il se confond avec le restant de la figure. On peut également remarquer que l’hologramme l’ayantengendré (représenté sur la figure 3.9c) est bien symétrique par rapport à son centre. Ces premiers résultats sontégalement conformes aux résultats préliminaires : l’image « c » est sujette à une « pixellisation » en deçà d’unecertaine taille, et à une dispersion de son intensité au delà.

(a) Intensité Ioutc pour une intensité Iout

fde taille 113× 113 px.

(b) Intensité Ioutc pour une intensité Iout

fde taille 600× 600 px.

(c) Hologramme φholo pour une inten-sité Iout

f de taille 600× 600 px.

FIGURE 3.9 – Résultats de l’algorithme sans binairisation et sans télescope inversé. La figure de diffractionrecherchée est celle de la figure 3.4a avec un ratio entre largeur de la figure et largeur de l’image de 20 %.

3.4.1 Modification de l’hologramme en temps réel

La première piste explorée pour corriger ces artefacts a été de modifier par groupes de pixels successifs laphase d’un hologramme de phase uniformément nulle, à l’aide d’un nouvel algorithme itératif.

Méthodologie

À chaque itération, l’algorithme assigne à un groupe de pixels de la surface du SLM une phase entre 0 et 2π,calcule un critère d’erreur entre Iout

c et Ioutf avant d’assigner une autre phase plus élevée et de recommencer jusqu’à

avoir obtenu l’intensité correspondant à une phase de 2π pour ce groupe de pixels. L’algorithme détermineensuite à quelle phase correspond l’erreur la plus faible, puis assigne définitivement celle phase au groupe depixel, avant de réitérer l’ensemble pour chaque autre groupe de pixel jusqu’à ce que l’ensemble de la surfacedu SLM ait été affectée de la sorte. Enfin, l’algorithme applique à un hologramme préexistant l’hologramme decorrection ainsi obtenu.

Deux critères d’erreurs ont été testés. Le premier étant un simple calcul de la médiane de Ioutc , sur l’ensemble

de l’image « c » comme sur une petite zone autour de l’ordre zéro de la diffraction : puisque Ptot reste constante, siles artefacts disparaissent, l’intensité correspondante devrait être reportée sur l’ordre zéro, et l’intensité médianecorrespondante devrait être moins élevée. L’autre critère se base sur la largeur de la tâche de l’ordre zéro, maisa été écarté car la mesure de celle-ci en fonction de la phase de chaque groupe de pixels est trop incertaine cartrop faible à l’échelle du pixel, et est faussée par la présence trop rapprochée d’ordres de diffraction parasites,d’autant que l’ordre zéro provoque avant même toute correction une saturation du capteur CCD.

La figure 3.10 correspond à l’hologramme de correction créé par cette modification en temps réel pour desgroupes de 6× 6 px et un pas de 0,08π (ou 10 valeurs de gris) entre chaque phase testée. Du fait de la nécessitéd’un feedback de la caméra CCD, du grand nombre de pixels sur la surface du SLM, et de la fréquence derafraîchissement maximale de l’ensemble des éléments optiques et de l’écran 2 (60 Hz), la création d’un telalgorithme requiert plusieurs heures, dont plus de 25 heures pour des groupes de 3× 3 px.

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3.4. CORRECTION DES ARTEFACTS DE LA DIFFRACTION ET RÉSULTATS INTERMÉDIAIRES

Observations

Sans application à un hologramme préexistant, les ordres de diffraction parasites alignés autour de l’ordrezéro disparaissent au profit d’un grain ou halo sur l’ensemble de l’image « c », analogue à ce qui peut êtreobtenu par d’autres méthodes [7]. Une fois appliqué, les résultats n’ont été visuellement notables que pour unemultiplication pixel par pixel des valeurs de gris de l’hologramme préexistant et de l’hologramme de correction.Une addition ou soustraction suivie d’un retour entre 0 et 2π des pixels de phase supérieure à 2π (grâce à lafonction mod) a entraîné la disparition quasi-totale de la figure « c » sans bénéfice sur la correction des artefacts.

Du fait du conséquent temps de calcul des hologrammes de correction par cette méthode et de la fin dustage approchant, nous avons choisi de tester d’autres méthodes. En outre, puisque la multiplication des deuxhologrammes a engendré des hologrammes plus contrastés, nous avons décidé de mettre en application uneaugmentation maximale du contraste de ces hologrammes, autrement dit de binairiser la phase φholo calculée parl’algorithme d’origine.

Binairisation de l’hologramme

Méthodologie Comme vu précédemment, la binairisation de l’hologramme a été implémentée à la toute finde l’algorithme, lors du passage du format double au format uint8 de la matrice phiin_holo — opérationoriginellement prévue pour obtenir une image « f » de mêmes caractéristiques que celles obtenues à l’aide dulogiciel du fabricant à des fins de comparaison. Un exemple de cette opération est représenté sur la figure 3.11, etles résultats correspondant sur la qualité de l’image et de la figure « c » sont représentés sur la figure 3.12.

Observations Les contours des figures « c » sont légèrement mieux définis, tandis que les artefacts hors decelles-ci sont moins intenses, à défaut d’être moins dispersés. Néanmoins, cette méthode n’aura pas été suffisantepour obtenir des résultats satisfaisants. Nous nous sommes alors tournés vers les résultats préliminaires portantl’impact de la proportion de la figure « c ».

