modèle probabiliste / variables aléatoires · 2015. 1. 30. · amphi 1 le modele probabiliste et...
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Amphi 1
Modele probabiliste / Variables aleatoires
Jeremie Bigot
Cours de probabilites MA105ISAE/SUPAERO 1A
Annee 2013 - 2014
Amphi 1
Introduction
1 Introduction
2 Le modele probabiliste et concepts de base
3 Variables aleatoires reelles et lois classiques
4 Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle
Amphi 1
Introduction
Une theorie mathematique pour modeliser le hasard ?
Principe de base : on fait appel aux probabilites pour decrire uneexperience dont le resultat est impossible a prevoir avec certitude.
Exemple d’experience aleatoire : lancer d’un de a 6 faces et on litle numero apparu sur la face superieure
5 1 3 5 5 2 1 5 6 4
TAB.: Resultats de 10 lancers successifs d’un de a 6 faces
Amphi 1
Introduction
Une theorie mathematique pour modeliser le hasard ?
Principe de base : on fait appel aux probabilites pour decrire uneexperience dont le resultat est impossible a prevoir avec certitude.
Exemple d’experience aleatoire : lancer d’une piece et on lit la faceobtenue (Pile ou Face)
F F P P F P P F P P
TAB.: Resultats de 10 lancers successifs d’une piece
Amphi 1
Introduction
Une theorie mathematique pour modeliser le hasard ?Exemple d’experience aleatoire : suivi de l’evolution journaliere del’indice boursier S&P 500 publie par l’agence Standard & Poor’s.Source : Torgo L. (2010). Data Mining with R : Learning with Case Studies.Chapman and Hall/CRC.
jan 032007
jul 022007
jan 022008
jul 012008
jan 022009
jui 302009
800100
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0140
0160
0
Indice S&P 500
Amphi 1
Introduction
Une theorie mathematique pour modeliser le hasard ?Exemple d’experience aleatoire : enregistrement d’une seried’images au cours du temps (video en infrarouge) sur un campus.Source : http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/
Amphi 1
Introduction
Une theorie mathematique pour modeliser le hasard ?Exemple d’experience aleatoire : enregistrement d’une seried’images au cours du temps (video en infrarouge) sur un campus.Source : http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/
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Introduction
Une theorie mathematique pour modeliser le hasard ?Exemple d’experience aleatoire : enregistrement d’une seried’images au cours du temps (video en infrarouge) sur un campus.Source : http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/
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Une theorie mathematique pour modeliser le hasard ?Exemple d’experience aleatoire : enregistrement d’une seried’images au cours du temps (video en infrarouge) sur un campus.Source : http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/
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Une theorie mathematique pour modeliser le hasard ?Exemple d’experience aleatoire : enregistrement d’une seried’images au cours du temps (video en infrarouge) sur un campus.Source : http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/
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Une theorie mathematique pour modeliser le hasard ?Exemple d’experience aleatoire : enregistrement d’une seried’images au cours du temps (video en infrarouge) sur un campus.Source : http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/
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Introduction
Developpement mathematique des probabilites
19eme siecle et debut 20eme siecle : developpement desprobabilites en lien avec les methodes d’analyse :
- calcul integral et differentiel (Laplace, Gauss)- theorie de la mesure (Borel, Lebesgue)
a partir du 20eme siecle : etude de phenomenes aleatoires quievoluent au cours du temps : theorie des processus de Markov(mouvement Brownien, processus de Poisson, theoriestatistique, etude de la dynamique de population, physiquestatistique,...)
la theorie des probabilites aujourd’hui est basee sur le modeleprobabiliste propose par Kolmogorov (1933), et sur le calculstochastique developpe par Ito (1945). Cette theorie a connu untres grand essor dans la deuxieme moitie du 20eme siecle.
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Introduction
Domaines d’application de la theorie des probabilites
Physique (physique des particules, physique quantique)
Traitement du signal et de l’image
Informatique et reseaux de telecommunication
Analyse de bases de donnees massives (Big data)
Finance, Economie, Assurance
Biologie
Fiabilite
Simulation numerique en mathematiques appliquees
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Introduction
Organisation du cours MA 105
6 amphis- Principales notions et principaux theoremes- Quelques exemples
14 petites classes (PC)- Exercices applicatifs- Introduction de notions complementaires
1 BE note sous Matlab (en salle informatique) - Illustrationnumerique du filtrage de Kalman
1 examen final
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
1 Introduction
2 Le modele probabiliste et concepts de base
3 Variables aleatoires reelles et lois classiques
4 Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
Notion d’espace fondamental
Principes de base :on fait appel aux probabilites pour decrire une experience dont leresultat est impossible a prevoir avec certitude,mais on suppose que l’on connait quand-meme l’ensemble desresultats possibles de l’experience.
