modelisation macro et micro-macro des materiaux ... · micro-macro-9-hypothèses sur...

MODELISATION MACRO ET MICRO-MACRO DES MATERIAUX POLYCRISTALLINS

ENDOMMAGEABLES AVEC COMPRESSIBILITE INDUITE

Présenté par :Mohamed BOUDIFA

Le 01 Mars 2006

LASMIS/UTT

Introduction

I.1 Modélisation Macroscopique

I.2 Modélisation micro-macro

II. Modélisation numérique

II.1 Principe de la résolution

II.2 Méthodes incrémentales de résolution

II.3 Intégration numérique des modèles de comportement

Conclusions et Perspectives

III. Quelques Applications

I. Modélisation du comportement avec endommagement

ductile

INTRODUCTION

Introduction




II.1 Principe des PPV






ductile

-2-

UTTInstitut Charles Delaunay

LASMIS … ……

Axe 1 Matériaux multi-échelles –caractérisation mécanique

AXE 2 Modélisations théorique, numérique

et géométrique

AXE 3 Intégration pour la conception

Modélisation théorique et numérique

[HAMMI 00][MARIAGE 03][LESTRIEZ 03][BELAMRI 04][KHELIFA 04][BOUDIFA 06][BADREDDINE][SORNIN]

1. Un modèle macroscopique

2. Un modèle micro-macro-3-

L’ENDOMMAGEMENT DUCTILE ?L’ENDOMMAGEMENT DUCTILE ?

État initial

1. Naissance de cavités

3. Coalescence des cavités

2. Croissance des cavités

-4-

Introduction

I.1 Modélisation MacroscopiqueI.2 Modélisation micro-macro








ductile

I. MODELISATION


-5-

Théorie de GURSON [Gurson 77]Cinétique des cavités :

-Nucleation- Croissance-Coalescence

Variable d’endommagement : porosité f

Théorie CDM [Lemître85]Effet Phénoménologique des

Défauts sur la Réponse Mécanique

Variable d’Endommagement :D, Di, Dij, Dijkl

Wt

Configuration Réelle endommagée

( )

( )

( )

,

,

,i i

D Y

A a

σ ε

-Principe d’équivalence en déformation [Chaboche 78]

-Principe d’équivalence en énergie [Cordebois 79], [Saanouni 88]

Configuration Fictive

( )

( )

,

,i iA a

σ ε

-6-

Formulation CDM du modèle macroscopiqueFormulation CDM du modèle macroscopique

( )2

22* *1 1

tr( )2 cosh 12

eq

y y

qF q f q fσ σσ σ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= + − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Version (GTN)

( )

( )

( )

2

1 :

213

1

1 2 1: : :2 3 2

e

e e

e an

L

X C

R Qr

Y L C Qr

D

Y Y

D

D

σ ε

α

ε ε α α

= −

= −

= −

= + +

= +

Relations d’état

( )1 ( )pgf f tr ε= −

( ) ( ) ( )* 2: :X DX H X trσ σ σ α σ⎡ ⎤− = − − + ⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )*:1

H X D trnX X

σ α σ

σ σ

−= +

− −

*1 2 2

23 tr( ) tr( )sinh 1

2 2GTN

y yy

F s q q f qn σ σσ σ σσ

⎛ ⎞∂ ⎟⎜= = + ⎟⎜ ⎟⎟⎜∂ ⎝ ⎠

( )

( ) ( )

*

*

**

0

1

1

1 11

(1 )