3.4.2 Augmentation de la taille du faisceau

Si nous avions testé la modification de ce paramètre avec un faisceau laser de largeur fixe, nous n’avions pasauparavant envisagé la modification de cette dernière par rapport à la taille du motif de l’hologramme obtenu(en fixant la proportion de la figure « c ») du fait de contraintes d’espaces au niveau du montage expérimental.Nous avons donc mis en place le télescope inversé à l’aide des lentilles LT1 et LT2 afin d’obtenir un faisceaucouvrant le SLM dans son intégralité.

Méthodologie Le choix des focales est soumis à quatre contraintes :

— La taille relative du faisceau sans télescope et de la surface du SLM (cf. sections 3.1.1 et 3.2.3) impliquel’existence d’un grandissement minimum ;

— Trigonométriquement, il existe une distance maximale entre la distance entre la lentille LT2 et le SLMpermettant au faisceau de ne pas être obstrué par cette lentille en réflexion, qui est fonction de la taille dufaisceau et de l’inclinaison du SLM par rapport à l’axe optique ;

— Il existe une inclinaison maximale (10°) au delà de laquelle les pertes en puissance lumineuses ne sont plusnégligeables ;

— Il existe une autre inclinaison maximale liée au placement du premier miroir en aval du SLM sur le bancoptique.

La distance entre les deux lentilles du télescope doit donc être la plus petite possible, et l’ensemble doit être leplus éloigné possible du SLM pour contourner les contraintes liées à son inclinaison. D’autres choix de focales etde placement des lentilles sont toutefois possibles, par exemple le placement de LT1 entre les deux miroirs enaval du filtre F1 tant que le faisceau ne soit pas obstrué par le miroir précédant le cube séparateur.

Les résultats de cette modification à l’issue de l’algorithme sont représentés sur la figure 3.13b. Un comparatifd’images « c » correspondant à quelques proportions de figures « f » est représenté sur la figure 3.14.

Observations Si l’on omet la forte intensité de l’ordre zéro et du changement de sa forme, la mise en place dece télescope a permis de grandement supprimer l’ensemble des défauts des intensités précédemment obtenues ;visuellement, les images « c » suffisamment proches des images « f » pour y être comparées statistiquement. Legrain prend désormais la forme d’un halo diffus. L’inclinaison devra néanmoins être corrigée expérimentalementou algorithmiquement avant de pouvoir remplacer la boucle for de la boucle de l’algorithme de Gerchberg-Saxton par une boucle while couplée à un critère d’erreur.

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3.4. CORRECTION DES ARTEFACTS DE LA DIFFRACTION ET RÉSULTATS INTERMÉDIAIRES

FIGURE 3.10 – Fragment d’un hologramme de correction par groupe de 6× 6 px, obtenu par rognage de l’holo-gramme complet à une taille de 198× 150 px dans son coin supérieur gauche.

(a) Hologramme φholo avantbinairisation.

(b) Hologramme φholo aprèsbinairisation.

FIGURE 3.11 – Comparatifs des hologrammes avec et sans binairisation, pour une image « f » de taille 600× 600 px.Les fragments d’hologramme ont été obtenus par rognage à une taille de 100× 76 px dans le coin supérieurgauche de chaque hologramme.

(a) Fragment de figure « c »sans binairisation.

(b) Même figure après binai-risation.

(c) Fragment d’image « c »sans binairisation.

(d) Même image après binai-risation.

FIGURE 3.12 – Comparatifs des intensités avec et sans binairisation, pour une image « f » de taille 600× 600 px.Les fragments des images « c » ont été obtenus par rognage à une taille de 199× 150 px au niveau de la partiesupérieure droite de la figure « c » et du coin inférieur droit de l’image.

(a) Intensité Ioutc sans télescope inversé. (b) Intensité Iout

c avec télescope inversé.

FIGURE 3.13 – Comparatifs des intensités avant et après installation du télescope inversé, pour une image « f » detaille 600× 600 px. La figure de diffraction recherchée est celle de la figure 3.4a avec un ratio entre largeur de lafigure et largeur de l’image de 20 %. Les fragments des images « c » ont été obtenus par rognage à une taille de199× 150 px au niveau de la partie supérieure droite de la figure « c ». Le changement d’échelle et d’inclinaisonde cette dernière s’explique par des modifications mineures du montage expérimental.

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3.4. CORRECTION DES ARTEFACTS DE LA DIFFRACTION ET RÉSULTATS INTERMÉDIAIRES

(a) Proportion : 15 %. (b) Proportion : 30 %. (c) Proportion : 45 %. (d) Proportion : 60 %.

FIGURE 3.14 – Intensités obtenues après mise en place du télescope inversé et binairisation de l’hologrammeobtenu par l’algorithme de Gerchberg-Saxton, pour une image « f » de taille 600× 600 px et pour plusieursproportions de la figure « f » correspondante.

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3.5. CORRECTION DE LA DÉFORMATION DU FRONT D’ONDE

3.5 Correction de la déformation du front d’onde

En parallèle au développement de l’algorithme, le second aspect du stage a porté sur la correction desdéformations du front d’onde de notre laser. Cependant, cet aspect n’a pas partagé l’approche générale de lapartie algorithmique du stage, mais a plutôt visé l’établissement d’une méthode de correction spécifique aumontage disponible afin, ultérieurement, de pouvoir la généraliser et l’appliquer à d’autres montages.

Outre la mise en place du Shack-Hartmann, il a fallu au préalable observer et analyser les effets d’unhologramme de phase en termes de déformation du front d’onde, avant de s’intéresser à plusieurs pistes decorrection.