Definition
L’ensemble de tous les resultats possibles de l’experience est appeleunivers, espace d’etats ou bien espace fondamental, et on lenotera Ω. Un resultat possible de l’experience est note ω ∈ Ω.
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
Notion d’espace fondamental
Experience 1 : lance d’un de a 6 faces Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 etcard Ω = 6.
Experience 2 : lance de deux des a 6 faces
Ω = (1, 1), · · · , (1, 6), (2, 1), · · · , (2, 6), · · · (6, 1), · · · , (6, 6)
et card Ω = 36.
L’ensemble Ω peut etre :
- fini (ensemble des 6 faces d’un de, des 32 cartes d’un jeu,...),- infini denombrable (ensemble des entiers naturels, ou d’etats
que l’on peut numeroter) : Ω = N,Z, . . .- infini non denombrable (position d’une particule dans un liquide,
poids, taille,...) : Ω = [0,+∞],R, . . .
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
Notion d’evenement
Lorsqu’on effectue une experience aleatoire, certains faits lies a cetteexperience peuvent se produire ou non : on les appelle evenements.
Definition
Un evenement A associe a une experience aleatoire est unsous-ensemble de Ω i.e. A ∈ P(Ω).
Chaque resultat possible ω ∈ Ω d’une experience aleatoire est appeleevenement simple note A = ω.
Remarque : un evenement est lie a une experience aleatoire si onsait dire, au vu des resultats possibles de l’experience, si cetevenement a lieu ou non.
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
Notion d’evenement
Exemples d’evenements :
- Pour l’experience 1, A “le numero obtenu est pair”.
A est realise si et seulement si ω ∈ 2, 4, 6. On notera
A = 2, 4, 6.
- Pour l’experience 2, B “la somme des deux numeros obtenus est6”.
B est realise si et seulement si(ω1, ω2) ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6 × 1, 2, 3, 4, 5, 6 verifie ω1 + ω2 = 6.On notera
B = (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1).
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
Compatibilite d’un ensemble d’evenements
Lors de l’etude d’une experience aleatoire, on doit utiliser unensemble d’evenements A ⊂ P(Ω) qui soit suffisamment riche afind’etre stable par intersection, union et negation d’evenements A ∈ A(lien avec la theorie des ensembles).
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
Tribu sur Ω
Definition
On appelle tribu A sur Ω, tout sous-ensemble de parties de Ω telque :
1 Ω ∈ A,2 si A ∈ A, alors A ∈ A,
3 si pour tout n ∈ N, An ∈ A, alors+∞⋃n=0
An ∈ A.
Le couple (Ω,A) est appele espace probabilisable.
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
Tribu sur Ω
Exemples de tribus :
∅,Ω : la plus petite,P(Ω) : la plus grande,∅,Ω,A,A.
Cas particuliers tres importants :
lorsque Ω est fini ou infini denombrable, on prend toujoursA = P(Ω).
ce n’est pas le cas lorsque Ω = R : la tribu consideree dans cecas sera la tribu des boreliens B(R) qui est la plus petite tribucontenant les ouverts de R
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
Notion de probabilite
Principe : une probabilite (notee P ou P) est une mesure entre 0 et 1qui permet d’evaluer les chances de realisation d’un evenement.
Definition
Soit (Ω,A) un espace probabilisable. On appelle probabilite (oumesure de probabilite) sur (Ω,A) toute application P de A vers [0, 1]telle que :
1 P(Ω) = 12 pour toute suite d’evenements An ∈ A, incompatibles deux a
deux (i.e. An⋂
Am = ∅ si n 6= m), on a :
P
(+∞⋃n=0
An
)=
+∞∑n=0
P(An)
(= lim
N→+∞
N∑n=0
P(An)
).
Le triplet (Ω,A,P) est appele espace probabilise.