1 tr

p s

s

pv v

n n n n

n a

r br

Y Y

D

D

DD

D

D D

DS

β

λε

λα λα

λ

λ

ε

−

= = +−

= −−

= − −−

−= −

= −

Relations Complémentaires

-7-

*1y

X RfD

σσ

− −= −

−

Variable d’Endommagement

0* vDDD D= + +

( )1 1 : :p n LH

Dλ ε⎡ ⎤= −⎣ ⎦Ecoulement plastique

Ecoulement Viscoplastiquen

vp fK

λ =

Généralisation aux transformations finiesT

QT Q T Q= ⋅ ⋅Pour tout tenseur T ( 0) 1QQ W Q Q t= ⋅ = =

{ }1 AntySymAntySymQW F F−= = ⋅Jaumann

TQW RR=

Green-Naghdi

ε= = +Sym Je pD DTaux de déformation-8-

Introduction










ductile

Modèles Modèles MacrosMacros

σε

2. Localisation4. Homogénéisation

1. Definition de l’EVR

3. Modélisation du comportementMatériau :

-Métal polycristallin

-Monophasique définit par des directions et plans cristallins

Modèle Modèle MicroMicro--MacroMacro

-9-

Hypothèses sur l’endommagement

ductile

( , )s sd Y

1. Variable phénoménologique dstraduit la présence en

nucléation ou en croissance de microcavités

,s gn Dσ

2. Mesure de dommage granulaire Dg due à la contrainte normale au

plan de glissement-10-

L’endommagement à l’échelle micro?

3

Équivalence en énergie

[Abdul-Latif 94]

2

( ),s sτ γCission de Schmid

Glissement cristallin

Plasticité cristalline

Milieu Continu

1

Échelle des grains

g

ijσ

LOC

ALISA

TION

),(x gij

g

ijβ

Échelle de l’EVR

ij ijE ou ∑

HO

MO

GEN

EISA

TIO

N

gpij

,εgD

n bNiveau des Systèmes de Glissement Cristallins

sτsnσsγ

Plasticité cristalline

( , )s sq R( , )s sd Y

pijE TD

-11-

Schéma du Modèle

Equations du modèle

1. Au Niveau SGC

1 1

12 (1 )

= − −

=−

∑N

s r

s

ss sr r

rs s

s

R Q H

R q

d

Y

d

d

q

Relations d’état

01

s snss

sg RDfd

τ α στ

+ −= −

−

0

( )1

(1 )1

1(1 )

/

β

λγ τ

λλ

λ

λ

=−

= −−

−=

−

=

ss s

s

s

ss s

ss

m

ns s

ss

sign

q b

Y YS

d

f

d

d

K

d

Relations d’évolution0>sf

-12-

( )1: , avec 2: , avec

τ σ

σ σ η η

= = ⊗ + ⊗

= = ⊗

s g s s s s s s

s g s s s sn

m m n b b n

n n

À l’échelle des grains

( )

1

1

1

1

1

s Ns s sg sp s

sg g gHp p p s Ns s g

gH sp s

sNs

g g g sp

s

sign md

Dd

a

λ τε

ε ε ελ α

ε η

β ε β λ

=

==

=

=

⎧⎪⎪ =⎪⎪ −⎪⎪= + ⎨⎪⎪⎪ =⎪⎪ −⎪⎩

= −

∑

∑

∑

Relations d’évolution

1

Ngg g g g

gC fσ β β

=

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= Σ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∑

Relation de localisation [CAILLETAUD 87]

β=23

g gx C

Relation d’état

1

s Nsg s

sD d

=

== ∑

1

Ngg g g p p

g gg

C fσ ε ε=

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= Σ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∑

[KRÖNER 61]

À l’échelle de l’EVR

Relation d’état( )1 :T eD L EΣ = −

1

'

