Modélisation Mathématique Modélisation Mathématique de l’Athérosclérosede l’Athérosclérose

Nader EL KHATIB

Villeurbanne le 29/05/2009

Thèse de doctorat en Mathématiques Appliquées dirigée parStéphane Génieys & Vitaly Volpert

1

SommaireSommaireIntroduction.Mécanisme biologique.Modèle Inflammatoire:

◦Modèle 1D.◦Modèle 2D.

Modèle d’interaction sang-plaque.

Conclusion et perspectives.

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MURRAY JL, LOPEZ ADAlternative projections of mortality and disability by cause 1990 - 2020 : Global Burden of Disease Study.

Lancet 1997 ; 349 : 1498-504.

IntroductionIntroduction

3

IntroductionIntroduction

4

Artériosclérose: vieillissement de l’artère.

Athérosclérose: du grec athérê qui signifie bouillie. Est un dépôt lipidique, non passif inflammatoire.

Mécanisme biologiqueMécanisme biologique

5

Mécanisme biologiqueMécanisme biologique

B. ØSTERUD and E. BJØRKLIDRole of Monocytes in Atherogenesis. Physiol. Rev. 83: 1069-1112, 2003.

6

Mécanisme biologiqueMécanisme biologique

R Ross. Atherosclerosis. An inflammatory disease, N Engl J Med 340 (1999), pp. 115-126.

7

Modèle Inflammatoire 1D Modèle Inflammatoire 1D (paroi)(paroi)

8

Sans diffusionSans diffusion

1

11

)()(

Af

MAF

)()(

2

22 Af

AMAF

Isoclines

dt

dAdt

dM MAf 11 )(

AMAf 22 )(

Sans diffusion

NE

M

A

NE

M

A

E

NE

M

A

E

9Cas bistable Cas monostable

1

1

0α

NE ,λ

1F

2F

1F

2F 1F

2F

Résultats NumériquesRésultats NumériquesCas bistable: effet

seuil

10

Résultats NumériquesRésultats NumériquesCas bistable: effet

seuil

11

Résultats NumériquesRésultats NumériquesCas monostable

12

Interprétation biologiqueInterprétation biologique

Faibles concentrations de cholestérol: pas de réponse inflammatoire chronique.

Concentrations intermédiaires de cholestérol: réponse inflammatoire chronique possible, effet de seuil.

Hautes concentrations de cholestérol: même une petite perturbation entraine une réponse inflammatoire chronique.

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Avec diffusionAvec diffusion

14

Existence de solutionExistence de solution

15

Résultats numériquesRésultats numériquesCas bistable: effet seuil

16

M

A

Résultats numériquesRésultats numériquesCas bistable: effet seuil

17

M

A

Résultats numériquesRésultats numériquesCas monostable: même une petite perturbation

initiale conduit à une propagation

18

M

A

Apport du modèle 1DApport du modèle 1DEnchainement des cas : au cours de la

vie augmente et donc l’organisme devient sensible aux inflammations.

Description en tant que front de propagation. Similaire à Poston et al. : la plaque est le résultat d’un processus de propagation auto-amplifiée véhiculée par les monocytes.

19

1α

Modèle inflammatoire 2DModèle inflammatoire 2D

h

Flux sanguin

Intima

Recrutement de cellules immunitaires

20

Modèle inflammatoire 2DModèle inflammatoire 2DExistence de solution

21

Modèle inflammatoire 2DModèle inflammatoire 2D

On définit le cas monostable : il existe un état enflammé stable, un état non-enflammé instable. ◦ Etude du signe de la valeur propre principale du système linéarisé

autour de l’équilibre non-enflammé.

Existence de fronts, non classique, car condition au bord non-linéaire.◦ On démontre la positivité des solutions.◦ On en déduit un principe de comparaison.

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Existence de solutions de type ondes progressives dans le cas monostable

Existence d’onde Existence d’onde progressiveprogressive

23

Existence de solutions de type ondes progressives dans le cas monostable

c

Résultats numériquesRésultats numériques

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Résultats numériquesRésultats numériques Convergence du modèle 2D vers le modèle 1D quand 0h

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Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque

Zhi-Yong Li, Simon P.S. Howarth, Tjun Tang and Jonathan H. Gillard. How Critical Is Fibrous Cap Thickness to Carotid Plaque Stability?: A Flow-Plaque Interaction Model, Stroke 2006 ; 37 ; 1195-1199, 2006.

26

Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque

2

12

0

))(1(

)(

n

2

))2()()2(( 222yxyx vvuu

Courbes représentant plusieurs modèles de viscosités. (Réf. Shibeshi et Collins, The Rheology of Blood Flow in a Branched Arterial System, Appl Rheol. 2005).

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Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque

onpénalisatiICICw )3()3( 201110

Un corps est dit élastique si la relation tenseur de contraintes-tenseur de déformations est linéaire (loi de Hooke).

Un corps est dit hyperélastique si cette relation n’est pas linéaire. Elle se fait à travers une énergie qui est une fonction des contraintes.

Les déformations sont obtenues par dérivation de l’énergie par rapport aux contraintes.

21 et II : deux premiers invariants du tenseur de Cauchy

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Le modèle de Mooney-Rivlin modifié pour les corps hyperélastiques formule l’énergie en fonction des invariants du tenseur de Cauchy.

Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque

Paramètres utilisés dans nos simulations

Dépôt lipidique

Chape fibreuse

Sang

Ref. Li et al. Stress analysis of carotid plaque rupture based on in vivo high resolution MRI J. Biomech., 2006; Tang et al. 3D MRI-Based Multicomponent FSI Models for Atherosclerotic Plaques, A. Biomed. Eng., 2004.

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Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque

Cas test: Newtonien

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Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque

Cas test: Non-Newtonien

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Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque

Plaque longue et fine: Cas Newtonien

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Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque

Plaque longue et fine: Cas Non-Newtonien

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Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque

Petite plaque: cas Newtonien

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Modèle d’interaction sang-Modèle d’interaction sang-plaqueplaque

Petite plaque: cas Non-Newtonien

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Conclusion (modèle Conclusion (modèle d’interaction)d’interaction)

Modèle de référence: non-Newtonien.

Le modèle Newtonien surestime les recirculations et sous-estime les contraintes: globalement moins visqueux.

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Perspectives: modèle 3DPerspectives: modèle 3D

37

Modèle 3DModèle 3D

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Extension: modèle 3DExtension: modèle 3D

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Modèle 3D issu de Modèle 3D issu de l’imageriel’imagerie

40Collaboration avec FORTH, Héraklion, Crète.

Modèle 3D issu de Modèle 3D issu de l’imageriel’imagerie

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Merci!Merci!

42

Спасибо !

Obrigado !Thank you !

شكرا