modélisation dans le repère tournant et influence des défauts sur … · 2015. 3. 27. · •...

Modélisation dans le repère tournant et Influence des défauts sur le comportement

vibratoire des machines tournantes

Benoit Prabel1,

Benoit Prabel , séminaire Lamsid, 22 Mars 2011

Benoit Prabel1,Didier Combescure1,2,

Arnaud Lazarus1,3

1 : CEA Saclay - DEN/DM2S/SEMT/DYN2 : ITER - Fusion For Energy (F4E) - Barcelone

3 : EGS laboratory - MIT

Plan

• Modélisation des machines tournantes : une introduction

• Rappels sur les modélisation « classiques » des rotors dans le repère fixe avec des éléments « poutre »

• Modélisation dans le repère tournant avec des éléments « massifs » et « coque »

• Influence des défauts


• Influence des défauts • Oscillateur paramétrique et théorie de Floquet• Application aux Eléments Finis• Exemple de rotor anisotrope : Comparaison essais – calculs• Cas du rotor fissuré : Utilisation de la méthode de la balance

harmonique

2

Plan







harmonique

3

Éléments poutres dans le repère fixe

• Élément de poutre :• hypothèses cinématiques sur le déplacement permettent de le

décrire dans l'épaisseur avec peu de degré de liberté (u et θ)• structures tournantes souvent élancées dans l'industrie


Projet de réacteur GT-MHR (Gen IV)

arbre tournant verticalturbo-alternateur

4

Éléments poutres dans le repère fixe

• Élément de poutre :• description simple et efficace lorsque la géométrie est

concentrée sur l'axe de rotation• utilisé dans la plupart des codes (rotorinsa, cadyro,dynrot …)

• Repère fixe := repère d'observation → interprétation + simple


= repère d'observation → interprétation + simple= repère galiléen, "fixe", noté R0

5

Équations dans le repère fixe

• Vecteur rotation :• R0 : repère galiléen• R : repère du rotor

01/ 0 ydt

dz

dt

dx

dt

dRR ⋅

+⋅

+⋅

=Ω ψθφ y0 =y1 x1

x0

ψψψψ

z1=z2 y2

y1

θθθθ

x2=x z

z2

φφφφ

xy0x0

z0

y

z

ΩΩΩΩ


Grande rotation Petites rotationsz0 z1

ψψψψx1 x2

θθθθy2 y

φφφφ

( )

−+

+⋅=Ω

φθψφθφθφθψ

θψφ

sincoscos

sincoscos

sin

0/

&&

&&

&&

rrrzyxRR

6


• Énergie cinétique :• définition par rapport au centre de gravité G

• partie correspondant à la rotation

2)()( /// 2

1

2

100

GG RRRT

RR vmITrrr

+Ω⋅⋅Ω=

=

II

JI G

ρρ

ρ)(

hyp : repère d'inertie = R


• partie correspondant à la rotation

( ) ( ) ( )( )2222 cossincoscoscossin2

sinsin22

θφψφθθφψφθρθψθψφφρ&&&&&&&& −+++++= IJ

T rot

0≈ψθ et

( ) ( )22

22

2ψθρθψφφρ&&&&& +++≈ IJ

T rot

≈≈=Ω

θθψθφ

z

y

&

222

222

22 zyzyrot IIJJ

T θρθρθθρρ ++Ω+Ω≈ &

7


• Équations de Lagrange :• appliquée à Trot

0=+

∂∂−

∂∂+

∂∂

∂∂− i

iiiQ

qV

qT

qT

t &

−Ω+

=

∂∂−

∂∂

∂∂

z

y

x

z

y

x

ii JJ

II

J

q

T

q

T

t θθθ

ρρ

θθθ

ρρ

ρ

&

&

&

&&

&&

&&

&

[ ]M [ ]Gformulation continue des matrices :


• pour être complet, idem pour Ttrans,Velas, Q, etc …

Ωr

zθx

yr

z

dt

dJM z

y

θΩ=

couplage gyroscopique :

rotation selon z crée un moment de rappel selon y

8

Effet gyroscopique

• Système simplifié• étude d'un rotor rigide monté sur appuis isotrope

c k

uθ

x

y


• 4 ddls :• matrices :

