modÉlisation de poutres en bÉton armÉ …
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MARIE-JOSÉE HOUDE
MODÉLISATION DE POUTRES EN BÉTON ARMÉ ENDOMMAGÉES PAR CHARGEMENTS
CYCLIQUES Comportement en flexion et en cisaillement
Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures de l’Université Laval dans le cadre du programme de maîtrise en génie civil
pour l’obtention du grade de maître ès sciences (M.Sc.)
DÉPARTEMENT DE GÉNIE CIVIL FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE
UNIVERSITÉ LAVAL QUÉBEC
MARS 2007 © Marie-Josée Houde , 2007
Résumé Le but de ce projet de recherche est de développer un outil de modélisation du
comportement d’éléments en béton armé selon une discrétisation par couches. En flexion,
la modélisation repose sur la capacité de prédire d’une part le comportement d’une section
fissurée et d’autre part, le comportement global d’une poutre fléchie. Un endommagement
relié à l’historique de chargement est également pris en compte par l’apparition de
déformations permanentes et l’imposition d’une diminution de la rigidité des matériaux.
L’outil offre alors la possibilité d’établir des seuils d’alarme par la mise à jour de l’indice
de fiabilité d’une structure, ce qui constitue un atout significatif à la télésurveillance. Une
portion expérimentale permet de confronter les résultats obtenus de la modélisation à des
essais en laboratoire sous chargements statiques et cycliques sur des poutres instrumentées.
La comparaison entre les résultats expérimentaux et la prédiction du modèle démontre une
très bonne concordance, autant sous chargements statiques que cycliques, malgré une
prédiction un peu conservatrice des indicateurs de performance à la rupture. Ce phénomène
est toutefois favorable dans l’optique de poser des seuils d’alarme en télésurveillance.
Finalement, le modèle permet de construire une enveloppe de rupture incluant l’interaction
des efforts de cisaillement et de flexion. L’utilisation de la théorie des champs de
compression modifiée permet le suivi de l’inclinaison des fissures et de la déformation des
étriers à l’ultime. Bref, le modèle assemblé s’avère un outil de prédiction efficace du
comportement réel d’éléments fléchis et cisaillés en béton armé.
Abstract The objective of this research project is to develop a modeling tool (layer by layer) for the
behavior of reinforced concrete members. For flexure, the model relies on the capacity to
predict the behavior of a cracked section and also the behavior of the entire bent beam.
Damage related to historic loading also applies, including permanent deformations and a
diminished rigidity to the material. It is therefore possible to set up an alarm threshold by
upgrading the reliability index of the structure which constitutes a complementary tool to
telesurveillance or monitoring. An experimental program was setup to obtain results to
validate the model with static and cyclic loading of instrumented beams. The comparison
between the experimental results and the model predictions shows an excellent agreement
for the static loading behavior, even though it is on the safe side of the performance index
indicators. The phenomenon is nonetheless favourable for the proposed telesurveillance
alarm threshold.
Finally, the model can generate a rupture envelop including the interaction between the
shear force and bending moment. The use of the modified compression field theory allows
the follow-up of the crack inclination and the deformation in the stirrups at rupture. In
summary, this prediction tool reveals to be a very useful one to simulate the behavior of
reinforced concrete members subjected to shear and bending.
Avant-Propos Je tiens à remercier mes directeurs de recherche, Mme Josée Bastien et M. Marc Jolin pour
leurs précieux conseils, leur confiance et pour l’opportunité qu’ils m’ont offert de m’initier
au monde de la recherche en Europe. Je remercie particulièrement M. Jolin pour le soutien
et le temps qu’il m’a accordé au cours des dernières années.
Je tiens à remercier tous ceux qui ont su me conseiller ou m’apporter leur support technique
lors des différentes étapes du projet, particulièrement Hugues Ferland, Pascal Dorion,
Maxim Morency, Frédéric Gagnon, Fabien Perez ainsi que les auxiliaires de recherche du
CRIB.
Je tiens également à remercier Dennis Burns pour l’ensemble de son aide et de son être,
pour la complicité qui nous unit, pour sa grande générosité, son support moral et pour tout
le temps qu’il a consacré à la concrétisation de ce projet. Finalement, je tiens à remercier
toute ma famille et mes amis pour leur soutien, leur présence et leurs encouragements.
À Dennis et ma famille
Table des matières 1. Introduction.................................................................................................................8
1.1. Contexte et problématique ..............................................................................8 1.2. Objectifs ........................................................................................................10
1.3. Structure du document ..............................................................................................12 2. Revue de la documentation.......................................................................................14
2.1. Évaluation du comportement en flexion .......................................................14 2.1.1. Norme des ponts .......................................................................................15 2.1.3. Modèles existants......................................................................................20
2.2. Évaluation du comportement en cisaillement ...............................................22 2.2.1. Norme sur les ponts (CAN/CSA-S6-2000) ..............................................22 2.2.2. Modèles existants......................................................................................24
2.3. Conclusion.....................................................................................................29 3. Description du modèle ..............................................................................................31
3.1. Lois de comportement...................................................................................31 3.1.1. Le béton en compression ..........................................................................31 3.1.2. Le béton en traction ..................................................................................38 3.1.3. L’acier.......................................................................................................42
3.2. Comportement en flexion..............................................................................46 3.2.1. Analyse de la section ................................................................................47 3.2.2. Exemple d’application ..............................................................................50 3.2.3. Analyse globale.........................................................................................56 3.2.4. Exemple d’application ..............................................................................57
3.3. Comportement en cisaillement......................................................................61 3.3.1. Cisaillement pur........................................................................................62 3.3.2. Cisaillement combiné ...............................................................................63 3.3.3. Exemple d’application ..............................................................................65
4. Validation des résultats.............................................................................................69 4.1. Comportement en flexion..............................................................................69
4.1.1. Béton.........................................................................................................70 4.1.2. Acier..........................................................................................................71 4.1.3. Montage expérimental ..............................................................................73 4.1.4. Procédure ..................................................................................................76 4.1.5. Chargements statiques ..............................................................................78 4.1.6. Chargements cycliques .............................................................................83
4.2. Cisaillement et effet combiné cisaillement-flexion.......................................91 5. Indices de fiabilité.....................................................................................................92
5.1. Mise à jour de l’indice de fiabilité ................................................................92 6. Conclusion ................................................................................................................96
6.1. Études futures................................................................................................98 7. Bibliographie ..........................................................................................................100
Liste des tableaux Tableau 3.1 Propriétés des matériaux de la poutre-exemple en surcharges .........................51 Tableau 3.2: Effet des surcharges sur le comportement à la rupture - Section.....................53 Tableau 3.3: Effet des surcharges sur le comportement en service ......................................59 Tableau 3.4 : Propriétés des matériaux de la section utilisée pour l’exemple en cisaillement
......................................................................................................................................65 Tableau 3.5 : Paramètres caractéristiques associés à la résistance ultime au cisaillement pur
de la section utilisée pour l’exemple en cisaillement ...................................................67 Tableau 4.1: Propriétés des mélanges de béton ....................................................................70 Tableau 4.2: Résultats des essais de traction sur l'acier........................................................72 Tableau 4.3: Valeurs retenues pour décrite le comportement des barres d'armature ...........73 Tableau 4.4: Type de chargement des poutres testées ..........................................................77 Tableau 4.5: Influence de εcult sur les paramètres à l’ultime.................................................82 Tableau 4.6: Évolution des paramètres en service avec les cycles, Poutre F2-4..................88 Tableau 4.7: Évolution des paramètres à l’ultime avec les cycles, Poutre F2-4...................89
Liste des figures Figure 2.1: Exemple de simulation de la probabilité de rupture d'un élément en fonction des
distributions probabilistes des sollicitations et de la résistance....................................16 Figure 2.2: Bloc de contrainte équivalent.............................................................................18 Figure 2.3: Nomenclature des poutres en T..........................................................................23 Figure 2.4: Contrainte principales sur un élément cisaillé....................................................25 Figure 2.5: Cercle de Mohr des déformations ......................................................................26 Figure 2.6: Efforts de cisaillement dans une poutre en béton armé......................................27 Figure 2.7: Efforts principaux de cisaillement dans une poutre en béton armé....................27 Figure 3.1: Loi de comportement du béton en compression sous chargement statique .......32 Figure 3.2: Comparaison des profils de déchargement possibles (béton en compression) ..37 Figure 3.3: Comportement hystérétique du béton en compression ......................................38 Figure 3.4: Application et rayon d'influence du "Tension Stiffening" .................................40 Figure 3.5: Comportement hystérétique global du béton en tension ....................................42 Figure 3.6: Loi de comportement monotone de l'acier .........................................................43 Figure 3.7: Comportement hystérétique de l’acier ...............................................................46 Figure 3.8: Caractérisation du diagramme des déformations ...............................................48 Figure 3.9: Représentation des étapes de calcul requises pour obtenir 1 point de la courbe
M-φ ...............................................................................................................................48 Figure 3.10: Démarche de calcul pour construire la courbe M-φ (analyse d’une section de
poutre en béton armé fléchie) .......................................................................................49 Figure 3.11: Démarche de calcul de l'endommagement en flexion......................................50 Figure 3.12: Section de béton armé utilisée en exemple ......................................................51 Figure 3.13: Relation Moment-Courbure de la section-exemple en surcharges...................52 Figure 3.14: Évolution de la courbure et de la position de l'axe neutre sous surcharges .....54 Figure 3.15: Courbe charge-déflection au centre de la poutre choisie comme exemple ......57 Figure 3.16: Courbe charge-rotation aux appuis de la poutre choisie comme exemple .......58 Figure 3.17: Évolution des flèches et rotations en fonction de l’endommagement sous
charges permanentes .....................................................................................................59 Figure 3.18: Démarche de calcul du comportement en cisaillement pur..............................63 Figure 3.19: Démarche de calcul du cisaillement combiné ..................................................64 Figure 3.20: Section de béton armé utilisée en exemple en cisaillement .............................65 Figure 3.21: Évolution de la résistance à l’effort tranchant en fonction de la déformation
principale en tension .....................................................................................................66 Figure 3.22: Enveloppe de rupture M-V de la section utilisée pour l’exemple en
cisaillement ...................................................................................................................67 Figure 3.23: Évolution des contraintes dans les étriers de la section utilisée pour l’exemple
en cisaillement en fonction de l’effort tranchant le long de l’enveloppe de rupture ....68 Figure 4.1: Dimensions des poutres de béton armé utilisées dans la phase expérimentale..69 Figure 4.2: Géométrie des barres d'armature testées ............................................................71 Figure 4.3: Montage expérimental........................................................................................74 Figure 4.4: Disposition des capteurs de déplacement...........................................................75 Figure 4.5: Comparaison entre les lectures de l’accéléromètre et la dérivée du profil de
déformation...................................................................................................................76 Figure 4.6: Courbe Charge-Flèche au centre, Série 2...........................................................80
vii
Figure 4.7: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Série 2 .....................................................80 Figure 4.8: Courbes Charge-Flèche au centre pour des chargements statiques et cycliques84 Figure 4.9: Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F2-4 ...................................................85 Figure 4.10: Gros plan des hystérésis, Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F2-4 ........86 Figure 4.11: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Poutre F2-4 ...........................................87 Figure 5.1: Variation de l’indice de fiabilité causée par une surcharge en fonction de
l’incrément de la courbure globale sous charge permanente ........................................94 Figure 5.2: Variation de l’indice de fiabilité causée par une surcharge en fonction de la
variation de la flèche au centre sous charge permanente..............................................94
1. Introduction
1.1. Contexte et problématique
En Amérique du Nord, la détérioration des ponts routiers, particulièrement en béton armé, a
atteint des proportions parfois inquiétantes. En plus d’avoir été conçus selon des charges de
conception significativement plus faibles que celles utilisées aujourd’hui, les ponts routiers
sont soumis à des conditions d’exposition sévères et à une augmentation de l’intensité et du
volume des charges routières. Par conséquent, de plus en plus de ponts se dégradent
rapidement et ne répondent parfois plus aux exigences actuelles à la suite de l’évaluation de
leur capacité portante. Ils nécessitent souvent des interventions à court ou moyen terme afin
d’assurer le maintien de conditions d’aptitude au service et de sécurité acceptables. Les
structures existantes d’un réseau routier sont d’ailleurs régulièrement inspectées afin
d’évaluer leur état général. L’évaluation structurale des ouvrages qui se révèlent à première
vue problématiques aux yeux des gestionnaires d’ouvrages ou qui sont identifiés comme
déficients du point de vue capacité, nécessitent une évaluation structurale réaliste de leur
capacité réelle afin d’assurer une gestion efficace des interventions et investissements
consentis.
Au Canada, le Code canadien sur le calcul des ponts routiers (CAN/CSA-S6-00) qui
prescrit la procédure d’évaluation des ponts semble malheureusement éprouver quelques
difficultés à représenter précisément le comportement structural et la capacité portante des
ponts existants en béton armé. La procédure tend plutôt à sous-estimer les capacités de
l’ouvrage, entre autres par l’utilisation d’approches générales, basées sur des calculs
simples et empiriques, ainsi que par l’utilisation de facteurs de majoration et de réduction
des sollicitations et des résistances respectivement. De plus, certains éléments structuraux
sont soumis à des efforts complexes. Par exemple, une poutre soumise à la flexion implique
généralement une interaction avec des efforts de cisaillement qui tend à modifier son
comportement en service et à l’ultime. Puisque les concepts d’interaction flexion-
cisaillement sont complexes, une approche simplifiée est généralement utilisée par les
normes, ce qui tend à sous-estimer l’enveloppe de rupture et rend cette approche très
9
conservatrice. Bref, la norme est bel et bien valide et sécuritaire, mais ce sont les approches
conservatrices de cette norme, autant en flexion qu’en cisaillement, qui rendent difficile la
quantification de la résistance réelle des structures. Compte tenu des limites budgétaires des
propriétaires d’ouvrage, cette quantification de la résistance se doit d’être mieux comprise
afin d’être mieux exploitée. Un moyen d’évaluation plus réaliste est donc nécessaire.
Afin de contourner les limitations décrites, les gestionnaires ont recourt à diverses
méthodes d’évaluation tels les essais de chargement et la télésurveillance. Cette dernière,
souvent utilisée pour suivre la progression de la dégradation d’éléments structuraux, permet
par exemple de suivre la flèche ou la rotation aux appuis d’une poutre dans le temps. Dans
ce contexte, les tendances décelées (sur plusieurs jours, voire plusieurs mois) sont
considérées comme un indicateur de la performance de la structure à supporter les
surcharges qui lui sont imposées (Savard et coll., 2003). Toutefois, les approches
conservatrices utilisées par les normes ainsi que les divers modèles simplifiés (Savard et
coll., 2003; Kashani, 1984) deviennent problématiques en télésurveillance, principalement
pour leur évaluation conservatrice des résistances et particulièrement des indicateurs de
performances associés (flèche, rotation aux appuis). En effet, des valeurs conservatrices
d’indicateurs de performance tendent à surestimer les seuils d’alarmes et, par conséquent,
les indices de défaillance; la rupture est détectée trop tard. Les données de télésurveillance
seraient davantage utiles et exploitables, entre autres pour l’implantation de seuils d’alarme,
si elles étaient couplées à des techniques d’évaluation plus réalistes, c’est-à-dire moins
conservatrices; par exemple à des essais de chargement ou une modélisation plus précise.
Toutefois, bien que les essais en laboratoire et sur site fournissent de l’information
pertinente, ils prennent beaucoup de temps et sont généralement très coûteux (matériaux,
instrumentation, machinerie, main d’oeuvre, etc.). Le développement d’un outil de
modélisation constitue une approche plus économique, particulièrement à long terme. Cet
outil permet de représenter le comportement structural d’un ouvrage existant et de
contourner les difficultés d’évaluation décrites précédemment. Cet outil de modélisation
devrait représenter fidèlement le comportement en service et à l’ultime d’éléments en béton
armé et de structures existantes soumis à divers types d’endommagements. Ces
10
endommagements, reliés aux conditions d’exploitation de l’ouvrage, dépendent
principalement des sollicitations externes (passage de poids lourds, impact avec la
structure, etc.) et de l’environnement de l’ouvrage (présence d’agents agressifs, cycles de
gel-dégel, niveau d’humidité et de température, etc.). La portion du présent travail, qui
s’inscrit dans le cadre d’un projet plus global, concerne davantage les endommagements
causés par les sollicitations externes, tel les chargements cycliques et les surcharges. Ils
correspondent au passage des véhicules lourds, ainsi qu’au passage de véhicule dit « en
surcharge » nécessitant l’émission de permis spéciaux. Ces deux mécanismes
d’endommagement structural similaires peuvent engendrer des problèmes structuraux au
temps de passage par l’accumulation de déformations permanentes et une diminution de la
rigidité. Il est donc primordial de considérer l’historique de chargement et
l’endommagement de l’élément lors du calcul des indicateurs de performances tels la
rotation aux appuis et la déformée des éléments constitutifs d’un ouvrage.
Les divers éléments de l’ouvrage (appuis, poteaux, poutres et tablier) sont donc sollicités
lors du passage de chargements cycliques et de surcharges, ce qui risque d’endommager et
d’altérer la stabilité de l’ouvrage. Beaucoup d’efforts de recherche furent consacrés à la
compréhension du comportement des poteaux endommagés (Girard, 2000; Gomes et
Appleton, 1997; Schultz et coll., 2004; Rodriguez et coll., 1999). Le tablier et les poutres
sont les éléments les moins documentés en matière d’endommagement structural, bien
qu’ils constituent les éléments directement sollicités. Il est donc pertinent de s’intéresser au
processus d’endommagement mécanique des poutres et tabliers de pont.
1.2. Objectifs
Dans le contexte de la problématique décrite à la section précédente, il est nécessaire de
mettre en oeuvre un système d’évaluation du comportement et de la capacité réelle
d’éléments et d’ouvrages en béton armé sains et endommagés. L’étude propose et
développe une modélisation simple de l’évolution du comportement d’éléments fléchis et
cisaillés sous sollicitations statiques, cycliques et de surcharges. L’objectif fondamental de
l’outil de modélisation développé repose sur la capacité de prédire d’une part le
11
comportement d’une section de béton armé fissurée et d’autre part, le comportement global
d’une poutre en béton armé fléchie. Plus explicitement, les sous objectifs sont :
- Prédire le comportement d’un élément en béton armé fléchi. Le comportement de la
section fissurée se traduit par l’évolution de la courbure et de la profondeur de l’axe neutre
en fonction du moment appliqué tandis que le comportement global de la poutre se
caractérise par le calcul des rotations aux appuis et de la déformée.
- Exploiter le modèle en mode endommagement mécanique afin de tenir compte des
modifications du comportement des matériaux, en imposant un historique de chargement
(surcharges et/ou chargements cycliques) pour prédire le comportement de la section
fissurée et le comportement global de la poutre en flexion.
- Fournir un outil supplémentaire, voire complémentaire, à la télésurveillance pour
mieux interpréter les données et suivre le comportement d’une poutre.
- Valider le modèle par une étude expérimentale. Cette étude permet en plus de
générer de l'information sur le comportement de poutres en béton armé fléchies soumises
à des chargements cycliques.
- Inclure un module qui tient compte du cisaillement et qui permet d’obtenir
l’enveloppe de rupture engendrée par le cisaillement pur et le cisaillement composé
(interaction avec la flexion).
- Fournir un exemple de l’établissement d’un seuil d’alarme par la mise à jour de
l’indice de fiabilité d’une structure. L’évolution du comportement sous charge de service
permet un calcul de mise à jour de l’indice de fiabilité de l’élément structural et par
conséquent, une évaluation de son comportement et de son endommagement.
La mise en commun du travail lié à ces sous-objectifs permet donc, par l’imposition d’un
historique de chargement (surcharges et/ou chargements cycliques), de visualiser le
12
comportement d’une section fissurée (courbure, profondeur de l’axe neutre) et du
comportement global d’une poutre en flexion (flèches et rotations aux appuis). De plus,
l’enveloppe de rupture d’une section soumise à l’interaction des efforts de cisaillement et
de flexion est générée et permet de visualiser l’évolution du comportement de la section à
l’ultime (déformation des étriers, inclinaison des fissures). Les résultats générés contribuent
à l’évaluation de la dégradation d’une structure en béton armé dans le but d’évaluer la
capacité réelle d’un ouvrage et d’établir des critères de seuil d’alarme.
