modélisation et commande de la machine à courant...

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE LARBI BEN M’HIDI OUM EL BOUAGHI

FACULTE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE

FILIERE DE GENIE ELCTRIQUE

Mémoire de fin d’étude en vue de l’obtention du diplôme de Master

Spécialité : Informatique industriel

THEME

Encadré par:

G. Debbache

Réalisé par:

Remadi Fouad

Siouane Abdelaziz

Promotion: 2011/2012

Modélisation et commande de la machine à

courant continu

Remerciement

Nous souhaiterions tout d’abord adresser nos sincères remerciements à Madame

Debbache le responsable du projet fin d’étude. Elle m’a fait bénéficier de ses conseils

et ses encouragements ont permis à ce travail d’aboutir.

Nous tenons également à remercier vivement tous les enseignants qui sont enseignés

nous durant notre formation universitaire.

Je remercie dieu pour m’avoir donné le courage et la force, et m’avoir aidé tout le

long de ce parcoure pour réaliser ce modeste travail

Mes vifs remerciements vont à ma famille essentiellement mon Père et ma Mère , mes

Frère mes sœurs pour son soutient moral.

A touts mes amis et camarades et les filles de notre classe.

Et je présente un grand remerciement à toute personne ayant contribué, de près ou de

loin à l’aboutissement de ce travail, tout particulièrement tous les enseignants et les

membres des laboratoires d’électrotechnique.

Fouad

A ma mère, mes sœurs, mes frères et tout ma familles.

A mes amis Farouk, Hamza, Ramzi, Bilal...

A mon camarade Othmani Bachir.

A tous les gens qui sont connue mois.

A mes camarades à la classe de 2ème

Master informatique industriel

A tous les enseignants de notre faculté.

Personnellement à vous Madame Debbache

Aziz

Sommaire

Introduction générale…………………………………………………………………….1

CHAPITRE 1:Description et modélisation de la machine à C.C

I.1. INTRODUCTION………………………………………………………...……………...…………3

I.2. DESCRIPTION D'UN MOTEUR A COURANT CONTINU…………………………………...…3

I.3. MODES D'EXCITATION………………………………………………………………………….5

I.4. MODELISATION MATHEMATIQUE D'UN MCC…………………………………...………….8

I.5. PARAMETRES DE LA MACHINE UTILISEE………………………………………………….10

I.6. ETUDE EN BOUCLE OUVERTE………………………………………………………………..11

I.7. CONCLUSION……………………………………………………………………………………13

CHAPITRE 2: Commande par placement de pôles de la machine CC

II.1. INTRODUCTION………………………………………………………………………………...14

II.2. CONDITIONS D'APPLICATION………………………………………………………………..14

II.3. COMMANDE PAR PLACEMENT DES POLES…………………………………………….…15

II.4. PLACEMENT DE POLES PLUS ACTION INTEGRALE……………………………………...18

II.5. PLACEMENT DE POLES AVEC OBSERVATEURS……………………………………….....22

II.6. CONCLUSION…………………………………………………………………………………...33

CHAPITRE 3: Commandes LQR et LQG de la machine CC

III.1. INTRODUCTION……………………………………………………………………………….34

III.2. COMMANDE LQR……………………………………………………………………………...34

III.3. COMMANDE LQG…………………………………………………………………………..…39

III.4. CONCLUSION…………………………………………………………………………………..47

Conclusion générale……………………………………………………………………..48

Bibliographie……………………………………………………………………………...49

Liste de Figure

Figure Page

CHAPITRE 1 :

Description et modélisation de la machine à C.C

Figure (1.1): (a) image, (b) schéma d’un moteur à courant continu 4

Figure (1.2): Modèle électrique équivalent du rotor du MCC.

4

Figure (1.3): Modèle électrique équivalent du stator du MCC.

5

Figure (1.4) : Modèle électrique équivalent du MCC à excitation série.

5

Figure (1.5) : Modèle électrique équivalent du MCC à excitation shunte.

6

Figure(1.6): Modèle électrique équivalent du MCC à excitation composée. 7

Figure (1.7) : Modélisation électrique d’un moteur CC à excitation séparée. 8

Figure (1.8): Schéma électrique d'une machine à excitation séparée. 8

Figure (1.9) : Réponse en boucle ouverte de la machine CC avec Cr=0. 12

Figure (1.10) : Réponse en boucle ouverte de la machine CC avec Cr=10N.m. 12

CHAPITRE 2 :

Commande par placement de pôles de la machine

CC

Figure (2.1) : Schéma de principe de la commande par retour d'état de la machine CC. 14

Figure (2.2.) : Principe du placement de pôles. 15

Figure (2.3.) : Performances du MCC avec placement de pôles et Cr=0. 17

Figure (2.4.) : Performances du MCC avec placement de pôles et Cr=10 18

Figure (2.5): Schéma de principe de la commande par retour d'état de la machine CC. 18

Figure (2.6): Performances du MCC avec placement de pôles intégral et Cr=0. 20



Figure (2.9): MCC avec placement de pôles intégral et Observateur d'ordre complet 24

Figure (2.10): Performances du MCC avec observateur d'ordre complet et Cr=0. 25

Figure (2.11): Performances du MCC avec observateur d'ordre complet et Cr=10. 26

Figure (2.12):Performances du MCC avec observateur d'ordre complet et bruit de mesure. 27

Figure (2.13): Performances du MCC avec observateur d'ordre réduit et Cr=0. 30

Figure (2.14): Performances du MCC avec observateur d'ordre réduit et Cr=10. 31

Figure (2.15): Performances du MCC avec observateur d'ordre réduit et bruit de mesure. 32

CHAPITRE 3 :

Commandes LQR et LQG de la machine CC

Figure (3.1): Performances du MCC avec LQR et Cr=0. 37

Figure (3.2): Performances du MCC avec LQR et Cr=10. 37

Figure (3.3): Performances du MCC avec LQR + I et Cr=10. 39

Figure (3.4): Performances du MCC avec LQG et Cr=0. 43

Figure (3.5): Performances du MCC avec LQG + I et Cr=10. 44

Figure (3.6): Performances du MCC LQR+I avec observateur d'ordre complet et Cr=0. 45

Figure (3.7): Performances du MCC LQR+I avec observateur d'ordre complet et Cr=10. 46

Introduction générale


1


Plus de précision, grande plage de variation de vitesse, facilité de commande avec le

moindre coût possible, c’est ce qui est exigé par le marché actuel de l’industrie.