L

c k

9

Effet gyroscopique

• Effet sur les modes propres• on néglige C• modes au repos (Ω=0) :

2 modes réels doubles : cylindrique (u) et conique (θ)


• modes en rotation :

mode cylindrique non affecté

mode conique solution d'une eq. alg. 2nd ordre en w² …

10

Effet gyroscopique

• Effet sur les modes propres• modes en rotation : interprétation physique

mode conique solution d'une eq. alg. 2nd ordre en w² du type :

resolution left as an exercise …


avec les données du pb précédent, on a :

⇒ 2 modes de fréquencesdistinctes ΩΩΩΩ-dépendantes

11

Effet gyroscopique

• Effet sur les modes propres• modes en rotation : interprétation physique

et les déformées modales ?définie à une constante près ⇒ on pose par exemple et on résout :

… resolution left as an exercise …


les déformées modales obtenues sont complexes :

interprétation du sens Direct / Rétrograde :

y

x

représentation de φDirect :

Ω

12

Effet gyroscopique

• Effet sur les modes propres :

• Séparation d’un mode réel double en 2 modes complex es direct et rétrograde

⇒ La séparation est d’autant plus importante que le couplage gyroscopique est fort (inertie autour de l’axe de rotation à


gyroscopique est fort (inertie autour de l’axe de rotation à comparer à l’inertie autour des 2 autres axes)

• Modification de l’amortissement⇒ Risque d’instabilité dynamique si l’amortissement devient

négatif

13

Effet de l'amortissement

• Effet sur les modes propres• rappel sur un cas amorti non gyroscopique

exemple 1 ddl :

eq. alg. 2nd ordre en (iw)² …

pulsation propre complexe


cas amortissement sous-critique = le + fréquent :

pulsation propre complexe

amortissement fréquence de vibration libre (→ fonctions cos et sin)

14


• Calcul des matrices d'amortissement• pour les parties fixes (stator), pas de pb• pour le rotor, attention au changement de base:

• force visqueusedans Rtournant :

dans Rfixe : notant que

[ ] [ ]R

RR

RR dt

dI

dt

dCF

⋅=

⋅= φµφ [ ]Rz

y

x

R

I

I

I

I

=µ

µµ

µ00

00

00


dans Rfixe : notant queon obtient :

• amortissement corotatif

[ ]C

[ ]

Ω−Ω=

Ω−Ω−ΩΩ−⋅Ω⋅

ΩΩΩ−Ω=

00

00

000

sincos0

cossin0

000

cossin0

sincos0

001

I

I

tt

ttI

tt

ttH

µµµ

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]00

0

0)()()()( 0000 RRtRt

RtRtR RRRot

dt

dIRRRot

dt

dRRRotIRRRotF φµφµ ⋅→⋅⋅→+

⋅→⋅⋅→= ΩΩΩΩ

[ ]H

15


• Effet sur les modes propres• amortissement corotatif = potentielle source d'instabilité

• exemple : volant d'inertie avec appui intermédiaireidem précédemment, mais rotor visqueux avec µ = 0.00015*E

L = 0.40 ; Rs = 0.01 ;Rd = 0.15 ;


Rd = 0.15 ;h = 0.005 ;

Ky = Kz = 50000. ; Cy = Ky* β ; Cz = Kz* β;β = 0.002

E = 2.E11 ; ν = 0.3 ; ρ = 7800. ;µ = 0.00015*E

16


• Effet sur les modes propres• amortissement corotatif = potentielle source d'instabilité

Benoit Prabel , séminaire Lamsid, 22 Mars 2011 17

Réponse à un balourd

• Différents types de "balourd"


→ Balourd = chargement dynamique extérieur(pas de modification de M et G)

Centre de gravité non centré(déséquilibre statique)

Balourd = défaut dans la répartition des masses

(ponctuel ou réparti)

Axes principaux d’inertie inclinés(déséquilibre dynamique)