3.5.1 Mise en place et calibration du Shack-Hartmann

Le logiciel fourni avec l’analyseur de front d’onde nous permet de visualiser les données acquises sur cedernier de cinq façons différentes, représentées sur la figure 3.15.

(a) Spotfield (b) Lineview (c) Beam view (d) Zernike (e) Wavefront.

FIGURE 3.15 – Différents modes de visualisations des données acquises par le Shack-Hartmann sur le frontd’onde.

Le mode « Spotfield » permet de visualiser les données obtenues par le Shack-Hartmann sans traitement, telqu’illustré sur la figure 2.3. Le cas échéant, il permet de visualiser un décalage global des points par rapport àleur position consigne, caractéristique d’un faisceau non normal au plan des microlentilles.

Le mode « Lineview » quantifie l’intensité reçue par chaque colonne de pixels du capteur du Shack-Hartmann.Chaque pic correspond à la moyenne d’une colonne de points ; l’espacement entre deux pics correspond à lamoyenne de l’espacement entre les points de deux colonnes adjacentes. Les éventuelles courbes observables sousles pics correspondent au bruit mesuré par le Shack-Hartmann en termes d’intensité ; il est possible de l’élimineren définissant un seuil d’intensité minimale par le biais du logiciel.

Le mode « Beamview », quant à lui, permet de visualiser une interpolation de l’intensité reçue par le capteurdu Shack-Hartmann, et de constater le cas échéant une déformation du faisceau par rapport au faisceau gaussienattendu. En dépit de cette possibilité de mesure de l’intensité, qui aurait pu se suppléer à la méthode de lasection 3.2.3, les éléments optiques situés entre le SLM et le capteur du Shack-Hartmann (dont les microlentilles)ne permettent pas une mesure de l’intensité du faisceau réellement représentative de celle transmise sur leplan du SLM. Ce mode permet tout de même de centrer le faisceau sur le capteur à l’aide des vis de réglagemicrométriques du miroir suivant le cube séparateur (pour un réglage de grande amplitude) et du SLM (pourun réglage fin). Une fois cela fait, il est encore possible de modifier l’ouverture circulaire de l’objectif du Shack-Hartmann, réglée par défaut sur la largeur du faisceau ; cela permet l’apport d’informations sur le front d’ondeau delà du faisceau, qui pourront être prises en compte dans le traitement des autres modes.

L’histogramme du mode « Zernike » représente la valeur des coefficients de Zernike du front d’onde, chacunquantifiant un type d’aberration du front d’onde. Aussi utiles qu’ils puissent être, nous n’avons pas utilisé lesdonnées de ce mode car elles sont déjà traitées par le logiciel dans le dernier mode, dit « Wavefront ». Celui-ci,le plus important de tous, permet de caractériser par interpolation le front d’onde de façon directe à partir desmesures du mode « Spotfield » (mode « Measured ») ou bien le modéliser à l’aide des coefficients de Zernike(« Reconstructed ») afin d’éliminer le bruit et de lisser sa forme. Cette dernière permet de déterminer si le faisceauest collimaté (cf. figure 3.16a), divergent (3.16b) ou convergent (3.16c). La fidélité de sa représentation dans lelogiciel est conditionnée par la taille relative de l’ouverture de l’objectif du Shack-Hartmann et par la puissancereçue par le capteur — d’où l’usage du filtre F2.

Le logiciel permet également de calculer, entre autres données statistiques, l’écart entre les extremums dufront d’onde (ou PV pour peak-to-valley) et sa moyenne quadratique (ou RMS pour root mean square), pouvantêtre mesurés en micromètres ou en longueurs d’onde λ. Ces deux données nous permettent de comparerquantitativement l’effet de nos hologrammes vis-à-vis d’une valeur recherchée du PV fixée à 0, 25λ.

Les formes de front d’onde représentées sur la figure 3.16 sont des exemples causés par le placement de lalentille L2 de telle façon à ce que le coupleur C2 soit à sa distance focale, en deçà ou au delà. Afin de faciliterles mesures, nous avons arbitrairement choisi de la placer dans la première configuration afin d’observer lesdéformations du front d’onde par rapport à un front plat, et de chercher à obtenir un tel front d’onde. En effet,

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3.5. CORRECTION DE LA DÉFORMATION DU FRONT D’ONDE

(a) d = fL2

Fibre monomode

L2Front d’onde plan

Shack-Hartmann

Mesure

(b) d < fL2

Front d’onde spherique

Faisceau divergent

(c) d > fL2

Front d’onde spherique

Faisceau convergent

FIGURE 3.16 – Impact de la distance relative d entre la lentille L2 et de la sortie de la fibre (correspondant aucoupleur C2) sur le faisceau et la forme du front d’onde, tel qu’observé en mode « Wavefront » grâce au logicieldu Shack-Hartmann.

puisque le SLM induisent une aberration systématique du front d’onde [8], à supposer que celle-ci soit analogueà l’effet d’une lentille, cette aberration et l’effet de L2 pourraient être perçus comme causés par L2 seule et nonpar le SLM et L2 conjointement. Il en va de même pour tout élément optique entre L2 et le SLM, mais aussi pourLF2 — et c’est pourquoi, dans un premier temps, nous ne l’avons pas mis en place car elle est convergente.