Les machines à courant alternatif, synchrone ou asynchrone, utilisées de façon

conventionnelle, se prêtent bien à des applications où la vitesse est à peu près constante. La

machine à courant continu est plus facile à régler lorsque la vitesse doit varier sur une grande

plage. En effet, la machine à courant alternatif requiert une commande beaucoup plus

complexe pour réaliser un entraînement à vitesse variable et le convertisseur doit fournir une

tension alternative d’amplitude et de fréquence variable. Ces inconvénients réduisent donc

son attrait dans les applications à vitesse variable, malgré les avantages qu’elle possède sur la

machine à courant continu : robustesse et coût moindre, grâce à l’absence de collecteur, poids

réduit.

L'objectif de ce travail est d'appliquer trois techniques de la commande dans l'espace

d'état, à savoir, la commande par placement de pôles, la commande linéaire quadratique

(LQR) et la commande linéaire quadratique gaussienne (LQG) sur la machine à courant

continu. En considérant dans un premier temps que tous les états sont mesurés, dans un

deuxième temps, pour éviter la mesure de tous les états, nous introduisons un observateur

pour estimer les états non mesurables.

Le présent mémoire est organisé comme suit:

dans le premier chapitre, nous présenterons le principe de fonctionnement de la

machine à courant continu. Ensuite, nous décrirons la modélisation de la machine CC à

excitation séparée. L'analyse de stabilité et la réponse de la machine CC en boucle ouverte

sont étudiées à la fin du chapitre.

Dans le deuxième chapitre, nous commencerons par décrire la première technique de

commande par retour d'état, qui est, la commande par placement de pôles, ainsi que les

conditions nécessaires de son application. Ensuite, la commande par placement de pôle est

appliquée à la machine CC pour assurer le suivi d'une consigne en présence et en absence d'un

couple de charge. Nous considérerons deux cas: Premièrement, nous considérerons que tous


2

les états sont mesurés. Deuxièmement, afin d'éliminer la nécessité de mesurer tous les états,

nous introduirons deux types d'observateurs, à savoir, observateurs d'ordre complet qui

permet d'estimer tous les états, et observateur d'ordre réduit qui estime uniquement les états

non mesurés. Pour éliminer l'effet du couple de charge qui entre comme une perturbation,

nous introduirons un intégrateur dans le système.

Dans le troisième chapitre, nous décrirons deux techniques de commande, à savoir, la

commande linéaire quadratique (LQR) et la commande linéaire quadratique gaussienne

(LQG). Cette dernière utilise un filtre de Kalman qui permet d'éliminer l'effet du bruit de

mesure. L'application de ces deux techniques à la machine CC est étudiée. Ensuite, Pour

éliminer l'effet du couple de charge, nous appliquerons les commandes LQR et LQG au

système augmenté par l'introduction de l'action intégrale.

CHAPITRE 1:Description et

modélisation de la machine

à C.C

CHAPITRE 1 Description et modélisation de la machine à C.C

3

CHAPITRE 1

Description et modélisation de la machine à C.C

1.1. INTRODUCTION :

Dans ce chapitre, nous allons décrire les principes de fonctionnement de la machine à C.C

Ensuite, nous présenterons la modélisation de la machine C.C à excitation séparée, qui le sujet

de notre étude. L'analyse des performances de la machine en terme de stabilité et dynamique de

réponse en boucle ouverte sont présentées à la fin de ce chapitre.

1.2. DESCRIPTION D'UN MOTEUR A COURANT CONTINU [1] :

Un moteur à courant continu est une machine électrique. Il s'agit d'un convertisseur

électromécanique permettant la conversion bidirectionnelle d'énergie à partir d'une installation

électrique, parcourue par un courant continu, en énergie mécanique. Un moteur électrique à

courant continu est constitué:

D'un stator qui est à l'origine de la circulation d'un flux magnétique longitudinal fixe créé

soit par des enroulements statoriques (bobinage) soit par des aimants permanents à stator,

se trouve la partie porte balais et les balais assurant les contacts électriques avec le rotor. Il

est aussi appelé inducteur.

D'un rotor bobiné relié à un collecteur rotatif inversant la polarité dans chaque enroulement

rotorique au moins une fois par tour de façon à faire circuler un flux magnétique transversal

en quadrature avec le flux statorique. Les enroulements rotoriques sont aussi appelés

enroulements d'induits, ou communément induit.


4

Figure (1.1) [1]: schéma d’un moteur à courant continu.

Le modèle électrique équivalent de l’induit est donné par la figure. (I.2), où aE représente

la force électromotrice; aL représente la self équivalente de l’enroulement d’induit; aR

représente la résistance équivalente de l’induit (résistance des fils du bobinage et résistance de

contact au niveau des balais).

Figure (1.2) [2]: Modèle électrique équivalent du rotor du MCC.


5

Le schéma électrique équivalent de l’inducteur est donné sur la figure (I.3), où fL

représente la self équivalente de l’enroulement inducteur; fR représente la résistance

équivalente de l’inducteur (résistance des fils du bobinage) [2].

Figure (1.3) [2]: Modèle électrique équivalent du stator du MCC.

1.3. MODES D'EXCITATION [2] :

Les moteurs à courant continu se différencient par la manière dont on fournit le courant

d’excitation. Les différents cas possibles sont :

1.3.1. Excitation série :

Le circuit d’excitation est placé avec l’induit du moteur. Sa particularité est d’avoir un

inducteur qui est traversé par le même courant, l’inducteur possède donc une résistance plus

faible que celle des autres types de machines. L’inducteur est en série avec l’induit : une seule

source d’alimentation suffit. On change le sens de rotation en permutant les connexions de

l’induit et de l’inducteur. Le circuit électrique est représenté par la figure (I.4).

Figure (1.4): Modèle électrique équivalent du MCC à excitation série.

Le bobinage inducteur comporte dans ce cas peu de spires, mais il est réalisé avec du fil

de gros diamètre. Cette conception lui procure une très bonne robustesse face aux vibrations et

lui a valu un succès inégalé en traction ferroviaire [2].


6

Caractéristiques[1]:

- Démarrage fréquent avec couple élevé; couple diminuant avec la vitesse.

- Ne jamais faire fonctionner le moteur série à vide car si « I = 0 A », alors « w » tend vers

l'infini.

Domaines d'emploi [1]:

Engins de levage (grues, palans, ponts roulants) ventilateurs, pompes, centrifuges; traction.