18


• Calcul de la force de balourd :• position

• vitesse

( )( )

0

0 sin

cos

sin

cos

0

cossin0

sincos0

001

Rz

y

x

Rz

y

x

balourd

tdu

tdu

u

d

d

tt

tt

u

u

u

u

+Ω⋅+

+Ω⋅+=

⋅⋅⋅

ΩΩΩ−Ω+

=

α

ααα

0001 uu

••


• énergie cinétique

• eq. de Lagrange

( )( )

0

0

0

cos

sin

sin

cos

0

sincos0

cossin0

001

Rz

y

x

RR

z

y

x

balourd

tdu

tdu

u

d

d

tt

tt

u

u

u

u

+Ω⋅Ω⋅+

+Ω⋅Ω⋅−=

⋅Ω⋅⋅Ω⋅⋅

Ω−ΩΩ−Ω−+

=•

•

•

••

α

ααα

( ) ( ) ( )

⋅Ω⋅++Ω⋅Ω⋅−+Ω⋅Ω⋅+++=

•••••2

222

sin2cos22

1dtdutduuuumT yzzyx αα

∂∂

∂∂−=

ibalourd

qT

tF

&

19


• Calcul de la force de balourd• la force s'exprime comme :

• on cherche la réponse sous la forme :

( )( )

( ) ti

Rz

y

x

balourd ei

Fir

Ft

iF

md

mdt

rF

md

md

tmdum

tmdum

um

F Ω+ℜ=Ω

Ω−Ω−Ω

ΩΩ=

+ΩΩ+−+ΩΩ+−

−= sin

cos

sin

0

cos

sin

cos

0

sin

cos2

2

2

2

2

2

0 44 344 2144 344 21&&

&&

&&

αα

αα

αα


• on cherche la réponse sous la forme :

• d'où le calcul harmonique = système linéaire à résoudre

tUtUU irréponse Ω−Ω= sincos

( )( )( )( )

ΩΩ

=

Ω−Ω+ΩΩ+Ω−Ω−

)(

)(2

2

2

2

i

r

i

r

F

F

U

U

MKGC

GCMK

20


• Interprétation des résultats :

• Équation d’une ellipse dans le plan défini par les 2 vecteurs (partie réelle et partie imaginaire)

• décomposition possible :

tUtUU irréponse Ω−Ω= sincos

iU−rU

Trajectoire


• décomposition possible : u = u direct + u rétrograde

• Cas d’un mode réel trajectoire = droite ⇒ pas de notion de direct / rétrograde

tUU

UU

tUU

UU

U Ry

Iz

Rz

Iy

Iy

Rz

Iz

Ry

direct Ω

−

+

−Ω

+

−

= sin

2

2cos

2

2r

tUU

UU

tUU

UU

U Ry

Iz

Rz

Iy

Iy

Rz

Iz

Ry

rétro Ω

+

−

−Ω

−

+

= sin

2

2cos

2

2r

rétrodirect UUUrrr

+=

21


• Interprétation des résultats• Exemple d'un système à 2 ddls

balourdFUKUM =+••

0sin

cos

02

R

balourd

t

tmdF

ΩΩΩ=

0sin

cos

0

2

2

Rt

tMK

mdU

ΩΩ

Ω−Ω

=


• Balourd = force tournante dans le sens direct• Réponse = trajectoire dans le sens direct

• en phase si Ω<w• en opposition de phase si Ω>w• résonance si Ω=wPour Ω très grand:

0sin

cos

0

Rt

tM

mdU

ΩΩ−≈

22


• Interprétation des résultats• exemple : volant d'inertie avec appui intermédiaire


Autres analyses…

• Réponse à un chargement tournant• idem réponse à un balourd mais avec fréquence de chargement wF≠Ω

• Réponse à un chargement transitoireExemple : perte de pale- Condensation statique des pales- Calcul transitoire sur base physique, base modale


Plan







harmonique

25

Équations dans le repère tournant

• Equations du mouvement• Notations :

• vecteur x de coordonnée (x)

