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Modéliser la complexité
Analyser l’émergence de l’innovation
Prédire les risques associés aux imprévus
Optimiser les processus de fabrication
Disposer d’une théorie pour l’ergonomie
Etc.
Olivier Maurice
Responsable des études amont au GERAC Membre de l’AFSCET (Association Française de la Science des Systèmes)
Sommaire
1. Complexe versus compliqué 2. Le monde comme des bouteilles à la mer 3. De la bouteille au fil : une histoire d’homotopie sur des variétés 4. La bataille des titans : énergies potentielles, cinétiques, de pertes 5. L’exercice d’homologie – l’ « ATR » 6. Tout est transformations 7. La mer, celle qui détermine les géodésiques 8. Des bouteilles dans la mer aux graphes avec cordes, etc. 9. L’évolution comme transformations et sa représentation 10. L’évolution est un jeu 11. La panoplie du joueur : stratégie, gain, comportement & modèles 12. Les tenfolds 13. L’espace des tenfolds pour une projection en stratégies mixtes 14. La trajectoire dans le temps à la recherche du gain optimum 15. Les surfaces de comportements et la société 16. Un exemple illustratif : les deux conducteurs sous l’emprise du
régulateur de vitesse 17. Cas d’émergence ? 18. Conclusion
Complexe vs compliqué
Beaucoup de définition. 1 point commun remarquable :
Complexe Le système n’est pas la simple somme de ses parties
1. Émergence
2. Imprévu (si l’on ne dispose pas de théorie)
3. Parfois issu de la non linéarité, du chaos
Le monde comme des bouteilles à la mer
Une bouteille = un monde local à bords identifiables
La mer, un monde infini, sans bords
Des interactions entre les bouteilles et la mer, la mer et les bouteilles, les bouteilles entre elles par le biais de la mer
De la bouteille au fil : une histoire d’homotopie sur des variétés
r
Espace affine
Espace vectoriel tangent
Variété bornée, dirigée
Réalité perceptible
Identification de la perception
Homotopie r (amaigrissement) Branche dans
un graphe
La bataille des titans : énergies potentielle, cinétique, de pertes
La réalité perceptible : Des flux, des mouvements ( énergie cinétique)
Des forces, des statiques des sources (énergie potentielle) Du rayonnement,
des pertes (énergie de pertes)
Accrocher ces observables perceptibles à des propriétés des branches du graphe
On raccroche facilement les flux à l’espace vectoriel tangent : espace « naturel » ou « primal » mv qv
On veut relier le potentiel au flux Problème mathématique !
vp vecteur nombre
L’exercice d’homologie, l’ATR
ATR : analyse Tensorielle des Réseaux – Gabriel Kron (1939)
vNombre
dualité
1° exercice, utiliser le concept de dualité
a b
bijection
nTa *nTv
Sud®180°
Espace – Co espace Vecteur - Covecteur
T espace des chaînes
1-Forme linéaire
L’exercice d’homologie, l’ATR
Homologie, co-homologie, topologie : diagramme de Roth
q f
oV
g
C
10 : nn TT
Cobord : intègre, incidence
Bord : dérive, incidence transposée
nn TT 1: Composante du vecteur flux : vecteur associé à la branche, Cinétique T1
Métrique : elle relie le vecteur de T1 et le covecteur de T1, déduite de C
La différence de potentiels exprime la source d’impulsion T1
Le potentiel au niveau des sommets de la Branche T0
L’inverse de la métrique, relie potentiel et masse, charge
La charge, la masse, portées par les sommets T0
Le sommet est le bord de la branche
En intégrant des points on forme une branche
L’exercice d’homologie, l’ATR
En topologie on sait qu’une branche est une interface plus l’intersection de bords de faces On démontre que l’éléments fondamental des réseaux, dont les graphes sont la
représentation, sont les mailles – bords des faces. (et on démontre aussi quelques autres trucs)
f
e g +
3 choses essentielles :
1. La loi de Kirchhoff : e=V+g(f)
2. Je sais caractériser g() en excitant la
branche élémentaire par une source
externe e
3. Les courants de branches se développent
en fonction des courants de mailles,
comme un changement de base, et dans
l’espace des mailles V=0
Dans l’espace des mailles on retrouve le lagrangien du réseau
Tout est transformations …
On traduit la réalité :
Alimentation + fils + charge
Opérations de branchements qui conduisent au système
E
kLfL bb
10
10
01
01
f1 f2 f3
f4
E
k1 k2
Tout est transformations …
Avec des matrices de transformations comme L, on sait tourner, brancher, déformer, multiplier, etc., des réseaux et on sait supprimer des branches, des sommets, des mailles ou ajouter des sommets, des branches, des mailles; modifier l’espace et le temps de ces réseaux, l’information qu’ils véhiculent, etc.