1 1

gg Np g g

pg

e p

Ng s NsgT

g s

s

E f

E E

dfD

E

ε=

=

=

= =

=

= −

=

∑

∑ ∑

Relations d’évolution ( ) ε

ε

λ αη

λ α

=

=

=

=

= =

= =

= =

= =

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠

= ≠−

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

1

1

1 1

1 1

tr tr

tr

tr1

01

g

g

g

g

g Np g g

pg

g Ng gH

pg

g N s Ns s gg s

sg s

g N s Ns s gg

sg s

E f

f

Dfd

DfdC

ompr

essi

bilit

é pl

astiq

ue-13-

Introduction










ductile

II. II. ModModéélisation numlisation numéériquerique

Une densité de forces volumiques dans Ω,Des efforts surfaciques sur une partie ∂Ωf de ∂Ω,Des efforts de contact (avec un autre solide) sur une

partie ∂Ωc de ∂Ω,Des déplacements imposés sur une partie ∂Ωu de ∂Ω. u

FCF

f

Contacteur

cF

F

u∂Ωu

c∂Ω

F∂Ω

Ωf

:f c

cDdV f udV F udS F udS u udVσ δ δ δ δ ρ δΩ Ω ∂Ω ∂Ω Ω

− − − =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(P) -14-

N N Ne N e e N e e N e

N e Ne N e N e

u N u ; u N u ; u N u ;

u N u ; u N u ; δ δ δ

= = =

= =Élément e:

Discrétisation Spatiale par E.F. du PPV


Résolution Dynamique Explicite (POINT MILIEU)

{ } [ ] { }1D nnnU M−= ℜ

{ } { } { }1 12 2

12

n nn n n

t tU U U++ −

∆ + ∆= +

{ } { } { } 12

1 nn n nU U t U+ += +

[ ]{ }{ }

( ) ( )

11

1...

r

nn

Tel e

h

e l

h

rc VnV

hl

KU

B B J dVLη η

++

+

⎡ ⎤∂ℜ= ⎢ ⎥

∂⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤≈ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦∫

{ }( ){ }( )

11

1

eln

n

hh

eln

elc hL

σ

ε+

++

∂=

∂⎡ ⎤⎣ ⎦

Résolution Statique Implicite (Schéma itératif de Newton-Raphson)

{ } [ ] { }1 11 n nnh hhU K + ++ = − ℜ∆

{ } { } { }1 1 1int extn nh h h

n

Convergence

F F ε+ + +ℜ = − ≤

-15-

[ ]{ } { } 0M U + ℜ = { } { } { }int extF Fℜ = −AVEC(A)

Intégration du modèles macroscopiqueIntroduction




II.1 Principe de résolution






ductile ( )( )

1 1

* *1 1 1 1 1

* *1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1 1 11

0

1 1 1 0

1 1 1 0

0

ˆ 0

1 0

v

e en n

n n n n n

rn n n n

D cn n

D v vn n

pn n n n y nn

H pn

H a D p pn a D p

H r b D p p b D pr

H D pY

H D pY

H f X R D

α

ε ε

α α

σ σ

+ +

+ + + + +

+ + + +

+ +

+ +

+ + + + ++

= ∆ + ∆ −∆ =⎧⎪⎪⎪⎪⎪ = ∆ + − ∆ −∆ + − ∆ =⎪⎪= ∆ + − ∆ −∆ + − ∆ =

⎨= ∆ −∆ =

= ∆ −∆ =

= = − − − − =

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Prédiction élastique- Correction plastiqueeε ε∆ = ∆ 1 0nf + ≤SI Solution élastique

SINON

Correction plastique { }1 0nH + =

{ } { }1 1, , , , ,e v

n nssx r D D pδ δ ε δ α δ δ δ δ+ +∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

{ } [ ] { }11 11ss

n ns

nx Hδ−

+ ++∆ = − J

A convergence de l’itération s

-16-

( ), , , , ,e vr D D pε αΛ ( )

( ) ( )

*

*

**

*

0

1

1

1 11

(1 )

1 tr

01

e

s

pv

y

v

n

n a

r br

Y Y

D D

D

D

DD

D

DS

X Rf

D β

λε ε

λα λα

λ

λ

ε

σσ

−

= −−

= −−

= − −−

−= −

= −

− −= − =

−

[ ]