• Repères :• fixe (Galiléen ou inertiel)• tournant (attaché au rotor)• tournant (attaché au rotor)

• Position :• dans R’ à t• dans R à t

• Vitesse :



• Equations du mouvement• Accélération :

• Equation du mouvement :

(avec Ω défini dans R’)

• Equation du mouvement :

• forces d’entrainement

• « raideur »• « amortissement »


Forces suiveuses et Ω-dépendantes d’Euler et centrifuge

27


• effet centrifuge• raideur apparente < 0→ flambement

• couplage de Coriolis• ≈ effet « gyroscopique » vu du rotor• ≈ effet « gyroscopique » vu du rotor! Gcori ≠ Ggyro

• effet d’Euler• ≈ effet « gyroscopique » associé à variation de vitesse



• Précontrainte centrifuge• Etude des vibrations autour d’une position d’équilibre définie par Ω=cst

• u obtenu à partir des forces centrifuges suiveuses :

V0 VΩΩΩΩ V

• u0 obtenu à partir des forces centrifuges suiveuses :

• Energie de déformation :

• tenseur de Green Lagrange :


Exemples

• disque évidé et fretté

• modes complexes :

OΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ

Ox

Oz

Re

O Ox

Oy

h

Ri

Re=0.10mRi=0.05mh=2.5mmE=200000MPar=7800kg/m3Ω=1000 tr/s

• modes complexes :


1856Hz au repos nθθθθ = 2

987 Hz au reposnθθθθ = 0

1247Hz au reposnθθθθ = 1

30

Exemples

• disque évidé et fretté• évolution des fréquences propres

vitesses critiques déterminées à partir du pb aux valeurs propres :


(=calcul de flambage élastique)

31

Equivalence repère fixe / tournant

• Mouvement dans Rtournant → Rfixe

• cas d’un mouvement dans le plan décrit dans RΩ par :

(rem : on a implicitement supposé w>0 pour classer direct/retro)


mode direct +Ω

mode direct w+Ω

mode retro w-Ω

(rem : on a implicitement supposé w>0 pour classer direct/retro)

32


• Utilisation du diagramme de Campbell dans Rtournant

• exemple : arbre avec disque fin


L = 0.40 ; Rs = 0.01 ; Rd = 0.15 ; h = 0.005 ;Ky = Kz = 50000. ; Cy = Ky* β ; Cz = Kz* β; β = 0.002βE = 2.E11 ; ν = 0.3 ; ρ = 7800. ; µ = 0.00015*E maillage 3D du rotor

33



• exemple : arbre avec disque fin: fréquence dans RΩ (R = Retro / D = Direct) --- : fréquences dans Rfixe


RD

R

DR

34



• Convention de classement des modes :on choisit la convention : w>0 direct (et réciproquement)la règle est simplement : w fixe = w tournant + ΩΩΩΩ


Prise en compte des supports

• Possibilité 1 :• support = raideur + amortisseur "simples"→ analyse dans RΩ

→ ajout de kn et cn (+hn) dans l’équation d’équilibre(attention au changement de repère et dérivée temporelle + éventuel terme en 2Ω si anisotropie des supports)éventuel terme en 2Ω si anisotropie des supports)

• Possibilité 2 :• supports = structure "complexe" dans Rfixe

→ discrétisation EF du rotor dans RΩ du stator dans Rfixe+ liaison rotor – stator à prendre en compte…


Discrétisation Eléments Finis

• dans Rfixe, modèles de poutre bien adaptés• dans RΩ , éléments massif et coque offrent une

cinématique plus riche pour décrire les mouvements du rotor (et du stator)• modélisation 3D

permet de traiter tous les cas (anisotropie…)permet de traiter tous les cas (anisotropie…)coute plus cher en tCPU

• symétrie cycliquemodélisation intermédiaireusage très répandu (turbines, pâles, …)

• modélisation en mode de Fourierpermet de traiter les géo de révolutioncout très faible (calcul 2D)choix des harmoniques et interprétation pas toujours facile