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
Quelques proprietes d’une mesure de probabilite
Proposition
1 Si A ⊂ B, alors P(A) ≤ P(B)2 P(A) = 1− P(A) ; P(∅) = 03 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)4 si (An)n est une suite croissante de A (An ⊂ An+1), alors
P(⋃
nAn
)= lim
n→+∞P(An)
5 si (Bn)n est une suite decroissante de A (Bn+1 ⊂ Bn), alors
P(⋂
nBn
)= lim
n→+∞P(Bn).
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
Le cas discretCas particulier important : Ω = ω1, · · · , ωn est fini et A = P(Ω).
- Soient p1, · · · , pn, n nombres reels.Alors, il existe une probabilite P sur (Ω,A) telle que, pour touti ∈ 1, · · · , n, P(ωi) = pi si et seulement si, pour tout
i ∈ 1, · · · , n, pi ≥ 0 etn∑
i=1pi = 1.
La probabilite P est alors unique et, pour tout A ∈ A,
P(A) =∑
i;ωi∈A
pi.
- On dit qu’il y a equiprobabilite lorsque les probabilites de tousles evenements simples sont egales i.e. pi = 1
n . S’il y aequiprobabilite, alors, pour tout evenement A, on a
P(A) =card Acard Ω
.
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
Evenements independants
Intuition : 2 evenements sont independants si la realisation de l’unest sans effet sur la realisation de l’autre.
Definition
Soit (Ω,A,P) un espace probabilise.
1 Deux evenements A et B de A sont independants si
P(A ∩ B) = P(A)× P(B).
2 Une famille d’evenements (An)n est dite famille d’evenementsindependants si, pour tout p ∈ N∗ et pour tout i1, · · · , ip ⊂ N,
P(Ai1 ∩ · · · ∩ Aip) = P(Ai1)× · · · × P(Aip).
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
Evenements independants
Exemple : lancer de deux pieces.
L’ensemble des resultats possibles estΩ = ω1, ω2, ω3, ω4 = PP,FF,PF,FP et il y a equiprobabilite.
On considere les evenements :A =“La premiere piece est PILE”B = “La deuxieme piece est FACE”
Les deux evenements sont independants car
P(A ∩ B) = P(ω3) =14
=12× 1
2= P(A)× P(B)
Amphi 1
Le modele probabiliste et concepts de base
Evenements independants
Remarque : l’independance depend de la probabilite consideree.
Exemple : Soit P1 la probabilite definie sur Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 par :
P1(1) = P1(2) =16
; P1(3) =13
; P1(4) = P1(5) = P1(6) =19
et soit P2 l’equiprobabilite sur Ω.
Soient A = 1, 2 et B = 2, 3.
On a P1(A) = 26 ; P1(B) = 1
2 ; P1(A ∩ B) = 16 donc
P1(A)P1(B) = P1(A ∩ B).
D’autre part, P2(A) = P2(B) = 13 ; P2(A ∩ B) = 1
6 doncP2(A)P2(B) = 1
9 6= P2(A ∩ B).
Les evenements A et B sont independants pour P1 mais pas pour P2.
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Variables aleatoires reelles et lois classiques
1 Introduction
2 Le modele probabiliste et concepts de base
3 Variables aleatoires reelles et lois classiques
4 Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Variables aleatoires
Soit E une experience aleatoire et (Ω,A,P) l’espace probabilise quien rend compte.
Dans de nombeuses situations, a chaque resultat de E , onassocie une valeur numerique i.e. une application
X : Ω → Rω 7→ X(ω)
But : eviter de devoir decrire tout les elements ω (evenementelementaire) de l’ensemble Ω. Exemples :
- X = nombre de piles obtenus apres 100 lancers d’une piece- X = valeur maximale d’un indice boursier sur un intervalle de
temps donne- X = temps de fonctionnement d’un smartphone
Approche fonctionnelle plutot qu’ensembliste.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Variables aleatoires
Soit E une experience aleatoire et (Ω,A,P) l’espace probabilise quien rend compte.
On considere une application
X : Ω → Rω 7→ X(ω)
Probleme : on souhaite mesurer la probabilite de l’ensemble desresultats ω ∈ Ω tel que X(ω) = a, ou encore X(ω) < a, ou encoreX(ω) ∈ [a, b[ i.e. evaluer
P(X = a) ou P(X < a) ou P(X ∈ [a, b[).
Question : les evenements [X = a], [X < a] ou bien X ∈ [a, b[peuvent-ils etre mesures ?