1.3.2. Excitation shunte :

L’enroulement d’excitation est connecté en parallèle sur l’alimentation du moteur, il possède

les mêmes propriétés que le moteur à excitation séparée du fait que, dans les deux cas,

l’inducteur constitue un circuit extérieur à celui de l’induit. Le circuit électrique est représenté

par la figure (1.5).

Figure (1.5) : Modèle électrique équivalent du MCC à excitation shunte.

Caractéristiques [1] :

- Couple constant quelque soit la charge.

Domaines d'emploi

- Machines outils, appareil de levage (ascenseur).

1.3.3. Excitation composée

Dans le mode composé, l’inducteur est divisé en deux parties, l’une connectée en série et

l’autre en parallèle (Figure 1.6).


7

Figure (1.6): Modèle électrique équivalent du MCC à excitation composée. L: Excitation

composée long, S: excitation composée courte (short)


- Le MCC à excitation composée réuni les avantages du série et du shunte toute en

éliminant le phénomène d’emballement du série.

- Entraînements de grande inertie.

- Couple très variable avec la vitesse.

Domaines d'emploi [2] :

- Petit moteur à démarrage direct, ventilateur, pompes, machines de laminoirs, volants

d'inertie.

1.3.4. Moteur à excitation séparée

Ce mode d’excitation nécessite deux sources d’alimentations distinctes. L’alimentation de

l’enroulement inducteur est prise sur une source indépendante de la source principale. On

change le sens de rotation en permutant les bornes de l’induit ou de l’inducteur.

Le circuit électrique est représenté par la figure (1.7).


8

Figure (1.7) : Modélisation électrique d’un moteur CC à excitation séparée.


- L'inducteur est alimenté par une source indépendante.

- Grande souplesse de commande.

- Large gamme de vitesse.

- Utilisé en milieu industriel, associé avec un variateur électronique de vitesse et surtout

sous la forme moteur d'asservissement.

- Fourni un couple important à faible vitesse.

Domaines d'emploi[2] :

- Machines outils : moteur de (broche, d'axe). Machines spéciales.

1.4. MODELISATION MATHEMATIQUE D'UN MCC [3] :

Selon le schéma de la figure (1.8), un moteur électrique à courant continu est régit par les

équations physiques découlant de ses caractéristiques électriques, mécaniques et magnétiques.

aI

aV

aL

aR fIfR

fL fVeC

aE

,J f

Figure (1.8) [3]: Schéma électrique d'une machine à excitation séparée.


9

D'après la loi de Newton, combiné à des lois de Kirchhoff, On peut écrire les équations

différentielles de premiers ordres suivantes :

Equation de l’inducteur (excitation) :

ff f f f

dIL R I Vdt

(1.1)

Equation de l’induit :

aa a a a a

dIL R I E Vdt

(1.2)

où

aE k (1.3)

avec vitesse de rotation en radians/seconde. Le flux est une fonction linéaire du courant

d'excitation:

fk MI (1.4)

Equation de couple :

On l’obtient à partir de la puissance électromagnétique :

.e a a aP C I E I k (1.5)

ce qui donne

e a f aC kI MI I (1.6)

Equation mécanique :

. e r

dJ f C Cdt

(1.7)

Où rC est le couple résistant imposé par la charge, J le moment d'inertie total (machine +

charge entraînée) et f le frottement proportionnel à la vitesse de rotation.

Position du rotor :

.

(1.8)


10

Pour la simulation de la machine on utilisera les équations suivantes :

.

.

.

..

ff f f f

aa a a f a

f a r

L I R I V

L I R I MI V

J f MI I C

(1.9)

1.5. PARAMETRES DE LA MACHINE UTILISEE :

- Puissance nominale 3500nP W

- Vitesse nominale n 1750rpm= 175060 2 183.26 rad/sec.

- aV Nominale 240V

- Courant nominal d'induit 16anI A

- fV Nominale 300V

- Résistance de l'induit 2,581aR

- Inductance de l'induit 0.028aL H

- Résistance de l'inducteur 281,3fR

- Inductance de l'inducteur 156fL H

- Inductance mutuelle 0.9483M H

- Inertie du rotor 0,02215J kg.m 2

- Cœfficient de frottement 0.002953f N.m.s

Par calcul, on retrouve:

Couple nominal

350019.1 .

183.26n

enn

PC N m

Avec un flux constant: 300f fnV V V alors 300281.30.9483 1.0113a fK MI .

D'où les équations linéaires suivantes:

.

.

..

aa a a a

a r

L I R I K V

J f KI C

(1.10)


11

Donc les équations (I.10) deviennent sous la forme d’état comme suit:

.

1

.

. 1

0 0

0 0 1 0 0

00

a

a a a

a R KaL L La

a rfKa

JJ J

II

V C

(1.11)

Avec les variables d'état: 1 ax I , 2x , 3x et au V , nous avons

.

1 11.

2 2. 1

33

0 0

0 0 1 0 0

00

a

a a a

R KaL L L

rfKa

JJ J

xx

x x u C

xx

(1.12)

1.6. ETUDE EN BOUCLE OUVERTE :

Pour voir la stabilité, en boucle ouverte, on calcule les valeurs propres :

2 2

1

2 2

2

3

1 1 1 1 1 1 4

2 2

1 1 1 1 1 1 4

2 2

0

e m e m a

e m e m a

K

J L

K

J L

avec, la constante de temps mécanique Jfm , et la constante de temps électrique a

a

LRe .

Pour le cas de la machine étudiée, nous avons le modèle linéaire suivant :

92.179 0 36.118 35.714 0

0 0 1 , 0 , 0

45.657 0 0.13332 0 45.147

dA B B

Avec les valeurs propres: 0, 24.498, 67.814 , ce qui montre que la machine est

imaginairement stable en boucle ouverte. Ce résultat est confirmé par la réponse en boucle

ouverte montrée sur la figure (1.9).

On remarque aussi que la machine est en rotation permanente, ce qui montre qu'on ne peut

imposer une position désirée à la machine en boucle ouverte.

La figure (1.10) montre que sous l'effet d'un couple de charge non nul, la machine perd de la

vitesse.


12

Figure (1.9) : Réponse en boucle ouverte de la machine CC avec Cr=0.

Figure (1.10): Réponse en boucle ouverte de la machine CC avec Cr=10N.m.

0 0.2 0.4 0.6 0.80

200

400

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

20

40

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

100

200

t (sec)

Va (

V)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

200

400

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

20

40

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

100

200

t (sec)

Va (

V)


13

1.7. CONCLUSION

Cette étude préliminaire a montré que la machine CC possède de très bonnes caractéristiques de

stabilité et de rapidité. De plus, avec l'excitation séparée, on peut contrôler indépendamment le

couple et le flux dans la machine. Néanmoins, pour des applications d'entraînement et de

positionnement (robotique, machines outils, etc.), il est nécessaire d'ajouter une structure de

commande pour assurer le suivi et la précision du positionnement désiré.