Des premières observations ont mis en évidence un front d’onde très fluctuant et une mesure très sensibleaux vis de réglage du Shack-Hartmann ; nous avons donc réalisé toutes nos observations par moyennage continudes 10 dernières mesures réalisées. En outre, le logiciel de mesure du front d’onde permet de définir un frontd’onde mesuré comme référence pour toute mesure ultérieure ; nous avons dès lors quantifié l’impact de cellecalibration sur le PV et le RMS (voir tableau 3.1) et figure 3.17). Cet impact est moindre que celui obtenu par lefabricant, mais ses mesures ont été effectuées à l’aide d’un interféromètre de Michelson à la température de 26 ◦C,et non pas avec un Shack-Hartmann à 19 ◦C.

Calibration PV [λ] RMS [λ]

Fabricant Par défaut 4,54 0,80Manuelle 0,31 0,03

Stagiaires Par défaut 1,63 0,34Manuelle 0,72 0,11

TABLE 3.1 – Comparaison des valeurs du PV et du RMS obtenu par le fabricant (λ = 795 nm) et par les auteursdu présent rapport (λ = 830 nm), pour un front d’onde mesuré sans hologramme, avec deux types de calibration.

3.5.2 Observation de la déformation du front par un hologramme simple

Avant d’expérimenter quelques méthodes de correction du front d’onde, nous avons procédé à des observa-tions préliminaires de déformations induites par des hologrammes simples, avec et sans le télescope inversé afind’étudier et de comparer l’effet de celui-ci sur la forme du front d’onde de notre laser.

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3.5. CORRECTION DE LA DÉFORMATION DU FRONT D’ONDE

Sans télescope inversé

Méthodologie Afin de mettre en évidence les déformations causées par les éléments du montage et l’impactexact d’un hologramme sur le front d’onde, nous avons mesuré sa forme avant et après son application puiseffectué une soustraction des deux. Le front d’onde nous ayant servi de référence est celui sans hologramme etaprès calibration manuelle de la figure 3.17b. Les effets d’une vingtaine d’hologrammes ont été observés, dont lestrois plus significatifs sont représentés sur les figures 3.18 à 3.20. Les mesures correspondant en termes de PV etde RMS sont consignées dans le tableau 3.2a.

Observations On peut observer sur les figures 3.18c, 3.19c et 3.20c que l’impact sur le front d’onde deshologrammes correspondants reprend leurs formes et motifs, non sans déformations et aberrations que l’onpeut imputer aux déformations induites par l’ensemble des éléments optiques situés entre le SLM et le Shack-Hartmann. Si l’impact en termes de PV et de RMS n’est pas négligeable par rapport au front d’onde sanshologramme, les caractéristiques du front obtenu avec hologramme n’en diffèrent que trop peu (cf. tableau 3.2a).Ces résultats sont tout de même biaisés d’une part par l’absence d’informations sur le front pour certainesmicrolentilles, et d’autre part par le choix d’une calibration par rapport à un front qui est censé être celui à aplanir.Autre observation notable : l’hologramme de la figure 3.20a se détache des deux dans la mesure où l’axe dudégradé de phase n’est pas identique pour l’hologramme et son impact.

Nous avons également observé l’effet d’hologrammes analogues à celui de la figure 3.18a dont la frontièrerectiligne entre les deux phases était horizontale ou verticale, et placée à différents emplacements. En observantson frontière sur le front d’onde, nous avons estimé que le faisceau était affecté par l’hologramme du SLM surune zone situé entre 310 et 460 px en largeur et entre 220 et 370 px en hauteur sur la surface du SLM. Connaissantla résolution de ce dernier, nous en avons déduit une largeur du faisceau d’approximativement 3 mm, dontl’ordre de grandeur est conforme à celui estimé par la méthode de la lame de rasoir. En conséquence, toutetentative d’aplatissement du front d’onde ne sera efficiente que si l’hologramme s’insère dans la zone à aplanir,et dont la taille correspond au front mesuré par le Shack-Hartmann.

Hologramme Front PV [µm] RMS [µm]

Sans Fig. 3.17 0,60 0,09

3.18a 3.18b 0,80 0,133.19a 3.19b 0,45 0,083.20a 3.20b 0,44 0,08

Impact3.18c 0,45 0,153.19c 0,32 0,063.20c 0,37 0,06

(a) Données sans télescope inversé, pour les figures 3.18à 3.20.

Hologramme Front PV [µm] RMS [µm]

Sans Fig. 3.21 1,36 0,28

3.22a 3.22b 1,35 0,253.23a 3.23b 1,43 0,293.24a 3.24b 1,43 0,303.25a 3.25b 1,51 0,32

Impact

3.22c 0,42 0,093.23c 0,61 0,143.24c 0,29 0,053.25c 0,86 0,16

(b) Données avec télescope inversé, pour les figures 3.22à 3.25.

TABLE 3.2 – Comparaison du PV et du RMS du front d’onde (avec ou sans télescope inversé), modifié parun hologramme, et des mêmes critères pour l’impact seul des hologrammes, par rapport au front d’onde sanshologramme. « Pour rappel : λ = 0,83 µm

Avec le télescope inversé

Dans cette perspective, nous avons ensuite augmenté la taille du faisceau à l’aide d’un télescope afin utiliserl’ensemble de la surface du SLM, en ajustement le grandissement du front d’onde pour que sa taille mesuréeau niveau du Shack-Hartmann et celle de l’hologramme censé corriger sa forme coïncident. Cela a égalementpermis d’acquérir des données sur le front pour la totalité des microlentilles du Shack-Hartmann, en conjonctionde la modification de son ouverture et du passage à sa calibration par défaut. Le front d’onde ainsi obtenu sanshologramme est représenté sur la figure 3.21 avec une calibration par défaut, et les effets des quatre hologrammesles plus significatifs sont représentés sur les figures 3.22 à 3.25. Les mesures correspondant en termes de PV et deRMS sont consignées dans le tableau 3.2b.