Toutes les actions sont traduites par des transformations
Il y a des transformations intrusives (qui modifient intrinsèquement l’objet) et d’autres non intrusives (simple changement de point de vue)
Tout est transformations …
L’analyse tensorielle des réseaux permet de maîtriser ces transformations : connaissance d’un invariant
Regardons un petit peu un développement :
kkLLgkLVs
kLkLgVs
ffgVs
fes
ab
ab
a
a
ab
aba
ab
aba
a
a
Sur la dernière expression, que vaut ? Réécrivons :
kLV a
a
Ici la topologie nous aide. La transposée de L est un opérateur de cobord. Il réalise de fait une opération d’intégration. Intégrer une différence de potentiel sur un contour fermé ramène toujours à zéro
kVL a
a
0
kLV a
a
Il nous reste :
kekkgkkLLgs ab
ab
Nous avons démontré l’invariance de s dans un changement de base. Bref, nous le répétons :
Tout est transformations …
Tout est transformations …
Les transformations sont organisées en groupes.
Une évolution d’un réseau revient à l’application d’une transformation.
Parmi les transformations, une est
particulièrement intéressante : celle qui consiste à exprimer le graphe dans l’espace des mailles.
k2 maille
La mer, celle qui détermine les géodésiques
k1 k2
2 mailles peuvent échanger de l’information à distance
Échange d’information Cette information utilise
comme support les
géodésiques de l’espace-
temps, ou des foncteurs
entre catégories.
Des bouteilles dans la mer aux graphes avec cordes, etc.
Les échanges d’information ont pour support des cordes – aux cordes sont associées des foncteurs : morphismes entre catégories,
généralisant ainsi la nature de ces échanges.
k1 k2 f
branche
maille
moment
corde sommet
L’évolution comme transformations et sa représentation
T1
T2
L’évolution comme transformations et sa représentation
État d’origine – graphe originel, condition initiale Ro
T1
T2
Évolution suite à la transformation T1.Ro
2° évolution, T2.T1.Ro
L’espace d’évolution comporte ici 3 sommets
1
2
3
L’évolution comme transformations et sa représentation : gamma matrices
Créons un vecteur I qui montre où en est l’information :
Information sur le premier sommet
Information sur les autres sommets à t=0
Le vecteur I est un vecteur dont les composantes sont des graphes, avec leurs caractéristiques topologiques et leurs sources intrinsèques.
Nous allons voir comment propager cette information
0
0
Ro
I
L’évolution comme transformations et sa représentation : gamma matrices
Créons une matrice 3x3 de propagation :
020
001
000
T
TIntersection 2° ligne, 1° colonne : transformation de l’information du sommet 1 vers le sommet 2 avec transformation T1.
Intersection 3° ligne, 2° colonne : transformation de l’information du sommet 2 vers le sommet 3 avec transformation T2.
T1
T2
1
2
3
L’évolution comme transformations et sa représentation : gamma matrices
1 application de gamma :
0
.1
0
0
0
020
001
000
RoT
Ro
T
TI
2 applications de gamma :
RoTT
RoT
T
TI
.1.2
0
0
0
.1
0
020
001
000
Etc. n information transportée au sommet n de forme = produit de
toutes les transformations effectuées sur le chemin menant au sommet n. La matrice peut être prédéfinie ou construite au fur et à mesure des événements. constitue une morphologie de l’évolution.
L’évolution est un jeu
Buts d’une évolution (même dans la fabrication d’un produit) :
Augmenter un gain Diminuer l’entropie Augmenter une performance Flatter un égo Plaisir de la conception Émergence de l’innovation Etc.
Tous ces objectifs ont pour point commun de rentrer dans une attitude de jeu au sens général (coopératif, non coopératif, à information complète ou
incomplète, bayésien, etc.)
La panoplie du joueur : stratégie, gain, comportement & modèles
(petite introduction à la théorie des jeux)
Dilemme du prisonnier :
Joueur 1
Joueur 2
2 stratégies : A : avouer N : nier
Raisonnement à rebours : Quoique joue 2, 1 a intérêt à jouer A pour minimiser ses années possibles de prison Quoique joue 1, 2 a intérêt à jouer A pour minimiser ses années possibles de prison Résultat, pour des joueurs « neutres » (n’aimant pas le risque, etc.), la stratégie optimale est AA ! Alors que la « vue externe » trouve évident de viser NN.