CHAPITRE 2: Commande par placement de pôles de la

machine CC

CHAPITRE 2 Commande par placement de pôles de la machine CC

14

CHAPITRE 2

Commande par placement de pôles de la machine CC

2.1. INTRODUCTION

Afin d'assurer de meilleures performances pour la machine CC, dans ce chapitre, nous

présenterons une technique de commande retour d'état (figure (II.1)), à savoir, la commande par

placement de pôles. Cette technique permettra le suivi d'une consigne de position et de rejeter

l'effet du couple de charge.

K

aIaV

c

Figure (2.1) : Schéma de principe de la commande par retour d'état de la machine CC.

2.2. CONDITIONS D'APPLICATION :

Pour pouvoir appliquer cette technique de commande à la machine CC, deux conditions sont

nécessaires:

1. Toutes les variables d'état (courant, vitesse et position) sont mesurables et sont

disponibles pour la rétroaction.

2. Le modèle de la machine CC représenté par:

.

d rx Ax Bu BC (2.1)

Avec

1

1

0 0

0 0 1 , 0 , 0

00

a

a a a

R KaL L L

dfKa

JJ J

A B B


15

et 1 2 3

T

x x x x

est complètement contrôlable.

La condition de contrôlabilité est vérifiée si la matrice de contrôlabilité

2 2

2 21 1 1

2 1

1 1

0 0

0

a a a

a a aa a

a

a

a a a

a a a

R R KL L LJL L

KLJ

K K RfL L LJ J J

M B AB A B

(2.2)

est de plein rang. Ce qui est vérifié pour son déterminant 2

2 31 a

a

K

J L est non nul.

2.3. COMMANDE PAR PLACEMENT DES POLES :

2.3.1. Principe [5]:

Le but de la commande par placement de pôles est d'imposer au système un comportement

spécifié ou des performances désirées à travers l'application d'une loi de commande qui place les

pôles du système en boucle fermée aux positions qui réalisent ces performances. La

détermination des pôles désirés en boucle fermée est basée sur des critères de réponse transitoire

et/ou de réponse fréquentielle, telles que la vitesse, l'amortissement, ou la bande passante, aussi

bien que sur des conditions sur le régime permanant.

Im

Re

Pôles en BO

Pôles en BF

Placement

de pôles

Figure (2.2): Principe du placement de pôles.

Cette tâche peut être accomplie en utilisant la loi de commande suivante:

u Kx (2.3)

Ce qui signifie que le signal de commande est déterminé par le vecteur d'état instantané. Une

telle loi de commande est appelée retour d'état. La matrice K de dimension (1 )n est

appelée matrice de gain.

La substitution de l'équation (II.3) dans l'équation (II.1) avec 0rC donne:

.( )x A BK x (2.4)


16

La solution de cette équation est donnée par:

( )( ) (0)A BK tx t e x (2.5)

où (0)x est l'état initial. Les caractéristiques de stabilité et de la réponse transitoire sont

déterminées par les valeurs propres de la matrice A BK . Si la matrice de gain K est

choisie correctement, la matrice A BK peut être une matrice stable, et pour chaque

(0) 0x , il est possible que le vecteur ( )x t tend vers 0 quand t tend vers l'infini. Les valeurs

propres de la matrice A BK sont appelées les pôles de régulation. Si ces pôles de

régulation sont placés dans le côté gauche du plan s , alors ( )x t tend vers 0 lorsque t tend

vers l'infini.

2.3.2. Calcul du gain du retour d'état :

On désire concevoir un retour d'état qui satisfait: La réponse indicielle a un dépassement

inférieur à 5% et une erreur de 10% pour un temps d'établissement inférieur à 0.05 sec.

Pour le dépassement :

2exp

1pM

d'où :

2

22

ln0.7

ln

p

p

M

M

Pour une erreur de 10% :

expss n se t

d'où

ln ln 0.166.73

0.7 0.05ss

ns

e

t

.

D'où le polynôme désiré est donné par:

2 2( ) 2des n np s s s s

Avec 40 .

Sous matlab, on peut utiliser la formule suivante:

K = place(A, B, BF_Poles).

Où BF_Poles=[-40 -46.0517 - j48.2939 -46.0517+j48.2939] sont les pôles désires en boucle


17

fermées (les racines du polynôme ( )desp s ).

Ce qui donne:

K= [1.1142 109.2372 3.9682].

La loi de commande est donnée par:

1.1142 109.2372 3.8682 109.2372a cu I

Les résultats de simulation pour un couple de charge nul, sont donnés par la figure (2.3). On

peut remarquer que la position du MCC se stabilise à la position désirée.

Le deuxième test concerne l'analyse de l'effet du couple de charge sur les performances de la

commande. A cet effet, un couple est introduit à t=0.4sec. Les résultats de simulation sont

donnés par la figure (2.4). On peut remarquer que cette technique de commande ne peut

supprimer l'effet du couple de charge sur la position du MCC.

Figure (2.3): Performances du MCC avec placement de pôles et Cr=0.

0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

20

40

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-20

0

20

40

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-20

0

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-100

0

100

200

t (sec)

Va (

V)


18

Figure (2.4): Performances du MCC avec placement de pôles et Cr=10.

2.4. PLACEMENT DE POLES PLUS ACTION INTEGRALE :

Pour annuler l'effet d'une perturbation statique, il est bien connu que l'action intégrale est très

bénéfique. La technique consiste à introduire un intégrateur sur l'état sujet à cette perturbation,

puis réaliser la commande par placement de pôles sur le système augmenté (figure .II.5).

K

aIaV

c

Figure (2.5) : Schéma de principe de la commande par retour d'état de la machine CC.

Considérons les équations d'état de la machine CC données par (2.1). Il est nécessaire d'ajouter

une action intégrale pour éliminer l'effet du couple de charge sur la position du MCC. Alors

l'intégrateur est défini par l'état:

4 cx dt (2.6)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-20

0

20

40

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-20

0

20

40

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

3

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-20

0

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-100

0

100

200

t (sec)

Va (

V)


19

D'où nous aurons le système augmenté d'ordre 4 donné par:

.

a a da rx A x B u B C (2.7)

Avec

1

1

00 0

00 0 1 0 0, ,

00 0

0 00 0 0 1

a a

a a a

a

R KL L L

a a daK fJJ J

A B B

Et

1 2 3 4

T

x x x x x .