• Principe de la modélisation en mode de Fourier• développement du déplacement en série de Fourier :

pour analyse statique(ou transitoire) :


pour analyse harmonique :

38


• Principe de la modélisation en mode de Fourier• principales propriétés :

• couplage entre ddl sym et anti par Coriolis• en linéaire, chaque harmonique est indépendante• liaison rotor – stator directe avec l’équivalence repère fixe - tournant :

→ dériver par rapport à t = termes convectifs à ajouter pour le rotor



• Exemple : arbre avec volant fin et appui intermédiaire isotrope. • Comparaison des modèles



• Exemple : arbre avec volant fin et appuiintermédiaire isotrope. • Comparaison des modèles


=> mauvaise prédiction par

le modèle poutre du mode de

disque

41

En résuméRepère d’analyse Fixe R 0 Tournant R ΩΩΩΩ

Type d’élément Poutre→ géo concentrée sur l’axe

Massif, Coque→ cinématique + riche

Équation d’équilibre

G : Couplage gyroscopiqueH : Amortissement corotatif

Couplage de CoriolisPrécontrainte

Raideur centrifuge

Equivalence :Force de balourdMouvement direct

rétrograde

Force directe FeiΩt

ww

Force statique Fw’= w + Ωw’= w - Ω

(w’ = w + Ω si sign(w) = D/R)

Supports Naturellement pris en compte Equation de liaison "naturelle" en 2D Fourier, à écrire en 3D


Analyses : Campbell, Réponse harmonique, Transitoire

Plan







harmonique

43

Rappels sur les oscillateurs

• Système dynamique = équation différentielle

• Cas mécanique : système de n éq. diff. du 2ème ordre se ramenant à un système de 2n éq. diff. du 1er ordre

• Solutions de type :• points fixes (équilibre statique) :

F linéaire ou non, dépend de t (système non autonome ) λ = paramètres

• points fixes (équilibre statique) :• périodique (équilibre dynamique) :

• Stabilité :• Perturbation de la solution• Linéarisation• Etude des solutions fondamentales


Rappels sur les oscillateurs

• Exemple : Oscillateur de Duffing

cas amorti

→ système autonome non linéaire


fixed pointsperiodic solutions

45

Oscillateur paramétrique

• Cas des systèmes linéaires à coefficients périodiques :• solutions x(t) périodiques• F est T-periodic ⇒ A est T-periodic

• Théorie de Floquet (1883) : • il existe 2n solutions fondamentales • est aussi une matrice fondamentale• est aussi une matrice fondamentale

et on peut écrire • matrice monodrome C définie par :

et dont les valeurs propres renseigne sur la stabilité

• …• Finalement, on cherchera les solutions de la forme :


multiplicateur , exposantcaractéristiques (ou de Floquet)

46


• L’équation de Mathieu (1868)• Cas particulier étudié en 1868 par Mathieu pour un problème de

vibration d’une membrane plane, elliptique.• On la retrouve dans le cas d’un pendule suspendu à un point mobile

animé d’un mouvement harmonique d’amplitude A et de fréquence λ.


Où , ,

et

47


• L’équation de Mathieu (1868)• Existence d’instabilités paramétriques : instabilités dynamiques pour un

couple de paramètres (ε, δ) donné.• Région d’instabilité principale :


Carte de stabilité du système Carte des fréquences propres du système

48


• 2 défauts typiques des machines tournantes• Défaut de forme (= anisotropie

géométrique ou fissure ouverte) :• Raideur constante dans le repère tournant R’

mais de période T1 = π/Ω dans R.

• Défaut de fissure respirante sous poids propre :

• Raideur périodique dans le repère tournant Rmais de période T2 = 2π/Ω dans R.


Zone fissurée

θg

49


• Equation d’équilibre :• En posant z(t) = x(t) + iy(t), l’équation d’équilibre de G est de la forme :

• kr(t) est périodique de période T1 ou T2 selon le cas considéré • P0 est le poids propre qui s’applique si le rotor est horizontal : P0 = m.g• F (t) est le balourd, force tournante harmonique : F (t) = F * eiΩt• FB(t) est le balourd, force tournante harmonique : FB(t) = FB * eiΩt

• Equations linéaires à coefficients périodiques : • La solution est la somme de la solution générale de l’équation

homogénéisée (stabilité) et d’une solution particulière de l’équation complète (régime permanent).