Ainsi, le modèle permettra de déterminer le meilleur moment pour intervenir sur un
ouvrage. Intervenir trop tôt implique des dépenses non essentielles, tandis qu’intervenir
trop tard risque d’engendrer des coûts de réparation supplémentaires. Il y aura donc une
influence sur l’optimisation des dépenses des gestionnaires d’ouvrages entre autres reliées à
des renforcements inutiles et/ou la restriction trop sévère de l’exploitation de structures,
voir leur fermeture complète au trafic routier. Bref, certains inconvénients socio-
économiques pourront être limités, tout en maintenant et assurant la sécurité des usagers.
1.3. Structure du document
Le mémoire se divise en 6 chapitres. Le chapitre d’introduction présente la problématique
qui a fait naître ce projet ainsi qu’un survol des principaux objectifs et du type de résultats
escomptés.
Le second chapitre présente une revue de la documentation concernant les principes de base
du comportement en flexion et en cisaillement d’éléments structuraux sains et
endommagés. Il décrit la démarche proposée par la norme en soulignant les lacunes qui s’y
rattachent, et présente divers modèles développés pour tenter de représenter plus fidèlement
le comportement des éléments structuraux.
Le troisième chapitre décrit sommairement le modèle développé, les lois de comportement
et d’endommagement utilisées ainsi que les principales hypothèses posées. Il décrit la
démarche d’analyse en flexion sous chargement statique et cyclique, en cisaillement pur
13
ainsi qu’en cisaillement composé, et présente le type de résultats que le modèle permet de
générer.
Le quatrième chapitre vise la validation du modèle. Les comportements générés sont
confrontés à des observations expérimentales. Des poutres ont été instrumentées et
soumises à des chargements en trois points, statiques et cycliques, afin d’observer
l’évolution de la déformée et des rotations aux appuis avec les chargements.
Le cinquième chapitre s’attarde à l’aspect fiabiliste du modèle. Il présente la démarche
utilisée pour mettre à jour l’indice de fiabilité β d’un élément endommagé, ainsi que pour
établir des seuils d’alarmes à partir des indicateurs de performance.
Finalement, le dernier chapitre présente les conclusions générales de l’étude et les
recommandations quant à la poursuite des travaux de modélisation.
2. Revue de la documentation
L’évaluation structurale des éléments de pont est une étape importante pour les
gestionnaires d’ouvrages, particulièrement lorsqu’une structure présente, suite à une
inspection, des indices de dégradation. Lors de cette évaluation, certaines structures se
révèlent parfois plus résistantes que ce que les calculs structuraux laissent croire. En effet,
les normes proposent des calculs simplifiés, généraux et empiriques, en plus d’inclure des
facteurs de pondération des résistances et des sollicitations, qui ne permettent pas de
calculer très fidèlement le comportement réel des ouvrages; les résultats de la démarche
proposée s’avèrent plutôt conservateurs. Il importe donc de souligner les limites des normes
ainsi que celles de certains modèles développés afin d’établir des critères de base d’une
approche plus représentative du véritable comportement d’une structure.
2.1. Évaluation du comportement en flexion
Les actions associées à l’évaluation de l’état d’une structure (évaluation des dommages)
sont souvent limitées. Elles se résument principalement à examiner les documents existants
(plans originaux, notes de calculs, rapports d’inspection, etc.) et à visiter l’ouvrage pour
une inspection préliminaire. Une seconde évaluation plus rigoureuse et minutieuse
(prélèvement d’échantillons, essais non destructifs, etc.) est souvent requise pour établir de
niveau de sécurité structurale d’un ouvrage (Perron, 2004).
Une bonne évaluation structurale devrait entre autres se baser sur le comportement de la
section fissurée, sur le comportement global de l’élément, sur les différents modes de
rupture et sur ses interactions avec les autres éléments de la structure qui régissent le
cheminement des efforts. Elle devrait également inclure divers types de phénomènes
(élancement, retrait, fluage, etc.) et d’endommagements potentiels reliés aux conditions
environnementales (corrosion des armature, gonflement, écaillage, etc.) et aux sollicitations
physiques affectant l’ouvrage (passage de surcharges, séismes, etc.). Pour l’instant,
l’évaluation structurale des éléments fléchis des ponts existants au Canada n’est pas aussi
complète et n’inclut que difficilement les divers types d’endommagement. Elle s’effectue à
15
l’aide de divers documents normatifs relativement conservateurs (CAN/CSA-S6-00) et
selon la probabilité de dépassement d’états limites spécifiques, soit d’utilisation et à
l’ultime.
2.1.1.Norme des ponts
Les normes de conception des ouvrages en béton armé existent à la base pour protéger et
assurer la sécurité publique. Elles sont en effet relativement conservatrices et s’attardent à
utiliser diverses équations empiriques et simplifications pour traduire des concepts parfois
encore mal compris ou des démarches relativement plus élaborées ou rigoureuses. Cette
façon de faire est fort valide afin de demeurer du côté sécuritaire de la structure et de
respecter les états limites ultimes, ce qui permet d’assurer la résistance et la stabilité de
l’ouvrage. Les normes sont régulièrement révisées et mises à jour afin de considérer
l’évolution du bagage des connaissances scientifiques au cours des ans.
La méthode de conception proposée par le Code canadien sur les ponts routiers
(CAN/CSA-S6-00) et par le Code canadien sur les structures en béton (CAN/CSA-A23.3)
permet d’obtenir une mesure quantitative de la marge de sécurité des ouvrages. Cette
marge, définie comme la différence entre l’effort résistant ( R ) et l’effort engendré par les
sollicitations ( S ), garantie en fait un niveau de sécurité permettant de préserver la
fonctionnalité de chacun des éléments structuraux. Elle est entre autres établie à l’aide de
l’indice de fiabilité β, généralement décrit comme le ratio de la valeur moyenne de la marge
de sécurité divisée par l’écart type (σ ) de la marge de sécurité (Picard, 1983).
22sR
SR
σσβ
+
−= (Équation 1)
Cet indice est relié à l’intersection des distributions probabilistes des sollicitations et de la
résistance de l’ouvrage (McGregor, 1997); il correspond en fait au rapport de la moyenne
de la marge de sécurité (Résistance – Sollicitation) et de son écart type. La figure 2.1
16
illustre la relation qui existe entre cet indice de fiabilité (β) et la probabilité de rupture de
l’élément (Pf). Cette probabilité est associée au rapport du nombre de points correspondants
à une sollicitation supérieure à la résistance sur le nombre total de points considérés.
Figure 2.1: Exemple de simulation de la probabilité de rupture d'un élément en fonction des distributions probabilistes des sollicitations et de la résistance
Les indices de fiabilité cibles requis pour maintenir une structure fonctionnelle, ainsi que
leur probabilité de rupture associée, sont fonction du comportement du système. Ils
dépendent en fait du type de rupture et des conséquences globales de la défaillance de
l’élément (effondrement complet, rupture locale, etc.), du comportement de l’élément
(défaillance soudaine ou progressive), ainsi que du niveau d’inspection (éléments
inaccessibles ou cachés, etc.). Les indices de fiabilité β varient de 2 à 4 (3.5 pour la
majorité des situations), les éléments présentant les indices les plus faibles étant les moins
fiables. Un bon contrôle des charges et de la résistance tend à réduire les écarts types,
augmentant ainsi l’indice de fiabilité et diminuant conséquemment la probabilité de
Sollicitation Résistance
Prob
abili
té d
e ru
ptur
e
Résistance = N(12, 1.5) Loi de distribution normale Valeur moyenne : 12 Écart-type : 1.5 Sollicitation = N(9,1.25) Loi de distribution normale Valeur moyenne : 9 Écart-type : 1.25
Pf = 7.2% β = 1.46
. Point associé à la rupture (R<S)
17
rupture. Un grand écart entre la résistance et les charges moyennes contribue également à
augmenter l’indice de fiabilité β (Nawy, 2003). Quoi qu’il en soit, il importe de bien
évaluer l’indice de fiabilité β afin d’obtenir un compromis entre l’aspect sécurité et les
implications financières qui découlent de sa surestimation.
L’indice de fiabilité visé traduit les diverses sources d’imprécision en permettant de
déterminer les facteurs de pondération des charges et des résistances des matériaux. La
norme suggère en fait, dans la conception d’éléments structuraux, de majorer les charges
appliquées en multipliant par un facteur de pondération allant jusqu’à 1.77 pour les charges
mortes (ou voir tableau 14.12.2.1 de la norme CAN/CSA-S6-00), et 1.96 pour les
surcharges (tableaux 14.12.3.1 et 14.12.3.2 de la norme CAN/CSA-S6-00). Le type de
structure ainsi que toutes les combinaisons de charges reliées entre autres au vent, à la
neige, aux séismes et aux charges de construction doivent être considérés dans les calculs.
La résistance des matériaux doit également être pondérée, mais cette fois à la baisse, afin de
tenir compte de la variabilité des matériaux. Ces coefficients de pondération des matériaux
sont de Фc =0.65 pour le béton et de Фc =0.85 pour l’acier (CAN/CSA-S6-00). De plus, des
facteurs de réduction supplémentaires de la résistance sont proposés afin de tenir compte
des divers efforts appliqués et de leurs interactions. Ces facteurs atteignent 0.7 dans certains
cas d’interaction entre les efforts axiaux et la flexion, et 0.85 lorsqu’il y a du cisaillement
(MacGregor, 1997).
Les codes de calcul des bâtiments et des ponts (CAN/CSA-A23.3-04 et CAN/CSA-S6-00)
s’inspirent des principes de base de la théorie de poutres et de la résistance des matériaux.
Ils considèrent l’état hétérogène d’une section de béton armé ainsi que le comportement
non-linéaire de ses matériaux constituants (béton et acier.) Toutefois, les codes se basent
sur quelques hypothèses simplificatrices ou conservatrices qui permettent d’éviter
l’utilisation de processus itératifs et rendent les étapes de conception plus rapides et
sécuritaires. Ces simplifications sont par exemple, pour la flexion :
18
- La déformation effective maximale au niveau de la fibre extrême comprimée du
béton est égale à 0.0035, à moins que le béton ne soit confiné.
- La résistance à la traction du béton ne doit pas être prise en compte dans le calcul de
la résistance pondérée en flexion (figure 2.2).
- L’acier possède une limite élastique et un plateau plastique prédéfini, c’est-à-dire
que l’écrouissage est négligé.
- L’utilisation d’un bloc rectangulaire de contraintes de compression dans le béton,
tel que l’illustre la figure 2.2.
Figure 2.2: Bloc de contrainte équivalent
De plus, dans le but de simplifier la procédure, plusieurs sources secondaires de résistances
sont négligées (redondance structurale, conditions de retenue, parapets, etc.).
Bref, la philosophie conservatrice employée par la norme, bien qu’elle permette la
conception des structures très sécuritaires, ne permet pas de connaître de façon exacte la
condition ou la capacité réelle d’un ouvrage. Elle simplifie, dans un premier temps, le
calcul à l’ultime et le rend conservateur, en plus de ne donner que peu d’informations en
service.
Axe neutre
Déformations Contraintes réelles
Contraintes équivalentes
εcu = 0.0035
a
0.85f’c
σs σs
Négligé
19
2.1.2.Surveillance électronique des ponts
Les auteurs de la norme canadienne sur les ponts (CAN/CSA-S6-2000), étant conscients de
la difficulté d’évaluer la capacité réelle d’un ouvrage, suggèrent des méthodes alternatives
telles des analyses élaborées (méthode du grillage, éléments finis, etc.), la détermination
des propriétés des matériaux en place, les essais de chargement, la surveillance
électronique, etc. Davantage de détails sont présentés dans Perron (2004). La présente étude
s’attarde davantage à cette dernière suggestion, soit la surveillance électronique des ponts.
Cette technique consiste à suivre le comportement physique et mécanique d’un ouvrage et
de ses matériaux (déformation, déplacement, rotation, etc.) par l’acquisition de données à
partir d’un ensemble de capteurs de mesure (jauge de déformation, corde vibrante,
inclinomètre, potentiomètre, accéléromètre, etc.). L’utilisation de la télésurveillance
augmente le niveau d’information et de compréhension des aspects liés au comportement
structural des ponts en service. Elle doit toutefois s’effectuer en continue, plutôt que par des
mesures ponctuelles, afin de tenir compte de l’interaction d’effets thermiques et saisonniers
dans l’interprétation des mesures. Il est toutefois généralement très difficile de relier les
données de télésurveillance à la performance globale de la structure. Couplé à un modèle de
simulation du comportement, il s’agit d’un processus d’évaluation complémentaire qui peut
être intéressant d’utiliser sur des ouvrages neufs ou endommagés pour suivre les tendances
de la structure, de l’élément ou de la réparation télésurveillée. Ces tendances servent alors
d’indicateurs de la performance de la structure à supporter les charges qui lui sont
imposées. L’existence d’une dégradation est ainsi mise en évidence et la progression de
l’endommagement est détectée.
Il importe également d’établir des seuils d’alarme de l’endommagement dans le cas d’une
accélération des dégradations ou un dépassement de certaines valeurs limites. Il n’existe
toutefois pas de méthode clairement définie dans la littérature sur la façon d’établir les
seuils d’alarme (Perron, 2004), lacune qui découle de la difficulté à évaluer la capacité et le
comportement réel des ouvrages. Un effort doit donc être fait afin de mieux comprendre le
comportement des matériaux et des structures dans l’objectif d’établir les seuils d’alarme
les plus réalistes possibles.
20
2.1.3.Modèles existants
Dans les dernières décennies, plusieurs modèles ont été développés pour représenter le
comportement d’éléments fléchis en béton armé, plus particulièrement pour prévoir
l’évolution du comportement avec les cycles de chargement (Kashani, 1984; Savard, 2003;
Bentz, 2000; Ghrib et Tinawi, 1995; Ibarra et coll, 2005; Kaklauskas, 2004). Chacun des
modèles comporte des avantages et certaines limitations. Ils doivent idéalement constituer
un amalgame équilibré des hypothèses réalistes qui vérifient les exigences de continuité, de
stabilité et d’unicité. Ils doivent également impliquer un temps et volume de calculs
acceptables et présenter une concordance raisonnable et une simulation adéquate des
résultats expérimentaux.
Plusieurs modèles de prédiction du comportement d’éléments en béton armé fléchis soumis
à des chargements cycliques, dont celui proposé par Kashani (1984) et par Savard (2003),
se basent sur l’hypothèse d’une profondeur d’axe neutre constante. Cette hypothèse
simplificatrice tend à surestimer l’endommagement produit, donc à sous-estimer la capacité
de la section. Quoi qu’à priori conservatrice, cette approche est risquée en télésurveillance
puisqu’elle tend à surestimer les seuils d’alarmes et, par conséquent, les indices de
défaillance.
Un modèle de simulation intéressant est Response, un programme développé à l’Université
de Toronto dans le cadre de la thèse de Evan C. Bentz (Bentz, 2000) et supervisé par le
professeur Michael P. Collins. Ce modèle s’applique sur la « Modified Compression Field
Theory » (Collins et Mitchell, 1987) et s’avère un modèle rapide, efficace et puissant, mais
qui jusqu’alors n’inclut pas un endommagement possible des matériaux. Ce programme
permet par conséquent de comparer et valider les résultats des chargements statiques
générés et obtenus de cette étude.
Perron (2004) compare les calculs la capacité réelle d’un ouvrage émanant de l’utilisation
de la norme CAN/CSA-S6-00 avec l’évaluation par une analyse raffinée utilisant un
logiciel d’analyse des structures. Il conclut que ce dernier type d’analyse, moins
conservateur ou restrictif que la norme, est satisfaisant pour la prédiction du comportement
21
en service. Toutefois, les prédictions à l’ultime se basent sur les calculs de la norme et sont
par conséquent aussi conservateurs. Il suggère d’améliorer et de compléter les résultats
obtenus en utilisant une modélisation par la méthode des éléments finis, méthode plus
souple pour l’intégration de l’état d’endommagement de la structure, mais tout de même
problématique. En effet, dans la modélisation par éléments finis en béton armé, la
principale difficulté réside dans une modélisation adéquate de l’initiation et de la
propagation des fissures, ce qui est indispensable à l’élaboration d’un modèle fiable et
représentatif pour le béton armé. Deux approches peuvent simuler la fissuration en
modélisation par éléments finis : une approche explicite qui consiste à dédoubler les nœuds
à l’interface des fissures; une répartition uniforme et moyenne de la fissuration dans la
masse de béton. Le logiciel d’analyse par éléments finis Abaqus a la capacité de modéliser
l’endommagement progressif et la rupture de matériaux basés sur la réponse du matériau
sain, un critère de l’initiation de l’endommagement et une diminution de la rigidité du
matériau. La taille de la zone modélisable est toutefois relativement petite pour inclure une
poutre entière.
Dans cette ligne d’idées, le Laboratoire de Structures de l’Institut National des Sciences
Appliquées (INSA) de Lyon a élaboré un modèle numérique pour l’analyse de structures
planes en béton armé sous chargements mécaniques et thermiques qui s’intègre dans un
code de calcul par éléments finis (Kashani, 1984; Merabet, 1990; Djerroud, 1992; Millard,
1996; Nechnech, 2000). Il s’agit d’un modèle d’analyse du comportement local qui utilise
une variable d’endommagement isotrope pour engendrer des endommagements ponctuels.
Ce programme est basé sur les principes de la thermodynamique des processus irréversibles
et considère une fissuration discrète. Le comportement des matériaux est abordé dans un
cadre de plasticité couplé, c’est-à-dire qui tient compte de l’apparition de déformations
permanentes et de l’évolution du module d’élasticité. Ce modèle s’apparente aux efforts
déployés dans le présent projet, mais considère davantage une approche microscopique et
ponctuelle du comportement. De plus, en s’intégrant dans un code de calcul en éléments
finis, son accessibilité s’en trouve limitée et par conséquent, son utilisation.
22
Ghrib et Tinawi (1995) ont également proposé un modèle d’endommagement qui
s’implante dans un code de calcul par éléments finis. Ils ont développé une extension au
modèle isotrope pour tenir compte du caractère anisotrope de l’endommagement, et ce en
se basant sur le concept d’équivalence de l’énergie complémentaire. De plus, ils ont
augmenté la capacité des modèles anisotropes basés sur des concepts énergétiques pour
l’analyse d’un comportement cyclique par l’imposition d’un critère d’ouverture et de
fermeture des fissures. La formulation passe par une étape d’homogénéisation des
déformations du matériau fissuré pour définir un matériau homogène équivalent. Le lien
entre la configuration réelle et homogénéisée est établi en égalant la quantité d’énergie
dissipée possible pour chacun d’entre eux. Cette technique, bien que représentative, est
relativement complexe et difficilement accessible.
2.2. Évaluation du comportement en cisaillement
Le but de la présente section est de présenter l’état actuel des connaissances et des
recommandations en ce qui concerne les calculs de résistance au cisaillement d’éléments en
béton armé. En effet, dans la conception de poutres en béton armé, le comportement en
flexion est d’abord considéré afin de dimensionner la section de manière à favoriser une
rupture à l’ultime qui soit graduelle et ductile. Des vérifications sont ensuite effectuées afin
d’éviter une rupture fragile en cisaillement en tout point de la poutre. Bien qu’il y ait
réduction de la résistance à la flexion due à la présence d’efforts de cisaillement, la norme
simplifie habituellement leurs effets combinés en ne considérant que la combinaison la plus
critique. Les efforts de cisaillement, tout comme leur interaction avec les efforts de flexion,
méritent d’être mieux compris pour être mieux exploités par les normes ou par des modèles
de simulation.
2.2.1. Norme sur les ponts (CAN/CSA-S6-2000)
Tel que démontré à la section 2.1 dans l’évaluation du comportement en flexion, la norme
tend vers des calculs simplificateurs et conservateurs. La même tendance est décelée dans
l’évaluation du comportement en cisaillement (CAN/CSA-S6-00 et CAN/CSA-A23.3-04)
23
puisqu’elle utilise plusieurs facteurs de pondération, équations empiriques et surtout
hypothèses très simplificatrices (entre autres quant à l’angle d’inclinaison des contraintes
principales) qui rendent difficile l’évaluation réelle de la résistance au cisaillement. La
présence d’armature de flexion contribue à la résistance en cisaillement, mais la norme des
bâtiments (CAN/CSA-A23.3-04) la néglige, considérant plutôt que seuls le béton et les
étriers reprennent les efforts de cisaillement. De la portion reprise par le béton, seule l’âme
des poutres est considérée dans la contribution à la résistance à l’effort tranchant, ce qui
implique de considérer une profondeur effective (dv) équivalente à 90% de sa valeur initiale
(d). La figure 2.3 illustre cette nomenclature utilisée pour les poutres en T à des fins de
simplifications.