La commande par placement de pôles est donnée par:

u Kx (2.8)

Avec : 1 2 3 4K k k k k

Où le terme 4k est lié à l'action intégrale.

2.4.1. Calcul du gain du retour d'état intégral :

On désire concevoir un retour d'état qui satisfait: La réponse indicielle a un dépassement

inférieur à 5% et une erreur de 1% pour un temps d'établissement inférieur à 0.02 sec.

Pour le dépassement :

2exp

1pM

d'où :

2

22

ln0.7

ln

p

p

M

M

Pour une erreur de 1% :

expss n se t

d'où :

ln ln 0.01333.6564

0.7 0.02ss

ns

e

t

.

D'où le polynôme désiré est donné par:


20

2 2( ) 2des n np s s s s s

Avec 50, 20 .


K = place(Aa, Ba, BF_Poles).

Où BF_Poles=[-50 -20 -230.2585-j241.4697 -230.2585+j241.4697] sont les pôles désirés en

boucle fermées (les racines du polynôme ( )desp s ).

Ce qui donne:

K= [12.2697 5061.5 87.6014 68273.3].


12.2697 5061.5 87.6014 68273.3a cu I

Les résultats de simulation pour un couple de charge nul, sont donnés par la figure (2.6.)On peut

remarquer que la position du MCC se stabilise à la position désirée.


commande. A cet effet, un couple est introduit à t=0.4sec. On peut remarquer (figure 2.7) que

cette technique de commande supprime efficacement l'effet du couple de charge sur la position

du MCC.

Figure (2.6): Performances du MCC avec placement de pôles intégral et Cr=0.

0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

10

20

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

20

40

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-100

0

100

200

300

t (sec)

Va (

V)


21



0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

10

20

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

20

40

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-100

0

100

200

300

t (sec)

Va (

V)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

10

20

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

20

40

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-100

0

100

200

300

t (sec)

Va (

V)


22

2.5. PLACEMENT DE POLES AVEC OBSERVATEURS :

Comme, dans de nombreux cas pratiques, les seules grandeurs mesurables sont les variables

d'entrée et de sortie, il est essentiel de pouvoir reconstruire l'état du MCC à partir des

informations d'entrée/sortie pour élaborer la commande. Un reconstructeur d'état ou estimateur

doit alors être élaboré. Sous l'hypothèse de linéarité du modèle du processus, la structure de base

de l'estimateur est généralement la même, mais sa réalisation dépendra du contexte choisi :

continu ou discret, déterministe ou stochastique. Dans le cas déterministe, le reconstructeur

d'état est appelé observateur.

2.5.1. Observateur d’ordre complet

Soit le modèle d'état donné par:

d rx Ax Bu BC

y Cx

(2.9)

Avec

1

1

0 0

0 0 1 , 0 , 0

00

a

a a a

R KL L L

d

fKJJ J

A B B

Et y est la sortie mesurée.

Pour pouvoir reconstruire les états du MCC, il doit être observable pour la sortie y mesurée.

Ceci revient à vérifier la condition suivante:

2

( ) 3

C

N CA

CA

rang N

Où N est appelée matrice d'observabilité.

Nous avons trois cas possibles:

1. On mesure le courant,

1 0 0y x


23

2 2

21

1 0 0

0

0

a a

a a

a a a a

a a aa

R KL L

R K K R fL L LJ JL

N

0N .

2. On mesure la position,

0 1 0y x

0 1 0

0 0 1

0aK fJ J

N

aKJN .

3. on mesure la vitesse,

0 0 1y x

22

21

0 0 1

0

0

a

a a a

a a

K fJ J

K R Kf fL LJ J JJ

N

0N .

Donc le MCC n'est observable que si la sortie mesurée est la position: y .

Dans ce cas; l’observateur d’ordre complet est défini par:

1

.

0

0 0 1 0 ( )

00

0 1 0

a a

a a a

a

R KL L L

K fJ J

x x u L

x Cx

(2.10)

Où

1

2

3

l

L l

l

est le gain de l'observateur.


24

Ce qui peut arrangé comme (figure II.9):

11

.

2

3

0 1 0

0

a a

a a a

a

R KL L L

K fJ J

l

x l x u L

l

(2.11)

Σ

K

aI

aV

c

Observateur

d'ordre complet L

Figure (2.9): MCC avec placement de pôles intégral et Observateur d'ordre complet.

Calcul du gain de l’observateur L

L'observateur doit avoir une dynamique plus rapide que celle du retour d'état.

Le polynôme désiré pour l'observateur est donné par:

( ) 261 251 260obsp s s s s


L = place(A', C', Obs_Poles).

Où Obs_Poles=[-251 -260 -261] sont les pôles désirés pour l'observateur.

Ce qui donne:

L= [85204.6 679.6881 134425.4]'.


ˆ ˆ12.2697 5061.5 87.6014 68273.3a cu I (2.12)


peut remarquer que la position du MCC se stabilise à la position désirée, et que l'observateur

estime avec efficacité le courant et la vitesse. L'introduction d'un couple de charge perturbe

l'observateur, où on remarque des erreurs d'estimation sur le courant et la vitesse (figure 2.11).

Toutefois, le suivi de la position désirée reste efficace grâce à l'action intégrale de la commande.

Le deuxième test concerne l'analyse de l'effet du bruit de mesure sur l'estimation et la

commande (figure 2.12). A cet effet, un bruit gaussien de variance 0.002 et ajouté à la position

mesurée, ceci se traduit par des oscillations sur la tension, le courant et le couple. Ce qui indique


25

que l'observateur d'ordre complet est un peu sensible au bruit de mesure.

Figure (2.10): Performances du MCC avec observateur d'ordre complet et Cr=0.

0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

10

20

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-40

-20

0

20

40

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-40

-20

0

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-200

0

200

t (sec)

Va (

V)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-40

-20

0

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

10

20

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)


26

Figure (2.11): Performances du MCC avec observateur d'ordre complet et Cr=10.

0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

10

20

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-40

-20

0

20

40

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-40

-20

0

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-200

0

200

t (sec)

Va (

V)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-40

-20

0

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0

10

20

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

50

100

150

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)


27

Figure (2.12): Performances du MCC avec observateur d'ordre complet et bruit de mesure.