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Variables aleatoires
Rappel : si X est une application d’un espace Ω dans un espace Ω′
et si A′ ⊂ Ω′, alors l’image reciproque de A′ par X est definie par :
X−1(A′) = ω ∈ Ω ; X(ω) ∈ A′ note aussi [X ∈ A′]
Definition
Soit X : (Ω,A)→ (Ω′,A′). On dit que X est une variable aleatoire(en abrege v.a.), ou encore application mesurable sur (Ω,A) et avaleurs dans (Ω′,A′), si
X−1(A′) ∈ A
pour tout A′ ∈ A′.
Remarque : il s’agit d’un cadre tres general : Ω′ = x1, . . . , xn,Ω′ = N, Ω′ = Z, Ω′ = R, Ω′ = Rd, Ω′ = Espace fonctionnel,...
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Loi de probabilite d’une variable aleatoire
Proposition
Si X est une v.a. definie sur un espace probabilise (Ω,A,P), a valeursdans (Ω′,A′), alors l’application
PX : A′ ∈ A′ 7→ PX(A′) = P([X ∈ A′])
est une probabilite sur (Ω′,A′).
Interpretation : on transporte la structure probabiliste del’experience aleatoire associee a (Ω,A,P) dans l’espace (Ω′,A′) al’aide de l’application X.
Definition
La probabilite PX : A′ ∈ A′ 7→ P([X ∈ A′]) est appelee loi deprobabilite de X (on dit aussi mesure image de P par X).
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Variables aleatoires reelles et lois classiques
Variables aleatoires reelles
Definition
Une variable aleatoire de (Ω,A) dans (Ω′,A′) avec
(Ω′,A′) = (R,B(R)),
ou B(R) est la tribu des boreliens de R, est dite reelle.
Proposition
Une variable aleatoire reelle (en abrege v.a.r.) est touteapplication X de (Ω,A) dans R telle que, pour tout intervalle I deR, on ait X−1(I) ∈ A.
Une application X de (Ω,A) dans R est une variable aleatoirereelle si et seulement si, pour tout x ∈ R, on a [X ≤ x] ∈ A.
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Variables aleatoires reelles et lois classiques
Fonction de repartition d’une v.a.r.
Definition
Soit X une v.a.r. definie sur un espace probabilise (Ω,A,P). Onappelle fonction de repartition de X l’application FX de R sur Rdefinie par
FX(x) = P([X ≤ x]).
Remarque : la loi de probabilite PX d’une v.a.r. X est entierementcaracterisee par sa fonction de repartition FX.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Fonction de repartition d’une v.a.r.
Proposition
Soit X une v.a.r. de fonction de repartition FX. Alors,
pour tout x ∈ R, FX(x) = P([X ≤ x]) ∈ [0, 1],
FX est croissante,
FX est continue a droite,
limx→−∞
FX(x) = 0 ; limx→+∞
FX(x) = 1,
pour tout (a, b) ∈ R2, si a < b, alors
P([a < X ≤ b]) = FX(b)− FX(a),
P([X = x]) = FX(x)− FX(x−) (= 0 si FX est continue en x).
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Ex 1 - Fonction de repartition : x 7→ FX(x) = P([X ≤ x])
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
P([a < X ≤ b]) = FX(b)− FX(a) : la loi de probabilite PX d’une v.a.r. Xest entierement caracterisee par sa fonction de repartition FX !
L’ensemble des valeurs prises par X est discret
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Ex 2 - Fonction de repartition : x 7→ FX(x) = P([X ≤ x])
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
P([a < X ≤ b]) = FX(b)− FX(a) : la loi de probabilite PX d’une v.a.r. Xest entierement caracterisee par sa fonction de repartition FX !
L’ensemble des valeurs prises par X “varie continument”
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Variables aleatoires discretes
Definition
Une v.a.r. X sur (Ω,A,P) est dite discrete si X(Ω) est fini oudenombrable.
Notations : X(Ω) = x1, · · · , xn ou bien X(Ω) = xi ; i ∈ N et
pi = P([X = xi]).
Definition
On appelle loi de probabilite d’une v.a.r. discrete X, l’ensemble descouples (xi, pi). On a pi ≥ 0 et
∑i
pi = 1.