Figure 2.3: Nomenclature des poutres en T
(tirée de Massicotte et Beaupré, 2006)
La norme CAN/CSA-A23.3-04 adopte trois méthodes de calcul de la résistance à l’effort
tranchant, soit la méthode simplifiée, la méthode générale, basée sur la théorie du champ de
compression, et la méthode des bielles et tirants. Les démarches de calculs de résistance au
cisaillement diffèrent dépendamment de la portée de la poutre, particulièrement du rapport
de la distance entre l’appui et la charge appliquée sur la profondeur des armatures
longitudinales (a/d). La méthode des bielles et tirants implique des calculs laborieux qui
tendent à surdimensionner l’armature dans le cas de conditions simples. Elle s’applique
davantage aux poutres profondes ou en présence de discontinuité de la géométrie de
l’élément. Cette théorie est détaillée dans divers ouvrages de référence (MacGregor,1997;
Pillai et coll., 2002).
d dv
24
Dans la méthode simplifiée et générale, la contribution du béton (Vc) et la contribution des
aciers transversaux (Vs) se traduisent respectivement par les équations 2 et 3 ci-dessous. La
contribution du béton dans la résistance à l’effort tranchant est en partie reliée à la
résistance en traction du béton, tandis que celle de l’acier dépend du nombre d’étriers
traversant une fissure et de la composante verticale des efforts dans les étriers.
vw'ccc dbf2.5 V βφ= (Équation 2)
θφ
tandAf
V vvyss s
= (Équation 3)
où φc et φs sont les coefficients de tenue des matériaux, respectivement du béton (φc =0.65)
et de l’acier (φs =0.85), bw est la largeur de la partie la plus étroite de l’âme, dv la distance
des aciers tendus à la face comprimée, s est l’espacement des aciers transversaux, θ l’angle
d’inclinaison des fissures par rapport à l’horizontal, f’c est la limite d’élasticité du béton et
fy celle de l’acier. La valeur de β, à ne pas confondre avec l’indice de fiabilité discuté à la
section 2.1.1, dépendait normalement d’un double processus itératif relié à la contrainte
nominale de cisaillement (v / cφ f’c), à la déformation longitudinale εx et à l’angle
d’inclinaison θ. La méthode de calcul simplifiée recommande désormais d’abréger la
démarche en supposant une valeur de cet angle de 35° et de β de 0.18 (si l’armature
transversale respecte certaines limites indiquées), ce qui diminue considérablement la
précision des calculs et sous-estimant la résistance au cisaillement. La méthode générale
s’avère plus rationnelle et considère la variation de l’angle d’inclinaison des fissures en
fonction des efforts présents à la section considérée. Les détails de la démarche de calculs
sont présentés par la norme canadienne des ponts (CAN-CSA-S6-00, section 8.9.3) et dans
Pillai et coll. (2002). Cette approche, très complexe à mettre en œuvre, est par conséquent
non-utilisée.
2.2.2. Modèles existants
Dans l’objectif de mieux comprendre et mieux intégrer les efforts de cisaillement à des
modèles de simulation du comportement d’éléments en béton armé, il est intéressant de
25
décrire les principales théories et les divers modèles existants. Jusqu’à maintenant,
plusieurs modèles analytiques basés sur des méthodes d’élément finis non-linéaires
(Biskinis et coll., 2004; Park et Klingner, 1997; Said et coll., 2005) ont étés proposés pour
représenter plus fidèlement le comportement en cisaillement d’éléments de béton armé. La
plupart de ces modèles emploient une approche microscopique, basée sur la théorie des
dislocations, dans lesquels le béton, l’acier et l’adhérence sont traités séparément et leurs
caractéristiques sont définies précisément en termes microscopiques.
Pour remplacer ces modèles microscopiques, des modèles basés sur le béton armé fissuré
sont formulés à partir des conditions moyennes de contraintes-déformations. Ces modèles
macroscopiques du comportement en cisaillement prennent de la popularité par rapport aux
modèles microscopiques d’analyse par éléments finis pour des structures de béton. Ils sont
en effet considérés plus rationnels et pratiques lors de l’évaluation du comportement global
d’une structure. Ils se basent sur le principe que les contraintes normales maximales
(tension) et minimales (compression) agissant sur cet élément sont considérées comme les
contraintes principales (respectivement f1 et f2, figure 2.4), tel que décrit par divers
ouvrages de référence (MacGregor, 1997; Craig, 2000). Les fissures apparaissent
initialement perpendiculairement à l’orientation des contraintes principales de traction.
L’orientation des contraintes principales varie avec l’augmentation des charges et des
efforts développés dans les armatures, affectant par le fait même l’orientation et la
progression des fissures de cisaillement.
Figure 2.4: Contrainte principales sur un élément cisaillé
f2 f1 τ
fx θ
fy
26
Les modèles macroscopiques doivent satisfaire les trois principes de la mécanique des
matériaux, soit la compatibilité des déformations, l’équilibre des contraintes et les lois de
comportement des matériaux acier et béton.
1. Conditions de compatibilité des déformations: L’inclinaison des contraintes
principales coïncide avec l’angle d’inclinaison des déformations principales. Il y
a compatibilité des déformations en se basant sur le principe des cercles de
Mohr (équation 4 et figure 2.5), en considérant que εx est la déformation
longitudinale et εt la déformation transversale de l’élément.
2
2²tanεεεεθ
−−
=t
x(Équation 4)
21 εεεε +=+ tx (Équation 5)
Figure 2.5: Cercle de Mohr des déformations
2. Conditions d’équilibre: Les contraintes moyennes dans l’armature et dans le
béton doivent être égales aux contraintes totales agissant sur l’élément de béton
armé (figure 2.6 et 2.7).
2θ ε ε1 ε2 εx εt
τ )
2)(
),(( 2121
εεεε −+
27
La somme des forces horizontales (Nv) et verticales (V) (équation 6 et(équation
7) est nulle. Av représente l’aire d’une armature transversale et fv a limite
élastique, tandis que Asx et fsx représentent respectivement l’aire de l’acier
longitudinal et sa limite élastique.
sxsxvwv fAdbfVN −−= 1tanθ (Équation 6)
θθ tantan1 vwvvv dbf
sdfA
V += (Équation 7)
Figure 2.6: Efforts de cisaillement dans une poutre en béton armé
Figure 2.7: Efforts principaux de cisaillement dans une poutre en béton armé
3. Lois de comportement : constituées des courbes contrainte-déformation des
différents matériaux.
s
Avfy
Asxfsx
fcx
fcy
θ
dv/tanθ
s
dv/tanθ
f2
f1
28
Ces modèles macroscopiques comptent entre autres la Théorie du champ de compression
(Vecchio and Collins, 1986), le Rotating-angle softened truss model (Belarbi and Hsu,
1994; Pang and Hsu, 1995), le Fixed-angle softened truss model (Pang and Hsu, 1996; Hsu
and Zhang, 1997; Zhu et coll., 2001) ainsi que le Softened membrane model (Hsu and Zhu,
2002). Parmi eux, le modèle proposé par Vecchio et Collins (1981) est considéré, selon
Ohomori et coll. (1989), comme très puissant pour sa rationalité et sa relative simplicité. Il
est donc intéressant de s’y attarder davantage dans l’objectif de l’intégrer dans un modèle
de prédiction du comportement d’éléments en béton armé cisaillés.
Théorie du champ de compression
La Théorie du champ de compression est un modèle macroscopique, proposé par Vecchio
et Collins (1986). Elle se base sur la méthode des bielles et tirants en représentant une
section de poutre par une succession de fissures diagonales traversées par des étriers (figure
2.6 et 2.7). Les contraintes principales de compression se traduisent à partir de l’équilibre
des efforts horizontaux et verticaux sur une section (équation 8).
12 )tan
1(tan fdb
Vfvw
−+=θ
θ (Équation 8)
La rupture du béton survient lorsque la contrainte principale en compression atteint la
résistance du béton. Il faut toutefois noter que cette résistance diminue en fonction des
déformations principales en tension, soit les déformations perpendiculaires à la fissuration.
En effet, lorsque la fissuration survient dans des éléments de béton armés cisaillés, la
résistance et rigidité du béton comprimé et situé parallèlement aux fissures sont réduites.
Les fissures nuisent en effet au transfert des efforts de cisaillement, augmentant les efforts
de compressions afin de maintenir l’équilibre. La contrainte principale de compression dans
le béton (f2) après la fissuration (dans l’axe parallèle aux fissures) décroît avec
l’augmentation des déformations principales en tension. La contrainte principale en
compression est par conséquent limitée (équation 9).
29
1
'
max2 1708.0 ε+= cf
f (Équation 9)
La relation contrainte déformation dans l’axe parallèle aux fissures est par conséquent
modifiée, tel que le traduit Vecchio (1999) avec une équation parabolique simplifiée
(équation 10).
)²]'
()'
(2[ 22max22
cc
ffεε
εε
−= (Équation 10)
Dans cette équation, ε’c correspond à la déformation associée à la résistance maximale en
compression, valeur supposée à 0.002 selon Vecchio (1999). L’état de contrainte varie donc
en fonction de l’angle de rotation et de déformation principale en tension, c’est-à-dire que
la loi du béton est mise à jour pour tenir compte des contraintes bidirectionnelles. (Collins
et Mitchell, 1987).
Une modification fut apportée à la théorie initiale suggérée par Vecchio et Collins (1981).
Cette version modifiée (Théorie du champ de compression modifiée) considère un transfert
des contraintes au travers des fissures par la friction ou l’interaction des granulats. La
grandeur de ces contraintes est fonction de l’ouverture des fissures qui est fonction de
l’espacement des fissures et des étriers (MacGregor, 1997). Le comportement réel est ainsi
mieux représenté puisqu’il inclut une certaine contribution du béton à la résistance au
cisaillement.
2.3. Conclusion
Après l’analyse des divers modèles et théories de prédiction du comportement d’éléments
en béton armé, il est intéressant de remarquer et d’en ressortir les principales lacunes. Il est
d’abord idéal de s’attendre à ce que le modèle soit relativement accessible d’utilisation et
qu’il implique des temps de calcul raisonnables. Les modèles qui s’intègrent à des
programmes d’éléments finis, qui nécessitent donc des formations particulières, sont par
30
conséquent à éviter. Les modèles doivent se limiter à l’utilisation d’équations empiriques
simplificatrices et conservatrices afin de se coller le plus possible à la réalité.
En flexion, plus particulièrement, les modèles « couche par couche » (Savard, 2003)
semblent très efficaces et représentatifs, à condition de permettre la variation de la position
de l’axe neutre avec l’état de chargement de la section. Le modèle doit pouvoir inclure le
comportement de la section fissurée et celui d’une poutre entière, tout en considérant le
comportement en service autant qu’à l’ultime. De plus, divers types d’endommagements
doivent pouvoir être imposés aux éléments sollicités afin de modéliser des structures âgées
et/ou non intactes. Dans le cadre du présent projet, le modèle doit pouvoir inclure plus
particulièrement les endommagements reliés à leur sollicitation excessive (chargements
cycliques et surcharges).
En cisaillement, la méthode utilisée ne doit idéalement négliger aucune source de résistance
potentielle, tout en considérant leurs interactions. Les hypothèses de compatibilité des
déformations, l’équilibre des contraintes ainsi que les lois de comportement des matériaux
doivent être respectées. La théorie du champ de compression modifiée semble la méthode la
plus complète et rationnelle. Elle semble également être adaptée à l’intégration dans une
modélisation du comportement moyen ou « couche par couche » d’une section, en plus de
permettre l’imposition d’un endommagement potentiel relié au chargement, de par ses lois
de comportement des matériaux.
Bref, l’analyse des divers modèles existants permet d’établir les critères de base d’un
modèle efficace et représentatif du comportement d’éléments en béton armé sollicités en
flexion et en cisaillement. En flexion, la préférence est une modélisation « couche par
couche » permettant la variation de la position de l’axe neutre et distinguant le
comportement de la section et de la poutre entière, tandis qu’en cisaillement, la Théorie du
champ de compression modifiée semble être la mieux adaptée. Ces modèles doivent
permettre la prédiction du comportement en service et à l’ultime des éléments, en plus
d’impliquer des temps de calculs raisonnables pour des volumes modélisés de grandeur
réelle.
3. Description du modèle
L’objectif de ce chapitre est de décrire le modèle de simulation du comportement structural
des poutres en béton armé, développé dans le cadre de ce projet. En effet, suite à la
description des principales difficultés qu’éprouvent les ingénieurs à évaluer de manière
réaliste la capacité des éléments structuraux, l’élaboration d’un outil de prédiction plus
représentatif et pratique s’avère pertinent. La littérature présente divers types de modèles,
des plus raffinés et complexes aux plus empiriques et simplistes. L’approche de
modélisation « couche par couche » représente un bon compromis entre efficacité et
simplicité, en plus de permettre une rapidité de calcul et une bonne représentation de la
réalité.
3.1. Lois de comportement
Le béton armé est un matériau composé d’acier et de béton, deux matériaux aux réponses
mécaniques très différentes lorsque déformés, surtout en traction. Il est donc essentiel, dans
l’objectif de bâtir un modèle de prédiction du comportement d’éléments en béton armé, de
bien comprendre les hypothèses émises et les lois considérées dans la définition du
comportement de chacun de ces matériaux.
Le béton est un matériau composite dont la résistance à la compression et à la traction sont
très différentes; il importe donc de les considérer séparément.
3.1.1. Le béton en compression
Bien que le béton soit constitué de matériaux élastiques et fragiles (granulats, pâte de
ciment), son comportement en compression, que l’on traduit principalement par une
relation contrainte-déformation, est non linéaire et présente une certaine pseudo-ductilité
reliée à la microfissuration du matériau. En effet, lorsque le béton est soumis à des
contraintes supérieures à 40% de sa résistance en compression, la microfissuration s’initie
et tend à se propager parallèlement au chargement lors de son augmentation (MacGregor,
32
1997). La relation contrainte-déformation tend alors à se courber graduellement, traduisant
une perte de rigidité, jusqu’à une augmentation plus rapide des déformations au-delà d’une
contrainte de 70 à 80% de la résistance en compression qui mène à la rupture par fissuration
parallèle à l’axe de chargement. La figure 3.1 illustre la relation contrainte-déformation (σ-
ε) du béton en compression.
Déformation
Con
train
te
ε'c εult
f'c
0,4f'c
Ec
Figure 3.1: Loi de comportement du béton en compression sous chargement statique
Une certaine résistance subsiste après la rupture et se traduit par une branche descendante
dont l’allure dépend des conditions et procédures de l’essai, jusqu’à la déformation ultime
du matériau, généralement admise à 0.0035. Cette valeur n’est en réalité pas constante, elle
tend à diminuer avec l’augmentation de la résistance ultime (Nawy, 2003).
Il existe des dizaines de lois de comportement du béton soumis à un chargement statique
croissant en compression, relations qui se basent pratiquement toutes sur la résistance
ultime du matériau en compression, fc et sur la déformation correspondante, εc. Plusieurs
expressions existent pour déterminer cette déformation (Picard, 1983; Collins & Mitchell,
1987; Elmorsi et coll., 1998), entre autre celle proposée par la « Canadian Standard
Association » (CAN/CSA-A23.3; (équation 11).
33
002.080000
140≥
+= c
cfε ( cf en MPa) (Équation 11)
La relation contrainte-déformation représentant le béton en compression la plus simple est
la parabole, profil qui représente bien l’augmentation croissante de la résistance et sa
diminution subséquente, mais qui tend à surestimer le taux décroissant de contraintes dans
la portion descendante (équation 12).
)²)()(2(cc
cc fεε
εεσ −= (Équation 12)
Les relations plus complexes et représentatives comptent entre autres celle proposée par
Said et coll. (2005) qui propose une modélisation tri-linéaire courbe contrainte-
déformation ascendante. Ce dernier type de modélisation s’avère très complet puisqu’il
inclut la géométrie de la section et possiblement son confinement, mais une modélisation
ascendante tri-linéaire semble simpliste. La relation empirique proposée par Carreira et Chu
(1985), construite à partir de résultats expérimentaux, s’associe très bien à leurs résultats
expérimentaux (équation 13). La relation proposée par Tsai (1988) s’associe bien, selon
Massicotte et Beaupré (2006), à la gamme des bétons modernes (équation 14).
85.168.6
1)(
))1
(1(
E = c
c
−=
−+
−−+
c
c
cc
cc
favec
fE
α
αεε
εε
ααε
εσ α
(Équation 13)
cc
c
c
cc
Ef
avec
f
ε
β
εεβεεβσ β
−=
+−
1
1)(1
)( = c
(Équation 14)
34
La relation proposée par Desayi et Krisnan (1964) constitue, selon Neville (1995), la plus
représentative de la réalité (équation 15). Toutefois, on admet dans cette relation que le
module tangent initial correspond au double du module sécant à la contrainte maximale
( ccc fE ε2= ), ce qui constitue une hypothèse questionnable puisque très simplificatrice.
En effet, l’augmentation de la résistance ultime du béton en compression ( cf ) s’effectue
progressivement, plus rapidement que celle du module d’élasticité cE . La relation entre le
module tangent initial et le module d’élasticité est donc non linéaire et mieux représentée
par une relation exponentielle (Neville, 1995).
)²(1
)(2
)²(1c
cc
c
cc
fE
εεεε
εεεσ
+=
+= (Équation 15)
Le modèle développé dans le cadre de ce projet inclus la possibilité d’utiliser l’une ou
l’autre des trois dernières relations présentées, soit Carreira et Chu (1985) (équation 13),
Tsai (1988) (équation 14) et Desayi et Krisnan (1964) (équation 15). Cette dernière est
toutefois privilégiée lors des analyses réalisées dans le cadre du présent projet.
Prise en compte de l’endommagement en compression
L’effet des chargements cycliques dans le béton est principalement associé, au niveau
microscopique, au développement de la microfissuration et plusieurs phénomènes connexes
(effets de frottement entre les surfaces des microfissures qui empêchent leur re-fermeture
complète après déchargement, endommagement de l’interface pâte-granulat, entre autres
par abrasion des granulats). Ces endommagements microscopiques se traduisent par des
modifications au niveau des propriétés macroscopiques, soit par une diminution de la
rigidité et de la résistance ainsi que par l’apparition de déformations permanentes. Ces
phénomènes doivent par conséquent être considérés dans l’élaboration d’une loi de
comportement incluant l’endommagement du béton.
35
Il existe une littérature très abondante concernant les lois d’endommagements cycliques du
béton en compression. L’enveloppe des contraintes maximales associées à des cycles de
chargement/déchargement se confond avec la courbe contrainte-déformation reliée à
l’application d’un chargement statique croissant (MacGregor, 1997; Collins et Mitchell,
1987). Tous les chargements qui croisent cette enveloppe se retrouvent indépendants de
l’historique de chargement en s’associant de nouveau à la courbe de chargement statique.
En compression, la fissuration survient, selon le code canadien des ponts (CAN/CSA-S6-
00) et divers auteurs tels MacGregor (1997), à 40% de la résistance ultime du matériau,
pour un béton de densité normale. Cette limite, quoique possiblement conservatrice, est
considérée dans le présent modèle. Un cycle de chargement associé à une contrainte
inférieure à cette limite élastique n’impose pas de déformations permanentes et est par
conséquent négligeable, tandis qu’une contrainte supérieure engendre un endommagement
permanent du matériau.
Les déformations permanentes, supposées indépendantes de la contrainte minimale
appliquée (Aas-Jakobsen et Lenschow, 1973), sont plutôt reliées à la déformation maximale
atteinte. Des essais réalisés par Neild et coll. (2002) ont démontré que les déformations
permanentes sont approximativement le cinquième des déformations maximales atteintes
lors des chargements. Plusieurs relations semblables sont proposées pour prédire les
déformations permanentes en fonction des déformations maximales atteintes ( unε ) (Noh,
2003; Vecchio, 1999). La relation retenue dans le présent modèle est celle proposée par
Palermo et Vecchio (2003) pour sa reproductibilité des résultats expérimentaux (équation
16).