0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

10

20

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-40

-20

0

20

40

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-20

0

20

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-200

0

200

t (sec)

Va (

V)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-20

0

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-5

0

5

10

15

20

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)


28

2.5.2. Observateur d’ordre réduit

On peut arranger le modèle du MCC comme:

.1

.

.

0

a a

a a a

a

R Ka L L La

K fJ J

I Iu

(2.12)

Si on définit le vecteur d'état réduit:

aIz

(2.13)

Alors, la partie non mesurable est donnée par:

.

re rez A z B u (2.14)

et la partie mesurable est donnée par:

.

0 1 rez C z (2.15)

La matrice d'observabilité pour le modèle (II.14-15) est :

0 1

a

reTr K f

re re J J

CN

C A

(2.16)

Comme son déterminant est non nul, alors le modèle (II.14-15) est observable, et l'observateur

d'ordre réduit est donné par:

. .

ˆ ˆ ˆre re r rez A z B u L C z (2.17)

avec

1

2

r

rr

lL

l

Ensuite (II.17) est arrangée comme:

. .

ˆ ˆr re r re rez L A LC z B u (2.18)

Pour éliminer la dérivée .2x de (II.18), on définit la variable:

ˆ rz L (2.19)

D'où nous aurons les équations finales de l'observateur:

.

ˆ

re r re re re r re r

r

A LC B u A LC L

z L

(2.20)


29

Calcul du gain de l’observateur L

L'observateur doit avoir une dynamique plus rapide que celle du retour d'état.

Le polynôme désiré pour l'observateur est donné par:

( ) 100 180obsp s s s


Lr = place(Are', Cre', Obs_Poles).

Où Obs_Poles=[-100 -180] sont les pôles désirés pour l'observateur.

Ce qui donne:

Lr= [-21.0753 187.6881]'.


ˆ ˆ12.2697 5061.5 87.6014 68273.3a cu I


peut remarquer que la position du MCC se stabilise à la position désirée, et que l'observateur

estime avec efficacité le courant et la vitesse. L'introduction d'un couple de charge perturbe

l'observateur, où on remarque une erreur d'estimation sur la vitesse (figure 2.14). Le suivi de la

position désirée reste efficace grâce à l'action intégrale de la commande.

Le deuxième test concerne l'analyse de l'effet du bruit de mesure sur l'estimation et la

commande (figure 2.15). A cet effet, un bruit gaussien de variance 0.002 et ajouté à la position

mesurée, ceci se traduit par des oscillations sur la tension le courant et le couple. Ce qui indique

que l'observateur d'ordre réduit est plus sensible au bruit de mesure.


30

Figure (2.13): Performances du MCC avec observateur d'ordre réduit et Cr=0.

0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

10

20

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

20

40

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-100

0

100

200

300

t (sec)

Va (

V)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80

5

10

15

20

25

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-10

0

10

20

30

40

t (sec)

I a (A

)


31

Figure (2.14): Performances du MCC avec observateur d'ordre réduit et Cr=10.

0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-10

0

10

20

30

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

20

40

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-100

0

100

200

300

t (sec)

Va (

V)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-10

0

10

20

30

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-10

0

10

20

30

40

t (sec)

I a (A

)


32

Figure (2.15): Performances du MCC avec observateur d'ordre réduit et bruit de mesure.

0 0.2 0.4 0.6 0.8-50

0

50

100

150

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-10

0

10

20

30

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

20

40

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

20

40

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-100

0

100

200

300

t (sec)

Va (

V)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-10

0

10

20

30

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-10

0

10

20

30

40

t (sec)

I a (A

)


33

2.6. CONCLUSION

Dans ce chapitre nous avons montré, qu'à l'aide d'une commande linéaire qui est le placement

des pôles, il est possible d'asservir la position du MCC. L'introduction de l'action intégrale a

permis d'éliminer les effets du couple de charge. L'utilisation des observateurs a permis de

réduire le nombre de capteurs à un, ce qui se traduit par une réduction du coût et de la

complexité du système de commande.

CHAPITRE 3: Commandes

LQR et LQG de la machine

CC

CHAPITRE 3 Commandes LQR et LQG de la machine CC

34

CHAPITRE 3

Commandes LQR et LQG de la machine CC

3.1. INTRODUCTION

Dans ce chapitre nous allons étudier l’application de la commande linéaire quadratique (LQR) à

la commande du MCC. Nous commencerons par rappeler le principe de la commande LQR.

Nous verrons ensuite son application. Enfin, l'introduction du filtre de Kalman, à la place de

l'observateur déterministe, permettra d'éliminer l'effet du bruit de mesure (ça s'appelle une

commande linéaire quadratique gaussienne LQG).

3.2. COMMANDE LQR :

3.2.1. Principe [5] :

On parle de commande linéaire quadratique: LQ ou LQR pour linear quadratic regulator.

Le modèle du MCC (avec 0rC ) est:

.x Ax Bu (3.1)

avec la condition initiale 0(0)x x .

Le critère quadratique de performance à minimiser est

20

0

1( , )

2TJ x u x Qx ru dt

(3.2)

La matrice Q étant symétrique et 0Q et 0r .

Le problème consiste à déterminer la commande "optimale" qui minimise le critère (3.2).

Ce problème peut être formulé comme suit:

0

.

0

déterminer la commande ( ) qui minimise ( , )

sous les contraintes(0)

u t J x u

x Ax Bu

x x

(3.3)

Le problème (3.3) est un problème d'optimisation sous contrainte. Il peut être transformé en un

problème d'optimisation sans contraintes comme suit [5]:

.20

0

1( , )

2T TJ x u x Qx ru Ax Bu x dt

(3.4)


35

où le multiplicateur de Lagrange nR est appelé état-adjoint ou co-état. Les critères

0( , )J x u et 0( , )J x u ont le même minimum, ce qui revient à dire que la minimisation de

0( , )J x u implique celle de 0( , )J x u .

Le calcul variationnel permet d'obtenir l'expression de la commande optimale comme:

1( )Tu B Px t

r (3.5)

La matrice P est alors obtenue en résolvant l'équation algébrique de Riccati suivante:

10T TPA A P PBB P Q

r (3.6)

Il est intéressant de noter que la commande optimale obtenue s'écrit comme un retour d'état

( ) ( )u t Kx t avec 1 TK B Pr

(3.7)

La différence avec la commande par placement de pôles apparaît dans le fait que la matrice de

gain K est calculée en fonction des contraintes imposées sur le système, contraintes qui

s'expriment à travers les pondérations r et Q [5]

3.2.2. Choix des matrices de pondération[6] :

La détermination du signal de commande demande de fixer les pondérations r et Q . Ce degré

de liberté permet de gérer quelques problèmes pratiques. Par exemple, Q peut être choisi

relativement large dans les premiers instants pour pénaliser les erreurs initiales généralement

importantes puis diminuer en régime permanent. Cependant, pour simplifier la détermination de

ces matrices, il est généralement préféré de les rendre invariantes et diagonales. En effet, en

procédant ainsi, on se ramène au choix du scalaire r et n scalaires pour Q . Une approche

simple consiste à:

1) choisir simplement des matrices de pondération de type identité ;

2) accélérer ou décélérer globalement la dynamique du système en multipliant la matrice Q

par un scalaire supérieur ou inférieur à 1, jusqu'a obtenir une dynamique moyenne adaptée.