Observations Les résultats (cf. tableau 3.2b) sont analogues à ceux obtenus sans télescope inversé et avec unecalibration manuelle : le PV et le RMS d’un front modifié par un hologramme ne sont modifiés que de tout auplus 0,15 µm (pour l’hologramme de la figure 3.25a) alors même que l’impact (local) des hologrammes est de

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3.5. CORRECTION DE LA DÉFORMATION DU FRONT D’ONDE

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

(a) Calibration par défaut.

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

(b) Calibration manuelle.

FIGURE 3.17 – Front d’onde mesuré avec deux types de calibration. Les zones bleu nuit correspondent à desmicrolentilles sans mesure du front d’onde du fait d’une ouverture d’objectif trop petite. La taille de l’ouverturea été légèrement modifiée entre les deux mesures.

(a) Hologramme.

10 20 30

5

10

15

20

25−0.4

−0.2

0

0.2

(b) Woutc

10 20 30

5

10

15

20

25 0

0.1

0.2

0.3

(c) Impact effectif.

FIGURE 3.18 – Résultats de l’affichage d’un hologramme dont les moitiés comportent des phases valant 0.5πet 1.5π, sans lentille LF2, avec calibration. Déviation par rapport au front d’onde de référence mesurée enmicromètres. Abscisse et ordonnée : position de la microlentille au sein de la grille de microlentilles.

(a) Hologramme.

10 20 30

5

10

15

20

25−0.1

0

0.1

0.2

0.3

(b) Woutc

10 20 30

5

10

15

20

25 −0.1

0

0.1

(c) Impact effectif.

FIGURE 3.19 – Résultats de l’affichage d’un hologramme en forme de damier, sans lentille LF2. Déviation parrapport au front d’onde de référence mesurée en micromètres. Abscisse et ordonnée : position de la microlentilleau sein de la grille de microlentilles.

(a) Hologramme.

10 20 30

5

10

15

20

250

0.1

0.2

0.3

0.4

(b) Woutc

10 20 30

5

10

15

20

25 −0.2

−0.1

0

0.1

(c) Impact effectif.

FIGURE 3.20 – Résultats de l’affichage d’un dégradé horizontal couvrant des phases de 0 à 2π, sans lentille LF2.Déviation par rapport au front d’onde de référence mesurée en micromètres. Abscisse et ordonnée : position dela microlentille au sein de la grille de microlentilles.

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3.5. CORRECTION DE LA DÉFORMATION DU FRONT D’ONDE

0,29 µm au minimum (pour l’hologramme de la figure 3.24a). Ce dernier ne présente d’ailleurs plus de formeanalogue à celui-ci de l’hologramme correspondant.

3.5.3 Correction de la déformation du SLM

Suite à ces observations, nous avons procédé à de premiers essais quant à la correction du front d’onde,essais qui, faute de temps, n’auront pu se concrétiser. Nous avons exploré deux pistes : une transformation de ladéformation mesurée en hologramme de phase, et une application de l’algorithme de Gerchberg-Saxton.

Transformation de la déformation en hologramme

La première piste consiste en une mesure de Woutc à l’aide du Shack-Hartmann, suivi d’une création sous

MATLAB d’une matrice correspondant à l’opposée de cette mesure de telle façon à obtenir un hologramme dephase reprenant la forme du front d’onde. On applique ensuite cet hologramme avant d’en observer l’impact.

En transformant en hologramme l’opposée de Woutc , mesurée sans lentille LF2 en mode « Reconstructed »

après calibration manuelle, on observe très peu d’impact sur le PV du front d’onde (0,09 µm). Nous avons par lasuite tenté d’observer l’impact de la modification la courbe des valeurs de gris de l’hologramme obtenu et ainsila répartition des phases associées en appliquant une fonction donnée à l’ensemble de la déformation avant deramener proportionnellement ses valeurs entre 0 et 255. Pour les fonctions « puissance », cette méthode n’estque d’une efficacité limitée, se limitant à un PV de 0,35 µm qui ne diminue pas au delà de la puissance 3. Siun tel début reste néanmoins encourageant, l’exploration de toutes les fonctions élémentaires (exponentielles,logarithmes, polynômes) voire de combinaisons de fonctions aurait nécessité un temps considérable.

Nous avons également appliqué cette même méthode avec une reconstruction du front d’onde à l’aide descoefficients de Zernike (permettant de lisser la forme du front d’onde mesuré et de se débarrasser du bruit), sansplus d’impact sur le front d’onde qu’à l’usage de Wout

c . Une variante de cette méthode a itérativement consistéen la mesure de Wout

c puis l’affichage de −Woutc en tant qu’hologramme — autrement dit en une modification

manuelle et « en temps réel » de l’hologramme connaissant le front d’onde — mais cela n’a entraîné qu’une faiblediminution du PV du front d’onde, tout au plus de 0,04 µm.

Les derniers tests ont consisté en l’installation de la lentille LF2, en dépit des conséquences attendues de laconvergence du faisceau sur le PV du front d’onde ; celui-ci a conséquemment grimpé à approximativement 150λ.En contrepartie, l’application de Wout

c en tant qu’hologramme a permis un effet (positif) à hauteur de 20λ pour lePV du front, à hauteur de 100λ pour le PV de l’hologramme seul. Cette méthode n’est toutefois qu’empirique,sans justification théorique.