)](132.0)²(166.0[c
un
c
uncp ε
εεεεε += (Équation 16)
Il est intéressant de noter, étant donné le principe « couche par couche » du modèle
développé, que les lois d’endommagement s’appliquent à chacune d’elles, permettant de
retenir une déformation permanente pour chacune des couches de l’élément modélisé. De
36
plus, les déformations permanentes enregistrées à chaque cycle de chargement sont
considérées dans l’analyse lors du chargement suivant, affaiblissant ainsi graduellement la
section étudiée.
La courbe de déchargement du béton avant l’atteinte de la contrainte ultime est
approximativement linéaire, parallèle au module élastique, et la courbe de rechargement s’y
confond. Une fois la résistance fc dépassée, les hystérèses sont plus prononcées et moins
rigides. La branche de déchargement peut être modélisée par une relation linéaire, bilinéaire
(par 2 droites de pentes distinctes) ou bien un profil courbe (figure 3.2). Une modélisation
linéaire du déchargement (Elmorsi et coll., 1998; Bahn et Hsu, 1998) constitue une
approche très simplifiée, tandis qu’une modélisation bilinéaire s’associe davantage à la
diminution brusque de la rigidité due aux déformations plastiques formées lors des cycles
précédents (Noh et coll., 2003).
Palermo et Vecchio (2003) proposent un modèle pour lequel la branche de déchargement
est courbe puisqu’ils considèrent qu’une relation linéaire n’implique pas l’énergie dissipée
lors des cycles, fait appuyé par leurs observations expérimentales. Ils traduisent
l’expression de la branche de déchargement en fonction de la rigidité au point de
déchargement, ce qui se traduit par une expression complexe non-considérée dans le
présent modèle. Bahn et Hsu (1998) considèrent également que le type d’équation adopté
doit pouvoir refléter la variation du degré de non-linéarité le long de la courbe. Ils
constatent, suite à l’observation et la comparaison de diverses expressions mathématiques
de déchargement, que les équations de puissance sont plus stables que celles de type
polynomiale ou exponentiel. Elles permettent également de représenter l’évolution de la
courbure de cette branche avec la progression de l’endommagement, plus particulièrement
des déformations permanentes (équation 17).
cp
pun
pcunc f εε
εεεε
σ /1)( +
−−
= (Équation 17)
37
L’exposant cp εε /1+ caractérise la non-linéarité grandissante de la courbe de
déchargement au fur et à mesure que les déformations permanentes εp augmentent. La
figure 3.2 compare les types de profils de déchargements linéaire, bilinéaire et courbe.
Déformation
Con
train
te
εp
(Bahn & Hsu, 1998)
(Elmorsi et coll., 1998)
(Noh et coll., 2003)
Figure 3.2: Comparaison des profils de déchargement possibles (béton en compression)
Le rechargement peut être traduit par une relation linéaire qui part du point de
rechargement (εro, fro) jusqu’à la courbe du comportement statique utilisée à titre
d’enveloppe. Il est important de considérer la dégradation résultant d’un cycle, c’est-à-dire
que la courbe de rechargement ne rejoint pas la courbe de déchargement sur l’enveloppe de
rupture. Elmorsi et coll. (1998) posent le point de rencontre entre les courbes de
déchargement et de rechargement à 70% de la contrainte de déchargement. Ce concept est
choisi pour représenter le rechargement dans le modèle (équation 18).
)7.0
)((ro
rounrocroc x
fff
εεεεσ
−−
−+=
avec cp
punpx εε
εεεε+
−+=1
1
)7.0)((
(Équation 18)
38
La figure 3.3 illustre un exemple de profil de déchargement et de rechargement du béton en
compression choisi pour le modèle développé dans cette étude.
Déformation
Con
train
te
εp
(εro, fro)
(εun, fun)
0,7 fun
(Bahn & Hsu, 1998)
Figure 3.3: Comportement hystérétique du béton en compression
3.1.2. Le béton en traction
Le comportement en traction du béton est caractérisé par une propagation stable et
constante de fissures perpendiculairement à l’axe de chargement qui se traduit par une
relation pratiquement linéaire et proportionnelle au module d’élasticité du béton, jusqu’à
l’atteinte de la limite en tension fcr. En l’absence de données expérimentales, cette limite
peut être reliée à la résistance en compression (équation 19) selon la norme des ponts
(CAN/CSA-S6-2000) et pour béton de densité normale.
ccr ff 4.0= ( cf en MPa) (Équation 19)
Cette limite représente la coalescence de microfissures pour mener à la propagation rapide
d’une fissure localisée (macrofissure) qui fait diminuer drastiquement la contrainte sous
déformation croissante. Il est alors généralement considéré que le béton en traction ne peut
39
reprendre aucun effort, c’est-à-dire que la résistance en traction du béton est négligée après
la fissuration.
Dans l’analyse du comportement global d’un élément de béton armé, après la fissuration, la
présence de béton ne doit pas être négligée puisque le comportement d’une barre d’acier
seule n’est pas le même que celui d’une barre enrobée de béton. Ce phénomène, remarqué
depuis près de 100 ans, est nommé le « Tension Stiffening ». Il permet de prendre en
compte, dans le comportement global, l’apport positif du béton entourant les barres
d’armature entre les fissures dans les zones en traction. Il se traduit en fait par une équation
empirique, ne s’appliquant pas au comportement local réel d’une section, mais représentant
plutôt le comportement global du béton armé tendu. Le « Tension Stiffening » peut être
incorporé à l’une ou l’autre des lois de comportement des matériaux acier et béton. Des
calculs comparatifs ont démontrés que les deux manières donnent des résultats presque
identiques, mais que celle s’associant au béton s’insère mieux au modèle et implique des
temps de calculs plus courts (Djerroud, 1992).
Pour le béton, cet effet est inclus en ajoutant, après la fissuration et lors de l’analyse du
comportement global de l’élément, une branche descendante à la loi de comportement du
béton en traction. Quelques expressions furent proposées (Kwak et Kim, 2004; Okamura et
Maekawa, 1991), dont Stevens et coll. (1987) qui appuient leur expression sur le
pourcentage, le diamètre des armatures et l’état des déformations. L’expression empirique
représentant le comportement post-fissuration la plus répandue dans les divers modèles de
simulation est celle proposée par Vecchio et Collins (1986) qui s’applique pour les barres
crénelées (équation 20).
c
crc
fε
σ5001 +
= (fcr en MPa) (Équation 20)
Cette relation est valide pour le béton environnant les armatures, situé à l’intérieur d’un
rayon équivalent à 7.5 fois le diamètre de l’armature concernée de part et d’autre de celle-ci
(figure 3.4). Ces zones doivent donc être considérées indépendamment de béton tendu plus
éloigné. Cette distinction est prise en compte dans la discrétisation de la section où deux
40
types de béton sont considérés; un béton pour les couches situées à proximité des
armatures, qui inclut le phénomène de « Tension Stiffening » et un béton pour les couches
plus éloignées qui n’implique que la portion élastique du comportement en traction (figure
3.4).
Figure 3.4: Application et rayon d'influence du "Tension Stiffening"
Prise en compte de l’endommagement en traction
L’analyse hystérétique du comportement du béton en tension diffère selon le type
d’analyse. L’analyse d’une section de béton armé fissurée (ne considérant pas l’effet du
« Tension Stiffening ») n’inclut pas l’endommagement cyclique. Une fois la limite de
fissuration fcr atteinte, la fissure est irréversible. Toutefois, lorsque le comportement global
de l’élément est considéré (incluant l’effet du « Tension Stiffening ») et que cette limite de
fissuration est atteinte, les hystérèses de chargement sont possibles. La relation représentant
le comportement statique du béton en traction correspond à l’enveloppe de rupture pour des
chargements cycliques ou surcharges (Fantilli et Vallini, 2004). Les hystérèses des cycles
de chargement en traction sont caractérisées, tout comme en compression, par l’apparition
de déformations permanentes ( tpε ) et par une diminution de la rigidité. Cet
endommagement empirique et globalisé est principalement relié à la présence de
contraintes résiduelles près des fissures suite à chacune des phases de déchargement. Les
déformations permanentes engendrées à chaque cycle sont reliées, selon Palermo et
Vecchio (2003), à la déformation maximale atteinte ( unε ), soit juste avant le déchargement
(équation 21).
Section Global
ε
σ
Rayon = 7.5(dbarre)
41
ununtp εεε 523.0146 2 += (Équation 21)
Cette équation présente toutefois des limites. En effet, au-delà d’une déformation de
déchargement supérieure à 0.0032, la déformation plastique devient supérieure à la
déformation maximale atteinte, ce qui apparaît illogique. Par conséquent, la déformation
permanente en traction est supposée au 2/3 de la déformation maximale atteinte (équation
22).
3
2 untp
εε = (Équation 22)
La réponse au déchargement utilisée dans le présent modèle est considérée linéaire, jusqu’à
l’atteinte de la déformation permanente tpε (équation 22). Il y a par conséquent
accumulation de déformations permanentes seulement pour des hystérèses qui se forment à
des déformations supérieures à la déformation de déchargement ( unε ) maximale atteinte
dans l’historique de chargement (équation 23).
)()( tp
tpun
unc
ff εε
εε−
−= (Équation 23)
Selon Palermo et Vecchio (2003), des résultats expérimentaux ont démontré qu’une
modélisation linéaire du rechargement est suffisante pour prédire la réponse du béton en
traction, jusqu’à son retour sur la courbe de chargement normale. Ils proposent donc la
relation suivante (équation 24), également valable pour les rechargements partiels, qui
inclut une diminution de la rigidité en fonction des points de déchargement et de
rechargement précédents.
)()( εεεε
ββσ −−
−−= un
roun
rountuntc
fff
25.0)(15.111
rount εε
β−+
= (Équation 24)
42
La figure 3.5 illustre l’allure d’une hystérèse du béton en traction ainsi que la notation
utilisée.
Déformation
Con
train
te
εp
Figure 3.5: Comportement hystérétique global du béton en tension
3.1.3. L’acier
L’acier d’armature est utilisé dans le béton armé afin de compenser la faiblesse du béton à
reprendre les efforts de traction. Il est habituellement considéré que les armatures ne sont
sollicitées qu’après la fissuration du béton. Elles présentent une importante ductilité après
l’atteinte de la limite élastique, ce qui, lorsque bien conçu, permet aux éléments de béton
armé fléchis et fissurés d’atteindre l’ultime sans rupture catastrophique.
La relation contrainte-déformation de l’acier tendu est composée d’une portion élastique
linéaire suivie d’un plateau plastique et d’une zone d’écrouissage, tel que l’illustre la figure
3.6:
(εro, fro)
(εun, fun)
(Collins et Mitchell, 1987)
(Palermo et Vecchio, 2003)
cf4.0
43
Déformation
Con
train
te
Figure 3.6: Loi de comportement monotone de l'acier
La zone d’écrouissage n’est généralement pas considérée dans la conception d’éléments en
béton armé, mais il importe d’en tenir compte dans l’élaboration de modèles afin de
représenter le plus fidèlement le comportement véritable de l’acier. Le modèle présenté
dans le présent projet offre par conséquent la possibilité de considérer ou non l’écrouissage
lors de l’analyse du comportement d’éléments en béton armé. Rodriguez et coll. (1999)
propose de représenter la zone d’écrouissage de l’acier par la relation suivante (équation
25).
P
shsu
ssusuysus fff ))((
εεεεσ
−−−+= shs εε >
)(ysu
shsush ff
EPavec−−
=εε
(Équation 25)
où les indices « y » réfèrent à la limite d’élasticité, « sh » au début de la zone d’écrouissage
(strain hardening) et « su » à l’atteinte de la limite ultime de l’acier. Des essais en
compression sur l’acier sont moins fréquents que ceux en traction, surtout à cause des
problèmes potentiels reliés au flambement. Cependant, les relations en compression sont
fy
fsu
εy εsh
Zone élastique
Zone d’écrouissage
Plateau plastique
(Palermo et Vecchio, 2003)
44
considérées pratiquement identiques à celles en traction (Said et coll., 2005; Dodd et
Restrepo-Posada, 1995).
Prise en compte de l’endommagement
Sous chargement cyclique, la relation moment courbure d’un élément en béton armé est
principalement gouvernée par la forme des hystérèses de la relation contrainte-déformation
de l’acier. Une modélisation précise du comportement de l’acier s’avère donc nécessaire
dans l’analyse de ces structures. La dégradation des propriétés mécaniques de l’acier avec
l’accroissement du nombre ou de l’importance des chargements cycliques se traduit par
l’accumulation de déformations permanentes et par une diminution de la rigidité du
matériau.
Il est admis que la courbe monotone représente l’enveloppe limite pour la réponse
contrainte-déformation des chargements cycliques. Ce phénomène, d’abord observé par
Sinha et coll. (1964) et aussi par Karsan et Jirsa (1969) pour le béton seul, est également
applicable pour le béton armé et l’acier, tel qu’expérimenté par divers auteurs tels Mander
et coll. (1988). Ces derniers traduisent le comportement de l’acier par un déchargement
parabolique et un rechargement linéaire (jusqu’au point de déchargement), tandis que Balan
et coll. (1998) et Palermo et Vecchio (2003) proposent plutôt un déchargement linéaire et
un rechargement parabolique. Cette dernière approche est retenue dans le présent modèle
pour sa bonne concordance avec la réalité, mais quelques modifications y sont apportées.
Il importe d’abord de mentionner que l’endommagement s’accumule qu’une fois la limite
élastique (fy) atteinte. L’expression du déchargement est linéaire et dépend de l’expression
d’imposition des déformations permanentes. Cette branche, qui débute par le point de
déchargement ),( unun fε , rejoint la déformation associée à un état de contraintes nulles
)0,( pε correspondant à l’intersection de la courbe de déchargement avec l’abscisse à
l’origine. Les déformations permanentes sont supposées équivalentes à la déformation
plastique maximale atteinte (équation 26). Cette équation d’imposition des déformations
permanentes ne permet toutefois pas de traduire, une fois la limite élastique atteinte, la
45
diminution graduelle de la rigidité au rechargement que produit l’augmentation des cycles
de chargement.
)(s
ysp E
f−= εε (Équation 26)
Lors d’un rechargement, la contrainte est nulle jusqu’à ce que la déformation soit
supérieure à la déformation permanente précédemment enregistrée. Tout comme pour le
béton, les déformations permanentes enregistrées à chaque cycle de chargement sont
considérées dans l’analyse suivante, affaiblissant ainsi graduellement le matériau.
L’expression parabolique du rechargement est également basée sur la diminution de la
rigidité qui est fonction de la déformation maximale atteinte unε (équation 27), mais
l’expression est toutefois davantage complexe que pour le béton. Bien que diverses lois de
rechargement proposées entre autres par Vecchio (1999), Doss et Restrepo-Posada (1995),
Elmorsi et coll. (1998), Palermo et Vecchio (2003), Balan et coll. (1998) et Mansour et
coll. (2001) semblent représentatives, une relation « sur mesure » est développée et utilisée
dans le présent modèle à des fins de simplifications. Cette équation permet de générer des
hystérèses en forme de « boucle » et de traduire une certaine accumulation de
l’endommagement. En effet, la courbe de rechargement rejoint la courbe enveloppe
légèrement plus loin que le point de déchargement, c’est-à-dire que la déformation associée
à la contrainte de déchargement est augmentée de 10% lors du rechargement. La figure 3.7
illustre une hystérésis pour l’acier et résume ainsi la notation utilisée.
3)1.1
1.1)((
unro
unroununs εε
εεσσσσ−
−−−= (Équation 27)
46
Déformation
Con
train
te
(εun, fun)
(εro, fro)
εp
Figure 3.7: Comportement hystérétique de l’acier
3.2. Comportement en flexion
Le but de cette section est de présenter le développement du modèle de simulation du
comportement structural en flexion de poutre en béton armé et de présenter la démarche de
calcul utilisée. Les relations contrainte-déformation du béton et armature établies
précédemment sont utilisées dans ce modèle qui s’applique aux éléments en flexion, dont
les poutres rectangulaires ou en T (fréquent dans les structures de ponts où les dalles font
corps avec les poutres). Ces relations peuvent être étendues pour représenter le
comportement de dalles ou tabliers de pont. Une poutre est, par définition, un élément
structural qui reprend son poids propre et des chargements appliqués en développant des
moments et efforts tranchants de cisaillement internes (MacGregor, 1997). Le moment
résistant résulte d’efforts internes de compression et de traction distants d’une valeur
appelée bras de levier. La réponse d’éléments en flexion peut donc être prédite à l’aide des
lois de comportement, en se basant sur les conditions d’équilibre et de compatibilité, tel que
défini dans les quatre hypothèses fondamentales suivantes :
47 1. Les contraintes dans le béton et l’acier découlent des relations contraintes-
déformations décrites précédemment ;
2. Il doit toujours y avoir équilibre sur la section : la somme des efforts internes
doit égaler celle des efforts externes appliqués ;
3. Les sections planes restent planes (section parallèles à l’axe de flexion) : la
déformation dans le béton varie de façon linéaire sur la hauteur de la section;
4. Les déformations dans le béton et dans l’acier sont identiques pour un même
niveau sur la section : les changements de déformation dans l’armature
adhérente sont égaux aux changements de déformation dans le béton adjacent.
La prédiction du comportement d’une poutre en béton armé en flexion sur appuis simples
se fait, a priori, selon les principes de base de la résistance des matériaux. Dans un premier
temps, on prédit le comportement d’une section de poutre et ensuite on l’intègre sur toute la
longueur de la poutre, qui est divisée en plusieurs sections. Dans les cas qui suivent, la
nuance vient, comme décrit à la section 3.1.2, du « Tension Stiffening ».
3.2.1. Analyse de la section
Le comportement à l’ultime de poutres simplement appuyées et chargées symétriquement
est normalement contrôlé par la zone où le moment fléchissant est maximal, soit la section
du centre. Le diagramme des déformations axiales étant considéré linéaire (hypothèse 3),
seuls deux paramètres sont nécessaires pour le définir à chacune des couches (pour une
position par rapport au centre de gravité y), soit la courbure (φ) et la profondeur de l’axe
neutre (c), qui est la distance des fibres extrêmes en compression et le point de déformation
nulle (figure 3.8).
48
Figure 3.8: Caractérisation du diagramme des déformations
Où y est la distance par rapport au centre de gravité de la section. La structure du modèle
fixe les paramètres (c et φ) et calcule la déformation axiale moyenne sur chacune des
couches (hypothèses 3 et 4) ainsi que la contrainte et l’effort qui y sont associés (hypothèse
1). L’intégration numérique sur la section permet ensuite de calculer l’effort axial (N) et le
moment (M) agissant sur la section. À cette étape, si l’effort axial calculé ne correspond pas
à celui visé (effort axial nul si aucun effort axial externe), la profondeur de l’axe neutre est
modifiée et le calcul est repris (hypothèse 2). Bref, la courbure et la profondeur de l’axe
neutre sont modifiés de façon à équilibrer les efforts sur la section (effort normal, N, et
moment de flexion, M) et à construire la courbe moment-courbure (M-φ). La figure 3.10
illustre le cheminement d’une itération pour une discrétisation qui se fait en plusieurs
couches orientées parallèlement à l’axe neutre de la section, tandis que la figure 3.9 décrit
l’approche utilisée. La procédure est également décrite en détails dans Collins et Mitchell
(1987).
Figure 3.9: Représentation des étapes de calcul requises pour obtenir 1 point de la courbe M-φ
c φ
Béton Acier
Déformations Forces et contraintes
Forces résultantes
M
N
εc max = φy
a
φ
49
Figure 3.10: Démarche de calcul pour construire la courbe M-φ (analyse d’une section de poutre en béton armé fléchie)
Ce double processus itératif, sur l’axe neutre et la courbure, est complété pour construire la
courbe M-φ (moment-courbure) de la section fissurée. Il permet également de suivre
l’évolution des divers paramètres avec l’augmentation du moment fléchissant, entre autres
les déformations et contraintes dans les fibres extrêmes du béton et dans les barres
d’armature.