Si l'analyse du système met en évidence que certains états présentent des dynamiques

relatives trop lentes (resp. rapides), les éléments diagonaux correspondants peuvent alors

être augmentes (resp. diminues) .

3) modifier la valeur de r en fonction des sollicitations admissibles au niveau des actionneurs.

Ces étapes sont généralement réitérées jusqu'à obtenir un correcteur satisfaisant le cahier des

charges.


36

3.2.3. Application au MCC :

Dans cette section, nous allons appliquer la commande LQR pour asservir la position du MCC.

Nous avons choisi les pondérations suivantes:

r=0.1;

Q=[0 0 0.1;0 350 0;0 0 0.1];

Le choix de la matrice Q indique que nous mettons plus de poids sur la position du MCC, et

ceci pour une meilleure performance.

Le calcul sous matlab avec la commande

[K,P,Poles_BF] = lqr(A,B,Q,r);

Donne le vecteur gain:

K=[0.9727 59.1608 2.3340].

Les valeurs propres en boucle fermée:

pole_des =

-66.7030

-30.1746 + 23.1457i

-30.1746 - 23.1457i

Et la loi de commande est donnée par:

0.9727 59.1608 2.334a cu Kx I


peut remarquer que la position suit parfaitement sa consigne. L'amplitude de la commande est

plus faible, comparée au même cas avec placement de pôles, ce qui marque une amélioration

sensible des performances.


commande. A cet effet, un couple est introduit à t=0.04sec. Les résultats de simulation sont

donnés par la figure (3.2). On peut remarquer que cette technique de commande ne peut

supprimer l'effet du couple de charge sur la position du MCC.


37

Figure (3.1): Performances du MCC avec LQR et Cr=0.

Figure (3.2): Performances du MCC avec LQR et Cr=10.

0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-10

0

10

20

30

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-10

0

10

20

30

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-10

0

10

20

30

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-50

0

50

100

150

t (sec)

Va (

V)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-10

0

10

20

30

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-10

0

10

20

30

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.80

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-10

0

10

20

30

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8-50

0

50

100

150

t (sec)

Va (

V)


38

3.2.4. Commande LQR avec action intégrale

Nous avons vu au chapitre II, que pour annuler l'effet du couple de charge sur la position du

MCC, on introduit l'intégrateur :

4 cx dt (3.8)

D'où nous aurons le système augmenté d'ordre 4 donné par:

.

a a da rx A x B u B C (3.9)

Avec

1

1

00 0

00 0 1 0 0, ,

00 0

0 00 0 0 1

a a

a a a

a

R KL L L

a a daK fJJ J

A B B

Et

1 2 3 4

T

x x x x x .

La commande est donnée par:

au K x (3.10)

Avec : 1 2 3 4aK k k k k

Le calcul variationnel permet d'obtenir l'expression de la commande optimale comme:

1( )T

a au B Px tr

(3.11)

La matrice aP est alors obtenue en résolvant l'équation algébrique de Riccati suivante:

10T T

a a a a a a a a aPA A P PB B P Qr

(III.12)

Le calcul sous matlab avec la commande

[Ka,Pa,Poles_BF] = lqr(Aa,Ba,Qa,r);


Ka =[ 3.6025 517.3183 12.3491 10000]

Et les valeurs propres en boucle fermée:

pole_des =

-84.3186 + 66.8708i

-84.3186 - 66.8708i

-26.1674 + 26.8929i

-26.1674 - 26.8929i


39


3.6025 517.3183 12.3491 10000a cu I

Les résultats de simulation pour un couple de charge de 10Nm, sont donnés par la figure (3.3).

On peut remarquer cette technique de commande supprime efficacement l'effet du couple de

charge sur la position du MCC.

Figure (3.3): Performances du MCC avec LQR + I et Cr=10.

3.3. COMMANDE LQG :

Par rapport à la commande LQR, la commande LQG présente l’intérêt de s’appliquer à

des systèmes dont l’état n’est pas mesuré. Développée au début de la seconde moitié du

20ème siècle et appliquée lors du programme spatial Apollo pour la stabilisation de lanceurs,

elle est apparue comme la première méthode générale pour l’asservissement des systèmes

multivariable. De ce fait, elle a connu un grand succès comme en témoigne les nombreuses

publications sur le sujet [7].

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.5 1-10

0

10

20

30

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.5 1-20

0

20

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.5 10

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.5 1-20

0

20

t (sec)

I a (A

)

0 0.5 1-50

0

50

100

t (sec)

Va (

V)


40

3.3.1. Formulation [7]:

Soit le système dynamique stochastique d’équation d’état :

.x Ax Bu v

y Cx w

(III.13)

Où ( ) nv t R et ( )w t sont deux bruits indépendants, blancs, gaussiens, de moyenne nulle et de

covariances TE v v V et

2E w W finies.

Le problème LQRG consiste en la minimisation du critère :

2

0

1( ) lim

f

f

t

T

tf

J u E x Qx ru dtt

(3.12)

Du fait des entrées de bruit v et w , les grandeurs ( )u t et ( )x t sont des grandeurs

stochastiques. Comme critère, il est ainsi naturel de s’intéresser à l’espérance d’une

intégrale.

3.3.2. Théorème de séparation [7]:

La solution de ce problème de commande optimale de processus stochastique est connue sous le

nom de théorème de séparation ou principe d'équivalence de certitude. Ce dernier énonce que la

solution du problème considéré est composée de deux parties complémentaires :

1- Un filtre de Kalman permettant de fournir l'estimation ( )x t

de l'état x non biaisée à variance

minimale.

2- une commande par retour d'état ( )u K x t

où K est calculée en considérant le problème

LQR correspondant dans un contexte déterministe.

3.3.3. Structure de la commande LQG [7]:

L’estimée optimale ( )x t

est donnée par le filtre de Kalman d’équation d’état :

.