1

1

1

1

1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1

1

1

11

1

1 1

1 1

1

n

n

tn

n

n

v

e e e e e en n n n n ne c vn n n n n net n

t nre

n

n tn e D

t n

n n

e Dn nvn n

H H H H H Hr D D p

H H

HHr r

H HD D

H HD D

α

ε α

α α+

+

+

+

+

+ + + + + +

+ + + + + +

+

+

+

++

+

+ +

+ +

+ +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆ ∂∆

∂ ∂•

∂∆ ∂∆

∂∂•

∂∆ ∂∆=

∂ ∂•

∂∆ ∂∆

∂ ∂∂∆ ∂∆

J

1

1 1

1 1

s

v

e pn n

n n

H Hp p

+ +

+ +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥•⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥• • • •∂∆ ∂∆⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )* *: 1 ec ee DeL L D J Jδ σ

εδ ε∆ ⎡ ⎤= = − − ⊗⎣ ⎦∆

Extraction de la matrice tangente lors de l’intégration avec θ-méthode

[ ]

* *

* *

*1

1 *

*

* *

v

ee ep

e

ren

De

D e

pe pp

J J

J J

J

J

J

J J

α αα

−+

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i i i i

i

i

i

i i i i

J

-17-

:

Intégration du modèle micro-macro

, , , , ,e T g s s sY E D q dβ λ=CFC 12 systèmes cristallins 7+(6+3×12)×Ng EDO

1

00

n nY Y Y

Y Y+ = + ∆

=Runge-Kutta

d’ordre 2

( )( )

1

1 12 12 2

32

,

,

( )

n

n

n t

n t

K t Y t Y

K t Y t t Y K

Y K O t

= ∆

= ∆ + ∆ +

∆ = + ∆

2 :3

g g gp p pε ε ε=

- Zébulon Standard

1

Nsg sp

sε λ

== ∑

- Modèle MIC

g g g gp paβ ε β ε= −

Différence en entre Zébulon standard et le modèle MIC en Non Couplé

-18-

Introduction




II.1 Principe de résolution






ductile

III.1 Application du modèle macroscopique

Elasticité Ecrouissage Endommagement volumique Endommagement

E=200000. MPaν=0.3

σY=400. MPaQ=1000.0 MPa

b=50.0C=10000. MPa

a=100.

D0=0α=1δ=1

Dcrit=0.005

β=2, s=1, S=8.35 MPa Y0=0. MPa

Etude du Modèle MAC1 (Couplage Fort)

But : Comparaison avec le modèle de Gurson

Modèle MAC1 avec endommagement mixte (couplage fort) Modèle MAC2 avec endommagement volumique Dv seulementModèle GUR (GTN du modèle de Gurson).

-19-

1030

Maillage carré C2D8R

M1 ∆x=1 mm

M2 ∆x=2/3 mm

M3 ∆x=1/2 mmNon Couplé

Couplé

UBIF=0.78 mm

Ds Cas couplé (Zébulon)p Cas non couplé (Zébulon)

M1 M2 M3

-20-

Matériau A Matériau B

Comparaison MAC1, MAC2 et GUR

-21-

MA

C1

AG

UR

AM

AC

2 A

MA

C1

BM

AC

2 B

GU

R B

MA

C1

BM

AC

2 B

GU

R BR

épon

se a

vec

Aba

qus

Expl

icit

Matériau B en Explicit

-22-

Calcul Zébulon

Matériau A Matériau B

GUR BEndommagement volumiqueMAC2 BCouplage avec Dv seulement

MAC1 BCouplage fort D*

Animations sur les endommagements (Abaqus/explicit)

Comparaison des modèles sur un essai de poinçonnage

9430 éléments CAX4R

Jeu j

Tôle

Flan Matrcie

PoinçonSerre-Flan

Rp

Rm

Dsf

Rcoupe

-23-

-24-

MA

C1

B

MA

C2

B

GU

R B

III.2 Application du modèle Micro-Macro

GURMAC1

10 % pénétration poinçon

-25-

MAC2

Poly24

Coefficients du Poly24

Poly

24 [B

ugat

00]