Prise en compte de l’endommagement
La courbe M-φ est modifiée pour tenir compte de l’endommagement engendré par les
chargements cycliques ou les surcharges. La distinction entre ces deux types
d’endommagement repose sur l’intensité des charges appliquées. Des chargements
inférieurs au moment résistant ultime sont considérés cycliques, tandis que l’application
d’un moment ou d’une courbure affectant le moment ultime est considérée comme une
surcharge. Les deux cas de chargements sont imposés de manière similaire. Les
déformations permanentes enregistrées à chaque cycle de chargement sont incluses dans
l’itération suivante, affaiblissant ainsi graduellement la section étudiée (figure 3.11). Il est
rappelé qu’un chargement inférieur à la limite élastique du béton (0.4fc) n’impose pas de
déformations permanentes et est par conséquent négligeable. Il est également possible de
N=0
φ
M
φι = φι+1
N ≠ 0
Poser une courbure φ
Déterminer la profondeur de l’axe neutre c
Calculer les contraintes
Calculer l’effort normal N
50
simuler directement un certain niveau d’endommagement par l’imposition d’un profil de
déformations permanentes au repos.
Figure 3.11: Démarche de calcul de l'endommagement en flexion
L’approche de discrétisation horizontale de la section associée à des lois de comportement
pour les matériaux qui prennent en compte l’endommagement permet de représenter le plus
justement possible les effets des surcharges et chargements cycliques, puisque seules les
couches ayant réellement atteintes un niveau d’endommagement significatif verront leur
réponse modifiée lors de la réévaluation de la courbe moment-courbure.
3.2.2. Exemple d’application
Afin de bien comprendre le fonctionnement du modèle, et particulièrement le suivi des
déformations permanentes, l’exemple suivant est étudié en détails. La section analysée est
illustrée à la figure 3.12 et les principales propriétés de ces matériaux sont résumées au
tableau 3.1.
M
φ
M
φ
Noter la déformation permanente et le point de déchargement pour
chaque tranche
Relancer les analyses en flexion n = n+1 cycle
εc perm εc max
φmax
εc perm
51
Figure 3.12: Section de béton armé utilisée en exemple
Tableau 3.1 Propriétés des matériaux de la poutre-exemple en surcharges Propriétés Notation Valeur
Résistance à la compression du béton* f’c 35.9 MPa
Résistance à la traction du béton* fcr 1.98 MPa
Module d’Young du béton* Ec 27 000 MPa
Limite élastique des barres d’armature* fy 255 MPa
Module d’Young des barres d’armature* Es 195 000 MPa
Aire de l’acier longitudinal As 16 100 mm²
Aire de l’acier transversal As’ 4 800 mm²
* Obtenus en laboratoire (Perron, 2004)
Les calculs sont effectués pour 200 couches horizontales, 200 sections transversales le long
de la poutre et 200 incréments de courbure compris entre 0 et 50 rad/m x10-3. Dans un
premier temps, la courbe moment courbure du comportement sous chargement statique de
cette section est construite (figure 3.13). Ce graphique permet de visualiser les principales
étapes du comportement de la section lors d’un chargement, soit la fissuration du béton (qui
fait diminuer l’inertie de la section et par conséquent la rigidité de la section), la
plastification de l’acier (qui engendre une augmentation rapide de la courbure de la section)
et la rupture. Selon la norme CAN/CSA-S6-00, le moment nominal de cette section est
d’=0.095
bf = 5.252
hf = 0.189
bw = 0.37
h = 1.372
[m]
d = 1.207
52
évalué à 3183 kN.m, comparativement à une résistance d’environ 3821 kN.m prédite par le
modèle, ce qui représente une augmentation de plus de 20%.
Figure 3.13: Relation Moment-Courbure de la section-exemple en surcharges
Pour générer de l’endommagement, le modèle itératif est mis à contribution jusqu’à ce que
le moment ou la courbure atteigne la valeur visée (par exemple 95% du moment ultime ou
110 % de la courbure à l’ultime). À ce moment, le point de déchargement et les
déformations permanentes atteintes à chaque couche sont notés et utilisées dans la seconde
étape. Le modèle est ensuite relancé, en tenant compte de l’endommagement des couches
par modification des lois de comportement, et une nouvelle courbe moment-courbure est
générée. En utilisant cette approche il est possible de suivre l’évolution de divers
paramètres reflétant le comportement de la section de béton armé, entre autres la
profondeur de l’axe neutre et la courbure de la section.
Courbure (rad/m) x10-3
Mom
ent (
kN.m
)
Profondeur d’axe neutre (mm
)
Rupture Plastification de l’acier
Fissuration du béton
53
Le tableau 3.2 a été construit, selon la méthode précédemment décrite, pour simuler divers
niveaux d’endommagements associés au passage d’une surcharge. La première colonne
présente le type de surcharge utilisé pour « endommager » la poutre, type de surcharge
choisi de manière à couvrir une large plage de valeurs. Les six premières lignes du tableau
3.2 représentent un endommagement provoqué par l’application d’une charge concentrée
au centre de la poutre sur appuis simples générant un moment de flexion compris entre 98%
et 100% du moment ultime. Le second type de surcharge représente une situation où
l’application de la charge est contrôlée en déplacement, ou encore, comme c’est le cas ici,
contrôlée en courbure. La seconde colonne présente le nouveau moment ultime de la poutre
endommagée M*. Les deux dernières colonnes présentent l’évolution des indicateurs de
comportement (axe neutre et courbure) de la section lorsque le nouveau moment ultime
associé est atteint. La figure 3.14 illustre les données de ce tableau, soit la variation du
comportement de la section à la rupture.
Tableau 3.2: Effet des surcharges sur le comportement à la rupture - Section Type de surcharge M* M*/Mult Profondeur
d’axe neutre Courbure
(kN.m) (kN.m) (mm) (x 10-3 rad/m)
Non-endommagée 3821.3 1.000 67.37 48.15
98% Mult: 3744.9 3815.5 0.998 66.81 59.31
98.5% Mult: 3764.0 3797.4 0.994 72.27 54.95
99% Mult: 3783.1 3754.6 0.983 78.21 50.94
99.5% Mult: 3802.2 3715.7 0.972 82.17 59.45
100% Mult: 3821.3 3671.0 0.961 87.43 67.58
102.5% φult: 49.4 3661.6 0.958 87.25 69.96
105% φult: 51.8 3665.4 0.959 87.66 65.30
110% φult: 57.0 3669.0 0.960 87.64 65.30
115% φult: 65.6 3653.0 0.956 88.16 64.86
120% φult: 78.8 3644.5 0.954 88.63 64.65
54
40
45
50
55
60
65
70
0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00M*/Mult
Cou
rbur
e x1
0-3 (r
ad/m
)
60
70
80
90
100
Prof
onde
ur d
'axe
neut
re (c
)(m
m)
Courbure
Profondeur d'axe neutre
Figure 3.14: Évolution de la courbure et de la position de l'axe neutre sous surcharges
Certaines valeurs sont légèrement éloignées de la tendance générale. Cet éparpillement,
considéré acceptable étant donné le temps de calcul relatif, est relié au niveau de précision
utilisé dans le modèle, autant pour la discrétisation de la section que pour le nombre de points
de calculs sur la courbure.
Ce type de graphique permet de visualiser l’évolution du comportement de la section pour un
certain niveau d’endommagement. Il est intéressant de remarquer l’augmentation de la
profondeur de l’axe neutre et de la courbure à l’ultime avec le niveau d’endommagement. En
effet, la courbure à l’ultime varie d’environ 45 x 10-3 rad/m à plus de 65 x 10-3 rad/m et la
profondeur d’axe neutre passe de 68 mm à 90 mm avec l’endommagement (diminution du
moment ultime de 5%), ce qui constituent des augmentations significatives. Ce type de
graphique permet également de constater que l’évolution « parallèle » de la profondeur de
l’axe neutre et de la courbure de la section, des indicateurs de performance qui peuvent
potentiellement être reliés à la mise sous télésurveillance d’un ouvrage. Toutefois, leur
variation étant pratiquement linéaire, aucune progression particulière dans l’évolution de leur
comportement ne laisse présager un événement particulier (telle l’approche de la rupture).
Endommagement
55
Remarques Une analyse a été réalisée afin de déterminer le nombre optimal de couches de section et de
points de calculs (incréments de courbure) à utiliser pour obtenir des résultats précis tout en
maintenant un temps de calcul raisonnable. Cette précision, qui dépend évidemment du
type de section, semble plafonner pour un nombre moyen de couches de 200, ainsi que pour
200 points de calculs. L’implantation de ces valeurs clés est donc recommandée comme
valeurs minimales à considérer lors d’analyses du comportement de sections en béton armé.
La modélisation permet de visualiser l’influence des divers paramètres d’endommagement
sur la forme de la courbe moment-courbure. Il est entre autres intéressant de noter que la
résistance en traction du béton semble avoir une influence négligeable sur le moment
résistant ultime et la courbure associée, tandis que la déformation à l’ultime du béton tend à
les influencer dans une plus grande proportion (sa diminution tend à réduire le moment
résistant et la courbure associée). L’augmentation de résistance à la compression tend à
faire augmenter légèrement le moment résistant et à augmenter considérablement la
courbure à l’ultime, tandis que l’augmentation du module d’élasticité a peu d’influence sur
le moment ultime mais contribue considérablement à diminuer la courbure à l’ultime.
En ce qui concerne l’influence des paramètres reliés à l’acier d’armature, il est par exemple
intéressant de noter que l’ajout de la portion d’écrouissage permet généralement
d’augmenter le moment résistant de la section, tout en diminuant légèrement la courbure à
l’ultime. La quantité d’acier joue évidemment un rôle significatif sur le comportement de la
section puisque son augmentation affecte grandement le moment résistant à la hausse et la
courbure à l’ultime à la baisse, variation inversement proportionnelle également générée
par l’augmentation de la limite élastique. Le module d’élasticité de l’acier semble au
contraire avoir une influence négligeable sur le moment résistant et la courbure associée,
tout comme la déformation à l’ultime. La position de l’acier d’armature semble également
jouer un rôle important sur le moment résistant de la section, ce qui permet de souligner
l’importance d’une bonne précision lors de leur mise en place.
56
Bref, le modèle développé permet de qualifier et évidemment de quantifier l’influence
directe de la modification d’un paramètre sur le comportement de la section fissurée.
3.2.3. Analyse globale
L’analyse du comportement global de la poutre permet de déterminer le comportement
physique de la poutre en utilisant une discrétisation verticale en plus d’horizontale et en se
basant sur le profil de moment appliqué (qui varie le long de la poutre). L’effet raidisseur
du béton en tension (« Tension Stiffening ») sur l’acier, essentiel à considérer pour
permettre une prédiction réaliste du comportement global, permet le calcul d’une nouvelle
relation moment-courbure. Le profil de courbure le long de la poutre associé à une certaine
distribution des moments est alors estimé. Il est à noter que l’équilibre à la section fissurée
gouverne la résistance ultime à la flexion.
Le cheminement emprunté lors de l’analyse d’une section est donc repris pour calculer les
courbures associées à un moment appliqué à chacun des incréments de distance le long de
la poutre. Puisque la courbure correspond à la dérivée de la rotation, il s’agit ensuite
d’intégrer numériquement sur toute la longueur de la poutre pour obtenir la rotation θ (teta)
aux points de calculs le long de celle-ci. L’effet cumulatif des rotations le long des demi-
poutres est considéré par une seconde intégration numérique qui permet d’obtenir le profil
de la déformée de la poutre. Les profils de moments appliqués, de courbures, de rotation et
des flèches le long de la poutre permettent de caractériser le comportement global de la
poutre et de visualiser son cheminement jusqu’à la rupture.
Prise en compte de l’endommagement
L’endommagement par chargements cycliques et par surcharges d’une poutre de béton
armé s’effectue selon les mêmes principes que l’endommagement de la section (figure
3.11). Les relations moment-courbure sont toutefois affectées par l’effet du « Tension
Stiffening » et un endommagement possible du béton en traction. Cette approche permet de
représenter un endommagement fictif et homogène le long de la poutre se traduisant
principalement par l’apparition de déformations permanentes et par une diminution de la
57
rigidité. Il est alors possible d’obtenir les relations entre le chargement appliqué et la flèche
au centre ou la rotation aux appuis pour l’élément endommagé et d’observer l’évolution de
son comportement en fonction du niveau d’endommagement. Il est important de rappeler
que le comportement de la section gouverne à l’ultime et que le moment ultime associé doit
par conséquent servir de limite au comportement global.
3.2.4. Exemple d’application
La section de poutre décrite à la figure 3.12 est reprise pour illustrer l’analyse globale. La
poutre entière d’une longueur de 19 m est considérée pour cette analyse. Dans un premier
temps, il est possible de construire les courbes représentant l’évolution de la flèche au
centre de la poutre et de la rotation aux appuis avec l’augmentation d’un chargement
ponctuel à mi-portée. Ces graphiques, représentant le comportement sous chargement
statique de l’élément sollicité, sont produits pour une charge morte de 1158.8 kN.m. Ils
sont présentés aux figure 3.15 et 3.16.
Figure 3.15: Courbe charge-déflection au centre de la poutre choisie comme exemple
Cha
rge
au c
entre
(kN
)
Flèche à mi-portée (mm)
58
Figure 3.16: Courbe charge-rotation aux appuis de la poutre choisie comme exemple
Il est également possible d’imposer un certain niveau d’endommagement associé à un
chargement donné tel que présenté au tableau 3.2. Le tableau 3.3 présente le comportement
de la poutre sous la sollicitation des charges permanentes seulement suite à un
endommagement par l’effet des surcharges. Dans ce tableau, le moment dû aux charges
permanentes (Ma) est de 1158.8 kN.m et M* correspond au nouveau moment ultime de la
poutre endommagée (tiré du tableau 3.2). Construite à partir de ce tableau, la figure 3.17
présente l’évolution de la flèche au centre et des rotations aux appuis prédits en fonction du
niveau d’endommagement via la diminution du moment ultime.
Rotation aux appuis (rad)
Cha
rge
au c
entre
(kN
)
59
Tableau 3.3: Effet des surcharges sur le comportement en service
Type de surcharge M*/Mult Ma Flèche au
centre Rotation
aux appuis Courbure
(kN.m) (mm) (rad) (x 10-3 rad/m)
Non-endommagée 1.000 1158.8 12.8 0.0021 0.35 98% Mult : 3744.9 0.998 1158.8 14.9 0.0024 0.42 98.5% Mult: 3764.0 0.994 1158.8 15.4 0.0024 0.43 99% Mult : 3783.1 0.983 1158.8 33.0 0.0048 1.01 99.5% Mult : 3802.2 0.972 1158.8 61.1 0.0086 1.92 100% Mult : 3821.3 0.961 1158.8 212.0 0.0289 6.80 102.5% φult : 49.4 0.958 1158.8 279.0 0.0380 9.00 105% φult: 51.8 0.959 1158.8 257.0 0.0350 8.26 110% φult: 57.0 0.960 1158.8 243.0 0.0331 7.81 115% φult: 65.6 0.956 1158.8 335.0 0.0455 10.80 120% φult: 78.8 0.954 1158.8 409.0 0.0555 13.20
Figure 3.17: Évolution des flèches et rotations en fonction de l’endommagement sous
charges permanentes
Il est donc possible, en couplant ce type de graphique à la variation des indicateurs de
performance (rotation aux appuis, flèche au centre), de déterminer le niveau
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00M*/Mult
Rot
atio
n au
x ap
puis
(rad/
m)
-500
-400
-300
-200
-100
0
Déf
lect
ion
au c
entre
(mm
)
RotationDéflection
M*/Mult = 0.961
Flèche
60
d’endommagement de la structure et de l’associer à la variation de son moment ultime.
Dans cet exemple, on note qu’à partir d’un certain niveau d’endommagement, les
indicateurs de performance varient plus rapidement. Couplé à la télésurveillance, ce genre
de graphique peut donc être utilisé pour suivre l’évolution du comportement d’un ouvrage
et établir des seuils d’alarme.
Remarques
Il est intéressant de souligner que le modèle offre la possibilité de subdiviser la poutre en
plusieurs sections longitudinales distinctes. Ainsi, une variation de la quantité d’armature le
long de la poutre, ou une modification des propriétés (endommagement) sur certaines
sections est possible. Par exemple, une diminution de la section d’acier sur une petite
portion de la poutre serait possible, ou encore une modification de l’une ou l’autre des lois
de comportement ou des propriétés.
Tout d’abord, l’une des principales différences entre l’analyse de la section critique et du
comportement global d’une poutre résidant dans l’ajout d’une expression empirique
nommée « Tension Stiffening » (section 3.1.2), il est intéressant de se questionner sur
l’influence de son rayon d’application autour des barres d’armature. La diminution de son
rayon d’influence tend à abaisser visiblement la portion plastique de la courbe charge-
flèche à mi-portée, tout en augmentant la flèche et la rotation à la rupture. Il serait par
conséquent possible de déterminer, par calibration des courbes expérimentales, le rayon
d’influence le plus représentatif en ajustant le nombre de couches affectées.
L’analyse globale d’une poutre permet de poser plusieurs conclusions sur l’influence de
certains paramètres sur son comportement. Tout d’abord, l’augmentation de la résistance en
compression du béton provoque une faible variation du chargement ultime et une
augmentation significative de la flèche et de la rotation à l’ultime. La variation du module
d’élasticité du béton semble avoir un impact minime sur les paramètres traduisant le
comportement global de la poutre, tandis que la modification à la hausse de sa résistance à
la traction tend à diminuer la flèche et la rotation associées au point de rupture, tout en
décalant le plateau plastique vers le haut. L’augmentation de la déformation limite ultime
61
du béton en compression tend finalement à allonger le plateau de plasticité (sans affecter le
profil de la courbe), donc à augmenter la flèche et la rotation à l’ultime.
En ce qui concerne l’influence des paramètres associés aux barres d’armature, il importe de
souligner que l’aire des barres d’armature de flexion est encore l’un des facteurs les plus
importants dans le calcul du moment et de la flèche d’une poutre en béton armé puisque
son augmentation tend à faire varier à la hausse les paramètres à l’ultime tels le chargement
ainsi que la flèche au centre et la rotation aux appuis qui y sont associées. La limite
élastique joue également un rôle important sur le comportement puisque son accroissement
augmente le chargement résistant et diminue considérablement la flèche au centre et la
rotation aux appuis à l’ultime, c’est-à-dire qu’il relève la pente du plateau (zone de
plastification de l’acier) des courbes charge-flèche et charge-rotation et diminue leurs
longueurs, phénomènes également observé par Gauvin (1987). Le module d’élasticité
semble affecter le comportement à la rupture (flèche et rotation), sans pour autant
influencer la charge de rupture.
Bref, divers types d’analyses sont possibles afin de qualifier et de quantifier l’influence de
nombreux paramètres sur le comportement global d’une poutre. Ces quelques exemples,
qui ne constituent qu’un aperçu des possibilités, semblent idéaux pour la calibration de
courbes théoriques, ou encore pour améliorer notre compréhension des phénomènes qui
interagissent dans la résistance d’une poutre à la flexion.
3.3. Comportement en cisaillement
Le but de cette section est de décrire le processus de prise en compte du comportement
ultime en cisaillement et des interactions avec des éléments fléchis. En effet, les éléments
fléchis sont également soumis à des contraintes de cisaillement qui tendent à augmenter les
contraintes de traction dans les armatures longitudinales et peuvent engendrer une
fissuration inclinée, voire une rupture prématurée si une quantité inadéquate d’armatures est
utilisée. Il s’agit donc d’un concept qu’il importe d’approfondir pour en évaluer la
contribution et l’envergure réelles. L’objectif ici n’est que d’obtenir l’enveloppe de rupture,
62
aussi appelée courbe d’interaction, au-delà de laquelle la combinaison moment-effort
tranchant (M-V) ne peut être reprise par la section considérée.
La Théorie du champ de compression modifié, décrite à la section 2.2, est exploitée dans le
présent projet, c’est-à-dire que cette approche est intégrée au programme de modélisation.
Les calculs sont réalisés, à des fins de simplification, au centre de gravité de la section et
considérés comme valeur moyenne, plutôt qu’une approche couche par couche beaucoup
plus laborieuse. Les fissures ont donc, pour une même section, une inclinaison unique
moyenne et le profil d’effort tranchant sur une section est constant et rectangulaire plutôt
que parabolique tel qu’en réalité.
3.3.1. Cisaillement pur
La résistance au cisaillement pur d’une section de béton armé est déterminée selon la
Théorie du champ de compression modifiée (section 2.2.2) et selon le comportement moyen
de la section. L’hypothèse simplificatrice d’une fissure linéaire et inclinée est par
conséquent considérée dans le présent modèle. Pour un effort tranchant donné, les
inconnues sont la contrainte dans l’acier longitudinal, la contrainte dans les étriers, la
contrainte principale de compression dans le béton ainsi que son inclinaison. Une résolution
est possible avec les équations d’équilibre (équation 4), les conditions de compatibilité des
déformations (équation 6 ainsi que les lois de comportement qui relient les déformations
des matériaux aux contraintes (section 3.1).