Gain joueur 1 Gain joueur 2
La panoplie du joueur : stratégie, gain, comportement & modèles
Concept de stratégie mixte
Les choix des stratégies sont pondérés par des probabilités de réalisation
0,7 0,3
0,7 0, 3
Espérance de gain : produit probabilité, gain.
Représentation extensive
La panoplie du joueur : stratégie, gain, comportement & modèles
A
N A
N
N A
0,7 0,3
0,7 0,3 0,7 0,3
EG : 15x0,72 … etc.
Les probabilités de choix sont le reflet de comportements, croyances, …
Les tenfolds
Ce que nous avons vu jusqu’à présent :
Les processus (industriels ou autres) sont des successions de transformations Ces processus sont des évolutions décrites par les
gamma matrices Le choix d’une évolution est un jeu, des classes de
stratégies traduisant des comportements
Les tenfolds
Il nous reste à mettre en musique la définition des réseaux et les transformations
1 réseau
Une topologie Une métrique Des sources intrinsèques
R=(T,g,E)
Les tenfolds
T : ensemble de matrices décrivant les connectivités du
réseau (incidence, etc.)
g : tenseur métrique dans l’espace des mailles
E : vecteur des sources (fém fmm)
Nous appelons le triplet qui décrit un réseau un tenfold
Les tenfolds
L’algèbre des tenfolds
Définition d’un tenfold :
Transformation d’un tenfold :
Transformateur
Application
EgTR ,,
T est une topologie incluant une incidence, des connectivités, etc. T est un ensemble de matrices. g est une métrique en général d’ordre 2 et E un stimuli, en général d’ordre 1.
'',', Qt
EgQTRt '',',.
Un transformateur est une liste de matrices de transformations appliquées à chacune des composantes d’un tenfold.
L’application d’un transformateur à un tenfold donne un tenfold.
Les tenfolds
Exemple de tenfold : considérons un macromodèle d’alimentation
Ce graphe est constitué de 1 maille, 1 maille virtuelle, 0 moment, 0 corde, 2 branches, 2 sommets, 1 réseau, donc : T1=[1,0,0,0,2,2,1] Son incidence est : sa connectivité : Finalement,
11
11B
11
01L
LBTT 1
Sa métrique : son stimuli :
L
z
z
g
00
00
00
2
1
J
e
E 0
Les tenfolds
Exemple de transformation : on désire changer le moment propre L de la métrique en 0. Cette transformation n’affecte aucune autre composante du tenfold. On engendre :
1,1,1
00
010
001
0
t
L
On vérifie :
0
2
1
2
1
00
00
00
00
00
00
z
z
z
z
g
L
L’espace des tenfolds pour une projection en stratégies mixtes
On peut placer les tenfolds dans un espace des transformations, avec un axe des gains – gains qui traduisent d’une façon générale la recherche
d’optimum, d’entropie d’information, de risque, etc. Les coordonnées des tenfolds sont les probabilités de choix de telle
transformation dans un jeu en stratégie mixte.
t1
t2
G
R0
(condition initiale)
0,3 0,65
0,45
0,7
1,3
6,27
1 trajectoire = 1 classe de comportements
v1 = 65%t1.R0 + 45%t2.R0
v2 = 30%t1.R1 + 70%t2.R1
é=1
é=2
Trajectoire à 2 événements (é) successifs. S’ils avaient été simultanés on aurait le vecteur somme
L’espace des tenfolds pour une projection en stratégies mixtes
Comme le propagateur contient tout l’historique on peut soit le construire par avance (démarche d’étude théorique) soit le construire dynamiquement (simulation temps réel).
L’espace des tenfolds pour une projection en stratégies mixtes
La trajectoire dans le temps à la recherche du gain optimum
La trajectoire dans le temps à la recherche du gain optimum
La trajectoire dans le temps à la recherche du gain optimum
Les surfaces de comportements et la société
Chaque trajectoire correspond à une classe de comportements.
Un ensemble de trajectoires forme une surface qui explore tous les
comportements envisagés.
Une telle surface peut donc être vue comme l’image d’une société.
t1
t2
G
Les bords de cette surface correspondent à des comportements extrémistes (pas forcément au sens péjoratif, par exemple un handicapé dans une étude de mobilité).
Les transformations correspondent à des actions sur les pédales d’accélérateur ou frein.
Un exemple illustratif : les deux conducteurs sous l’emprise du régulateur
de vitesse
Un exemple illustratif : les deux conducteurs sous l’emprise du régulateur
de vitesse
Ici, le gain pour le système des deux joueurs est l’absence de risque
d’accident. Écart d’espérance
de gain
En conclusion : modéliser l’émergence ?
𝑅 é + 1 = 𝜆 . 𝑅 (é)+𝜒