Modlisation Dynamique du Trafic dans lesRseaux multiservicesOlivier Brun Jean-marie Garcia

LAAS-CNRS, 7 Avenue du Colonel Roche 31077 Toulouse Cedex,{brun,jmg}@laas.fr

RsumLe modle que nous proposons dans cet article permet dtudier les phnomnes transitoires etla solution stationnaire dun rseau multiservice (ATM, STM). Il est bas sur les quationsdiffrentielles exactes de propagation des flux dans un faisceau puis dans un rseau. Lesprobabilits de blocage sont approximes par les formules de Kaufman et Roberts faisantintervenir des relations implicites entre trafic coul et trafic offert fictif instantan. Pour lesprobabilits de blocage des chemins emprunts par les flux, nous proposons deux schmas. Lepremier est bas sur lindpendance des probabilits de blocage des faisceaux de ce chemin.Le deuxime est bas sur une fonction max. Plusieurs comparaisons numriques de cemodle avec des approximations connues de la littrature sont prsentes.AbstractThe model presented in this paper adresses the transient behaviour and stationary solution of amultiservice network (ATM, STM). Blocking probabilities are approximated by means ofKaufman and Roberts formulae and implicit relations between carried traffic and fictitiousinstantaneous offered traffic. For end to end blocking probabilities estimation, we propose twoapproximations. The first one is based on the independence of trunk blocking along the path.The second approximation is based on a max function. Several numerical comparisons withwell known approximations developed in the litterature are presented.

Mots ClsFiles dattente, trafic multiservice, commutation de circuits, probabilit de blocage,modlisation du trafic, qualit de service.Key WordsQueueing theory, multirate traffic, circuit switching, blocking probability, traffic modelling,quality of service.

1. Introduction

Nous considrons dans cet article les problmes lis lvaluation des performances etplus gnralement de la QoS dans le cadre des rseaux haut dbit. On distinguegnralement trois chelles de temps diffrentes pour la modlisation du trafic, qui sontlchelle des cellules, lchelle des rafales et lchelle des appels. Lchelle des appels,caractrise par les temps de sjour des appels arrivant et par leurs demandes de service,est celle que nous considrons dans cette article. A ce niveau, o on ne sinteresse pas auflux de cellules sur les ressources du rseau (tude complexe car il sagit de trafic mmoire longue) mais au flux des appels offerts au rseau [PIO 80]. Dans ce cadre,lhypothse Poissonienne pour le processus darrives des appels est lgitime.Cependant, les caractristiques des rseaux multi-services actuels posent de nouveauxproblmes notamment lis au mcanisme de contrle dadmission.

Rappelons en effet que dans les rseaux utilisant le contrle dadmission, la procduredtablissement dune connexion exploite les informations sur le trafic (dlaismaximum, taux de perte accept, etc) pour lui associer une bande passante quivalentecomprise entre le dbit moyen et le dbit crte requis. Cette bande-passante quivalenteest utilise pour dcider si une connexion correspondant cette qualit de service peuttre tablie. Si ce nest pas le cas, lappel est rejet. Il sagit donc typiquement dunmcanisme de type commutation de circuits. Cependant, la diffrence fondamentaleavec les rseaux commutation de circuits (tlphonie) rside dans le fait que la bandepassante associe chaque flux dpend de la nature de ce flux (notion de classe deservice). On parle alors de rseau commutation de circuits multi-classe.

Le calcul prcis et rapide du trafic coul et des probabilits de blocage (qualit deservice) est un lment cl de la planification et de la gestion dynamique des ressourcesdans les rseaux numriques intgration de services. Bien que les deux modes detransfert proposs pour ces rseaux - le mode de transfert synchrone STM et le mode detransfert asynchrone ATM - soient fondamentalement diffrents, tous deux peuvent treanalyss dans le cadre des rseaux commutation de circuits multi-classes [ROB 98].

Nous tudions ici une modlisation par la technique de lquation diffrentiellemoyenne de systmes commutation de circuits multi-services. Bien que le processusdarrive soit Poissonnien, ltude de tels systmes est bien plus complexe que celle desimples rseaux commutation de circuits de type tlphonique, car on a affaire unprocessus de naissance et de mort multidimensionnel o les limites de lespace dtat dechaque flux sont difficiles exprimer.

Dans le cas dun seul faisceau emprunt par plusieurs flux multi-services, ce problme aune solution exacte donne par la forme produit des probabilits. Dans le cas dunrseau, le problme na pas de solution simple. Lexplosion combinatoire de lespacedtat rend prohibitif le calcul numrique de la solution thorique exacte. Plusieursapproximations bases sur lhypothse dindpendance des probabilits de blocage desfaisceaux emprunts par un flux ont donc t proposes [KEL 91] [CHU 93].

Le modle dvelopp dans cet article est bas sur les quations diffrentielles exactes depropagation des flux dans un faisceau puis dans un rseau. Les probabilits de blocageintervenant dans ces quations sont ensuite approximes par des relations implicitesentre trafic coul et probabilit de blocage (notion de trafic offert fictif instantan).Pour les probabilits de blocage dans un rseau, cest dire les probabilits de blocagedes chemins emprunts par les flux, nous proposons plusieurs schmas bass soit surlindpendance des probabilits de blocage des faisceaux de ce chemin, soit sur unefonction max.