• Equation d’équilibre :• Floquet :

• on cherche les solutions sous la forme :• où les fonctions inconnues zD(t) et zR(t) sont périodiques de période T1

ou T2 selon le cas considéré.

• Défaut de forme : • Défaut de forme :

• Fissure respirante :



• Etude de la stabilité• Déterminant de Hill : en remplaçant kr(t) et z(t) par leurs expressions,

on obtient le problème aux valeurs propres dans le domaine fréquentiel de la forme :

Cas du défaut de forme Cas de la fissure respirante


avec

52


• Etude de la stabilité• A chaque Ω, et pour un ordre j donné, un jeu de valeurs

propres et vecteurs propres sont obtenus. • Plus l’ordre de troncature de j augmente et plus on approche

de la solution exacte :• Poincaré (1886) : le déterminant converge selon• Poincaré (1886) : le déterminant converge selon

• Les vecteurs propres sont des modes propres complexes poly-harmoniques.

• Les valeurs propres nous renseignent sur le contenu harmonique de la solution (partie réelle) et la stabilité du système (partie imaginaire).



• Etude de la stabilité• Evolution des valeurs propres en fonction de Ω à défaut fixé :

• Partie réelle : confusion des fréquences des modes• Partie imaginaire : instabilités dynamique du sytème


a. Re(ω) fct de Ω pour la fissure respirante b. Im(ω) fct de Ω pour la fissure respirante

54


• Etude de la stabilité• Evolution des valeurs propres en fonction de Ω et du défaut ε

• Localisation dépend des paramètres • Le nombre de région d’instabilité dépend de la forme de kr(t)


a. Cas non amorti du défaut de forme b. Cas non amorti de la fissure respirante

55


• Etude de la stabilité• Effet de l’amortissement :

• L’amortissement fixe stabilise le système.• Dans la plupart des cas réels, seul la zone d’instabilité principale reste.


a. Cas amorti du défaut de forme b. Cas amorti de la fissure respirante

56


• Etude du régime permanent• La réponse forcée est une solution particulière de l’équation :

• Elle s’exprime sur la base des modes propres complexes poly-harmoniques :

• Cas du poids propre avec fissure respirante

• Calcul des contributions pour Ω et j donné• existence de résonances secondaires


Plan







harmonique

58

Application aux Eléments Finis

• Modélisation 3D poly-harmonique

• Vitesse de rotation constante Ω• Petits déplacements autour de l’équilibre• Modélisation 3D :

• Rotor modélisé dans Rr


• Stator modélisé dans Rn

• Liaison

59


• Modélisation 3D poly-harmonique• Théorie de Floquet :

• Le maillage est l’ensemble j• Le maillage est l’ensemble des sous-structures Sj et S’j

relatives aux contributions Uj et U’j.


j

60


• Modélisation 3D poly-harmonique• Condition imposées entre Γ et Γ’ :

• « Projection » des déplacements U’jLi et Uj

Li des interfaces Γ’ et Γrespectivement en O’ et O

• Liaison entre les déplacements « projetés » en O’ et O« projetés » en O’ et O



• Sous structuration• méthode de Craigh-Bampton :

ddls internes

ddls de liaison

modes propres bloqués modes statiques à depl imposés

sous structures = rotor / stator x j=-J..-1 0 1 ..J


modes propres bloqués modes statiques à depl imposés

→calcul des modes pour j=0 seulement !