Application de l’algorithme de Gerchberg-Saxton

La seconde piste explorée a été de déduire la phase φoutc au niveau de la caméra CCD [9, 10] en utilisant

la relation φoutc = k ·Wout

c , sans lentille LF2, et avec une calibration par défaut. On mesure ensuite Ioutc afin de

pouvoir effectuer une transformation de Fourier inverse de Eoutc =

√Ioutc e−iφout

c ; autrement dit, on effectuela moitié d’une itération de la boucle de l’algorithme de Gerchberg-Saxton (cf. liste 3.7) en ayant initialisé lechamp Eout

0 comme valant Eoutc .

Une variante a été de faire usage de la totalité de ladite boucle en posant φout0 = φout

c , mais l’hologramme φholo

en résultant était identique pour p = 1. Pour tout p supérieur à 1, nous avons constaté un « zoom » au centre del’hologramme sans convergence apparente. Après application, aucun des hologrammes obtenus ne se distin-guaient en termes de PV et de RMS du front d’onde, par rapport à celui obtenu par une simple transformée deFourier inverse. D’autres variantes ont été testées en changeant au sein de la boucle le signe de φin

n et/ou de φoutn ,

avec un résultat identique à la première variante, à ceci près que l’application des hologrammes n’a entrainéqu’une augmentation du PV et du RMS du front d’onde.

5 10 15 20 25 30 35

5

10

15

20

25−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

FIGURE 3.21 – Front d’onde mesuré sans hologramme, avec une calibration par défaut et une ouverture permettantl’acquisition de données sur l’ensemble du capteur du Shack-Hartmann.

30

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3.5. CORRECTION DE LA DÉFORMATION DU FRONT D’ONDE

(a) Hologramme.

10 20 30

5

10

15

20

25−1

−0.5

0

(b) Woutc

10 20 30

5

10

15

20

25−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

(c) Impact effectif.

FIGURE 3.22 – Résultats de l’affichage d’un hologramme dont les moitiés comportent des phases valant 0.5πet 1.5π, sans lentille LF2, avec calibration. Déviation par rapport au front d’onde de référence mesurée enmicromètres. Abscisse et ordonnée : position de la microlentille au sein de la grille de microlentilles.

(a) Hologramme.

10 20 30

5

10

15

20

25−1

−0.5

0

(b) Woutc

10 20 30

5

10

15

20

25 −0.2

0

0.2

(c) Impact effectif.

FIGURE 3.23 – Résultats de l’affichage d’un hologramme en forme de damier, sans lentille LF2. Déviation parrapport au front d’onde de référence mesurée en micromètres. Abscisse et ordonnée : position de la microlentilleau sein de la grille de microlentilles.

(a) Hologramme.

10 20 30

5

10

15

20

25−1

−0.5

0

(b) Woutc

10 20 30

5

10

15

20

25 −0.1

0

0.1

(c) Impact effectif.

FIGURE 3.24 – Résultats de l’affichage d’un dégradé horizontal couvrant des phases de 0 à 2π, sans lentille LF2.Déviation par rapport au front d’onde de référence mesurée en micromètres. Abscisse et ordonnée : position dela microlentille au sein de la grille de microlentilles.

(a) Hologramme.

10 20 30

5

10

15

20

25

−1

−0.5

0

(b) Woutc

10 20 30

5

10

15

20

25 −0.2

0

0.2

0.4

(c) Impact effectif.

FIGURE 3.25 – Résultats de l’affichage d’un dégradé circulaire couvrant des phases de 0 à 2π, sans lentille LF2.Déviation par rapport au front d’onde de référence mesurée en micromètres. Abscisse et ordonnée : position dela microlentille au sein de la grille de microlentilles.

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3.6. DISCUSSION ET BILAN DES RÉSULTATS FINALS

3.6 Discussion et bilan des résultats finals

Les résultats obtenus en fin de stage sont satisfaisants pour l’un des aspects, et insatisfaisants pour l’autre.La figure de diffraction obtenue à l’aide de l’algorithme est très correcte, et le temps nécessaire au calcul del’hologramme est relativement court (environ 10 secondes). Les résultats sont conformes aux attentes en début destage, et l’algorithme implémenté est fiable bien qu’il pourrait bénéficier de quelques améliorations. En revanche,l’étude relative à l’aplatissement du front d’onde n’est qu’incomplète, et ses résultats, insatisfaisants, ne sont quedes pistes à explorer à partir de mesures préliminaires Il sera tout de même possible de poursuivre les recherchesà partir de ceux-ci. Certaines améliorations sont d’ailleurs possibles au niveau du montage afin de le rendre plusprécis et efficace.

3.6.1 Perspectives de poursuite de la correction du front d’onde

Pour ce qui relève du front d’onde, le plus important reste de déterminer la valeur des facteurs d’échelleen terme de phase et de taille de l’hologramme afin d’optimiser son impact sur le front d’onde, de façon àeffectivement diminuer les valeurs du PV et du RMS. Une méthode de correction faisant usage d’un hologrammeanalogue à celui de la figure 3.25a pourrait également être testée [11].

S’il serait possible d’acquérir des mesures à partir du Shack-Hartmann en le contrôlant par MATLAB, il seraitutile de mettre en place un algorithme de correction en temps réel, analogue à celui tenté dans la section 3.4.1pour la figure de diffraction. Une telle modification pourrait permettre d’observer les effets de la correction de ladéformation du front d’onde sur la qualité des figures de diffraction, puis de combiner ladite correction avecl’algorithme de Gerchberg-Saxton.