Proposition
Fonction de repartition : FX(x) = P([X ≤ x]) =∑
i;xi≤xpi. Ainsi,
FX(x) = FX(xi−1), x ∈ [xi−1, xi[, et FX(xi)− FX(xi−1) = P([X = xi]) = pi.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Lois discretes classiquesLoi de Bernoulli B(p) pour p ∈]0, 1[ :
X(Ω) = 0, 1 ; P([X = 1]) = p ; P([X = 0]) = 1− p.
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), p = 0.3.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Lois discretes classiques
Loi binomiale B(n, p) pour p ∈]0, 1[ :
X(Ω) = 0, · · · , n ; P([X = k]) = Cknpk(1− p)n−k pour tout k ∈ X(Ω).
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), n = 10, p = 0.5.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Lois discretes classiquesLoi equiprobable U(x1, · · · , xn) :
X(Ω) = x1, · · · , xn ; P([X = xk]) =1n
pour tout xk ∈ X(Ω).
−1 0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), n = 5, xi = i pour 1 ≤ i ≤ n.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Lois discretes classiques
Loi geometrique sur N∗ G(p) pour p ∈]0, 1[ :
X(Ω) = N∗ ; P([X = k]) = p(1− p)k−1 pour k ∈ N∗.
0 5 10 15 20 25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), p = 0.2.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Lois discretes classiquesLoi de Poisson P(λ) pour λ > 0 :
X(Ω) = N ; P([X = k]) = e−λλk
k!pour k ∈ N.
0 5 10 15 20 25
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), λ = 5.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Variables aleatoires (absolument) continues
Modelisation : on va s’interesser ici a des v.a.r. X telles queP([X = x]) = 0 pour tout x ∈ R, i.e. telles que FX soit continue sur R.
Definition
Une v.a.r. X de fonction de repartition FX est dite (absolument)continue s’il existe une fonction f : R→ R, appelee densite de Xtelle que :
1 f (x) ≥ 0 pour tout x ∈ R,
2 pour tout B ∈ B(R), f−1(B) = x ∈ R ; f (x) ∈ B ∈ B(R),
3∫ +∞−∞ f (t)dt = 1,
4 FX(x) =∫ x−∞ f (t)dt.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Variables aleatoires (absolument) continuesRemarques :
- Si X est absolument continue, alors si a < b on a que :
P([a < X < b]) = P([a < X ≤ b]) = P([a ≤ X < b]) = P([a ≤ X ≤ b])
= FX(b)− FX(a) =∫ b
af (t)dt
En effet, P([X = a]) = P([X = b]) = 0 car FX est continue, etFX(b)− FX(a) =
∫ b−∞ f (t)dt −
∫ a−∞ f (t)dt =
∫ ba f (t)dt.
- En tout point t0 ou la densite f est continue, on a que
F′X(t0) = f (t0).
- La connaissance de FX ne determine pas f de facon unique !
On peut modifier a son gre f sur un ensemble de mesure nulle(ex : fini) sans changer
∫ x−∞ f (t)dt (cf. chapitre 4).
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Lois (absolument) continues classiques
Loi uniforme U([a, b]) :loi de densite f definie par f (x) = 1
b−a 1I[a,b](x) avec a < b.
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x 7→ f (x) = P([X ≤ x]), a = 0, b = 2.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Lois (absolument) continues classiques
Loi uniforme U([a, b]) :loi de densite f definie par f (x) = 1
b−a 1I[a,b](x) avec a < b.
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), a = 0, b = 2.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Lois (absolument) continues classiques
Loi exponentielle E(λ) : loi de densite f definie parf (x) = λ exp(−λx)1I]0,+∞[(x) avec λ > 0.
−1 0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x 7→ f (x) = P([X ≤ x]), λ = 1.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Lois (absolument) continues classiques
Loi exponentielle E(λ) : loi de densite f definie parf (x) = λ exp(−λx)1I]0,+∞[(x) avec λ > 0.
−1 0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), λ = 1.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Lois (absolument) continues classiques
Loi Normale N (m, σ2) : loi de densite f definie parf (x) = 1
σ√
2πexp
(− (x−m)2
2σ2
)avec m ∈ R et σ > 0.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
x 7→ f (x) = P([X ≤ x]), m = 0, σ2 = 1.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Lois (absolument) continues classiques
Loi Normale N (m, σ2) : loi de densite f definie parf (x) = 1
σ√
2πexp
(− (x−m)2
2σ2
)avec m ∈ R et σ > 0.