Le modèle, basé sur un double processus itératif, est construit à partir de suites
d’interpolations afin de pouvoir suivre l’évolution des résultats générés de façon similaire à
celle décrite à la section 3.2 (figure 3.18).
63
Figure 3.18: Démarche de calcul du comportement en cisaillement pur
Une fois la relation entre la déformation principale en traction et l’effort tranchant générée
(ε1-V), la résistance ultime au cisaillement pur correspond à la valeur maximale de l’effort
tranchant obtenu. Les paramètres correspondants (θ, ε1, εt, etc.) sont alors gardés en
mémoire et la visualisation de leur variation est possible.
3.3.2. Cisaillement combiné
L’approche du cisaillement combiné à la flexion implique de faire interagir les portions de
modélisation développées pour le comportement en flexion et celles en cisaillement pur.
Une équation d’équilibre des efforts axiaux est générée (équation 28) de manière à coupler
les efforts engendrés par la flexion (figure 3.19) à ceux découlant du cisaillement (équation
6). Dans la portion en flexion du modèle, cette approche combinée se traduit par un
équilibre non nul sur la section, équilibre qui est rétabli grâce aux efforts de cisaillement
Poser déformation ε1
Double itération sur θ et fv
Calcul des contraintes
N= 0
ε1i = ε1 i+1
N≠ 0
V
Calculer l’effort normal
ε1
64
(Naxial = 0). La notation i réfère à l’approche couche par couche utilisée pour la prédiction
du comportement en flexion.
axialcxicisxisi NbvfVfAfA =+−Σ+Σ 1tanθ (Équation 28)
De plus, la limite de résistance en compression du béton dans la direction principale (f2max)
doit être appliquée au comportement en flexion, c’est-à-dire aux lois de comportement
décrites à la section 3.1, afin de tenir compte de l’anisotropie des contraintes. Il importe de
plus de mentionner que dans la portion en flexion, le comportement de la section est
considéré pour établir le moment ultime ainsi que la déformation au centre de gravité
associée (εx). En effet, le comportement à l’ultime de la section est gouverné par la rupture
de la section.
Figure 3.19: Démarche de calcul du cisaillement combiné
M
Naxial i = Naxial i+1 M
V
si εx cg ≠ εcx =
Moment résistant correspondant
Effort tranchant correspondant
εx cg ultime εcx
Lancer le modèle de cisaillement
Lancer le modèle de flexion
Poser fcmax
Poser Naxial
65 3.3.3. Exemple d’application
Les figures suivantes illustrent le type de résultats globaux obtenus suite à la modélisation.
Ces résultats sont générés pour une poutre de béton armé d’une longueur de 4 mètres. Sa
géométrie est présentée à la figure 3.20 et les principales propriétés de ses matériaux sont
résumées au tableau 3.4.
Figure 3.20: Section de béton armé utilisée en exemple en cisaillement
Tableau 3.4 : Propriétés des matériaux de la section utilisée pour l’exemple en cisaillement Propriétés Notation Valeur
Résistance à la compression du béton fc 32.7 MPa
Résistance à la traction du béton fcr 2.5 MPa
Module d’élasticité du béton Ec 21 000 MPa
Limite élastique des barres d’armature fy 489 MPa
Module d’élasticité des barres d’armature Es 200 000 MPa
Aire de l’acier longitudinal As 400 mm²
Aire des étriers As 200 mm²
Espacement des étriers s 200 mm
Dans un premier temps, la démarche décrite pour déterminer la résistance au cisaillement
pur (section 3.3.1) est appliquée. Il est alors possible de suivre l’évolution de tous les
paramètres caractéristiques (déformations et contraintes principales, angle d’inclinaison des
fissures, effort tranchant, etc.) en fonction de l’augmentation de la déformation principale
en tension (ε1). La valeur maximale de cet effort tranchant correspond à l’état d’équilibre
45
300
200
[mm]
66
qui traduit la résistance au cisaillement pur de la section. La figure 3.21 illustre l’allure de
cette relation (ε1-V) et permet d’identifier l’état d’équilibre à l’ultime, tandis que le tableau
3.5 résume les paramètres caractéristiques associés à la résistance au cisaillement pur.
L’approche décrite pour déterminer le comportement au cisaillement combiné est ensuite
appliquée à cette même section dans l’objectif d’obtenir l’enveloppe de rupture de
l’interaction des efforts de cisaillement et de flexion (section 3.3.2). La figure 3.22 illustre
un exemple de cette enveloppe de rupture. De cette démarche, l’évolution de l’ensemble
des paramètres caractéristiques peut être suivie pour le comportement à l’ultime de la
section. La figure 3.23 présente un exemple de l’évolution de la contrainte dans les étriers
en fonction de l’effort tranchant résistant le long de l’enveloppe de rupture.
Figure 3.21: Évolution de la résistance à l’effort tranchant en fonction de la déformation principale en tension
Déformation principale en tension (x 10-3)
Effo
rt tra
ncha
nt (k
N)
Rupture
Fissuration du béton
67
Tableau 3.5 : Paramètres caractéristiques associés à la résistance ultime au cisaillement pur de la section utilisée pour l’exemple en cisaillement
Paramètres Notation Valeur
Déformation principale en tension ε1 7.252
Contrainte principale ne tension f1 0.861 MPa
Déformation principale en compression ε2 -0.751
Contrainte principale ne compression f2 -9.038 MPa
Déformation axiale εx 2.484
Contrainte axiale fx 1.182 MPa
Déformation verticale (dans les étriers) εy 4.017
Contrainte dans les étriers fys 489 MPa
Angle de fissuration θ 39.48°
Effort tranchant résistant V 204.66 kN
Figure 3.22: Enveloppe de rupture M-V de la section utilisée pour l’exemple en cisaillement
Moment résistant (kN m)
Effo
rt tra
ncha
nt (k
N)
Mult
VR pur
68
Figure 3.23: Évolution des contraintes dans les étriers de la section utilisée pour l’exemple
en cisaillement en fonction de l’effort tranchant le long de l’enveloppe de rupture
Ces graphiques sont relativement pertinents d’un point de vue calculs structuraux puisqu’ils
donnent un indice sur l’état d’équilibre des efforts à la rupture en fonction des paramètres
observés. Il serait toutefois intéressant, dans un élan de poursuite des travaux, de compléter
l’analyse en cisaillement combiné, afin de caractériser le comportement en service de la
section en plus de celui à l’ultime. Ainsi, il serait possible de coupler ces analyses à des
structures télésurveillées afin de mieux comprendre l’évolution de son comportement,
prédire sa capacité réelle et éventuellement établir des seuils d’alarme d’un événement
particulier.
Effort tranchant (kN)
Con
train
te d
ans l
es é
trier
s (M
Pa)
69
4. Validation des résultats
Les résultats générés par la modélisation sont confrontés à ceux issus de l’expérimentation
afin d’évaluer la pertinence des approches proposées. Les essais permettent de valider la
capacité du modèle à fournir une prédiction fiable du comportement d’éléments en béton
armé, particulièrement en flexion.
4.1. Comportement en flexion
La portion expérimentale visait la validation du comportement en flexion des éléments en
béton armé. Une vingtaine de poutres furent par conséquent coulées en laboratoire dans
l’objectif d’être soumises à des essais statiques en 3 points et sous chargements cycliques.
On a choisi les dimensions des poutres de manière à faciliter la manipulation des spécimens
et en fonction des matériaux disponibles (moules), tout en ayant des proportions (L/h et
b/h) près de la réalité. La géométrie des poutres utilisées dans la phase expérimentale est
illustrée à la figure 4.1.
Figure 4.1: Dimensions des poutres de béton armé utilisées dans la phase expérimentale
Afin de prédire adéquatement le comportement d’éléments en béton armé, il importe en
premier lieu de déterminer les propriétés des matériaux. L’étude expérimentale sur les
matériaux visant à établir les paramètres régissant les lois de comportement est conduite sur
100 mm
150 mm
150 mm
960 mm 10M
70
des éprouvettes cylindriques soumises à la compression pure pour le béton et à la traction
pure pour l’acier. Aucune validation expérimentale des lois de comportement globale sur
des éprouvettes de béton ne fut effectuée, elles furent plutôt tirées de la littérature.
4.1.1. Béton
Des essais furent réalisés sur le béton pour déterminer le comportement en compression et
le module élastique, selon les normes ASTM C-39 et ASTM C-469 respectivement, à 28
jours et le jour des essais de chargement des poutres correspondantes. Il s’agit d’essais de
compression uniaxiale sur des cylindres standards, c’est-à-dire de 100 mm de diamètre par
environ 200 mm de hauteur. Puisque le béton est un matériau hétérogène, la variation des
propriétés ou proportion de ses constituants, ainsi que la mise en place ou la compaction
mènent à la variation de ses propriétés finales (MacGregor, 1997). Une certaine distribution
de la résistance et des modules fut donc observée lors des essais et notée sous forme de
moyenne dans le résumé présenté au tableau 4.1.
Tableau 4.1: Propriétés des mélanges de béton
Résistance compression Module élastique No. gâchée 28 jours Jour de l'essai 28 jours Jour de l'essai
Type de mélange (MPa) (MPa) (MPa) (MPa)
1 Type 10SF 41,2 50.4* 31 571 35 117* (10-02-06) 7% d'air, e/c = 0.4 (07-06-06)
2 Type 10SF 37.5 43 25 924 26 424* (18-02-06) 7% d'air, e/c = 0.4 (02-06-06)
3 Type 10SF 33.1 45.2 - 41 287* (08-03-06) 13% d'air, e/c = 0.4 (02-06-06)
4 Type 10 - 44.2* - 31 402* (04-05-06) 6.5% d'air, e/c = 0.45 (10-06-06)
5 Type 10 39.8 43.7 32 032 31 456 (12-05-06) 6.5% d'air, e/c = 0.45 (12-06-06) * Ces mesures furent réalisées dans la semaine suivant l'échéance prévue dû à un problème avec le système d’acquisition
Le critère de rupture du béton en compression est établi à εcult = 0.007, soit le double des
déformations associées à la résistance maximale du béton en compression obtenus lors des
essais de module. Pour des raisons de convenance et puisque aucun essai de traction sur le
71
béton ne fut réalisé, la résistance à la traction du béton est reliée à la résistance à la
compression du béton (équation 19). La résistance à la traction tend donc à augmenter
proportionnellement à la racine carrée de la résistance en compression. Lors de l’analyse du
comportement de la section, le critère de rupture du béton en traction est établi à la
déformation associée à cette résistance à la traction (fcr/Ec). Lors de l’analyse du
comportement global de la poutre, aucun critère de rupture en traction n’est posé étant
donné l’approche du « Tension Stiffening » utilisée.
4.1.2. Acier
Les paramètres qui régissent le comportement des barres d’armatures furent déterminés à
l’aide d’essais de traction selon norme ASTM E8. Cet essai consiste à mettre sous tension
des barres s’acier et à établir leur comportement moyen (relation contrainte-déformation)
par l’utilisation d’un extensomètre. L’extensomètre utilisé dans la présente démarche est
d’une longueur de 50.8 mm, soit 2 pouces. Les longueurs d’ancrage de part et d’autre des
barres doivent au minimum avoir une longueur de 80 mm afin d’être bien saisies par les
mâchoires de la presse. La figure 4.2 présente la géométrie des sept barres qui furent
testées. Le diamètre minimal mesuré pour chaque barre (en moyenne de 8.65 mm) permet
la conversion des efforts en contraintes puisqu’il s’associe aux zones de faiblesse du
matériau plus propice à engendrer la rupture.
Figure 4.2: Géométrie des barres d'armature testées
> 80
100
300
φ = 9
R =10
[mm]
Barre 10M
72
Les essais furent réalisés à l’aide de la presse MTS-322. Les paramètres clés du
comportement sont résumés au tableau 4.2, où la notation utilisée est la même que
présentée sur la figure 3.6, c’est-à-dire que εy représente le début du plateau élastique, εsh le
début de la portion d’écrouissage (strain hardening) et l’indice su caractérise les paramètres
à l’ultime. Trois des sept barres (A, B et F) furent rejetées pour diverses raisons techniques
décrites au tableau 4.2. Les résultats qui en découlent sont tout de même présentés pour la
partie élastique du comportement, mais ils ne sont pas considérés dans les calculs des
moyennes. Quelques résultats associés à l’échantillon C sont visiblement éloignés de la
moyenne et sont par conséquent également écartés des calculs des moyennes. Ces résultats
sont présentés en italique dans le tableau 4.2, tandis que les résultats considérés dans les
calculs sont présentés en caractères gras. Le tableau 4.3 résume les valeurs retenues pour
décrire le comportement moyen des barres d’armature. Il importe de noter le critère de
rupture pour le comportement de l’acier, critère établi à une déformation de εsu = 0.144 et
que le paramètre Esh, considéré comme la pente au début de la zone d’écrouissage, est
évalué à 10 000 MPa par calibration avec les courbes des résultats expérimentaux.
Tableau 4.2: Résultats des essais de traction sur l'acier
Es fy εsh fsu εsult
GPa MPa mm/mm MPa mm/mmCommentaire
A 186.0 519.1 0.0250 685.9 - Rupture sous l'extensiomètre
B 145.6 531.4 0.0233 692.4 - Limite de l'extensiomètre atteinte
C 195.6 535.4 0.0268 692.9 0.1437
D 215.4 505.4 0.0240 686.2 0.1440
E 201.7 510.9 0.0229 684.0 0.1440
F 213.6 546.0 0.0233 685.2 - Rupture au-dessus de l'extensiomètre
Éch
antil
lons
G 212.7 518.0 0.0238 687.4 0.1450
73
Tableau 4.3: Valeurs retenues pour décrite le comportement des barres d'armature Déformation au début de l’écrouissage εsh = 0.024
Déformation à l’ultime εsult = 0.144
Contrainte associée au plateau plastique fy = 510 MPa
Contrainte maximale atteinte dans l’écrouissage fsu = 686 MPa
Module d’élasticité Es = 205 000 MPa
Pente au début de l’écrouissage Esh = 10 000 MPa
4.1.3. Montage expérimental
Le montage expérimental utilisé pour valider les résultats de la modélisation fut inspiré et
basé sur le montage utilisé précédemment à l’Université Laval, et dont les détails sont
présentés dans la thèse de Pérez (2005). Il s’agit d’une poutre rigide en acier appuyée en
trois points sur laquelle sont fixés deux appuis, l’un considéré fixe (déplacements latéraux
bloqués) et l’autre de type rouleau, (permettant les déplacements latéraux). Aux points
d’appui des poutres, des plaques d’acier furent collées sous les poutres en béton armé et
représentent respectivement des appuis de type libre et rotulé. Une plaque est également
collée sur le dessus des poutres, en leur point d’appui central, afin de répartir le chargement
et d’éviter un mauvais alignement entre la poutre et la cellule de charge. Toutes les plaques
sont collées à plat, éliminant ainsi toute torsion ou irrégularité dans les poutres qui
entraîneraient des concentrations de contraintes. Il est à noter que l’essai en 3 points est
favorisé dans le but de diminuer les risques de torsion ou un mauvais alignement des
appuis. La figure 4.3 illustre le montage expérimental utilisé.
74
Figure 4.3: Montage expérimental
Un accéléromètre de type uniaxial fut utilisé à titre d’inclinomètre et collé à l’extrémité de
la poutre. Il s’agit d’une masse attachée à un câble et suspendue dans un champ magnétique
permanent. La rotation de la poutre aux appuis est mesurée par gravité entre la position de
cette masse par rapport à sa position initiale, pour ensuite être converti en degrés de
rotation. La différence de rotation entre l’appui et l’extrémité de la poutre est considérée
négligeable, hypothèse vérifiée lors de l’expérimentation par l’utilisation de plusieurs
accéléromètres. De plus, deux cadres rigides sont installés au niveau des appuis par un
système de pincement au niveau de l’axe neutre initial, permettant de tenir une barre
métallique servant d’ancrage aux capteurs de déplacement. Quatre capteurs furent donc
placés équidistants sur la demi-longueur des poutres afin d’obtenir un profil de déformation
du 4ème degré. Chacun des capteurs de déplacement s’appui sur des plaques indépendantes,
fixées en surface de la poutre et sur lesquelles sont collées des plaques de verre pour
minimiser toute friction des capteurs. La figure 4.4 illustre la disposition de ces 4 capteurs
de déplacements sur le montage d’essais.
Appui libre
Appui rotulé
75
Figure 4.4: Disposition des capteurs de déplacement
Le profil de déflection du 4ème degré est généré tout au long des sollicitations grâce aux
capteurs, par différence de lecture par rapport aux valeurs initiales. Les capteurs fournissent
des valeurs de potentiel en mV/V qui sont converties par le système d’acquisition en
déplacement. De ce profil, la rotation aux appuis est dérivée et comparée aux valeurs
obtenues des accéléromètres, résultats qui s’accordent de manière très satisfaisante (figure
4.5). L’accéléromètre utilisé lors des essais était défectueux, ce qui a limité sa précision au
cours des essais, tel que montré sur la figure 4.5. Les résultats dérivés des profils de
déformation sont donc favorisés et utilisés pour la validation du modèle, bien que cette
procédure soit beaucoup plus laborieuse.
76
0
5
10
15
20
25
30
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4
Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
Accéléromètre
Profil déflection
Poutre F2-1
Figure 4.5: Comparaison entre les lectures de l’accéléromètre et la dérivée du profil de
déformation
Une caméra a également été utilisée afin de capter, à intervalles réguliers, la progression de
la fissuration ainsi que la profondeur de l’axe neutre à mi-portée de la poutre.
4.1.4. Procédure
Les essais ont été réalisés sur la presse MTS-322 du Laboratoire d’étude de la durée de vie
des infrastructures situé à l’Université Laval. Les données ont été recueillies à l’aide du
système d’acquisition de données VISHAY système 6000. Cinq groupes de trois ou quatre
poutres ont été testées, la première de chaque groupe étant amenée à la rupture par un
chargement statique. Les suivantes ont été soumises à des chargements cycliques avant
d’être amenées à la rupture. La limite supérieure des chargements cycliques est choisie de
manière à se situer au-delà du domaine du comportement en service des structures. Elle
varie de 60 à 95% du chargement ultime atteint en chargement statique. Le chargement
minimal, quant à lui, est établi à 2 kN, ce qui représente de 5 à 10% de la charge ultime
statique, afin de maintenir un certain chargement sur l’élément et ainsi limiter les
77
incertitudes reliées à un désalignement potentiel. Lors des essais, ce chargement atteint
toutefois fréquemment 1 kN. Le tableau 4.4 résume les divers essais réalisés sur les poutres,
c’est-à-dire le nombre de cycles de chargements auquel elles ont été soumises, ainsi que la
limite supérieure de ces cycles.
Tableau 4.4: Type de chargement des poutres testées
No. Gâchée No. PoutreChargement
(% Charge ultime statique)
F1-3 Statique
1 F1-4 Statique
(10-02-06) F1-1 1 cycle 20 kN (70%)
F1-2 2 cycles 20 kN (70%)
F2-1 Statique
2 F2-2 10 cycles 20 kN (73%)
(18-02-06) F2-3 5 cycles 25 kN (92%)
F2-4 5 cycles 23 kN (84%)
F3-1 Statique
3 F3-2 20 cycles 21 kN (78%)
(08-03-06) F3-3 10 cycles 24 kN (89%)
F4-1 Statique
4 F4-2 5 cycles 25 kN (95%)
(04-05-06) F4-3 5 cycles 23 kN (87%)
F5-1 Statique
5 F5-2 5 cycles 22.5 kN (80%)
(12-05-06) F5-3 10 cycles 25 kN (90%)
F5-4 5 cycles 17 kN (60%)
La vitesse de chargement influe sur la valeur de la résistance du matériau ainsi que sur
l’allure de la relation contrainte-déformation. Une augmentation de la vitesse de
chargement se traduit par un accroissement de la résistance et de la rigidité du béton
(Kashani, 1984). Un chargement rapide peut augmenter la résistance jusqu’à 20%, tandis
qu’un chargement excessivement lent peut la réduire jusqu’à 20% (Collins et Mitchell,
1987). La vitesse ou fréquence de chargement appliquée pour représenter des conditions
78
réalistes et permettre une bonne observation du comportement tout en permettant un temps
d’essai raisonnable fut posée à 1 kN/3 sec, ce qui correspond à 0.33 kN/sec.