3.6.2 Perspectives d’amélioration de l’algorithme

En ce qui concerne ce dernier, il doit encore être modifié afin de pouvoir :

— Placer la figure « f » de diffraction recherchée ailleurs qu’au centre de l’image « c » si elle n’est pas symétriquepar rapport son l’origine ;

— Afficher proprement l’hologramme sur l’écran 2 plutôt que par la manipulation des listes 3.2 et 3.8 ;

— Tester l’intégration au sein de la boucle de la binairisation de l’hologramme plutôt qu’en sortie ;

— Remplacer la boucle for par une boucle while dotée d’un critère d’erreur ;

— Rechercher une taille et une proportion optimale pour l’image et la figure « f » via un critère mathématiqueà déterminer (avec ou sans binairisation en fin d’algorithme) ;

— Optimiser la répartition de l’intensité pour éviter d’obtenir un ordre zéro de diffraction aussi intense, enfaisant par exemple usage de Voronoi diagrams [7, 12] ;

À plus long terme, et pour des montages disposant de plus de surface, il pourra être judicieux de répéter ladiffraction une deuxième fois sur le même SLM en modifiant le montage [13].

32

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Chapitre 4

Conclusion

Nous voici arrivés à la fin. Au cours de ces deux mois de travail, un montage expérimental ainsi qu’une étudethéorique des différentes notions nécessaires à l’accomplissement de notre projet ont été effectuées. Ayant reçuen début de stage une aide importante des différents membres du laboratoire, nous avons été initialement guidéstout en maintenant une autonomie nécessaire pour accomplir nos tâches quotidiennes.

Cette expérience a été une véritable découverte du type de travail pratiqué dans le monde de la recherche,bien au delà d’une simple observation. Savoir penser une expérience, la monter et la produire à partir de rien,la faire évoluer et en voir les résultats est une étape importante si l’on souhaite en faire son métier. Ce type detravail requiert patience, ingéniosité, grande organisation. Patience du fait d’une progression à tâtonnement (lorsdu couplage de la fibre et de l’écriture de l’algorithme) et parfois sans réel indice sur la poursuite du travail aprèsla complétion d’un objectif ; ingéniosité afin de parvenir à avancer dans une telle situation et pour contournercertaines limites expérimentales ; organisation du fait de devoir constamment consigner le travail réalisé. Il nousa fallu donner un sens aux innombrables données expérimentales (statistiques, nombres, caractéristiques desappareils et éléments, graphiques, etc.) ainsi conservées, qui ont parfois pu être totalement absconses. Diversesdifficultés se sont présentées à nous, d’ordre pratique et théorique, difficultés que l’on a su résoudre, à défautcontourner.

Au final, le travail qui a été produit est loin d’égaler ce à quoi nous nous attendions. Les vrais objectifs de notrestage ont été compris au fur et à mesure de son avancement — particulièrement au cours de multiples recherchesbibliographiques —, accompagnant la lente compréhension des divers phénomènes physiques auxquels nousnous sommes confrontés. Cette expérience qui a requis s’est révélée être une vrai parcours intellectuel bâti surdes hypothèses qui n’étaient absolument pas évidentes au début. Nos débats, notre lente avancée (à reculonscertaines fois) et nos idées sont symboliques du travail que nous avons effectué et de notre effort.

Notre travail a également été l’occasion de développer et acquérir des compétences connexes qui serontgrandement utiles à l’avenir : informatique, physique numérique et usage de MATLAB, bureautique, gestionbibliographique, usage de LATEX, pratique de l’anglais, etc. De surcroît, ces deux mois auront permis d’observer,de comprendre et de quelque peu participer à la vie d’un laboratoire de recherche : réunions, présentations etdiscussions autour des avancées du travail de chacun, soutenances de thèse, arrivées et départs de stagiaireset/ou de thésards. . .

Cette expérience aura un impact important sur nos avenirs respectifs, ne serait-ce qu’en termes d’orientationscientifique, académique et d’apport de connaissances théoriques et de savoir-faire expérimentaux. Le monde dela recherche est vaste — nous n’en avons eu qu’un aperçu ; s’il reste encore beaucoup de choses à son sujet quinous sont inconnues, nous avons hâte d’en avoir connaissance.

33

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Annexes

A Ondes électromagnétiques

Une onde lumineuse est une onde électromagnétique, forme prise par les perturbations de l’espace engendréespar un champ électromagnétique. Ce champ est descriptible à l’aide des équations de Maxwell, qui, dans leurforme locale pour un milieu continu que l’on suppose linéaire, homogène et isotrope, ont pour expression

∇·D = ρ (A.1a)∇· B = 0 (A.1b)

∇× E = −∂B∂t

(A.1c)

∇×H = j +∂D∂t

(A.1d)

avec D le vecteur déplacement électrique, E le vecteur champ électrique, B le vecteur induction magnétique,et H le vecteur champ magnétique (tous implicitement fonctions de la position r et du temps t), et avec µla perméabilité magnétique du milieu et ε sa permittivité diélectrique. Ces caractéristiques sont considéréesconstantes en tout point du milieu car celui-ci est homogène.