Plusieurs rsultats numriques de ces modles sont prsents pour des faisceaux et desrseaux multi-services dans le cas de trafics faibles, moyens et forts et sont comparsaux rsultats dapproximations dcrites dans la littrature ainsi qu des simulationsvnementielles.

2. Etude dun faisceau multi-services

Nous allons tout dabord tudier le cas dun seul faisceau auquel plusieurs flux multi-services sont offerts. Contrairement au problme de tlphonie classique, chaque appel aun temps de service dpendant de sa classe et occupe un nombre de circuits propre saclasse. Dans ce processus multi-services, chaque flux va partager de manire complexela ressource commune (le faisceau) avec les autres flux et va avoir une probabilit deblocage individuelle diffrente de la probabilit de blocage du faisceau. Il sagit l de ladiffrence principale avec la tlphonie classique o la probabilit de blocage est laprobabilit de perte dun appel.

Dans la section suivante, nous dcrivons le problme et introduisons les notationsutilises par la suite. Dans le cas dun seul faisceau multi-services, il existe une solutionexacte du type forme produit qui peut tre efficacement calcule grce un algorithmercursif dcrit dans la section 2.2. Nous prsentons galement, dans la section 2.3, desapproximations dont le cot calculatoire est plus faible. Nous proposons ensuite uneapproximation base sur les quations diffrentielles moyennes du trafic de chaqueclasse et montrons, dans la section 2.5, quelle est extrmement prcise non seulementen rgime stationnaire mais galement en rgime transitoire.

2.1. Notations

Nous considrons ici un faisceau unique, de capacit totale . On note le nombre declasses dappels offerts au faisceau. Les appels de classe arrivent suivant un processusde Poisson de taux , requirent la capacit et ont une dure moyenne . Lobjectif est pour chaque classe dappels dvaluer la probabilit de blocage des appelsde cette classe ainsi que le trafic coul par cette classe, cest dire le nombre moyendappels de la classe i dans le faisceau. Dans la suite, on notera la drive par rapportau temps de .

C Ni

i ci 1 iixi

xixi

Ces notations sont illustres sur la Figure 1.

Figure 1 Reprsentation dun faisceau multi-service.

Notons,le trafic offert par les appels de la classe i. Le problme rsoudre est

dvaluer soit exactement soit approximativement:

(1)

Dans le cas dun rseau, le problme est identique la diffrence que reprsente laprobabilit de blocage de toutes les ressources empruntes par les appels de la classe i(ie. probabilit de blocage des chemins entre lorigine et la destination).

2.2. Solution exacte en rgime stationnaire

La solution de ce problme est de type forme produit sur un espace dtatmultidimensionnel. Soit (n1, n2, ..., nN), le nombre dappels prsents dans le systmepour chacune des classes. Les bornes (tats admissibles) de cet espace dtat sontdonnes par la limite du domaine dfini par la contrainte suivante [ROB 98]:

(2)

Notons S ce domaine. Les probabilits dun tat quelconque du systme sont alorsdonnes par la formule suivante ( est la constante de normalisation):

(3)

Kaufman et Roberts [ROB 81] [KAU 81] ont propos une solution plus efficace que lecalcul direct de la forme produit. Elle est base sur un algorithme rcursif exactpermettant de dterminer la probabilit que m circuits du faisceau soient occups.

1 , 1 , c1

N , N , cN

.

.

.

b1

bN

C Mbps

i i i=

xi i 1 bi( )=

bi

nicii 1=

N

C

G

p n1 n2 nN, , ,( )i

ni

ni!--------

1G----

i 1=

N

=

p m( )

Cet algorithme repose sur la discrtisation de la bande passante totale du faisceau.Notons . On a alors :

est le nombre maximum dunits de bande passante utilisables. est le nombre dunits de bande passante requises pour les appels

de la classe i.Les probabilits dtats sont calculs par lalgorithme rcursif suivant:

(4)

Les probabilits de blocage pour les diffrentes classes sont obtenues par:

(5)

Ainsi, grce ces relations, il est ais de calculer les probabilits de blocage dechaque classe en rgime stationnaire. En reportant cette probabilit dans lquation dutrafic (1), on obtient le trafic coul de chaque classe dappels.

2.3. Approximations en rgime stationnaire

Les temps de calcul de lalgorithme de Kaufman-Roberts pouvant tre assez long enfonction des paramtres (nombre de flux, capacit), certains auteurs, comme Linbergeret Kelly, ont propos des approximations.

La mthode de Linberger [LIN 94] consiste calculer un trafic quivalent correspondant lagrgation des trafics des diffrentes classes. On se ramne ainsi un systmemonoclasse classique. Tout dabord, il faut calculer la moyenne m et la variance v dutrafic offert. Ensuite on calcule la bande passante moyenne du trafic agrg donne par

. Linberger propose alors dutiliser la formule dErlang pour calculer le tauxde blocage du trafic quivalent duquel on dduit la probabilit de blocage de chaqueflux.

Kelly [KEL 91] propose une approximation pour le calcul des pertes dans un rseau qui

Cc pgcd ci( )=M C c=mi ci c=

p m( )

1 m 0=0 m 0