Dans le même ordre d’idées, la durée des périodes de repos influence également le
comportement du béton en fatigue. En effet, la résistance à la fatigue du béton augmente
avec les périodes de repos de façon proportionnelle à leur durée lorsqu’elle est comprise
entre 1 et 5 minutes. Au delà d’une période de repos de 5 minutes, il ne semble pas y avoir
d’augmentation de la résistance. Cette augmentation provient de la relaxation du béton,
c’est-à-dire que les liaisons primaires qui demeurent intactes restaurent la structure interne
dans sa configuration originale. Il y a alors une diminution de la déformation totale qui se
produit rapidement après l’arrêt des cycles. Les périodes de repos (lors de l’atteinte des
contraintes maximales et minimales) sont posées à 3 secondes afin de limiter le temps des
essais tout en permettant une certaine distribution et stabilisation des contraintes dans
l’élément.
4.1.5. Chargements statiques
Des essais statiques ont été conduits dans le but de vérifier la précision de l’analyse
théorique du comportement d’une poutre en béton armé fléchie. Ces essais monotones
consistent à charger les poutres en 3 points à la vitesse de 0.33 kN/sec, jusqu’à la rupture de
la poutre. Des fissures apparaissent d’abord sous la poutre, en son centre, et remontent
progressivement selon la ligne d’application de la charge, de part et d’autre de la section
centrale. La rupture qui s’en suit se produit généralement par éclatement en compression du
béton sur la face supérieure de la poutre.
Cinq séries de trois ou quatre poutres pratiquement identiques sont coulées, et au moins la
première de chaque série est testée sous chargement statique afin d’établir une base de
comparaison pour les essais subséquents et de valider la portion du modèle de prédiction du
comportement en flexion sous chargement statique. Grâce à un accéléromètre et aux
capteurs de déplacements, il est possible de comparer, en terme de flèche au centre et de
rotation aux appuis, les résultats expérimentaux avec la prédiction du modèle. Il importe de
79
noter que les prédictions sont réalisées en utilisant la relation contrainte-déformation du
béton en compression proposée par Desayi et Krisnan (1964) (équation 15) et en incluant la
portion d’écrouissage de l’acier.
Pour la première série, deux poutres sont testées sous chargement statique afin de s’assurer
de la reproductibilité des essais et de comparer les modes de contrôle en chargement et en
déplacement de la presse utilisée. Mise à part une petite différence de rigidité apparente des
poutres dans la portion montante, les résultats sont valides (Annexe A). Des essais
contrôlés en chargement sont toutefois privilégiés pour la suite du projet afin de maintenir
une certaine constance et de simplifier la procédure des essais cycliques.
Les figures 4.6 et 4.7 illustrent, pour la poutre soumise à un chargement statique de la série
2 (F2-1), l’évolution de la flèche au centre de la poutre et de la rotation aux appuis avec
l’augmentation du chargement appliqué. On y compare les résultats expérimentaux avec la
prédiction du modèle, prédiction qui s’accorde relativement bien en terme de rigidité, de
niveau du plateau plastique (zone de plastification de l’armature) et de moment résistant
ultime. Le début du comportement non linéaire, soit la zone de fissuration du béton et de
localisation des déformations, mériterait une analyse plus pointue. En effet, une analyse du
comportement de la section (c’est-à-dire sans considérer le « Tension Stiffening ») serait
davantage pertinente dans cette zone que la prédiction d’un comportement global et
homogénéisé tel que l’engendre l’incorporation du phénomène de « Tension Stiffening ».
La rupture des poutres, engendrée par les critères de rupture présentés aux sections 4.1.1 et
4.1.2 (εsult et εcult), est gouvernée par le comportement de la section. Le modèle prévoit une
rupture causée par l’éclatement en compression du béton, tendance visiblement confirmée
par les essais expérimentaux. Il importe aussi de souligner que le comportement en service
de l’élément prédit par le modèle s’apparente très bien aux résultats expérimentaux.
80
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F2-1
Figure 4.6: Courbe Charge-Flèche au centre, Série 2
0
5
10
15
20
25
30
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F2-1
Figure 4.7: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Série 2
Norme non-pondérée :22.7 kN
Norme pondérée :19.0 kN
81
La figure 4.6 permet également de comparer la prédiction du modèle en considérant la
résistance nominale pondérée et non pondérée calculée avec la norme CAN/CSA-S6-00.
Ces limites sont relativement inférieures aux valeurs réelles observées et correspondent
respectivement à environ 70% et 85% de la valeur réelle. En d’autres mots, les valeurs
prédites par la norme doivent être augmentées de respectivement près de 45% et 20% pour
être représentatives de la réalité. Le modèle prévoit plutôt une rupture pour un chargement
tout près de la réalité, c’est-à-dire à quelques dixièmes de kN près des résultats
expérimentaux. Cette comparaison prouve que la norme est conservatrice en évaluation et
que le modèle développé dans le présent projet est, en termes de chargement ultime, plus
représentatif de la réalité.
Les graphiques comparatifs des résultats des poutres testées sous chargement statiques pour
chacune des autres séries (1 et 3 à 5) sont placés en Annexe A afin de ne pas surcharger le
texte. Ils présentent tous des résultats comparatifs très satisfaisants, surtout en terme de
prédiction du comportement en service de l’élément et du comportement jusqu’à l’ultime.
Les essais expérimentaux permettent de valider la capacité du modèle à fournir une
prédiction fiable et réaliste du comportement global d’éléments en béton armé. Il tend
toutefois à sous-estimer d’environ 30% la flèche réelle à mi-portée et la rotation aux appuis
à l’ultime, proportion qui s’élève à plus de 85 % si la zone d’écrouissage de l’acier
d’armature est négligée (flèche au centre à l’ultime; environ 2 mm). Une certaine réserve de
capacité ou de ductilité semble par conséquent être négligée par le modèle, lacune qu’il
serait intéressant de combler par des études futures. Il serait par exemple pertinent de se
questionner sur le critère de déformation à l’ultime du béton en compression, critère qui
régit la rupture théorique et réelle des poutres testées. En effet, tel que discuté à la section
3.2, la sous-estimation de la déformation à l’ultime du béton tend vers la diminution des
indicateurs de performance à la rupture. Le tableau 4.5 résume l’influence de la
déformation ultime admise dans le béton sur le comportement à l’ultime de la poutre F2-1.
Il est intéressant de noter que le fait de doubler la déformation ultime du béton contribue à
augmenter du double la flèche au centre et les rotations aux appuis à l’ultime.
82
Tableau 4.5: Influence de εcult sur les paramètres à l’ultime Paramètres à l’ultime
Déformation
(Béton en compression)
Charge
[kN]
Courbure
[10-3 rad/m]
Déflection
[mm]
Rotation aux
appuis [°]
εcult = 0.0035 25.0 286 4.30 0.71
εcult =0.0040 25.6 336 5.39 0.87
εcult =0.0050 26.3 428 7.02 1.10
εcult =0.0060 26.7 511 8.16 1.27
εcult =0.0070 27.3 588 10.0 1.57
Ce critère (εcult) ne peut toutefois pas être établi avec précision lors de la démarche
expérimentale (essais de module) puisqu’il impliquerait un risque d’endommager le
montage expérimental ainsi que l’instrumentation utilisée, particulièrement le LVDT. La
déformation ultime du béton est par conséquent posée à 0.007, tel que discuté à la section
4.1.1.
La différence entre les flèches et la rotation aux appuis expérimentales et prédits par la
modélisation peuvent également être reliés à une sous-estimation de l’aire de l’acier
d’armature dans le modèle, mauvaise évaluation qui tendrait à générer une rupture hâtive de
l’élément. De plus, une sur-estimation du rayon d’influence du « Tension Stiffening » est
également possible étant donné les dimensions relatives des poutres (section carrée de 150
x 150 mm). En effet, le « Tension Stiffening » s’appliquant à 7.5 fois le diamètre de
l’armature (barre 10M), pratiquement toute la portion sollicitée en tension de la poutre y est
soumise, proportion très importante. Tel que mentionné à la section 3.2, il serait souhaitable
d’entreprendre une démarche expérimentale afin de valider le rayon d’influence du
« Tension Stiffening » ainsi que les limites d’application de ce phénomène, ou encore
d’exploiter davantage la littérature afin de raffiner cette approche. Bref, plusieurs pistes
intéressantes sont à approfondir dans l’objectif de générer par le modèle une meilleure
caractérisation du comportement des éléments en béton armé.
83
Ce phénomène de prédiction un peu hâtive de la rupture serait toutefois favorable si couplé
à des données de télésurveillance puisqu’il permettrait d’établir des seuils d’alarmes
antérieurs à la rupture, donc sécuritaires. Cette marge de sécurité laisse au gestionnaire
d’ouvrages un certain temps de réaction entre la rupture théorique et réelle, surtout que les
indicateurs de performance tendent, dans la phase précédent la rupture, à augmenter
rapidement pour un faible incrément de chargement.
4.1.6. Chargements cycliques
Dans l’objectif de valider les principes considérés dans le modèle, des résultats de
simulations cycliques sont comparés à des résultats d’essais en laboratoire sur douze
poutres testées sous un nombre et une intensité de chargements cycliques variables. Le
modèle prévoit la possibilité d’appliquer une séquence de chargements, c’est-à-dire de
permettre une succession de chargements d’intensités différentes. Les essais sont toutefois
réalisés pour des chargements cycliques constants, c’est-à-dire pour des charges maximales
et minimales constantes.
Pour chacune des poutres soumises à des chargements cycliques, une poutre de la même
série, c’est-à-dire coulée avec la même gâchée de béton, est amenée à la rupture sous un
chargement continu, tel que le résume le tableau 4.4. Cette étape permet de caractériser le
comportement monotone des poutres chargées de façon cyclique et d’établir une base de
comparaison. En effet, ces courbes générées sous chargement statique s’apparentent
relativement bien à des enveloppes du comportement cyclique. La figure 4.8 compare
d’ailleurs la courbe de la flèche au centre de la poutre en fonction du chargement appliqué
pour une poutre chargée statiquement et deux autres ayant subit un et deux cycles de
chargement à 20 kN, intensité correspondant à 70% de la charge ultime. Les poutres
soumises à davantage de cycles de chargement présentent des résultats tout aussi
acceptables, tel que présenté à l’Annexe B.
84
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
F1-4 (Enveloppe)F1-1 (1 cycle à 70%)
F1-2 (2 cycles à 70%)
Figure 4.8: Courbes Charge-Flèche au centre pour des chargements statiques et cycliques
L’application d’un endommagement cyclique aux poutres par des essais en 3 points permet,
dans un premier temps, de comparer les résultats obtenus de la modélisation avec les
résultats expérimentaux. Ces résultats se résument principalement à l’évolution de la flèche
au centre de la poutre et de la rotation aux appuis en fonction du chargement appliqué.
L’une des poutres testée (F2-4) fut soumise à 5 cycles de chargement (23 kN)-
déchargement (2 kN) avant d’être amenée à la rupture. La figure 4.9 illustre l’évolution de
la flèche au centre de la poutre en fonction du chargement ponctuel appliqué au centre.
85
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
EssaisModèle
Poutre F2-4
Figure 4.9: Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F2-4
De ce graphique, il apparaît d’abord clairement que le modèle tend à sous-estimer la flèche
à la rupture, ce qui laisse supposer des réserves de ductilité mésestimées, phénomène
également observé pour les chargements statiques. Les raisons possibles de cette sous-
estimation de la réserve de ductilité sont les mêmes que celles présentées à la section
précédente (Section 4.1.5) et concernent entre autres le critère de rupture du béton en
compression.
La figure 4.10, qui présente un « gros plan » des hystérésis de chargement-déchargement,
permet également de tirer quelques constats. En effet, la forme des hystérésis prédites
coïncide relativement bien avec les résultats expérimentaux obtenus, particulièrement en
termes de rigidité (inclinaison des hystérèses). Un léger décalage est toutefois à noter,
disparité reliée à une légère sous-estimation de l’endommagement. L’ouverture des
hystérèses semble également légèrement sous-estimée. Comme le niveau
d’endommagement de la poutre F2-4 (chargé à 84% de sa charge ultime statique) n’est pas
suffisamment élevé pour que le niveau de plastification de l’acier soit atteint, la forme des
86
hystérèses est reliée au comportement du béton, principalement en compression. Par
conséquent, les courbes de déchargement et de rechargement du béton en compression
devraient former des « boucles » plus ouvertes (branche de déchargement plus courbée et
rechargement non-linéaire, idéalement convexe). Bref, les lois d’endommagement laissent
place à l’amélioration, ou plutôt à un ajustement par rapport aux matériaux concernés. Des
essais cycliques sur les matériaux constituants isolés (acier et béton) devraient être faits afin
de s’assurer de considérer les lois d’endommagement qui conviennent le mieux aux
matériaux en place.
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4Flèche (mm)
Cha
rge
(kN
)
EssaisModèle
Figure 4.10: Gros plan des hystérésis, Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F2-4
Une attention particulière doit être portée aux portions horizontales qui unissent les
différentes hystérésis. Les branches de déchargement générées par le modèle sont en
quelque sorte fictives et ces portions linéaires horizontales tendent à compenser pour
représenter leur comportement réel. Les lois de comportement, lors des chargements,
devraient être progressivement décalées afin de tenir compte de l’accumulation de
l’endommagement. Bref, les branches de déchargement doivent être considérées avec
87
discernement. Elles ne sont utiles en fait que pour dicter un point de rechargement réaliste
pour le cycle subséquent.
Ce même phénomène, soit la représentation des branches de déchargement par une portion
horizontale précédent l’hystérèses, est également présent dans les graphiques d’évolution
de la rotation aux appuis en fonction de la charge appliquée. La figure 4.11 compare
justement les résultats expérimentaux et la modélisation concernant l’évolution de la
rotation aux appuis de la poutre avec le chargement ponctuel appliqué au centre.
0
5
10
15
20
25
30
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
EssaisModèle
Poutre F2-4
Figure 4.11: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Poutre F2-4
Ce graphique démontre la bonne capacité du modèle à prédire la rotation aux appuis de la
poutre en fonction des cycles de chargement. En effet, les résultats expérimentaux et
découlant de la modélisation présentent une excellent concordance, mis à part la remarque
émise concernant la figure 4.9.
Dans l’optique de coupler le modèle à la télésurveillance, il est intéressant de s’attarder à
l’influence des différents cycles de chargement sur le comportement en service de
l’élément. En effet, selon l’intensité des cycles de chargement et de l’endommagement
encouru, il est possible d’obtenir le profil des flèches sous charges mortes, c’est-à-dire sous
88
le poids propre de l’élément (charge appliquée au centre nulle), ce qui correspond à une
charge répartie de 0.54 kN/m. Le tableau 4.6 présente, pour la poutre F2-4 (5 cycles à 23
kN), l’évolution des indicateurs de performance, sous charges morte, en fonction du
nombre de cycles de chargement appliqué. Ces valeurs n’ont pu être comparées aux
résultats expérimentaux étant donné la limite inférieure du chargement (au centre) établie à
2 kN.
Tableau 4.6: Évolution des paramètres en service avec les cycles, Poutre F2-4 Paramètres en service
Flèche au centre
Rotation aux appuis
[mm] [°]
Monotone 0.005 0.001
1 cycle 0.040 0.009
2 cycles 0.067 0.014
3 cycles 0.071 0.015
4 cycles 0.093 0.020
5 cycles 0.211 0.042
Les variations de ces paramètres semblent peu impressionnantes pour ce cas de
chargement, mais pour des chargements plus élevés ou l’application d’un plus grand
nombre de répétitions, les flèches permanentes au centre atteignent plusieurs mm, tandis
que les rotations aux appuis s’élèvent à quelques degrés. Il est toutefois intéressant de noter
la variation non linéaire des indicateurs de comportement en service avec l’augmentation
du nombre de cycles appliqués. Cette évolution peut s’avérer très utile si couplée à la
télésurveillance, puisqu’elle donne une idée du niveau d’endommagement sous charges
mortes.
Le modèle traduit également une certaine variation de ces indicateurs à la rupture avec
l’augmentation du nombre de cycles de chargement appliqués. En effet, ces indicateurs de
performance à l’ultime subissent l’influence de phénomènes inverses. D’une part, la
progression de l’endommagement avec les cycles, se traduisant principalement par
89
l’accumulation de déformations permanentes, tend vers l’augmentation de la flèche au
centre et de la rotation aux appuis. En d’autres mots, pour un même chargement atteint, les
indices de performance augmentent avec les cycles de chargement. D’autre part, lorsque le
chargement appliqué atteint une certaine proportion et qu’il affecte le moment ultime du
cycle subséquent (proportion critique qui varient en fonction du type de poutre, mais qui se
situe généralement au-delà de 90% de la charge ultime statique), une diminution des
indicateurs de performance à l’ultime peut être notée. Ce phénomène est relié à la
prédiction du comportement de la section fissurée, plus précisément à la diminution du
moment ultime (donc de la charge à l’ultime) avec les cycles de chargement. La valeur des
indices de performance à l’ultime est donc grandement influencée par ces deux
phénomènes aux effets inverses, ce qui engendre des augmentations (reliées à l’apparition
de déformations permanentes) parfois entrecoupées de diminutions (reliées à la diminution
du moment ultime) de ces indices à l’ultime. Le tableau 4.7 présente un exemple de cette
variation pour la poutre F2-4 et permet de constater la diminution des indices avec la
diminution du chargement ultime, et leur augmentation pour un chargement ultime constant
(par exemple l’augmentation des indices avec les cycles de chargement pour un même
chargement à l’ultime calculé à 26.1 kN).
Tableau 4.7: Évolution des paramètres à l’ultime avec les cycles, Poutre F2-4 Paramètres à l’ultime
Charge Flèche au centre
Rotation aux appuis
[kN] [mm] [°]
Monotone 27.0 7.95 1.12
1 cycle 26.1 5.89 0.99
2 cycles 26.1 5.95 1.02
3 cycles 26.1 6.42 1.10
4 cycles 26.1 6.71 1.14
5 cycles 25.9 6.13 1.06
Les graphiques des résultats comparatifs des autres poutres testées sous chargements
cycliques sont présentés en Annexe C afin de ne pas surcharger le texte. Il est toutefois
90
intéressant de noter que les prédictions du modèle concordent bien avec les résultats
expérimentaux, mis à part les quelques détails déjà signalés. La tendance générale indique
en effet que les poutres atteignent l’ultime pour des indicateurs de performance (flèche au
centre et rotation aux appuis) supérieurs à ce qui est prédit par le modèle. Une légère
discordance de l’inclinaison des hystérèses est également parfois observée, selon la poutre
analysée. Il est toutefois intéressant de noter que les poutres expérimentales sont soumises à
quelques incertitudes et imprécisions pratiques. Par exemple, la poutre F1-1 est à écarter
des raisonnements due à une mauvaise gestion de l’équipement, causant ainsi une rupture
non contrôlée et non représentative.
L’analyse des poutres F2-3, F3-3, F4-2 et F5-3 mérite également une attention particulière.
En effet, le niveau de chargement de ces poutres est tel que l’acier atteint le plateau de
plastification dès le premier cycle. Les déflections et rotations aux appuis augmentent par
conséquent très rapidement, surestimant l’endommagement de la poutre par rapport aux
résultats expérimentaux et rendant difficile l’établissement de seuils d’alarmes efficaces.
Cette observation laisse supposer l’utilisation de lois d’endommagement trop sévères en ce
qui concerne l’acier, bien que l’inclinaison générale des hystérèses présente une
concordance plus qu’acceptable. Les lois d’endommagement de l’acier sont donc à
approfondir et à améliorer dans le cadre d’études futures.
En conclusion, la comparaison des résultats expérimentaux avec le modèle démontre une
bonne gestion de l’évolution de l’endommagement lors des chargements monotones et
cycliques en flexion de poutres en béton armé. Ils vérifient également la capacité du modèle
à tenir compte de l’historique des chargements mécaniques en prédisant par exemple une
certaine variation de la flèche et de la rotation aux appuis à la rupture avec l’augmentation
du nombre de cycles de chargement.
91
4.2. Cisaillement et effet combiné cisaillement-flexion
La validation de la portion cisaillement et cisaillement combiné de la modélisation ne
constitue pas une section approfondie dans le présent projet. Il serait en effet intéressant de
s’attarder davantage à divers aspects et portions du présent travail, autant du côté
expérimental que dans la construction du modèle de même que dans l’analyse des
résultats. Certaines limites ont toutefois dues être posées et certains choix effectués.