En faisant l’hypothèse supplémentaire d’un milieu diélectrique (à l’image de l’air des salles de manipulationsdu LKB), les relations entre ces caractéristiques se résument à D = ε E et B = µ H. On peut démontrer qu’àces équations sont associées les équations de propagation, ou équations de D’Alembert, qui, dans un milieu sanscharges ni courants (ρ = 0 et j = 0), ont pour forme

∆E− µε∂2E∂t2 = 0 (A.2a)

∆H − µε∂2H∂t2 = 0 . (A.2b)

Les hypothèses sur le milieu impliquent ainsi que les équations de Maxwell prennent la même forme quedans le vide (à la différence près que permittivité et perméabilité n’y ont pas les mêmes valeurs), avec les mêmesconséquences sur la forme des solutions des équations de D’Alembert qui est celle des ondes planes harmoniques.Celles-ci ont pour expression

u(r, t) = ei(k·r−ωt) = eiφ(r,t) . (A.3)

Cette onde a pour phase φ, pour pulsation ω et pour vecteur d’onde k. Son équation permet de définir Het E par produit avec une amplitude A (fonction de r et/ou de t) telle que, si son module ‖A‖ est le module del’amplitude de E, celle de H est donnée par

‖A‖ = ‖H‖µ2ε2 . (A.4)

À un instant t donné, les surfaces joignant tous les points de l’espace perturbés et de même phase sontappelées fronts d’onde [2]. Puisque ces ondes se propageant dans un espace régi par des équations de Maxwell demême forme que dans le vide, on peut démontrer qu’elles sont transversales : la perturbation associée s’effectue, enthéorie, dans un plan normal à la direction de propagation, elle-même dirigée selon k. Une autre caractéristiquenotable relève de leur cohérence : une source parfaitement monochromatique serait dite cohérente spatialement(sa largeur de cohérence comprenant l’ensemble des longueurs d’ondes émises serait nulle) et temporellement (ladurée durant laquelle l’onde aurait exactement la forme d’une sinusoïde serait infinie). En pratique, ce type desource n’existe pas, alors même qu’une cohérence temporelle suffisante conditionne l’observation du phénomènede diffraction.

i

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B Loi normale et fonction d’erreur de Gauss à deux dimensions

À la loi de probabilité normale est associée une densité de probabilité f et une fonction de répartition Φ. Pourtout x appartenant à R, d’espérance µ et de variance σ2, f a pour expression

f (x) =1

σ√

2πe−2( x−µ

σ )2

. (B.1)

Pour tout x appartenant à R, Φ a pour expression

Φ(u) =1

σ√

∫ u

−∞e−2( x−µ

σ )2

dx . (B.2)

Il existe également la fonction d’erreur de Gauss, définie par la relation

erf(u) =2√π

∫ u

0e−x2

dx . (B.3)

La fonction d’erreur complémentaire de Gauss est simplement définie par

erfc(u) = 1− erf(u) . (B.4)

Si µ = 0 (auquel cas u est une variable centrée) et si σ = 1 (auquel cas x est une variable réduite), la fonctiond’erreur est liée à la fonction de répartition de la loi normale par la relation

Φ(u) =1√2π

∫ u

−∞e−

x22 dx =

12

(1 + erf

(u√2

)). (B.5)

C Photographies du montage expérimental

(a) Vue globale du montage expérimental, hormis l’ordinateur,le boîtier CTRL SLM et les écrans.

(b) Vue du SLM (partie noire et surface réfléchis-sante) sur sa monture.

FIGURE C.1

ii

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FIGURE C.2 – Vue du montage comprenant : cache pour le Shack-Hartmann, flip-mirror rabaissé, photo-diode,filtre F1, lentille LF1, cube séparateur, lentille LT1 et miroirs.

FIGURE C.3 – Vue du montage comprenant : fibre optique, coupleur C2, lame λ2 , lentille L2, flip-mirror, photo-

diode, filtre F1, Shack-Hartmann, capteur CCD, lentille LF1, cube séparateur, lentille LT2, lentille LT1 et miroirs.

iii

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Bibliographie

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[2] Eugene HECHT. Optique. Trad. par Sébastien MATTE LA FAVEUR, Jean-Louis MEYZONNETTE et Pierre LÉNA.4e. T. 1. Paris, France : Pearson Education, 2005. 715 p. ISBN : 2-7440-7063-7 (cf. p. 3, i).

[3] R. W. GERCHBERG et W. O. SAXTON. « A practical algorithm for the determination of phase from imageand diffraction plane pictures ». Dans : Optik 35 (1972), p. 237–246 (cf. p. 4).

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[7] Céline BENOIT-PASANAU et al. « Minimization of diffraction peaks of spatial light modulators usingVoronoi diagrams ». Dans : Optics Express 18.14 (1er juil. 2010). 13 pages, p. 15223. DOI : 10.1364/OE.18.015223 (cf. p. 23, 32).

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[9] Max BORN et Emil WOLF. Principles of optics : electromagnetic theory of propagation, interference and diffractionof light. 7th. Cambridge ; New York : Cambridge University Press, 1999. ISBN : 0521642221 97805216422240521639212 9780521639217 (cf. p. 30).

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[11] A. JESACHER et al. « Wavefront correction of spatial light modulators using an optical vortex image ».Dans : Optics Express 15.9 (2007), p. 5801–5808. DOI : 10.1364/OE.15.005801 (cf. p. 32).

[12] Céline BENOIT-PASANAU et al. « Reducing the diffraction artifacts while implementing a phase function ona spatial light modulator ». Dans : Applied Optics 50.9 (27 jan. 2011), p. 509–518. DOI : 10.1364/AO.50.000509(cf. p. 32).

[13] Alexander JESACHER et al. « Near-perfect hologram reconstruction with a spatial light modulator ». Dans :Optics Express 16.4 (11 fév. 2008), p. 2597. ISSN : 1094-4087. DOI : 10.1364/OE.16.002597 (cf. p. 32).

iv