( )x Ax Bu L y C x

y C x

(3.13)

où le gain de Kalman est :

1TL C W . (3.14)

avec la solution de l’équation algébrique de Riccati :

10T TA A C C V

W (3.15)


41

La commande étant donnée par ˆ( )u t Kx où 1 TK B Pr

obtenu par la solution du problème LQR associé

comme décrit dans la section III.2.

On peut réécrire les équations du filtre de Kalman et de la commande comme:

.

x A LC x Bu Ly

u K x

(3.16)

3.3.4. Choix des pondérations [7] :

Le réglage du correcteur LQG nécessite la donnée de quatre matrices de pondération : Q et

r pour le retour d’état; V et W pour l’estimateur. La méthode de réglage la plus simple repose

sur un réglage séparé: régler V et W de sorte que l’état soit bien reconstruit et régler Q et r

pour avoir un ‘bon’ retour d’état. Si les dynamiques de la régulation sont relativement lentes

devant celles de l’observation, on peut supposer que l’état est parfaitement connu du point de

vue du retour d’état et la commande sera robuste. La méthode de réglage des pondérations Q et

r du retour d’état vue à la section III.2 reste valable. Le réglage du filtre de Kalman se fera

directement par une évaluation des variances des bruits. Evaluer le bruit de mesure w en

observant y est direct; ce qui n’est pas le cas du bruit d’état v . La principale source de bruit

d’état d’un modèle provient généralement des erreurs de modélisation qui sont déterministes et

non stochastiques. Néanmoins ces erreurs de modélisation sont généralement mal connues et il

n’est pas aberrant d’en tenir compte globalement grâce à un terme stochastique.

3.3.5. Application au MCC

Pour l'application, nous écrierons le modèle du MCC comme:

.x Ax Bu v

y w

(3.17)

Avec

10

00

0 0 1 , 0 ,

000

a a

a a a

r

a

R KL L L

CJ

K fJ J

A B v

La variance du bruit de mesure est prise comme: 0.002W . Si on considère que rCJ est une

variable aléatoire gaussienne de variance max2

rCJ alors :


42

max2

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 203822.70 0 rCJ

V

La commande LQR avec action intégrale est celle calculée précédemment, soit:

ˆ ˆˆ ˆ3.6025 517.3183 12.3491 10000a cu I

Pour le calcul du filtre de Kalman sous matlab nous utiliserons la commande:

[L,Sigma,Poles_Kalman] = lqr(A',C',V,W);


L =[-2864.4 152.8115 11675.7]'

Et les valeurs propres du filtre de Kalman:

Poles_Kalman =

-87.4998

-78.8118 + 85.0936i

-78.8118 - 85.0936i

Donc le filtre de Kalman est donné par:

.

-92.1786 2864.4 -33.8679 35.7143 -2864.4

0 -152.8115 1 0 152.8115

0 11675.742.8126 -11675.7 -0.13332

x x u y

Les résultats de simulation, pour un couple de charge nul et un couple de charge de 10Nm, sont

donnés par les figures (3.4) et (3.5) On peut remarquer cette le filtre de Kalman supprime

efficacement l'effet des bruits aléatoires.

A titre de comparaison, les résultats de simulation avec une commande LQR intégrale et un

observateur d'ordre complet (le même conçu au chapitre II) sont représentés sur les figures (3.6)

et (3.7) Il est visible que les performances de l'observateur nettement inférieures en présence des

perturbations aléatoires.


43

Figure (3.4): Performances du MCC avec LQG et Cr=0.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

0

20

40

60

t (sec)

Va (

V)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-10

0

10

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-50

0

50

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.40

100

200

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)


44

Figure (3.5): Performances du MCC avec LQG + I et Cr=10.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

150

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

0

20

40

60

t (sec)

Va (

V)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-10

0

10

20

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-10

0

10

20

30

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)


45

Figure (3.6): Performances du MCC LQR+I avec observateur d'ordre complet et Cr=0.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

0

20

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

0

20

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-50

0

50

100

t (sec)

Va (

V)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-20

0

20

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-10

0

10

20

30

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)


46

Figure (3.7): Performances du MCC LQR+I avec observateur d'ordre complet et Cr=10.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10

0

10

20

30

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

0

20

t (sec)

Co

up

le (

N.m

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

t (sec)

I f (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-20

0

20

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-50

0

50

100

t (sec)

Va (

V)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-20

0

20

t (sec)

I a (A

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-50

0

50

t (sec)

Vit

esse

(rd

/sec

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

50

100

t (sec)

Po

siti

on

(d

eg)


47

3.4. CONCLUSION

La commande LQR a montré son efficacité dans la commande du MCC. De Plus la commande

LQG améliore les performances des bruits aléatoires et ceci grâce à l'introduction du filtre de

Kalman.

Conclusion générale


48


Le présent travail a porté sur la modélisation de la machine à courant continu et sa

commande en terme de régulation dont le but est de faire suivre la position de la machine CC

à une position désirée en utilisant les techniques de l'espace d'état.

L'application de la commande par placement des pôles sur la machine CC a permis

d'asservir sa position. L'introduction de l'action intégrale dans le système a permis d'éliminer

les effets des perturbations statiques. L'utilisation des observateurs a permis de réduire le

nombre de capteurs, ce qui se traduit par une réduction du coût et de la complexité du système

de commande.

La commande LQR a montré son efficacité dans la commande de la machine CC.

D'autre part, la commande LQG a permis d'éliminer les effets du bruit de mesure et ceci grâce

à l'introduction du filtre de Kalman.

Bibliographie

Bibliographie

Bibliographie

49

Bibliographie

[1] Brahami Mohamed, ״Commande PID d’un Moteur à courant continue״, Thèse de

Master, Université Abderrahmane Mira, Bejaia, 2009.

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Modélisation et de la surveillance d’un moteur à courant continue״, Thèse de Magister ,

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[5] N. Goléa, "Commande dans l’espace d’état", cours de Master Informatique industrielle,

Université d’Oum El Bouaghi, Algérie, 2010/2011.

[6] Tioura Amina et Zarouali Wassila, "Commande du Système Pendule Chariot par les

Technique de l’espace d’état", Université LARBI BRN MHIDI, Oum El

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[7] Edouard Laroche , "Commande Optimale", cours de Master Image, Robotique et

Ingénierie pour le vivant parcours Automatique et Robotique, 2009-2010.

[8] R. L. Williams and D. A. Lawrence, "Linear state-space control systems", John Wiley &

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