L’option d’entreprendre une nouvelle portion expérimentale, portant d’une part sur le
cisaillement pur et d’autre part sur le cisaillement combiné, aurait impliqué quelques mois
supplémentaires de travail et fut par conséquent exclue, la quantité de travail à accomplir
dans le présent étant jugée suffisante.
De plus, la construction du modèle est partielle, c’est-à-dire qu’elle s’attarde dans un
premier effort de modélisation à la prédiction de l’enveloppe de rupture d’interaction entre
les efforts de cisaillement et le moment résistant. Par conséquent, une modélisation
complète reste à faire, c’est-à-dire traduisant l’évolution des différents paramètres de
comportement, de l’état sain de l’élément à sa rupture. Ainsi, une portion expérimentale
portant sur le cisaillement devrait inclure un montage adéquat ainsi que toute
l’instrumentation nécessaire à la validation de l’ensemble du modèle. Par conséquent, il est
jugé plus sage d’entreprendre une portion expérimentale complète une fois la portion
cisaillement de la modélisation complétée, validant ainsi, d’un même coup, l’enveloppe de
rupture et la progression des différents paramètres avec l’état des chargements.
92
5. Indices de fiabilité
Les ingénieurs ou gestionnaires d’ouvrages font constamment face à des décisions ardues
concernant l’état de service, ou plutôt la réparation potentielle de structures existantes. Les
choix doivent être optimisés dans le but de réduire les coûts ainsi que les conséquences des
endommagements des structures. Diverses approches sont possibles pour suivre l’évolution
du comportement d’un élément et pour l’associer à son niveau d’endommagement. La
présente étude s’attarde brièvement à la mise à jour de l’indice de fiabilité de l’élément.
5.1. Mise à jour de l’indice de fiabilité
L’endommagement occasionne une réduction de la capacité d’une pièce et,
conséquemment, une diminution de l’indice de fiabilité de la structure endommagée. Cet
indice est également tributaire de l’évolution de l’intensité des effets des charges. Le niveau
de sécurité offert par une structure doit être évalué en tenant compte de la variabilité de la
résistance et des sollicitations. On utilise généralement l’indice de fiabilité β qui représente
le ratio de la moyenne sur l’écart type de la marge de sécurité. Il faut noter qu’il existe un
indice spécifique pour chacun des modes de rupture de la structure ou d’un de ses éléments,
selon le cas. Dans le cas de la poutre étudiée, le suivi de la progression de la courbure et de
la position de l’axe neutre permet la mise à jour du moment résistant ultime de la poutre et,
conséquemment, de son indice de fiabilité. L’expression suivante (équation 29) permet le
calcul de l’indice de fiabilité de la poutre à l’étude (Savard et coll., 2003).
²²
)ln(
sR
S
u
VVM
M
+=β (Équation 29)
où uM est le moment résistant ultime moyen, sM représente le moment de flexion moyen
induit par toutes les charges sollicitant simultanément la poutre, VR est le coefficient de
variation de la résistance, VS est le coefficient de variation des charges et ln est le
93
logarithme népérien. Il est à noter que dans la majorité des cas réels, la poutre étudiée est
déjà endommagée. L’évolution de l’endommagement implique alors une variation de
l’indice de fiabilité (Équation 30).
²²
)*ln(
*sR
u
u
VV
MM
+=∆β (Équation 30)
où *uM est le moment résistant ultime moyen de la poutre endommagée, uM est le
moment résistant ultime moyen au début de la télésurveillance, et V*R est le coefficient de
variation de la résistance de la poutre endommagée en supposant aucune variation du
chargement lors de l’endommagement et VS est le coefficient de variation des sollicitations.
Faute d’information sur les propriétés statistiques de la résistance de cette poutre ou de ses
sollicitations, les propriétés suggérées par le Code canadien de conception de pont
(CHBDC 2000) sont utilisées, soit V*R = 0.085 et VS = 0.050 (Savard et coll., 2003).
La figure 5.1 suivante présente la variation de l’indice de fiabilité de la poutre en T étudiée
en exemple à la section 3.2 (figure 3.12), pour simuler un endommagement par surcharges,
sous charges permanentes, en fonction de l’incrément de la courbure globale. La figure 5.2
représente quant à elle la variation de la déflection au centre de la poutre en fonction de la
variation de l’indice de fiabilité. Ce genre d’approche, c’est-à-dire d’analyse des résultats
en terme de variation des indices de comportement, est très utile en télésurveillance,
particulièrement lorsque des structures existantes sont instrumentées. En effet, il est plus
courant de suivre les indicateurs de performances (flèche, rotation, courbure) relatifs, c’est-
à-dire mesurés à partir d’un certain temps sur une structure existante, qu’absolu, soit à
partir de l’état sain de la structure.
94
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0 2 4 6 8 10 12 14Variation de la courbure globale (rad/m) x 10-3
Var
iatio
n de
l'in
dice
de
fiabi
lité
(∆β
Figure 5.1: Variation de l’indice de fiabilité causée par une surcharge en fonction de l’incrément de la courbure globale sous charge permanente
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0
0 100 200 300 400 Variation de la déflection au centre (mm)
Var
iatio
n de
l'in
dice
de
fiabi
lité
(∆β
Figure 5.2: Variation de l’indice de fiabilité causée par une surcharge en fonction de la variation de la flèche au centre sous charge permanente
Var
iatio
n de
l’in
dice
de
fiabi
lité
(∆β)
V
aria
tion
de l’
indi
ce d
e fia
bilit
é (∆β)
Variation de la courbure globale x10-3 (rad/m)
Variation de la flèche au centre (mm)
95
De ces graphiques, il est intéressant de noter qu’au fur et à mesure de la progression de
l’endommagement, l’indice de fiabilité diminue si l’intensité des sollicitations n’est pas
réduite. En d’autres mots, la progression de l’endommagement conduit à une augmentation
de la probabilité de rupture si aucune limitation des charges n’est imposée. Les figure 5.1 et
5.2 sont fort intéressantes du point de vue de la télésurveillance puisque les résultats
indiquent une importante variation de la courbure et des flèches pour une variation de
l’indice de fiabilité de -0,4 et moins. Cette variation de la courbure, de la flèche, ou de la
rotation aux appuis, constitue par conséquent un bon indicateur d’un « événement »
particulier sur la structure, dans ce cas le passage d’une importante surcharge. Bref, il est
possible d’établir des seuils d’alarme, à partir de la variation de l’indice de fiabilité β, en
couplant le modèle développé à un ouvrage télésurveillé.
La variation de l’indice de fiabilité β obtenue de ce modèle est plus faible, pour un même
incrément d’élément télésurveillé, que le prédit d’autres modèles tels celui proposé par
Savard et coll. (2003). Ce type d’approche, conservatrice en conception, devient alors
critique en télésurveillance. Le présent modèle, plus sécuritaire en télésurveillance, s’adapte
par conséquent mieux à des situations réelles que les divers modèles conservateurs en
conception.
La principale lacune de cette approche réside probablement dans l’établissement de valeurs
représentatives des coefficients de variation des sollicitations et des résistances (VS et V*R).
Toutefois, l’important de cette première approche réside dans l’établissement de la forme
de la courbe de variation de l’indice de fiabilité en fonction de l’évolution des indices de
comportement.
96
6. Conclusion
Ce projet de recherche a permis de développer un outil nécessaire à l'évaluation des
structures de ponts en béton armé et à la compréhension de l’évolution de leur
comportement avec l’endommagement. Le modèle de prédiction du comportement
d’éléments en béton armé développé permet, dans un premier temps, de prédire d’une part
le comportement d’une section de béton armé fissurée et d’autre part, le comportement
global d’une poutre en béton armé fléchie. Les résultats démontrent que cette évaluation
structurale est plus réaliste et moins conservatrice que ce que fournit la norme CAN/CSA-
S6-00.
Un module d’endommagement relié à l’historique de chargement des éléments fut implanté
au modèle. Ce dernier permet de simuler le passage de camions lourds sur un élément et
d’en évaluer l’endommagement permanent généré. Par la prédiction du comportement de la
section fissurée et de la poutre endommagées en flexion, le modèle se veut un outil
complémentaire à la télésurveillance. L’exploitation des résultats obtenus de la
modélisation permet en fait une mise à jour de l’indice de fiabilité de l’élément qui peut
être reliée à la progression de paramètres jugés représentatifs du fonctionnement structural
d’un ouvrage. Ces indicateurs de performances (rotations aux appuis, flèche au centre, etc.),
mesurés par la télésurveillance, peuvent donc être mieux interprétés. En fonction du type
d’ouvrage évalué et des conditions qui lui sont associées, le gestionnaire peut alors
identifier un seuil limite de variation de l’indice de fiabilité; ce seuil de variation permettant
de définir un seuil d’alarme ou d’alerte selon le cas.
La comparaison des résultats avec la norme CAN/CSA-S6-2000 ayant démontré une
prédiction moins conservatrice de la rupture que cette dernière, cet aspect est favorable
dans l’établissement de seuils d’alarme. En effet, en prévoyant une rupture pour de plus
importants chargements que les normes, les indicateurs de performances associés sont plus
faibles et permettent de poser un seuil d’alarme plus réaliste. Des mesures de prévention ou
de réhabilitation peuvent alors être employées pour limiter la progression de
l’endommagement, voire la ruine de l’élément.
97
Afin de s’assurer que les résultats générés par la modélisation sont représentatifs de la
réalité, une étude expérimentale a été conduite. Cette étude a permis de valider le présent
modèle puisque les résultats s’accordent relativement bien et en plus de générer de
l’information sur l’endommagement cyclique d’élément fléchis en béton armé. En effet, les
moments résistants prédits se situent à moins de 5% des valeurs réelles obtenues. Les
indicateurs de performance associés semblent toutefois sous-estimés, ce qui, rappelons-le,
est favorable en télésurveillance.
La modélisation permet également de simuler le comportement d’éléments soumis au
cisaillement pur et combiné. Il permet d’une part de prédire la progression des efforts dans
le cas de cisaillement pur, et d’autre part de bâtir l’enveloppe de rupture pour l’interaction
entre les efforts de cisaillement et de flexion. Le cheminement des paramètre constitutifs le
long de cette enveloppe (inclinaison des fissures, déformation des étriers, etc.) est
déterminé et constitue un outil préliminaire vers le développement d’un outil
complémentaire à la mise sous télésurveillance des éléments cisaillés et fléchis. Davantage
d’efforts sont nécessaires afin d’obtenir la progression complète avec le chargement (de
l’état sain à la rupture, en passant par l’état en service) des indicateurs de performance
potentiels.
Bref, l’approche de nature fiabiliste développée dans le cadre de ce projet de maîtrise a
permis de mieux comprendre les paramètres régissant la performance du béton armé afin de
faire une évaluation améliorée des pièces telles les poutres de pont. Il y aura
potentiellement incidence sur les spécifications visant l’utilisation et l’évaluation des
structures de béton armé. Le présent projet constitue un pas de plus vers la prédiction du
meilleur moment pour intervenir sur un ouvrage, un pas de plus vers des économies de
temps et d'argent considérables aux gestionnaires d'ouvrages et contribuables, tout en
maintenant la sécurité des ouvrages et usagers.
98
6.1. Études futures
La présente étude a permis, en plus de tirer plusieurs conclusions intéressantes, de proposer
certaines avenues de recherche. En effet, les principes de base du modèle étant relativement
bien implantés et son utilisation prometteuse, il serait pertinent d’améliorer le concept.
Dans un premier temps, les faiblesses dénotées devraient être améliorées. Entre autre
l’utilisation du « Tension Stiffening », expression empirique qui homogénéise le
comportement global des zones de béton tendues à proximité des armatures. Cette approche
constitue un concept général et simplificateur qui représente à la base l’effet raidisseur du
béton autour des armatures. Toutefois, sa représentativité de l’homogénéisation du
comportement du béton à proximité et entre des fissures, de l’adhérence entre le béton et
l’armature ainsi que de la dégradation de ces phénomènes, reste encore à approfondir. De
plus, l’ampleur du rayon d’influence de ce phénomène autour des barres d’armature semble
constituer un facteur influant sur le comportement global de la poutre (affecte la hauteur du
plateau post-plastification de l’acier et influe grandement sur l’amplitude des indicateurs de
performance à la rupture). Une recherche ou calibration plus approfondie est suggérée. De
même, il serait intéressant de prédire plus justement le comportement des indicateurs de
performance à l’ultime. La source des réserves de ductilité doit par conséquent être
déterminée et idéalement implantée au modèle.
Le modèle développé est, dans un deuxième temps, très propice à plusieurs types
d’améliorations ou d’ajouts. En effet, dans l’objectif d’être applicable à davantage de
structures, l’effet de la précontrainte pourrait facilement être inclus à la portion flexion du
modèle. De plus, afin de représenter plus justement l’état des ouvrages existants et
endommagés, davantage de types d’endommagements devraient être considérés, entre
autres l’effet des cycles de gel-dégel, la réaction alcali-granulat (RAG), la corrosion des
armatures, etc. L’impact de l’interaction ou de l’effet combiné de ces facteurs devrait de
plus être considéré. Le modèle devrait également pouvoir être applicable à divers types
d’éléments (porte-à-faux, poteaux, etc.), voire même à des assemblages ou à des structures
entières. Ces ajouts contribueraient à rendre le modèle plus complet, à en faire un outil
indispensable pour les gestionnaires d’ouvrages.
99
En ce qui concerne la portion cisaillement pur et combiné du modèle, une approche
« couche par couche » pour l’analyse du comportement en cisaillement, semblable à celle
décrite pour le comportement en flexion, serait plus représentative de la réalité. De plus, le
modèle devrait être développé afin de compléter l’enveloppe de rupture M-V par
l’évaluation du cheminement du cisaillement et de tous les paramètres constitutifs
(inclinaison de la fissuration, déformation des étriers, etc.). Ainsi, il serait possible de
suivre la progression de structures télésurveillées soumises à l’interaction d’efforts de
cisaillement et de flexion. Divers types d’endommagement devraient être inclus au modèle,
à débuter par les sollicitations qui affectent ses lois de comportement (chargements
cycliques et surcharges). L’objectif idéal serait alors d’établir des seuils d’alarme en se
basant sur la variabilité des indicateurs de performance pour la mise à jour de l’indice de
fiabilité de l’élément. Cette démarche pourrait s’apparenter à celle décrite pour la mise à
jour d’indice de fiabilité pour le comportement en flexion (section 5.1).
De plus, afin de tenir compte de l’incertitude et de la variabilité des données expérimentales
(la géométrie de la section, les propriétés des matériaux mis en place, les conditions
environnementales, les types ou intensité des chargements, etc.) et des résultats qui en
découlent, il serait sage d’utiliser une approche de simulation de type Monte Carlo. Il s’agit
en fait d’utiliser successivement le programme un nombre élevé de fois en générant
différentes données d’entrée pour une moyenne, un écart type et un type de loi de
probabilité donnée. Cette approche permet d’observer l’influence de la variabilité de
chacune des données d’entrées sur les divers résultats obtenus de l’analyse. Elle permet en
d’autres mots de déterminer un « fuseau » de fiabilité des résultats découlant de la moyenne
et de l’écart-type des résultats escomptés.
Finalement, le modèle développé mériterait quelques efforts afin d’incorporer une interface
graphique. Son utilisation serait ainsi simplifiée, et le modèle plus accessible aux
ingénieurs ou gestionnaires qui ne tiennent pas particulièrement à suivre une formation
informatique préalable.
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103
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Annexe A : Comparaison des résultats sous chargement
statique
106
Série 1
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais: F1-3Essais: F1-4Modèle
Poutre F1-3,4
Figure A-1: Courbe Charge-Flèche au centre, Série 1
0
5
10
15
20
25
30
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
Essais F1-3Essais F1-4Modèle
Poutre F1-3,4
Figure A-2: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Série 1
Norme non-pondérée :22.6 kN
Norme pondérée :18.9 kN
107
Série 3
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F3-1
Figure A-3: Courbe Charge-Flèche au centre, Série 3
0
5
10
15
20
25
30
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F3-1
Figure A-4 : Courbe Charge-Rotation aux appuis, Série 3
Norme non-pondérée :22.6 kN
Norme pondérée :18.9 kN
108
Série 4
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F4-1
Figure A-5 : Courbe Charge-Flèche au centre, Série 4
0
5
10
15
20
25
30
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F4-1
Figure A-6 : Courbe Charge-Rotation aux appuis, Série 4
Norme non-pondérée :22.6 kN
Norme pondérée :18.9 kN
109
Série 5
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
EssaisModèle
Poutre F5-1
Figure A-7: Courbe Charge-Flèche au centre, Série 5
0
5
10
15
20
25
30
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
EssaisModèle
Poutre F5-1
Figure A-8: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Série 5
Norme non-pondérée :22.6 kN
Norme pondérée :18.9 kN
110
Annexe B : Enveloppes de rupture expérimentales
111
Série 2
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
F2-1 (Enveloppe)F2-2 (10 cycles à 73%)F2-3 (5 cycles à 92%)F2-4 (5 cycles à 84%)
Figure B-1: Courbes enveloppes et cycliques de la flèche au centre, Série 2
Série 3
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
F3-1 (Enveloppee)
F3-2 (20 cycles à 78%)
F3-3 (10 cycles à 89%)
Figure B-2: Courbes enveloppes et cycliques de la flèche au centre, Série 3
112
Série 4
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
F4-1 (Enveloppe)
F4-2 (5 cycles à 95%)
F4-3 (5 cycles à 87%)
Figure B-3: Courbes enveloppes et cycliques de la flèche au centre, Série 4
Série 5
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
F5-1 (Enveloppe)F5-2 (5 cycles à 80%)F5-3 (10 cycles à 90%)F5-4 (5 cycles à 60%)
Figure B-4: Courbes enveloppes et cycliques de la flèche au centre, Série 5
113
Annexe C : Comparaison des chargements cycliques
114
Série 1
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Figure C-1: Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F1-1
0
5
10
15
20
25
30
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
EssaisModèle
Poutre F1-1
Figure C-2: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Poutre F1-1
* Poutre ayant subit une rupture non contrôlée
Poutre F1-1
115
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F1-2
Figure C-3: Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F1-2
0
5
10
15
20
25
30
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
EssaisModèle
Poutre F1-2
Figure C-4: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Poutre F1-2
116
Série 2
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F2-2
Figure C-5: Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F2-2
0
5
10
15
20
25
30
0 0,5 1 1,5 2Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F2-2
Figure C-6: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Poutre F2-2
117
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25Flèche au centre (mm)
Char
ge (k
N)
Essais
Modèle
Figure C-7: Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F2-3
Figure C-8: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Poutre F2-3
Poutre F2-3
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7Rotation aux appuis (°)
Char
ge (k
N)
EssaisModèle
Poutre F2-3
Poutre F2-3
118
Série 3
Figure C-9: Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F3-2
Figure C-10: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Poutre F3-2
0
5
10
15
20
25
30
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5
Rotation aux appuis (°)
Char
ge (k
N)
Essais
Modèle
Poutre F3-2
05
1015202530
0 0,2 0,4 0,6
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25
Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F3-2
05
1015202530
0 1 2 3
119
0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25 30 35Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Figure C-11: Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F3-3
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Figure C-12: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Poutre F3-3
Poutre F3-3
Poutre F3-3
120
Série 4
Figure C-13: Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F4-2
Figure C-14: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Poutre F4-2
Poutre F4-2 0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F4-2 0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6
Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
121
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F4-3
Figure C-15: Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F4-3
0
5
10
15
20
25
30
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
EssaisModèle
Poutre F4-3
Figure C-16: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Poutre F4-3
122
Série 5
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F5-2
Figure C-17: Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F5-2
0
5
10
15
20
25
30
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
EssaisModèle
Poutre F5-2
Figure C-18: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Poutre F5-2
123
Figure C-19: Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F5-3
Figure C-20: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Poutre F5-3
Poutre F5-3 0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10
Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F5-3 0
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 25 30 35
Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
124
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18Flèche au centre (mm)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F5-4
Figure C-21: Courbe Charge-Flèche au centre, Poutre F5-4
Figure C-22: Courbe Charge-Rotation aux appuis, Poutre F5-4
0
5
10
15
20
25
30
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3Rotation aux appuis (°)
Cha
rge
(kN
)
Essais
Modèle
Poutre F5-4