Poly

40 [C

aille

taud

87]

[100] FCC direction

Éléments c3d20r

8 Points Gauss

-26-

Cas Non Couplé (Calcul Zébulon)

Déformation plastique cumulée macroscopique P

Cas Couplé (Calcul Zébulon)

Endommagement macroscopique DT

Réponse du Poly24

Déformation plastique volumique Tr(Ep)

-27-

Elément 351 point d’intégration 1

Elément 16 point d’intégration 6

El16-Pi6 Non CoupléEl16-Pi6 Couplé

El351-Pi1 Non CoupléEl351-Pi1 Couplé

-28-

Comparaison du Poly24 et MAC1 sur un procédé d’Emboutissage

Diamètre extérieur matrice = 80 mm ;Diamètre intérieur matrice = 80 mm ;

Hauteur matrice = 10.5 mm ;Petit rayon matrice = 4 mm ;

Diamètre extérieur serre flan = 33.9 mm ;Diamètre intérieur serre flan = 90 mm ;

Petit rayon poinçon = 5 mm ;Diamètre du flan = 73 mm ;Epaisseur du flan = 1 mm

Matériaux

-Poly24

-Référence MAC1

Essai Swift [KHE 04]

-29-

D* Modèle MAC1DT Modèle MIC Poly24Courbe Force-Déplacement

Courbe épaisseur

-30-

Introduction

Modélisation acroscopique

2 Modélisation micro-acro


1 Principe de résolution

2 Méthodes incrémentales résolution

3 Intégration numérique s modèles de comportement




ductile CONCLUSIONS

Formulation de modèles : introduction d’une compressibilité plastique induite par l’endommagement ductile en MACRO et MICRO-MACROIntégration numérique et implémentation des modèles de ces modèles de comportement.Application sur des cas de calcul de structures simples :

- Essai de traction : étude de la localisation - Matériaux à endommagement fortement non linéaire !- Réponses cohérentes des modèles micro-macros et

macros.Applications à des essais de mise en forme

- Incapacité du modèle de Gurson à simuler les procédés de cisaillage.

- Bonne prédiction des modèles proposés pour la simulation des procédés de formage de tôles (emboutissage et poinçonnage).

-31-

PERSPECTIVES

-Valoriser l’apport des modèles micro-macros : anisotropie de l’écoulement plastique avec endommagement, …

-Etude de l’influence de l’endommagement sur les évolutions texturales.

-Etude expérimentale sur des matériaux réels (thèse en cours [Hfaiedh]) pour corrélation avec les deux familles de modèles (adaptation des modèles si nécessaire).

- Réaliser des études expérimentales afin d’alimenter les modèles

-Calcul d’agrégats réels qui nécessite le développement de Techniques de maillage, Techniques de calcul parallèle …

-32-

0 1(1 )

β

λ−

=−

ss

ms

sY Yd

S d

12(1 )

1 1

=−

= − −∑

ss s

s

sNs

s s r

r

rr

qY R

R Q qdH

d

d

1 10

: :

1

β β α β β η

τλ

= =

⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⎞⎤⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜Σ+ − + Σ+ − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −−=

∑ ∑nNg Ng

g g g s g g g s s

gs

g

g

s

C f

d

C f RDm

K

'

1 1

Ng s NsT g s

g sD f d

=

= ==∑ ∑

'

1 1

Ng s NsT g s

g sD dt f ddt

=

= == ∑ ∑∫ ∫

'

1 1

Ng s NsT g s

g sD f d

=

= ==∑ ∑≠

g1

g2

g3

g4

g5

g6

g7g8

g9

g10

modelisation macro et micro-macro des materiaux ... · micro-macro-9-hypothèses sur...

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