62

Plan







harmonique

63

Exemples rotec

• 2 Configurations :• couronne libre

• rotor Anisotrope• stator Isotrope

• couronne bloquée• rotor Anisotrope• rotor Anisotrope• stator Anisotrope


Exemple rotec AI

• Configuration 1 : couronne bloquée• modes réels au repos


ωx = 20 Hz ωy = 23 Hz

65

Exemple rotec AI

• Configuration 1 : couronne bloquée• Evolution des fréquences du système en fonction de Ω :

instabilité dynamique pour ωx < Ω < ωy (système non amorti)


a. Fréquences fonction de Ω b. Amortissement fonction de Ω

66

Exemple rotec AI

• Configuration 1 : couronne bloquée• Vibrations libres obtenues par recombinaisons• Les modes sont bi-harmoniques


Orbite du volant pour Ω = 60 tr/min

67

Exemple rotec AI

• Configuration 1 : couronne bloquée• Comparaison essais – calculs

• Banc d’essai ROTEX


a. Massif de réaction b. Capteurs sans contact et excitateur

68

Exemple rotec AI


• Campagne d’essais : On calcule les auto spectres des capteurs en X et en Y tous les 1 Hz sur la plage [0-17Hz] (régime sous-critique)

• En rotation, dans le régime sous-critique, il apparaît des fréquences secondaires en ω +/- 2Ω.


a. Densité spectrale de puissance des capteurs DbX et DbY

b. Représentation en cascade des DSP pour la plage de fréquence [0 – 17] Hz

69

Exemple rotec AI


• Bonne corrélation entre les résultats numériques et expérimentaux.

• La suite : • Comment passer l’instabilité sur la manip ?• Comment exciter proprement le système en rotation ? • Comment exciter proprement le système en rotation ?


Comparaison essais - calculs sur la plage de fréquence [0 – 17] Hz

70

Exemple rotec AA

• Configuration 2 : couronne libre• modes réels au repos (pour θ=0°)


Exemple rotec AA

• Configuration 2 : couronne libre


Exemple rotec AA

• Configuration 2 : couronne libre• réponse au balourd

Ω=10Hz Ω=30Hz


Plan







harmonique

75

Rotor fissuré soumis à son poids propre

• « Respiration » de la fissure :• le poids « ouvre » la fissure : perte de rigidité

• le poids ferme la fissure: idem rotor sain grâce au contact



• Prise en compte de la respiration :• via modèles type Sinou ou Andrieux et Varre→ on identifie a priori la raideur k(t)

• via prise en compte du contact→ NL → a priori incompatible avec analyse fréquentielle→ NL → a priori incompatible avec analyse fréquentielle

→ utilisation de la méthode de la balance harmonique


( )

( )

=−≤⋅=⋅≥−

0

0

0

112

21

112

1

21

nuuF

nFnF

nuu

contact

contactcontactrrrr

rrrr

rrr

77


• Méthode de la balance harmonique• Première résolution linéaire dans le domaine fréquentiel• Retranscription du champ de déplacement dans le domaine temporel• Mesure de l’erreur dans le domaine temporel et correction• Transformation des efforts corrigés pour un calcul fréquentiel• Résolution... Calcul des efforts de contact initiaux


Décomposition à l’aide d’une série de Fourier

Calcul de l’expression duchamp de déplacement dans le

domaine temporel

Mesure de l’erreur com--mise sur les effortsRésolution du système

Domaine fréquentiel Domaine temporel

78


• Méthode de la balance harmonique :• Convergence de l’algo pour k=-3..3

• Bilan : • état stationnaire atteint rapidement• temps de calcul << calcul transitoire• influence des sous harmoniques dans

les directions non axiale faible


En résumé

• Considérant la rotation constante, les défauts de rotor conduisent à une équation d’équilibre à coefficients périodiques.

• La résolution de ces systèmes nécessite la théorie de Floquet. • La réponse est poly-harmonique et il peut apparaître des

instabilités dynamiques pour certains paramètres (Ω, cn, ∆r, ε ) donnés. Il existe des résonances secondaires.


n rεn) donnés. Il existe des résonances secondaires.

• L’application aux EF via sous-structuration est très appropriée• Certaines non linéarités peuvent également être intégrées au

modèle en utilisant la méthode de la balance harmonique pour résoudre dans le domaine fréquentielle.

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modélisation dans le repère tournant et influence des défauts sur … · 2015. 3. 27. · •...

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