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x 7→ FX(x) = P([X ≤ x]), m = 0, σ2 = 1.
Amphi 1
Variables aleatoires reelles et lois classiques
Fonction de repartition de la loi normale standardEn general, on notera par Φ la fonction de repartition d’une v.a.r. X deloi N (0, 1) :
Φ(x) =∫ x−∞
1√2π
e−t2/2 dt = FX(x) = P([X ≤ x])
Comme on ne sait pas calculer Φ, il existe des tables qui donnent desvaleurs approchees de Φ(x) pour tout x ∈ R.
Theoreme
Soit X une v.a.r. de loi normale N (0, 1), de fonction de repartition Φ.Alors :
pour tout x ∈ R, Φ(x) = 1− Φ(−x) ; en particulier Φ(0) = 12 ,
pour tout x ∈ R,
P([|X| ≤ x]) = 2Φ(x)− 1 et P([|X| ≥ x]) = 2(1− Φ(x)).
Amphi 1
Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle
1 Introduction
2 Le modele probabiliste et concepts de base
3 Variables aleatoires reelles et lois classiques
4 Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle
Amphi 1
Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle
Esperance d’une v.a.r. discrete
Soit X une v.a.r. discrete definie sur un espace probabilise (Ω,A,P).
On pose X(Ω) = xn ; n ∈ N (le cas fini est similaire au cas infinidenombrable).
Definition
On dit que X possede une esperance si la serie∑n≥0|xn|P([X = xn])
converge.
On appelle alors esperance de X et on note E(X) le nombre :
E(X) =∑n≥0
xnP([X = xn]).
Amphi 1
Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle
Variance d’une v.a.r. discrete
Definition
1 On appelle variance de X et on note var(X) le nombre (s’il existe)
var(X) =∑n≥0
(xn − E(X))2P([X = xn])
2 Si X admet une variance, on appelle ecart-type de X le nombreσX defini par
σX =√
var(X).
Amphi 1
Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle
Transformation d’une v.a.r. discrete
Soit ϕ : R→ R une fonction mesurable a valeurs reelles quelconque.Alors, l’application Y = ϕ(X) : Ω→ R est encore une v.a.r. discrete.
Theoreme
Soit ϕ une fonction mesurable (continue par morceaux) de R dans Rtelle que ϕ(X) admette une esperance. Alors :
E(ϕ(X)) =∑n≥0
ϕ(xn)P([X = xn]).
Remarque : Ce theoreme est important car il permet de calculerE(ϕ(X)) sans connaıtre la loi de ϕ(X) mais en connaissantsimplement la loi de X.
Amphi 1
Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle
Transformation d’une v.a.r. discrete
Consequences :
1 E(aX + b) = aE(X) + b si E(X) existe.
2 var(X) = E(X2)− E(X)2.
3 var(aX + b) = a2var(X).
Amphi 1
Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle
Esperance d’une v.a.r. continue
Definition
Soit X une v.a.r. absolument continue, de densite fX. Si∫ +∞
−∞|t|fX(t)dt < +∞
alors X admet une esperance definie par
E(X) =∫ +∞
−∞tfX(t)dt.
Amphi 1
Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle
Variance d’une v.a.r. continue
Definition
Soit X une v.a.r. absolument continue, de densite fX.
1 Si∫ +∞−∞ t2fX(t)dt existe, alors on appelle variance de X et on note
var(X) le nombre
var(X) =∫ +∞
−∞(t − E(X))2 fX(t)dt.
2 Si X admet une variance, on appelle ecart-type de X le nombreσX defini par
σX =√
var(X).
Amphi 1
Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle
Transformation d’une v.a.r. continue
Theoreme
Soit X une v.a.r. absolument continue de densite fX et ϕ : R→ R unefonction mesurable (continue par morceaux) , alors Y = ϕ(X) est unev.a.r. absolument continue et,
E(ϕ(X)) =∫ +∞
−∞ϕ(x)fX(x)dx,
si elle admet une esperance.
Remarque : Ce theoreme est important car il permet de calculerE(ϕ(X)) sans connaıtre la loi de ϕ(X) mais en connaissantsimplement la densite fX de X.
Amphi 1
Esperance et variance d’une variable aleatoire reelle
Transformation d’une v.a.r. continue
Consequences :
1 E(aX + b) = aE(X) + b si E(X) existe.
2 var(X) = E(X2)− E(X)2.
3 var(aX + b) = a2var(X).